1.3.2 三角函数的图象与性质(1)
三角函数的图像和性质的应用 (1)
思考6 一条货船的吃水深度（ 思考6：一条货船的吃水深度（船底与 水面的距离） 水面的距离）为4米，安全条例规定至 少要有1.5米的安全间隙（ 1.5米的安全间隙 少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底 的距离），该船何时能进入港口？ ），该船何时能进入港口 的距离），该船何时能进入港口？在 港口能呆多久？ 港口能呆多久？
作业： 作业： 练习: P65 练习:1，2，3.
o 2 4 6 8 10 12 x
y
思考8 右图中， 思考8：右图中， 6 设点P(x 设点P(x0，y0)， .P 4 有人认为， 有人认为，由于 y=-0.3x+6.1 2 P点是两个图象的 o 2 4 6 8 10 12 x 交点，说明在x 交点，说明在x0 时，货船的安全水深正好与港口水深相 等，因此在这时停止卸货将船驶向较深 水域就可以了，你认为对吗？ 水域就可以了，你认为对吗？
0：00 ： 5.000 6：00 ： 5.000
1：00 ： 6.250 7：00 ： 3.754
2：00 ： 7.165 8：00 ： 2.835
3：00 ： 7.500 9：00 ： 2.500
4：00 ： 7.165
5：00 ： 6.250
10：00 11：00 ： ： 2.835 3.754
思考5 思考5：这个港口的水深与时间的关系可 近似描述， 用函数 y = 2.5sin x + 5 近似描述，你能 6 根据这个函数模型， 根据这个函数模型，求出各整点时水深 的近似值吗？（精确到0.001 ？（精确到0.001） 的近似值吗？（精确到0.001）
π
时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深
y 8 6 4 2 o 6 12 18 24 x
高中数学 第一章 基本初等函数(II)1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2 余弦函数、正切函数的
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时 余弦函数的图象与性质1．余弦函数的图象(1)把正弦曲线向左平移π2个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数y ＝cos x 的图象叫做余弦曲线．(2)余弦曲线．除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：①描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法．②五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．【自主测试1】画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图．分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线． 解：列表：ω＞0)的周期为T ＝2πω.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期．【自主测试2－1】函数y ＝2cos x ＋1的最大值和最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．3，－1 C ．1，－1 D ．2，－1 答案：B【自主测试2－2】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数． 答案：D正弦函数与余弦函数的图象和性质的区别与联系(4)sin x ＋cos x ＝1题型一 用“五点法”作函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象 【例题1】用“五点法”画出函数y ＝2cos 2x 的简图．分析：先找出此函数图象上的五个关键点，画出其在一个周期上的函数图象，再进行扩展得到在整个定义域内的简图．解：因为y ＝2cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，所以先在区间[0，π]上按五个关键点列表如下．然后把y ＝2cos 2x 在[0，π]上的图象向左、右平移，每次平移π个单位长度，则得到y ＝2cos 2x 在R 上的简图如下．反思在用“五点法”画出函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π来确定，而不是令x ＝0，π2，π，3π2，2π.题型二 三角函数的图象变换【例题2】函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象平移得到，若使平移的距离最短，则应( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移7π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4＋π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8，故函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度得到．故选D ．答案：D反思一定要注意看清变换的顺序，即看清是以哪个函数图象作为基准． 题型三 函数的定义域问题【例题3】求函数y ＝36－x 2＋lg cos x 的定义域．分析：首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组，然后分别求解，最后求交集即可．解：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，cos x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，2k π－π2<x <2k π＋π2k ∈Z .利用数轴求解，如图所示：所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－6，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，6. 反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰，但要注意区间的开闭情况．题型四 余弦函数的最值或值域【例题4】(1)求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3的值域；(2)求函数y ＝2＋cos x2－cos x的最值；(3)求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．分析：(1)结合y ＝cos x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上先增后减即可求解；(2)利用|cos x |≤1这一性质；(3)利用配方法，结合二次函数的性质求解．解：(1)∵y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，∴y ma x ＝cos 0＝1，y min ＝cos 2π3＝－12，∴y ＝cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. (2)由y ＝2＋cos x 2－cos x ，求得cos x ＝2y －1y ＋1.∵|cos x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y －1y ＋1≤1，∴[2(y －1)]2≤(y ＋1)2.解得13≤y ≤3，∴y ma x ＝3，y min ＝13.(3)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y ma x ＝154.当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154.反思求函数的最值的方法有以下几种：(1)直接法．根据函数值域的定义，由自变量的取值范围求出函数值的取值范围． (2)利用函数的单调性．(3)利用函数的图象，转化为求函数图象上最高点和最低点的纵坐标的问题．(4)利用换元法，转化为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数问题．题型五 余弦函数图象的应用【例题5】求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心、对称轴方程、单调递减区间和最小正周期．分析：利用整体换元，设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝cos t 的相关性质．解：设t ＝2x ＋π4，则函数y ＝cos t 的图象如图所示．令t ＝k π(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π(k ∈Z )．故x ＝k ·π2－π8(k ∈Z )即为所求的对称轴方程．令t ＝k π＋π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k ·π2＋π8(k ∈Z )．故⎝ ⎛⎭⎪⎫k ·π2＋π8，0(k ∈Z )即为所求的对称中心．当t ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，2x ＋π4∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． ∵cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π4， ∴最小正周期T ＝π.反思整体换元思想是解决较复杂三角函数问题常用的一种方法，它能将问题化归为对基本三角函数的考查．〖互动探究〗若将本例中的函数改为“y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4”呢？ 解：设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝|cos t |，如图所示：解答过程同例题，可得无对称中心．令t ＝k ·π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k ·π2(k ∈Z )，∴对称轴为x ＝k ·π4－π8(k ∈Z )；令t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )， ∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8(k ∈Z )．最小正周期T ＝π2.反思(1)若三角函数式子中带绝对值号，则通常通过观察图象得到周期和单调区间． (2)正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 取绝对值后，周期缩为原来的一半，即 ①y ＝|sin x |的周期为π； ②y ＝|cos x |的周期为π.1．下列说法不正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[－1,1]B ．余弦函数当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值1，当且仅当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时取得最小值－1C ．正弦函数在每个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数 D ．余弦函数在每个区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )上都是减函数 答案：D2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案：A3．(2012·重庆期末)把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到图象的解析式为( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 答案：D4．若函数y ＝a cos x ＋b 的最小值为－12，最大值为32，则a ＝__________，b ＝__________.解析：由于y ma x ＝32，y min ＝－12，且－1≤cos x ≤1，则当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，－a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝12.综上，a ＝±1，b ＝12.答案：±1 125．函数y ＝|cos x |的单调增区间为________，单调减区间为________，最小正周期为________．解析：函数y ＝|cos x |的图象，如图所示．由图可知它的最小正周期为π.又因为在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，函数的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.而函数的周期是k π(k ∈Z )，因此函数y ＝|cos x |的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) π 6．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域是__________．解析：由已知0≤cos x ≤1，得2k π－π2≤x ≤2k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)用“五点法”画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)求函数f (x )的最大值，并求出取得最大值时自变量x 的取值集合； (3)求函数f (x )的单调增区间． 解：(1)列表：(2)当2x －π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，y ma x ＝3，此时x 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (3)当2k π－π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )时，k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．。
三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质2.(1)y ＝sin x 在]2,0[π上是增函数．(√)(2)y ＝sin x 在第一、四象限是增函数．(×) (3)所有的周期函数都有最小正周期．(×) (4)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )的最大值为k ＋1.(×) (6)y ＝sin|x |为偶函数．(√)(7)y ＝|sin x |和y ＝sin|x |的周期都是π.(×) (8)y ＝tan x 的对称中心为(k π，0)(k∈Z )．(×) (9)若sin x ＞22，则x ＞π4.(×)(10)y ＝sin x 与y ＝cos x 同时为增的区间是)2,22(πππk k -，k ∈Z .(√)考点一 有关三角函数的定义域、值域问题[例1] (1)函数y ＝lg sin x ＋1－2cos x 的定义域是________． 解析：由题意，得⎩⎨⎧sin x ＞0，1－2cos x ≥0，∴sin x ＞0且cos x ≤12，作单位圆中三角函数线(图略)，得2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ， ∴函数的定义域为},232|{Z k k x k x ∈+<≤+ππππ.答案：},232|{Z k k x k x ∈+<≤+ππππ(2)函数y ＝2sin )36(ππ-x (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 解析：利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6， ∴sin )36(ππ-x ∈]1,23[-.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. 答案：A(3)当x ∈]67,6[ππ时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：∵x ∈]67,6[ππ，∴sin x ∈]1,21[-.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝22)41(sin -x ＋78.∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2. 答案：78 2[方法引航] 1.求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域(最值)常见的有以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)． (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．1．若将本例(1)变为y ＝1－2cos x ，其定义域为________．解析：1－2cos x ≥0，∴cos x ≤12.如图，当x ∈(0,2π)时，cos π3＝cos 53π＝12，∴cos x ≤12，x ∈)35,3(ππ∴x ∈R 时，cos x ≤12的解集为},23523|{Z k k x k x ∈+≤≤+ππππ答案：},23523|{Z k k x k x ∈+≤≤+ππππ2．若在本例(2)中，x 的范围变为“－1≤x ≤9”，其它不变，如何选答案． 解析：－1≤x ≤9时，－π2≤π6x －π3≤76π. －1≤sin )36(ππ-x ≤1，y ∈[－2,2]，y max ＋y min ＝0. 答案：B3．若将本例(3)中的函数换为“y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]”，如何求解？ 解：令t ＝sin x －cos x ，又x ∈[0，π]，∴t ＝2sin )4(π-x ，t ∈[－1，2]．由t ＝sin x －cos x ，得t 2＝1－2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22.∴原函数变为y ＝t ＋1－t22，t ∈[－1，2]．即y ＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.∴当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－12(－2)2＋1＝－1.考点二 三角函数的单调性和周期性[例2] (1)(2016·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.32π D ．2π解析：法一：由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos2x ＝2sin )32(π+x .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.法二：由题意得f (x )＝2sin )6(π+x ×2cos )6(π+x ＝2sin )32(π+x .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B. 答案：B(2)(2016·湖北武汉模拟)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ))2||,0,0(πϕϖ<>>A 与直线y ＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，则下列区间中不是函数f (x )的单调递增区间的是( ) A.]0,3[π-B.]65,34[ππ--C.]67,32[ππD.]3,65[ππ-- 解析：由题意得A ＝3，T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，又f )6(π＝3或f )6(π＝－3， ∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝π6＋k π，k ∈Z ， 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝3sin )62(π+x ，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， 故当k ＝－1时，f (x )的增区间为]65,34[ππ--，当k ＝0时，f (x )的增区间为]6,3[ππ-，当k ＝1时，f (x )的增区间为]67,32[ππ，故选D. 答案：D(3)已知ω＞0，函数f (x )＝sin )4(πϖ+x 在),2(ππ上单调递减，则ω的取值范围是( )A.]45,21[B.]43,21[C. ]21,0( D ．(0,2] 解析：由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知)4,42(ππϖπϖπ++⊆]23,2[ππ，∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.答案：A[方法引航] 形如y ＝A sin (ωx ＋φ)的函数的单调区间的求法 (1)代换法,①若A ＞0，ω＞0，把ωx ＋φ看作是一个整体，由2π-＋2k π≤ωx ＋φ≤2π＋2k π(k∈Z )求得函数的增区间，由2π＋2k π≤ωx ＋φ≤23π＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间.,②若A ＞0，ω＜0，则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解.(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.,对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.1．已知函数f (x )＝2sin )42(πϖ-x (ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________． 解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π，∴f (x )＝2sin )4(ππ-x ，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为]43,41[-.答案：]43,41[-2．若将本例(3)改为f (x )＝sin ωx 在),2(ππ上为增函数(ω＞0)，如何求ω的范围？解：当π2＜x ＜π时，ωπ2＜ωx ＜ωπ (ω＞0) ∴),2(ϖπϖπ⊆]2,0[π∴ωπ≤π2，∴ω≤12，∴ω∈]21,0(. 考点三 三角函数的奇偶性、对称性[例3] (1)A ．y ＝cos )22(π+x B ．y ＝sin )22(π+x C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析：对于A ，y ＝cos )22(π+x ＝－sin 2x ，T ＝π为奇函数，故选A.答案：A(2)(2016·高考全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析：法一：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin 2)12(π+x ＝2sin )62(π+x 的图象．由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )得，∴x ＝π6＋k 2π.(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 法二：∵y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位后为x ＝π4－π12＋k 2π＝π6＋k2π，故选B. 答案：B(3)(2017·吉林长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2|(|πϕ<向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在]2,0[π上的最小值为________．解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2|(|πϕ<向左平移π6个单位后得到函数为f )6(π+x ＝sin ])6(2[ϕπ++x ＝sin )32(ϕπ++x ，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin )32(π-x .当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin )32(π-x 有最小值为sin )3(π-＝－32.答案：－32(4)(2017·湖南六校联考)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0＜ω＜5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是)0,8(π，则f (x )的最小正周期是________．解析：由题设，得f )4(ϖπ＝±a 2＋b 2，即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2，∴a ＝b . 又)8(πf '＝0，∴aω)8sin 8(cos ϖπϖπ-＝0，∴tan ω8π＝1，∴ω8π＝k π＋π4，∴ω＝8k ＋2，(k ∈Z ) 而0＜ω＜5,0＜8k ＋2＜5，∴k ＝0，ω＝2，∴f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x )＝2a sin )42(π+x ，∴T ＝2π2＝π.答案：π[方法引航] 函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)的奇偶性和对称性(1)若f (x )＝A sin (ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin (ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检测f (x 0)的值进行判断.(3)求形如y ＝A sin (ωx ＋φ)或y ＝A cos (ωx ＋φ)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象的对称轴或对称中心进行求解.1．已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b 为常数，a ≠0)在x ＝π4处取得最小值，则函数g (x )＝f )43(x -π是( ) A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D. 奇函数且它的图象关于点(π，0)对称解析：选D.因为f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)在x ＝π4处取得最小值，所以π4－φ＝2k π－π2，k ∈Z ，故φ＝3π4－2k π，k ∈Z ，得f (x )＝a 2＋b 2sin )43(π-x ，g (x )＝f )43(x -π＝－a 2＋b 2sin x ，所以g (x )为奇函数，且其图象关于点(π，0)对称．2．已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( ) A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3解析：选D.由已知得f (x )＝2cos )]3(3[πϕ++x 为偶函数，由诱导公式可知φ＋π3＝k π.(k ∈Z )当k ＝0时，φ＝－π3.(也可由f (－x )＝f (x )恒成立求．)[易错警示]求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的A ，ω的符号处理借助于y ＝sin x 的单调区间求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，首先保证ω＞0，然后再看A 的正负，结合整体“ωx ＋φ”，求x 的范围．[典例] 已知函数y ＝sin )23(x -π，则函数在[－π，0]上的单调递减区间为________．[解析] y ＝sin )23(x -π＝－sin )32(π-x ，令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以y ＝sin )23(x -π在[－π，0]上的减区间为]0,12[π-.[答案] ]0,12[π-[警示] 当ω＞0，A ＜0时，y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间是利用2k π＋π2≤ωx ＋φ≤32π＋2k π，(k ∈Z )求得x ，减区间是利用2k π－π2≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，(k ∈Z )求得x .[高考真题体验]1．(2016·高考全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在)365,18(ππ上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选B.先根据函数的零点及图象对称轴，求出ω，φ满足的关系式，再根据函数f (x )在)365,18(ππ上单调，则)365,18(ππ的区间长度不大于函数f (x )周期的12，然后结合|φ|≤π2计算ω的最大值．因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在)365,18(ππ上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin )411(π-x ，f (x )在)443,18(ππ上单调递增，在)365,443(ππ上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin )49(π+x ，满足f (x )在)365,18(ππ上单调的条件．故选B.2．(2016·高考浙江卷)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关解析：选B.由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos 2x2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos )62(π+x ，④y ＝tan )42(π-x 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 解析：选C.①中，y ＝cos|2x |＝cos 2x ，周期T ＝π，①符合； ②中，y ＝|cos x |＝1＋cos 2x2，周期T ＝π，②符合； ③中，周期T ＝π，③符合；④中，周期T ＝π2，④不符合． ∴符合条件的函数为①②③.4．(2012·高考课标全国卷)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：选A.由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又0＜φ＜π，所以φ＝π4. 5．(2016·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin )42(πϖ+x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin )42(π+x函数y ＝sin x 的单调递增区间为]22,22[ππππ+-k k (k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为]8,83[ππππ+-k k k ∈Z . 6．(2015·高考安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间]2,0[π上的最大值和最小值．解：f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin )42(π+x ＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin )42(π+x ＋1.当x ∈]2,0[π时，2x ＋π4∈]45,4[ππ，由正弦函数y ＝sin x 在]45,4[ππ上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0. 综上，f (x )在]2,0[π上的最大值为2＋1，最小值为0.课时规范训练 A 组 基础演练1. 函数f (x )＝cos )42(π+x 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π解析：选B.由周期公式T ＝2π2＝π.2．下列函数中周期为π且为偶函数的是( )A ．y ＝sin )22(π-xB ．y ＝cos )22(π-xC ．y ＝sin )2(π+xD ．y ＝cos )2(π+x解析：选A.y ＝sin )22(π-x ＝－cos 2x 为偶函数，且周期为π.3．与函数y ＝tan )42(π+x 的图象不相交的直线是( )A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8 解析：选C.2x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，k ＝0时，x ＝π8.4．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点)0,2(π-对称解析：选D.由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点)0,2(ππ+k ，k ∈Z ，D 对．5．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f )4(π+x ＝f (－x )成立，且f )8(π＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3解析：选C.由f )4(π+x ＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.6．函数f (x )＝sin )42(π-x 在]2,0[π上的单调递增区间是________．解析：由2k π－π2≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤38π＋2k π，k ∈Z ，在]2,0[π上的单调增区间为]83,0[π. 答案：]83,0[π 7．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析：由题得cos π3＝sin )32(ϕπ+，即sin )32(ϕπ+＝12.∵0≤φ＜π，∴23π≤2π3＋φ＜5π3，∴2π3＋φ＝5π6，则φ＝π6. 答案：π68．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈)2,2(ππ-)的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点)0,4(π对称；②图象关于点)0,3(π对称；③在]6,0[π上是增函数；④在]0,6[π-上是增函数中，所有正确结论的序号为________．解析：∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．∵φ∈)2,2(ππ-，∴φ＝π3，∴y ＝sin )32(π+x ，由图象及性质可知②④正确． 答案：②④9．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin )432(π-x ，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为]85,8[ππππk k ++，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f )45(π的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解：(1)f )45(π＝2cos 5π4)45cos 45(sin ππ+＝－2cos π4)4cos 4sin (ππ--＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin )42(π+x ＋1，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为]8,83[ππππ+-k k ，k ∈Z . B 组 能力突破1．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0且|φ|＜π2)，在区间]32,6[ππ上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32 D.6＋24 解析：选A.由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，∴T ＝π＝2πω， ∴ω＝2.将点)1,6(π代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin )3(ϕπ+＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，故y ＝sin )62(π+x .令x ＝0，则y ＝12.2．若函数y ＝f (x )＋cos x 在]434[ππ，-上单调递减，则f (x )可以是( )A ．1B ．cos xC ．－sin xD ．sin x 解析：选C.－sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ＝2cos )4(π+x ，∵－π4≤x ≤3π4，∴0≤x ＋π4≤π，∴函数y ＝－sin x ＋cos x 在]434[ππ，-上为减函数．3．函数f (x )＝tan )32(π-x 的单调递增区间是( )A.]1252,122[ππππ+-k k (k ∈Z ) B.)1252,122(ππππ+-k k (k ∈Z )C.)32,6(ππππ++k k (k ∈Z ) D.]125,12[ππππ+-k k (k ∈Z ) 解析：选 B.由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan )32(π-x 的单调递增区间为)1252,122(ππππ+-k k (k ∈Z )．4．设函数f (x )＝3sin )42(ππ+x ，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 解析：f (x )＝3sin )42(ππ+x 的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2. 答案：25．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin )62(π+x ＋2a ＋b ，当x ∈]2,0[π时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f )2(π+x 且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈]2,0[π，∴2x ＋π6∈]67,6[ππ.∴sin )62(π+x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin )62(π+x ∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin )62(π+x －1，g (x )＝f )2(π+x ＝－4sin )672(π+x －1＝4sin )62(π+x －1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin )62(π+x －1＞1，∴sin )62(π+x ＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，∴g (x )的增区间：2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，即k π＜x ≤k π＋π6， g (x )的减区间为2k π＋π2≤2x ＋π6＜2k π＋56π，即k π＋π6≤x ＜k π＋π3，故g (x )增区间为]6,(πππ+k k ，减区间为)3,6[ππππ++k k k ∈Z .。
课时作业21：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．函数y ＝2cos x －3的值域是( )A ．[－1,1] B.[－5，－1]C ．[－5，＋∞) D.(－∞，＋∞)2．函数y ＝cos2x 的图象( )A ．关于直线x ＝－π4对称B ．关于直线x ＝－π2对称 C ．关于直线x ＝π8对称 D ．关于直线x ＝5π4对称 3．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减 4．给出下列四个不等式，其中正确的是( )①sin1＜cos1；②sin2＜cos2；③sin190°＞cos250°；④sin ⎝⎛⎭⎫cos 3π8＜sin ⎝⎛⎭⎫sin 3π8. A ．①和② B.①和③C ．②和④ D.③和④5．在(0,2π)内，使|sin x |≥cos x 成立的x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π4，7π4B.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 C.⎣⎡⎦⎤0，5π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，2π 6．方程3sin x ＝1＋cos2x 在区间[0,2π]上的解有________个．7．若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－ωx 的最小正周期是4π，则ω＝________.8．已知函数f (x )＝2cos －2x ＋π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．[B 组 技能提升]1．在同一坐标系中，函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象不具有下述哪种性质( )A ．y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，与y ＝cos x 的图象重合 B ．y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象各自都是中心对称曲线C ．y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π4互相对称 D ．y ＝sin x 与y ＝cos x 在某个区间[x 0，x 0＋π]上都为增函数2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 4．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． 5．已知函数f (x )＝2cos2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π8，π2时，方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围．6．已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数y ＝cos 2x －2a cos x 的最大值M (a )和最小值m (a )．【参考答案】课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．B【解析】由|cos x |≤1，得2cos x －3∈[－5，－1]，故选B.2．B【解析】由2x ＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2，k ∈Z ， ∴当k ＝－1时，x ＝－π2是函数y ＝cos2x 的一条对称轴，故选B. 3．D【解析】f (x )的周期为2k π，当k ＝－1时，T ＝－2π，A 正确；当x ＝8π3时，f ⎝⎛⎭⎫8π3＝cos3π＝－1，∴x ＝8π3是f (x )的一条对称轴，B 正确； f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3， 当x ＝π6时，cos ⎝⎛⎭⎫π6＋4π3＝cos 3π2＝0，C 正确； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，x ＋π3∈⎝⎛⎭⎫5π6，4π3， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π不单调，故选D.4．D【解析】∵π4＜1＜π2＜2＜π，利用三角函数线比较知①②错误． 又∵sin190°＝－sin10°，cos250°＝－sin20°，∴sin190°＞cos250°，∴③正确．而cos 3π8＝sin π8， ∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1，而y ＝sin x 在(0,1)上递增， ∴sin ⎝⎛⎭⎫cos 3π8＜sin ⎝⎛⎭⎫sin 3π8. ∴④正确，故选D.5．A【解析】在同一坐标系内作出y ＝|sin x |与y ＝cos x 的图象，如图示：故选A.6．2【解析】在同一坐标系中作出y ＝3sin x 与y ＝1＋cos2x 的图象，如图所示：从图象可知有两个交点，∴方程有两个解．7．±12【解析】∵2π|－ω|＝4π，∴ω＝±12. 8．解：f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. (1)2k π≤2x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z . ∴f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z . (2)∵－π8≤x ≤π2，∴－π2≤2x －π4≤3π4，∴－22≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4≤1. ∴－1≤f (x )≤ 2，当2x －π4＝3π4，即x ＝π2时，f (x )min ＝－1， 当2x －π4＝0，即x ＝π8时，f (x )max ＝ 2. [B 组 技能提升]1．D【解析】y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象如图示．由图可知y ＝sin x 与y ＝cos x 不存在在某个区间[x 0，x 0＋π]上都为增函数，故选D.2．A【解析】由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝ 3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )， 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6，故选A. 3．⎣⎡⎦⎤－32，3 【解析】∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的周期相同，g (x )的周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，56π，f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3. 4．3【解析】∵0≤x ≤π，∴π6≤3x ＋π6≤19π6，由题可知3x ＋π6＝π2，3x ＋π6＝3π2或3x ＋π6＝5π2，解得x ＝π9，4π9或7π9，故有3个零点． 5．解：(1)f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，T ＝2π2＝π， 由2k π－π≤2x －π4≤2k π，k ∈Z ， ∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (2)作出f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，如图所示，若方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，则0≤k < 2.6．解：设cos x ＝t ，则t ∈[0,1]，y ＝t 2－2at ＝(t －a )2－a 2.∴当a ＜0时，m (a )＝0，M (a )＝1－2a ；当0≤a ＜12时，m (a )＝－a 2，M (a )＝1－2a ； 当12≤a ＜1时，m (a )＝－a 2，M (a )＝0； 当a ≥1时，m (a )＝1－2a ，M (a )＝0.∴M (a )＝⎩⎨⎧ 1－2a ⎝⎛⎭⎫a ＜12，0 ⎝⎛⎭⎫a ≥12， m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0(a ＜0)，－a 2 (0≤a ＜1)，1－2a (a ≥1).。
1.3.2余弦、正切函数的图象与性质
π π y = 3tan u在u ?（kπ ，kπ + ），k Z 上单调递增. 2 2 1 π π 1 π π \ y = 3tan( x + )在kπ - 〈 x + 〈kπ + 2 4 2 2 4 2
即x ?（2kπ
3 π π，kπ + ）上单调递增. 2 2 2
课堂小结
π π 1、y = tanx的作图是平移在（ - ， ）上的图象得到的. 2 2
π y 例4:求下列函数的周期， = 3tan(2 x + ). 4
分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周 期为π.
4 解：f（x） 3tan（2 x + ） = π
π = 3tan(2 x + + π) 4 轾 π π = 3tan 犏 x + ) + 2( 犏 2 4 臌
π \ 周期T = 2
π 周期T 2
π (1) y 3 tan(2 x ); 4
π f (x ) 2
1 π （2）变题y=3tan（ x + ） 2 4
1 π 解： f ( x) 3tan( x ) 2 4 1 π 3tan( x π) 2 4
1 π 3tan[ ( x 2π) ] 2 4
新课导入
提问： 1、正弦函数 性质？
y sin x, x R
都有哪些
2、正弦函数的两个代数性质：
sin( x 2 ) sin x,sin( x) sin x
反映了正弦函数图象的什么几何特征？
教学目标
知识与能力
利用正切函数已有的知识（如定义、诱 导公式、正切线等）研究性质，根据性质探 究正切函数的图象.
必修四第一章第3节 三角函数的图象和性质(一)周期性与图象
年级高一学科数学版本苏教版课程标题必修四第一章第3节三角函数的图象和性质（一）周期性与图象编稿老师王东一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破1. 掌握正弦、余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象。
通过三角函数的图象研究其性质。
2. 注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用。
3. 掌握正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题。
高考命题趋势考查内容1. 对三角函数图象的考查多以选择题、填空题为主。
对数形结合思想的考查主要通过三角函数图象和单位圆中的三角函数线等来体现。
2. 三角函数的性质是考查的重点，这类题目概念性强，具有一定的综合性与难度。
能力要求熟练掌握基本技能与基本方法。
难度与赋分高考中以三基为主，多为基础题目，每年分值约为8分。
二、重难点提示重点：正弦、余弦、正切函数的周期性、图象及性质；函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象及参数对函数图象变化的影响。
难点：周期函数的概念；画三角函数的图象；函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象与正弦曲线的关系。
一、知识脉络图正弦函数y=sinx三角函数的图象余弦函数y=cosx正切函数y=tanxy=Asin（ωx+φ）作图象描点法（五点作图法）几何作图法性质定义域、值域单调性、奇偶性、周期性对称性最值二、知识点拨1. 正弦、余弦、正切函数的主要性质函数性质y＝sin x y＝cos x y＝tan x定义域R R{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1，1][－1，1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2（k∈Z）对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ（k∈Z）对称中心：)(0,2Zkk∈⎪⎭⎫⎝⎛+ππ无对称轴对称中心：⎝⎛⎭⎫kπ2，0（k∈Z）周期2π2ππ单调性单调增区间⎣⎡2kπ－π2，2kπ＋⎦⎤π2（k∈Z）；单调减区间⎣⎡2kπ＋π2，2kπ＋⎦⎤3π2（k∈Z）单调增区间[2kπ－π，kπ]（k∈Z）；单调减区间[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）单调增区间⎝⎛kπ－π2，kπ＋⎭⎫π2（k∈Z）奇偶性奇偶奇2. 函数y＝A sin（ωx＋φ）（1）用五点法画y＝A sin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找到五个特征点。
蒋王中学高一1.3.2三角函数的图象与性质(1)
1.3.2三角函数的图象与性质（1）一、学习目标：1、了解正、余弦函数的图象，能利用三角函数线作正、余弦函数的图象；2、会用“五点法”画出正、余弦函数图象的简图；3、借助图象理解正、余弦函数的主要性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）；4、了解性质的简单应用.重点及难点：性质及应用二、课前自学1、复习必修413P ，三角函数线的有关概念.2、阅读必修42629P -，了解利用三角函数线作sin y x =的过程，体会cos y x =的作图方法.4、“五点法”作函数sin y x =的图象是取 五个点，每相邻两个点的横坐标之差与周期的关系是5、能说：sin y x =在第一象限是单调增函数吗？若不能，试举一反例.三、问题探究例1、用“五点法”画下列函数简图：（1）2cos y x =； （2）sin(2)6y x π=+.例2、求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合：（1）cos 2x y =；（2）3sin ,[,)44y x x ππ=∈-；（3）2cos(),[,]663y x x πππ=-∈- （4）2sin(3)36y x π=+-；（5）212sin ,[,]63y x x ππ=-∈； （6）2()cos sin ,[,]44f x x x x ππ=+∈-.练习：1、必修4，P32，T1，T3，T4，T5，T6；2、求下列函数的值域.（1）sin(),[0,]66y x x ππ=+∈；（2）22cos sin 3,[,]63y x x x ππ=-+∈3、已知函数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()g a .（1）求()g a ；（2）若1()2g a =，求a 及此时()f x 的最大值.四、反馈小结。
三角函数的图象与性质课件高三数学一轮复习
4π
3
4π
C.
3
≤ φ ≤ 2π
4π
D.
3
≤φ≤
[解析] 因为 ∈ [− , ],所以�� + ∈ [− + , + ].
又 ≤ <
所以
+ ≤ ,
−
+ ≥ ,
解得
+<
,且函数
≤≤
,即
在[− , ]上单调递增,
φ = kπ +
π
2
k∈ .
③若y = Atan ωx + φ 为奇函数,则有φ = kπ k ∈ .
自测诊断
1.函数f x = 2sin
A.
π
2
1
x
2
−
π
4
的最小正周期为(
B.π
[解析] 由题意知,在 =
D )
C.2π
−
D.4π
中, = ,∴ =
=
π 3π
π π
A.
B. ,
C. − ,
D.
4 4
2 2
[解析] 因为 = + − = + = − ,
令 − ≤ ≤ + , ∈
,解得 − ≤ ≤ + , ∈ ,
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教
中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
第八页，共42页。
2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____． 解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横 坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段 如图所示，求此函数的解析式．
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解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2， 所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， 又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
第十五页，共42页。
法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
张喜林制1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质教材知识检索考点知识清单1．把正弦函数x y s i n =的图象 个单位就得到余弦函数的图象．用“五点法”作]2,0[,cos π∈=x x y 的图象，五点坐标为2．余弦函数的定义城是 ，值域是 ，周期是 ，奇偶性是 函数，单调增区间是 ，单调减区间是 3．一般地，函数,)(cos(R x x A y ∈+=ϕω其中ϕω、、A 为常数且)0,0>=/ωA 的周期为 4．正切函数x y tan =的定义域是 ，值域是 ，周期是 ，单调区间是 ，单调性是 函数，奇偶性是 函数．)tan(5ϕω+=⋅x A y 的最小正周期为要点核心解读1．余弦函数的图象),)(2sin(cos R x x x y ∈+==π由此可知，余弦函数x y cos =图象与正弦函数=y )2(π+x n 的图象形状相同．于是把正弦曲线向左平移2π个单位就可得到余弦函数的图象．余弦函数x y cos =的图象叫做余弦曲线．由图1-3 -2 -1可以看出，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是：⋅-)1,2()023(1)0,2).(1,0(ππππ、、）、、（我们可利用这5个点画出余弦函数的简图． 2．余弦函数的性质(1)余弦函数的定义域与值域．余弦函数的定义域为R ，值域从图象上可以看出是[ -1，1]． (2)余弦函数的周期性．①余弦函数的周期可参照诱导公式：x k x cos )2cos(=+π),(z k ∈因而周期是⋅=/∈)0(2k Z k k 且π 最小正周期是2π .②一般地，函数ϕωϕω、、A x A y <+=)cos(为常数且,0=/A )0>ω的最小正周期为⋅=ωπ2T(3)余弦函数的奇偶性，①由图象可以看出余弦曲线关于y 轴对称，因而是偶函数． ②也可由诱导公式x x cos )cos(=-知，余弦函数为偶函数， (4)余弦函数的单调性．由余弦曲线可以知道：余弦函数x y cos =在每一个闭区间)](2,)12[(z k k k ∈-ππ上，都从-1增大到1，是增函数，在每一个闭区间)]()12(,2[Z k k k ∈+ππ上，都从1减小到-1，是减函数，也就是说，余弦函数R x x y ∈=,cos 的单调区间是]2,)12[(ππk k -及).]()12(,2[Z k k k ∈+ππ3．正切函数的性质正切函数x y tan =有以下主要性质： (1)定义域：},2|{z k k x x ∈+=/ππ(2)值域：从图1-3 -2 -2的正切线可以看出，在区间)2,2(ππ-内，当x 小于,2π并且无限接近2π时，x tan 可无限地增大，且它的值可比指定的任何正数都大．我们把这种情况记作.tan +∞→x 读作x tan *趋向于正无穷大”；当戈大于,2π-并且无限接近2π-时，x tan 无限减小，且它的绝对值可比指定的任何正数都大，我们把这种情况，记作.tan -∞→x 读作x tan 趋向于负无穷大”．这就是说，tanx 可取任意实数值，没有最大值，也没有最小值．因此，函数x y tan =的值域是实数集R ．(3)周期性：周期是π．(4)奇偶性：由,tan )tan(x x -=-知正切函数是奇函数，它的图象关于原点成中心对称． (5)单调性：正切函数在每一个开区间)2,2(ππππk k ++-)(z k ∈内都是增函数．4．正切函数的图象用单位圆上的正切线来作正切函数x y tan =在开区间)2,2(ππ-内的图象（如图1-3 -2 -3）．由诱导公式,,2,,tan )tan(z k k x R x x x ∈+=/∈=+πππ且知道正切函数是周期函数，并且π是它的一个周期，又可证明π是它的最小正周期．根据正切函数的周期性，我们可把图象向左、向右连续平移，得出z k k k x x y ∈++-∈=),2,2(,tan ππππ的图象正切曲线（如图1-3 -2 -4），可以看出，正切曲线是由通过点))(0,2(z k k ∈+ππ且与y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的．典例分类剖析考点1图象及其应用命题规律(1)作图象并研究其性质．(2)借助图象解三角不等式．[例1] 画出函数x x y tan |tan |+=的图象，并指出定义域、值域、最小正周期和单调区间． [解析] 先根据绝对值定义去掉绝对值符号，再作图象，)(),2,[,tan 2],,2(,0tan |tan |z k k k x x k k x x x y ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∈-∈=+=ππππππ故可作如图1-3 -2 -5所示的图象，由图象可知，定义域为R x x ∈|{且},,2z k k x ∈+=/ππ值域为),,0[+∞周期,π=T 单调增区间为+ππk k ,[).)(2z k ∈π1．根据正切函数的图象，写出下列不等式的解集：;1tan )1(-≥x .12tan )2(-≤x考点2定义域问题 命题规律求含有x x tan cos 的函数的定义域． [例2] 求下列函数的定义域：;cos 21)1(x y -=;tan 11)2(x y += .tan 3)3(x y -=[解析] (1)要使函数有意义，则有,21cos ,0cos 21≤≥-x x 则其定义域为⋅∈+≤≤+},35232|{z k k x k x ππππ (2)要使函数x y tan 11+=有意义，则有⎪⎩⎪⎨⎧⋅∈+=/=/+)(2,0tan 1z k k x x ππ即,4ππ-=/k x 且⋅∈+=/)(2z k k x ππ 所以函数的定义域为,|{R x x ∈且⋅∈+=/-=/},2,4z k k x k x ππππ,3tan ,0tan 3)3(≤∴≥-x x⋅∈+≤<-∴)(32z k k x k ππππ∴ 其定义域为⋅∈+≤<-},32|{z k k x k x ππππ2．求下列函数的定义域：;cos 21)1(x y -=⋅-+=)tan 1lg(tan )2(x x y考点3单调性问题 命题规律(1)求单调区间．(2)比较大小．[例3] (1)求x y 2cos =的单调区间．(2)比较 138tan 与o 143tan 的大小． [解析] (1)函数x y 2cos =的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定⋅∈+≤≤∈≤≤-)(222),(222z k k x k z k k x k ππππππ⋅∈+≤≤∈≤≤-∴)(2),(2z k k x k z k k x k ππππππ∴ 函数x y 2c o s =的单调递增区间、单调递减区间分别为⋅∈+∈-)](2,[)](,2[z k k k z k k k N ππππππ,27014313890)2( <<<而x y tan =在,90( ∈x )270o 上是增函数，.143tan 138tan <∴[点拨] (1)形如)tan(ϕω+=x A y 或)cos(ϕω+=x A y （其中)0,0>=/ωA 的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把”“)0(>+ωϕωx 视为一个“整体”；)0(0<>A A ②时，所列不等式的方向与=y )(cos ).(tan R x x y R x x ∈=∈的单调区间对应的不等式的方向相同（反）．如，函数)12cos(+-=x y 的递减区间可以由不等式)(2122z k k x k ∈≤+≤-πππ确定． 课本上研究x y cos =的单调区间为++ππππk k k 2[],2,2[⋅∈+)](22,z k k πππ(2)利用三角函数的单调性进行三角函数的大小比较，一般来说有以下两种情况：①比较同名三角函数值的大小，首先运用三角函数诱导公式将其转化为同一单调区间上的同名三角函数，运用单调性，由自变量的大小，确定函数值的大小．②比较不同名的三角函数的大小时，应先运用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性，或数形结合或用三角函数图象作比较． 3．(1)求下列函数的单调区间：);46tan(3;cos 1x y x y -=-=π②①⋅∈=/+=),2)(22tan(z k k x x y ππ③ (2)比较下列各数的大小．⋅--)815cot(),76cot(,513tan ,56tanππππ 考点4周期性与奇偶性 命题规律(1)求给定函数的周期．(2)判断给定函数的奇偶性． [例4] (1)函数)0(cos=/=ab x aby 的周期为(2)函数x x x y cos 2tan +⋅=为____（填“奇”或“偶”）函数．[解析] .|2|||2)1(ππb aab T ==(2)函数定义域},42|{z k k x x ∈+=/ππ关于原点对称， 又)cos()2tan()(x x x x f -+-⋅-=-⋅=+⋅⋅=)(cos 2tan x f x x x∴ 此函数为偶函数． [答案] π|2|)1(ba(2)偶 4．（1)函数)33ta n(π+=ax y 的周期为,2π则a 的值为 (2)判断函数xxx y tan 1cos tan 2--=的奇偶性．(3)判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期：;,2cos 3R x x y ∈=① .|tan |x y =②考点5值域与最值命题规律求含有x x tan cos ≡的函数式的值域或最值． [例5] (1)求1tan 4tan 2-+=x x y 的值域； (2)若)23tan(],3,6[x k y x -+=∈πππ的值总不大于零，求实数后的取值范围， [解析] (1)设,tan x t =则转化为关于t 的二次函数求最值(2)由0≤y 得),23tan(x k --≤π因此，只要求出)23tan(x -π的范围即可．[答案] (1)设,55)2(14,tan 221-≥-+=-+==t t t Jy x t λ1tan 4tan 2-+=∴x x y 的值域为).,5[+∞-(2)由,0)23tan(≤-+=x k y π得⋅-=--≤)32tan()23tan(ππx x k⋅∈-∴∈]3,0[32],3,6[ππππx x由正切函数的单调性得.3)32tan(0≤-≤πx∴ 要使)32tan(π-≤x k 恒成立，只要0≤k 即可，即k 的取值范围为].0,(-∞[点拨] (1)与二次函数有关的三角问题，常常使用“换元法”． (2)解决恒成立问题常常使用“分离常数法”，5.（1） 求函数1tan tan 1tan tan 22+++-=x x x x y 的最大值与最小值．(2)如果函数)0(cos 1>-=b x b a y 的最大值是,23最小值是,21-求函数bx a y 3sin 42-=的最大值．优化分层测训学业水平测试)252cos(1π+=⋅x y 的一条对称轴为( )． 0.=x A 4.π=x B 8.π=x C 83.π=x D 2．与函数)42tan(π+=x y 的图象不相交的一条直线是( )．2.π=x A 2.π-=x B 4.π=x C 8.π=x D3．下列点中，能成为函数R x x y ∈+=)(5tan(π且,103ππ+=/k x )z k ∈的一个对称中心的是( )． )0,0(⋅A )0,5.(πB )0,54.(πC )0,.(πD4．将x y cos =的图象向____平移____个单位得到=y )3cos(π-x 的图象．5．直线m m y <=为常数）与函数)0(tan >=ωωx y 的图象相交且相邻两交点间的距离为2π ，则=ω6．利用五点法作出下列函数的简图（只作一个周期长度）：;cos 1)1(x y +=).62cos(3)2(π-=x y高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分x8 =40分） 1．要得到函数)621cos(π+=x y 的图象，可将x y cos =的图象( )． A ．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位 B ．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移⋅3π个单位C ．向左平移3π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍D ．向左平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍2．（2009年广东高考题）函数1)4(cos 22--=πx y 是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 3．（2009年全国高考题）如果函数)2cos(3ϕ+=x y 的图象关于点)0,34(π中心对称，那么||ϕ的最小值为( )．6π⋅A 4π⋅B 3π⋅C 2π⋅D4．（2009年四川高考题）已知函数),)(2sin()(R x x x f ∈-=π下面结论错误的是( )．A ．函数)(xf 的最小正周期为2π B ．函数)(x f 在区间]2,0[π上是增函数C ．函数)(x f 的图象关于直线0=x 对称D ．函数)(x f 是奇函数5．（2009年江西高考题）函数x x x f cos )tan 31()(+=的最小正周期为( )．π2.A 23.πB π.C 2π⋅D 6．（2008年浙江高考题）在同一平面直角坐标系中，函数=y ])2,0[)(232cos(ππ∈+x x 的图象和直线21=y 的交点个数是( )．0.A 1.B 2.C 4.D )tan(sin 7x y =⋅的值域为( )．]4,4.[ππ-A ]22,22.[-B ]1tan ,1tan .[-c D ．以上均不对 8．（2011年山东理）函数x xy sin 22-=的图象大致是( )．二、填空题（5分×4 =20分） 9．函数)42tan(π-=x y 的单调递增区间是10．已知函数)2tan()(φ+=x x f 的图象的一个对称中心为),0,3(π若,2||πϕ<则P 的值为11.给出下列命题：①函数x y sin =在第一、四象限都是增函数； ②函数)cos(ϕω+=x y 的最小正周期为;2ωπ③函数)2732sin(π+=x y 是偶函数； ④函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位，得到)42sin(.π+=x y 的图象，其中正确的命题的序号是12．（2010年福建高考题）已知函数>-=<ωπω)(6sin(3)x x f )0和1)2cos(2)(++=ϕx x g 的对称轴完全相同，,0[∈x ],2π则)(x f 的取值范围是 三、解答题（10分x4 =40分） 13.求下列函数的定义域：;)sin(cos )1(x y = .lgcos 36)2(2x x y +-=11 / 1114．已知函数b x a y += cos 的最大值为1，最小值为-3，求)3tan()(π+=ax b x f 的单调区间．15.（2010年广东高考题）已知函数,0)3sin()(><+=A x A x f ϕ)0),,(πϕ<<+∞-∞∈x 在12π=x 时取得最大值4．(1)求)(x f 的最小正周期；(2)求)(x f 的解析式．16.（2011年北京理）已知函数.1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f (1)求)(x f 的最小正周期；(2)求)(x f 在区间]4,6[ππ-上的最大值和最小值，。
三角、反三角函数图像
六个三角函数值在每个象限的符号：
sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα
三角函数的图像和性质：
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
定义域
R
R
｛x｜x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z｝
｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝
值域
［-1，1］x=2kπ+ 时ymax=1
奇偶性
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccotห้องสมุดไป่ตู้-x)=π-arccotx
周期性
都不是同期函数
恒等式
sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［- , ］)
cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)
y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosy
y=tanx(x∈(- , )的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctany
y=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty
理解
arcsinx表示属于［- , ］
且正弦值等于x的角
arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角
在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)
在(kπ- ，kπ+ )内都是增函数(k∈Z)
在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)
.反三角函数：
课件5：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
例 2.求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． 解:由题意得t1a－n xta＋n 1x≥>00 ，即－1≤tan x<1. 在 x∈(－π2，2π)时，x 的范围为[－π4，4π)． 又 y＝tan x 的周期为 π， ∴函数的定义域为[kπ－4π，kπ＋π4)，k∈Z.
课堂小结 1．余弦函数图象的两种画法 (1)平移法：这种方法借助诱导公式，先将 y＝cos x 写成 y＝ sin(x＋2π)，然后利用图象平移得到 y＝cos x 的图象． (2)“五点法”：在已知函数图象特征的情况下，找出函数图 象的关键点，画出草图．这种方法对图象的要求精度不高， 是比较常用的一种画图方法． 余弦函数除以上两种常见的画图方法外，还有其他的作图方 法(如与正弦函数类似的几何法等)．
知识点1：余弦函数的图象 问题导思 根据 y＝sin x 和 y＝cos x 的关系，你能利用 y＝sin x，x∈R 的图象得到 y＝cos x，x∈R 的图象吗？ 能，根据 cos x＝sin(π2＋x)只需把 y＝sin x，x∈R 的图象向左 平移π2个单位长度，即可得到 y＝cos x，x∈R 的图象．
总结 (1)余弦函数的性质
函数 定义域
值域 奇偶性
y＝cos x
R [－1,1] 偶函数
周期性 以 2kπ 为周期(k∈Z，k≠0)， 2π 为最小正周期
单调性
当 x∈ [2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z) 当 x∈ [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
时，递增； 时，递减
最大值与 当 x＝ 2kπ (k∈Z)时，最大值为 1 ；
(2)函数 y＝tan x 的最小正周期为 π，函数 y＝Atan(ωx＋ φ)(Aω≠0)的最小正周期为|ωπ |. (3)正切函数在整个定义域内不具有单调性，但在(－π2＋kπ，2π ＋kπ)(k∈Z)上递增，正切函数无单调减区间．
三角函数图象和性质详细讲解
1 cos( ) sin 2 1 sin( ) cos 2 1 tan( ) cot 2 1 cos( ) sin 2
tan
2 tan 1 tan
2
2
2
sin 15 cos75
2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2 6 2,
公式组五 sin(2 x) sin x cos(2 x) cos x tan(2 x) tan x cot(2 x) cot x
（二）角与角之间的互换 公式组一 cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
k , k 1 上为减函
数（ k Z ）
2
2k ]
上为增函 数 ； 单调性
[ 2k , 2 3 2k ] 2
上为增函数 [2k , 2k 1 ] 上为减函数 （kZ ）
上 为 增 函 数 （kZ ）
上为减函 数 （k Z ）
图象
注意：① y sin x 与 y sin x 的单调性正好相反； y cos x 与 y cos x 的单调性也同样相 反.一般地，若 y f ( x) 在 [a, b] 上递增（减） ，则 y f ( x) 在 [a, b] 上递减（增）.
4
sin sin 2 cos
sin
概念课之差异教学研究——三角函数的图象与性质(1)
１ 教 学过 程 实 录
１ １ 导 入 新 课 ．
师： 世界 上许 多运动 变化都 具有 周而 复始 、 循 环往 复 的特点 ， 如潮 起潮 落 、 弹簧振 子 的运动 ． 刻 画这些 现象 的最好 数学模 型就 是正 弦 、 弦 函数 ， 余 那 么什 么是正 弦 、 弦 函数 ？ 余
描 点 ， 线． 连
师 ： 于一 个新学 函数 如何 作 图？ 对
生： 表， 列 描点 ， 线 ． 连
让 学生 画出 Ｙ—ｓ ｚ ∈ ［ ２ ，ｈ ｉ ｚ， ｎ ～ ｎ ２ ｉ的 图 象． ．
师： 我们 学会 了用描 点法 、 正弦线 及五 点法作
的个 性 差异 ， 满足不 同学 生 的学 习需要 ， 为促 进每 个学 生 的学 习而 最大 限度 地 发展 教 学． 者理 解 笔 的差异 教学是 在 教学 中给 每 个学 生 均 等 的机 会 ，
能把 学 生从惧 怕权 威 、 乏 自尊 心 以及 自感不 重 缺
特殊 问题 一般 化 ， 何 作 出点 （ 。 ｓ 。 ？ 如 ｚ ，ｉ ｎ ） 既然一 般 的点都能作 出 ， 刚才 的 １ ３点也用 正弦 线 作（ 演示 正弦 线平移 过程 ） １ 个 点把单 位 圆 １ 等 ．３ ２ 分 ， 们还可 以把单 位 圆几等 分？ 我
青 年教 师 同题 异 构公 开 课 的 比赛 ． 节 课 在学 校 本 的 比赛 中获理 科 组第 一 名 ， 文 是该 课 的主要 教 本
学 过程 与反思 ， 希望 得到 同行指 教．
找找具 有个 性魅力 的点 ． 问题 ２ 在正 弦 函数 Ｙ— ｓ ， ｉ ｎ ｚ∈ Ｅ ， ］ ｏ ２【 ７
三角函数的图象与性质-备战高考数学(理)一轮复习考点
（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
D．函数 的一个单调递减区间为
7．已知函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于点 对称C．函数 在区间 上单调递减D．若 ，则 的值为
8．已知函数 的部分图象如图所示，下列结论正确的有（）
A．函数 的最小正周期为
B．直线 为函数 的一条对称轴
【解析】由题图可知A＝2，T＝4π，故 ＝4π，解得ω＝ .所以f(x)＝2sin .
把点 代入可得2sin ＝2，即sin ＝1，所以φ－ ＝2kπ＋ (k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋ (k∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝ .所以f(x)＝2sin .
5.已知函数 ( )的部分图象如图所示，若 ，则 的最小值为。
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
解得 .
8.函数 的最小正周期为。
【答案】
【解析】因为 ，所以最小正周期为 .
课件7：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质（一）
所以函数的值域为1，1＋2 2.
【答案】
1，1＋2
2
探究点 与正弦、余弦函数图象有关的零点问题 探究1 方程sin x＝x的实根个数有多少个？
【提示】 在同一坐标系内分别作出y＝sin x，y＝x图 象可知在x∈[0,1]内，sin x<x没有交点，当x>1时不会 相交，所以方程只有一个实根为0.
预习自测
用“五点法”作函数 y＝cos 2x，x∈R 的图象时，首先应描
出的五个点的横坐标是( )
A.0，π2，π，32π，2π
B.0，π4，π2，34π，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，π6，π3，π2，23π
【解析】 令 2x＝0，π2，π，32π和 2π，得 x＝0，π4，π2，34π，π， 故选 B.
跟踪训练 4.求下列方程解的个数： (1)方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________. (2)方程sin x＝lg x的解的个数是__________.
【解析】 (1)作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解.
(2)建立坐标系 xOy，先用五点法画出函数 y＝sin x，x∈[0,2π] 的图象，再依次向左、右连续平移 2π 个单位，得到 y＝sin x 的图象.描出点110，－1，(1,0)，(10,1)，
探究 2 函数 f (x)＝ x－cos x 在[0，＋∞)内有多少个零点？
【提示】 令 f (x)＝0，所以 x＝cos x 分别作出 y＝ x， y＝cos x 可知两函数只有一个交点，所以 f (x)在[0，＋∞) 内只有一个零点.
例 4 判断方程4x－cos x＝0 根的个数. 解：设 f (x)＝4x，g(x)＝cos x，在同一直角坐标系中画出 f (x) 与 g(x)的图象，如图：
最全三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质函数 y ＝sin x y ＝cos x图 象定义域 R R 值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )最 值x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋π2，k ∈Z对称中心：(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期2π2π二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域 R单调性 递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性奇函数对称性 对称中心：(,0)()2k k Z π∈（含原点）最小正周期 π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象x y sin =方法一：先平移后伸缩 方法二：先伸缩后平移 操作 向左平移φ个单位横坐标变为原来的1ω倍结果 )sin(ϕ+=x yx y ωsin =操作 横坐标变为原来的1ω倍向左平移ϕω个单位结果 )sin(ϕω+=x y操作 纵坐标变为原来的A 倍结果)sin(ϕω+=x A y注意：x 要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2ππϕ±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ωπ2=T3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义(1) A 称为振幅；(2)2T πω=称为周期；(3)1f T=称为频率；(4)x ωϕ+称为相位； (5)ϕ称为初相(6)ω称为圆频率.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
三角函数的图象与性质(精华版)
三角函数的图象与性质遂溪县第四中学 叶小灵【要点梳理】1.三角函数的图象和性质2.周期函数及最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 ，则称f (x )为周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的 .3、当函数)),(0,0)(sin(+∞-∞∈>>+=，x A x A y ωϕω表示一个振动量时，则 叫做振幅， 叫做周期， 叫做频率， 叫做相位， 叫做初相。
4、三角函数中奇函数一般可化为y ＝Asin ωx 或y ＝Atan ωx ，偶函数一般可化为y ＝Acos ωx ＋b 的形式．【典例分析】考点一：三角函数的定义域方法：求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线、三角函数图象和数轴求解.例1、求下列函数定义域.(1) y ＝lg （x sin -x cos ） (2) y=1cos 2-x (3)y=1sin 1log 2-=xy变式、函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为______ __ ．考点二：三角函数的值域（最值） 方法：(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 例2、求下列函数的值域. （1）x x y cos sin 3+= （2π≤x ） （2）x x y sin 2cos 2+= （4π≤x ）变式：求下列函数的值域. （1）]3,0(),3cos(ππ∈+=x x y （2）)66)(32sin(2πππ<<-+=x x y例3、求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的最大值与最小值．变式：)4cos(32π+-=x y 的最大值为________．此时x ＝_____________.考点三：三角函数的单调性方法：求形如)sin(ϕ+=wx A y 或)(cos ϕ+=wx A y （其中ϕ>0）的单调区间时，只需把ϕ+wx 看作一个整体，代入x y sin =或x y cos =的相应单调区间内解不等式即可，若w 为负则要先把w 化为正数． 例4、已知],0[),2sin(sin )(ππ∈-+=x x x x f ，求)(x f 的单调递增区间．变式1、函数)32sin()(π+-=x x f 的单调递减区间为___________． 2、函数)4(cos )(2π+=x x f 的单调递增区间为___________．考点四：三角函数的奇偶性与周期性方法：1、判断函数的奇偶性：首先要看函数的定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，进而确定其奇偶性．2、求三角函数的周期：（1）利用周期函数的定义．（2）利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T=2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T=π|ω|.一般地，)sin(φω+=x y 或)cos(φω+=x y 的周期是不含有绝对值的函数的周期的一半.（3）利用图象．例5、函数1)4(cos 2)(2--=πx x f 是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数例6、函数y ＝|sin x|的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π变式：1、函数f(x)＝2sin xcos x 是 ( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 2、函数f(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的偶函数考点五：三角函数的对称性方法：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用． 例7、函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的一条对称轴方程是( )． A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π12例8、若0＜∂＜π2，)42sin()(∂++=πx x f 是偶函数，则∂的值为________．变式1、函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.2、函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.3、函数)0)(sin(πϕϕ≤≤+=x y 是R 上的偶函数，则ϕ＝________.【课后练习】1、已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数2、函数()cos22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，323、x x y sin sin -=的值域是（ ）A ．]0,1[-B ．]1,0[C ．]1,1[-D ．]0,2[-4、y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 5、已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ）A .2πB .4π-C .4πD .34ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调减区间是________________．6、sin3 y x。
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(2 ,0)
( ,1)
3 2
y
1
o
-1
2
3 2
2
2
x
五点作图法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在…， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
作出 135
o
的三角函数线:
P
M
o
A T
正弦函数的图象
函数
y sin x, x 0,2 图象的几何作法
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移
p1/
-
1P 1
6
(4) 连线
2
x
-
-
-
o1
M1 -1
A
o
-1 -
图象的最高点
(
2Hale Waihona Puke ,1)(0,0) ( ,0)
图象的最低点
3．正弦函数的性质；
4．思想方法：“从已知探求未知”、类比、从特殊到一 般．
正弦曲线
4
y
1-
2
-1
o R
2
4
x
余弦曲线
定义域 值 域 周期性 奇偶性 增: 单调性 减:
奇函数
偶函数
2
.
y
.
2
1 O -1 -2
.
3 2
.
2
x
.
y
1
. O
-1
.
2
.
.
.
3 2
2
x
y
2 O -2
.
.
2
.
.
.
x
小结：
1．正弦曲线：（1）几何画法 ；（2）五点法． 2．注意与三角函数线等知识的联系；