2020高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第4节古典概型与几何概型高考AB卷理

【2019最新】精选高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第4
节古典概型与几何概型高考AB卷理
古典概型
1.(2013·全国Ⅱ，14)从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.
解析从1，2，…，n中任取两个不同的数共有C种取法，两数之和为5的有(1，4)，(2，3)2种，所以)＝，即＝＝，解得n＝8.
答案8
随机数与几何概型
2.(2016·全国Ⅰ，4)某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A. B.
C. D.3
4
解析如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝，故选B.
答案B
3.(2016·全国Ⅱ，10)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. B. C. D.2m
n
解析由题意得：(xi，yi)(i＝1，2，…，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，∴π＝，故选C.
答案C
古典概型
1.(2014·陕西，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
A. B.
C. D.4
5
解析从这5个点中任取2个，有C＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有C＝6种，因此所求概率P＝＝.故选C.
答案C
2.(2016·江苏，7)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.
解析基本事件共有36个.如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，其中满足点数之和小于10的有30个.故所求概率为P＝＝.
答案5
6
3.(2015·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
解析这两只球颜色相同的概率为,C)＝，故两只球颜色不同的概率为1－＝.
答案5
6
4.(2014·广东，11)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________.
解析十个数中任取七个不同的数共有C种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C种情况，于是所求概率P＝,C)＝.
答案1
6
5.(2014·江西，12)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.
解析从10件产品中任取4件共有C＝210种不同的取法，因为10件产品中有7件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有CC＝105种不同的取法，故所求的概率为P＝＝.
答案1
2
6.(2015·北京，16)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)
解设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1，2，...，7.由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1，2， (7)
(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是
P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.
(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，
C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.
因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.
(3)a＝11或a＝18.
随机数与几何概型
7.(2015·陕西，11)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
A.＋
B.－
C.－
D.＋1
π
解析由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P＝＝＝－.
答案B
8.(2014·湖北，7)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )
A. B.
C. D.7
8
解析由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－××＝，则所求的概率P＝＝.选D.
答案D
9.(2013·四川，9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. B.
C. D.7
8
解析设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，则由题意可得，0≤x≤4，0≤y≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x，y)||x －y|≤2}，由图示得，该事件概率P＝＝＝.
答案C
10.(2016·山东，14)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x －5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.
解析由已知得，圆心(5，0)到直线y＝kx的距离小于半径，∴<3，解得－<k<，由几何概型得P＝＝.
答案3
4
11.(2015·福建，13)如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.
解析由几何概型的概率公式：P＝1－＝.
答案5
12
12.(2014·福建，14)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.
解析因为函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，又因为函数y＝ex与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－exdx)＝2e－2ex＝2e－(2e－2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得
所求的概率P＝＝.
答案2
e2
13.(2012·湖南，15)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.
(1)若φ＝，点P的坐标为，则ω＝________；
(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________.
解析f(x)＝sin(ωx＋φ)，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ).
(1)φ＝时，f′(x)＝ωcos(ωx＋).
∵f′(0)＝，即ωcos＝，∴ω＝3.
(2)当ωx＋φ＝时，x＝；
当ωx＋φ＝时，x＝.
由几何概型可知，该点在△ABC内的概率为
答案(1)3 (2)π
4。