1.2.2《同角三角函数的基本关系》课件(人教A版必修4)
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人教版必修4第一章1.2.2同角三角函数的基本关系课件 (共17张PPT)
3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问 题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总 结、提高.
变式 已知 sincos 12且为第二象限
25
求cos sin
化简问题 练习1.
化简 : 1si2n440.
练习2. 化 简 1cos 1cos 1cos 1cos
( 3 )
2
证明问题
例2. 求证 1 cso ： i n s1 cso i n s.
点评 P20 5 作业P22 13
小结
探究 sin ： ,cos,ta n之间有何关
设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
y
(1)siny;
P(x,y)
x
MO
A(1,0)
(2)cosx;
(3)tanxyx0;
同角三角函数的基本关系
平方关系: si2 nco 2s1
商数关系:
tan sin (k,kZ)
cos
2
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
例2（1）化简：1s-in21s0in10c ocso1s010
(2)已s知 in2co,s计算
sin2co2s的值
你有什么体会?
课堂小结
同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，
商等于角 的正切.
练习：判断下列式子是否成立？
1 .s2 i3n 0 c2 o 4s 5 1
2 .s2 i3 n 0 c2 o 3s 0 1
3 .s2 i6n 0 c2 o 6s 0 1
4. sin2 2Z.x.x.K co22s 1
变式 已知 sincos 12且为第二象限
25
求cos sin
化简问题 练习1.
化简 : 1si2n440.
练习2. 化 简 1cos 1cos 1cos 1cos
( 3 )
2
证明问题
例2. 求证 1 cso ： i n s1 cso i n s.
点评 P20 5 作业P22 13
小结
探究 sin ： ,cos,ta n之间有何关
设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
y
(1)siny;
P(x,y)
x
MO
A(1,0)
(2)cosx;
(3)tanxyx0;
同角三角函数的基本关系
平方关系: si2 nco 2s1
商数关系:
tan sin (k,kZ)
cos
2
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
例2（1）化简：1s-in21s0in10c ocso1s010
(2)已s知 in2co,s计算
sin2co2s的值
你有什么体会?
课堂小结
同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，
商等于角 的正切.
练习：判断下列式子是否成立？
1 .s2 i3n 0 c2 o 4s 5 1
2 .s2 i3 n 0 c2 o 3s 0 1
3 .s2 i6n 0 c2 o 6s 0 1
4. sin2 2Z.x.x.K co22s 1
人教版高中数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系优质课件
cos2 a =
1,
1 + tan2 a
sin2 a
=
tan2 a 1 + tan2 a
.
思考4：若已知sinα 的值，如何求cosα 和tanα 的值？
cos a = ? 1 sin2 a , tan sin .
cos
思考5：若已知tanα 的值，如何求sinα 和cosα 的值？
cos a = ?
sin2 cos2 1
y P
P Ox
思考3：设角α 的终边与单位圆交于点
P（x，y），根据三角函数定义，有
s由in此可 得y s，icnoαs，coxsα，t，antanxyα(x
0) ， 满足什
么关系？
sin tan cos
思考4：上述关系称为商数关系，那么商 数关系成立的条件是多么？
cos
4 ，tan
5
3.
4
例3 已知tanα =2，求下列各式的值.
（1） sin
a
1 ×cos
a
；（2）1 -
1+ 1 sin a 1 + sin a
5 2
例4 已知 sin q + cos q = 1，
2
求 sin4 q + cos4 q 的值.
小结作业 1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个 角而言的，由此可以派生出许多变形公式， 应用中具有灵活、多变的特点.
1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
问题提出
1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别
是如何定义的？
sin y cos x tan y (x 0)
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件2 新人教A版必修4.ppt
5
55
5
5
3.已知cos α= 1 ，且α是第四象限角，则sin α=（ ）
2
A . 1
B .3 C .3 D . 1
2
2
2
2
【解析】选C.因为α是第四象限角，所以sin α＜0，
所以 sin 1cos21(1)23.
22
6
4.化简：s i n =_______.
tan
【解析】
sin tan
10
10 10
方法二：(cosα+2sinα)2= cos24sincos4sin2
sin2cos2
1 4 ta n 4 ta n 2 1 4 3 4 3 2 4 9
由已知条件得
分子分母同除以cos2α可得关于tanα的方程.
(cos2sin)2 sin2cos2
5，
12
【解析】方法一：因为cosα+2sinα= 5 ， 所以cosα=-2sinα 5 ， 又因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α+(-2sinα- )2=5 1， 整理得5sin2α+4 s5 inα+4=0，( si5 nα+2)2=0，
sin sin
cos.
答案：cos θ cos
7
5.已知tan φ=- 2 ，φ∈( ，π)，则sin φ=_____.
2
sin 2 cos 2 1，
【解析】由已知得
sin cos
所以
2，
sin2(sin)2 1， 2
所以sin2φ= 2 ，由φ∈( ， π)得sin φ＞0，
3
2
限决定的，不可凭空想象.
11
人教版高一数学 A版 必修4 教学课件：第一章 《1.2.2 同角三角函数的基本关系》
填要点·记疑点
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan
α＝csoins
α α
(α≠kπ＋π2，k∈Z). Nhomakorabea2.同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式： sin2α＝ 1－cos2α ；cos2α＝ 1－sin2α ；
跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
解 由 tan α＝csoins αα＝43，得 sin α＝43cos α.
①
又sin2α＋cos2α＝1，
②
由①②得196cos2α＋cos2α＝1，即 cos2α＝295.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.
当α终边在y轴上时，sin α＝±1，tan α不存在.
例1 已知sin α＝－35，求cos α，tan α的值. 解 因为sin α<0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角. 由sin2α＋cos2α＝1得
cos2α＝1－sin2α＝1－－352＝1265.
如果α是第三象限角，那么cos α<0于. 是 cos α＝－
cos α＝－45，tan α＝－34.
类型2：如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那 么由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，然后求解， 这种情况一般有两组解. 例如：已知 tan θ＝－ 3，求 sin θ，cos θ.
答 ∵csoins θθ＝tan θ＝－ 3.∴sin θ＝－ 3cos θ.
例3 证明
求证： cos α 1－sin
2021版高中数学人教A必修4课件：1.2.2 同角三角函数的基本关系
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
-10-
M 1.2.2 同角三角函数的 基本关系
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UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
-4-
M 1.2.2 同角三角函数的 基本关系
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
三角函数式的化简与证明方法 剖析:三角函数式的化简是将三角函数式化为最简单的形式,其
基本要求是,尽量减少角的种数,尽量减少三角函数的种数,尽量化 为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指 定答案的恒等变形,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它 不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式,而且还需要熟悉和灵活 运用这些公式的等价形式,同时这类问题还具有较强的综合性,对 其他非三角知识的运用也具有较高的要求.三角函数恒等式的证明 是一种指定答案的恒等变形,与三角函数式的化简相比要简单一些.
-16-
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D典例透析 IANLI TOUXI
-17-
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
2016秋数学人教A版必修4课件：1.2.2 同角三角函数的基本关系
＝右边．
所以原式成立．
第一章 三角函数
栏目 导引
第二十二页，编辑于星期六：点 十二分。
法二：因为 sin2α＋cos2α＝1，
所以 sin2α＝1－cos2α，
即 sin2α＝(1－cos α)(1＋cos α)．
因为 1－cos α≠0，sin α≠0，
所以1－sincoαs
α＝1＋sincoαs
栏目 导引
第六页，编辑于星期六：点 十二分。
第一章 三角函数
法二：因为 α 是第四象限角，且 sin α＝－153，所以可在 α 的终 边上取一点 P(12，－5)，则 tan α＝xy＝－152.故选 D. 4．sin22 016°＋cos22 016°＝________． 解析：由平方关系知 sin22 016°＋cos22 016°＝1. 答案：1
第一章 三角函数
2．α 是第一象限角，cos α＝1123，则 sin α 等于(
)
A．153
B．－153
C．152
D．－152
解析：选 A.由于 α 是第一象限角，则 sin α＞0，根据平方关系，
得 sin α＝ 1－cos2α＝ 1－11232＝153.
栏目 导引
第五页，编辑于星期六：点 十二分。
栏目 导引
第七页，编辑于星期六：点 十二分。
第一章 三角函数
探究点一 利用同角基本关系式求值 (1)已知 sin α＝15，求 cos α，tan α； (2)已知 tan α＝3，求23ssiinn22αα－－6ccooss22αα. [解] (1)因为 sin α＝15>0，且 sin α≠1， 所以 α 是第一或第二象限角．
1.已知 tan θ＝2.
高中数学三角函数.2.2同角三角函数的基本关系课件新人教A版必修4
3．若 sinθ＝－45，tanθ>0，则 cosθ＝__－__35____. 解析 ∵sinθ<0，tanθ>0，∴θ 在第三象限内， ∴cosθ＝－ 1－sin2θ＝－35.
4．已知 sinθ＝ 55，则 sin4θ－cos4θ 的值为__－__35____．
解析 由 sinθ＝ 55，可得 cos2θ＝1－sin2θ＝45，所以 sin4θ －cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)(sin2θ－cos2θ)＝sin2θ－cos2θ＝15－45 ＝－35.
(2)求 sinα＋cosα 或 sinα－cosα 的值，要根据 α 的范围 注意判断它们的符号．
【跟踪训练 2】 已知 0<θ<π，且 sinθ－cosθ＝15，求 sinθ
＋cosθ，tanθ 的值．
解 ∵sinθ－cosθ＝15，∴(sinθ－cosθ)2＝215， 解得 sinθcosθ＝1225. ∵0<θ<π，且 sinθ·cosθ＝1225>0， ∴sinθ>0，cosθ>0. ∴sinθ＋cosθ＝ sinθ＋cosθ2＝ 1＋2sinθcosθ ＝ 1＋2245＝75.
＝ cos2θ－sinθcosθ＋sin2θ＋sinθcosθ
＝ cos2θ＋sin2θ＝1.
1.同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名” 的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是 “角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前 提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如 sin23α＋cos23α ＝1.
(4)在利用平方关系求 sinα 或 cosα 时，会得到正负两个
值．( × )
2．做一做 (1)(教材改编 P20T1)若 sinα＝45，且 α 是第二象限角，则 tanα 的值等于( ) A．－43 B．34 C．±34 D．±43
高中数学必修四课件-1.2.2 同角三角函数的基本关系(3)-人教A版
(
2
k , k
Z)
()
2． 若sinα＝ 2 ， 且α是第二象限角， 则tanα的值等于（ ） 2
A. 1 B. -1 C.- 3 D. 3
sin 3.化简 cos tan
八、【作业布置】
课后作业20页
sin ( ) cos ( ) tan ( )
sin () cos () tan ()
一全正 二正弦 三正切
四余弦
四、同角三角函数基本关系猜测
sin 30
2ห้องสมุดไป่ตู้
sin 2
30
1 4
cos30 2 cos2 30
3 4
正弦、余弦关系猜想
sin2 30 cos2 30 1
2
2
sin2 45 cos2 45
五、围绕以下问题进行讨论并展示
1、如何由一个角的某一三角函数值求出其它 的两个三角函数值？
2、三角函数值取正负和谁有关？？
3、 如何将同角三角函数的基本关系式进行变 形？
展示安排 要求：在指定位置书 写工整、规范、尽量 脱稿展示，时间3分钟
题号 探究1 探究2 探究3 探究4
展示 第八组 第五组 第四组 第二组
(二)公式的应用: 知一求二:由一个角的某一三角函数值求出其它的 两个三角函数值.
(三)数学思想方法:
①分类讨论；
②方程(组)的思想.
七、【当堂检测】
1.判 断 下 列 公 式 变 形 是 否正 确
sin 2 1 cos2
()
cos 1 sin2
()
cos2
sin 2 tan2
培养合作交流、共同探究的良好品质
三、复习回顾
• 1、任意角的三角函数的定义
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3
(C) 3
4
(D)-
4 3
【解析】选D.∵点P（3,y）在角α的终边上且y<0， ∴角α的终边在第四象限，
∴sinα= - 1-cos =- 4 ，
2
4 ∴tanα=. 3
5
3.已知sinα = 5 ，则sin4α -cos4α 的值为(
5
)
5
(A) - 1
5
(B) - 3
5
(C)
1 5
ห้องสมุดไป่ตู้(D) 3
2
【解析】选B. 1-sin 160 = cos 160 = cos160 ,
又160°是第二象限角, ∴cos160°<0, ∴ 1-sin 160 =-cos160°.
2
2.已知点P（3,y）在角α 的终边上，且满足y<0，cosα =
则tanα 为( (A)3 4
3 , 5
) (B) 4
3 ， 4
3 . 2
2.(5分)(2010²聊城高一检测)若sinα +cosα = - 1 ，且
5
0<α <π ,则tanα 的值是（
3 （A） 或 4 （C） 4 3
4 3
）
3
（B）4
（D） 3 4
【解析】
sin2+4 3.(5分)若 =2,则(cosθ +3)(sinθ +1)=_____. cos+1
【解析】选B.sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2αcos2α)=2sin2α-1= - 3 ,故选B.
5
二、填空题（每题5分，共10分） 4.已知 sin+cos =2, 则sinθ cosθ 的值是_____.
sin-cos
【解析】由题意得sinθ+cosθ=2(sinθ-cosθ), ∴(sinθ+cosθ)2=4(sinθ-cosθ)2, 解得sinθcosθ= 3 .
10
答案: 3
10
【解题提示】
【解析】
答案：
【解析】
7.已知tanα =
1 ，求下列各式的值： 2
（1） 2cos-3sin
3cos+4sin
（2）sin2α -3sinα cosα +4cos2α .
【解析】
1.（5分）（2010²沈阳高一检测）已知sinα cosα = 1 ，且
课程目标设置
主题探究导学
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.（2010²宁德高一检测）化简 1-sin 160 的结果是
2
（ (A)cos160° (C)±cos160°
2
）
(B)-cos160° (D)±｜cos160°｜
【解析】∵ sin +4 =2,
2
cos+1
∴sin2θ=2cosθ-2，∴1-cos2θ=2cosθ-2，
∴（1-cosθ)(3+cosθ）=0，∴cosθ=1.∴sinθ=0
∴原式=4.
答案：4
【解析】
8
5 3 <α < ,则cosα -sinα 的值为（ ） 2 4 （A） 3 （B） 3 （C） 3 （D）3 4 2 2 4 【解析】选B.∵sinαcosα= 1 ,∴1-2sinαcosα= 8 即（cosα-sinα）2= 3 ， 4 又 5 <α< 3 ，∴cosα>sinα，∴cosα-sinα= 2 4
(C) 3
4
(D)-
4 3
【解析】选D.∵点P（3,y）在角α的终边上且y<0， ∴角α的终边在第四象限，
∴sinα= - 1-cos =- 4 ，
2
4 ∴tanα=. 3
5
3.已知sinα = 5 ，则sin4α -cos4α 的值为(
5
)
5
(A) - 1
5
(B) - 3
5
(C)
1 5
ห้องสมุดไป่ตู้(D) 3
2
【解析】选B. 1-sin 160 = cos 160 = cos160 ,
又160°是第二象限角, ∴cos160°<0, ∴ 1-sin 160 =-cos160°.
2
2.已知点P（3,y）在角α 的终边上，且满足y<0，cosα =
则tanα 为( (A)3 4
3 , 5
) (B) 4
3 ， 4
3 . 2
2.(5分)(2010²聊城高一检测)若sinα +cosα = - 1 ，且
5
0<α <π ,则tanα 的值是（
3 （A） 或 4 （C） 4 3
4 3
）
3
（B）4
（D） 3 4
【解析】
sin2+4 3.(5分)若 =2,则(cosθ +3)(sinθ +1)=_____. cos+1
【解析】选B.sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2αcos2α)=2sin2α-1= - 3 ,故选B.
5
二、填空题（每题5分，共10分） 4.已知 sin+cos =2, 则sinθ cosθ 的值是_____.
sin-cos
【解析】由题意得sinθ+cosθ=2(sinθ-cosθ), ∴(sinθ+cosθ)2=4(sinθ-cosθ)2, 解得sinθcosθ= 3 .
10
答案: 3
10
【解题提示】
【解析】
答案：
【解析】
7.已知tanα =
1 ，求下列各式的值： 2
（1） 2cos-3sin
3cos+4sin
（2）sin2α -3sinα cosα +4cos2α .
【解析】
1.（5分）（2010²沈阳高一检测）已知sinα cosα = 1 ，且
课程目标设置
主题探究导学
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.（2010²宁德高一检测）化简 1-sin 160 的结果是
2
（ (A)cos160° (C)±cos160°
2
）
(B)-cos160° (D)±｜cos160°｜
【解析】∵ sin +4 =2,
2
cos+1
∴sin2θ=2cosθ-2，∴1-cos2θ=2cosθ-2，
∴（1-cosθ)(3+cosθ）=0，∴cosθ=1.∴sinθ=0
∴原式=4.
答案：4
【解析】
8
5 3 <α < ,则cosα -sinα 的值为（ ） 2 4 （A） 3 （B） 3 （C） 3 （D）3 4 2 2 4 【解析】选B.∵sinαcosα= 1 ,∴1-2sinαcosα= 8 即（cosα-sinα）2= 3 ， 4 又 5 <α< 3 ，∴cosα>sinα，∴cosα-sinα= 2 4