函数单调性的判断和证明_数学_自然科学_专业资料
高中数学函数单调性的判断方法
高中数学函数单调性的判断方法单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。
那么，有哪些求函数单调性的方法呢？方法一：定义法对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x（1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数；（2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。
例如：根据函数单调性的定义，证明：函数在 上是减函数。
要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。
方法二：性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有：1. f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性；2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。
这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。
方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题）对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数。
考点04 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向(解析版)
专题二函数考点4 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向【方法点拨】一、函数单调性的判断及解决应用问题的方法1.判断函数单调性的常用方法(1)定义法；（2）图象法；(3)利用函数的性质“增+增=增，减+减=减”判断；(4)复合函数的单调性根据“同增异减”判断；(5)导数法2.求函数的单调区间先定定义域，在定义域内求单调区间.单调区间不连续时，要用“和”或“，“连接，不能用“U”连接.3.单调性的应用的三个方向(1)比较大小：将自变量转化到同一个单调区间内，利用函数的单调性比较大小；(2)解函数型不等式：利用函数单调性，由条件脱去“f”；(3)求参数值或取值范围：利用函数的单调性构建参数满足的方程(组)、不等式(组).【高考模拟】1．函数()||1f x x =-与()()2g x x x =-的单调递增区间分别为（ ） A ．[1，+∞)，[1，+∞) B ．(﹣∞，1]，[1，+∞) C ．(1，+∞)，(﹣∞，1] D ．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)【答案】A 【分析】先对()f x ，()g x 进行化简，再求单调区间即可. 【解析】 解：()1,111,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，()f x ∴在[)1,+∞上单调递增，()()222()211g x x x x x x -=-==--， ()g x ∴在[)1,+∞上单调递增，故选：A.2．函数y =）A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞-【答案】D 【分析】求出函数y =y =.【解析】由题意，230x x +≥，可得3x ≤-或0x ≥，函数y =(][),30,-∞-⋃+∞，令23t x x =+，则外层函数y =[)0,+∞上单调递增，内层函数23t x x =+在上(],3-∞-单调递减，在[)0,+∞上单调递增，所以，函数y =(],3-∞-.故选：D. 【点睛】方法点睛：求解函数的单调区间一般有以下几种方法：一是图象法，主要适用与基本初等函数及其在基本初等函数的基础上进行简单变化后的函数以及分段函数，可以借助图像来得到函数的单调区间；二是复合函数法，主要适用于函数结构较为复杂的函数，采用换元的思想将函数解析式分解为多层，利用同增异减的原理来求解；三是导数法，对于可导函数，可以解相应的导数不等式来求解函数的单调区间.3．函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，则使得()3=-y f x 为增函数的区间为（ ） A ．()2,3- B ．()1,7-C ．()1,10-D ．()10,4--【答案】C 【分析】先将函数()3=-y f x 看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，再判断增区间即可. 【解析】函数()3=-y f x 可以看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，故由函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，得()3=-y f x 在区间()1,10-上是增函数. 故选：C.4．函数()2f x x x =-的单调减区间是（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,0-C ．[]0,2D ．[2,)+∞【答案】A 【分析】将函数写成分段函数的形式，即()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩再根据解析式得到函数的单调区间；【解析】()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩∴直接通过解析式，结合二次函数图象得：(,1),(2,)-∞+∞递增，在[]1,2递减，故选：A.5．函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞，4)上递减，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(,3]-∞- C ．(,5)-∞ D ．[3,)+∞【答案】B 【分析】利用二次函数的性质，比较对称轴和区间端点的大小，列不等式可得a 的取值范围． 【解析】函数f(x)的对称轴是1x a =-，开口向上，则14a -≥，解得3a ≤- 故选：B6．若函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(0,)+∞ D ．(,0)-∞【答案】D 【分析】直接由单调性的定义求解即可 【解析】解：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，因为函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，所以12()()f x f x <，即22120ax ax ---<，所以221211()0a x x -<，21212212()()0x x x x a x x +-⋅<⋅， 因为120x x <<，所以210x x +>，210x x ->，22120x x ⋅>，所以0a <． 故选：D7．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a ≥【答案】A【分析】求出二次函数的对称轴，根据单调区间与对称轴之间的关系建立条件，即可求出a 的取值范围． 【解析】 解：二次函数2()2(1)2f x x a x =+-+的对称轴为2(1)(1)12a x a a -=-=--=-，抛物线开口向上，∴函数在(-∞，1]a -上单调递减，要使()f x 在区间(-∞，4]上单调递减， 则对称轴14a -， 解得3a-．故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数单调性与对称轴之间的关系是解决本题的关键． 8．“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x=-+单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】求出()y f x =的导函数，利用()y f x =单调递减，则()0f x '≤恒成立，求出m 的范围，比较所求范围和条件中给定范围的关系，得出结论. 【解析】 由221()f x m x x '=--，若函数()y f x =单调递减，必有当(0,)x ∈+∞时，2210m x x--≤恒成立，可化为2111m x ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭，可得m 1≥．故“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x =-+单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 9．若函数2()1f x x =-的定义域是(﹣∞，1)∪[2，5)，则其值域为（ ） A ．(﹣∞，0)B ．(﹣∞，2]C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】分x<1和x ∈[2，5)两种情况，利用反比例函数的性质得出函数的值域． 【解析】由题意可得：当x<1时，则x ﹣1<0所以y ∈(﹣∞，0) 当x ∈[2，5)时，则x ﹣1∈[1，4)，所以y ∈1,22⎛⎤⎥⎝⎦所以函数的值域为1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦.故选：D.10．若关于x 的不等式342xx a+-在[0x ∈，1]2上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，1]2-B ．(0，1]C ．1[2-，1]D ．[1，)+∞【答案】D 【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论. 【解析】解：由题意知，342xx a +-在(0x ∈，1]2上恒成立，设3()42x f x x =+-，则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上为增函数，∴当12x =时，()12max 113()4211222f x f ==+-=-=， 则1a ， 故选：D . 【点睛】 关键点睛：本题的关键是将已知不等式恒成立问题，通过参变分离得到参数的恒成立问题，结合函数的单调性求出最值.11．若01m n <<<且1mn =，则2m n +的取值范围是（ ）A．)+∞ B ．[3,)+∞C．)+∞D ．(3,)+∞【答案】D 【分析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=，再求其值域即得结果. 【解析】由01m n <<<且1mn =知，22m n m m +=+，故设()2(),01f m m m m+<<=， 设1201m m <<<，则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12120,01m m m m -<<<，即1222m m >，故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即12()()f m f m >， 函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减，2(1)131f =+=，故函数的值域为(3,)+∞. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <； （2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论. 12．函数()()2404xf x x x x x =++>+的最小值为（ ） A ．2 B ．103C ．174D ．265【答案】C 【分析】 令4t x x =+，利用基本不等式求得4t ≥，构造函数()1g t t t=+，证明出函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，由此可求得函数()f x 的最小值. 【解析】令4t x x =+，则21144x x t x x==++，因为0x >，所以44t x x =+≥=，又2414x y x t x x t =++=++，令()1g t t t=+，其中4t ≥， 任取1t 、[)24,t ∈+∞且12t t >，即124t t >≥，则()()()()()121221121212121212111t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 124t t >≥，120t t ∴->，121t t >，()()120g t g t ∴->，即()()12g t g t >，所以，函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，因此，()()min 1174444f xg ==+=. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．若函数1y ax =+在区间[]1,3上的最大值是4，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．1C ．3D ．1或3【答案】B 【分析】分0a >和0a <两种情况求解，0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，从而可求出其最大值，当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，从而可求出其最大值，进而可得答案 【解析】解：当0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，则当3x =时，y 取得最大值，即314a +=，解得1a =；当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，则当1x =时，y 取得最大值，即14a +=，解得3a =舍去， 所以1a =， 故选：B14．函数2y ax =+在[1，2]上的最大值与最小值的差为3，则实数a 为（ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．3或-3【答案】D 【分析】讨论a 的取值，判断函数的单调性，求出函数的最值，作差即可求解. 【解析】解：①当0a =时，2=2y ax =+，不符合题意；②当0a >时，2y ax =+在[]1,2上递增，则()()2223a a +-+=，解得3a =； ③当0a <时，2y ax =+在[]1,2上递减，则()()2223a a +-+=，解得3a =-．综上，得3a =±， 故选：D ．15．已知函数24()2tx t f x x --+=+在区间[1,2]-上的最大值为2，则实数t 的值为（ ）A ．2或3B ．1或3C ．2D ．3【答案】A 【分析】 函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+，根据绝对值的最大值为2进行分类讨论检验即可. 【解析】 由题函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+ ()24422tx t f x t x x --+==-+++的最大值为4t -或1t -当41t t -≥-时，即52t ≤时，最大值42t -=解得：2t =；当41t t -<-时，即52t >时，最大值12t -=解得：3t = 综上所述：t 的值等于2或3. 故选：A 【点睛】解决本题的关键是利用单调性求出42t x -++的范围，再结合绝对值的性质进行求解. 16．若函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1[2，1)B ．1(0,)7C ．1[7，1)2D ．1[2，1]【答案】C 【分析】根据分段函数的值域为R ，具有连续性，由12log y x =是减函数，可得(21)3y a x a =-+也是减函数，故得210a -<，(21)231a a -⨯+-，可得答案. 【解析】解：函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ， 由12log y x =是减函数，(21)3y a x a ∴=-+也是减函数，故得210a -<， 解得：12a <， 函数()f x 的值域为R ，12(21)23log 21a a -⨯+=-，解得：17a. ∴实数a 的取值范围是1[7，1)2.故选：C .17．若函数()f x 是R 上的减函数，0a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．2()()f a f a < B ．1()f a f a ⎛⎫<⎪⎝⎭C ．()(2)f a f a <D ．2()(1)f a f a <-【答案】D 【分析】根据函数单调性，以及题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【解析】因为函数()f x 是R 上的减函数，0a >，A 选项，()21a a a a -=-，当1a >时，2a a >，所以2()()f a f a <；当01a <<时，2a a <，所以2()()f a f a >，即B 不一定成立； B 选项，当1a >时，1a a >，所以1()f a f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭；当01a <<时，1a a <，所以1()f a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即B 不一定成立；C 选项，0a >时，2a a >，则()(2)f a f a >，所以C 不成立；D 选项，()2221311024a a a a a ⎛⎫--=-+=-+> ⎪⎝⎭，则21a a >-；所以2()(1)f a f a <-，即D一定成立. 故选：D.18．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<- D ．(4)(0)(4)f f f <<-【答案】C 【分析】由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【解析】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-， 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换； （3）根据函数的单调性求得结果.19．若定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则下列各式一定成立的是（ ） A ．()()06f f < B ．()()32f f -> C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-【答案】C 【分析】由偶函数及在[)0,+∞上是减函数，知在(,0]-∞上是增函数，即可判断各项的正误. 【解析】A ：在[)0,+∞上是减函数，即()()06f f >，错误；B ：(3)(3)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()32f f <，即()()32f f -<，错误； C ：(1)(1)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()31f f <，即()()13f f ->，正确； D ：由题意，()f x 在(,0]-∞上是增函数，()()58f f ->-，错误； 故选：C20．设函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数，又若a R ∈，则（ ） A ．()()2f a f a >B ．()()2f a f a < C ．()()2f a a f a +<D ．()()211f a f +≤【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项的正误，利用函数的单调性可判断D 选项的正误. 【解析】对于A 选项，取0a =，则2a a =，()()2f a f a ∴=，A 选项错误； 对于B 选项，取0a =，则2a a =，所以，()()2f af a =，B 选项错误；对于C 选项，取0a =，则2a a a +=，所以，()()2f a a f a +=，C 选项错误；对于D 选项，对任意的a R ∈，211a +≥，所以，()()211f a f +≤，D 选项正确.故选：D.21．函数()f x 的定义域为,(1)0,()f f x '=R 为()f x 的导函数，且()0f x '>，则不等式()()20x f x ->的解集是（ ）A ．(,1)(2,)-∞⋃+∞B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)(2,)+∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】A 【分析】依题意可得()f x 再定义域上单调递增，又()10f =，即可得到1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >；再分类讨论分别计算最后取并集即可；【解析】解：由题意可知()f x 在(),-∞+∞单调递增，又()10f =，1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >； 对于()()2 0x f x ->，当2x >时，不等式成立， 当12x <<时，()20, 0x f x -<>，不等式不成立； 当1x <时，20x -<，且()0f x <， 不等式成立不等式的解集(,1)(2,)-∞⋃+∞ 故选：A .22．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭）A ．()6063,e +∞B ．()20210,eC ．()2021,e +∞D ．()60630,e【答案】D 【分析】由题意构造新函数()()xf x F x e =，得到函数的单调性，对问题进行变形，由单调性转化为求解不等式问题，即可得到结果 【解析】 由题可设()()x f x F x e=，'()()0f x f x ->，则2'()()'()()'()0x x x xf x e f x e f x f x F x e e--==>， 所以函数()F x 在R 上单调递增，2021(2021)(2021)1f F e==，将不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 311ln ln 3311ln ln 33x x x f x f x e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=， 可得1ln 13F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln (2021)3F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，有1ln 20213x <，故得60630x e <<，所以不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()60630,e ，故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是构造新函数，然后运用函数单调性求解不等式，通常情况构造新函数的形式如：()()xf x F x e =、()()F x xf x =或者()()f x F x x =等，需要结合条件或者问题出发进行构造.23．已知函数2()121xf x =-+，且()41(3)xf f ->，则实数x 的取值范围是（ ）． A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】D 【分析】用导数判断函数()f x 的单调性，再解不等式即可. 【解析】 因为()()22ln 2021x xf x -=<+'，所以函数2()121x f x =-+在R 上单调递减， 由于()41(3)xf f ->所以413x-<，得1x <故选：D 【点睛】关键点点晴：判断函数()f x 的单调性是解题的关键.24．已知定义在R 上的函数()f x 满足()13f =，对x ∀∈R 恒有()2f x '<，则()21f x x ≥+的解集为（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】B 【分析】构造新函数()()21F x f x x =--，利用导数判断()F x 单减，又(1)0F =可解1x ≤. 【解析】令()()21F x f x x =--，则()()2F x f x ''=-， 又因为对x ∀∈R 恒有()2f x '< 所以()()20F x f x ''=-<恒成立， 所以()()21F x f x x =--在R 上单减. 又(1)(1)210F f =--=， 所以()0F x ≥的解集为(],1-∞ 故选：B 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式； (2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式； (4)解析式较复杂的不等式；25．已知函数f (x ) f (2a 2－5a ＋4)<f (a 2＋a ＋4) ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪(2,＋∞)B ．[2,6)C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦∪[2,6)D ．(0,6)【答案】C 【分析】由解析式知()f x 在定义域上递增，由已知函数不等式有2222544a a a a ≤-+<++，即可求解a 的取值范围. 【解析】由题意，()f x 在[2,)+∞上单调递增，∵22(254)(4)f a a f a a -+<++，即2222544a a a a ≤-+<++， ∴260a a -<或22520a a -+≥，可得26a ≤<或102a <≤. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，列不等式求参数的范围.易错点是定义域容易被忽略.26．已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递增，则不等式(2)(1)f x f x >-的解集为__________． 【答案】1(,1)(,)3-∞-⋃+∞ 【分析】由题意可得()f x 为偶函数，再由偶函数的性质可将(2)(1)f x f x >-，转化为(2)(1)f x f x >-，再由当0x ≥时，()f x 单调递增，可得21x x >-，从而可求出x 的范围 【解析】解：依题意，()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递增，要满足(2)(1)f x f x >-，则要求21x x >-，两边平方得22412x x x >-+，即23210x x +->，即(1)(31)0x x +->，解得1(,1)(,)3x ∈-∞-⋃+∞． 故答案为：1(,1)(,)3-∞-⋃+∞．27．设()xf x a x =+，若()36f =，则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.【答案】()1,+∞ 【分析】先由()36f =，解出a ，讨论()xf x a x =+的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【解析】因为()xf x a x =+，且()36f =，，所以33a =，解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+' ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+，()x f x a x ∴=+在R 上单增.()()21f x f x ->可化为：21x x ->解得：1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞ 故答案为：()1,+∞ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；28．已知定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，则不等式(1)01f x x +≥-的解集为___________.【答案】[]3,1-- 【分析】先由定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，画出()f x 的草图，结合图像对(1)01f x x +≥-进行等价转化，解不等式即可.【解析】()f x 是定义域为R 的奇函数，且在区间(0,)+∞上为严格减函数，有()20f =，∴()f x 在区间(,0)-∞上为严格减函数且()20f =，可作出()f x 的草图：不等式(1)01f x x +≥-可化为：()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩或()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩对于()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩，当1x >时()12,10x f x +>+<，无解；对于()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩，当1x <时()12,10x f x +<+≤，由图像观察，210x -≤+≤解得：31x -≤≤- 所以不等式(1)01f x x +≥-的解集为[]3,1--.故答案为：[]3,1-- 【点睛】常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论．29．已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围是_________.【答案】4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意，把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R上恒成立，列不等式解得a 的范围. 【解析】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立，即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立，所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <，所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一，处理的方法有两种：①不分离参数，直接求最大值或最小值，解不等式；②分离参数法.（2）解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式.30．设函数3,1()1+1,1x x f x x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则不等式()26()f x f x ->的解集为_________．【答案】()3,2- 【分析】先判断函数的单调性，再解抽象不等式. 【解析】当1x >时，31+1y x x=-是增函数，此时1y >； 当1x ≤时， y x =是增函数，此时1y ≤， 所以函数()f x 是单调递增函数，()()2266f x f x x x ->⇔->，解得：32x -<<，所以不等式的解集是()3,2-. 故答案为：()3,2-。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
证明函数单调性的方法
证明函数单调性的方法证明一个函数的单调性是数学分析中的重要内容，它涉及到函数的增减性质，对于函数的研究具有重要意义。
在数学分析中，我们常常需要证明一个函数在某个区间上是单调递增或者单调递减的。
下面，我将介绍几种常见的方法来证明函数的单调性。
1. 导数法。
导数法是证明函数单调性常用的方法之一。
对于给定的函数f(x)，如果它在某个区间上具有一阶导数，那么我们可以通过导数的正负来判断函数的单调性。
具体来说，如果在某个区间上f'(x)大于0，则函数在该区间上是单调递增的；如果f'(x)小于0，则函数在该区间上是单调递减的。
2. 函数的增减表。
函数的增减表是一种通过导数的符号来判断函数单调性的方法。
我们可以通过求出函数的导数，并列出导数的符号随着自变量的变化而变化的情况，从而得出函数在某个区间上的单调性。
通过增减表，我们可以清晰地看出函数的单调性，并进行证明。
3. 极值点和拐点。
对于一个函数f(x)，它的极值点和拐点也可以帮助我们证明函数的单调性。
如果在某个区间上f'(x)恒大于0，并且f''(x)恒大于0，那么函数在该区间上是单调递增的；如果f'(x)恒小于0，并且f''(x)恒小于0，那么函数在该区间上是单调递减的。
通过分析极值点和拐点，我们可以得出函数的单调性。
4. 函数图像法。
最直观的方法是通过函数的图像来观察函数的单调性。
我们可以通过绘制函数的图像，并观察函数在某个区间上的变化趋势，从而得出函数的单调性。
通过观察函数的图像，我们可以直观地理解函数的单调性，并进行证明。
综上所述，证明函数单调性的方法有多种多样，我们可以根据具体的函数和问题选择合适的方法进行证明。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些方法，从而准确地判断函数的单调性，为数学分析和实际问题的解决提供有力的支持。
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法判断函数单调性的常用方法一、定义法设$x_1.x_2$是函数$f(x)$定义域上任意的两个数，且$x_1f(x_2)$，则此函数为减函数。
例如，证明：当$x>0$时，$x>\ln(1+x)$。
f'(x)=\frac{1}{1+x}>0$，所以$f(x)$为严格递增的。
因为$f(x)>\lim\limits_{x\to 0}-\ln(1+x)=-\ln(1+0)=0$，所以$x>\ln(1+x)$。
二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题。
若函数$f(x)。
g(x)$在区间$B$上具有单调性，则在区间$B$上有：⑴$f(x)$与$f(x)+C$（$C$为常数）具有相同的单调性；⑵$f(x)$与$c\cdot f(x)$当$c>0$时具有相同的单调性，当$c<0$时具有相反的单调性；⑷当$f(x)。
g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)+g(x)$都是增（减）函数；⑸当$f(x)。
g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)\cdot g(x)$当两者都恒大于时也是增（减）函数，当两者都恒小于时也是减（增）函数。
三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法。
对于复合函数$y=f[g(x)]$满足“同增异减”法（应注意内层函数的值域），可令$t=g(x)$，则三个函数$y=f(t)。
t=g(x)。
y=f[g(x)]$中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。
注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；3）如果$f(x)$在区间$D$上是增（减）函数，那么$f(x)$在$D$的任一子区间上也是增（减）函数。
设单调函数$y=f(x)$为外层函数，$y=g(x)$为内层函数。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。
证明单调性的方法总结
证明单调性的方法总结在数学和统计学中，证明函数的单调性是一个非常重要的概念。
单调性是函数在自变量变化时的增减规律，它可以帮助我们理解函数的变化趋势和性质。
本文将介绍几种常见的证明函数单调性的方法。
1. 导数法导数法是证明函数单调性最常用的方法之一。
假设函数f(x)在区间I上连续，并且在该区间内可导。
要证明函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减，可以使用导数法。
具体步骤如下：1.求出函数f(x)在区间I上的导数f’(x)；2.根据导数f’(x)的正负情况判断函数f(x)的单调性。
如果导数f’(x)在区间I上恒大于零，则函数f(x)在该区间上单调递增；如果导数f’(x)在区间I上恒小于零，则函数f(x)在该区间上单调递减。
2. 函数值比较法函数值比较法是证明函数单调性的另一种常用方法。
假设函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在该区间内存在导数。
要证明函数f(x)在该区间上单调递增或单调递减，可以使用函数值比较法。
具体步骤如下：1.选取区间[a, b]上的任意两个不同的点x1和x2，其中x1 < x2；2.比较函数f(x1)和f(x2)的大小；•如果f(x1) < f(x2)，则函数f(x)在区间[a, b]上单调递增；•如果f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在区间[a, b]上单调递减；•如果f(x1) = f(x2)，则无法确定函数f(x)的单调性。
3. 二阶导数法在某些情况下，求函数的导数可能比较容易，但是判断导数的正负可能比较困难。
这时可以使用二阶导数法来帮助判断函数的单调性。
具体步骤如下：1.求出函数f(x)在区间I上的二阶导数f’’(x)；2.根据二阶导数f’’(x)的正负情况判断函数f(x)的单调性。
如果二阶导数f’‘(x)在区间I上恒大于零，则函数f(x)在该区间上为凹函数，即单调递增；如果二阶导数f’’(x)在区间I上恒小于零，则函数f(x)在该区间上为凸函数，即单调递减。
证明函数单调性的方法
证明函数单调性的方法在数学中，证明函数的单调性是一个非常重要的问题。
函数的单调性指的是函数在定义域内的增减性质，即函数的取值随自变量的增减而增加或减少。
证明函数的单调性有多种方法，下面我们将介绍几种常见的方法。
一、导数法。
证明函数单调性的常用方法之一是利用导数。
对于给定的函数，我们可以求出其导数，并通过导数的正负性来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上就是单调递增（或单调递减）的。
以求证函数f(x)在区间(a, b)上单调递增为例，我们可以先求出函数f(x)在该区间上的导数f'(x)，然后证明f'(x)恒大于零。
如果能够证明f'(x)>0，那么就可以得出函数f(x)在区间(a, b)上单调递增的结论。
二、一阶导数和二阶导数法。
除了利用导数的正负性来证明函数的单调性外，我们还可以利用一阶导数和二阶导数的关系来进行证明。
具体来说，如果函数在某个区间上的一阶导数恒大于零，而二阶导数恒大于或恒小于零，那么函数在该区间上就是单调递增的。
同理，如果一阶导数恒小于零，而二阶导数恒大于或恒小于零，那么函数在该区间上就是单调递减的。
三、零点法。
另一种证明函数单调性的方法是利用函数的零点。
具体来说，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上就是单调递增（或单调递减）的。
而函数的导数恒大于零（或恒小于零）又可以通过证明函数的导数在该区间上没有零点来得到。
因此，我们可以通过证明函数的导数在某个区间上没有零点来证明函数在该区间上的单调性。
四、其他方法。
除了上述方法外，还有一些其他方法可以用来证明函数的单调性，比如利用函数的图像、利用函数的定义等。
在具体问题中，我们可以根据函数的性质和给定条件选择合适的方法来进行证明。
总结。
综上所述，证明函数的单调性有多种方法，包括导数法、一阶导数和二阶导数法、零点法以及其他方法。
判断并证明函数的单调性
判断并证明函数的单调性
函数一般被定义为把一个或多个实数或复数等变量作为参数输入到定
义域中的一个实数的映射，舍入范围为实数，一般表示为f(x)。
在函数
的单调性分析中，我们探讨的是该函数的单调性，即符号表示f(x)的单
调增加或单调下降。
根据定义，如果满足两个式子，f(x_1)≤f(x_2)和f(x_2)≤f(x_1)，其中x_1<x_2，则f(x)是单调函数。
事实上，函数的单调性可以从它的导
数来判断，如果函数的导数全部为正，则函数是单调递增的，而如果函数
的导数全部为负，函数是单调递减的。
此外，函数的单调性也可以从函数的图形图中判断。
如果函数的图形
图是从左到右的单调递增，则函数是单调递增的；如果函数的图形图是从
左到右的单调递减，则函数是单调递减的。
换句话说，如果函数f(x)的图形表示为箭头从x_1的位置指向x_2
的位置，且x_1<x_2，则函数f(x)是单调增的；如果函数f(x)的图形表
示为箭头从x_2的位置指向x_1的位置，且x_2<x_1，则函数f(x)是单调
减的。
此外，可以通过根据函数f(x)对极值点的分析来判断函数的单调性。
当函数f(x)在曲线上从左到右连续递减时，即函数的导数全部为负，f(x)是单调减的；当函数f(x)在曲线上从左到右连续递增时，即函数的导数
全部为正，f(x)是单调增的。
函数单调性的判断和证明
02
余弦函数 $y = cos x$ 在区间 $[2kpi, pi + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递减，在区间 $[pi + 2kpi, 2pi + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递增。
03
正切函数 $y = tan x$ 在区间 $(kpi - frac{pi}{2}, kpi + frac{pi}{2})$（$k in mathbb{Z}$）上单调递增。
三角函数单调性
01
正弦函数 $y = sin x$ 在区间 $[-frac{pi}{2} + 2kpi, frac{pi}{2} + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递增，在区间 $[frac{pi}{2} + 2kpi, frac{3pi}{2} + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递减 。
通过实例分析和数值计算，验证了所提方法的正确性和有效性，为实际应 用提供了有力支持。
未来研究方向展望
01
进一步研究函数单调性的本质 和判别条件，探索更加简洁、 高效的判断方法。
02
将函数单调性的研究拓展到更 广泛的数学领域，如复变函数 、泛函分析等，推动相关理论 的发展。
03
结合实际问题，研究函数单调 性在优化算法、数值计算等领 域的应用，为实际问题提供更 加有效的解决方案。
导数法证明
01
利用导数与函数单调性的关系，通过求导来判断函数的单调 性。
02
如果函数在某区间内可导，且导数在该区间内恒大于0，则 函数在该区间内单调增加；如果导数恒小于0，则函数在该 区间内单调减少。
03
【高中数学考点精讲】考点一 函数的单调性的判断
考点08 函数单调性与最值1、函数单调性的判断方法（1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。
（2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有①为增函数，②为增函数，③为减函数，④为减函数。
（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。
由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数随着的增大而增大随着的增大而增大随着的增大而减小随着的增大而减小增函数增函数减函数减函数2、函数单调性的应用（1）比较大小．比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；③数形结合比大小。
注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。
（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．（3）利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x V x ,并是某个区间上任意二 值;X 叱）②作差；或作商：,g ） 丰0；f （叼）③ 变形/⑴叩（巧）向有利于判断差值符号的方向变形；-Si ） 乒o 向有利于判断商的值是否大于 1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是 多项式时，作差后进行因式分解； 2、通分，当原函数是 分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解； 3、配 方，当原函数是 二次函数 时，作差后考虑配方便于判定符号； 4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④ 定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论； ⑤ 下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法:解：设一1<X 1<X 2,如1 吧则 f （X 1）—f （X 2）= "+1 —冷 *1+1） ■皿（而 +1）-（升硕恐+1）Ui+i ）（j+D例1.判断函数ax7+i 在（-1,+ 8 ）上的单调性，并证明.—1<X i <X 2,X 1 — X 2<0 , X i+ 1>0 , X 2 + 1>0..•当 a>0 时，f （X 1）-f （X 2）<0 , 即f （X 1）<f （X 2）, •••函数y=f （X ）在（-1, + 8）上单调递增.当 a<0 时，f （X 1）—f （X 2）>0 , 即f （X 1）>f （X 2）, 函数y=f （X ）在（—1, + °°）上单调递减.所 W1-—<0所以砰砰 ,所以（心）二玉 -^2-—） 则 七 -因为知fE 泗对，三口所以所以砰砰所以「「一-":-解1、［ /⑴在+8）上为增函数*例2.证明函数*卜扁赌晌向上为减函数。
证明：设。
5也幅”'幻（-皿-石］屯尊\+00）在区间L ' V 」和妃％ ，/ （增两端，减中间）/ 31） — J g ）=瓦 + —-Xj-—上是增函数；在31—叱)(1-—)因为强而，所以5 〈泗e同理可得在（-咛-齐止为增函现在止为诫函氮作商法：例3.设函数y=f (x)定义在R上，对于任意实数m , n,恒有f (m+n ) =f (m) ?f (n) 且当x> 0 时，0v f (x) v 1(1) 求证：f (0) =1 且当xv 0 时，f (x) > 1(2) 求证：f (x)在R上是减函数.证明：(1) •.,对于任意实数m, n,恒有f (m+n ) =f (m) ?f (n),令m=1 , n=0，可得 f (1) =f (1) ?f (0),..当x> 0 时，0v f (x) v 1, . • f (1)乒0.f (0) =1 .令m=x v 0, n=-x > 0,则 f (m+n ) =f (0) =f (-x) ?f (x) =1 ,f (-x) f (x) =1 ,又.• -x > 0 时，0 V f (-x ) V 1 ,• • f(x)=1f(-x)> 1.(1)设x1 vx2,贝U x1-x2 v 0,根据(1)可知f (x1-x2 ) > 1, f (x2) > 0.. f (x1) =f[ (x1-x2 ) +x2]=f (x1-x2 ) ?f (x2) > f (x2),•••函数f (x)在R上单调递减.(二)、运算性质法.函数表达式单调区间次函数y kx b(k 0)二次函数_ 2 , - y ax bx c(a 0,a,b,c R)反比例函数指数函数对数函数ky -x(k R 且k 0)xy a(a 0,a 1)当k 0时，y在R上是增函数；当k 。
函数单调性的判断或证明方法
函数单调性的判断或证明方法函数的单调性是指函数在定义域上的递增或递减的性质。
在数学中，我们通常使用以下方法来判断或证明函数的单调性：微分法、判别式法、几何意义法等。
接下来，我会分别详细介绍这些方法。
1.微分法：微分法是判断函数单调性的常用方法，它利用函数的导数来判断函数的增减性。
一个函数在区间上递增，等价于该函数在区间上的导数大于等于0；同理，一个函数在区间上递减，等价于该函数在区间上的导数小于等于0。
具体步骤如下：（1）首先，计算函数的导函数；（2）然后，求出导函数的零点（即求出导数为0的点）；（3）最后，根据零点在定义域上的分布情况，判断函数的单调性。
举个例子，假设有函数f(x)=x^2，我们来判断其在定义域上的单调性。
首先，求导得到f'(x)=2x；然后，求出f'(x)=0时的解，即2x=0，解得x=0；最后，根据零点在定义域上的分布情况：当x<0时，f'(x)<0；当x>0时，f'(x)>0。
因此，函数f(x)=x^2在定义域上是递增的。
2.判别式法：判别式法是判断函数单调性的另一种方法，它利用函数的判别式，可以快速判断函数的单调性。
对于一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，判断其单调性时，可以根据判别式Δ = b^2 - 4ac的正负性进行判断。
具体步骤如下：（1）首先，计算判别式Δ；（2）然后，根据Δ的正负性，判断函数的单调性：-当Δ>0时，函数在定义域上是先增后减或先减后增的；-当Δ=0时，函数在定义域上是单调递减或单调递增的；-当Δ<0时，函数在定义域上是单调递增或单调递减的。
举个例子，假设有函数f(x)=x^2-3x+2，我们来判断其在定义域上的单调性。
首先，计算判别式Δ=(-3)^2-4*1*2=1；然后，根据Δ>0，我们知道函数在定义域上是先增后减或先减后增的。
3.几何意义法：几何意义法是判断函数单调性的另一种方法，它通过分析函数的图像来判断函数的单调性。
函数的单调性自己总结
函数的单调性(局部性质)及最值1、增减函数（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2、图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、单调性的判定方法(A) 定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.习 题1、判断函数单调性（1）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）A. y=-x+1B. y=xC. y=x2-4x+5D. y=x 2（2）已知f(x)是R 上的增函数，若令F （x ）=f(1-x)-f(1+x)，则F （x ）是R 上的（ ）A.增函数B.减函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数 (3) 在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y=2x ＋1B ．y=3x2＋1C ．y=x 2D ．y=2x2＋x ＋1（4）下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝3x2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝|x|(5) 下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( )A.y=3xB.y=-x2C.y=︱x ︱D.y=2x+1(6) 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．（7）定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，e －x ，x <0以下注意复合函数单调性的判断（8）已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数答案：（1）B （2）B (3) C （4）C (5) C (6) D （7）C （8）A2、 求函数的单调区间（1） 函数y=542)21(--x x 的递减区间是__________________.（2） 函数y ＝－(x －3)|x|的递增区间是________．（分段函数作图） （3） 函数|1|ln )(-=x x f 的单调递减区间为 ________．（分段函数作图） （4） 函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)（5）函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞（6） 求函数f (x )＝x ＋a 2x (a >0)的单调区间．答案：（1）［2，+∞］ （2）[0，32] （3）)1,(-∞ （4）B （5）C（6）解：∵函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，设x 1、x 2≠0，且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a 2x 1－x 2－a 2x 2＝(x 1－x 2)＋a 2x 2－x 1x 1·x 2＝x 1－x 2x 1·x 2－a 2x 1·x 2.(1)当x 1<x 2≤－a 或a ≤x 1＜x 2时，x 1－x 2<0，x 1·x 2>a 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－a ]上和在[a ，＋∞)上都是增函数．(2)当－a ≤x 1<x 2<0或0<x 1<x 2≤a 时，x 1－x 2<0， 0<x 1·x 2<a 2，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[－a,0)和(0，a ]上都是减函数．3、 根据函数单调性求得参数的取值范围（x 的取值范围）（1）函数y=(2k+1)X+b 在(-∞，+∞)上是减函数，则（ ）A.k>21 B.k<21 C.k>-21 D.k<-21 (2) 函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>21D.a>-2 (3) 函数y ＝2x2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是( )A ．1B ．3C ．5D ．－1（4）已知函数f(x)=ax+logax （a ＞0且a ≠1）在［1，2］上的最大值与最小值之和为loga2+6，则a 的值为________．（5）已知关于x 的函数y=loga(2-ax)在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是________ （6）函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．(21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（7）已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥3(8) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)(9)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)(10) 若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．(11)设函数f(x)=x+xa(a>0). ①求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之； ②若函数f(x)在［a-2,+∞］上递增，求a 的取值范围.(12) 已知函数f (x )＝a －1|x |.①求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；②若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．(13) 函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．答案：(1)D (2)C (3)C (4) 2 （5）（1，2） （6）B （7）A (8)C(9)B (10) 12<a ≤23（11）解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增区间为［a ,+∞］，减区间为（0，a ）. 证明：∵f ′(x)=1-2xa,当x ∈［a ,+∞］时， ∴f ′(x)>0,当x ∈（0，a ）时，f ′(x)<0.即f(x)在［a +∞］上单调递增，在（0，a ）上单调递减.（或者用定义证） （2）［a-2,+∞］为［a ，+∞］的子区间，所以a-2≥a ⇒a-a -2≥0⇒(a +1)( a -2)≥0⇒a -2≥0⇒a ≥4.（12）解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0. f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立．可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围为(－∞，3]． （13）解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a .任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.4、根据函数单调性求x 的取值范围（1）若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f(x)>f(8x-16)的解集为_______________. （2）已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（3）已知函数f(x)是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x ＋1)|＜1的解集的补集是（ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）（4）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A ．（13，23）B ．（∞-，23）C ．（12，23）D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32答案：（1）（2，716） （2）D （3）D （4）C5、根据函数单调性求函数最值（1）已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在区间[3,5]上单调递增，则函数f(x)在区间[1,3]上的( )A ．最大值是f(1)，最小值是f(3)B ．最大值是f(3)，最小值是f(1)C ．最大值是f(1)，最小值是f(2)D ．最大值是f(2)，最小值是f(3)（2）定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)， x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6D ．12（3）函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a ，则a ＝________.（4）已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足：①对于任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．Ⅰ求f (0)的值； Ⅱ求f (x )的最大值；Ⅲ若对于任意x ∈[0,1)，总有4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0，求实数a 的取值范围．答案：（1）A （2）C （3）12（4）解：Ⅰ对于条件③，令x 1＝x 2＝0得f (0)≤0， 又由条件①知f (0)≥0，故f (0)＝0. Ⅱ设0≤x 1<x 2≤1，则x 2－x 1∈(0,1)，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)≥0. 即f (x 2)≥f (x 1)，故f (x )在[0,1]上递增，从而f (x )的最大值是f (1)＝1.Ⅲ因f (x )在[0,1]上是增函数，则f (x )∈[0,1]，又4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0⇒a ≤4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )对x ∈[0,1)恒成立，设y ＝4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )＝1－f (x )＋14[1－f (x )]≥1，则a ≤1.6、 根据函数单调性判断函数值大小（1）设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，则下列不等式正确的是（ ）A.f(2a)<f(a)B.f(a 2)<f(a) C.f(a 2+a)<f(a) D.f(a 2+1)<f(a) 答案：D（2）定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)（3）已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ）A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) （4）已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ． f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) （5）定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负答案：（1）D （2）A （3）C （4）B （5）A。
函数的单调性(定义法)
函数的单调性知识点：1.函数单调性定义(1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D?I,x1＞x2 ,若f(x1)−f(x2)＞0则称f(x)在D 内是单增，若f(x1)−f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减.＞0?f(x)是D(2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D?I,x1＜x2,则有：①f(x1)−f(x2)x1−x2＜0?f(x)是D上的单调递减函数.上的单调递增函数；②f(x1)−f(x2)x1−x2(注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)2.复合函数的单调性：3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+bcx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax+bx(ab≠0)例1.多种方法判断下列函数的单调性：(1).f(x)=x+ 1x x∈(0,1)(2).y=x−1xx∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R;(4).f(x)=axx2−1，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R例2.(1).已知f(x)=xx−a（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的取值范围. (2).若f(x)=−x2+2ax,与g(x)=ax+1在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值范围.(3).已知函数f（x）= √3−axa−1（a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x2+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。
第06讲 函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法
精品二轮第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法【知识要点】一、判断函数单调性的方法判断函数单调性一般有四种方法：单调四法 导数定义复合图像 1、定义法用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设D x x ∈21,，且12x x <；②作差，求)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.2、复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：3、导数判断法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数()f x '，若()f x 在区间(,)a b 内，总有()0(()0)f x f x ''><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）.4、图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间D ，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D 是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数. 二、证明函数的单调性的方法证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.三、求函数的单调区间求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少.2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.3、导数法:先求函数的定义域D ，然后求导()f x '，再解不等式()()0f x '>< ,分别和D 求交集，得函数的递增（减）区间 .4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.四、一些重要的有用的结论1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数xy 1=、x y =和3x y =；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数2x y =.2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数⨯增函数不一定是增函数，函数x y =和函数3x y =都是增函数，但是它们的乘积函数4x y =不是增函数. 3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”. 4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题.5、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数()y f x =的增区间为(1,2),(3,5).不要写成(1,2)(3,5).【方法讲评】【例1】证明函数()(0)f x x a x=+>在区间)+∞是增函数.【反馈检测1】讨论函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上的单调性.【例2】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =.（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<.【反馈检测2】已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1],0m n m n ∈-+≠时，有()()0f m f n m n +>+.（1）解不等式1()(1)2f x f x +<-（2）若2()21f x t at ≤-+对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围.【例3】已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围.【反馈检测3】已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (1)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.【例4】 设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值.【反馈检测4】 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点,A B 及CD 的中点P 处，已知20AB km =,10CB km = ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且,A B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道,,AO BO OP ，设排污管道的总长为y km ． （1）按下列要求写出函数关系式：①设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km ) ，将y 表示成x 的函数关系式．（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【反馈检测5】函数()f x 的导函数'()f x ，对x R ∀∈，都有'()()f x f x >成立，若(ln 2)2f =，则满足不等式()xf x e >的x 的范围是（ ）A ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x >D ．0ln 2x <<CBPOAD【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<方法三 复合函数分析法 使用情景 较简单的复合函数.解题步骤先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.【例5】【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【反馈检测7】 已知函数22()sin 3sin sin()2cos 2f x wx wx wx wx π=+++ (0)x R w ∈>，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π. (1) 求w ；(2)(2)若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及单调递减区间．方法四 图像法使用情景 函数的图像比较容易画出.解题步骤一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.【例6】求函数2()||f x x x =-+的单调区间.【反馈检测8】 已知函数),1()(0)(-=≥x x x f x R x f 时上的偶函数，当是定义在 （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若)(x f =2，求x 的值； （3）画出该函数的图像并根据图像写出单调区间.精品二轮第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法参考答案【反馈检测1答案】当12a >时，原函数是增函数；当12a <时，原函数是减函数.【反馈检测2答案】（1）104x ≤≤；（2）022t t t =≥≤-或或 【反馈检测2详细解析】212121212121()()(1)1,()()()()()()f x f x x x f x f x f x f x x x x x +->>-∴-=+-=--设1>212121212121()()()()()00()()f x f x f x f x x x x x x x x x +-+-=->->+-+-由已知得21111211()()0()(1)111024112x f x f x f x f x x x x x⎧-≤+≤⎪⎪∴->∴+<-∴-≤-≤∴≤<⎨⎪⎪+<-⎩函数在定义域内单调递增。
高中数学函数单调性的判定和证明方法
高中数学函数单调性的判定和证明方法函数的单调性判定是数学函数研究中的重要内容，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和特征。
本文将详细介绍高中数学中常用的函数单调性判定和证明方法。
一、函数的单调性概念在讨论函数的单调性之前，我们首先要了解函数的增减性和单调性的概念。
1.增减性设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)小于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为增函数；若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)大于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为减函数。
2.单调性设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)小于等于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为递增函数；若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)大于等于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为递减函数。
二、判定函数单调性的方法根据函数的定义，我们可以得出一些判定函数单调性的常用方法。
1.导数法如果函数f(x)在区间(a,b)上是单调的，那么它在该区间上的导数f'(x)恒大于0（或恒小于0），即函数的增减性与导数的正负性相同。
因此，通过求函数的导数并研究导数的正负性可以得出函数的单调性。
以f(x)为例，通过以下步骤可以判断f(x)的单调性：（1）求函数f(x)的导数f'(x)。
（2）研究f(x)的导数f'(x)在区间(a,b)上的正负性。
（3）若f'(x)在区间(a,b)上恒大于0（或恒小于0），则f(x)在(a,b)上递增（或递减）。
（4）若f'(x)在区间(a,b)上既大于0又小于0，或在一些点上为0，则f(x)在(a,b)上不是单调函数。
2.函数表和图像法函数表和图像法是直观判断函数单调性的方法。
冲刺高考数学函数的单调性判断方法
冲刺高考数学函数的单调性判断方法高考数学中，函数的单调性是一个极其重要的考点。
掌握函数单调性的判断方法，对于解决函数相关的问题至关重要。
接下来，咱们就一起来详细探讨一下函数单调性的判断方法。
首先，咱们来聊聊定义法。
这是判断函数单调性最基本、最直接的方法。
对于给定区间内的任意两个自变量$x_1$、＄x_2$，设$x_1 ＜x_2$，然后计算$f(x_2) f(x_1)＄。
如果$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$，则函数在该区间上单调递增；如果$f(x_2) f(x_1) ＜ 0$，则函数在该区间上单调递减。
比如说，有函数$f(x) ＝ x^2$，在区间$0, ＋＼infty)＄上，设$0\leqx_1 ＜ x_2$，那么$f(x_2) f(x_1) ＝ x_2^2 x_1^2 ＝（x_2 ＋ x_1)（x_2 x_1)＄。
因为$x_2 ＋ x_1 ＞ 0$，＄x_2 x_1 ＞ 0$，所以$f(x_2) f(x_1)＞ 0$，函数$f(x) ＝ x^2$在区间$0, ＋＼infty)＄上单调递增。
接下来，咱们说说导数法。
如果函数$f(x)＄在某个区间内可导，那么当$f'（x) ＞ 0$时，函数在该区间上单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数在该区间上单调递减。
比如函数$f(x) ＝ x^3 3x$，对其求导得到$f'（x) ＝ 3x^2 3$。
令$f'（x) ＞ 0$，即$3x^2 3 ＞ 0$，解得$x ＜－1$或$x ＞ 1$，所以函数$f(x)＄在$（＼infty, －1)＄和$（1, ＋＼infty)＄上单调递增；令$f'（x)＜ 0$，即$3x^2 3 ＜ 0$，解得$－1 ＜ x ＜ 1$，所以函数$f(x)＄在$（－1, 1)＄上单调递减。
再来说说图象法。
通过函数的图象来直观地判断其单调性。
如果函数图象从左往右呈上升趋势，那么函数单调递增；如果图象从左往右呈下降趋势，那么函数单调递减。