幂函数测考试试题3
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。
答案：$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。
答案：$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。
答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。
答案：$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。
答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。
答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。
答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
高三数学幂函数试题答案及解析
高三数学幂函数试题答案及解析1.若，则满足的取值范围是 .【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.【考点】幂函数的性质.2.对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x)＝x成立，则称x为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．【答案】（1）－1和3.（2）(0,1)（3）－【解析】解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，∴函数f(x)的不动点为－1和3.(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0<a<1，∴a的取值范围为(0,1)．(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝－，则A，B中点M的坐标为(，)，即M(－，－)．∵A，B两点关于直线y＝kx＋对称，且A，B在直线y＝x上，∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋上．∴－＝＋⇒b＝－＝－，利用基本不等式可得当且仅当a＝时，b的最小值为－.3.若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．【答案】【解析】设f(x)＝xα，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x－，f(25)＝4.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为() A．1,3B．-1,1C．-1,3D．-1,1,3【答案】A【解析】当α=-1时函数定义域为{x|x≠0}.当α=时,定义域是[0,+∞),都不符合条件.当α=1,3时,幂函数定义域为R且为奇函数.故选A.5.幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设幂函数，由，得.【考点】幂函数6.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.7.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.8.函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（）A．B．C．D．或【答案】【解析】是幂函数或 . 又上是增函数,所以.【考点】幂函数的概念及性质.9.函数由确定，则方程的实数解有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】因为，所以.方程为：，化简得，其根有3个，且1不是方程的根.【考点】幂的运算，分式方程的求解.10.下列对函数的性质描述正确的是（）A．偶函数，先减后增B．偶函数，先增后减C．奇函数，减函数D．偶函数，减函数【答案】B【解析】是偶函数，图象关于y轴对称，而在（0，+∞）是减函数，所以，在（-∞.0）是增函数，故选B。
幂函数的图像专题含答案
幂函数的图像专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 幂函数f(x)=xα的图象必不经过平面直角坐标系中的第几象限( )A.一B.二C.三D.四2. 已知幂函数y=x n，y=x m，y=x p的图象如图，则（）A.m>n>pB.m>p>nC.n>p>mD.p>n>m3. 函数y=|x−1|的图象是（）A. B.C. D.4. 下列图象中幂函数y=x 32的大致形状的是（）A. B.C. D.5. 已知幂函数y=x a，y=x b，y=x c的部分图象如下，则点(ab−b,c2−c)所在象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6. 幂函数y=x a（α是常数）的图象（）A.一定经过点(0, 0)B.一定经过点(1, 1)C.一定经过点(−1, 1)D.一定经过点(1, −1)7. 在直角坐标系xOy的第一象限内分别画出了函数y=x,y=√x，y=x2，y=x3，y=x−1的部分图象，则函数y=x4的图象通过的阴影区域是（）A. B.C. D.8. 函数y=x 43的图象是（）A. B. C. D.9. 下图为两幂函数y=xα和y=xβ的图象，其中α，β∈{−12, 12, 2, 3}，则不可能的是（）A. B. C. D.10. 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．（）(1)y=x32；(2)y=x13；(3)y=x23；(4)y=x−2；(5)y=x−3；(6)y=x−12．A.(1)↔(A)，(2)↔(F)，(3)↔(E)，(4)↔(C)，(5)↔(D)，(6)↔(B)B.(1)↔(B)，(2)↔(E)，(3)↔(C)，(4)↔(D)，(5)↔(A)，(6)↔(F)C.(1)↔(A)，(2)↔(E)，(3)↔(B)，(4)↔(D)，(5)↔(C)，(6)↔(F)D.(1)↔(B)，(2)↔(F)，(3)↔(A)，(4)↔(C)，(5)↔(D)，(6)↔(E)11. 如图，曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象，已知n取2，3，12，−1四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．12. 已知幂函数f(x)=(m2−5m+7)x−m−1(m∈R)为偶函数．则m=________．13. 若幂函数f(x)=xα的图象经过点(3, 81)，则实数α的值为________.14. 幂函数f(x)图象过点A(2,√2)，则f(4)的值为________．15. 当α∈{12, 1, 3}幂函数y=xα的图象不可能经过的是第________象限（符合条件的要全填）．16. 函数f(x)=(x−1)1m+1的图象恒过定点________．17. 如果幂函数y=(m2−3m+3)x m2−m−1的图象不过原点，则m的值是________．18. 若y=x n的图象在x>1时，位于y=x的上方，则n的取值范围是________．19. 当x∈(1, +∞)时，幂函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围________．20. 把函数y=x 12的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标也扩大到原来的3倍，所得图象的函数解析式是________．21. 画出y=x−12的函数图象．22. 画出y=x−12，y=x−13，y=x12，y=x13的图象．23. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称．（1）确定f(x)的解析式；（2）画出f(x)的图象．24. 已知幂函数f(x)=x9−3m(m∈N∗)的图象关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．（1）求f(x)表达式；（2）求满足f(a+1)+f(2a−3)<0的a的取值范围．25. 已知幂函数y=f(x)的图象经过点(8，m)和(9，3).(1)求实数m的值；(2)若函数g(x)=logaf(x) (a>0,a≠1)在区间[16，36]上的最大值比最小值大1，求实数a的值.26. 若点(√2, 2)在幂函数f(x)的图象上，点(2, 12)在幂函数g(x)的图象上，定义ℎ(x)={f(x),f(x)≤g(x)g(x),f(x)>g(x)求函数ℎ(x)的最大值及单调区间．27. 已知幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设函数g(x)=q⋅√f(x)+2x(q>0)，若g(x)≥0对任意x∈[1, +∞)恒成立，求实数q的取值范围．28. 已知幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值．29. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴、y轴无公共点且关于y轴对称．（1）求m的值；（2）画出函数y=f(x)的图象（图象上要反映出描点的“痕迹”）．30. a、b、c、m∈R+，a m=b m+c m，若长为a、b、c三线段能构成三角形，求m的取值范围．31. 已知函数f(x)=(m2+3m−3)x m为幂函数，且在区间(0,+∞)上单调递减.(1)求实数m的值；(2)请画出函数f(x)的草图.32. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈N∗)的图象关于y轴对称，且在(0, +∞)上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足(1+a)−2m3<(1−2a)−2m3的a的取值范围．33. 已知函数y=x 2 3，（1）求定义域；（2）判断奇偶性；（3）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．参考答案与试题解析幂函数的图像专题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数性质，直接求解即可.【解答】解：利用幂函数的性质即可得：当x>0时，xα不可能为负数，所以不经过第四象限.故选D.2.【答案】C【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的图象特征：在区间(1, +∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴，结合图象即可得到答案．【解答】解：因为在区间(1, +∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴，所以由图象可得：n>p>m，故选：C．3.【答案】A【考点】幂函数的图像【解析】先根据函数的定义域排除B、C，然后根据函数的值域可排除D，从而得到正确的选项．【解答】解：根据函数的定义域为{x|x≠0}可知选项B，选项C不正确；根据函数y=|x−1|的值恒正可知选项D不正确.故选A．4.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数y=x 32性质，即可得出正确的选项．【解答】解：幂函数y=x 32的定义域是[0,+∞)，可以排除CD选项；当x>1时，幂函数y=x 32的函数值大于y=x的函数值，故当x>1时，幂函数y=x 32的图象高于y=x的图象，故排除选项A.故选B.5.【答案】C【考点】幂函数的图像【解析】由幂函数的由幂函数的图像得，a>1,b<0,0<c<1,进而判断得结论.【解答】解：由幂函数的图象得，a>1，b<0，0<c<1，∴ ab−b=(a−1)b<0，c2−c=c(c−1)<0，∴ 点(ab−b,c2−c)在第三象限.故选C.6.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数的图象与性质及1α=1即可得出．【解答】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=x a（α是常数）的图象一定经过(1, 1)点．故选B．7.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的图象和性质判断函数y=x14的单调性和大小关系即可．【解答】解：当0<x<1时，函数y=x n为单调递减函数，所以x4<x3．排除A，D．当x>1时，函数y=x n为单调递增函数，所以x4>x3．排除C．故选B．8.【答案】A幂函数的图像【解析】本题要用函数的性质与图象性质的对应来确定正确的选项，故解题时要先考查函数y= x43性质，单调性奇偶性等，再观察四个选项特征，选出正确答案．【解答】解：研究函数y=x 43知，其是一个偶函数，且在(0, +∞)上增，在(−∞, 0)上减，由此可以排除C，D，又函数的指数43>1，故在(0, +∞)其递增的趋势越来越快，由此排除B，故A正确．故选A．9.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】根据所给的幂函数的α，β的值，逐个说明函数的图象所经过的象限，最后得到函数的图象情况，从而得出答案．【解答】解：α，β∈{−12, 12, 2, 3}时，幂函数y=xα和y=xβ的图象列举如下：则不可能的是：B．故选B．10.【答案】A【考点】幂函数的图像函数(1)的定义域为[0, +∞)且幂指数大于0故(1)↔(A)函数(2)的定义域为R且为奇函数图象关于原点对称幂指数大于0在第一象限单调递增故(2)↔(F)观察答案知选A．【解答】解：函数(1)的定义域为[0, +∞)且幂指数大于0在第一象限单调递增故：(1)↔(A)函数(2)的定义域为R且为奇函数图象关于原点对称幂指数大于0在第一象限单调递增故：(2)↔(F)函数(3)的定义域为R且为偶函数图象关于y轴对称且幂指数大于0小于1在第一象限单调递增且上凸；故(3)↔(E)函数(4)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)且为偶函数图象关于y轴对称且幂指数小于0在第一象限单调递减故：(4)↔(C)函数(5)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)且为奇函数图象关于原点对称且幂指数小于0在第一象限单调递减故：(5)↔(D)函数(6)的定义域为(0, +∞)且幂指数小于于0在第一象限单调递减故：(6)↔(B)故选A二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】3，2，1，−12【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数的图象与性质即可得出．【解答】解：利用幂函数的图象与性质可得：相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为3，2，1，−1．2，−1．故答案为：3，2，1212.【答案】3【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的定义和函数奇偶性的性质进行求解建立．【解答】解：∵f(x)是幂函数，∴m2−5m+7=1，即m2−5m+6=0，解得m=2或m=3，若m=2，则f(x)=x−2−1=x−3为奇函数，不满足条件．若m=3，则f(x)=x−3−1=x−4为偶函数，满足条件．故m=3，故答案为：3．13.【答案】4【考点】幂函数的图像【解析】将点的坐标代入函数解析式，求出f(x)，将x用100代替，求出值．【解答】解：∵幂函数f(x)=xα的图象经过点(3, 81)，∴81=3α，解得α=4.故答案为：4.14.【答案】2【考点】幂函数的图像【解析】先由已知条件求幂函数的解析式，再求f(4)【解答】解：设幂函数f(x)=x a∵f(x)的图象过点(2, √2)∴2a=√2=212∴a=12∴f(x)=x12∴f(4)=412=2故答案为：215.【答案】二、四【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数的图象与性质即可得出．【解答】解：当α=1时，y=x值经过第一、三象限和原点；时，y=√x值经过第一象限和原点；当α=12当α=3时，y=x3值经过第一、三象限和原点．综上可知：幂函数y=xα的图象不可能经过的是第二、四象限．故答案为：二、四．16.【答案】【解析】根据幂函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵对所有的幂函数都过定点(1, 1)，∴当x−1=1，即x=2时，f(2)=1+1=2，即函数f(x)=(x−1)1m+1的图象恒过定点(2, 2)．故答案为：(2, 2)．17.【答案】1【考点】幂函数的图像【解析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于0，系数为1，求解即可．【解答】解：幂函数y=(m2−3m+3)x m2−m−1的图象不过原点，所以{m 2−m−1≤0m2−3m+3=1解得m=1，符合题意．故答案为：118.【答案】n>1【考点】幂函数的图像【解析】幂函数图象恒过(1, 1)点，结合图象容易推出n的取值范围．【解答】解：由题意画出幂函数图象，如图在第一象限内的图象，显然n>1故答案为：n>119.【答案】【解析】直接利用幂函数的图象，结合已知条件，求出a的范围．【解答】解：根据幂函数的图象的特点，画出函数的图象，当x∈(1, +∞)时，幂函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围是：(−∞, 1)．故答案为：(−∞, 1)．20.【答案】)12．y=3×(x3【考点】幂函数的图像【解析】，纵坐图象的变换体现在自变量和函数的变化，横坐标扩大到原来的3倍就是将x→x3标也扩大到原来的3倍就是将y→y，从而得解．3【解答】解：∵函数y=lg x图象横坐标扩大到原来的3倍∴得y=(x)123∵纵坐标也扩大到原来的3倍∴得y=3×(x)12．3)12．故填：y=3×(x3三、解答题（本题共计 13 小题，每题 10 分，共计130分）21.【答案】，所以定义域为(0, +∞)，解：将函数化为y=√x<0．根据幂函数的性质可知，图象在第一象限为减函数．且过点(1, 1)．又指数为−12做出图象如下：【考点】幂函数的图像【解析】研究函数的定义域，单调性，根据幂函数的性质判断．【解答】，所以定义域为(0, +∞)，解：将函数化为y=1√x<0．根据幂函数的性质可知，图象在第一象限为减函数．且过点(1, 1)．又指数为−12做出图象如下：22.【答案】解：根据幂函数的图象与性质，在同一坐标系中画出函数y=x−12，y=x−13，y=x12，y=x13的图象，如图所示；【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的图象与性质，在同一坐标系中画出这几个函数的图象即可．【解答】解：根据幂函数的图象与性质，在同一坐标系中画出函数y=x−12，y=x−13，y=x12，y=x13的图象，如图所示；23.【答案】解：（1）∵幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称∴m2−2m−3≤0且m2−2m−3为偶数解得−1≤m≤3∴m=−1或m=0或m=1或m=2或m=3∴f(x)=x−4或f(x)=x0=1(x≠0)（2）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）有幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0；指数为偶数．列出不等式求出m（2）借助幂函数的解析式画出幂函数的图象． 【解答】解：（1）∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于y 轴对称∴ m 2−2m −3≤0且m 2−2m −3为偶数 解得−1≤m ≤3∴ m =−1或m =0或m =1或m =2或m =3 ∴ f(x)=x −4或f(x)=x 0=1(x ≠0)（2）24.【答案】 解：（1）∵ 函数在(0, +∞)上递增，∴ 9−3m >0，解得m <3． 又m ∈N ∗，∴ m =1，2．又函数的图象关于原点对称，∴ 3m −9为奇数，故m =2，故f(x)=x 3． （2）∵ f(a +1)+f(2a −3)<0，∴ f(a +1)<−f(2a −3)． 又f(x)为奇函数，∴ f(a +1)<f(3−2a)， 又函数在R 上递增，∴ a +1<3−2a ， 解得a <23，即a 的范围为(−∞, 23)．【考点】函数单调性的性质函数解析式的求解及常用方法 幂函数的图像【解析】（1）函数在(0, +∞)上递增，可得9−3m >0，再由m ∈N ∗，且3m −9为奇数，可得m 的值，从而得到f(x)的解析式．（2）由题意可得不等式即f(a +1)<f(3−2a)，根据函数在R 上递增，可得a +1<3−2a ，由此求得a 的范围．【解答】 解：（1）∵ 函数在(0, +∞)上递增，∴ 9−3m >0，解得m <3． 又m ∈N ∗，∴ m =1，2．又函数的图象关于原点对称，∴ 3m −9为奇数，故m =2，故f(x)=x 3．又f(x)为奇函数，∴ f(a +1)<f(3−2a)， 又函数在R 上递增，∴ a +1<3−2a ， 解得a <23，即a 的范围为(−∞, 23)． 25.【答案】解：(1)设f(x)=x a ，依题意可得9a =3. 所以a =12. 所以f(x)=x 12.所以实数m =f(8)=812=2√2. (2)函数g(x)=log a f(x)， 即为g(x)=log a √x .又因为√x ∈[4,6]，所以：①当0<a <1时，g(x)min =log a 6,g(x)max =log a 4， 由log a 4−log a 6=log a 23=1， 解得a =23.②当a >1时，g(x)min =log a 4,g(x)max =log a 6， 由log a 6−log a 4=log a 32=1， 解得a =32.综上，所求实数a 的值为23或32.【考点】 幂函数的性质 幂函数的图像 对数函数的值域与最值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设f(x)=x a ，依题意可得9a =3. 所以a =12. 所以f(x)=x 12.1(2)函数g(x)=log a f(x)， 即为g(x)=log a √x .又因为√x ∈[4,6]，所以：①当0<a <1时，g(x)min =log a 6,g(x)max =log a 4， 由log a 4−log a 6=log a 23=1， 解得a =23.②当a >1时，g(x)min =log a 4,g(x)max =log a 6， 由log a 6−log a 4=log a 32=1， 解得a =32.综上，所求实数a 的值为23或32. 26. 【答案】解：设f(x)=x α，因为点(√2,2)在幂函数f(x)的图象上， 所以(√2)α=2，解得α=2，所以f(x)=x 2. 设f(x)=x β，因为点(2,12)在幂函数g(x)的图象上， 所以(√2)β=12，解得β=−1，所以g(x)=x −1.在同一坐标系中画出函数f(x)=x 2和g(x)=x −1的图象，由题意及图，可知 ℎ(x)={x −1，x <0或x >1x 2,0<x ≤1.根据函数ℎ(x)的解析式及图象（如图），可知函数ℎ(x)的最大值为1.ℎ(x)的单调递增区间是(0,1]，单调递减区间是(−∞,0)和(1,+∞).【考点】幂函数的图像函数的单调性及单调区间分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】设f(x)=x n，g(x)=x m，代入点的坐标，解方程可得f(x)，g(x)的解析式，再由定义，求得ℎ(x)的解析式，通过二次函数和反比例函数的性质，可得最大值和单调区间．【解答】解：设f(x)=xα，因为点(√2,2)在幂函数f(x)的图象上，所以(√2)α=2，解得α=2，所以f(x)=x2.设f(x)=xβ，因为点(2,12)在幂函数g(x)的图象上，所以(√2)β=12，解得β=−1，所以g(x)=x−1.在同一坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x−1的图象，由题意及图，可知ℎ(x)={x−1，x<0或x>1 x2,0<x≤1.根据函数ℎ(x)的解析式及图象（如图），可知函数ℎ(x)的最大值为1.ℎ(x)的单调递增区间是(0,1]，单调递减区间是(−∞,0)和(1,+∞).27.【答案】解：（1）幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数∴−m2+2m+3>0，∴−1<m<3，又m∈Z，函数f(x)为偶函数，故m=1，∴f(x)=x4；（2）g(x)=q⋅√f(x)+2x =qx2+2x≥0对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2x2对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2，而q>0，∴q>0．【考点】函数恒成立问题幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的图像幂函数图象及其与指数的关系【解析】（1）利用幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数，确定m的值，即可求函数f(x)的解析式；（2）分离参数，求最值，即可求实数q的取值范围．【解答】解：（1）幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数∴−m2+2m+3>0，∴−1<m<3，又m∈Z，函数f(x)为偶函数，故m=1，∴f(x)=x4；（2）g(x)=q⋅√f(x)+2x =qx2+2x≥0对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2x2对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2，而q>0，∴q>0．28.【答案】解：由题意可得：根据题意，幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，则m2−2m−3≤0，①m2−2m−3=0，解可得m=−1或3，此时y=1(x≠0)，符合题意；②m2−2m−3<0解得−1<m<3，∴m2−2m−3是偶数，故m的值为±1或3．【考点】幂函数的实际应用幂函数的图像【解析】幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点说明指数为负数或0，而图形关于y轴对称说明函数为偶函数．【解答】解：由题意可得：根据题意，幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，则m2−2m−3≤0，①m2−2m−3=0，解可得m=−1或3，此时y=1(x≠0)，符合题意；②m2−2m−3<0解得−1<m<3，又∵m∈Z，∴m=0，1，2∵图象关于y轴对称∴m2−2m−3是偶数，故m的值为±1或3．29.【答案】解：（1）由于幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，故幂函数是偶函数，且m2−2m−3=(m−3)(m+1)为非正的偶数．由m2−2m−3≤0可得−1≤m≤3，即m=−1、0、1、2，3．再由m2−2m−3为偶数，可得m=−1、1、3．（2）当m=−1或3时，f(x)=x0；当m=1时，f(x)=x−4；图象如图所示．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点说明指数为负数，而图形关于y轴对称说明指数数为偶函数，由此求得整数m的值．（2）根据（1）中结论写出幂函数的解析式，画出函数y=f(x)的图象．【解答】解：（1）由于幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，故幂函数是偶函数，且m2−2m−3=(m−3)(m+1)为非正的偶数．由m2−2m−3≤0可得−1≤m≤3，即m=−1、0、1、2，3．再由m2−2m−3为偶数，可得m=−1、1、3．（2）当m=−1或3时，f(x)=x0；当m=1时，f(x)=x−4；图象如图所示．30.【答案】解：根据题意，由a m=b m+c m，可得(ba )m+(ca)m=1，且a>b，a>c；设(ba )m=sin2θ；(ca)m=cos2θ，(0∘<θ<90∘)化简可得：b =a ⋅√sin 2θm，c =a ⋅√cos 2θm；若长为a 、b 、c 三线段能构成三角形，则b +c >a ，即a ⋅√sin 2θm+a ⋅√cos 2θm>a ；整理可得，√sin 2θm+√cos 2θm>1=sin 2θ+cos 2θ，由幂函数的性质分析可得，当且仅当m >1时，√sin 2θm>sin 2θ与√cos 2θm>cos 2θ同时成立，即b +c >a ，故m 的取值范围为m >1． 【考点】同角三角函数基本关系的运用 幂函数的图像 【解析】根据题意，由a m =b m +c m 变形可得(b a )m +(ca )m =1，由常数1联系同角三角函数的平方关系，可以设(b a )m =sin 2θ；(ca )m =cos 2θ，(0∘<θ<90∘)，又由题意，可得b +c >a ，将b 、c 与a 的关系代入可得，a ⋅√sin 2θm+a ⋅√cos 2θm>a ；进而整理变形可得，√sin 2θm+√cos 2θm >1=sin 2θ+cos 2θ，结合幂函数的性质，分析可得答案．【解答】解：根据题意，由a m =b m +c m ，可得(ba)m +(ca)m =1，且a >b ，a >c ；设(b a )m =sin 2θ；(ca )m =cos 2θ，(0∘<θ<90∘)化简可得：b =a ⋅√sin 2θm，c =a ⋅√cos 2θm；若长为a 、b 、c 三线段能构成三角形，则b +c >a ，即a ⋅√sin 2θm+a ⋅√cos 2θm>a ；整理可得，√sin 2θm+√cos 2θm>1=sin 2θ+cos 2θ，由幂函数的性质分析可得，当且仅当m >1时，√sin 2θm>sin 2θ与√cos 2θm>cos 2θ同时成立，即b +c >a ，故m 的取值范围为m >1． 31.【答案】解：(1)由m 2+3m −3=1，得m =1或m =−4，①当m =1时，f(x)=x ，此时函数在区间(0,+∞)为增函数，不符合题意； ②当m =−4时，f(x)=x −4，此时函数在区间(0,+∞)为减函数，符合题意. 故实数m 的值为−4.(2)由(1)知f(x)=x−4，由函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，f(−x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数，可画出函数f(x)草图为：【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由m2+3m−3=1，得m=1或m=−4，①当m=1时，f(x)=x，此时函数在区间(0,+∞)为增函数，不符合题意；②当m=−4时，f(x)=x−4，此时函数在区间(0,+∞)为减函数，符合题意. 故实数m的值为−4.(2)由(1)知f(x)=x−4，由函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，f(−x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数，可画出函数f(x)草图为：32.【答案】解：（1）∵幂函数f(x)=x m2−2m−3在(0, +∞)上是减函数，∴m2−2m−3<0，解得−1<m<3，∵m∈N∗，∴m=1，或m=2．当m=1时，f(x)=x−4，其图象关于y轴对称，符合题意；当m=2时，f(x)=x−3是奇函数，不符合题意，∴m=1．（2）∵ m =1，∴ 满足(1+a)−2m3<(1−2a)−2m3的a 即满足(1+a)−23<(1−2a)−23． ∵ y =x −23为偶函数，且定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，在(0, +∞)上单调减， ∴ {|1+a|>|1−2a|1+a ≠01−2a ≠0，即{(1+a)2>(1−2a)2a ≠−1a ≠12， 从而0<a <2且a ≠12，故a 的取值范围是(0, 12)∪(12，2)． 【考点】其他不等式的解法幂函数的单调性、奇偶性及其应用 幂函数的性质 幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）由幂函数f(x)=x m 2−2m−3在(0, +∞)上是减函数，知m 2−2m −3<0，由此能求出m ．（2）由m =1，知满足(1+a)−2m 3<(1−2a)−2m 3的a 即满足(1+a)−23<(1−2a)−23．由此能求出a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3在(0, +∞)上是减函数， ∴ m 2−2m −3<0， 解得−1<m <3，∵ m ∈N ∗，∴ m =1，或m =2．当m =1时，f(x)=x −4，其图象关于y 轴对称， 符合题意；当m =2时，f(x)=x −3是奇函数，不符合题意， ∴ m =1．（2）∵ m =1， ∴ 满足(1+a)−2m 3<(1−2a)−2m 3的a 即满足(1+a)−23<(1−2a)−23．∵ y =x −23为偶函数，且定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，在(0, +∞)上单调减， ∴ {|1+a|>|1−2a|1+a ≠01−2a ≠0，即{(1+a)2>(1−2a)2a ≠−1a ≠12， 从而0<a <2且a ≠12，故a 的取值范围是(0, 12)∪(12，2)．33. 【答案】解：（1）∵ 函数y =x 23=√x 23，∴ 函数的定义域为R ．（2）∵ f(−x)=√(−x)23=√x 23=f(x)，∴ 函数y =x 23=√x 23是偶函数． （3）∵ 函数y =x 23=√x 23是偶函数．∴ 函数图象关于y 轴对称，且(−∞, 0]为减函数，[0, +∞)为增函数， 对应的图象为： 【考点】 幂函数的性质 幂函数的图像【解析】根据幂函数的性质分别求出函数的定义域和奇偶性． 【解答】解：（1）∵ 函数y =x 23=√x 23，∴ 函数的定义域为R ．（2）∵ f(−x)=√(−x)23=√x 23=f(x)，∴ 函数y =x 23=√x 23是偶函数． （3）∵ 函数y =x 23=√x 23是偶函数．∴ 函数图象关于y 轴对称，且(−∞, 0]为减函数，[0, +∞)为增函数， 对应的图象为：。
幂函数基础填空题(含答案)
3.3幂函数基础填空题一．填空题（共30小题）1．（2016•衡水模拟）函数y=x a为偶函数且为减函数在（0，+∞）上，则a的范围为．2．（2016•武汉校级模拟）若幂函数的图象不过原点，则实数m的值为．3．（2016春•沭阳县期中）设幂函数f（x）=x a（a为实数）的图象经过点（4，8），则f（x）=．4．（2016春•淮阴区期中）幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，则m=．5．（2015•株洲一模）如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是．6．（2015•涪城区校级模拟）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=．7．（2015•揭阳二模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则的值为．8．（2015•张家港市校级模拟）设，若幂函数y=xα为偶函数且在（0，+∞）上单调递减，则α=．9．（2015秋•天水校级期末）已知函数f（x）=log a x（a，0且a≠1）满足f（9）=2，则a=．10．（2015秋•承德期末）若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为．11．（2015秋•福建期末）幂函数在区间（0，+∞）上是增函数，则m=．12．（2015秋•庄河市期末）幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则m的值为．13．（2015秋•北京校级期末）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）•x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为．的解集是．15．（2014秋•薛城区校级期中）幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为．16．（2015秋•余姚市校级期中）已知幂函数f（x）过点，则满足f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是．17．（2015秋•齐齐哈尔校级期中）若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为．18．（2015秋•宜昌校级期中）已知函数是幂函数，且f（x）在（0，+∞）上为减函数，，则实数a的取值范围为．19．（2015秋•宿迁校级期中）若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m 的取值范围是．20．（2015秋•吉安校级期中）设a∈，则使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的a的集合为．21．（2015秋•枣阳市校级期中）给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；④定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a、b，总有成立，则f（x）在R上是增函数；⑤的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）．正确的有．22．（2015春•杭州校级期中）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点，则k+α=；函数的定义域为．23．（2015秋•合肥校级期中）已知幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒不过原点，则实数a=．24．（2015秋•衡阳县校级月考）若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为．25．（2015秋•青海校级月考）函数的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（x）=．26．（2015秋•南京校级月考）当时，幂函数y=xα的图象关于原点对称的有个．27．（2015秋•邵阳校级月考）已知幂函数f（x）=k•x a的图象过点，则k+a=．28．（2015春•保定校级月考）已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数，则m的值是．29．（2015秋•亭湖区校级月考）已知幂函数y=x3m﹣7（m∈N）的图象关于y轴对称，且与x 轴，y轴均无交点，则m=．30．（2015秋•抚州校级月考）已知函数是幂函数，则m=．3.3幂函数基础填空题参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2016•衡水模拟）函数y=x a为偶函数且为减函数在（0，+∞）上，则a的范围为a＜0且a为偶数．【分析】根据减函数以及偶函数的性质结合幂函数的定义求出a的范围即可．【解答】解：∵函数为减函数，∴a＜0，∵函数为偶函数，∴a为偶数，故答案为：a＜0且a为偶数．【点评】本题考查偶函数的定义，幂函数定义，是一道基础题．2．（2016•武汉校级模拟）若幂函数的图象不过原点，则实数m的值为m=1或m=2．【分析】由幂函数的图象不过原点，知，由此能求出实数m的值．【解答】解：∵幂函数的图象不过原点，∴，解得m=1或m=2．故答案为：m=1或m=2．【点评】本题考查幂函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．3．（2016春•沭阳县期中）设幂函数f（x）=x a（a为实数）的图象经过点（4，8），则f（x）=．【分析】根据幂函数f（x）的图象经过点（4，8），列出方程，求出a的值．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（4，8），∴4a=8；解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．4．（2016春•淮阴区期中）幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，则m=0．【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合幂函数的单调性进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2=1，得m=0，或m=2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m=0时，2＞0成立，当m=2时，4﹣8+2=﹣2＞0，不成立，故答案为：0．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，根据幂函数的定义求出m的值是解决本题的关键．5．（2015•株洲一模）如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是（，）．【分析】先求出A、B、C的坐标，设出点D的坐标，再根据矩形ABCD得出=，利用向量坐标运算求出点D的坐标．【解答】解：由题意可得，A、B、C点坐标分别为（，2），（4，2），（4，），设D（m，n），再由矩形的性质可得=，故（m﹣，n﹣2）=（0，﹣2），∴m﹣=0，n﹣2=﹣．解得m=，n=，故点D的坐标为（，），故答案为：（，）．【点评】本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，向量相等的条件，属于基础题．6．（2015•涪城区校级模拟）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=2．【分析】由题意得，由此能求出m=2．【解答】解：∵幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），∴，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．7．（2015•揭阳二模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则的值为1．【分析】利用待定系数法求出f（x）的表达式即可．【解答】解：设f（x）=xα，则f（3）=3α=，解得α=﹣1，则f（x）=x﹣1，f（2）=，则log f（2）=log=1，故答案为：1；【点评】本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．8．（2015•张家港市校级模拟）设，若幂函数y=xα为偶函数且在（0，+∞）上单调递减，则α=﹣2．【分析】由幂函数y=xα为（0，+∞）上递减，推知α＜0，又通过函数为偶函数，推知α为偶数，进而推知α只能是﹣2．【解答】解：∵y=xα在（O，+∞）上是单调递减∴α＜0，又∵，∴，又函数y=xα为偶函数，知α为偶数，∴α=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了幂函数单调性和奇偶性．要理解好幂函数单调性和奇偶性的定义并能灵活利用．9．（2015秋•天水校级期末）已知函数f（x）=log a x（a，0且a≠1）满足f（9）=2，则a=3．【分析】根据f（9）=2建立等式，利用对数与指数的互化建立等式，解之即可求出所求．【解答】解：由f（9）=2得f（9）=log a9=2即a2=9，而a＞0所以a=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了对数函数与指数函数的互化，同时考查了运算求解的能力，属于容易题．10．（2015秋•承德期末）若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为（3，0）．【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合对数函数的性质求出A的坐标即可．【解答】解：若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则m=2，则函数g（x）=log a（x﹣m）=（其中a＞0，a≠1），令x﹣2=1，解得；x=3，g（x）=0，其图象过定点A的坐标为（3，0），故答案为：（3，0）．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查对数函数的性质，是一道基础题．11．（2015秋•福建期末）幂函数在区间（0，+∞）上是增函数，则m=2．【分析】根据幂函数的定义求出m的值，判断即可．【解答】解：若幂函数在区间（0，+∞）上是增函数，则由m2﹣3m+3=1解得：m=2或m=1，m=2时，f（x）=x，是增函数，m=1时，f（x）=1，是常函数，故答案为：2．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．12．（2015秋•庄河市期末）幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则m的值为1．【分析】根据幂函数的定义、图象与性质，列出方程组，即可求出m的值．【解答】解：幂函数的图象与坐标轴没有公共点，∴，解得，即m=1．故答案为：1．【点评】本题考查了幂函数的定义、图象与性质的应用问题，是基础题目．13．（2015秋•北京校级期末）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）•x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为2．【分析】根据幂函数的定义得m2﹣m﹣1=1解出m，又因为函数为减函数舍去一个m即可得到．【解答】解：利用幂函数的定义得m2﹣m﹣1=1，解得m=2，m=﹣1；则幂函数解析式为y=x﹣13为减函数和y=x2为增函数，所以m=2故答案为2【点评】考查学生利用幂函数的性质的能力．的解集是[﹣4，4]．【分析】先确定幂函数的解析式，再解不等式，可得结论．【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，则，∴α=，∴不等式f（|x|）≤2等价于，∴|x|≤4∴﹣4≤x≤4∴不等式f（|x|）≤2的解集是[﹣4，4]故答案为[﹣4，4]．【点评】本题考查幂函数解析式的求法，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（2014秋•薛城区校级期中）幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为2．【分析】利用幂函数的定义及其性质可得：m2﹣m﹣1=1，m2﹣2m﹣3＜0，解出即可．【解答】解：∵幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，∴m2﹣m﹣1=1，m2﹣2m﹣3＜0，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了幂函数的定义及其性质，属于基础题．16．（2015秋•余姚市校级期中）已知幂函数f（x）过点，则满足f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是[1，）．【分析】根据幂函数y的图象求出的解析式，再利用幂函数的性质把不等式f（2﹣a）＞f （a﹣1）化为等价的不等式组，求出解集即可．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R；其图象过点，∴2α=，解得α=，∴f（x）==；∴不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）可化为＞，即，解得1≤a＜，∴实数a的取值范围是[1，）．故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．17．（2015秋•齐齐哈尔校级期中）若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为3．【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，以及函数在x∈（0，+∞）上为增函数，列出不等式组求解即可．【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m﹣1是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则，解得：m=3．故答案为：3．【点评】本题考查了幂函数的概念及其单调性，解答的关键是掌握幂函数定义及性质，幂函数在幂指数大于0时，在（0，+∞）上为增函数．18．（2015秋•宜昌校级期中）已知函数是幂函数，且f（x）在（0，+∞）上为减函数，，则实数a的取值范围为[﹣1，）．【分析】运用幂函数的定义，可得m2﹣m﹣1=1，解得m，再由幂函数的单调性即可得到m，再根据幂函数的性质得到关于a的不等式组解得即可．【解答】解：由幂函数定义可知：m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1，又函数在x∈（0，+∞）上为减函数，当m=2时，m2﹣2m﹣3=4﹣4﹣3＜0，符合题意，当m=﹣1时，m2﹣2m﹣3=1+2﹣3=0，不符合题意则m=2，∵，∴＜，∴，解得﹣1≤a＜，故实数a的取值范围为[﹣1，），故答案为：[﹣1，），【点评】本题考查幂函数的定义和性质，考查函数的单调性的判断，也考查了不等式的解法与应用问题，属于基础题．19．（2015秋•宿迁校级期中）若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m 的取值范围是（﹣∞，1）．【分析】利用幂函数的单调性即可得出．【解答】解：∵幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，∴m﹣1＜0，解得m＜1．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了幂函数的单调性，属于基础题．20．（2015秋•吉安校级期中）设a∈，则使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的a的集合为{1，3}．【分析】分别验证a=1，﹣1，，3知当a=1或a=3时，函数y=x a的定义域是R且为奇函数．【解答】解：当a=﹣1时，当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数，不合题意；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是（0，+∞），不合题意；当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的a的集合为{1，3}．故答案为：{1，3}．【点评】本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质，属于基础题．21．（2015秋•枣阳市校级期中）给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；④定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a、b，总有成立，则f（x）在R上是增函数；⑤的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）．正确的有①④．【分析】根据幂函数的图象的性质，可判断①正确，根据奇函数的定义，可判断②的正误；根据对折变换的图象变化及二次函数的单调性，可判断③的真假；根据单调性的定义，可判断④是正确的；根据单调区间的定义，可以判断⑤的对错．【解答】解：由幂函数的图象的性质，易得幂函数的图象一定不过第四象限，故①正确；若奇函数在x=0时有意义，则图象一定过坐标原点，但奇函数在x=0时无意义时，则图象不过坐标原点，故②错误；y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间有两个：[﹣1，0]和[1，+∞）故③错误；若，则f（x）在R上是增函数，故④正确；的单调减区间有两个：（﹣∞，0）和（0，+∞），但函数在区间（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不具备单调性，故⑤错误；故答案为：①④【点评】本题考查的知识点是幂函数的图象的性质，奇函数的定义，单调性的定义，单调区间的定义，熟练掌握函数的图象和性质，理解函数性质的定义是解答本题的关键．22．（2015春•杭州校级期中）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点，则k+α=3；函数的定义域为[﹣3，1]．【分析】利用幂函数的定义求出k，利用函数的图象经过的点求出α，即可得到结果，再根据二次根式，得到3﹣2x﹣x2≥0，解得即可．【解答】解：因为幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）由幂函数的定义可知k=1，幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点，∴=（）α，解得α=2，∴k+α=3，∴f（x）=x2，∵，∴3﹣2x﹣x2≥0，解得﹣3≤x≤1，所以函数的定义域为为[﹣3，1]．故答案为：3；[﹣3，1]．【点评】本题考查了幂函数的图象和性质，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．23．（2015秋•合肥校级期中）已知幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒不过原点，则实数a=3．【分析】利用幂函数的定义，求出a的值，利用幂函数的性质判断结果即可．【解答】解：函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9是幂函数，可得a2﹣9a+19=1，解得a=3或a=6．当a=3时，2a﹣9＜0，幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒不过原点，成立．当a=6时，2a﹣9＞0，幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒过原点，不成立．故答案为：3．【点评】本题考查幂函数的图象与性质的应用，考查计算能力．24．（2015秋•衡阳县校级月考）若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为2．【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有m2﹣m﹣1=1函数f（x）=（m2﹣m ﹣1）x m才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则解得：m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了幂函数的概念及其单调性，解答的关键是掌握幂函数定义及性质，幂函数在幂指数大于0时，在（0，+∞）上为增函数25．（2015秋•青海校级月考）函数的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（x）=．【分析】由题意求出点P的坐标，代入f（x）求函数解析式【解答】解：根据题意：令2x﹣3=1，∴x=2，此时y=，∴P（2，）∵P在幂函数f（x）的图象上，设f（x）=xα∴=2α，∴α=﹣，∴f（x）=，故答案为：【点评】本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题．26．（2015秋•南京校级月考）当时，幂函数y=xα的图象关于原点对称的有3个．【分析】根据α的取值，逐个验证幂函数y=xα的图象是否关于原点对称即可．【解答】解：α=﹣1时，幂函数y=x﹣1的图象关于原点对称，α=1时，幂函数y=x的图象关于原点对称，α=3时，幂函数y=x3的图象关于原点对称；α=时，幂函数y=x（x≥0）的图象不关于原点对称，α=2时，幂函数y=x2的图象关于y轴对称，不关于原点对称；综上，幂函数y=xα的图象关于原点对称的有3个．故答案为：3．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．27．（2015秋•邵阳校级月考）已知幂函数f（x）=k•x a的图象过点，则k+a=．【分析】根据幂函数的定义，以及函数值，即可求出．【解答】解：幂函数f（x）=k•x a的图象过点，∴k=1，=3a，∴a=﹣，∴k+a=，故答案为：．【点评】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．28．（2015春•保定校级月考）已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数，则m的值是2．【分析】根据幂函数的定义求出m，利用幂函数的性质即可确定m的值．【解答】解：∵f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1或m=2．∵当m=﹣1时，幂函数f（x）=x﹣3，在x∈（0，+∞）上单调递减，不满足条件；当m=2时，幂函数f（x）=x3，在x∈（0，+∞）上单调递减增，满足条件；m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，要求熟练掌握幂函数的定义和性质．29．（2015秋•亭湖区校级月考）已知幂函数y=x3m﹣7（m∈N）的图象关于y轴对称，且与x 轴，y轴均无交点，则m=1．【分析】利用幂函数的性质可得3m﹣7＜0，且3m﹣7为偶数，解出即可．【解答】解：由题意可得：3m﹣7＜0，且3m﹣7为偶数．解得m＜，∴m=1．故答案为：1．【点评】本题考查了幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．30．（2015秋•抚州校级月考）已知函数是幂函数，则m=4．【分析】利用幂函数的定义即可得出．【解答】解：∵函数是幂函数，∴m2﹣m﹣11=1，≠0，m+3≠0，解得m=4．故答案为：4．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。
高中数学-幂函数测试题及答案详解
-，－，，－ 若)()(12N n xx f n n∈=++，则)(x f 是（ ）与图像的交点坐标为 ．y=设，则使幂函数的．．．．“或③已知幂函数的图象经过点则的值等于④已知向量，则向量在向量影是已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（．幂函数的图象过点，那么函数的单调．．，集合且，则实数的取值范围是f(x) =<f为偶函数，且的值，并确定的解析式；在上值域．已知幂函数）求函数设函数其中仅在处有极值，求，四值，则相应，，－，．－，，－过点，为已知函数（．．．为方程的解，即为方的根，即的零点，因为据零点存在性定理可得的大致区间为则使幂函数为奇函数且在若是幂函数为奇函数;，上单调递增的，;函数”且或③已知幂函数的图象经过点的值等于④已知向量，，则向量在向量方向上的投影是.”对于任意”③由幂函数的图象经过点（），所以，所以幂函数为，所以④向量方向上的投影是，是已知函数若关于的方程的取值范围是（．．线的斜率联立解得，分析图像知，>0，再由图像分析知D答案:D幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区．因为函数过点，所以，故函数解析式为，单调增区间为:，集合，则实数的取值范围是f(x) =f(x) >1;则<f.所有正确命题的序号是已知函数．的值，并确定）若，求上值域．） .已知幂函数为偶函数，且在区间）求函数）设函数，其中仅在处有极值，求）f(x)=(2,(2,=即=m=1,f(x)=.∴)1≤a<。
二次函数与幂函数(试题部分)
一元二次方程根的分布
3.已知一元二次方程 x2+mx+3=0(m∈Z)有两个实数根 x1,x2,且 0<x1<2<x2<4,则 m 的值为(
A.-4
B.-5
答案
C.-6
D.-7
A
4.方程 x2+ax-2=0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为(
A.(C.[-
23
5
23
5
答案
, + ∞)
答案
D.点(2,8)在曲线 y=f(x)上
A
2.(2013 重庆,3,5 分)√(3-)( + 6)(-6≤a≤3)的最大值为(
A.9
答案
B.
9
2
C.3
D.
)
3√2
2
B
3 4 5
3.(2014 辽宁,16,5 分)对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+4b2-c=0 且使|2a+b|最大时, - + 的最小值为
由|a|+|b|={
得|a|+|b|≤3.
|-|, < 0,
当 a=2,b=-1 时,|a|+|b|=3, |f(x)|=|x2+2x-1|,此时易知|f(x)|在[-1,1]上的最大值为 2,即 M(2,-1)=2.
所以|a|+|b|的最大值为 3.
考点二
幂函数
5.(2014 浙江,7,5 分)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图象可能是(
)
D.[2,4]
D
1
5.(2020 届广东揭阳三中第一次月考,7)如图的曲线是幂函数 y=xn 在第一象限内的图象.已知 n 分别取±2,± 四个值,与
高中数学《幂函数》题型战法试题及答案
第二章 函数2.6.1幂函数（题型战法）知识梳理一 幂函数的概念一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数.注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.二 幂函数的图像与性质（1）五个常见幂函数的图像： 如右图所示（2）五个常见幂函数的性质：函数 性质 y ＝x12y x =y ＝x 2 y ＝x 3 1y x -=定义域 R [)0+∞， R R ()(),00,-∞+∞ 值域 R [)0+∞，[)0+∞，R ()(),00,-∞+∞奇偶性奇非奇非偶偶奇奇单调性 R 上增[)0+∞，上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增R 上增(－∞，0)上减 (0，＋∞)上减公共点（1）所有的幂函数在区间()0+∞，上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点()1,1.（2）如果0α>，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是增函数 （3）如果0α<，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是减函数 题型战法题型战法一 幂函数的概念典例1．下列函数是幂函数的是（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．3y x =D ．2x y =变式1-1．下列函数是幂函数的是（ ） A ．22y x = B ．1y x -=- C ．31y x = D ．2x y =变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f -的值为（ ） A ．8 B ．8- C ．4 D ．4-变式1-3．已知幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．1或2变式1-4．已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点1(2，则k α+等于（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2题型战法二 幂函数的图像典例2．函数y =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．变式2-1．已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．变式2-2．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．58y x =变式2-3．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3变式2-4．已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ①()f x 和()g x 图象都过点(1,1)-；①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ； ①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（ ） A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①题型战法三 幂函数的定义域典例3．下列幂函数中，定义域为R 的是（ ） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x =变式3-1．若()342x --有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．(),2-∞变式3-2．函数()()()102121f x x x -=-+-的定义域是（ ） A ．(],1-∞ B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭变式3-3．5个幂函数：①2y x ；①45y x =；①54y x =；①23y x =；①45y x -=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①① B ．只有①① C ．只有①① D ．只有①①变式3-4．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭题型战法四 幂函数的值域典例4．函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-变式4-1．在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A ．13y x = B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =变式4-2．幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（ ） A ．(),-∞+∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭变式4-3．已知函数f (x )={3x −2,x ⩽1,x 12,1<x ⩽4,则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-变式4-4．已知幂函数()f x x α=1(2,)2，则函数()f x 的值域为 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞题型战法五 幂函数的单调性典例5．下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（ ）A ．y =B ．1y x=C ．2y xD ．y x =变式5-1．已知函数()122()43f x x x =-+的增区间为（ ）A ．(3,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,1)-∞变式5-2．已知函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)7,2--B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--变式5-3．已知幂函数()()22244m m f x m m x -=-+在()0,∞+上是增函数，则实数m 的值为（ ） A ．1或3- B ．3 C ．1- D ．1-或3变式5-4．已知幂函数()()282mf x m m x =-在()0,∞+上为增函数，则()4f =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8题型战法六 幂函数的奇偶性典例6．下列函数是奇函数的为（ ） A ．2x y =B ．1y x -=C ．12log y x= D ．2yx变式6-1．下列函数中，值域是[)0,∞+且为偶函数的是（ ） A ．2y xB ．e e x x y -=+C ．lg y x =D ．23y x =变式6-2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A ．tan y x = B ．2log y x = C ．2y x= D ．3y x =变式6-3．设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ） A ．2 B ．1，2 C ．12，2D ．12，1，2变式6-4．已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1或2题型战法七 比较大小与解不等式典例7．设0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c -===，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>变式7-1．0.20.21210.5,log ,0.43a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>变式7-2．设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c<< D ．b a c <<变式7-3．已知1122(52)(1)m m -<-，则m 的取值范围是（ ） A ．(2,+∞) B ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．(),2-∞ D ．[)1,2变式7-4．若1122(1)(32)a a +<-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦第二章 函数2.6.1幂函数（题型战法）知识梳理一 幂函数的概念一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数.注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.二 幂函数的图像与性质（1）五个常见幂函数的图像：如右图所示（2）五个常见幂函数的性质：()0,+∞()0,+∞0)上减∞)上减题型战法题型战法一幂函数的概念典例1．下列函数是幂函数的是（）A．2=B．21y x=-y xC．3y=y x=D．2x【答案】C【解析】【分析】由幂函数定义可直接得到结果.【详解】形如y xα=为幂函数.y x=的函数为幂函数，则3故选：C.变式1-1．下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．1y x -=-C ．31y x =D ．2x y =【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义判断. 【详解】形如y x α=（α为常数且R α∈）为幂函数， 所以，函数331=xy x -=为幂函数，函数22y x =、1y x -=-、2x y =均不是幂函数. 故选：C.变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f -的值为（ ） A ．8 B ．8- C ．4 D ．4-【答案】B 【解析】 【分析】设()af x x =，由已知条件求出a 的值，可得出函数()f x 的解析式，由此可求得()2f -的值. 【详解】设()a f x x =，由()228a f ==，可得3a =，则()3f x x =，因此，()()3228f -=-=-.故选：B.变式1-3．已知幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．1或2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知系数为1，指数应小于0，由此列出不等式组，解得答案. 【详解】由题意可知：2233120m m m m ⎧-+=⎨--<⎩，解得1m = ,经经验，符合题意， 故选：A.变式1-4．已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点1(2，则k α+等于（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可. 【详解】因为()f x 是幂函数，所以1k =，又因为函数()f x 的图象过点1(2，所以1211()2222ααα-=⇒=⇒=-，因此12k α+=，故选：A题型战法二 幂函数的图像典例2．函数y = ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象. 【详解】由0y ≥，排除B 、D ，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C. 故选：A.变式2-1．已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】设出函数的解析式，根据幂函数()y f x =的图象过点(9,3)，构造方程求出指数的值， 【详解】设幂函数的解析式为()f x x α=， ①幂函数()y f x =的图象过点(9,3)， ①39α=， 解得12α=①()y f x ==[0,)+∞，且是增函数，当01x <<时，其图象在直线y x =的上方．对照选项可知C 满足题意． 故选:C ．变式2-2．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．58y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案. 【详解】根据函数图象可得：①对应的幂函数y x α=在[)0,∞+上单调递增，且增长速度越来越慢，故()0,1α∈，故D 选项符合要求. 故选：D变式2-3．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数y x α=在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数α的可能取值． 【详解】由幂函数y x α=在第一象限内的图象，结合幂函数的性质， 可得：图中C 1对应的0α<，C 2对应的01α<<，C 3对应的1α>， 结合选项知，指数α的值依次可以是11,,32-． 故选：D.变式2-4．已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ①()f x 和()g x 图象都过点(1,1)-；①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ； ①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（ ） A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可 【详解】幂函数的图象过定点(1,1)，①正确，在区间[1,)+∞上，α越大y x α=增长速度更快，①正确， 故选：A.题型战法三 幂函数的定义域典例3．下列幂函数中，定义域为R 的是（ ） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x =【答案】C 【解析】 【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0 【详解】对选项A ，则有：0x ≠对选项B ，则有：0x > 对选项C ，定义域为：R 对选项D ，则有：0x ≥故答案选：C变式3-1．若()342x --有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．(),2-∞【答案】C 【解析】 【分析】将分式指数幂化为根式，结合根式的性质可得出关于实数x 的不等式，即可解得实数x 的取值范围. 【详解】由负分数指数幂的意义可知，()342x --=所以20x ->，即2x >，因此x 的取值范围是()2,+∞． 故选：C.变式3-2．函数()())10211f x x x -=-+-的定义域是（ ） A ．(],1-∞ B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域. 【详解】因为()()()()100212121f x x x x -=-+-=-， 则有10210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x <且12x ≠，因此()f x 的定义域是11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B.变式3-3．5个幂函数：①2y x ；①45y x =；①54y x =；①23y x =；①45y x -=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①① B ．只有①① C ．只有①① D ．只有①①【答案】C 【解析】 【分析】分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可. 【详解】 ①2yx 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，①45y x =的定义域为R ， ①54y x =的定义域为(0,)+∞， ①23y x =的定义域为R ，①45y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故选：C . 【点睛】本题考查幂函数的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.变式3-4．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 先求出()43f x -=，根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】 幂函数()12f x x-==， ()43y f x =-=所以430x ->，所以34x >，所以函数()43y f x =-的定义域是3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考函数的定义域、不等式的解法，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.题型战法四 幂函数的值域典例4．函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-【答案】A 【解析】 【分析】 由于函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，从而可求出其最小值【详解】 ①函数2yx 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，①2min 124y -==， 故选：A. 【点睛】此题考查由函数的单调性求最值，属于基础题变式4-1．在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A ．13y x = B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =【答案】D 【解析】 【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由13y x ==x ∈R ,y R ∈，定义域、值域相同； 由12y x ==[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞，定义域、值域相同； 由53y x ==x ∈R ,，定义域、值域相同y R ∈； 由23y x ==x ∈R ，[0,)y ∈+∞，定义域、值域不相同. 故选：D变式4-2．幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（ ） A ．(),-∞+∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()af x x =，带点计算可得()12f x x =，得到12y x x =-，令12t x =转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设()af x x =，代入点(得2a =12a ∴=， ()12f x x ∴=则12y x x =-，令12t x =，0t ≥22111244t t t y ⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭∴=-函数()y x f x =-的值域是1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：C.变式4-3．已知函数f (x )={3x −2,x ⩽1,x 12,1<x ⩽4,则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-【答案】B 【解析】 【分析】结合分段函数的单调性来求得()f x 的值域. 【详解】当1x 吋，32x y =-单调递增，值域为(]2,1-；当14x <时，12y x =单调递增，值域为(]1,2，故函数值域为(]2,2-. 故选：B变式4-4．已知幂函数()f x x α=的图象过点1(2,)2，则函数()f x 的值域为 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,0)(0,)-∞⋃+∞ D ．(,)-∞+∞【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：()f x x α=的图象过点1(2,)2()11212a a f x x -∴=∴=-∴=，值域为(,0)(0,)-∞⋃+∞考点：幂函数值域题型战法五 幂函数的单调性典例5．下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（ ）A ．y =B ．1y x=C ．2y xD ．y x =【答案】B 【解析】 【分析】依据幂函数的性质去判断各选项的单调性即可解决. 【详解】选项A ：由12>可得12y x ==(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除；选项B ：由10-<可得11y x x-==在(0,)+∞上单调递减.符合要求，可选；选项C ：由20>可得2y x 在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除；选项D ：由10>可得y x =在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除. 故选：B变式5-1．已知函数()122()43f x x x =-+的增区间为（ ） A ．(3,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,1)-∞【答案】A 【解析】先求得函数的定义域，再令243t x x =-+，结合12y t =的单调性，利用复合函数的单调性求解. 【详解】 由2430x x -+≥， 解得3x ≥或1x ≤，因为243t x x =-+在(,1]-∞递减，在[3,)+∞递增， 又因为12y t =在[0,)+∞递增， 所以()f x 增区间为(3,)+∞ 故选：A变式5-2．已知函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)7,2-- B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数()f x 是减函数及幂函数的单调性，可得()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，所以()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解得72a -≤<-，所以实数a 的取值范围是[)7,2--， 故选：A.变式5-3．已知幂函数()()22244m m f x m m x -=-+在()0,∞+上是增函数，则实数m 的值为（ ） A ．1或3- B ．3 C ．1- D ．1-或3【答案】B 【解析】 【分析】由函数是幂函数，解得3m =或1m =，再代入原函数，由函数在()0,∞+上是增函数确定最后的m 值. 【详解】①函数是幂函数，则2441m m -+=，①3m =或1m =.当3m =时()3f x x =在()0,∞+上是增函数，符合题意；当1m =时()1f x x -=在()0,∞+上是减函数，不合题意.故选：B.变式5-4．已知幂函数()()282mf x m m x =-在()0,∞+上为增函数，则()4f =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由于幂函数在在()0,∞+上为增函数，所以可得282100m m m ⎧--=⎨>⎩，求出m 的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求得答案 【详解】由题意得282100m m m ⎧--=⎨>⎩，得12m =，则()12f x x =，()42f =． 故选：A题型战法六 幂函数的奇偶性典例6．下列函数是奇函数的为（ ）A ．2x y =B ．1y x -=C ．12log y x =D ．2y x【答案】B【解析】【分析】奇函数应该满足()()f x f x =--，且定义域关于原点对称，对选项一一判断即可．【详解】奇函数应该满足()()f x f x =--，22x x -≠-，12log y x=的定义域为()0,∞+显然A,C,不成立，当0x ≠时，有()11x x --=--，所以1y x -=为奇函数，由()22x x -=可知，2y x 为偶函数. 故选：B ．变式6-1．下列函数中，值域是[)0,∞+且为偶函数的是（ ）A ．2y xB ．e e x x y -=+C ．lg y x =D ．23y x = 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和值域确定正确选项.【详解】2y x 的值域为()0,∞+，不符合题意，A 选项错误.e e 2x x y -=≥+，当0x =时等号成立，不符合题意，B 选项错误. lg y x =的定义域为()0,∞+，是非奇非偶函数，不符合题意，C 选项错误. 令()23f x x =，其定义域为R ，()()()2233f x x x f x =-=-=，所以()f x 是偶函数， 且230x ≥，即()f x 的值域为[)0,∞+，符合题意，D 选项正确.故选：D变式6-2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A ．tan y x =B ．2log y x =C ．2y x =D ．3y x = 【答案】D【解析】【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A ，tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，而233ππ>，但2tan tan 33ππ==，故tan y x =在定义域上不是增函数，故A 错误.对于B ，2log y x =的定义域为()0,+∞，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数， 故B 错误.对于C ，因为21>时，2221<，故2y x=在定义域上不是增函数，故C 错误. 对于D ，因为3y x =为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R ，且为增函数， 而()33-=-x x ，故3y x =为奇函数，符合.故选：D.变式6-3．设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ）A ．2B ．1，2C ．12，2D ．12，1，2 【答案】A【解析】【分析】 把1,1,22α=分别代入验证即可.【详解】当12α=时，y x α==[)0,∞+，故12α≠；当1α=时，y x x α==，定义域为R ，但是为奇函数，故1α≠；当2α=时，2y x x α==，定义域为R ，为偶函数，故2α=.故选：A变式6-4．已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．1或2【答案】C【解析】【分析】 由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．【详解】幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，2331a a ∴-+=，且1a +为偶数，则实数1a =，故选：C题型战法七 比较大小与解不等式典例7．设0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c -===，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得a ，b ，c 的范围即可得答案．【详解】200. 1.211.2a >==， 1.200.90.91b =<=， b a ∴<，又0.2y x =在(0,)+∞上单调递增，0.20.20.2101 1.20.3()3a -∴<=<=，b ac ∴<<，变式7-1．0.20.21210.5,log ,0.43a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】C【解析】【分析】 利用幂函数的单调性判断a b >，再利用对数函数的单调性、对数的换底公式即可求解．【详解】幂函数0.2y x =在(0,)+∞上单调递增， 00.20.20.50.50.4∴>>，1a c ∴>>， 1221log log 313b ==>， b ac ∴>>，故选：C ．变式7-2．设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c << 【答案】B【解析】【分析】根据函数单调性和中间值比较函数值大小.【详解】因为12y x =在[)0,∞+上单调递增，0.70.8<，所以121200780..b a <=<=，而331log log 102c =<=，故c a b <<. 故选：B变式7-3．已知1122(52)(1)m m -<-，则m 的取值范围是（ ） A ．(2,+∞)B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),2-∞D ．[)1,2【答案】B由幂函数的性质，可得0521m m ≤-<-，解不等式组可得答案【详解】 解：因为1122(52)(1)m m -<-， 所以0521m m ≤-<-， 解得522m <≤，故选：B变式7-4．若1122(1)(32)a a +<-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】首先利用幂函数的单调性得到10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，再解不等式组即可. 【详解】 因为1122(1)(32)a a +<-，所以10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪<-⎩，解得213a -≤<. 故选：B。
高中数学：第2章2节 基本初等函数 对数函数 幂函数总复习试题及答案
2．2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．以下四个命题中是真命题的为( ) ①若log 5x ＝3，则x ＝15； ②若log 25x ＝12，则x ＝5；③若log x5＝12，则x ＝5；④若log 5x ＝－3，则x ＝1125.A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 2.log849log27的值是( )A ．2 B.32C ．1 D.233．已知对数式log a －2(5－a )＝b ，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，5) B ．(2，5) C ．(2，3)∪(3，5) D ．(2，＋∞)4．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12等于( ) A ．a 2＋b B ．2a ＋b C ．a ＋2b D ．a ＋b 25．对数式2lg 22＋lg 25＋3lg 2lg 5－ lg 2化简的结果是( ) A ．1 B ．－lg 2C ．lg 5 D.126．计算log 2(22)－log (2－1)(3－22)＋e ln 2的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 7．lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则lg(ab )·lgab2＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 8．方程lg x ＋lg(x －1)＝1－lg 5的根是x ＝________． 9．已知m >0，且10x ＝lg(10m )＋lg1m，则x ＝________．10.2lg 4＋lg 91＋12lg 0.36＋13lg 8＝________．11．已知log 147＝a ，log 145＝b ，则用a ，b 表示log 3514＝________． 三、解答题(本大题共2小题，共25分) 12．(12分)解方程(lg x )2＋lg x 5－6＝0.13．(13分)计算：(1)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64；(2)lg23－lg 9＋1（lg 27＋lg 8－lg 1000）lg 0.3·lg 1.2.14．(5分)定义a ⊗b ＝a 12＋b －13，a *b ＝lg a 2－lg b 12.若M ＝94⊗8125，N ＝2*125，则M ＋N ＝________．15．(15分)已知log 23＝a ，3b ＝7，求log 1256.答案2．2.1 对数与对数运算1．C [解析] 由对数的定义可知，②④中的命题是真命题． 2．D [解析]log849log27＝log272log223÷log 27＝23.3．C [解析] 由对数的定义，log a －2(5－a )必满足⎩⎪⎨⎪⎧5－a>0，a －2>0，a －2≠1，解得2<a <5且a ≠3，∴a ∈(2，3)∪(3，5)．4．B [解析] lg 12＝lg 4＋lg 3＝2lg 2＋lg 3＝2a ＋b .5．A [解析] 2lg 22＋lg 25＋3lg 2lg 5－lg 2＝lg 5(lg 5＋3lg 2)＋2lg 22－lg 2＝(1－lg 2)(1－lg 2＋3lg 2)＋2lg 22－lg 2＝(1－lg 2)(1＋2lg 2)＋2lg 22－lg 2＝1.6．A [解析] 原式＝log2(2)3－log (2－1)(2－1)2＋2＝3－2＋2＝3.7．B [解析] 由已知得，lg a ＋lg b ＝2，即lg(ab )＝2，且lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·lgab2＝2(lg a －lg b )2＝2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ]＝2×22－4×12＝2×2＝4，故选B.8．2 [解析] 方程变形为lg x (x －1)＝lg 2，所以x (x －1)＝2，解得x ＝2或x ＝－1.经检验x ＝－1不合题意，舍去，所以原方程的根为x ＝2.9．0 [解析] ∵lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1，∴10x ＝1＝100，∴x ＝0.10．2 [解析] 原式＝2（lg 4＋lg 3）1＋lg 0.36＋lg38＝2lg 121＋lg 0.6＋lg 2＝2lg 12lg （10×0.6×2）＝2.11.1a ＋b[解析] log 3514＝log1414log1435＝1log147＋log145＝1a ＋b.12．解：原方程可化为(lg x )2＋5lg x －6＝0，即(lg x ＋6)(lg x －1)＝0， 所以lg x ＝－6或lg x ＝1，解得x ＝10－6或x ＝10.经检验x ＝10－6和x ＝10都是原方程的解． 所以原方程的解为x ＝10－6或x ＝10. 13．解：(1)原式＝log 6632＋log 62·log 6362÷log 64＝[(log 62)2＋log 62(log 636－log 62)]÷log 64 ＝[(log 62)2＋2log 62－(log 62)2]÷log 64 ＝2log 62÷log 64＝log 64÷log 64＝1.(2)原式＝lg23－2lg 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32lg 3＋3lg 2－32（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）＝（1－lg 3）·32（lg 3＋2lg 2－1）（lg 3－1）·（lg 3＋2lg 2－1）＝－32.14．5[解析] M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412＋⎝⎛⎭⎪⎫8125－13＝32＋52＝4， N ＝lg(2)2－lg⎝ ⎛⎭⎪⎫12512＝lg 2＋lg 5＝1，故M ＋N ＝5. 15．解：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b ＝7，∴log 37＝b ，故log 1256＝log356log312＝log37＋log38log33＋log34＝log37＋3log321＋2log32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.2．2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数及其性质(一)一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝12x ，x>1，则A ∩B ＝( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪0<y<12 B ．{y |0<y <1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪12<y<1 D ．∅ 2．函数y ＝log a (2x －3)＋1的图像恒过定点P , 则点P 的坐标是( ) A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(2，－1) D ．(1，1) 3．函数f (x )＝12－log3x的定义域是( )A ．(－∞，9]B ．(－∞，9)C ．(0，9]D ．(0，9)4．已知f (x )为R 上的增函数，且f (log 2x )>f (1)，则x 的取值X 围为( ) A ．(2，＋∞) B ．0，12∪(2，＋∞)C.12，2 D ．(0，1)∪(2，＋∞)5．函数f (x )＝log 2(1－x )的图像为( )图L2216．已知x ＝20.5，y ＝log 52，z ＝log 50.7，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．x <y <z B ．z <x <y C ．z <y <x D ．y <z <x7．已知0<a <1，log am <log an <0，则() A ．1<n <m B ．1<m <n C ．n <m <1 D ．m <n <1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 8．函数f (x )＝log2x －2的定义域是________．9．已知对数函数f (x )的图像过点P (8，3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝________.10．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________．11．设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2014)＝9，则f (x 21)＋f (x 2)＋…＋f (x 2014)的值等于________．三、解答题(本大题共2小题，共25分) 12．(12分)判断函数f (x )＝log 2(x ＋1＋x2)的奇偶性．13．(13分)已知函数f (x )＝lg (3x －3)．(1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)设函数h (x )＝f (x )－lg(3x ＋3)，若不等式h (x )>t 无解，某某数t 的取值X 围．14．(5分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2（x －1），x ≥2，12x －1，x<2，若f (x 0)>1，则x0的取值X 围是________．15．(15分)已知实数x 满足－3≤log 12x ≤－12.求函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫log2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫log2x 4的值域．答案2．2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数及其性质(一)1．A [解析] 因为A ＝{y |y >0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪0<y<12，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪0<y<12.2．A [解析] 当2x －3＝1，即x ＝2时，y ＝1，故点P 的坐标是(2，1)． 3．D [解析] 要使函数有意义，只需2－log 3x >0，即log 3x <2，所以0<x <9. 4．A [解析] 依题意有log 2x >1，所以x >2.5．A [解析] 由定义域知x <1，排除选项B ，D.又f (x )＝log 2(1－x )是定义域上的减函数，故选A.6．C [解析] 因为x ＝20.5>20＝1，0<y ＝log 52<1，z ＝log 50.7<0，所以z <y <x . 7．A [解析] 原式变形为log a m <log a n <log a 1，根据减函数的性质得m >n >1.8．[4，＋∞) [解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log2x －2≥0，解得x ≥4.9．－5 [解析] 设f (x )＝log a x ，将点P (8，3)代入得3＝log a 8，所以a 3＝8，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，所以f132＝log 2132＝log 22－5＝－5.10．2 [解析] 根据题意，得3x －a >0，∴x >a 3，∴a 3＝23，解得a ＝2.11．18 [解析] 因为f (x 1x 2…x 2014)＝log a (x 1x 2…x 2014)＝9，所以f (x 21)＋f (x 2)＋…＋f (x 2014)＝log a x 21＋log a x 2＋…＋log a x 2014＝log a (x 21x 2…x 2014)＝log a (x 1x 2…x 2014)2＝2log 2(x 1x 2…x 2014)＝2×9＝18. 12．解：要使函数有意义，需满足x ＋1＋x2>0，∴x ∈R ，故函数的定义域为R ，关于原点对称．∵f (－x )＋f (x )＝log 2(－x ＋1＋x2)＋log 2(x ＋1＋x2)＝log 2(1＋x 2－x 2)＝log 21＝0，∴f (－x )＝－f (x )，即函数为奇函数．13．解：(1)由3x －3>0得x >1，所以定义域为(1，＋∞)． 因为(3x －3)∈(0，＋∞)，所以值域为R . (2)因为h (x )＝lg(3x －3)－lg(3x ＋3)＝lg3x －33x ＋3＝lg1－63x ＋3的定义域为(1，＋∞)，且在(1，＋∞)上是增函数，所以函数h (x )的值域为(－∞，0)．若不等式h (x )>t 无解，则t 的取值X 围是t ≥0.14．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [解析] 当x 0≥2时，log 2(x 0－1)>1，得log 2(x 0－1)>1＝log 22，所以x 0－1>2，得x 0>3；当x 0<2时，12x 0－1>1，即12x 0>2＝12－1，所以x 0<－1.所以x 0的取值X 围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．15．解：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫log2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫log2x 4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2.∵－3≤log 12x ≤－12，∴12≤log 2x ≤3.令t ＝log 2x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，y ＝t 2－3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14，∴t ＝32时，y min ＝－14；t ＝3时，y max ＝2.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.第2课时 对数函数及其性质(二)一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．若log 3a <0，13b >1，则( )A ．a >1，b >0B ．0<a <1，b >0C ．a >1，b <0D ．0<a <1，b <0 2．下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( ) A ．y ＝log 12(x ＋1)B ．y ＝log 2x2－1C ．y ＝log 21xD ．y ＝log12(x 2－4x ＋5)3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2ex －1，x<2，log3（x2－1），x ≥2，则f [f (2)]的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．34．已知a >0，且a ≠1，则函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图像可能是( )图L2225．设a ＝30.7，b ＝0.43，c ＝log 30.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <c <a6．已知函数f (x )＝2x ＋a ·2－x ，则对于任意实数a ，函数f (x )不可能( ) A ．是奇函数B ．既是奇函数，又是偶函数C ．是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数7．已知y ＝log a (8－3ax )在[1，2]上是减函数，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(0，1) B ．1，43C.43，4 D ．(1，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 8．函数y ＝log 12(1－2x )的单调递增区间为________．9．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f 12＝0，则不等式f (log 4x )<0的解集是________．10．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________．11．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)已知函数f (x )＝log2(1－x )－log2(1＋x )． (1)求函数f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性．13．(13分)解不等式：log a (x －4)>log a (x －2)．14．(5分)若不等式lg 1＋2x ＋（1－a ）3x3≥(x －1)lg 3对任意的x ∈(－∞，1]恒成立，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)15．(15分)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )是偶函数，且x ≥0时，f (x )＝ln(x 2－2x ＋2)． (1)求f (x )的解析式； (2)求出f (x )的单调递增区间．答案第2课时 对数函数及其性质(二)1．D [解析] 由函数y ＝log 3x ，y ＝13x 的图像知，0<a <1，b <0.2．D [解析] A ，C 中函数为减函数，(0，2)不是B 中函数的定义域．D 中，函数y ＝x 2－4x ＋5在(0，2)上为减函数，又∵12<1，故y ＝log12(x 2－4x ＋5)在(0，2)上为增函数，故选D.3．C [解析] f [f (2)]＝f [log 3(22－1)]＝f (1)＝2e 1－1＝2. 4．C [解析] a >1时，y ＝a －x ＝1ax 是减函数，y ＝loga (－x )是减函数，且其图像位于y轴左侧；当0<a <1时，y ＝a －x ＝1ax 是增函数，y ＝loga (－x )是增函数，且其图像位于y 轴左侧．由此可知C 正确．5．B [解析] a ＝30.7>30＝1，0<b ＝0.43<0.40＝1，c ＝log 30.5<log 31＝0，所以c <b <a .6．B [解析] 验证可知，当a ＝－1时，f (x )＝2x －2－x ，f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以a ＝－1时，函数f (x )是奇函数，当a ＝1时，f (－x )＝f (x )＝2x ＋2－x ，函数f (x )是偶函数．当a ＝0时，函数f (x )既不是奇函数，又不是偶函数．故选B.7．B [解析] 因为a >0，所以t ＝8－3ax 为减函数，而当a >1时，y ＝log a t 是增函数，所以y ＝log a (8－3ax )是减函数，于是a >1.由8－3ax >0，得a <83x在[1，2]上恒成立，所以a <83xmin ＝83×2＝43.8．－∞，12[解析] 令u ＝1－2x ，函数u ＝1－2x 在区间－∞，12内递减，而y ＝log12u 是减函数，故函数y ＝log 12(1－2x )在－∞，12内递增．9.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x<2 [解析] 由题意可知，由f (log 4x )<0得－12<log 4x <12，即log 44－12<log 4x <log 4412，得12<x <2.10．a ＝b >c [解析] 由已知得a ＝32log 23，b ＝log 232－12＝32log 23>32，c ＝log 32<1.故a ＝b >c .11．(－∞，－3] [解析] 令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，因为y ＝log 12t 为减函数，所以y ＝log 12t ≤log 128＝－3.12．解：(1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，1＋x>0，∴－1<x <1，故函数的定义域为(－1，1)．(2)∵f (－x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．13．解：当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －4>x －2，x －4>0，x －2>0，该不等式组无解；当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －4<x －2，x －4>0，x －2>0，解得x >4.所以当a >1时，原不等式的解集为空集；当0<a <1时，原不等式的解集为(4，＋∞)． 14．B [解析] 不等式lg1＋2x ＋（1－a ）3x3≥(x －1)lg 3变为lg1＋2x ＋（1－a ）3x3≥lg 3x －1，即1＋2x ＋（1－a ）3x3≥3x －1，整理得a ≤13x ＋23x .因为y ＝13x ＋23x 是减函数，所以y ≥131＋231＝1. 若不等式lg1＋2x ＋（1－a ）3x3≥(x －1)lg 3对任意的x ∈(－∞，1]恒成立，则a ≤13x＋23xmin ＝1.15．解：(1)x <0时，－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝ln(x 2－2x ＋2)， ∴x <0时，f (－x )＝ln(x 2＋2x ＋2)．∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即x <0时，f (x )＝ln(x 2＋2x ＋2)．故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x2＋2x ＋2），x<0，ln （x2－2x ＋2），x ≥0.(2)当x ≥0时，f (x )＝ln(x 2－2x ＋2)，函数的单调递增区间即为t ＝x 2－2x ＋2的增区间，增区间为(1，＋∞)；当x <0时，f (x )＝ln(x 2＋2x ＋2)，函数的递增区间为(－1，0)． 故函数f (x )的单调递增区间是(－1，0)，(1，＋∞)．2．3 幂函数一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝x xB ．y ＝3x 12C ．y ＝x 12＋1 D ．y ＝x －22．若函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点3，33，则f (4)的值为( )A.12B.14C.13D ．24．下列函数中既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝－x 2 C ．y ＝2x D ．y ＝|x |5．函数y ＝x 23图像的大致形状是( )图L2316．幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为减函数，则m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3 D ．27．如图L232所示，曲线C 1，C 2，C 3，C 4是幂函数y ＝x α在第一象限内的图像，已知α分别取±1，12，2四个值，对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α分别为( )图L232A ．－1，12，1，2B ．2，1，12，－1C.12，1，2，－1D ．2，1，－1，12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．由幂函数的图像可知，使x 3－x 2>0成立的x 的取值X 围是________．9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12，x>0，－2，x ＝0，（x ＋3）12，x<0，则f {f [f (0)]}＝________．10．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．11．已知f (x )＝a x，g (x )为幂函数，若F (x )＝f (x )＋g (x )的图像过点A (1，2)和B 2，52，则F (x )＝________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)已知函数f (x )＝(a 2－a ＋1)x a ＋1为幂函数，且为奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )＋[f (x )]2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域． 13．(13分)已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈N )，满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值与f (x )的解析式；(2)对于(1)中的函数f (x )，试判断是否存在m ，使得函数g (x )＝f (x )－2x ＋m 在[0，2]上的值域为[2，3]，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由． 14．(5分)给出下面三个不等式，其中正确的是________．①－8－13<－1913；②4.125>3.8－25>(－1.9)－35；③0.20.5>0.40.3.15．(15分)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3的a 的取值X 围．答案 2．3 幂函数1．D [解析] 由幂函数的定义，幂函数满足三个条件：①系数为1，②底数为自变量，③指数为常数．故选D.2．A [解析] 依题意2m ＋3＝1，得m ＝－1.3．A [解析] 依题意有33＝3α，所以α＝－12，所以f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12.4．D [解析] A 中的函数不具备奇偶性；B 中的函数是偶函数，但是在区间(0，＋∞)上是减函数；C 中的函数不具备奇偶性；D 中的函数是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增．5．D [解析] 因为y ＝x 23是偶函数，且在第一象限图像沿x 轴递增，所以选项D 正确．6．C [解析] 因为f (x )为幂函数，所以m 2－4m ＋4＝1，解得m ＝3或m ＝1，所以f (x )＝x －1或f (x )＝x 3.因为f (x )为(0，＋∞)上的减函数，所以m ＝3.7．B [解析] 由幂函数的图像性质，C 1：y ＝x 2；C2：y ＝x ；C 3：y ＝x 12；C 4：y ＝x－1.8．(1，＋∞) [解析] 在同一坐标系中作出y ＝x 3及y ＝x 2的图像(图略)，可得不等式成立的x 的取值X 围是(1，＋∞)．9．1 [解析] f (0)＝－2，f (－2)＝1，f (1)＝1，即f {f [f (0)]}＝1.10.32 [解析] 因为函数是幂函数，所以k ＝1，又因为其图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，22，所以22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，解得α＝12，故k ＋α＝32.11.1x＋x [解析] 设g (x )＝x b ，则F (x )＝a x＋x b ，依题意a 1＋1b ＝2且a 2＋2b ＝52，解得a＝b ＝1，所以F (x )＝1x＋x .12．解：(1)因为函数f (x )＝(a 2－a ＋1)x a ＋1为幂函数， 所以a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1.当a ＝0时，f (x )＝x ，函数是奇函数；当a ＝1时，f (x )＝x 2，函数是偶函数．故a ＝0.(2)由(1)知g (x )＝x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14.当x ＝0时，函数取得最小值g (0)＝0；当x ＝12时，函数取得最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋14＝34.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.13．解：(1)由f (2)<f (3)，得－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2， 又k ∈N ，则k ＝0，1. 当k ＝0，1时，f (x )＝x 2.(2)由已知得g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1，当x ∈[0，2]时，易求得g (x )∈[m －1，m ]， 由已知值域为[2，3]，得m ＝3. 故存在满足条件的m ，且m ＝3. 14．①② [解析] ①－1913＝－9－13，由于幂函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数，所以8－13>9－13，因此－8－13<－9－13，故①正确；②由于4.125>1，0<3.8－25<1，(－1.9)－35<0，故②正确；③由于y ＝0.2x 在R 上是减函数，所以0.20.5<0.20.3，又y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，所以0.20.3<0.40.3，所以0.20.5<0.40.3，故③错误．15．解：∵函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3.又m ∈N *，∴m ＝1，2. 又函数图像关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1， ∴原不等式为(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.滚动习题(五)[X 围2.1～2.3] [时间：45分钟 分值：100分]一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1.（lg 9－1）2＝( )A ．lg 9－1B ．1－lg 9C ．8D ．222．若集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{y |y ＝1－x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，1] B ．(0，1) C ．(0，1] D ．[1，＋∞) 3．函数y ＝ln （x ＋1）－x2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1] 4．若a >1，b <－1，则函数y ＝a x ＋b 的图像必不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．函数f (x )＝4x ＋12x( )A ．既是奇函数又是偶函数B ．为非奇非偶函数C ．为奇函数D ．为偶函数6．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上单调递增，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( )A ．f (b －2)>f (a ＋1)B ．f (b －2)＝f (a ＋1)C ．f (b －2)<f (a ＋1)D ．不能确定7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 8．设a ＝log 75，b ＝log 67，则a ，b 的大小关系是________．9．已知0<x <y <1，m ＝log2x ＋log2y ，则m 的取值X 围是________．10．已知f (x )＝2＋log3x ，x ∈[1，9]，则函数y ＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值是________．11．关于下列命题：①若函数y ＝2x 的定义域是{x |x ≤0}，则它的值域是{y |y ≤1}；②若函数y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≤12；③若函数y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域一定是{x |－2≤x ≤2}； ④若函数y ＝log 2x 的值域是{y |y ≤3}，则它的定义域是{x |0<x ≤8}．其中不正确的命题的序号是________(注：把你认为不正确的命题的序号都填上)． 三、解答题(本大题共3小题，共45分)12．(15分)(1)化简：4x 14·(－3x 18y －16)2÷(－6x －12y －23)(结果保留根式形式)；(2)计算：log 34273·log 5[412log 210－(33)23－7log 72]．13．(15分)记函数f (x )＝x2－1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .(1)求区间A ；(2)若B ⊆A ，某某数a 的取值X 围．14．(15分)已知函数f (x )满足f (log a x )＝x －1－x ，其中a >0且a ≠1.(1)求函数f (x )的解析式，判断并证明奇偶性；(2)对于函数f (x )，当x ∈(－1，1)时，f (1－m )＋f (1－m 2)>0，某某数m 的取值X 围．答案 滚动习题(五)1．B [解析] 因为lg 9<lg 10＝1，所以（lg 9－1）2＝1－lg 9.2．C [解析] 由已知得集合A ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0<x ≤1}，B ＝{y |y ＝1－x 2}＝{y |y ≤1}，故A ∩B ＝(0，1]．3．C [解析] 要使函数有意义，则有x ＋1>0且－x 2－3x ＋4>0，即x >－1且x 2＋3x －4<0，解得－1<x <1.4．B [解析] 函数y ＝a x ＋b 的图像可以看成是由y ＝a x 的图像平移得到的．因为a >1，所以函数y ＝a x 单调递增且图像在x 轴的上方．又因为b <－1，所以把y ＝a x 的图像向下平移|b |个单位即可得到函数y ＝a x ＋b 的图像，易知y ＝a x ＋b 的图像必不经过第二象限．5．D [解析] f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x 2x ＝f (x )，故f (x )为偶函数．6．C [解析] ∵函数f (x )是偶函数，∴b ＝0，此时f (x )＝log a |x |.当a >1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)．7．C [解析] 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以b ＝f (log 123)＝f (－log 23)＝f (log 23)，log 23＝log 49>log 47>1，0<0.20.6<1. 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以b <a <c .8．a <b [解析] 因为a ＝log 75<log 77＝1，b ＝log 67>log 66＝1，所以a <b .9．m <0 [解析] 由0<x <y <1，得0<xy <1，故m ＝log 2x ＋log 2y ＝log 2xy <log 21＝0.10．13 [解析] 由f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，得f (x 2)＝2＋log 3x 2，x 2∈[1，9]，则y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2，即y ＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.令log 3x ＝t ，0≤t ≤1，则y ＝(t ＋3)2－3，当t ＝log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.11．①②③ [解析] 作出这四个函数的图像(图略)，可知只有④是正确的，①②③都是不正确的．12．解：(1)原式＝4x 14·3x 14·y －13÷(－6x －12·y －23)＝－2x 3y . (2)原式＝(log 3334－log 33)·log 5[4log 210－(332)23－7log 72] ＝34－1·log 5(10－3－2)＝－14. 13．解：(1)由x 2－1≥0，得x ≤－1或x ≥1，故A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)因为(x －a －1)(2a －x )>0，且a <1，所以2a <x <a ＋1，所以B ＝(2a ，a ＋1)．由于B ⊆A ，从而有2a ≥1或a ＋1≤－1，即a ≥12或a ≤－2，结合a <1，故12≤a <1或a ≤－2.故实数a 的取值X 围为(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 14．解：(1)令t ＝log a x ，则x ＝a t ，故f (t )＝a －t －a t ，即f (x )＝a －x －a x . 因为f (－x )＝a x －a －x ＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数．(2)①当a >1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递减且为奇函数，则由f (1－m )＋f (1－m 2)>0得f (1－m )>f (m 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1>1－m>－1，－1<m2－1<1，1－m<m2－1，解得1<m <2.②当0<a <1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增且为奇函数，则由f (1－m )＋f (1－m 2)>0得f (1－m )>f (m 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1>1－m>－1，－1<m2－1<1，1－m>m2－1，解得0<m <1. 综上知，当a >1时，m ∈(1，2)；当0<a <1时，m ∈(0，1)．。
2023年新高考数学一轮复习3-4 幂函数(真题测试)解析版
专题3.4 幂函数（真题测试）一、单选题1．（2021·福建·高三学业考试）函数y = ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象. 【详解】由0y =，排除B 、D ，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C. 故选：A.2．（2011·上海·高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．2yxB ．1y x -=C ．2y xD ．13y x =【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C. 2yx 在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．3.（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x =D ．()f x D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x R 上的增函数，符合题意， 故选：D.4．（2011·陕西·高考真题（文））函数的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A ，D ； 由特殊点（8，2），（，），可排除C ．故选B ．5．（2007·山东·高考真题（理））设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所A ．1,3B ．1,1-C ．1,3-D ．1,1,3-【答案】A 【解析】 【详解】11,2αα=-=时，函数定义域不是R,不合题意； 1,3αα==时，函数y x α=的定义域为R 且为奇函数，合题意，故选A.6．（2019·全国·高考真题（理））若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．7．（2015·湖北·高考真题（理））设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得，由得，所以，所以， 由得，所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．8．（2012·山东·高考真题（理））设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A ．当0a <时，12120,0x x y y +<+> B ．当0a <时，12120,0x x y y +>+< C ．当0a >时，12120,0x x y y +<+< D ．当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】B 【解析】 【详解】令()()f x g x =,可得21ax b x =+． 设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点， 不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||>x x ，即120->>x x ，此时120x x +<， 21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-，同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +< 故选：B ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种 【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可. 【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误. 故选：AB10.（2021·全国·高三专题练习）下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有（ ） A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数 B ．当0α=时函数图象是一条直线 C ．当2α=时函数是偶函数 D ．当3α=时函数在其定义域上是增函数【答案】CD 【解析】 【分析】根据幂函数的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项． 【详解】对于A 选项，1y x=，在(,0)-∞和(0,)+∞上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项错误．对于B 选项，0y x =，0x ≠，图像是：直线1y =并且除掉点(0,1)，故B 选项错误．对于C 选项，2yx ，定义域为R ，是偶函数，所以C 选项正确．对于D 选项，3y x =，函数在其定义域上是增函数，所以D 选项正确．故选：CD11．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）． A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A 错误、选项B 正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点P 求出切线方程，进而判定选项C 正确；平方作差比较大小，进而判定选项D 错误. 【详解】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =， 对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误； 对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞， 所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确；对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x ='0)y x x -，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x -，解得01x =， 即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+，即选项C 正确；对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +==-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．12．（2022·全国·模拟预测）已知实数0,0,a b c R >>∈,且1a b +=,则下列判断正确的是（ ） A ．2212a b +≥B ．22ac bc <C ．()2bb a a >- D ．2111b a -<+ 【答案】AD 【解析】 【分析】利用均值不等式可判断A ；取0c 可判断B ；借助幂函数b y x =的单调性，结合0,1a b <<可判断C ；作差法可判断D 【详解】 由于0,0a b >>，由均值不等式114a b ab +=≥≤，当且仅当12a b ==时等号成立选项A ，22211()2121242a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，当且仅当12a b ==时等号成立，故A 正确；选项B ，由于R c ∈，当0c 时，22ac bc =，故B 错误；选项C ，由于0,0a b >>，1a b +=，故01,122a a <<<-<，即2a a <-由于01b b y x <<∴=在(0,)+∞单调递增，故()2bb a a <-，故C 错误； 选项D ，2122111b b a a a ----=++，由于0,1220,10a b b a a <<∴--<+>，故21101b a --<+，2111b a -∴<+，故D 正确 故选：AD13．（2022·全国·模拟预测）若幂函数()25ay a a x =--的图像关于y 轴对称，则实数=a ______．【答案】2- 【解析】 【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可 【详解】由幂函数可得251a a --=，解得3a =或2a =-，又因为函数图像关于y 轴对称，则a 为偶数，所以2a =-． 故答案为：2-14．（2020·江苏·高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【解析】 【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f - 【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-15．（2014·上海·高考真题（理））若，则满足的取值范围是_____.【答案】(0,1) 【解析】 【详解】根据幂函数的性质，由于1223<，所以当01x <<时2132x x <，当1x >时，2132x x >，因此()0f x <的解集为(0,1). 16．（2022·北京房山·二模）已知函数()3,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩，若函数()f x 在R 上不是增函数，则a 的一个取值为___________.【答案】-2(答案不唯一，满足1a <-或01a <<即可) 【解析】作出y =x 和y =3x 的图象，数形结合即可得a 的范围，从而得到a 的可能取值． 【详解】y =x 和y =3x 的图象如图所示：∴当1a <-或01a <<时，y =3x 有部分函数值比y =x 的函数值小，故当1a <-或01a <<时，函数()f x 在R 上不是增函数． 故答案为：-2． 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）幂函数()()22211mm m f xx m --=--在区间()0,∞+上是增函数，求实数m 的取值集合． 【答案】{}1- 【解析】 【分析】解方程211m m --=得到m 的值，再检验即得解. 【详解】解：由题得211m m --=，所以1m =-或2m =．当1m =-时，()2f x x =在()0,∞+上是增函数； 当2m =时，()1f x x -=在()0,∞+上不是增函数，舍去．故所求实数m 的取值集合为{}1-．18．（2020·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()()22421mm f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()2g x x k =-. (1)求m 的值；(2)当[]1,2x ∈时，记()(),f x g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围.【答案】(1)0m =； (2)[]0,1. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义和在第一象限内的单调性可构造方程组求得m ；（2）由一次函数和二次函数单调性可求得,A B ，由并集结果可构造不等式组求得结果. (1)()f x 为幂函数且在()0,∞+上单调递增，()2211420m m m ⎧-=⎪∴⎨-+>⎪⎩，解得：0m =；(2)由（1）知：()2f x x =，∴当[]1,2x ∈时，()[]1,4f x ∈，即[]1,4A =；当[]1,2x ∈时，()[]2,4g x k k ∈--，即[]2,4B k k =--；A B A =，2144k k -≥⎧∴⎨-≤⎩，解得：01k ≤≤，即实数k 的取值范围为[]0,1.19．（2021·新疆·乌鲁木齐市第二十中学高三阶段练习）已知函数23y x =（1）求定义域； （2）判断奇偶性；（3）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间.【答案】（1）定义域为(),x ∈-∞+∞；（2）偶函数；（3）图像见解析，23y x =的单调增区间是[)0+∞，，单调减区间是(]0-∞，【分析】（1）将函数23y x =改写成y ，即可判断定义域;（2）令23()f x x =()f x -并判断与()f x 的关系即可确定函数的奇偶性；（3）根据23y x =的奇偶性补全图像，根据补全后的图像确定函数的单调区间；【详解】（1）23y x =R;（2）令23()y x f x =23()f x x =(()f x f x ∴-，且定义域关于坐标原点对称，∴函数23y x =为偶函数.（3）因为函数23y x =为偶函数,所以函数23y x =的图像关于y 轴对称， 根据23y x =第一象限的图像补全图像如图所示:根据图像可知，函数23y x =单调增区间是[)0+∞，，单调减区间是(]0-∞，. 20．（2021·福建·上杭一中高三阶段练习）已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ∈Z ）是偶函数，且在0,上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；【答案】（1）()2f x x =；（2）()1,1-.【解析】【分析】（1）根据幂函数，偶函数的定义以及题意可知，2221m m -+=，2520k k ->，即可求出,m k ，得到函数()f x（2）由偶函数的性质以及函数的单调性可得()()212f x f x -<-，即212x x -<-，即可解出．【详解】（1）∵2221m m -+=，∴1m =，∵2520k k ->， ∴()502k k <<∈Z ，即1k =或2， ∵()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 为偶函数，∴2k =，即()2f x x =．(2)∵()()()()212212f x f x f x f x -<-⇒-<- ∴212x x -<-，()()22212x x -<-，21x <，∴()1,1x ∈-，即x 的取值范围为()1,1-．21．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()3m f x x m N -*=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，求满足13233m m f a f a ⎛⎫⎛⎫+-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的实数a 的取值范围. 【答案】21033a a ⎧<<⎨⎩且43a ⎫≠⎬⎭. 【解析】【分析】根据幂函数()f x 的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上单调递减，可得30m -<且3m -为偶数，求得1m =，再利用函数2y x 在在0,上为减函数，由偶函数的性质可转化为28233a a +>-求解即可. 【详解】因为函数()f x 在0,上单调递减，所以30m -<，解得3m <. 因为m *∈N ，所以1m =或2.又函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以3m -是偶数，而231-=-为奇数，132-=-为偶数，所以1m =，所以()2f x x -=，()f x 在,0上为增函数，在0,上为减函数，所以1113233f a f a ⎛⎫⎛⎫+-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于28233a a +>-且8203a -≠， 解得21033a <<且43a ≠. 故实数a 的取值范围为21033a a ⎧<<⎨⎩且43a ⎫≠⎬⎭.. 22．（2021·全国·高三专题练习）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+，满足()()24f f <.(1)求函数()f x 的解析式. (2)若函数()()()2g x f x mf x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？(3)若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b >，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)()f x =存在1m =-使得()g x 的最小值为0(3)存在，9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义结合()()24f f <即可得解；（2）由函数()()()2g x f x mf x =+，即()2g x =+令t =记()2k t t mt =+，分12m -≤，132m <-<，32m -≥三种情况讨论即可得出答案； （3）由函数()()3h x n f x n =-+=在定义域内为单调递减函数，若存在实数a ，b （a b <），使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ，则n b n a ⎧=⎪⎨=⎪⎩①②，消元可得1n a a =+=+令q =求出q 的范围，即可得解.(1)解：∵()f x 是幂函数，∴得2331p p -+=，解得：1p =或2p =，当1p =时，()1f x x =，不满足()()24f f <， 当2p =时，()f x ()()24f f <，∴故得2p =，函数()f x 的解析式为()f x =(2)解：由函数()()()2g x f x mf x =+，即()2g x =+令t =[]1,9x ∈，∴[]1,3t ∈，记()2k t t mt =+，其对称轴在2m t =-， ①当12m -≤，即2m ≥-时，则()()min 110k x k m ==+=，解得：1m =-； ②当132m <-<时，即62m -<<-，则()2min 024m m k x k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得：0m =，不满足，舍去； ③当32m -≥时，即6m ≤-时，则()()min 3390k x k m ==+=，解得：3m =-，不满足，舍去； 综上所述，存在1m =-使得()g x 的最小值为0；(3)解：由函数()()3h x n f x n =-+=若存在实数a ，b （a b <），使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b，则n b n a ⎧=⎪⎨⎪⎩①②， ②-()()33a b a b -=+-+22=-=，1=③，将③代入②得，1n a a ==+q = ∵a b <1=313b a +=++-1b a a =+->，112<，∴102q <≤， 得：2219224n q q q ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.故得实数n 的取值范围9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦.。
高中数学-幂函数测试题及答案详解
C．|a|<1 D．a≥1
二.填空题
７.已知幂函数 ，若则 ，则 的取值范围是
８.函数 是偶函数，且在 是减函数，整数 取值的集合为
９．函数 的定义域是．
三.解答题
10.函数 为偶函数且在区间 上是单调减函数．
（１）求函数 ；
（２）讨论 的奇偶性．
答案：
1．答案D
解析对于幂函数，当0<x<1时，幂指数大的函数值小．故f(x)<g(x)<h(x)．
AБайду номын сангаас{x|0<x≤ } B．{x|0≤x≤4}
C．{x|－ ≤x≤ } D．{x|－4≤x≤4}
3．(2014·四川文)已知b>0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是()
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
4．函数f(x)＝|x| (n∈N*，n>9)的图像可能是()
∴函数为偶函数，图像关于y轴对称，故排除A，B.
令n＝18，则f(x)＝|x| ，当x≥0时，f(x)＝x ，由其在第一象限的图像知选C.
5．答案C
解析因为log a＝－log2a，且f(x)是偶函数，所以f(log2a)＋f(log a)＝2f(log2a)＝2f(|log2a|)≤2f(1)，即f(|log2a|)≤f(1)．又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得 ≤a≤2.
2．答案D
解析由f( )＝ ⇒α＝ ，故f(|x|)≤2⇔|x| ≤2⇔|x|≤4，故其解集为{x|－4≤x≤4}．
3．答案B
解析由已知得5a＝b，10c＝b，∴5a＝10c，5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc＝a，故选B.
3-3 幂函数(精讲)(解析版)
3.3 幂函数（精讲）思维导图常见考法考点一 幂函数的概念【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）在函数21y x=，22y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3（2）．（2021·福建高一期末）若函数1()|1|m f x m x +=-是幂函数，则m =（ ） A ．0B ．1C ．0或2D ．1或2【答案】（1）B （2）C 【解析】（1）因为221y x x-==，所以是幂函数； 22y x =由于出现系数2，因此不是幂函数； 2y x x =+是两项和的形式，不是幂函数；01y x ==（0x ≠），可以看出，常数函数1y =的图象比幂函数0y x =的图象多了一个点(0,1)，所以常数函数1y =不是幂函数.故选：B .（2）若函数1()|1|m f x m x +=-是幂函数， 则11m -=，解得：0m =或2m =， 当0m =时，()f x x =符合题意， 当2m =时3()f x x =符合题意， 所以0m =或2，故选：C 【一隅三反】1．（2021·陕西高一期末）已知函数()()()2211 n n f x n n xn Z -+=--∈为幂函数，则()2f =___.【答案】8【解析】由于函数()()()2211 n n f x n n xn Z -+=--∈为幂函数，则211n n --=，即220n n --=，n Z ∈，解得1n =-或2，所以，()3f x x =，因此，()3228f ==.故答案为：8.2（2021年广东湛江）在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为【答案】1【解析】∵y ＝1x 2＝x －2，∵是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数． 3.（2021年广东潮州）已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．【答案】见解析【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.考点二 幂函数的三要素【例2】（1）（四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高一下学期开学考试数学试题）若幂函数()f x 的图象过点19,3⎛⎫⎪⎝⎭，则()12f =___________．（2）（2021·上海高一课时练习）在函数①75y x =；②56y x =；③47y x =；④25y x -=；⑤13y x -=；⑥23y x =中定义域与值域相等的有_________个. 【答案】（1）36（2）3 【解析】（1）设()f x x α=，则1(9)93f α==，12α=-，所以12()f x x -=， 所以123(12)126f -==．故答案为：36（2）①75y x =的定义域为R ，值域为R .②56y x =的定义域为[)0+∞，，值域为[)0+∞，. ③47y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. ④25y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(0+)∞，. ⑤13y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.⑥23y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. 故定义域与值域相等的有①, ②和⑤ 故答案为：3 【一隅三反】1．（2021·安徽高一期末）已知点()4,8P 在幂函数()f x 的图象上，则()5f 等于_______________. 【答案】55【解析】由题意，可设()n f x x =，又()4,8P 在()f x 上，∴48n =，即32n =，∴32(5)555f ==， 故答案为：55.2.．（专题4.3幂函数（A 卷基础篇））设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为（ ） A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3【答案】A【解析】当1α=-时，函数y ＝1x -的定义域为{}|0x x ≠，不是R ，所以1α=-不成立； 当12α=时，函数y ＝12x 的定义域为{}|0x x ≥，不是R ，所以12α=不成立； 当1α=或3α=时，满足函数y ＝x α的定义域为R ，故选：A.考点三 幂函数的性质【例3】（1）（2021·广西高一期末）幂函数()f x x α=的图象过点(9,3)，那么函数()f x 的单调递增区间是（ ） A ．(2,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．(,2)-∞-（2）（2021·安徽高一开学考试）已知幂函数()()233mf x m m x =-+是偶函数，则()2f =________.（3）（2021·安徽省安庆九一六学校高一开学考试）已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞（4）（2021·上海高一期末）幂函数1y x -=，及直线,1,1y x y x ===将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： I, II, III,IV, V, VI, VII, VIII （如图所示），那么，而函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A ． IV,VIIB ． IV,VIIIC ． III, VIIID ．III, VII 【答案】（1）C （2）4（3）C （4）B【解析】（1）因为幂函数过点(9,3)，所以()993f α==，解得12α=，所以()f x x =，那么可知函数的增区间为[0,)+∞．故选：C（2）因为函数()f x 为幂函数，所以2331m m -+=，解得1m =或2m =. 当1m =时，()f x x =，函数()f x 为奇函数，不合题意；当2m =时，()2f x x =，函数()f x 为偶函数，所以()24f =.故答案为：4.（3）因为幂函数()(1)n f x a x =-的图像过点(2,8)，所以1128n a -=⎧⎨=⎩，所以23a n =⎧⎨=⎩，所以3()f x x =，由于函数3()f x x =在R 上单调递增，所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <．故b 的取值范围是(,1)-∞.故选：C.（4）对于幂函数13y x -=，因为103-< ，所以13y x -=在第一象限单调递减，根据幂函数的性质可知：在直线1x =的左侧，幂函数的指数越大越接近y 轴 ，因为113->-，所以13y x -=的图象比1y x -=的图象更接近y 轴 ，所以进过第IV 卦限， 在直线1x =的右侧，幂函数的指数越小越接近x 轴，因为1103-<-<，所以13y x -=的图象位于1y x -=和1y =之间，所以经过VIII 卦限， 所有函数13y x -=的图象在第一象限中经过的“卦限”是IV,VIII ， 故选：B【一隅三反】1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）幂函数()()22222mf x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（ ） A ．1- B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意； 当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.2．（2021·重庆巴蜀中学高一期末）已知幂函数()()231mf x m m x =--在其定义域内不单调，则实数m =（ ）A ．23-B ．1C ．23D ．1-【答案】A【解析】由幂函数定义，2311m m --=，解得：23m =-或1m =，又()f x 在定义域内不单调，所以23m =-，故选：A ．3．（2021·四川高一期末）若幂函数()()223,p p f x qx q R p Z -++=∈∈在()0,∞+上是增函数，且在定义域上是偶函数，则p q +=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】因为()()223,p p f x qx q R p Z -++=∈∈是幂函数，所以1q =；又()()223pp f x x p Z -++=∈在()0,∞+上是增函数，所以2230p p -++>，解得13p -<<，因为p Z ∈， 所以0p =或1或2，当0p =时，()3f x x =，因为()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以()3f x x =是奇函数，不满足题意，舍去；当1p =时，()4f x x =，因为()()()44f x x x f x -=-==，所以()4f x x =是偶函数，满足题意；当2p =时，()3f x x =是奇函数，不满足题意，舍去；故1p =，所以2p q +=.故选：C.4．（2021·上海高一期末）在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)ba y x x =>图像的关系可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于A ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)bay x x =>为减函数，符合题意；对于B ， 二次函数2y ax bx =+开口向下，则0a <，其对称轴bx 02a =->，则0b a<，即幂函数(0)b a y x x =>为减函数，不符合题意；对于C ，二次函数2y ax bx =+开口向上，则0a >，其对称轴12b x a=-=-，则2ba =，即幂函数(0)b a y x x =>为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D ， 二次函数2y ax bx =+开口向下，则0a <，其对称轴122b x a =->-，则01ba<<，即幂函数(0)b ay x x =>为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意； 故选：A5．（2021·全国高一课时练习）（多选）已知幂函数(*(),mnf x x m n =∈N，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（ ）A ．当m ，n 都是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．当m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．当01mn<<时，幂函数()f x 在(0,)+∞上是减函数 【答案】AB【解析】()mn m n f x x x ==，当m ，n 都是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确； 当m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数，故B 中的结论正确； 当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 在0x <时无意义；故C 中的结论错误； 当01mn<<时，幂函数()f x 在()0.+∞上是增函数，故D 中的结论错误． 故选AB ．6．（2021·海南省）（多选）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．y x = B ．3y x =C ．1y x=-D ．4y x =【答案】AB【解析】对于选项A ：y x =是奇函数且是增函数，故选项A 正确； 对于选项B ：3y x =是奇函数且是增函数，故选项B 正确； 对于选项C ：1y x=-是奇函数，在(),0-∞和()0,∞+单调递增，但在定义域内不是增函数，故选项C 不正确； 对于选项D ：4y x =是偶函数，不符合题意，故选项D 不正确； 故选：AB7（2021·广东高一期末）已知幂函数21()m f x x +=过点(3,27)，若()23(98)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(2,6) 【解析】幂函数21()m f x x +=过点(3,27)，21333m +∴=， 1m ∴=，幂函数3()f x x =，显然()f x 是奇函数，且在R 上单调递增． 若2(3)(98)0f k f k ++-<，则不等式即2(3)(89)f k f k +<-，2389k k ∴+<-，26k ∴<<，故答案为：(2,6)．考点四 幂函数的综合运用【例4】（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()2144m f x m m x +=+-在区间0,上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减. 【答案】（1）()2f x x =；（2）证明见解析.【解析】（1）解：由题可知：2441+-=m m ，解得1m =或5m =-.若1m =，则()2f x x =在区间0,上单调递增，符合条件； 若5m =-，则()4f x x -=在区间0,上单调递减，不符合条件.故()2f x x =.（2）证明：由（1）可知，()216g x x x=+. 任取1x ，()20,2x ∈，且12x x <，则()()()()22121212121212161616g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+--=-+-⎢⎥⎣⎦. 因为1202x x <<<， 所以120x x -<，124x x +<，12164x x >， 所以()()121212160x x x x x x ⎡⎤-+->⎢⎥⎣⎦，即()()12g x g x >，故()g x 在区间()0,2上单调递减. 【一隅三反】1．（2021·福建仙游一中高一开学考试）若幂函数221()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若2(2)(4)f a f a -<-，求a 的取值范围.【答案】（1）3()f x x =；（2）{2a a >或}3a <-. 【解析】（1）因为221()(22)m f x m m x +=+-是幂函数，所以2221m m +-=，解得32m =-或1m =， 又()f x 是增函数，210m +>即12m >-，1m ∴=，则3()f x x =； （2）因为()f x 为增函数，所以由2(2)(4)f a f a -<-可得224a a -<-，解得2a >或3a <-a ∴的取值范围是{2a a >或}3a <-.2．（2021·平罗中学高一期末）已知幂函数()()22122m f x m m x +=+-在()0,∞+上是增函数 （1）求()f x 的解析式（2）若(2)(1)f a f a -<-，求a 的取值范围.【答案】（1）3()f x x =，（2）3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】（1）因为221()(22)m f x m m x +=+-是幂函数，所以2221m m +-=，解得32m =-或1m = 因为()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以210m +>，解得12m >-，则1m =， 故3()f x x =（2）因为()f x 为R 上的增函数，因为(2)(1)f a f a -<-所以201021a a a a -⎧⎪-⎨⎪-<-⎩，解得：322a <， 故a 的取值范围是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦． 3．（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()225222k k f x m m x -=-+（k ∈Z ）是偶函数，且在()0,∞+上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围；（3）若实数a ，b （a ，b +∈R ）满足237a b m +=，求3211a b +++的最小值． 【答案】（1）()2f x x =；（2）()1,1-；（3）2． 【解析】（1）．2221m m -+=，1m ∴=2520k k ->，502k ∴<<（k ∈Z ） 即1k =或2()f x 在()0+∞，上单调递增，()f x 为偶函数2k ∴=即()2f x x =（2）()()()()212212f x f x f x f x -<-⇒-<- 212x x ∴-<-，22(21)(2)x x -<-，21x <， ∴()1,1x ∈-（3）由题可知237a b +=，()()()()11213112164a b a b ++∴+++=⇒+= ()()()1132323111112211641141314a b b a a b a b a b ++⎡⎤++⎛⎫∴+=+⋅+=+⋅+≥+=⎢⎥ ⎪++++++⎝⎭⎣⎦， 当且仅当()3112314131b a a b a b ++⋅=⇒=+++，即2a =，1b =时等号成立． 所以3211a b +++的最小值是2．。
幂函数的性质专题练习题含答案
幂函数的性质专题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 幂函数f(x)＝(a2−2a−2)x1−a在(0, +∞)上是减函数，则a＝（）A.−3B.−1C.1D.32. 已知幂函数f(x)＝(k∈N∗)，则使得f(x)为奇函数，且在(0, +∞)上单调递增的k的个数为（）A.0B.1C.2D.无数个3. 已知(5−2m)12<(m−1)12，则m的取值范围是（）A.(2, +∞)B.(2,52] C.(−∞, 2) D.[1, 2)4. 已知幂函数f(x)＝(m2−m−1)x m2+m−2在(0, +∞)上是减函数，则f(m)的值为（）A.3B.−3C.1D.−15. 函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−1是幂函数，且在(0,+∞)上是减函数，则实数m的值为( )A.1B.−1C.2D.−1或26. 幂函数f(x)＝(m2+5m−5)x(m∈Z)是偶函数，且在(0, +∞)上是减函数，则m的值为（）A.−6B.1C.6D.1或−67. 已知幂函数(n∈Z)在(0, +∞)上是增函数，则n的值为（）A.−1B.1C.−3D.1和−38. 已知幂函数f(x)＝(m2−2m−2)x在(0, +∞)上是减函数，则f(m)的值为（）A.3B.−3C.1D.−19. 已知幂函数f(x)=(t 2−4t −4)x t−2在(0, +∞)上单调递减，则f(4)=( ) A.132 B.164C.32D.6410. 若幂函数在(0, +∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数，则p +q ＝（ ） A.0 B.1 C.2D.311. 已知函数f(x)＝−x 3，若f(m −2)>f(2m)，则m 的取值范围是（ ） A.(−1, 1) B.(−2, +∞) C.(−3, 3) D.(−∞, −2)12. 已知函数y =−ax a +b −1是幂函数，直线mx −ny +2=0(m >0,n >0)过点(a,b )，则n+1m+1的取值范围是( )A.(−∞,13)∪(13,3) B.(1,3) C.[13,3]D.(13,3)13. 已知点 P(2,14) 在幂函数 f(x)=x n 的图象上，设 a =f(ln 2),b =f(log 2e), c =f(e 2), d =f(2e )，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( ) A.d >c >b >a B.a >b >d >c C.c >d >b >a D.a >b >c >d14. 设12<(12)b <(12)a <1 ，那么( ) A. a a <a b <b a B. a a <b a <a b C.a b <a a <b a D.a b <b a <a a15. 幂函数f (x )=(m 2−3m +3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m =________.16. 若幂函数y ＝(m 2−3m +3)x m−2的图象关于原点对称，则m 的取值为________．17. 若幂函数在上是减函数，则实数的值为________．18. 幂函数y =(m 2−m −1)⋅x −5m−3在(0, +∞)上为减函数，则实数m 的值为________．19. 已知幂函数f(x)过点(2,√2)，若f(10−2a)<f(a+1)，则实数a的取值范围是________．20. 给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③y=x2−2|x|−3的递增区间为[1, +∞)；>0成立，则f(x)在④定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a、b，总有f(a)−f(b)a−bR上是增函数；的单调减区间是(−∞, 0)∪(0, +∞)．⑤f(x)=1x正确的有________．21. 关于函数y=xα（α为常数），下列说法：①当α=√2时，y=xα不是幂函数；②幂函数y=xα的图象都经过点(1, 1)；③当α=0或α=1时，幂函数y=xα图象都是直线；④存在幂函数的图象经过第四象限．其中正确的是________．（把你认为正确的序号都填上）22. 已知幂函数g(x)=(m2−3)x m(m∈R)在(0, +∞)为减函数，且对数函数f(x)满足f(−m+1)+f(−m−1)=12（1）求g(x)、f(x)的解析式（2）若实数a满足f(2a−1)<f(5−a)，求实数a的取值范围．23. 已知函数y＝(a2−3a+2)x a2−5a+5（a为常数）．问：（1）a为何值时此函数为幂函数？（2）a为何值时此函数为正比例函数？24. 已知(m2+m)35≤(3−m)35，求实数m的取值范围．25. 已知幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m−1为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)=f(x)−ax−3在[1, 3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．26. 已知幂函数f(x)=x m2+4m+3(m∈Z)在(0,+∞)上是单调递减函数．(1)求m的值；(2)若g(x)=(x2+a)f(x)≥2在区间[2,3]上恒成立，求实数a的取值范围．27. 若幂函数f(x)＝(2m2+m−2)x2m+1在其定义域上是增函数．（1）求f(x)的解析式；（2）若f(2−a)<f(a2−4)，求a的取值范围．28. 已知幂函数y=f(x)=x−3m+7，其中m∈N+.①在区间(0,+∞)上是增函数；②对任意x∈R，都有f(−x)=f(x).(1)求同时满足①、②两个条件的幂函数f(x)的解析式；(2)求x∈[0,2]时，f(x)的值域．29. 已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k.(1)求m的值；(2)当x∈[1,2）时，记f(x),g(x)的值域分别为集合A，B，且A∩B=B，求实数k的取值范围．30. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调递减函数．（1）求函数f(x)的解析式；的奇偶性．（2）讨论F(x)=a√f(x)−bxf(x)参考答案与试题解析幂函数的性质专题练习题含答案一、选择题（本题共计 14 小题，每题 3 分，共计42分）1.【答案】D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】B【考点】幂函数的性质【解析】根据幂函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】对于y=x 12是增函数，∵(5−2m)12<(m−1)12，∴{5−2m≥0m−1≥05−2m<m−1，解得：2<m≤52，4.【答案】C【考点】幂函数的性质【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得m2−m−1=1，且m2+m−2<0，由此求得m的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(m)的值．【解答】∵幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−2在(0, +∞)上是减函数，则m2−m−1=1，且m2+m−2<0，求得m=−1，故f(x)=x−2，故f(m)=f(−1)=1，5.【答案】B【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，要使函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−1是幂函数，则m2−m−1=1，解得m=2或m=−1.当m=2时，m2+m−1=5，y=x5在(0, +∞)上是增函数，不满足题意；当m=−1时，m2+m−1=−1，y=x−1在(0, +∞)上是减函数，满足题意.故选B.6.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】首先利用幂函数的系数为1求出n的值，进一步利用函数的单调性的应用求出结果．【解答】由于幂函数(n∈Z)所以n2+2n−2＝1，解得n＝1或−3．当n＝1时，f(x)＝x−2在(0, +∞)单调递减．当n＝−3时，f(x)＝x18在(0, +∞)单调递增．8.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】B【考点】幂函数的性质【解析】先利用幂函数的定义得到t2−4t−4=1，求出t的值后，再利用幂函数的单调性进行判断，即可得到答案．【解答】由f(x)=(t2−4t−4)x t−2是幂函数，可知t2−4t−4=1，即t2−4t−5=0，解得t=−1或t=5，所以f(x)=x−3或f(x)=x3，又幂函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，所以f(x)=x−3，所以f(4)＝4−3＝1．6410.【答案】C【考点】幂函数的性质【解析】由题意利用幂函数的定义和性质，求出p、q的值，可得结论．【解答】∵幂函数在(0，且在定义域上是偶函数，∴q＝1，且−p6+2p+3为正的偶数，∴p＝3．∴p+q＝2，11.【答案】B【考点】幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】D【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】【解答】解：由y=−ax a+b−1是幂函数，知：a=−1，b=1，又(a,b)在mx−ny+2=0上，∴m+n=2，即n=2−m>0，则n+1m+1=3−mm+1=4m+1−1，且0<m<2，∴n+1m+1∈(13,3) .故选D.13.【答案】B【考点】幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由于点P(2,14)在f(x)=x n的图象上，解得n=−2，即f(x)=x−2,f(x)在(0,+∞)上单调递减，ln2<log2e<2e<e2,所以a>b>d>c.故选B.14.【答案】C【考点】幂函数的性质指数函数单调性的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由12<(12)b<(12)a<1，得0<a<b<1，由幂函数的性质可知a a<b a，a b<a a<b a.故选C.二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）15.【答案】2【考点】幂函数的性质【解析】利用幂函数的定义得到m2−3m+3=1，由图象关于y轴对称，可知函数为偶函数，可知m为偶数，求解即可.【解答】解：∵幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m的图象关于y轴对称，∴m2−3m+3=1且m为偶数，∴m=2.故答案为：2.16.【答案】1【考点】幂函数的性质【解析】根据幂函数的定义列方程求出m的值，再判断函数的图象是否关于原点对称．【解答】幂函数y＝(m2−3m+5)x m−2中，令m2−2m+3＝1，解得m＝5或m＝2；当m＝1时，f(x)＝x−2，图象关于原点对称；当m＝2时，f(x)＝x0，图象不关于原点对称；所以m的取值为8．17.【答案】m=2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质【解析】试题分析：由题意得：m2−m−1=1,m2−2m−3<0⇒m=2【解答】此题暂无解答18.【答案】2【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的定义及幂函数的性质列出不等式组，求出m的值．【解答】解：由题意知{m2−m−1=1，−5m−3<0，∴m=2．故答案为：2.19.【答案】(3, 5]【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】求出函数f(x)的解析式，根据函数的单调性和定义域得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】设幂函数的解析式为f(x)＝xα，由题意得：2α=√2=212，故α=12，故f(x)=√x，f(x)在[0, +∞)递增，若f(10−2a)<f(a+1)，所以{a+1≥010−2a≥010−2a<a+1，解得{a≥−1a≤5a>3，所以3<a≤5，20.【答案】①④【考点】幂函数的性质函数单调性的判断与证明奇函数【解析】根据幂函数的图象的性质，可判断①正确，根据奇函数的定义，可判断②的正误；根据对折变换的图象变化及二次函数的单调性，可判断③的真假；根据单调性的定义，可判断④是正确的；根据单调区间的定义，可以判断⑤的对错．【解答】解：由幂函数的图象的性质，易得幂函数的图象一定不过第四象限，故①正确；若奇函数在x=0时有意义，则图象一定过坐标原点，但奇函数在x=0时无意义时，则图象不过坐标原点，故②错误；y=x2−2|x|−3的递增区间有两个：[−1, 0]和[1, +∞)故③错误；若f(a)−f(b)a−b>0，则f(x)在R上是增函数，故④正确；f(x)=1x 的单调减区间有两个：(−∞, 0)和(0, +∞)，但函数f(x)=1x在区间(−∞, 0)∪(0, +∞)上不具备单调性，故⑤错误；故答案为：①④21.【答案】②【考点】幂函数的性质幂函数图象及其与指数的关系【解析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论．【解答】解：①当α=√2时，函数y=xα是幂函数，故①不正确；②所有幂函数y=xα的图象都经过点(1, 1)，故②正确；③当α=0，幂函数y=xα图象都是直线y=1上去掉了点(0, 1)，故③不正确；④对于所有的幂函数y=xα，由于当x>0时，xα>0，故它们的图象都不会经过第四象限，故④不正确．故答案为②．三、解答题（本题共计 9 小题，每题 10 分，共计90分）22.【答案】解：（1）幂函数g(x)=(m2−3)x m(m∈R)在(0, +∞)为减函数，∴{m2−3=1m<0，解得m=−2，∴g(x)=x2；又∵f(x)是对数函数，且f(−m+1)+f(−m−1)=12，∴设f(x)=logax(a>0且a≠1)，∴loga (−m+1)+loga(−m−1)=12，即loga (m2−1)=loga3=12，解得a=9，∴f(x)=log9x；（2）∵实数a满足f(2a−1)<f(5−a)，且f(x)=log9x在(0, +∞)上单调递增，∴ {2a −1>05−a >02a −1<5−a，解得{a >12a <5a <2；即12<a <2，∴ 实数a 的取值范围是(12, 2)．【考点】幂函数的性质【解析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出不等式组{m 2−3=1m <0，求出m 的值，得g(x)解析式；由f(x)是对数函数，且f(−m +1)+f(−m −1)=12，利用m 的值求出f(x)的解析式；（2）根据f(x)的单调性，把f(2a −1)<f(5−a)转化，求出解集即可．【解答】解：（1）幂函数g(x)=(m 2−3)x m (m ∈R)在(0, +∞)为减函数，∴ {m 2−3=1m <0， 解得m =−2，∴ g(x)=x 2；又∵ f(x)是对数函数，且f(−m +1)+f(−m −1)=12， ∴ 设f(x)=log a x(a >0且a ≠1)，∴ log a (−m +1)+log a (−m −1)=12，即log a (m 2−1)=log a 3=12， 解得a =9，∴ f(x)=log 9x ；（2）∵ 实数a 满足f(2a −1)<f(5−a)，且f(x)=log 9x 在(0, +∞)上单调递增，∴ {2a −1>05−a >02a −1<5−a，解得{a >12a <5a <2；即12<a <2，∴ 实数a 的取值范围是(12, 2)．23.【答案】∵函数为幂函数，∴a2−3a+2＝1，∴解之得a=3±√52，∵函数为正比例函数，∴a2−3a+2≠0或a2−5a+5＝1，解得a＝4．【考点】幂函数的性质【解析】根据题意知参数的取值．【解答】∵函数为幂函数，∴a2−3a+2＝1，∴解之得a=3±√52，∵函数为正比例函数，∴a2−3a+2≠0或a2−5a+5＝1，解得a＝4．24.【答案】解：(1)设函数y=x 3 5，函数为R上的单调递增函数…得，m2+m≤−m+3…即，m2+2m−3≤0…得，(m−1)(m+3)≤0所以，m的取值范围为：m∈[−3, 1]…【考点】幂函数的性质【解析】根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：(1)设函数y=x 3 5，函数为R上的单调递增函数…得，m2+m≤−m+3…即，m2+2m−3≤0…得，(m−1)(m+3)≤0所以，m的取值范围为：m∈[−3, 1]…25.【答案】解：(1)由f(x)为幂函数知m2−5m+7=1，得m=2或m=3，当m=3时，f(x)=x2，符合题意；当m=2时，f(x)=x，不合题意，舍去．∴f(x)=x2．(2)g(x)=f(x)−ax−3=x2−ax−3，g(x)的对称轴是x=a，2若g(x)在[1,3]上不是单调函数，<3，则1<a2解得2<a<6.【考点】幂函数的性质函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】（1）根据幂函数的性质即可求f(x)的解析式；（2）根据函数y=f(x)−2(a−1)x+1在区间(2, 3)上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数a的取值范围．【解答】解：(1)由f(x)为幂函数知m2−5m+7=1，得m=2或m=3，当m=3时，f(x)=x2，符合题意；当m=2时，f(x)=x，不合题意，舍去．∴f(x)=x2．(2)g(x)=f(x)−ax−3=x2−ax−3，g(x)的对称轴是x=a，2若g(x)在[1,3]上不是单调函数，<3，则1<a2解得2<a<6.26.【答案】解：(1)f(x)=x m2+4m+3在区间(0,+∞)上是单调递减函数，则m2+4m+3<0，解得−3<m<−1.又m∈Z，所以m=−2 .(2)由(1)知f(x)=x−1，则g(x)=x+a，x≥2在x∈[2,3]上恒成立.所以x+ax则a≥2x−x2=−(x−1)2+1，可知当x=2时，a≥(2x−x2)max=0，所以实数a的取值范围是[0,+∞) .【考点】幂函数的性质一元二次不等式的解法函数恒成立问题二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】解：(1)f(x)=x m2+4m+3在区间(0,+∞)上是单调递减函数，则m2+4m+3<0，解得−3<m<−1.又m∈Z，所以m=−2 .(2)由(1)知f(x)=x−1，则g(x)=x+a，x≥2在x∈[2,3]上恒成立.所以x+ax则a≥2x−x2=−(x−1)2+1，可知当x=2时，a≥(2x−x2)max=0，所以实数a的取值范围是[0,+∞) .27.【答案】由函数f(x)＝(2m2+m−2)x2m+1是幂函数，所以2m2+m−2＝1，解得m＝1或m＝-；当m＝1时，f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，满足题意；当m＝-时，f(x)＝x−2，在定义域(−∞, 0)∪(0, +∞)上不是增函数，不满足题意；所以m＝1，f(x)＝x3．由f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，所以不等式f(2−a)<f(a2−4)等价于2−a<a2−4，化简得a2+a−6>0，解得a<−3或a>2，所以a的取值范围是(−∞, −3)∪(2, +∞)．【考点】幂函数的性质【解析】（1）根据幂函数的定义列方程求出m的值，再判断m的值是否满足题意；（2）由f(x)在定义域R上是增函数，把不等式f(2−a)<f(a2−4)化为2−a<a2−4，求出解集即可．【解答】由函数f(x)＝(2m2+m−2)x2m+1是幂函数，所以2m2+m−2＝1，解得m＝1或m＝-；当m＝1时，f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，满足题意；当m＝-时，f(x)＝x−2，在定义域(−∞, 0)∪(0, +∞)上不是增函数，不满足题意；所以m＝1，f(x)＝x3．由f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，所以不等式f(2−a)<f(a2−4)等价于2−a<a2−4，化简得a2+a−6>0，解得a<−3或a>2，所以a的取值范围是(−∞, −3)∪(2, +∞)．28.【答案】解：(1)∵f(x)=x−3m+7 在(0,+∞)上单调递增，∴−3m+7>0，∴m<7.3又∵m∈N+，∴m=1或m=2，当m=1时，y=f(x)=x4，此时符合f(−x)=f(x)；当m=2时，y=f(x)=x，此时f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)，不合题意，舍去，∴f(x)=x4.(2)∵f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴ f(x)在[0,2]上单调递增，∴f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(2)=24=16，∴ f(x)在[0,2]的值域为[0,16].【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】(1)由题意可知，幂函数为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，进而得到−3m+7>0且−3m+7为偶数，结合m∈N+，即可得到答案；(2)f(x)在[0,2]上单调递增，利用函数的单调性求值域即可.【解答】解：(1)∵f(x)=x−3m+7 在(0,+∞)上单调递增，∴−3m+7>0，∴m<7.3又∵m∈N+，∴m=1或m=2，当m =1时， y =f (x )=x 4，此时符合f (−x )=f (x )；当m =2时，y =f (x )=x ，此时f (x )为奇函数， f (−x )=−f (x )，不合题意，舍去， ∴ f (x )=x 4.(2)∵ f (x )在(0,+∞)上单调递增，∴ f (x )在[0,2]上单调递增，∴ f (x )min =f (0)=0，f (x )max =f (2)=24=16，∴ f (x )在[0,2]的值域为[0,16].29.【答案】解：(1)由题可得：{(m −1)2=1，m 2−4m +2>0，解得m =0.(2)由(1)得f (x )=x 2对称轴为x =0，又x ∈[1,2)，∴ f(x)值域A =[1,4).∵ g (x )=2x −k 在x ∈[1,2)单调递增，∴ g(x)值域B =[2−k,4−k).∵ A ∩B =B ，∴ B ⊆A ，∴ {2−k ≥1，4−k ≤4，解得：0≤k ≤1.【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域指数函数的定义、解析式、定义域和值域集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】解：(1)由题可得：{(m −1)2=1，m 2−4m +2>0，解得m =0.(2)由(1)得f (x )=x 2对称轴为x =0，又x ∈[1,2)，∴ f(x)值域A =[1,4).∵ g (x )=2x −k 在x ∈[1,2)单调递增，∴ g(x)值域B =[2−k,4−k).∵ A ∩B =B ，∴ B ⊆A ，∴{2−k≥1，4−k≤4，解得：0≤k≤1.30.【答案】f(x)=x m2−2m−3=x m(m−2)−3，由题意知m(m−2)为奇数又m∈z 且f(x)在(0, +∞)上递减，∴m＝1，f(x)＝x−4F(x)=a√x−4−bx⋅x−4=a⋅x−2−b⋅x3(x≠0)∵y＝x−2是偶函数，y＝x3是奇函数①a≠0且b≠0时，F(x)为非奇非偶函数；②a＝0且b≠0时，F(x)为奇函数；③a≠0且b＝0时，F(x)为偶函数；④a＝b＝0时，F(x)为奇且偶函数【考点】幂函数的性质奇偶性与单调性的综合【解析】（1）由幂函数f(x)为(0, +∞)上递减，推知m2−2m−3<0，解得−1<m<3因为m 为整数故m＝0，1或2，又通过函数为偶函数，推知m2−2m−3为偶数，进而推知m2−2m为奇数，进而推知m只能是1，把m代入函数，即可得到f(x)的解析式．（2）把f(x)的解析式代入F(x)，得到F(x)的解析式．然后分别讨论a≠0且b≠0时，a＝0且b≠0时，a≠0且b＝0时，a＝b＝0时，函数的奇偶性．【解答】f(x)=x m2−2m−3=x m(m−2)−3，由题意知m(m−2)为奇数又m∈z且f(x)在(0, +∞)上递减，∴m＝1，f(x)＝x−4F(x)=a√x−4−bx⋅x−4=a⋅x−2−b⋅x3(x≠0)∵y＝x−2是偶函数，y＝x3是奇函数①a≠0且b≠0时，F(x)为非奇非偶函数；②a＝0且b≠0时，F(x)为奇函数；③a≠0且b＝0时，F(x)为偶函数；④a＝b＝0时，F(x)为奇且偶函数。
幂函数中档题(含答案)
3.3 幂函数中档题一．选择题（共4小题）1．若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（）A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞）2．已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g （x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）A．B．C．D．3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断4．已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共1小题）5．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是．三．解答题（共13小题）6．已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k 的取值范围．7．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范围．8．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求的取值范围．9．．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小．10．已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=．（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．11．函数f（x）=是偶函数．（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．12．如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围．14．已知幂函数y=f（x）经过点，（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0．15．已知幂函数f（x）=x a和对数函数g（x）=log a x，其中a为不等于1的正数（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，且函数y=g（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上总有|y|≤2，求a的取值范围．16．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．17．已知函数f（x）=（m﹣1）为幂函数，g（x）=x+f（x）．（1）求证：函数g（x）是奇函数；（2）根据函数单调性定义证明：函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．18．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．3.3 幂函数中档题参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2015•吉安一模）若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（）A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞）【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），求出f（x）的解析式，再求出g（x）的解析式，计算g（x）在x∈[，3]上的最值即可．【解答】解：设f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（3，），∴3α=，解得α=﹣，∴f（x）=；∴函数g（x）=+f（x）=+=+，当x∈[，3]时，在x=1时，g（x）取得最小值g（1）=2，在x=3时，g（x）取得最大值g（3）=+=，∴函数g（x）在x∈[，3]上的值域是[2，]．故选：A．【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题以及求函数的值域的应用问题，是基础题目．2．（2015秋•庄河市期末）已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】求出定点P，然后求解幂函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，令x﹣16=0，解得x=16，且f（16）=1+7=8，所以f（x）的图象恒过定点P（16，8）；设幂函数g（x）=x a，P在幂函数g（x）的图象上，可得：16a=8，解得a=；所以g（x）=，幂函数g（x）的图象是A．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与幂函数的性质与应用问题，也考查了计算能力的问题，是基础题．3．（2015秋•九江校级期中）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，利用函数f（x）的奇偶性与单调性，求出f（a）+f（b）＞0．【解答】解：根据题意，得f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1；又f（x）在第一象限是增函数，且当m=2时，指数4×29﹣25﹣1=2015＞0，满足题意；当m=﹣1时，指数4×（﹣1）9﹣（﹣1）5﹣1=﹣4＜0，不满足题意；∴幂函数f（x）=x2015是定义域R上的奇函数，且是增函数；又∵a，b∈R，且a+b＞0，∴a＞﹣b，又ab＜0，不妨设b＜0，即a＞﹣b＞0，∴f（a）＞f（﹣b）＞0，f（﹣b）=﹣f（b），∴f（a）＞﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目．4．（2014•西湖区校级学业考试）已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】函数的单调性，对a、b、、，区分大小，即可找出选项．【解答】解：因为函数在（0，+∞）上是增函数，又，故选C．【点评】本题考查幂函数的性质，数值大小比较，是基础题．二．填空题（共1小题）5．（2016春•厦门校级期末）已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q （x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是②③．【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式；幂函数的指数大于0得到幂函数在（0，+∝）上的单调性；图象呈上升趋势，判断出②③正确．【解答】解：依题意，设f（x）=xα，则有（）α=，即（）α=（），所以α=，于是f（x）=x．由于函数f（x）=x在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2），从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正确；又因为，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故＞，所以③正确．答案②③【点评】本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定．三．解答题（共13小题）6．（2016春•宜春校级期末）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k 的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，（Ⅱ）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若A∪B⊆A，得到关于k的不等式组，解的即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2=1，解得m=0或m=2当m=2时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去∴m=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，∴A=[1，4]，B=[2﹣k，4﹣k]，∵A∪B⊆A，∴解得，0≤k≤1故实数K的取值范围为[0，1]【点评】本题主要考查了幂函数的性质定义，以及集合的运算，属于基础题．7．（2016春•江阴市校级期中）已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义，求出a的值，即得f（x）的解析式与单调递减区间；（Ⅱ）把方程化为g（x﹣1）=1﹣a，利用函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）的图象上有二交点，得出a的取值范围以及x1，x2的关系，从而求出a++的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2’∴f（x）=x2的单调递减区间为（﹣∞，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4’（Ⅱ）方程g（x﹣1）+f（1）=0化为g（x﹣1）=1﹣a，由题意函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’在x∈（1，2]时，y=g（x﹣1）单调递减，又y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14’所以a++的取值范围为（2﹣lg2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣16’【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题以及分类讨论与转化思想，是就综合性题目．8．（2015秋•资阳期末）已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用幂函数的定义能求出a．（Ⅱ）函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点，y=g（x﹣1）=，推导出1﹣lg2＜a＜1，x1∈（1，2），x2∈（2，3），由此能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2．（2分）（Ⅱ）方程化为g（x﹣1）=1﹣a，由题有函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．（3分）y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=在x∈（1，2]时，y=g（x﹣1）单调递减，y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），5分所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，（7分）由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即．（11分）所以的取值范围为（2﹣lg2，2）．（12分）【点评】本题考查实数值的求法，考查代数式的值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．9．（2015秋•长沙校级期中）．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小．【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N*，求出k的值，写出函数的解析式．（2）利用指数函数y=（lna）x的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案．【解答】解：（1）幂函数的图象关于y轴对称，所以，k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数在区间（0，+∞）为减函数，∴k=1，函数的解析式为：f（x）=x﹣4．（2）由（1）知，a＞1．①当1＜a＜e时，0＜lna＜1，（lna）0.7＜（lna）0.6；②当a=e时，lna=1，（lna）0.7=（lna）0.6；③当a＞e时，lna＞1，（lna）0.7＞（lna）0.6．【点评】本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的大小比较，注意转化思想的应用．10．（2014秋•旌阳区校级月考）已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=．（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出m的值，得出g（x）的解析式，再求出f（x）的解析式；（2）根据题意，利用f（x）的单调性，列出不等式组，求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）上为减函数，∴，解得m=﹣，∴g（x）=；又∵f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=，∴设f（x）=log a x（a＞0且a≠1），∴log a（﹣m+1）+log a（﹣m﹣1）=，即log a（m2﹣1）=log a2=，解得a=4，∴f（x）=log4x；（2）∵实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），且f（x）=log4x在（0，+∞）上单调递增，∴，解得；即＜a＜2，∴实数a的取值范围是（，2）．【点评】本题考查了函数的性质与应用的问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．11．（2013秋•大姚县校级期末）函数f（x）=是偶函数．（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．【分析】（1）根据f（x）是偶函数，f（﹣x）=f（x），求出a=0；（2）用定义证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；（3）由（2）得，根据f（x）在[﹣2，0]的单调性，求出f（x）在[﹣2，0]上的值域．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即=，∴x2+ax﹣3=x2﹣ax﹣3；∴a=0，∴f（x）=；（2）证明：任取x1、x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2；∴==；∵x1＜x2＜0，∴x1+x2＜0，x1﹣x2＜0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）＞0，∴＞1，即f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；（3）由（2）知，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；∴当x∈[﹣2，0]时，f（﹣2）==2，f（0）=；∴函数f（x）在[﹣2，0]上的值域是[，2]．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，单调性的证明，以及利用函数的单调性求函数值域的问题，是综合题．12．（2011•福建模拟）如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论【分析】（1）间接法求f（a），利用f（a）=S△AB'C =S梯形AA'C'C ﹣S△AA'B'﹣S△CC'B'求出f （a）的值，直接法求g（a）=AC•BB′．（2）比较f（a）与g（a）的大小，用作差法，化简f（a）﹣g（a）到因式乘积的形式，判断符号，从而比较大小．【解答】解：（1）连接AA′、BB′、CC′，则f（a）=S△AB'C =S梯形AA'C'C ﹣S△AA'B'﹣S△CC'B'===（），g（a）=S△A′BC′=AC•BB′=BB′=，==，∴f（a）＜g（a），【点评】本题考查幂函数的应用，不等式比较大小的方法，体现转化的数学思想．13．（2011秋•高安市校级期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范围．【分析】（1）幂函数y=xα的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．则必须满足α为偶数且α＜0，则易得m的值．（2）再根据幂函数y=xα的单调性，求满足的a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数在（0，+∞）上递减，∴m2﹣2m﹣3＜0即﹣1＜m＜3，又m∈N*∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，∴m2﹣2m﹣3为偶数，故m=1为所求．（2）函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数∴等价于a+1＞3﹣2a＞0或0＞a+1＞3﹣2a或a+1＜0＜3﹣2a，解得故a的取值范围为【点评】幂函数y=xα，α＜0时则为减函数；α＞0时，幂函数为增函数．要注意α的不同，其定义域是不同的．解不等式时要注意．14．（2010秋•如东县期末）已知幂函数y=f（x）经过点，（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0．【分析】（1）设y=x a，代入可得a值，从而得到幂函数的解析式．（2）根据函数解析式求出定义域，在考查f（﹣x）与f（x）的关系，依据函数奇偶性的定义作出判断．（3）将不等式化为f（3x+2）＞f（4﹣2x），分3x+2与2x﹣4都是正数、都是负数、异号三种情况，依据函数的单调性及函数值范围列出不等式组，最后把各个不等式组的解集取并集．【解答】解：（1）设y=x a，代入，得a=﹣1，∴．（2）定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞），又，∴f（x）为奇函数．单调区间（﹣∞，0），（0，+∞）（3）由f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0得f（3x+2）＞﹣f（2x﹣4），即f（3x+2）＞f（4﹣2x），①当3x+2＞0，4﹣2x＞0时，∴，②当3x+2＜0，4﹣2x＜0时，，x无解，③当3x+2与4﹣2x异号时，，x＞2，综上所述，或x＞2．【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式、奇偶性，求函数单调区间、定义域，以及利用单调性、奇偶性解不等式．15．（2010秋•盐城校级期末）已知幂函数f（x）=x a和对数函数g（x）=log a x，其中a为不等于1的正数（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，且函数y=g（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上总有|y|≤2，求a的取值范围．【分析】（1）将点的坐标代入幂函数解析式求出α，据α＞0，幂函数单调递增．（2）求出函数的解析式，根据0＜a＜1时，对数函数单调递减，求出函数的最值，列出不等式求出a的范围．【解答】解：（1）∵幂函数的图象过点（27，3），∴3=27α∴，∴故函数在（﹣∞，+∞）上是单调增函数（2）y=g（x+3）=log a（x+3）∵0＜a＜1，∴y=log a（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上单调递减所以当x=﹣2时y取得最大值0，当x=﹣1时y取得最小值log a2∵|y|≤2∴﹣log a2≤2【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、幂函数的性质、对数函数的单调性及解对数不等式．16．（2007秋•虹口区校级期末）已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过m∈Z，求出m的值，写出函数的解析式．（2）利用函数的性质，函数的定义域，把不等式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集．【解答】解：（1）幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，因为m∈Z，所以m=2；函数的解析式为：f（x）=x﹣4．（2）不等式f（x+2）＜f（1﹣2x），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，所以|1﹣2x|＜|x+2|，解得，又因为1﹣2x≠0，x+2≠0所以，【点评】本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的解法，注意转化思想的应用．17．已知函数f（x）=（m﹣1）为幂函数，g（x）=x+f（x）．（1）求证：函数g（x）是奇函数；（2）根据函数单调性定义证明：函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．【分析】（1）因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有，m﹣1=1，函数f（x）=（m ﹣1）才是幂函数，据此得出m．然后再证明其是奇函数；（2）根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）有f（x）为幂函数，得m﹣1=1，∴M=2，∴f（x）=，（x≠0），∴g（x）=，由g（﹣x）=（﹣x）+=﹣（），∴函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数；（2）设任意的x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，∴g（x1）﹣g（x2）=（=，由x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，得：x1﹣x2＞4，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．【点评】本题主要考查幂函数的定义，函数的单调性，属于基础题．18．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．【分析】（1）由幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．可得﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3为偶数，解出即可得出．（2）函数g（x）=+2x+c=x2+2x+c，g（x）＞2，化为c＞﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3，依题意，c＞[﹣（x+1）2+3]max．【解答】解：（1）∵幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．∴﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3为偶数，解得m=1，∴f（x）=x4．（2）函数g（x）=+2x+c=x2+2x+c，g（x）＞2，化为c＞﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3≤3．∵g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，∴c＞[﹣（x+1）2+3]max=3，当且仅当x=﹣1时取等号．∴实数c的取值范围是c＞3．【点评】本题考查了幂函数的性质、恒成立问题的等价转化方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
幂函数测试题(含答案)
幂函数测试题(含答案)一、选择题1、•等于A.－B.－C.D.2、已知函数f（x）=则f（2+log23）的值为A.B.C.D.3、在f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=logx四个函数中，x1＞x2＞1时，能使［f（x1）+f（x2）］＜f（）成立的函数是A.f1（x）=xB.f2（x）=x2C.f3（x）=2xD.f4（x）=logx4、若函数y(2-log2x)的值域是(-∞,0),那么它的定义域是()A.(0,2)B.(2,4)C.(0,4)D.(0,1)5、下列函数中，值域为R+的是（）（A）y=5（B）y=()1－x（C）y=（D）y=6、下列关系中正确的是（）（A）（）（C）（）7、设f:x→y=2x是A→B的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足（）A.A={1，2，4，8，16}B.A={0，1，2，log23}C.A{0,1,2,log23}D.不存在满足条件的集合8、已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数是减函数。
若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是A．a≤1B．a9、已知函数f(x)=x2+lg(x+),若f(a)=M,则f(-a)=()A2a2-MBM-2a2C2M-a2Da2-2M10、若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）A．m≤－1B．－1≤m11、方程的根的情况是（）A．仅有一根B．有两个正根C．有一正根和一个负根D．有两个负根12、若方程有解，则a的取值范围是（）A．a>0或a≤－8B．a>0C．D．二、填空题：13、已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log（3－x）］的定义域是__________.14、若函数f(x)=lg(x2+ax－a－1)在区间［2,+∞］上单调递增,则实数a 的取值范围是_________.15、已知.16、设函数的x取值范围.范围是。
三、解答题17、若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）. （1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？18、已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y=f－1（x）图象上的点.（1）求实数k的值及函数f－1（x）的解析式；（2）将y=f－1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2f－1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.19、已知函数y=(a2x)•()(2≤x≤4)的最大值为0，最小值为－，求a的值.20、已知函数，（1）讨论的奇偶性与单调性；（2）若不等式的解集为的值；（3）求的反函数；（4）若，解关于的不等式R）.21、定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k•3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．22、定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的奇函数,且当x∈(0,1)时, f(x)=.(Ⅰ)求f(x)在-1,1]上的解析式;(Ⅱ)证明f(x)在(0,1)上时减函数;(Ⅲ)当λ取何值时,方程f(x)=λ在-1,1]上有解?参考答案：1、解析：•=a•（－a）=－（－a）=－（－a）.答案：A2、解析：∵3＜2+log23＜4，3+log23＞4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=（）3+log23=.答案：D3、解析：由图形可直观得到：只有f1（x）=x为“上凸”的函数.答案：A4、解析:∵y=(2-log2x)的值域是(-∞,0),由(2-log2x)1.∴log2x答案:A5、B6、解析：由于幂函数y=在（0，+）递增，因此（）答案:D7、C8、命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题q为真时，。
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1.对于幂函数f(x)=，若0＜x1＜x2，则，的大小关系是( )A．＞B．＜C．=D．无法确定【答案】A【解析】可以根据幂函数f(x)＝在（0，+∞）上是增函数，函数的图象是上凸的，则当0＜x1＜x2时，应有＞，由此可得结论．【考点】函数的性质的应用.2.下列说法正确的是（）A．幂函数的图象恒过点B．指数函数的图象恒过点C．对数函数的图象恒在轴右侧D．幂函数的图象恒在轴上方【答案】C【解析】幂函数的图象恒过点，A错；指数函数的图象恒过点，B错；幂函数的图象恒在轴上方，反例，D错.【考点】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的图像、性质.3.若幂函数在上是增函数，则=_________．【答案】【解析】因为函数为幂函数，由幂函数的定义可知，，解得或，当时，，在上是增函数，符合题意；当时，，在上是减函数，不符合题意，所以．【考点】本题考查的知识点是幂函数的定义及其性质．4.已知A有限集合，，若的子集个数分别为，且，则 __．【答案】2【解析】不妨设集合A中的元素个数为，则集合B中的元素个数有,所以，，因此，故所求的值为2.【考点】1.集合的元素个数；2.整数幂的运算.5.下列幂函数中过点，的偶函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于幂函数，当是偶数时，它是偶函数，排除A和D；当时，幂函数不通过原点，排除C.【考点】幂函数的性质6.已知幂函数为实常数）的图象过点(2，)，则= .【答案】4【解析】因为幂函数为实常数）的图象过点(2，)，所以，所以【考点】本小题主要考查幂函数的定义和求解.点评：幂函数是形式定义，的系数为1，经常用这条性质解题.7.已知幂函数在增函数，则的取值范围 .【答案】(0,10)【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。
高三数学幂函数试题
高三数学幂函数试题1.已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若当x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．【答案】－7≤a≤2.【解析】解：f(x)＝x2＋ax＋3－a＝(x＋)2－＋3－a.①当－<－2，即a>4时，f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0，∴a≤，又a>4，故此时a不存在．②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝f(－)＝3－a－≥0，∴a2＋4a－12≤0.∴－6≤a≤2.又－4≤a≤4，∴－4≤a≤2.③当－>2，即a<－4时，f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥－7.又a<－4，故－7≤a<－4.综上得－7≤a≤2.2. [2014·温州模拟]若幂函数f(x)的图象经过点，则其定义域为() A．{x|x∈R，且x＞0}B．{x|x∈R，且x＜0}C．{x|x∈R，且x≠0}D．R【答案】A【解析】设f(x)＝xα，∴3α＝，α＝－，f(x)＝x－，∴其定义域为{x|x＞0}，选A项．3.已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则log2f(2)的值为()．A．B．－C．2D．－2【答案】A【解析】设幂函数f(x)＝xα，则f＝α＝，解得α＝，所以f(x)＝.∴log2f(2)＝log2＝.4.设，则使函数的值域为且为奇函数的所值为（）A．，B．，C．，D．，，【答案】A.【解析】从奇函数角度可得的可能值为-1,1,3.又因为值域为R.由于的值域为.所以不符合条件.另外函数的值域都为R.所以选A.【考点】1.幂函数的性质.2.指数的不同取值的函数图像.5.函数由确定，则方程的实数解有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】因为，所以.方程为：，化简得，其根有3个，且1不是方程的根.【考点】幂的运算，分式方程的求解.6.幂函数图象过点，则A．B．3C．D．【答案】A【解析】因为幂函数图象过点，则，选A.7.幂函数的图像经过点，则的值为。
幂函数与指数方程的综合试题
幂函数与指数方程的综合试题1. 计算下列幂函数的定义域和值域：a) $f(x) = x^2, x \in \mathbb{R}$b) $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x, x \in \mathbb{R}$c) $h(x) = \left(-\frac{1}{3}\right)^x, x \in \mathbb{R}$解析：a) 定义域：$x \in \mathbb{R}$值域：$f(x) \geq 0, f(x) \in \mathbb{R}$b) 定义域：$x \in \mathbb{R}$值域：$g(x) > 0, g(x) \in (0, +\infty)$c) 定义域：$x \in \mathbb{R}$值域：$h(x) > 0, h(x) \in (0, +\infty)$2. 解下列指数方程：a) $2^x = 8$解析：将8表示成2的幂，即8 = 2^3，则方程可变形为：$2^x = 2^3$根据指数函数的性质，当底数相等时，指数相等，因此可得：$x = 3$b) $3^{2x} = 27$解析：将27表示成3的幂，即27 = 3^3，则方程可变形为：$3^{2x} = 3^3$同样根据指数函数的性质，可得：$2x = 3$解得：$x = \frac{3}{2}$3. 解下列幂函数方程：a) $x^4 = 81$解析：将81表示成x的幂，即81 = (x^2)^4，则方程可变形为：$(x^2)^4 = 3^4$根据幂函数的性质，可得：$x^2 = 3$解得：$x = \sqrt{3}$ 或 $x = -\sqrt{3}$b) $2^{3x} = 16$解析：将16表示成2的幂，即16 = 2^4，则方程可变形为：$2^{3x} = 2^4$同样根据幂函数的性质，可得：$3x = 4$解得：$x = \frac{4}{3}$4. 综合题：已知幂函数 $y = 2^x$，求解以下问题：a) 当 $y = \frac{1}{8}$ 时，求 $x$ 的值。
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天台县培新中学2008学年高一年级数学
《基本初等函数》测试题
一、选择题：本大题共15小题，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、下列函数是幂函数的是………………………………………………………………（ ） Ａ、2
2y x = B 、3
y x x =+ C 、3x
y = D 、12
y x = 2、计算
331
log 12log 22
-=……………………………………………………………（ ）
A.
B. C. 2
1
D.3
3、设集合 等于 （ ）
A ．}1|{>x x
B ．}0|{>x x
C ．}1|{-<x x
D ．}11|{>-<x x x 或 4、若210,5100
==b a
，则b a +2=………………………………………………（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
5
、函数 …………………………………………………( )
A ．（
21，+∞） B ．［1，+∞) C ．（2
1，1] D ．（－∞，1） 6、已知f(x)=|lgx|,则11
()()(2)43f f f 、、的大小关系是……………………………（ ）
A. )41()31()2(f f f >>
B. )2()31
()41(f f f >>
C. )31()41()2(f f f >>
D. )2()4
1
()31(f f f >>
7、方程：lg lg(3)1x x +-=的解为x = （ ） A 、5或-2 B 、5 C 、-2 D 、无解
8、若集合x
P={y|y=2,x R}∈，2
M={y|y=x ,x R}∈，则下列结论中正确的是…（ ）
A.M ∩P={2，4}
B. M ∩P ={4，16}
C.M=P
D.P M 9、已知()log a f x x =，()log b g x x =，()log c r x x =
，
B
A x x
B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{2
()log d h x x =的图象如图所示则a,b,c,d 的大小为 （ ）
A.c d a b <<<
B.c d b a <<<
C.d c a b <<<
D.d c b a <<<
10．在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 （ ）
A 、52a a ><或
B 、2335a a <<<<或
C 、25a <<
D 、34a <<
11、已知2
)(x
x e e x f --=，则下列正确的是………………………………………（ ）
A ．奇函数，在R 上为增函数
B ．偶函数，在R 上为增函数
C ．奇函数，在R 上为减函数
D ．偶函数，在R 上为减函数 12、已知03
1
log 31log >>b a
，则a,b 的关系是……………………………………（ ） A 1<b<a B 1<a<b C 0<a<b<1 D 0<b<a<1
13、世界人口已超过56亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个………………………………………………………………………………………（ ）
A ．新加坡（270万）
B ．香港（560万）
C ．瑞士（700万）
D ．上海（1200万） 14、若函数 ()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ）
A 、
4 B 、2 C 、14 D 、1
2
15、已知0<a <1，则函数x
y a =和2
(1)y a x =-在同坐标系中的图象只能是图中的
二、 填空题．(每小题3分)
16．函数(2)x
y a =-在定义域内是减函数，则a 的取值范围是 。
17．若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________． 18．已知函数)]91
(f [f ,)0x (20)(x x log )x (f x
3则，
，⎩⎨
⎧≤>=的值为
19、函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点 20．幂函数()f x
的图象过点，则()f x 的解析式是 __
21、a
4
log 15
<，则a 的取值范围是_________________________． 三、解答题 (每题都要求写出详细的解答过程) 22、求下列各式中的x 的值(共15分，每题5分)
1)1x (ln )1(<- 0231)2(x
1<-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-
23、求下列各式的值：(共10分，每题5分) （1）log 2.56.25＋lg 100
1
＋ln （e e ）＋log 2（log 216） （2）245lg 8lg 3
44932lg 21+-
1.a 0a ,1)3(2
1
2≠>⎪⎭
⎫ ⎝⎛>--且其中x x a a
24、用定义证明：函数2
1
()2f x x x -=+在(0,1]上是减函数。
（6分）
25、已知函数1])2
1[(
log )x (f x
2
1-=， （1）求f(x)的定义域； （5分） （2）讨论函数f(x)的增减性。
（5分）
26．设函数22()log (4)log (2)f x x x =⋅,
1
44
x ≤≤,
(1) 若t=log 2x ,求t 取值范围; （5分）
(2) 求()f x 的最值，并给出最值时对应的x 的值。
（6分）
参考答案：
一、选择题
DCABC BBDAD ADDAD 二、填空题
16．（1，2） 17。
a b a -+12 18。
4
1
19．（1，2） 20。
x y = 21。
（0，
5
4
）),1(+∞⋃ 三、解答题
22．解：（1）⎩⎨
⎧〈-〉-e
x x 10
1 所以 11+〈〈e x
（2）2311〈⎪
⎭
⎫
⎝⎛-x
2log 13〉-x 即2log 13+〈x
（3）当x x x a 即-〉-〈〈212,101〉 当〈-〈-〉x x x a 即212,11
23．解：（1）原式=2-2+
4log 232+=2
7 （2）原式=)42457
32lg(245lg 8lg 732lg 32
÷⨯=+- =2
1
10lg =
24．证明：设]1,0(,,2121∈〈x x x x 且则， ()()=-21x f x f 22
1+x 1
22
21
12----x x x
=()
()()02112212112212
22
1〉⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x x x x x x x x
所以()1
2
2-+=x x x f 在(]1,0上是减函数。
25．解：（1）0,0121<>-⎪⎭
⎫
⎝⎛x x
即。
定义域为{}
0<x x
（2）是减函数121-⎪⎭
⎫
⎝⎛=x
y ，
()x
x f 2
1log =是减函数。
())0,(121log 21-∞⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴在x x f 是增函数。
26．解：（1）44
1
,log 2≤≤=x x t 4log 4
1
log 22
≤≤∴t 即22≤≤-t
（2）()2log 3log 22
2++=x x x f
x t 2
l o g =∴令，则，4123232
2
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++=t t t y 23
22,23l o g 23-=-
=-=∴x x t 即当时，()4
1
min -=x f 当()12,42max ===x f x t 时即。