数学活动——平行四边形中的图形变换
小学四年级平行四边形教案
小学四年级平行四边形教案通过观看、操作等活动，熟识平行四边形以及图形的特征;通过操作活动(折纸)熟识并理解平行四边形的高。
一起看看小学四年级平行四边形教案!欢迎查阅!小学四年级平行四边形教案1教学目标：1、通过观看、操作等活动，熟识平行四边形以及图形的特征;通过操作活动(折纸)熟识并理解平行四边形的高。
2、经历探究平行四边形形状的过程，了解它的基本特征，进一步进展空间观念，培育学生动手操作能力。
3、通过观看、操作、沟通等数学活动，体验数学问题的探究性和挑战性，感受数学思索的条理性。
教学重、难点：让学生在观看、操作、沟通等教学活动中熟识平行四边形。
教具预备：一个长方形方框，多媒体课件。
学具预备：每人一块直尺、一副三角板、一张印有平行四边形的白纸和一个剪好的平行四边形、一个硬纸条做的长方形方框。
教学过程：一、谈话引入老师：同学们，在以前的学习中我们已经初步熟识了平行四边形。
事实上，在我们生活中也经常见到平行四边形。
请看大屏幕。
(课件出示主题图)请同学们仔细观看这些物体，你能在这些物体上找出平行四边形吗?(请同学到台上用鼠标边指边说，然后课件再呈现学生所指出的平行四边形。
)老师：同学们观看得格外仔细，找到了这么多的平行四边形，它们有些什么共同的特征呢?今日这节课老师就和同学们一起来进一步熟识平行四边形。
板书课题：平行四边形二、探究新知1、熟识平行四边形的特征(1)老师：同学们喜爱看魔术表演吗?(喜爱)现在，老师就给同学们表演一个小魔术。
(老师出示一个长方形方框)这个图形大家熟识吗?(它是长方形) 老师：对!这是一个长方形。
老师握着这个长方形方框的两个对角，轻轻地拉一拉。
变!变!变!这还是长方形吗?(平行四边形)对!这是平行四边形。
老师：你们想玩玩这个魔术吗?(2) 学生自己用硬纸条做的长方形方框来体验平行四边形的不稳定性。
(3)师：同学们观看老师手里的平行四边形，同桌探讨你们发觉了什么?生1：对边平行生2：对边相等同学们真聪慧，真能干通过观看发觉了这么多!同学们，这些发觉对吗?现在我们来验证我们的发觉，请同学们拿出老师发的平行四边形，首先我们用画平行线的方法来验证对边是否平行。
人教版四年级数学上册12《平行四边形的认识》说课稿
《平行四边形的认识》说课稿《平行四边形的认识》是2013年经过教育部审定的人教版《义务教育教科书》四年级上册第五单元《平行四边形和梯形》第二小节第1课时的内容，我将从教学解读和教学实施两部分进行说课。
一、教学解读➢教材分析：本节课是人教版小学数学四年级上册第5单元《平行四边形和梯形》第二节平行四边形和梯形的第1课时，这部分内容是在学生直观认识了平行四边形，初步掌握了长方形和正方形的特征，认识了垂直与平行的基础上进行教学的，通过一系列的探究实践活动继续认识平行四边形的特性、底和高，为以后学习平行四边形面积打基础，学好这一部分内容，有利于提高学生动手能力，增强创新意识，而且进一步发展了学生对“空间与图形”的兴趣，对学生理解、掌握、描述现实空间，获得解决实际问题的方法有着重要价值。
教材通过两个例题和两段文字呈现了三部分内容：平行四边形的特征和定义、平行四边形的底和高、平行四边形特性及应用，教材的编排始终遵循四年级的认知规律和思维规律，注重在学生实践操作中经历解决问题的整个过程，积累解决问题的经验，注意让学生通过动手操作，在实践过程中逐步促进学生空间观念的发展，在整个教材编排体系中起着非常重要的作用。
➢学情分析：数学学习活动必须建立在学生认知发展水平和已有的生活经验基础上，四年级学生已经具备一定的数学学习能力和理解能力，学生初步认识了平行四边形，能够从平面图形中分辨出平行四边形。
同时学生在生活中也接触到很多平行四边形，对平行四边形有一定的感性认识。
同时学生掌握了平行和垂直的概念，会画垂线，有了一定的知识基础。
本节课将给学生提供丰富的数学学习场景和丰富的学习素材，让学生经历探究的过程，引导学生自主操作、自主探究、讨论，经历猜想验证的数学学习过程，让学生在富有挑战性的学习中发展能力，学会思考和学习，真正成为数学课堂学习的主动参与者。
➢教学目标:《数学课程标准》强调让学生亲身经历将数学学习的过程，积累数学活动经验。
认识平行四边形教案6篇
认识平行四边形教案6篇精心设计的教案可以有效提升学生们的学习积极性和参与度，教案的创新性能够激发学生的学习热情和动力，本店铺今天就为您带来了认识平行四边形教案6篇，相信一定会对你有所帮助。
认识平行四边形教案篇1教学目标:1、通过观察、比较等方法，初步认识平行四边形，初步感知平行四边形的特征。
2、参与对图形的围、拼、折等实践活动，体会图形的变换，发展空间观念。
3、在学习活动中积累对数学的兴趣，培养交往、合作意识。
教学重点:认识平行四边形。
教学难点:感悟平行四边形的特征。
教学过程:一、情境导入同学们，上节课我们知道了什么是四边形以及它的特点，今天，老师又给你们带来了一位新朋友(出示平行四边形图)，你们见过它吗?这节课我们就来认识这位新朋友。
二、自主探究同学们在生活中见过这样的图形吗?在哪见过?看，这是教师在生活中见到的四边形，你知道这是什么吗?课件出示:教材第14页例2图第一幅图是挂衣服的架子，第二幅图是围起来的篱笆墙，第三幅图是楼梯的扶手。
你能用两块完全一样的三角尺拼出这样的平行四边形吗?它跟长方形、正方形有什么区别和联系呢?试一试。
学生动手操作，尝试拼平行四边形，教师巡视指导。
组织交流，展示学生拼图结果，并让学生说说发现了什么?(它们的对边一样长，长方形、正方形和平行四边形都是四边形，长方形、正方形的四个角都是直角，平行四边形的角不是直角) 老师边画平行四边形边指出:像这样的四边形叫做平行四边形。
三、巩固练习1.想想做做第1题。
学生独立完成，分小组讨论，汇报。
2.想想做做第2题。
组织学生想一想，再围一围。
3.想想做做第3题，学生在书上描一描，教师巡视检查。
4.想想做做第4题，学生动手完成。
5.想想做做第5题，学生在家长的帮助下完成。
三、全课总结提问:今天这节课你有什么收获?课后反思: 文章认识平行四边形教案篇2教学内容：数学人教版四年级上册第五课第二节《认识平行四边形》教学目标：1．让学生在联系生活实际和动手操作的过程中认识平行四边形，发现平行四边形的基本特征。
新人教版八年级数学下册《平行四边形》教案设计(10篇)
新人教版八年级数学下册《平行四边形》教案设计（10篇）八年级数学下册《平行四边形》教案设计篇1教学准备教师准备：投影仪，教具：课本“探究”内容；补充材料制成投影片．学生准备：复习，平行四边形性质；学具：课本“探究”内容．学法解析1．认知题后：学习了三角形全等、平行四边形定义、•性质以后学习本节课内容．2．知识线索：3．学习方式：采用动手操作来发现新的知识，通过交流形成知识体系．教学过程一、回顾交流，逆向思索教师提问：1．平行四边形定义是什么？如何表示？2．平行四边形性质是什么？如何概括？学生活动：思考后举手回答：回答：1．•两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（教师在黑板上画出下图：帮助学生直观理解）回答：2．平行四边形性质从边考虑：（1）对边平行，（2）对边相等，（3）•对边平行且相等（“”）；从角考虑：对角相等；从对角线考虑：两条对角线互相平分．（借助上图直观理解）．教师归纳：（投影显示）平行四边形【活动方略】教师活动：操作投影仪，显示课本P96和P97“探究”的问题．用问题牵引学生动手操作、思考、发现、归纳、论证，可以让学生分成4人小组讨论，•然后再进行小组汇报，教师同时也拿出教具同学在一起探索．学生活动：分四人小组，拿出准备好的学具探究．在活动中发现：（1）•将两长两短的四根细木条（或用硬纸片），用小钉铰合在一起，做成四边形，如果等长的木条成对边，那么无论如何转动这四边形，它的形状都是平行四边形；（2）•若将两根细木条中点用钉子钉合在一起，用像皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形，转动两根木条，这个四边形是平行四边形．（3）将两条等长的木条平行放置，•另外用两根木条（不一定等长）用钉子予以加固，得到的四边形一定是平行四边形。
八年级数学下册《平行四边形》教案设计篇2教材分析：平行四边形的面积计算教学是在学生掌握了平行四边形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上进行的，它同时又是进一步学习三角形面积、梯形面积、圆的面积和立体图形表面积计算的基础。
《平行四边形的认识》教案
1.在生活中到处可以找到我们认识的平面图形，下面让我们一起去看一看，找一找吧。
2.出示图片找到位置、方向、大小都不相同的平行四边形，它们有什么共同的特点呢？
3.回顾我们之前研究平面图形的经验，同学们打算怎样研究平行四边形的特点呢？请同学们说一说自己的想法。
（一）操作活动发现边角特点
《平行四边形的认识》教案
教学目标
1.经历观察思考和动手操作，认识平行四边形。
2.通过对四边形本质的研究，体会边与角的关系，掌握平行四边形的特征。
3.经历猜想——验证——表达的过程，积累数学活动的基本经验，发展空间观念，培养问题意识。
教学内容
数学书64页例5平行四边形的认识
教学过程
一、回顾探究图形特征方法
（1）通过平行特征判断图形。
（2）通过画多条高线判断，并在画高的过程中培养良好的学习习惯。
（2）继续使用方格纸这个学具，通过观察发现上下两条边之间的间隔是相等的。
（3）通过平移三角板验证了平行四边形上下两条边互相平行、左右两条对书上总结的图形概念，请同学说一说指一指哪是平行四边形的对边？哪是对角？
2.认识平行四边形各部分名称。
（二）书后练习 知识巩固
1.回顾探究长方形、正方形图形特征的方法研究平行四边形。教师出示学习任务单，组织学生进行小组探究活动。
2.学生操作、交流。
（1）工具测量：通过直尺测量四条边长度、量角器测量四个角角度发现平行四边形对边长度相等、对角角度相等特征。
（2）方格图：通过方格图数出边的长度，并且通过旋转的方法解决探究过程中遇到的困难。
（3）剪切、平移：通过将平行四边形剪切成多个部分并结合平移的方法发现图形边角特征。
（二）结合新授探究平行特点
一年级下册数学一年级下册数学认识平行四边形
认识平行四边形教学目标：1、通过把长方形或正方形折、剪、拼等活动，平行四边形，知道这个图形的名称；并能识别平行四边形，初步知道它们在日常生活中的应用。
2、在折图形、剪图形、拼图形等活动中，体会图形的变换，发展对图形的空间想象能力。
3、在学习活动中积累对数学的兴趣，增强与同学交往、合作的意识。
教学重点：直观认识三角形和平行四边形，知道它们的名称，并能识别这些图形，知道它们在日常生活中的应用。
教学难点：让学生动手在钉子板上围、用小棒拼平行四边形。
教学资源：长方形和正方形的纸、钉子板、小棒、实物投影教学过程：一、复习铺垫二、启发思维、引出新知认识平行四边形（1）这是一张什么形状的纸？（演示长方形纸）怎样折一下，把它折成两个完全一样的三角形？（2）学生先想一想，然后同桌商量着试折。
教师巡视（3）交流：我发现你的手真巧，他是这样折的，送学生小礼物并让学生告诉大家是什么形状的小书签。
你们会像他一样折吗？折剪重合（4）折好后把两个三角形剪下来。
要想知道这两个三角形是不是完全一样，你能有什么办法？（把它们叠在一起）这就是完全一样。
（5）现在我们手里都有这样两个一样的三角形，用它们拼一拼，看看能拼出什么图形？小朋友将拼好的图形贴到黑板上，一一讲评。
学生分组活动，教师巡视。
交流探讨。
同学们可能拼出以下几种图形：三角形、长方形、四边形、平行四边形。
每出现一种拼法，请一位同学在投影仪上向大家展示。
①请一位拼成三角形的同学到投影仪前展示所拼出的图形。
师：他拼成了一个什么图形？生答：三角形。
②师：谁还拼出了其他的图形（请一位拼成长方形的同学到投影仪前展示）？师：他拼成了一个什么图形？生答：长方形。
③师：你是怎样拼的？④ XX同学，请你到投影仪前展示你拼的图形。
师：这个图形真漂亮，它叫什么名字呀！这个图形就是我们要认识的另一个新朋友——平行四边形。
（出示图形，并板书：平行四边形）（板书）出示一个长方形的模型，提问：“这个图形的面是一个什么图形？”学生回答后，老师将这个长方形轻轻拉动，这时出现的是一个平行四边形。
数学集体备课教研活动记录九年级第四章
数学集体备课教研活动记录九年级第四章引言本文是关于九年级数学集体备课教研活动的记录，记录了第四章的备课过程和教研讨论的内容。
本次备课的主题是“平面中的图形与变换”。
备课内容目标本章主要目标是让学生能够：1.辨别和绘制平行四边形、矩形、正方形和菱形等图形；2.理解平面上的基本变换，如平移、旋转和翻转，并能将其应用到图形的变换中；3.利用平移、旋转和翻转的性质解决实际问题。
教学计划•第一节课：引入平行四边形和矩形的概念，通过实例让学生能够分辨和绘制这些图形，并能够计算其周长和面积。
•第二节课：引入正方形和菱形的概念，通过实例让学生了解它们的特点，并能够分辨和绘制这些图形。
•第三节课：引入平面上的基本变换，如平移、旋转和翻转，并通过实例让学生理解这些变换，并能够进行简单的应用。
•第四节课：通过综合素材，让学生运用所学的知识解决实际问题，加深对平面变换的理解。
资源准备•教材：九年级数学教材第四章。
•教学PPT：将相关图形和变换的示意图整理成PPT，方便呈现给学生。
•白板和马克笔：备课时记录重点和备课笔记，教学时进行板书。
•学生作业册：布置练习题和作业。
教研讨论学生困惑与解决在备课过程中，教师们讨论了学生可能出现的困惑和学习难点。
以下是教研讨论的主要内容：1.学生可能对于平行四边形、矩形、正方形和菱形的区分和绘制存在困惑。
教师们提出通过实例和图形示意进行讲解，并设计一些练习题帮助学生巩固理解。
2.学生对于平移、旋转和翻转的概念可能存在理解上的困难。
教师们决定通过生活中的例子来引入这些概念，并设计一些互动活动，让学生动手进行实际操作。
3.学生在应用平面变换解决实际问题时可能存在应用困难。
教师们决定布置一些综合素材作业，让学生进行综合运用，加深对平面变换的理解。
教学方法和策略教研讨论还涉及到了一些教学方法和策略的讨论。
以下是主要讨论的内容：1.引入问题解决方法：教师们认为在解决实际问题时，学生需要学会分析问题和选择合适的方法。
四边形的几何变换-练习与解答
走进四边形的几何变换在近几年的各地中考中，几何变换作为一种数学思想与方法，不断地被命题者青睐与关注，在现行的初中数学课本中，主要存在平移、旋转和轴对称(即翻折)三种几何变换. 它们最大的特征都是不改变图形的形状和大小，只改变图形位置的变换。
而四边形作为初中阶段最核心最重要的内容，越来越被作为呈现知识和能力的载体。
为此，让我们结合年各地中考试题，一同走进四边形中的变换世界，感受它的魅力与亮点。
一、在平移中构造与发现例：(年咸宁市)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△．（）证明A AD CC B '''△≌△；（）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请说明理由．思路点拨：在平移过程中对应的边与角的大小不变，仅仅是位置发生改变，借助边角边可证出两个三角形全等；同时与′′始终平行且相等，可知四边形′′平行四边形，要使其为菱形，需满足′，而∠°，∠°，可得21，即点′是线段的中点。
解析：()矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△ 得A D ''，A D ''∥∥，′′，∴∠′′′∠，∴⊿′′≌⊿′。
（）当点′是线段的中点时，四边形′′是菱形，理由如下：∵四边形是矩形， A C D '''△由ACD △平移得到，′′，由（）知′′，∴四边形是平行四边形。
在⊿中，点′是线段的中点，∴′21，而∠°，∴21，∴′，∴四边形′′是菱形。
点评：决定平移后图形位置的两个基本因素是平移的方向和距离，本题通过“平移不改变图形的形状和大小”的性质，再结合平移前后图形的相应位置进行分析、综合、探究与解答。
湘教版初中数学八年级下册 2.2.1 平行四边形的性质 教学设计详细
湘教版初中数学八年级下册2.2.1 平行四边形的性质教案教学目标：1.知识与技能：掌握平行四边形的定义及对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，并能用它们解决简单的问题．通过旋转等操作活动体会平行四边形的中心对称性．在操作、探究等数学活动中提高学生的探究能力，进一步提高学生的说理和初步的推理能力.2.过程与方法：经历平行四边形有关概念的形成过程和性质的探究过程；采用多种方法（观察、作图、实验、变换、推理等）探索平行四边形性质，体验解决问题策略的多样性；体会平移、旋转等图形变换在研究平行四边形及其性质中的应用．将探究过程与说理紧密结合．渗透“类比”、“转化”的数学思想．3.情感、态度、价值观：在探究活动与性质应用中，有意识地培养学生独立思考的习惯和积极的情感态度，促进良好数学观的形成，同时增强交流与合作意识.教学重点：平行四边形性质的探究与性质的应用．教学难点：平行四边形对角线互相平分、中心对称性的探究．运用平移、旋转的图形变换思想探究平行四边形的性质．教法：启导探究法.学法：自主探究、合作交流.学具：刻度尺、两张全等的平行四边形（其中一张为半透明）纸●启发学生找出身边常见的四边形实例．●引领学生预知本章《四边形》的学习内容．●引导学生感受生活中的平行四边形，揭示课题．教学过程●引导学生思考、叙述对平行四边形的认识．●类比三角形，介绍平行四边形的记法：□ABCD●学生画一个平行四边形，在作图中去研究已有认知：“平行四边形的对边相等”、“平行四边形的对角相等”，并能进行说理.注意文字语言向符号语言的转换.学生可能用以下两种方法说明“平行四边形的对角相等”：①利用平行线的性质；②连结AC或BD，根据全等三角形中对应角相等可证．学生可能用以下两种方法说明“平行四边形的对边相等”：①平移线段可形成平行四边形，利用平移性质；②连结AC或BD，根据全等三角形中对应边相等可证．●师生共同体会：①用三角形全等的方法是证线段相等、角相等的常用方法．②图形变换是研究图形性质的有效工具．●引导学生观察平行四边形中重要线段——对角线，介绍“对角线”概念，本中通过观察、测量的方法已得到平行四边形对边相等、对角相等的结论，所以本环节充分在学生已有认知基础上进行合情说理.说理可利用学生熟悉的平行线的性质、全等三角形知识，还可以利用刚学过的平移性质.要突出图形变换的工具性作用.在对角线概学生在连结两条对角线AC、BD （AC、BD交于点O）时，可能发现OA=OC，OB=OD，可能用测量、叠合法或证三角形全等等方法说明，教师要给予及时的肯定．注意引导学生试着把结论从符号语言向文字语言转换．例题：在□ABCD中, ∠B=140° ,求其他内角的度数.（学生板演、讲解）变式：在□ABCD中，已知∠B+∠D=280°，求其他两个内角的度数.教学过程BC的取值范围是 .若BC=7cm，则△OAD的周长是 .1..（思考题）一块平行四边形土地，在对角线AC上有一口井E，连结BE、DE，现将两块地△BCE、△DCE分给两农户，这样分公平吗？为什么？。
初中数学教学课例《特殊的平行四边形(矩形)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
(2)组织好小组展示和跨组自由交流，注意学习
时间分配，展示的质量和效率。
(3)组织小组同学交堂每时每刻学生的
动态，对发现的问题和讨论、交流等方面及时指导培训。
二、课堂流程
1.课堂导入----以活动的平行四边形的变化过程
完善学生的认知能力与应用水平。
通过图形性质定理的逆命题，先猜想提出判定图形是否成立的命题，然后运用演绎推理证明这些命题的真伪，得出图形的判定定理，进一步明确矩形的性质定理与判定定理之间的关系：从命题角度来说，判定定理与
相应的性质定理之间是互逆的。
教学目标
1.说出生活中的矩形实例，从边、角、对角线及对
称的角度总结矩形的性质与判定定理。
2.经历类比、猜想、发现结论、验证结论的过程，
形成研究特殊平行四边形的常用方法。
3.在探究的过程中体会类比与划归的数学思想，体
会数学与生活的紧密联系。
学生学习能
力分析
学生在小学阶段对长方形的学习与了解、从七年级开始数学说理的学习、以及前一节平行四边形内容的学习，都为本节课的学习打下了很好的学习基础与方法。学生动手能力和应用能力不强，说理过程的书写格式也有待于进一步规范。在小学阶段，学生对矩形虽有一定的学习与了解，但更多的是停留在表面的记忆和理解，
7.教师寄语以方形人生的小短句作为结束。使数学
中死板的图性变得有灵动性
课例研究综
述
本节课主要是与学生为主体，从课前的预习到课上的自主探究都体现出学生的自主性，其次从教室中的常
见图形抽象到我们的矩形，让学生体会到数学来源于生
活，最后利用所学知识解决生活中的实际问题，恰好体现了数学又应用于生活之中。探究过程中也强调了合作探究的重要性，整节课注重联系实际，拓展学生知识，
《图形的变换》数学教案设计
《图形的变换》數學教案設計主题：《图形的变换》数学教案设计一、教学目标：1. 学生能够理解和掌握基本的图形变换概念，包括平移、旋转和对称。
2. 学生能够通过实践活动，运用所学知识进行简单的图形变换操作。
3. 通过学习，提高学生的空间观念和逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 图形变换的基本概念2. 平移、旋转和对称的定义与特点3. 实践活动：进行简单的图形变换三、教学过程：1. 导入新课：教师展示一些经过变换后的图形，让学生观察并思考这些图形是如何变化的。
然后引出今天的主题——图形的变换。
2. 新课讲解：(1) 基本概念：教师讲解什么是图形的变换，以及变换的三种基本形式：平移、旋转和对称。
(2) 平移、旋转和对称：分别讲解这三种变换的特点和方法，并通过实例来说明。
3. 实践活动：教师分发给学生一些图形，让他们尝试进行平移、旋转和对称的操作，体验图形变换的过程。
4. 小结：教师总结本节课的学习内容，强调图形变换的概念和方法。
四、教学评价：1. 过程评价：在实践活动中，教师可以观察学生的操作过程，了解他们是否掌握了图形变换的方法。
2. 结果评价：教师可以通过提问或者小测试的方式，检查学生对图形变换的理解程度。
五、教学反思：在教学过程中，教师需要关注每个学生的反应，及时调整教学方法和节奏。
同时，也需要反思自己的教学效果，以便改进教学策略，提高教学质量。
六、家庭作业：布置一些图形变换的练习题，让学生在家进行复习和巩固。
七、扩展阅读：推荐一些关于图形变换的课外读物或网络资源，供学生自学和深入研究。
最新人教版数学八年级下册第十八章《平行四边形-数学活：平行四边形中的翻折变换》优质教学课件
∴∠ABC=90°.
∴∠3=90°-60°=30°，
∴∠1=∠2=∠3=30°
在图中，你能找出所有30°的角吗？60°的角呢？还有其他度数的角吗？
G
还有120 ° 和150 °的角
利用折纸得到60°、30°、15°的角
【综合与实践】在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
八年级 下册
第18章 平行四边形
——数学活动：平行四边形中的翻折变换
学习目标： 1．能折出60°，30°，15°的角，学会应用。 2．通过折叠活动，加深对轴对称、全等三角形、特 殊的三角形、四边形等知识的认识； 3．经历折叠、观察、推理、交流、反思等数学活动 过程，积累数学活动经验．学习重点： 折纸做60°，30°，15°的角，学会应用．
D
6.矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD=10，CD=6，则BE=____。
二年级上册数学教案平行四边形的初步认识” 苏教版
苏教版二年级数学上册“平行四边形的初步认识”（有趣的七巧板）教学设计与课后反思第4课时有趣的七巧板教学内容：课本第18—19页的内容。
教学目标：1、通过拼图形，体会填写的变换，发展空间观念。
2、在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识。
3、在动手动脑的过程中发展想象力，培养创新意识。
教学重难点：重点：通过拼图形，让学生体会图形有变换，发展学生的空间观念。
难点：用七巧板创造性地拼图形。
教学准备：课件、七巧板。
教学过程：一、认识七巧板1、出示一副七巧板。
提问：在这样一副七巧板中共有几块图形？你知道每块图形的名称吗？（同桌互说）提问：七巧板中有几种不同的图形？哪几种？哪些三角形的大小完全一样？你是怎样知道的？2、请学生试着用两块拼成一个正方形。
（1）学生们拼，指名板演（2）说说自己是怎样拼的。
（3）动手操作：试试用七巧板中的两块，拼成一个三角形、再拼成应该平行四边形。
二、动手操作1、提问：我们已经认识了哪些图形？2、分小组活动：用七巧板中的三块，拼出一个已经认识的图形（1）学生分小组活动。
（2）指名板演、讲解。
（3）指名分组汇报时，应多鼓励、表扬有多种结果的同学。
3、分小组活动：用七巧板中的四块、五块、六块。
是否也能拼成我们认识的图形？4、出示第 19 页的几幅图。
5、说明：用七巧板不光可以拼出我们认识的图形，还能拼出有意思的图形。
请学生分别说说这几幅图是什么？再让学生分组动手拼出美丽的图案。
三、课堂总结通过这节课的学习，你有什么收获呢？板书设计：有趣的七巧板三角板、正方形和平行四边形教学反思：在活动中给学生充分的自由,让他们发挥自己的想象力,拼摆出不同的图形,提高学生的参与兴趣和动手实践能力。
通过对七巧板的操作,使学生初步了解七巧板的作用。
在活动中培养学生的创新意识和创新能力。
在教学中,放手让学生自己想象、尝试拼图,然后在交流中互评。
学生通过操作、观察、比较,经历了图形的变换过程,空间观念得到了培养。
数学人教版八年级下册平行四边形课题活动——中点四边形
第十七章平行四边形复习教学设计五大连池市第一中学孙洪臣教材分析：本课是《平行四边形》活动课，在平行四边形判定和性质学习的基础上利用类比的方法提出了四边形各边中点所成图形的形状、周长、面积问题，让学生经历猜想、证明的过程，并形成一般性结论，以发展学生的创新精神和实践能力。
教学中应让学生充分思考和体验，使学生思维能力、情感态度、价值观等协同发展。
教学方法：尝试发现、自主探究，小组合作教具媒体：三角尺、课程ppt一、教学目标1. 知识技能：掌握中点四边形的性质，能快速判断形状，会计算周长和面积。
2. 数学思考: 经历观察、实验、猜想、证明等活动过程，引导学生发展合情推理能力、初步的演绎推理能力和语言表达能力。
体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等思想方法。
3. 问题解决：通过问题解决，使学生初步了解把“未知”化为“已知”，把复杂问题化为简单问题的转化思想，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
4. 情感态度：在合作中体验探索，收获快乐，在学习活动中获得成功的体验，在推理中感悟数学内在美，巩固逻辑思维。
发展学生的类比转化等思维，培养学生的探索精神和合作意识。
二、学情分析：初二学生已具备了一定的逻辑思维能力，但是思维依赖于具体形象直观，综合运用知识的能力较弱，特别是及时归纳总结，新旧知识联系起来的能力较弱，为此在教学中采取小组合作、探索发现等教学方法，引导，总结，训练。
对于复杂几何语言的应用，以及逻辑程度较高的几何问题的论证，教学中应予以简单明白，层层深入的分析。
三、教学重点难点重点是掌握中点四边形的性质，能快速判断形状，会计算周长和面积。
难点是中点四边形性质在具体问题中的应用与拓展。
四、教学过程：【活动一】、创设情景上几节课我们研究了平行四边形、矩形、菱形、正方形等几类特殊的四边形，这节课我们来探讨一类更为特殊的四边形-----中点四边形。
【学生活动】学生思考，带着问题进入学习。
《平行四边形的认识》数学说课稿（通用7篇）
《平行四边形的认识》数学说课稿《平行四边形的认识》数学说课稿 (通用7篇)作为一位杰出的老师，就难以避免地要准备说课稿，借助说课稿可以有效提高教学效率。
说课稿应该怎么写才好呢？下面是小编精心整理的《平行四边形的认识》数学说课稿，仅供参考，欢迎大家阅读。
《平行四边形的认识》数学说课稿 1一、说课内容：苏教版数学四年级下册第43～45页。
二、教学内容的地位、作用和意义：这部分内容是在学生已经初步掌握了长方形、正方形、三角形的特征，以及初步认识平行和相交的基础上，进一步认识平行四边形，并掌握其特征。
通过这节课深入的学习，使学生为今后进一步学习平行四边行面积计算打下基础。
教材中第一个例题，首先联系生活实际，让学生找出一些常见物体上的平行四边形，再要求学生根据个人的生活经验举例，充分感知平行四边形；接着让学生做出一个平行四边形并相互交流，初步感受平行四边形的基本特征。
在此基础上，抽象出平行四边形的图形让学生认识，引导学生探索发现平行四边形的基本特征。
第二个例题认识平行四边形的底和高，并揭示高和底的意义。
“试一试”让学生动手测量几个平行四边形指定底边上的高及相应的底，进一步感受高与底的意义。
三、说目标1、知识与技能目标 :（1）理解平行四边形的概念及其特征。
（2）认识平行四边形的底和高，会画高。
（3）培养学生实践能力，观察能力、分析能力。
2、过程与方法目标:让学生通过动手操作，动眼观察，动口表达，动脑思考等方式使学生在活动中进一步积累认识图形的学习经验，学会用不同方法做出一个平行四边形，会在方格纸上画平行四边形，能正确判断一个平面图形是不是平行四边形，能测量或画出平行四边形的高。
3、情感态度与价值观目标:让学生感受图形与生活的密切联系，感受平面图形的学习价值，进一步发展对“空间与图形”的学习兴趣，在探索中感受成功的乐趣。
四、教学重点、难点：教学重点：是认识平行四边形；利用材料做平行四边形并发现其特征；能测量或画出平行四边形的高。
特殊的平行四边形中的图形变换模型—2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型(解析版)
特殊的平行四边形中的图形变换模型之旋转模型 几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有线段、三角形、（特殊）平行四边形的旋转问题。
在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等或相似的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。
近年来虽然关于（特殊）平行四边形旋转的考查频率高，由于之前的专题有总结过相关的旋转模型，故本专题就只对特殊的平行四边形旋转中的题型作全面的总结，方便大家学习掌握。
模型1.平行四边形中的旋转模型1）常规计算型例1．（2023·浙江八年级课时练习）如图，▱ABCD 绕点A 逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B 是对应点，点C′与点C 是对应点，点D′与点D 是对应点），点B′恰好落在BC 边上，则∠C=（ ）A ．155°B ．170°C ．105°D ．145° 【答案】C【详解】试题分析:先根据旋转的性质得到AB=AB′，∠BAB′=30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得到∠B=∠AB′B=75°，然后根据平行四边形的性质得AB ∥CD ，再根据平行线的性质计算得∠C=180°﹣∠B=105°．解：∵▱ABCD 绕点A 逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′′，∴AB=AB′，∠BAB′=30°，∴∠B=∠AB′B=12（180°﹣30°）=75°，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠B+∠C=180°，∴∠C=180°﹣75°=105°．故选C ．考点：旋转的性质；平行四边形的性质．例2．（2023·浙江·九年级期末）如图，在ABCD Y 中，=45ABC ∠︒，2AB =，将点B 绕点A 逆时针旋转120︒得到点E ，点E 落在线段BD 上，在线段BE 上取点F ，使BF DE =，连结AE ，CF ，则EF 的长为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．3【答案】C【分析】根据已知条件利用勾股定理求得BG ，进而求得BE ，通过角度的计算可得EAD EDA ∠=∠，从而可求得DE ，根据EF BE BF BE ED =−=−即可求得【详解】过点A 作AG BD ⊥于点G ，120,BAE AB AE ∠=︒=190302ABG BAE ∴∠=︒−∠=︒2AB =112AG AB ∴==BG ∴=BE = =45ABC ∠︒∴453015DBC ABC ABD ∠=∠−∠=︒−︒=︒四边形ABCD 是平行四边形，, //AD BC ∴15ADE DBC ∴∠=∠=︒180********BAD ABC ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒120BAE ∠=︒13512015EAD BAD EAB ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒EAD EDA ∴∠=∠2ED EA AB ∴===∴EF BE BF BE ED =−=−2故选C【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟悉几何图形的性质是解题的关键．2）最值（范围）型例1．（2023·广东·九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =∠ABC ＝45°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是_____．【答案】【分析】以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT=TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF=EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题．【详解】解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（）2＝4，∴a＝，∴EK＝＝，∴AF的最小值为：．故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．例2．（2023·山东济南·九年级统考期末）如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是边AD上且AE＝2DE，F是射线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、DG，则BG －DG的最大值为________．【答案】1【分析】如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN，GN，可证明△AEN是等边三角形，∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，从而可证明△AEF≌△NEG得到∠ENG=∠A=60°，进而推出∠GNB=60°，则点G的运动轨迹是射线NG，过点B作BM⊥NG交CD延长线于M，连接MG，DG，先求出1322NK BN==，证明四边形ANTD是平行四边形，得到NT=AD=3，DT=AN=2，然后证明△MKT≌△BKN得到MK=BK，MT=BN=3，MD=1，NT垂直平分BM，进而推出当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM．【详解】解：如图，在AB的一点N，使得AN=AE，连接EN，GN，由旋转的性质可知EF=EG，∠FEG=60°，∵AE=2DE，AD=3∴AE=2，DE=1，∵AE=AN，∵∠A=60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，∴∠AEF=∠NEG，∵EA=EN，EF=EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG=∠A=60°，∵∠ANE=60°，∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，过点B作BM⊥NG交CD延长线于M，连接MG，DG，∴∠BKN=90°，∵∠BNK=60°，∴∠NBK=30°，∵AB=5，AN=AE=2，∴BN=3，∴1322NK BN==，∵∠BNK=∠A=60°，∴AD NK∥，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD AB∥，∴四边形ANTD是平行四边形，∠M=∠KBN，∴NT=AD=3，DT=AN=2，∴32TK NT NK=−=，∴NK=TK，又∵∠MKT=∠BKN，∴△MKT≌△BKN（AAS），∴MK=BK，MT=BN=3，∴MD=1，NT垂直平分BM，∴BG=MG，∵MG-DG≤MD，∴BG-DG≤MD，∴当M、D、G三点共线时，MG-DG有最大值，DM，即BG-DG有最大值DM，∴MG-DG的最大值为1，故答案为1．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形确定点G的运动轨迹是解题的关键．3）综合证明型【答案】(1)S△BCE=6；(2)①1＜BF＜5；②证明见解答；(3)BN的最小值为10-2，BN的最大值为．【分析】（1）如图1，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，根据题意求得∠EBF=180°-∠EBA-∠ABC=180°-90°-60°=30°，再根据特殊直角三角形的性质进而求得BC上的高EF=2，代入面积公式算出结果；（2）①如图，在线段FG上截取FK=BF，连接EK、CK，可证得四边形BCKE是平行四边形，得出：BE=CK=BE'=4，BC=6，再运用三角形三边关系即可求得答案；②可证△EKB≌△BGA（AAS），得出BK=AG，由AG=AD-DG，即可推出结论；（3）连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP、NP、NQ、BQ，可证△ABE是等腰直角三角形，得出：，再由点P是AE的中点，可得：BP⊥AE，且，当B、Q、N三点共线时，BN的最小值=BQ-S与点E重合时，EM=0，PN=0，此时，BN的最大值【详解】（1）解：如图1，过点E 作EH ⊥BC 交CB 的延长线于点H ，∴∠EHC=90°，∵∠ABC=60°，∠EBA=90°，∴∠EBH=180°-∠EBA -∠ABC=180°-90°-60°=30°，∵点E '在BC 边上且BE '=4，将B E '绕点B 逆时针旋转α°得到BE ，∴BE=B E '=4，∴EH=12BE=12×4=2， 又∵BC=6，∴S △BCE=12BC•EH=12×6×2=6；（2）解：①如图，在线段FG 上截取FK=BF ，连接EK 、CK ，∵EF=FC ，BF=FK ，∴四边形BCKE 是平行四边形，∴BE=CK=BE '=4，BC=6，在△BCK 中，BC -CK ＜BK ＜BC+CK ，∴6-4＜BK ＜6+4，即2＜2BF ＜10，∴1＜BF ＜5；②证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，且∠ABC=60°，AB=4，∴∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°，AD ∥BC ，AD=BC ，BE=AB ，∵∠EBF=120°，即∠EBK=120°，∴∠EBK=∠A ，∵EK ∥BC ，∴EK ∥AD ，∴∠EKB=∠BGA ，在△EKB 和△BGA 中，EKB BGA EBK A BE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKB ≌△BGA （AAS ），∴BK=AG ，由①知：BK=2BF ，又∵AG=AD -DG ，∴2BF=BC -DG ；（3）解：连接AE ，取AE 的中点P ，PA 的中点Q ，连接BP 、NP 、NQ 、BQ ，∵∠ABE=90°，AB=BE=4，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴∵点P 是AE 的中点，∴BP ⊥AE ，且，∵N 是AM 的中点，P 是AE 的中点，∴PN 是△AEM 的中位线，∴PN ∥EM ，∴∠ANP=∠AME=90°，∵点Q 是AP 的中点，∴QN=PQ=12Rt △BPQ 中，= 当B 、Q 、N 三点共线时，BN 的最小值=BQ -当点S 与点E 重合时，EM=0，PN=0，此时，BN 的最大值．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．模型2.菱形中的旋转模型1）常规计算型 例1．（2023·江西九江·校考模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝．若将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转α（060α︒<<︒）得到四边形AEFG ，连接DE DG ，，则EDG ∠的度数为 ．【答案】150︒【分析】由旋转的性质得,60,AG AD AE EAD GAD αα==∠=−∠=，根据等腰三角形的性质可得出602ADE α=︒∠+，902ADG α=︒∠−，从而可得出结论． 【详解】解：由题意可知AB=AD ，∠BAD=60°．由旋转知∠DAG=∠BAE=α，AE=AB ，AD=AG ，∴∠EAD=∠BAD －∠BAE=60°－α，AE=AD=AG ，∴1806022EAD ADE α−∠∠==+︒︒，1809022DAG ADG α−∠∠==−︒︒，∴∠EDG=∠ADE ＋∠ADG=150°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质以及旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．A ．()2,3B ．【答案】C 【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C 在第三象限，过点A 作AE x⊥轴于点E ，延长OB 到'C 点，使'OC OA =，过点'C 作'C F x ⊥轴于点F ，再根据菱形的性质及全等三角形的性质，即可求得坐标.【详解】解：∵将菱形绕原点O 逆时针旋转，每次旋转90︒， 360904︒÷︒=，∴旋转4次后回到原来的位置，∵202345053÷=⋯⋯，∴第2023次旋转结束时，点C 在第三象限，如图：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，延长OB 到'C 点，使'OC OA =，过点'C 作'C F x ⊥轴于点F ，∴'90AEO OFC ∠=∠=︒，∴90OAE AOE ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是菱形，∴'OA OC OC AC BD ==⊥，，∴'90C OF AOE ∠+∠=︒，∴'OAE C OF ∠=∠，∴'AAS OAE C OF ≌（），∴'AE OF OE C F ==，，∵()A −， ∴2OE AE ==，∴2'OF C F ==，∴('2,C −−，故第2023次旋转结束时，点C 的坐标为(2,−−，故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形的性质和旋转的性质，全等三角形的判定及性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键. 得到B O C ''，若A ．4B ．4【答案】C 【分析】利用菱形的性质求出OB 的长度，再利用勾股定理求出'AB 的长即可．【详解】解：∵菱形ABCD ，∴BD ⊥AC ，AB=BC ，AO=OC=1在Rt△OBC中，4OB=，∵旋转，∴OB O B''=，90O'∠=︒，在Rt△AO B''中，'5AB==，故选：C．【点睛】本题主要考查菱旋转和形的性质，能够利用勾股定理结合性质解三角形是解题关键．2）最值（范围）型例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F 是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是___________．【答案】【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA ＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE 即可解决周长最小问题．【详解】解：取AD中点G，连接，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE，∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，所以EF＝EF'．在△DEF和△GEF'中DE GEDEF GEFEF EF'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形，可得A ，E 关于GF'对称，∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE ，在Rt △BCH 中，∵∠H ＝90°，BC ＝4，∠BCH ＝60°，∴12,2CH BC BH ===，在Rt △BEH 中，BE ，∴∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝．【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 例2．（2023·山西·九年级专题练习）如图，菱形ABCD 中，AB ＝12，∠ABC ＝60°，点E 在AB 边上，且BE ＝2AE ，动点P 在BC 边上，连接PE ，将线段PE 绕点P 顺时针旋转60°至线段PF ，连接AF ，则线段AF 长的最小值为___．【答案】【分析】在BC 上取一点G ，使得BG BE =，连接,EG EF ，作直线FG 交AD 于T ，过点A 作AH GF ⊥于H ，先根据等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理证出≌BEP GEF ，根据全等三角形的性质可得60EGF B ∠=∠=︒，从而可得120BGF ∠=︒，由此可得点F 在射线GF 上运动，再根据垂线段最短可得当点F 与点H 重合时，AF 的长最小，然后根据平行四边形的判定可得四边形ABGT 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得860，AT BG BE ATH B ===∠=∠=︒，最后在Rt AHT 中，解直角三角形即可得．【详解】解：在BC 上取一点G ，使得BG BE =，连接，EG EF ，作直线FG 交AD 于T ，过点A 作AH GF ⊥于H ，60，B BE BG ∠=︒=，BEG ∴△是等边三角形，60，EB EG BEG BGE ∴=∠=∠=︒，60，PE PF EPF =∠=︒，EPF ∴△是等边三角形，60，PEF EF EP ∴∠=︒=，BEG PEF ∴∠=∠，BEG PEG PEF PEG ∴∠−∠=∠−∠，即BEP GEF ∠=∠，在BEP △和GEF △中，BE GE BEP GEFPE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()≌BEP GEF SAS ∴，60EGF B ∴∠=∠=︒，120BGF BGE EGF ∴∠=∠+∠=︒，∴点F 在射线GF 上运动，由垂线段最短可知，当点F 与点H 重合时，AF 的长最小，122，AB BE AE ==，84，BE AE ∴==，60BEG EGF ∠=∠=︒，//GT AB ∴，四边形ABCD 是菱形，BG AT ∴∥，∴四边形ABGT 是平行四边形，860，AT BG BE ATH B ∴===∠=∠=︒，sin 8AH AT ATH ∴=⋅∠==AF长的最小值为【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确找出点F 的运动轨迹是解题关键．ADG S 等于（A ．2B ．3 【答案】D 【分析】当BE ⊥AE 时，∠ABE 的值最大，此时cos ∠BAE=A E A B，推出∠BAE=30°，过点G 作GT ⊥DA 交DA 延长线于点T ，求出GT ，可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD ，四边形AEFG 都是菱形，∴AD=AB=2，，当BE ⊥AE 时，∠ABE 的值最大，此时cos ∠BAE=A E A B∴∠BAE=30°，∵∠DAB+∠EAG=180°，∴∠BAE+∠DAG=180°，∴∠DAG=150°，过点G 作GT ⊥DA 交DA 的延长线于点T ，如图，在Rt △AGT 中，，∠GAT=30°，∴GT=AG·sin30°= 11=··=222ADG S AD GT ⨯ 故选∶D ．【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运所学知识解决问题．3）分类讨论型 的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形 A ．2或4B ．2或6C ．4或6 【答案】B【分析】过点A 作AG BC ⊥．根据等边三角形的性质可求出AG =结合AEC S=2CE =．又易证()ASA BAE CAF ≌，即得出BE CF =，从而即可得解．【详解】如图，过点A 作AG BC ⊥．∵ABC 为等边三角形，∴122CG BC ==，∴AG =∵12AEC S CE AG =⨯=12AEC S CE =⨯=∴2CE =，∴2BE BC CE =−=．∵三角尺的60︒角的顶点与点A 重合，∴BAC EAF ∠=∠，∴BAC EAC EAF EAC ∠−∠=∠−∠，即BAE CAF ∠=∠．又∵两个全等且边长为4的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形ABCD ，∴60B ACF ∠=∠=︒，AB AC =，∴()ASA BAE CAF ≌，∴2BE CF ==；如图，由（1）可知2CG =，∴12AEC S CE =⨯∴2CE =．∵BAC EAF ∠=∠，∴BAC EAC EAF EAC ∠+∠=∠+∠，即BAE CAF ∠=∠．又∵60B ACF ∠=∠=︒，AB AC =，∴()ASA BAE CAF ≌，∴6CF BE BC CE ==+=．∴CF 的长为2或6．故选B ．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 把ABC 分成面积相等两部分，于称为ABC 的“完美分割线，在钝角ABC 中，点是ABC 的“完美分割线【答案】[理解应用]见解析；[问题提升]（1）①CA ＝CE ＋CF ；②见解析；（2）t=15或45【分析】[理解应用]分别表示出ABE ACE ABC S S S V V V 、、，即可证得结论；[问题提升]（1）①如图，结论：CA ＝CE ＋CF ．只要证明△ADF ≌△ACE （SAS ）即可解决问题；②由题意易得△ADF ≌△ACE ，可得：,AE AF EAC FAD =∠=∠，可推得60EAF ∠=︒，进而问题可证；（2）分射线OM 是ABC ACD 、 的“完美分割线”或射线ON 是ACD 的“完美分割线”，进行讨论即可得出答案．【详解】[理解应用]如图：过A 作AH ⊥BC 于H ，∵点E 是线段BC 的中点，∴12BE CE BC ==， ∵111,,222ABE ACE ABC S BE AH S CE AH S BC AH =⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯V V V ，∴12ABE ACE ABC S S S ==△△△，故射线AD 是ABC 的“完美分割线”．[问题提升](1)①结论：CA ＝CE ＋CF ．理由：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ＝AD ＝DC ＝BC ，∠BAC ＝∠DAC ＝60°，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∵∠DAC ＝∠EAF ＝60°，∴∠DAF ＝∠CAE ，∵CA ＝AD ，∠D ＝∠ACE ＝60°，∴△ADF ≌△ACE （SAS ），∴DF ＝CE ，∴CE ＋CF ＝CF ＋DF ＝CD ＝AC ，∴CA ＝CE ＋CF ；②∵△ADF ≌△ACE ，∴,AE AF EAC FAD =∠=∠，∴EAC CAF FAD CAF ∠+∠=∠+∠，∴60EAF CAD ∠=∠=︒，∵,60AE AF EAF =∠=︒,∴AEF △为等边三角形．(2)当OM 恰巧平分BC 时，此时ON 恰巧平分CD ，在等边ABC 中，OM 平分BC ，∴12ABE ACE ABC S S S ==△△△,1302BAE BAC ∠=∠=︒，故射线OM 是ABC 的“完美分割线”，∴302BAE t ∠=︒=︒，∴15t =（秒）；当ON 恰巧平分CD ，在等边ACD 中，ON 平分CD ， ∴12ACF ADF ACD S S S ==V V V ，130CAF CAD ∠==︒,∴603090BAF BAC CAF ∠=∠+∠=︒+︒=︒,故射线ON 是ACD 的“完美分割线”，∴90602BAE BAF MON t ∠=∠−∠=︒−︒=︒，∴15t =（秒）；当OM 恰巧平分CD 时，在等边ACD 中，OM 平分CD ，∴12ACQ ADQ ACD S S S ==V V V ,30CAQ ∠=︒，故射线OM 是ACD 的“完美分割线”，∴60302BAQ t ∠=︒+︒=︒，∴45t =（秒）．综上所述当t=15或45秒时，射线OM 或射线ON 是某个三角形的“完美分割线”．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．4）综合证明型【答案】①②③．【分析】过点B 作BH A D ''⊥于H ，BM AD ⊥于M ，BN CD ⊥于N ，利用角平分线的判定定理证明选项①、②是否正确，再利用全等三角形的性质证明DEF 的周长2DM =为定值，即可判断③ ；根据Rt △BEM ≌Rt △BEH ，Rt △BMA ≌Rt △BNC ，Rt △BFN ≌Rt △BFH ，得到S △BEM ＝S △BEH ，S △BMA ＝S △BNC ，S △BFN ＝S △BFH ，S △DEF+2S △BEF ＝S 四边形DMBN ，但是∠A 不一定为60°，即AM 不一定等于12AB ，由此判断④.【详解】如图，过点B 作BH ⊥A′D′于H ，BM ⊥AD 于M ，BN ⊥CD 于N ．∵菱形BA′D′C′是由菱形ABCD 旋转得到，菱形的每条边上的高相等，∴BM ＝BH ＝BN ，∵BH ⊥A′D′于H ，BM ⊥AD 于M ，BN ⊥CD 于N ，∴BE 平分∠AED′，BF 平分∠A′FC ，故选项①②正确，∵∠BME ＝∠NHE ＝90°，BE ＝BE ，BM ＝BH ，∴Rt △BEM ≌Rt △BEH （HL ），∴EH ＝EM ，同法可证，FH ＝FN ，∴△DEF 的周长＝DE+EF+DF ＝DE+EM+DF+FN ＝DM+DN ，∵∠BMA ＝∠BNC ＝90°，BM ＝BN ，BA ＝BC ，∴Rt △BMA ≌Rt △BNC （HL ），∴AM ＝CN ，∵DA ＝DC ，∴DM ＝DN ，∴△DEF 的周长＝2DM ＝定值，故③正确，∵Rt △BEM ≌Rt △BEH ，Rt △BMA ≌Rt △BNC ，Rt △BFN ≌Rt △BFH ，∴S △BEM ＝S △BEH ，S △BMA ＝S △BNC ，S △BFN ＝S △BFH ，∴S △DEF+2S △BEF ＝S 四边形DMBN ，∵∠A 不一定为60°，∴AM 不一定等于12AB ，∴S △DEF+2S △BEF≠12S 菱形ABCD ，故④错误；故答案：①②③ ．【点睛】旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．例2．（2023·湖北武汉·八年级统考期中）如图1，菱形AEFG 的两边AE 、AG 分别在菱形ABCD 的边AB 和AD 上，且∠BAD=60°，连接CF ；（1CF =；（2）如图2，将菱形AEFG 绕点A 进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2），（1）中的结论不变．理由见解析．【分析】（1）延长EF 交CD 于M 点，证明三角形CMF 是等腰三角形，且∠EMC=120°，过点M 作MN ⊥CF ，垂足为N ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，和勾股定理，得FN=NC=2D G 即；（2）过D 做∠NDC=∠ADG,使DN=DG ，连接NC ，证明△DGN 为等腰三角形，四边形GFNC 为平行四边形即可．【详解】（1）如图１，延长EF 交CD 于M 点，∵四边形AEFG 和四边形ABCD 是菱形∴DC//GF//AB,DM//GF∴四边形GFMD 是平行四边形则∠D=∠EMC=120°，∴∠MFC=∠MCF=30°，过点M 作MN ⊥CF ，垂足为N ，∴MN=12M F ,根据勾股定理，得FN=D G ，∵MC=MF ，∴FN=NC ，∴；（2）如图2，过D 做∠NDC=∠ADG,使DN=DG ，连接NC ，∴△AGD ≌△DNC(SAS ）∴AG=NC ∠DNC=∠AGD ∴△DGN 为等腰三角形，则∠DGN=∠DNG ，∵∠NGF=360°-∠AGD -∠AGF -∠DGN=240°-∠DGA -∠DGN ∠GNC=∠DNC -∠DNG=∠DNC -∠DNG∴∠NGF+∠GNC=240°-∠DGN -∠DNG,∵∠DGN+∠DNG=180°-∠GDN=60°∴∠NGF+∠GNC=180°∴NC//GF ，∴四边形GFNC 为平行四边形∴CF=GN ，则GN=，∴，结论（1）不变．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，三角形的全等，等腰三角形的性质，灵活构造辅助线是解题的关键． ①CIJ 的周长是否变化？若不变，请求出CIJ 的周长；【答案】(1)BIE α∠=(2)见详解(3)①不变，CIJ 的周长为3，②6−【分析】（1）设BC 与AE 交于点H ，由旋转可知E B ∠=∠，再根据三角形的外角定理即可；（2）过点A 作AM EF ⊥于点M ，AN BC ⊥于点N ，证明AM AN =，由角平分线的判定定理即可得出结论；（3）①旋转前后的组合图形同样是轴对称图形，对称轴为直线AJ ，得到,CJ FJ =再证明(AAS)ABI AFI ≌，得到BI FI =即可；，②当0α=︒时AK 有最大值，当30α=︒时AK 有最小值， 即可得出结果．【详解】（1）解：设BC 与AE 交于点H ，由旋转可知E B ∠=∠，再根据三角形的外角定理得：AHI E HIE B BAH ∠=∠+∠=∠+∠，BIE BAH α∠=∠=；（2）解：过点A 作AM EF ⊥于点M ，AN BC ⊥于点N ，90AME ANB ∴∠=∠=︒， 由旋转可知E B ∠=∠，AE AB =，(AAS)AME ANB ∴≌，AM AN ∴=，AI ∴平分BIF ∠；（3）解：①不变，CIJ 的周长为3，理由如下：连接,,AJ AF AC ，根据菱形为轴对称图形，菱形对角线所在的直线为菱形的对称轴，旋转前后的组合图形同样是轴对称图形，对称轴为直线AJ ，,CJ FJ ∴=由第（2）问中AI 平分BIF ∠，AIB AIF ∴∠=∠，在菱形ABCD 中，3AB =，=60B ∠︒，ABC ∴和AEF △均为等边三角形，,60AB AE B E ∴=∠=∠=︒，(AAS)ABI AFI ∴≌，BI FI ∴=， CIJ 的周长为3CI IJ CJ FJ IJ CI BI CI BC ++=++=+==；②当0α=︒时AK 有最大值，3AK =；当30α=︒时AK 有最小值，AK =3AK ≤<．故点K 的运动路径长为236⎛=− ⎝ 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，综合运用旋转图形的性质、全等三角形的性质和判定是本题的关键．模型3.矩形中的旋转模型1）常规计算型 例1．（2023上·成都市·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，14CBD ∠=︒，将矩形ABCD 绕对角线BD 的中点O 旋转角度()090a α︒<<︒得到矩形A B C D ''''，当C '，D 的距离等于1时，α等于（ ）A ．28︒B ．42︒C ．48︒D ．56︒【答案】D 【分析】如图，连接OC C D ''，，由矩形性质可证OCB OBC ∠=∠，得28DOC ∠=︒，易知DOC DOC '≌，所以DOC DOC ∠=∠'，进而求得72C OC ∠'=︒，即旋转角度．【详解】如图，连接OC C D ''，，∵四边形ABCD 是矩形，∴1122AC BD OC AC OB OD BD ====，，，∴OB OC OD OC ==='，∴OCB OBC ∠=∠，∴228DOC OBC OCB CBD ∠=∠+∠=∠=︒．∵C '，D 的距离等于1，1AB CD ==，∴CD C D ='，∴()SSS DOC DOC '≌，∴DOC DOC ∠=∠'，∴256C OC DOC ∠'=∠=︒．故选D ．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形外角的知识；由图形的旋转变换转化为全等三角形解决问题是求解的关键．例2．（2023·江西·统考三模）如图，矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转得到矩形AFGE ，当点F 落在边CD 上时，连接BF 、DE ，则ADEABF SS =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．23 【答案】C【分析】由题意作辅助线过点E 作EH AD ⊥于点H ，并利用旋转的性质以及三角函数进行分析求解.【详解】解：如解图，过点E 作EH AD ⊥于点H ，在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，2AD ∴=，90ADC DAB ∠=∠=︒.由旋转的性质可得4AF AB ==，2AE AD ==，90EAF DAB ∠=∠=︒，1sin 2AF AD AF D ==∴.30AFD ∴∠=︒，60DAF ∠=︒.30DAE ∴∠=︒.sin DAE 12AE EH AE =⋅∠==∴，1121122ADE E A H S D ==⨯⋅⨯=，1142422ABF A A D S B ==⨯⨯⋅=，14ADEABFS S ∴=.故选C【点睛】本题考查矩形相关，综合利用旋转的性质以及三角函数相关性质进行求解.例3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，将矩形ABCD 绕点B 顺时针方向旋转后得到矩形A BC D '''，若边A B '交线段CD 于H ，且BH DH =，则DH 的值是______．【答案】254【分析】设DH 的值是x ，那么CH=8x −，BH=x，在Rt△BCH 中根据勾股定理即可列出关于x 的方程，解方程就可以求出DH ．【详解】解：设DH 的值是x ， ∵AB=8，AD=6，且BH=DH ， 8,,CH x BH x ∴=−=6BC AD ==，在Rt △BCH 中，2222DH BH CH BC ==+， ()22836x x ∴=−+，25,4x ∴= 即254=DH ．故答案为：25.4 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，解题关键是利用勾股定理列出关于所求线段的方程．2）最值（范围）型例1．（2023·广东·八年级假期作业）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，将线段AP 绕着点A 逆时针旋转60°得到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为 ___．【答案】3.5【分析】以AB 为边作等边△ABE ，D 作DH ⊥QE 于H ，利用SAS 证明△ABP ≌△AEQ ，得∠AEQ=∠ABP=90°，则点Q 在射线EQ 上运动，即求DH 的长度，再用含30°角的直角三角形性质进行解题．【详解】解：如图，以AB 为边作等边△ABE ，过点D 作DH ⊥QE 于H ，∴AB=AE ，∠BAE=60°，∵将线段AP 绕着点A 逆时针旋转60°得到AQ ，∴AP=AQ ，∠PAQ=60°，∴∠BAP=∠EAQ ，在△ABP 和△AEQ 中，AB AE BAP EAQ AP AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△AEQ （SAS ），∴∠AEQ=∠ABP=90°，∴点Q 在射线EQ 上运动，当Q 与H 重合时，DQ 最小，在Rt △AEF 中，∠EAF=30°，∴EF=AE=，∴AF=2EF=，∴DF=AD -AF==，∴DH=DF=×=72，∴DQ 的最小值为72，故答案为：72．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出点Q 的运动路径是解题的关键． ，设EOF 的面积为【答案】 939s ≤≤【分析】（1）当点E 落在BC 上时，由勾股定理知（2）如图，由旋转知，EF=AD=8， EOF 的面积=12×EF×EF 边上的高，故找面积最值就转化成找EF 边上高的最值．当点E 落在BD 上时，EF 边上高的最小值为EO ，此时s 最小，当点D 落在BD 的反向延长线上时，EF 边上高的最大值为OE'，此时s 最大，分别算出最大值和最小值即可．【详解】（1）AB 6==，当点E 落在BC 上时，=答案：．（2）当点E 落在BD 上时，s 最小，此时，1()32OE BD BD AD =−−=，∴192s EO EF =⨯⋅=；当点D 落在BD 的反向延长线上时，s 最大，13E O OD DE ''=+=， ∴1392s E O E F '''=⨯⋅=，∴939s ≤≤．故答案为：939s ≤≤．【点睛】此题考查了图形的旋转和勾股定理，解题的关键是要有空间想象能力，正确作出辅助线求解．3）分类讨论型 例1．（2023·江西南昌·九年级校联考阶段练习）在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，将边AD 绕它的端点旋转，当另一端点恰好落在边BC 所在直线的点E 处时，线段DE 的长为 ．5 【分析】分两种情形：绕A 旋转或绕D 旋转，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∵四边形∴AB=CD=3，AD=BC=5，∠ABC=∠DCB=90°，当AD 绕A 旋转，AD=12AE AE ==5时，124BE BE ===，∴C 1E =1，C 2E =9，∴1DE ===2DE ===，当AD 绕D 旋转时，345D DE DE A ===，综上所述，满足条件的DE 55．【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．例2．（2023上·广东珠海·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转（旋转角小于90度）得到矩形AEFG ．(1)如图①，若在旋转过程中，点E 落在对角线AC 上，AF EF 、分别交DC 于点M ，N ，①求证：MA MC =；②求MF 的长；(2)在旋转过程中，当旋转到如图②所示的情况，若直线AE 经过线段BG 的中点P ，连接BE ，求BEG 的面积．【答案】(1)①见解析；②154(2)BEG 的面积是48−48+【分析】（1）①根据矩形的性质和旋转的性质得到DCA FAE ∠=∠，证得MA MC =；②设MA MC x ==，则8DM x =−，根据勾股定理求出x 的值，即可求出MF 的值；（2）分情况讨论，第一种情况，过点B 作BH AE ⊥于点H ，证明()AAS HBP AGP ≌，用勾股定理求出AH 的长，从而得到AP 的长，再求出PE 的长，根据2BEG GPE S S =算出BEG 的面积；第二种情况，与第一种情况的区别在于PE 的长，求出PE 长之后，一样算出BEG 的面积．【详解】（1）解：①∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，∴DCA BAC ∠=∠，∵旋转，∴=FAE BAC ∠∠，∴DCA FAE ∠∠，∴MA MC =；②设MA MC x ==，则8DM x =−，在Rt ADM △中，()22268x x +−=，解得254x =，在Rt AEF 中，10AF ==，∴154MF AF AM =−=， （2）①如图，过点B 作BH AE ⊥于点H ，则90GAP BHP ∠=∠=︒，在HBP 和AGP 中，BHP GAP APG HPA GP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS HBP AGP ≌，∴AP HP =，6BH AG ==， 在Rt ABH △中，AH =∴12AP AH == ∴8PE AE AP =−=∴(12268482BEG GPE S S ==⨯⨯⨯=−；②如图所示，同①得：AH =AP ∴8PE =∴(12268482BEG GPE S S ==⨯⨯⨯=+BEG 的面积是48−48+ 【点睛】本题考查的是四边形综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，以及等腰三角形的判定，需要注意进行分类讨论．4）综合证明型例1．（2023·四川·眉山市东坡区模拟预测）如图，Rt △ABE 中，∠B=90°，AB=BE ，将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，过D 作DC ⊥BE 交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分∠HDC ；②DO=OE ；③H 是BF 的中点；④BC -CF=2CE ；⑤CD=HF ，其中正确的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【分析】根据∠B=90°，AB=BE ，△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，可得ABE AHD ≅，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，可证//AD BC ，根据DC BC ⊥，可得HDE CDE ∠=∠，根据三角形的内角和可得HDE CDE ∠=∠，即DE 平分∠HDC ，所以①正确； 利用90DAB ABC BCD ∠=∠=∠=，得到四边形ABCD 是矩形，有90ADC ∠=︒，45HDC ∠=︒，由①有DE 平分∠HDC ，得22.5HDO ∠=︒，可得67.5AHB ∠=︒,22.5DHO ∠=，可证OD OH =，利用 AE AD =易证67.5AEB OHE HEO ∠=∠=∠=︒，则有OE OH =，OD OE =，所以②正确；过H 作HJ BC ⊥于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，得IJ AD ⊥，I 是AD 的中点，J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，所以③正确；根据ABE 是等腰直角三角形，JH JE ⊥，∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，得到2JH CF =，2JC BC =，JC JE CE =+，易证2BC CF CE −=，所以④正确；利用AAS 证明DHE DCE ∆≅∆，则有DH DC =，22.5HDE CDE ∠=∠=︒，易的22.5DHF ∠=︒，112.5DFH ∠=︒，则DHF△不是直角三角形，并DH HF ≠ ，即有：CD HF ≠，所以⑤不正确；【详解】解：∵Rt △ABE 中，∠B=90°，AB=BE ，∴45BAE BEA ∠=∠=︒又∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，∴ABE AHD ≅，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，∴45EAD ∠=︒，AE AD = ，90AHD ∠=，∴ADE AED ∠=∠∴454590BAD BAE EAD ∠=∠+∠=+=，∴//AD BC ∴ADE DEC ∠=∠，∴AED DEC ∠=∠,又∵DC BC ⊥ ∴90DCE DHE ∠=∠=∴由三角形的内角和可得HDE CDE ∠=∠，即：DE 平分∠HDC ，所以①正确；∵90DAB ABC BCD ∠=∠=∠=∴四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ∠=︒∴45HDC ∠=︒，由①有DE 平分∠HDC ，∴114522.522HDO HDC ∠=∠=⨯︒=︒ ∵45BAE ∠=︒，AB AH =∴()()111801804567.522AHB BAE ∠=︒−∠=⨯︒−︒=︒,∴9067.522.5DHO DHE FHE DHE AHB ∠=∠−∠=∠−∠=−=∴OD OH = 在AED △中，AE AD =∴()()111801804567.522AED EAD ∠=︒−∠=⨯︒−︒=︒∴67.5AEB OHE HEO ∠=∠=∠=︒∴OE ∴OD OE =，所以②正确；过H 作HJ BC ⊥于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，∵//AD BC ∴IJ AD ⊥又∵AHD 是等腰直角三角形，∴I 是AD 的中点，∵四边形ABCD 是矩形，HJ BC ⊥∴J 是BC 的中点，∴H 是BF 的中点，所以③正确；∵ABE 是等腰直角三角形，JH JE ⊥∴JH JE =又∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，∴2JH CF =，2JC BC =，JC JE CE =+，∴222222JC JE CE JH CE CF CE BC =+=+=+=即有：2BC CF CE −=，所以④正确；在DHE 和DCE △中，90DHE DCE HDE CDEDE DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DHE DCE AAS ∆≅∆，DH DC ∴=，14522.52HDE CDE ∠=∠=⨯︒=︒，∵OD OH =∴22.5DHF ∠=︒，∴1801804522.5112.5DFH HDF DHF ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒∴DHF △不是直角三角形，并DH HF ≠ 即有：CD HF ≠，所以⑤不正确；综上所述，正确的有①②③④，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 例2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图1，将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，点B 与点E 对应，点E 恰好落在AD 边上，BH CE ⊥交于点H ．(1)求证：CD BH =；(2)如图2，连接AH 并延长交CD 于点M ，交CG 于点N ，点K 在CD 的延长线上，连接EK ，若45EAH KED ∠+∠=︒，在不添加任何辅助线和字母的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)AEH △、、CNM 、ECK【分析】（1）根据旋转的性质得出CE BC =，证明()AAS BHC CDE ≌，根据全等三角形的性质即可求解；（2）根据矩形FECG 是由矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到的，直接可得AEH △、ABH 是等腰三角形，设EAH α∠=，根据三角形的外角的性质以及三角形内角和定理，得出,CMN CNM CEK K ∠=∠∠=∠，即可判断CNM 、ECK 是等腰三角形，即可求解．【详解】（1）证明： 矩形FECG 是由矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到的CE BC ∴= 四边形ABCD 是矩形AD BC ∴∥，90D Ð=° DEC BCH ∴∠=∠BH CE ⊥，90BHC \Ð=°BHC D ∴∠=∠，()AAS BHC CDE ∴≌ BH CD ∴=（2）。
幼儿园数学启蒙——平行四边形认识与运用
幼儿园数学启蒙——平行四边形认识与运用幼儿园是孩子开始接触数学的重要阶段，而平行四边形作为基础几何形状之一，其认识与运用对幼儿园阶段的数学学习具有重要意义。
本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨幼儿园数学启蒙中平行四边形的认识及运用。
1. 认识平行四边形- 什么是平行四边形？平行四边形是指有两对边分别平行的四边形，其特点是对边平行，对角线相等。
- 平行四边形的特性平行四边形具有对边平行、对角线相等、内角和为360度等特点，可以通过图形、实物进行直观展示和观察。
2. 学习平行四边形的方法- 观察身边的实物让幼儿通过观察周围的实物，如窗户、书桌等，找出其中的平行四边形，并进行简单的分类和讨论。
- 绘制图形引导幼儿使用直尺和圆规绘制平行四边形，通过亲自动手的方式，帮助幼儿深入理解平行四边形的形状和特性。
3. 平行四边形的应用- 在日常生活中的运用通过幼儿园周围的环境，引导幼儿找出平行四边形的实际应用，如窗户、门板等，帮助幼儿理解数学在日常生活中的重要性。
- 组合拼图设计一些拼图游戏，让幼儿将不同形状的平行四边形组合拼图，锻炼他们的观察和逻辑能力，加深对平行四边形的认识。
4. 我对幼儿园数学启蒙中平行四边形认识与运用的看法在幼儿园阶段，数学启蒙不仅是教授孩子简单的数字和计算，更应该注重引导幼儿从身边的实物和图形中认识数学，平行四边形作为最基础的几何形状之一，其认识与运用对幼儿数学思维的培养具有重要作用。
通过观察、动手操作、游戏等方式，可以激发幼儿学习的兴趣，培养他们对数学的正面态度和自信心。
在幼儿园数学启蒙中，平行四边形的认识和运用是不可或缺的一部分，也是培养幼儿数学兴趣和能力的重要途径。
通过对幼儿园数学启蒙中平行四边形的认识与运用的探讨，我们希望可以帮助家长和老师更好地引导幼儿学习数学，培养他们对数学的兴趣和理解，为日后更深入的数学学习打下坚实的基础。
幼儿园数学启蒙是孩子接触数学的重要阶段，而平行四边形作为基础几何形状之一，其认识和运用对幼儿园阶段的数学学习具有重要意义。
初中数学单元整体复习的新视角——以“从图形变化的视角整体设计平行四边形”单元复习为例
教育部《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》指出：取消初中学业水平考试大纲，严格依据义务教育课程标准命题，不得超标命题.在此重大变革的机遇下，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）成为初中数学学业水平考试命题的根本依据.因此，遵从数学课程基本理念，实现数学课程目标，专注于发展学生的数学学科核心素养，是数学教学的根本任务.2020年4月20日，笔者有幸在“深化课堂教学改革提升数学育人水平行动研究”第一次主题教研活动中做了题为“从图形变化的视角整体设计平行四边形单元复习”的报告.笔者现将报告准备过程中的所思所想进行呈现，与大家共同探讨.一、复习教学的策略复习教学有别于新课教学，其意义不应止步于“温故”，而应积极探索如何“知新”.同时，复习教学不应否认新课教学的效果和作用，应在学生已有“四基”的基础上，寻找新的增长点.1.以课程标准为根本依据《标准》中的课程内容（第三学段）与平行四边形（包括平行四边形、矩形、菱形和正方形）有关的描述是“探索并证明平行四边形的性质定理；探索并证明平行四边形的判定定理”“探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理以及它们的判定定理”“探索矩形、菱形、正多边形的轴对称性质”“探索平行四边形、正多边形的中心对称性质”.其中，对平行四边形的性质定理和判定定理的要求均为“探索并证明”，对其轴对称性质与中心对称性质的要求均为“探索”.《标准》中将描述过程目标的行为动词“探索”定义为“独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识”，将描述结果目标的行为动词“证明”定义为“综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题”.这两个行为动词体现出《标准》对平行四边形教学内容有很高的要求.因此，以平行四边形单元整体复习为例来谈复习教学的策略，可以为其他单元的复习提供借鉴与参考，具有一定的研究价值.在平行四边形单元整体复习设计中把上述目标具体分为以下四个方面.（1）能辨别平行四边形、矩形、菱形、正方形，理清它们之间的关系.（2）能运用平行四边形的性质定理与判定定理进行相关证明和计算.初中数学单元整体复习的新视角——以“从图形变化的视角整体设计平行四边形”单元复习为例李摘要：平行四边形内容是学生学习图形的变化的良好载体.在平行四边形的复习教学中，以课程标准为依据，以图形变化为主轴，用图形研究的一般观念引领单元整体复习教学，帮助学生建立知识之间的广泛联系.通过这些教学策略，旨在促进学生空间观念、几何直观和逻辑推理等能力的发展.关键词：课程标准；复习教学；整体教学；教学策略收稿日期：2021-01-16作者简介：李馨（1976—），男，高级教师，主要从事初中数学课堂教学与解题研究.··36（3）会利用图形的对称性对具体问题进行分析与推理.（4）经历以图形对称性的视角研究平行四边形的过程，寻求该视角下的研究思路、研究内容和研究方法.2.以图形变换为主轴，用图形研究的一般观念引领单元整体复习教学（1）以图形变换为主轴，开展单元整体复习教学.平行四边形单元整体复习教学设计的基本思路是以图形的对称性为主轴，串联平行四边形大单元的复习，共设置三个课时，分别为“平行四边形的中心对称性”“轴对称在矩形、菱形中的应用”“正方形的对称性”.每个课时均由具体活动引入，通过引导学生探究，感受图形对称性在平行四边形中的重要价值，并最终解释图形对称性之间的联系.图形的对称性包括轴对称、中心对称和旋转对称.轴对称的代表图形是等腰三角形，中心对称的代表图形是平行四边形，旋转对称的代表图形是圆.平行四边形具有中心对称性，将其特殊化后得到的矩形和菱形均为轴对称图形，再进一步特殊化后得到的正方形是旋转对称图形（正方形绕对角线的交点旋转90°后能与原正方形重合）.因此，以图形的对称性为主轴对平行四边形单元进行整体复习教学设计不但有利于用整体的视野，以平行四边形为载体，从研究思路、研究内容和研究方法上统一认识图形的对称性，而且可以实现以一个全新的视角对平行四边形进行再认识，发展学生的空间观念和几何直观.（2）以图形研究的一般观念引领单元整体教学.在新课教学中，学生已经掌握了研究几何图形的基本思路：概念—性质—判定—特例—应用.同时，在初学平行四边形时，学生已经掌握了通过对四边形的要素（边和角）特殊化（数量和位置）生成新的研究对象的方法.在本单元复习中，学生可以通过类似的研究方法，以新的视角，从相关要素（对角线）的特殊化（数量和位置）方向进行继续研究.这样的研究方法与之前的几何研究保持了内容结构的整体性和逻辑一致性，对研究其他几何图形同样具有示范性. 3.帮助学生建立知识之间的广泛联系单元整体教学设计强调学习内容的内部联系，强调活动设计的自然连贯，强调思想方法的良好承接，以帮助学生构建更全面的认知结构.本单元整体教学设计强调图形对称性与平行四边形的性质、判定之间的关系.图形的对称性是平行四边形性质的几何直观，平行四边形是图形对称性的载体，在学生的图形认知结构中，两者共同发挥着重要作用，相互依存、密不可分.二、复习教学设计核心流程教学设计不仅要围绕《标准》提出的教学目标、落实目标解析，还需要重视内容中蕴涵的数学思想和方法，实现数学教学的育人价值.本单元以深度学习理念设计复习教学活动，逐一突破难点，完成知识完整、思想一致、方法普适、思维系统和逻辑连贯的整体复习教学设计.1.分析教学内容，确定教学重点（1）分析知识内容的逻辑结构.平行四边形是中心对称图形，这是从整体上对平行四边形的认识，而平行四边形的两条对角线与一组对边所组成的两个三角形成中心对称，这是从局部看图形各部分之间的关系.在解决具体问题时，可以先对图形整体建立几何直观，再细化到局部，探索要素之间的关系.有时候也可以根据问题中对局部图形的描述，发现其具有对称性的本质，进而认识图形的整体.对称图形要素之间的关系需要从定性和定量两个方面进行研究.如何综合运用图形的对称性解决问题需要学生进行分析与推理.（2）分析思想方法和育人价值.平行四边形内容中蕴涵的基本思想是推理和图形变换思想，核心的育人价值是发展学生的空间观念、几何直观和逻辑推理能力.（3）确定单元教学重点.基于以上分析，确定平行四边形单元复习的教学重点是：通过图形的对称性，再认识平行四边形的性质和判定；以图形的对称性为主轴探究研究平行四边形的具体方法.2.诊断教学问题，明确教学难点，完善教学策略学生已经学习了图形的轴对称、中心对称和旋转··37具体课时的教学核心流程及解析如下.下面是三个课时教学的核心流程图、基本设计思路及深度学习活动设计.核心流程图主要体现复习教学组织的过程、内容之间的联系和蕴涵的思想方法等.在基本设计思路中简单介绍了各课时深度学习活动的组织方式及其意义和价值.深度学习活动设计在同一课时中是前后连贯的，在三个课时中是思路统一的，具有良好的承接性.（1）第1课时.①“平行四边形的中心对称性”一课的核心流程图如图1所示.一一一一整体→局部局部→整体过中心的直线中点→中线（1）（2）（3）图1②基本设计思路.第1课时的活动从整体到局部，根据平行四边形的中心对称性，以小见大.在探究“平行四边形与其过中心的直线组合后能获得哪些结论”的活动中，对问题进行分解，关注一边中点关于中心的对称点的位置，一边上的中线关于中心对称的线段的位置等.再从局部到整体引导学生认知，最终以中心对称的视角获得“过平行四边形两条对角线交点的任意一条直线把平行四边形分为两个全等图形”的结论，并结合图形的相关要素对问题进行各种拓展与变化.③深度学习活动设计.活动1：让学生通过两个三角形关于一点成中心对称获得平行四边形.利用中心对称图形的性质再次理解平行四边形的性质，帮助学生从静态到动态、从整体到局部，重新认识平行四边形.接下来，让学生在平行四边形中画出一边中点关于中心的对称点，通过一系列的追问，由点到线再到角，最后到形，引导学生关注图形的要素和相关要素，让学生再次从局部到整体认识平行四边形的性质与其中心对称性之间的联系.活动2：将平行四边形一边的中点变化为三等分点、四等分点，以及更一般的n等分点，让学生在这个一般化的变化过程中，寻找不变的关系，并以中心对称的视角获得“过平行四边形两条对角线交点的任意变化.在学习过程中，多次以图形的变化为工具解决数学问题和实际问题，具备了一定的基础.也已经通过要素之间的关系研究了平行四边形的性质和判定，并清楚平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形和正方形都是轴对称图形.但是用整体视角，以图形的对称性为主轴，串联平行四边形的研究思路、研究内容和研究方法是学生没有经历过的.基于以上分析，确定平行四边形单元复习的教学难点是：利用图形的对称性解决与平行四边形相关问题的计算或证明.在复习教学中，教师要抓住平行四边形两条对角线之间的特殊数量关系和位置关系，引导学生建立图形对称性与平行四边形的性质及判定之间的关系，借助信息技术增强学生对平行四边形对称性的直观感受，帮助学生建立解决较为复杂问题的思路和方法，再进一步进行完整的推理和证明.3.在整体视野下设计单元教学的课时方案课时安排如下表所示.深度学习活动引入主要内容应用单元—课时第1课时平行四边形的中心对称性两个三角形成中心对称整体与局部的关系；静态到动态的视角平行四边形的中心对称性第2课时轴对称在矩形、菱形中的应用平行四边形对角线的特殊关系对角线的特殊关系；矩形、菱形的对称性平行四边形的轴对称性第3课时正方形的对称性寻找正方形中的相等线段正方形的对称性；旋转对称的根源正方形的对称性··38一条直线把平行四边形分为两个全等图形”的结论，最后再添加对角线，引导学生由整体到局部关注图形的要素与相关要素之间的关系.活动3：在前面活动获得的经验基础上，再增加一条过中心的直线，由学生判断这两条直线与平行四边形的交点顺次连接后所得四边形的形状，为下一课时研究矩形和菱形的轴对称性做铺垫.（2）第2课时.①“轴对称在矩形、菱形中的应用”一课的核心流程图如图2所示.一一一一一一整体局部整体图2②基本设计思路.第2课时延续第1课时的设计思路，从整体到局部，通过将局部小三角形两边（平行四边形对角线的一半）之间数量关系和位置关系特殊化，引导学生发现矩形和菱形既延续了平行四边形的中心对称性，又因为局部特殊化后产生的等腰三角形而拥有了轴对称性，再回到整体，因此矩形和菱形产生了一般平行四边形没有的新性质，这些性质的根源在于它们的轴对称性.最后，以轴对称结合中心对称，对矩形和菱形性质的进行应用.③深度学习活动设计.活动1：回顾新课学习中将平行四边形的要素（角）特殊化获得矩形和菱形，结合第1课时平行四边形的获得过程，从整体到局部，再将局部特殊化.分别通过局部小三角形的两边（平行四边形对角线的一半）数量的特殊化和位置的特殊化获得矩形和菱形.通过设置问题串及追问，引导学生发现矩形和菱形呈现的轴对称性与其局部中隐藏的等腰三角形的轴对称性有密切关系，从而将图形局部的轴对称性和整体的轴对称性进行了有机的统一.在此基础上，由矩形和菱形的中心对称性和轴对称性出发，整体复习矩形和菱形的性质，从而对其对称性及特殊性质形成整体认知.活动2：以矩形为背景，围绕其一条对称轴上点的不同位置展开探究，通过变式，借助图形对称性的视角解决系列问题，串联整个学习过程.（3）第3课时.①“正方形的对称性”一课的核心流程图如图3所示.一一一一一一一一一一一一图3②基本设计思路.第3课时对图形局部进一步特殊化，发现正方形不但延续了平行四边形的中心对称性，同时还延续了矩形和菱形的轴对称性，拥有四条对称轴，于是正方形有了其他四边形所没有的性质.而正方形所体现的旋转对称性，本质上正是因为它既有矩形的轴对称性，又有菱形的轴对称性.关于这两条对称轴各作一次轴对称就体现出了旋转对称性.③深度学习活动设计.活动1：延续前两个课时中对平行四边形、矩形和菱形的研究思路，继续特殊化矩形和菱形的对角线获得正方形，再次将局部的对称性和整体的对称性进行统一.从而发现正方形不仅延续了平行四边形的中心对称性，同时还延续了矩形和菱形的轴对称性，拥有四条对称轴，于是有了其他四边形所没有的性质.活动2：让学生在正方形中寻找和已知线段（连接正方形的一个顶点和与其不相邻的边上一点的线段）相等的线段，并对画出的各种图形根据与已知线段的不同位置进行分类，最终引导学生发现一切源于正方形的对称性——中心对称性、轴对称性和旋转对称性.然后通过两次轴对称解释正方形的旋转对称性，使学生构建对正方形所体现的图形对称性的统一认识.（下转第59页）··39用解直角三角形的条件，构造直角三角形；会进行图形的组合与拆解.从数学育人的出发点和归宿看，思维的教学就是培养学生的理性思维，发展学生的理性精神，实现它要依靠教学内容这一载体.“锐角三角函数”专题复习课不宜过度关注知识点和考点，这样会窄化教学视野，降低教育应有的内涵.必需在问题解决中培养学生的一般性观念：利用四边形、圆、相似等多个知识点综合解决问题时，等角及边的转化是解决问题的关键；解直角三角形中的确定性意识的形成等.虽然初中阶段对三角函数的要求较低，但是学生应该具有回归定义研究性质的能力.六、结束语专题复习课的功能主要是提升学生在知识、技能、思维层面上体现出来的数学素养.鉴于九年级学生现有的认知水平，专题复习课的内容必须为学生的能力发展和素养提升而设计.初中数学的核心素养虽然未作界定，但基于初中的十大核心概念和对核心素养观的理解，此专题复习中要发展的主要学科核心素养应该是数学运算、直观想象、逻辑推理.同时，专题复习课作为一种重要的课型，在教学设计时同样要进行教学背景的分析和教学目标的确定.新授课重在探究建构知识，专题复习课重在梳理、整合知识，感悟数学思想和方法；新授课关注学科知识本质、提升学生思维品质，专题复习课重在发展学生能力、提升核心素养.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.三、后续思考与展望1.复习教学建立在教师“四个理解”的基础上《标准》为复习教学指明了方向，同时也对教师本身的教学能力提出了更高要求.在进行复习教学设计前应做好“前测”工作，即充分了解学生知识和能力的起点，找准复习教学的提升点.教师要在理解数学、理解学生、理解技术、理解教学和评价“四个理解”上多下工夫，切勿把习题教学当成复习教学. 2.复习教学应以单元整体复习的思路进行设计在当前的教学改革形势下，加强“单元—课时”教学设计的研究是深化数学教育教学改革，提高数学教学质量的有力抓手，广大初中数学教师应给予充分重视.在复习教学中，教师应依据《标准》对单元整体学习内容进行解构、重构和建构，对复习教学整体设计的可行性进行科学论证，完成有“数学味”的单元整体复习教学设计.3.关注学生核心素养的教学才具有生命力教师通过全新的视角引导学生重新认识熟悉的数学对象，用相似的方法更系统地发现和提出问题，并进一步分析和解决问题.正所谓“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”，这在培养学生的理性精神和科学态度的过程中起着积极作用.在复习教学中，教师要帮助学生建立知识之间的联系，促进学生对数学的理解，使学生能看得更高、走得更远.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］章建跃，鲍建生.深化课程改革，提高数学教育教学质量：暨“第十一届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动”总结［J］.中国数学教育（初中版），2020（4）：2-20.［3］章建跃.学会用数学的方式解读内容设计教学：以“相交线”为例［J］.数学通报，2019，58（1）：8-12，15.［4］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.（上接第39页）··59。
平行四边形的性质教学案
活动三：
随堂练习
1．在平行四边形中，周长等于48，
1已知一边长12，求各边的长
2已知AB=2BC，求各边的长
3已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长。
渗透类比思想。在比较中学习，能够加深学生对平行四边形概念本质的理解。
通过动手画图操作使学生对平行四边形及其相关元素获得丰富的直观体验，为下面介绍平行四边形的对边、对角以及从这些基本元素入手探究图形性质打下坚实基础。
小组合作探究结果的展示，从多个方面完善了学生对平行四边形性质的认识，大大提高了学习效率；更为重要的是在这一过程中，让学生体悟到学习方式的转变。不但完成了学习任务，而且还学会了与人交流沟通的本领。真正体现了新课程理念中“以人为本，促进学生终身发展”的教学理念。
分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得 ABCD的面积。（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了。）3.平行四边形的面积计算。
单位：海安县城东镇韩洋初中年级：八设计者：于红香时间：2009年3月
课题
平行四边形的性质
课型
新授
案序
第2课时
教学目标
知识技能
掌握平行四边形对角线互相平分的性质，理解平行四边形中心对称的特征。
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数学活动——平行四边形中的图形变换
雄县第二中学 张坤
学习目标：1、熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形性质。
2、在解决问题过程中综合运用平移、轴对称、旋转的数学方法。
3、培养动手动脑能力，提高综合运用知识解决问题的能力。
课前准备
（一）图形之间的变换关系：在轴对称、平移、旋转这些图形变换中，线段的长度不变，角的大小不变，图形的大小和形状不变。
（二） 平行四边形 矩形 菱形 正方形
性 质 边 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 对角相等 四个角都是直角 对角相等
四个角都是直角 对
角线
互相平分 互相平分且相等
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
活动一：学生用所学知识独立解决下面问题，把解题思路和困惑在班内展示。
（注意展示时说清利用的那些性质作为解题依据。
） （2012 枣庄）如图，矩形 ABCD 的对角线AC= 10，BC= 8，则图中五个小矩形的周长之和为 。
活动二：
（一）先自学例题的解题方法，在独立完成思考问题，最后把解决问题中的成果和困惑在师友中讨论，共同解决问题后在班内展示。
（学友展示解题，其他组质疑，师傅解疑。
）
例题：四边形ABCD 是平行四边形，把平行四边形沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 相交于点O ． 求证BO=DO
证明：∵在平行四边形ABCD 中
∴AB=CD,∠A=∠C （平行四边形的对边相等对角相等。
） 又∵图形折叠
∴AB=CD=DE , ∠A=∠C=∠E 又∵∠AOB=
∠EOD （对顶角相等） ∴△ABO ≌△EDO （AAS ）∴BO=DO
思考：（2014 长沙）如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，CE 与AD 相交于点O ．
（1）求证：△AOE ≌△COD ；（2）求证：CO+OD=AD
（3）若∠OCD=30°，AB=√3，求△AOC 的面积．
活动三：先仔细阅读下面问题尝试独立完成，把解决问题时产生的成果和困惑放到小组内交流共同解决，最后把解决方法整理出来。
感到困惑。
如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 是正方形A'B'C'O 的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形A'B'C'O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的四分之一，你能说明这是为什么吗？。