《金版新学案》高三数学一轮复习2.3 函数的基本性质作业 (理)福建版

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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋2x
C ．y ＝11＋x
D ．y ＝x
x －1
【解析】 ∵y ＝1－x 2的对称轴为x ＝0，且开口向下， ∴(－∞，0)为其单调递增区间． 【答案】 A
2．已知f(x)＝a(2x ＋1)－2
2x ＋1
是奇函数，则实数a 的值等于( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．±1
【解析】 f(x)的定义域为R 且为奇函数
∴f(0)＝0即a(20＋1)－2
20＋1
＝0，∴a ＝1.
【答案】 A
3．(2009年福建省高三单科质量检查)函数y ＝log 2|x|的图象大致是( )
【解析】 y=log2|x|为偶函数，且定义域为{x|x ≠0}，又当x ＞0时为增函数．
【答案】 C
4．(2008年全国卷Ⅰ)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，
则不等式f(x)－f(－x)
x
＜0的解集为( )
A ．(－1,0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1)
【解析】 由题设知 ＜0 ⇔ ＜0
⇔x ·f(x)＜0.
又由f(x)为奇函数，且在(0，+∞)上为增函数，f(1)=0. 画出f(x)的大致图象，易得答案．故选D. 【答案】 D 5．(2009年陕西卷)定义在R 上的偶函数f(x)，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1
≠x 2)，有
f(x 2)－f(x 1)
x 2－x 1
＜0，则( )
A ．f(3)＜f(－2)＜f(1)
B ．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C ．f(－2)＜f(1)＜f(3)
D ．f(3)＜f(1)＜f(－2)
【解析】 对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f(x 2)－f(x 1)
x 2－x 1
＜0，则x 2
－x 1与f(x 2)－f(x 1)异号，因此函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数．又f(x)在R 上是偶函数，故f(－2)＝f(2)，由于3＞2＞1，故有f(3)＜f(－2)＜f(1)．
【答案】 A
6．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13的
x 取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，23 【解析】 当2x －1≥0，即x ≥1
2
时，因为f(x)在[0，＋∞)单调递增，故
需满足2x －1＜13，即x ＜23，所以12≤x ＜2
3
.
当2x －1＜0，即x ＜1
2
时，由于f(x)是偶函数，故f(x)在(－∞，0]单调递
减，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－13，此时需满足2x －1＞－13，所以13＜x ＜12，综上可得13＜x ＜23.
【答案】 A
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．(2008年湖北卷)已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x 2，则f(7)等于________．
【解析】 由f(x ＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)， 又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)， f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2. 【答案】 －2
8．函数y ＝－(x －3)|x|的递增区间是________．
【解析】 y=-(x-3)|x| =
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为 . 【答案】
9．f(x)、g(x)都是定义在R 上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若
F(a)＝b ，则F(－a)＝________.
【解析】 令G(x)＝F(x)－2＝3f(x)＋5g(x)， 故G(x)是奇函数．
又⎩⎨
⎧
G(a)＝F(a)－2，G(－a)＝F(－a)－2，
解得F(－a)＝－b ＋4. 【答案】 －b ＋4 三、解答题(共46分)
10．(15分)已知函数f(x)＝1a －1
x
(a ＞0.x ＞0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2)若f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2，求a 的值．
【解析】 (1)证明：设x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，
∵f(x 2)－f(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a －1x 1
＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2
＞0， ∴f(x 2)＞f(x 1)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)∵f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2，
又f(x)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2上单调递增，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
2
，f(2)＝2.∴易得a ＝25.
11．(15分)已知函数f(x)＝a －1
|x|
.
(1)求证：函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．
【解析】 (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝a －1
x
，
设0＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0.
f(x 1)－f(x 2)＝⎝
⎛
⎭⎪⎫a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2＝1x 2－1x 1
＝x 1－x 2x 1x 2
＜0.
∴f(x 1)＜f(x 2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由题意a －1
x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝2x ＋1
x
，则a ＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．
可证h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故a ≤h(1)即a ≤3，∴a 的取值范围为(－∞，3]．
12．(16分)函数f(x)＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f
⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2
5
. (1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f(t －1)＋f(t)＜0. 【解析】
(1)依题意得⎩⎨⎧
f(0)＝0
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2
5
即⎩⎪⎨⎪⎧
b
1＋02
＝0，a 2＋b
1＋14
＝2
5⇒⎩⎨
⎧
a ＝1
b ＝0.
∴f(x)＝
x 1＋x 2
. (2)任取－1＜x 1＜x 2＜1，
f(x 1)－f(x 2)＝x 11＋x 12－
x 2
1＋x 22
＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 12)(1＋x 22
) ∵－1＜x 1＜x 2＜1，
∴x 1－x 2＜0,1＋x 12＞0,1＋x 22＞0. 又－1＜x 1x 2＜1， ∴1－x 1x 2＞0
∴f(x 1)－f(x 2)＜0，
∴f(x)在(－1,1)上是增函数． (3)f(t －1)＜－f(t)＝f(－t)． ∵f(x)在(－1,1)上是增函数， ∴－1＜t －1＜－t ＜1，解得0＜t ＜1
2
.。