图形的认识-第6讲：平行四边形

1、同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等．2、如下图：AD BC ∥，=ABC DBC S S △△，且=ABE DCE S S △△．3、过对角线交点的直线平分平行四边形的面积．A B CD E【方法技巧】第六节 平行四边形【知识梳理】4、注意直角三角形斜边中线为斜边一半的逆定理要证明后再使用5、已知A 、B 、C 是平面上三个不共线的点，那么可在平面上画出3个平行四边形。

此类题型要注意分类讨论，如果是求平行四边形ABCD ，则不需要分类讨论，如果是以A 、B 、C 、D 为顶点的平行四边形，则需要分类讨论。

考点1、平行四边形的性质和判定例1、如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 于E ，则△CDE 的周长是（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10变式1、如图，平行四边形ABCD 中，∠BCD 的平分线交AD 于E ，且AE=3，DE=5，则平行四边形的周长为（ ）A ．16B ．26C ．22D ．11变式2、如图，已知平行四边形纸片ABCD 的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D 与点B 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，则△ABE的周长为 ．C BA OD FE【考点突破】例2、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120°D．100°变式1、如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE=25°，求∠C、∠B的度数．变式2、如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F．若AB=8，AE=3，则DF= ．例3、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD 的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（）A．24 B．36 C．40 D．48变式1、如图，ABCD为平行四边形，E在AC上，AE=2EC，F在AB上，BF=2AF，若△BEF的面积为4，则平行四边形ABCD的面积为．例4、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．变式1、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．变式2、如图，已知点E，C在线段BF上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．例5、如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF=DE，连接BF（1）求证：BF=DC；（2）求证：四边形ABFD是平行四边形．变式1、如图1，平行四边形ABCD 中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索．连接AF、CE，分别交BE、FD于点G、H，得到四边形EGFH．此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图（图2）中补全他的证明思路．考点2、平行四边形的存在性例1、已知抛物线y=2x2+bx+6经过A（1，0），点P为抛物线的顶点，点B为抛物线与x轴的另一交点．（1）求出点P、点B的坐标．（2）如图，在直线y=2x上是否存在点D，使以O、P、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．变式1、已知，二次函数y=（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求点A、点B的坐标；（2）求S△AOB；（3）求对称轴方程；（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．变式2、如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求直线l2的函数关系式；（2）求△ADC的面积；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．变式3、如图，双曲线y=与直线y=x+1交于A、B两点，A点在B点的右侧．（1）求A、B点的坐标；（2）点C是双曲线上一点，点D是x轴上一点，是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出求解过程和点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分层训练】<A组>1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120°D．100°2．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm3．如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，∠ADC的角平分线DE交BC于点E，交AC于点F，CG⊥DE，垂足为G，DG=cm，则EF的长为（）A．2cm B．cm C．1cm D．cm4．如图，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．若点A的坐标为（﹣4，2），则点C坐标为（）A．（4，﹣2）B．（4，2） C．（2，﹣4）D．（﹣2，﹣4）5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s6．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（）A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：27．已知四边形ABCD，有以下四个条件：（1）AB=AD，AB=BC；（2）∠A=∠B，∠C=∠D；（3）AB∥CD，AB=CD；（4）AB∥CD，AD∥BC．其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．48．下列说法中属于平行四边形判别方法的有（）①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②平行四边形的对角线互相平分③两组对边分别相等的四边形是平行四边形④平行四边形的每组对边平行且相等⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．A．6个B．5个C．4个D．3个9．在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象顶点为A，与y轴交于点B．若在该二次函数图形上取一点C，在x轴上取一点D，使得四边形ABCD为平行四边形，则D点的坐标为（）A．（﹣9，0）B．（﹣6，0）C．（6，0） D．（9，0）10．如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为10cm，则四边形EFGH的周长是cm．11．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC，求证：BE=AF．12．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．<B组>1．则在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．75°2．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为28cm2，四边形ABCD面积是18cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A．72cm B．64cm C．56cm D．48cm3．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP 和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是．4．已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG=S四边形ABCD其中正确的是．5．在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE=BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC 又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）6．在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥BC，G为BD延长线上一点且△ABG为等边三角形，∠BAD、∠CBD的平分线相交于点E，连接AE交BD于F，连接GE．若平行四边形ABCD的面积为，求AG的长．参考答案【考点突破】考点1、平行四边形的性质和判定例1、解：根据垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等知，EC=AE；根据在平行四边形ABCD中有BC=AD，AB=CD，∴△CDE的周长等于CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8．故选B．变式1、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，AD=CD，BC=AD=AE+DE=3+5=8，∴∠DEC=∠BCE，∵CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠DCE，∴∠DEC=∠DCE，∴CD=DE=5，∴AB=5，∴平行四边形的周长为：2×（5+8）=26．故选B．变式2、解：由折叠的性质可知，BE=DE，∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AD，∵平行四边形纸片ABCD的周长为20，∴△ABE的周长为20÷2=10．故答案为：10．例2、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故选C．变式1、解：∵∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE=25°，∴∠BAD=50°．∴在平行四边形ABCD中：∠C=∠BAD=50°，∠B=180°﹣∠C=130°．变式2、解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠AFB=∠FBC∵BF平分∠ABC∴∠ABF=∠FBC∴∠AFB=∠ABF∴AB=AF同理：CD=DE∵AB=CD∴AF=DE∴AE=DF∵AB=8，AE=3；∴DF=3，故答案为：3．例3、解：设BC=xcm，则CD=（20﹣x）cm，根据“等面积法”得4x=6（20﹣x），解得x=12，∴平行四边形ABCD的面积=4x=4×12=48．故选D．变式1、解：如图，∵BF=2AF，S△EFB=4，∴S△AEF=S△EFB=2，∴S△ABE=S△BEF+S△AEF=6，∵AE=2EC，∴S△BEC=S△ABE=3，∴S△ABC=9，∴S平行四边形ABCD=2•S△ABC=18．故答案为18．例4、证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，在Rt△AED和Rt△CFB中，∵，∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．变式1、证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．变式2、证明：（1）∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵BE=EC=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF．（2）四边形AECD的形状是平行四边形，证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，∵∠ACB=∠F，∴AC∥DF，∴四边形ACFD是平行四边形，∴AD∥CF，AD=CF，∵EC=CF，∴AD∥EC，AD=CE，例5、证明：（1）连接DB，CF，∵DE是△ABC的中位线，∴CE=BE，∵EF=ED，∴四边形CDBF是平行四边形，∴CD=BF；（2）∵四边形CDBF是平行四边形，∴CD∥FB，∴AD∥BF，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴DF∥AB，∴四边形ABFD是平行四边形．变式1、（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC．AD=BC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=∠ABC．∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF=∠ADC．∵∠ABC=∠ADC．∴∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF．∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC．∴∠AEB=∠ADF．∴EB∥DF．∵ED∥BF，（2）解：补全思路：GF∥EH，AE∥CF；理由如下：∵四边形EBFD是平行四边形；∴BE∥DF，DE=BF，∴AE=CF，又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴GF∥EH，∴四边形EGFH是平行四边形．考点2、平行四边形的存在性例1、解：（1）△抛物线y=2x2+bx+6经过A（1，0），△2×12+b+6=0，解得b=﹣8，△y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，△顶点P的坐标为（2，﹣2），令y=0，则2x2﹣8x+6=0，解得x1=1，x2=3，△点B的坐标为（3，0）；（2）设直线BP的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线BP的解析式为y=2x﹣6，△直线y=2x与直线y=2x﹣6互相平行，△直线y=2x上是否存在点D，使以O、P、B、D为顶点的四边形是平行四边形，此时，点D的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2）．变式1、解：（1）令y=0，则（x+2）2=0，解得x1=x2=﹣2，所以，点A（﹣2，0），令x=0，则y=（0+2）2=4，所以，点B（0，4）；（2）△A（﹣2，0），B（0，4），△OA=2，OB=4，△S△AOB=OA•OB=×2×4=4；（3）对称轴方程为直线x=﹣2；（4）△以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，△AP=OB=4，当点P在点A的上方时，点P的坐标为（﹣2，4），当点P在点A的下方时，点P的坐标为（﹣2，﹣4），综上所述，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣4）时，以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形．变式2、解：（1）设直线l2的函数关系式为y=kx+b，△当x=4时，y=0；当x=3时，y=﹣，代入得：，解得：，则直线l2的函数关系式为y=x﹣6；（2）由直线l1：y=﹣3x+3，直线l2：y=x﹣6联立求得：C（2，﹣3），令直线l1：y=﹣3x+3，y=0，得到x=1，即D（1，0），△AD=OA﹣OD=4﹣1=3，C纵坐标的绝对值为3，△S△ADC=×3×3=；（3）存在，这样的点有3种情况，如图所示，过H1作H1P△x轴，过C作CQ△x轴，△四边形ACDH1为平行四边形，△△CDQ△△H1AP，△H1P=CQ=3，AP=DQ=OQ﹣OD=2﹣1=1，OP=OA﹣AP=4﹣1=3，△H1（3，3）；△C（2，﹣3），AD=3，△H2（﹣1，﹣3），H3（5，﹣3），综上，H点坐标是（3，3），（﹣1，﹣3），（5，﹣3）．变式3、解：（1）由消去y得，2x2+3x﹣9=0，解得x1=﹣3，x2=，点A的坐标为（，2），点B的坐标为（﹣3，﹣1）．（2）△A（，2），B（﹣3，﹣1），△线段AB的垂直距离为2﹣（﹣1）=3，水平距离为﹣（﹣3）=．△令y=3，由y=得x=1，则1﹣=﹣，△点D的坐标（﹣，0）；△令y=﹣3，由y=得x=﹣1，则﹣1+=，△点D的坐标（，0）；△如图，线段AB的中点E的坐标为（﹣，），过点C作CF△x轴于点G，点E作EG△OF 于x轴点G，则EG=，△EG是△CDF的中位线△CF=2EG=1，即F点的纵坐标为1，△C（3，1），△F（3，0）．△DG=GF，即3+=﹣﹣x，解得x=﹣．点D的坐标（﹣，0）．综上所述，D点坐标为（﹣，0），（，0）或（﹣，0）．【分层训练】<A组>1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故选C．2．解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．3．解：∵在▱ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，∴∠ADE=∠EDC，∠ADE=∠DEC，AB=DC，∴∠CDE=∠CED，∵AB=3cm，AD=6cm，∴DC=EC=3cm，∵CG⊥DE，DG=cm，∴EG=cm，∴DE=3cm，∵AD∥BC，∴△AFD∽△CFE，∴，则，解得：EF=．故选：B．4．解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线交于原点O，∴点A与点C关于原点O对称，∵点A（﹣4，2），∴点C（4，﹣2）．故选A．5．解：设运动时间为t秒，则CP=12﹣3t，BQ=t，根据题意得到12﹣3t=t，解得：t=3，故选B．6．解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．故选D．7．解：根据平行四边形的判定定理知，（1），（（2）不符合是平行四边形的条件；（3）（4）满足四边形是平行四边形．故选：B．8．解：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故①正确；②平行四边形的对角线互相平分，故②错误；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故③正确；④平行四边形的每组对边平行且相等，故④错误；⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤正确；⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故⑥正确；故选C．9．解：如图：∵y=﹣x2+6x﹣9=﹣（x﹣3）2，∴顶点A的坐标为（3，0），令x=0得到y=﹣9，∴点B的坐标为（0，﹣9），令y=﹣x2+6x﹣9=﹣9，解得：x=0或x=6，∴点C的坐标为（6，﹣9），∴BC=AD=6，∴OD=OA+AD=3+6=9，∴点D的坐标为（9，0），故选D．10．解：∵E，F，G，H，是四边形ABCD各边中点∴HG=AC，EF=AC，GF=HE=BD∴四边形EFGH的周长是HG+EF+GF+HE=（AC+AC+BD+BD）=×（10+10+10+10）=20（cm）．故答案为：20．11．证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF．12．解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，∴∠BAC=180°﹣2α，∵∠DAE+∠BAC=180°，∴∠DAE=2α，∵AE=AD，∴∠ADE=90°﹣α；（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF．∴∠EDC=∠ABC=α，由（1）知，∠ADE=90°﹣α，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴BD=CD；②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，∴∠C=∠B=α．∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF．∴∠EAC=∠C=α，由（1）知，∠DAE=2α，∴∠DAC=α，∴∠DAC=∠C．∴AD=CD．∵AD=AE=BF，∴BF=CD．∴BD=CF．<B组>1．解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形，∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，∴△DAF为等腰三角形，∴AD=DF，∴平行四边形AHFD为菱形，∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF，在△BHD和△GFD中，，∴△BHD≌△GFD（SAS），∴∠BDH=∠GDF，∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．故选C．2．解：∵①②③④四个平行四边形面积的和为28cm2，四边形ABCD面积是18cm2，∴平行四边形⑤的面积是18﹣×28=4（cm2），∴菱形EFGH的面积是4+28=32cm2，过E作EM⊥GH于M，设EH=HG=FG=EF=xcm，∵∠H=30°，∴EM=x，即x•x=32，x=8，∴EH=HG=FG=EF=8cm，∴①②③④四个平行四边形的周长的和正好是8×8=64，故选B．3．解：如图，分别延长AC、BD交于点H，∵∠A=∠DPB=60°，∴AH∥PD，∵∠B=∠CPA=60°，∴BH∥PC，∴四边形CPDH为平行四边形，∴CD与HP互相平分．∵G为CD的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN=AB=5，即G的移动路径长为5．故答案为：5．4．解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点∴四边形DEBF为平行四边形，∴DE∥BF故①正确．②由①知四边形DEBF为平行四边形，∵AD⊥BD，E为边AB的中点，∴DE=BE=AE，∴四边形BEDF是菱形故②正确．③∵AG∥DB AD∥BG AD⊥BD∴AGBD为矩形，∴AD=BG=BC，要使FG⊥AB，则BF=BC=BG，不能证明BF=BC，即FG⊥AB不恒成立，故③不正确．④由③知BC=BG∴S△BFG=S△FCG，∵F为CD中点∴S△FCG=S平行四边形ABCD∴S△BFG=故④正确．综上可得：①②④正确．故答案为：①②④．5．（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，∵DF是∠ADC的平分线，∴∠ADF=∠FDC，∴∠F=∠BEF，∴BF=BE；②△AGC是等腰直角三角形．理由如下：连接BG，由①知，BF=BE，∠FBC=90°，∴∠F=∠BEF=45°，∵G是EF的中点，∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°，∵∠FAD=90°，∴AF=AD，又∵AD=BC，∴AF=BC，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG=CG，∴∠FAG=∠BCG，又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，即∠GAC+∠ACG=90°，∴∠AGC=90°，∴△AGC是等腰直角三角形；（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，∴△BFG是等边三角形，∴FG=BG，∠FBG=60°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠AFG=∠CBG，∵DF是∠ADC的平分线，∴∠ADF=∠FDC，∵AB∥DC，∴∠AFD=∠FDC，∴∠AFD=∠ADF，∴AF=AD，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG=CG，∠FAG=∠BCG，在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°﹣60°=120°，∴∠AGC=180°﹣（∠GAC+∠ACG）=180°﹣120°=60°，∴△AGC是等边三角形．6．解：∵△BGA是等边三角形，∴AB=AG=BG，∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∵BD⊥BC，∴∠ADB=∠DBC=90°，∴∠DAB=∠GAB=30°，∴在Rt△ADB中，BD=AB，AD=AB，∵S平行四边形ABCD=AD×BD=AB2=9，∴AB=6，即AG=6．。