初三九年级数学冀教版 第26章 解直角三角形 专训2 巧用构造法求几种特殊角的三角函数值
【最新冀教版精选】冀教初中数学九上《26.3 解直角三角形》PPT课件 (2).ppt
解：(1)过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，由图得，∠ABC＝75°－15°＝ 60°.在 Rt△ABD 中，∵∠ABC＝60°，AB＝100，∴BD＝50，AD＝50 3， ∴CD＝BC－BD＝200－50＝150，在 Rt△ACD 中，由勾股定理得：AC ＝ AD2＋CD2＝100 3≈173(km) (2)在△ABC 中，∵AB2＋AC2＝1002 ＋(100 3)2＝40000，BC2＝2002＝40000，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC ＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.答：点 C 位于 点 A 的南偏东 75°方向．
解：过点 E 作 EC⊥AB 于点 C，在 Rt△ACE 中，∠CEA＝60°， CE＝BD＝6 米，tan∠AEC＝ACCE，∴AC＝∠CE·tan∠AEC＝6tan60° ＝6 3(米)．∴AB＝AC＋BC＝6 3＋1.5≈10.39＋1.5＝11.89≈11.9(米)
2．(2014·烟台)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤 AC 的坡角为 30°， AC 长3 23米，钓竿 AO 的倾斜角是 60°，其长为 3 米，若 AO 与钓鱼线 OB 的夹角为 60°，求浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离．
解：在 Rt△BCD 中，∵∠BCD＝90°－30°＝60°，∴CBDD＝tan60
°，则 BD＝ 3CD，在 Rt△ABD 中，∵∠ABD＝60°，∴ABDD＝tan60
40＋CD
°.即
＝
3CD
3.解得
CD＝20.∴BD＝20
3.∴t＝B5D＝4
3≈7.即约
7
秒钟后灰太狼才能抓到懒羊羊
8．如图所示，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60 °，沿山坡向上走到 P 处又测得点 C 的仰角为 45°，已知 OA＝100 m， 山坡坡度为12(即 tan∠PAB＝12)，且 O，A，B 在同一条直线上，求电视塔 OC 的高度以及此人所在的位置点 P 的铅直高度．(测倾器的高度忽略不 计，结果保留根号形式)
冀教版九年级上册数学第26章 解直角三角形 解直角三角形
2 2 2
30
2
4
. 4
30 14 30 14
CD BD
.
44
4
总结
知3－讲
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角 形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种 “化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知 条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线， 则∠B的正弦值就无法利用．
由由scionsAA＝＝得得ab＝＝cc··scionacsAA,＝＝110000··scinos2266°°4444′≈′≈4849.9.381. . b , c
知2－练
1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， AB＝8，则BC的长是( )
2 A. B．4
43 3 C．D3．
83 43
5. 解直角三角形的类型： （1）已知两边解直角三角形 （2）已知一边及一锐角解直角三角形 已知两边解直角三角形 已知斜边和一条直角边解直角三角形
知1－讲
知1－讲
例2已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角 形的其他元素．(角度精确到1′) 导引求：这个直角三角形的其他元素，与“解这个直角三角 形”的含义相同．求角时，可以先求∠A，也可以先
1.必做:完成教材P115练习T1-T2， P116习题A组T1-T3，B组T1-T2 2.补充:
知2－练
2 在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，
3 则a等于( )
4 A. B. 3
3
5 C．6D3 .
3
2
知3－讲
知识点 3 已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形
第26章解直角三角形复习与小结-冀教版数学九年级上册课件
知识运用
2.某兴趣小组借助无人机航拍校园，如图，无人机从A处水 平飞行至B处需8s,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰 角为75°,B处的的仰角为30°.已知无人机的飞行速度为 4m/s,求这架无人机的飞行高度.（结果保留根号）
A
32
B
30°
45° E
30°
C
FD
88 3
提升训练
1.已知：AB=2，AC=4，∠CAB=120°,求BC的长.
C
D
AE
B
图1
知识运用
1.在日常生活中我们经常使用订书机.如图，AB是订书机的托 板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E从A
向B处滑动，在滑动过程中，DE的长保持不变.已知BD= 5 2cm.
C
AE
D
M 图1
分析：做DM AB于点M
在RtDMB中，B 45，BD 5 2
B
可得，DM BM 5. 在RtDME中，DM 5.EM 15 5 10
知识回顾 三、解直角三角形的应用 2.用途 求建筑物或物体的高度 求河宽或物体的长度，或两点间的距离
求坡角或其他角度
......
知识运用
1.在日常生活中我们经常使用订书机.如图，AB是订书机的托
板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E从A
向B处滑动，在滑动过程中，DE的长保持不变.已知BD= 5 2cm.
由勾股定理可得，DE 5 5
知识运用
1.在日常生活中我们经常使用订书机.如图，AB是订书机的托
板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E从A
向B处滑动，在滑动过程中，DE的长保持不变.已知BD= 5 2cm.
冀教版数学九年级上册《26.3 解直角三角形》教学设计
冀教版数学九年级上册《26.3 解直角三角形》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册《26.3 解直角三角形》是学生在掌握了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识的基础上，进一步研究直角三角形的解法。
本节内容通过探讨直角三角形的边角关系，引导学生掌握解直角三角形的方法，培养学生解决实际问题的能力。
教材内容主要包括直角三角形的定义、解直角三角形的方法及其应用。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识，具备一定的数学基础。
但解直角三角形的方法及应用还需学生在实践中逐步掌握。
此外，学生对于实际问题的解决能力有待提高，因此在教学过程中，教师需要注重引导学生将所学知识应用于实际问题中。
三. 教学目标1.理解直角三角形的定义，掌握解直角三角形的方法。
2.能够运用解直角三角形的方法解决实际问题。
3.培养学生的空间想象力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的定义，解直角三角形的方法。
2.难点：如何将解直角三角形的方法应用于实际问题中。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究直角三角形的性质和解法。
2.运用实例分析法，让学生在实际问题中体验解直角三角形的方法。
3.采用合作学习法，培养学生团队合作、共同解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关课件、教学素材及实例问题。
2.准备直角三角形模型或挂图，以便学生直观地理解。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例问题，引导学生回顾锐角三角函数的知识，为新课的学习做好铺垫。
例如：一个木工师傅要做一个直角三角形木板，已知两个锐角分别为30°和60°，请学生求解该木板的三条边长。
2.呈现（10分钟）介绍直角三角形的定义，引导学生掌握直角三角形的性质。
通过展示直角三角形模型或挂图，让学生直观地理解直角三角形的特征。
3.操练（10分钟）讲解解直角三角形的方法，如：勾股定理、锐角三角函数等。
冀教版数学九年级上册《26.3解直角三角形》教学设计1
冀教版数学九年级上册《26.3 解直角三角形》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级上册《26.3 解直角三角形》是本册教材的重要内容，主要让学生掌握直角三角形的性质和解法。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行学习的，通过本节内容的学习，使学生能灵活运用直角三角形的性质解决实际问题，为学习进一步的数学知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，对于如何灵活运用直角三角形的性质解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，逐步掌握解直角三角形的方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握直角三角形的性质和解法，能灵活运用直角三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等环节，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质和解法。
2.难点：如何灵活运用直角三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.自主学习法：引导学生通过自主学习，掌握直角三角形的性质和解法。
2.合作交流法：学生进行小组合作，共同探讨解直角三角形的方法。
3.实例分析法：通过列举实际问题，让学生学会运用直角三角形的性质解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学素材，如直角三角形的图形、实际问题等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾锐角三角函数的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示直角三角形的图形，引导学生观察并总结直角三角形的性质。
同时，教师给出一个实际问题，让学生尝试解决。
3.操练（10分钟）教师引导学生运用直角三角形的性质解决问题，学生进行自主练习，教师巡回指导。
4.巩固（10分钟）教师给出一些有关直角三角形的练习题，学生独立完成，教师进行讲解和点评。
冀教版九年级上册数学教学课件(第26章 解直角三角形)
12
解：由勾股定理
2 2 2
B
2
13
A
BC 5 sin A BC AB AC 13 12 5 AB 13 AC 12 BC 5 cos A tan A AB 13 AC 12 BC 5 tan B AC 12 cos B BC 5 AB 13
B
（2）在Rt△ABC中， 求sinA就 是要确定∠A 的对边与斜边 的比；求sinB 就是要确定 ∠B的对边与 斜边的比
BC 5 sin A AB 13
AC AB2 BC2 132 52 12
3
A 4 C
B
5 13 A
sin B
AC 12 AB 13
C
二 余弦
学习目标
1.理解并掌握正弦的定义，会求一个角的正弦值.(重点)
2.理解并掌握余弦的定义，会求一个角的余弦值. (重点)
3.会推导特殊角的正弦和余弦值，并熟记这些特殊值.（难点
）
导入新课
观察与思考 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡 铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行 喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出 水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
1.复习并巩固锐角三角形函数的相关知识. 2.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算. (重点) 3.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.（难点）
导入新课
回顾与思考
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角α
三角函数
30°
1 2
45°
2 2
60°
3 2
sin α
九年级数学上册第26章解直角三角形26.3解直角三角形导学课件新版冀教版
两边
两条直 角边a 和b
c＝ a2＋b2，tanA＝ab，∠B＝90°－∠A
直角边a 和斜边c
sinA＝ac，∠B＝90°－∠A，b＝ c2－a2
26．3 解直角三角形
目标二 会求非直角三角形的边长或角度
例2 [教材补充例题]如图26－3－2，在△ABC 中，AB＝ 10，AC＝14，∠B＝60°，求BC的长．
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/10
最新中小学教学课件
13
谢谢欣赏！
2019/7/10
最新中小学教学课件
14
26．3 解直角三角形
[归纳总结]解直角三角形的四种基本类型和解法 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的 对边，解Rt△ABC时通常有以下几种类型：
已知条件
解法
直角边a 一边及一锐角 及锐角A
∠B＝90°－∠A，b＝taanA，c＝sianA
斜边c 及锐角A
∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
26．3 解直角三角形
反思
3 已知在△ABC 中，AB＝5，sinB＝5，AC＝4，求 BC 的长．
解：如图 26－3－3，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.∵AB＝5，sinB＝35＝
冀教版数学九年级上册26.3《解直角三角形》教学设计
冀教版数学九年级上册26.3《解直角三角形》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册26.3《解直角三角形》是本册教材中的一个重要内容。
在此之前，学生已经学习了锐角三角形和钝角三角形的相关知识，解三角形的方法也已有了一定的了解。
本节内容主要让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理求解直角三角形的边长，以及会用正弦、余弦、正切函数值求解直角三角形的角度。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形有了一定的了解。
但是，对于直角三角形的性质和应用，部分学生可能还不是很清楚。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，自主探索直角三角形的性质，提高他们的几何思维能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理，会用正弦、余弦、正切函数值求解直角三角形的角度。
2.学会用直角三角形的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的合作交流意识，提高学生的几何思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握勾股定理，会用正弦、余弦、正切函数值求解直角三角形的角度。
2.教学难点：理解直角三角形的性质，会用直角三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，自主探索直角三角形的性质。
2.案例分析法：分析实际问题，让学生学会用直角三角形的性质解决实际问题。
3.小组合作学习：培养学生的合作交流意识，提高学生的几何思维能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示直角三角形的性质和应用。
2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习。
3.直角三角形模型：准备一些直角三角形模型，方便学生观察和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示直角三角形的图片，引导学生回顾直角三角形的定义，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用课件详细讲解直角三角形的性质，让学生直观地感受直角三角形的特征。
同时，介绍勾股定理，并解释其应用。
2024年冀教版九年级上册教学第二十六章 解直角三角形第二十六章 解直角三角形
一、单元学习主题本单元是“图形与几何”领域“图形的变化”主题中的“解直角三角形”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题.学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.图形的变化是图形与几何领域的主要内容,它在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位.本单元的学习内容解直角三角形是在学习了函数、相似三角形的基础上,对直角三角形的边角之间的关系进行探究,从而利用这些关系来解直角三角形,才能把直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边角之间的数量关系统一起来.通过研究直角三角形中各元素之间的关系,并把这种关系用数量的形式表示出来,是学生经历数学抽象的过程.通过本章的学习,使学生进一步感受数形结合的思想,体会数形结合的方法.同时本章突出了学以致用,加强与实际问题的联系,解直角三角形的知识,可以广泛应用于测量、工程技术和物理之中,具有综合技术教育价值,有助于学生学科融合,综合能力的提升,感受数学的价值.2.本单元教学内容分析冀教版教材九年级上册第二十六章“解直角三角形”,本章包括四个小节:26.1锐角三角函数;26.2锐角三角函数的计算;26.3解直角三角形;26.4解直角三角形的应用.本单元内容包括探索直角三角形的边角关系、特殊角三角函数值和锐角三角函数的应用举例三个方面.本章的学习重点是锐角三角函数的概念和利用锐角三角函数解决简单的实际问题,难点是把实际问题抽象为数学问题,建立合适的数学模型,探索解决问题的有效方法.在建立锐角三角函数概念时,关注从特殊到一般的归纳方法,充分体现了锐角三角函数的抽象过程,让学生感悟和理解锐角三角函数的意义,更好地用锐角三角函数解决实际问题,同时逐步渗透“数形结合”的思想.直角三角形中边与角之间的关系,是现实世界中应用广泛的关系之一,它是联系几何与代数的桥梁,在解决现实问题中有着重要的作用.本单元的内容是直角三角形知识的重点部分之一,也是解决数学问题和利用数学知识解决实际问题的有效工具.三、单元学情分析本单元内容是冀教版数学九年级上册第二十六章解直角三角形,“三角形”“勾股定理”“相似三角形”单元已经让学生了解了直角三角形的相关知识,知道了直角三角形角与角,边与边的之间的关系,掌握了三角形的相似、推理证明等知识,为本单元的学习打下了一定的基础.本章基于学生生活经验直观感受,教师引导学生进行简单的演算、比较、推理,教师采用教育技术实验的方法,借助几何画板,通过几何直观,帮助学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实存在着一定的关系,最终探索出:在直角三角形中,一个锐角的对边与邻边的比是随锐角角度的变化而变化的.在问题解决的过程中,要渗透数形结合的数学思想,发展学生的几何直观能力和符号感.由于不同学生对问题的理解是不一样的,所以应尊重学生间的差异,不要急于否定学生的答案,而要鼓励学生开展讨论,给学生提供成果展示的机会,培养学生的交流能力及学习数学的自信心.结合学生身边的数学现象,依据初中学生身心发展的特点,激发学生的求知欲.为了突破教学难点,教学活动中运用了直观教学、几何画板动态演示和验证、几何推理等方法,既直观地呈现了知识的内在联系,培养了学生的几何直观能力,又唤起和加深了学生对教学内容的体会和理解,让学生更进一步体验了数学的实用性,加深了数学和实际生活的联系.四、单元学习目标1.利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sin A,cos A,tan A),知道30°,45°,60°角的锐角三角函数值.2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的对应锐角.3.能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际问题,提高运用数学知识分析和解决实际问题的能力.4.发展运用数学知识分析和解决问题的能力,增强几何直观、模型观念和应用意识.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.根据以上建议,本单元作业课后设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
九年级数学上册第26章解直角三角形2解直角三角形的应用第2课时教学课件新版冀教版
，常写成i=1∶
m的情势如
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
试一试 小华同学去坡度为1︰2的土坡上种树，要求株距(相邻 两树间的水平距离)是4m，斜坡上相邻两树间的坡面距 离为__2 _5__m
B
C 4m A典型例题例 Nhomakorabea 如图26-4-5所示，铁路路基的横断面为四边形 ABCD，其中，BC//AD, ∠A=∠D,根据图中标出的数 据计算路基下底的宽和坡角. （结果精确到1′）
sinA＝ a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
P α β
450
O P
O
45°
B
30°
A C
30° 60° A
45° 2200米 45°
B
30°
B
P
450
O
45°
A
P
45°°
3300°°
O
202000米
D
B
生活中图例1
生活中图例2
情境创设
如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?
解：如图26-4-6 ，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为 E,F.
在四边形BEFC中， ∵BC//AD，∠AEB=∠DFC=90° ∴四边形BEFC为矩形 ∴BC=EF,BE=CF
在Rt△ABE和Rt△DCF中， ∵∠A=∠D，∠AEB=∠DFC，BE=CF ∴Rt△ABE≌Rt△DCF ∴AE=DF 在Rt△ABE中， tan BE 1 4 ，BE=4
AE 1.25 5
∴ ，AE=5 ∴AD=AE+EF+FD=BC+2AE=10+2×5=20 即路基下底的宽为20 m,坡角约为38°39′.
冀教版九年级数学上册第26章《解直角三角形》教案
第二十六章解直角三角形1.理解锐角三角函数的概念,并能通过实例进行说明.2.能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能解决含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算.3.能够正确地使用计算器,由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角.4.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形.5.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题,并能对相关知识进行综合应用.1.通过探究锐角正弦、余弦、正切概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.2.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.3.通过在直角三角形中探究三角函数与边长、角之间的数量关系,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.4.综合运用所学知识解决和直角三角形有关的计算,逐步提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生思维能力的灵活性.5.经历从实际问题中建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力,进一步感受数形结合思想在数学中的应用.1.通过引导学生参与体验数学活动,让学生学会用数学思维方式思考、发现问题,提高数学思维能力.同时体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.2.通过主动探究,合作交流,培养学生的团队精神,增强合作意识,同时让学生体验成功的快乐.3.让学生经历观察、操作等数学活动,探索三角函数有关知识,锻炼克服困难的意志,建立自信心.4.在探索直角三角形中边角关系的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.5.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生认真思考等学习习惯,形成事实求是的科学态度.本章《锐角三角函数》是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容,是初中阶段研究三角形部分的最后阶段,主要研究锐角三角函数的概念、求锐角三角函数的值,以及锐角三角函数的简单应用.它是在学习了函数、相似三角形的基础上,对直角三角形中边角之间的关系的进一步研究,属于三角学中的最基础的内容,而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,所以本章的学习是为高中数学中三角函数等知识的学习做好准备.本章内容是在前面研究了直角三角形中勾股定理、两个锐角之间的关系的基础上,进一步研究边角之间的关系,本章中只有正确了解锐角三角函数的概念,才能真正理解直角三角形中边角之间的关系,从而利用这些关系来解直角三角形,这样才能把直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边角之间的数量关系统一起来.锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具,解直角三角形在实际生活中有着广泛的应用,这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会,研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论,解直角三角形主要依据锐角三角函数和勾股定理等内容,因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的基础.通过本章的学习,使学生全面掌握直角三角形的组成元素之间的关系,并综合运用已学知识解决与直角三角形有关的度量问题,进一步培养学生的推理能力、运算能力和数学建模思想.本章重点是锐角三角函数的概念、解直角三角形及三角函数的简单应用.通过研究直角三角形中各元素之间的关系,并把这种关系用数量关系的形式表示出来,使学生经历数学抽象的过程,通过本章的学习,使学生进一步感受数形结合的思想,体会数形结合的方法.直角三角形中边角之间的关系在解决实际问题中有着重要的作用,现实生活中距离、高度、角度等计算问题,常常应用到解直角三角形的知识,使学生进一步感受数学建模思想在实际生活中的应用.【重点】正弦,余弦,正切概念、特殊角的三角函数值、会解直角三角形、能利用三角函数有关知识解决实际问题.【难点】把实际问题转化为直角三角形中的问题,并通过锐角三角函数解决问题.1.组织学生积极参与课堂教学活动,根据问题情境,让学生在独立思考的基础上,鼓励学生在小组间通过合作与交流的方式解决问题.2.关于锐角三角函数概念的教学,应注重创设符合学生实际的问题情境,从实际问题出发,让学生经历建立概念的过程,使学生感受数学与现实的联系.3.引导学生观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系,鼓励学生有条理地进行思考和表达.在观察、操作和推理的过程中,使学生有意识地反思其中的数学思想方法.4.教师在学生活动的过程中,要鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,特别是学生与众不同的意见,要有意识地培养学生求异思维的能力和不断创新的欲望.5.关于锐角三角函数求值的教学,应以实际操作为主,通过求函数值,使学生加深对锐角三角函数概念的理解,让学生初步感受到锐角三角函数值随角度的变化而变化.6.对于锐角三角函数的应用,首先要引导学生弄清实际问题的意义,然后把实际问题转化为数学问题.同时,应注重数形结合思想方法的渗透,引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出思想方法.26.1锐角三角函数1.经历正切、正弦、余弦概念建立的过程,理解三角函数的意义.2.经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,能够进行有关推理,并能根据这些值说出对应的锐角度数.3.能熟练地计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式的值.4.能够根据直角三角形中的边角关系,进行简单的计算.1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程,探索直角三角形中边角关系的过程,体会现实生活与数学的联系.2.通过探究锐角正弦、余弦、正切概念的形成,养成善于观察、勤于思考的良好习惯,培养学生的归纳推理能力.3.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.4.通过推导特殊角的三角函数值,学会综合运用数学知识解决问题的能力.1.学生通过问题情境经历三角函数概念的形成过程,培养学生积极思考,勇于探索的精神.2.通过思考、发现、总结、验证等数学活动,提高学生数学思维能力.3.通过主动探究,合作交流,增强学生的合作意识,培养学生团队意识,同时让学生体验成功的快乐.4.在探索与三角函数有关的知识过程中,学生通过观察、操作获取知识,锻炼克服困难的意志,建立自信心.【重点】理解各三角函数的意义,会求锐角的各三角函数值;熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练地计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式的值.【难点】探索各三角函数值的概念;30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程.第课时1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角固定时,它的对边与邻边的比值是固定值,引出正切的概念.2.理解锐角正切的概念并能根据正切的概念进行计算.3.会计算特殊角的正切值.1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程,探索直角三角形中边角关系的过程,体会现实生活与数学的联系.2.经历正切概念的形成过程,培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力,养成善于观察、勤于思考的良好习惯,同时培养学生的归纳推理能力.1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.2.通过主动探究,合作交流,培养学生的合作意识,同时体验成功的快乐.【重点】理解正切函数的意义,并会求锐角的正切值.【难点】理解直角三角形中的锐角,它的对边与邻边的比值是固定值.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P104~106.导入一:【课件展示】如图所示,小明在距旗杆4.5 m的点D处,仰视旗杆顶端A,仰角(∠AOC)为50°;俯视旗杆底部B,俯角(∠BOC)为18°.旗杆的高约为多少米?【师生活动】教师展示章前页问题情境并简单说明,学生观察图示,教师引出本章课题.[导入语]通过测量仰角、俯角及小明与旗杆的距离,应用以前学过的数学知识,我们还不能求出旗杆的高度.通过本章的学习,你将能够解决这个问题.导入二:复习提问:1.直角三角形有哪些特殊性质?2.有一个锐角是30°的直角三角形有什么特殊性质?3.有一个锐角是45°的直角三角形有什么特殊性质?【师生活动】学生思考回答,教师点评.导入三:【课件展示】如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)教师提问:该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在RtΔABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)【师生活动】教师提示学生将实际问题转化为数学问题,学生思考回答,教师点评.[设计意图]通过章前页问题情境提出如何求得旗杆高度,让学生认识到本章将要学习的主要内容,激发学生学习和探求新知识的欲望.通过复习和本节课有关的直角三角形的知识导入新课,为本节课的学习做好铺垫.通过导入三中把实际问题转化为数学问题,让学生初步感知直角三角形中边角之间存在着某种关系,体会生活与数学之间的密切联系.共同探究直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值【课件展示】如图所示,在RtΔABC中和RtΔA'B'C'中,∠C=∠C'=90°.当∠A=∠A'时,与具有怎样的关系?思路一教师引导思考:(1)如何证明线段成比例?(三角形相似)(2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗?(∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,∴RtΔABC∽RtΔA'B'C')(3)由三角形相似的性质可以得到与之间的关系吗?∵RtΔABC∽RtΔA'B'C',∴,即(4)你能用语言叙述这个结论吗?(当锐角A确定时,∠A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形的大小无关)【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表展示后,教师作出点评.思路二教师展示课件后,小组合作交流,共同探究,写出结论,说明理由.教师对有困难的学生进行分析指导,对学生的展示进行点评.解:.理由:∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,∴RtΔABC∽RtΔA'B'C'.∴,即.追问:你能用语言叙述这个结论吗?【师生活动】学生尝试叙述结论,教师归纳完整.结论:当锐角A确定时,∠A的对边与邻边的比值是确定的,与所在三角形如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B'C'⊥AF,垂足分别为C,C'.与具有怎样的关系?【师生活动】学生类比上边的思考方法,独立思考后,小组内交流答案,教师及时发现问题,及时帮助解决问题.追问:根据以上两个图形中角的对边与邻边的比的探究,你能得到什么结论?【师生活动】学生独立思考后回答,教师点评,规范归纳的结论.【课件展示】在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以∠A为锐角的RtΔABC的两条直角边的比是确定的.[设计意图]通过教师引导或独立思考后小组合作交流,让学生感知并证明锐角一定时,它的对边和邻边的比是定值,为引出正切的概念做好铺垫,同时培养学生观察、思考及合作交流的能力.的比是固定值,那么这个固定值被定义为什么呢?【课件展示】如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与.邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A=的对边的邻边大家谈谈:(1)∠A的正切tan A表示的是tan 与A的乘积还是一个整体?(tan A表示的是一个整体)(2)当∠A的大小变化时,tan A是否变化?(tan A随着∠A的大小变化而变化)(3)tan A有单位吗?(tan A是一个比值,没有单位)(4)∠B的正切怎么表示?tan A与tan B之间有怎样的关系?(5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中的哪些边?(需要知道这个锐角的对边和邻边)(6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值吗?(根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解)【师生活动】学生独立思考,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点评.[设计意图]在解决一系列的问题中,经历建立数学概念的过程,让学生全面理解正切的概念、写法和意义,教师强调概念中注意的事项,使学生加深对正切概念的理解和掌握.例题讲解(教材105页例1)在RtΔABC中,∠C=90°.(1)如图(1)所示,∠A=30°,求tan A,tan B的值.(2)如图(2)所示,∠A=45°,求tan A的值.【师生活动】学生独立思考完成,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师巡视、观察学生的解答情况,对发现的问题及时解决,并对学生的展示进行点评和规范做题步骤.解:(1)在RtΔABC中,∵∠A=30°,∴∠B=60°,且a=c.∴b=-= - c.∴tan A=tan 30°=c÷c=,tan B=tan 60°=c÷c=.(2)在RtΔABC中,∵∠A=45°,∴a=b.∴tan A=tan 45°==1.这样,就得到tan 30°=,tan 45°=1,tan 60°=.[设计意图]学生独立完成该问题的理解和解答,巩固了对正切的概念的理解和应用,为下节课学习特殊角的三角函数值做好铺垫,同时教师规范学生的解题过程,让学生体会数学的严谨性,培养学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]1.正切是一个比值,没有单位.2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.3.tan A是一个整体符号,不能写成tan ·A.4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如tan∠ABC.5.tan2A表示(tan A)2,而不能写成tan A2.1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与邻边的比值是一个固定值.2.正切的定义:在RtΔABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与邻边的比.叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A=的对边的邻边1.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,三边分别为a,b,c,则tan A等于()A.B. C.D..故选B.解析:根据锐角正切的定义可得tan A=的对边的邻边2.把ΔABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正切值()A.不变B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍D.不能确定解析:因为ΔABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的正切值也不变.故选A.3.已知RtΔABC中,∠C=90°,tan A=,BC=12,则AC等于.解析:根据正切定义可得tan A=,所以AC=9.故填9.4.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°.(1)若tan A=,BC=9,求AB的长;(2)若tan B=,AC=16,求AB的长.解:(1)∵tan A=,BC=9,∴AC=12,由勾股定理可得AB==15.∴AB的长为15.(2)∵tan B=,AC=16,∴BC=12.由勾股定理可得AB==20.∴AB的长为20.第1课时共同探究直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值形成概念例题讲解一、教材作业【必做题】教材第106页习题A组第1,2题.【选做题】教材第106页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.已知RtΔABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,则tan A的值是()A.2B.C.D.2.已知RtΔABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则AC等于()A.6B.C.10D.123.在RtΔABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则tan B的值是()A. B.2 C. D.4.如图所示,A,B,C三点在正方形网格线的交点处,若将ΔACB绕着点A逆时针旋转得到ΔAC'B',则tan B'的值为.5.已知等腰三角形的腰长为 6 cm,底边长为10 cm,则底角的正切值为.6.如图所示,点A(t,4)在第一象限,OA与x轴所夹的角为α,tan α=,则t的值是.7.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若BC=2,AB=3,求tan ∠BCD的值.【能力提升】8.如图所示,ΔABC中,AB=AC,∠A=45°,AC的垂直平分线分别交AB,AC于D,E,连接CD.如果AD=1,那么tan∠BCD=.9.如图所示,在ΔABC中,∠C=90°,D是BC上一点,AC=2,CD=1,记∠CAD=α.(1)求α的正切值;(2)若∠B=α,求BD的长.【拓展探究】10.如图所示,将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在边AD的F处,如果,求tan∠DCF的值.【答案与解析】1.B(解析:在RtΔABC中,∵∠C=90°,AC=2,BC=1,∴tan A=.故选B.)2.A(解析:∵tan A=,BC=8,∴AC=·BC=6.故选A.)3.B(解析:∵AC=2BC,∴tan B==2.故选B.)4.(解析:由旋转可得∠B'=∠B,所以tan B'=tan B=.故填.)5.(解析:根据等腰三角形的三线合一,可得底边的一半为5 cm,由勾股定.故填.) 理可得底边上的高为cm,所以底角的正切值为底边的高底边的一半6.3(解析:如图所示,过A点分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为B,C,∵点A(t,4)在第一象限,∴AB=4,OB=AC=t,又∵tan α=,∴t=3.故填3.)7.解:∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°,又∠BCD+∠ACD=90°,∴∠BCD=∠A,在RtΔABC中,AC=--,∴tan A=,∴tan ∠BCD=tan A=.8.-1(解析:∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠A=∠ACD=45°,∴∠ADC=∠BDC=90°.∵AD=CD=1,∴AB=AC=BD=-1.在直角三角形BCD中,tan∠BCD=-1.故填-1.)9.解:(1)在RtΔACD中,tan α=. (2)在RtΔABC中,tan B=,由(1)知tan α=,又∠B=α,∴tan B=,又AC=2,∴BC=4,∴BD=BC-CD=4-1=3.10.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠D=90°,∵将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在边AD的F处,∴CF=BC,∵,∴,设CD=2x,CF=3x,则DF=-x,∴tan∠DCF=.本节课通过复习特殊角直角三角形的性质,为探究锐角的正切概念做好铺垫,同时以具体情境引入新课,让学生体会数学与生活息息相关,激发学生学习兴趣,并初步感受直角三角形中边角之间的关系.然后通过学生自主探究、合作交流等数学活动,归纳出结论:直角三角形中锐角一定时,它的对边与邻边的比相等.从而自然引出正切的概念,顺理成章完成知识的迁移,培养了学生发现问题、探究思考与合作交流的能力.在课堂上,学生参与意识较强,课堂气氛活跃,让不同的学生得到不同的发展,突出了学生在课堂上的主体作用.本节课通过探究直角三角形中锐角的对边和邻边的比是固定值,由此归纳总结正切定义.在教学设计中,注重知识间的联系,由前边所学知识自然推导结论,由结论自然导出正切概念,但在授课过程中忽略了学生的认知能力,部分学生对正切的理解有困难.在以后的教学中,给出正切定义后,应给出几个简单的练习题,加深学生对概念的理解和掌握.本节课根据问题情境中提出的问题,引导学生画出图形,将实际问题转化为数学问题,激发学生探究本节课的学习兴趣,然后根据已有的相似三角形的知识,让学生独立思考后,小组合作交流,探究出直角三角形中的锐角确定时,它的对边和邻边的比是确定的,很自然地引出正切的定义,然后通过例题讲解让学生进一步理解和掌握正切的概念.学生在经历概念的形成过程中,加深对正切概念的理解和掌握,同时提高了数学思维及归纳总结能力.练习(教材第106页)1.提示:(1)1. (2)2+. (3)0. (4).2.解:在RtΔABC中,AC=--=2,tan B=.3.解:根据勾股定理可以求得另一条直角边为,所以tan α=.习题(教材第106页)A组1.提示:-2-.2.提示:AC=,AB=.B组1.解:ΔABC的周长为AB+BC+AC=+10+,ΔABC的面积为AC·BC=×10=.2.解:BC=---=6,∴tan B=.加强探究能力,发展学生的思维能力本节课的重点是探究直角三角形中锐角的正切概念,在教学设计中,通过“观察与思考”“大家谈谈”等教学环节,为学生提供探究交流的空间,发展学生的思维能力.首先通过复习特殊直角三角形的性质,为学生探究活动做好铺垫,然后让学生通过独立思考、小组合作交流、共同归纳等数学活动,探索出结论“在直角三角形中,当一个锐角确定时,这个角的对边与邻边的比是确定的”,从而很自然地把直角三角形中这个确定的值定义为这个锐角的正切.在课堂上以问题引导的形式让学生积极参与课堂,亲身经历概念的形成过程,为学生提供了更加广阔的探索空间,培养学生观察、思考、与他人合作及归纳总结的能力.然后设计“大家谈谈”环节,让学生独立完成后,小组交流得出结论,巩固对正切概念的理解.在例题讲解环节,设计了求30°,45°这些特殊角的正切值,学生在教师的引导下,再次经过独立思考后,小组合作交流,得出正确结果,提高学生探究能力和分析问题、解决问题的能力,使学生的数学思维能力得到进一步的提升.(2015·内江中考)在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,2)作直线l:y=x+b(b为常数且b<2)的垂线,垂足为点Q,则tan∠OPQ=.〔解析〕如图所示,设直线l与坐标轴的交点分别为A,B,∵∠AOB=∠PQB=90°,∠ABO=∠PBQ,∴∠OAB=∠OPQ,由题意可得OB=b,OA=2b,在RtΔOAB中,tan∠OAB=,∴tan∠OPQ=.故填.第课时1.经历正弦、余弦概念的形成过程,理解三角函数的定义,并能根据正弦、余弦的概念进行计算.2.经历探索30°,45°,60°角的正弦、余弦值的过程,能够进行有关推理,并能进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算.1.结合正切概念探索锐角正弦、余弦概念的形成,培养学生类比推理的能力及归纳总结的能力.2.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.3.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,学会综合运用数学知识解决问题的能力.1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.2.引导学生参与体验数学活动,学会用数学思维方式思考、发现、总结、验证问题,提高数学思维能力.3.通过主动探究,合作交流,培养学生的团队精神,增强合作意识,同时让学生体验成功的快乐.【重点】1.理解正弦、余弦的概念,并会求锐角的正弦值、余弦值.2.熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式的值.【难点】类比正切概念,探索正弦、余弦的概念及30°,45°,60°角的正弦、余弦值的推导过程.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P106~108.导入一:复习提问:1.在直角三角形中,如果一个锐角确定时,它的对边与邻边的比值有什么规律?2.什么是正切?如何求一个角的正切?3.含30°,45°的直角三角形有哪些性质?4.你还记得我们探究正切概念时所得的30°,45°角的正切吗?导入二:观察两个不同大小的三角板,当角是30°,45°,60°时,它们的对边与斜边、邻边与斜边的比值有什么规律?谈谈你的看法.本节课的内容,为本节课做好铺垫.计算直角三角板中特殊角的对边与斜边、邻边与斜边的比值,观察、归纳规律,很自然地引出本节课的概念,同时培养学生计算、观察、猜想的能力.共同探究一直角三角形中,锐角的对边与斜边的比、邻边与斜边的比是定值思路一【课件展示】如图所示,在RtΔAB1C1和RtΔAB2C2中,∠C1=∠C2=90°.【思考】(1)RtΔAB1C1与RtΔAB2C2之间有什么关系?(RtΔAB1C1∽RtΔAB2C2)(2)与,与之间各有什么关系?(3)过射线AB1上任取一点B3,过B3作B3C3⊥AC1,垂足为C3,则与,与之间有什么关系?(4)根据以上思考,你得到什么结论?(直角三角形中∠A的对边与斜边、邻边与斜边的比值是固定不变的)(5)如果改变∠A的大小,上边的比值是否变化?归纳你的结论.【师生活动】教师提出问题,学生思考后小组合作交流,共同归纳结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评.【课件展示】1.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比是确定的.2.在直角三角形中,当锐角确定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比也是确定的.思路二。
初三九年级数学冀教版 第26章 解直角三角形 阶段方法技巧训练(一)专训2 解直角三角形的几种常见类型
专训2解直角三角形的几种常见类型名师点金：解直角三角形是中考考查的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免复杂的计算．在解题过程中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．已知两直角边解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝23，b＝6，解这个直角三角形．(第1题)已知一直角边和斜边解直角三角形2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC的值和点B到直线MC的距离．(第2题)已知一直角边和一锐角解直角三角形3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.求：(1)AC的长；(2)BC的长．(第3题)4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长．【导学号：83182067】(第4题)已知斜边和一锐角解直角三角形5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．(第5题)6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，求AD 的长．(第6题)已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形题型1 化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)7．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD ＝13，求∠A 的三角函数值．【导学号：83182068】(第7题)题型2 化解四边形问题为解直角三角形问题8．【中考·北京】如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点E ，∠BAC ＝90°，∠CED ＝45°，∠DCE ＝30°，DE ＝2，BE ＝2 2.求CD 的长和四边形ABCD 的面积．(第8题)题型3化解方程问题为解直角三角形问题9．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．答案1．解：∵a ＝23，b ＝6，∴c ＝a 2＋b 2＝12＋36＝48＝4 3. ∵tan A ＝a b ＝236＝33，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝60°.2．解：∵AB ＝13，AC ＝12，∠ACB ＝90°， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝169－144＝25＝5. ∴sin ∠BAC ＝BC AB ＝513. 过点B 作BD ⊥MC 于点D.设点B 到直线MC 的距离为d ，则BD ＝d. ∵∠BCM ＝∠BAC ， ∴sin ∠BAC ＝sin ∠BCM. ∴sin ∠BCM ＝BD BC ＝513，即d 5＝513.∴d ＝2513. 即点B 到直线MC 的距离为2513.3．解：(1)由题意知sin C ＝AB AC ，即12＝3AC，则AC ＝6. (2)由题意知tan C ＝AB BC ，即33＝3BC ，则BC ＝3 3.4．解：∵∠C ＝90°，∠BDC ＝45°，BC ＝3，∴CD ＝3. ∵∠A ＝30°，BC ＝3，∴tan A ＝BC AC ＝3AC ＝33，即AC ＝3 3.∴AD ＝AC －CD ＝33－3.5．解：∵∠B ＝45°，∠C ＝90°，c ＝10， ∴∠A ＝45°，a ＝b ＝c·sin 45°＝10×22＝5 2. 6．解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝43， ∴∠CAB ＝60°，AC ＝AB·sin 30°＝43×12＝2 3.又∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠CAD ＝30°. ∵cos ∠CAD ＝AC AD ，∴32＝23AD. ∴AD ＝4.7．解：如图，过点D 作CD 的垂线交BC 于点E.(第7题)在Rt △CDE 中，∵tan ∠BCD ＝13＝DECD ，∴可设DE ＝x ，则CD ＝3x.∵CD ⊥AC ，∴DE ∥AC. 又∵点D 为AB 边的中点， ∴点E 为BC 边的中点． ∴DE ＝12AC.∴AC ＝2DE ＝2x.在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，AC ＝2x ，CD ＝3x ， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝4x 2＋9x 2＝13x. ∴sin A ＝CD AD ＝3x 13x ＝31313，cos A ＝AC AD ＝2x 13x ＝21313，tan A ＝CD AC ＝3x 2x ＝32.方法技巧：本题中出现了tan ∠BCD ＝13，由于∠BCD 所在的三角形并非直角三角形，因此应用正切函数的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解．8．解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于点H. ∵∠CED ＝45°，DH ⊥EC ，DE ＝2， ∴EH ＝DE·cos 45°＝2×22＝1. ∴DH ＝1.又∵∠DCE ＝30°，∴HC ＝DH tan 30°＝3，CD ＝DHsin 30°＝2.∵∠AEB ＝∠CED ＝45°，∠BAC ＝90°，BE ＝22， ∴AB ＝AE ＝2.∴AC ＝AE ＋EH ＋HC ＝2＋1＋3＝3＋ 3.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×2×(3＋3)＋12×1×(3＋3)＝33＋92.(第8题)方法技巧：题目中所给的有直角和30°，45°角，因此我们可以通过构造直角三角形，然后利用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形的面积．9．解：(1)将方程整理，得(c －a)x 2＋2bx ＋(a ＋c)＝0，则 (2b)2－4(c －a)(a ＋c)＝4(b 2＋a 2－c 2)．∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即b 2＋a 2＝c 2. ∴△ABC 为直角三角形且∠C ＝90°. (2)由3c ＝a ＋3b ，得a ＝3c －3b.① 将①代入a 2＋b 2＝c 2， 得(3c －3b)2＋b 2＝c 2. ∴4c 2－9bc ＋5b 2＝0， 即(4c －5b)(c －b)＝0.由①可知，b ≠c ，∴4c ＝5b.∴b ＝45c.②将②代入①，得a ＝35c.∴sin A ＋sin B ＝a c ＋b c ＝35＋45＝75.点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程有两个相等的实数根得到一个关于a ，b ，c 的等式．从解题过程可以看出，求三角函数值时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．。
初三九年级数学冀教版 第26章 解直角三角形 全章热门考点整合应用专训1“化斜为直”构造直角三角形的方法
专训1“化斜为直”构造直角三角形的方法名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．无直角、无等角的三角形作高1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．(第1题)有直角、无三角形的图形延长某些边2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．【导学号：83182080】(第2题)有三角函数值不能直接利用时作垂线3．如图，在△ABC 中，点D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，sin∠BCD ＝13，求tan A 的值．【导学号：83182079】(第3题)求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，求tan ∠BPC 的值． (第4题)答案1．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tan B＝x·tan 60°＝3x.在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°.∴∠C＝∠CAD.∴CD＝AD＝3x.∵BC＝1＋3，∴3x＋x＝1＋ 3.解得x＝1，即BD＝1.在Rt△ABD中，∵cos B＝BD AB，∴AB＝BDcos B＝1cos 60°＝2.(第1题)(第2题)2．解：如图，延长BC，AD交于点E.∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°.在Rt△ABE中，BE＝ABtan E＝2tan 30°＝23，在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2.∴DE＝EC·cos 30°＝2×32＝ 3.∴S四边形ABCD＝S Rt△ABE－S Rt△ECD＝12AB·BE－12CD·ED＝12×2×23－12×1×3＝332.点拨：本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长BC，AD，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．3．解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E.∵点D是AB的中点，∴AD＝DB.又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴△ACD≌△BED.∴CD＝DE，AC＝BE.在Rt△CBE中，sin∠BCE＝BEBC＝13，∴BC＝3BE.∴CE＝BC2－BE2＝22BE.∴CD ＝12CE ＝2BE ＝2AC. ∴tan A ＝CD AC ＝2AC AC＝ 2. 方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．(第3题)(第4题)4．解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB ＝AC ＝5，∴BE ＝12BC ＝12×8＝4，∠BAE ＝12∠BAC. ∵∠BPC ＝12∠BAC ， ∴∠BPC ＝∠BAE.在Rt △BAE 中，由勾股定理得 AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3，∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.。
初三九年级数学冀教版 第26章 解直角三角形 阶段方法技巧训练(一)专训1 求锐角三角函数值的常用方法
专训1 求锐角三角函数值的常用方法名师点金：锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值、余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接利用锐角三角函数的定义求解1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝5，AC ＝6，则cos B 的值是( )(第1题)A .45B .35C .34D .432．如图，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B.求： (1)点B 的坐标；(2)sin ∠BAO 的值．(第2题)利用同角或互余两角三角函数间的关系3．若∠A 为锐角，且sin A ＝32，则cos A 的值是( ) A ．1 B .32 C .22 D .12 4．若α为锐角，且cos α＝1213，则sin (90°－α)的值是( ) A .513 B .1213 C .512 D .1255．若α为锐角，且sin 2α＋cos 230°＝1，则α＝______．巧设参数6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45，则tan B 的值为( ) A .43 B .34 C .35 D .457．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的长，且a ，b ，c 满足b 2＝(c ＋a)(c －a)，5b －4c ＝0，求sin A ＋sin B 的值．利用等角来替换8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，且AH＝2CH，求sin B的值．【导学号：83182066】(第8题)答案1．A2．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋32，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴点B 的坐标为(1，2)．(2)如图，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，则C(1，0)．由12x ＋32＝0，解得x ＝－3，则A(－3，0)．∴OA ＝3，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝2 5.∴sin ∠BAC ＝BC AB ＝225＝55. 即sin ∠BAO ＝55. (第2题)3．D 4.B 5.30° 6.B7．解：∵b 2＝(c ＋a)(c －a)，∴b 2＝c 2－a 2，即c 2＝a 2＋b 2. ∴△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°.∵5b －4c ＝0，∴5b ＝4c.则b c ＝45.设b ＝4k ，c ＝5k(k ＞0)， 那么a ＝3k.∴sin A ＋sin B ＝3k 5k ＋4k 5k ＝75. 8．解：∵CD 是斜边AB 上的中线，△ABC 为直角三角形， ∴CD ＝AD ＝BD.∴∠DCB ＝∠B.∵∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∠ACD ＋∠CAH ＝90°， ∴∠DCB ＝∠CAH.∴∠B ＝∠CAH.在Rt △ACH 中，AH ＝2CH ，∴AC ＝5CH.CH AC＝5 5.∴sin B＝sin∠CAH＝。
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专训2巧用构造法求几种特殊角的三角函数值
名师点金：对于30°，45°，60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°，22.5°，67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算．
巧构造15°与30°角的关系图形计算15°角的三角函数值
1．求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值．
巧构造22.5°与45°角的关系图形计算22.5°角的三角函数值
2．求tan 22.5°的值．
巧用折叠法求67.5°角的三角函数值
3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC 边上的点F处，求67.5°角的正切值．
(第3题)
巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°，72°角的三角函数值4．求sin 18°，cos 72°的值．
巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值．【导学号：83182081】
答案
1．解：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∠C ＝90°，延长CA 到D ，使AD ＝AB ，则∠D ＝15°.设BC ＝a(a ＞0)，则AB ＝2a ，AC ＝3a ，∴AD ＝2a.∴CD ＝(2＋3)a.
在Rt △BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝a 2＋（7＋43）a 2＝(6＋2)a.
∴sin 15°＝sin D ＝BC BD ＝a （6＋2）a ＝6－24，cos 15°＝cos D ＝CD BD ＝（2＋3）a （6＋2）a ＝6＋24，tan 15°＝tan D ＝BC CD ＝a （2＋3）a
＝2－ 3. (第1题)
(第2题)
2．解：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，延长CA 到D ，使DA ＝AB ， 则∠D ＝22.5°.设AC ＝BC ＝a(a ＞0)，则AB ＝2a ，
∴AD ＝2a.∴DC ＝(2＋1)a.
∴tan 22.5°＝tan D ＝BC CD ＝a （2＋1）a
＝2－1. 3．解：∵将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，∴AB ＝BE ，∠AEB ＝∠EAB ＝45°.再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，
∴AE ＝EF ，∠EAF ＝∠EFA ＝45°÷2＝22.5°.∴∠FAB ＝67.5°.
设AB ＝x(x ＞0)，则AE ＝EF ＝2x. ∴tan 67.5°＝tan ∠FAB ＝FB AB ＝2x ＋x x
＝2＋1. 4．解：如图，作△ABC ，使∠BAC ＝36°，AB ＝AC ，作∠ABC 的平分线BD 交AC 于D 点，过点A 作AE ⊥BC 于E 点，设BC ＝a(a ＞0)，则BD ＝AD ＝a.易得△ABC ∽△BCD ，∴AB BC ＝BC CD .∴AB a ＝a AB －a
， 即AB 2－a·AB －a 2＝0.∴AB ＝5＋12
a(负根舍去)． ∴sin 18°＝sin ∠BAE ＝BE AB ＝5－14
， cos 72°＝cos ∠ABE ＝BE AB ＝5－14
.
(第4题)
(第5题)
5．解：方法一：利用第1题的图形求解． 方法二：如图，作Rt △ABD ，Rt △ACD ，使得DC ＝DA ，∠DAB ＝30°，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，则∠BAE ＝75°.设AD ＝DC ＝a(a ＞0)，则AC ＝2a ，BD ＝
33a ，AB ＝233 a. ∴BC ＝BD ＋CD ＝⎝⎛⎭
⎫33＋1a. 则CE ＝BE ＝BC·sin 45°＝
6＋326a ， ∴AE ＝AC －CE ＝32－66
a. ∴sin 75°＝sin ∠BAE ＝BE AB ＝32＋66a 233
a ＝6＋24， cos 75°＝cos ∠BAE ＝AE AB ＝6－24
， tan 75°＝tan ∠BAE ＝BE AE
＝2＋ 3.。