高中数学 1.3.3第1课时 函数的最大(小)值与导数练习
2019年高中数学第一章1.3.3函数的最大(小)值与导数优化练习新人教A版选修2-2
1.3.3 函数的最大（小）值与导数[课时作业] [A 组 基础巩固]1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0D ．以上都有可能解析：由题意，知在区间[a ，b ]上，有m ≤f (x )≤M ，当M ＝m 时，令M ＝m ＝C ，则必有f (x )＝C ，∴f ′(x )＝C ′＝0.故选A.答案：A2．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103解析：y ′＝1x·x －ln xx 2＝1－ln xx2(x >0)， 令y ′＝0，得x ＝e.∴当0<x ≤e 时，y ′≥0，y ＝ln x x为增函数；当x >e 时，y ′<0，y ＝ln x x为减函数．∴y ＝ln x x 在(0，＋∞)上的最大值为y max ＝ln e e ＝1e .答案：A3．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[－π2，0]上的最小值是( )A ．－π2B ．2 C.π6＋ 3 D.π3＋1 解析：f ′(x )＝1－2sin x ， ∵x ∈[－π2，0]，∴sin x ∈[－1,0]，∴－2sin x ∈[0,2]． ∴f ′(x )＝1－2sin x >0在[－π2，0]上恒成立，∴f (x )在[－π2，0]上单调递增．∴f (x )min ＝f (－π2)＝－π2＋2cos(－π2)＝－π2.答案：A4．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32解析：因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3.经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.答案：A5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32解析：y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．答案：C6．函数f (x )＝x －ln x ，x ∈[1e ，e]的最大值为________．解析：f ′(x )＝1－1x，x >0.由f ′(x )＝0，得x ＝1.又f (1)＝1，f (1e )＝1e ＋1，f (e)＝e －1，∵f (1e )－f (e)＝2＋1e －e<2＋12－e<0，∴f (1e )<f (e)，f (x )最大值为f (e)＝e －1.答案：e －17．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2.由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]8．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，x >0，则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝e 12，且0<x <e 12时，g ′(x )>0；当x >e 12时g ′(x )<0，∴x ＝e 12时g (x )取最大值g (e 12)＝e ，∴a ≥e.答案：[e ，＋∞)9．已知f (x )＝ax 3＋bx 2－2x ＋c 在x ＝－2时有极大值6，在x ＝1时有极小值，求a ，b ，c 的值；并求f (x )在区间[－3,3]上的最大值和最小值．解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx －2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧f －＝12a －4b －2＝0，f＝3a ＋2b －2＝0，f －＝－8a ＋4b ＋4＋c ＝6.解得a ＝13，b ＝12，c ＝83.f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋83，f ′(x )＝x 2＋x －2，由上表知，在区间[－3,3]上，当x ＝3时，f (x )max ＝616，x ＝1时，f (x )min ＝32.10．设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解析：函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝ 2. 当f ′(x )>0时， x ∈(0，2)； 当f ′(x )<0时，x ∈(2，2)．所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)． (2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx －x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.[B 组 能力提升]1．记函数f (x )＝13x 3－12x 2＋12在(0，＋∞)的值域为M ，g (x )＝(x ＋1)2＋a 在(－∞，＋∞)的值域为N ，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a ≥13D ．a ≤13解析：因为f ′(x )＝x 2－x ，由f ′(x )>0⇒x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)；由f ′(x )<0⇒x ∈(0,1)，所以函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以M ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，又N ＝[a ，＋∞)，所以若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是a ≥13，故选C. 答案：C2．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：f (x )的导函数y ＝f ′(x )下列关于函数f (x )的命题： ①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中真命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：由y ＝f ′(x )的图象，可知f (x )在[－1,0]，[2,4]上为增函数，在(0,2)，(4,5]上为减函数，由于f (－1)＝f (5)＝1，f (0)＝f (4)＝2，故f (x )max ＝2，f (2)为极小值，且与1的大小不确定．由于f (x )的定义域为[－1,5]，故f (x )不是周期函数，故①不正确；对于③，应有t ∈[0,5]，故t max ＝5，故③不正确；对于④，由于f (x )极小值＝f (2)与1的大小不确定；故④不正确；只有②正确．答案：D 3．若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． 解析：f ′(x )＝x 2＋a －2x 2x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a2，令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝－a (舍去)．当x >a 时，f ′(x )<0；当0<x <a 时，f ′(x )>0； 当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1. 答案：3－14．已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间(a ，a ＋12)(其中a >0)上存在最大值，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝1＋ln x x ，x >0，所以f ′(x )＝－ln xx2.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞ )上单调递减， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极大值．因为函数f (x )在区间(a ，a ＋12)(其中a >0)上存在最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <1a ＋12>1，解得12<a <1.答案：12<a <15．已知函数f (x )＝a x 2－x －ex(x ∈R)，a 为正数．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对∀x 1，x 2∈[0,4]均有|f (x 1)－f (x 2)|<1成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)令f ′(x )＝a x －x 2ex＝ax－xex＝0 得x ＝0或x ＝3. ∵a >0，e x>0，∴当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0， 当x ∈(0,3)时f ′(x )>0. 当x ∈(3，＋∞)时f ′(x )<0.故f (x )的单调减区间为(－∞，0)和(3，＋∞)， 增区间为(0,3)．(2)在x ∈[0,4]时由(1)知在x ∈[0,3]时单调递增，x ∈[3,4]时单调递减， ∴f (3)为f (x )在[0,4]上的最大值． 而f (0)＝－a ，f (4)＝11ae 4，则f (0)<f (4)故在[0,4]上f (x )的最小值为f (0) 若要对∀x 1，x 2∈[0,4]有|f (x 1)－f (x 2)|<1 只需|f (x )max －f (x )min |<1，即f (3)－f (0)<1 ∴5a e 3＋a <1⇒a <e 35＋e3， 又a >0，∴a 的取值范围为(0，e 35＋e3)．6．已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1,4]上的最小值为8，求a 的值． 解析：(1)当a ＝－4时，f (x )＝(2x －4)2x ＝4(x －2)2x ，f (x )的定义域为[0，＋∞) f ′(x )＝8(x －2)x ＋x －2x＝x －x －x令f ′(x )>0得0<x <25，x >2所以当a ＝－4时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞) (2)f (x )＝(2x ＋a )2x ，f ′(x )＝4(2x ＋a )x ＋x ＋a 22x＝2x ＋ax ＋a2x，令f ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a10，∵a <0，∴x 1>x 2>0，所以，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞上，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－a10，－a 2上，f ′(x )<0，f (x )的单调递减； 又易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1时，即－2≤a <0时，f (x )在区间[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝－2±22，均不符合题意．②当1<－a2≤4时，即－8≤a <－2时，f (x )在区间[1,4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2>4时，即a <－8时，f (x )在区间[1,4]上的最小值可能为x ＝1或x ＝4处取到，而f (1)≠8， f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8，得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时， f (x )在区间[1,4]上单调递减，f (x )在区间[1,4]上的最小值f (4)＝8符合题意．综上，a ＝－10.。
高中数学1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3函数的最大(小)值与导数课后篇巩固提升1.函数y=2x3-3x2-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是()A.5,-15B.5,-4C.-4,-15D.5,-16y'=6x2-6x-12,令y'>0,解得x>2或x<-1.所以函数y=2x3-3x2-12x+5在(0,2)内单调递减,在(2,3)内单调递增.又y(0)=5,y(2)=-15,y(3)=-4,所以该函数在区间[0,3]上最大值与最小值分别是5,-15.故选A.2.函数f(x)=的最大值为()A.0B.-eC.D.不存在(x)=-,令f'(x)=0,得x=1.因为当x<1时f'(x)>0;当x>1时f'(x)<0.所以函数f(x)在x=1处取得极大值,亦即函数的最大值f(1)=.3.函数y=()A.有最大值2,无最小值B.无最大值,有最小值-2C.最大值为2,最小值为-2D.无最值y'=-,令y'=0得x=±1,容易验证当x=-1时,函数取极小值f(-1)=-2,当x=1时函数取极大值f(1)=2,此即为函数的最小值和最大值.4.函数f(x)=x3-x2-x+a在区间[0,2]上的最大值是3,则a等于()A.3B.1C.2D.-1(x)=3x2-2x-1,令f'(x)=0,解得x=-(舍去)或x=1.又f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2,则f(2)最大,即a+2=3,所以a=1.5.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为()A.1B.C.D.,设|MN|=F(t)=t2-ln t(t>0),令F'(t)=2t-=0,得t=或t=-(舍去).F(t)在内单调递减,在内单调递增,故当t=时,F(t)=t2-ln t(t>0)有极小值,也为最小值.即|MN|达到最小值,故选D.6.函数y=x+(x>0)的最小值为.1+×(-2)×=1---,所以当x>1时,y'>0,当0<x<1时,y'<0,所以函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数在x=1处取得最小值,最小值为1+,故答案是.7.函数f(x)=ax4-4ax3+b(a>0),x∈[1,4],f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b=.(x)=4ax3-12ax2.令f'(x)=0,得x=0(舍去)或x=3.当1<x<3时,f'(x)<0,当3<x<4时,f'(x)>0,故x=3为极小值点.因为f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b,所以f(x)的最小值为f(3)=b-27a,最大值为f(4)=b.解得故a+b=.所以--8.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)内的最大值为,则a的值为.(x)=--,当x>时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当-<x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x=时,f(x)=<1,不合题意.∴f(x)max=f(1)=,a=-1.-19.已知函数f(x)=x ln x.(1)求f(x)的最小值;(2)若对所有的x∈[1,+∞)都有f(x ≥ax-1,求实数a的取值范围.f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ln x.令f'(x)>0,解得x>;令f'(x)<0,解得0<x<.从而f(x)在单调递减,在单调递增.所以,当x=时,f(x)取得最小值-.(2)依题意,得f(x ≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,即不等式a≤ln x+对于x∈[1,+∞)恒成立.令g(x)=ln x+,则g'(x)=-.当x>1时,因为g'(x)=->0,故g(x)是[1,+∞)上的增函数,所以g(x)的最小值是g(1)=1,所以a的取值范围是(-∞,1].10.已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.若a≤0 则f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)内单调递增;若a>0,则当x∈0,时f'(x)>0,当x∈,+∞时f'(x)<0,所以f(x)在0,内单调递增,在,+∞内单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)内无最大值.当a>0时,f(x)在x=取得最大值,最大值为f=ln +a1-=-ln a+a-1.因此f>2a-2⇔ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1.则g(a)在(0,+∞)内是增函数,且g(1)=0,于是,当0<a<1时,g(a)<0,当a>1时,g(a)>0.因此a的取值范围是(0,1).。
2019_2020学年高中数学1.3.3函数的最大(小)值与导数课时作业(含解析)新人教A版选修2_2
课时作业9 函数的最大(小)值与导数知识点一 函数最值的概念1.设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，且在(a ，b )内可导，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )的极值点一定是最值点 B ．f (x )的最值点一定是极值点 C ．f (x )在此区间上可能没有极值点 D ．f (x )在此区间上可能没有最值点 答案 C解析 根据函数的极值与最值的概念判断知选项A ，B ，D 都不正确，只有选项C 正确． 2．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能答案 A解析 由题意，知在区间[a ，b ]上，有m ≤f (x )≤M ，当M ＝m 时，今M ＝m ＝C ，则必有f (x )＝C ，∴f ′(x )＝C ′＝0.故选A.知识点二 求函数的最值3.函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.4．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数y ＝x －sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sinπ＝π，故选C.知识点三 含参数的函数的最值问题5.若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m 等于( )A ．0B ．1C ．2D.52答案 C解析 y ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)， 令y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1. 因为f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12，又f (1)＝m ＋52，f (－2)＝m －2，所以f (1)＝m ＋52最大，所以m ＋52＝92，所以m ＝2.故选C.6．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________.答案 20解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3， ∴当x >1或x <－1时f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ， ∴f (0)<f (3)．∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m . ∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20.7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围． 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：单调递增单调递减单调递增所以函数f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ，解得c <－1或c >2. 故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．一、选择题1．使函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值的x 为( )A ．0 B.π6 C.π3D.π2答案 B解析 ∵f ′(x )＝1－2sin x ＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ＝12，x ＝π6，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，即x ＝π6，f (x )取最大值．故选B.2．函数y ＝x e －x，x ∈[0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e2 答案 B解析 y ′＝e －x－x ·e －x＝e －x(1－x )，令y ′＝0， ∴x ＝1.∵f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)为最大值．故选B.3．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11答案 A解析 ∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或2.∵f (0)＝m ，f (2)＝－8＋m ，f (－2)＝－40＋m ，显然f (0)>f (2)>f (－2)，∴m ＝3，最小值为f (－2)＝－37.4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <12答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B.5．已知(a ＋1)x －1－ln x ≤0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．1－2ln 2 D.－1＋ln 22答案 C解析 原问题等价于a ＋1≤ln x ＋1x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立，令h (x )＝ln x ＋1x ，则h ′(x )＝－ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，h ′(x )＞0，当x ∈(1,2]时，h ′(x )＜0，所以函数h (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以最小值为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，h 2＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2，所以a ≤2－2ln 2－1＝1－2ln 2，选C.二、填空题 6．函数f (x )＝4xx 2＋1，x ∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________． 答案 2 －2 解析 ∵y ′＝4x 2＋1－2x ·4x x 2＋12＝－4x 2＋4x 2＋12，令y ′＝0，可得x ＝1或－1.又∵f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (2)＝85，f (－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.7．若F (x )＝x －2ln x ＋2a ，则F (x )在(0，＋∞)上的最小值是________． 答案 2－2ln 2＋2a解析 令F ′(x )＝1－2x ＝x －2x＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时F ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，F ′(x )>0， ∴当x ＝2时F (x )min ＝F (2)＝2－2ln 2＋2a .8．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax2(a ＞0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [e ，＋∞)解析 f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，x ＞0，则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝e 12， 且0＜x ＜e 12 时，g ′(x )＞0；当x ＞e 12时g ′(x )＜0， ∴x ＝e 12 时g (x )取最大值g (e 12)＝e ，∴a ≥e. 三、解答题9．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解 (1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ， ∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，从而3a ＋1＝0，b ＝0， 解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.10．已知函数f (x )＝ln x ＋ax.(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解 函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋ae >2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a 的值为 e.。
高中数学 1.3.3 函数的最大(小)值与导数课时练 新人教
【金版新学案】2014-2015学年高中数学 1.3.3 函数的最大(小)值与导数课时练 新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是( ) A ．－π2B ．2C ．π6＋ 3D ．π3＋1解析： f ′(x )＝1－2sin x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴sin x ∈[－1,0]，∴－2sin x ∈[0,2]．∴f ′(x )＝1－2sin x >0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上恒成立，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递增．∴f (x )min ＝－π2＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2.答案： A2．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103解析： 令y ′＝1－ln x x2＝0，则x ＝e 当x ∈(0，e)时，y ′>0，当x ∈(e ，＋∞)时，y ′<0. ∴当x ＝e 时y 取最大值1e ，故选A.答案： A3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A．－37 B．－29C．－5 D．以上都不对解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大．∴当m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值为－37.故选A.答案： A4．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)e x的判断正确的是( )①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．A．①③B．①②③C．②D．①②解析：由f(x)>0得0<x<2，故①正确．f′(x)＝(2－x2)e x，令f′(x)＝0，得x＝±2，当x<－2或x>2时，f′(x)<0.当－2<x<2时，f′(x)>0.∴x＝－2时，f(x)取得极小值，当x＝2时，f(x)取得极大值，故②正确．当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)<0.综合函数的单调性与极值画出函数草图(如下图)．∴函数f(x)有最大值无最小值，故③不正确．答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f(x)＝1x＋1＋x(x∈[1,3])的值域为________．解析： f ′(x )＝－1x ＋12＋1＝x 2＋2xx ＋12，所以在[1,3]上f ′(x )>0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32.故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134. 答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134 6．设函数f (x )＝12x 2e x，若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析： f ′(x )＝x e x＋12x 2e x＝ex2·x (x ＋2)， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2.当x ∈[－2,2]时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 f ′(x ) 0－＋f (x )min 要使f (x )＞m 对x ∈[－2,2]恒成立， 只需m ＜f (x )min ，∴m ＜0. 答案： m ＜0三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ，x ＝3是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在x ∈[1,5]上的最大值和最小值．解析： 根据题意，f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，x ＝3是函数f (x )的极值点，得f ′(3)＝0， 即27－6a ＋3＝0，得a ＝5. 所以f (x )＝x 3－5x 2＋3x .令f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝0，得x ＝3或x ＝13(舍去)．当1<x <3时，f ′(x )<0，函数f (x )在[1,3)上是减函数； 当3<x <5时，f ′(x )>0，函数f (x )在(3,5]上是增函数．由此得到当x ＝3时，函数f (x )有极小值f (3)＝－9，也就是函数f (x )在[1,5]上的最小值；又因为f (1)＝－1，f (5)＝15，即函数f (x )在[1,5]上的最大值为f (5)＝15.综上，函数f (x )在[1,5]上的最大值为15，最小值为－9. 8．设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解析： 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a ＞0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.尖子生题库☆☆☆(10分)已知函数f (x )＝－23x ＋13x ＋ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上存在x 0使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，求c 的取值范围．解析： 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上存在x 0，使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，只需c ≥f (x )min ，由f ′(x )＝－23－13x 2＋1x＝－2x 2－3x ＋13x 2＝－2x －1x －13x2， ∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12时，f ′(x )<0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )>0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(1,2)上单调递减．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上的极小值． 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13＋ln 12＝13－ln 2，f (2)＝－76＋ln 2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝32－ln 4＝ln e 32－ln 4，又e 3－16>0，∴ln e 32－ln 4>0，∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上f (x )min ＝f (2)， ∴c ≥f (x )min ＝－76＋ln 2.∴c 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－76＋ln 2，＋∞.。
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书：第1章 1.3.3 最大值与最小值 Word版含答案
1.3.3最大值与最小值1．会求在指定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点) 2．掌握含参数的最值问题的讨论．(难点)3．掌握函数的极值与最值的联系与区别．(易混点)[基础·初探]教材整理函数的最大(小)值与导数阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的最大值与最小值．(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值．函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值惟一．2．利用导数求函数的最值求可导函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．1．判断正误：(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )【答案】(1)×(2)√(3)×2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上________．(填序号)①无最值；②有极值；③有最大值；④有最小值．【解析】f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．【答案】①[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)f(x)＝x3－12x2－2x＋5，x∈[－2,2]；(2)f(x)＝e－x－e x，x∈[0,1]．【精彩点拨】首先利用函数求极值，再比较极值与端点值的大小，确定最值．【自主解答】(1)f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－23，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：(2)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1ex ′－(e x )′＝－1ex －e x＝－1＋e2x ex .当x ∈[0,1]时，f ′(x )<0恒成立， 即f (x )在[0,1]上是减函数．故当x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝1e －e ；当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.求函数最值的四个步骤 (1)求函数的定义域；(2)求f ′(x )，解方程f ′(x )＝0； (3)列出关于x ，f (x )，f ′(x )的变化表； (4)求极值、端点值，确定最值．[再练一题]1．(2016·盐城质检)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最大值是________.【导学号：01580015】【解析】 ∵y ′＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，令y ′＝0，得x ＝π6.由于f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝π6＋3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝π2，∴函数的最大值为π6＋3.【答案】 π6＋3已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．【精彩点拨】 首先求出f ′(x )．然后讨论a 的正负，根据函数f (x )的单调性得出用a ，b 表示的函数的最值，从而列出关于a ，b 的方程组，求a ，b .【自主解答】 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减f (0)＝b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29， f (2)＝－16a －29>f (－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.1．本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，且最值也受a的符号的影响，因此需要对a的符号进行分类讨论．2．已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型，解决该类问题的基本方法是待定系数法，列出关于参数的方程(组)，从而求出参数的值，但在用参数表示最值时，需要根据参数的情况分类讨论．[再练一题]2．设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求该函数的解析式.【导学号：01580016】【解】f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增当x＝a时，f(x)取得极小值－a32＋b，而f(0)>f(a)，又f(1)>f(－1)，故只需比较f(0)与f(1)，f(－1)与f(a)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.又因为f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.故所求函数的解析式是f (x )＝x 3－62x 2＋1. [探究共研型]如图1-3-6为y ＝f (x图1-3-6探究1 观察[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象，试找出它的极大值、极小值． 【提示】 f (x 1)，f (x 3)为函数的极大值，f (x 2)，f (x 4)为函数的极小值． 探究2结合图象判断，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？【提示】 存在．f (x )最小值＝f (a )，f (x )最大值＝f (x 3)．探究3 函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值一定是其极值吗？ 【提示】 不一定．也可能是区间端点的函数值．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．【精彩点拨】(1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．【自主解答】(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：单调递增单调递减∴g(t)在(0,2)h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．2．不等式恒成立、能成立常见的转化策略(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)最大值，a＜f(x)恒成立⇔a<f(x)最小值；(2)f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]最小值；(3)f(x)＞g(x)恒成立⇔f(x)最小值＞g(x)最大值；(4)a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)最小值，a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)最大值．[再练一题]3．上例(2)若改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？【解】令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：单调 递增单调递减存在t ∈[0,2]，使h (t )<－2t ＋m 成立， 等价于g (t )的最小值g (2)<0. ∴－3－m <0，∴m >－3，所以实数m 的取值范围为(－3，＋∞)．[构建·体系]1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，π的最大值是________．【解析】 ∵y ′＝1－cos x ≥0，∴y ＝x －sin x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，π上是增函数，∴y 最大值＝π.【答案】 π2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________.【导学号：01580017】【解析】 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2(舍去)． 当x ∈[－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )递增； 当x ∈(0,1]，f ′(x )<0，f (x )递减； ∴x ＝0时，f (x )取最大值2. 【答案】 23．函数f (x )＝12e x(sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的值域为________ .【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12·e π2.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，12e π24．已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－m x ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解，∴mx <2ln x ，即m 2<ln xx 在[1，e]上有解，令h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln xx2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )≥h (e)＝1e ，∴m 2<1e ，∴m <2e .∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，2e .【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，2e5．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)·(x －a )． (1)求导数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值． 【解】 (1)由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)由f ′(－1)＝0，得a ＝12，此时有f (x )＝(x 2－4)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12，f ′(x )＝3x 2－x －4.由f ′(x )＝0，得x ＝43或x ＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，∴f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________。
课时作业16：1.3.3 函数的最大(小)值与导数(一)
1．3.3 函数的最大(小)值与导数(一)一、选择题1．设M ，m 分别是函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值，若M ＝m ，则f ′(x )( )A ．等于0B ．小于0C ．等于1D ．不确定考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求导数答案 A解析 因为M ＝m ，所以f (x )为常数函数，故f ′(x )＝0，故选A.2．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( )A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 最值存在性问题答案 D解析 f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值，故选D.3．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3C.174 D ．22＋12考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 B解析 由f ′(x )＝1x －1x 2＝32x －1x 2＝0，得x ＝1， 且当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，∴当x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3.4．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( ) A ．2B ．1 C.233D ．0考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 A解析 ∵f (x )在x ＝π3处有最值， ∴x ＝π3是函数f (x )的极值点． 又∵f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝a cos π3＋cos π＝0，解得a ＝2. 5．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a ) 考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 A解析 令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a )．6．已知函数f (x )＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32 B.12 C ．－12 D.12或－32 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 C解析 由题意知a <2，令f ′(x )＝－2x －2＝0，则x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154， 解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)． 所以a ＝－12. 7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( )A ．15B ．－15C ．10D ．－13考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求含参数函数的最值答案 D解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3，由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在区间[－1,0)上单调递减，在区间(0,1]上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为直线x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.二、填空题8．函数f (x )＝4x x 2＋1(x ∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________． 考点 导数在最值问题中的应用题点 最值与极值的综合应用答案 2 －2解析 f ′(x )＝4(x 2＋1)－4x ×2x (x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.由f (－2)＝－85，f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (2)＝85， ∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.9．已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________．考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 15x －3y －2＝0解析 ∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋3＋2a 2，∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5，∵a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3，f ′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f (1)＝－23＋2＋3＝133， ∴所求切线方程为y －133＝5(x －1)． 即15x －3y －2＝0.10．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12π2e 解析 f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ， 当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， 故f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝12π2e ，f (x )的最小值为f (0)＝12. 11．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 1解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a， 当0<x <1a时，f ′(x )>0； 当x >1a时，f ′(x )<0. ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.12．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是__________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 最值与零点问题答案 (－∞，2ln 2－2]解析 由题意知e x －2x ＋a ＝0有根，即a ＝2x －e x ，令g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2.而g (x )在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝2ln 2－e ln 2＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2.三、解答题13．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值．考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值解 (1)f ′(x )＝a x－2bx .由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， 得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －2b ＝0，－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12. (2)由(1)，得f (x )＝ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x. 令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝－12. 四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________． 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数答案 2解析 由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ， 可得f ′(x )＝x 2－2x －1，令x 2－2x －1＝0，可得x ＝1±2.当x ∈(1－2，1＋2)时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(1－2，1＋2)上是减函数，即f (x )在[0,1]上为减函数，故f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，所以13－1－1＋m ＝13，解得m ＝2. 15．已知函数f (x )＝ln x ＋a x. (1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值． 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数解 函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾； ②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾； ③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e ]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e. ④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )≤0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾； ⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e >2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a 的值为 e.。
高二数学 1.3.3函数的最大(小)值与导数课后习题 新人教A版选修2-2
1.3.3 函数的最大(小)值与导数A组1.函数f(x)=x3-2x2在区间[-1,5]上()A.有最大值0,无最小值B.有最大值0,最小值-C.有最小值-,无最大值D.既无最大值也无最小值解析:f'(x)=x2-4x=x(x-4).令f'(x)=0,得x=0或x=4,∴f(0)=0,f(4)=-,f(-1)=-,f(5)=-,∴f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(4)=-.答案:B2.函数y=x e-x,x∈[0,4]的最大值是()A.0B.C.D.解析:y'=e-x-x·e-x=e-x(1-x),令y'=0,∴x=1,∴f(0)=0,f(4)=,f(1)=e-1=,∴f(1)为最大值.答案:B3.函数f(x)=x·2x,则下列结论正确的是()A.当x=时,f(x)取最大值B.当x=时,f(x)取最小值C.当x=-时,f(x)取最大值D.当x=-时,f(x)取最小值解析:f'(x)=2x+x·(2x)'=2x+x·2x·ln 2.令f'(x)=0,得x=-.当x∈时,f'(x)<0;当x∈时,f'(x)>0,故函数在x=-处取极小值,也是最小值.答案:D4.对于R上可导的任意函数f(x),若满足x≠1时(x-1)·f'(x)>0,则必有()A.f(0)+f(2)>2f(1)B.f(0)+f(2)<2f(1)C.f(0)+f(2)≥2f(1)D.f(0)+f(2)≤2f(1)解析:当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;当x<1时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,1)上是减函数,故f(x)在x=1处取得最小值,即有f(0)>f(1),f(2)>f(1),得f(0)+f(2)>2f(1).答案:A5.若对任意的x>0,恒有ln x≤px-1(p>0),则p的取值范围是()A.(0,1]B.(1,+∞)C.(0,1)D.[1,+∞)解析:原不等式可化为ln x-px+1≤0,令f(x)=ln x-px+1,故只需f(x)max≤0,由f'(x)=-p知f(x)在上单调递增;在上单调递减.故f(x)max=f=-ln p,即-ln p≤0,解得p≥1.答案:D6.函数f(x)=e x(x2-4x+3)在[0,1]上的最小值是.解析:f'(x)=e x(x2-4x+3)+e x(2x-4)=e x(x2-2x-1)=e x[(x-1)2-2],当x∈[0,1]时,f'(x)<0,f(x)在[0,1]上是减函数,f(x)min=f(1)=0.答案:07.已知函数f(x)=e x-2x+a有零点,则a的取值范围是.解析:函数f(x)=e x-2x+a有零点,即方程e x-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-e x,y=a有交点,而g'(x)=2-e x,易知函数g(x)=2x-e x在(-∞,ln 2)上递增,在(ln 2,+∞)上递减,因而g(x)=2x-e x的值域为(-∞,2ln 2-2],所以要使函数g(x)=2x-e x,y=a有交点,只需a≤2ln 2-2即可.答案:(-∞,2ln 2-2]8.试求函数y=4x2+在(0,+∞)上的最值.解:y'=8x-,令y'=0,解得x=.当x变化时,y',y的变化情况如下表:所以由上表可知,函数在x=处取得最小值,最小值为3,无最大值.9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值.(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b,由f'a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,得a=-,b=-2.f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f'(x)>0,得x<-或x>1,令f'(x)<0,得-<x<1.∴函数f(x)的递增区间是和(1,+∞),递减区间是.(2)f(x)=x3-x2-2x+c,x∈[-1,2],由(1)知,当x=-时,f+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,要使f(x)<c2,x∈[-1,2]恒成立,则只需要c2>f(2)=2+c,得c<-1或c>2.∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).B组1.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为()A.1B.C.D.解析:|MN|的最小值,即函数h(t)=t2-ln t的最小值,h'(t)=2t-,显然t=是函数h(t)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故t=.答案:D2.已知函数f(x)=+2ln x,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是. 解析:由f(x)=+2ln x得f'(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,令f'(x)=0,得x=-(舍去)或x=.当0<x<时,f'(x)<0;当x>时,f'(x)>0.故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=ln a+1.要使f(x)≥2恒成立,需ln a+1≥2恒成立,则a≥e.答案:[e,+∞)3.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为.解析:∵f'(x)=3(x2-a),f(x)在(0,1)内有最小值,∴f'(0)<0且f'(1)>0.∴∴0<a<1.答案:0<a<14.若关于x的方程kx+1=ln x有解,则实数k的取值范围是.解析:由题意,x∈(0,+∞),方程化为k=,方程kx+1=ln x有解⇔实数k在函数f(x)=的值域范围内有解.f'(x)=,令f'(x)=0得x=e2,当x∈(0,e2)时,f'(x)>0,f(x)递增,当x∈(e2,+∞)时,f'(x)<0,f(x)递减,∴f(x)max=f(e2)=,即k≤.答案:5.设函数f(x)=e x sin x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的最大值和最小值.解:(1)f'(x)=e x(sin x+cos x)=e x sin,f'(x)≥0,∴sin≥0.∴2kπ≤x+≤2kπ+π,即2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z.f(x)的单调增区间为,k∈Z.(2)由(1)知当x∈[0,π]时,是单调增区间,是单调减区间.f(0)=0,f(π)=0,f,∴f(x)max=f,f(x)min=f(0)=f(π)=0.6.已知函数f(x)=x2-ln x,(1)若a=1,证明f(x)没有零点;(2)若f(x)≥恒成立,求a的取值范围.(1)证明:a=1时,f(x)=x2-ln x(x>0),f'(x)=x-,由f'(x)=0,得x=1,可得f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(x)的最小值f(x)min=f(1)=>0,所以f(x)没有零点.(2)解:f'(x)=ax-.①若a>0,令f'(x)≥0,则x≥,故f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)在(0,+∞)上的最小值为f ln a,要使f(x)≥恒成立,只需ln a≥,得a≥1.②若a≤0,f'(x)<0恒成立,f(x)在(0,+∞)单调递减,f(1)=≤0,故不可能f(x)≥恒成立.综上所述,a≥1.7.设函数f(x)=2ax-+ln x,若f(x)在x=1,x=处取得极值,(1)求a,b的值;(2)在上存在x0使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的取值范围.解:(1)∵f(x)=2ax-+ln x,∴f'(x)=2a+.∵f(x)在x=1,x=处取得极值,∴f'(1)=0,f'=0.即解得∴所求a,b的值分别为-,-.(2)在上存在x0使得不等式f(x0)-c≤0成立,只需c≥f(x)min,由f'(x)=-=-=-,∴当x∈时,f'(x)<0,f(x)是减函数;当x∈时,f'(x)>0,f(x)是增函数;∴f是f(x)在上的最小值.而f+ln-ln 2,∴c≥-ln 2.∴c的取值范围为.。
人教a版数学【选修2-2】练习：1.3.3函数的最大(小)值与导数(含答案)
选修2-2 第一章 1.3 1.3.3一、选择题1．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12；－8 B ．1；－8 C ．12；－15 D ．5；－16[答案] A[解析] y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．x ＝－2时y ＝1；x ＝－1时y ＝12；x ＝1时y ＝－8.∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A.2．(2014·北京东城区联考)如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在(1,3)上f (x )是减函数C ．在(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝4时，f (x )取极大值[答案] C[解析] 由导函数y ＝f ′(x )的图象知，f (x )在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x ＝4是f (x )的极小值点，故A 、B 、D 错误，选C.3．(2014·安徽程集中学期中)已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( ) A ．f (2)<e 2f (0) B ．f (2)≤e 2f (0) C ．f (2)＝e 2f (0) D ．f (2)>e 2f (0)[答案] D[分析] 所给四个选项实质是比较f (2)与e 2f (0)的大小，即比较f (2)e 2与f (0)e 0的大小，故构造函数F (x )＝f (x )ex 解决．[解析] 设F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x>0， ∴F (x )在R 上为增函数，故F (2)>F (0)， ∴f (2)e 2>f (0)e 0即f (2)>e 2f (0)．4．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A ．239 B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析] f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， ∵f ⎝⎛⎭⎫33＝239，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝239. 5．(2014·河南淇县一中模拟)设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13[答案] B[解析] y ′＝a e ax ＋3，由条件知，方程a e ax＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－3a <1，∴a <－3.6．(2014·开滦二中期中)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(0，12)[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2－6b ，∵f (x )在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x 0，使得在(0，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0，由f ′(x )＝0得，x 2＝2b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b >02b <1，∴0<b <12.7．(2014·抚顺市六校联合体期中)已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为( )A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)[答案] D[解析]由f(x)的图象知，在(－∞，－1)上f′(x)>0，在(－1,1)上f′(x)<0，在(1，＋∞)上f′(x)>0，又x2－2x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－3<0的解集为(－1,3)．∴不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．二、填空题8．(2014·三亚市一中月考)曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．[答案]22－1[解析]y′|x＝1＝－1(2x－1)2|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.9．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．[答案] 6[解析]f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝0解得c＝2或6.当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去；当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值．三、解答题10．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.(1)求a、b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．[解析](1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (3)＝27又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.一、选择题11．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值[答案] D[解析] f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)， ∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.12．(2013·海淀区高二期中)函数f (x )在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )[答案] C[解析] 由图象知，f (x )在x <0时，图象增→减→增，x >0时，单调递增，故f ′(x )在x <0时，其值为＋→－→＋，在x >0时为＋，故选C.13．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B ．－3<k <－1或1<k <3C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数[答案] B[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.14．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3)[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立， 又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3， ∴a ≥－3，故应选B. 二、填空题15．(2013·苏州五中高二期中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x2>0，则不等式x 2f (x )>0的解集是________． [答案] (－1,0)∪(1，＋∞)[解析] 令g (x )＝f (x )x (x ≠0)，∵x >0时，xf ′(x )－f (x )x2>0， ∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (1)＝0，∴g (1)＝f (1)＝0，∴在(0，＋∞)上g (x )>0的解集为(1，＋∞)，∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴在(－∞，0)上g (x )<0的解集为(－1,0)，由x 2f (x )>0得f (x )>0，∴f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．三、解答题16．(2013·陕西师大附中一模)设函数f (x )＝e x －k22－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性．[解析] (1)k ＝0时，f (x )＝e x－x ，f ′(x )＝e x－1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调减小，在(0，＋∞)上单调增加，故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R .∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增．17．(2014·沈阳市模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .(1)若x ＝1时，函数f (x )取得极值，求函数f (x )的图像在x ＝－1处的切线方程； (2)若函数f (x )在区间(12，1)内不单调，求实数a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，由f ′(1)＝0， 得a ＝－2，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，当x ＝－1时，y ＝－3， 即切点(－1，－3)，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＋1令x 0＝－1得k ＝8， ∴切线方程为8x －y ＋5＝0.(2)f (x )在区间(12，1)内不单调，即f ′(x )＝0在(12，1)有解，所以3x 2＋2ax ＋1＝0,2ax ＝－3x 2－1，由x ∈(12，1)，2a ＝－3x －1x ，令h (x )＝－3x －1x，∴h ′(x )＝－3＋1x 2<0，知h (x )在(33，1)单调递减，在(12，33]上单调递增，所以h (1)<h (x )≤h (33)， 即h (x )∈[－4，－23]，－4≤2a ≤－23， 即－2<a ≤－3，而当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－23x ＋1＝(3x －1)2≥0，∴舍去， 综上a ∈(－2，－3)．。
高中数学 专题1.3.3 函数的最大(小)值与导数练习(含解
函数的最大（小）值与导数（时间：25分，满分50分）班级 姓名 得分 1. 函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3)【答案】 B2．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( ) A ．1 B.12 C.52 D.22【答案】 D【解析】 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t＝2t ＋22t －22t.当0<t <22时，y ′<0，可知y 在此区间内单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在此区间内单调递增． 故当t ＝22时，|MN |有最小值． 3．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0D ．以上都有可能【答案】 A【解析】 ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数∴f ′(x )＝0，故应选A.4．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)【答案】 B【解析】 ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立 即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3∴a ≥－3，故应选B.5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32【答案】 C6．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3 B ．－3<k <－1或1<k <3 C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数 【答案】 B【解析】 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B. 7．若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． 【答案】3－1【解析】 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝－a (舍去)当x >a 时，f ′(x )<0；当0<x <a 时，f ′(x )>0； 当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1.8．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为__________． 【答案】239【解析】由题知()3f x x x =-+，则()231f x x '=-+，可得在区间3[0,)3上，()0f x '>，()f x 为增函数，在3(,1]3上，()'0f x <，()f x 为减函数，故()f x 在33x =处取得最大值239. 9．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增极大值c ＋5单调递减极小值c －27单调递增∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.∴参数c 的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝4x 2－72－x ，x ∈[0,1]．(1)求f (x )的单调区间和值域；(2)设a ≥1，函数g (x )＝x 3－3a 2x －2a ，x ∈[0,1]．若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．x 0(0，12)12 (12，1) 1 f ′(x )－＋f (x )－72－4－3所以，当x ∈(0，12)时，f (x )是减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f (x )是增函数． 当x ∈[0,1]时，f (x )的值域为[－4，－3]． (2)g ′(x )＝3(x 2－a 2)．因为a ≥1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0.因此当x ∈(0,1)时，g (x )为减函数，从而当x ∈[0,1]时有g (x )∈[g (1)，g (0)]． 又g (1)＝1－2a －3a 2，g (0)＝－2a ，即x ∈[0,1]时有g (x )∈[1－2a －3a 2，－2a ]． 任给x 1∈[0,1]，f (x 1)∈[－4，－3]，存在x 0∈[0,1]使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则[1－2a －3a 2，－2a ]⊇[－4，－3]．即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a －3a 2≤－4，①－2a ≥－3.②解①式得a ≥1或a ≤－53；解②式得a ≤32.又a ≥1，故a 的取值范围为1≤a ≤32.。
高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数练习新人教版
1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、选择题1．定义在闭区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )有唯一的极值点x ＝x 0，且y 极小值＝f (x 0)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )有最小值f (x 0)B ．函数f (x )有最小值，但不一定是f (x 0)C ．函数f (x )的最大值也可能是f (x 0)D ．函数f (x )不一定有最小值【答案】A【解析】函数f (x )在闭区间[a ，b ]上一定存在最大值和最小值，又f (x )有唯一的极小值f (x 0)，则f (x 0)一定是最小值．2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2,1]上的最大值，最小值分别是( )A ．12，－8B ．1，－8C ．12，－15D ．5，－16 【答案】A【解析】y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．当x ＝－2时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝12；当x ＝1时，y ＝－8.∴y max ＝12，y min ＝－8.故选A ．3．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1,1]，则导函数f ′(x )是( ) A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值又有最小值的奇函数【答案】D【解析】求导可得f ′(x )＝x ＋sin x ，显然f ′(x )是奇函数，令h (x )＝f ′(x )，则h (x )＝x ＋sin x ，求导得h ′(x )＝1＋cos x ，当x ∈[－1,1]时，h ′(x )>0，所以h (x )在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f ′(x )是既有最大值又有最小值的奇函数．4．已知f x x x m ()=-+2632（m 为常数）在区间[]-22，上有最大值3，那么此函数在[]-22，上的最小值为 （ ）A ．-5B ．-11C ．-29D ．-37【答案】D【解析】令()2()612620f x x x x x '=-=-=，得02x x ==或，当20x -≤<时，()0f x '>，当02x <<时，()0f x '<，所以最大值在0x =处取得，即()03f m ==，又()()237,25f f -=-=-，所以最小值为37-.5．函数()331f x x x =--，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0【答案】A 【解析】()()()233311f x x x x '=-=-+，所以()f x 在区间[3,1]--，[1,2]上单调递增，在区间(1,1)-上单调递减．()319f -=-，()21f =，()11f -=，()13f =-，可知()()12||f x f x -的最大值为20，故t 的最小值为20. 6．函数32231(0),()e (0)ax x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩在[2,2]-上的最大值为2，则a 的取值范围是（ ） A ．1[ln 2,)2+∞ B.1[0,ln 2]2 C.(,0)-∞ D.1(,ln 2]2-∞ 【答案】D【解析】当0x ≤时，()()61f x x x '=+，令()0,f x '>得1x <-，令()0f x '<，得10x -<<，则在[]2,0-上的最大值为()12f -=.欲使得函数()f x 在[2,2]-上的最大值为2，则当2x =时，2e a 的值必须小于或等于2，即2e 2a ≤，解得1(,ln 2]2a ∈-∞，故选D. 二、填空题7．函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是__________. 【答案】1 【解析】()e 1x f x '=-，()00,()00f x x f x x ''>⇒><⇒<，所以()f x 在[1,0]-上单调递减，在[0,1]上单调递增，从而函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是0(0)e 01f =-=.8．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为__________．【答案】9【解析】由题知()3f x x x =-+，则()231f x x '=-+，可得在区间[0,3上，()0f x '>，()f x 为增函数，在上，()'0f x <，()f x 为减函数，故()f x在x =. 三、解答题9．已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R ．若()f x 的图象在1x =处与直线12y =-相切． （1）求b a ,的值；（2）求()f x【解析】（1()f x 的图象在1x =处与直线12y =-（2）由（1）得21()l n 2f x x x =-，定义域为(0,)+∞令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，得1x >．所以()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(]1,e 上单调递减， 所以()f x1(1)2f =-． 10．已知函数()()ln ,0f x x ax a x =-∈>R ，(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a >时，求函数()f x 在[]1,2上的最小值.【解析】(1)当2a =时，()ln 2f x x x =-，则()12f x x'=-(0x >)， 令()'120f x x =->，得102x <<，令()120f x x '=-<，得12x >.故函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)由()ln f x x ax =-得11()ax f x a x x-+'=-=， 令()0f x '>得10x a <<，令()0f x '<得1x a>， ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ①当11a≤，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1,2]上是减函数, ∴()f x 的最小值是()2ln 22f a =-. ②当12a ≥，即102a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]上是增函数， ∴()f x 的最小值是()1f a =-.③当112a <<，即112a <<时，函数()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是减函数．又()()21ln 2f f a -=-，∴当1ln 22a <<时,ln 20,a ->最小值是()1f a =-；当l n21a ≤<时,最小值为()2ln 22f a =-.综上，当0ln 2a <<时, ()min f x a =-；当ln 2a ≥时，()min ln 22f x a =-.。
高中数学 第一章1.3.3 函数的最大(小)值与导数讲解与
1.3.3 函数的最大(小)值与导数问题导学一、求函数在闭区间上的最值活动与探究1求下列函数的最值：(1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]；(2)f (x )＝sin 2x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2． 迁移与应用1．函数f (x )＝x 3－2x 2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值分别是( ) A ．1和－2 B ．2和－1C ．1和－527D ．1和02．函数f (x )＝x 3＋x 2－x 在区间[－2,1]上的最大值、最小值分别是__________、__________．(1)求函数在闭区间上的最值时，一般是先找出该区间上使导数为零的点，无需判断极大值与极小值，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值．(2)求函数在闭区间上的最值时，需要对各个极值与端点函数值进行比较，有时需要作差、作商，有时还要善于估算，甚至有时需要进行分类讨论．二、与最值有关的参数问题活动与探究2已知当a＞0时，函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．迁移与应用若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．(1)已知函数在闭区间上的最值求其中的参数值时，仍然可以按照求函数最值的步骤进行求解，最后建立方程(组)求得参数的值．(2)含参数问题要注意分类讨论，在求解时，依据条件a＞0，从而判断出f(2)是最小值．若题目条件中没有“a＞0”这一条件，需要对a进行分类讨论，以便确定函数f(x)在[－1,2]上的最大值和最小值．三、函数最值与不等式恒成立问题活动与探究3设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求函数f (x )的最小值h (t )；(2)由(1)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．迁移与应用1．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为__________．2．若不等式x 3－x 22－2x ＋5＞m 对一切x ∈[－1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．(1)已知不等式恒成立求参数的取值范围问题是一种常见的题型，这种题型的解法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解．(2)一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min．答案：课前·预习导学【预习导引】1．最大值最小值极值点区间端点预习交流1 提示：(1)①函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．②函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常量函数就没有极大值，也没有极小值．③极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点取得．有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不在端点处则一定是极值．(2)一般地，若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值和最小值．这里给定的区间必须是闭区间，如果是开区间，那么尽管函数是连续函数，那么它也不一定有最大值和最小值．2．(1)极值(2)最大的一个最小的一个预习交流2 提示：(1)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到．当f(x)在闭区间[a，b]上递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间[a，b]上递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值．(2)如果要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与闭区间加以区别．由于是开区间，所以函数的最值不能在端点处取得，而只能在极值点处取得，当函数在开区间上只有一个极值时，这个极值也必然是最值．如果在无穷区间(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：按照求函数最值的方法与步骤，通过列表进行计算与求解．解：(1)f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－1．x －3(－3，－1)－1(－1,1)1(1，3) 3f ′(x )－ 0 ＋ 0 －f (x )单调递减－2 单调递增 2 单调递减 0由上表可知：当x ＝1时，f (x )取得最大值，[f (x )]max ＝f (1)＝2． 当x ＝－1时，f (x )取得最小值， [f (x )]min ＝f (－1)＝－2． (2)f ′(x )＝2cos 2x －1，令f ′(x )＝0，－π2≤x ≤π2，得x ＝－π6，或x ＝π6．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －π2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π6 －π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6 π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 π2 f ′(x ) － 0 ＋ 0 －f (x ) π2 单调递减 π6－32 单调递增 32－π6 单调递减 －π2 由上表可知：当x ＝－π2时f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2，当x ＝π2时f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2． 迁移与应用 1．A 解析：f ′(x )＝3x 2－4x ．令f ′(x )＝0，有3x 2－4x ＝0，解得x ＝0，或x ＝43．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 43 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 2 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) －2 单调递增 1 单调递减 －527单调递增 12．1 －2 解析：f ′(x )＝3x 2＋2x －1．解方程3x 2＋2x －1＝0，得x 1＝－1，x 2＝13．f (－1)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－527，f (－2)＝－2，f (1)＝1． 所以函数的最大值为1，最小值为－2．活动与探究2 思路分析：先求出函数f (x )在[－1,2]上的极值点，然后与两个端点的函数值进行比较，建立关于a ，b 的方程组，从而求出a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 由f ′(x )＝0，解得x ＝0，或x ＝4． ∴在区间[－1,2]上x ＝0是极值点．由于a ＞0，∴当－1≤x ＜0时，f ′(x )＞0； 当0＜x ≤2时，f ′(x )＜0．∴f (x )在区间[－1,0]上是增函数，在区间[0,2]上是减函数． ∴f (0)＝b 为极大值，也是最大值． 又f (－1)＝－a －6a ＋b ＝－7a ＋b ， f (2)＝8a －24a ＋b ＝－16a ＋b ，∴f (－1)＞f (2)，∴f (0)为最大值，f (2)为最小值．则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝3，f (2)＝－16a ＋b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.迁移与应用 解：f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或3，但x ∈[－2,2]，故只取x ＝－1．当－2＜x ＜－1时，f ′(x )＜0； 当－1＜x ＜2时，f ′(x )＞0．∴x ＝－1是函数f (x )的极小值点，该极小值也就是函数f (x )在[－2,2]上的最小值，即f (x )min ＝f (－1)＝a －5．又函数f (x )的区间端点值为f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝a ＋22， f (－2)＝8＋12－18＋a ＝a ＋2．∵a ＋22＞a ＋2，∴f (x )max ＝a ＋22＝20，∴a ＝－2． 此时f (x )min ＝a －5＝－7． 活动与探究3 思路分析：第(1)小题可通过配方法求f (x )的最小值；第(2)小题由h (t )＜－2t ＋m ，得h (t )＋2t ＜m ，可转化为函数g (t )＝h (t )＋2t 在区间(0,2)上的最大值小于m 时，实数m 的取值范围的问题．解：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t ＞0)，∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－t 3＋t －1．(2)令g (t )＝h (t )－(－2t )＝－t 3＋3t －1，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0，及t ＞0得t ＝1． 当t 变化时，g t (0,1) 1 (1,2) g ′(t ) ＋ 0 －g (t )单调递增 1 单调递减由上表可知当t 又在定义域(0,2)内，g (t )有唯一极值点，∴函数g (t )的极大值也就是g (t )在定义域(0,2)内的最大值g (t )max ＝1． h (t )＜－2t ＋m 在(0,2)内恒成立，即g (t )＜m 在(0,2)内恒成立， 当且仅当g (t )max ＝1＜m ，即m ＞1时上式成立． ∴实数m 的取值范围是(1，＋∞)．迁移与应用 1．4 解析：当x ＝0时，不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当0＜x ≤1时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3．设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x4， 所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4；当－1≤x ＜0时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x2－1x3，设h (x )＝3x 2－1x 3，则h ′(x )＝3(1－2x )x4＞0， 所以h (x )在区间[－1,0)上单调递增．因此h (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4． 2．解：令f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，则f ′(x )＝3x 2－x －2．令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，解得x ＝－23，或x ＝1，∵f (－1)＝112，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝52227，f (1)＝72，f (2)＝7，∴当x ∈[－1,2]时函数f (x )的最小值为72．故要使不等式f (x )＞m 恒成立，应有m ＜72，即m 的取值范围是m ＜72．当堂检测1．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1,5]上的最大值和最小值是( ) A ．f (1)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (1)，f (5) D ．f (5)，f (2)答案：D 解析：f ′(x )＝2x －4．令f ′(x )＝0得x ＝2．又f (1)＝－2，f (2)＝－3，f (5)＝6，故最大值是f (5)，最小值是f (2)．2．函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 是常数)在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上的最小值为( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11答案：A 解析：y ′＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∵在(－2,2)上，只有x ＝0是f (x )的极值点，且为极大值点， ∴f (x )极大值＝f (0)＝m ．又f (－2)＝－16－24＋m ＝m －40， f (2)＝16－24＋m ＝m －8， 容易判断m －40＜m －8＜m ，∴m ＝3．∴f (x )min ＝m －40＝－37．3．函数f (x )＝x 3－3x (－1＜x ＜1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，也无最小值 D ．无最大值，但有最小值答案：C 解析：f ′(x )＝3x 2－3，由于－1＜x ＜1，所以f ′(x )＜0，故f (x )在区间(－1,1)上单调递减，函数既没有最大值，也没有最小值．4．若函数f (x )＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]的最大值为154，则实数a 的值为________． 答案：12-解析：f ′(x )＝－2x －2，当a ≤－1时，最大值为4，不合题意；当－1≤a ≤2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得12a =-，或32a =-(舍去)．5．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为________．答案：20 解析：f ′(x )＝3x 2－3．令f ′(x )＝0得x ＝±1，但x ∈[0,3]，因此只取x ＝1．又f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a ，故f (x )在[0,3]上的最大值、最小值分别为18－a 和－2－a ，即M ＝18－a ，N ＝－2－a ，M －N ＝20．。
2018-2019学年高中数学导数及其应用1.3.3函数的最大(小)值与导数习题新人教A版
第一章 1.3 1.3.3 函数的最大(小)值与导数A 级 基础巩固一、选择题1．(2018·潍坊高二检测)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e28，则x ＞0时，f (x )( D )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值[解析] ∵函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝exx，∴[x 2f (x )]′＝exx，令F (x )＝x 2f (x )，则f ′(x )＝exx，F (2)＝4·f (2)＝e22．由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，得f ′(x )＝e x－2F xx3， 令φ(x )＝e x－2F (x )，则φ′(x )＝e x－2f ′(x )＝e xx －x．∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )的最小值为φ(2)＝e 2－2F (2)＝0．∴φ(x )≥0． 又x ＞0，∴f ′(x )≥0． ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴f (x )既无极大值也无极小值．故选D ．2．(2018·新乡一模)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋2ln x 在(1,2)上有最大值，则a 的取值范围为( B )A ．(0，＋∞)B ．(0,3)C ．(3，＋∞)D ．(1,3)[解析] f ′(x )＝－2x ＋a ＋2x ＝－2x 2＋ax ＋2x要使函数f (x )＝－x 2＋ax ＋2ln x 在(1,2)上有最大值 则函数f (x )＝－x 2＋ax ＋2ln x 在(1,2)上有极大值即方程－2x 2＋ax ＋2＝0有两个不等实根，且较大根在区间(1,2)∴⎩⎪⎨⎪⎧－2×12＋a ·1＋2>0－2×22＋a ·2＋2<0，解得0＜a ＜3．故选B ．3．(2017·临沂高二检测)函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( A )A ．5，－15B ．5，－4C ．－4，－15D ．5，－16[解析] 令y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A ．4．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( A )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x ) ∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0．所以F ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上递减，∴F (x )max ＝f (a )－g (a )． 5．若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] ∵2x(x －a )<1， ∴a >x －12x ，令y ＝x －12x ，∴y 是单调增函数，若x >0，则y >－1，∴a >－1．6．已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是( B )A ．3x －15y ＋4＝0B ．15x －3y －2＝0C ．15x －3y ＋2＝0D ．3x －y ＋1＝0[解析] ∵f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3 ＝－2(x －a )2＋2a 2＋3，∵f ′(x )的最大值为5， ∴2a 2＋3＝5，∵a >0，∴a ＝1∴f ′(1)＝5，f (1)＝133．∴f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －133＝5(x －1)，即15x －3y －2＝0．二、填空题7．(2018·荆州一模)函数f (x )＝x 3－x 2＋2在(0，＋∞)上的最小值为5027．[解析] 函数f (x )＝x 3－x 2＋2在(0，＋∞)，可得f ′(x )＝3x 2－2x ，令3x 2－2x ＝0，可得x ＝0或x ＝23，当x ∈(0，23)时，f ′(x )＜0，函数是减函数；x ∈(23，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数是增函数，所以x ＝23是函数的极小值即最小值，所以f (x )min ＝(23)3－(23)2＋2＝5027．故答案为5027．8．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[解析] f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令f ′(x )＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0．因为函数f (x )有极大值和极小值，所以方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1．三、解答题9．设函数f (x )＝12x 2－ax ＋2ln x (a ∈R )在x ＝1时取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． [解析] (1)f ′(x )＝x －a ＋2x，因为当x ＝1时f (x )取得极值，所以f ′(1)＝0， 即1－a ＋2＝0，解得a ＝3， 经检验，符合题意．(2)由(1)得：f (x )＝12x 2－3x ＋2ln x ，∴f ′(x )＝x －3＋2x＝x －x －x，(x >0)，令f ′(x )>0解得0<x <1或x >2， 令f ′(x )<0解得1<x <2，∴f (x )的单调递增区间为(0,1)，(2，＋∞)；单调递减区间为(1,2)． 10．(2017·宁波高二检测)设函数f (x )＝e xsin x ． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的最大值与最小值． [解析] (1)f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )＝2e xsin(x ＋π4)．f ′(x )≥0，所以sin(x ＋π4)≥0，所以2k π≤x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，即2k π－π4≤x ≤2k π＋34π，k ∈Z ．f (x )的单调增区间为[2k π－π4，2k π＋34π]，k ∈Z ．(2)由(1)知当x ∈[0，π]时，[0，34π]是单调增区间，[34π，π]是单调减区间．f (0)＝0，f (π)＝0，f (34π)＝22e 34π， 所以f (x )max ＝f (3π4)＝22e 34π，f (x )min ＝f (0)＝f (π)＝0．B 级 素养提升一、选择题1．若函数f (x )在定义域R 内可导，f (1．9＋x )＝f (0．1－x )且(x －1)f ′(x )＜0，a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( D )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >a >c[解析] ∵(x －1)f ′(x )＜0，∴当x ＞1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减； 当x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增． 又f (1．9＋x )＝f (0．1－x )，∴f (x )＝f (2－x )， ∴f (3)＝f [2－(－1)]＝f (－1)， ∵－1＜0<12，∴f (－1)＜f (0)＜f (12)，∴f (3)<f (0)<f (12)，∴b ＞a ＞c ，故选D ．2．(2018·铁东区校级一模)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( A )A ．20B ．18C ．3D ．0[解析] 函数f (x )＝x 3－3x －1的导数为f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0，解得x ＝±1， 所以(1，－1)为函数f (x )的极值点．因为f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1， 所以在区间[－3,2]上，M ＝f (x )max ＝1，N ＝f (x )min ＝－19，对于区间[－3,2]上最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝20， 故选A ． 二、填空题3．(2018·红桥区一模)函数y ＝－e x＋x 在R 上的最大值是－1． [解析] 函数y ＝－e x ＋x ，y ′＝1－e x，由y ′＝0得x ＝0， 当x ∈(－∞，0)时，y ′＞0，函数y ＝x －e x单调递增， 当x ∈(0，＋∞)时，y ′＜0，函数y ＝x －e x单调递减， 所以，当x ＝0时，y 取得最大值，最大值为－1． 故答案为－1．4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0，当x >0时，有xfx －f xx 2>0，则不等式x 2f (x )>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．[解析] 令g (x )＝f xx (x ≠0)， ∵x >0时，xfx －f xx 2>0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (1)＝0，∴g (1)＝f (1)＝0，∴在(0，＋∞)上g (x )>0的解集为(1，＋∞)，∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴在(－∞，0)上g (x )<0的解集为(－1,0)，由x 2f (x )>0得f (x )>0，∴f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．三、解答题5．设函数f (x )＝e x－k2x 2－x ．(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性．[解析] (1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x－1．当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调减小，在(0，＋∞)上单调增加，故f (x )的最小值为f (0)＝1．(2)若k ＝1，则f (x )＝e x－12x 2－x ，定义域为R ．∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x－1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0． 所以f (x )在R 上单调递增．6．(2018·全国卷Ⅱ文，21)已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间； (2)证明：f (x )只有一个零点．[解析] (1)解：当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3．令f ′(x )＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋23．当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0．故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减．(2)证明：因为x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0．设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2x 2＋2x ＋x 2＋x ＋2≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点．又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－6⎝ ⎛⎭⎪⎫a －162－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点．综上，f (x )只有一个零点．C级能力拔高设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0，且f(x1)＝f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1＋2x0＝0；(Ⅲ)设a＞0，函数g(x)＝|f(x)|，求证：g(x)在区间[－1,1]上的最大值不小于14．[解析](Ⅰ)由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a．下面分两种情况讨论：(1)当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(2)当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝3a3，或x＝－3a3．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：＋∞)．(Ⅱ)证明：因为f(x)存在极值点，所以由(Ⅰ)知a>0，且x0≠0，由题意，得f′(x0)＝3x20－a＝0，即x20＝a 3，进而f(x0)＝x30－ax0－b＝－2a3x0－b．又f(－2x0)＝－8x30＋2ax0－b＝－8a3x0＋2ax0－b＝－2a3x0－b＝f(x0)，且－2x0≠x0，由题意及(Ⅰ)知，存在唯一实数x1满足f(x1)＝f(x0)，且x1≠x0，因此x1＝－2x0．所以x1＋2x0＝0．(Ⅲ)设g(x)在区间[－1,1]上最大值为M，max{x，y}表示x，y两数的最大值．下面分三种情况讨论：(1)当a≥3时，－3a3≤－1<1≤3a3，由(Ⅰ)知，f(x)在区间[－1,1]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,1]上的取值范围为[f(1)，f(－1)]，因此M＝max{|f(1)|，|f(－1)|}＝max{|1－a－b|，|－1＋a－b|}＝max{|a －1＋b |，|a －1－b |}＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ，b ≥0a －1－b ，b <0，所以M ＝a －1＋|b |≥2．(2)当34≤a <3时，－23a 3≤－1<－3a 3<3a 3<1≤23a3，由(Ⅰ)和(Ⅱ)知，f (－1)≥f (－23a 3)＝f (3a 3)，f (1)≤f (23a3) ＝f (－3a 3)， 所以f (x )在区间[－1,1]上的取值范围为[f (3a 3)，f (－3a 3)]，因此 M ＝max{|f (3a 3)|，|f (－3a3)|} ＝max{|－2a 93a －b |，|2a93a －b )|}＝max{|2a 93a ＋b |，|2a 93a －b )|}＝2a93a ＋|b |≥29×34×3×34＝14． (3)当0<a <34时，－1<－23a 3<23a 3<1，由(Ⅰ)和(Ⅱ)知，f (－1)<f (－23a 3)＝f (3a3)，f (1)>f (23a 3)＝f (－3a 3)， 所以f (x )在区间[－1,1]上的取值范围为[f (－1)，f (1)]，因此M ＝max{|f (－1)|，|f (1)|}，＝max{|－1＋a －b |，|1－a －b |}＝max{|1－a ＋b |，|1－a －b |}＝1－a ＋|b |>14．综上所述，当a >0时， g (x )在区间[－1,1]上的最大值不小于14．。
2019最新高中数学 第三章 函数的最大(小)值与导数课时作业 新人教A版必备1-1
3.3.3 函数的最大(小)值与导数【基础巩固】1.下列说法正确的是( D )(A)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值(B)闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值(C)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值(D)若函数在给定区间上有最大(小)值,则有且仅有一个最大(小)值,但若有极值,则可有多个极值解析:由极值与最值的区别知选D.2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( D )(A)有最大值,但无最小值(B)有最大值,也有最小值(C)无最大值,但有最小值(D)既无最大值,也无最小值解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),因为x∈(-1,1),所以f′(x)<0,即函数在(-1,1)上是单调递减的,所以既无最大值,也无最小值.故选D.3.函数f(x)=3x-x3(-≤x≤3)的最大值为( B )(A)18 (B)2 (C)0 (D)-18解析:f′(x)=3-3x2,令f′(x)=0,得x=±1,-≤x<-1时,f′(x)<0,-1<x<1时,f′(x)>0,1<x≤3时,f′(x)<0,故函数在x=-1处取极小值,在x=1处取极大值. 因为f(1)=2,f(-1)=-2,又f(-)=0,f(3)=-18,所以[f(x)]max=2,[f(x)]min=-18.故选B.4.(2018·大同高二检测)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( B )(A)[0,1) (B)(0,1)(C)(-1,1) (D)(0,)解析:因为f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0,可得a=x2有解,又因为x∈(0,1),所以0<a<1.故选B.5.(2017·东莞市高二期末)已知a∈R,若不等式ln x-+x-2>0对于任意x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围为( C )(A)(-∞,2] (B)(-∞,1](C)(-∞,-1] (D)(-∞,0]解析:由已知得,a<xln x+x2-2x,x∈(1,+∞),令f(x)=xln x+x2-2x(x>1),则f′(x)=ln x+2x-1,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)递增,故f(x)>-1,故a≤-1.故选C.6.函数f(x)=,x∈[-2,2]的最大值是,最小值是.解析:因为y′==,令y′=0可得x=1或-1.又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,所以最大值为2,最小值为-2.答案:2 -27.(2018·包头高二月考)函数f(x)=x2+2ax+1在[0,1]上的最小值为f(1),则a的取值范围为.解析:f′(x)=2x+2a,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1),说明f(x)在[0,1]上单调递减,所以x∈[0,1]时,f′(x)≤0恒成立,f′(1)=2+2a≤0,所以a≤-1.答案:(-∞,-1]8.(2018·北海高二检测)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解:(1)f(x)定义域为R,因为f′(x)=-3x2+6x+9.令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2)由(1)及已知,f(x)在[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上是增函数,因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2).于是有22+a=20,所以a=-2.所以f(x)=-x3+3x2+9x-2.所以f(-1)=1+3-9-2=-7,即f(x)最小值为-7.【能力提升】9.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且 f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为( A )(A)f(a)-g(a) (B)f(b)-g(b)(C)f(a)-g(b) (D)f(b)-g(a)解析:[f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x)<0,所以函数f(x)-g(x)在[a,b]上单调递减,所以f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).故选A.10.(2018·桂林高二检测)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为( D )(A)1 (B)(C)(D)解析:|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-ln x的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故t=.11.已知函数f(x)=e x-2x+a有零点,则a的取值范围是.解析:函数f(x)=e x-2x+a有零点,即方程e x-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-e x,y=a有交点,而g′(x)=2-e x,易知函数g(x)=2x-e x在 (-∞,ln 2)上递增,在(ln 2,+∞)上递减,因而g(x)=2x-e x的值域为 (-∞,2ln 2-2],所以要使函数g(x)=2x-e x,y=a有交点,只需a≤2ln 2-2即可.答案:(-∞,2ln 2-2]12.(2018·郑州高二质检)已知函数f(x)=(a-)x2+ln x(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=x2+ln x,x>0,f′(x)=x+=;对于x∈[1,e],有f′(x)>0,所以f(x)在区间[1,e]上为增函数,所以f(x)max=f(e)=1+,f(x)min=f(1)=.(2)令g(x)=f(x)-2ax=(a-)x2-2ax+ln x,在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立,因为g′(x)=(2a-1)x-2a+==.①若a>,令g′(x)=0,得x1=1,x2=,当x2>x1=1,即<a<1时,在(x2,+∞)上有g′(x)>0,此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,当x→+∞时,有(a-)x2-2ax→+∞,ln x→+∞,g(x)∈[g(x2),+∞),不合题意;当x2≤x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,当x→+∞时,有(a-)x2-2ax→+∞,ln x→+∞,g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意.②若a≤,则2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g′(x)<0,从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数.要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=-a-≤0,即a≥-,所以-≤a≤.综上所述,a的取值范围是[-,].【探究创新】13.(2018·张家口高二检测)已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值. 解:因为f(x)=x2e-ax(a>0),所以f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).令f′(x)>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得0<x<.所以f(x)在(-∞,0),(,+∞)上是减函数,在(0,)上是增函数.当0<≤1,即a≥2时,f(x)在[1,2]上是减函数, 所以f(x)max=f(1)=e-a.当1<<2,即1<a<2时,f(x)在(1,)上是增函数,在(,2)上是减函数,所以f(x)max=f()=e-2.当≥2,即0<a≤1时,f(x)在[1,2]上是增函数,所以f(x)max=f(2)=4e-2a.综上所述,当0<a≤1时,f(x)的最大值为4e-2a;当1<a<2时,f(x)的最大值为e-2;当a≥2时,f(x)的最大值为e-a.。
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【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.3.3第1课时函数的最大（小）值与导数练习新人教A版选修2-2一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[答案] A[解析] y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1；x＝－1时y＝12；x＝1时y＝－8.∴y max＝12，y min＝－8.故选A.2．(2014·北京东城区联考)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值[答案] C[解析] 由导函数y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x＝4是f(x)的极小值点，故A、B、D错误，选C.3．(2015·郑州登封市高二期中)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)＜f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)＜e x的解集为( ) A．(－2，＋∞)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)[答案] B[解析] ∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(4)＝f(0)，又∵f(4)＝1，∴f(0)＝1，设g (x )＝f xex(x ∈R )，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x ex2＝f ′x －f xex，又∵f ′(x )＜f (x )，∴f ′(x )－f (x )＜0， ∴g ′(x )＜0，∴y ＝g (x )在定义域上单调递减， ∵f (x )＜e x，∴g (x )＜1. 又∵g (0)＝f 0e＝1，∴g (x )＜g (0)，∴x ＞0.故选B.[点评] 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．4．(2014～2015·河南淇县一中模拟)设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13[答案] B[解析] y ′＝a e ax ＋3，由条件知，方程a e ax＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－3a<1，∴a <－3.5．(2014·开滦二中期中)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(0，12)[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2－6b ，∵f (x )在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x 0，使得在(0，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0，由f ′(x )＝0得，x 2＝2b >0，∴⎩⎨⎧b >02b <1，∴0<b <12.6．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞) [答案] D[解析] 由f (x )的图象知，在(－∞，－1)上f ′(x )>0，在(－1,1)上f ′(x )<0，在(1，＋∞)上f ′(x )>0，又x 2－2x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x 2－2x －3<0的解集为(－1,3)． ∴不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)． 二、填空题7．曲线y ＝x e x在点(0,0)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0上的点的最近距离是________________．[答案]2－1[解析] y ′|x ＝0＝(x ＋1)e x|x ＝0＝1，∴切线方程为y ＝x ，圆心(2,0)到直线的距离d ＝2，圆的半径r ＝1， ∴所求最近距离为2－1.8．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________________． [答案] 6[解析] f (x )＝x (x －c )2＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，令f ′(2)＝0解得c ＝2或6.当c ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)， 故f (x )在x ＝2处取得极小值，不合题意舍去； 当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x 2－8x ＋12) ＝3(x －2)(x －6)，故f (x )在x ＝2处取得极大值． 三、解答题9．(2015·贵州遵义航天中学高二期中)已知函数f (x )＝ln x ＋a x. (1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．[分析] (1)求出f (x )的导数，令导数大于0求函数的增区间，令导数小于0求函数的减区间．(2)对a 进行分类讨论，分别求出各种情况下的函数在[1，e]上的最小值，令其等于32解方程求得a 的值．[解析] 函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：1°当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；2°当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾； 3°当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.4°当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )<0，f (x )单调递减， 其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾；5°当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋ae >2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a 的值为 e.10．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a 、b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：x －3 (－3，－2)－2 (－2，23)23 (23，1) 1 f ′(x )＋ 0 － 0 ＋ f (x )8增极大值减极小值增4∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (3)＝27，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.一、选择题11．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 [答案] D[解析] f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)， ∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.12．函数f (x )在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )[答案] C[解析] 由图象知，f(x)在x<0时，图象增→减→增，x>0时，单调递增，故f′(x)在x<0时，其值为＋→－→＋，在x>0时为＋，故选C.13．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－3<k<－1或1<k<3C．－2<k<2D．不存在这样的实数[答案] B[解析] 因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2<k＋1或k－1<2<k＋1，解得－3<k<－1或1<k<3，故选B.14．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)[答案] B[解析] ∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3，∴a≥－3，故应选B.二、填空题15．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为________________．[答案] －1[解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)， 令y ′＝0解得x ＝13或x ＝－1.当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝2227；当x ＝1时，y ＝2.所以函数的最小值为－1.16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0，当x >0时，有xf ′x －f x x2>0，则不等式x 2f (x )>0的解集是________________． [答案] (－1,0)∪(1，＋∞) [解析] 令g (x )＝f xx(x ≠0)， ∵x >0时，xf ′x －f xx 2>0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (1)＝0，∴g (1)＝f (1)＝0，∴在(0，＋∞)上g (x )>0的解集为(1，＋∞)，∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴在(－∞，0)上g (x )<0的解集为(－1,0)，由x 2f (x )>0得f (x )>0，∴f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．三、解答题17．设函数f (x )＝e x－k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性．[解析] (1)k ＝0时，f (x )＝e x－x ，f ′(x )＝e x－1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调减小，在(0，＋∞)上单调增加，故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x－12x 2－x ，定义域为R .∴f ′(x )＝e x－x －1，令g (x )＝e x－x －1，则g ′(x )＝e x－1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增．18．已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a 2－1)x ＋b (a 、b ∈R )，其图象在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y －3＝0.(1)求a 、b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间，并求出f (x )在区间[－2,4]上的最大值． [解析] (1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1， ∵(1，f (1))在直线x ＋y －3＝0上，∴f (1)＝2， ∴2＝13－a ＋a 2－1＋b ，又f ′(1)＝－1，∴a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，b ＝83.(2)∵f (x )＝13x 3－x 2＋83，∴f ′(x )＝x 2－2x ，由f ′(x )＝0可知x ＝0和x ＝2是f (x )的极值点，所以有∵f (0)＝83，f (2)＝43，f (－2)＝－4，f (4)＝8，∴在区间[－2,4]上的最大值为8.。