初中数学知识点：图形与变换
初中数学图形的对称变换
图形的对称变换【知识要点】 1、轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
举例 例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形和圆和正多边形都是轴对称图形.有的轴对称图形有不止一条对称轴. 圆有无数条对称轴，每条圆的直径所在的直线都是圆的对称轴。
2、轴对称的性质：对称轴是一条直线！3、中心对称：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形（central symmetry figure ）．这个点叫做它的对称中心。
【典型例题】 判断以下图形属于哪种对称？轴对称，还是中心对称？（ ） （ ） （ ） （ ）（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）例1.判断正误，并填空：（1）成轴对称的两条线段必在对称轴的两侧。
（ ）（2）两个全等三角形关于某直线对称。
（ ）（3）一个图形若能被一条直线分成两个全等图形，那么这个图形是轴对称图形。
（ ）（4）等腰直角三角形的对称轴是 所在的直线，它将图形分成两个 的等腰直角三角形。
（5）射线有 条对称轴。
例2.（1）图形的三种基本运动是 、 、 。
（2）在下列说法中，（ ）不是轴对称图形。
（A ）有两个内角相等的三角形（B ）有一个内角是 45的直角三角形 （C ）有一个内角是 60的三角形（D ）有两个内角分别为 30、 120的三角形 （3）在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）。
（4）同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，图16-2是看到的万花筒中的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以点A 为中心（ ）。
（A ）顺时针旋转 60得到 （B ）顺时针旋转 120行到（C ）逆时针旋转 60得到 （D ）逆时针旋转 120行到（5）如图16-4，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）。
初中数学图形变换知识点整理
初中数学图形变换知识点整理初中数学中，图形变换是一个重要的知识点，它包括了平移、旋转、对称和放缩四个部分。
这些变换不仅在初中数学中有着广泛的应用，也是进一步学习几何知识和应用问题的基础。
下面将对这些知识点进行整理和阐述。
一、平移平移是指将一个图形沿着一定的方向和距离移动，平移后的图形与原图形相似，只是位置发生了改变。
在平移中，有以下几个关键概念需要注意：1. 平移的向量：平移是向量的运算，表示为→AB，表示从点A到点B的位移，也可以表示成矢量形式(AB)。
2. 平移的性质：平移具有保持图形大小、形状和方向不变的性质。
即平移后的图形与原图形全等。
3. 平移的规律：平移的规律可以总结为“横坐标加上有向线段的横坐标，纵坐标加上有向线段的纵坐标”。
即新图形的坐标为(x+a，y+b)，其中a和b为向量→AB的横纵坐标。
二、旋转旋转是指将一个图形围绕一个中心点旋转一定的角度，旋转后的图形与原图形形状相似，但方向可能有所改变。
在旋转中，要注意以下几个关键概念：1. 旋转中心：旋转中心是图形旋转的轴心点，围绕该点进行旋转。
旋转中心可以是图像的一个顶点、中点或者其他位置。
2. 旋转角度：旋转角度是指图形旋转的角度，可以是正数也可以是负数。
顺时针旋转角度为负，逆时针旋转角度为正。
3. 旋转规律：旋转后的图形的顶点坐标可以通过坐标公式得出。
对于顺时针旋转，坐标公式为：新坐标点的横坐标为原坐标点的纵坐标，新坐标点的纵坐标为原坐标点的横坐标的相反数。
对于逆时针旋转，公式则相反。
三、对称对称是指图形通过某一条直线、点或平面变换后重合，这条直线、点或平面称为对称轴。
对称中需要注意以下几个关键概念：1. 对称轴：对称轴是图形对称的参考线。
对称轴可以是一条直线、一个点或平面。
2. 对称性质：对称是指图形经过对称变换后，与原图形完全重合，即图形左右对称、上下对称或中心对称。
3. 对称变换规律：对称变换后的图形的坐标可以通过规律得出。
九年级数学《图形变换-》复习教案
课题：图形的变换（初三复习课）关键词教学目标重点难点考点分析教学方法教学过程教学反思教学目标:1、知识与技能复习“平移、旋转、轴对称”的概念、性质以及变换的联系与区别。
会运用轴对称和中心对称的定义判断图形的对称性，能运用图形变换的知识解决实际问题。
2、过程与方法能从变换的角度思考问题，在变换中穿插复习已学知识，找到核心问题所在，并有效解决问题3、情感态度与价值观通过作图及设计培养学生的美感,在进行教学思维训练的同时进行情感教育，体验数学的运用价值，激发学习兴趣，使学生综合发展教学重点、难点重点：掌握图形平移、旋转、轴对称的概念、性质及基本应用难点：提高学生思维的灵活性及对上述知识的综合运用中考考点分析图形的变换是近年中考必考的内容之一，一般以操作探究形式对这部分知识进行考查。
要关注变换（包括平移、旋转、轴对称、位似)性质的理解和应用。
让学生掌握几何变换这一重要的研究手段和方法，提高学生的识图能力和操作解题的综合能力。
教学方法及手段：在教学中穿插使用了：问答对话互动交流法、直观展示法、直观展示法、数形结合法、层次教学法、综合分析探究法等教学方法和手段。
教学教具对称图形的图片，投影仪学生自主学习方案学习目的1,了解“平移、旋转、轴对称”的概念、性质以及变换的联系与区别2，能运用图形变换的知识解决实际问题.预学检测1，同学们，你们在初中阶段学过哪些变换？2，请整理如下知识点：⑴平移、旋转、轴对称的概念⑵平移、旋转、轴对称的性质⑶图形的对称性与对称图形的关系3，请举些生活中常见的轴对称图形与中心对称图形的例子教学过程：（一）预习导学本节课，老师将和同学们一起复习图形的变换。
1、提问：学过哪些变换？答：平移、旋转、轴对称、位似（以后再详细复习）2、展示预学清单中3个考点标题，师生互动共同整理知识点（即划线部分）考点①平移、旋转、轴对称的概念平移：将一图形沿（某一方向）平行移动（一定的距离)的过程。
旋转：将一图形绕（一定点)转动（一定角度)。
初中数学图与图形的变换精讲
图形与图形的变换1．图形的初步认识①掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型．②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体模型．③了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系．④掌握比较角的大小，估计一个角的大小，计算角度的和与差，进行度、分、秒简单换算．⑤了解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角；理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．⑥了解两点之间，线段最短；了解经过两点有一条直线，并且只有一条直线．⑦了解垂线、垂线段等概念，垂线段最短的性质，点到直线距离的意义；了解过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．⑧掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；了解线段垂直平分线及其性质．⑨理解平行线的特征和平行线的识别；了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．⑩理解平行线之间距离的意义；掌握度量两条平行线之间的距离的方法．2．轴对称①认识轴对称．②理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．③掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形．④掌握简单图形之间的轴对称关系，并指出对称轴．⑤掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关性质．⑥掌握利用轴对称进行图案的设计．3．平移和旋转①认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；掌握按要求作简单平面图形平移后的图形；掌握选用平移进行图案设计．②认识旋转(含中心对称)；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．③了解平行四边形、圆是中心对称图形．④掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形．⑤掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式．⑥掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．⑦在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的数学说理的习惯与能力．【课时分布】图形与图形的变换在第一轮复习时大约需要3个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)课时数内容1基本图形的认识1轴对称与轴对称图形1平移与旋转1图形与图形的变换单元测试与评析【知识回顾】1．知识脉络图形的初步认识立体图形平面图形视图平面展开图点和线角相交线平行线图形之间的变换关系轴对称平移旋转旋转对称中心对称2．基础知识(1)两点之间线段最短；连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．(2)视图有正视图、俯视图、侧视图(左视图、右视图)．(3)平行线间的距离处处相等．(4)平移是由移动的方向和距离决定的．(5)平移的特征：①对应线段平行(或共线)且相等；连结对应的线段平行(或共线)且相等；②对应角分别相等；③平移后的图形与原图形全等．(6)图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定．(7)旋转的特征：①对应点与旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；②每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度；③旋转后的图形与原图形全等．3、能力要求例1选择、填空题(1)如图6-1，小军将一个直角三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是·····································Ａ．B．C ．D ．【分析】图形的旋转与展开．【解】D ．(2)如图6-2，已知□ABCD 的对角线BD =4cm ，将□ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为（）A ．4πcmB ．3πcmC ．2πcmD ．πcm【分析】图形的旋转与圆弧问题结合．【解】C ．(3)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45 ，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②……，则第10次旋转后得到的图形与图①～图④中相同的是（）A ．图①B ．图②C ．图③D ．图④【分析】图形的旋转与操作．【解】B ．(4)如图6-3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，ABCD 图6-3C’图①图②图③图④图6-2ABCDO图6-1(5)按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD的长为__________．【分析】图形的折叠与勾股定理应用．【解】35．(5)如图6-4，在68⨯的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A 的半径为2个单位长度，⊙B 的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B 与静止的⊙A 内切，应将⊙B 由图示位置向左平移个单位长度．【分析】图形平移、圆的位置关系与发散思维结合【解】4或6(6)如图6-5所示，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D E 、分别是边AB 、AC 上，将ABC△沿着DE 折叠压平，A 与'A 重合，若=70A ︒∠，则1+2∠∠=（）A.140︒B.130︒C.110︒D.70︒【分析】图形折叠、三角形内角和与平角的结合【解】A(7)如图6-6-1和6-6-2，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（）图6-4图6-5图图【分析】图形的平移、动点问题及函数图像【解】B【说明】由于概念、性质比较多，复习时可以通过基本练习题的训练，使学生熟练掌握图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能．重视平移、旋转、折叠、展开过程中学生思维的训练，重视平移、旋转、折叠、展开的操作过程，提高学生的分解、组合图形的能力和动手能力。
新人教版初中数学——图形的轴对称、平移与旋转-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——图形的轴对称、平移与旋转知识点归纳及中考典型题解析一、轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴性质对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；（2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤（1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；（2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．二、图形的平移1．定义在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质（1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；（3）平移前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．三、图形的旋转1．定义在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．四、中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形定义如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称性质对应点点A与点C，点B与点D点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′对应线段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′区别中心对称图形是指具有某种特性的一个图形中心对称是指两个图形的关系联系把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．考向一轴对称轴对称图形与轴对称的区别与联系区别：轴对称图形是针对一个图形而言，它是指一个图形所具有的对称性质，而轴对称则是针对两个图形而言的，它描述的是两个图形的一种位置关系，轴对称图形沿对称轴对折后，其自身的一部分与另一部分重合，而成轴对称的两个图形沿对称轴对折后，一个图形与另一个图形重合.联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体时，它就成了一个轴对称图形．典例1第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，全国上下掀起喜迎冬奥热潮，下列四个汉字中是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选A．1．下列图形中不是轴对称图形的是A．B．C．D．考向二平移1．平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行（或共线）且相等．2．平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行或一条边共线，方向相同．3．平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两图形全等．典例2下列运动中：①荡秋千；②钟摆的摆动；③拉抽屉时的抽屉；④工厂里的输送带上的物品，不属于平移的有A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】①荡秋千，是旋转，不是平移；②钟摆的摆动，是旋转，不是平移；③拉抽屉时抽屉的运动，是平移；④工厂里的输送带上的物品运动，是平移；故选C．2．下列四组图形都含有两个可以重合的三角形，其中可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的是A．B．C．D．3．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则A．乙比甲先到B．甲比乙先到C．甲和乙同时到D．无法确定考向三旋转通过旋转，图形中的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．在旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．典例3 如图，在ABC △中，65BAC ∠=︒，以点A 为旋转中心，将ABC △绕点A 逆时针旋转，得AB C ''△，连接BB '，若BB'AC ∥，则BAC '∠的大小是A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．45︒【答案】A【解析】∵△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置， ∴AB ′=AB ，∠B ′AC ′=∠BAC =65︒， ∴∠AB ′B =∠ABB ′， ∵BB ′∥AC ，∴∠ABB ′=∠CAB =65°， ∴∠AB ′B =∠ABB ′=65°， ∴∠BAB ′=180°–2×65°=50°，∴∠BAC ′=∠B ′AC ′–∠BAB ′=65°–50°=15°， 故选A ．4．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是A ．36°B ．60°C ．72°D ．90°5．如图将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AED ，若点B 、D 、E 在同一条直线上，∠BAC =20°，则∠ADB的度数为A．55°B．60°C．65°D．70°考向四中心对称识别轴对称图形与中心对称图形：①识别轴对称图形：轴对称图形是一类具有特殊形状的图形，若把一个图形沿某条直线对称，直线两旁的部分能完全重合，则称该图形为轴对称图形．这条直线为它的一条对称轴．轴对称图形有一条或几条对称轴．②中心对称图形识别：看是否存在一点，把图形绕该点旋转180°后能与原图形重合．典例4下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】B【解析】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误，故选B．6．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是A．B．C．D．1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是A．B．C．D．2．已知点A的坐标为（3，–2），则点A向右平移3个单位后的坐标为A．（0，–2）B．（6，–2）C．（3，1）D．（3，–5）3．下列说法中正确的有①旋转中心到对应点的距离相等；②对称中心是对称点所连线段的中点；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角；④任意一个等边三角形都是中心对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是A．把△ABC向右平移6格B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格5．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（–2，–2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为A．（1，–1）B．（–1，–1）C．（1，1）D．（–1，1）6．在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为__________．7．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1=110°，则∠2=__________°．8．如图所示，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的____．9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°<α<90°）．若∠1=112°，则∠α=__________°．10．△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为__________； （2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为__________； （3）画出△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°得到的△A 3B 3C 3，并求点C 走过的路径长．11．如图，在ABC △中，D 为BC 上任一点，DE AC ∥交AB 于点E DF AB ，∥交AC 于点F ，求证：点E F ，关于AD 的中点对称．12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3），点B坐标为（2，1）；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点C'的坐标；（3）判断△ABC的形状．并说明理由．13．如图，已知∠BAC=40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合，连接CE．（1）△ABC旋转了多少度？（2）连接CE，试判断△AEC的形状．（3）若∠ACE=20°，求∠AEC的度数．1．下列四个图形中，可以由下图通过平移得到的是A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，–1），平移线段AB，使点A落在点A1（–2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为A．（–1，–1）B．（1，0）C．（–1，0）D．（3，0）4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为A．30°B．90°C．120°D．180°5．如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．216．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于A．2 B．3 C．4 D．3 27．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为A．4 B．25C．6 D．268．如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB 绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是__________．9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10 cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6 cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为__________cm．10．如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为__________．11．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG=CH，直线GH绕点O 逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α=90°，AB=9，AD=3，求AE的长．13．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α=60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．变式拓展1．【答案】A【解析】A．不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A．2．【答案】D【解析】A、可以通过轴对称得到，故此选项错误；B、可以通过旋转得到，故此选项错误；C、可以通过轴对称得到，故此选项错误；D、可通过平移得到，故此选项正确；故选D．3．【答案】C【解析】由平移的性质可知，甲、乙两只蚂蚁的行走的路程相同，且两只蚂蚁的速度相同，所以两只蚂蚁同时到达，故选C．4．【答案】C【解析】根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5=72°或72°的倍数．故选C．5．【答案】C【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，∴∠BAC=∠DAE=20°，AB=AE，∠BAE=90°，∴∠BEA=45°，∵∠BDA=∠BEA+∠DAE=45°+20°，∴∠BDA=65°.故选C．6．【答案】A【解析】A、是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是旋转变换图形，故本选项错误；D、是旋转变换图形，故本选项错误．1．【答案】C【解析】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选C．2．【答案】B【解析】∵将点A（3，–2）向右平移3个单位所得点的坐标为（6，–2），∴正确答案是B选项.故选B．3．【答案】C【解析】①旋转中心到对应点的距离相等，正确；②对称中心是对称点所连线段的中点，正确；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角，正确；④任意一个等边三角形都是中心对称图形，错误．说法正确的有3个，故选C．4．【答案】D【解析】根据图象，△ABC 绕着点A 逆时针方向90°旋转与△DEF 形状相同，向右平移6格就可以与△DEF 重合．故选D ． 5．【答案】C【解析】菱形OABC 的顶点O （0，0），B （–2，–2）， 得D 点坐标为（022-，022-），即（–1，–1）． 每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360°=7.5周， OD 旋转了7周半，菱形的对角线交点D 的坐标为（1，1）； 故选C ． 6．【答案】23-【解析】如图，作AH ⊥CD 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°， ∴AB ∥CD ，∴∠D +∠BAD =180°， ∴∠D =60°， ∵AD =AB =2，∴AH =AD ·sin60°3= ∵B ，B ′关于EF 对称， ∴BE =EB ′，当BE 的值最小时，AE 的值最大，根据垂线段最短可知，当EB ′3AH ==时，BE 的值最小， ∴AE 的最大值=23， 故答案为：23． 7．【答案】55【解析】∵1110∠=︒，纸条的两边互相平行，∴3180118011070.∠=︒-∠=︒-︒=︒根据翻折的性质，()()1121803180705522∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒．故答案为：55． 8．【答案】14【解析】根据中心对称图形的性质，得AOE COF △≌△，则阴影部分的面积等于BOC △的面积，为平行四边形ABCD 面积的14．故答案为：14． 9．【答案】22【解析】如图，∵21112∠=∠=︒（对顶角相等），∴336090211268.∠=-⨯︒-=︒︒︒ ∴'906822BAB ∠=-=︒︒︒，∴旋转角'22.BAB α∠=∠=︒故答案为：22．10．【解析】（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为（2，–3）．（2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为（3，1）． （3）将△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°，则点C 走过的路径长=90π2180=π．11．【解析】如图，连接EF 交AD 于点O ．DE AC ∥交AB 于E DF AB ，∥交AC 于F ，∴四边形AEDF 是平行四边形， ∴点E F ，关于AD 的中点对称．12．【解析】（1）如图所示：（2）如图所示：'''A B C △即为所求：C '的坐标为()55-，； （3）2221454162091625AB AC BC =+==+==+=，，，∴222AB AC BC +=， ∴ABC △是直角三角形．13．【解析】（1）∵∠BAC =40°，∴∠BAD =140°，∴△ABC 旋转了140°．（2）由旋转的性质可知AC =AE ，∴△AEC 是等腰三角形． （3）由旋转的性质可知，∠CAE =∠BAD =140°，又AC =AE ， ∴∠AEC =（180°–140°）÷2=20°．1．【答案】D【解析】∵只有D 的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到； 故选D ． 2．【答案】B【解析】将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标横坐标增加3，即（5，1）．故选B ． 3．【答案】【解析】由点A （2，1）平移后所得的点A 1的坐标为（–2，2），可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，∴点B 的对应点B 1的坐标为（–1，0）．故选C ． 4．【答案】C【解析】∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C ． 5．【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD =∠ACE =90°，∴∠BAC =90°， 又∵∠B =60°，∴∠ACB =30°，∴BC =2AB =6，∴AD =6，直通中考由折叠可得，∠E =∠D =∠B =60°，∴∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选C ． 6．【答案】B【解析】∵S △ABC =16.S △A ′EF =9，且AD 为BC 边的中线，∴S △A ′DE =12S △A ′EF =92，S △ABD =12S △ABC =8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '，∴A ′E ∥AB ，∴△DA ′E ∽△DAB ， 则2()A'DE ABD S A'D AD S =△△，即299()1816A'D A'D ==+，解得A ′D =3或A ′D =﹣37（舍），故选B ． 7．【答案】D【解析】∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于20，∴AD =DC =2，∵DE =2，∴Rt △ADE 中，AE =22AD DE +=26，故选D ．8．【答案】（﹣2，﹣23） 【解析】作BH ⊥y 轴于H ，如图，∵△OAB 为等边三角形，∴OH =AH =2，∠BOA =60°，∴BH =3OH =23，∴B 点坐标为（2，23）， ∵等边△AOB 绕点O 顺时针旋转180°得到△A ′OB ′， ∴点B ′的坐标是（﹣2，﹣23）． 故答案为：（﹣2，﹣23）． 9．【答案】10–26【解析】如图，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，由旋转知：AD =AE ，∠DAE =90°，∠CAE =∠BAD =15°，∴∠AED =∠ADG =45°，在△AEF 中，∠AFD =∠AED +∠CAE =60°，在Rt △ADG 中，AG =DG =2AD =32， 在Rt △AFG 中，GF =3AG =6，AF =2FG =26，∴CF =AC –AF =10–26， 故答案为：10–26．10．【答案】23–2【解析】根据旋转过程可知：∠CAD =30°=∠CAB ，AC =AD =4．∴∠BCA =∠ACD =∠ADC =75°．∴∠ECD =180°–2×75°=30°．∴∠E =75°–30°=45°．过点C 作CH ⊥AE 于H 点，在Rt △ACH 中，CH =12AC =2，AH =23． ∴HD =AD –AH =4–23．在Rt △CHE 中，∵∠E =45°，∴EH =CH =2．∴DE =EH –HD =2–（4–23）=23–2．故答案为3–2．11．【解析】（1）如下图所示，点A 1的坐标是（–4，1）；（2）如下图所示，点A 2的坐标是（1，–4）；（3）∵点A （4，1），∴OA 221417+=∴线段OA 290(17)⨯π⨯=174π．12．【解析】（1）∵对角线AC的中点为O，∴AO=CO，且AG=CH，∴GO=HO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，CD=AB，CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB，且CO=AO，∠FOC=∠EOA，∴△COF≌△AOE（ASA），∴FO=EO，且GO=HO，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE，∵∠α=90°，∴EF⊥AC，且AO=CO，∴EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2，∴AE2=（9–AE）2+9，∴AE=5．13．【解析】（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=12（180°–30°）=75°，∴∠ADE=90°–75°=15°；（2）如图2，∵点F是边AC中点，∴BF=12 AC，∵∠ACB=30°，∴AB=12AC，∴BF=AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，∴DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE=CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF=BC，∴DF=BE，而BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形．。
初中数学知识点精讲精析 平面图形的全等变换
第五节平面图形的全等变换要点精讲1．全等图形的定义两个图形重叠在一起的时候，无论是顶点、边、角都与对应的顶点、边、角完全吻合，而且大小也要完全相同．2．图形重叠的方式（1）平行移动以固定的方向移动，也就是所谓的平行移动在平面上透过平行移动或垂直移动，使原对象的位置产生移动的现象．（2）旋转移动设一个定点为中心然后旋转，称为旋转移动，平面上透过旋转活动产生位移，而图形与所呈现的图像不变，只是观看的角度变得不一样．（3）翻转将平面图形翻转180°，使图形产生位移，此时图的形状并未改变，但图像会从原来的正面转为反面，可以透过从背面看或用镜子反射的方式进行翻转活动，让学生易于理解．相关链接1．在全等变换下，直线变为直线，线段变为线段，射线变为射线；两直线的平行性、垂直性，所成的角度都不变；共线点变为共线点，且保持顺序关系不变；直线上A、B、C 三点的简比AC：BC不变．2．在全等变换下，三角形、多边形和圆分别变为与它们全等的三角形、多边形和圆；封闭图形的面积不变．典型解析1．如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A 逆时针旋转后能与△ACE重合，那么旋转了_______度．【答案】60．【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠CAB=60°．又∵△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，∴AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置．∴旋转角为60°．中考案例1．（2012四川宜宾3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，则点P 的坐标为__________．【答案】（﹣1，﹣1）．【解析】∵将△ABC 绕点P 旋转180°得到△DEF ，∴△ABC 和△DEF 关于点P 中心对称． ∴连接AD ，CF ，二者交点即为点P ．由图知，P （﹣1，﹣1）．或由A （0，1），D （﹣2，﹣3），根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点P 的坐标为（），即（﹣1，﹣1）．针对训练1．如图,将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD 的周长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．122．将点A （－3，＋2）先沿轴向上平移5个单位，再沿轴向左平移4个单位得到点A ′，则点A ′的坐标是___________．3．如图，EF 是△ABC 的中位线，将△AEF 沿AB 方向平移到△EBD 的位置，点D 在BC 上，已知△AEF 的面积为5，则图中阴影部分的面积为___________．4．如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 上，△ABO 是直角三角形，∠ABO=900，点B 的坐标为（－1，2），将△ABO 绕原点O 顺时针旋转900，得到△Al BlO ，则过A1, B 两点的直线解析式为___________．y x5．如图，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAE ，连接ED ．若BC=10，BD=9，则△AED 的周长是___________．6．如图，在直角△OAB 中，∠AOB=30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=___________．7． 如图，直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是________．8．长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a 的值为______．参考答案3y x 32=+﹣1．【答案】C【解析】根据平移的基本性质作答．根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，故四边形ABFD的边长分别为AD=CF=1个单位，AB+BC+AC=8；AB+BC+CF+DF+AD=10．故其周长为10．2．【答案】（－7，3）【解析】根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵不变，上下移，纵坐标加减，横不变即可解的答案：∵点A（-3，-2）先沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向左平移4个单位得到点A′，∴A′的坐标是（－3－4，－2＋5），即：（－7，3）．3．【答案】10【解析】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∴EF：BC=1：2，∴S△AEF：S△ABC=1：4．∵△AEF的面积为5，∴S△ABC=20．∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，∴S△EBD=5．∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF=20﹣5﹣5=10．4．【答案】y=3x＋5【解析】设A（a，0），∵点B 的坐标为（－1，2），∴OA=－a，OB2=12＋22=5，AB2=（－1－a）2+22= a2+2 a+5．∵∠ABO=900，∴OA2= AB2＋OB2，即a2= a2+2 a+5+5，解得a=－5．即A（－5，0）．∵△ABO绕原点O顺时针旋转900，得到△Al BlO，∴Al（0，5）．设过A1 、B 两点的直线解析式为y=kx＋b，则，解得．∴过A 、B 两点的直线解析式为y=3x＋5．5．【答案】19【解析】∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，∴根据旋转前、后的图形全等的旋转性质，得，CD= AE，BD=BE．∵△ABC是等边三角形，BC=10，∴AC= BC=10．∴AE＋AD=AC=10．又∵旋转角∠DBE=600，∴△DBE是等边三角形．∴DE=BD=9．∴△AED的周长=DE＋AE＋AD=9＋10=19．6．【答案】70°【解析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∴∠A1OA=100°．又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°．7．【答案】（﹣1，﹣2）或（5，2）．【解析】当y=0时，，解得x=2；当x=0时，y=3．∴点A（2，0），B（0，3）．∴OA=2，OB=3，根据旋转不变性可得△AOB≌△AO′B′，∴AO′=OA=2，O′B′=OB=3，①如果△AOB是逆时针旋转90°，则点B′（﹣1，﹣2），②如果△AOB是顺时针旋转90°，则点B′（5，2）．综上，点B′的坐标是（﹣1，﹣2）或（5，2）．8．【答案】12或15【解析】解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a，2a﹣20．此时，分两种情况：①如果20﹣a＞2a﹣20，即a＜40，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣20．则2a﹣20=（20﹣a）﹣（2a﹣20），解得a=12；②如果20﹣a＜2a﹣20，即a＞40，那么第三次操作时正方形的边长为20﹣a．则20﹣a=（2a﹣20）﹣（20﹣a），解得a=15．∴当n=3时，a的值为12或15．故答案为：12或15．扩展知识认识和欣赏平移变换、旋转变换、轴对称变换在现实生活实际中的应用，学习运用平移变换、旋转变换、轴对称变换及它们的组合进行一定的图案设计（能画）．应用平移变换、旋转变换、轴对称变换将那些分散、远离的条件从图形的某一部位转移到适当的新位置上，得以相对集中，从而达到化繁为简、化难为易、巧妙解题的目的．。
初中数学图形的坐标与变换知识点归纳
初中数学图形的坐标与变换知识点归纳初中数学中，图形的坐标与变换是一个重要且基础的知识点。
它涉及到平面直角坐标系、图形的平移、旋转、翻转等概念和运算。
下面，我们将对初中数学中相关的知识点进行归纳，帮助大家更好地理解和掌握这些内容。
1. 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面上点的位置关系的工具。
它由两条互相垂直的数轴（x轴和y轴）组成，原点为坐标原点，分别与x轴和y轴的正方向上的单位长度为1的线段为坐标轴。
2. 点的坐标表示在平面直角坐标系中，每个点都可以表示为一个有序数对(x, y)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
这种用数对表示点的方法称为点的坐标。
3. 图形的平移平移是指图形在平面上沿着一定的方向移动一定的距离，但形状和大小保持不变。
平移可以用坐标表示，对于平移向量(a, b)，图形上的每个点(x, y)移动到新位置(x+a, y+b)。
4. 图形的旋转旋转是指图形绕一个固定点旋转一定的角度。
对于顺时针旋转θ度的情况，图形上的每个点(x, y)绕旋转中心点O旋转θ度后的新位置为(x', y')，通过一定的数学公式可以得到旋转后的新坐标。
5. 图形的翻转翻转是指图形相对于某个轴对称的操作。
包括水平翻转和垂直翻转两种情况。
水平翻转是指图形相对于x轴对称，垂直翻转是指图形相对于y轴对称。
翻转后图形上的每个点(x, y)的新坐标可以通过一定的变换公式得到。
6. 点的对称性在平面直角坐标系中，点的对称性也是一个重要的概念。
对称点是指两个在坐标系中关于某个点对称的点，就是它们关于这个点的连线的中点。
7. 图形的对称性除了点的对称性，图形的对称性也是一种重要的性质。
图形如果存在一个中心对称轴，当图形上的每一个点关于该对称轴与对应的对称点重合时，我们说图形具有中心对称性。
如果一个图形既有中心对称性，又有轴对称性，则称为既有中心对称性又有轴对称性。
通过对初中数学中图形的坐标与变换知识点的归纳，我们可以更好地理解和应用这些知识，解决与图形相关的问题。
初中数学 几何变换之平移
平移的性质：1．经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等．2．平移前后，所对应的图形全等．1．平行四边形与平移变换由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理．平移沿平行四边形的某条边进行．2．平行六边形和平移变换因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变换处理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要视具体情况（特别是所要证明的结论）而定．这种平移方式经常用来对分散图形进行集中．如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．A CD BPA CD BPQ如图所示，将PAB △平移至QDC △的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．模块一 平行多边形和平移的构造如图2-1，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠． 请运用结论证明下述问题：如图2-2，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．F GHE1423 B A D C 5867P图2-1 图2-2【分析】 此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若1∠和2∠，位置为时，可得出3∠和4∠相等（本质为四点共圆），图（2）中，5∠与6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．∵BK AP ∥，PK AB ∥，∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠ ∵AB CD =，AB CD ∥，∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKCD 为平行四边形，∴PD CK =，∵AD BC = ∴ADP BCK △≌△，∴8BCK ∠=∠在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠，∴BPK BCK ∠=∠，∴78∠=∠8765B DCA KPK8765PDCBA （6∠不动移5∠） （5∠不动移6∠）KA BCDP 5678K8765P D C BA （5∠，6∠均移动） （5∠，6∠均移动）【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐．如图，以ABC △的边AB 、AC 、BC 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ABDE 、正方形ACGF 、正方形BCMN ．以EF 、DN 、GM 为边能否构成三角形？为什么？DE FGNMBCADE FGNMBCPA过点E 作PE DN ∥，过点N 作PN DE ∥，PE 与PN 交于点P ，连结PM 、PF ．∵PE DN ∥，DE PN ∥，∴DE PN =，PE DN =∵AB DE ∥，PN DE ∥，∴AB PN ∥，∵BC MN ∥，∴ABC PNM ∠=∠，∵AB DE PN ==，BC NM =，∴ABC PNM △≌△ ∴AC PM FG ==，ACB PMN ∠=∠，∴AC FG PM ∥∥， ∴四边形FGMP 是平行四边形， ∴MG PF =∴PEF △就是以EF 、DN 、GM 的长为边的三角形．【教师备课提示】这道题还可以给学生拓展PEF △的面积为ABC △的3倍.如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？2133D F EC B AC 1E 12133A 1DF EC B A（方法1）：如图所示，由于六边形的内角都是120︒， 易知CD AF ∥，AB ED ∥，BC FE ∥．把BC 、DE 、F A 分别平移至1AC 、1CE 、1EA ， 可得等边111AC E △，其边长11111C E CE CC DE BA =-=-=． 在此基础上可求得EF 、AF 的长， 进而求得六边形的周长：11111312EF AA AC C A BC ==-=-=-=， 11111134AF A E A E E E CD ==+=+=+=，故六边形的周长是13322415+++++=． （方法2）：如图所示，将六边形补全为等边PQR △． 易得PQR △的边长为1337++=， 则7322EF =--=，7124FA =--=， 故六边形的周长是13322415+++++=．在六边形ABCDEF 中，AB DE ∥，BC EF ∥，CD AF ∥，对边之差BC EF -= 0ED AB AF CD -=->．求证：六边形ABCDEF 的各内角均相等．FE DCBAPFE RQD CBA平移线段DE 到CR ，平移线段BC 到AQ ，平移线段F A 到EP ，如图所示，得到PQR △．易知PQ AQ AP BC EF =-=-， RQ RC QC ED AB =-=-，PR PE RE AF CD =-=-．由于BC EF ED AB AF CD -=-=-，∴PQ RQ PR ==，即PQR △是等边三角形， 60PQR QRP RPQ ∠=∠=∠=︒．故6060120DEF DER REF QRP RPQ ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒． 180********CDE CRE QRP ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．同理，120DCB CBA BAF AFE ∠=∠=∠=∠=︒， ∴六边形ABCDEF 的各内角均相等．如图所示，在六边形ABCDEF 中，AB ED ∥，AF CD ∥，BC FE ∥，AB ED =，AF CD =，BC FE =．又知对角线FD BD ⊥，24FD =厘米，18BD =厘米．请你回答：六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？2133RQPD F EC B AACDBFEACDBFEG将DEF △平移到BAG △的位置；将BCD △平移到GAF △的位置，则长方形BDFG 的面积等于六边形ABCDEF 的面积． 易知长方形BDFG 的面积等于2418432⨯=（平方厘米）， ∴六边形ABCDEF 的面积是432平方厘米．设凸六边形ABCDEF 的三组对边分别平行．求证：ACE △的面积与BDF △的面积相等．如图，将B 、D 、F 分别沿CD 、EF 、AB 平移至B '、D '、F '，则F '在BB '上，B '在DD '上，D '在FF '上，且D F AB DE ''=-，F B CD FA ''=-，B D EF BC ''=-．记六边形ABCDEF 的面积为S ，B D F '''△的面积为T ．因四边形FABF '、BCDB '、DEFD '均为平行四边形，于是，11()()22BDF S S T T S T =-+=+△．AB CDEFB'D'F'AB C DEFA'C'E'同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与一个三角形A C E '''，则有||A C AB DE ''=-，||C E CD FA ''=-，||E A EF BC ''=-．因而A C E '''△的面积也为T ，于是也有1()2ACE S S T =+△，故BDF ACE S S =△△．AB CDEF如果两条相等线段既不平行也不共线，则其中一条线段不可能是另一条线段在某个平移变换下的像．但我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再加上其他相关条件使问题得到解决．如图所示，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且60AOC ∠=︒，求证：1AC BD +≥．CAOBDCAO'B DB考虑将AC 、BD 和AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系． 作CB AB '∥且CB AB '=，则四边形ABB C '是平行四边形，从而AC BB '=． 在BB D '△中可得BB BD B D ''+≥，（当AC BD ∥时，BB BD B D ''+=），即AC BD B D '+≥．由于1CD AB CB '===，60B CD AOC '∠=∠=︒，所以B CD '△是等边三角形，故1B D '=，所以1AC BD +≥．如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD CE =．求证：2DE BC ≥．EDCB AGHFEDC B AABC D EFHG H G HFEDC B A方法一：通过构造平行四边形把DE 和12BC 平移成共顶点的线段（如下图，作中位线利用斜边大于直角边）．模块二 共端点的平移构造方法二：通过构造平行四边形平移DE ，使得DE 和BC 共顶点． 下面写出方法二的解析：（如下图2）过点B 作BF DE ∥，且BF DE =，连接EF 、FC ． ∴DAE CEF =∠∠，AE BD EF ==又∵AD EC = ∴ADE ECF △≌△，∴DE CF = ∴BF CF BC +≥ 即2DE BC ≥，当且仅当DE 为ABC △的中位线时，取到等号．另外，此题还可以如图1，3，4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形．图1图2图3图4ABCDE FABCDE F ABC DEFFE DC BA已知：ABC △．（1）如果AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点，若AD AE =，请你写出此图中的另一组相等的线段；（2）如果AB AC >，D 、E 是AB 、AC 上的点，若BD CE =，请你确定DE 与BC 的数量关系，并证明你的结论．C AEBD NFEDC BA（1）DB EC =；（2）结论：BC DE >．过E 点作EF AB ∥，截取EF DB =，连结BF ，作CEF ∠的平分线EN 交BC 于N ，连结NF ．∵DB EF =，又∵DB EC =，∴EF EC =． ∵EN 平分CEF ∠，∴FEN CEN ∠=∠． 在ENF △和ENC △中，EF EC =，FEN CEN ∠=∠，EN 为公共边，∴ENF ENC △≌△． ∴NF NC =．∵DB EF ∥，DB EF =，∴四边形BDEF 是平行四边形．∴DE BF =． 在BFN △中，BN FN BF +>，即BN CN DE +>，所以BC DE >．已知：矩形ABCD内有定点M，试证：2222AM CM BM DM+=+．CABDM CABDMFE过点B、点M分别作AM、AB的平行线，交于点E，连接CE，ME，BC交ME于点F．∵AB EM∥，AM BE∥∴AM BE=，AB EM=∵AB CD=，AB CD∥∴EM CD∥，EM CD=∴ECDM为平行四边形，∴CE DM=∵EM BC⊥∴222BM BF FM=+，222CE EF CF=+，222CM CF FM=+，222BE BF EF=+∴2222AM CM BM DM+=+．如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接KA与KD均与BC相交．由点B向直线DK引垂线，由点C向直线AK引垂线，两垂线相交于M，求证MK AD⊥．AB CDEFMKKMFEDCBA AB CDEFMPK模块一平行多边形和平移的构造如图，过点K 作KP AB ∥，且KP AB =． 连接PB ，PC ，KM ． ∵PK BA ∥，PK BA =∴四边形PKAB 为平行四边形 ∴BP KA ∥又CF AK ⊥，∴CF PB ⊥又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD = ∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKDC 为平行四边形 ∴PC KD ∥又BE KD ⊥，∴BE PC ⊥ ∴M 为PBC △的重心 ∴PM BC ⊥又AB BC ⊥，AB PK ∥，∴PK AB ⊥ ∴P ，K ，M 三点共线 且KM BC ⊥又∵AD BC ∥，∴KM AD ⊥．如图A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。
初中数学图形与变换的定理与公式
初中数学图形与变换的定理与公式
图形与变换
图形的轴对称
轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴平分；
等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形；
图形的平移
图形平移的基本性质：对应点的连线平行且相等；
图形的旋转
图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；平行四边形、矩形、菱形、正多边形〔边数是偶数〕、圆是中心对称图形；
图形的相似
比例的基本性质：如果，那么，如果，那么
相似三角形的设别方法：①两组角对应相等；②两边对应成比例且夹角对应相等；③三边对应成比例
相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应边成比例；③相似三角形的周长之比等于相似比；④相似三角形的面积比等于相似比的平方；
相似多边形的性质：
①相似多边形的对应角相等；②相似多边形的对应边成比例；
③相似多边形的面积之比等于相似比的平方；
图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形；
Rt△ABC中，∠C=，SinA=，cosA=, tanA=,
CotA=
特殊角的三角函数值：
SinαCosαtanα1Cotα1。
人教版初中数学中考复习课件 第24章 图形的变换(共27张PPT)
（1）∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC. 根据折叠的性质知∠ADB=∠BDF， ∠F=∠A=∠C=90°. ∴∠DBC=∠BDF. ∴BE=DE. 又∠BEF=∠DEC， ∴△BFE≌△DCE.
（2）在Rt△BCD中， ∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°， ∴BC=2√3. 在Rt△ECD中， ∵CD=2，∠EDC=30°， ∴DE=2EC. ∴（2EC）2-EC2=CD2. ∴EC=2√3/3. ∴BE=BC-EC=4√3/3.
18.如图-14，P是正方形ABCD内一点，点P到点A， B，D的距离分别为1，2√2，√10，将△ADP绕点A 顺时针旋转至△ABP′，连接PP′，并延长AP与BC 相交于点Q. （1）求证：△APP′是等腰直角三角形； （2）求∠BPQ的大小； （3）求CQ的长.
（1）∵△ADP绕点A顺时针旋转至△ABP′， ∴根据旋转的性质可知△APD≌△AP′B. ∴AP=AP′，∠PAD=∠P′AB. ∵∠PAD+∠PAB=90°， ∴∠P′AB+∠PAB=90°， 即∠PAP′=90°. ∴△APP′是等腰直角三角形.
5.坐标系内的点的对称坐标变化规律： 关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标变 为原来的相反数. 关于y轴对称的点的坐标，横坐标变为原来的相反 数，纵坐标不变. 关于原点对称的点的坐标，横坐标与纵坐标都变 为原来的相反数.
热点剖析
【例1】（2015•广东）下列所述图形中，既是中
心对称图形，又是轴对称图形的是（ A ）
10 .
16.如图-12，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠ABC=30°，AB=8，将△ABC沿CB向右平移得到
△DEF.若四边形ABED的面积等于8，则平移的距离
初中数学图形的平移,对称与旋转的知识点总复习附解析
初中数学图形的平移，对称与旋转的知识点总复习附解析一、选择题1．如图，在ABC V 中，60,3,5,B AB BC ∠=︒==将ABC V 绕点A 顺时针方向旋转得到,ADE V 当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）A ．3B ．2.5C ．2D ．1【答案】C【解析】【分析】 由旋转得到AD=AB ，由此证明△ADB 是等边三角形，得到BD=AB=3，即可求出CD.【详解】由旋转得AD=AB ，∵60B ∠=︒，∴△ADB 是等边三角形，∴BD=AB=3，∴CD=BC-BD=5-3=2，故选：C.【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，根据旋转得到AD=AB 是解题的关键，由此得到等边三角形进行求解.2．在平面直角坐标系中，把点(5,2)P -先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（ ）A ．(8,4)-B ．(8,0)-C ．(2,4)-D ．(2,0)-【答案】A【解析】【分析】根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案．【详解】∵点P （-5，2），∴先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（-5-3，2+2），即（-8，4），故选：A ．【点睛】此题考查坐标与图形的变化，解题关键是掌握点的坐标的变化规律．3．已知点P （a +1，12a -+）关于原点的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】试题分析：∵P （1a +，12a -+）关于原点对称的点在第四象限，∴P 点在第二象限，∴10a +<，102a -+>，解得：1a <-，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是．故选C ．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组；3．关于原点对称的点的坐标．4．已知点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（2，1）．将线段AB 沿某一方向平移后，点A 的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B 的对应点的坐标为（ ）A ．（5，3）B ．（﹣1，﹣2）C ．（﹣1，﹣1）D ．（0，﹣1）【答案】C【解析】【分析】根据点A 、点A 的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B 的对应点的坐标即可．【详解】∵A （1，3）的对应点的坐标为（﹣2，1），∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减2，∵点B （2，1）的对应点的坐标为（﹣1，﹣1），故选C ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．5．如图，O 是AC 的中点，将面积为216cm 的菱形ABCD 沿AC 方向平移AO 长度得到菱形OB C D '''，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．28cmB ．26cmC ．24cmD ．22cm【答案】C【解析】【分析】 根据题意得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC ，故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的14【详解】解：如图，由平移的性质得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=12AC 故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积14即图中阴影部分的面积为4cm 2．故选：C【点睛】 此题主要考查了相似多边形的性质以及菱形的性质和平移性质的综合运用．关键是 应用相似多边形的性质解答问题.6．已知点P 的坐标为（a ，b ）（a ＞0），点Q 的坐标为（c ，3），且|a ﹣7b -，将线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为20，那么a+b+c 的值为（ ） A ．12B ．15C ．17D ．20【答案】C【解析】【分析】由非负数的性质得到a=c，b=7，P（a，7），故有PQ∥y轴，PQ=7-3=4，由于其扫过的图形是矩形可求得a，代入即可求得结论．【详解】b =0，∵且|a-c|++7∴a=c，b=7，∴P（a，7），PQ∥y轴，∴PQ=7-3=4，∴将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的图形是边长为a和4的矩形，∴4a=20，∴a=5，∴c=5，∴a+b+c=5+7+5=17，故选C.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ∥y 轴，进而求得PQ是解题的关键．7．下面是同学们利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．【详解】A、是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．8．在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选A ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9．如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°，点E 在BC 边上，将菱形纸片ABCD 沿DE 折叠，点C 落在AB 边的垂直平分线上的点C′处，则∠DEC 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】D【解析】【分析】 连接BD ，由菱形的性质及60A ∠=︒，得到ABD △为等边三角形，P 为AB 的中点，利用三线合一得到DP 为角平分线，得到30ADP ∠=︒，120ADC =∠︒，60C ∠=°，进而求出90PDC ∠=︒，由折叠的性质得到45CDE PDE ∠=∠=︒，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【详解】解：连接BD ，如图所示：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，∵60A ∠=︒，∴ABD △为等边三角形，120ADC =∠︒，60C ∠=°，∵P 为AB 的中点，∴DP 为ADB ∠的平分线，即30ADP BDP ∠=∠=︒，∴90PDC ∠=︒，∴由折叠的性质得到45CDE PDE ∠=∠=︒，在DEC V 中，()18075DEC CDE C ∠=︒-∠+∠=︒．故选：D【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．10．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°【答案】C【解析】【分析】 根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC =∠ACD =∠B′AC =12∠1，再根据三角形内角和定理可得.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ACD =∠BAC ，由折叠的性质得：∠BAC =∠B′AC ，∴∠BAC =∠ACD =∠B′AC =12∠1=22° ∴∠B =180°-∠2-∠BAC =180°-44°-22°=114°；故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．11．已知互不平行的两条线段AB，CD关于直线l对称，AB，CD所在直线交于点P，下列结论中：①AB=CD；②点P在直线l上；③若A、C是对称点，则l垂直平分线段AC；④若B、D是对称点，则PB=PD.其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】【详解】由轴对称的性质知，①②③④都正确.故选D.12．如图所示，共有3个方格块，现在要把上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，则应将上面的方格块()A．向右平移1格，向下3格B．向右平移1格，向下4格C．向右平移2格，向下4格D．向右平移2格，向下3格【答案】C【解析】分析：找到两个图案的最右边移动到一条直线，最下边移动到一条直线上的距离即可．解答：解：上面的图案的最右边需向右平移2格才能与下面图案的最右边在一条直线上，最下边需向下平移4格才能与下面图案的最下面重合，故选C．13．如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三AOB角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】D【解析】【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【详解】由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．故选D．【点睛】本题考查了剪纸问题以及培养学生的动手能力及空间想象能力，此类问题动手操作是解题的关键．14．点M(﹣2，1)关于y轴的对称点N的坐标是( )A．(﹣2，﹣1) B．(2，1) C．(2，﹣1) D．(1，﹣2)【答案】B【解析】【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．【详解】点M（-2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（2，1）．故选B．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴AB=22=5，34作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．16．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A．32B．5 C．4 D31【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°－∠ACO －∠CAO=90°．在等腰Rt △ABC 中，AB=6，则AC=BC=32．同理可求得：AO=OC=3．在Rt △AOD1中，OA=3，OD 1=CD 1－OC=4，由勾股定理得：AD 1=5．故选B ．17．如图，平面直角坐标系中，已知点B (3,2)-，若将△ABO 绕点O 沿顺时针方向旋转90°后得到△A 1B 1O ，则点B 的对应点B 1的坐标是( )A ．（3，1）B ．（3，2）C ．（1，3）D ．（2，3）【答案】D【解析】【分析】 根据网格结构作出旋转后的图形，然后根据平面直角坐标系写出点B 1的坐标即可．【详解】解：△A 1B 1O 如图所示，点B 1的坐标是（2，3）．故选D ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握网格结构，作出图形是解题的关键．18．如图，在ABC ∆中，90,2,4C AC BC ∠=︒==，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒，使点C 落在点E 处，点B 落在点D 处，则B E 、两点间的距离为（ ）A．10B．22C．3D．25【答案】B【解析】【分析】延长BE和CA交于点F，根据旋转的性质可知∠CAE=90︒，证明∠BAE=∠ABC，即可证得AE∥BC，得出2142EF AF AEFB FC BC====，即可求出BE．【详解】延长BE和CA交于点F∵ABC∆绕点A逆时针旋转90︒得到△AED ∴∠CAE=90︒∴∠CAB+∠BAE=90︒又∵∠CAB+∠ABC=90︒∴∠BAE=∠ABC∴AE∥BC∴2142 EF AF AEFB FC BC====∴AF=AC=2，FC=4∴BF=42∴BE=EF=12BF=22故选：B【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质．19．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】A. 此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A 选项错误；B. 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B 选项错误；C. 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D 选项错误．D. 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C 选项正确；故选D.20．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转110o ，得到ADE V ，若点D 在线段BC 的延长线上，则ADE ∠的大小为( )A ．55oB ．50oC ．45oD ．35o【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质可得AB AD =，BAD 110∠=o ，ADE ABC ∠∠=，根据等腰三角形的性质可得ABC ADE 35∠∠==o ．【详解】如图，连接CD ，Q 将ABC V 绕点A 逆时针旋转110o ，得到ADE V ，AB AD ∴=，BAD 110∠=o ，ADE ABC ∠∠=，∴∠ABC=∠ADB=（180°-∠BAD ）÷2=35°，∴∠ADE=ABC 35∠=o ，故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解本题的关键．。
初中数学辅助线添加秘籍5、图形变换 旋转
初中数学辅助线添加秘籍5、图形变换—旋转一：如何构造旋转图形1、遇中点，旋180°，构造中心对称图形，即倍长中线。
2、遇90°，旋90°，构造垂直—等腰直角三角形、正方形。
3、遇60°，旋60°，构造等边。
口诀：边相等，就旋转。
二：倒角（旋转后，常见图形）、如图，边长为的正方形AB=AD，由图形旋转的性质可知AD=AB′，故可得出Rt△ADE≌Rt△AB′E，由直角三角形的性质可得出DE的长，再由S阴影=S正方形ABCD-S四边形ADEB′即可得出结论．解答：解：连接AE，∵∠BAB′=30°，∴∠DAB′=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠B=90°，∵正方形AB′C′D′是正方形ABCD旋转而成，∴AD=AB′，∠B′=90°，在Rt△ADE与Rt△AB′E中，AD=AB′，AE=AE，∴Rt△ADE≌Rt△AB′E，∴∠DAE==30°，∴DE=AD?tan∠DAE=×=1，∴S四边形ADEB′=2S△ADE=2××AD×DE=，∴S阴影=S正方形ABCD-S四边形ADEB=3-．2、如图，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PA C绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为????，∠APB=????°.答案此题答案为：6；150°.解：连接PP′.∵△P′AB是△PAC绕点A旋转得到的，∴△P′AB≌△PAC.∵△P′AB≌△PAC，PA=6，PB=8，PC=10，∴P′A=PA=6，P′B=PC=10，∠PAC=∠P′AB.∵△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°，∴∠PAC+∠BAP=60°.∵∠PAC=∠P′AB，∴∠P′AB+∠BAP=∠P′AP=60°.∵∠P′AP=60°，PA=P′A，∴△PAP′是等边三角形，∴PP′=PA=6，∴∠P′PA=60°.∵在△PBP′中PP′=6，PB=8，P′B=10，∴△PBP′是直角三角形，∴∠BPP′=90°，∴∠APB=∠P′PA+∠BPP′=60°+90°=150°.3、如图，P是等边△ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5:6:7，则以PA、PB、PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）.A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.以上结果都不对答案此题答案为：A.解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．4、如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接。
初中数学图形变换知识点汇总
初中数学图形变换知识点汇总图形变换指的是在平面上对图形进行平移、旋转、翻转和放缩等操作，从而改变图形的位置、形状和大小。
这些操作对于初中数学学习来说非常重要，能够帮助学生更好地理解几何图形的特性和性质。
下面将对初中数学图形变换的知识点进行详细的汇总。
一、平移变换平移变换是指将一个图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，而保持图形的大小和形状不变。
平移变换的关键是确定平移的方向和距离。
1. 平移的基本概念平移是平移向量的长度和方向决定的，平移向量可以表示为 (a, b) 或向量→v(a,b)。
其中，a 表示横向平移的距离，b 表示纵向平移的距离。
2. 平移的性质（1）平移不改变图形的大小和形状。
（2）平移保持图形的对称性。
（3）平移不改变图形的内角和。
3. 平移的判断方法判断两个图形是否为平移关系，可以通过判断两个图形的对应点是否平移得到。
如果两个图形的对应点都平移相等的距离，则它们之间存在平移关系。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕一个固定点旋转一定的角度，从而改变图形的方向和位置。
旋转变换也是基础的图形变换方式之一。
1. 旋转的基本概念旋转是以旋转中心、旋转角度和旋转方向来描述的。
旋转中心是图形旋转的中心点，旋转角度是指图形绕旋转中心旋转的角度，旋转方向决定了图形是否顺时针或逆时针旋转。
2. 旋转的性质（1）旋转不改变图形的大小和形状。
（2）旋转保持图形的对称性。
（3）旋转不改变图形的内角和。
3. 旋转的判断方法判断两个图形是否为旋转关系，可以通过判断两个图形的对应边是否按照一定的角度旋转得到。
如果两个图形的对应边旋转相同的角度，则它们之间存在旋转关系。
三、翻转变换翻转变换是指将一个图形关于一条直线翻转，使得图形在翻转后对称于该直线。
翻转变换常见的有关于 x 轴、y 轴和原点的翻转。
1. 翻转的基本概念关于 x 轴的翻转是指将图形的每个点的 x 坐标不变，y 坐标取其相反数。
关于y 轴的翻转是指将图形的每个点的 y 坐标不变，x 坐标取其相反数。
初中数学几何图形与变换
初中数学几何图形与变换1、图形的轴对称轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
③等腰三角形的“三线合一”。
轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。
2、图形的平移和旋转平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
3、图形的相似比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。
②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。
③A/B=C/D=。
=M/N，那么A+C+…+M/B+D+…N=A/B。
黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比(根号5-1/2)。
相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。
②相似多边形对应边的比叫做相似比。
相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
②条件：AAA、SSS、SAS。
相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。
②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
初中数学《图形与变换》单元教学设计以及思维导图
图形与变换适用年九年级级所需时课内6课时，课外3课时间主题单元学习概述(图形与变换这一主题单元，与轴对称、中心对称一样，图形的平移、旋转和位似也都是现实生活中广泛存在的现象。
它们不仅为现实世界增添了绚丽的光彩，也装点着人们的生活。
因引，图形有平移、旋转和位似是“图形与几何”的重要内容。
探索平面图形的平移、旋转和位似的性质，体验平面图形的变换和在现实生活中的广泛应用，发展学生的空间观念，是本章学习的重要目标。
坐标和图形变换是《数学课程标准》规定的“图形与坐标”的重要内容。
“图形与坐标”将图形放入直角坐标系中，通过量化的方式研究图形和图形之间的关系，体现了数形的统一，是用。
代数方法研究图形的基础。
因此，本章中的坐标和图形变换是数形结合思想的直接体现，是几何图形与代数问题相结合的纽带和桥梁。
本单元的重点是平面图形的平移、旋转的基本性质，位似的概念及性质，直角坐标第中多边形的平移和位似。
难点是平面图形的平移、旋转的基本性质。
在本主题单元的学习中，我们把图形与变换设计成三个专题来组织学习活动。
第一专题是平面图形的平移。
这一专题主要是通过多媒体演示，通过学生的动手演示，合作探究，最后探索出平移的基本性质，并且能画出平移后的图形，解决有关的实际问题。
第二专题是平面图形的旋转。
这一专题主要也是通过多媒体演示，通过学生的动手演示，合作探究，最后探索出颤动的基本性质，并且能在平面内画出旋转任一角度后的图形，解决有关的实际问题。
第三专题是平面图形的位似。
这一专题主要是通过多媒体演示，通过学生的动手演示，合作探究，最后探索出用位似可以将一个图形放大或缩小，在直角坐标系中，探索并了解一个多边形（有一个项点在原点，有一条边在x轴上）的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时，所得的图形与原多边形相位似。
这三个专题中，第三个专题是在前两个专题之后，又一种图形变换，但位似与轴对称、中心对称、平移和旋转不同，位似变换改变图形的位置和大小。
初中数学 尺规作图
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答图1
第七单元 图形与变换
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(2) 在 (1) 所 作 的 图 中 ， 若 ∠ BAD ＝ 45° ， 且 ∠ CAD ＝ 2 ∠ BAC ， 证 明：△BEF为等边三角形．
证明：∵AC＝AD，AF平分∠CAD，
∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD．
∴∠AFC＝90°．
第七单元 图形与变换
步骤与原理
已知：直线 AB 和 AB 外一点 C，求作：AB
的垂线，使它经过点 C
过一 点作 已知 直线 的垂
线
点 在 直 线 外
作法：1．任意取点 K，使点 K 和点 C 在 AB
的两旁；2．以点 C 为圆心，CK 长为半径画
弧，交 AB 于点 D，E；3．分别以点 D，E 为
于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是
A．30° C．50°
B．40° D．60°
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( A)
第七单元 图形与变换
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2．如图，已知平行四边形AOBC的顶点O(0,0)，B(4,0)，C(5， 3 ),
∠AOB＝60°，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①分别以点O，A
为圆心，大于
初中数学 尺规作图
知识梳理
河南中考
核心知识
第七单元 图形与变换
人教：七上P125－131 八上P35－42，P48－50，P62－63 北师：七下P55－57 八下P18－19，P25－26 华师：八上P85－92
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知识梳理
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第七单元 图形与变换
一、五种基本尺规作图
步骤与原理
作一条线段等 作法：1．作射线AM；2．以点A为圆
初中数学中的图形变换
图形变换是初中数学中的重要内容之一，它是指通过平移、旋转、翻转等操作，改变原有图形的位置、方向和形状。
图形变换不仅在数学中有着广泛的应用，而且在生活中也随处可见。
本文将详细介绍图形变换的基本概念、常见操作及其应用。
一、图形变换的基本概念图形变换是指将一个图形通过一系列操作，变成另一个新的图形。
常见的图形变换包括平移、旋转、翻转等。
其中，平移是指保持图形大小和形状不变，只改变其位置；旋转是指围绕一个中心点旋转图形；翻转则是将图形沿着某个轴对称翻转。
通过这些基本的变换操作，我们可以创建出各种各样的图形，并且可以通过组合这些变换操作，得到更复杂的图形。
二、平移的操作及应用平移是最基本也是最简单的图形变换操作之一。
它是指将一个图形沿着直线路径移动一个固定的距离，而不改变图形的形状和大小。
常见的平移操作包括沿横向或纵向平移、沿斜线平移等。
平移在生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们常常需要将建筑物的平面图进行平移操作，以确定不同功能区域的位置；在地图制作中，我们也需要通过平移操作将地图上的各个地理要素放置到正确的位置上。
此外，平移还在计算机图形学中扮演着重要的角色，用于实现图像的移动和动画效果。
三、旋转的操作及应用旋转是指围绕一个中心点将图形旋转一定角度的操作。
在旋转过程中，图形的形状和大小保持不变，只是方向发生改变。
旋转可以按顺时针或逆时针方向进行，旋转角度通常以度为单位。
旋转在日常生活中也有着广泛的应用。
例如，在舞台设计中，演员常常需要绕着舞台中心点旋转，以展示出更加生动的表演效果；在游乐园中，旋转木马等游乐设施也是通过旋转操作带给游客欢乐和刺激。
此外，旋转还被广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。
四、翻转的操作及应用翻转是指将图形沿着某个轴对称翻转的操作。
在翻转过程中，图形的形状和大小保持不变，只是左右或上下方向发生改变。
常见的翻转操作包括水平翻转和垂直翻转。
翻转在日常生活中也有着丰富的应用。
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初中数学知识点：图形与变换
1、图形的轴对称
轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
③等腰三角形的三线合一。
轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。
2、图形的平移和旋转
平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
3、图形的相似
比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。
②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。
③A/B=C/D=。
=M/N，那么
A+C++M/B+D+N=A/B。
黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比(根号5-1/2)。
相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。
②相似多边形对应边的比叫做相似比。
相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
②条件：AAA、SSS、SAS。
相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。
②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
C、图形的坐标
平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴与Y轴统称坐标轴，他们的公共原点O 称为直角坐标系的原点。
他们分4个象限。
XA，YB记作(A，B)。
D、证明
定义与命题：①对名称与术语的含义加以描述，作出明确
的规定，也就是给出他们的定义。
②对事情进行判断的句子叫做命题(分真命题与假命题)。
③每个命题是由条件和结论两部分组成。
④要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。
公理：①公认的真命题叫做公理。
②其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。
③同位角相等，两直线平行，反之亦然;SAS、ASA、SSS，反之亦然;同旁内角互补，两直线平行，反之亦然;内错角相等，两直线平行，反之亦然;三角形三个内角的和等于180度;三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角的和;三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。
④由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。