三角不等式与三角最值问题
基本不等式解决解三角形面积最值问题
基本不等式解决解三角形面积最值问题1.引言解决三角形面积最值问题是数学中的经典问题之一，而基本不等式是解决这类问题的重要工具。
本文将介绍基本不等式的概念和基本性质，并通过实例演示如何利用基本不等式解决解三角形面积最值问题。
2.基本不等式定义三角形的基本不等式基本不等式是指数学中一类带有不等号的基本关系式，其中最常见的就是，即三边关系式的不等式形式。
3.三角形的基本不等式对于任意三角形A BC，其三边长度分别为a、b、c，我们有以下基本不等式成立：三角不等式-：$a+b>c$，$b+c>a$，$c+a>b$角边不等式-：对于锐角三角形，有$a>b>c$，$si nA>s in B>s in C$，$c os A<co sB<c os C$，$tg A>tg B>tg C$；对于钝角三角形，有$a<b<c$，$s in A<si nB<s in C$，$co sA>c os B>co sC$，$tg A<tg B<tg C$4.利用三角形的基本不等式求解面积最值问题下面通过具体实例，演示如何利用三角形的基本不等式求解解三角形面积最值问题。
问题：求解一个等边三角形的最大面积。
解答：对于等边三角形A BC，三边长度均相等，记为$a$。
根据基本不等式，我们有$a+a>a$，即$2a>a$，所以$a>0$。
进一步，我们利用三角形的面积公式$S=\fr ac{1}{2}\cd o ta\c do th$，其中$h$为等边三角形的高，可以根据勾股定理求解，得$h=\sq rt{a^2-(\fr ac{a}{2})^2}=\fr ac{a\s qr t{3}}{2}$。
将$h$代入面积公式得$S=\fr ac{1}{2}\cd o ta\c do t\fr ac{a\s qr t{3}}{2}=\fra c{a^2\s qr t{3}}{4}$。
高中数学-三角代换证明不等式和求最值
高中数学-三角代换证明不等式和求最值2(一)三角代换的应用-证明不等式1, c 2d 2 1,求证: |ac bd | 1证明：设 a=sin ,b=cos ,c=s in ,d=cos 则有：|sin sin cos cos | |cos( )| 1， 问题得证。
例2已知a,b R,且 a 2 2 2b 1，求证：|a +2ab-b 2| 、:2解：可设 a=ksin ,b=kcos ,其中|k| 1于是有2 2 |a +2ab-b |=k 2|s in2 —cos2 |=2k 2|sin(2 )| 、2k 2 .2 2 2a b 2例3 •已知0<x<1,求证： (a b)x 1 x分析：0<x<1 ， 0<1 — x<1 ,且x+(1-x)=1,联想到三角代换。
证明：因为 0<x<1 , 0<1 —x<1 设 x=sin 2 ，且 所以2 a ・ 2 sin 2 a 2 ab 2cos 2 b 2b 2 a 2 cot2ab a 2 b 21-x 例4已知 1 分析：因为 (1 cot 2 )b 2 (1 tan(a b 2 tanb)2(a b)2米用三角代换之。
2, n N 求证(1 x)n (1+ x)n 2n1考虑到右边有1-x 与1+x,故联想到利用2倍角余弦公式化简, 从而证明：因为 1 x 1，设x=cos2 ,(0所以 (1 x) nn n 2n n 2n n 2 2 n (1＋x) 2 sin 2 cos 2 (sin cos ) 2 故原不等式 (1 x)n (1＋x)n 2n 成立。
则 1-x=1-cos2 =1 (1 2si n 2 ) 2si n 22 1＋x 1 cos 2 2cos(二)三角代换的应用-求最值 例5设x, y R ,不等式 x . y a 厂丫恒成立，求a 的最小值。
析：原不等式等价于 a 平 厲恒成立，则a 必不小于右边代数式的最大值J x y即只需求岀—x H 的最大值即可。
微专题6 与不等式相关的三角最值问题
与不等式相关的三角最值问 题
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不等式是解决最值问题的重要方法， 有关三角最值问题是高考的热 点和难点， 解决此类问题的关键是将所求量转化为单一变量的函数或者 双变量的表达式(后者必须找到这两个变量的关系式)，从而考虑采用不 等式的方法求最值.
Байду номын сангаас
例题：(2016· 江苏卷)在锐角三角形 ABC 中，若 sinA＝2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 8 .
3b2· 4c2 － 2bccosA ＝
8（2 3－cosA） 8（2 3－cosA） bc 4 3－2cosA ＝ .令 f (A)＝ ，A∈(0， sinA sinA 8（1－2 3cosA） 1 11 π)， f′(A)＝ ， 令 f′(A)＝0， 解得 cosA＝ ， sinA＝ ， sin2A 2 3 2 3 由单调性可知此时 f (A)取得最小值为 8 11.当且仅当 3b＝2c 且 cosA＝ 1 2 3 时取等号，则 a ＋2b ＋3c 的最小值为 8 11.
变式 1(2018· 浙江模拟)若△ ABC 的内角满足 sinA＋ 2sinB＝2sinC，求 cosC 的最小值．
6－ 2 答案： 4 .
解析：设△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则由正 弦定理得 a＋ 2b＝2c，
a2＋b2－c2 所 以 cosC ＝ ＝ 2ab 2ab 3 2 1 2 2 2 4a × b － ab 6－ 2 2 2 3 2 1 2 2 a ≥ ＝ 4 ， 当且仅当4a ＝2b 时， 即b＝ 时等号 2ab 3 6－ 2 成立，所以 cosC 的最小值为 4 . a＋ 2 2 a ＋b － 2
高三培优讲义38---解三角形中的最值与范围问题
专题7-3解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．2022·全国甲卷（理&文）T161．已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD = ．2022·新高考1卷2．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．2020·浙江卷3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a −=． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．2019年全国Ⅲ卷·文·理T184．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．2018·北京卷 5．若ABC 的面积为2223()4a cb +−,且∠C 为钝角，则∠B = ；c a 的取值范围是 .2018·江苏卷6．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．题型一 由不等式求最值角平分线相关1．（多选）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3ABC ∠=，内角B 的平分线交AC 于点D 且3BD =，则下列结论正确的是（ ） A ．111a c+= B ．b 的最小值是2C ．3a c +的最小值是43D ．ABC 的面积最小值是32．（2024届·湖南衡阳市八中校考）在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答.在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________. (1)求A ；(2)若内角A 的角平分线交BC 于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）中线相关3．（2024届·湖北校联考）已知分别是的三个内角的对边，且. (1)求角；(2)若在边上且，求面积的最大值.()()b c a b c a bc +−++=sin 3(cos )a C a C b =−(2)cos cos 0b c A a C ++=ABC D 3AD =ABC ,,a b c ABC ,,A B C cos 3sin 0a C a C b c +−−=A D BC ,2BD DC AD ==ABC 重点题型·归类精讲浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟4．在ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若()tan tan 2tan b A B c B +=，BC 边的中线长为1． （1）求角A ；（2）求边a 的最小值．福建省厦门双十中学高三上学期期中5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 3cos sin b A a B a B =+. （1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC 的中点，若3BD =，求a c +的取值范围.定角定高6．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AH=4 ，∠BAC=60°，求△ABC 面积的最小值.对式子变形后利用基本不等式求最值7．在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)若，，求的面积；(2)求的最小值，并求出此时的大小.湖南省益阳市2022届高三上学期9月调研8．已知ABC 的角,,A B C 对边分别为,,a b c ，3cos sin 0a B b A −=. (1)求B ∠；(2)若2a c +=，求b 的取值范围.题型二 构造函数求范围9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，求的取值范围．2024届·雅礼中学月考（二）10．记锐角的内角的对边分别为，已知．(1)求证：；(2)若，求的最大值．ABC A B C a b c ()2222sin 0ac B C a c b +++−=π6A =2a =ABC 2224sin 3sin 2sin C A B++B π32c =2a b −ABC ,,A B C ,,a b c sin()sin()cos cos A B A C B C−−=B C =sin 1a C =2211a b +2023届河北省唐山市三模11．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知A 为钝角，sin cos a B b B =. (1)若π6C =，求A ；(2)求cos cos cos A B C ++的取值范围.12．（2024届·湖南长郡中学校考）在锐角中，内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若的取值范围.ABC ,,A B C ,,a b c ()2sin cos cos 3A c B b C a +=A 3a =223b c bc ++2023届广东江门市一模13．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1tan B ，1sin A ，1tan C依次组成等差数列. (1)求2a bc的值；(2)若b c >，求222b c a +的取值范围.2024届常德市一中校考14．在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若，请完成以下问题： (1)求角B 的大小；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．2024届长沙一中月考（一）15．在锐角中，角的对边分别为，且满足. (1)求证：；(2)设的周长为，求的取值范围.ABC 1cos 2b Cc a +=ABC 1c =22a b +ABC ,,A B C ,,a b c 22b a ac −=2B A =ABC l la2024届长沙一中月考（二）16．的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，点O 为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.(1)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.17．在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)求角的大小；(2)若的取值范围.ABC ABC OBC △OAC OAB 1S 2S 3S 22213132S S S S S +−=2AB =cos cos 1a C c A +=4sin sin cos21B A A +=12cos 12cos 0sin sin A BA B−−+=ABC ABC ABC ABC ABC A B C a b c sin sin tan cos cos A BC A B+=+C ABC 3c18．（2024届·扬州中学校考）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin 23A a B +=，则ABC 周长的取值范围为 .2024届河南省实验中学校考19．在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且.(1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考20．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC 的面积()1cos S bc A =−，则2abc的取值范围为A ．4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．416,515⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．432,535⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3216,3515⎡⎫⎪⎢⎣⎭ABC ,,A B C a b c 222sin sin sin 1sin sin A A CC B−−=A C 2BC =BD ABC ∠4a =BD专题7-3解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
高中三角函数三角函数的不等式与最值问题
高中三角函数三角函数的不等式与最值问题在高中数学学习中，三角函数是一个重要的章节。
除了学习三角函数的定义、性质和图像等基本知识外，我们还需要掌握三角函数的不等式和最值问题的解决方法。
本文将为大家详细介绍高中三角函数的不等式与最值问题，并提供相应的解决思路和方法。
一、三角函数的不等式1. 正弦函数的不等式正弦函数的定义域为实数集，而正弦函数的值的范围在[-1, 1]之间。
因此，当我们解决正弦函数的不等式时，可按照以下步骤进行：（1）确定不等式的定义域；（2）将不等式中的正弦函数转化为关于θ的等价不等式；（3）根据正弦函数在不同区间上的增减性质，求解等价不等式，得到不等式的解集。
例如，解不等式sinθ > 0，我们可以按照上述步骤进行求解：（1）由于正弦函数的定义域为实数集，故不等式的定义域为全体实数；（2）将不等式sinθ > 0转化为等价不等式：0 < sinθ < 1；（3）根据正弦函数在不同区间上的增减性质，我们可以得到不等式的解集为：θ ∈ (2kπ, 2kπ + π/2)，其中k ∈ Z。
2. 余弦函数的不等式余弦函数的定义域为实数集，而余弦函数的值的范围在[-1, 1]之间。
因此，当我们解决余弦函数的不等式时，可按照以下步骤进行：（1）确定不等式的定义域；（2）将不等式中的余弦函数转化为关于θ的等价不等式；（3）根据余弦函数在不同区间上的增减性质，求解等价不等式，得到不等式的解集。
例如，解不等式cosθ ≥ 0，我们可以按照上述步骤进行求解：（1）由于余弦函数的定义域为实数集，故不等式的定义域为全体实数；（2）将不等式cosθ ≥ 0转化为等价不等式：cosθ > -1 或cosθ < 1；（3）根据余弦函数在不同区间上的增减性质，我们可以得到不等式的解集为：θ ∈ (-2kπ, -2kπ + π/2) U (2kπ, 2kπ + π)，其中k ∈ Z。
应用基本不等式,破解三角形最值
２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀应用基本不等式,破解三角形最值◉河南省固始县高级中学㊀沈玉洁㊀㊀利用基本不等式破解三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积以及相应代数式等的最值及其综合应用问题,一直是高考命题中的一个重点与难点,交汇点多,综合性强,难度较大,灵活多样,备受各方关注．本文中结合实例,合理通过基本不等式的巧妙放缩,得以确定相应的最值．１角的最值问题利用基本不等式求解三角形中角的最值问题,是高考的一个考点．解决这类问题的关键是,利用正㊁余弦定理及基本不等式求出三角形中相应内角的某一三角函数值的取值范围或进一步利用三角函数的单调性求出角的最值等．例１㊀在әA B C 中,已知０＜A ＜π２,０＜B ＜π２,２s i n A ＝c o s (A ＋B )s i n B ,则t a n A 的最大值为．解析:由２s i n A ＝c o s (A ＋B )s i n B ＝－c o s C s i n B 及正弦定理和余弦定理,可得２a ＝－a ２＋b ２－c２２a bˑb ,化简可得５a ２＋b ２＝c ２．而t a n ２A ＝s i n ２A c o s ２A ＝１c o s ２A－１,又A 为锐角,可得c o s A ＞０,t a n A ＞０,因此只要求出c o s A 的最小值,就可求得t a n A 的最大值．结合基本不等式,利用余弦定理有c o s A ＝b ２＋c ２－a ２２b c ＝３b ２＋２c ２５b c ȡ２３b ２ˑ２c ２５b c ＝２６５,当且仅当３b ２＝２c２,即c ＝６２b 时等号成立,所以t a n ２A ＝１c o s ２A －１ɤ１(２６５)２－１＝１２４,解得t a n A ɤ６１２,则t a n A 的最大值为６１２．点评:解决本题的关键是利用正弦定理㊁余弦定理化角为边的关系式,并结合基本不等式与余弦定理求出角A 的余弦值的取值范围,然后利用三角关系式的变形与转化,以及不等式的性质来确定角A 的正切值的平方的最值,进而获解．２边的最值问题求解三角形中边(或对应的线段长度等)的最值问题是高考的一个基本考点,解决这类问题的关键是利用余弦定理表示出所要求的边,然后利用基本不等式或三角形的三边关系等条件求出边的最值．例２㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知３a c o s C －a s i n C ＝３b ．(１)求角A 的大小;(２)若D 为B C 的中点,且A D ＝２,求a 的最大值．解析:(１)由３a c o s C －a s i n C ＝３b ,结合正弦定理,可得３s i n A c o s C －s i n A s i n C ＝３s i n B ＝３s i n (A ＋C ),整理可得－s i n A s i n C ＝３c o s A s i n C ,即t a n A ＝－３．又A ɪ(０,π),所以A ＝２π３．(２)由于D 为B C 的中点,可得２A D ң＝A B ң＋A C ң,式子两边同时平方,有４A D ң２＝AB ң２＋２A Bң A C ң＋A C ң２,又A D ＝２,所以１６＝c ２＋b ２＋２b c c o s A ＝c ２＋b ２－b c ,即b ２＋c ２＝１６＋b c ．而结合余弦定理,可得a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝b ２＋c ２＋b c ＝１６＋２b c ．由基本不等式,可得２b c ɤb ２＋c ２＝１６＋b c ,解得b c ɤ１６,当且仅当b ＝c 时等号成立,所以２b c ＋１６ɤ４８,即a ２＝１６＋２b c ɤ４８,解得a ɤ４３,当且仅当b ＝c ,即әA B C为等腰三角形时,等号成立．所以a 的最大值为４３．点评:利用平面向量的线性关系的两边平方处理以及余弦定理的应用,用b ２＋c ２及b c 的线性关系式表示出a ２是解决本题的关键,同时注意利用基本不等式来合理放缩b ２＋c ２与b c 之间的不等关系,为确定边的最值奠定基础．３三角形周长的最值问题三角形周长的最值问题是高考的一个热点与常见题型,这类问题一般可以求出一条边(或已知一边),然后利用余弦定理表示出另两条边满足的关系式,最后利用基本不等式求出周长的最值．例３㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知c o s B a b ＋c o s C a c ＋２c o s Ab c＝０．５４学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀(１)求A ;(２)若a ＝２３,求әA B C 周长的取值范围．解析:(１)由c o s B a b ＋c o s C a c ＋２c o s Ab c＝０及正弦定理,可得c o s B s i n A s i n B ＋c o s C s i n A s i n C ＋２c o s A s i n B s i n C＝０．整理得s i n C c o s B ＋s i n B c o s C ＋２s i n A c o s A ＝０,即s i n (B ＋C )＝－２s i n A c o s A ．在әA B C 中,s i n (B ＋C )＝s i n A ʂ０,所以可得c o s A ＝－１２,而A ɪ(０,π),可得A ＝２π３．(２)由(１)及余弦定理可得a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝(b ＋c )２－２b c ＋b c ＝(b ＋c )２－b c ,合理变形并结合基本不等式,可得(b ＋c )２＝a ２＋b c ɤa ２＋(b ＋c２)２,当且仅当b ＝c 时等号成立,所以(b ＋c )２ɤ４３a ２＝４３ˑ(２３)２＝１６,解得b ＋c ɤ４．又利用三角形的基本性质有b ＋c ＞a ＝２３,即b ＋c ɪ(２３,４]．所以әA B C 周长的取值范围为(４３,４＋２３]．点评:涉及三角形周长的最值问题,经常在已知或已求得其中一边的基础上,通过另外两边之和的最值转化来综合,而这时往往需要借助基本不等式来合理放缩与应用,同时也离不开三角形的基本性质等．４三角形面积的最值问题三角形面积的最值问题一直是高考命题的一个热点,解决这类问题的关键是找出两边(这两边的夹角往往已知或可求)之积满足的不等关系式,借助基本不等式合理放缩,再利用三角形面积公式解决问题．例４㊀在әA B C 中,D ,E 分别是线段A C ,B D 的中点,øB A C ＝１２０ʎ,A E ＝４,则әA B C 面积的最大值为．(３２３)解析:略．点评:解决本题的关键是利用余弦定理,或利用平面向量中的线性运算,或利用坐标运算等表示出b ,c 满足的关系式,然后利用基本不等式求出b c 满足的不等关系,最后利用三角形面积公式解决问题．５涉及角或边的代数式的最值问题关于三角形中的边长或角的代数式的最值问题是新课标高考的一个新趋向,创新新颖,变化多端,解决这类问题的关键是消元 消边或消角,对元素进行统一化处理,然后利用基本不等式求出最值即可．例５㊀记әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c o s A １＋s i n A ＝s i n ２B１＋c o s ２B．(１)若C ＝２π３,求B ;(２)求a ２＋b ２c２的最小值．解析:(１)利用二倍角公式,可得c o s A１＋s i n A＝s i n ２B １＋c o s ２B ＝２s i n B c o s B ２c o s ２B ＝s i n Bc o s B ,则有s i n B ＝c o s A c o s B －s i n A s i n B ＝c o s (A ＋B )＝－c o s C ＝－c o s ２π３＝１２,而０＜B ＜π３,所以B ＝π６．(２)由(１)可得－c o s C ＝s i n B ＞０,则知c o s C ＜０,则有C ɪ(π２,π),于是有B ＝C －π２,可得s i n A ＝s i n (B ＋C )＝s i n (２C －π２)＝－c o s ２C ．结合基本不等式,利用正弦定理可得㊀㊀㊀㊀a ２＋b ２c ２＝s i n ２A ＋s i n ２Bs i n ２C＝c o s ２２C ＋c o s ２C s i n ２C＝(１－２s i n ２C )２＋(１－s i n ２C )s i n ２C＝４s i n ４C －５s i n ２C ＋２s i n ２C＝４s i n ２C ＋２s i n ２C－５ȡ２４s i n ２C ˑ２s i n ２C －５＝４２－５,当且仅当４s i n ２C ＝２s i n ２C ,即s i n C ＝１４２时,等号成立．所以a ２＋b ２c ２的最小值为４２－５．点评:解决本题中涉及边的代数式的最值问题的关键在于利用正弦定理化边为角,结合诱导公式与二倍角公式的转化,综合三角关系式的恒等变形,利用基本不等式来确定相应的最值问题．当然,除了巧妙利用基本不等式的放缩来确定三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积以及相应的代数式等的最值及其综合应用,还可以利用平面几何图形的直观性质㊁三角函数的有界性㊁函数与方程的基本性质以及导数等相关知识来解决．而这当中基本不等式的放缩与应用是最简单有效的一种方法,也是最常见的,要结合问题的实质加以合理转化,巧妙构建 一正㊁二定㊁三相等 的条件,为利用基本不等式来处理三角形最值问题提供条件．Z６４。
初中几何最值问题解题技巧
初中几何最值问题解题技巧初中几何最值问题是一个比较常见的问题，通常涉及到线段、角度、面积等几何元素的最小值或最大值的求解。
下面将详细讲解一些常见的解题技巧：1.利用轴对称性转化：对于一些具有轴对称性的几何图形，可以利用轴对称性将问题转化为更简单的问题。
例如，对于一个关于直线对称的图形，可以找到对称轴，然后将问题转化为求解对称轴上的点到原图形的最短距离或最大距离。
2.利用三角形不等式：三角形不等式是解决几何最值问题的重要工具。
例如，对于一个三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这些不等式，可以推导出一些关于几何元素的最值关系。
3.利用特殊位置和极端位置：在解决几何最值问题时，可以考虑特殊位置或极端位置的情况。
例如，对于一个矩形，当它的一条对角线与矩形的一条边垂直时，该对角线的长度达到最小值。
对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的延长线垂直时，该三角形的面积达到最小值。
4.利用几何定理：几何定理是解决几何最值问题的有力工具。
例如，对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的中线重合时，该三角形的周长达到最小值。
对于一个四边形，当它的一条对角线与另一条对角线的中线重合时，该四边形的面积达到最小值。
5.利用数形结合：数形结合是解决几何最值问题的常用方法。
通过将几何问题转化为代数问题，可以更容易地找到问题的解。
例如，对于一个圆上的点到圆心的距离的最大值和最小值，可以通过将问题转化为求解圆的半径的平方的最大值和最小值来解决。
以上是一些常见的初中几何最值问题的解题技巧，希望能够帮助你更好地解决这类问题。
三角函数的不等式与最值
三角函数的不等式与最值三角函数是数学中重要的一类函数，它们在不等式求解和最值问题中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的不等式求解方法以及如何找到三角函数的最值。
1. 正弦函数的不等式与最值1.1 不等式求解方法对于不等式sin(x)>0，我们需要找到使得正弦函数大于零的x的取值范围。
由于正弦函数在单位圆上的坐标表示sin(x)=y，因此正弦函数大于零的范围可以表示为y>0。
在单位圆上，y>0对应着角度在0到π之间的位置。
因此，不等式sin(x)>0的解集为x∈(0, π)。
1.2 最值求解方法最值问题通常需要找到函数的最大值或最小值。
对于正弦函数sin(x)，它的最大值为1，最小值为-1。
这是因为正弦函数在单位圆上的y坐标的范围是[-1, 1]。
因此，最大值为1，最小值为-1。
2. 余弦函数的不等式与最值2.1 不等式求解方法对于不等式cos(x)<0，我们需要找到使得余弦函数小于零的x的取值范围。
由于余弦函数在单位圆上的坐标表示cos(x)=x，因此余弦函数小于零的范围可以表示为x<0。
在单位圆上，x<0对应着角度在π/2到3π/2之间的位置。
因此，不等式cos(x)<0的解集为x∈(π/2, 3π/2)。
2.2 最值求解方法对于余弦函数cos(x)，它的最大值为1，最小值为-1。
这是因为余弦函数在单位圆上的x坐标的范围是[-1, 1]。
因此，最大值为1，最小值为-1。
3. 正切函数的不等式与最值3.1 不等式求解方法对于不等式tan(x)>0，我们需要找到使得正切函数大于零的x的取值范围。
正切函数可表示为tan(x)=sin(x)/cos(x)。
根据正切函数的性质，当sin(x)和cos(x)的符号相同时，tan(x)大于零；当它们的符号不同时，tan(x)小于零。
因此，正切函数大于零的范围可以表示为sin(x)和cos(x)同号。
在单位圆上，sin(x)>0且cos(x)>0的范围对应着角度在0到π/2之间和角度在2π到5π/2之间的位置。
解答三角形最值问题的几种措施
三角形最值问题对同学们的运算以及逻辑推理能力有较高的要求.此类问题通常侧重于考查正余弦定理、三角函数的定义、三角函数的单调性、基本不等式等.本文结合一道三角形最值问题，谈一谈解答此类问题的常用措施.例题：已知在ΔABC 中，点D 在边BC 上，BD =2CD ,AD =BD ，求tan A cos 2B 的最大值.一、利用基本不等式我们知道，若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，该式称为基本不等式.而运用基本不等式求最值，往往要确保：（1）两个数均为正数；（2）两数的和或积为定值；（3）当且仅当a =b 时取等号.在解答三角形最值问题时，要先灵活运用正余弦定理进行边角互化，把目标式化为只含边或角的式子；然后运用一些配凑技巧，如凑系数、添项、去常数项、平方等，配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值，即可运用基本不等式求得最值.解法1.如图1所示，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，由AD =BD ，DE ⊥AB 可得E 为AB 的中点.因为BD =2CD ,AD =BD ，所以DE ∥CF ，所以AE =BE =2EF ，所以F 为AE 的中点.可得BE =2AF ，即AF =12BE .所以DE CF =BD BC =23，所以CF =32DE .在RtΔACF 中，tan A =CF AF =3DE BE.在RtΔBDE 中，DE 2+BE 2=BD 2，所以BD 2≥2DE ⋅BE ，而cos B =BE BD ，所以tan A cos 2B =3DE BE ⋅(BE BD)2=3DE ⋅BE BD 2≤3DE ⋅BE 2DE ⋅BE =32，当且仅当DE =BE ，即B =45°时不等式取等号，故tan A cos 2B 的最大值为32.先添加辅助线，根据等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质，建立各边之间的比例关系，从而求得tan A 、cos B 的表达式，得出tan A cos 2B =3DE ⋅BEBD 2.而在RtΔBDE 中，DE 2+BE 2=BD 2，由基本不等式可得BD 2≥2DE ⋅BE ，通过约分即可求得目标式的最值.二、利用三角函数的性质三角函数具有有界性和单调性，而这两种性质是求三角函数最值的重要依据.在解答三角形最值问题时，可先根据正余弦定理将边角关系化为关于角的关系式，并用角的三角函数式表示出目标式，将问题转化为三角函数最值问题；然后利用三角函数中的诱导公式、二倍角公式、辅助角公式等进行恒等变形，将目标式化为只含有一种三角函数名称的式子，进而利用三角函数的有界性和单调性求最值.解法2.设ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，CD =m (m >0)，则AD =BD =2m ，因为∠ADB 与∠ADC 互为邻补角，所以cos∠ADB =-cos∠ADC .在ΔABD 中，由余弦定理得c 2=4m 2+4m 2-2×2m ×2m cos∠ADB ，化简得c 2=8m 2-8m 2cos∠ADB ，即c 2=8m 2+8m 2cos∠ADC ①；在ΔACD 中，由余弦定理得b 2=4m 2+m 2-2×2m ×m cos∠ADC ，化简得b 2=5m 2-4m 2cos∠ADC ，所以2b 2=10m 2-8m 2cos∠ADC ②.将①+②得c 2+2b 2=18m 2，又因为a =3m ，所以c 2+2b 2=2a 2.在ΔABC 中，由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac=a 2+c 2-(a 2-12c 2)2ac =3c4a，由正弦定理可得cos B =3c 4a =3sin C 4sin A，所以4sin A cos B =3sin C =3sin(A +B )=3sin A cos B +3cos A sin B ，整理得sin A cos B =3cos A sin B ，所以tan A =3tan B .所以tan A cos 2B =3tan B cos 2B =3sin B cos B =32sin2B ≤32，思路探寻图149当sin2B =1，即B =45°时，tan A cos 2B 取最大值32.我们先根据余弦定理求得tan A 、cos B 的表达式，得出tan A cos 2B 的表达式，并根据tan B =sin Bcos B以及二倍角公式sin2B =2sin B cos B ，将目标式化为只含有正弦函数的式子，即可运用正弦函数的有界性求得目标式的最值.解法3.因为BD =2CD ,AD =BD ，所以AD =2CD .因为AD =BD ，所以∠BAD =∠B ，所以∠DAC =∠A -BAD =∠A -∠B .在ΔACD 中，由正弦定理得AD sin C =CDsin∠DAC，即2CD sin(A +B )=CDsin(A -B )，所以2sin(A -B )=sin(A +B )，可得2sin A cos B -2cos A sin B =sin A cos B +cos A sin B ，整理得sin A cos B =3cos A sin B ，所以tan A =3tan B .以下同解法2，具体过程略.该解法主要运用了正弦定理，根据角之间的关系进行三角恒等变换，得到tan A =3tan B ，再根据正弦函数的有界性求得最值.我们还也可以根据正切函数的定义和勾股定理，在RtΔBDE 中，求得tan B =DE BE =CF3AF，在RtΔACF 中，求得tan A =CF AF ，从而得出tan B =13tan A ，再根据正弦函数的有界性求得最值.利用三角函数的性质求解三角形最值问题，关键是将目标式化为关于角的三角函数式，并将其化简为只含有一种三角函数名称的式子，就能根据三角函数的有界性和单调性顺利求得最值.三、构建坐标系运用坐标法求解三角形最值问题，需先根据三角形的特征，建立合适的平面直角坐标系：可以三角形的一条底边为坐标轴，以一个顶点或底边的中点为原点；也可以三角形底边为x 轴，底边的中垂线为y 轴来建立坐标系.在建立坐标系后，求得各个点的坐标，再运用两点间的距离公式、直线的斜率公式和方程、三角函数的定义来求得角、边长以及目标式，最后运用函数的性质、三角函数的性质、基本不等式求最值.解法4.如图2所示，以D 为原点，DC 为x 轴，建立平面直角坐标系xDy ，设CD =m (m >0),∠ADB =θ，则点C (m ,0),B (-2m ,0),A (-2m cos θ,2m sin θ)，所以tan B =k AB =2m sin θ-2m cos θ+2m =sin θ1-cos θ，tan C =-k AC =2m sin θ2m cos θ+m =2sin θ2cos θ+1.可得cos 2B =11+tan 2B=1-cos θ2，tan A =-tan(B +C )=tan B +tan Ctan B tan C -1=(sin θ1-cos θ+2sin θ2cos θ+1)÷(sin θ1-cos θ⋅2sin θ2cos θ+1-1)=3sin θ1-cos θ.所以tan A cos 2B =3sin θ1-cos θ⋅1-cos θ2=32sin θ≤32，当sin θ=1，即θ=90°时，AD ⊥BC ，不等式取等号，故tan A cos 2B 的最大值为32.为了便于求得各点的坐标，以D 为原点，DC 为x 轴，建立平面直角坐标系xDy ，并设∠ADB =θ，用θ表示出cos 2B 、tan A 以及tan A cos 2B ，即可利用正弦函数的有界性求得最值.解法5.因为AD =BD ，过O 作DO ⊥AB ,以O 为原点，AB 为x 轴，OD 为y 轴建立如图3所示的平面直角坐标系xOy .设CD =m (m >0)，易知AD =BD =2m ，所以点C (-m cos B ,3m sin B ),A (-2m cos B ,0)，可得tan A =k AC =3m sin Bm cos B=3tan B .所以tan A cos 2B =3tan B cos 2B=3sin B cos B =32sin2B ≤32，当sin2B =1，即B =45°时，tan A cos 2B 取最大值32.根据等腰三角形三线合一的性质，过点O 作DO ⊥AB ,以O 为原点，AB 为x 轴，OD 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，即可快速求得D 、C 的坐标.再用角B 的三角函数表示出tan A cos 2B ，便可根据正弦函数的有界性求得问题的答案.求解三角形最值问题的思路较多，无论运用哪种思路解题，都需灵活运用正余弦定理进行边角互化，求得目标式，然后根据目标式的结构特征，选用合适的方法求最值.（作者单位：山东省牟平第一中学）图3思路探寻图250。
微专题6 与不等式相关的三角最值问题答案
微专题6例题1 答案：8.解析：由sin A ＝sin (π－A)＝sin (B ＋C)＝sin B cos C ＋cos B sin C ，sin A ＝2sin B sin C ，可得sin Bcos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C.由三角形ABC 为锐角三角形，则cos B ＞0，cos C ＞0，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C.又tan A ＝－tan (π－A)＝－tan (B ＋C)＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ，则tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ，由A ，B ，C为锐角可得tan A ＞0，tan B ＞0，tan C ＞0，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， 即tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ，即tan B ＝2＋2，tan C ＝2－2，tan A ＝4(或tan B ，tan C 互换)时取到等号，因此tan A tan B tan C 最小值为8.变式联想变式1 答案：6－24. 解析：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ≥234a 2×12b 2－22ab 2ab＝6－24，当且仅当34a 2＝12b 2时，即a b ＝23时等号成立，所以cos C 的最小值为6－24. 变式2 答案：811.解析：由S ＝12bc sin A ，得bc ＝4sin A .又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2＋2b 2＋3c 2＝3b 2＋4c 2－2bc cos A ≥23b 2·4c 2－2bc cos A ＝bc ()43－2cos A ＝8（23－cos A ）sin A .令f(A)＝8（23－cos A ）sin A，A ∈(0，π)，f ′(A)＝8（1－23cos A ）sin 2A ，令f′(A)＝0，解得cos A ＝123，sin A ＝1123，由单调性可知此时f(A)取得最小值为811.当且仅当3b ＝2c 且cos A ＝123时取等号，则a 2＋2b 2＋3c 2的最小值为811.串讲激活串讲1 答案：3.解析：设∠CBA ＝α，AB ＝BD ＝a ，则在△BCD 中，由余弦定理可知CD 2＝2＋a 2＋22sin α，在三角形ABC 中，由余弦定理可知cos α＝a 2＋122a ，可得sin α＝－a 4＋6a 2－122a ，所以CD 2＝2＋a 2＋－a 4＋6a 2－1，令t ＝2＋a 2，则CD 2＝t ＋－t 2＋10t －17＝t ＋－（t －5）2＋8≤2·（t －5）2＋[－（t －5）2＋8]＋5＝9，当(t －5)2＝4时等号成立．∴CD 的最大值为3. 串讲2答案：(1)π3；(2)2.解析：(1)由条件可知a(sin A －sin B)＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab ，又由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ∈(0，π)，得C ＝π3.在△ABC 中可(2)由mtan C＝1tan A＋1tan B ，可得m ＝)tan 1tan 1(B A +tan C ，即m ＝sin Ccos C )sin cos sin cos (A B B A +＝sin C cos C×cos A sin B ＋cos B sin A sin A sin B ＝sin C cos C ×sin C sin A sin B .由正、余弦定理可得m min ＝c 2ab ×1cos C ＝2c 2ab ＝2（a 2＋b 2－ab ）ab ＝2)1(-+baa b ≥2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以实数m 的最小值为2.新题在线答案：(1)S ＝a )sin 2cos 334(+-αα，α∈)32,3(ππ；(2)AD ＝5＋510时，S 最小．解析：(1)在△ABD 中，由正弦定理得1sin α＝BD sinπ3＝AD sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，所以BD ＝32sin α，AD ＝3cos α2sin α＋12，则S ＝a )21sin 2cos 3(+αα＋2a )]21sin 2cos 3(1[+-αα＋4a )sin 23(α＝a )23sin 2cos 334(+-α，由题意得α∈)32,3(ππ. (2)令S′＝3a·1－4cosαsin 2α＝0.设cos α0＝14.所以当cos α＝14时，S 最小，此时sin α＝154，AD ＝3cos α2sin α＋12＝5＋510.。
基本不等式最值问题
基本不等式最值问题在数学中，基本不等式是解决最值问题的常用工具。
最值问题可以简单理解为在一定条件下，求一个函数的最大值或最小值。
而基本不等式是通过确定函数的上界或下界，从而确定函数的最值。
本文将介绍基本不等式的概念、应用以及解决最值问题的步骤。
一、基本不等式的概念基本不等式是指一些常见的不等式模式，通过这些模式，可以直接得到函数的上界或下界，从而确定函数的最值。
常见的基本不等式有以下几种：1. 平方不等式：对于任意实数a，有a^2≥0，即任意实数的平方都大于等于0。
这个不等式模式可以用于求解二次函数的最值问题。
2. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|，即两个数的绝对值之和不大于这两个数的绝对值之和。
这个不等式模式可以用于求解绝对值函数的最值问题。
3. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意n个实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有|(a1b1+a2b2+...+anbn)|≤√(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+ ...+bn^2)，即两个向量的内积的绝对值不大于它们的模的乘积。
这个不等式模式可以用于求解向量函数的最值问题。
二、解决最值问题的步骤解决最值问题的一般步骤如下：1. 确定问题：明确要求求解的最值是函数的最大值还是最小值。
2. 建立模型：根据题目中的条件，建立函数模型。
根据问题的特点，可以选择适合的基本不等式。
3. 求解过程：根据建立的模型，利用基本不等式求解函数的上界或下界。
具体的求解过程要根据问题的具体条件进行分析和推导。
4. 检验答案：将求解得到的值代入原函数，验证其是否为最大值或最小值。
同时，还要检查是否存在其他的极值点。
三、应用举例下面通过两个具体的例子来说明基本不等式的应用。
例1：求函数y=x^2+2x+3在定义域内的最小值。
解：首先，我们可以求出函数的导数为y'=2x+2，令其等于0，得到x=-1。
由于这是一个二次函数，且a>0，所以函数在x=-1处取得最小值。
微专题6与不等式相关的三角最值问题答案
微专题61．答案：12.解析：由a 2＋b 2＝2c 2，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 24ab≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时取等号，所以cos C 的最小值为12.2．答案：2 3.解析：由余弦定理得cos π3＝b 2＋c 2－32bc，整理得b 2＋c 2＝3＋bc ，则有(b ＋c )2＝3＋3bc ≤3＋⎝⎛⎭⎫c ＋b 22，即(b ＋c )2≤12，所以b ＋c ≤23，当且仅当b ＝c 时取等号．所以b ＋c 的最大值为2 3.3．答案：32.解析：由sin A sin(B －C )＝sin B sin C cos A ，得sin A (sin B cos C －cos B sin C )＝sin B sin C cos A ，由正弦定理可得ab cos C －ac cos B ＝bc cos A ，由余弦定理可得ab ·a 2＋b 2－c 22ab －ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc，化简得a 2＋b 2＝3c 2，又因为3c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，可得ab c 2≤32，所以ab c 2的最大值为32. 4．答案：255.解析：S △ABC ＝12ab sin C＝12ab 1－cos 2C ＝ 12（ab ）2－（a 2＋b 2－c 2）24＝12（ab ）2－（8－3c 2）24而2ab ≤a 2＋b 2＝8－2c 2ab ≤4－2c 2， 所以S △ABC ≤ 12（4－c 2）2－（8－3c 2）24＝14c 2（16－5c 2）≤ 14×5c 2＋（16－5c 2）25＝255，当且仅当a ＝b ，c 2＝85时取等号． 5．答案：52316.解析：设∠BAP ＝α，∠CAP ＝β，由余弦定理得PB 2＝4－23cos α，PC 2＝4－23cos β.因为PB 2＋PC 2＝3，所以cos α＋cos β＝536.设sin α－sin β＝t ，两式平方相加得cos(α＋β)＝124＋t 2≥124，当且仅当t ＝0，即sin α＝sin β时取等号，此时cos A ＝cos(α＋β)的最小值为124，即sin A 的最大值为52324，所以S △ABC ＝12AB ·AC ×sin A ≤52316.6．答案：100. 解析：由正弦定理得kb 2＋ac ＞19bc ，则k 大于19bc －acb 2的最大值.19bc －ac b 2＝（19b －a ）cb 2＜（19b －a ）（a ＋b ）b 2＝－⎝⎛⎭⎫a b －92＋100≤100.因此k ≥100，即k 的最小值为100.7．答案：(1)π3；(2)1.解析：(1)由正弦定理可得cos B cos C＝2a －b c＝2sin A －sin Bsin C ，可得cos B sin C＝(2sin A －sin B )cos C ，即sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，sin A ＝2sin A cos C ，在△ABC 中，sin A ≠0，cos C ＝12，所以C＝π3. (2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝4－3ab ，又因为ab ≤（a ＋b ）24＝1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，所以c 2＝4－3ab ≥1，即c ≥1，故c 的最小值为1.8．答案：(1)16 5 m ；(2)①80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2；②当sin θ＝22－2时，绿化区域面积之和最大．解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．(1)直线PB 的方程为y ＝2x ，半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，由⎩⎨⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝402（y ≥0），得y ＝16 5.所以，点P 到AD 的距离为16 5 m.(2)①由题意，得P (40cos θ，40sin θ)．直线PB 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ＋1(x ＋40)，令y＝0，得x E ＝80cos θ＋80sin θ＋2－40＝80cos θ－40sin θsin θ＋2.直线PC 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ－1(x －40)，令y ＝0，得x F ＝80cos θ－80sin θ＋2＋40＝80cos θ＋40sin θsin θ＋2.所以，EF 的长度为f (θ)＝x F －x E ＝80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫80－80sin θsin θ＋2×80＝6400sin θ＋2，区域Ⅱ的面积为S 2＝12×EF ×40sin θ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫80sin θsin θ＋2×40sin θ＝1600sin 2θsin θ＋2，所以S 1＋S 2＝1600sin 2θ＋6400sin θ＋2⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2.设sin θ＋2＝t ，则2＜t ＜3，S 1＋S 2＝ 1600（t －2）2＋6400t ＝1600⎝⎛⎭⎫t ＋8t －4≥1600(28－4)＝6400(2－1)．当且仅当t ＝22，即sin θ＝22－2时“＝”成立．所以，休闲区域Ⅱ，Ⅳ，Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6400(2－1)m 2.答：当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ，Ⅲ，Ⅴ的面积之和最大．。
三角函数最值问题的解法
知识导航在历届数学高考试题中，三角函数最值问题总是备受命题者的青睐.三角函数最值问题不仅考查了三角函数的基本公式、图象、性质，还考查了求最值的方法，是一类难度较大的问题.下面，我们重点探讨解答三角函数最值问题的三种方法：基本不等式法、换元法、化一法.一、基本不等式法基本不等式法是指运用基本不等式：若a ，b ∈R*,则a +b ≥2ab 求得最值的方法.运用基本不等式求最值，必须满足三个条件：①各项都是正值；②各项之和或积是定值；③取等号时不等式一定成立.同时还要灵活运用拆项、添项、凑系数等技巧凑出各项之和或积，使其和或积是定值.例1.若x ∈()0,π，求函数y =()1+cos x ∙sin x2的最大值.解：因为x ∈()0,π，所以y =()1+cos x ∙sin x 2=2cos 2x 2∙sin x2>0，所以y 2=4cos 4x 2∙sin 2x2≤2æèççççöø÷÷÷÷cos 2x 2+cos 2x 2+2sin 2x 233=1627，所以0<y ，当cos 2x 2=2sin 2x 2时，即tan x 2=±2,则x =2k π±2arctan 2，所以当x =2k π±2arctan 2时，函数的最大值为.这里先从所求的目标函数出发，通过三角恒等变换，配凑出两项之积，并使其和为定值，进而运用基本不等式求得三角函数的最值.二、换元法对于题目中含有sin x +cos x 、sin x -cos x 、sin x ·cos x 的三角函数最值问题，我们一般采用换元法求解.利用同角的关系式sin 2x +cos 2x =1可将上述三式相互转化，将其中之一用新元替换，进而将三角函数最值问题转化为关于新元的函数最值问题来求解.例2.求函数y =sin x ∙cos x +sin x +cos x 的最大值.解：设sin x +cos x =t ，则sin x ∙cos x =t 2-12()||t ≤2.则y =12t 2+t -12=12()t -12-1()||t ≤2，当t ≤2时，即当sin æèöøx +π4=1时，y 取最大值.所以y max =，即函数y =sin x ∙cos x +sin x +cos x 的最大值是.解答本题主要运用了换元法，首先令sin x +cos x =t ，将目标函数式转化为关于t 的函数式，然后根据正弦函数的有界性以及二次函数的性质求得三角函数式的最值.在换元的过程中，要注意定义域的等价转换.三、化一法化一法是指利用三角恒等变换技巧及辅助角公式把三角函数式化成y =A sin(ωx +φ)+t 或y ＝A cos (ωx +φ)+t 的形式，然后利用正弦函数与余弦函数的图象和性质求得最值的方法.化一法是解答三角函数最值问题的常用方法.例3.求函数y =sin 2x +2sin x cos x +3cos 2x 的最大值，并写出函数y 取最小值时x 的集合.解：因为y =sin 2x +2sin x cos x +3cos 2x ，所以y =1-cos 2x 2+sin 2x +32()1+cos 2x ，=2+cos 2x +sin 2x =2+2sin æèöø2x +π4，当2x +π4=2k π-π2()k ∈Z ，即x =k π-38π()k ∈Z 时，y min =2-2，当x ∈{}|x x =k π-38π,k ∈Z 时，函数y 有最小值y min =2-2.在解答本题时，我们首先利用正弦和余弦的二倍角公式、辅助角公式将目标三角函数式化简，然后运用正弦函数的性质求得三角函数的最值.上述三种方法的适用范围各不相同，其中化一法的应用范围最广，基本不等式法的应用范围较窄.三角函数最值问题具有较强的灵活性，解法有很多，同学们在学习中要注意总结.（作者单位：浙江省宁波北仑明港高级中学）38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角形中的不等问题与最值问题
三角形中的不等问题与最值问题知识拓展(1)若△ABC 是锐角三角形,则ππ0,22A AB <<+>,sin cos ,sin cos A B B C >>、 (2)若△ABC 中,若A 是锐角,则222a b c +>；若A 是钝角,则222a b c +< (3) △ABC 中,若π3A =,则2πππ0,333B BC <<-<-<,222a b c bc bc =+-≥,222a b c bc =+-=()()22134b c bc b c +-≥+.(4)若,,a b c 成等差数列,则π3B ≤.题型分析(一) 角或角的三角函数的范围或最值【例1】△ABC 的面积为S ,BA BC ⋅=u u u r u u u r ,则22sin sin A C +的取值范围是 ．【分析】把22sin sin A C +用一个角的三角函数表示,然后根据角的范围用函数单调性求22sin sin A C +的范围.【解析】由BA BC ⋅=u u u r u u u r ,得1cos sin 2ca B ac B =,即cos B B =,又22cos sin 1B B +=,所以3cos 4B =．221cos 21cos 2sin sin 22A CA C --+=+＝1cos[()()]2A C A C -++-＋1cos[()()]2A C A C -+--＝cos()cos()1A C A C +-+＝cos cos()1B A C -+＝3cos()14A C -+．因为0A B π<<-,0C B π<<-,所以B AC B ππ-<-<-,所以当A C =时,max cos()1A C -=,当A C B π-=-或A CB π-=-时,min 3cos()cos 4AC B -=-=-,所以737cos()11644A C <-+≤,即22sin sin A C +的取值范围是77(,]164．【答案】77(,]164【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.【小试牛刀】【2018江苏省南京市多校第一次段考】在ABC V 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若22242a bc ++=， 4ab =，则2sin tan sin2CA B的最小值是__________． 【答案】2242+(二) 边的范围或最值【例2】在△ABC 中,若3sin 2sin C B =,点E ,F 分别是AC ,AB 的中点,则BECF的取值范围为 ．【分析】先得出222222221818718149b b a BE a CF b a b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫++ ⎪⎝⎭,设b t a =,转化为函数求值域. 【解析】设,,,,AB c AC b BC a E F ===Q 分别是,AC AB 的中点,222222b c a BE ∴+=+()2222cos cos 0,2,3sin 2sin 2c AFB CFB b a CF C B ∠+∠=+=+=Q Q , 所以由正弦定理得222222732,2,2189b c b BE a CF a b =∴=-=+,222222221818718149b b a BE a CF b a b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫++ ⎪⎝⎭213512698b a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭114-,设b t a =,结合23c b =,由,a b ca cb bc a +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩可得2393,9525b b a a ⎛⎫<<∴<< ⎪⎝⎭. 222135114917,,,12614166448BE BE CF t CF ⎛⎫⎛⎫∴=-∈∴∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,故答案为17(,)48. 【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有 ①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将BECF表示为关于t 的函数,再根据方法⑤解答的. 【小试牛刀】【2018广东省深圳期中考试】在△ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且BC 边上的高为3a ，则c bb c+取得最大值时，内角A 的值为_______． 【答案】π6(三) 周长的范围或最值【例3】在锐角ABC ∆中, 2c =, 2sin c A =.（1）若ABC ∆,求a 、b ； （2）求ABC ∆的周长的取值范围.【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可； （2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可．【解析】（12sin c A =及正弦定理得：2sin sin A C A =,又sin 0A ≠, sin C ∴=.又C 为锐角,故3C π=,又1sin 2ABC S ab C ∆==4ab ∴= 由2222cos c a b ab C =+- 22a b ab =+-得224a b ab +-=,所以由224{ 4ab a b ab =+-=解得2{ 2a b ==. （2）由正弦定理得a A =, b B =,记ABC ∆周长为l ,则 2l A B =+, 又23A B π+=, 2l A B ∴=++ 22sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦24sin 6A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,ABC ∆Q 为锐角三角形, ,62A ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭(2l ⎤∴∈+⎦.【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径. 【小试牛刀】C ∆AB 中,角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ,且cos C cos 2cos cos b c a a B+=A A．（1）求角A ；（2）若2a =,求C ∆AB 的周长的最大值． 【答案】（1）60A =︒；（2）6． 【解析】（1）cos cos 22cos cos cos cos cos b C c Ba Ab Cc B a A a A+=⇒=+sin 2sin()2A B C B C A ⇒=+⇒+=,解得60A =︒． （2）4343sin ,sin sin sin sin 33a b c b B c C A B C ==⇒==, 周长4343132(sin sin )2[sin(120)sin ]24cos sin 3322l B C C C C C ⎛⎫=++=+︒-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭24sin 6C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,当3C π=时,△ABC 的周长的最大值为6． (四) 面积的范围与最值【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,OP ＝22,点M 在线段PQ 上．(1)若5OM =求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．【分析】第(1)题利用余弦定理求MP 的长,难度不大；第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题的中点就是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.【解析】(1)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,5OM =22OP =由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒,得2430MP MP -+=, 解得1MP =或3MP =． (2)设POM α∠=,060α︒≤≤︒, 在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠, 所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+, 同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠ ()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=⎣⎦====因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值． 即30POM ∠=︒时,△OMN 的面积的最小值为8-【点评】面积问题是边长与角问题的综合,解题中既要考虑边的变化,也要考虑相关角的变化,通常是利用面积公式,将其转化为同一类元素,然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解.【小试牛刀】【2018江苏省如皋市高三教学质量测试】在ABC ∆中， CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v. (1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值. 【答案】（1）2C π∠=（2）()min 16ABC S ∆=【解析】（1）由CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，两边平方22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，即()()22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，得到20CA CB ⋅=u u u v u u u v ，即CA CB ⊥u u u v u u u v。
借助基本不等式,解决三角形最值问题
所以b +c =433s i n B +s i n 2π3-B=432s i n B +12c o s B =4s i n B +π6 ㊂由于π6<B <π2,则有π3<B +π6<2π3,可得32<s i n B +π6ɤ1,所以b +c =4s i n B +π6ɪ23,4 ㊂所以әA B C 周长的取值范围为(2+23,6]㊂点评:解决涉及三角函数与平面向量的综合问题的常见方式有:利用平面向量的概念㊁公式等合理构建对应的关系式,将向量问题三角化,进而通过三角函数的恒等变换及图像性质等来分析与解决问题㊂在实际解决三角函数模块的解答题时,审清题意是解决问题的关键㊂合理挖掘具体的问题条件,创设解题的主要材料,联系并构建条件间的内在联系,特别是相关的角㊁相关的三角关系式等之间的联系是解题的必经之路㊂审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息,发掘条件的内在联系,进而借助对应的三角恒等变换公式㊁解三角形中的定理,以及平面向量中的公式等加以巧妙转化与综合应用,考查 四基 与基本能力等,成为高考命题的一个重要题型与考查方向㊂(责任编辑 王福华)ʏ江苏省苏州市桃坞高级中学校 甄 艳解三角形中的最值(或范围)问题是高考中最为常见的一类综合应用问题,也是一个热点与重点问题㊂基本不等式是破解三角形中的最值(或范围)问题的一个重点与基本点,特别在涉及解三角形的解答题中加以合理创设,综合性强,难度较大,且与其相关的问题灵活多样,备受各方关注㊂一、角的最值问题在解三角形的解答题中,利用基本不等式求角的最值问题是高考的一个考点,解决这类问题的关键是利用正㊁余弦定理及基本不等式求出角的某一三角函数值的范围,然后利用三角函数的单调性求出角的最值㊂例1 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且s i n C c o sB2=233-c o s Cs i n B 2㊂(1)当B =π3时,求s i n C +s i n A 的值;(2)求B 的最大值㊂分析:(1)根据题设条件,将角代入构建对应的三角关系式,通过所求关系式的诱导公式变形与两角和正弦公式的应用,合理转化得以求解;(2)利用三角关系式两边同乘以2c o s B 2进行恒等变形,合理化简并利用正弦定理化角为边,利用余弦定理确定c o s B 的表达式,通过基本不等式的应用来确定c o s B 的最值,并利用余弦函数的图像与性质来确定角B 的最大值㊂解:(1)由题意,可得s i n C c o sπ6=233-c o s Cs i n π6,即32s i n C +12c o s C =33㊂所以s i n C +s i n A =s i n C +s i n (π-C -B )=s i n C +s i n C +π3=32s i n C +32c o s C =332s i n C +12c o s C=1㊂51解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月(2)在s i n C c o s B 2=233-c o s C㊃s i n B 2的两边同乘以2c o s B 2,得2s i n C c o s2B 2=233-c o s C㊃2s i n B 2c o s B 2,即s i n C ㊃(1+c o s B )=233-c o s Csi n B ,化简整理得s i n C +s i n A =233s i n B ,由正弦定理可得a +c =233b ㊂在әA B C 中,由余弦定理可得c o s B =a 2+c 2-b 22ac =(a +c )2-b 2-2a c 2a c =b26a c-1,利用基本不等式有a c ɤa +c22=13b 2,当且仅当a =c 时等号成立,此时c o s B =b 26a c-1ȡ-12㊂由于B ɪ(0,π),而y =c o s x 在(0,π)上单调递减,故B 的最大值为2π3㊂点评:解决本题第(2)问的关键是利用倍角公式㊁余弦定理及基本不等式求出角B 的余弦值的范围,然后利用余弦函数的单调性求出角B 的最大值㊂结合三角形的应用场景,合理确定与角有关的三角函数,借助三角函数的单调性来确定相应角的最值(或范围),这是解决问题的理论依据所在㊂二㊁边的最值问题在解三角形的解答题中,涉及求边的最值问题是高考的一个考点,解决这类问题的关键是利用余弦定理表示出所要求的边,然后利用基本不等式或相关的变式,以及三角形三边的关系求出边的最值(或范围)等㊂例2 记әA B C 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知c o s C +(c o s B -22s i n B )c o s A =0㊂(1)求c o s A 的值;(2)若b +c =1,求a 的取值范围㊂分析:(1)将题设等式的第一项利用诱导公式化简,第二项利用单项式乘多项式法则计算,整理后根据s i n A 不为0构建涉及s i n A 与c o s A 与关系式,结合平方关系联立方程组,通过方程组的求解得以确定c o s A 的值;(2)由b +c =1,利用余弦定理和基本不等式可求a 的取值范围㊂解:(1)因为c o s C +(c o s B -22㊃s i n B )c o s A =0,而c o s C =c o s (π-A -B )=-c o s (A +B )=-c o s A c o s B +s i n A ㊃s i n B ,所以-c o s A c o s B +s i n A s i n B +c o s A c o s B -22s i n B c o s A =0,化简得s i n A s i n B -22s i n B c o s A =0㊂又0<A <π,0<B <π,所以s i n B ʂ0,s i n A >0,所以s i n A =22c o s A >0,所以c o s A >0,所以A 为锐角㊂联立s i n A =22c o s A ,s i n 2A +c o s 2A =1,可得9c o s 2A=1,所以c o s A =13㊂(2)由余弦定理可知a 2=b 2+c 2-2b c c o s A =(b +c )2-83b c ,利用基本不等式有b c ɤb +c22,所以a 2ȡ13(b +c )2=13,解得a ȡ33,当且仅当b =c =12时等号成立㊂由三角形的基本性质知a <b +c =1㊂综上可得,a 的取值范围为33,1㊂点评:利用余弦定理用(b +c )2表示出a 2是解决本题的关键,另外,在利用基本不等式求出a 的下界后,还要注意利用三角形三边的关系求出a 的上界,从而求出a 的取值范围㊂在求解三角形中边的最值(或范围)问题时,要注意充分利用条件确定相关的上界与下界,这里往往离不开基本不等式及三角形的基本性质㊂三㊁周长的最值问题在解三角形的解答题中,三角形周长的最值问题是高考的一个热点,这类问题一般可以求出一条边,然后利用余弦定理表示出另两条边满足的关系式,最后利用基本不等61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月式求出周长的最值㊂例3 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若A B ң㊃A C ң=92,b s i n A =4(s i n A c o s C +c o s A s i n C )㊂(1)求a 的长度;(2)求әA B C 周长的最大值㊂分析:(1)根据题设条件,利用正弦函数两角和公式与三角函数诱导公式将已知条件化解为b s i n A =4s i n B ,再利用正弦定理将其转化即可求解;(2)通过向量数量积公式与余弦定理可得b 2+c 2=25,再利用基本不等式即可求得b +c 的最大值,进而得以求解әA B C 周长的最大值㊂解:(1)由b s i n A =4(s i n A c o s C +c o s A s i n C )得b s i n A =4s i n B ㊂由正弦定理得a b =4b ,解得a =4㊂(2)由A B ң㊃A C ң=92得b c c o s A =92㊂利用余弦定理得b c ㊃b 2+c 2-162b c =92,整理得b 2+c 2=25,由基本不等式得25=b 2+c 2ȡ(b +c )22,所以b +c ɤ52,当且仅当b =c =522时等号成立㊂所以әA B C 周长的最大值为4+52㊂点评:解决本题第(2)问的关键就是构建两边平方和的关系b 2+c 2=25,进而利用基本不等式的变形公式加以转化,得以求解b +c 的最大值,为进一步确定三角形的周长的最值提供条件㊂在解决涉及三角形的周长的最值(或范围)问题时,要注意三角形的三边中相应的常量与变量,合理构建变量的线性关系式加以综合与应用㊂四、面积的最值问题在解三角形的解答题中,三角形面积的最值(或范围)问题是高考的一个热点,解决这类问题的关键是找出两边之积满足的不等关系式,然后利用三角形面积公式解决问题㊂这里比较常用的思维是利用基本不等式思维来转化与应用㊂例4 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且3a s i n B -b c o s A=b ㊂(1)求角A 的大小;(2)若a =2,求әA B C 面积的最大值㊂分析:(1)由题中的关系式利用正弦定理转化为涉及角的关系式,通过恒等变形,并结合辅助角公式(或范围),利用角的取值范围加以分析与求解;(2)通过余弦定理构建对应的关系式,利用基本不等式得以确定b c 的最大值,进一步确定әA B C 面积的最大值㊂解:(1)依题意,利用正弦定理可得3s i n A s i n B -s i n B c o s A =s i n B ,又s i n B ʂ0,所以3s i n A -c o s A =1,所以32s i n A -12c o s A =12,即s i n A -π6=12㊂又因为A ɪ(0,π),所以A -π6ɪ-π6,5π6,所以A -π6=π6,即A =π3㊂(2)利用余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2b c c o s A ,即4=b 2+c 2-b c ,结合基本不等式可得4=b 2+c 2-b c ȡ2b c -b c =b c ,即b c ɤ4,当且仅当b =c =2时等号成立㊂所以S =12b c s i n A ɤ12ˑ4ˑ32=3,即әA B C 面积的最大值为3㊂点评:解决本题第(2)问的关键是利用余弦定理表示出b ,c 满足的关系式,然后利用基本不等式求出b c 满足的不等关系,最后利用三角形的面积公式解决问题㊂注意在确定三角形面积的最值(或范围)时,往往在定角背景下两夹边的乘积的最值确定,或是两边定值背景下夹角的正弦值的最值确定㊂借助基本不等式思维确定三角形中的最值(或范围)问题,主要是利用三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积等的关系式的 定和 或 定积 的结构特征,利用基本不等式来确定最值㊂解题的关键是利用解三角形进行统一化处理,或统一化边,或统一化角,结合仅含边或角的关系式的变形与应用来达到目的㊂(责任编辑 王福华)71解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月。
三角不等式 最值 等号
三角不等式最值
等号
三角不等式是一
种重要的数学不等式，它可以用于比较不同
形状的三角形的边长
和面积。
三角不等式的一般形式是：对于任意两个三角形ABC和DEF，如果它们有一条公共
边AB，那么三角形ABC
的面积加上三角形DEF 的面积总是大于等于平行四边形BCFED的面积。
最值问题是指在一定条件下，寻找某个变量的最大值或最小值。
在数学中，最值问题通常涉及到函数、不等式等知识点。
求解最值问题的方法有很多种，比如利用导数求极
值、利用不等式求最值等。
等号在数学中表示两个量或两个表达式相等的关系。
在三角不等式中，等号成立的条件通常是在某些特定条件下，比如三角形是等腰三角形或直角三角形等。
同时，在求解最值问题时，等号成
立的条件通常表示该
点是极值点或最值点。
综上所述，三角不等式、最值和等号是数学中三个重要的概念。
它们之间有一定的联系，比如在求解最值问题时可能会涉及到三
角不等式和等号成立
的条件。
解三角形周长的最值问题
解三角形周长的最值问题在解三角形周长的最值问题中，我们需要找出使得三角形周长最大或最小的条件，并根据条件计算出最值。
下面我们将以解三角形周长最大和最小为例，进行详细说明。
首先，我们来讨论如何求解三角形周长的最大值。
对于一个给定的三角形，我们知道三边之和是三角形的周长，即a+b+c。
要使得三角形的周长最大，我们需要使得三边的长度尽可能大。
根据三角形的性质，三边的长度必须满足三角不等式：任意两边之和大于第三边。
因此，我们可以得出以下条件：1. a + b > c2. b + c > a3. c + a > b根据这些条件，我们可以得出三边的长度的最大值。
假设a、b、c分别为三边的长度的最大值，那么可以推导出以下关系式：a +b = cb +c = ac + a = b通过解这个方程组，我们可以得到三边长度的最大值。
在实际运用中，我们可以通过计算机或手工计算来求解。
接下来，我们来讨论如何求解三角形周长的最小值。
同样地，我们需要使得三边的长度尽可能小，即满足三角不等式的条件。
在这种情况下，我们可以得到以下条件：1. a + b > c2. b + c > a3. c + a > b4. a, b, c > 0根据这些条件，我们可以得出下列结论：a +b = cb +c = ac + a = ba, b, c > 0通过求解这个方程组，我们可以得到三边长度的最小值。
同样地，在实际运用中，我们可以使用计算机或手工计算来求解。
总结起来，要解决三角形周长的最值问题，我们需要根据三角不等式和其他给定条件，求解方程组，从而得出三边长度的最大或最小值。
在实际应用中，我们可以利用计算机或手工计算方法来完成计算。
三角形周长的最值问题是数学中一个常见且重要的问题，它在几何学、建筑学以及其他相关领域中都有重要的应用。
通过求解这个问题，我们可以在特定约束条件下，找到最合适的三角形形状。
三角形的不等式性质
三角形的不等式性质三角形是一个经典的几何形状，由三条边和三个角组成。
对于一个具有三个边长a、b和c的三角形，存在一组不等式性质，这些性质能够帮助我们了解三角形的特性和限制，并在解决与三角形相关的问题时发挥重要的作用。
在本文中，我们将讨论三角形的不等式性质以及它们的应用。
一、三角不等式三角形的不等式是关于三条边长的约束条件，它们是:1. 任意两边之和大于第三边：a + b > c，b + c > a，a + c > b。
2. 任意两边之差小于第三边：|a - b| < c，|b - c| < a，|a - c| < b。
这些不等式的意义在于，要构成一个有效的三角形，任意两边的和必须大于第三边，而任意两边的差必须小于第三边。
这些约束条件确保了三角形的形状的合理性。
二、等边三角形等边三角形是指三边长度相等的三角形。
在等边三角形中，三个角也相等，每个角都为60度。
由于它的三边相等，根据三角不等式，等边三角形的任意两边之和大于第三边的条件总是成立的，因此等边三角形一定能够构成一个有效的三角形。
三、等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个角也相等，而另一个角称为顶角。
对于一个等腰三角形，根据三角不等式，两个等边之和大于第三边的条件总是成立的，因此等腰三角形也能够构成一个有效的三角形。
四、直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，较长的边称为斜边，而其他两条边分别称为直角边。
根据三角不等式，对于直角三角形来说，斜边的长度必须大于直角边的长度，否则将无法构成一个合理的三角形。
五、应用于解决问题三角形的不等式性质在几何学和数学问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 判定三条边是否能够构成三角形：根据三角不等式，我们可以判断给定的三边是否能够构成一个有效的三角形。
只需要检查任意两边之和是否大于第三边即可。
2. 寻找可能的三角形边长：已知两边长度，我们可以利用三角不等式推导出第三条边的取值范围，从而得到可能的三角形边长。
三角形的最大值最小值问题
三角形的最大值最小值问题三角形的最大值最小值问题（约1500字）三角形是几何学中的一种基本形状，它由三条边和三个角组成。
有很多与三角形相关的问题，其中一个是寻找三角形的最大值和最小值。
在这篇文章中，我们将探讨如何确定三角形的最大值和最小值，并介绍一些相关的概念和实例。
首先，让我们来讨论如何确定三角形的最大值。
根据三角形的特性，三边的长度之和必须大于第三边的长度。
这是三角不等式的基本原理。
因此，当我们已知两条边的长度时，我们可以通过求解两条边之和与第三边的长度的最大值来确定三角形的最大边长。
举个例子来说明。
假设我们知道一个三角形的两边分别为5和7。
我们可以计算这两条边的和为12。
现在我们需要找到一个长度，使其大于12，并且也满足三角不等式的要求。
所以我们可以选择13作为第三边的长度。
通过这个例子，我们可以看到确定三角形的最大值是一个相对简单的过程，只需要遵循三角不等式的原则即可。
接下来，让我们来讨论如何确定三角形的最小值。
对于最小值问题，我们需要考虑两个因素：首先是最小边的长度，其次是使得三角形存在的最小角度。
最小边的长度可以通过比较三边的长度来确定。
当三边的长度相等时，即为等边三角形，此时最小边的长度与其他两边相等。
当两边的长度相等时，即为等腰三角形，此时最小边的长度取决于与两边不相等的边。
当三边的长度都不相等时，最小边的长度就是最短的边。
关于最小角度，我们可以利用三角函数来计算。
通过正弦定理，我们可以得到一个三角形的任意一条边与其对应的角度之间的关系。
根据正弦定理，三角形的三边分别为a、b和c，对应的角度分别为A、B 和C，则有以下关系式：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据这个关系式，我们可以推导出最小角度的判断方法。
当我们已知三角形的三边长度时，我们可以计算出每个角度的正弦值。
然后，我们比较这些正弦值，找到最小的正弦值对应的角度，即为三角形的最小角度。
举个例子来说明。
假设我们已知一个三角形的三边长度分别为3、4和5。