数学分析3期末试题

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数学分析3测试题

数学分析 3 测试题 1
一、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 1．由 | sin nx | ≤ n n
∞
及 M 判别法可知级数 ∑
sin nx 在x ∈ n =1 n n ．
∞
内一致收敛．
2．幂级数 ∑
3n ( x + 1) n 的收敛域为 n =1 n 1 x −x (e − e ) 在x=0的泰勒展开式 2 ．收敛域为
∞
x 的收敛域为 2 n n =1 (1 + x ) x 2 n+1 的收敛范围为 2n + 1
∞
.
2. 幂级数 ∑ (−1)n
n =1
.
1 1 y 2 − x2 3. f , = , 则 f ( x, y ) = 2 xy x y
.
4
4. 设 x 2 + 2 y 2 + xy − z − 9 = 0 , 则 sin nx
( x , y )→ ( 0 , 0 )
.
， lim lim f ( x, y ) =
y → 0 x →0
，
lim
f ( x, y ) =
。，使 f(x,y)在全平面上
8． f ( x, y ) = 连续。二、
x4 + y3 在(0,0)点定义 f 的值为 x2 + y2
计算及应用题（每小题 9 分，共 45 分）
2．讨论函数 f ( x, y ) =
1
xy 2 , x 2 + y 2 ≠ 0; 2 4 3．设 f ( x, y ) = x + y 试讨论函数f(x,y)在原点的连续性和一阶 0, 2 2 x +y =0 偏导数． 4．用极限定义证明 lim xy − 1 = 3. y +1

《数学分析III》期末考试卷

红河学院XXXX-XXXX 学年秋季学期期末考试卷1考试科目：数学分析III 考试日期：一、填空题（每小题3分，共24分）1、重极限22(,)limx y →=___________________2、设(,,)x yzu x y z e +=，则全微分du =_______________________3、设(sin ,)xz f x y y e =+，则zx∂=∂___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则22()Lx y ds +=⎰________.5、曲面222239x y z ++=和2223z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的法平面方程是___________________________. 6、已知12⎛⎫Γ=⎪⎝⎭，则32⎛⎫Γ-= ⎪⎝⎭_____________. 7、改变累次积分的顺序，2120(,)x dxf x y dy =⎰⎰______________________.8、第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy ++=⎰⎰ ______________，其中S 为球面2221x yz ++=，取外侧.二、单项选择题（每小题2分，共16分）1、下列平面点集，不是区域的是（）（A ）22{(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（）（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在00(,)x y 处重极限必定不存在. （B ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都存在且相等，则该函数在00(,)x y 处重极限必定存在.（C ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数都存在，则该函数在00(,)x y 处可微. （D ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微，则该函数在00(,)x y 处必定连续. 3、方程3230xyz x y z ++-=在原点附近能确定连续可微的隐函数形式是（）(A) (,)x x y z =(B)(,)y y x z =(C) (,)z z x y =(D) 以上选项都不对.4、设arctan 2z uv t =+，其中2tu e =，ln v t =，则1t dzdt=等于（）（A ）225e + （B ）225e - （C ）225e （D ）252e5、设平面曲线L ：()y f x =在[,]a b 上具有一阶连续偏导数，且点A 与B 的坐标分别为(,())a f a 与(,())b f b ，又设(,)P x y 和(,)Q x y 为L 上的连续函数，则沿L 从B 到A 的第二型曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰等于（）（A ）[](,())(,())()baP x f x Q x f x f x dx '+⎰（B ）[](,())(,())()abP x f x Q x f x f x dx '+⎰（C ）[](,())(,())()baP x f x Q x f x f x dx '+⎰（D ）[](,())()(,())abP x f x f x Q x f x dx '+⎰6、变换T ：x u uv =-，y uv =所对应的函数行列式(,)J u v 为（）(A)2u (B)2v(C) u (D) v 7、对于任意光滑封闭曲线L 中，以下第二型曲线积分中为零的是（）（A ）(sin )y Lx y dx xe dy -+⎰（B ）2()2Lx y dx xydy --⎰（C ）sin()cos()Lxy dx x y dy ++⎰（D ）22L xdy ydxx y -+⎰8、下列积分区域D 中，既是x 型又是y 型的是（）(A)D 是由直线0x =，y x =和1y x =-所围成的闭区域. (B)D 是由直线y x =和曲线y =.(C)D 是由直线1x =，2x =和4y x =-所围成的闭区域. (D)D 是由直线y x =，0y =和曲线y =.三、计算题（每小题8分，共48分）1、讨论函数2222220(,)00xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)x f 和(0,0)y f .2、设,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求2z x y ∂∂∂3、设方程组22x u yu y v xu⎧-=⎨-=⎩确定了隐函数组(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，求v x ∂∂和vy ∂∂4、利用含参量积分计算1ln x x dx xβα-⎰，其中0αβ<<. 5、计算22Lx ydx xy dy -⎰，其中L 是以R 为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B .6、利用极坐标变换计算22Dy dxdy x⎰⎰，其中D 是由圆222x y x += (0)y ≥与x 轴所围成的平面区域.四、应用题（每小题6分，共12分）1、求由球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围成的区域Ω的体积.2、某工厂打算建造一个容积为25003m 长方体仓库，其中仓库顶的造价为200元/2m ，仓库底面造价为300元/2m ，仓库四周造价为100元/2m ，问如何设计可以使仓库的建造成本最小.。

数学分析3-期末考试真题

3 数学分析试卷
11sin sin 01(),
0 0x y xy y x f x xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩
当、已知当()()
000000lim (,),lim lim (,)lim lim (,),x y x x y y f x y f x y f x y →→→→→→判断及是否存在，并说明理由。

2222
2,()1z z z x y x y h z x y ∂++=∂∂、已知=()是由确定的。

试求的值。

222
22231 x y z a b c
++=、求椭球体上任一点的切平面于坐标轴所围四面体体积的最大值。

22
22223/222 0()4(,)(,) 0 0x y x y x y f x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
当、已知，判断的连续性及可微性。

当22265,0
x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩、已知曲线方程为求在点(1,-2,1)处的切线方程和法平面方程。

23D 36,D x dxdy y xy
+⎰⎰、求二重积分已知为如图的区域。

7I ().1x y z dxdydz x y z Ω=++Ω++=⎰⎰⎰、计算三重积分其中为平面，
与三个坐标平面围城的空间区域。

2228I cos .1
xdydz ydzdx dxdy x y z ∑++∑++=⎰⎰、求曲面积分=其中为所谓区域的外侧。

L
9I sin . L Pdx x ydy =+⎰、求曲线积分已知如图所示。

S 22I (). S 2xy yz zx dS z x y ax ++=+=⎰⎰10、求曲面积分=已知为柱面所截的曲面。

数学分析(A3)期末考试试题解答与评分标准

6
第六题，10 分
试利用 F ourier 积分公式证明： ∫
0 +∞
π sinx sinπusinux 2 du = 0 1 − u2
|x| ≥ π |x| > π
答案：令 f (x) 表示要证明的等式右边的函数； (uπ ) 利用 F ourier 积分公式，利用奇偶性可得 a(u) = 0，b(u) = sin 1−u2 ，验证傅里叶积分收敛到自身的条件，即可得到要证的等式。注记：积化和差步骤得 2 分，傅里叶级数指明收敛条件得 1 分，如果只指明了奇函数，直接带入就得到结果的，得 4 分；
（3）判断无穷乘积
(1 +
（4）研究函数项级数
n=1 +∞ ∑
x2 e−nx 在 [0, +∞) 上的一致收敛性。
∫ 1n=1 lnx （5）判断广义积分 0 √1 dx 的收敛性。 −x2 答案：（1）当 0 ≤ x < e 时，级数收敛；当 x ≥ e 时，级数发散； ∫ +∞ lnx （2）利用 Leibniz 判别法，并注意到积分 2 x dx 发散，可知原级数条件收敛； + ∞ ∑ 1 （3）注意到这是正项级数，结合收敛，可知原级数收敛； n2 n=1 （4）求导可得到该函数项级数的一个优级数
1 n2 ，结合
+∞ ∑ 1 收敛，利用 W eierstrass 判别 2 n n=1
法可知，原函数项级数一致收敛； ∫1 1 （5）利用 L′ hospital 法则说明 1 不是被积函数的瑕点，在 0 处证明被积函数和 0 √ dx 同 x 敛散即可；或者利用换元，x = sint，原积分可以显式算出，其值为 − π ln 2 ； 2 注记：（1）利用 Cauthy /D′ Alembert 等判别法或 Stirling 公式/Hardamard 收敛半径公式/等均可，若半径错误，得零分；未讨论断点值，扣 1 分；未讨论大于等于 e，扣 1 分；（2）答案是绝对收敛的，得零分；使用 Leibniz 判别法时，两个条件未指明，各扣一分；结论正确但是证明错误，得两分；不证明绝对值对应的级数发散，扣 3 分；（3）答案是发散，得零分；只指明通项趋向于零的，得两分；（4）利用优级数，并且求导说明了找到的级数确实是优级数的得满分；只指明结论的，得三分；未说明级数收敛，仅说明通项一致趋向于零的，零分；直接求和并放缩的，结论正确满分，有过程错误，扣三分；（5）答案是发散的，得零分；仅答案正确，两分；分别考虑 0 和 1 出两个点，满分；

数学分析III复习试题

级数部分（12-15章）一、叙述题1、设函数项级数∑∞=1)(n n x u 的部分和为)(x S n ，叙述∑∞=1)(n n x u 在数集D 上一致收敛于和函数)(x S 的定义2、叙述函数列)(x f n 在数集D 上一致收敛于)(x f 的定义3、叙述函数列)(x f n 在D 上不一致收敛于)(x f 的定义4、叙述∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛的柯西准则二、填空题1、级数⋅⋅⋅-+-+-5645342312的一般项是。

2、级数)21)1(1(1n n n n -+∑∞=的和为。

3、部分和数列}{n S 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的条件4、对级数∑∞=1n n u ，0lim =∞→n n u 是它收敛的条件.5、级数)3,2,1,0()1(11 =>⋅-∑∞=-n u u n n n n ，若满足条件则此级数收敛。

6、若级数∑∞=1n n u 绝对收敛，则级数∑∞=1n n u 必定；若级数∑∞=1n n u 条件收敛，则级数∑∞=1||n n u 必定。

7、幂级数n n n x n∑∞=12的收敛区间为。

8、幂级数n n x n )32(11-∑∞=的收敛区间为。

9、∑∞=--11212n n n x 的收敛区间为，和函数S(x)为。

10、nn n x a ∑∞=1在x=-3时收敛，则nn n x a ∑∞=1在3<x 时。

11．函数)1ln(x +在0=x 的麦克劳林级数是 12、)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f(x)在x =0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0x f S f x +→=-=则= 。

13、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-+=ππππx x x x x x f 0,10,)(展成以π2为周期的傅立叶级数的和函数为S(x)，则S （-3）= ，S （12）= ，S )(πk = ，k 为整数。

数学分析三试卷及答案

《数学分析》（三）――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

1.求函数11(,)f x y y x =在点（0,0）处的二次极限与二重极限。

解:11(,)f x y y x =+=,因此二重极限为0。

……（4分）因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在. ……（9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数，其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数，求dzdx.解：对两方程分别关于x 求偏导：， ……（4分）. 解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++。

……(9分）3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂. 设,,22y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续）。

解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====. ……（4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。

整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂. ……(9分）4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解：设圆桶底面半径为r ,高为h ，则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表，()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件： 21r h π=。

……(3分）构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。

数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

第三学期《数学分析》期末试题一、选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 2、=∂∂),(00|),(y x xy x f （）Ax y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000； B xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 000；Cx y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim00000； D xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000。

3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微；B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在；D 以上全不对。

4、22222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ）A 、0，0，0；B 、不存在，0，0，；C 、0，不存在，0；D 、0，0，不存在。

5、设yxez=，则=∂∂+∂∂yz y x z x（ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。

二、计算题（50分，每小题10分）1、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微；2、设⎰⎰'=-x xtx f x f dt d e x f 0)(),(,)(2求ττ；3、设有隐函数,0x y F z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中F 的偏导数连续,求z x ∂∂、z y ∂∂；4、计算(cos sin )x Ce ydx ydy -⎰，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点的光滑曲线；5、计算zdS∑⎰⎰，其中∑为22z x y =+在14z ≤的部分；三、验证或解答（满分24分，每小题8分）1、验证曲线积分⎰+++++Ldz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数；2、说明对任意),0(sin ,00)(2+∞∈>⎰+∞+-t tdx e x 关于αα均一致收敛；3、验证函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x yx xyy x f在原点（0，0）分别对每个自变数y x 或(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.四、（11分）求由方程组⎩⎨⎧=-+=++100333z y x z y x 确定的隐函数)2,1,1()(),(-==P x z z x y y 在点处的一阶导数。

数学分析期末试题(值得下载)

数学分析考试题一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（）3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（）4.xy y x f =),(在原点不可微．（）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛．（） 7.平面图形都是可求面积的．（） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替．（）二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy +=，则其全微分=dz ．2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ．3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim 22)0,0(),(+→．2．设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ．3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=Ay x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a axy x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(y x z y x +=ρ的物体V 由曲面222y x z +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量．五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向．六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1.求曲线6222=++z y x ，22y x z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：22114π=+⎰+∞dx x ．七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xx x x ab ．第三学期数学分析参考答案及评分标准一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（⨯） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（ √ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（ ⨯） 4.xy y x f =),(在原点不可微．（ √ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（ ⨯）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛．（ √ ）7.平面图形都是可求面积的．（ ⨯） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ √ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（⨯）10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替．（ √ ）二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy +=，则其全微分=dzdy y x y x x e dx y x y x y e xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++．2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)．3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy 2．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532． 5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ．三、计算题（每小题5分，共20分） 1.解：先求其对数的极限)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→．由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令，所以)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xy y x y x )(lim 22)0,0(),(+→=1．2.解：方程ze z y x =++两边对x ，y 求偏导数，得x z e x z z ∂∂=∂∂+1yze y z z ∂∂=∂∂+1 解得 11-=∂∂=∂∂z e y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=zzz z z xy e e y z e e e y z 。

《数学分析III》期末考试卷3 参考答案

红河学院XXXX —XXXX 学年秋季学期《数学分析III 》期末考试卷3参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共30分）1、ln 22、2dz dx dy =+3、1221x f f y z''-+ 4、1、113123x y z -+-==- 6、1、(1)s s + 8、11(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 9、r 10、34R π二、判断题（在正确的命题后的括号内打“○”，错误的命题后的括号内打“×”每小题2分，共10分）题号 12345答案× × ○ ○ ×三、计算题（每小题10分，共60分）1、讨论函数222222(0(,)00x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)x f 和(0,0)y f .解首先考虑(,)(0,0)lim(,)x y f x y →，引入变换cos x r θ=，cos y r θ=， ………………（2分）则(,)(0,0)x y →等价于对任意θ，0r →. 因此，222(,)(0,0)(,)(0,0)1lim (,)lim ()sinlim sin x y x y r f x y x y r r →→→=+=201lim sin0r r r→==. ………………（5分）由此可见，(,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=，所以该函数在(0,0)连续. …（6分）由偏导数的定义，200(,0)(0,0)(0,0)lim limx x x f x f f x∆→∆→∆-==∆()01lim sin0x x x∆→=∆=∆ ………………（8分）20(0,)(0,0)(0,0)limlim y y y f y f f y∆→∆→∆-==∆()01lim sin0y y y∆→=∆=∆ ………………（10分） 2、设,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.解记u x y =+，y v x =，1f f u ∂'=∂，2ff v∂'=∂，则由复合函数链式法则，122z z u z v yf f x u x v x x∂∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂∂. …………………（3分）再记2112f f u∂''=∂，212f f u v ∂''=∂∂，2222f f v ∂''=∂，…… 2122z z y f f x y y x y x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''==- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭…………………（5分） 11222221f f f f u v y u v f u y v y x u y v y x ⎛⎫''''∂∂∂∂∂∂∂∂'=+-+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭……………（7分）11122122222111y f f f f f x x x x⎛⎫'''''=+-+- ⎪⎝⎭ …………………（9分）11122222321x y y f f f f x x x -''''=+-- …………………（10分）3、制作一个无盖的长方形水箱，已知底部的造价为每平方米30元，侧面造价为每平方米10元，现用360元制作水箱，问如何设计水箱才能使其体积最大.解设水箱的长、宽、高分别为x ，y ，z 米，则该问题为求水箱体积V xyz=在限制条件3020()360xy x y z ++=（即32()360xy x y z ++-=）的最大值. …………………（3分）构造Lagrange 函数(,,,)(32()36)f x y z xyz xy x y z λλ=+++-. …（5分）下面求(,,,)f x y z λ的稳定点，由方程组(32)0(32)0(22)032()360x yz f yz y z f xz x z f xy x y f xy x y z λλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++-=⎩得2x y ==，3z =………（8分）由实际问题可知，存在使体积V 达到最大的制作方式，又由稳定点是唯一的，故该稳定点必是所求的最大值点，即用360元制作的最大体积水箱的长、宽、高分别为2、2、3米，最大体积为12立方米. ………（10分）4、计算第二型曲线积分2()LI xydx x y dy x dz =+-+⎰其中，L 是螺旋线：cos x a t =，sin y a t =，z bt =从0t =到π的一段.解由第二型曲线积分的计算公式，32222220(cos sin cos sin cos cos )I a t t a t a t t a b t dt π=-+-+⎰……（5分）3322201111sin sin (1)sin 23222a t a t a b t t π⎡⎤⎛⎫=--+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……（8分）21(1)2a b π=+ …………………（10分）5、利用极坐标变换计算二重积分D⎰⎰，其中D 为圆周221x y +=与224x y +=所包围的区域在第一象限的部分.解引入极坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， ………………（2分）则在极坐标系下，区域D 可表示为{(,)0,12}2r r πθθ∆=≤≤≤≤. ……（4分）于是，2sin Dr rdrd θθ∆=⋅⎰⎰⎰⎰ ……………（6分） /22301sin d r dr πθθ=⎰⎰ ……………（8分）154=…………（10分） 6、求由球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围成的区域Ω的体积. 解设所求区域的体积为V ，则V dxdydzΩ=⎰⎰⎰. …………………（2分）引入柱面坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， z z =，则球面方程变为 224r z +=，抛物面方程变为23r z =. …………………（4分）由方程组22243r z r z⎧+=⎨=⎩，消去z 得Ω在xy 平面上的投影区域D 的边界曲线方程r =0z =. …………（5分）于是，Ω在柱面坐标下可表示为2{(,,)02,3r r z r z θθπ≤≤≤≤≤≤， ………………（7分）所以，22220/3)3r r V dxdydz d d rdr ππθθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰2192)36r rdr ππ==………………（10分）。

陕西师范大一数学分析期末考试题

A、N 是唯一的 C、前 N 项有 | x n − a |≥ ε
B、N 是 ε 的函数 D、必有对任何 N， | x n − a |< ε
学院：适用班级：学院：数学与计算机科学学院适用班级：一二三四五六七八九总分
11、当 x → 0 时， sec x − 1 是 A、高阶无穷小 12、 lim n + 3
π π , 上满足罗尔定理的点 ξ = 4 4
，凸性区间是 17、证明不等式：当 x > 0 时， 1 + x ln( x + 1 + x 2 ) > 1 + x 2 18、若 f (x ) 在区间 I 上存在有界导数，即 ∀x ∈ I ， | f ′( x ) |≤ M ，则 f ′(x ) 在 I 上一致连续。
B、 1 −
A、 1 −
1 cos y 2
1 cos x 2
C、
2 2 − cos y
D、
2 2 − cos x
8、曲线 y = ln(e −
1 ) 具有 x
B、一条斜渐近线 C、两条垂直渐近线 D、两条斜渐近线
A、一条垂直渐近线 9、 lim
2x = x →0 | x |
B、-2 C、0 D、不存在
A、2
iiiiii4lncosxy?在???????44??上满足罗尔定理的点?5曲线xxy12??的拐点是凸性区间是6曲线xxy1??与x轴交点处的切线方程为二单项选择题每小题3分共15分7设xxysin21??则?dydxaycos211?bxcos211?cycos22?dxcos22?8曲线1lnxey??具有a一条垂直渐近线b一条斜渐近线c两条垂直渐近线d两条斜渐近线9??2lim0xxxa2b2c0d不存在10在数列极限axnn???lim的n??定义中an是唯一的bn是?的函数c前n项有???axnd必有对任何n???axn11当0?x时sec1x?是22x的a高阶无穷小b低阶无穷小c同阶无穷小c等价无穷小三计算题每小题6分共30分12nnxn3lim3???13xxxarctan2lim???141??xxy求y?1521arcsinxy??求dy16xxyarctan?求yd2四证明题每小题10分共20分17证明不等式

数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

第三学期数学分析考试题一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（）3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（）4.xy y x f =),(在原点不可微．（）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛．（） 7.平面图形都是可求面积的．（） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替．（）二、填空题（每小题3分，共15分）1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dz ． 2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．2．设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=Ay x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a axy x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(y x z y x +=ρ的物体V 由曲面222y x z +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量．五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++S dxdy z dzdx y dydz x222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向．六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．1. 求曲线6222=++z y x ，22y x z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：221140π=+⎰+∞dx x ．七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xx x x ab ．第三学期数学分析参考答案及评分标准一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（⨯） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（ √ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（ ⨯） 4.xy y x f =),(在原点不可微．（ √ ）5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（ ⨯）6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛．（ √ ）7.平面图形都是可求面积的．（⨯） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ √ ）9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（⨯）10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替．（ √ ）二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dzdy y x y x x e dx y x y x y e xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++．2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy 2 ．4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532． 5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→．解：先求其对数的极限)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→．由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令，所以)ln(lim22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xy y x y x )(lim22)0,0(),(+→=1．2．设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xy z ．解：方程ze z y x =++两边对x ，y 求偏导数，得 xze x z z∂∂=∂∂+1 y z e y z z ∂∂=∂∂+1 解得11-=∂∂=∂∂z e y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=z zz z z xy e e y z e e e y z 。

北京理工大学数学专业数学析Ⅲ试题MTHMTH

课程编号：MTH17042 北京理工大学2021-2021 学年第一学期级数学专业数学分析Ⅲ时期考试〔一〕试题()(),,,,,u u x y z v v x y z ==是3中的调和函数，S 是3中任意的分片滑腻闭曲面。

求证：SSv u udS vdS nn ∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰，其中u n ∂∂和v n∂∂别离表示函数u 和v 沿S 外法线方向的方向导数。

’Alembert 比值判别法，并利用前者证明后者。

3.判定以下级数的敛散性：〔1〕1n∞=∑ 〔2〕11nnn ∞=+⋅-〔3〕21ln 1n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 〔4〕22sinsin 1n n n ∞=-+ 〔5〕n ∞=0,1,2,n u n >=。

又设广义极限ln ln limln ln n n u nL n→∞+=存在。

求证：当1L <-〔含L =-∞〕时，级数1nn u∞=∑收敛；当1L >-〔含L =+∞〕时，级数1nn u∞=∑发散。

32sin ln n nn n α∞=∑的敛散性，包括绝对收敛性和条件收敛性，其中α是实参数。

1nn n a R∞=∑收敛，其中R>0，求证：对一切(),x R R ∈-，1nnn na x∞=∑绝对收敛。

,0n n b ∀>，且有极限1lim 10n n n b n p b →∞+⎛⎫-=> ⎪⎝⎭。

求证：数列{}n b 收敛，且lim 0n n b →∞=。

lim n n a A →∞=存在，又设1n n b ∞=∑绝对收敛。

求证：111lim nk n k n n k n a b A b ∞+-→∞===∑∑。

课程编号：MTH17042 北京理工大学2021-2021 学年第一学期2021级数学专业数学分析Ⅲ期中试卷一、〔15分〕〔1〕设数项级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均绝对收敛，问：1n nn a b∞=∑是不是必然收敛？为何？假设是1nn a∞=∑收敛，1nn b∞=∑绝对收敛，那么1n nn a b∞=∑是不是必然收敛？为何？〔2〕设lim 0n n a →∞=，()11n n n aa ∞+=-∑绝对收敛，又设1n n b ∞=∑的n 次部份和序列有界，求证：1n n n a b ∞=∑收敛。

数学分析大二第一学期考题

数学分析（III ）期末试题
一叙述题（每小题10分，共30分）
1 叙述第二类曲线积分的定义。

2 叙述Parseval 等式的内容。

3 叙述以π2为周期且在],[ππ−上可积函数)(x f 的Fourier 系数﹑Fourier 级数及其收敛定理。

二计算题（每小题10分，共50分）
1．求∫
+=l ds y x I )( ，此处l 为联结三点 )1,1( ),0,1( ),0,0(B A O 的直线段。

2．计算二重积分
∫∫Ω
+=dxdy y x I )(22。

其中 Ω是以a y a x y x y =+==,,和)0( 3>=a a y 为边的平行四边形。

3．一页长方形白纸，要求印刷面积占2 cm A ，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为cm h ，左部与右部之和为cm r ，试确定该页纸的长)(y 和宽)(x ，使得它的总面积为最小。

4．计算三重积分
∫∫∫++=V dxdydz c
z b y a x I )(222222。

其中V 是椭球体122
2222≤++c
z b y a x 。

5．计算含参变量积分)0( 0>>−∫∞
+−−a b dx x
e e bx
ax 的值。

三讨论题（每小题10分，共20分） 1 已知y
x u arccos =，试确定二阶偏导数y x u ∂∂∂2与x y u ∂∂∂2的关系。

2 讨论积分
dx x x x x q p ∫∞++πcos 的敛散性。

数学分析期末复习题

13数学分析(三)复习范围一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题2. 求隐函数(组)的一阶偏导数3. 求抽象函数的二阶偏导数4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程5. 求函数的极值6. 计算第一型曲面积分7. 计算第二型曲面积分8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππp sin ，计算⎰+∞+01n x dx 类积分值二、解答与证明题(第小题10分，共30分)1. 用定义证明多元函数的极限2. 证明多元函数的连续性3. 研究含参量积分的一致收敛性4. 证明含参量非正常积分的连续性5. 三重积分的证明题6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题7. 证明二重极限不存在8. 多元函数的可微性证明例题一、计算题1. 全微分计算题公式：du=u x ∂∂dx+u y ∂∂dy+uz∂∂dz 。

例1：求函数u=2222z x x y -+的全微分；例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。

2. 求隐函数(组)的偏导数例3：设zy e z x +=，求yx z ∂∂∂2。

例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dxdz。

3. 求抽象函数的二阶偏导数例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u∂∂∂2，22u y ∂∂其中f 具有二阶连续的偏导数；例6：设u=f(x 2-y 2，xye )，求yx u∂∂∂2，其中f 具有二阶连续偏导数。

4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。

西南财大《数学分析(III)》期末模拟试题

更多资料请戳:/study09/西南财经大学2006 － 2007学年第一学期数学与应用数学专业本科 2005 级（ 2 年级 1 学期）学号评定成绩（分）学生姓名担任教师尹正《数学分析Ⅲ》期末闭卷考试题（下述 1 — 3 大题全作计100分，两小时完卷）考试日期： ..一、填空题（每空2分，共30分）1．函数32(,)32f x y x x y y =-++的极小值点是。

2．设yz u x =，则du = 。

3．设可导函数()y y x =满足方程sin s y hy x +=，则'()y x = 。

4．设22()y x y yF y e dy -=⎰，则'()F y = 。

5．设22sin()(,),x y x yt x yF x y e dt +-+=⎰则Fy∂=∂ 。

6．设积分2312(),()DDI x y d I x y d σσ=+=+⎰⎰⎰⎰，其中，22:(2)(1)1D x y -+-≤，则它们的大小关系为1I 2I 。

7．使二重积分22(44)Dx y d σ--⎰⎰达最大的平面闭区域D 为。

8．交换积分次序，110(,)dx f x y dy =⎰ 。

9．积分1arcsin 0arcsin yydy xdx π-=⎰⎰。

10．设积分22()LI x y ds =+⎰，其中，:3cos ,3sin ,02L x t y t t π==≤≤，则I= 。

11．曲线积分33242(4341)(3652)LI x y y y dx x y xy x dy =-+++-++⎰其中：22:1(0,0)L x y x y +=≥≥沿逆时针方向，则I= 。

12．设S 是平面4x y z ++=被圆柱面221x y +=截出的有限部分，则曲面积分||sy ds =⎰⎰ 。

13．计算全微分式的线积分(1,1)(0,0)()()x y dx dy --=⎰。

《数学分析III》期末试卷+参考答案

《数学分析（III ）》试题2005.1一．在球面上找点，满足，，，使得该球面在点处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。

1222=++z y x ),,(0000z y x P 00>x 00>y 00>z 0P二．求球面（）被平面2222a z y x =++0>a 4a z =与2az =所夹部分的面积。

三．计算二重积分()∫∫+Ddxdy x y x 24，其中是由D x 轴，直线x y =以及曲线1=+y x ，2=+y x 所围成的平面闭区域。

四．计算三重积分∫∫∫，其中。

Ωdxdydz e z ||}1|),,({222≤++=Ωz y x z y x五．计算曲线积分∫+Lds z y 222，其中L 是球面（）与平面2222a z y x =++0>a y x =相交而成的圆周。

六．计算曲面积分，其中∫∫Σ++dxdy z dzdx y dydz x 222Σ为锥面在平面与（）之间的部分，定向为下侧。

222z y x =+0=z h z =0>h七．设是右半平面j i λλ)()(2),(24224y x x y x xy y x A +−+=}0|),({>=x y x D 上的向量场，试确定常数λ，使得为上函数的梯度场，并求出。

),(y x A D ),(y x u ),(y x u八．将|（sin |)(x x f =ππ≤≤−x ）展开为Fourier 级数，并分别求级数∑∞=−12141n n ，()∑∞=−122141n n的和。

九．设∫∞++=12)1(cos )(dt t t xtx f ，),(∞+−∞∈x 。

（1）证明积分∫∞++12)1(cos dt t t xt关于x 在),(∞+−∞上一致收敛；（2）证明；0)(lim =+∞→x f x （3）证明在上一致连续。

)(x f ),(∞+−∞《数学分析（III ）》试题答案2005.1一．（本题满分10分）33000===z y x 。

《数学分析III》期末考试卷及参考答案05

第 1 页共 6 页数学分析下册期末试题及参考答案05一、填空题（第1题每空2分，第2、3、4、5、6题每题4分，共26分）1、已知、已知 22xy u e-=,，则u x¶¶= ，uy¶=¶ ， du = ；2、cos sin x ar y br q q =ìí=î，则(,)J r q = ；3、设L ：cos sin x a t y b t=ìí=î 0t p ££，则22()Lx y ds +ò= ；4、120(,)ydyf x y dx òò交换积分顺序后为：交换积分顺序后为：； 5、2221x y I x ydxdy +£=òò= ；6、令设222L x y a +=：，则Lydx xdy -=ò . 第 2 页共 6 页二、判断题（对的打√，错的打×，每空3分，共15分）1、若函数(,)z f x y =的重极限和两个累次极限都存在，的重极限和两个累次极限都存在，则他们必相等；则他们必相等；（）2、若函数(,)z f x y =在00(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点00(,)x y 一定连续；一定连续；（）3、若函数(,)z f x y =在闭区域D 上连续，则函数(,)z f x y =在D 上可积；上可积；（）4、(,,)P x y z 是定义在双侧曲面S 上的函数，则上的函数，则(,,)(,,)SSP x y z dxdy P x y z dxdy =-òòòò；（）5、若函数(,)z f x y =的偏导数在00(,)x y 的邻域内存在，则(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（）三、计算题（第3、6题各7分，其余每题8分，共46分）1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积. 得分分阅卷人阅卷人得分分阅卷人阅卷人第 3 页共 6 页2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域. 3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积的面积任教姓学考生答题不得过此线密封线课教师：学班号：名：号：装订线第 4 页共 6 页4、计算第二型曲面积分：1SI dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧. 5、计算22()SI x y ds =+òò，其中S 为立体221x y z +££的边界曲面.第 5 页共 6 页6、利用高斯公式计算235SI xdydz ydzdx zdxdy =++òò，其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧. 四、证明题（四、证明题（66分）1、证明(3sin )(cos )x y dx x y dy ++是全微分，并求原函数(,)u x y得分分阅卷人阅卷人考生答题不得过此线密封线任课教师：教学班号：姓名：学号：装订线得分分阅卷人阅卷人第 7 页共 6 页1、求曲面22z x y =+与22z x y =+所围立体的体积解：设所求体积为V,V,则则2222[()]xyD V x y x y dxdy =+-+òò，其中，22:1xy D x y +£（3分），令cos ,sin x r y r q q ==，则xy D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以，，所以， 21200()V d r r rdr pq =-òò(5分)＝6p （8分）分）2、计算222VI x y z dxdydz =++òòò，其中V 是由222x y z z ++=-所围成的区域解：令sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r j q j q j ===(2分)，则V 可表示为：02,,0cos 2r pq p j p j ££££££-（4分），所以, 222VI x y z dxdydz =++òòò=2cos 3002sin d d r dr ppjp q j j -òòò(5分) ＝10p（8分）3、利用二重积分计算椭圆面：22221x y a b+£的面积解：设所求面积为S,则Ds dxdy =òò，其中D 为：22221x y a b +£（2分），令cos ,sin x ar y br q q ==（3分），则D 可表示为：02,01r q p ££££（4分），所以， 2100S d abrdr pq =òò（5分），所以S ab p =（7分）. 4、计算第二型曲面积分：1S I dxdy z =òò，其中S 是椭球面2222221x y z a b c ++=的外侧解：记1S 为椭球面0z ³的一侧，2S 为椭球面0z £的一侧，则的一侧，则12111S S SI dxdy dxdy dxdy z z z ==+òòòòòò（2分），则12,S S 在xoy 面上的投影都是2222:1xy x y D a b +£（3分），所以222222221111xyxyDD I dxdy dxdy x y x y c c aba b =------òòòò22221x y c a b --21dr c r-＝4ab cp（，则221x y z z ++=22x y =+，则2212x y z z ++=（22222)+2)+＝(12)2p +23Sxdydz ydzdx +òò235Sxdydz ydzdx =++òò分），所以10I =D 44033p p ´=分）分）则y x ==¶¶，所以第 9 页共 6 页则00(,)(3sin )(cos )3cos x yM Mu x y x y dx x y dy xdx x ydy =++=+òòòò（5分）分）＝23sin 2x x y +（6分）（说明：原函数可以直接观察得出！）五、应用题（五、应用题（77分）一页长方形白纸，要求印刷面积占2Acm ,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为：a b h +=cm,左部与右部宽度之和为：c d r +=cm (A,r,h 为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)，使它的面积最小.解：由题意，目标函数与约束条件分别为xy S =与.))(( , ,A h y r x h y r x =-->>（1分）作Lagrange 函数],))([(A h y r x xy L ---+=l （2分）则有分）则有ïîïíì=---==-+==-+=.0))(( ,0)( ,0)(A h y r x L r x x L h y y L yx l l l （3分）分）由此解得由此解得, , 111r h Ah x y r l l l l l æö===-+ç÷ç÷++èø（5分）分）于是有于是有. ,h rAhy r h Arx +=+=（6分）分）根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的..（7分）分）。