正弦定理课件
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sinA sinB sinC
B 由(1)(2)(3)知，结论成立．
A c
b
图2 C D
正弦定理:
abc sinA sinB sinC
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4
求B和c。
3
解 : a b
sin A sin B
3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
sin B b sin A 2
2
2 2
3
a
43 2
3
B 600 或1200
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
4.有没有其他的方法证明以上的等式成立？
求证:
a
b
＝
＝
c
＝ 2R
sin A sin B sin C
（2R为△ABC外接圆直径）
证明： 作外接圆O,
B
过B作直径BC/,连AC/,
BA C 90, C C ' c
a
sin C sin C ' c 2R A
a
sin A
c a
c
sin A
sin sin
B C
b
c
1
c
b sin
B
c c c
c
sin C
A c
b
Ca
B
a b c sinA sinB sinC
2.若三角形是锐角三角形, 如图1, 过点A作AD⊥BC于D,
A
c
b
此时有 siB nA cD ,siC nA bDB
图1 D
C
所以AD=csinB=bsinC, 即
在钝角三角形中
设A 900
过点A作与AC垂直的单位向量 j,
则j与AB的夹角为 A90
B
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
马上完成!
You try
例 1.在 AB 中 ， C 已c知 1,0 A45 ,C30 .
求B 和 角b.边
You try
例 1.在 AB 中 ， C 已c知 1,0 A45 ,C30 .
j ACcos90 j CBcos9( 0 C)
j ABcos9( 0 A) 即asinC csinA a c sinA sinC
同理 , 过 C 点作 j垂直于 CB，可得 c b , 在锐角三角形中
sin C sin B 也有 a b c s iA n s iB n s iC n
C
750 或150 c
a sin C
4 3 3
6 4
sin A
2
2 88 3 3
2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B 和 角b.边
解： B 1 8 (A 0 C ) 1 05
∵
bc sinB sinC
bcsinB sinC
5 10sin105 sin30
65
219
正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
解 : a b
sin A sin B
sin B b sin A 2
2
2 2 1
a
4
2
B 300 或1500 (舍去 )
C 1050 c
a sin C 4
6 4
sin A
2
2 2 32
2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
（2）三角： A B C 18 0c
A b
B
（3）边角： 大边对大角
a
C
课前检测
在 Rt ABC 中， A300, C900,a10
求b , c ?
A
c b
Ca
B
问题1：在 ABC 中，设 B Ca,A Cb,A Bc,
证明：
a
b
c
sinA sinB sinC
1. 在一个直角三角 A形BC中
O
C
b
c
2R
sin C
同理 a 2R, b 2R
C/
sin A sinB
能否运用向量的方法
a b c 2R 来证明正弦定理呢? sin A sinB sinC
向量法
利用向量的数量积，产生边的长与内角 的三角函数的关系来证明.
在直角三角形中
A
c
b
B
a DC
在锐角百度文库角形中
B
jc
a
两边同取与 j的数量积 , 得
定义：
解三角形就是：
A
c
b
B
a
C
定义：把三角形的三个角A，B，C和 三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知 三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 解三角形。
解三角形就是：由已 知的边和角，求未知 B 的边和角。
A
c
b
a
C
知识回顾：
请你回顾一下：同一三角形中的边角关系 （1）三边： a+b>c, a+c>b, b+c>a
求B和c。
3
解: a b
sinA sinB
sinB bsinA 2
2
2 2 1
a
2
B 900 c 2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
bc, sinB sinC
同理可得 a c ,
sinA sinC
即： a b c sinA sin B siC n
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
此时也有
sinB
AD c
且 s（ in C） A bD siC n
仿(2)可得 a b c
j AC CB j AB
j AC j CB j AB （ 根 据 向 量 的 数 量 定 积 义 的 ）
A
b
C
证 明 ：A过 作点 单 位 向 j垂量 直
于AC，
j与AC的
夹
角
为 90
，
j与CB的
夹
角
为 90
C
，
j与AB的 夹 角 为90A .
由向量加法的三角形法则
ACCBAB
B 由(1)(2)(3)知，结论成立．
A c
b
图2 C D
正弦定理:
abc sinA sinB sinC
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4
求B和c。
3
解 : a b
sin A sin B
3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
sin B b sin A 2
2
2 2
3
a
43 2
3
B 600 或1200
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
4.有没有其他的方法证明以上的等式成立？
求证:
a
b
＝
＝
c
＝ 2R
sin A sin B sin C
（2R为△ABC外接圆直径）
证明： 作外接圆O,
B
过B作直径BC/,连AC/,
BA C 90, C C ' c
a
sin C sin C ' c 2R A
a
sin A
c a
c
sin A
sin sin
B C
b
c
1
c
b sin
B
c c c
c
sin C
A c
b
Ca
B
a b c sinA sinB sinC
2.若三角形是锐角三角形, 如图1, 过点A作AD⊥BC于D,
A
c
b
此时有 siB nA cD ,siC nA bDB
图1 D
C
所以AD=csinB=bsinC, 即
在钝角三角形中
设A 900
过点A作与AC垂直的单位向量 j,
则j与AB的夹角为 A90
B
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
马上完成!
You try
例 1.在 AB 中 ， C 已c知 1,0 A45 ,C30 .
求B 和 角b.边
You try
例 1.在 AB 中 ， C 已c知 1,0 A45 ,C30 .
j ACcos90 j CBcos9( 0 C)
j ABcos9( 0 A) 即asinC csinA a c sinA sinC
同理 , 过 C 点作 j垂直于 CB，可得 c b , 在锐角三角形中
sin C sin B 也有 a b c s iA n s iB n s iC n
C
750 或150 c
a sin C
4 3 3
6 4
sin A
2
2 88 3 3
2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B 和 角b.边
解： B 1 8 (A 0 C ) 1 05
∵
bc sinB sinC
bcsinB sinC
5 10sin105 sin30
65
219
正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
3
解 : a b
sin A sin B
sin B b sin A 2
2
2 2 1
a
4
2
B 300 或1500 (舍去 )
C 1050 c
a sin C 4
6 4
sin A
2
2 2 32
2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
（2）三角： A B C 18 0c
A b
B
（3）边角： 大边对大角
a
C
课前检测
在 Rt ABC 中， A300, C900,a10
求b , c ?
A
c b
Ca
B
问题1：在 ABC 中，设 B Ca,A Cb,A Bc,
证明：
a
b
c
sinA sinB sinC
1. 在一个直角三角 A形BC中
O
C
b
c
2R
sin C
同理 a 2R, b 2R
C/
sin A sinB
能否运用向量的方法
a b c 2R 来证明正弦定理呢? sin A sinB sinC
向量法
利用向量的数量积，产生边的长与内角 的三角函数的关系来证明.
在直角三角形中
A
c
b
B
a DC
在锐角百度文库角形中
B
jc
a
两边同取与 j的数量积 , 得
定义：
解三角形就是：
A
c
b
B
a
C
定义：把三角形的三个角A，B，C和 三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知 三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 解三角形。
解三角形就是：由已 知的边和角，求未知 B 的边和角。
A
c
b
a
C
知识回顾：
请你回顾一下：同一三角形中的边角关系 （1）三边： a+b>c, a+c>b, b+c>a
求B和c。
3
解: a b
sinA sinB
sinB bsinA 2
2
2 2 1
a
2
B 900 c 2
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°，
求B和c。 变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°，
求B和c。
变式2：在△ABC中，已知a＝ 4 3 ，b＝2 2 ，A＝45°，
bc, sinB sinC
同理可得 a c ,
sinA sinC
即： a b c sinA sin B siC n
3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
此时也有
sinB
AD c
且 s（ in C） A bD siC n
仿(2)可得 a b c
j AC CB j AB
j AC j CB j AB （ 根 据 向 量 的 数 量 定 积 义 的 ）
A
b
C
证 明 ：A过 作点 单 位 向 j垂量 直
于AC，
j与AC的
夹
角
为 90
，
j与CB的
夹
角
为 90
C
，
j与AB的 夹 角 为90A .
由向量加法的三角形法则
ACCBAB