离散数学第2章关系
离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
《离散数学》课件-第二章 谓词逻辑(A)
• 谓词是用来说明个体的性质或个体间的关系。
• 例如，小王是个大学生
•
谓词
•
个体词
3大于2
个体词
个体词
谓词
2
谓词
• 形如“b是A”类型的命题可表达为A(b)；
• 表示多个个体间关系的命题，可表达为B(a，b)，或P(a，b， c)
• 定义2.1.2 和一个个体相联系的谓词称为一元谓词，和二个 个体相联系的谓词称为二元谓词，和n个个体相联系的谓词 称为n元谓词。
• yxP(x，y)表示命题：“存在实数y，对每一个实数x，都 有x+y>10成立”，这是个假命题，真值为0。
• 注意：除非所有量词都是全称量词或存在量词，否则，多个 量词同时出现时，不能随意颠倒量词的顺序，颠倒后会改变 原命题的含义。
18
2.2 谓词演算公式
• 一个谓词P和n个个体变元，如x1，x2，x3， xn，表示成P(x1，x2，x3，
都是谓词公式。 • 如果A是谓词公式，x是其中的任一变元，则xA和xA都是谓
词公式。 • 当且仅当有限次地应用上面的步骤得到的符号串才是谓词公式。
20
量词的辖域及变元的约束
• 定义2.2.2 • 谓词公式xA和xA中出现在量词和后面的变元x称为量词的指导变元。 • 每个量词后面的最小的谓词子公式，称为该量词的辖域。 • 在量词的辖域中，x的所有出现都称为约束出现。约束出现的变元称为约束
• 一个谓词常项P和几个个体变元如x，y，z，表示成P(x，y，z， )的形式，称为命题函数，其中的个体变元可以代表任意一个个体。
• 注意：命题的谓词表达式是有真值的，命题函数的真值是不确定的。
4
例题 • 写出下列命题的谓词表达式。
离散数学知识点总结
总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为2种不同的关系；mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3.判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶 avb≥aA^b≤b 对偶 avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7)等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则 v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
离散数学第二章
P (t1 , t2 , , tn ) 是原子公式。
32
§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义 谓词公式由下述各条规定组成： （1）原子公式是谓词公式。 （2）若A是谓词公式，则﹁ A也是谓词公式。 （3）若A和B是谓词公式，则A ∨ B，A ∧ B，A → B， 也是谓词公式。
22
2．存在量词
注意：１．在存在量词 的作用下，x不再起变量的作用， 存在量词也“约束”了x的变量作用。 注意：２．在存在量词作用下，命题中的特性谓词与命题 变元之间必须采用联结词合取，而不能用条件。 注意：3．命题的表示形式与个体域密切相关。 例：有些狗是聪明的。 若个体域为所有狗的集合，则该命题表示为：
这种“描述主语性质的谓语结构的抽象形式或描述主语所 涉及对象之间的关系的抽象形式”就是谓词。语句中的主 语称为个体。 在原子命题中引进谓词和个体的概念，这种以命题中的谓 词为基础的分析研究，称为谓词逻辑(或称谓词演算)。
7
§2.1.1 谓词与个体
在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词与个体两部分。
F (a1 , a2 , , an )
例如， T（a）：a是教师。 D（３，２）：３大于２。 C（武汉，北京，广州）：武汉位于北 京和 广州之间。 注意顺序
9
§2.1.1 谓词与个体
在一个谓词中，个体是可以变化的，如 “是大学生” 中个体是可以变化的，可以是“张华是大学生” 也可
以是“何勇是大学生” ，等等。
31
§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义( 项 ) (1)个体常量符是项；
(2)个体变量符是项；
(3)设f是n元函数符，
t1 , t2 , , tn 为项，则
离散数学ch2.二元关系(5、6、7节)
VS
详细描述
关系的对称差运算可以用符号表示为 R△S，其中 R 和 S 是两个关系。它包括 属于 R 但不属于 S，以及属于 S 但不属 于 R 的所有有序对。如果 (a, b) 在 R△S 中，那么 (a, b) 或者只属于 R，或者只属 于 S。
04
CATALOGUE
关系的闭包
闭包的定义
1 2
关系的交运算可以用符号表示为 R ∩ S，其中 R 和 S 是两个关系 。它包括同时属于 R 和 S 的所有 有序对。如果 (a, b) 在 R ∩ S 中 ，那么 (a, b) 同时是 R 和 S 的差是一种集合差集操作，它从第一个 关系中去除与第二个关系共有的元素。
中可以推导出的新事实。
数据完整性
03
在数据库设计中，闭包的概念用于确保数据的完整性和准确性
，防止出现冗余和不一致的情况。
05
CATALOGUE
关系的类型
函数关系
总结词
函数关系是一种特殊的二元关系，它满足每 个自变量都有唯一的因变量与之对应。
详细描述
在函数关系中，对于定义域中的每一个元素 ，在值域中都有唯一一个元素与之对应。这 种关系具有明确性、确定性和无重复性。常 见的函数关系有数学函数、映射函数等。
离散数学ch2.二元 关系(5、6、7节)
contents
目录
• 引言 • 二元关系的性质 • 关系的运算 • 关系的闭包 • 关系的类型 • 关系在数据库中的应用 • 关系在人工智能中的应用
01
CATALOGUE
引言
定义与概念
定义
二元关系是集合论中的一个基本概念 ，它描述了两个元素之间的联系。
在设计关系型数据库时，需要考虑数据结构、数据完整性、数据冗余和数 据安全性等方面。
第2章 关系
f ( x) y ( x, y) f .
f {( a,2), (b,3), (c,3)}.
A到B的关系是不是A到B的函数? R {( a,2), (a,3), (c,3)} ?
结论：不是任何一个集合A到B的关系都可构成 集合A到B的函数。
函数的关系定义
A到B的关系f 满足什么条件成为A到B的函数? ⑴domf=A:A中任意元素都有B中元素与之对应. ⑵对于任意x∈A，若(x, y1)∈f且(x,y2)∈f,则y1=y2 : 一个x∈A只能有唯一的y与之对应。
计算： R S , R S , R, R S , R S .
先求出R和S，再计算。 解： R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} S = {(2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)}
例 A = {a, b}, B = {1, 2, 3},判断下式是否成立。
R {( a,3), (a,2), (b,1), (b,3)} A B ? A B {( a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}.
2.1 关系的概念
空关系
设A，B是集合，R是A到B的二元关系，若R= ， 则称R为空关系。
Chapter 2 关系
贾 敏
母 女
母女
母子
父 子 表兄妹
Chapter 2 关系
Chapter 2 关系
三个学生选修了5门课程中部分课程，并且根据 学习情况由任课教师给出了他们的成绩。如何表 达学生、课程和成绩之间的关系？
离散数学第二章
注意：
有些关系既不是对称的也不是反对称的；
0 1 0 1 0 1 0 0 0
可以是既是对称的，也是反对称的
如相等关系
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定义2.10：在集合X上的关系R，如果有：
x, y R且 y, z R ，则必有 x, z R ，
即非对角线上的1， 对称位置必须是0； 而非对角线上的0 不做要求
判断方法：
1. 如果如果存在a到b的有向边，就不存在b到a的有向边。 （逆命题不成立，即可以两条有向边都不存在）； 2. 关系矩阵中，如果 a j ,i 1则ai , j 0，这里i j
(注意：a j ,i 0不一定ai , j 1)
n个
容易证明： n m nm m n i: R R R , R R mn ，m,n均为正整数 0 ii: R 是相等关系，即： R0 ={(x,x)|x∈A} 1 iii: R R
13
逆关系
由于关系中的元素是有序偶，则如果将该有序偶的顺
序颠倒，会得到一个新的关系，称之为逆关系。
~ ~ ~
~
补集的逆关系
~ ~ ~
(5) R S R S , R S R S
注意，这个跟德· 摩根律不一样
(6) R S R S
~
~
~
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关系的重要性质
定义2.6：在集合X上的关系R，如果对任意 x X ， 有 x, x R ，则称R是自反的。
如：整数集合上的相等关系、" " 关系等；
如果 miq mqj 1 即mij 0 ，则 miq mqj 1 即 ai , aq R且 aq , a j R 由传递性的定义可知，如果R为传递的， 必有 ai , a j R ，即应有 mij 1 2 即：当R是A上的传递关系时，如果 M R 中的元素 bij 0 ， 则必须有 mij 1 ，反之亦然
离散数学第2章 谓词逻辑
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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离散数学第二章
5
3 量词的有关概念
1. 全称量词： “所有的”，“任何一个”，“每 全称量词： 所有的” 任何一个” 一个” 凡是” 一切” 一个”，“凡是”，“一切”表示个体域中每一 表示，称为全称量词。 用符号“ 个，用符号“∀”表示，称为全称量词。
如，所有的人都要呼吸。 所有的人都要呼吸。
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常用一阶逻辑中的基本等值式
1. 有限个体域 有限个体域D={a1, a2, … ,an }中消去量词 中消去量词 等值式: 等值式
1) ∀xA( x) ⇔ A(a1 ) ∧ A(a2 ) ∧⋯∧ A(an );
2) ∃xA( x ) ⇔ A(a1 ) ∨ A(a2 ) ∨ ⋯ ∨ A(an ).
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指导变项（ 指导变项（元）等概念
在合式公式∀ 和 在合式公式∀xA和∃xA中，称x是指导变元，称A为相应量词 中 是指导变元， 为相应量词 作用域或辖域。 的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为 在公式 中的约束出现 在辖域中 的出现称为x在公式 中的约束出现； 的出现称为 在公式A中的约束出现； 公式A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现. 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 公式 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 例1 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、 自由出现和约束出现. 自由出现和约束出现 1) 2) ∀xF(x,y)→∃x(G(x) ∧¬ ∀zP(x,z)) → ∀x ∃ y(A(x,y)→∃z(B(x) ∧P(x,z))) →
永假式 如果 在任何解释下均为假 称A为矛盾 如果A在任何解释下均为假 解释下均为假,称 为 或称永假式 式(或称永假式 ； 或称永假式)； 如果存在一个解释使A为真 则称A为 为真,则称 可满足式 如果存在一个解释使 为真 则称 为 可满足式； 可满足式；
离散数学导论(第5版)-第二篇 集合论
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• • 四个次序关系间的关系： • • • R是拟序则r (R) = R • • • R是偏序则R－Q是拟序 • • • 字典次序关系必为线性次序关系 • • • R是拟序则必反对称 • 八个概念： • • 最大元素（最小元素） • • 极大元素（极小元素） • • 上界（下界） • • 上确界（下确界）
• • |A∪B|＝|A|+|B|－|A∩B|
• •|A∪B∪C| ＝ |A|+|B|+|C| － |A∩B| － |A∩C| －|B∩C|+|A∩B∩C| n
i=1 1≤i＜j≤n
1≤i＜j＜k≤n
• •|S1∪S2∪…∪Sn|n－＝1∑|Si|－∑ |Si∩Sj|＋ ∑
• |Si∩Sj∩Sk|（－1）∑ |S1∩S2∩…∩S n|
§3.1 函数的基本概念
• （1）一个基本概念——函数的基本概念。
•
函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。
设有集合X与Y，如果我们有一种对应关系f，使X的任一元素x能
与y中的一个唯一的元素y相对应，则这个对应关系f叫从X到Y的
函数或叫从X到Y的映射。x所对应的y内的元素y叫x的像，而x则
叫y的像源。上述函数我们可以表示成f：XY；或写成XY；
以及y＝f（x）。
•
（2）三种不同性质函数：
•
• 满射与内射
离散数学第2章 谓词逻辑
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§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
离散数学 第二章：一阶逻辑
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
数理逻辑部分第2章一阶逻辑2。
1 一阶逻辑基本概念个体词(个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b，c表示个体变项:抽象的事物，用x，y，z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a，b, c｝, ｛1， 2｝无限个体域，如N， Z, R，…全总个体域：宇宙间一切事物组成谓词：表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F（a)：a是人谓词变项：F（x）：x具有性质F一元谓词：表示事物的性质多元谓词（n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系如L(x，y）：x与y有关系L，L（x，y）：x≥y,…0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项量词：表示数量的词全称量词∀：表示任意的, 所有的，一切的等如∀x 表示对个体域中所有的x存在量词∃：表示存在，有的，至少有一个等如＄x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化（1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中，设p:墨西哥位于南美洲符号化为 p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a:墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F（a）例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化（1)人都爱美; (2) 有人用左手写字分别取(a) D为人类集合, （b）D为全总个体域。
解：（a) （1) 设G(x)：x爱美, 符号化为∀x G(x）(2) 设G（x）：x用左手写字, 符号化为＄x G(x）(b) 设F（x)：x为人,G(x)：同（a)中(1) ∀x （F（x)→G(x))(2) ＄x (F(x)∧G（x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用。
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数（2）有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域（1）令F（x)：x为正数，G（y）：y为负数, L（x,y）: x>y x（F（x）→y（G（y)→L(x,y))) 或∀x y(F(x)∧G(y)→L（x，y)) 两者等值(2) 令F（x）：x是无理数，G（y）: y是有理数，L（x,y）：x>y∃x（F(x）∧∃y（G（y)∧L（x,y)）)或＄x＄y（F（x）∧G(y）∧L（x，y)) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特别要求,用全总个体域量词顺序一般不能随便颠倒否定式的使用思考:①没有不呼吸的人②不是所有的人都喜欢吃糖③不是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应如何符号化？2。
离散数学 第2章 谓词逻辑
对于一个谓词，如其中的每一个变量都在一个量词的作用之下， 对于一个谓词，如其中的每一个变量都在一个量词的作用之下，则它就 不再是一个命题函数，而是一个命题了 不再是一个命题函数， 如论域D={a1,a2,…,an} 如论域 则 ∀ xG(x)为G(a1) ∧G(a2) ∧… ∧G(an) 为
∃ xG(x)为G(a1) ∨G(a2) ∨… ∨G(an)
数学分析中极限定义为： 数学分析中极限定义为：任给小正数 ε ，则存在一个正数 δ，使得当 0<|x-a|< δ 时有 时有|f(x)-b|< ε，此时即 limf f ( x) = b
x→a
解设P(x,y)表示“x大于y” Q(x,y)表示”x小于y” 则
limf f ( x) = b
x→a
表示
例如：函数f(x)表示“x的父亲”，谓词P(x)表示“x是教授”，c表示 个体李四。则P(f(c))表示“李四的父亲是教授”。这里c是项， f(c)也是项。 函数f(x, y)表示x+y，谓词N(x)表示“x是自然数”，f(2, 3)表示5，则 N(f(2, 3))表示5是自然数。这里x, y是项， f(x, y)也是项。
2.1 谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词 2.1.2 命题函数 2.1.3 量词
2.1.2 命题函数
定义2.1.2 由一个谓词（如P）和n个个体变元（x1, x2, …, xn）组成的P(x1, 定义 x2, … , xn)，称为n元原子谓词或n元命题函数，简称n元谓词。 当n=1时，P称为一元谓词；当n=2时，P称为二元谓词；当n=0时，P称为 零元谓词。零元谓词即是命题。一元谓词刻划了个体的性质，多元谓词刻划 了个体之间的关系。 个体变元的取值范围D称为个体域或论域。如果不事先指明，认为论域 是一切可以作为对象的东西的集合，这样的论域称为全总个体域。 例2.1.1 设S(x)表示“x是田径运动员”，B(x)表示“x是篮球运动员”，则 ¬S(x)表示“x不是田径运动员”，S(x)∨B(x)表示“x是田径运动员或篮球运动 员”。 命题函数不是命题，只有当其中的个体变元用特定个体或个体常量替换 时，才能成为一个命题。但个体变元在哪些范围内取特定值，对是否成为命 题及命题的真值极有影响。 例2.1.3 设S(x)表示“x是大学生”。若x的取值范围为某大学的计算机系 的全体学生，则S(x)是永真式。若x的取值范围为某中学的全体学生，则S(x) 是永假式。若x的取值范围为某电影院的观众，则S(x)的真值不能确定。
离散数学基础(洪帆)第二章_关系
二、 两关系矩阵的乘积
定义
设M1是一个(i,j)通路(即第i行、第j列的元素)为
r 的l×m关系矩阵，
(2) r M2是一个(i,j)通路为 ij 的m×n关系矩阵，
(1) ij
则M1与M2乘积记为M1﹒M2是一个l×n的矩阵，
其(i,j)通路为： rij
(r r )
(1) ik (2) kj k=1
1 1 2
2
3
4
3
4
图(1)
图(2)
4. 关系矩阵 定义 设集合A={a1,a2,…,an},B={b1,b2,…,bm} 是由A到B的关系, 则 的关系矩阵 定义为一个n行、m列的矩阵， 记为 M , 且关系矩阵的第i行、第j列的元素 rij
定义如下：
1 若 a i b j rij 0 若 a i 'b j
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
2.3 关系的复合
一、关系的一般运算：交、并、补、差 例1 设A={4,6,9,10}, 1 和 2 是A上的两个关系：
1 ={(a,b)|(a-b)/2是正整数}， 2 ={(a,b)|(a-b)/3是正整数}
试求：1 2 , 1 2 , 1 , 1 2 , 1 2 ,
例3 设A={a,b,c,d}，A上的关系: ={(a,a),(a,b),(b,d),(c,a),(d,c)} 4 试求复合关系 。
2.4 复合关系的关系矩阵和关系图
一、布尔运算 布尔运算只涉及数字0和1, 数字的加法和乘法按照以下方式进行： 0+0=0 0+1=1+0=1+1=1 1· 1=1 1· 0=0· 1=0· 0=0 如：(1· 1)+(0· 1· 1)+(1· 0· 0)+1+0=1
离散数学2二元关系
(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
(5)AC ∧ BD A×B C×D
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)的证明
任取 <x,y> <x,y>∈A×(B∪C) x∈A ∧ y∈B∪C x∈A ∧ (y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B) ∨ (x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B ∨ <x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
关于AC∧BD A×BC×D的讨论
该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （1）当A=B=时，显然有AC 和 BD 成立。 （2）当A≠且B≠时，也有AC和BD成立，证明如下：
任取x∈A，由于B≠,必存在y∈B,因此有 x∈A∧y∈B
<x,y>∈A×B <x,y>∈C×D x∈C∧y∈D x∈C 从而证明了 AC。 同理可证 BD。
关于AC∧BD A×BC×D的讨论
该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （3）当A＝而B≠时，有AC成立，但不一定有BD成立。
反例：令A＝,B＝{1},C＝{3},D＝{4}。 （4）当A≠而B＝时，有BD成立，但不一定有AC成立。
反例略。
例7.2
例7.2 设A={1,2},求P(A)×A。
解答 P(A)×A ＝ {,{1},{2},{1,2}}×{1,2} ＝ {<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}
离散数学第二章谓词逻辑
则xP和xP都是谓词公式
(5)当且仅当能够有限次地应用(1)－(4)所得到的
式子是谓词公式
二、谓词公式的概念
谓词公式是命题公式的扩展，约定最外层圆括号可 以省略，但量词后面若有括号则不省略。
例如 (P(x,y)→(Q(x)→R(y,z)))
P(x,y,z)∧(P(x,y,z)→Q)
y((A(x)∧A(y))→F(x,y,0))
2.2 命题函数与量词
例2.2.6 翻译命题
甲村人与乙村人都同姓。
解 设A(x)：x是甲村人。 B(y)：y是乙村人。 P(x,y)：x与y同姓。 (1)全总个体域 xy((A(x)∧B(y))→P(x,y)) (2)x的论域:甲村人 xy(P(x,y)) y的论域:乙村人
1.令F(x)：x是金属。G(y)：y是液体。H(x,y)：x可以溶解在y 中。则命题“任何金属可以溶解在某种液体中。”可翻译 为（ ）。 A．x(F(x)∧y(G(y)∧H(x,y))) B．xy(F(x)→(G(y)→H(x,y))) C．x(F(x)→y(G(y)∧H(x,y))) D．x(F(x)→y(G(y)→H(x,y))) 2.令F(x)：x是火车。G(y)：y是汽车。H(x,y)：x比y快。则命 题“某些汽车比所有火车慢。”可翻译为（ ）。 A.y(G(y)→x(F(x) ∧H(x,y))) B.y(G(y)∧x(F(x)→H(x,y))) C.xy(G(y)→(F(x)∧H(x,y))) D.y(G(y)→x(F(x)→H(x,y)))
由一个谓词常量或谓词变量A，n(n≥0)个个体变量 x1,x2,…,xn组成的表达式A(x1,x2,…,xn) 注意：0元谓词是命题，谓词逻辑是命题逻辑的扩 展。