2018高考数学一轮复习第7章立体几何初步第1节空间几何体的结构及其三视图和直观图课时分层训练文新人教A版

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2018-2019高三人教版A版数学理)高考一轮复习课件：第七章第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图

试题
解析
由于三视图可见部分用实线画出，不可见部分用虚线画出，故选 B.
知识点二
知识点三
知识点二
4．某几何体的三视图如图所示，根
知识点一
试题
据三视图可以判断这个几何体为 (C )
解析
知识点二
根据俯视图与侧视图，可得该几何体为三棱柱．
知识点三
A．圆锥 C．三棱柱
B．三棱锥 D．三棱台
知识点三
知识点二
B．棱锥的侧棱长都相等 C．三棱台的上、下底面是相似
知识点三
三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等
知识点一
知识点一
试题
2．如图，在球中被平面所截面的截面小圆的半径为
解析
由条件知 r＝2， R ＝3， ∴ r2＋d2＝ R2，∴ d ＝ R2－r2＝ 5.
知识点二
2，球心半径为 3，则球心到截面圆心距离为
正左正上方观察几何体的正投影图． ____方、_____
知识点二
知识点一
易误提醒
(1)画三视图时，能看见的线和棱用实线表
知识点二
示，不能看见的线和棱用虚线表示． (2)一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．
知识点三
知识点二
知识点一
[自测练习]
3． (2016· 深圳调研)用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( B )
知识点一
空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是 1．原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′
知识点二
或 135° 轴的夹角为 45° ， z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直．

2018年高考数学一轮复习：空间几何体的结构及其三视图和直观图(讲)

空间几何体的结构及其三视图和直观图【知识清单】1．空间几何体的结构特征一、多面体的结构特征二、旋转体的形成三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．对点练习：有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A2空间几何体的直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．对点练习：【2017年福建省数学基地校高三复习试卷】一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为( )【答案】D3.空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．对点练习：【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）（B）（C）（D）2【答案】B【解析】【考点深度剖析】三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征．【重点难点突破】考点1：空间几何体的结构特征【1-1】如图几何体中是棱柱的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【1-2】下列命题中正确的有__________．①有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；②存在一个四个侧面都是直角三角形的四棱锥；③如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形；④圆台的任意两条母线所在直线必相交；【答案】②④【解析】①不正确，因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后交与一点．②如右图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故②正确；③如图所示的棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面不是矩形；故③错误④根据圆台的定义和性质可知，命题④正确．所以答案为②④ 【领悟技法】系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．【触类旁通】【变式1】一个棱柱是正四棱柱的条件是( )． A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C ．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直 D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱【答案】C【解析】 A ，B 两选项中侧棱与底面不一定垂直，D 选项中底面四边形不一定为正方形，故选C.【变式2】【2018届云南省名校月考一】已知长方体1111ABCD A BC D 的所有顶点在同一个球面上，若球心到过A 点的三条棱所在直线的距离分别是__________．考点2 空间几何体的直观图【2-1】利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________(写出所有正确的序号)． ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．【答案】①②④【解析】①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．【2-2】在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中，四边形ABCO 为________，面积为________ cm 2.【答案】矩形8【领悟技法】按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图原图形，S 原图形＝直观图．【触类旁通】【变式1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A．2B. 12C. 22+ D．1【答案】A【解析】由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为1+1, 1+2的直角梯形．所以面积S ＝12(12故选A.【变式2】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形【答案】C【解析】将直观图还原得▱OABC，如图，∵O′D′＝2O′C′＝2 2 (cm)，OD＝2O′D′＝4 2 (cm)，C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)，OC ＝CD2＋OD2＝22＋422＝6 (cm)，OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC，故原图形为菱形．综合点评：解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.考点3 空间几何体的三视图【3-1】【2018届河南省新乡市第一中学高三8月月考】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）【答案】B【3-2】【江西卷】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )【答案】 (1)D (2)D【解析】 (1)球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A 和C.对于如图所示三棱锥OABC,当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.(2)如图所示，点D 1的投影为C 1，点D 的投影为C ，点A 的投影为B ，故选D.【3-3】【2018届广东省广州市海珠区高三综合测试一】如图，点,M N 分别是正方体1111ABCD A BC D 的棱1111,A B A D 的中点，用过点,,A M N 和点1,,D N C 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（）A. ①③④B. ②④③C. ①②③D. ②③④【答案】D【领悟技法】三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．【触类旁通】【变式1】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )【答案】C【变式2】如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )．【答案】D【变式3】【武汉市部分学校2016 届高三调研】）一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为（．．．．．）．①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.中的A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】B【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.综合点评：三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【易错试题常警惕】易错典例：一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．【错解】①②⑤【错因】忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.【正解】①三棱锥的主视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其主视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的主视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其主视图都不可能是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其主视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其主视图也不可能是三角形．故正确答案为①②③⑤.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例】【2017届河北省石家庄市二模】如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几ABB A为何体，截面与底面所成的角为45 ，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形'' AA将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（）矩形，若沿'A. B. C.D.【答案】A。

高考数学一轮总复习第7章立体几何第1节空间几何体的结构特征及三视图与直观图课件理新人教版

B．直角三角形 D．钝角三角形
解析
3．(教材习题改编)如图，长方体 ABCD -A′B′C′D′被截去一部分，其中 EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是______．答案：五棱柱三棱柱
1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．
2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同． 3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交
线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．
[小题纠偏] 1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体
如图所示，则该几何体的侧视图为 ( )
解析
2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图
第七章立体几何
第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图
1．简单几何体 (1)简单旋转体的结构特征： ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到； ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到； ③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕_上__下__底__中__点__连_
_线__旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到； ④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．
1．(2016·贵州七校联考)如图所示，四面体 ABCD 的四个
顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助
作用)，则四面体 ABCD 的三视图是(用①②③④⑤⑥
代表图形)
()
A．①②⑥ C．④⑤⑥
B．①②③
D．③④⑤
解析
2．(2015·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最
长棱的棱长为
则该几何体的正视图(主视图)是
()
解析
2．(2016·南昌一模)如图，在正四棱柱 ABCD -A1B1C1D1 中，

高考数学一轮总复习第七章第1节空间几何体的结构、三视图和直观图课件

第七章立体几何与空间向量
第1节空间几何体的结构、三视图和直观图
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体
模型，会用斜二测法画出它们的直观图． 3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．
[解析] ①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．
[解析] 选C 图是C.
[答案] C
长方体的侧面与底面垂直，所以俯视
3．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是( )
[解析] 通过观察图形，三棱锥的主视图应为高为4，底面边长为3的直角三角形．
[答案] B
4. 利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是_____．(写出所有正确的序号)
[答案] ①②④
5. 一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥ 圆柱．
[解析] ①存在可以得主视图为三角形的情况；②四棱锥，若底面是矩形，有一侧棱垂直于底面可以得主视图为三角形；③三棱柱，把侧面水平放置，正对着底面看，得主视图为三角形；④四棱柱，不论从哪个方向看都得不出三角形；⑤圆锥的底面水平放置，主视图是三角形；⑥圆柱从不同方向看是矩形或圆，不可能是三角形．

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第七章立体几何 7.1 精品

2.(必修2P19练习T3改编)利用斜二测画法得到的:
①三角形的直观图一定是三角形;
②正方形的直观图一定是菱形;
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;
④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的个数是
.
【解析】由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平行四边形;③错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,④也错误. 答案:1
2.已知三视图,判断几何体的技巧 (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉. (2)明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还原为直观图. (3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则. 易错提醒:对于简单组合体的三视图,应注意它们的交线的位置,区分好实线和虚线的不同.
【题组通关】
1.(2016·临沂模拟)某几何体的三视图如图所示,那么
2.给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;
③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确命题的序号是 ( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.③
【解析】选D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质
2
4
在图②中作C′ OC 6 a.
2
8
所以S△A′B′C′=
1 AB CD 1 a 6 a 6 a2.
2
2 8 16
(2)选C.如图,在原图形OABC中, 应有OD=2O′D′=2 2 2 (4cm2 ), CD=C′D′=2cm,
所以OC= OD2 CD2 4 2 2 所22以O6Acm=O, C,
球

【推荐精选】2018届高考数学一轮复习第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图学案

第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图1.能画出柱、锥、台、球等简易组合体的三视图，并能识别三视图所表示的立体模型．会用斜二测画法画出它们的直观图．2．了解平行投影与中心投影，了解空间图形的不同表示形式．知识点一空间几何体的结构特征1．多面体(1)棱柱的侧棱都________，上下底面是______且______的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．(3)棱台可由________________的平面截棱锥得到，其上下底面是________且______的多边形．2．旋转体(1)圆柱可以由______绕其任一边旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由______于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕____________旋转得到．答案1．(1)互相平行互相平行全等(2)公共顶点(3)平行于棱锥底面相互平行相似2．(1)矩形(2)一条直角边所在直线(3)平行(4)直径所在直线1．下列说法正确的是( )A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点解析：A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．答案：B2．下图所示的几何体中，是棱柱的为________(填写所有正确的序号)．解析：根据棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱．答案：③⑤知识点二空间几何体的三视图1．三视图的名称几何体的三视图包括________、________、________.2．三视图的画法(1)画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的______方、______方、______方观察几何体得到的正投影图．答案1．正视图侧视图俯视图2．(2)正前正左正上3．(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )解析：由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.答案：B4．如图所示，图①②③是图④所示的几何体的三视图，若图①是正视图，则图②是________，图③是________．解析：根据三视图的概念知图②是侧视图，图③是俯视图．答案：侧视图俯视图知识点三空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是：1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为____，z′轴与x′轴和y′轴所在平面______．2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别____________．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段在直观图中长度变为__________．答案斜二测 1.45°或135°垂直2．平行于坐标轴不变原来的一半5．用斜二测画法画一个水平放置的水平图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )解析：由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长度为2 2.答案：A热点一空间几何体的结构特征【例1】给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．【答案】②③④⑤给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．答案：A热点二空间几何体的三视图考向1 由直观图判断三视图【例2】(2017·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤【解析】正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.【答案】 B考向2 由三视图还原直观图【例3】 (2016·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A .16B .13C .12D ．1【解析】由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A －BCD ，将其放在长方体中如图所示，其中BD ＝CD ＝1，CD⊥BD，三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为13×12×1×1×1＝16.故选A .【答案】 A考向3 由部分视图确定剩余视图【例4】已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB ＝AC ，四边形BCDE 为矩形，则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上)．【解析】直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为①；直观图如图2的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为②；直观图如图3的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为③；直观图如图4的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为④.【答案】 ①②③④(1)(2017·南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为( )A．B．C．D．(2)(2017·汕头模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )(3)(2016·四川卷)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：(1)根据题意，三棱锥P －BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为(2)A ，B ，D 选项满足三视图作法规则，C 不满足三视图作法规则中的宽相等，故C 不可能是该锥体的俯视图．(3)由正视图知，底面三角形是腰长为2，底边为23的等腰三角形，三棱锥的高为1，所以该三棱锥的体积V ＝13×(12×23×1)×1＝33.答案：(1)A (2)C (3)33热点三空间几何体的直观图【例5】如图所示，四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．【解】根据斜二测直观图画法规则可知该平面图形是直角梯形，且AB ＝6，CD ＝4保持不变．由于C′B′＝2A′D′＝2 2.所以CB ＝4 2. 故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.已知平面△ABC 的直观图A′B′C′是边长为a 的正三角形，求原△ABC 的面积．解：如图所示，△A′B′C′是边长为a 的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则D′到x′轴的距离为32a ，∵∠D′A′B′ ＝45°，∴A′D′＝62a ，由斜二测画法的法则知，在△ABC 中，AB ＝A′B′＝a ，AB 边上的高是A′D′的二倍，即为6a ，∴S △ABC ＝12a·6a ＝62a 2.1．对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大．2．在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线．并做到“长对正、高平齐、宽相等”．3．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图．提升空间想象能力．找出三视图中扰人的最大值关于三视图，主要有两种考查形式：一是根据给定几何体判断或补画视图，二是由三视图想象出原几何体，进而计算它的面积或体积．而在考查第二种形式时会发现，有一种和求最大值相关的题型，尤其是最大面的面积问题，学生容易理解不到位，感到比较棘手，因此本文对此类问题作详细分析，以便让学生透彻理解这扰人的最大值，使得这类问题的解答变得简单流畅．【例1】某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中，最大的是( )A．2 5 B．2 6C．27 D．4 2【解析】由三视图可知该四面体为三棱锥V －ABC ，如图，其中EC ＝CB ＝2，AE ＝23，VC ＝2，AE⊥BE，VC⊥平面ABE ，所以六条棱中，最大的棱为VA 或者AB.AC 2＝AE 2＋EC 2＝(23)2＋22＝16，所以VA 2＝AC 2＋VC 2＝16＋22＝20，此时VA ＝20＝25，AB 2＝AE 2＋EB 2＝(23)2＋42＝28，所以AB ＝28＝27>25，所以棱长最大的为27，选C .【答案】 C解题策略：立体几何中的大量问题均以棱锥为背景，其中出现最频繁的莫过于三棱锥，此题只要将三视图还原为三棱锥，利用垂直关系，理清位置和数量关系，由勾股定理可得到答案．【例2】一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是( )A ．2B ．2 2C . 3D ．2 3【解析】将该几何体放入边长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，由三视图可知该四面体为D －BD 1C 1，由直观图可知，最大的面为等边三角形BDC 1.在等边三角形BDC 1中，BD ＝22，所以△BDC 1的面积S ＝12×(22)2×32＝23，选D .【答案】 D解题策略：由于正方体本身就是一个完美的对称体，比较容易观察和了解到它基本的图形性质，棱柱、平行六面体等几何体一般都可看作是正方体演化而来的．立体几何中的所有点、线、面之间的相互位置关系都可以在正方体中找到，所以当找不到模型时不妨回到正方体中找找看，且它在高考立体几何题中也是大量问题的背景．本题考查将三视图还原为几何体，线面垂直关系，将几何体放入正方体中是解题的关键，考查了空间想象能力和转化能力．【例3】某几何体的三视图如图所示，当a ＋b 取最大值时，这个几何体的体积为( )A .16B .13C .23D .12【解析】该几何体是长方体的一部分，如图所示，可知AC ＝6，BD ＝1，BC ＝b ，AB ＝a.设CD ＝x ，AD ＝y ，则x 2＋y 2＝6，x 2＋1＝b 2，y 2＋1＝a 2，消去x 2，y 2得a 2＋b 2＝8≥＋22，所以a ＋b≤4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，此时x ＝3，y ＝3，所以V ＝13×12×1×3×3＝12.故选D . 【答案】 D解题策略：本题主要考查三视图，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图的视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题．本题与基本不等式相结合，扩大了试题考查的覆盖面．。

[推荐学习]2018版高考数学一轮总复习第7章立体几何7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图模拟演

2018版高考数学一轮总复习第7章立体几何 7.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图模拟演练理[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·云南玉溪模拟]将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )答案 D解析根据几何体的结构特征进行分析即可．2．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )答案 A解析该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为选项A 中的图． 3．[2017·沈阳模拟]一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )答案 C解析若俯视图为选项C ，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高32，所以俯视图不可能是选项C.4．[2014·全国卷Ⅰ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A．6 2 B．6C．4 2 D．4答案B解析如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝22＋22＝6，选B.5．[2017·临沂模拟]如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( )答案 C解析由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD 在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直，故选C.6．如图，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为________．解析将直观图还原为平面图形，如图．可知还原后的图形中，OB ＝22，AB ＝12＋22＝3，于是周长为2×3＋2×1＝8(cm)．7．[2016·四川高考]已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案33解析在长方体(长为23，宽、高均为1)中作出此三棱锥，如图所示，则V P－ABC＝13×12×23×1×1＝33.8．一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是________．答案2 3解析由三视图可知该四面体为D －BD 1C 1，由直观图可知，面积最大的面为△BDC 1.在正三角形BDC 1中，BD ＝22，所以面积S ＝12×(22)2×32＝2 3.9．[2017·贵州模拟]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA .解(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA ＝PD2＋AD2＝22＋62＝63(cm)．10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积，由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥的两个侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，取BC 的中点E ，连接OE ，VE ，则△VOE 为直角三角形，VE 为△VBC 边上的高，VE ＝VO 2＋OE 2＝4 2.同理侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5.∴S 侧＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. [B 级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·湖南模拟]正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点(如图)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )答案 C解析过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C.12．[2017·河北石家庄质检]一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )答案 D解析由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD ，故选D. 13.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为________．答案 24 2 解析解法一：由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC 的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′， ∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2.解法二：由题意知，S 直观图＝6×2＝12，所以S 原图形＝22S 直观图＝24 2.14．[2017·大连模拟]如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．解 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图，如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，则AD ＝3a ，所以该平面图形(侧视图)的面积为S ＝12×3a ×3a ＝32a 2.。

高考数学一轮复习第7章立体几何7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图课件文

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4．(2018·济宁模拟)点 M，N 分别是正方体 ABCD－ A1B1C1D1 的棱 A1B1，A1D1 的中点，用过 A，M，N 和 D，N， C1 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图 1，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图 2 中的 ()
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经典(jīngdiǎn)题型冲关
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题型 1 空间几何体的结构特征典例下列结论正确的个数是__0__个____． (1)有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； (3)有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
第7章立体几何(lìtǐjǐhé)
7.1 空间(kōngjiān)几何体的结构及其三视图和直观图
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基础知识过关(guò〃 guān)
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[知识梳理] 1．多面体的结构特征
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2．旋转体的结构特征
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3．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则 ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′ 轴与 y′轴的夹角为 45°(或 135°)，z′轴与 x′轴(或 y′轴) 垂直．
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冲关针对训练 (2017·文登市三模)空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为( )
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解析由已知三视图的上部分是锥体，是三棱锥，三棱锥的底面是等腰三角形，但不是直角三角形，排除 B， C.等腰三角形的一个顶点在正方体一条棱的中点，故排除 D.故选 A.

2018年高考数学理一轮复习文档第七章立体几何第1讲

第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．1．辨明三个易误点(1)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要强调截面与底面平行．(2)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．(3)几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．2．由三视图还原几何体的方法3．用斜二测画法画直观图(1)一般在已知原图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．(2)一定要注意在原图形中与y轴平行的线段的长度在直观图中变为原来的一半，在由直观图还原时，与y′轴平行的线段的长度要变为原来的二倍．在斜二测画法中，真实图形的面积和直观图的面积之比是22∶1.1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥C．球D．圆柱、圆锥、球的组合体C 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等B 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )B 根据选项A、B、C、D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．4.教材习题改编若某几何体的三视图如图所示，则该几何体为________．四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体5.在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.矩形8空间几何体的结构特征(1)下列说法正确的是( )A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．(2)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．【答案】(1)B (2)B判定与空间几何体结构特征有关命题的方法(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误的命题的序号是________．认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．①②③④空间几何体的三视图(高频考点)空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题．高考对三视图的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据几何体的结构特征确认其三视图；(2)根据三视图还原直观图；(3)由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图．(1)(2015·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B． 2C. 3 D．2(2)(2017·东北四市联考(二))如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥PA1B1A的侧视图为( )【解析】(1)根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD．连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.(2)如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥PA1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D．【答案】(1)C (2)D三视图问题的常见类型及解题策略(1)已知几何体，识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找到各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．(2)已知三视图，判断几何体的技巧①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．②明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．③遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．角度一根据几何体的结构特征确认其三视图1．(2017·沈阳市教学质量监测(一))“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )B 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B．角度二根据三视图还原直观图2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台A 因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥形，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥．角度三由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图3.(2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )B 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.空间几何体的直观图如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形【解析】如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2 cm，所以OC＝OD2＋CD2＝（42）2＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形，因此选C.【答案】 C若本例中直观图为如图所示的一个边长为1 cm的正方形，则原图形的周长是多少？将直观图还原为平面图形，如图．可知还原后的图形中OB＝22，AB＝12＋（22）2＝3，于是周长为2×3＋2×1＝8(cm)．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．直观图的面积S ′＝12×(1＋1＋2)×22＝2＋12.故原平面图形的面积S ＝S ′24＝2＋ 2.2＋ 2——忽视三视图中的虚实线而致误将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )【解析】侧视图中能够看到线段AD 1，应画为实线，而看不到B 1C ，应画为虚线．由于AD 1与B 1C 不平行，投影为相交线，故应选B ．【答案】 B(1)因对三视图的含义认识不到位，区分不清选项A 和B ，而易误选A ；(2)因对三视图的画法要求不明而误选C 或D ．在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线用虚线画；(3)解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图．(2017·河北省五校联盟质量检测)某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是( )A ．2B ．2 2C. 3 D．2 3D 在正方体ABCDA1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1BCB1，如图所示，其四个面的面积分别为2，22，22，23，故选D．1．(2017·沈阳质检)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为( )A．三棱台B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥B 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示．这是一个三棱柱．2.如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是ADB 由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.3．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是( )A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上B 因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A 、C 正确，且在它的高所在的直线上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D 正确，B 不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．4．(2017·山西省四校联考)如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5A 根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，所以几何体的体积V ＝3×2×1＋13×3×2×x ＝10，解得x ＝2.5．(2017·山西省考前质量检测)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )A.152B ．6＋ 3 C.32＋3 3 D ．4 3A 侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为3，宽为2，面积为3×2＝6.等腰三角形的底边为3，高为3，其面积为12×3×3＝32，所以侧视图的面积为6＋32＝152.6．(2017·海口市调研测试)一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为( )A.33 B．17C.41 D．42C 依题意，题中的几何体是四棱锥EABB1A1，如图所示(其中ABCDA1B1C1D1是棱长为4的正方体，C1E＝1)，EA＝32＋42＋42＝41，EA1＝12＋42＋42＝33，EB＝32＋42＝5，EB1＝12＋42＝17，AB＝BB1＝B1A1＝A1A＝4，因此该几何体的最长棱的棱长为41，选C.7．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________．由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝24S＝52(cm2)．5 2 cm28．如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是________．过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．两个圆锥的组合体9．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．210.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．由正三棱柱的特征及侧(左)视图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正(主)视图的面积为2 3.2 311.如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2 cm.由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝（62）2＋62＝6 3 (cm)．12．如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥VABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求△AEF周长的最小值．如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，则线段AA 1的长即为所求△AEF 的周长的最小值．取AA 1的中点D ，连接VD ，则VD ⊥AA 1，∠AVD ＝60°. 在Rt△VAD 中，AD ＝VA ·sin 60°＝3，所以AA 1＝2AD ＝6，即△AEF 周长的最小值为6.13．(2017·石家庄市教学质量检测(二))一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )D 分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD ，故选D ．14.如图，三棱锥V ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积为________．设三棱锥V ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 的边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧(左)视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高组成的直角三角形，其面积为12×32a ×h ＝12×32×43＝33.3315．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积． (1)正六棱锥． (2)其侧视图如图：其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，所以该平面图形的面积S ＝12·3a ·3a ＝32a 2.16．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．(1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．。

2018高考数学(文理通用版)一轮复习课件：第七章立体几何第1讲

• A．0 B．1 • C．2 D．3 • [解析] (1)(2)(3)(5)不正确，(4)正确，故选 B．
2．(2016· 天津，5 分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左) 视图为导学号 30071968 (
B
)
• [解析] 由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B ．
• 知识点二空间几何体的三视图 • 空间几何体的三视图是用正投影得到的，完全相同这种投影下与投影面平行的平面图形留下主(正)视图左(侧)视图俯视图的影子与平面图形的形状和大小是 _________的，三视图包括__________、 ___________、________．
• 知识点三空间几何体的直观图斜二测 • 空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是：垂直 • 1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直平行于观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°) 不变，z′轴与x′轴、y′轴所在平面 ______．原来的一半 • 2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________坐标轴．平行于y轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度_____，平行于x轴的线段长度在直观图中变为 _____________．
1．下列结论正确的个数为导学号 30071967 (
B
)
(1)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱． (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． (3)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台． (4)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面． (5)在用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且∠A＝90° ，则在直观图中∠A＝45° .

2018高考数学文科一轮复习讲义 3.1 第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图

第三板块必修2 第一章空间几何体第二章点、直线、平面之间的位置关系【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:新课标高考立体几何的客观题考查的主要内容是空间点、线、面的位置关系、三视图与直观图、空间几何体的表面积与体积,考查了考生通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的基本方法, 用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，对一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；解答题主要考查空间几何体的点线面位置关系的证明及空间角度与距离问题的求解,培养和发展考生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力, 感受、体会从整体到局部、从具体到抽象，由浅入深、由表及里、由粗到细等人类认识事物的一般科学方法.命题趋向:本部分主要考查分解与组合、转化与化归的思想方法，以及逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力.本部分主要从以下几个方面考查,1.空间位置关系的论证.这类问题应熟练掌握公理、定理、定义或用空间向量来论证，位置关系的论证要注意其间的转化．如线面平行可转化为线线平行等,通过一题多解，把所学知识真正学活、会用．2.最值问题.求解立体几何最值问题主要应用代数中有关函数知识和不等式有关知识求解.解题的关键是恰当引人参变量〔一元或二元），建立目标函数，然后由表达式的特点求最值与组合体有关的几何体的表面积、体积的最大值和最小值，以及取得最值时有关空间元素的位置、大小等.这一类问题有时可能转化到平面内，运用平面几何中的极值方法处理，有时还需综合运用一些其他的代数方法来求解.3.综合性问题立体几何综合题常以多面体、旋转体为载体，融直线与平面的位置关系于几何体之中，考查侧重于基本线面关系、多面体、旋转体的图形与性质同时结合逻辑思维能力和运算能力的综合考查.但新课程中特别关注空间几何与生产实践的相结合，关注对考生动手能力的考查而且横向可与平面几何、解析几何、代数、三角等问题综合，互为补充，相互渗透求解综合题，需要在数学思想方法的指导下，沟通知识的联系，善于进行问题转,广泛联想与类比.状元心得:1.运用运动变化的观点去认识棱柱、棱锥、棱台等的辩证关系,认识几何体的重要特点.2.一般有如下一些途径求最值：①“选变量，寻定值”，运用不等式最值定理；②运用立体几何的有关定义求最值；③运用对称变换求最值；④运用三角函数的有界性求最值；⑤运用一元二次方程的判别式求最值；⑥运用一元二次函数求最值.立体几何中空间距离、截面面积的最大值或最小值，3.在学习中,要激发好奇心和求知欲,要发现和提出问题,善于独立思考和钻研问题,创造性地解决问题.运用立体几何知识选择课题进行探究,有助于深化所学知识,解决实际问题,培养创新意识和实践能力.学科知识体系结构图:第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图【考点点知】知己知彼，百战不殆三视图和直观图是认知几何体的基本内容，重点是物体的三视图和直观图的关系，高考对三视图与直观图的考查主要有两个方面：一是考三视图与直观图的基本知识和基本的视图能力；二是根据三视图与直观图进行简单的计算，常以选择、填空题的形式出现．难度不大，却是高考的热点内容，一定要引起足够的重视．考点一:棱柱、棱锥和棱台1.一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱.平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面,多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面.2.当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到几何体叫做棱锥.3.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个几何体,一个仍然叫棱锥,另一个我们称之为棱台. 即棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分.考点二:圆柱、圆锥、圆台和球1.将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆柱;将直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥;将直角梯形绕着它的垂直与底面的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆台;这条直线叫做轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面.无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线.轴被两底面截的线段叫做高2.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球.半圆弧旋转而成的曲面叫做球面. 半圆的圆心叫做球的球心,半圆的直径叫做球的直径,半圆的半径叫做球的半径.3.一般地,一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体. 这条定直线叫做轴，过轴的平面截几何体得到的截面叫做轴截面.这条平面曲线旋转而成的曲面叫做旋转面，无论旋转到什么位置，这条平面曲线叫做母线.4.除了柱、锥、台、球等基本几何体外,还有大量的几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的.这些几何体叫做组合体.考点三: 中心投影和平行投影1.投影是投射线(光线)通过物体,向选定的面(投影面)投射,在该面上得到的图形的方法.(1)投影线均通过投影中心的投影法称为中心投影法.其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.(2)投影线相互平行的投影法称为平行投影法.其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜投影法；投影线垂直于投影面叫平行正投影法简称正投影法(3)平行投影或中心投影的本质区别在于:①平行投影的投射线都互相平行,中心投影的投射线是由同一个点发出的.②平行投影对物体投影后得到的是与物体等大小、等形状的投影;中心投影对物体投影后得到的是比原物体大的、形状与原物体的正投影相似的投影.③中心投影与平行投影在日常生活中的应用非常广泛,工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样.中心投影法，它与照相成影的原理相似，但它不能直接反映物体真实的几何形状和大小,由于采用中心投影法，空间平行的直线，投影后就不平行了.而平行投影法的却能保持这一特征,因而平行投影,尤其是正投影更易于研究物体的几何特征.考点四: 三视图的概念光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图,自上向下的称为俯视图,自左向右的称为左视图,用这三种视图刻画空间物体的结构，我们称之为三视图.学习三视图时应注意：(1)选取三个两两垂直的平面作为投射面,一个水平放置,叫做水平投射面,投射到这个平面内的图形叫做俯视图.俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；(2)一个投射面放置在正前方,这个投射面叫做直立投射面,投射到这个平面内的图形叫主视图. 主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； (3)和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面,通常把这个平面放在直立投影面的右面,投射到这个平面内的图形叫做左视图. 左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度;(4)将空间图形向这三个平面作正投影,然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内,这样构成的图形叫做空间图形的三视图.考点五: 直观图.1.直观图按平行投影法,把空间图形在纸上画得既富有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系（主要是长、宽、高三个方面）,我们把这种投影图叫做直观图.2.斜二侧画法：(1)在已知图形中建立直角坐标系xoy ，画直观图时，它们分别对应x'轴和y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'o'y'=45°，它们确定的平面表示水平平面.(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图形中分别画成平行于x'轴和y'轴的线段.(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度为原来的12. 3.画立体图形的直观图时,主要有下面几个步骤: (1)画底面，这时使用斜二测画法即可.(2)画Z'轴，Z'轴过O'点，且与x'轴夹角为90°，并画高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图.(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007山东卷理科3文科3)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④ 思路透析:①正方体的三个三视图均为正方形;②圆锥的三个三视图有两个为等腰三角形,一个为圆(含圆心);③三棱台的三视图有两个为梯形,一个为三角形内含一个相似三角形的多边形; ④正四棱锥的三视图有两个为等腰三角形,一个为正方形(含对角线), 综上可得②圆锥④正四棱锥的两个视图相同, 故应选D.点评:考生将三棱台的三视图与中心投影的概念相混淆,将三棱台也看作为两个正方形与正方体的三视图相同而误选 B.解三视图问题中要注意使用的投影是平行投影,不能将原①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥PD有的几何体“变形”而得“图”例2.(基础·2006江西文)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是（）Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上思路透析:如右图所示,等腰四棱锥的侧棱均相等,其侧棱在底面的射影也相等,则其腰与底面所成角相等,即A正确;底面四边形必有一个外接圆,即C正确;在高线上可以找到一个点O,使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等,这个点即为外接球的球心,即D正确;但四棱锥的侧成与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立).故仅命题B为假命题,应选B.点评:利用四棱锥的概念及平面几何知识加以一一判断即可得结论.本题考查了新定义概念中四棱锥的几何性质的探究.考查了考生的空间想象能力及分析问题与解决问题的能力.例3.(综合·2007宁夏卷理科8文科8)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）Ａ．34000cm3Ｂ．38000cm3Ｃ．32000cmＤ．34000cm思路透析:由几何体的三视图可作出该几何体的直观图如右图所示,该几何体为四棱锥P-ABCD, 其底面ABCD是边长为20cm的正方形,高PO=20cm,∴21180002020333P ABCD ABCDV S PO-=⋅=⨯⨯=,故应选B.点评:本题考查了通过三视图回塑对应实物（或几何体）的形状,并求该几何体的体积,考查了考生空间想象能力及空间.很多考生不能够准确定位该三视图所对应的几何体,将四棱锥的高线的位置放置错误,导致求解不正确.通过三视图想象对应的几何体的形状，通常从俯视图下手分析，灵活使用“长对正、高平齐、宽相等”,只有确立俯视图中每个位置及数量关系，几何体的形状自然就确定了.例4.(综合·2007佛山模拟)由一些大小相同的小正方体组成简单几何体的正视图和俯视图如图所示.(Ⅰ)请你画出这个几何体的左视图；(Ⅱ)若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值.思路透析:在俯视图上根据正视图填上符合条件的每个位置小正方形的块数，情况如下：根据这15种情况可以画出左视图共有5种情况，同时也可以确定相应几何体所需的小正方体的块数.（Ⅰ）左视图共有5种情况：图（1）（6）（11）的左视图如图1所示; 图（2）（3）（7）（12）（13）的左视图如图2所示; 图（4）（5）（9）（10）（14）的左视图如图3所示．图（8）的左视图如图4所示; 图（15）的左视图如图5所示.正视图俯视图（1）（2）（3）（4）（5）（7）（8）（6）（9）（12）（11）（10）（13）（14）（15）图1 图2 图3 图4 图5ABCG A 1 B 1 C 1EFM NABCG A 1 B 1C 1EFM NP Q （Ⅱ）（1）中n=11（2）中n=10（3）中n=9（4）中n=10（5）中n=9（6）中n=10（7）中n=9（8）中n=8（9）中n=9（10）中n=8（11）中n=10（12）中n=9（13）中n=8（14）中n=9（15）中n=8,所以n 的值为8、9、10、11.点评:本题中可以看出,物体的准确定位,三视图是一个必要的条件,缺少其中的一个,则出现实物出现的可能情形就非常得多.这种在学习的过程中不断通过反思,体会通过图形位置及其变换来认识图形的思维方法,可以真正体会立体图形和平面图形间的转化关系,渗透应用数学的意识.例5.(创新探究·2007黄冈模)已知圆锥的底面半径为r,高为h,正方体ABCD-A 1B I C l D 1内接于圆锥,则这个正方体的棱长为 ..思路透析:如图所示, 过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示，设圆锥内接正方体的棱长为x ,则在轴截面中,正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x .∵11VAC ∆∽VMN ∆ ,1h xx h h-==-, 22rh rx =-, ∴x =点评:由于正方体中只有惟一的基本量一一棱长,建立其方程之后便可求解,要建立方程就要和圆锥的基本量建立联系,这样就需要借助于轴截面来发现这种联系,从而使问题得解.圆柱、圆锥和圆台的轴截面有无数个,作图时要注意：选取那一个最合适;明确已知量和未知量的关系,适当的设出未知数，利用方程来解决.例6.(创新探究·2007全国Ⅰ理,16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为__________.思路透析:解法一:如右图所示, EFG ∆为直角三角形, 由题意可知FE ⊥GE, 取斜边FG 的中点M,AB边中点N,连结ME 、MN 、NC, 则22FG ME NC ==,∵ABC ∆是边长为2的等边三角形, ∴NC =∴FG =解法二:如右图所示, EFG ∆为直角三角形, FG 为斜边,且FE ⊥GE,过点E作EP//AC 、EQ//BC,连结PQ, 过点G 作GM//AB, 设FG=x , 则2EG x =, PF QG ===FM =,∵2FM PF =,=解之得x FG ==点评:以棱柱为载体考查线面关系或进行有关计算，是高考中常见题型.解题关键是结合图形，准确把握棱柱的性质.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:①三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓的正投影围成的平面图形.任意一个物体的长、宽、高,一般指的是物体占有空间的左右、前后、上下的最大距离.②一个物体的三视图的排列规则．．．．．．．．是,俯视图放在主视图的下面,长度与主视图一样,左视图放在主视图的右面,高度与主视图一样,宽度与俯视图的宽度一样.为了便于记忆,通常说:“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”.③画三视图时应注意：被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；Φ表示直径，R表示半径；单位不注明时按mm计.④对于简单的几何体,如一块砖,向两个互相垂直的平面作正投影,就能真实地反映它的大小和形状.一般只画出它的主视图和俯视图(二视图).对于复杂的几何体,三视图可能还不足以反映它的大小和形状,还需要更多的投射平面.(4)关于斜二侧画法注意以下几点：①斜二侧画法是一个画水平放置的平面图形的直观图方法，画图时，直角坐标系xoy 是原图所处的平面内的一个坐标系，而x'o'y'是水平放置的平面中的一个坐标系，它们分处两个不同平面．在建立直角坐标系x'o'y'时，也可以使∠x'o'y'=135°，其它的规则一样，这样所画出的直观图效果也一样.②原图中在x,y轴上的线段，在直观图依然在x',y'轴上．③原图中不平行坐标轴的线段可以通过作平行坐标轴的线段来完成作图.2.学以致用:(1)下列几何体中是棱台的有( )个.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个(2)如图示最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截得的图形可能是( )45，(3)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为0腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A 22+B221+ C 222+ D 21+ (4)判断正误：（对的打√，错的打×）①半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球（） ②到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球（） ③经过球面上不同的两点只能作一个大圆（） ④球面和球是同一个概念（）答案:(1)A 解析:由棱柱、棱锥和棱台的结构特征,①③④符合棱柱的结构特征; ⑥符合棱锥的结构特征; ②是一个三棱柱被截去了一段; ⑤符合棱台的结构特征, 故应选A .(2)D 解析:截面(2)(3)的外轮廓是整个的矩形，所以是错的.故排除A 、B;截面（4）圆锥的轮廓是抛物线而不是三角形，所以是错的.故选D.(3)A 解析:恢复后的原图形为一直角梯形1(11)222S =+⨯=+,故应选A ． (4)①√;②√;③×;④×解析:①半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球,正确; ②到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球,正确; ③经过球面上不同的两点只能作一个大圆,若两点恰好为大圆的直径,则过此两点的大圆的无数个,故错误; ④球面和球是同一个概念,错误.故①√;②√;③×;④×.3.易错分析:(1)动手操作题,需要通过运动实践去探究结论,而一般同学的动手操作能力受到很多限制.(2)需要运用运动变化的观点去认识棱柱、棱锥、棱台等的的辩证关系,而学生在空间想象能力这一关上不能容易过关.(3)立体几何入门难,难在其开始部分的理论太抽象,应用的操作性不是很强,计算性的内容不多,再加上空间构图及想象能力各有不同,从而造成了学生在学习此段内容过程中总是觉得非常难.此问题解决可以通过空间几何体模型的三视图训练及作图去强化空间想象能力.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（）A. 2，23B. 22，2C. 4，2D. 2，4 2.下列说法正确的是（）A.所有的棱柱都有对角线B.棱柱的顶点最少有6个C.棱柱的侧棱最少有4条D.棱柱的棱最少有4条3.过球面上两点可以作的大圆个数是（）A ．1个B ．1个或无数个C ．2个D ．2个或无数个 4.三棱锥的四个侧面中,下列说法正确的是( )主视图俯视图左视图A.不能都是直角三角形B.不能都是锐角三角形C.不能都是等腰三角形D.可能都是钝角三角形5.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如下图所示，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是（）A．8 B．7C．6 D．56.正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A:1B:2C2D:3二、填空题:7.圆柱的底面周长为Q,轴截面面积为P,则圆柱的高为 .8.六角螺母是由和两个简单几何体构成的.9.下图是由哪个平面图形旋转得到的 .A B C D10. 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成; 图（2）中的三视图表示的实物为_____________三、解答题:11.如图所示,一块木板上有三个孔(方孔、圆孔、三角孔),试设计一个几何体,使它能沿三个不同的方向不留空隙地通过这三个孔.图（1）图（2）12.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1:4,母线长10cm , 求圆锥的母线长.13.圆台上底周长是下底周长的31，轴截面面积等于392,母线与底面夹角为45O ,求此圆台高、母线长及两底半径.14.给出两块相同的正三角形硬纸板,请将其中一块折成三棱锥,另一块拼折成三棱柱.请你想出一种拼折法?【能力训练】参考答案一、选择题:1. D2. B3. B4. D5. B6. D二、填空题:7. PQ π 8. 正六棱柱，圆柱 9. A 10. （1）4 （2）圆锥三、解答题:11.解析:我们可以把这三个孔的形状看成几何体的三视图，由前两孔，我们很容易联想到一个等边圆柱（轴截面是正方形）,下面由三角形孔来考虑如何将这个等边圆柱进行修理,使它在一个方向上的正投影是正三角形就可以了.如图所示,可以得到这样一个几何体,12.解析:如图所示,设圆锥的母线长为l ,圆台上、下底半径为,r R , ∵10l l l R -=, ∴1014l l -=, ∴40()3l cm =, 即圆锥的母线长为40()3cm . 13.解析:如图所示,圆台上、下底面圆的半径分别为,r R ,高为h ,母线长为l ,则2123r R ππ=, ∴3R r =,过点A /作A /B ⊥OA 交OA 于B,则AB=R-r =2r ,∠A /AO=450 , ∴AB=A /B=2r, l =, ∴223922r R S h +==⋅截, 解得7r =,33721,R r ==⨯=,22714h A B r '===⨯=,l ==14.解析:本题的答案有很多种,下面给出一种折叠方法,按下图示法操作即可得一个三棱锥和三棱柱.。

第7章-第1节-空间几何体的结构特征及其三视图和直观图

(2)由题目所给旳几何体旳正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥旳组合体，如图所示．
进而可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D. 答案：D
(3)由正视图、侧视图可知，当体积最小时，底层有3个小正方体，上面有2个，共5个；当体积最大时，底层有9个小正方体，上面有2个，共11个．故这个几何体旳最大致积与最小体积旳差是6.
一、空间几何体旳构造特征
名称
构造特征
(1)棱柱旳侧棱都平行且相等
全等
旳多边形，而且相平互行
，上下底面是 .
多面体
(2)棱锥旳底面是任意多边形，侧面是有一种
公共顶点
旳三角形.
(3)棱台可由平行于底面
旳平面截棱锥得
到，其上下底面是相同多边形．
名称
构造特征
(1)圆柱能够由矩形
绕其任一边旋转得到.
答案：A
(2)因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1，又EH⊂平面EFGH，平面 EFGH∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A，C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以 EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B 也正确．故选D.
【典例剖析】 (1)(2023·湖南高考)某几何体旳正视图和侧视图均
如图所示，则该几何体旳俯视图不可能是
(2)在一个几何体旳三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应旳侧视图可觉得
(3)(2023·广州模拟)用若干个体积为1旳正方体搭成一种几何
体，其正视图、侧视图都是如图所示旳图形，则这个几何体旳
答案：C

2018-2019高三数学(文)(北师大版)一轮复习课件：第7章-第1课时空间几何体的结构及其三视图和直观图

轴和 y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．
教材梳理基础自测考点突破题型透析
素能提升应考展示课时训练规范解答
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【知识梳理】
4．三视图 (1)三视图的特点：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐；俯、左视图
①②③⑤
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教材梳理基础自测
【基础自测】
5．给出下列四个命题： ①直角三角形绕一条边旋转得到的旋转体是圆锥； ②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体； ③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ④通过圆台侧面上一点，有无数条母线．其中正确命题的序号是________．
A．南 C．西
B．北 D．下
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还原为正方体，依题型透析
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【基础自测】
①错误，应为直角三角形绕其一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边旋转得到的是两个圆锥构成的一个几何体，如图(1)．②错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(2)．③正确，如图(3)．④错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(4)．

2018年高考数学总动员：7-1空间几何体的结构及其三视图与直观图精品

解析由俯视图知有两个不等大的正六边形面，侧视图、正视图中出现了梯形，故是正六棱台. 答案正六棱台
►斜二测画法几点注意.
(3)[①注意原图与直观图中的“三变、三不变”：
坐标轴的夹角改变， “三变”与y轴平行线段的长度改变（减半），
图形改变.
“三不变”平与行 x轴性平不行改的变线，段的长度不改变，相对位置不改变.
解析如图易知SASA′＝O′OAA′，∴SA16′＝14，∴SA′＝4， ∴A′A＝SA－SA′＝16－4＝12(cm)即圆台母线长为 12 cm.
答案 12 cm
空间几何体的三视图与直观图
三空间几何体的三视图是用正投影得到的，它包括正视图、视侧视图、俯视图，其画法规则是：长对正，高平齐，图宽相等
【例1】 (1)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体 ABCD 的三视图是 ( 用 ①②③④⑤⑥ 代表图形)( )
A.①②⑥ B.①②③ C.④⑤⑥ D.③④⑤
(2)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1， 0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
解析 (1)正视图应是相邻两边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应是相邻两边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②，俯视图应是相邻两边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③，故选B.
7-1空间几何体的结构及其三视图与直观图

2018届高考数学大一轮复习第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图教师用书理

第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图☆☆☆ 2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度微知识小题练自|主|排|查1. 空间几何体的结构特征侧棱都平行且相等上下底血是全等的多边形,并且相互平行底面是任意多边形侧面是有一个公共顶点的三角形由平行于底面的平面截棱锥得到的底面与截面之问的部分上下底面是相似多边形认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这特征描述现实生活中简单物体的结构；能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二画法画出它们的直观图；会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解间图形的不同表示形式。

2016，全国卷I, 6,5分（三视图、表面积）2015，全国卷n, 6,5分（三视图、体积）2014,全国卷I, 长棱长）2014，全国卷n,合体）12,5分（三视图、最 6,5分（三视图、组本节主要考查三视图的识别及利用三视图求几何体的表面积与体积。

以客观题为主难度中档。

2. 空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。

(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线。

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线。

3. 空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本规则是:⑴原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x '轴、y '轴的夹角为45° (或135° ), z '轴与x '轴、y '轴所在平面垂直。

⑵ 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中还是平行于坐标轴的线段。

高考数学一轮复习第7章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图习题课件

12/11/2021
第二十一页，共三十二页。
解析点 D 在平面 ADD1A1 上的正投影为点 D，点 M 在平面 ADD1A1 上的正投影为 AA1 的中点，点 N 在平面 ADD1A1 上的投影为 DA 的中点，连接三点可知 A 正确．故选 A.
12/11/2021
第二十二页，共三十二页。
2．[2018·湖南模拟]正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 BB1 的中点(如图)，用过点 A，E，C1 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )
板块四模拟(mónǐ)演练·提能增分
12/11/2021
第一页，共三十二页。
[A 级基础达标] 1．[2018·银川模拟]三视图如图的几何体是( )
A.三棱锥 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台解析几何体底面为四边形，侧面是三角形．故选 B.
12/11/2021
第二页，共三十二页。
2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？( )
12/11/2021
第十四页，共三十二页。
解析将直观图还原为平面图形，如图．
可知还原后的图形中， OB＝2 2，AB＝ 12＋2 22＝3，于是周长为 12/11/2021 2×3＋2×1＝8(cm)．
第十五页，共三十二页。
9．[2018·济宁模拟]已知四棱锥 P－ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 P－ABCD 的四个侧面中面积的最大值是 ____6____．
解析几何体的直观图如图：
∴S 表＝42×2＋4×2×4＋22×4＝80(cm2)， V＝23＋4×4×2＝40(cm3)．
12/11/2021
第二十页，共三十二页。

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课时分层训练(三十八) 空间几何体的结构及其三视图和直观图
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱锥的侧棱长都相等
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
B[根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．]
2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A．圆柱B．圆锥
C．四面体D．三棱柱
A[由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．]
3．(2017·云南玉溪一中月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图717所示，则该几何体的侧视图为( )
图717
A B C D
D[易知侧视图的投影面为矩形．
又AF的投影线为虚线，
∴该几何体的侧视图为选项D.]
4．一个几何体的三视图如图718所示，则该几何体的表面积为( )
【导学号：31222241】
图718
A ．3π
B ．4π
C ．2π＋4
D ．3π＋4
D [由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．
表面积为2×2＋2×12
×π×12
＋π×1×2＝4＋3π.]
5．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图719，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(
)
图719
A.18
B.17
C.16
D.15
D [由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为
V 1＝13×12×1×1×1＝16
，
剩余部分的体积V 2＝13
－16＝56.
所以V 1V 2＝1656
＝1
5
，故选
D.]
二、填空题
6．(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图7110所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 的面积为________．
【导学号：31222242】
图7110
2 2 [因为直观图的面积是原图形面积的2
4
倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.]
7．如图7111所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________.
【导学号：31222243】
图7111
1 [三棱锥P ABC 的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.]
8．某三棱锥的三视图如图7112所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
图7112
2 2 [由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中PA
⊥平面ABC ，M 为AC 的中点，且BM ⊥AC ，故该三棱锥的最长棱为PC .
在Rt △PAC 中，
PC ＝PA 2＋AC 2＝22＋22＝2 2.]
三、解答题
9．某几何体的三视图如图7113所示．
图7113
(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．
[解] (1)该几何体是一个正方体切掉两个1
4圆柱后的几何体.5分
(2)直观图如图所示.12分
10．如图7114，在四棱锥P ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，如图7115为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．
图7114
图7115
(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA .
[解](1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如
图，其面积为36 cm2.5分
(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.8分
由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝22＋62
＝6 3 cm.12分
B组能力提升
(建议用时：15分钟)
1．在如图7116所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
图7116
A．①和②B．③和①
C．④和③D．④和②
D[如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②.
]
2．(2017·长郡中学质检)如图7117是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( ) 【导学号：31222244】
图7117
A ．4
B ．5
C ．3 2
D ．3 3
D [由三视图作出几何体的直观图(如图所示)，计算可知AF 最长，且AF ＝BF 2
＋AB 2
＝3 3.]
3．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图7118所示，则该四棱柱的体积为________．
图7118
3
2
[由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD A ′B ′C ′D ′.
故该四棱柱的体积V ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝3
2.]。

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