中学三角函数不等式
三角函数不等式练习题及解答
三角函数不等式练习题及解答一、简介三角函数是数学中的一类特殊函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在解三角函数不等式时，我们需要运用这些函数的性质和相关的数学知识。
本文将为大家提供一些三角函数不等式的练习题及解答，帮助大家更好地掌握这一内容。
二、练习题与解答1. 解不等式sin(x) > 0的解集。
解析：根据正弦函数的性质可知，当角度x在区间(0, π)和(2π, 3π)等以π为周期的区间时，sin(x) > 0。
因此，该不等式的解集为S = {x | x∈ (0, π) ∪ (2π, 3π)}。
2. 解不等式cos(2x) ≥ 0的解集。
解析：将不等式转化为等价形式，cos(2x) = 0。
则有2x = π/2 + kπ (k 为整数) 或2x = 3π/2 + kπ (k为整数)。
化简得x = π/4 + kπ/2 或x = 3π/4+ kπ/2。
因此，该不等式的解集为S = {x | x ∈ [π/4 + kπ/2, 3π/4 + kπ/2]，k为整数}。
3. 解不等式tan(x) < 2的解集。
解析：tan(x) < 2可转化为tan(x) - 2 < 0。
根据正切函数的性质可知，tan(x) - 2 < 0的解集为角度x在区间(-π/4, arctan(2))和(arctan(2) + kπ, π/4+ kπ)，其中k为整数。
因此，该不等式的解集为S = {x | x ∈ (-π/4, arctan(2)) ∪ (arctan(2) + kπ, π/4 + kπ)，k为整数}。
4. 解不等式sin(3x) ≤ cos(2x)的解集。
解析：将不等式转化为等价形式得sin(3x) - cos(2x) ≤ 0。
对于这种类型的不等式，我们可以使用图像法和代数法来求解。
图像法解析：将sin(3x)和cos(2x)的图像绘制在同一坐标系中，找到它们的交点，即满足sin(3x) - cos(2x) ≤ 0的解集。
数学中的三角恒等式与三角不等式
数学中的三角恒等式与三角不等式三角恒等式是指在三角函数中成立的等式关系，而三角不等式则是指在三角函数中成立的不等式关系。
这两个概念在数学中具有重要的意义，不仅在解题过程中有着广泛的应用，而且在理论推导和证明中也起到了关键的作用。
本文将从三角恒等式和三角不等式的定义、性质以及应用等方面进行论述。
一、三角恒等式1. 定义三角恒等式是指在三角函数中成立的等式关系。
常见的三角恒等式包括正弦函数、余弦函数和正切函数的恒等式。
例如，正弦函数的恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1是最为著名的三角恒等式之一。
2. 性质三角恒等式具有以下几个重要的性质：（1）对于任意实数θ，三角恒等式都成立；（2）三角恒等式在数学推导和证明中起到了重要的作用；（3）三角恒等式可以用来简化复杂的三角函数表达式；（4）三角恒等式的证明可以通过几何方法、代数方法以及三角函数的性质等多种途径。
3. 应用三角恒等式在数学中有着广泛的应用，特别是在解三角方程、求极限、求导数等方面。
通过运用三角恒等式，可以简化问题的解题过程，提高解题的效率。
此外，三角恒等式在物理学、工程学等实际应用中也有着重要的作用。
二、三角不等式1. 定义三角不等式是指在三角函数中成立的不等式关系。
常见的三角不等式包括正弦函数、余弦函数和正切函数的不等式。
例如，正弦函数的不等式sinθ < 1是最为常见的三角不等式之一。
2. 性质三角不等式具有以下几个重要的性质：（1）对于任意实数θ，三角不等式都成立；（2）三角不等式可以用来判断三角函数的取值范围；（3）三角不等式在数学推导和证明中起到了重要的作用；（4）三角不等式的证明可以通过几何方法、代数方法以及三角函数的性质等多种途径。
3. 应用三角不等式在数学中也有着广泛的应用。
它可以用来证明三角函数的性质，判断三角函数的增减性，以及解决与三角函数相关的不等式问题。
此外，三角不等式在几何学、物理学等领域中也有着重要的应用。
高中三角函数三角函数的不等式与最值问题
高中三角函数三角函数的不等式与最值问题在高中数学学习中，三角函数是一个重要的章节。
除了学习三角函数的定义、性质和图像等基本知识外，我们还需要掌握三角函数的不等式和最值问题的解决方法。
本文将为大家详细介绍高中三角函数的不等式与最值问题，并提供相应的解决思路和方法。
一、三角函数的不等式1. 正弦函数的不等式正弦函数的定义域为实数集，而正弦函数的值的范围在[-1, 1]之间。
因此，当我们解决正弦函数的不等式时，可按照以下步骤进行：（1）确定不等式的定义域；（2）将不等式中的正弦函数转化为关于θ的等价不等式；（3）根据正弦函数在不同区间上的增减性质，求解等价不等式，得到不等式的解集。
例如，解不等式sinθ > 0，我们可以按照上述步骤进行求解：（1）由于正弦函数的定义域为实数集，故不等式的定义域为全体实数；（2）将不等式sinθ > 0转化为等价不等式：0 < sinθ < 1；（3）根据正弦函数在不同区间上的增减性质，我们可以得到不等式的解集为：θ ∈ (2kπ, 2kπ + π/2)，其中k ∈ Z。
2. 余弦函数的不等式余弦函数的定义域为实数集，而余弦函数的值的范围在[-1, 1]之间。
因此，当我们解决余弦函数的不等式时，可按照以下步骤进行：（1）确定不等式的定义域；（2）将不等式中的余弦函数转化为关于θ的等价不等式；（3）根据余弦函数在不同区间上的增减性质，求解等价不等式，得到不等式的解集。
例如，解不等式cosθ ≥ 0，我们可以按照上述步骤进行求解：（1）由于余弦函数的定义域为实数集，故不等式的定义域为全体实数；（2）将不等式cosθ ≥ 0转化为等价不等式：cosθ > -1 或cosθ < 1；（3）根据余弦函数在不同区间上的增减性质，我们可以得到不等式的解集为：θ ∈ (-2kπ, -2kπ + π/2) U (2kπ, 2kπ + π)，其中k ∈ Z。
初中数学知识点三角函数的方程与不等式
初中数学知识点三角函数的方程与不等式初中数学知识点：三角函数的方程与不等式三角函数在初中数学中是一个重要的知识点，它不仅应用广泛，而且在解方程和不等式中起到了关键作用。
本文将介绍三角函数方程和不等式的基本概念、解法和一些常见的例题。
一、三角函数的基本概念1. 正弦函数和余弦函数在解析几何中，正弦函数和余弦函数描述了一个单位圆上一点的坐标。
对于角度θ，正弦函数sin(θ)等于y坐标，余弦函数cos(θ)等于x坐标。
它们的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
2. 正切函数和余切函数正切函数tan(θ)等于正弦函数除以余弦函数，余切函数cot(θ)等于余弦函数除以正弦函数。
它们的定义域是实数集，但在θ为90°的倍数时，正切函数和余切函数的值不存在。
3. 反三角函数为了解决三角函数方程和不等式，我们需要借助反三角函数。
反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)和反正切函数arctan(x)分别表示对应三角函数的角度值。
它们的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
二、三角函数方程的解法1. 根据定义法解方程当三角函数方程中出现特定角度值时，可以直接利用三角函数的定义求解。
例如，对于sin(θ) = 0，解为θ = 0°，180°，360°，...2. 利用三角函数的周期性解方程由于三角函数具有周期性，对于形如sin(θ) = sin(α)或cos(θ) = cos(α)的方程，可利用周期性求解。
例如，对于sin(θ) = sin(α)，解为θ = α +2kπ或θ = π - α + 2kπ，其中k为整数。
3. 利用反三角函数解方程当三角函数方程中出现反三角函数时，可以利用反三角函数解方程。
例如，对于sin(θ) = a，解为θ = arcsin(a) + 2kπ或θ = π - arcsin(a) + 2kπ，其中k为整数。
三、三角函数不等式的解法1. 利用图像法解不等式通过绘制三角函数的图像，并根据其递增递减性质，可以解决一些简单的三角函数不等式。
三角函数型不等式恒成立问题的7种策略
三角函数型不等式恒成立问题的7种策略
三角函数型不等式是一系列十分重要的数学问题，它往往会让学生困惑，因此，学习它的有效策略，是不可缺少的。
下面介绍一些解决三角函数型不等式问题的策略：
一、掌握三角函数加强基础：搞清三角函数的定义，学会把几何图形映射到三
角函数的概念；掌握三角函数的性质，对不等式的解及解题思路做正确的认识；学会三角函数的各种运算，以及它们的图像和几何意义。
二、学会分类解题：将三角函数型不等式分成几类来解决，如按不等式中函数
的奇偶性，及不等式转移性来解题，有一定的规律，也更方便理解它的每一个解；
三、熟记基本定理：学习和理解像柯西不等式、分式不等式、有理函数不等式
等基本定理，以及它们的证明过程，尤其是分歧不等式定理等，可以加深对三角函数型不等式的理解；
四、合理分解：将复杂的三角函数的不等式分解成几个解决起来比较容易的不
等式，然后将其逐个解答，把一个很长的不等式变成几个比较小的不等式，以便于解决；
五、学会使用图论：分图法，是三角函数型不等式问题最常用的解决方法，它
要求我们在象限上画出性质函数的图形，由于几何图像可以使不等式变得更清晰；
六、探究三角函数的关系：学习和理解相关的公式，学会把一些经典例题及它
们之间的联系记住；
七、练习精解三角函数：背诵常用的公式和定理：通过多练习，使自己能更敏
锐地发现问题的特点，从而更准确、快速地解答不等式。
以上是解决三角函数型不等式问题的7种策略，希望可以为学生提供一定的帮助，让他们更加明白三角函数型不等式，学会如何有效解决这类问题，为研究长进打下坚实的基础。
高考数学 三角函数和不等式
三角函数一．三角函数的图象和性质sin cos x x ≤≤11，yxO-π2 π2πy t g x =对称点为，，k k Z π20⎛⎝ ⎫⎭⎪∈ ()y x k k k Z =-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥∈s i n 的增区间为，2222ππππ ()减区间为，22232k k k Z ππππ++⎡⎣⎢⎤⎦⎥∈ ()()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ02=+∈ []()y x k k k Z =+∈c o s的增区间为，22πππ []()减区间为，222k k k Z ππππ++∈()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ+⎛⎝⎫⎭⎪=∈2y x k k k Z =-+⎛⎝⎫⎭⎪∈t a n 的增区间为，ππππ22 二．()()[]ϕωϕω+=x A y cos +x Asin =y .或的图象和性质要熟记。
正弦型函数 （）振幅，周期12||||A T =πω ()若，则为对称轴。
f x A x x 00=±=()()若，则，为对称点，反之也对。
f x x 0000= （）五点作图：令依次为，，，，，求出与，依点202322ωϕππππx x y + （x ，y ）作图象。
（）根据图象求解析式。
（求、、值）3A ωϕ如图列出ωϕωϕπ()()x x 1202+=+=⎧⎨⎪⎩⎪解条件组求、值ωϕ()∆正切型函数，y A x T =+=tan ||ωϕπω 三．三角函数的图象和性质的应用. 1。
在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
如：，，，求值。
cos x x x +⎛⎝⎫⎭⎪=-∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥πππ62232 （∵，∴，∴，∴）ππππππππ<<<+<+==x x x x 327665365413122. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ 如：函数的值域是y x x =+sin sin||[][]（时，，，时，，∴，）x ≥=∈-<=∈-02220022y x x y y sin 3. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换）平移公式：（）点（，），平移至（，），则1P x y a h k P x y x x h y y k →=−→−−−−−=+=+⎧⎨⎩()''''' （）曲线，沿向量，平移后的方程为，200f x y a h k f x h y k ()()()==--=→如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的y x y x =-⎛⎝⎫⎭⎪-=2241sin sin π图象？ （横坐标伸长到原来的倍y x y x =-⎛⎝⎫⎭⎪-−→−−−−−−−−−=⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-22412212412sin sin ππ =-⎛⎝ ⎫⎭⎪-−→−−−−−−=-−→−−−−−−=24142121sin sin sin x y x y x ππ左平移个单位上平移个单位纵坐标缩短到原来的倍）12−→−−−−−−−−−=y x sin 四．公式的联系1．.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式如：··142222=+=-===sin cos sec tan tan cot cos sec tanααααααααπ ===sincos π20……称为的代换。
高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧
高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧高考数学中，三角函数方程和不等式的求解是一个重要的考点。
掌握了相关的求解技巧，不仅可以提升数学成绩，还能在解决实际问题时起到关键作用。
本文将介绍一些常见的三角函数方程和不等式求解技巧，希望能对广大考生有所帮助。
一、三角函数方程的求解技巧1. 化简与等价变形在解三角函数方程时，首先要将复杂的方程化简为简单的形式。
通过等价变形，将方程转化为更易求解的形式，例如利用倒数公式、和差化积公式、和差化简等。
2. 观察周期性大多数三角函数具有周期性。
因此，在求解三角函数方程时，要充分利用函数图像的周期性质。
可以通过观察函数值的变化规律，找到方程在一个周期内的解，并推广到整个定义域。
3. 递推思想当遇到复杂的三角函数方程时，可以通过递推思想来解决。
即将方程中的变量逐步代入，化简为只含有一个未知数的方程，并逐步求解得到最终结果。
4. 回代与验证在得到方程的解后，要进行回代与验证。
将解代入原方程，验证等式是否成立。
如果成立，则解是方程的解；如果不成立，则需要重新检查求解过程。
二、三角函数不等式的求解技巧1. 图像法在解三角函数不等式时，可以绘制函数的图像来直观地找到不等式的解集。
通过观察图像的上升和下降趋势，确定不等式的取值范围。
2. 移项与化简与方程求解类似，不等式的求解也要通过移项和化简来将复杂的不等式转化为简单的形式。
通过等价变形，将不等式转化为更易求解的形式。
3. 考虑周期性与对称性三角函数的周期性和对称性是解三角函数不等式的重要技巧。
利用函数图像的周期性和对称性，可以将不等式的解集缩小到一个周期内，然后推广到整个定义域。
4. 关系式的转化有时候，将不等式转化为等价的关系式，可以更方便地求解。
例如，将不等式化为方程，然后根据方程的解集求解不等式的解集。
总结：高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧可以通过化简与等价变形、观察周期性、递推思想、图像法、移项与化简、考虑周期性与对称性、关系式的转化等方法来解决。
第24讲_三角不等式
第四讲 三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题例1 已知α、β为锐角，且()02x παβ+->，求证对一切0x ≠，有(cos )(sin )x x αβ<分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x x α=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x x α=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明 （1）若x >0，则2παβ+>，则022ππβα>>->，由正弦函数的单调性，得0sin()sin 12παβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )x x αβ<．（2）若x <0，则2παβ+<，则022ππβα<<-<，由正弦函数的单调性，得0s i n s i n ()12πβα<<-<，即0s i n c o s 1βα<<<，又x <0，故有(cos )(sin )x x αβ<．说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2πα±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知0απ<<，试比较2sin2α和cot 2α的大小．分析 两个式子分别含有2α与2α的三角函数，故可考虑都化为α的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一2sin 21cos 4sin cos tan4sin cos 2sin cot2ααααααααα-== =2214cos 4cos 4(cos )12ααα-=--+，∵0απ<<，所以当1cos 2α=，即3πα=时，上式有最大值1，当0απ<<且3πα≠时，上式总小于1．因此，当3πα=时，2sin2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．解法二 设tan2t α=，由0απ<<得022απ<<，故tan 02t α=>，则1cot 2tα=，2224(1)22sin 24sin cos (1)t t t ααα-⋅==+，于是有 cot 2α-2sin2α=2422222222214(1)2961(31)0(1)(1)(1)t t t t t t t t t t t -⋅-+--==≥+++ 因此，当3πα=时，2sin2α=cot 2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．例3 已知[0,]x π∈，求证：cos(sin x )>sin(cos x )分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．证法一 （1）当0,,2x ππ=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．（2）当2x ππ<<时，0s i n 12x π<<<，cos 02x π-<<，则cos(sin x )>0>sin(cos x )． （3）当02x π<<时，有0<sin x <x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，从而有cos(sin x )>cos x ；而0c o s 2x π<<，则sin(cos x )<cos x ，因此cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )．分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二 当02x π<<时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且sin x +cos x )4x π+2π≤，即0<sin x <2π-cos x <2π，而函数y =cos x在(0,)2π上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2π-cos x )=sin(cos x )，即cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．说明 （1）本题的证明运用到结论：(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2π<，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x R ∈.情景再现1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.2．已知,(0,)2x y π∈，tan 3tan x y =，求证：6x y π-≤.3．当[0,]2x π∈时，求证：coscos sinsin x x >.B 类例题例4 在ABC ∆中，证明： sin sin sin A B C ++≤分析一 本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．证法一 我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.sin sin sin 2sincos sin 22A B A B A B C C +-++=+2cos cos sin 22c A BC -=+，显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C ++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3π时，sin sin sin A B C ++，∴原不等式得证． 说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二 即证sin sin sin 3A B C ++观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．证法二 函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123sin sin sin sin()33x x x x x x ++++≥，等号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin()33A B C A B C++++≥，从而有sin sin sin 180sin 33A B C ++︒≤=，因此原不等式成立． 说明 本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸x )为上凸函数，不等号反向．例5 已知,,x y z R ∈,02x y z π<<<<．求证：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y zπ++>++（90年国家集训队测试题）分析 将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明 即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4x y y z x x y y z z π++>++即证明sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4x x y y y z z z π>-+-+注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4π为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例6 63)cos()2sin 24sin cos a πθθθθ+-+-+36a <+对于[0,]2πθ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）分析 所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos()cos )4πθθθ-=+，sin22sin cos θθθ=，因此考虑令sin cos x θθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解 设sin cos x θθ+=，则2cos(),sin 2142x x πθθ-==-，当[0,]2πθ∈时，x ⎡∈⎣．从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x ++--<+，即26223340x ax x a x ---++>，222()3()0x x a x a x x +--+->，()2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭∴原不等式等价于不等式（1），1,,230x x ⎡∈∴-<⎣（1）不等式恒成立等价于()20x a x x⎡+-<∈⎣恒成立．从而只要m a x 2()()a x x x ⎡>+∈⎣．又2()f x x x =+在⎡⎣上递减，m a x 2()3()x x x⎡∴+=∈⎣，所以3a >． 例7 三个数a ,b ,c ∈(0,)2π，且满足cos a a =，sincos b b =，cossin c c =，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）分析 比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sincos cos b b b =<，cossin cos c c c =>，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a 与b ，由cos sin cos a ab b==，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解 （1）若a b =，则cos si n cos a a =，但由c o s a (0,)2π∈，故有cos si n cos a a >矛盾，即a ≠b ．（2）若a b <，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sincos a b <，而sincos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．类似地，若c a =，则由题意可得cos cossin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则s i n s i n c a a <<，即s i n c a <，cossin cos c a ∴>，即c a >矛盾．综上可得：b a c <<．说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC 中，求证：（1）3sinsin sin 2222A B C ++≤；（2）sin sin sin A B C ． 5．设12x y z π≥≥≥，且2x y z π++=，求乘积cos sin cos x y z 的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥（2004年福建省数学竞赛题）C 类例题例8 已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一 不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．解法一 设22()cos (1)(1)sin f x x x x x θθ=--+-， 则由[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，有(0)sin 0f θ=>，(1)cos 0f θ=>，22()([(12(12(1f x x x x x x ∴=+----(1)x x --21[(12(1)(02x x x =--->，当x =(10x -=，令0x =，则001x <<，0001()2(1)02f x x x =->12>，即1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，所求范围是：522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈，反之，当522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈时，有1sin 22θ>，且s i n 0,c o s 0θθ>>，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立．分析二 不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．解法二 由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有()f x =22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->，即2()(cos 1sin )(12sin )sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为12sin 2(cos sin 1)x θθθ+=++[0,1]∈，故必有24(cos sin 1)sin (12sin )04(cos sin 1)θθθθθθ++-+>++，即4cos sin 10θθ->，1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈． 分析三 原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )． 解法三 原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1x x -cos θ+1x x-sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x -cos θ+1xx-sin θ≥，∴1x x -cos θ+1xx-sin θ的最小值为，等号当1x x -cos θ=1x x -sin θ即x =时取到，因此．∴1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈． 例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有()1cos sin cos2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：222a b +≤，221A B +≤．（1977第十九届IMO ） 分析 根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成()1))0f x x x θϕ=++≥，其中x 为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．证明 若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立； 故下设220a b +≠，220A B +≠： 令sin θθϕϕ===()1))f x x x θϕ=++，即对于一切实数x ，都有()1))0f x x x θϕ=++≥（1）()1))02f x x x πθϕ+=++≥ （2）（1）+（2）得：2)cos()]0x x θθ+++≥，即sin()cos()x x θθ+++≤对于一切实数x ≥因此222a b +≤．()1))0f x x x πθϕ+=++≥ （3）（1）+（3）得：2)0x ϕ-+≥，即sin(2)x ϕ+1≥，∴ 221A B +≤．例10 设αβγπ++=，求证：对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z 有222sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤分析 由0x y z ++=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，即可得证．证明 由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得， 不等式左边=2222222[sin sin (sin sin sin )]y x xy αβαβγ-+++- （1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．；（2）当sin 0α≠，整理成y 的二次方程，证△≤0． 左边2222(sin sin sin )[sin ]2sin x y αβγαα+-=-+22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--+， 由222222(sin sin sin )4sin sin αβγαβ+--222222(sin sin sin 2sin sin )(sin sin sin 2sin sin )αβγαβαβγαβ=+-++--2sin sin [1cos()]2sin sin [1cos()]αβαβαβαβ=-+⋅--+2224sin sin [1cos ()]0αβαβ=--+≤，∴22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--0≤，∴不等式左边0≤成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>习题1．求证：对所有实数,x y ，均有22cos cos cos 3x y xy +-<． 2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1A B C > 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin sin sin 2A B C ++>4．求证：222sin (cos(sin )sin(cos )2sin (44x x ππ≤-≤5．已知,(0,)2παβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成一个三角形？6．已知,αβ为锐角，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥ 7．已知A +B +C =π，求证：222tan tan tan 1222A B C ++≥ 8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：3π≥++++c b a cC bB aA ．9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：12tan tan tan 3nnnnA B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知02πθ<<，,0a b >，求证：223332()sin cos a b a b θθ+≥+11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠P AB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．12．解方程coscoscoscos sinsinsinsin x x =（1995年全俄竞赛题）本节“情景再现”解答：1．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相加得证．2．证明：由已知得tan 3tan tan x y y =>及,(0,)2x y π∈知，x y >，从而(0,)2x y π-∈，要证6x y π-≤，只须证明tan()tan 6x y π-≤=，由于2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x y yx y x y y--==++，于是问题归结为证22tan 13tan y y ≤+，即21)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立．3．证法一：当x ∈(0,2π)时，∵0<sin x <x <2π,∴sinsin x <sin x ,再比较sin x 与coscos x 的大小，由sin x =cos (2π-x )，即比较(2π-x )与cos x ，而cos x =sin (2π-x ),因此(2π-x )＞cos x ，从而cos (2π-x )<coscos x ，即sin x <coscos x ，从而得证．证法二： sin x +cos x 2π≤，即0<cos x <2π-sin x <2π， 所以cos(cos x )>cos(2π-sin x )=sin(sin x )． 4．证明：（1）由琴生不等式即得．（2sin sin sin sin 33A B C A B C ++++≤，从而得证． 5．解：由条件知，312x y z ππ≥≥≥≥，()222123x y z ππππ=-+≤-⨯=，sin()0y z -≥，于是cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2x y z y z ++-1cos sin()2x y z ≥+22111cos cos 2238x π=≥=，当,312x y z ππ===时取等号，故最小值为18（y 与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）．又cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2z x y x y +--211cos sin()cos 22z x y z ≤+=21cos 212π≤，且当5,1224z x y ππ===时等号成立，故cos sin cos x y z6．证明：设()|s i n c o s t a n c o t f x x x x x x x=+++++，sin cos t x x=+，则有21sin cos 2t x x -=，2222()||11t f x t t t =++--22|||11|11t t t t =+=-++-- 当1t >时，2()1111f x t t =-++≥-； 当1t <时，2()(1)111f x t t =--+-≥-因此|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥．7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立．同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），1[(1)(2)(3)]2⨯++即得所要证的不等式． 8．证明：2242tan2tan4tan222sin tan 4tan 21tan 1tan 1tan 222ααααααααα+=+=>+--， 0,tan,sin tan 4tan22222πααααααα<<∴>∴+>>，同理得另两个，命题得证．“习题”解答：1．证明：22cos cos cos 3x y xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则22cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则222,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2224,,*x y nk k n N π=∈，则,,*xy k n N =∈，cos 1xy ≠-，因此等号不成立．2．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tan tan tan 1A B C >．3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+22cos cos cos cos cos cos B B A A B A >+=+，三式相加得证．4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(cos )2x x x x π-=--cos sin cos sin 2sin()sin()4242x x x xππ+-=--又cos sin 2x x ±≤ cos sin 4424x x πππ±≤-≤，又04π>，4π2π<，由正弦函数在[0,]2π上的单调性可知，原不等式成立．5．证法一：sin sin 2sincos2sincossin()2222αβαβαβαβαβαβ+-+++=>=+ |sin sin |2cos|sin|2cossinsin()2222αβαβαβαβαβαβ+-++-=<=+，因此可以构成三角形．证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．6．解：左222222214145tan 4cot 9cos sin sin 2cos sin ααααβαα=+≥+=++≥． 7．证：左tantan tan tan tan tan 222222A B B C C A ≥++ tan tan tan (tan tan )22222A B C B A=++ tantan cot tan (1tan tan )1222222A B A B A B A B ++≥+-=8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，而x y z ++≥，代入得323xyz ≥，故123n n n nx y z +++≥≥．10．证明：要证原不等式，即证222333()()sin cos a b a b θθ+≥+，即2222222sin cos sin cos a b aba b θθθθ++≥++上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化即证222222sin cos cot tan 2sin cos a b abθθθθθθ+++≥即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θθθθ+++≥因为22222c o t 2t a n c o t t a n t a a a b a a b a b b θθθθθ+=++，同理可得22tan 2cot b ab θθ+≥11．证明：如图，P A sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=P A sin θ4，三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5 sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ66123456sin sin sin sin sin sin 6θθθθθθ+++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭661234561sin ()62θθθθθθ+++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而sin 1θsin θ2 sin θ331()2≤，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于12，不妨设sin 1θ12≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．12．解：考虑周期性，只要先解决[0,2)x π∈的解的情况，而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解．由于[0,]2x π∈时有coscos sinsin x x >，将x 换成cos cos x 得（换成sinsin x也可以）：coscoscoscos sinsincoscos x x >，又由于sin sin y x =在[0,]2x π∈时为增函数，因此有sinsincoscos sinsinsinsin x x >，综上可得：coscoscoscos sinsinsinsin x x >，因此原方程无解． 当(,)2x ππ∈时，令2y x π=-，则(0,)2y π∈，在coscos sinsin x x >，[0,]2x π∈中，将x 换成cossin y 得，coscos(cossin )sinsin(cossin )sinsin(sin cos )y y y >>，将2y x π=-代入得，coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程也无解．综上所述，对x R ∈，恒有coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程无解．。
一次函数与三角函数的不等式
一次函数与三角函数的不等式一、引言在数学中，不等式是研究数之间大小关系的一种重要工具。
而函数，特别是一次函数和三角函数在不等式中的应用也是十分常见和重要的。
本文将重点探讨一次函数和三角函数在不等式中的性质和应用。
二、一次函数的不等式一次函数是指形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b为实数，且a不为零。
一次函数在不等式中的应用非常广泛，下面将以一元一次不等式为例来介绍一次函数在不等式中的性质和求解方法。
1. 线性不等式的基本性质对于一次不等式ax + b > c，其中a、b和c为实数，我们可以通过一系列方法来判断其解集，如图像法、代入法等。
此外，我们可以根据a的正负性质来判断不等式的解集，例如当a > 0时，不等式解集为[x > (c - b) / a]，当a < 0时，不等式解集为[x < (c - b) / a]。
2. 一次不等式的求解方法（1）当一次不等式中含有绝对值时，我们可以通过绝对值的性质将其转化为两个简单的一次不等式，再求解。
（2）当一次不等式中含有分式时，我们可以通过清除分母的方法将其转化为一个不含分式的一次不等式，再求解。
三、三角函数的不等式三角函数是指以角为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
下面将介绍三角函数在不等式中的应用。
1. 正弦函数和余弦函数的不等式正弦函数和余弦函数的值域均为闭区间[-1, 1]，因此它们在不等式中的应用较为灵活。
常见的正弦函数和余弦函数不等式有形如sinx > a和cosx < b等。
我们可以根据函数图像来判断此类不等式的解集，如sinx > a表示x在区间[arcsin(a) + 2kπ, π - arcsin(a) + 2kπ]时成立。
2. 正切函数的不等式正切函数的值域为实数集R，因此在不等式中的应用需要特别注意。
常见的正切函数不等式有形如tanx > a的情况。
2024年高考数学三角函数不等式历年题目解析
2024年高考数学三角函数不等式历年题目解析数学是高中阶段学生所必修的一门学科，其中三角函数不等式是数学中的一个重要部分。
在高考数学考试中，三角函数不等式题目经常出现。
本文将对2024年高考数学三角函数不等式历年题目进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握该知识点。
1. 题目一解：题目一可能涉及到绝对值不等式。
我们先来看一个例子：已知函数f(x) = |sinx - cosx|，求f(x)的取值范围。
解答中用到图像的不等式解法，以及余弦和正弦的和差化积等相关知识点，采用文字描述和公式推导辅以图表解析的方式来进行说明。
同时，通过列举特殊角和借助图像来直观地理解和解释问题。
2. 题目二解：题目二可能涉及到三角函数的性质和对数函数的运用。
我们来看一个例子：已知函数f(x) = \sqrt{2\sin x + 1}，求f(x)的最大值。
解答中用到了三角函数的性质和对数函数的运用，同时结合求导法和辅助角的概念，详细解释了每一步的推导过程。
通过计算和图像分析，得出函数f(x)的最大值。
3. 题目三解：题目三可能涉及到三角函数的周期性和不等式的证明。
我们来看一个例子：证明：当0 < x < \pi 时，有 \sin^2 x > \sin 2x解答中通过三角函数的周期性和性质，将不等式两边进行转换，并进行推导证明。
解答中逐步给出每一步的推理和运算过程，详细解释了每个步骤的原理和依据，确保推理过程的准确性和可信度。
通过以上三个例题的解析，我们可以看到在高考数学中，三角函数不等式题目的解答要求同学们运用到数学知识的多个方面，并进行综合运用。
在解答过程中，需要进行推导、图像分析、化简等操作，同时注重推导过程的准确性和合理性。
总结起来，掌握三角函数不等式的相关知识点，理解其性质和运用方法，以及熟练掌握解题的技巧和方法，对于应对数学高考考试是非常重要的。
通过对历年高考数学三角函数不等式题目的解析和练习，同学们可以更好地理解和掌握该知识点，并在考试中取得好成绩。
三角函数中的三角方程与简单不等式——三角学知识要点
三角函数中的三角方程与简单不等式——三角学知识要点三角方程是指含有三角函数的方程，而简单不等式则是指只包含简单的三角函数不等式。
在三角学中，研究三角方程和简单不等式是非常重要的，因为它们在解决实际问题中起着关键作用。
本文将介绍三角方程和简单不等式的基本概念、解法方法以及一些常见的例子。
一、三角方程的基本概念三角方程是指含有三角函数的方程，其一般形式为：f(x) = g(x)，其中f(x)和g(x)是三角函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
解三角方程的关键是找到方程中三角函数的解集。
解集的形式可以是具体的数值解，也可以是一般解或特殊解。
二、三角方程的解法方法1. 利用三角函数的周期性质三角函数具有周期性，即f(x) = f(x + 2πn)，其中n为整数。
利用这一性质，可以将三角方程转化为一个等价的方程，从而求得解集。
2. 利用三角函数的性质和恒等式三角函数具有一系列的性质和恒等式，如正弦函数的倒数等于余弦函数，正切函数的平方等于1减去其平方的余切函数等。
利用这些性质和恒等式，可以对三角方程进行变形，从而求得解集。
3. 利用三角函数的图像性质三角函数的图像具有一定的规律性，如正弦函数的图像是一个周期性的波形，余弦函数的图像是一个周期性的波形，正切函数的图像是一系列的无穷多个渐近线等。
利用这些图像性质，可以通过观察方程图像的交点位置来求得解集。
三、简单不等式的基本概念简单不等式是指只包含简单的三角函数不等式，其一般形式为：f(x) ≤ g(x) 或f(x) ≥ g(x)，其中f(x)和g(x)是三角函数。
解简单不等式的关键是确定不等式的解集。
解集的形式可以是具体的数值解，也可以是一般解或特殊解。
四、简单不等式的解法方法1. 利用三角函数的单调性质三角函数在特定区间上具有单调性，即在某个区间内，函数值的增减关系是确定的。
利用这一性质，可以通过分析不等式中三角函数的单调性来求得解集。
高中数学中的三角函数等式与不等式解析
高中数学中的三角函数等式与不等式解析三角函数是高中数学中的重要内容之一，它与三角函数的等式与不等式密切相关。
在本文中，我们将探讨三角函数等式与不等式的解析方法。
1. 三角函数等式三角函数等式指的是包含三角函数的等式。
常见的三角函数等式有：(1) 正弦函数等式:sin(x) = sin(a)sin(x) = -sin(a)sin(x) = sin(a + 2kπ)sin(x) = -sin(a + 2kπ)(2) 余弦函数等式:cos(x) = cos(a)cos(x) = -cos(a)cos(x) = cos(a + 2kπ)cos(x) = -cos(a + 2kπ)(3) 正切函数等式:tan(x) = tan(a)tan(x) = tan(a + kπ)cot(x) = cot(a)cot(x) = cot(a + kπ)通过将等式转化为集合且利用三角函数的周期性质，我们可以求得等式的解。
解析三角函数等式的关键是通过转化和求解集合来得到所有的解。
2. 三角函数不等式三角函数不等式指的是包含三角函数的不等式。
常见的三角函数不等式有：(1) 正弦函数不等式:sin(x) > asin(x) < asin(x) ≥ asin(x) ≤ a(2) 余弦函数不等式:cos(x) > acos(x) < acos(x) ≥ acos(x) ≤ atan(x) > atan(x) < atan(x) ≥ atan(x) ≤ a(4) 余切函数不等式:cot(x) > acot(x) < acot(x) ≥ acot(x) ≤ a解析三角函数不等式的方法主要是通过图像分析和性质分析来求解。
我们可以根据函数图像和性质，结合不等式的具体形式，得出不等式的解集。
3. 解析三角函数等式与不等式的例子例1: 解析正弦函数等式sin(x) = 1解：根据正弦函数的周期性质可知，sin(x) = sin(a + 2kπ)，其中a为[0, 2π]之间的一个解。
三角函数放缩法常用的不等式
三角函数放缩法常用的不等式1. 引言大家好呀，今天我们来聊聊三角函数的那些事儿，特别是放缩法和不等式这两位老朋友。
三角函数嘛，听起来有点高深，其实就像我们生活中的调味品，恰到好处就能让一切变得美味无比。
你想想，咱们日常生活中，很多问题其实都能通过这些数学工具来解决，真是“无处不在”的小帮手。
接下来，我们就从放缩法开始，顺便聊聊它如何与不等式打成一片，让数学也能轻松有趣。
2. 放缩法的基本概念2.1 什么是放缩法？放缩法，听起来就像是减肥前的各种动作，放松一下、拉伸一下，最后达到理想的效果。
说白了，这种方法就是在处理三角函数时，把问题“放大”或“缩小”，这样一来，问题就变得更清晰了。
举个简单的例子，如果我们要研究一个三角函数的值，直接计算可能会很复杂，但如果我们把它的值放大，比如说乘上一个合适的倍数，反而能看得更明白，简直是“柳暗花明又一村”！2.2 生活中的放缩法生活中其实到处都有放缩的影子。
比如，咱们吃饭的时候，如果一道菜的味道太重，我们可以加点米饭来中和；如果味道太淡，咱也可以加点调料来调味。
放缩法就是在数学世界中实现这一点。
通过适当的放大或缩小，可以让复杂的问题变得简单，就像让生活的烦恼慢慢褪去一样。
3. 常用的不等式3.1 三角函数不等式说到不等式，这可真是数学里的“武林秘籍”。
比如，咱们常听的三角函数不等式就是其中的经典。
比如，正弦函数和余弦函数之间的关系就像老朋友一样，互相依存、相互帮助。
我们可以轻松地得出，( sin x leq x )（对于 ( x ) 取非负值），这就像是人生的哲理，有些东西总是要低调一些，别太出风头，才能活得长久。
3.2 不等式在放缩法中的应用在放缩法的使用中，不等式可是起了大作用。
有时候，咱们只需将一个复杂的三角函数通过不等式放缩，便能得到一个相对简单的形式。
比如说，若要处理 ( sin x ) 的问题，可以借助三角不等式，让它不至于“高攀不起”。
就像我们在看一部电影时，如果某个场景太复杂了，换个角度，可能会发现它其实并不那么难懂。
关于三角函数的一些不等式
关于三角函数的一些不等式不等式是数学中比较常见的一种形式，三角函数也不例外。
以下是不等式证明的其中一些常用方法，适用于各种形式的不等式，也包括与三角函数有关的不等式：1.两边平方法：对于两个正数a、b，若a>b，则a-b>0，即两边同时减去b，结果仍为正数。
2.缩放法：这种方法一般用于处理一元二次不等式。
例如，如果ax²+bx+c>0，那么我们就可以将其视为b²-4ac<0的形式。
3.传递性不等式：若a>b，且b>c，则a>c。
这种性质在不等式中也同样适用。
4.对称不等式：在某些特殊情况下，可以将不等式中的某些元素对称地替换为其他元素，以达到简化不等式的效果。
5.三角函数的均值不等式：对于正数a、b、c，有(a+b+c)/3≥(abc)1/3。
这个不等式的证明方法是通过二项展开式和排序不等式得到的。
6.排序不等式：假设一组数x1<=x2<=.<=xn，y1<=y2<=.<=yn，那么当这组数两两配对时，所有配对中积的最大值和最小值分别为x1y1、xnn*yn。
以上这些方法在证明不等式时经常用到，但它们并不是证明不等式的全部方法。
在实际证明不等式时，需要根据不等式的具体情况来选择合适的方法进行证明。
比如在处理三角函数的不等式时，常常会用到三角函数的性质和单位圆等知识。
三角函数的性质在不等式的证明中也很重要。
例如，正弦和余弦函数的值域为[-1,1]，这是证明与三角函数有关的不等式时非常有用的性质。
另外，单位圆上的点表示的数值也常常用于不等式的证明中。
单位圆上的点表示的数值对于不等式的证明非常有用。
例如，在处理三角函数不等式时，常常需要用到单位圆上的点表示的数值的平方和大于等于1/2这个结论。
这个结论可以通过构造两个三角形，并利用三角形面积公式得到证明。
综上所述，不等式的证明需要灵活运用各种数学知识，包括但不限于三角函数的性质、单位圆上的数值表示、均值不等式、排序不等式等。
三角不等式定理
三角不等式定理三角不等式定理是初中数学中重要的一条定理，它是我们学习三角函数和三角恒等式的基础。
本文将从三角不等式定理的定义、性质和应用三个方面进行阐述。
一、三角不等式定理的定义三角不等式定理是指对于任意三角形ABC，其任意两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
这个定理表明了三个边之间的关系，即任意两边之和大于第三边。
1. 三角不等式定理是三角形的基本性质，它适用于任意三角形，无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
2. 三角不等式定理可以推广到多边形，对于任意多边形，任意两边之和大于第三边。
3. 三角不等式定理的逆定理也成立，即如果三边中任意两边之和大于第三边，那么这三条边可以构成一个三角形。
三、三角不等式定理的应用三角不等式定理在几何学和代数学中有着广泛的应用。
1. 在几何学中，三角不等式定理可以用来判断三角形是否存在。
通过对三边长度进行比较，如果满足任意两边之和大于第三边的条件，则可以构成一个三角形。
2. 在代数学中，三角不等式定理可以用来证明三角函数的性质。
通过使用三角不等式定理，可以得到诸如sin(x) ≤ x ≤ tan(x)等不等式，从而推导出三角函数的性质。
3. 三角不等式定理还可以用来解决实际问题。
例如，在测量三角形边长时，可以利用三角不等式定理判断测量结果的合理性，避免测量误差。
三角不等式定理是初中数学中重要的一条定理，它可以帮助我们判断三角形的存在性，证明三角函数的性质，解决实际问题等。
掌握三角不等式定理对于深入理解三角函数和几何学有着重要的作用。
希望通过本文的介绍，读者能够对三角不等式定理有更加清晰的认识。
关于tanx的不等式
关于tanx的不等式不等式是数学中非常重要的概念，它描述了数的大小关系。
在三角函数中，tanx是一个常用的三角函数，它表示正切函数。
本文将探讨tanx的不等式，并给出相关的参考内容。
首先，我们来回顾一下tanx函数的定义。
在直角三角形中，tanx定义为对边与邻边的比值，即tanx = sinx / cosx。
根据这个定义，我们可以推导出tanx的一些性质和不等式。
第一个性质是tanx的周期性。
由于sinx和cosx都是周期为2π的函数，因此tanx也是一个周期为2π的函数。
也就是说，对于任意实数k，有tan(x + 2kπ) = tanx。
接下来，我们来讨论tanx的范围。
由于tanx = sinx / cosx，那么当cosx等于零时，tanx就不存在。
因此，tanx的定义域为{x | x ≠ (2k + 1)π/2}，其中k是任意整数。
接着，我们来研究tanx的正负性。
当x在(2kπ, (2k + 1)π)范围内时，sinx大于零，cosx大于零，所以tanx大于零；当x在((2k + 1)π, (2k + 2)π)范围内时，sinx小于零，cosx大于零，所以tanx小于零。
因此，我们可以得到下面的不等式：当n为奇数时，tanx > 0，即(x ∈ (2nπ, (2n + 1)π)或(x ∈ (2nπ, (2n + 1)π))当n为偶数时，tanx < 0，即(x ∈ ((2n - 1)π, 2nπ)或(x ∈ ((2n - 1)π, 2nπ))此外，我们还可以给出tanx的一些具体的数值范围。
根据函数图像可以看出，tanx的取值范围为(-∞, +∞)，即正切函数的值可以无限增大或无限减小。
现在我们来看一些相关的参考内容。
在高中数学教材中，往往会有关于三角函数和不等式的章节。
例如，《解析几何与立体几何》（人民教育出版社）的第六章涉及到三角函数和不等式，其中有关于tanx的不等式的讲解和例题。
第24讲_三角不等式
第四讲 三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题例1 已知α、β为锐角，且()02x παβ+->，求证对一切0x ≠，有(cos )(sin )x x αβ<分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x x α=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x x α=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明 （1）若x >0，则2παβ+>，则022ππβα>>->，由正弦函数的单调性，得0sin()sin 12παβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )x x αβ<．（2）若x <0，则2παβ+<，则022ππβα<<-<，由正弦函数的单调性，得0s i n s i n ()12πβα<<-<，即0s i n c o s 1βα<<<，又x <0，故有(cos )(sin )x x αβ<．说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2πα±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知0απ<<，试比较2sin2α和cot 2α的大小．分析 两个式子分别含有2α与2α的三角函数，故可考虑都化为α的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一2sin 21cos 4sin cos tan4sin cos 2sin cot2ααααααααα-== =2214cos 4cos 4(cos )12ααα-=--+，∵0απ<<，所以当1cos 2α=，即3πα=时，上式有最大值1，当0απ<<且3πα≠时，上式总小于1．因此，当3πα=时，2sin2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．解法二 设tan2t α=，由0απ<<得022απ<<，故tan 02t α=>，则1cot 2tα=，2224(1)22sin 24sin cos (1)t t t ααα-⋅==+，于是有 cot 2α-2sin2α=2422222222214(1)2961(31)0(1)(1)(1)t t t t t t t t t t t -⋅-+--==≥+++ 因此，当3πα=时，2sin2α=cot 2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．例3 已知[0,]x π∈，求证：cos(sin x )>sin(cos x )分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．证法一 （1）当0,,2x ππ=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．（2）当2x ππ<<时，0s i n 12x π<<<，cos 02x π-<<，则cos(sin x )>0>sin(cos x )． （3）当02x π<<时，有0<sin x <x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，从而有cos(sin x )>cos x ；而0c o s 2x π<<，则sin(cos x )<cos x ，因此cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )．分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二 当02x π<<时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且sin x +cos x )4x π+2π≤，即0<sin x <2π-cos x <2π，而函数y =cos x在(0,)2π上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2π-cos x )=sin(cos x )，即cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．说明 （1）本题的证明运用到结论：(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2π<，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x R ∈.情景再现1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.2．已知,(0,)2x y π∈，tan 3tan x y =，求证：6x y π-≤.3．当[0,]2x π∈时，求证：coscos sinsin x x >.B 类例题例4 在ABC ∆中，证明： sin sin sin A B C ++≤分析一 本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．证法一 我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.sin sin sin 2sincos sin 22A B A B A B C C +-++=+2cos cos sin 22c A BC -=+，显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C ++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3π时，sin sin sin A B C ++，∴原不等式得证． 说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二 即证sin sin sin 3A B C ++观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．证法二 函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123sin sin sin sin()33x x x x x x ++++≥，等号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin()33A B C A B C++++≥，从而有sin sin sin 180sin 33A B C ++︒≤=，因此原不等式成立． 说明 本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸x )为上凸函数，不等号反向．例5 已知,,x y z R ∈,02x y z π<<<<．求证：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y zπ++>++（90年国家集训队测试题）分析 将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明 即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4x y y z x x y y z z π++>++即证明sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4x x y y y z z z π>-+-+注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4π为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例6 63)cos()2sin 24sin cos a πθθθθ+-+-+36a <+对于[0,]2πθ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）分析 所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos()cos )4πθθθ-=+，sin22sin cos θθθ=，因此考虑令sin cos x θθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解 设sin cos x θθ+=，则2cos(),sin 2142x x πθθ-==-，当[0,]2πθ∈时，x ⎡∈⎣．从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x ++--<+，即26223340x ax x a x ---++>，222()3()0x x a x a x x +--+->，()2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭∴原不等式等价于不等式（1），1,,230x x ⎡∈∴-<⎣（1）不等式恒成立等价于()20x a x x⎡+-<∈⎣恒成立．从而只要m a x 2()()a x x x ⎡>+∈⎣．又2()f x x x =+在⎡⎣上递减，m a x 2()3()x x x⎡∴+=∈⎣，所以3a >． 例7 三个数a ,b ,c ∈(0,)2π，且满足cos a a =，sincos b b =，cossin c c =，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）分析 比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sincos cos b b b =<，cossin cos c c c =>，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a 与b ，由cos sin cos a ab b==，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解 （1）若a b =，则cos si n cos a a =，但由c o s a (0,)2π∈，故有cos si n cos a a >矛盾，即a ≠b ．（2）若a b <，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sincos a b <，而sincos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．类似地，若c a =，则由题意可得cos cossin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则s i n s i n c a a <<，即s i n c a <，cossin cos c a ∴>，即c a >矛盾．综上可得：b a c <<．说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC 中，求证：（1）3sinsin sin 2222A B C ++≤；（2）sin sin sin A B C ． 5．设12x y z π≥≥≥，且2x y z π++=，求乘积cos sin cos x y z 的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥（2004年福建省数学竞赛题）C 类例题例8 已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一 不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．解法一 设22()cos (1)(1)sin f x x x x x θθ=--+-， 则由[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，有(0)sin 0f θ=>，(1)cos 0f θ=>，22()([(12(12(1f x x x x x x ∴=+----(1)x x --21[(12(1)(02x x x =--->，当x =(10x -=，令0x =，则001x <<，0001()2(1)02f x x x =->12>，即1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，所求范围是：522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈，反之，当522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈时，有1sin 22θ>，且s i n 0,c o s 0θθ>>，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立．分析二 不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．解法二 由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有()f x =22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->，即2()(cos 1sin )(12sin )sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为12sin 2(cos sin 1)x θθθ+=++[0,1]∈，故必有24(cos sin 1)sin (12sin )04(cos sin 1)θθθθθθ++-+>++，即4cos sin 10θθ->，1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈． 分析三 原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )． 解法三 原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1x x -cos θ+1x x-sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x -cos θ+1xx-sin θ≥，∴1x x -cos θ+1xx-sin θ的最小值为，等号当1x x -cos θ=1x x -sin θ即x =时取到，因此．∴1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈． 例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有()1cos sin cos2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：222a b +≤，221A B +≤．（1977第十九届IMO ） 分析 根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成()1))0f x x x θϕ=++≥，其中x 为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．证明 若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立； 故下设220a b +≠，220A B +≠： 令sin θθϕϕ===()1))f x x x θϕ=++，即对于一切实数x ，都有()1))0f x x x θϕ=++≥（1）()1))02f x x x πθϕ+=++≥ （2）（1）+（2）得：2)cos()]0x x θθ+++≥，即sin()cos()x x θθ+++≤对于一切实数x ≥因此222a b +≤．()1))0f x x x πθϕ+=++≥ （3）（1）+（3）得：2)0x ϕ-+≥，即sin(2)x ϕ+1≥，∴ 221A B +≤．例10 设αβγπ++=，求证：对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z 有222sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤分析 由0x y z ++=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，即可得证．证明 由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得， 不等式左边=2222222[sin sin (sin sin sin )]y x xy αβαβγ-+++- （1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．；（2）当sin 0α≠，整理成y 的二次方程，证△≤0． 左边2222(sin sin sin )[sin ]2sin x y αβγαα+-=-+22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--+， 由222222(sin sin sin )4sin sin αβγαβ+--222222(sin sin sin 2sin sin )(sin sin sin 2sin sin )αβγαβαβγαβ=+-++--2sin sin [1cos()]2sin sin [1cos()]αβαβαβαβ=-+⋅--+2224sin sin [1cos ()]0αβαβ=--+≤，∴22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--0≤，∴不等式左边0≤成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>习题1．求证：对所有实数,x y ，均有22cos cos cos 3x y xy +-<． 2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1A B C > 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin sin sin 2A B C ++>4．求证：222sin (cos(sin )sin(cos )2sin (44x x ππ≤-≤5．已知,(0,)2παβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成一个三角形？6．已知,αβ为锐角，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥ 7．已知A +B +C =π，求证：222tan tan tan 1222A B C ++≥ 8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：3π≥++++c b a cC bB aA ．9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：12tan tan tan 3nnnnA B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知02πθ<<，,0a b >，求证：223332()sin cos a b a b θθ+≥+11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠P AB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．12．解方程coscoscoscos sinsinsinsin x x =（1995年全俄竞赛题）本节“情景再现”解答：1．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相加得证．2．证明：由已知得tan 3tan tan x y y =>及,(0,)2x y π∈知，x y >，从而(0,)2x y π-∈，要证6x y π-≤，只须证明tan()tan 6x y π-≤=，由于2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x y yx y x y y--==++，于是问题归结为证22tan 13tan y y ≤+，即21)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立．3．证法一：当x ∈(0,2π)时，∵0<sin x <x <2π,∴sinsin x <sin x ,再比较sin x 与coscos x 的大小，由sin x =cos (2π-x )，即比较(2π-x )与cos x ，而cos x =sin (2π-x ),因此(2π-x )＞cos x ，从而cos (2π-x )<coscos x ，即sin x <coscos x ，从而得证．证法二： sin x +cos x 2π≤，即0<cos x <2π-sin x <2π， 所以cos(cos x )>cos(2π-sin x )=sin(sin x )． 4．证明：（1）由琴生不等式即得．（2sin sin sin sin 33A B C A B C ++++≤，从而得证． 5．解：由条件知，312x y z ππ≥≥≥≥，()222123x y z ππππ=-+≤-⨯=，sin()0y z -≥，于是cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2x y z y z ++-1cos sin()2x y z ≥+22111cos cos 2238x π=≥=，当,312x y z ππ===时取等号，故最小值为18（y 与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）．又cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2z x y x y +--211cos sin()cos 22z x y z ≤+=21cos 212π≤，且当5,1224z x y ππ===时等号成立，故cos sin cos x y z6．证明：设()|s i n c o s t a n c o t f x x x x x x x=+++++，sin cos t x x=+，则有21sin cos 2t x x -=，2222()||11t f x t t t =++--22|||11|11t t t t =+=-++-- 当1t >时，2()1111f x t t =-++≥-； 当1t <时，2()(1)111f x t t =--+-≥-因此|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥．7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立．同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），1[(1)(2)(3)]2⨯++即得所要证的不等式． 8．证明：2242tan2tan4tan222sin tan 4tan 21tan 1tan 1tan 222ααααααααα+=+=>+--， 0,tan,sin tan 4tan22222πααααααα<<∴>∴+>>，同理得另两个，命题得证．“习题”解答：1．证明：22cos cos cos 3x y xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则22cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则222,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2224,,*x y nk k n N π=∈，则,,*xy k n N =∈，cos 1xy ≠-，因此等号不成立．2．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tan tan tan 1A B C >．3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+22cos cos cos cos cos cos B B A A B A >+=+，三式相加得证．4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(cos )2x x x x π-=--cos sin cos sin 2sin()sin()4242x x x xππ+-=--又cos sin 2x x ±≤ cos sin 4424x x πππ±≤-≤，又04π>，4π2π<，由正弦函数在[0,]2π上的单调性可知，原不等式成立．5．证法一：sin sin 2sincos2sincossin()2222αβαβαβαβαβαβ+-+++=>=+ |sin sin |2cos|sin|2cossinsin()2222αβαβαβαβαβαβ+-++-=<=+，因此可以构成三角形．证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．6．解：左222222214145tan 4cot 9cos sin sin 2cos sin ααααβαα=+≥+=++≥． 7．证：左tantan tan tan tan tan 222222A B B C C A ≥++ tan tan tan (tan tan )22222A B C B A=++ tantan cot tan (1tan tan )1222222A B A B A B A B ++≥+-=8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，而x y z ++≥，代入得323xyz ≥，故123n n n nx y z +++≥≥．10．证明：要证原不等式，即证222333()()sin cos a b a b θθ+≥+，即2222222sin cos sin cos a b aba b θθθθ++≥++上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化即证222222sin cos cot tan 2sin cos a b abθθθθθθ+++≥即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θθθθ+++≥因为22222c o t 2t a n c o t t a n t a a a b a a b a b b θθθθθ+=++，同理可得22tan 2cot b ab θθ+≥11．证明：如图，P A sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=P A sin θ4，三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5 sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ66123456sin sin sin sin sin sin 6θθθθθθ+++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭661234561sin ()62θθθθθθ+++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而sin 1θsin θ2 sin θ331()2≤，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于12，不妨设sin 1θ12≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．12．解：考虑周期性，只要先解决[0,2)x π∈的解的情况，而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解．由于[0,]2x π∈时有coscos sinsin x x >，将x 换成cos cos x 得（换成sinsin x也可以）：coscoscoscos sinsincoscos x x >，又由于sin sin y x =在[0,]2x π∈时为增函数，因此有sinsincoscos sinsinsinsin x x >，综上可得：coscoscoscos sinsinsinsin x x >，因此原方程无解． 当(,)2x ππ∈时，令2y x π=-，则(0,)2y π∈，在coscos sinsin x x >，[0,]2x π∈中，将x 换成cossin y 得，coscos(cossin )sinsin(cossin )sinsin(sin cos )y y y >>，将2y x π=-代入得，coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程也无解．综上所述，对x R ∈，恒有coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程无解．。
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中学三角函数不等式
中学三角函数不等式是中学数学中重要的研究方向，也是不少考生头疼的难题。
三角函数不等式的推导与应用，对于更好地理解数学有着重要的意义。
本文将介绍三角函数不等式的推导过程及其应用实例。
首先，让我们从三角函数不等式的推导过程入手。
以正弦不等式为例，把正弦函数写成二倍角函数的形式：
sinθ = 2 sin () cos ()
左边可以写成：
sinθ≤2 sin ()
因此：
sin 2 sin() 2 x (1/2) cos ()
即有：
sinθ≤cos(θ)1）
类似的，余弦不等式也可以这样推导：
cos = 2cos () cos (θ)
左边可以写成：
cos 2 cos ()
因此：
cosθ 2 cos () 2 x (1/2) sin ()
即有：
cosθ sin(θ)2）
这样，我们就算推导出了正弦不等式和余弦不等式。
接下来，让我们看看三角函数不等式的应用实例。
比如，一个正多边形的内角和等于（n-2）π，可以用正弦不等式将其分解为：
sinθ＜sin(π/n)3）
以此类推，我们可以用泰勒级数展开正弦函数，把三角函数不等式应用到数列、级数和调和级数等概念中。
此外，三角函数不等式还可以用于求解最优解。
例如，考虑一个最大化Z= 6x+5y的线性规划问题，约束条件有：
x+y≤304）
2x+3y≤605）
解这个问题，我们可以使用余弦不等式：
cosθ sin(θ)
将其写成矩阵表达式：
[1,1][x,y]≥0.5[30,60]
即有：
x + y 30 x 2 + 3 y 60
这样，我们就将原问题转化为最优解的求解问题。
以上就是三角函数不等式的推导过程及其应用的示例。
三角函数不等式的推导过程及其应用，有助于更好地理解数学，为帮助学生更好地掌握三角函数及它们的不等式，可以大量使用实例练习，加深学生对其解题技巧的理解。