求解三角不等式
三角不等式公式大全
三角不等式公式大全1.三角不等式的基本形式：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：AB+AC>BCAC+BC>ABBC+AB>AC2.三角不等式的推广形式：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：AB + AC + BC > 2(max{AB, AC, BC})AB+AC-BC<ABAB+BC-AC<BCAC+BC-AB<AC3.正弦定理：对于任意三角形ABC，设a,b,c分别为三边对应的角A,B,C的对边长度，则有：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R其中，R为三角形外接圆的半径。
4.余弦定理：对于任意三角形ABC，设a,b,c分别为三边长度，A,B,C分别为对应的角，则有：a² = b² + c² - 2bc*cos(A)b² = c² + a² - 2ca*cos(B)c² = a² + b² - 2ab*cos(C)5.正弦不等式：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：sin(A) < sin(B) + sin(C)sin(B) < sin(A) + sin(C)sin(C) < sin(A) + sin(B)6.余弦不等式：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：cos(A) > cos(B) - cos(C)cos(B) > cos(A) - cos(C)cos(C) > cos(A) - cos(B)7.等角公式：对于任意三角形ABC，设a,b,c分别为三边长度，A,B,C分别为对应的角(b+c)sin(A/2) = (c+a)sin(B/2) = (a+b)sin(C/2) = 2 p其中，p为三角形的半周长。
8.密耳定理：对于任意三角形ABC，设a,b,c分别为三边长度，A,B,C分别为对应的角，则有：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R其中，R为三角形外接圆的半径。
三角函数不等式练习题及解答
三角函数不等式练习题及解答一、简介三角函数是数学中的一类特殊函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在解三角函数不等式时，我们需要运用这些函数的性质和相关的数学知识。
本文将为大家提供一些三角函数不等式的练习题及解答，帮助大家更好地掌握这一内容。
二、练习题与解答1. 解不等式sin(x) > 0的解集。
解析：根据正弦函数的性质可知，当角度x在区间(0, π)和(2π, 3π)等以π为周期的区间时，sin(x) > 0。
因此，该不等式的解集为S = {x | x∈ (0, π) ∪ (2π, 3π)}。
2. 解不等式cos(2x) ≥ 0的解集。
解析：将不等式转化为等价形式，cos(2x) = 0。
则有2x = π/2 + kπ (k 为整数) 或2x = 3π/2 + kπ (k为整数)。
化简得x = π/4 + kπ/2 或x = 3π/4+ kπ/2。
因此，该不等式的解集为S = {x | x ∈ [π/4 + kπ/2, 3π/4 + kπ/2]，k为整数}。
3. 解不等式tan(x) < 2的解集。
解析：tan(x) < 2可转化为tan(x) - 2 < 0。
根据正切函数的性质可知，tan(x) - 2 < 0的解集为角度x在区间(-π/4, arctan(2))和(arctan(2) + kπ, π/4+ kπ)，其中k为整数。
因此，该不等式的解集为S = {x | x ∈ (-π/4, arctan(2)) ∪ (arctan(2) + kπ, π/4 + kπ)，k为整数}。
4. 解不等式sin(3x) ≤ cos(2x)的解集。
解析：将不等式转化为等价形式得sin(3x) - cos(2x) ≤ 0。
对于这种类型的不等式，我们可以使用图像法和代数法来求解。
图像法解析：将sin(3x)和cos(2x)的图像绘制在同一坐标系中，找到它们的交点，即满足sin(3x) - cos(2x) ≤ 0的解集。
三角不等式
第23讲 三角不等式竞赛热点含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式。
在高中数学竞赛内容中，涉及三角不等式的问题有三类：一是三角不等式的证明，二是解三角不等式，三是应用三角不等式求最值。
处理三角不等式的问题一方面要有扎实的三角变形能力，另一方面还需要有三角函数的图象和性质的认识。
同时，对不等式的有关性质和证明方法要能灵活运用。
解题示范例1：已知N n ∈，2≥n ，求证：.321cos 31cos 21cos >n思路分析：本题从三角变形入手不易，不可考虑利用x x <sin 放缩，转化为代数不等式。
证明：因为.121311110<<<<-<< n n 所以.11sin 0kk << 又.)1)(1(111sin 11cos 2222k k k k k k +-=->-= 所以)11()3432)(2321()1cos 31cos 21(cos 2nn n n n +∙-∙∙> .)32(2121)1453423)(1433221(2>>+=+∙∙-∙∙=n n nn n n 即.321cos 31cos 21cos >n 点评：此题应用三角函数中重要的不等式：若)2,0(π∈x ，则.tan sin x x x <<此结论的应用，将三角不等式转化为代数不等式，叠乘即证得。
例2：当],0[,,321n ∈ααα时，求证：.3sin 3sin sin sin 321321αααααα++≤++思路分析；利用和差化积公式和变为乘积的形式，再放缩证明。
证明：因为3sinsin sin sin 321321αααααα+++++ 62cos 64sin 22cos 2sin 23213212121αααααααααα-++++-+= 3sin462cos 3sin464sin 22sin 232132132132121αααααααααααααα++≤-+++=++++≤ 所以.3sin 3sin sin sin 321321αααααα++≤++引申：此证明中利用1cos ≤α进行放缩，从证明过程中可以看出，等号当且仅当321ααα==时成立。
第24讲_三角不等式
第四讲 三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题例1 已知α、β为锐角，且()02x παβ+->，求证对一切0x ≠，有(cos )(sin )x x αβ<分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x x α=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x x α=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明 （1）若x >0，则2παβ+>，则022ππβα>>->，由正弦函数的单调性，得0sin()sin 12παβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )x x αβ<．（2）若x <0，则2παβ+<，则022ππβα<<-<，由正弦函数的单调性，得0s i n s i n ()12πβα<<-<，即0s i n c o s 1βα<<<，又x <0，故有(cos )(sin )x x αβ<．说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2πα±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知0απ<<，试比较2sin2α和cot 2α的大小．分析 两个式子分别含有2α与2α的三角函数，故可考虑都化为α的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一2sin 21cos 4sin cos tan4sin cos 2sin cot2ααααααααα-== =2214cos 4cos 4(cos )12ααα-=--+，∵0απ<<，所以当1cos 2α=，即3πα=时，上式有最大值1，当0απ<<且3πα≠时，上式总小于1．因此，当3πα=时，2sin2α=cot2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．解法二 设tan2t α=，由0απ<<得022απ<<，故tan 02t α=>，则1cot 2tα=，2224(1)22sin 24sin cos (1)t t t ααα-⋅==+，于是有 cot 2α-2sin2α=2422222222214(1)2961(31)0(1)(1)(1)t t t t t t t t t t t -⋅-+--==≥+++ 因此，当3πα=时，2sin2α=cot 2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．例3 已知[0,]x π∈，求证：cos(sin x )>sin(cos x )分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．证法一 （1）当0,,2x ππ=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．（2）当2x ππ<<时，0s i n 12x π<<<，cos 02x π-<<，则cos(sin x )>0>sin(cos x )． （3）当02x π<<时，有0<sin x <x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，从而有cos(sin x )>cos x ；而0c o s 2x π<<，则sin(cos x )<cos x ，因此cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )．分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二 当02x π<<时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且sin x +cos x )4x π+2π≤，即0<sin x <2π-cos x <2π，而函数y =cos x在(0,)2π上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2π-cos x )=sin(cos x )，即cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．说明 （1）本题的证明运用到结论：(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2π<，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x R ∈.情景再现1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.2．已知,(0,)2x y π∈，tan 3tan x y =，求证：6x y π-≤.3．当[0,]2x π∈时，求证：coscos sinsin x x >.B 类例题例4 在ABC ∆中，证明： sin sin sin A B C ++≤分析一 本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．证法一 我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.sin sin sin 2sincos sin 22A B A B A B C C +-++=+2cos cos sin 22c A BC -=+，显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C ++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3π时，sin sin sin A B C ++，∴原不等式得证． 说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二 即证sin sin sin 3A B C ++观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．证法二 函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123sin sin sin sin()33x x x x x x ++++≥，等号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin()33A B C A B C++++≥，从而有sin sin sin 180sin 33A B C ++︒≤=，因此原不等式成立． 说明 本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸x )为上凸函数，不等号反向．例5 已知,,x y z R ∈,02x y z π<<<<．求证：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y zπ++>++（90年国家集训队测试题）分析 将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明 即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4x y y z x x y y z z π++>++即证明sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4x x y y y z z z π>-+-+注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4π为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例6 63)cos()2sin 24sin cos a πθθθθ+-+-+36a <+对于[0,]2πθ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）分析 所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos()cos )4πθθθ-=+，sin22sin cos θθθ=，因此考虑令sin cos x θθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解 设sin cos x θθ+=，则2cos(),sin 2142x x πθθ-==-，当[0,]2πθ∈时，x ⎡∈⎣．从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x ++--<+，即26223340x ax x a x ---++>，222()3()0x x a x a x x +--+->，()2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭∴原不等式等价于不等式（1），1,,230x x ⎡∈∴-<⎣（1）不等式恒成立等价于()20x a x x⎡+-<∈⎣恒成立．从而只要m a x 2()()a x x x ⎡>+∈⎣．又2()f x x x =+在⎡⎣上递减，m a x 2()3()x x x⎡∴+=∈⎣，所以3a >． 例7 三个数a ,b ,c ∈(0,)2π，且满足cos a a =，sincos b b =，cossin c c =，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）分析 比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sincos cos b b b =<，cossin cos c c c =>，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a 与b ，由cos sin cos a ab b==，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解 （1）若a b =，则cos si n cos a a =，但由c o s a (0,)2π∈，故有cos si n cos a a >矛盾，即a ≠b ．（2）若a b <，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sincos a b <，而sincos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．类似地，若c a =，则由题意可得cos cossin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则s i n s i n c a a <<，即s i n c a <，cossin cos c a ∴>，即c a >矛盾．综上可得：b a c <<．说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC 中，求证：（1）3sinsin sin 2222A B C ++≤；（2）sin sin sin A B C ． 5．设12x y z π≥≥≥，且2x y z π++=，求乘积cos sin cos x y z 的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥（2004年福建省数学竞赛题）C 类例题例8 已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一 不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．解法一 设22()cos (1)(1)sin f x x x x x θθ=--+-， 则由[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，有(0)sin 0f θ=>，(1)cos 0f θ=>，22()([(12(12(1f x x x x x x ∴=+----(1)x x --21[(12(1)(02x x x =--->，当x =(10x -=，令0x =，则001x <<，0001()2(1)02f x x x =->12>，即1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，所求范围是：522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈，反之，当522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈时，有1sin 22θ>，且s i n 0,c o s 0θθ>>，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立．分析二 不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．解法二 由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有()f x =22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->，即2()(cos 1sin )(12sin )sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为12sin 2(cos sin 1)x θθθ+=++[0,1]∈，故必有24(cos sin 1)sin (12sin )04(cos sin 1)θθθθθθ++-+>++，即4cos sin 10θθ->，1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈． 分析三 原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )． 解法三 原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1x x -cos θ+1x x-sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x -cos θ+1xx-sin θ≥，∴1x x -cos θ+1xx-sin θ的最小值为，等号当1x x -cos θ=1x x -sin θ即x =时取到，因此．∴1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈． 例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有()1cos sin cos2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：222a b +≤，221A B +≤．（1977第十九届IMO ） 分析 根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成()1))0f x x x θϕ=++≥，其中x 为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．证明 若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立； 故下设220a b +≠，220A B +≠： 令sin θθϕϕ===()1))f x x x θϕ=++，即对于一切实数x ，都有()1))0f x x x θϕ=++≥（1）()1))02f x x x πθϕ+=++≥ （2）（1）+（2）得：2)cos()]0x x θθ+++≥，即sin()cos()x x θθ+++≤对于一切实数x ≥因此222a b +≤．()1))0f x x x πθϕ+=++≥ （3）（1）+（3）得：2)0x ϕ-+≥，即sin(2)x ϕ+1≥，∴ 221A B +≤．例10 设αβγπ++=，求证：对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z 有222sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤分析 由0x y z ++=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，即可得证．证明 由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得， 不等式左边=2222222[sin sin (sin sin sin )]y x xy αβαβγ-+++- （1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．；（2）当sin 0α≠，整理成y 的二次方程，证△≤0． 左边2222(sin sin sin )[sin ]2sin x y αβγαα+-=-+22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--+， 由222222(sin sin sin )4sin sin αβγαβ+--222222(sin sin sin 2sin sin )(sin sin sin 2sin sin )αβγαβαβγαβ=+-++--2sin sin [1cos()]2sin sin [1cos()]αβαβαβαβ=-+⋅--+2224sin sin [1cos ()]0αβαβ=--+≤，∴22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--0≤，∴不等式左边0≤成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>习题1．求证：对所有实数,x y ，均有22cos cos cos 3x y xy +-<． 2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1A B C > 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin sin sin 2A B C ++>4．求证：222sin (cos(sin )sin(cos )2sin (44x x ππ≤-≤5．已知,(0,)2παβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成一个三角形？6．已知,αβ为锐角，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥ 7．已知A +B +C =π，求证：222tan tan tan 1222A B C ++≥ 8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：3π≥++++c b a cC bB aA ．9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：12tan tan tan 3nnnnA B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知02πθ<<，,0a b >，求证：223332()sin cos a b a b θθ+≥+11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠P AB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．12．解方程coscoscoscos sinsinsinsin x x =（1995年全俄竞赛题）本节“情景再现”解答：1．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相加得证．2．证明：由已知得tan 3tan tan x y y =>及,(0,)2x y π∈知，x y >，从而(0,)2x y π-∈，要证6x y π-≤，只须证明tan()tan 6x y π-≤=，由于2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x y yx y x y y--==++，于是问题归结为证22tan 13tan y y ≤+，即21)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立．3．证法一：当x ∈(0,2π)时，∵0<sin x <x <2π,∴sinsin x <sin x ,再比较sin x 与coscos x 的大小，由sin x =cos (2π-x )，即比较(2π-x )与cos x ，而cos x =sin (2π-x ),因此(2π-x )＞cos x ，从而cos (2π-x )<coscos x ，即sin x <coscos x ，从而得证．证法二： sin x +cos x 2π≤，即0<cos x <2π-sin x <2π， 所以cos(cos x )>cos(2π-sin x )=sin(sin x )． 4．证明：（1）由琴生不等式即得．（2sin sin sin sin 33A B C A B C ++++≤，从而得证． 5．解：由条件知，312x y z ππ≥≥≥≥，()222123x y z ππππ=-+≤-⨯=，sin()0y z -≥，于是cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2x y z y z ++-1cos sin()2x y z ≥+22111cos cos 2238x π=≥=，当,312x y z ππ===时取等号，故最小值为18（y 与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）．又cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2z x y x y +--211cos sin()cos 22z x y z ≤+=21cos 212π≤，且当5,1224z x y ππ===时等号成立，故cos sin cos x y z6．证明：设()|s i n c o s t a n c o t f x x x x x x x=+++++，sin cos t x x=+，则有21sin cos 2t x x -=，2222()||11t f x t t t =++--22|||11|11t t t t =+=-++-- 当1t >时，2()1111f x t t =-++≥-； 当1t <时，2()(1)111f x t t =--+-≥-因此|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥．7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立．同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），1[(1)(2)(3)]2⨯++即得所要证的不等式． 8．证明：2242tan2tan4tan222sin tan 4tan 21tan 1tan 1tan 222ααααααααα+=+=>+--， 0,tan,sin tan 4tan22222πααααααα<<∴>∴+>>，同理得另两个，命题得证．“习题”解答：1．证明：22cos cos cos 3x y xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则22cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则222,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2224,,*x y nk k n N π=∈，则,,*xy k n N =∈，cos 1xy ≠-，因此等号不成立．2．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tan tan tan 1A B C >．3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+22cos cos cos cos cos cos B B A A B A >+=+，三式相加得证．4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(cos )2x x x x π-=--cos sin cos sin 2sin()sin()4242x x x xππ+-=--又cos sin 2x x ±≤ cos sin 4424x x πππ±≤-≤，又04π>，4π2π<，由正弦函数在[0,]2π上的单调性可知，原不等式成立．5．证法一：sin sin 2sincos2sincossin()2222αβαβαβαβαβαβ+-+++=>=+ |sin sin |2cos|sin|2cossinsin()2222αβαβαβαβαβαβ+-++-=<=+，因此可以构成三角形．证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．6．解：左222222214145tan 4cot 9cos sin sin 2cos sin ααααβαα=+≥+=++≥． 7．证：左tantan tan tan tan tan 222222A B B C C A ≥++ tan tan tan (tan tan )22222A B C B A=++ tantan cot tan (1tan tan )1222222A B A B A B A B ++≥+-=8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，而x y z ++≥，代入得323xyz ≥，故123n n n nx y z +++≥≥．10．证明：要证原不等式，即证222333()()sin cos a b a b θθ+≥+，即2222222sin cos sin cos a b aba b θθθθ++≥++上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化即证222222sin cos cot tan 2sin cos a b abθθθθθθ+++≥即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θθθθ+++≥因为22222c o t 2t a n c o t t a n t a a a b a a b a b b θθθθθ+=++，同理可得22tan 2cot b ab θθ+≥11．证明：如图，P A sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=P A sin θ4，三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5 sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ66123456sin sin sin sin sin sin 6θθθθθθ+++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭661234561sin ()62θθθθθθ+++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而sin 1θsin θ2 sin θ331()2≤，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于12，不妨设sin 1θ12≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．12．解：考虑周期性，只要先解决[0,2)x π∈的解的情况，而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解．由于[0,]2x π∈时有coscos sinsin x x >，将x 换成cos cos x 得（换成sinsin x也可以）：coscoscoscos sinsincoscos x x >，又由于sin sin y x =在[0,]2x π∈时为增函数，因此有sinsincoscos sinsinsinsin x x >，综上可得：coscoscoscos sinsinsinsin x x >，因此原方程无解． 当(,)2x ππ∈时，令2y x π=-，则(0,)2y π∈，在coscos sinsin x x >，[0,]2x π∈中，将x 换成cossin y 得，coscos(cossin )sinsin(cossin )sinsin(sin cos )y y y >>，将2y x π=-代入得，coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程也无解．综上所述，对x R ∈，恒有coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程无解．。
三角形的不等式性质
三角形的不等式性质三角形是一个经典的几何形状，由三条边和三个角组成。
对于一个具有三个边长a、b和c的三角形，存在一组不等式性质，这些性质能够帮助我们了解三角形的特性和限制，并在解决与三角形相关的问题时发挥重要的作用。
在本文中，我们将讨论三角形的不等式性质以及它们的应用。
一、三角不等式三角形的不等式是关于三条边长的约束条件，它们是:1. 任意两边之和大于第三边：a + b > c，b + c > a，a + c > b。
2. 任意两边之差小于第三边：|a - b| < c，|b - c| < a，|a - c| < b。
这些不等式的意义在于，要构成一个有效的三角形，任意两边的和必须大于第三边，而任意两边的差必须小于第三边。
这些约束条件确保了三角形的形状的合理性。
二、等边三角形等边三角形是指三边长度相等的三角形。
在等边三角形中，三个角也相等，每个角都为60度。
由于它的三边相等，根据三角不等式，等边三角形的任意两边之和大于第三边的条件总是成立的，因此等边三角形一定能够构成一个有效的三角形。
三、等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个角也相等，而另一个角称为顶角。
对于一个等腰三角形，根据三角不等式，两个等边之和大于第三边的条件总是成立的，因此等腰三角形也能够构成一个有效的三角形。
四、直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，较长的边称为斜边，而其他两条边分别称为直角边。
根据三角不等式，对于直角三角形来说，斜边的长度必须大于直角边的长度，否则将无法构成一个合理的三角形。
五、应用于解决问题三角形的不等式性质在几何学和数学问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 判定三条边是否能够构成三角形：根据三角不等式，我们可以判断给定的三边是否能够构成一个有效的三角形。
只需要检查任意两边之和是否大于第三边即可。
2. 寻找可能的三角形边长：已知两边长度，我们可以利用三角不等式推导出第三条边的取值范围，从而得到可能的三角形边长。
一个三角形不等式的最佳形式
一个三角形不等式的最佳形式三角形的不等式是几何学中的一个重要定理，它描述了三角形中三个边的关系。
三角形的不等式有许多种形式，但其中最常见和最重要的形式是三角形的边长不等式。
三角形的边长不等式可以用来判断一个三角形是否存在，以及判断一个三组边能否构成一个三角形。
根据三角形的边长不等式，一个三角形的任意两边之和必须大于第三边，否则这三条边无法构成一个三角形。
这个不等式的形式可以表示为：a+b>c，b+c>a，以及a+c>b，其中a，b，c分别代表三角形的三条边的长度。
三角形的边长不等式还可以用来判断一个三角形的性质。
根据边长不等式，如果一个三角形的三条边中有一条边的长度超过另外两条边的长度之和，那么这个三角形就是一个钝角三角形。
如果一个三角形的三条边中有一条边的长度等于另外两条边的长度之和，那么这个三角形就是一个直角三角形。
另外，如果一个三角形的三条边中有一条边的长度小于另外两条边的长度之和，那么这个三角形就是一个锐角三角形。
另外，三角形的边长不等式还可以用来帮助解决一些几何问题。
例如，考虑一个三角形的两个内角和为90度，那么这个三角形一定是一个直角三角形。
根据边长不等式，我们可以进一步推断这个直角三角形的三个边长的关系。
这样，三角形的边长不等式可以帮助我们更加深入地理解三角形的性质和特点。
总的来说，三角形的边长不等式是几何学中一个重要的定理，它描述了三角形的边长之间的关系。
通过研究三角形的边长不等式，我们可以更好地理解三角形的性质和特点，解决一些几何问题，并且推断出三角形的形状和类型。
三角形的边长不等式在几何学中有着广泛的应用，对于深入研究三角形和其他几何形状都具有重要的意义。
解三角函数不等式
解三角函数不等式
一、三角函数不等式
三角函数不等式是指在某一种三角函数和其反三角函数运用不等式进行比较的式子。
这类不等式涉及到三角函数的正弦、余弦和正切等，可以简写成 sin x> 0、cos x> 0 或tan x> 0 等形式。
三角函数不等式的主要内容涉及到三角函数的单调性、限制性、不等性和 pei-式不等式等概念。
首先是三角函数的单调性，即三角函数都是单调的，它们的值在增加或减少的时候，函数值的变化也是单调的，它们之间不存在折点和拐点，所以不等式中的不等号只能是单调变化的方向。
其次是三角函数的限制性，即三角函数在某一特定范围内都有一定的范围，并且它们之间存在范围边界上的差异，所以在不等式中，可以用三角函数的范围边界定义不等号的大小关系。
最后是pei-式不等式，这类不等式是基于三角函数的pei-序列设计的，它把三角函数的不等情况分解到不同的pei-序列，在不等式中可以用各个pei-序列的不等情况定义不等号的大小关系。
总的来说，三角函数不等式包括三角函数的单调性、限制性、不等性以及pei-式不等式等，它可以帮助我们进行复杂的函数不等式求解，精确到特定范围的解的结果，也可以给特定的函数运用求解更复杂的函数不等式求解问题。
三角不等式定理
三角不等式定理1. 引言三角不等式定理是几何中一个重要的定理，它描述了三角形边长之间的关系。
三角不等式定理在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍三角不等式定理的定义、证明、应用以及相关的例题。
2. 定义三角不等式定理是指对于任意三角形ABC，其任意两边之和大于第三边的关系，即：AB + BC > AC AC + BC > AB AB + AC > BC3. 证明要证明三角不等式定理，可以使用几何证明和代数证明两种方法。
3.1 几何证明首先，假设三角形ABC的边长分别为AB、BC、AC。
我们可以通过以下步骤来证明三角不等式定理：1.作边AD，使得AD与BC平行，并延长AD至交点E；2.连接BE，AE；3.根据平行线的性质，我们可以得到△BDE与△ACD相似；4.根据相似三角形的性质，我们可以得到BD/AC = BE/AD 和 DE/AC = CD/AD；5.由于BE = BD + DE，所以BD/AC + DE/AC = (BD + DE)/AC = BE/AD =BC/AD；6.由于DE/AC = CD/AD，所以DE/AC + CD/AD = (DE + CD)/AC = DC/AD；7.根据三角形的内角和为180°，我们知道∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°；8.由于∠BAC + ∠ACB = ∠BAE，所以∠BAE + ∠ABC = 180°；9.由于∠BAC + ∠ABC = ∠BAD，所以∠BAD + ∠ACB = 180°；10.根据三角形内角和为180°，我们知道∠BAD + ∠ACB + ∠BCD = 180°；11.由于∠BAD + ∠ACB = ∠BAE，所以∠BAE + ∠BCD = 180°；12.由于∠BAD + ∠BCD = ∠BAC，所以∠BAC + ∠BAE = 180°；13.根据三角形内角和为180°，我们知道∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = 180°；14.由于∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = ∠BAC + ∠BCD，所以∠BAC + ∠BCD =180°；15.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAC + ∠BCD + ∠ABC = 180°；16.由于∠BAC + ∠ABC = ∠BAD，所以∠BAD + ∠BCD = 180°；17.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAD + ∠BCD + ∠ACB = 180°；18.由于∠BAD + ∠BCD + ∠ACB = ∠BAD + ∠ACB，所以∠BAD + ∠ACB =180°；19.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAD + ∠ACB + ∠ABC = 180°；20.综上所述，我们可以得到∠BAD + ∠ACB + ∠ABC = ∠BAC + ∠BCD +∠ABC = ∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = 180°；21.根据角度关系，我们可以得到△ABC与△BAD相似；22.根据相似三角形的性质，我们可以得到AC/BD = BC/AD；23.根据BD/AC + DE/AC = BC/AD 和 DE/AC + CD/AD = DC/AD，我们可以得到BD/AC + CD/AD = BC/AD；24.根据AC/BD = BC/AD 和 BD/AC + CD/AD = BC/AD，我们可以得到AC/BD +CD/AD = BC/AD；25.根据两边之和大于第三边的性质，我们可以得到AC/BD + BD/AC > CD/AD；26.根据相似三角形的性质，我们可以得到AC/BD + BD/AC = AB/AD；27.综上所述，我们可以得到AB/AD > CD/AD，即AB + BC > AC。
解三角形不等式PPT教学课件
例7.若lgx+lgy＝1，5 2 的最小值是___2___. xy
进阶练习：
一、选择题：
1、已知 a b ，在以下4个不等式中：
1
（1） a
1 b
（2）a 2
b 2（3）lg( a 2
1 ) lg( b2
1 )（4） 2a
2b
正确的个数有（ D ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D.1个
A． a 4 B． a 4 C． a 12
D． a 12
变形：若关于 x 的不等式 2x2 8x 4 a 0在(1, 4) 上恒成立， 则实数 a 的取值范围是
9.一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应
具有 4 5cm2 的面积，问应如何设计十字型宽 x 及长 y ，才能使其
外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．
D
C
A xB
某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工 和漆工两道工序完成。已知木工做一张A、B型桌子分 别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别 需要 3小时和 1小时，又知木工、漆工每天工作分别不 得超过8小时和9小时，而工厂生产一张A、B型桌子分 别可获利润2千元和3千元。试问工厂每天应生产A、B 型桌子各多少张，才能获得最大利润？
答案：20 －1
例 2、.已知函数 f（x）=log 1 （x2－ax+3a）在
2
［2，+∞）上是减函数，则实数 a 的范围是
A.（－∞，4］
B.（－4，4］
C.（0，12）
解析：
D.（0，4］
∵f（x）=log 1 （x2－ax+3a）在［2，+∞）上是减函数，
三角函数不等式的解法
三角函数不等式的解法在解决数学问题中，三角函数不等式是一类常见且重要的问题。
它涉及到三角函数的不等式关系，需要通过一定的方法和技巧来求解。
本文将介绍一些常用的解法，帮助读者更好地理解和应用三角函数不等式。
一、基本概念回顾在探究三角函数不等式的解法之前，我们先来回顾一下基本的三角函数概念。
在一个单位圆上，以圆心为原点，任意一个点P(x,y)的坐标就可以表示为(x,y)=（cosθ，sinθ）。
其中，θ为该点P与x轴正半轴的夹角。
根据这一概念，我们可以定义出三个常用的三角函数：正弦函数sinθ= y，余弦函数cosθ= x，和正切函数tanθ= y/x。
二、三角函数的周期性了解三角函数的周期性对于解决三角函数不等式问题至关重要。
我们知道，正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即sin(θ+2πn)=sinθ，cos(θ+2πn)=cosθ，其中n为整数。
而正切函数的周期为π，即tan(θ+πn)=tanθ，其中n为整数。
这一周期性特点使得我们能够简化三角函数不等式的求解过程。
三、基本不等式在解决三角函数不等式时，我们需要首先掌握一些基本的不等式关系。
1. sinθ≤1，cosθ≤1，t anθ不存在π/2的整数倍；2. sinθ≥-1，cosθ≥-1，tanθ不存在π的整数倍。
利用这些基本的不等式关系，我们可以将三角函数不等式问题转化为寻找不等式的解集合。
四、三角函数不等式的求解方法接下来，我们将介绍一些常用的解三角函数不等式的方法。
1. 借助图形法对于一些简单的三角函数不等式，我们可以通过绘制函数图像来求解。
通过观察图像的变化趋势，确定函数的取值范围，从而求解不等式。
2. 利用周期性和对称性根据三角函数的周期性和对称性，我们可以将不等式的解集合扩展到整个定义域上。
例如，sinθ＞0，我们可以得到不等式的解集为(2nπ, (2n+1)π)，其中n为整数。
3. 利用三角函数的单调性掌握三角函数的单调性也是解决三角函数不等式的关键。
《三角不等式》 知识清单
《三角不等式》知识清单一、什么是三角不等式在数学中，三角不等式是涉及三角形边长和角度关系的不等式。
它是解决几何问题、三角函数问题以及在数学分析等领域中经常用到的重要工具。
简单来说，如果我们有一个三角形，其三条边的长度分别为 a、b、c，那么三角不等式告诉我们：任意两边之和大于第三边，即 a ＋ b ＞c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a。
同时，对于三角形的三个内角 A、B、C，也存在一些与三角函数相关的不等式关系。
二、常见的三角不等式形式1、边的不等式基本形式：a ＋ b ＞ c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a。
推论：若a ≥ b，则 a b ＜ c ＜ a ＋ b。
2、角的不等式对于任意三角形，三个内角之和为 180°，即 A ＋ B ＋ C ＝ 180°。
大角对大边：若 A ＞ B，则 a ＞ b。
3、与三角函数相关的不等式正弦定理：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），由此可得\（＼sin A ：＼sin B ：＼sin C ＝ a ：b ： c\），并且\（＼sin A ＋＼sin B ＞＼sin C\）。
余弦定理：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\），＼（b^2 ＝ a^2 ＋c^2 2ac\cos B\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C\）。
三、三角不等式的证明方法1、几何方法通过画图，利用三角形的性质和几何直观来证明。
例如，对于边的不等式，可以通过两点之间线段最短的原理来理解。
2、代数方法利用代数运算和不等式的性质进行证明。
例如，对于余弦定理的推导，可以通过向量的方法或者利用三角函数的定义和恒等式进行证明。
四、三角不等式的应用1、几何问题判断三条线段能否构成三角形，已知两边和夹角求第三边的范围等。
2、三角函数问题求解三角函数的取值范围，证明三角函数的不等式等。
高中数学中的三角函数应用之解三角方程不等式
高中数学中的三角函数应用之解三角方程不等式解三角方程不等式是高中数学中三角函数应用的一部分。
在解三角方程不等式时，需要运用一些基本的三角函数概念和性质，以及一些解方程和不等式的技巧。
本文将从解三角方程不等式的基本思路、常见问题类型以及解题方法等方面进行介绍。
解三角方程不等式的基本思路如下：1. 确定三角函数的定义域：在解三角方程不等式时，首先需要确定三角函数的定义域。
例如，在解sin x > 0的不等式时，首先需要确定sin x的定义域为[-1, 1]，然后再根据sin x > 0的条件进行求解。
2. 转化为方程求解：将不等式转化为等式，然后求解方程。
例如，将sin x > 0转化为sin x = 0的方程，然后求解sin x = 0的解集。
3. 综合解集：根据原不等式的条件，综合解集。
例如，对于sin x > 0的不等式，解集为x ∈ (0, π) ∪ (2π, 3π)，这是因为sin x在这些区间内是正数。
下面将介绍一些常见的三角方程不等式问题类型及解题方法：1. sin x > a的不等式：对于这种类型的不等式，首先需要确定sin x的定义域。
然后，根据不等式中的a的值，结合sin x的图像，确定解集的范围。
例如，对于sin x > 1/2的不等式，解集为x ∈ (0, π/6) ∪ (5π/6, π)。
2. cos x < a的不等式：对于这种类型的不等式，首先需要确定cos x的定义域。
然后，根据不等式中的a的值，结合cos x的图像，确定解集的范围。
例如，对于cos x < 0的不等式，解集为x ∈ (π/2, 3π/2)。
3. tan x > a的不等式：对于这种类型的不等式，首先需要确定tan x的定义域。
然后，根据不等式中的a的值，结合tan x的图像，确定解集的范围。
例如，对于tan x > √3的不等式，解集为x ∈ (π/3, 2π/3) ∪ (4π/3, 5π/3)。
三角函数的不等式与应用解析
三角函数的不等式与应用解析三角函数是数学中一类重要的特殊函数，其在数学和实际应用中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的不等式及其在实际问题中的应用解析。
一、三角函数的不等式1. 正弦函数的不等式正弦函数sin(x)的定义域为实数集合，其值域范围在[-1, 1]之间。
在解决正弦函数不等式时，我们需要注意以下几点：- 当sin(x) > k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (2kπ, 2kπ + π/2) 和(2kπ + 3π/2, 2kπ + 2π)，其中k为整数。
- 当sin(x) < k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (2kπ + π/2, 2kπ + π) 和(2kπ + 3π/2, 2kπ + 2π)，其中k为整数。
2. 余弦函数的不等式余弦函数cos(x)的定义域也是实数集合，其值域范围同样在[-1, 1]之间。
在解决余弦函数不等式时，我们需要注意以下几点：- 当cos(x) > k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (2kπ, 2kπ + π) 和(2kπ + 2π, 2kπ + 3π/2)，其中k为整数。
- 当cos(x) < k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (2kπ + π, 2kπ + 2π)，其中k为整数。
3. 正切函数的不等式正切函数tan(x)的定义域为实数集合，其值域无上下界。
在解决正切函数不等式时，我们需要注意以下几点：- 当tan(x) > k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (kπ, kπ + arctan(k))，其中k为整数。
- 当tan(x) < k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (kπ + arctan(k), kπ + π)，其中k为整数。
二、三角函数的应用解析三角函数在实际问题中广泛应用，下面以一些具体问题来说明其应用解析。
1. 几何问题中的应用三角函数在几何问题中有着重要的应用。
三角形不等式
• 窍门1：在解决三角形不等式问题时，要学会观察题目中的条件，找到解决问题的关键。 • 窍门2：在解决三角形不等式问题时，要学会运用三角形不等式的性质，简化问题，提高解 题效率。 • 窍门3：在解决三角形不等式问题时，要学会运用代数方法，如代入法、因式分解法等，帮 助解决问题。
三角形不等式的实际 应用案例
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三角形不等式的习题拓展
• 拓展1：已知三角形的三边长分别为a、b、c，求证a^2 + b^2 > c^2，b^2 + c^2 > a^2，a^2 + c^2 > b^2。 • 拓展2：已知三角形的三内角分别为A、B、C，求证sin(A + B) + sin(B + C) + sin(A + C) < 3。 • 拓展3：已知三角形的两边长分别为a、b，求证|a^2 - b^2| < c^2，|b^2 - c^2| < a^2， |a^2 - c^2| < b^2。
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三角形不等式的习题与解答
三角形不等式的经典习题
• 三角形不等式的经典习题 • 题目1：已知三角形的三边长分别为a、b、c，求证a + b > c，b + c > a，a + c > b。 • 题目2：已知三角形的三内角分别为A、B、C，求证A + B + C < 180°，A + B > 90°，B + C > 90°，A + C > 90°。 • 题目3：已知三角形的两边长分别为a、b，求证|a - b| < c， |b - c| < a，|a - c| < b。
三角不等式高中公式
三角不等式高中公式在高中数学的浩瀚知识海洋里，三角不等式可是个让人又爱又恨的家伙。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开许多难题的大门，但要掌握好它，也得费一番功夫。
先来说说什么是三角不等式。
简单来讲，三角不等式就是在三角函数中存在的一些不等式关系。
比如说，对于任意的角 A 和 B ，我们有|sin A - sin B| ≤ |A - B| 。
就拿我曾经教过的一个学生小明来说吧。
小明这孩子其他数学知识掌握得都还不错，可就是一碰到三角不等式的题目，就像霜打的茄子——蔫了。
有一次课堂小测验，有一道关于三角不等式的题目：已知 0 < A < π/2 ，0 < B < π/2 ，证明 |sin A - sin B| < |A - B| 。
小明苦思冥想了半天，愣是没写出个所以然来。
课后我把他叫到办公室，一点点给他分析。
我问小明：“你先想想，sin 函数的图像特点是什么？”小明挠挠头说：“老师，sin 函数图像是波浪形的，有周期。
”我接着引导他：“对呀，那你再想想，在 0 到π/2 这个区间，sin 函数是单调递增的吧？”小明眼睛一亮：“对哦老师，我怎么没想到！”然后我就跟他说：“那咱们假设 A > B ，根据拉格朗日中值定理，是不是存在一个ξ ，在 B 和 A 之间，使得 (sin A - sin B) = cos ξ (A - B)呀？”小明点点头，我继续说：“那因为cos ξ 的值是小于等于 1 的，所以 |sin A - sin B| = |cos ξ| |A - B| ≤ |A - B| ，这不就证明出来啦？”经过这一次的详细讲解，小明算是对三角不等式有了更深刻的理解。
后来再碰到类似的题目，他也能应对自如了。
咱们再来说说三角不等式在解题中的应用。
比如说，要求解不等式|sin x| + |cos x| ≥ 1 。
这时候咱们就可以利用三角不等式|a + b| ≤ |a| + |b| ，将左边变形为√2 |sin(x + π/4)| ，然后再去求解。
三角不等式.
三角不等式竞赛热点含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式。
在高中数学竞赛内容中，涉及三角不等式的问题有三类：一是三角不等式的证明，二是解三角不等式，三是应用三角不等式求最值。
处理三角不等式的问题一方面要有扎实的三角变形能力，另一方面还需要有三角函数的图象和性质的认识。
同时，对不等式的有关性质和证明方法要能灵活运用。
解题示范例1：已知N n ∈，2≥n ，求证：.321cos31cos 21cos >n思路分析：本题从三角变形入手不易，不可考虑利用xx <sin 放缩，转化为代数不等式。
证明：因为.121311110<<<<-<<n n所以.11sin0kk<<又.)1)(1(111sin11cos2222k k k k kk+-=->-=所以)11()3432)(2321()1cos31cos21(cos2nn nn n+∙-∙∙>.)32(2121)1453423)(1433221(2>>+=+∙∙-∙∙=nn nn nn即.321cos31cos21cos>n点评：此题应用三角函数中重要的不等式：若)2,0(π∈x ，则.tan sinx x x <<此结论的应用，将三角不等式转化为代数不等式，叠乘即证得。
例2：当],0[,,321n ∈ααα时，求证：.3sin3sin sin sin 321321αααααα++≤++思路分析；利用和差化积公式和变为乘积的形式，再放缩证明。
证明：因为3sinsin sin sin 321321αααααα+++++ 62cos64sin22cos2sin23213212121αααααααααα-++++-+=3sin462cos3sin 464sin22sin 232132132132121αααααααααααααα++≤-+++=++++≤所以.3sin3sin sin sin 321321αααααα++≤++引申：此证明中利用1cos ≤α进行放缩，从证明过程中可以看出，等号当且仅当321ααα==时成立。
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求解三角不等式
不等式是数学中一种常见的表达方式，用来表示两个或多个数的大小关系。
而三角不等式则是一类特殊的不等式，涉及三角函数的性质和大小关系。
三角不等式可以分为两种情况讨论：一种是涉及到正弦函数（sin）的不等式，另一种是涉及到余弦函数（cos）的不等式。
下面将详细讨论这两种情况。
一、涉及到正弦函数的不等式
对于三角函数sin(x)，我们知道它的取值范围是[-1, 1]，即-
1≤sin(x)≤1。
基于这一性质，我们可以得出一系列的三角不等式。
1. sin(x)≤1
这是最基本的三角不等式之一。
由于sin(x)的取值范围不能超过1，所以当x为任意实数时，sin(x)≤1始终成立。
2. sin(x)≥-1
与上一个不等式类似，sin(x)的取值范围不能小于-1，所以当x为任意实数时，sin(x)≥-1恒成立。
3. -1≤sin(x)≤1
这是sin(x)函数的取值范围，也是最常见的三角不等式之一。
根据定义，对于任何实数x，都有-1≤sin(x)≤1。
4. sin(x)≥sin(y)
当x > y时，sin(x) ≥ sin(y)。
这是由于对于角度而言，正弦函数是单调递增的。
5. sin(x)≤sin(y)
当x < y时，sin(x)≤sin(y)。
同样地，因为正弦函数是单调递增的，当x < y时，sin(x) ≤ sin(y)。
二、涉及到余弦函数的不等式
对于三角函数cos(x)，也有类似的不等式规则。
1. cos(x)≤1
余弦函数cos(x)的取值范围不能超过1，所以对于任意实数x，cos(x)≤1。
2. cos(x)≥-1
同样地，余弦函数cos(x)的取值范围不能小于-1，所以对于任意实数x，cos(x)≥-1。
3. -1≤cos(x)≤1
与正弦函数类似，余弦函数cos(x)的取值范围也是-1≤cos(x)≤1。
4. cos(x)≥cos(y)
当x > y时，cos(x) ≥ cos(y)。
这是因为余弦函数在0°到180°之间是单调递减的，而在180°到360°之间又是单调递增的。
5. cos(x)≤cos(y)
当x < y时，cos(x)≤cos(y)。
与上一个不等式类似，根据余弦函数的性质，当x < y时，cos(x) ≤ cos(y)。
总结：
通过以上讨论，我们得出了一系列关于正弦函数和余弦函数的不等式。
这些不等式可以在求解三角函数相关问题时发挥重要作用。
在实际问题中，我们可以根据给定的不等式条件，通过变换、化简等方法求解出符合要求的解集。
需要注意的是，在求解三角不等式的过程中，我们还需要考虑角度的范围、特殊角的性质等因素，同时也要注意不等式的严格性（是否包含等号）。
这可以避免在求解过程中出现错误或遗漏。
综上所述，三角不等式是数学中一类重要的不等式。
掌握了这些不等式的性质和规律，我们可以更好地理解和分析三角函数的性质，解决相关的数学问题。