高中数学(人教A版 选修2-1)活页规范训练：2-3-2双曲线(Word有详解答案)
2017-2018学年人教A版高中数学选修2-1配套练习：2-3双曲线2-3-2 第2课时 含解析 精品
第二章 2.3 2.3.2 第2课时A 级 基础巩固一、选择题1．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是导学号 21324611( D )A ．(－153，153)B ．(0，153)C ．(－153，0) D ．(－153，－1) [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝16k 2＋40(1－k 2)>04k1－k 2>010k 2－1>0，解得－153<k <－1. 2．(2017·甘肃金昌市永昌一中高二期末)直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |4＝1导学号 21324612( D )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．有三个交点[解析] 当x ≥0时，曲线y 29－x |x |4＝1方程可化为：y 29－x 24＝1①将y ＝x ＋3代入①得：5x 2－24x ＝0，解得x ＝0或x ＝245， 即此时直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |4＝1有两个交点；当x ＜0时，曲线y 29－x |x |4＝1方程可化为：y 29＋x 24＝1②将y ＝x ＋3代入②得：13x 2＋24x＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝－2413，即此时直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |4＝1有一个交点；综上所述直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |4＝1有三个交点．故选D ．3．(2017·天津文，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为导学号 21324613( D )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1[解析] 根据题意画出草图如图所示(不妨设点A 在渐近线y ＝bax 上)．由△AOF 的边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝ba x 上，∴ba ＝tan 60°＝ 3. 又a 2＋b 2＝4， ∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D ．4．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的导学号 21324614( C )[解析] 方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y2b ＝1.从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，＋∞)，但B 中直线有a <0，b <0矛盾，应排除；D 中直线有a <0，b >0矛盾，应排除；再看A 中双曲线的a <0，b >0，但直线有a >0，b >0，也矛盾，应排除；C 中双曲线的a >0，b <0和直线中a 、b 一致．应选C ．5．(2017·福建龙岩市高二期末)已知点P 在以点F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，且满足PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率是导学号 21324615( D )A ．52B ．3C ．5D ．102[分析] 由已知得PF 1⊥PF 2，由tan ∠PF 1F 2＝13，得PF 2PF 1＝13，设PF 2＝x ，则PF 1＝3x ，F 1F 2＝2c ＝10x ，由双曲线定义得2a ＝PF 1－PF 2＝3x －x ＝2x ，由此能求出该双曲线的离心率．[解析] 如图，∵点P 在以点F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，且满足PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∵tan ∠PF 1F 2＝13，∴PF 2PF 1＝13，设PF 2＝x ，则PF 1＝3x ，∴F 1F 2＝2c ＝PF 21＋PF 22＝9x 2＋x 2＝ 10x ，由双曲线定义得2a ＝PF 1－PF 2＝3x －x ＝2x ， ∴该双曲线的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝102.故选D ．6．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝导学号 21324616( C )A ．1或5B ．6C ．7D ．9[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0， ∴b a ＝32，∵b ＝3，∴a ＝2. 又||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4， ∴|3－|PF 2||＝4.∴|PF 2|＝7或|PF 2|＝－1(舍去)． 二、填空题7．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A 、B ，若线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值是_±1__.导学号 21324617[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2－y 22＝1，消去y 得x 2－2mx －m 2－2＝0.Δ＝4m 2＋4m 2＋8＝8m 2＋8>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝4m ，∴线段AB 的中点坐标为(m,2m )，又∵点(m,2m )在圆x 2＋y 2＝5上，∴5m 2＝5，∴m ＝±1.8．(2017·安徽合肥高二检测)过双曲线x 220－y 25＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为5，这样的直线有_1__条.导学号 21324618[解析] 依题意得右焦点F (5,0)，所以过F 且垂直x 轴的直线是x ＝5，代入x 220－y 25＝1，得y ＝±52，所以此时弦长为52×2＝ 5.当不垂直于x 轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比5长．因为两顶点间距离为45，即左右两支上的点的最短距离是45，所以如果交于两支的话，弦长不可能为5，故只有一条．三、解答题9．(2017·福建八县一中高二期末测试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，且过点(－3,26).导学号 21324619(1)求双曲线方程和其渐近线方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数k 的取值范围． [解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝49a 2－24b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝3.∴双曲线方程为x 2－y 23＝1，其渐近线方程为y ＝±3x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2－4kx －7＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0Δ＝16k 2＋28(3－k 2)＝0，∴k 2＝7，∴k ＝±7.当直线l 与双曲线C 的渐近线y ＝±3x 平行，即k ＝±3时，直线l 与双曲线C 只有一个公共点，∴k ＝±7或k ＝±3.10．(2017·山东荷泽高二检测)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点.导学号 21324620(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线l ，直线l 与双曲线交于不同的A ，B 两点，求AB 的长．[解析] (1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴ca ＝3，a ＝3，解得c ＝3，又c 2＝a 2＋b 2，b ＝6， ∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴直线l 的方程为y ＝33(x －3)， 联立⎩⎨⎧x 23－y 26＝1，y ＝33(x －3)，得5x 2＋6x －27＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275，所以|AB |＝1＋13·(－65)2－4×(－275)＝1635.B 级 素养提升一、选择题1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为导学号 21324621( D )A ．13B ．12C ．23D ．32[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D ．2．(2017·浙江杭州高三模拟)设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过点F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支相交的充要条件是导学号 21324622( C )A ．k 2－e 2>1B ．k 2－e 2<1C ．e 2－k 2>1D ．e 2－k 2<1[解析] 直线l 与双曲线C 的左、右两支相交的充要条件是直线l 的斜率－b a <k <ba，两边平方得，k 2<b 2a 2＝c 2－a2a2＝e 2－1，即e 2－k 2>1.3．已知实数4、m 、9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为导学号 21324623( C )A ．306B ．7C ．306或7 D ．56或7 [解析] ∵4、m 、9成等比数列，∴m 2＝36，∴m ＝±6.当m ＝6时，圆锥曲线方程为x 26＋y 2＝1，其离心率为306；当m ＝－6时，圆锥曲线方程为y 2－x 26＝1，其离心率为7，故选C ．4．(2017·甘肃金昌市永昌一中高二期末)从双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的关系为导学号 21324624( C )A ．|MO |－|MT |＞b －aB ．|MO |－|MT |＜b －aC ．|MO |－|MT |＝b －aD ．|MO |－|MT |与b －a 无关[解析] 如图所示，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′.∵点M ，O 分别为线段PF ，FF ′的中点． 由三角形的中位线定理可得：|OM |＝12|PF ′|＝12(|PF |－2a )＝ ＝|MF |－a ，∴|OM |－|MT |＝|MF |－|MT |－a ＝|FT |－a ，连接OT ，则OT ⊥FT ，在Rt △FOT 中，|OF |＝c ，|OT |＝a ， ∴|FT |＝|OF |2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . ∴|OM |－|MT |＝b －a .故选C ． 二、填空题5．(2017·北京文，10)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝_2__.导学号 21324625[解析] 由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ， 故双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋m ＝3，∴1＋m ＝3，解得m ＝2.6．(2016·浙江高考)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是导学号 21324626三、解答题7．已知曲线C ：x 2－y 2＝1和直线l ：y ＝kx －1.导学号 21324627 (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠04k 2＋8(1－k 2)>0， 解得－2<k <2，且k ≠±1，∴k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)结合(1)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2.∵点O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2， ∴S △AOB ＝12|AB |d ＝128－4k 2(1－k 2)2＝2，即2k 4－3k 2＝0. ∴k ＝0或k ＝±62.∴适合题意的k 的取值为0、62、－62. 8．(2017·南昌高二检测)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．如图，B 是右顶点，F是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA →|，|OB →|，|OF →|成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P . 导学号 21324628(1)求证：P A →·OP →＝P A →·FP →.(2)若l 与双曲线C 的左右两支分别相交于点E ，D ，求双曲线离心率e 的取值范围． [解析] (1)双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，F (c,0)，所以直线l 的斜率为－ab ，所以直线l ：y ＝－ab(x －c )．由⎩⎨⎧y ＝－ab(x －c )，y ＝ba x ，得P (a 2c ，ab c)，因为|OA →|，|OB →|，|OF →|成等比数列， 所以x A ·c ＝a 2，所以x A ＝a 2c，A (a 2c ，0)，P A →＝(0，－ab c)， OP →＝(a 2c ，ab c)，FP →＝(－b 2c ，ab c )，所以P A →·OP →＝－a 2b 2c 2，P A →·FP →＝－a 2b 2c 2，则P A →·OP →＝P A →·FP →. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a b (x －c )，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2，得(b 2－a 4b 2)x 2＋2a 4b 2cx －(a 4c 2b2＋a 2b 2)＝0，x 1x 2＝－(a 4c 2b2＋a 2b 2)b 2－a 4b2， 因为点E ，D 分别在左右两支上，所以－(a 4c 2b2＋a 2b 2)b 2－a 4b 2<0，所以b 2>a 2，所以e 2>2，所以e > 2.C 级 能力拔高已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点.导学号 21324629 (1)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y ＝12x 对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1，消去y 得，(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.①依题意⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3② 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2③x 1x 2＝－23－a 2④∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，但y 1y 2＝a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1， 由③④知，∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0.解得a ＝±1且满足②.(2)假设存在实数a ，使A 、B 关于y ＝12x 对称，则直线y ＝ax ＋1与y ＝12x 垂直，∴a ＝－2.直线l 的方程为y ＝－2x ＋1. 将a ＝－2代入③得x 1＋x 2＝4. ∴AB 中点横坐标为2， 纵坐标为y ＝－2×2＋1＝－3.但AB 中点(2，－3)不在直线y ＝12x 上．即不存在实数a ，使A 、B 关于直线y ＝12x 对称．。
高二数学人教A版选修2-1(第2.3.1 双曲线及其标准方程) Word版含答案
绝密★启用前2.3.1双曲线及其标准方程一、选择题1．【题文】双曲线x y 222-=8的焦点坐标是（ ）A.()23,0± B.()0,23± C.()2,0± D.()0,2±2．【题文】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于 （ ）A ．11B ．9C ．5D ．33．【题文】下列曲线中焦点坐标为()1,0-的是（ ）A ．223312x y -=B ．2214x y +=C ．22143x y -= D ．22123x y +=4．【题文】若双曲线22149x y -=上一点P 到左焦点的距离是3，则点P 到右焦点的距离为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．【题文】过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点，若7PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则△2PF Q 的周长是（ ）A ．28B ．1482-C ．1482+D ．826．【题文】椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同的焦点1F 、2F ，P 是这两条曲线的一个交点，则△12F PF 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．127．【题文】过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，若1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -<-D ．b a MO MT -=+8．【题文】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S SSλ=+成立，则λ的值为（ ）A ．1222+ B ．231- C ．21- D ．21+二、填空题9．【题文】设m 为常数，若点()5,0F 是双曲线2219x y m-=的一个焦点，则m = ．10．【题文】已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +=_______．11．【题文】若动圆M 与圆1C ：()224+2x+y =外切，且与圆2C ：()224+2x y -=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程________．三、解答题12．【题文】求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．13．【题文】已知命题p ：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线.命题q ：曲线()2231y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.14．【题文】已知()12,0F -，()22,0F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点，无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(),0M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值.2.3.1双曲线及其标准方程参考答案及解析1.【答案】A【解析】双曲线方程整理为222221,4,8,12,2348x ya b c c-=∴==∴=∴=，焦点为()23,0±，故选A.考点：双曲线方程及性质.【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =， 故选B ．考点：双曲线的标准方程和定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】A【解析】双曲线223312x y -=中，223a =，213b =，故2221c a b =+=，焦点为()1,0±，符合题意；椭圆2214x y +=中，焦点为()3,0±，不符合题意；双曲线22143x y -=中，焦点为()7,0±，不符合题意；椭圆22123x y +=中，焦点为()0,1±，不符合题意.故选A.考点：椭圆与双曲线的焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】由双曲线方程可知2224,9,13,2,3,13a b c a b c ==∴=∴===，P 到左焦点的距离是3，所以P 在左支上且11223,4,34,PF PF PF PF =∴-=∴-=27PF ∴=.考点：双曲线定义及方程. 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】C【解析】由双曲线方程可知22a b ==，884c =+=，根据双曲线的定义， 得2142PF PF -=，2142QF QF -=，∴2142PF PF =+，2142QF QF =+，相加可得221182PF QF PF QF +=++， ∵117PF QF PQ +==，∴22782PF QF +=+，因此△2PF Q 的 周长2278271482PF QF PQ =++=++=+，故选C ．考点：双曲线的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】C【解析】联立两方程得22221,41,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得33y =，由题意可知1223F F =，所以121323123F PF S =⨯⨯=△.考点：焦点三角形的面积. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】A【解析】连接OT ，则1OT PF ⊥，在1FTO △中，1TF b =．连接2PF ， 在12PF F △中，O 、M 分别是12F F 、1PF 的中点，所以212OM PF =， ()()21121111122222MO MT PF PF TF PF PF b a b b a ⎛⎫∴-=--=-+=-+=- ⎪⎝⎭，故 选A ．考点：双曲线的定义，直线与圆相切． 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】C【解析】设△12PF F 的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c -==，1112IPF SPF r =⋅，2212IPF S PF r =⋅，12122IF F S c r cr =⋅⋅=.由题意得：121122PF r PF r cr λ⋅=⋅+，∴122PF PF a c c λ-==，又2122b F F c a==， ∴222c a ac -=，∴21acλ==-，故选C ． 考点：双曲线定义的应用. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】16【解析】由点()5,0F 是双曲线2219x y m -=的一个焦点及222c a b =+可得，259m =+，解得16m =．考点：双曲线的标准方程． 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】23【解析】设点P 在双曲线的右支上，因为12PF PF ⊥，所以()2221222PF PF =+，又因为122PF PF -=，所以()2124PF PF -=，可得1224PF PF ⋅=， 则()222121212212PF PF PF PF PF PF +=++⋅=，所以1223PF PF +=. 考点：双曲线定义的应用. 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】()2212214x y x -=≥ 【解析】设动圆M 的半径为r ，则由已知1+2MC r =，22MC r =-， ∴1222MC MC -=．又()14,0C -，()24,0C ，∴128C C =．∴1222C C <．根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以()14,0C -、()24,0C 为焦点的双曲线的右支．∵2a =，4c =，∴22214b c a =-=，∴点M 的轨迹方程是()2212214x y x -=≥．考点：求轨迹方程. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】22135x y -= 【解析】由椭圆的方程为22185x y +=可知8,5a b ==，则3c =，又因为双曲线 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，所以双曲线中 3,8,5a c b ===，则双曲线的方程为221.35x y -= 考点：双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较易 13. 【答案】522m <≤或12m < 【解析】若命题p 为真，则2m >；若命题q 为真，则52m >或12m <，∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴,p q 一真一假，若p 真q 假，则522m <≤；若p 假q 真，则12m <.∴实数m 的取值范围为522m <≤或12m <.考点：双曲线的标准方程，二次函数的图像，简易逻辑关系. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】（1）()22113y x x -=≥ （2）1- 【解析】（1）由12122PF PF FF -=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，22,22,3c a b ==∴=，故轨迹E 的方程为()22113y x x -=≥. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()()11222,,,,y k x P x y Q x y =-，与双曲线方程联立消去y 得()222234430k x k x k --++=，22122212230,0,40,3430,3k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪∴⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得23k >， ()()()()()()21212121222MP MQ x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++ ()()()()22222222222143423454.333k k k k m m k m k m k k k +++-+=-++=+--- ,0MP MQ MP MQ ⊥∴⋅=，()()22231450m k m m ∴-+--=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧-=⎪∴⎨--=⎪⎩解得 1.m =- ∴当1m =-时，MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时，由()()2,3,2,3P Q -及()1,0M -知结论也成立， 综上，当1m =-时，MP MQ ⊥.考点：圆锥曲线的轨迹问题及双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较难。
高中数学人教A版选修2-1学业测评：2.3.2 双曲线的简单几何性质 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D.y 28－x 28＝1【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)， ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1，0)是双曲线的右顶点，所以过P (1，0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( ) 【导学号：18490063】A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2【解析】 由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C.【答案】 C4．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】 若0<k <5，则5－k >0，16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 4；同理方程x 216－k－y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2D.32【解析】 双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y ＝±x ，即b a ＝1，e ＝ca ＝ 2.【答案】 C 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5， ∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 27．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】 由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 448．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为： ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫am3b －a ，bm 3b －a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－ba x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ， 则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2m9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2， ∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m9b 2－a 2a 2m 9b 2－a2－m ＝－3，即3b 2a 2－（9b 2－a 2）＝－3，化简得a 2＝4b 2， 即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2， ∴e 2＝54，∴e ＝52.【答案】 52 三、解答题9．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】 由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上，∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ， ∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a 2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1. 由a 2＝24，c 2＝48，得e 2＝c2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.10．已知双曲线x 23－y 2b 2＝1的右焦点为(2，0)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积． 【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为x 23－y 2b2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1， ∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ， 令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A ，B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积为S ，则S ＝12×433×2＝43 3.[能力提升]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】 曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3，0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】 由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】 双曲线的左焦点为F 1(－2，0)， 将直线AB 的方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程； 【导学号：18490064】(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA→·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围． 【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）>0，即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2， 由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B>2， 而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1， 于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3. ②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 Word版含答案.docx
2.3.2双曲线的简单几何性质课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点焦距范围对称性顶点轴长实轴长＝____，虚轴长＝____离心率渐近线一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0)①双曲线C：x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1 B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1 D.x24－y210＝12．双曲线x225－y24＝1的渐近线方程是()A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A .43B 53C . 2 D .73二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________． 三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．设双曲线x 2－y 22＝1上两点A 、B ，AB 中点M(1,2)，求直线AB 的方程．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A .2B . 3C .3＋12D .5＋1213．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1 (a>0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ；其上任一点P(x ，y)的横坐标均满足|x|≥a.2．双曲线的离心率e ＝c a 的取值范围是(1，＋∞)，其中c 2＝a 2＋b 2，且ba＝e 2－1，离心率e 越大，双曲线的开口越大．可以通过a 、b 、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记为x 2a 2－y 2b 2＝0；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x 2a 2－y2b2＝λ (λ≠0)． 2.3.2 双曲线的简单几何性质知识梳理 1. 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≥a 或y ≤－a ，x ∈R对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a )，(0，a ) 轴长实轴长＝2a ，虚轴长＝2b离心率 e ＝ca(e >1)渐近线 y ＝±b a x y ＝±abx作业设计1．B [∵e ＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，故选B.]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.故选C.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y＝±22x .]5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53.] 7.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3.又a >b ，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y 216＝1(x >3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5,0)，C (5,0)，而|AB |－|AC |＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．9.x 294－y24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.11．解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0， 当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，∴k ＝1，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1x 22－y 222＝1， 两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2，∴k AB ＝2×1×22×2＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0.∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 12.D [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－bc)＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.]13．解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得－2<a <2且a ≠±1. 又∵a >0，∴0<a <2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，∴0<a <2，且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2.∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)．∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， 由此可得x 1＝512x 2.∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169.又∵a >0，∴a ＝1713.。
高中数学人教版选修2-1课后训练2-3-2 双曲线的简单几何性质 Word版含解析
课后课时精练一、选择题．设双曲线－＝(>)的渐近线方程为±＝，则的值为( ). .. .解析：∵焦点在轴上，∴渐近线方程为＝±，又∵渐近线方程为±＝，∴＝.答案：．[·广东实验中学期末]已知双曲线－＝(>，>)，两渐近线的夹角为°，则双曲线的离心率为( ) . .. . 或解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线－＝(>，>)，两渐近线的夹角为°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为＝，所以结果为或，故选.答案：．已知双曲线的渐近线方程为＝±，则此双曲线的( ). 焦距为. 实轴长和虚轴长分别是和. 离心率是或. 离心率不确定解析：若焦点轴，则＝，∴＝＝；若焦点在轴上，则＝，∴＝.∴＝＝.答案：．[·大纲全国卷]双曲线：－＝(>，>)的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于( ) . .. .解析：本题主要考查双曲线的几何性质，意在考查考生的基本运算能力．双曲线的渐近线方程为＝±，即±＝.焦点为(±)，故焦点到渐近线的距离＝＝，解得＝.而离心率＝＝，故＝，又＝＝＝，所以＝.故＝＝，所以双曲线的焦距为＝，选.答案：.已知双曲线的两个焦点为(－，)，(，)，是此双曲线上的一点，且满足·＝，·＝，则该双曲线的方程是( )－＝．－＝－＝－＝解析：本题主要考查双曲线的定义，向量数量积及解三角形等知识．由·＝可得＋＝＝，又由·＝可得－＝＝，得＝，＝，故选.答案：. [·湖北高二检测]设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ). .. .解析：设直线的斜率为－，则与其垂直的渐近线的斜率为，所以有－＝－即＝，所以－＝，两边同时除以可得－－＝，解得＝或＝(舍)．答案：二、填空题.。
高中数学人教A版选修2-1课件：2-3-2 双曲线的简单几何性质
������2 故所求双曲线的标准方程为 4
������2 综上可知所求双曲线的标准方程为 9
������2 − 9
= 1.
������2 − 4
=1
������2 或 4
������2 − 9
= 1.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
反思双曲线的方程有两种设法,第一种方法是直接设出双曲线的标 准方程,利用条件列出独立的关于a,b,c的等式,解方程组求出待定 系数.第二种方法是利用共渐近线的双曲线系,由题设条件建立关 于参数λ的关系式并确定λ,但应注意λ的符号与双曲线焦点位置的 对应.
2
= 1(������ > 0, ������ > 0).
∵c =a +b ,∴a +b =13.
������ 2
2
2
2
2
2
∵渐近线的斜率为 ������ = 3 或 ������ = 3,
������
������2 + ������ 2 = 13. ������2 + ������ 2 = 13 ������2 = 4, ������2 = 9, ∴ 2 或 2 ������ = 9. ������ = 4 2 ������ ������2 ������2 ������2 故所求双曲线的标准方程为 − = 1 或 − = 1.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 1】 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条 件的双曲线方程: (1)双曲线过点(3,9 2), 离心率������ = (2)过点 P(2,-1),渐近线方程是 y=±3x.
人教a版-高中数学-选修2-1-第二章-圆锥曲线_2.3双曲线_-2.3.2_双曲线的简单几何性质-练习与答案
C．6
D．4 3
23、如图， ax－ y ＋ b＝ 0 和 bx2＋ ay2＝ ab(ab≠ 0)所表示的曲线只可能是 ( )
24、已知双曲线 E 的中心为原点， F(3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点， 且 AB 的中点为 N( －12 ，－ 15) ，则 E 的方程为 ( )
10．已知 F1、F2 是双曲线 a2－b2＝1( a>0，b>0) 的两个焦点， PQ是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲
线的弦．如果∠ PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
2
2
11. 求 x y 1 的准线方程、两准线间的距离 .
34
5 12．设双曲线中心是坐标原点，实轴在 y 轴上，离心率为 2 ，已知点 P(0,5) 到这双曲线上的
17．与椭圆 x2 y 2 1有共同焦点，渐近线方程为 x 16 8
3y 0 的双曲线方程为 ________.
18．求与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点 M(2，－ 2) 的双曲线方程．
19. 求与双曲线 x2 y2 1有公共渐近线， 且经过 A 2 3, 3 点的双曲线的标准方程及离心率． 16 9
x2 y2
(A)
1
36
x2 y2
(B)
1
45
(C)
x2 y2 1
63
x2 (D)
5
y2 1 4
x2 25.直线 2x-y-10=0 与双曲线
y2
1 的交点是 _______.
20 5
26. 经过点 M(2,2) 作直线 l 交双曲线 x2 y 2 1于 A,B 两点，且 M为 AB中点 . 4
人教新课标版数学高二数学选修2-1练习2-3-2双曲线的几何性质
技能演练基 础 强 化1．双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 解析 依题意a ＋b ＝2c ，a ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，解得b ＝2，又焦点在y 轴上，∴双曲线方程为y 24－x 24＝1.答案 B2．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.32解析 依题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，∴a ＝b ，∴c 2＝2a 2，∴c2a2＝2，∴e ＝ 2.答案 C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析 记e 1＝a 2＋b 2a ，e 2＝m 2－b 2m，又e 1·e 2＝1，∴ a 2＋b 2·m 2－b 2am ＝1，化简得b 2(m 2－a 2－b 2)＝0，∵b 2>0，∴m 2－a 2－b 2＝0，即m 2＝a 2＋b 2，∴以a 、b 、m 为边长的三角形一定是直角三角形． 答案 B4．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝100C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析 由题意知，c ＝64－16＝43，a ＝b ，∴2a 2＝c 2＝48，∴a 2＝24，故所求双曲线方程为y 2－x 2＝24.答案 D5．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值是( )A.12B.32C.72D ．5解析 由双曲线的定义及性质知，动点P 的轨迹是双曲线的一支，且A 、B 为焦点，c ＝2，a ＝32，∴|PA |的最小值为a ＋c ＝72.答案 C6．已知双曲线x 2n －y 212－n＝1的离心率为3，则n ＝________.解析 依题意知a 2＝n ，b 2＝12－n ，又e ＝3，∴e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a2＝n ＋12－nn＝3，∴n ＝4. 答案 47．过双曲线x 24－y 23＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝________.解析 由双曲线的定义知|MF 2|－|MF 1|＝4，|NF 2|－|NF 1|＝4，∴|MF 2|＋|NF 2|－|MF 1|－|NF 1|＝|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝8.答案 88．若双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2，则k 的值为__________．解析 依题意知k ＋4<0，∴k <－4，又e ＝ca ＝2，∴e 2＝c 2a 2＝－(k ＋4)＋99＝4，∴k ＝－31.答案 －31能 力 提 升9．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (23，－3)的双曲线方程．解 设与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)．∵A (23，－3)在双曲线上， ∴λ＝(23)216－(－3)29＝－14.∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝－14即4y 29－x 24＝1.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积． 解 (1)∵e ＝ 2.∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)， ∴λ＝16－10＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝2 3.∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)．∴MF1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )． ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴－3＋m 2＝0. ∴MF 1→·MF2→＝0. (3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.品 味 高 考11．(2010·海南)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析 依题可设渐近线的方程为y ＝－ba x ， 代入点(4，－2)，得a ＝2b .∴e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54，又∵e >1，∴e ＝52.答案 D12．(2010·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点为________；渐近线方程为________．解析 由x 225＋y 29＝1知，c 2＝25－9＝16，∴c ＝4.∴焦点坐标为(±4,0)． 又e ＝ca ＝2，∴a ＝2. ∴b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12. ∴b ＝2 3.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0. 答案 (±4,0)3x ±y ＝0。
数学人教A版选修2-1优化练习第二章 2.3 2.3.2 双曲线的简单几何性质 Word版含解析
[课时作业][组基础巩固]．设双曲线－＝(>，>)的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为( ) ．＝±．＝±．＝±．＝±解析：由题意得＝，＝ .∴＝，∴双曲线的渐近线方程为＝±，即＝±.答案：．双曲线－＝的实轴长是( )．．．．解析：将双曲线－＝化成标准方程－＝，则＝，所以实轴长＝.答案：．双曲线＋＝的虚轴长是实轴长的倍，则等于( )．－．－．解析：∵方程＋＝表示双曲线，∴<.将方程化为标准方程为－＝.则＝，＝－.∵双曲线的虚轴长是实轴长的倍，∴可知＝，∴＝，∴－＝，∴＝－.答案：．中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线－＋＝上的等轴双曲线方程是( )．－＝．－＝．－＝．－＝解析：令＝，则＝－，即＝，又＝＋，＝，∴＝，＝.答案：．已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，△为等腰三角形，且顶角为°，则的离心率为( )．解析：不妨取点在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝(＞，＞)，则＝＝，∠＝°－°＝°，∴点的坐标为.∵点在双曲线上，∴－＝，＝，∴＝，＝＝.故选.答案：．已知双曲线－＝(＞)的一条渐近线为＋＝，则＝.解析：双曲线－＝的渐近线为＝±，已知一条渐近线为＋＝，即＝－，因为＞，所以＝，所以＝.答案：．过双曲线－＝(>，>)的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于，两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为．解析：由题意知，＋＝，即＋＝－，∴－－＝，∴－－＝，解得＝或＝－(舍去)．答案：．已知双曲线：－＝(>，>)的离心率＝，且它的一个顶点到较近焦点的距离为，则双曲线的方程为．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为－＝，又＝＝，两式联立得＝，＝，∴＝－＝－＝，∴方程为－＝.答案：－＝．已知椭圆＋＝和双曲线－＝有公共的焦点，求双曲线的渐近线方程及离心率．解析：由双曲线方程判断出公共焦点在轴上，所以椭圆的右焦点坐标为(，)，。
2019-2020学年数学人教A版选修2-1课时规范训练：2.3.2双曲线的简单几何性质
x2 y2 11．已知双曲线 E：a2－b2＝1(a>0，b>0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|＝3|BC|，则 E 的离心率是________．
【答案】2 3
【解析】如图，由题意得|BC|＝|F1F2|＝2c.又 2|AB|＝3|BC|，∴|AF1|＝2c.在 Rt△AF1F2 中，
m
m
m2
∴kMF1·kMF2＝3＋2 3·3－2 3＝－ 3 .
∵点 M(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，即 m2＝3.
∴kMF1·kMF2＝－1.∴MF1⊥MF2.
1
1
(3)解：S△F1MF2＝2|F1F2|·|m|＝2×4 3× 3＝6.
又 a2＋b2＝c2.③
1 所以由①②③可得 a2＝1，b2＝4.
y2 x2 若双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)．
c2 5 2 9 同理有a2＝4，a2－b2＝1，a2＋b2＝c2.
17 解得 b2＝－ 2 (不合题意，舍去)．
故双曲线的焦点只能在 x 轴上，所求双曲线方程为 x2－4y2＝1.
x2 y2
a2 3
8．已知双曲线 C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率为 3， c ＝ 3 .
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)已知直线 x－y＋m＝0 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点在圆
x2＋y2＝5 上，求实数 m 的值．
c
a2 3
解： (1)∵a＝ 3， c ＝ 3 ，∴a＝1，c＝ 3.
( )3 c 2＋2c2
5c
高中数学人教A版选修2-1双曲线基础训练题.docx
双曲线基础训练题1.平面内有定点1(5,0)F - 和2(5,0)F ，动点P 满足条件126PF PF -=,则动点P 的轨迹方程是（）。
A 221(4)169x y x -=≤-B 221(3)916x y x -=≤-C 221(4)916x y x -=≥ D 221(3)916x y x -=≥2. 双曲线2213649x y-=的渐近方程是 ( ) (A) 03649xy ±= (B) 03649y x ±= （C ）067x y ±= (D) 076x y±=3. 直线3y x =+与曲线22144x y -+= 的交点的个数是 （ ）(A) 0个 (B) 1个 （C ） 2个 (D)3个4. 双曲线 221x ay -= 的焦点是 （ ）(A) (1,0),(1,0)a a +-+ (B) (1,0),(1,0)a a ---（C ）11(,0),(,0)a a a a ++- (D) 11(,0),(,0)a aa a ---5. 若双曲线221x y -=右支上一点(,)p a b 到直线的y x =距离是2，则a b +的值为 （ ） (A) 12- (B) 12 （C ）1122-或 (D) 2-或26. 以(2,0)F 为一个焦点， 渐近线是3y x =±双曲线方程是 （ ）(A) 2213y x -= (B) 2213y y -= （C ）22123x y -= (D) 22132y y -=7. 方程 22132x y m m -=-+ 表示双曲线， 则m 的取值范围是 （ ）(A) 2m <- (B) 3m > （C ）23m m <->或 (D) 23m -<<8． 和椭圆221259x y +=有共同焦点，且离心率为2的双曲线方程是 （ ） (A) 221414x y -= (B) 221412x y -= （C ）221614x y -= (D) 221612x y -= 9. 设双曲线22221(0)x y a b a b-=<< 的半焦距为c 直线l 过(a,0),(0,b) 两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为 （ ）。
人教版高中数学选修2-1练习：2-3-2双曲线的简单几何性质a
3 讲堂成效落实221. [2014 课·标全国卷Ⅰ ] 已知双曲线x2－y＝1(a>0)的离心率为 2，a3则 a ＝()A. 2B. 62 C. 5D. 12分析：由于双曲线的方程为 x 2 y 2 3＝＋＝，所以a3a4a 2＝1，a ＝1.选 D.答案： D2. 已知直线 y ＝－ xx2y23 是双曲线22a －b ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，则此双曲线的离心率是 ()A.10 B. 333C. 3D. 555分析：此题主要考察双曲线的简单几何性质． 由于双曲线的一条渐近线方程为x b 1y ＝－ 3，所以 a ＝3，所以a ＝3b ，a 2＝9b 2，所以c 2＝10b 2，所以离心率为ce ＝a ＝10b 29b 2 ＝10 3 ，应选A.答案： A3. [2013 ·福建高考 ]双曲线 x 2－y 2＝1 的极点到其渐近线的距离等于()12A. 2B. 2C. 1D.2分析：此题主要考察双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线 x 2－y 2＝1 的渐近线为 x ±y ＝0，极点坐标为 ( ±1,0)，故极点到渐近2，应选 B.线的距离为 2 答案： B4 ．双曲线x 2－ y 2＝ 1 的实轴长等于________，虚轴长等于5 4________，焦点坐标是 ________，离心率是 ________，渐近线方程是________．答案：2 5 4(－3,0)和(3,0)3525x5 ＝±y 55. [2014 ·湖南省长沙一中期中考试 ]已知焦点在座标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为 y ± 3x ＝0，焦点到渐近线的距离为 3，求此双曲线的方程．解：设双曲线方程为 y 2－3x 2＝ k(k ≠0)，当 k>0 时， a 2＝k ，b 2＝k3，c2＝4k 3，4k此时焦点为 (0，±3 )，4k由题意得 3＝23，解得 k ＝27，双曲线方程为 y 2－3x 2＝27，即y 2 x 227－ 9 ＝1；当 k<0 时， a 2＝－k3，b2＝－ k ，c 2＝－4k3，4k此时焦点为 ( ± － 3 ，0)， 由题意得 3＝－ 4k－3x 2＝－ 9，2 ，解得 k ＝－ 9，双曲线方程为 y 2x 2 y 2即 3 －9 ＝1.y 2 x 2 x 2 y 2∴所求双曲线方程为 27－ 9＝1 或 3 －9＝1.。
2021-2022学年人教A版高中数学选修2-1配套练习：2.3双曲线2.3.1 Word版含解析
其次章 2.3 2.3.1A 级 基础巩固 一、选择题1．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程的曲线是导学号 21324532( D ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 [解析] 方程mx 2－my 2＝n 可化为：y 2－n m －x 2－n m ＝1，∵mn <0，∴－nm >0，∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．2．双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为导学号 21324533( A )A ．22或2B ．7C ．22D ．2[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，由双曲线定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10，由题意知|PF 1|＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝22或2.3．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是导学号 21324534( A )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－2[思路分析] 由于方程表示焦点在x 轴上的双曲线，故k ＋3>0，k ＋2<0.[解析] 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0k ＋2<0，解得－3<k <－2.4．(2021·甘肃金昌市永昌一中高二期末)椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k 2－y 23＝1有相同的焦点，则k 的取值范围导学号 21324535( C )A ．k >3B ．2<k <3C ．k ＝2D ．0<k <2[解析] 双曲线x 2k －y 23＝1的焦点(±3＋k ，0)，椭圆的焦点坐标(±9－k 2，0)，椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，可得：3＋k ＝9－k 2，k ＞0，解得k ＝2.故选：C ． 5．(2021·福建八县一中高二期末测试)△ABC 中，A (－5,0)、B (5,0)，点C 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A －sin B sin C ＝导学号 21324536( D )A ．35B ．±35C ．－45D ．±45[解析] 在△ABC 中，sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R ＝102R. ∴sin A －sin B sin C ＝|BC |－|AC |2R 102R ＝|BC |－|AC |10.又∵|BC |－|AC |＝±8， ∴sin A －sin B sin C ＝±810＝±45.6．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是导学号 21324537( D )A ．16B ．18C ．21D ．26[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 二、填空题7．双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A (－5，6)，则双曲线的标准方程为 y 216－x 220＝1 .导学号 21324538[解析] 解法一：由已知得，c ＝6，且焦点在y 轴上，则另一焦点坐标是(0,6)． 由于点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的确定值是常数2a ，即2a ＝|(－5)2＋(6＋6)2－(－5)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求的双曲线标准方程是y 216－x 220＝1.解法二：由焦点坐标知c ＝6，∴a 2＋b 2＝36， ∴双曲线方程为y 2a 2－x 236－a 2＝1.∵双曲线过点A (－5,6)，∴36a 2－2536－a 2＝1，∴a 2＝16，b 2＝20. 双曲线方程为y 216－x 220＝1.8．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为__y 24－x 25＝1__.导学号 21324539 [解析] 椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝3，a 2＋b 2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)、B (－15，4)， 由点A 在双曲线上知，16a 2－15b2＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝916a 2－15b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝5.∴所求曲线的方程为y 24－x 25＝1.三、解答题9．已知双曲线经过两点M (1,1)、N (－2,5)，求双曲线的标准方程.导学号 21324540[解析] 设所求双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，将点M (1,1)、N (－2,5)代入上述方程，得到⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝14m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝87n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.10．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.导学号 21324541[解析] 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有 |MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝c 2－a 2＝914.∴双曲线方程为4x 29－4y 291＝1(x ≤－32)．B 级 素养提升 一、选择题1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)为定点，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝5时，P 点的轨迹分别为导学号 21324542( D )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线的一支和一条直线C ．双曲线和一条射线D ．双曲线的一支和一条射线[解析] |F 1F 2|＝(－8－2)2＋(3－3)2＝10a ＝3时，|PF 1|－|PF 2|＝6<10 ∴P 点轨迹为靠近F 2的双曲线一支 a ＝5时，|PF 1|－|PF 2|＝10＝|F 1F 2| ∴P 点轨迹为靠近F 2的一条射线．2．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是导学号 21324543( A )A ．±1B ．1C ．－1D ．不存在[解析] 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1， 对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：明显双曲线焦点在x 轴上， 故4－m 2＝m 2＋2. ∴m 2＝1，即m ＝±1.3．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于导学号 21324544( D )A ．23B ．1C ．2D ．4[解析] NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，由于|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D ．4．设F 为双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以F A 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则|FN |－|FM ||F A |的值为导学号 21324545( D )A ．25B ．52C ．54D ．45[解析] 对点A 特殊化，不妨设点A 为双曲线的右焦点，依题意得F (－5,0)，A (5,0)， |FN |－|NA |＝8，|FM |＝|NA |，所以|FN |－|FM |＝8，|FN |－|FM ||F A |＝810＝45，选D ．二、填空题5．设F 1、F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于_24__.导学号 21324546[解析] 由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.6．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为_9__.导学号 21324547[解析] ∵F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，∴a ＝2，b ＝23，c ＝4，F (－4,0)，右焦点H (4,0) 由双曲线定义|PF |＋|P A |＝2a ＋|PH |＋|P A |≥2a ＋|AH |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝9.三、解答题7．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？导学号 21324548 [解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝1和x ＝－1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝1和y ＝－1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．8．在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，B (－1,0)、C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 时，顶点A 的轨迹，并画出图形.导学号 21324549[解析] ∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1，即|AB |－|AC |＝1<|BC |＝2.∴动点A (x ，y )的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线 ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ′＝12c ′＝2b ′2＝c ′2－a ′2，∴⎩⎨⎧a ′＝12b ′＝32.∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1.由于c >b 就是|AB |>|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点(12，0)如图所示．C 级 力量拔高争辩x 225－k ＋y 29－k ＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？导学号 21324550[解析] 由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k <9,9<k <25，k >25，分别进行争辩． ①当k <9时，25－k >0,9－k >0，所给方程表示椭圆， 此时，a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，a 2－b 2＝16， 这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)． ②当9<k <25时，25－k >0,9－k <0， 所给方程表示双曲线，此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16， 这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)． ③当k >25时，所给方程不表示任何圆锥曲线．。
2019数学人教a版选修2-1优化练习：第二章 2.3 2.3.2 双曲线的简单几何性质 word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±2xC ．y ＝± 22xD ．y ＝± 12x解析：由题意得b ＝1，c ＝ 3.∴a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝± bax ，即y ＝±22x.答案：C2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42解析：将双曲线2x 2－y 2＝8化成标准方程x 24－y 28＝1，则a 2＝4，所以实轴长2a ＝4. 答案：C3．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.14解析：∵方程mx 2＋y 2＝1表示双曲线，∴m<0.将方程化为标准方程为y 2－x 2－1m＝1.则a 2＝1，b 2＝－1m.∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍， ∴可知b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14. 答案：A4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：令y ＝0，则x ＝－4，即c ＝4， 又c 2＝a 2＋b 2，a ＝b ，∴c 2＝2a 2，a 2＝8. 答案：A5．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C.3D.2解析：不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为⎝⎛⎭⎫2a，3a.∵M点在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a＝b，∴c＝2a，e＝ca＝ 2.故选D. 答案：D6．已知双曲线x2a2－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝________.解析：双曲线x2a2－y2＝1的渐近线为y＝±xa，已知一条渐近线为3x＋y＝0，即y＝－3x，因为a＞0，所以1a＝3，所以a＝33.答案：3 37．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a＋c＝b2a，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：28．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝ca ＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， ∴方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝19．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，求双曲线的渐近线方程及离心率．解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， 所以椭圆的右焦点坐标为(3m 2－5n 2，0)， 双曲线的右焦点坐标为(2m 2＋3n 2，0)，所以3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，所以m 2＝8n 2， 即|m|＝22|n|，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±6|n|2|m|x ，y ＝±34x.离心率e ＝2m 2＋3n 22|m|＝194，e ＝194.10．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解析：(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc|b 2＋12＝3，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0， 将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[B 组 能力提升]1．(2016·高考全国Ⅰ卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：根据双曲线的焦距，建立关于n 的不等式组求解． 若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n>0，3m 2－n>0.又∵(m 2＋n)＋(3m 2－n)＝4， ∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n>0，3－n>0，∴－1<n<3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为 y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2>0，－m 2－n>0，即n>3m 2且n<－m 2，此时n 不存在．故选A. 答案：A2．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( ) A ．(1,1＋2) B ．(1＋2，＋∞) C ．(1－2，1＋2)D ．(2，2＋1)解析：由△ABF 2为锐角三角形得， b 2a2c <tan π4＝1，即b 2<2ac ，∴c 2－a 2<2ac ， ∴e 2－2e －1<0，解得1－2<e<1＋2，又e>1，∴1<e<1＋ 2.答案：A3．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A ⎝⎛⎭⎫0，66，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．解析：由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F(3,0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF 1|＝2，所以|PF|＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF 1|＋2＋|AF|.因为|AF|＝32＋(66)2＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)． 由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.答案：126 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________． 解析：由双曲线的渐近线y ＝±bax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，且a 2c ＝33.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝33，c a＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2.所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)． 所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m.因为点M(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m)2＝5.故m ＝±1.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一个焦点是F 2(2, 0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程． 解析：(1)由已知得c ＝2，e ＝2， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 2－y 23＝1， ②将①式代入②式，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*) 设MN 的中点为(x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝m 2，y 0＝x 0＋m ＝3m 2，所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －m 2即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，可得12|2m|·|2m|＝4， 得m 2＝2，m ＝± 2此时(*)的判别式Δ>0，故直线l 的方程为y ＝x ± 2.28.2.2 应用举例第1课时与视角有关的解直角三角形应用题1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.2.进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.阅读教材P74-75页，自学“例3”与“例4”，复习与圆的切线相关的知识，弄清仰角与俯角的概念.自学反馈独立完成后小组内展示学习成果①某人从A看B的仰角为15°，则从B看A的俯角为 .②什么叫圆的切线？它有什么性质？③弧长的计算公式是什么？④P89练习题1-2题.把求线段的长转化成解直角三角形的知识，构造直角三角形，把相应的元素放到相应的直角三角形中去.活动1 小组讨论例1 如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10 m，∠A=26°，求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长.(精确到0.01 m)解:∵tanA=BC AC,∴BC=AC·tanA=5×tan26°≈2.44(m).∵cosA=AC AB,∴AB=ACcosA=526cos≈5.56(m).答:中柱BC约长2.44 m,上弦AB约长5.56 m.这类问题往往是将等腰三角形转化成解直角三角形，同一个问题可以用不同的关系式来解.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，某飞机于空中处探测到目标C，此时飞行高度AC=1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角a=16°31′,求飞机A到指挥台B的距离.(精确到1 m)2.在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少m.(精确到0.1 m)这类求距离的问题往往转化成求直角三角形边长的问题，另外，要注意理解有关的名词术语.第2小题要抽象成几何图形再来解决实际问题.活动1 小组讨论例2 如图，两建筑物的水平距离为32.6 m，从点A测得点D的俯角α为35°12′，测得点C俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.(精确到0.1 m)解:过点D作DE⊥AB于点E,则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=α=35°12′,DE=BC=32.6 m.在Rt△ABC中,∵tan∠ACB=AB BC,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83(m).在Rt△ADE中,∵tan∠ADE=AE DE,∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00(m).∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8(m).答:两个建筑物的高分别约为30.8 m,7.8 m.关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化成几何问题解决.活动2 跟踪训练(小组讨论完成并展示学习成果)如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星到达A点时，从位于地面R 处的雷达站测得AR的距离是6 km，仰角为43°，1s后，火箭到达B点，此时测得BR 的距离是6.13 km ，仰角为45.54°,这个火箭从A 到B 的平均速度是多少(精确到0.01 km/s)?速度=路程÷时间，本题中只需求出路程AB ，即可求出速度.无论是高度还是速度，都转化成解直角三角形.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形解决实际问题.2.本节学习的数学方法:数形结合、数学建模的思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①15°②略 ③360n ︒︒·2πr ④7.7 m 334.2 m【合作探究1】活动2 跟踪训练1.4 221 m2.6.0 m【合作探究2】活动2 跟踪训练0.28 km/s高一年级化学学科学案微粒之间的相互作用力第三课时【学习目标】1.认识分子间作用力的概念；2.用分子间作用力解释常见事实。
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2.3.2 双曲线的简单几何性质
双基达标
(限时20分钟)
1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为 ( )． A ．－14 B ．－4 C ．4 D.14
解析 由双曲线方程mx 2
＋y 2
＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2
－x 2
－1m
＝1，则a 2＝1，
a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴
b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－1
4，故选A.
答案 A
2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是 ( )． A ．y ＝±3x B ．y ＝±1
3x
C ．y ＝±3x
D ．y ＝±3
3x
解析 令x 2
－y 2
3
＝0，则y ＝±3x .
答案 C
3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P (1，3)，离心率为2的双曲线的标准方程为 ( )． A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 2
4＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 2
8
＝1 解析 由离心率为2，∴e 2
＝c 2a 2＝a 2＋b 2
a 2＝1＋
b 2
a
2＝2，即a ＝b ，
∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，又点P (1，3) 在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，
∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 2
8＝1.故选D.
答案 D
4．与双曲线x 2
－y 2
4
＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．
解析 依题意设双曲线的方程x 2
－y 2
4
＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双
曲线的标准方程为x 23－y 2
12＝1.
答案 x 23－y 2
12
＝1
5．双曲线x 24＋y 2
k
＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．
解析 双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝c
a ＝4－k 2，
又∵e ∈(1，2)，则1<4－k
2
<2，解得－12<k <0. 答案 (－12，0)
6．求双曲线x 2
－y 2
4
＝1的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程．
解 把方程化为标准方程为x 212－y 2
22＝1，由此可知实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2，顶点
坐标是(－1，0)，(1，0)，c ＝a 2＋b 2＝12＋22＝5，
焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)，渐近线方程为x 1±y
2
＝0，即y ＝±2x .
综合提高（限时25分钟）
7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上， 一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则它的离心率为 ( )． A. 5 B.
5
2
C. 3 D ．2 解析 由题意知，这条渐近线的斜率为12，即a b ＝1
2，
而e ＝c
a ＝
1＋（b
a
）2＝1＋22＝5，故选A.
答案 A
8．若0<k <a 2
，则双曲线x 2a 2－k －y 2b 2＋k
＝1与x 2a 2－y 2
b 2＝1有 ( )．
A ．相同的虚轴
B ．相同的实轴
C ．相同的渐近线
D ．相同的焦点 解析 a 2－k >0，b 2＋k >0，所以a 2－k ＋b 2＋k ＝a 2＋b 2＝c 2. 所以两双曲线有相同的焦点． 答案 D
9．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝13
5，则其渐近线方程为________．
解析 由已知设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
由e ＝135，得e 2
＝c 2a 2＝a 2＋b 2
a 2＝1＋
b 2a 2＝16925
.
∴b 2a 2＝14425，则b a ＝125， ∴渐近线方程为y ＝±a b x ＝±512x .
答案 y ＝±5
12
x
10．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，点F 1是另一个焦点，若∠PF 1Q ＝90°，则双曲线的离心率等于________．
解析 设F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F 1PF 2中，|PF 1| ＝22c ，|PF 2|＝2c ，
又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故有e ＝2＋1. 答案
2＋1
11．求与双曲线x 216－y 2
9
＝1共渐近线且过A (33，－3)的双曲线的方程．
解 设与x 242－y 232＝1共渐近线且过A (33，－3)的双曲线的方程为x 242－y 2
32＝λ，则
（33）242－（－3）232＝λ，从而有λ＝1116，所求双曲线的方程为x 211－16y 2
99
＝1.
12．(创新拓展)已知点N (1，2)，过点N 的直线交双曲线x 2
－y 22
＝1于A 、B 两点，且ON →
＝
12
(OA →＋OB →)． (1)求直线AB 的方程；
(2)若过点N 的直线交双曲线于C 、D 两点，且CD →²AB →
＝0，那么A 、B 、C 、D 四点是否 共圆？为什么？
解 (1)由题意知直线AB 的斜率存在． 设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入x 2
－y 2
2
＝1
得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －(2－k )2－2＝0.
(*)
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程(*)的两根， ∴2－k 2≠0.
且x 1＋x 2＝2k （2－k ）
2－k 2.
∵ON →＝12(OA →＋OB →)，
∴N 是AB 的中点， ∴x 1＋x 22
＝1，
∴k (2－k )＝－k 2＋2，k ＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. (2)共圆．将k ＝1代入方程(*)得 x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3， ∴A (－1，0)，B (3，4)． ∵CD →²AB →
＝0，∴CD 垂直AB ， ∴CD 所在直线方程为 y ＝－(x －1)＋2，
即y ＝3－x ，代入双曲线方程整理得x 2＋6x －11＝0， 令C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)及CD 中点M (x 0，y 0) 则x 3＋x 4＝－6，x 3²x 4＝－11， ∴x 0＝x 3＋x 4
2＝－3，y 0＝6，
即M (－3，6)． |CD |＝1＋k 2|x 3－x 4| ＝1＋k 2（x 3＋x 4）2－4x 3x 4 ＝410，
|MC |＝|MD |＝1
2|CD |＝210，
|MA |＝|MB |＝210，
即A 、B 、C 、D 到M 的距离相等， ∴A 、B 、C 、D 四点共圆．。