【课时训练】选修4-1 几何证明选讲
选修4-1 几何证明选讲
6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：
圆的内接四边形的对角_______；圆内接四边 互补
形的外角等于它的内角的_________。 对角 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形 的四个顶点__________； 共圆 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，
那么这个四边形的四个顶点_________。 共圆
一、基础知识填空：
1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上
截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段
推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必__。 推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行
平分另一腰 的直线________________。
2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线， 对应线段 所得的________________成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边
它所对弧
的度数。
相等 推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______。 相等
直角 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______； 直径 90 的圆周角所对的弦是________。 圆周角 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的_________
解析 由圆的割线定理知：AB· AC＝AD· AE， ∴AE＝8，∴DE＝5，连接 EB，∵∠EDB＝90° ， ∴EB 为直径，∴∠ECB＝90° . 由勾股定理，得 EB2＝DB2＋ED2＝AB2－AD2＋ED2＝16－9＋25＝32. 在 Rt△ECB 中，EB2＝BC2＋CE2＝4＋CE2， ∴CE2＝28，∴CE＝2 7.
40° 于____∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD， ∴OC∥AD，由此得∠ACO＝∠CAD. ∵OC＝OA， ∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO， 故 AC 平分∠DAB，∴∠CAO＝40° ， 又∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40° .
人教版高中数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练及答案
高中数学选修 4-1《几何证明选讲》练习题（三）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 ．1．已知三角形的3 条中位线分别为 3cm 、4cm 、 6cm ，则这个三角形的周长是（）．A ． 3cmB ． 26cmC ． 24cmD ． 65cm2．要做甲、乙两个形状同样 (相像 )的三角形框架 ,已知三角形框架甲的三边分别为50cm 、 60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为 20cm ，那么切合条件的三角形框架乙共有 （）．A ．1种B ．2 种C ．3 种D ．4 种3．在 RtABC 中， CD 是斜边上的高线， AC ∶BC=3 ∶ 1，则 SABC ∶ S ACD 为（ ）．A ．4∶3B ．9∶1C ． 10∶ 1D ．10∶94．如图，在正方形ABCD 中， E 为 AB 中点， BF ⊥ CE 于 F ，那么 S △BFC :S 正方形ABCD =（ ）．A ．1：3B ． 1：4C ． 1：5D ．1：65．在 △ ABC 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝ 1∶2∶ 3，CD ⊥ AB 于 D ， AB ＝ a ，则 DB ＝（）aaC ．a D ．3aA ．B ．24436．若梯形的中位线被它的两条对角线三均分，则梯形的上底 a 与下底 b(a<b)的比是（）．1122A ．2B ． 3C ． 3D ． 57．如图，在正方形ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点，且 CF1CD ，4以下结论： ① BAE 30AD，② △ABE ∽△ AEF ， ③ AEEF ，④ △ADF ∽△ECF ．此中正确的个数为（ ）FA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4BEC8．直角梯形的一条对角线把梯形分红两个三角形，此中一个是边长为30 的等边三角形，则这个梯形的中位线长是（ ）．A ．15B ．22.5C ．45D ．909．以下图，在 △ABC 中， AC=5 ，中线 AD=4 ，则 AB 边的取值范围是（）．A ．1 AB 9B ． 3 AB 13C ． 5AB 13D ． 9AB13D CFAEB10 ABCD中， AE : EB m : n，若AEF的面积等于 a ，则CDF．如图，平行四边形的面积等于（）．m 2 n 2(m n)2D ．( m n)2A ． 2 aB ． 2 aC ．2a 2anmmn11．如图，在梯形 ABCD 中， AD //BC ，对角线 AC ⊥BD ，AD且 AC=12 ，BD=9 ，则此梯形的中位线长是（）．A ． 10B ．2115D ． 12BCC ．2212．如图，设 P 为ABC 内一点，且 2 1CAPAB AC，55则ABP 的面积与ABC 的面积之比等于（ ）． P1B ．2 31A ．5 C ．D ．552AB二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．13．若两个相像三角形的周长比为3: 4 ，则它们的三角形面积比是 ____________ ．14．如图，在梯形 ABCD 中， AD //BC ， AC ⊥ BA ， AD=DC=5 ，则 BC 的长是 __________ ．15．已知： △ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点， BE 的延伸线交AC 于点 F ，则AF____________ ．AC16．在 △ABC 中， AB9，AC 6 ，点 M 在 AB 上且 AM 3 ，点 N 在 AC 上，联络 MN ，使△ AMN 与原三角形相像，则 AN ＝ ___________三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ．17．如图，在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， F 为 AB 上随意一点， CF 交 AD 于点 E ，求证： AE BF 2DE AF ．（ 10 分）CDEA F B18．如图，正方形DEMF内接于△ ABC，若S ADE1， S正方形DEFM 4 ，求 S ABC（12分）AD P EB M Q F C例 2 图19．已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ均分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直均分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延伸线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ ?ＢＦ．（ 12分）20．如图，CD是 Rt△ ABC的斜边AB上的高， E 是BC上随意一点，EF⊥AB于 F．求证：AC 2AD AF CD EF ．（12 分）21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB90 ，CD AB ，垂足为 D ，设 BC a ， AC b ，111AB c ． CD b ，试说明：2b 2h2．（ 12分）aCb h aA c D B22． 如图，在△ ABC 中，BAC90 ， AD 是BC 边上的高，E 是 BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合）， EFAB ，EGAC ，垂足分别为F ，G ．（ 1）求证：EGCG；AD CD（ 2） FD 与 DG 能否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明原因；（ 3）当 AB AC 时， △ FDG 为等腰直角三角形吗？并说明原因． （ 12 分）AFGBD EC答案与分析：1-5 BCCCA 6-10AABBC 11-12 CA13． 9:1614． 101915．16． 2，或3 217．证明：过 D 作 DG // AB ，交 CF 于 G ，∴AEF DEG ， CDG CBF ，AEDE DG CD ∴，BF，AFDGCB ∵ D 为BC 的中点， CD1 CB ，2DG 1 ， DG 1BF ，BF 2 2AE 2DEAE BF 2DE AF ．AF，即 BF18．解：∵正方形的面积为 4，∴ DE ＝ MF ＝ 2,过 A 点作 AQ ⊥BC 于 Q ，交 DE 于 P ，∵SADE1，∴ AP ＝1，∵DE ∥ BC ，∴△ ADE ∽△ ABC ，∴ APDE ，即 1 2 AQBC 3 BC∴BC ＝6，故 S ABC ＝919．证明：连ＡＦ，∵ＦＨ垂直均分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ，∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ均分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦ∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＡＦ＝C Ｆ，ＢＦ ＡＦ∴ＡＦ ２＝ＣＦ ?ＢＦ，∴ＤＦ ２＝ＣＦ ?ＢＦ．20．证明： AC 2 AD AB ,AC 2 AD AFAD (AB AF) AD BF由于 Rt ADCRt EFB ,因此 ADEF ,CDBF则ADBFCD EF ，AC 2 AD AFCD EF ,即 AC 2 AD AF CD EF ．11121．解：等式 a 2b 2 h 2 建立．原因以下：∵ ACB 90 ,CD AB ，C 公共，∴1ab1AB h ， AB 2a 2b 2 ，2 2 ∴ ab c h ，∴ a 2 b 2 c 2 h 2 ，∴ a 2 b 2(a 2 b 2 )h 2 ，∴a 2b 2 (a 2b 2 )h 2，a 2b 2h2a 2b 2 h 2∴1 a 2b 2，h2a 2b2∴11 1．h 2a 2b 222．证明：在四边形AFEG 中，∵ FAG AFEAGE 90 ，∴ 四边形 AFEG 为矩形， ∴ AFEG ，（ 1）易证∴AFAD EG CG ，而 AFEG ，AD CD CG；CD（ 2） △ ABC 为直角三角形， ADBC ，∴ FADC ， 即 △ AFD ∽△CGD ，∴ ADFCDG ，又CDG ADG 90∴ADFADG90，，即FDG 90 ，∴ FD DG ； （ 3）当 ABAC 时， △ FDG 为等腰直角三角形，原因以下：AB AC ，BAC 90 ，∴ AD DC又由于 △ AFD ∽△ CGD∴FD AD1， FD DGGD DC又 FDG 90∴ △FDG ,△ FDG 为等腰直角三角形．。
选修4-1几何证明选讲
证明等积式的方法 证明等积式的一般方法是化为等积的比例式． (1)若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质
平行线截割定理的应用
[例1] 如图，在梯形ABCD中，
AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点
O的直线分别交AB，CD于E，F，且
EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF.
[自主解答]
∵AD∥BC，
OB BC 20 5 OB 5 ∴OD＝AD＝ ＝ ，∴BD＝ . 12 3 8 OE OB 5 ∵OE∥AD，∴AD＝BD＝ . 8 5 5 15 ∴OE＝ AD＝ ×12＝ ， 8 8 2 3 3 15 同理可求得 OF＝ BC＝ ×20＝ ， 8 8 2 ∴EF＝OE＋OF＝15.
相似三角形的判定与性质 [例2] 如图，在梯形ABCD中，AD∥ BC，AB＝CD，DE∥CA，且交BA的延长 线于E，求证：ED· CD＝EA· BD. [自主解答] 在梯形 ABCD 中， ∵AB＝DC， ∴∠ABC＝∠DCB.又 BC＝BC， ∴△ABC≌△DCB. ∴∠BAC＝∠BDC.∵AC∥ED，AD∥BC， ∴∠E＝∠BAC＝∠BDC，∠EAD＝∠ABC＝∠DCB， ∴△EAD∽△DCB. EA ED ∴DC＝DB，即 ED· CD＝EA· BD.
解：∵M、N 分别是 AB、BC 的中点， MN 1 ∴ AC ＝ ， 且 MN∥AC， ∴△MON∽△AOC. 2 ∴S△MON∶S△AOC＝1∶4.
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，
CD⊥AB于D， AC＝6，DB＝5，求AD
的长． 解：在Rt
平方 相似三角形面积的比等于相似比的 _____
推论
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相
平方 似比，外接圆的面积比等于相似比的 _____
4-28几何证明选讲(选修4-1)
高考专题训练二十八 几何证明选讲(选修4－1) 班级________ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______一、填空题(每小题6分，共30分)1．(2011·陕西)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，知△ABE ∽△ADC ，∴AE AC ＝AB AD ，∴AE ＝AB AD ·AC ＝6×412＝2，∴BE ＝AB 2－AE 2＝32＝4 2.答案：4 22.(2011·湖南)如图，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直线BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．解析：如图所示，∵A 、E 是半圆周上两个三等分点，∴△ABO 和△AOE 均为正三角形．∴AE ＝BO ＝12BC ＝2.∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝22－12＝3，BD ＝1.又∠BOA ＝∠OAE ＝60°，∴AE ∥BD .∴△BDF ∽△EAF ，∴DF AF ＝BD AE ＝12. ∴AF ＝2FD ，∴3AF ＝2(FD ＋AF )＝2AD ＝23，∴AF ＝233. 答案：2333．(2011·深圳卷)如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则DE ＝________.解析：连接AB ，设BC ＝AD ＝x ，结合图形可得△CAB 与△CED 相似，于是AC EC ＝CB CD. 即4x ＋10＝x 4＋x⇒x ＝2. 又因为AC 是小圆的直径，所以∠CBA ＝90°，由于∠CDE ＝∠CBA ，所以∠CDE ＝90°.在直角三角形CDE 中，DE ＝CE 2－CD 2＝122－62＝6 3.答案：6 34．(2011·佛山卷)如图，过圆外一点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.解析：由切割线性质得：PE 2＝PB ·PA ，即PE PA ＝PB PE， ∴△PBE ∽△PEA ，∴∠PEB ＝∠PAE ，又△PEA 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.答案：75°5.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.分析：本题考查勾股定理及三角形中位线的性质．解析：连接BD 、DE ，由题意可知DE ⊥AB ，DE ＝32a ，BC ＝DE ＝32a ，∴BD ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝a ，∴EF ＝12BD ＝a 2. 答案：a 2二、解答题(每小题10分，共70分) 6．如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF .(1)求证：B ，D ，H ，E 四点共圆；(2)求证：CE 平分∠DEF .证明：(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，所以∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.7．如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.(1)求证：∠EDF＝∠CDF；(2)求证：AB2＝AF·AD.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDF＝∠ABC.又∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB＝∠EDF.又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB ＝∠ABC .又∵∠BAD ＝∠F AB ，∴△ADB ∽△ABF ，∴AB AF ＝AD AB，∴AB 2＝AF ·AD . 8．(2011·辽宁)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA ，故∠ECD ＝∠EBA .所以CD ∥AB .(2)由(1)知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC .连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠F AB ＝∠GBA ，所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°，故A ，B ，G ，F 四点共圆．9．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交直线AC 于点E ，交AD 于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆；(2)GH 2＝GE ·GF .证明：(1)连接CB ，∵∠ACB ＝90°，AG ⊥FG ，又∵∠EAG ＝∠BAC ，∴∠ABC ＝∠AEG .∵∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－∠AEG ＝∠CEF ，∴∠ADC ＋∠FDC ＝∠CEF ＋∠FDC ＝180°，∴C ，D ，F ，E 四点共圆．(2)由C ，D ，F ，E 四点共圆，知∠GCE ＝∠AFE ，∠GEC ＝∠GDF ，∴△GCE ∽△GFD ，故GC GF ＝GE GD，即GC ·GD ＝GE ·GF .∵GH 为圆的切线，GCD 为割线，∴GH 2＝GC ·GD ，∴GH 2＝GE ·GF .10．(2011·课标)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 解：(1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AE AB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5 2.11.(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.12．(2011·河南省教学质量调研)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB ＝FC ；(2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6 cm ，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC .∴∠EAD ＝∠DAC .∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC .∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)证明：∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ，∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝FA FB， ∴FB 2＝FA ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°. ∴∠D ＝30°.∵BC ＝6 cm ，∴AC ＝23cm ，∴AD ＝2AC ＝43cm.。
人教版数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练及答案
高中数学选修4-1《几何证明选讲》练习题（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ）．A ．3cmB ．26cmC ．24cmD ．65cm2．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为50cm 、60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么符合条件的三角形框架乙共有（ ）．A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种3．在Rt ΔABC 中，CD 是斜边上的高线，AC∶BC=3∶1，则S ΔABC ∶S ΔACD 为（ ）．A ．4∶3 B．9∶1 C．10∶1 D．10∶94．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，BF⊥CE 于F ，那么S △BFC :S 正方形ABCD =（ ）．A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：65．在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（ ）A ．4aB ．3aC ．2aD ．43a6．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a 与下底b(a<b)的比是（）． A ．12 B ．13 C ．23 D ．257．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且14CF CD =， 下列结论：①30BAE ∠=，②ABE AEF △∽△，③AE EF ⊥，④ADF ECF △∽△． 其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形，其中一个是边长为30的等边三角形，则这个梯形的中位线长是（ ）．A ．15B ．22.5C ．45D ．909．如图所示，在△ABC 中，AC=5，中线AD=4，则AB 边的取值范围是（ ）．A ．19<<AB B ．313<<ABC ．513<<ABD ．913<<ABA B D CE F10．如图，平行四边形ABCD 中，::AE EB m n =，若AEF ∆的面积等于a ，则CDF ∆的面积等于（ ）．A BCFDEA ．22m a n B ．22n a m C ．22()m n a m + D ．22()m n a n +11．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=12，BD=9，则此梯形的中位线长是（ ）．A ．10B ．212C ．152D ．12 12．如图，设P 为ABC ∆内一点，且5152+=， 则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于（ ）．A ．15B ．25C ．35D ．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．若两个相似三角形的周长比为3:4，则它们的三角形面积比是____________．14．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BA ，AD=DC=5，则BC 的长是__________．15．已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F ，则AF AC=____________． 16．在△ABC中，AB AC ==96，，点M 在AB 上且AM =3，点N 在AC 上，联结MN ，使△AMN 与原三角形相似，则AN ＝___________三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E ，求证：2AE BF DE AF ⋅=⋅．（ 10分）18．如图，正方形DEMF 内接于△ABC，若1=∆ADE S ，4=D EFM S 正方形，求ABC S ∆（ 12分）例2图 Q P M F ED CB AA BC P A DB19．已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ．（ 12分）20．如图，CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，E 是BC 上任意一点，EF⊥AB 于F ．求证：EF CD AF AD AC ⋅+⋅=2．（ 12分）21．如图，在Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =，AB c =．CD b =，试说明：222111a b h +=．（ 12分）22．如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．（1）求证：EG CG AD CD=； （2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．（ 12分）B答案与解析：1-5 BCCCA 6-10AABBC 11-12 CA13．9:16 14．10 15．13 16．2，或9217．证明：过D 作//DG AB ，交CF 于G ，∴AEF DEG ∆∆，CDG CBF ∆∆，∴AE DE AF DG =，DG CD BF CB=， ∵D 为BC 的中点，12CD CB =， 12DG BF =，12DG BF =， 2AE DE AF BF =，即2AE BF DE AF ⋅=⋅． 18．解：∵正方形的面积为4，∴DE＝MF ＝2,过A 点作AQ⊥BC 于Q ，交DE 于P ，∵1=∆ADE S ，∴AP＝1，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴BCDE AQ AP =，即BC 231= ∴BC＝6，故ABC S ∆＝919．证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共，∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ， ∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ．20．证明：2AC AD AB =, 2()AC AD AF AD AB AF AD BF -⋅=-=因为Rt ADC Rt EFB ,所以AD EF CD BF=, 则AD BF CD EF =，2AC AD AF CD EF -⋅=⋅,即EF CD AF AD AC ⋅+⋅=2．21．解：等式222111h b a =+成立．理由如下： ∵AB CD ACB ⊥=∠,90 ，∴1122ab AB h =⋅ ， 222AB a b =+， ∴h c ab ⋅=， ∴2222h c b a ⋅=，∴22222)(h b a b a +=， ∴22222222222)(hb a h b a h b a b a +=， ∴222221b a b a h +=， ∴222111b a h +=． 22．证明：在四边形AFEG 中，∵90FAG AFE AGE ∠=∠=∠=，∴四边形AFEG 为矩形，∴AF EG =，（1）易证EG CG AD CD=，而AF EG =， ∴AF CG AD CD=； （2）ABC △为直角三角形，AD BC ⊥，∴FAD C ∠=∠，即AFD CGD △∽△，∴ADF CDG ∠=∠，又90CDG ADG ∠+∠=，∴90ADF ADG ∠+∠=，即90FDG ∠=，∴FD DG ⊥；（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形，理由如下：AB AC =，90BAC ∠=，∴AD DC =又因为AFD CGD △∽△ ∴1FD AD GD DC==，FD DG = 又90FDG ∠=∴FDG △,FDG △为等腰直角三角形．。
【课时训练】选修4-1几何证明选讲.docx
s 解：•・・在 ABCD 中，AB|| DE ,△ AOB SA EOD ,- •・・E 是CD 的中点，・・・DE= =|A B , 则器二 2, ••・ 1"二4,U 匸 》DOES A AOB = 4S A DOE = 4X9 = 36(cm)~.6. 如图，在Z\ABC 中，D 为BC 边匕中点，延长BA 到E,使AE=|E B 交AC 于F.求AF : FC 的值. ,连结DE,选修4-1儿何证明选讲第1课时 相似三角形的进一步认识（理科专用）E 是 BC ±的点，AE 丄DE, BE=4, EC=1,求 AB 的氏.AR FC解：根据题意可以判断Rf ABEsRf ECD ,则有■丽二而，可得AB = 2.2. 如图，在Z\ABC 和Z\DBE 中，5B=H =5E =|»若Z\ABC 与Z\DBE 的周长之差为 10 cm,求ZXABC 的周长. 解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得AABC 的周长为25 cm.3. 在AABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE 〃BC, AADE 的面积是2 cm 2, 梯形DBCE 的而积为6 cm 2,求DE : BC 的值.解：AADEsAABC ,利用面积比等于相似比的平方可得DE : BC = 1 ： 2.4. 如图，在△ ABC 中，ZA=90°，正方形DEFG 的边长是6 cm,且四个顶点都在AABC 的各边上，CE=3cm,求BC 的长.解:•/ 四边形 DEFG 是正方形，・・・ Z.GDB = ZFEC = 90° , GD = DE = EF = 6 cm. v LB + ZC = 90° r £B + ZBGD = 90° ，/.乙C 二 ZBGD,.・.△ BGDs △ FCE ,・••罟二罟， EF ・GD即BD =- =12 cm, BC = BD + DE + EC = 21 c m.5. 如图，在 ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O, S ADOE =9CH ?,求S SOB ・ JlCKUGVCKiVAN ' '1.如图，矩形ABCD 中, 人A()B 厶ft?：过D点作DP〃AC（如图），因为D是BC的中点，所以P为AB的中点，且DP二* AC.X AE = |EB ,所以AE 二AP ,所以AF=|D P=|A C ,所以AF ： FC = 1 ： 3.〔占【能力提升】NI-NCI.I I mu s<. ------------------------------------------------7.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC ±,记为点折痕为EF.已知AB=AC=3, BC=4,若以点F、C为顶点的三角形与Z\ABC相似，求BF 的长.解:设BF = x.若厶CFB^ACBA , 贝"If 二AB 1 = - 12 - 3x = 4x ,・•・ x = y.CF B"F 4 - x x 若厶CFB Z^ACAB ,则乙厂而，即=3，得x = 2.12即BF = 2或丐&如图，在AABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F.求的值.5网边形DEFCBF BE 1 解:过D点作DM〃AF交BC于M.因为DM|| AF ,所以丽二而二亍因为EF〃DM ,所= Q，即S A BDM =9S“ BEF•又£ D"=—，即S A DMC =手〜BDM =6S A REF，所以S 四边形OEFC O A BDM 刁OA nn\4 3JS A BEF 1二14S.BEF,因此S四边形DE/14・S A BDMAEF9. 如图所示，在厶ABC 'I', AD 为BC 边上的屮线，F 为AB ±任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE ・BF=2DE • AF.证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ,交FC 于点N. 在ABCF 中，D 是BC 的中点，DN|| BF ，二 DN = |B F.••• DN|| AF …△ AFE SA DNE. AE_DE二 AF = DN-即 AE BF = 2DE AF.10. 如图，在AABC 中，AB=AC,延长BC 至I 」D,使CD=BC, CE 丄BD,交AD 于E, 连结BE,交AC 于点F.求证：AF=FC ・证明：取BC 的中点H ,连结AH.•・• AB 二 AC , .•・ AH±BC.•・• CE±BD ,・・・ AH|| EC.•・• CD 二 BC ,・•・ CD = 2CH.则DE = 2AE.取ED 的中点M ,连结CM.则ME = AE.•・• C 为BD 的中点，・・・CM|| BE.贝！J F 为AC 的中点，即AF = FC.11. 如图，AB 是圆O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E, EF 垂直BA,交BA 的延长线于点F.(1) 求证：ZDEA=ZDFA ；(2) 若ZEBA = 30° , EF=羽,EA=2AC,求 AF 的长.1 AE 2DE••• DN pBF …亓 BFB HC D(1)证明：连结AD、BC.因为AB是圆O的直径,所以ZADB = ZACB = ZEFA = 90° ,故A、D、E、F四点共圆，所以ZDEA= ZDFA.(2)解:在R2 EFA 和R2 BCA 中，£EAF= ZCAB ,PA A F所以△ EFAABCA ,故前二局.设AF = a ,又EF = V3 ,乙EBA 二30。
高三数学课时作业：选修4-1几何证明选讲
章末高频考点
高频考点1 相似三角形的判定与性质
1。
（2013·安徽六校联考）已知C点在圆O直径BE 的延长线上，CA切圆O于A点,DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．
(1）求∠ADF的度数;
(2)若AB＝AC，求AC∶BC.
解析（1)∵AC为圆O的切线，
∴∠B＝∠EAC.
又知DC是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠DCB。
∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，
即∠ADF＝∠AFD，
又因为BE为圆O的直径,
∴∠DAE＝90°，
∴∠ADF＝1
2
(180°－∠DAE）＝45°。
(2)∵∠B＝∠EAC,∠ACB＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA,
∴错误!＝错误!。
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°.
∴在Rt△ABE中，错误!＝错误!＝tan∠B＝tan 30°＝错误!.
高频考点2 直线与圆的位置关系
2．(2013·吉林省质测）如图，已知ABCD为直角梯形，其中∠B＝∠C＝90°，以AD为直径作⊙O 交BC于E，F两点．证明:
（1）BE＝CF；
（2)AB·CD＝BE·BF。
证明（1）过O作OG⊥EF于G,则GE＝GF，OG∥AB，
∵O为AD的中点，∴G为BC的中点．
∴BG＝CG，∴BE＝CF.
（2)设CD与⊙O交于H,连接AH，
∵∠AHD＝90°，
∴AH∥BC，∴AB＝CH。
∵CD·CH＝CF·CE，∴AB·CD＝BE·BF。
高中数学第十一章 几何证明选讲(选修4-1)
第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节 相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点， 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， 所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ， 所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5， 所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中 ，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一 平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角， 故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°， 故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ， 故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ， 垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， 所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三 直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ， 所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值． 解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ， 所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ， 所以HF BF ＝AF GF ， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8， 所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ， 所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ， 所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2， 则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高， 则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ， 所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ， 所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ， 所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节 直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2， 根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ， 故PD PA ＝PCPO， 即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二 圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三 与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4， 所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ， 即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3， 即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ， 则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ， 即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值． 解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )， 因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ， 又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ， 所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ， 即62＝3PD ， 解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9， 所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ， 则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小． 解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ， 所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值． 解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ， 又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。
人教版高中数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练题及答案
高中数学选修 4-1《几何证明选讲》练习题（二）1． (2010 ·津卷天 )如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延伸 AB 和 DC订交于点P.若PB ＝ 1， PD ＝ 3，则 ADBC 的值为 ________．分析：∵∠P ＝∠ P ，∠ A ＝∠ PCB ，∴△ PCB ∽△ PAD .PB BC 1∴ PD ＝ AD ＝3.答案：132．(2010 湖·南卷 )如下图，过⊙ O 外一点 P 作一条直线与⊙ O 交于 A ，B 两点，已知 PA ＝ 2，点 P 到⊙ O 的切线长 PT ＝4，则弦 AB 的长为 ______．分析： 由切割线定理知 PT 2＝PA ·PB ，2∴ PB ＝ 4＝ 8.∴弦 AB 的长为 PB －PA ＝ 8－ 2＝ 6. 2答案： 63．如下图，已知PC 、 DA 为⊙ O 的切线， C 、A 分别为切点， AB 为⊙ O 的直径，若 DA ＝ 2， CD ＝ 1，则 AB ＝ ________.DP 2分析： 由 CD ＝DA ＝2，∴ DP ＝ 4.2 2在 Rt △ADP 中， AP ＝ 4 － 2 ＝ 2 3.2由切割线定理： PC ＝ PA ·PB ，∴ 62＝ 2 3(2 3＋ AB)，∴ AB ＝ 4 3. 答案：4 34． (2010 ·西卷陕 )如图，已知 Rt △ ABC 的两条直角边AC ， BC 的长分别为 3 cm ，BD4 cm ，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D ，则 DA ＝ ________. 分析： ∵∠ C ＝ 90°， AC 为圆的直径，∴ BC 为圆的切线， AB 为圆的割线．∴ BC 2＝ BD ·BA ，即 16＝BD ·5，解得 BD ＝16.5∴ DA ＝ BA － BD ＝5－ 16 9BD ＝ 16. 5 ＝ .∴DA 916 5 答案：95． (2010 ·东东莞广 )如图，已知 PA 、PB 是圆 O 的切线， A 、B 分别为切点， C 为圆 O 上不与 A 、 B 重合的另一点，若∠ ACB ＝ 120°，则∠ APB ＝ ________.分析： 连结 OA 、OB ，∠ PAO ＝∠ PBO ＝90°，∵∠ ACB ＝ 120°，∴∠ AOB ＝ 120°.又 P 、 A 、O 、 B 四点共圆，故∠ APB ＝ 60°.答案：60°PC 6． (2010切圆 O 于·东佛山广 )如图，点 C 点， CD ⊥AB 于 D P 在圆点，则 O 直径 AB 的延伸线上，且CD ＝ ________.PB ＝ OB ＝ 2，2分析：由切割线定理知， PC ＝PA ·PB ，又 OC ⊥PC ，故 CD ＝PC ·OC ＝2 3×2＝ 3.PO4答案：37．如图， AB 为⊙ O 的直径， AC 切⊙ O 于点 A ，且 AC ＝ 2 2 cm ，过 C 的割线 CMN交 AB 的延伸线于点 D ， CM ＝MN ＝ ND ，则 AD 的长等于 ________cm.分析： 由切割线定理知 |CA |2＝ |CM | ·|CN|＝ 2|CM |2，由于 |CA |＝2 2，因此 |CM|＝ 2， |CD |＝ 6，22答案：2 78． (2010 广·东卷 )如图， AB ，CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们订交于AB 的中点 P ， PD ＝2a，∠ OAP ＝ 30°，则 CP ＝______. 3分析： ∵ AP ＝ PB ，∴ OP ⊥AB .3又∵∠ OAP ＝ 30°，∴ AP ＝ 2 a.由订交弦定理得 CP ·PD ＝AP 2，∴ CP ＝ AP 2 3 2 3 9＝ a × ＝ a.PD 4 2a 8答案：98a9．(2010 北·京卷 )如图， ⊙ O 的弦 ED ，CB 的延伸线交于点 A.若 BD ⊥ AE ，AB ＝ 4， BC ＝ 2， AD ＝ 3，则 DE ＝ ______， CE ＝ ______.分析： 由圆的割线定理知：∴ AE ＝ 8，∴ DE ＝ 5.连结 EB ，∵∠ EDB ＝90°，∴ EB 为直径．∴∠ ECB ＝ 90°.由勾股定理，得2 222 22＝ 16－ 9＋ 25＝ 32.EB＝DB＋ ED＝AB －AD ＋ED 在 Rt △ECB 中， EB 2＝ BC 2＋ CE 2＝ 4＋ CE 2，∴ CE 2＝ 28，∴ CE ＝ 2 7. 答案： 5 2 710．如图， PC 切⊙ O 于点 C ，割线 PAB 经过圆心 O ，弦 CD ⊥AB 于点 E ，已知⊙O 的半径为 3，PA ＝ 2，则 PC ＝________， OE ＝ ________.分析： 由于 PB ＝ PA ＋ AB ＝ 8，因此在⊙ O 中，由切割线定理得：2PC ＝ PA ·PB ＝ 2×8＝ 16，故 PC ＝ 4；在 Rt △OCP 中，由射影定理得：PC 2＝ PE ·PO ，2则 PE ＝PC＝ 169PO5 .故 OE ＝ PO － PE ＝ 5.答案：4511．如图，自圆 O外一点P 引切线与圆切于点A ，M为PA 的中点，过M 引割线交圆于 B 、 C 两点．求证：∠ MCP ＝∠ MPB.证明： ∵ PA 与圆相切于 A ， ∴ MA 2＝ MB ·MC.∵ M 为 PA 的中点，∴ PM ＝ MA ， ∴PM 2＝MB ·MC ，∴PM ＝MBMC PM .∵∠ BMP ＝∠ PMC ，∴△ BMP ∽△ PMC ， ∴∠ MCP ＝∠ MPB.12．如图，已知在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 90°，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心， OB为半径的圆与 AB 交于点 E ，与 AC 切于点 D ，连结 DB 、DE 、OC.若 AD ＝ 2，AE ＝ 1，求 CD 的长．2分析：由切割线定理得 AD ＝ AE ·AB ，又∵∠ OCD ＝∠ ADE ＝ 90°－∠ CDB ，∠ A ＝∠ A ，∴△ ADE ∽△ ACO ，∴ AD ＝AC ，即 2＝CD ＋2，CD ＝3.AE AO12.5答： CD 的长等于 3.13． (2010 ·苏卷江 )如图， AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 AB 的延伸线于点 C ，若 DA ＝ DC ，求证： AB ＝ 2BC.证明： 如下图，连结 OD ， BD ，由于 CD 为⊙ O 的切线， AB 为直径， 因此∠ ADB ＝∠ ODC ＝ 90°. 因此∠ ODA ＝∠ BDC . 又由于 DA ＝DC ， 因此∠ DAB ＝∠ DCB . 因此△ ADO ≌△ CDB .因此 OA ＝BC ，进而 AB ＝ 2BC.14．已知弦 AB 与⊙ O 半径相等，连结 OB 并延伸使 BC ＝ OB. (1)问 AC 与⊙ O 的地点关系是如何的； (2)试在⊙ O 上找一点 D ，使 AD ＝ AC. 分析： (1) ∵AB 与⊙ O 半径相等， ∴△ OAB 为正三角形，∠ OAB ＝ 60°＝∠ OBA ，又∵ BC ＝ OB ＝ AB ，∴∠ C ＝∠ BAC ＝ 30°，故∠ OAC ＝ 90°， ∴AC 与⊙ O 相切．(2)延伸 BO 交⊙ O 于 D ，则必有 AD ＝ AC.∵∠ BOA ＝ 60°， OA ＝ OD ，∴∠ D ＝ 30°， 又∵∠ C ＝ 30°，∴∠ C ＝∠ D ，得 AD ＝AC.15． (2010 ·宁卷辽 )如图，△ ABC 的角均分线 AD 的延伸线交它的外接圆于点 E.(1)证明：△ ABE ∽△ ADC ；1(2)若△ ABC 的面积 S ＝2AD ·AE ，求∠ BAC 的大小．分析： (1) 证明：由已知条件，可得∠ BAE ＝∠ CAD. 由于∠ AEB 与∠ ACB 是同弧所对的圆周角， 因此∠ AEB ＝∠ ACD . 故△ ABE ∽△ ADC .AB AD(2)由于△ ABE ∽△ ADC ，因此 AE ＝ AC ， 即 AB ·AC ＝ AD ·AE .1 1又 S ＝ AB ·ACsin ∠ BAC ，且 S ＝ AD ·AE ，2 2故 AB ·ACsin ∠BAC ＝ AD ·AE.则 sin ∠ BAC ＝ 1，又∠ BAC 为△ ABC 的内角，因此∠ BAC ＝ 90°.16．如图， AB 、 CD 是圆的两条平行弦， BE ∥AC ，并交 CD 于 E ，交圆于 F ，过 A 点的切线交 DC 的延伸线于 P ， PC ＝ED ＝ 1， PA ＝ 2.(1)求 AC 的长；(2)求证： EF ＝ BE.2分析： (1) ∵PA ＝PC ·PD ， PA ＝2， PC ＝ 1，∴ PD ＝ 4.∵∠ PAC ＝∠ CBA ，∠ PCA ＝∠ CAB ，∴△ PAC ∽△ CBA ，∴ PC ＝ AC，∴ AC 2＝ PC ·AB ＝ 2，∴ AC ＝ 2.AC AB(2)证明：∵ CE ·ED ＝ BE ·EF ， BE ＝ AC ＝ 2，∴ EF ＝ 2·1＝ 2，∴ EF ＝BE . 217．如图， PA 切⊙ O 于点 A ，割线 PBC 交⊙ O 于点 B ，C ，∠ APC 的角均分线分别与 AB ， AC 订交于点 D ， E ，求证：(1)AD ＝ AE ；(2)AD 2＝ DB ·EC.【分析方法代码 108001161】证明： (1) ∠AED ＝∠ EPC ＋∠ C ，∠ ADE ＝∠ APD ＋∠ PAB.由于 PE 是∠ APC 的角均分线，故∠ EPC ＝∠ APD ，又 PA 是⊙ O 的切线，故∠ C ＝∠ PAB. 因此∠ AED ＝∠ ADE .故 AD ＝AE .∠ PCE ＝∠ PADEC PC(2) ∠ CPE ＝∠ APD ? △ PCE ∽△ PAD ? AD ＝PA ； ∠ PEA ＝∠ PDB AE PA∠ APE ＝∠ BPD ? △ PAE ∽△ PBD ? DB ＝ PB .又 PA 是切线， PBC 是割线 ? PA2＝ PB ·PC? PB PA ＝PCPA .故EC＝AE，又 AD＝ AE，故 AD 2＝ DB ·EC. AD DB18．如图，已知AD 是△ ABC 的外角∠ EAC 的均分线，交BC 的延伸线于点 D ，延伸 DA 交△ ABC 的外接圆于点 F ，连结 FB 、FC .(1)求证： FB ＝ FC；(2)求证： FB 2＝ FA·FD ；(3)若 AB 是△ ABC 外接圆的直径，∠ EAC＝ 120 °，BC＝6 cm，求 AD 的长 . 【分析方法代码 108001162】分析：(1) 证明：∵ AD 均分∠ EAC，∴∠ EAD＝∠ DAC.∵四边形 AFBC 内接于圆，∴∠ DAC＝∠ FBC.∵∠ EAD ＝∠ FAB＝∠ FCB ，∴∠ FBC＝∠ FCB ，∴ FB＝ FC .(2)证明：∵∠ FAB＝∠ FCB＝∠ FBC，∠ AFB ＝∠ BFD ，FB FA∴△ FBA ∽△ FDB .∴FD＝FB，∴FB2＝ FA·FD .(3)∵ AB 是圆的直径，∴∠ACB＝ 90°.1∵∠ EAC＝ 120°，∴∠ DAC ＝∠ EAC＝ 60°，∴∠ BAC＝∠ BFC ＝60°，∠ FDB ＝30°，∴△ FBC 为正三角形，又 BC＝ 6，在 Rt△ ABC 中，∴ AC＝2 3，∴在 Rt△ ACD 中， AD ＝ 4 3.。
选修4-4-1几何证明选讲
课后课时作业1.[2016·天津模拟]已知曲线的极坐标方程为ρ＝4cos 2θ2－2，则其直角坐标方程为( )A ．x 2＋(y ＋1)2＝1B ．(x ＋1)2＋y 2＝1C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1答案 C解析 由ρ＝4cos 2θ2－2得ρ＝2(cos θ＋1)－2＝2cos θ，即x 2＋y 2＝2x ，得(x －1)2＋y 2＝1.2．[2016·抚州质检]在极坐标系中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( ) A ．4 B .7 C ．2 2 D ．2 3答案 C解析 ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标是A(23，2)，圆心到定点的距离、切线长及半径构成直角三角形．由勾股定理得，切线长为(23－0)2＋(2－2)2－22＝2 2.3．[2015·合肥模拟]在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6 D .⎝⎛⎭⎪⎫4，π3 答案 A解析 直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y －2＝0，圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，半径等于2的圆．联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －2＝0x 2＋(y －2)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1，故直线和圆的交点坐标为(3，1)，化成极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6.4．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线x 2＋y 2＝16变换为椭圆x ′2＋y ′216＝1，此伸缩变换公式是( )A .⎩⎨⎧x ＝14x ′y ＝y ′B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′y ＝y ′ C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝y ′ D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′y ＝8y ′ 答案 B解析 设此伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)y ′＝μy (μ>0)，代入x ′2＋y ′216＝1，得(λx)2＋(μy )216＝1，即16λ2x 2＋μ2y 2＝16.与x 2＋y 2＝16比较得⎩⎪⎨⎪⎧16λ2＝1(λ>0) μ2＝1(μ>0)， 故⎩⎨⎧λ＝14μ＝1，即所求变换为⎩⎨⎧x ′＝14xy ′＝y.5．[2015·北京高考]在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．答案 1解析 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|1＋3＝1.6．[2015·广东高考]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．答案522解析 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2得2ρ⎝ ⎛ 22sin θ⎭⎪⎫－22cos θ＝2，所以y －x ＝1，故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，而点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4对应的直角坐标为A(2，－2)，所以点A(2，－2)到直线l ：x －y ＋1＝0的距离为|2＋2＋1|2＝522.7．[2015·安徽高考]在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________．答案 6解析 圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3，则tan θ＝3，化为直角坐标方程为3x －y ＝0，圆心(0,4)到直线的距离为|－4|4＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.8．[2016·保定模拟]点M 、N 分别是曲线ρsin θ＝2和ρ＝2cos θ上的动点，则|MN |的最小值是________．答案 1解析 ρsin θ＝2化为普通方程为y ＝2，ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 即(x －1)2＋y 2＝1，圆(x －1)2＋y 2＝1上的点到直线上点的距离的最小值为圆心(1,0)到直线y ＝2的距离减去半径，即为2－1＝1.9．[2015·江苏高考]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ －4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6. 所以圆C 的半径为 6.10．[2015·课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2， 即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.11．[2015·苏州模拟]在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12所截得的弦长．解 解法一：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图，在Rt △OAM 中，∠OMA ＝90°，∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4. 因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |， 所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ， 即ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6， 验证可知，极点O 与A ⎝⎛⎭⎪⎫4，－π6的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6为所求． (2)设l ：θ＝－5π12交圆C 于点P ， 在Rt △OAP 中，∠OP A ＝90°， 易得∠AOP ＝π4，所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝2 2.解法二：(1)圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(2)将θ＝－5π12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，得ρ＝22，所以圆C 被直线l ：θ＝－5π12所截得的弦长为2 2.12．已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值． 解 (1)依题意，得ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)， 即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)， 可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0，故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－1， 即ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝－1，化为直角坐标方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1,1)为圆心，2为半径的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32>r ＝2， 于是直线与圆相离，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.。
几何证明选讲(选修4-1)
[回访名题] (2014· 云南统检)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于 点 A，且 AC＝AB，CO 与⊙O 相交于点 P，CO 的延长线与⊙O 相交于点 F，BP 的延长线与 AC 相交于点 E.
AP FA (1)求证： ＝ ； PC AB (2)设 AB＝2，求 tan ∠CPE 的值．
(2)∵C，D，E，F 四点共圆， ∴GE· GF＝GC· GD. ∵GH 是圆 O 的切线，∴GH2＝GC· GD，
∴GH2＝GE· GF， 又 GH＝8，GE＝4，∴GF＝16， ∴EF＝GF－GE＝12.
相交弦定理、切割线定理及其推论的应用非常广泛、常见 (1)找过渡乘积式证明等积式成立． (2)为三角形相似提供对应边成比例的条件． (3)利用等积式来证明有关线段相等．
∵PF＝AB＝AC＝2， ∴CP· (CP＋2)＝4，即 CP2＋2CP－4＝0. 解得 CP＝－1± 5. ∵CP>0，∴CP＝ 5－1. 根据已知，得△FAP 是以 FP 为斜边的直角三角形． AP FA AP PC 由(1)知，PC＝AB，AB＝2.∴ FA ＝AB . 5－1 AP PC ∴tan ∠F＝ FA ＝AB ＝ 2 . ∵在⊙O 中，直径 AB 与直径 FP 相交于点 O，
3．(2014· 新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切 线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为 PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：
(1)BE＝EC； (2)AD· DE＝2PB2.
证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠ PDA.
AE 1 AE (2)在平行四边形 ABCD 中， 因为 EB＝2AE， 所以 ＝ ＝ ， AB 3 CD S△CDF CD CD 故 AE ＝3.因为 AE∥CD，所以△AEF∽△CDF，所以 ＝ AE S△AEF
选修4-1 几何证明选讲 (3)
解析：∴∠HAD＝30°，∠AHD＝90°，
∴∠D＝60°，由圆内接四边形的对角和是180°，得∠B＝120°
答案：120°
4．如图所示，⊙O的直径AC＝2，∠BAD＝75°，∠ACD＝45°，则四边形ABCD 的周长为________．(结果取准确值)
解析：∵∠BAD＝75°，∴∠BCD＝105°，
圆内接四边形的问题，要抓住角度的相等或互补，转化为四点共圆；同样利用 四点共圆，可以得到相关的角度相等． 【例3】在梯形ABCD中，AB∥DC，AB>CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝ ∠CBK.求证：C，D，K，M四点共圆．
思路点拨：由∠DAM＝∠CBK，易得A，B，M，K四点共圆，由此转化到相关 角相等与互补，再证C，D，K，M四点共圆．
说在这个三角形中B，D，H，E四点共圆的充要条件是∠B＝60°.
【知识链接】
三角形中的4个心
外心：三角形三条边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心；内心：三 角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心；重心：三角形的三条中
线交于一点，这个点叫做三角形的重心；垂心：三角形的三条高线交于一点，这个
证明：在四边形ABMK中．∵∠DAM＝∠CBK， ∴A，B，M，K四点共圆．连接KM，有∠DAB＝∠CMK. ∵∠DAB＋∠ADC＝180°，∴∠CMK＋∠KDC＝180°. 故C，D，K，M四点共圆．
变式3：在梯形ABCD中，AB∥DC，AB>CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝ ∠CBK. 求证：∠DMA＝∠CKB. 证明：易知A，B，M，K四点共圆，则∠AMB＝∠BKA. 连接KM，如图所示， 有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB＋∠ADC＝180°， ∴∠CMK＋∠KDC＝180°.故C，D，K，M四点共圆⇒∠CMD＝∠DKC. 又∠AMB＝∠BKA，∴∠DMA＝∠CKB.
选修4-1几何证明选讲
分析: 分别在△ABC及△ADC中利 用平行线分线段成比例定理的推论
A
证明 在 AB 中 , CDE,/A /B B A CC F
ADAE D
E
在 AD 中 , CEF/,A A /CD F D A AC EB
C
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项
a
14
例4：用平行于三角形一边且和其他两 边相交的直线截三角形,所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例.
BC EF AC DF
合比
? ABBC AC DE EF DF
BC AC EF DF
AB DE AC DF
a
9
平行线等分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的 对应线段成比例.
a
10
推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或 两边的延长线)所得的对应线段成比例.
l l
A
l1
l
l
E
D l1
预备定理得:
△ADE∽△ABC
A
∵∠ADE=∠B,∠B=∠B
∴∠ADE=∠B
B
C A
∵∠A=∠A, AD=AB ∴△ADE≌△ABC
∴△ABC∽△ABC a
D
E
B
C
24
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三
角形的两边和另一个三角形的两边对 应成比例,并且夹角相等,那么这两个 三角形相似.
简述:两边对应成比例且夹a 角相等,两三角形相似25
B
C
符号语言：
∵在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
a
5
例1:D、E 分别是△ABC中AB边和AC
数学选修4-1几何证明选讲解答题
数学选修4-1几何证明选讲解答题第一篇：数学选修4-1几何证明选讲解答题选修4-1：几何证明选讲一、填空题1.(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.2．(2011·湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．二、解答题3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD.4．(2011·江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB 上)．求证：AB∶AC为定值．5．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，求EF的长． a 26．如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O 于点C，直线PQ平分∠APC，分别交AC、BC于点M、N.求证：(1)CM＝CN；(2)MN2＝2AM·BN.7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD.过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：AB2＝BE·CD.8．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，求PD的长．9.如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF.求证：(1)B、D、H、E 四点共圆；(2)CE平分∠DEF.10．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．答案231．2 2.3CE3．证明因为四边形ABCD是平行四边形，所以AF∥BC，所以BE＝.又因为AE∥CD，所以△AFE∽△DFC，EFEAEAEFCFEFCE所以＝＝.CDCFCDEABE又因为∠ECA＝∠D，∠CAF＝∠DAC，ACCF所以△AFC∽△ACD，所以，ADDCACCE所以，ADBE所以AC·BE＝CE·AD.4.证明如图，连结AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．π从而∠ABD＝∠ACE.2所以BD∥CE，ABAD2r1r1于是＝＝.ACAE2r2r2所以AB∶AC为定值．5．解连结DE，由于E是AB的中点，故BE＝.又CD＝，AB∥DC，22CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．在Rt△AED中，AD＝a，F是AD的中点，故EF26．证明(1)∵PC切圆O于点C，∴∠PCB＝∠PAC，又∵∠CPM＝∠APM，∴∠CNM＝∠CPM＋∠PCB＝∠APM＋∠PAM＝∠CMN，∴CM＝CN.(2)∵∠CPN＝∠APM，∠PCN＝∠PAM，aaaPCCN∴△PCN∽△PAM＝，①PAAM同理△PNB∽△PMCPBBN.② PCCM又∵PC2＝PA·PB，③由①②③可知CM·CN＝AM·BN，∵CM＝CN，∴CM2＝AM·BN.∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∴MN2＝2CM2，即MN2＝2AM·BN.7．证明连结AC.∵EA切⊙O于A，∴∠EAB＝∠ACB，∵AB ＝AD，∴∠ACD＝∠ACB，AB＝AD.∴∠EAB＝∠ACD.又四边形ABCD 内接于⊙O，所以∠ABE＝∠D.∴△ABE∽△CDA.ABBE，即AB·DA＝BE·CD.CDDA∴AB2＝BE·CD.8．解方法一连结AB，∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，∴AB＝OB＝OA，∴∠AOB＝60°，∴∠POD＝120°.在△POD 中，由余弦定理得PD2＝PO2＋DO2－2PO·DO·cos∠POD＝4＋1－14×(－＝7.∴PD7.2方法二过D作DE⊥PC，垂足为E，∴∠POD＝120°，13∴∠DOE ＝60°，可得OE，DE＝，22在Rt△PED中，25322PDPE＋DE＝7.449．证明(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∵AD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠HAC＋∠HCA＝60°，∴∠AHC＝120°.∴∠EHD＝∠AHC＝120°.∴∠EBD＋∠EHD＝180°.∴B，D，H，E四点共圆．(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，∴∠EBH＝∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，∴∠CED＝∠HBD＝30°，∠HDE＝∠EBH ＝30°.∴∠HED＝∠HDE＝30°.∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴EF⊥AD.∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF.10．(1)证明因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC ＝∠FBC.因为∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.(2)证明因为∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，FBFA所以△FBA∽△FDB.所以＝ FDFB所以FB2＝FA·FD.(3)解因为AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°.又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，1∠DAC＝EAC＝60°.因为BC＝6，2所以AC＝BCtan∠ABC＝23，AC所以AD＝＝43(cm)．cos∠DAC第二篇：2007-2012新课标数学几何证明选讲解答题汇总1、如图，已知AP是εO的切线，P为切点，AC是εO的割线，与εO交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．，P，O，M四点共圆；（Ⅰ）证明A（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小．（2007新课标）A【解析】（Ⅰ）证明：连结OP，OM．因为AP与εO相切于点P，所以OP⊥AP．因为M是εO的弦BC 的中点，所以OM⊥BC．于是∠OPA+∠OMA=180°．，P，O，M四点共圆．由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A由（Ⅰ）得OP⊥AP．由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．所以∠OAM+∠APM=90°．A2、如图，过圆O外切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P．一点M 作它的一条切线，OP=OA；（Ⅰ）证明：OMε（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：∠OKM=90．（2008课标卷）ο23、如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B＝60°,F在AC上,且AE＝AF.（2009课标卷）(1)证明B,D,H,E四点共圆;(2)证明CE平分∠DEF.分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等.证明:(1)在△ABC中，因为∠B＝60°,所以∠BAC+∠BCA＝120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因为∠EBD+∠EHD＝180°,所以B,D,H,E四点共圆.(2)连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD＝30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆,所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD ＝60°,由已知可得EF⊥AD,可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.4、如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；2（Ⅱ）BC=BF×CD。
高中数学-几何证明选讲课时训练选修4-1
选修41 几何证明选讲第1课时 圆的进一步认识1. (镇江期末)如图,已知AB 是圆O 的直径,P 是上半圆上的任意一点,PC 是∠APB 的平分线,点E 是AB ︵的中点．求证：直线PC 经过点E.证明：连结AE,EB,OE,由题意知∠AOE＝∠BOE＝90°,因为∠APE 是圆周角,∠AOE 是同弧上的圆心角,所以∠APE＝12∠AOE ＝45°.同理可得,∠BPE ＝12∠BOE ＝45°,所以PE 是∠APB 的平分线, 又PC 是∠APB 的平分线,所以PC 与PE 重合,所以直线PC 经过点E.2. 如图,圆O 的两弦AB,CD 交于点F,从F 点引BC 的平行线和直线AD 交于P,再从P 引这个圆的切线,切点是Q.求证：PF ＝PQ.证明：因为A,B,C,D 四点共圆,所以ADF ＝ABC. 因为PF∥BC ,所以AFP ＝ABC.所以AFP ＝FDP. 又因为APF ＝FPD, 所以△APF∽△FPD.所以PF PA ＝PD PF.所以PF 2＝PA·PD.因为PQ 与圆O 相切,所以PQ 2＝PA·PD .所以PF 2＝PQ 2.所以PF ＝PQ.3. 如图,圆O 与圆P 相交于A,B 两点,点P 在圆O 上,圆O 的弦BC 切圆P 于点B,CP 及其延长线交圆P 于D,E 两点,过点E 作EF⊥CE 交CB 延长线于点F.若CD ＝2,CB ＝22,求EF 的长．解：连结PB,∵ BC 切圆P 于点B, ∴PB ⊥BC.又CD ＝2,CB ＝22,由切割线定理得CB 2＝CD·CE , ∴ CE ＝4,DE ＝2,BP ＝1. ∵ EF ⊥CE,∴ △CPB ∽△CFE,∴ EF PB ＝CECB,EF ＝ 2.4. 如图,AB,AC 是圆O 的切线,ADE 是圆O 的割线,求证：BE·CD＝BD ·CE.证明：∵ AB 是圆O 的切线, ∴ ∠ABD ＝∠AEB. ∵ ∠BAD ＝∠EAB , ∴ △BAD ∽△EAB. ∴ BD BE ＝AB AE . 同理CD CE ＝AC AE.∵ AB,AC 是圆O 的切线,∴ AB ＝AC. ∴ BD BE ＝CDCE,即BE· CD＝B D· CE. 5. (南通、泰州模拟)如图,已知△ABC 内接于圆O,连结AO 并延长交圆O 于点D,∠ACB ＝∠ADC.求证：AD·BC＝2AC·CD.证明：证明：连结OC.因为∠ACB＝∠ADC ,∠ABC ＝∠ADC , 所以∠ACB＝∠ABC.因为OC ＝OD,所以∠OCD＝∠ADC. 所以∠ACB＝∠OCD. 所以△ABC∽△ODC.所以AC OC ＝BCCD,即AC·CD＝OC·BC.因为OC ＝12AD,所以AD·BC＝2AC·CD.6. (苏北三市模拟)如图,圆O 的弦AB,MN 交于点C,且点A 为弧MN 的中点,点D 在弧BM 上．若∠ACN ＝3∠ADB,求∠ADB 的大小．解：连结AN,DN.因为A 为弧MN 的中点, 所以∠ANM＝∠ADN. 而∠NAB＝∠NDB ,所以∠ANM＋∠NAB＝∠ADN ＋∠NDB , 即∠BCN＝∠ADB. 又∠ACN＝3∠ADB ,所以∠ACN＋∠BCN＝3∠ADB＋∠ADB＝180°, 故∠ADB＝45°.7. 如图,在△ABC 中,∠ACB ＝90°,以边AC 上的点O 为圆心,OA 为半径作圆,与边AB,AC 分别交于点E,F,EC 与圆O 交于点D,连结AD 并延长交BC 于P.(1) 求证：AE·AB＝AD·AP.(2) 已知AE ＝EB ＝4,AD ＝5,求AP 的长．(1)证明：连结EF,则∠AEF＝90°.∵ ∠ACB ＝90°,∴ B,C,F,E 四点共圆． 则∠AFE＝∠B.∵ ∠ADE ＝∠AFE ,∴ ∠ADE ＝∠B. ∴ B,P,D,E 四点共圆． 则AE·AB＝AD·AP.(2)解：∵ AE＝EB ＝4,AD ＝5,∴ AB ＝8.由(1)AE·AB＝AD·AP ,得AP ＝325.8. (苏锡常镇二模)如图,直线DE 切圆O 于点D,直线EO 交圆O 于A,B 两点,DC ⊥OB 于点C,且DE ＝2BE,求证：2OC ＝3BC.证明：连结OD,设圆的半径为R,BE ＝x, 则OD ＝R,DE ＝2BE ＝2x,在Rt △ODE 中,∵ DC ⊥OB,∴ OD 2＝OC•OE ,∴ R 2＝OC(R ＋x) ①.∵ 直线DE 切圆O 于点D,∴ DE 2＝BE•AE ,∴ 4x 2＝x(2R ＋x) ②,∴ x ＝2R 3.代入①,解得OC ＝3R 5,∴ BC ＝OB －OC ＝2R5,∴ 2OC ＝3BC.9. 如图,已知AB 为圆O 的直径,BC 切圆O 于点B,AC 交圆O 于点P,E 为线段BC 的中点．求证：OP⊥PE.证明：连结BP,∵ AB是圆O的直径,∴∠APB＝90°,∴∠BPC＝90°.在Rt△BPC中,∵ E是边BC的中点,∴ BE＝EC,∴BE＝EP,∴∠1＝∠3.∵ B,P为圆O上的点,∴ OB＝OP,∴∠2＝∠4.∵ BC切圆O于点B,∴∠ABC＝90°,即∠1＋∠2＝90°,从而∠3＋∠4＝90°,∴∠OPE＝90°.∴ OP⊥PE.10. (金陵中学质检)如图,已知AB为圆O的直径,C,F为圆O上的两点,OC⊥AB,过点F作圆O的切线FD 交AB的延长线于点D,连结CF交AB于点E.求证：DE2＝DA·DB.证明：连结OF.∵ DF切圆O于F,∴∠OFD＝90°.∴∠OFC＋∠CFD＝90°.∵ OC＝OF,∴∠OCF＝∠OFC.∵ CO⊥AB于O,∴∠OCF＋∠CEO＝90°.∴∠CFD＝∠CEO＝∠DEF,∴ DF＝DE.∵ DF是圆O的切线,∴ DF2＝DB·DA.∴ DE2＝DB·DA.11. (南通、泰州期末)已知圆O的直径AB＝4,C为AO的中点,弦DE过点C且满足CE＝2CD,求△OCE的面积．解：设CD ＝x,则CE ＝2x. 因为CA ＝1,CB ＝3,由相交弦定理,得CA·CB＝CD·CE ,所以1×3＝x·2x＝2x 2,所以x ＝62.取DE 的中点H,连结OH,则OH⊥DE.因为OH 2＝OE 2－EH 2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＝58,所以OH ＝104. 因为CE ＝2x ＝6,所以△OCE 的面积S ＝12OH·CE＝12×104×6＝154.。
选修4-1 几何证明选讲
选修4－1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：(2)1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误．2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误．[试一试]1．如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，求BE 的长．解：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8.2．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，求CD 的长． 解：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4.1．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练]1.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，求△ADE 与四边形DBCE 的面积的比．解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49， ∴S △ADES 四边形DBCE ＝45.2.如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，求∠ACB . 解：在△ABC 与△CBD 中， 由BC 2＝BD ·AB ， 得BC BD ＝ABBC ，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD .则∠ACB ＝∠CDB ＝90°.平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于F ，求BF ∶FD 的值．解：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， ∴BE ∶AD ＝2∶5. ∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25.2.(2013·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，求则BF 的值．解：由DE ∥BC 得 DE BC ＝AE AC ＝35，∵DE ＝6， ∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ， 所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4.3.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD的值． 解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC＝1. [类题通法]比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.相似三角形的判定及性质[典例] 相交于⊙O 内一点E ，的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，求PE 的值．[解] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PEP A，于是PE 2＝P A ·PD ＝3×2＝6，所以PE ＝ 6.[类题通法]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等． [针对训练](2013·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB＝6，AC ＝4，AD ＝12，求BE 的值．解：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，所以△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AEAC，解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.射影定理的应用[典例] AD ⊥BC 于D ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC.[证明] 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ，②在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ， 即BD AB ＝ABBC.③ 由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC .[类题通法]1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法． [针对训练]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值． 解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，求BC 的长．解：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点．又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ， ∴BC ＝2MC ＝24 cm.2．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，求S △CDE 的值．解：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ， ∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED .∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝ 3.3．(2013·广东高考改编)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED 的值．解：∵tan ∠BCA ＝BA BC ＝33，所以∠BCA ＝30°，∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt △BCE 中，CE ＝BC ·cos ∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得 ED ＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos ∠ECD＝⎝⎛⎭⎫3322＋(3)2－2×332×3×12＝212.4.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝mn (m ，n >0)，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E .求BEEC的值．解：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，则FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋nn.两式相乘即得BE EC ＝m ＋nn.5．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，求△ABC 的面积．解：令E ＝a ，EF ＝b ，则12ab ＝6.由题意知EB ＝2a . DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72(cm)．[课下提升考能]1．如图，已知▱ABCD 中，G 是DC 延长线上一点，AG 分别交BD 和BC于E ，F 两点，证明：AF ·AD ＝AG ·BF .证明：因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥DC ，AD ∥BC . 所以△ABF ∽△GCF ，△GCF ∽△GDA . 所以△ABF ∽△GDA . 从而有AF AG ＝BF AD， 即AF ·AD ＝AG ·BF .2．已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：(1)△BPE ∽△CPF ； (2)△EFP ∽△BCP . 证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ， CE ⊥AB 于点E ， ∴∠BFC ＝∠CEB . 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ， ∴EP FP ＝BP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .3．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连接ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .如果AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB .∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2. ∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC .∵D 是AC 的中点，∴HDDE＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4， ∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：(1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得 BD 2＝BE ·AB ， 同理CD 2＝CF ·AC ， ∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC . 又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ， ∴AD 2＝BD ·DC ， ∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC ， 又AB ·AC ＝BC ·AD . 即AD 3＝BC ·CF ·BE .5．如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE 交AC 于点F .若AE AD ＝14，求AFAC的值．解：如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G . ∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ， ∴AG BD ＝AE ED ＝13. ∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ，∴AG BC ＝16. ∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16，∴AF AC ＝17.6.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2.又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE)2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14.∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.第二节直线与圆的位置关系1．圆周角定理 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断．2．在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB、PD，P A＝AB＝5，CD＝3，求PC的长．解：设PC ＝x ，由割线定理知P A ·PB ＝PC ·PD . 即5×25＝x (x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)． 故PC ＝2.2.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，求∠BAD 的值．解：由已知，显然△EBC 为等腰三角形， 因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°，因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°. 而由A ，B ，C ，D 四点共圆， 得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°.1．与圆有关的辅助线的五种作法 (1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角． (3)有切点，作过切点的半径． (4)两圆相交，作公共弦． (5)两圆相切，作公切线． 2．证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补； (2)证明它的一个外角等于它的内对角； (3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2013·荆州模拟)如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，过P A 的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，若∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，求∠MPB 的值．解：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MPMC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，所以∠MPB ＝∠MCP ，所以30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，所以∠MPB ＝20°.2．(2013·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，求AB 的值．解：由P A 为圆O 的切线可得，∠P AB ＝∠ACB ， 又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ， 所以PB AB ＝ABBC ，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35， 即AB ＝35.圆周角、弦切角和圆的切线问题为圆的内接三角形， BD为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，求线段CF 的长．解：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，所以AE ∥BC .又AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形，所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，所以CA CB ＝CF CA ，CF ＝CA 2CB ＝166＝83.2．(2013·广东高考改编)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，求BC 的长．解：连接OC ，则OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，则∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝ 12＝2 3，∴BC ＝2 3.3．(2014·岳阳模拟)如图所示，⊙O 的两条切线P A 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P ＝70°，求∠ACB 的值．解：如图所示，连接OA ，OB ， 则OA ⊥P A ，OB ⊥PB . 故∠AOB ＝110°， ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°.[类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．圆内接四边形的性质及判定[典例]是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆； (2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连接DB ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ， 又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ， ∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2)⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD⇒GH 2＝GE ·GF ，又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5. [类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如图所示，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PDBD；(2)若AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，所以∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，所以∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD，又因为AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD.(2)因为AB ＝AC ，所以∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，所以∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝ACAD，所以AP ·AD ＝AC 2＝16. 与圆有关的比例线段[典例] 是∠ACB 的平分线，△的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长．[解] (1)证明：连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA ， 又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ， 所以BE BA ＝DE CA ，而AB ＝2AC ， 所以BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD . (2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，根据割线定理得， BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，所以(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0， 解得t ＝12，即AD ＝12.[类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2014·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连接AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连接CE .求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2.证明：(1)连接AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径， ∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径， ∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF . ∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EFGD ，∴AG ·EF ＝CE ·GD .(2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ， ∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF . 由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GF AG ＝EF 2CE2.[课堂练通考点]1．(2013·惠州模拟)如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，求PD 的长．解：∵P A 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.2．(2014·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，求BC 的长．解：连接AC .因为∠ABC ＝90°，所以AC 为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2.3．(2013·广州模拟)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP ＝4，PB ＝2，求PC 的长．解：如图，延长CP交⊙O于点D，因为PC⊥OP，所以P是弦CD的中点，由相交弦定理知P A·PB＝PC2，即PC2＝8，故PC＝2 2.4．(2013·新课标卷Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．解：(1)证明：如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，则∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝3 2.设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于3 2.[课下提升考能]1．(2013·辽宁高考)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF 2＝AD ·BC .证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB . 由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB . 故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF . 类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF . 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ， 所以EF 2＝AD ·BC .2．(2013·江苏高考)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .证明：连接OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°. 又因为∠A ＝∠A ， 所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以BC OD ＝AC AD .又BC ＝2OC ＝2OD ， 故AC ＝2AD .3．如图所示，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A ，B 两点，直线AF 交圆O 于点F (不与B 重合)，直线l 与圆O 相切于点C ，交直线AB 于点E ，且与AF 垂直，交AF 的延长线于点G ，连接AC .求证：(1)∠BAC ＝∠CAG ；(2)AC 2＝AE ·AF .证明：(1)连接BC ，因为AB 是直径，所以∠ACB ＝90°，所以∠ACB ＝∠AGC ＝90°.因为GC 切圆O 于点C ，所以∠GCA ＝∠ABC ，所以∠BAC ＝∠CAG .(2)连接CF ，因为EC 切圆O 于点C ，所以∠ACE ＝∠AFC .又∠BAC ＝∠CAG ，所以△ACF ∽△AEC ，所以AC AE ＝AFAC，所以AC 2＝AE ·AF .4．(2013·新课标卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC F A ＝DC EA ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)如图，连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.5．(2013·石家庄模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，BE 为⊙O 的切线，点C 为⊙O 上不同于A ，B 的一点，AD 为∠BAC 的平分线，且分别与BC 交于H ，与⊙O 交于D ，与BE 交于E ，连接BD ，CD .求证：(1)BD 平分∠CBE ；(2)AH ·BH ＝AE ·HC .证明：(1)由弦切角定理知∠DBE ＝∠DAB . 又∠DBC ＝∠DAC ，∠DAB ＝∠DAC ， 所以∠DBE ＝∠DBC ，即BD 平分∠CBE . (2)由(1)可知BE ＝BH ， 所以AH ·BH ＝AH ·BE ，因为∠DAB ＝∠DAC ，∠ACB ＝∠ABE ， 所以△AHC ∽△AEB ，所以AH AE ＝HCBE ，即AH ·BE ＝AE ·HC ，即AH ·BH ＝AE ·HC .6．(2013·昆明模拟)如图，已知P A 与圆O 相切于点A ，直径BC ⊥OP ，连接AB 交PO 于点D .求证：(1)P A ＝PD ； (2)AC ·AP ＝AD ·OC .证明：(1)∵P A 与圆O 相切于点A ， ∴∠P AB ＝∠ACB ， ∵BC 是圆O 的直径， ∴∠BAC ＝90°， ∴∠ACB ＝90°－∠B ，∵OB ⊥OP ，∴∠BDO ＝90°－∠B ，又∠BDO ＝∠PDA ，∴∠P AD ＝∠PDA ＝90°－∠B ， ∴P A ＝PD .(2)连接OA ，由(1)得， ∠P AD ＝∠PDA ＝∠ACO ， 又∠OAC ＝∠OCA ， ∴△P AD ∽△OCA ，∴P A OC ＝AD AC，∴AC ·AP ＝AD ·OC .。
【最高考系列】(教师用书)高考数学一轮总复习 几何证明选讲课时训练 理(选修4-1)
选修4－1 几何证明选讲第1课时 相似三角形的进一步认识(理科专用)1. 如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，求AB 的长．解：根据题意可以判断Rt △ABE ∽Rt △ECD ，则有AB BE ＝ECCD，可得AB ＝2.2. 如图，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝52，若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，求△ABC 的周长．解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得△ABC 的周长为25 cm.3. 在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE∥BC，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，求DE∶BC 的值．解：△ADE∽△ABC，利用面积比等于相似比的平方可得DE ∶BC ＝1∶2. 4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，正方形DEFG 的边长是6 cm ，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE ＝3 cm ，求BC 的长．解：∵ 四边形DEFG 是正方形，∴ ∠GDB ＝∠FEC＝90°，GD ＝DE ＝EF ＝6 cm.∵ ∠B＋∠C＝90°，∠B ＋∠BGD＝90°，∴ ∠C ＝∠BGD，∴ △BGD ∽△FCE ，∴ BD EF ＝GDEC，即BD＝EF·GD EC＝12 cm ，∴ BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝21 cm.5. 如图，在ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O ，S △DOE ＝9 cm 2，求S △AOB .解：∵ 在ABCD 中 ，AB ∥DE ，∴ △AOB ∽△EOD ，∴ S △AOB S △DOE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DE 2.∵ E 是CD 的中点，∴ DE ＝12CD ＝12AB ，则AB DE ＝2，∴ S △AOB S △DOE＝22＝4， ∴ S △AOB ＝4S △DOE ＝4×9＝36(cm)2.6. 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上中点，延长BA 到E ，使AE ＝13EB ，连结DE ，交AC于F.求AF∶FC 的值．解：过D 点作DP∥AC(如图)，因为D 是BC 的中点，所以P 为AB 的中点，且DP ＝12AC.又AE ＝13EB ，所以AE ＝AP ，所以AF ＝12DP ＝14AC ，所以AF∶FC＝1∶3.7. 将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF.已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求BF 的长．解：设BF ＝x.若△CFB′∽△CBA， 则CF CB ＝B′F AB ，即4－x 4＝x 3.∴ 12－3x ＝4x ，∴ x ＝127. 若△CFB′∽△CAB，则CF CA ＝B′F AB ，即4－x 3＝x3，得x ＝2.即BF ＝2或127.8. 如图，在△ABC 中，D 是AC 中点，E 是BD 三等分点，AE 的延长线交BC 于F.求S △BEFS 四边形DEFC的值．解：过D 点作DM∥AF 交BC 于M.因为DM ∥AF ，所以BF BM ＝BE BD ＝13.因为EF∥DM，所以S △BEFS △BDM＝19，即S △BDM ＝9S △BEF .又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114.9. 如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF＝2DE ·AF.证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N. 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴ DN ＝12BF.∵ DN ∥AF ，∴ △AFE ∽△DNE. ∴ AE AF ＝DE DN. ∵ DN ＝12BF ，∴ AE AF ＝2DEBF，即AE·BF＝2DE·AF.10. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，CE ⊥BD ，交AD 于E ，连结BE ，交AC 于点F.求证：AF ＝FC.证明：取BC 的中点H ，连结AH. ∵ AB ＝AC ，∴ AH ⊥BC. ∵ CE ⊥BD ，∴ AH ∥EC. ∵ CD ＝BC ，∴ CD ＝2CH.则DE ＝2AE.取ED 的中点M ，连结CM.则ME ＝AE. ∵ C 为BD 的中点，∴ CM ∥BE. 则F 为AC 的中点，即AF ＝FC.11. 如图，AB 是圆O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA ，交BA 的延长线于点F.(1) 求证：∠DEA＝∠DFA；(2) 若∠EBA＝30°，EF ＝3，EA ＝2AC ，求AF 的长．(1) 证明：连结AD 、BC. 因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝∠EFA＝90°， 故A 、D 、E 、F 四点共圆， 所以∠DEA＝∠DFA.(2) 解：在Rt △EFA 和Rt △BCA 中，∠EAF ＝∠CAB，所以△EFA∽△BCA，故EA AB ＝AFAC.设AF ＝a ，又EF ＝3，∠EBA ＝30°，所以BF ＝3，则AB ＝3－a ，AE 2＝AF 2＋EF 2＝a 2＋3.所以a(3－a)＝12(3＋a 2)，解得a ＝1.所以AF 的长为1.第2课时 圆的进一步认识(理科专用)1. (2014·南京、盐城期末)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．解：因为P 为AB 中点，所以OP⊥AB，所以PB ＝r 2－OP 2＝32.因为PC·PD＝PA·PB ＝PB 2＝34，由PC ＝98，得PD ＝23.2. 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，求CEEO的值．解：设圆的半径为R ，则AD ＝AB 3＝23R ，OD ＝R －23R ＝13R.又OD 2＝OE·OC，所以OE ＝OD 2OC＝19R ，CE ＝R －19R ＝89R ，所以CEEO＝8.3. 如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D.若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，分别求PD 、AB 的值．解：由PD∶DB＝9∶16，可设PD ＝9x ，DB ＝16x.因为PA 为圆O 的切线，所以PA 2＝PD·PB，所以32＝9x·(9x＋16x)，化为x 2＝125，所以x ＝15.所以PD ＝9x ＝95，PB ＝25x ＝5.因为AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，所以AB⊥PA.所以AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4.4. (2014·苏北三市期末)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C＝50°，求∠DEF 的度数．解：由圆D 与边AC 相切于点E ，得∠AED＝90°.因为DF⊥AF，得∠AFD＝90°，所以A 、D 、F 、E 四点共圆， 所以∠DEF＝∠DAF.又∠ADF＝∠ABD＋∠BAD＝12(∠ABC＋∠BAC)＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C ，所以∠DEF＝∠DAF＝90°－∠ADF＝12∠C.由∠C＝50°，得∠DEF＝25°.5. 自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 的中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP＝∠MPB.证明：∵ PA 与圆相切于A ，∴ MA 2＝MB·MC.又M 为PA 的中点，∴ PM ＝MA ，∴ PM 2＝MB·MC，∴ PM MC ＝MB PM.∵ ∠BMP ＝∠PMC，∴ △BMP ∽△PMC ，∴ ∠MCP ＝∠MPB.6. (2014·镇江期末)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE⊥AC.求证：AC ＝2OD.证明：∵ DE 是圆O 的切线，∴ OD ⊥DE.又DE⊥AC，∴ OD ∥AC.∵ O 是AB 的中点，∴ OD 是△ABC 的中位线，∴ OD ＝12AC ，即AC ＝2OD.7. (2014·南京、盐城一模)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．(1) 证明：因为AE 与圆相切于点A ， 所以∠BAE＝∠ACB.因为AB ＝AC ，所以∠ABC＝∠ACB. 所以∠ABC＝∠BAE.所以AE∥BC.因为BD∥AC，所以四边形ACBE 为平行四边形．(2) 解：因为AE 与圆相切于点A ，所以AE 2＝EB·(EB＋BD)，即62＝EB·(EB＋5)，解得BE ＝4.根据(1)有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6.设CF ＝x ，由BD∥AC，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83.8. (2014·盐城二模)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．解：∵ AB 是圆O 的直径且BC ＝CD ，∴ AB ＝AD ＝10. 连结CO ，∵ EC 为圆O 的切线，∴ EC ⊥CO. 记H 是AD 与圆O 的交点，连结BH ， ∴ EC ∥BH ，∴ HE ＝ED ＝3，∴ AH ＝4，∴ BD 2－62＝AB 2－42，∴ BD ＝230，∴ BC ＝30.9. 如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交CD 的延长线于点P ，PC ＝ED ＝1，PA ＝2.(1) 求AC 的长； (2) 求证：BE ＝EF.(1) 解：∵ PA 2＝PC·PD，PA ＝2，PC ＝1，∴ PD ＝4. 又PC ＝ED ＝1，∴ CE ＝2.∵ ∠PAC ＝∠CBA，∠PCA ＝∠CAB，∴ △PAC ∽△CBA ，∴ PC AC ＝ACAB ，∴ AC 2＝PC·AB＝2，∴ AC ＝ 2.(2) 证明：∵ BE＝AC ＝2，CE ＝2，而CE·ED＝BE·EF，∴ EF ＝2×12＝2，∴ EF＝BE.10. (2014·南京二模)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD·EC.证明：因为AE 为圆O 的切线，所以∠ABD＝∠CAE. 因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC＝∠ACD， 所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD∽△EAC.所以AD BD ＝ECCA，即AD·CA＝BD·EC.因为△ACD 为等边三角形， 所以AD ＝AC ＝CD ，所以CD 2＝BD·EC.11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是圆O 的割线，过点G 作AB 的垂线交AC 的延长线于点E 、交AD 的延长线于点F ，过G 作圆O 的切线，切点为H.求证：(1) C 、D 、F 、E 四点共圆；(2) GH 2＝GE·GF.证明：(1) 如图，连结BC.∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°. ∵ AG ⊥FG ，∴ ∠AGE ＝90°. 又∠EAG＝∠BAC， ∴ ∠ABC ＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴ ∠FDC ＝∠AEG. ∴ ∠FDC ＋∠CEF＝180°. ∴ C 、D 、F 、E 四点共圆．(2) ∵ GH 为圆O 的切线，GCD 为割线，∴ GH 2＝GC·GD.由C 、D 、F 、E 四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC ＝∠GDF，∴ △GCE ∽△GFD.∴ GC GF ＝GEGD ，即GC·GD＝GE·GF， ∴ GH 2＝GE·GF.。
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选修4－1 几何证明选讲第1课时 相似三角形的进一步认识(理科专用)1. 如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，求AB 的长．解：根据题意可以判断Rt △ABE ∽Rt △ECD ，则有AB BE ＝ECCD，可得AB ＝2.2. 如图，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝52，若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，求△ABC 的周长．解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得△ABC 的周长为25 cm.3. 在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，求DE ∶BC 的值．解：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得DE ∶BC ＝1∶2. 4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，正方形DEFG 的边长是6 cm ，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE ＝3 cm ，求BC 的长．解：∵ 四边形DEFG 是正方形，∴ ∠GDB ＝∠FEC ＝90°，GD ＝DE ＝EF ＝6 cm.∵ ∠B ＋∠C ＝90°，∠B ＋∠BGD ＝90°，∴ ∠C ＝∠BGD ，∴ △BGD ∽△FCE ，∴ BD EF ＝GDEC，即BD ＝EF·GDEC＝12 cm ，∴ BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝21 cm.5. 如图，在 ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O ，S △DOE ＝9 cm 2，求S △AOB .解：∵ 在 ABCD 中 ，AB ∥DE ，∴ △AOB ∽△EOD ，∴ S △AOB S △DOE ＝⎝⎛⎭⎫AB DE 2.∵ E 是CD 的中点，∴ DE ＝12CD ＝12AB ，则ABDE ＝2，∴ S △AOB S △DOE＝22＝4， ∴ S △AOB ＝4S △DOE ＝4×9＝36(cm)2.6. 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上中点，延长BA 到E ，使AE ＝13EB ，连结DE ，交AC 于F.求AF ∶FC 的值．解：过D 点作DP ∥AC(如图)，因为D 是BC 的中点，所以P 为AB 的中点，且DP ＝12AC.又AE ＝13EB ，所以AE ＝AP ，所以AF ＝12DP ＝14AC ，所以AF ∶FC ＝1∶3.7. 将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF.已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求BF 的长．解：设BF ＝x.若△CFB′∽△CBA ，则CF CB ＝B′F AB ，即4－x 4＝x 3.∴ 12－3x ＝4x ，∴ x ＝127. 若△CFB′∽△CAB ，则CF CA ＝B′FAB ，即4－x 3＝x 3，得x ＝2.即BF ＝2或127.8. 如图，在△ABC 中，D 是AC 中点，E 是BD 三等分点，AE 的延长线交BC 于F.求S △BEF S 四边形DEFC的值．解：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M.因为DM ∥AF ，所以BF BM ＝BE BD ＝13.因为EF ∥DM ，所以S △BEF S △BDM ＝19，即S △BDM ＝9S △BEF .又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114.9. 如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF ＝2DE ·AF.证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N. 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴ DN ＝12BF.∵ DN ∥AF ，∴ △AFE ∽△DNE. ∴ AE AF ＝DE DN.∵ DN ＝12BF ，∴ AE AF ＝2DEBF，即AE·BF ＝2DE·AF.10. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，CE ⊥BD ，交AD 于E ，连结BE ，交AC 于点F.求证：AF ＝FC.证明：取BC 的中点H ，连结AH. ∵ AB ＝AC ，∴ AH ⊥BC. ∵ CE ⊥BD ，∴ AH ∥EC. ∵ CD ＝BC ，∴ CD ＝2CH.则DE ＝2AE.取ED 的中点M ，连结CM.则ME ＝AE. ∵ C 为BD 的中点，∴ CM ∥BE. 则F 为AC 的中点，即AF ＝FC.11. 如图，AB 是圆O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA ，交BA 的延长线于点F.(1) 求证：∠DEA ＝∠DFA ；(2) 若∠EBA ＝30°，EF ＝3，EA ＝2AC ，求AF 的长．(1) 证明：连结AD 、BC. 因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝∠EFA ＝90°， 故A 、D 、E 、F 四点共圆， 所以∠DEA ＝∠DFA.(2) 解：在Rt △EFA 和Rt △BCA 中，∠EAF ＝∠CAB ，所以△EFA ∽△BCA ，故EA AB ＝AFAC.设AF ＝a ，又EF ＝3，∠EBA ＝30°，所以BF ＝3，则AB ＝3－a ，AE 2＝AF 2＋EF 2＝a 2＋3.所以a(3－a)＝12(3＋a 2)，解得a ＝1.所以AF 的长为1.第2课时 圆的进一步认识(理科专用)1. (2014·南京、盐城期末)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ，所以PB ＝r 2－OP 2＝32.因为PC·PD ＝PA·PB ＝PB 2＝34，由PC ＝98，得PD ＝23.2. 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，求CEEO的值．解：设圆的半径为R ，则AD ＝AB 3＝23R ，OD ＝R －23R ＝13R.又OD 2＝OE·OC ，所以OE＝OD 2OC ＝19R ，CE ＝R －19R ＝89R ，所以CE EO＝8.3. 如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D.若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，分别求PD 、AB 的值．解：由PD ∶DB ＝9∶16，可设PD ＝9x ，DB ＝16x. 因为PA 为圆O 的切线，所以PA 2＝PD·PB ，所以32＝9x·(9x ＋16x)，化为x 2＝125，所以x ＝15.所以PD ＝9x ＝95，PB ＝25x ＝5.因为AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，所以AB ⊥PA. 所以AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4. 4. (2014·苏北三市期末)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C ＝50°，求∠DEF 的度数．解：由圆D 与边AC 相切于点E ，得∠AED ＝90°.因为DF ⊥AF ，得∠AFD ＝90°，所以A 、D 、F 、E 四点共圆， 所以∠DEF ＝∠DAF.又∠ADF ＝∠ABD ＋∠BAD ＝12(∠ABC ＋∠BAC)＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C ，所以∠DEF ＝∠DAF ＝90°－∠ADF ＝12∠C.由∠C ＝50°，得∠DEF ＝25°.5. 自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 的中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP ＝∠MPB.证明：∵ PA 与圆相切于A ， ∴ MA 2＝MB·MC.又M 为PA 的中点，∴ PM ＝MA ，∴ PM 2＝MB·MC ，∴ PM MC ＝MBPM.∵ ∠BMP ＝∠PMC ，∴ △BMP ∽△PMC ，∴ ∠MCP ＝∠MPB. 6. (2014·镇江期末)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE ⊥AC.求证：AC ＝2OD.证明：∵ DE 是圆O 的切线，∴ OD ⊥DE. 又DE ⊥AC ，∴ OD ∥AC.∵ O 是AB 的中点，∴ OD 是△ABC 的中位线，∴ OD ＝12AC ，即AC ＝2OD.7. (2014·南京、盐城一模)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．(1) 证明：因为AE 与圆相切于点A ， 所以∠BAE ＝∠ACB.因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB. 所以∠ABC ＝∠BAE.所以AE ∥BC.因为BD ∥AC ， 所以四边形ACBE 为平行四边形．(2) 解：因为AE 与圆相切于点A ，所以AE 2＝EB·(EB ＋BD)，即62＝EB·(EB ＋5)，解得BE ＝4.根据(1)有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6.设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83.8. (2014·盐城二模)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．解：∵ AB 是圆O 的直径且BC ＝CD ，∴ AB ＝AD ＝10. 连结CO ，∵ EC 为圆O 的切线，∴ EC ⊥CO. 记H 是AD 与圆O 的交点，连结BH ，∴ EC ∥BH ，∴ HE ＝ED ＝3，∴ AH ＝4，∴ BD 2－62＝AB 2－42，∴ BD ＝230，∴ BC ＝30.9. 如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交CD 的延长线于点P ，PC ＝ED ＝1，PA ＝2.(1) 求AC 的长； (2) 求证：BE ＝EF.(1) 解：∵ PA 2＝PC·PD ，PA ＝2，PC ＝1，∴ PD ＝4. 又PC ＝ED ＝1，∴ CE ＝2.∵ ∠PAC ＝∠CBA ，∠PCA ＝∠CAB ，∴ △PAC ∽△CBA ，∴ PC AC ＝ACAB，∴ AC 2＝PC·AB ＝2，∴ AC ＝ 2.(2) 证明：∵ BE ＝AC ＝2，CE ＝2，而CE·ED ＝BE·EF ，∴ EF ＝2×12＝2，∴ EF ＝BE.10. (2014·南京二模)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD·EC.证明：因为AE 为圆O 的切线，所以∠ABD ＝∠CAE. 因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC ＝∠ACD ， 所以∠ADB ＝∠ECA ，所以△ABD ∽△EAC.所以AD BD ＝ECCA，即AD·CA ＝BD·EC.因为△ACD 为等边三角形， 所以AD ＝AC ＝CD ， 所以CD 2＝BD·EC.11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是圆O 的割线，过点G 作AB 的垂线交AC 的延长线于点E 、交AD 的延长线于点F ，过G 作圆O 的切线，切点为H.求证：(1) C 、D 、F 、E 四点共圆； (2) GH 2＝GE·GF.证明：(1) 如图，连结BC.∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°. ∵ AG ⊥FG ，∴ ∠AGE ＝90°. 又∠EAG ＝∠BAC ， ∴ ∠ABC ＝∠AEG.又∠FDC ＝∠ABC ，∴ ∠FDC ＝∠AEG . ∴ ∠FDC ＋∠CEF ＝180°. ∴ C 、D 、F 、E 四点共圆．(2) ∵ GH 为圆O 的切线，GCD 为割线， ∴ GH 2＝GC·GD.由C 、D 、F 、E 四点共圆，得∠GCE ＝∠AFE ，∠GEC ＝∠GDF ，∴ △GCE ∽△GFD.∴ GC GF ＝GE GD ，即GC·GD ＝GE·GF ，∴ GH 2＝GE·GF.。