5投影变换

c
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面 把投影面垂直面变换成投影面平行面(一次换面）
a’
Z A B X b
O1
V
b’
c’ a c c 1’
O1 O
b1’
c C
a1’
O
V1
c1 ’ X1
Y
X X1
b
a H
b 1’ a1’
把一般位置平面变换成投影面平行面
分析： 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。
化解题。
投影变换的基本方法： 1)换面法：空间几何元素的位置保持 不动，用新的投影面代替旧的投影面， 使空间几何元素对新投影面的位置变 成为有利于解题的特殊位置，然后求 出其对新投影面的投影。 2)旋转法：投影面保持不动，使空间 几何元素绕选定的某一直线为轴旋转 到有利于解题的特殊位置，然后求出 旋转后的新投影。
第三章 投影变换
第一节
概述
当空间的直线或平面对投影面处
于一般位置时，它们的投影都不反
映其真实长度、大小和形状，也不
反映它们之间的实际距离和夹角。 但当它们对投影面处于特殊位 置时，上述问题往往容易解决。
两点之间距离 三角形实形
c
b a a c a b a b c b a a b a
H1
V a'
X V H
ax1
a1
X
A
a
H
ax a
点的投影变换规律：
点的新投影与不变投影的连线必垂直于 新投影轴； 点的新投影到新投影轴的距离等于被代
替的旧投影到旧投影轴的距离。
点的一次变换 （换V面）
a'
V X H
V
a'
A1
V1 a1'O
X
ax a
H
ax
a
O
X1
aX1
点的一次变换 （换V面）
a'
a1’ b1’
k1’
c1’
例4： 求两平面之间的夹角
b' c' V XH c
a'
P d' C A
D
c
B a(b) θ d
b a
d
a1´
d1´
c1´
b1´
d2
θ
V1
a2(b2)
c2
例5：求交叉二直线AB和CD的距离，并作出其公垂线。
n' d'
c'
a' m'
c
x
V
b'
n d b b’1 d’1 a o1
x2
a1´
ax1
X1
2. 点的两次变换
V a'
a' V X H ax a ax1
a1´
a2 A a H a1´ X1
H2
X H2 a2
ax
ax1
V1
必须指出：在多次变换投影面时， 新投影面的选择除必须符合前述的 两个条件外，还必须是一个投影面 变换完以后，在新的投影面体系中 交替地再变换另一个投影面。
b2’ a2’ 12’ a1(1 )
1
b' a' V X H a
X1 H1 b 1 V
1'
c2 ’
c1
c'
b 1 c o
四、解题举例
例1：已知直线AB的水平投影ab，点A的正面投影a’，
以及直线AB的实长L。求直线AB的正面投影a’b’。
L b' a' x bo a x1 a’ 1 o
1
b 1’ L
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
分析：如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
X1 b1 b1 B a' X A O b H 1 C c β a1 b' 1' a' V X H a b 1 c' O a1(11)
V
b'
β
c1
(11 )
c1
a
求,找水平线，变换V面；求 ，找正平线，变换H面
C
c'
X
新投影面选择必须符合两个条件： 1）新投影面必须和空间几何元素处
于有利于解题的位置。
2）新投影面必须垂直于原投影体系 中某一投影面。
二、点的投影变换规律 1. 点的一次变换
V
a'
ax
X1
ax1
X a'XLeabharlann V HAaa1
H
ax a
二、点的投影变换规律 1. 点的一次变换
V
a1 a'
ax
ax1
V b'
a'
b2 (a2)
X
A B a b
V1 a1’
b' X V H b 1’ b H X1 V1
a'
a a1’
b2 (a2)
H X1
b1’
欲把一般位置直线变为投影面垂直线，必 须变换两次投影面。 第一次把一般位置直线变为投影面平行线 第二次再把投影面平行线变为投影面垂直线 欲将直线变成铅垂线，先将直线变为 正平线（换V面），再将正平线变为铅垂线 （换H面） 欲将直线变成正垂线，先将直线变为 水平线（换H面），再将水平线变为正垂线 （换V 面）
例2： 过线外一点作直线与一般位置直线正交
m' a' k'
b a k
b'
V X H
m
a1'
k1'
b 1'
m1'
例3：已知平面ABC和平面外一点D，求点D到平面
ABC的距离，并求出垂线的投影。
c’ k’
V XH
a’ a
b’
kx c
d’ d
k
01 d1’
dk∥o1x1 k’kx=k1’kx1
b H
kx1
α
A
B b
求 需变换V面，求 需变换H面
2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
把投影面平行线变换成投影面垂直线(一次换面）
V a' A a H X1 b' a1 (b1)
b'
X
a1 (b1) B O1 b
a' O H1 V X H
O
a
b
把一般位置直线变换成投影面垂直线（两次换面）
空间分析：一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
e2 c2
e1 e
d
e
d
H
o
o2 b2(a2,m2)
m
c’1
H x1 V 1
m’1 a’1 n’1
n1’m1 ’ ∥o2x2
V1 d2 n2 H x2 2
c2
例6：已知点E到平面ABC的距离为N，求点E的正面投影e。
d e
N
d
例7：已知点E在平 面ABC上，距离A、 B为15，求点E的投 影。
a2
15
b2 d2
第二节
换面法
一、换面法的基本概念
a' b'
X
c'
O V1 a'
1
a(c) b
A
b'
1
V a'
b1' X1
c1' O
B
C
c'
a(c) b H
X
换面法的基本概念
a' a1' c1' b’ X c’ O
b1' V1 X1
a(c) b V1 a'
1
A c1' b1' X1
a' V
b'
O
1
B
a(c) b H
三、四个基本作图问题
1. 把一般位置直线变为投影面平行线；
2. 把一般位置直线变为投影面垂直线；
3. 把一般位置平面变为投影面垂直面；
4. 把一般位置平面变为投影面平行面。
1. 一般位置直线变为投影面的平行线
b’1 V1 a1’ X1 H a b 1’ α a' V b ' X α a1’
a'
b'
V X H
V
a'
A1
X
ax a
H
O
ax
a ax1
H V1
O
aX1
a1'
V1
点的投影变换规律： 点的新投影与不变投影的连线必垂直于 a1’ 新投影轴； 点的新投影到新投影轴的距离等于被代 替的旧投影到旧投影轴的距离。
2. 点的两次变换
V a'
a' V X H ax a X ax a2 A a H
V 1 X2 H2 a
直线与平面的 两平面夹角 交点
c d a b d b a c c k e d b a c e b b d k e d c k
e
b b
a
c c b d d c c b a d
b
a
a
b a
k
a
投影变换的目的：
将空间几何元素对投影面
的相对位置，由一般位置变
换成为特殊位置，以达到简