1.1 正弦定理(课件2)
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正弦定理课件PPT
b
c sin B sinC
10 s in105 sin 30
5(
6
2)
SABC
1 bc sin A 2
1 5( 6 2
2 )10sin45
25( 3 1)
(3)已 知A 30 , B C 60 , a 2,求c.
解 : A 30 , B C 60 B C 150 C 45
（一）证法一
C 锐角三角形
在ACD中，sin A CD
a
b
b
在BCD中，sin B CD
a
ab sin A sin B
A
D
FC
b A
c a
c
B
在ABF中，sin A BF c
a
c
在CBF中，sin C BF
sin A sin C
a
a b c
B sin A sin B sin C
思考：如果是钝角三角形是否成立呢？
解 解 : :sB sisBnsiinsnsiinBianBan3BA9A0A00正或bb0 bssssiai1sin asin弦bnin5aibnAB n0ABA0 B定(舍2c2理4去2232应3)24 2222 用2 22 二2312：1
而可已求知 其C两C 它边B1的70和5506边或0其0 01或和 5中01c 角2一0c0。 边a ass s（i对sinini nnAA角C要C ，注443求意3 另6可226一44能边22有的 28两对 38角解33，2）进
点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形 时,通常要用到三角形内角和定理或大边对大 角定理等三角形有关性质.
2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
正弦定理和余弦定理课件PPT
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个 角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
正弦定理课件
正弦定理
1.1.1 正弦定理
(1)当ABC是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角形的定义,得到
aE
b
C D asin B ,C D bsin A
所 以asinBbsinA B
得到 a b
D
c
A
sinA sinB
同 理 , 作 A EB C .有b c sinBsinC
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?
作业： P10
2 正弦定理
在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，不计算判
断有几组解？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
C
（2°） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
b
（3·）···b·＝·20，A＝60°，a＝15.
60°
A
B
正弦定理
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
一解
（2） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
一解
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
无解
sin C sin B
ACCBAB
也有 a b c
正弦定理
s iA n s iB n s iC n
在钝角三角形中
B
j
设A 900 过点A作与AC垂直的单位向量 j, 则j与AB的夹角为 A90
j与CB的夹角为 90 C
A
C
正弦定理
剖析定理、加深理解
正弦定理：sinaAsinbBsincC
1、A+B+C=π 2、大角对大边，大边对大角
B
A
我们这一节所学习的内容就是解决这些问题
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5
第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
正弦定理应用ppt课件
小结
(1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解． (2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有 两解、一解或无解．
(3)利用正弦定理判断三角形的形状 利用正弦定理，结合三角形的内角和定理及三角函数中 的一些公式，可以对某些三角关系式或恒等式进行恒等变 形，要充分挖掘题目中的隐含条件，通过正弦定理转化为边 的关系或角的关系，看是否满足勾股定理、两边相等或两角 相等、三边相等或三角相等，从而确定三角形的形状．
①a:b:c＝sinA:_s_i_n_B_:sinC . ②sianA＝sibnB＝sincC＝sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC . ③a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2_R__si_n_C___. ④sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR ⑤A<B⇔a<b⇔2RsinA<2RsinB⇔sinA<sinB .
2× 3
2 2 ＝2
3.故选B.
2
答案：B
3．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：由sinA＝sinC知，在△ABC中有A＝C. 答案：B
4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知A:B:C＝1:2:3，则a:b:c＝________.
变式训练 已知方程 x2－(bcosA)x＋acosB＝0 的两根之 积等于两根之和，且 a，b 为△ABC 的两边，A，B 分别为 a， b 的对角，试判断△ABC 的形状．
解：设方程的两根为x1，x2，由韦达定理得x1＋x2＝ bcosA，x1x2＝acosB.
由题意得bcosA＝acosB， 由正弦定理得sinBcosA＝sinAcosB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0. ∴sin(A－B)＝0.在△ABC中，A，B为其内角，－π<A－ B<π，所以A＝B. 即△ABC为等腰三角形．
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
人教A版必修五 1.1.1 正弦定理ppt课件
栏 目 链 接
题型1
已知两角及一边解三角形
例1 在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，a＝2，解 三角形．
a b 解析：由正弦定理可知： ＝ ，即 sin A sin B 2 b ＝ ，∴b＝2 2. sin 30° sin 45° 又C＝180° －30° －45° ＝105° ，由正弦定理有： 2 c ＝ ， sin 30° sin 105° 即c＝4sin (60° ＋45° )＝ 6＋ 2.
解析：由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180° 知，B＝60° ，由 栏 目 链 1 3 1 正弦定理知， ＝ ，即sin A＝ ，由a＜b知，A＜ 接 sin A sin 60° 2 B＝60° ，则A＝30° ，C＝180° －A－B＝180° －30° －60° ＝ 90° ，sin C＝sin 90° ＝1. 答案：1
a b c 解析：设正弦定理 ＝ ＝ ＝k，又因 sin A sin B sin C a c sin A＝sin C，故 ＝ ，∴a＝c. k k 答案：B
)
栏 目 链 接
自测 自评
2．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c＝ 2，b＝ 6，B＝120° ，则 a 等于( ) A. 6 B．2 C. 3 D. 2
解析：设a＝2k，因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以a＝ 2k，b＝3k，c＝4k，所以(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝ 5k∶7k∶6k＝5∶7∶6. 答案：5∶7∶6
6．(1)三角形中任意两边和______第三边． (2)三角形ABC中，三边长度分别为3、4、x，则x的范围是 __________． 答案：(1)大于 (2)解析：由3＋4＞x,4＋x＞3，x＋3＞4，可知1＜x＜7. 答案：1<x<7
正弦定理(二)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
由正弦定理，得 a2＋c2－ 2ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故 cos B＝
2 又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
，
2
跟踪训练3
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解
sin A＝sin (30°＋45°)
2＋ 6
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 4 .
正 弦 定 理 (二)
学习目标
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
知 识 梳 理
1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
c2＝a2＋b2－2abcos C，
a
b
c
2.正弦定理sin A＝sin B＝sin C＝2R
3.常见误区：利用正弦定理进行边
形的形状.
和角的正弦相互转化时易出现不等
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
价变形.
B＝sin
2B·
tan
A，
注意边化角
sin B
sin A
即 sin 2A·
＝sin 2B·
.
cos B
cos A
在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，
注意正切化
两弦
例2
a2 tan A
2
A
A
A
A
3
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故 cos B＝
2 又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
，
2
跟踪训练3
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解
sin A＝sin (30°＋45°)
2＋ 6
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 4 .
正 弦 定 理 (二)
学习目标
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
知 识 梳 理
1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
c2＝a2＋b2－2abcos C，
a
b
c
2.正弦定理sin A＝sin B＝sin C＝2R
3.常见误区：利用正弦定理进行边
形的形状.
和角的正弦相互转化时易出现不等
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
价变形.
B＝sin
2B·
tan
A，
注意边化角
sin B
sin A
即 sin 2A·
＝sin 2B·
.
cos B
cos A
在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，
注意正切化
两弦
例2
a2 tan A
2
A
A
A
A
3
《正弦定理》高二年级上册PPT课件(第1.1.1-1课时)
－A )＝sin A ，
∴C D ＝b sin A ＝a sin B .
a
∴
sin A
b
＝
sin B
b
.
c
同理，
＝
.
sin B
sin C
a
故
sin A
b
＝
c
＝
.
sin B sin C
a
＝sin B .
02
基础自测
[规律方法] (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联,系，充分挖掘这
些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固.
5
3
，解得：sinA＝
．
5
02
练一练
3．在△A B C 中，若 c ＝2 a co s B ，则△A B C 的形状为(
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．不等边三角形
【答案】 B
[由正弦定理知 c＝2 R sin C ，a ＝2 R sin A ，
故 sin C ＝2sin A co s B ＝sin (A ＋B )
sin A
图 112
＝2 R .
02
跟踪训练
[证明]
连接 B O 并延长，交外接圆于点 A ′
，连接 A ′
C，
则圆周角∠A ′
＝∠A .
∵A ′
B 为直径，长度为 2 R ，
∴∠A ′
C B ＝9 0 °
，
BC
∴sin A ′
＝
A′
B
a
＝
2R
a
∴sin A ＝
2R
，
a
，即
sin A
＝2 R .
∴C D ＝b sin A ＝a sin B .
a
∴
sin A
b
＝
sin B
b
.
c
同理，
＝
.
sin B
sin C
a
故
sin A
b
＝
c
＝
.
sin B sin C
a
＝sin B .
02
基础自测
[规律方法] (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联,系，充分挖掘这
些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固.
5
3
，解得：sinA＝
．
5
02
练一练
3．在△A B C 中，若 c ＝2 a co s B ，则△A B C 的形状为(
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．不等边三角形
【答案】 B
[由正弦定理知 c＝2 R sin C ，a ＝2 R sin A ，
故 sin C ＝2sin A co s B ＝sin (A ＋B )
sin A
图 112
＝2 R .
02
跟踪训练
[证明]
连接 B O 并延长，交外接圆于点 A ′
，连接 A ′
C，
则圆周角∠A ′
＝∠A .
∵A ′
B 为直径，长度为 2 R ，
∴∠A ′
C B ＝9 0 °
，
BC
∴sin A ′
＝
A′
B
a
＝
2R
a
∴sin A ＝
2R
，
a
，即
sin A
＝2 R .
《正弦定理余弦定理》课件
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基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。
正弦定理和余弦定理课件PPT
在钝角三角形 ABC 中，a＝1，b＝2，c＝t，且 C 是最大角，则 t 的取值范围是________．
[错解] ∵△ABC 是钝角三角形且 C 是最大角，∴C>90°， ∴cosC<0，∴cosC＝a2＋2ba2b－c2<0， ∴a2＋b2－c2<0，即 1＋4－t2<0. ∴t2>5.又 t>0，∴t> 5， 即 t 的取值范围为( 5，＋∞)．
sin A
3
y 4sin x 4sin( 2 x) 2 3 3
4 3 sin(x ) 2 3， 6
A ,0 B x 2 .
3
3
故 x ( , 5),sin(x ) (1 ,1］,
6 66
62
∴y的取值范围为 (4 3,6 3］.
正、余弦定理的综合应用 【名师指津】正、余弦定理的综合应用
(2)由于 a:b:c＝1: 3:2， 可设 a＝x，b＝ 3x，c＝2x. 由余弦定理的推论，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2 ＝32x×2＋43xx2×－2xx2＝ 23，故 A＝30°. 同理可求得 cosB＝12，cosC＝0，所以 B＝60°，C＝90°.
已知三角形的三边长分别为 x2＋x＋1，x2－1 和 2x＋ 1(x>1)，求这个三角形的最大角．
∵∠ADC＝45°，DC＝2x， ∴在△ADC 中，根据余弦定理，得 AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos45°， AC2＝4x2－4x＋2， 又 AC＝ 2AB， ∴AC2＝2AB2， 即 x2－4x－1＝0，解得 x＝2± 5. ∵x>0，∴x＝2＋ 5，即 BD＝2＋ 5.
名师辨误做答
第一章
解三角形
第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
1.1.1公开课正弦定理ppt
2
3
2（三角形中大边对大角）
a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 750
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
变式: 1 a b ; b c ; c a
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
定理的应用举例
例1
在ABC中，已知A 32.00 , B 81.80 , a 42.9cm, 解三角形
从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角 正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。
正 弦 定
abc sin A sin B sin C
理
bsin C csin B b sin B c sin C
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
1、已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角。
2.已知三角形 ABC 中，a=50,B=450,C=1050,求 S ABC.
62（5 3 1）
3.在ABC中, a 3,b 1, B 30, 则其面积等于 __3_或___3____
24
1.在△ABC中，A 750, B 300, AC 10, 求AB, BC。
2 1
2
a
10
C
2
sin B sin C
∴ b c sin B 10sin 105
sin C sin 30
3
2（三角形中大边对大角）
a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 750
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
变式: 1 a b ; b c ; c a
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
定理的应用举例
例1
在ABC中，已知A 32.00 , B 81.80 , a 42.9cm, 解三角形
从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角 正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。
正 弦 定
abc sin A sin B sin C
理
bsin C csin B b sin B c sin C
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
1、已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角。
2.已知三角形 ABC 中，a=50,B=450,C=1050,求 S ABC.
62（5 3 1）
3.在ABC中, a 3,b 1, B 30, 则其面积等于 __3_或___3____
24
1.在△ABC中，A 750, B 300, AC 10, 求AB, BC。
2 1
2
a
10
C
2
sin B sin C
∴ b c sin B 10sin 105
sin C sin 30
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典例突破
（一）锐角三角形中的三角函数不等关系
例1. 设锐角三角形的内角分别是A、B、C，并且A>B.下面 ①③⑥ ． 不等式成立的是________ ① sin A>cos B； ② sin A<cos B； ③ sin B > cos A；
④ sin B < cos A；⑤ cos A > cos B；⑥ cos A < cos B；
北师大版高中数学 必修5
第二章 解三角形
1.1 正弦定理
高中数学必修5
目标定位
【学习目标】
学习目标和重难点
1．进一步熟悉正弦定理及其性质 2．会运用“正弦定理”和有关性质解斜三角形的两类基本 问题. 【重、难点】
重点：1．正弦定理求解“两边一对角”题型的三角形； 2．判定三角形解的个数. 难点：对“两边一对角”题型的三角形的解的个数的判定.
典例突破
（四）判断三角形形状
典例突破
（四）判断三角形形状
同学们，再见！
典例突破
（一）锐角三角形中的三角函数不等关系
典例突破
（二）“两边一对角”型三角形
典例突破
（二）“两边一对角”型三角形
【解题反思】解两边一对角的三角形时，如何对所求的角进行
取舍？
典例突破
（二）“两边一对角”型三角形
新知探究
（二）如何判定三角形解的个数？
答: （方法一）代数法 （1）由正弦定理可得sin B＝ < sinA. 所以B < A，所以 B为锐 角，三角形只有一组解； （2）由正弦定理可得sin B＝ > sinA. 所以B > A，所以 B为锐 角或钝角，三角形有两组解．
新知探究
（一）三角形中的不等关系
【答案】（1）一定有sin A>sin B （2）一定有A>B.
【解析】（1）若A>B，则a>b
∴ 2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B.
（2）若sin A>sin B，则2Rsin A>2Rsin B，即a>b ∴ A>B.
【解题反思】A>B a>b sin A>sin B
知识链接
三角形中角的变换及三角公式
1. 正弦定理的两个基本题型及它们各自的特点是什么？
答：“两边一对角”的三角形问题的解可能有一组，也可
能有两组，求解时要根据三角形的性质判断取舍. 2. 三角形内常用角的变换及三角公式
(1) A+B= ________;
(2) sin( A+B)=________
新知探究
（二）如何判定三角形解的个数？
新知探究
（二）如何判定三角形解的个数？
(1)当A为锐角时，三角形解的情况如下图；
新知探究
（二）如何判定三角形解的个数？
(2)当A为直角或钝角时，三角形解的情况如下图.
典例突破
（三）判断三角形解的个数
典例突破
（三）判断三角形解的个数
典例突破
（四）判断三角形形状