2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第八章 第三节 直线、平面平行的判定
2020年一轮优化探究文数(苏教版)练习：第八章第三节直线、平面平行的判定及其性质Word版含解析.
课时作业河］籃易】现他站习：：：也升能“一、填空题1 •关于直线m, n和平面a B有以下四个命题:⑴若m// a n// B, all B,则m// n；⑵若m// n , m? a, n 丄B,贝Ua± B；⑶若aA B= m ,m// n ,则n// a且n//B；（4）若m±n ,aAB= m,贝U n丄a或n丄B其中假命题的序号是__________ • 解析：（1）中，m , n也可以相交，故（1）是假命题；（2）正确；⑶中，n还可以在a 内或B内，故⑶是假命题；⑷中，只有当a丄B 时，命题才成立•故假命题的序号是⑴（3）⑷.答案：（1）（3）⑷2 •对于不重合的两个平面a与B,给出下列条件：①存在平面Y使得a B都平行于Y②存在直线l? a,直线m? B,使得I / m；③存在异面直线I , m ,使得I //a, I // B, m//a, m//B其中可以判定a与B平行的条件有 ___________ •解析：①正确；②中，当a与B相交时，仍有I? a, m? B且I // m成立；③正确，将I , m平移成相交直线，所确定的平面就平行于a, B,所以all B答案：23 •考察下列三个命题,在“__________ 都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中I、m为直线，a、B为平面），则此条件为___________ •m? a①1 // m ? | // a；I // m 1 丄B②m// a 卜？| // a ③ a!B 卜？1 //aJ J解析：线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l?a答案：l?a4. a, B 是两个不同的平面，a , b 是两条不同的直线，给出四个论断：① aG A b ;② a? B ③ a // b ;④ a // a以其中三个论断为条件，余下一个为结论，写出你认为正确的命题： _____________ .（写 出一个即可）解析：开放性问题，答案不惟一. 答案：①②③？④（或①②④？③）5. 如图所示，ABCD-A i B i C i D i 是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱 A i B i , aB 1C 1的中点，P 是上底面的棱 AD 上的一点，AP =3 过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，贝U PQ = _________ . 解析：•••平面 ABCD //平面 A i B i C i D i ，a••• MN // PQ.v M 、N 分别是 A i B i 、B i C i 的中点，AP = 3，^ CQ6. 已知m , n 是不同的直线，a B 是不重合的平面，给出下列命题：① 若m // a,则m 平行于平面a 内的任意一条直线； ② 若 all B, m? a, n? B,则 m // n ； ③ 若 m ± a, n 丄 B, m // n ,贝U all B ； ④ 若 all B, m? a,则 m // B其中真命题的序号是 _______ .（写出所有真命题的序号）解析：①由m // a,贝U m 与a 内的直线无公共点， ••• m 与a 内的直线平行或异面.故①不正确.②a// B,贝u a 内的直线与B 内的直线无共点， • m 与n 平行或异面，故②不正确. ③④正确. 答案：③④7. 在四面体ABCD 中，M 、N 分别为△ ACD 和厶BCD 的重心，则四面体的四个a3, 2a 从而 DP = DQ =—，••• PQ =簣a. 答案: 2,23 a A , M fii面中与MN平行的是__________ .解析：如图，取CD 的中点E ，则AE 过 M ，且 AM = 2ME ， BE 过 N ，且 BN = 2NE ，贝 U AB // MN ，••• MN //面 ABC 和面 ABD.答案：面ABC 和面ABD8. 如图，ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且 AC //平面EFGH ，BD //平面EFGH ，AC =m ，BD = n ,当 EFGH 是菱形时，AE : EB = __________ . 解析：设 AE = a ， EB = b ，由 EF // AC 可得 EF = a + b答案：m ： n9.如图，在正四棱柱 ABCD-A i B i C i D i 中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC i 、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件 ______________ 时， 有 MN //平面 B i BDD i .解析：如图，取B i C i 的中点P ,连结NP 、PF 、FH ，易证平面HNPF //平面BDD i B i ，故只需 M 位于FH 上就有 MN?平面 HNPF ，也就有 MN //平面 B i BDD i .答案：M €线段HF 二、解答题10.如图，在棱长为a 的正方体 ABCD-A i B i C i D i 中, Q 分别是BC 、C i D i 、AD i 、BD 的中点.⑴求证：PQ //平面DCC i D i ;(2)求证：EF //平面 BB i D i D.同理EHana + b••• EF = EH ，bm _ an a +b — a + b ， a-b是E 、F 、 P 、nDi F C IB证明：⑴连结AC、CD i, AC n BD = Q（图略）P、Q分别为AD i、AC的中点, ••• PQ// CD i.又CD i?平面DCC i D i,PQ?平面DCC i D i,PQ//平面DCC i D i.⑵取B i C i的中点E i, 连结EE i, FE i，则有FE i// B i D i, EE i// BB i, •••平面EE i F //平面BB i D i D，又EF?平面EE i F, ••• EF//平面BB i D i D.ii•如图所示，三棱柱ABC-A i B i C i, D是BC上一点，且A i B //平面AC i D, D i是B i C i的中点，求证：平面A i BD i //平面AC i D.证明：如图所示，连结A i C交AC i于点E,•••四边形A i ACC i是平行四边形，••• E是A i C的中点，连结ED,••• A i B//平面AC i D，平面A i BC n 平面AC i D = ED, ••• A i B//ED.••• E是A i C的中点，••• D是BC的中点.又••• D i是B i C i的中点，••• BD i // C i D, A i D i // AD.又A i D i n BD i = D i,•••平面A i BD i //平面AC i D.ai2.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA丄底面ABCD，侧面PBC内，有BE丄PC于E, 且BE=~3a,试在AB上找一点F,使EF //平面FAD，并求AF 的长.解析：在平面PCD 内，过E 作EG // CD 交PD 于G , 连结AG ,在AB 上取点F ，使AF = EG ,则F 即为所求作的点.EG / CD // AF , EG = AF ,•••四边形FEGA 为平行四边形,••• FE / AG , AG?平面 PAD , FE?平面 PAD. ••• EF //平面 PAD ,又在△ BCE 中,在 Rt A PBC 中，BC 2= CE CP ,CE = BC 2- BE 2 =3a.CP =3T a=J3a,EG _ PE CD =PC ,EG _ AF _ 2a ,•••点F为AB的一个靠近B点的三等分点.。
一轮优化探究理数(苏教版)课件：第八章 立体几何 第三节 直线、平面平行的判定及其性质
即四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE， ∴PQ∥平面BCE.
规律方法
判定直线与平面平行的三种方法： 1利用定义常用反证法. 2利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线.可 先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常 考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一 平面找其交线. 3利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平 面内的任一直线平行于另一平面.
平行 ． 位置关系是________
AM AN 解析：在平面ABD中，MB＝ND， ∴MN∥BD. 又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴MN∥平面BCD.
5．下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、 P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号 是________(写出所有符合要求的图形序号)．
在AE、BD上各有一点P、Q且AP＝DQ. 求证：PQ∥平面BCE.
证明：如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于 N，连结MN. 正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB， ∴AE＝BD. 又∵AP＝DQ，∴PE＝QB. 又∵PM∥AB∥QN， PM PE QN QB ∴ ＝ ， ＝ . AB AE DC BD ∴PM綊QN，
l⊄α a⊂α a∥l
图形语言
符号语言
线线平行⇒线面平行
⇒l∥α
2.性质定理 文字语言 如果一条直线和一个平面 性质 定理 平行， 经过这条直线的平面 和这个平面相交， 那么这条 直线就和交线平行(简记
a∥α a⊂β α∩β＝b
图形语言
符号语言
⇒ a∥ b
线面平行⇒线线平行
(2)如图所示，过D作PA的垂线，垂 足为H， 则几何体是以DH为半径，分别以 PH，AH为高的两个圆锥的组合体， ∵侧棱PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥DA，PD＝4，DA＝DC＝3， ∴PA＝5，
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第八章 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解析
一、填空题1．已知p是真命题，q是假命题，则下列复合命题①p且q，②非p且非q，③非p或非q，④非p或q中真命题的个数是________．解析：∵p是真命题，q是假命题，∴非p是假命题，非q是真命题，由复合命题的真值表知，非p或非q为真命题，故1个．答案：12．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的是________．解析：依题意p假，q真，所以“p∨q”“綈p”是真命题．答案：p∨q，綈p3．若命题p：∀x∈R,2x2－1>0，则该命题的否定是________．答案：∃x∈R, 2x2－1≤04．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：因为“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤2 2.答案：[－22，22]5．现有下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋x＋1＝0”的否定是“∃x∈R，x2＋x＋1≠0”；②若集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则A∩(∁R B)＝A；③函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是φ＝kπ＋π2(k∈Z)；④若非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则b与a－b的夹角为60°.其中为真命题的是________．解析：命题①假，因为其中的存在符号没有改；命题②真，因为∁R B＝(－1，＋∞)，所以A∩(∁R B)＝A；命题③真，若φ＝kπ＋π2(k∈Z)，则f(x)＝sin(ωx＋kπ＋π2)＝±cos ωx为偶数；命题④假，因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以由三角形法则可得|a|，|b|的夹角为60°，b与(a－b)的夹角为120°.所以填写答案为②③.答案：②③6．已知命题p：∃x∈[0，π2]，cos 2x＋cos x－m＝0为真命题，则实数m的取值范围是________．解析：依题意，cos 2x＋cos x－m＝0在x∈[0，π2]上恒成立，即cos 2x＋cos x＝m.令f(x)＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1＝2(cos x＋14)2－98，由于x∈[0，π2]，所以cos x∈[0,1]，于是f(x)∈[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2]．答案：[－1,2]7．已知命题p1：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0成立；p2：对任意x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命题：①(綈p1)∧(綈p2)；②p1∨(綈p2)；③(綈p1)∧p2；④p1∧p2.其中为真命题的是________(填序号)．解析：∵方程x20＋x0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x20＋x0＋1<0无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1.∴对任意x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题．∵綈p1为真命题，p2为真命题，∴(綈p1)∧p2为真命题．答案：③8．用“充分、必要、充要”填空：(1)p∨q为真命题是p∧q为真命题的________条件；(2)綈p为假命题是p∨q为真命题的________条件．解析：(1)p∨q为真命题p∧q为真命题，反之成立．(2)綈p为假命题⇒p为真命题⇒p∨q为真命题，反之，p∨q为真命题綈p为假命题．答案：必要充分9．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p：若α∥β，n⊂α，m⊂β，则m∥n；命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；下面的命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．①p∨q；②p∧q；③p∨綈q；④綈p∧q.解析：∵命题p是假命题，命题q是真命题．∴綈p是真命题，綈q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∨綈q是假命题，綈p∧q是真命题．答案：①④二、解答题10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)∃x0∈R，x20－4＝0；(2)∀T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sin x；(3)集合A是集合A∪B或A∩B的子集；(4)a，b是异面直线，∃A∈a，B∈b，使AB⊥a，AB⊥b.解析：它们的否定及其真假分别为：(1)∀x∈R，x2－4≠0(假命题)．(2)∃T 0＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T 0)≠sin x (假命题)．(3)存在集合A 既不是集合A ∪B 的子集，也不是A ∩B 的子集(假命题)．(4)a ，b 是异面直线，∀A ∈a ，B ∈b ，有AB 既不垂直于a ，也不垂直于b (假命题)．11．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围． 解析：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，所以3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2； (2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2. 综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2.12．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围． 解析：由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a <1，令y ＝x ＋|x －2a |，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a (x ≥2a )，2a (x <2a ).不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a >1，即a >12.即q 真⇔a >12.若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1，所以命题p 和q 有且只有一个命题为真命题时a 的取值范围是0<a ≤12或a ≥1.。
(江苏专版)高考数学一轮复习 课时跟踪检测(三十八)直线、平面平行的判定及其性质 文(含解析)苏教版
课时跟踪检测（三十八） 直线、平面平行的判定及其性质 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·汇龙中学测试)已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的位置关系为________．解析：依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．答案：平行或直线b 在平面α内2．(2018·某某模拟)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是________．解析：如图，由AE EB ＝CF FB得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .答案：AC ∥平面DEF3．(2018·天星湖中学测试)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列四对截面中彼此平行的是________(填序号)．①平面A 1BC 1和平面ACD 1；②平面BDC 1和平面B 1D 1A ；③平面B 1D 1D 和平面BDA 1；④平面ADC 1和平面A 1D 1C .解析：如图，结合正方体的性质及面面平行的判定可知平面A 1BC 1∥平面ACD 1，平面BDC 1∥平面B 1D 1A .答案：①②4．如图，α∥β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：因为α∥β，所以CD ∥AB ，则PC PA ＝CD AB ，所以AB ＝PA ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：525．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MN Q 平行的是________．(填序号)解析：因为点M ，N ，Q 分别为所在棱的中点，所以在①中AB 与平面MN Q 相交，在②③中均有AB ∥M Q ，在④中，有AB ∥N Q ，所以在②③④中均有AB 与平面MN Q 平行．答案：②③④二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·滨海期末)已知m ，n 是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，已知α∩β＝m ，n ⊂γ，若增加一个条件就能得出m ∥n ，则下列条件中能成为增加条件的序号是________．①m ∥γ，n ∥β；②α∥γ，n ⊂β；③n ∥β，m ⊂γ.解析：对于①，若β∥γ，由m ⊂β，满足m ∥γ，由n ⊂γ，满足n ∥β，但m ，n 可为异面直线，则不成立；对于②，由α∥γ，且α∩β＝m ，β∩γ＝n ，由面面平行的性质定理可得m ∥n ，则成立；对于③，n ∥β，m ⊂γ，则γ∩β＝m ，由线面平行的性质定理可得n ∥m ，则成立． 答案：②或③2．(2019·某某调研)一条直线与两个平行平面中的一个成30°角，且被两平面所截得的线段长为2，那么这两个平行平面间的距离是________．解析：由题意知，两个平行平面间的距离d ＝2sin 30°＝1.答案：13．(2018·前黄高级中学检测)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的是________(填序号)．①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1；③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：如图，因为AB ∥C 1D 1，AB ＝C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证AB 1∥DC 1，BD ∥B 1D 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因为AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，所以AD 1∥平面BDC 1，故④正确．答案：①②④4．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值；③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值．其中正确命题的个数是________．解析：由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)．所以③是正确的；对于④，因为水是定量的(定体积V )，所以S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .所以BE ·BF ＝2V BC(定值)，即④是正确的． 答案：35．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：86．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③7．(2018·某某期末)已知棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，E 为棱AD 的中点，现有一只蚂蚁从点B 1出发，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1表面上行走一周后再回到点B 1，这只蚂蚁在行走过程中与平面A 1EB 的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为________．解析：要满足题意，则需在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1上过B 1作与平面A 1EB 平行的平面．取A 1D 1和BC 的中点分别为F ，G ，连结B 1F ，FD ，DG ，GB 1，则A 1F 綊ED ，所以四边形A 1FDE 是平行四边形，所以A 1E ∥FD .因为FD ⊄平面A 1EB ，A 1E ⊂平面A 1EB ，所以FD ∥平面A 1EB .同理：DG ∥平面A 1EB .又FD ∩DG ＝D ，所以平面DFB 1G ∥平面A 1EB ，则四边形DFB 1G 所围成图形的面积即为所求．易知四边形DFB 1G 为菱形，由正方体的棱长为2，得菱形DFB 1G 的边长为5，cos ∠A 1EB ＝15，∴sin ∠A 1EB ＝265，∵∠A 1EB ＝∠FDG ，∴S 菱形DFB 1G ＝5×5×sin∠FDG ＝2 6.答案：2 68．(2019·海安中学检测)如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值X 围是________．解析：取B 1C 1的中点M ，BB 1的中点N ，连结A 1M ，A 1N ，MN ，可以证明平面A 1MN ∥平面AEF ，所以点P 位于线段MN 上，因为A 1M ＝A 1N ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，MN ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，所以当点P 位于M ，N 处时，A 1P 的长度最长，取MN 的中点O ，连结A 1O ，当P 位于MN 的中点O 时，A 1P 的长度最短，此时A 1O ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324，所以A 1O ≤A 1P ≤A 1M ，即324≤A 1P ≤52，所以线段A 1P 长度的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 9．如图，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．求证：(1)AP ∥平面BEF ；(2)GH ∥平面PAD .证明：(1)连结EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC 綊AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连结FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH ∥PD ，因为PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ，所以FH ∥平面PAD .又因为O 是AC 的中点，H 是CD 的中点，所以OH ∥AD ，因为AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ，所以OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，所以平面OHF ∥平面PAD .因为GH ⊂平面OHF ，所以GH ∥平面PAD .10.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：(1)BF ∥HD 1；(2)EG ∥平面BB 1D 1D ；(3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图所示，取BB 1的中点M ，连结MH ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，所以HD 1∥MC 1.又因为MC 1∥BF ，所以BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连结EO ，D 1O ，则OE 綊12DC ，又D 1G 綊12DC ，所以OE 綊D 1G ， 所以四边形OEGD 1是平行四边形，所以GE ∥D 1O .又GE ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D .(3)由(1)知BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面B 1D 1H ，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·某某期中)若半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4，则这两个平面之间的距离为________． 解析：∵半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4，∴圆心到两个平面的距离分别为： 52－32＝4，52－42＝3，∴当两个平面位于球心同侧时，两平面间的距离为4－3＝1，当两个平面位于球心异侧时，两平面间的距离为4＋3＝7.答案：1或72．如图所示，设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a 3，过B 1，D 1，P 的平面交平面ABCD 于P Q ，Q 在直线CD 上，则P Q ＝________.解析：因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD＝P Q ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥P Q.又因为B 1D 1∥BD ，所以BD ∥P Q ，设P Q ∩AB ＝M ，因为AB ∥CD ，所以△APM ∽△DP Q.所以P Q PM ＝PD AP＝2， 即P Q ＝2PM .又知△APM ∽△ADB ，所以PM BD ＝AP AD ＝13， 所以PM ＝13BD ，又BD ＝2a ， 所以P Q ＝223a . 答案：223a 3．(2019·某某调研)如图，已知三棱柱ABC A 1B 1C 1，E ，F 分别为CC 1，BB 1上的点，且EC ＝B 1F ，过点B 做截面BMN ，使得截面交线段AC于点M ，交线段CC 1于点N .(1)若EC ＝3BF ，试确定M ，N 的位置，使平面BMN ∥平面AEF ，并说明理由；(2)若K ，R 分别为AA 1，C 1B 1的中点，求证：KR ∥平面AEF .解：(1)当AM AC ＝EN EC ＝13时，平面BMN ∥平面AEF . 理由如下：∵EN ＝13EC ，BF ＝13EC ， ∴EN 綊BF ，∴四边形BFEN 是平行四边形，∴BN ∥EF .∵AM AC ＝EN EC，∴MN ∥AE ，∵MN ⊂平面BMN ，BN ⊂平面BMN ，且MN ∩BN ＝N ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，且AE ∩EF ＝E ， ∴当AM AC ＝EN EC ＝13时，平面BMN ∥平面AEF . (2)证明：连结BC 1，交FE 于点Q ，连结Q R .∵△B Q F ≌△C 1Q E ，∴B Q ＝C 1Q ，∴Q R ∥BB 1，且Q R ＝12BB 1， ∴Q R 綊AK .∴四边形AKR Q 为平行四边形．连结A Q ，则A Q ∥KR ，∵A Q ⊂平面AEF ，KR ⊄平面AEF ，∴KR ∥平面AEF .。
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第八章 第三节 直线、平面平行的判定及其性质 含解析
一、填空题1．关于直线m ，n 和平面α，β有以下四个命题：(1)若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ；(2)若m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β，则α⊥β；(3)若α∩β＝m ，m ∥n ，则n ∥α且n ∥β；(4)若m ⊥n ，α∩β＝m ，则n ⊥α或n ⊥β.其中假命题的序号是________．解析：(1)中，m ，n 也可以相交，故(1)是假命题；(2)正确；(3)中，n 还可以在α内或β内，故(3)是假命题；(4)中，只有当α⊥β时，命题才成立．故假命题的序号是(1)(3)(4)．答案：(1)(3)(4)2．对于不重合的两个平面α与β，给出下列条件：①存在平面γ，使得α、β都平行于γ；②存在直线l ⊂α，直线m ⊂β，使得l ∥m ；③存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判定α与β平行的条件有________个．解析：①正确；②中，当α与β相交时，仍有l ⊂α，m ⊂β且l ∥m 成立；③正确，将l ，m 平移成相交直线，所确定的平面就平行于α，β，所以α∥β. 答案：23．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________． ⎭⎬⎫ m ⊂α①l ∥m⇒l ∥α； ⎭⎬⎫ l ∥m ②m ∥α⇒l ∥α； ⎭⎬⎫ l ⊥β③α⊥β⇒l ∥α. 解析：线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l ⊄α.答案：l ⊄α4．α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，给出四个论断： ①α∩β＝b ；②a ⊂β；③a ∥b ；④a ∥α.以其中三个论断为条件，余下一个为结论，写出你认为正确的命题：________.(写出一个即可)解析：开放性问题，答案不惟一．答案：①②③⇒④(或①②④⇒③)5.如图所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点， P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a 3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a . 答案：223a6．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，则m 平行于平面α内的任意一条直线；②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；④若α∥β，m ⊂α，则m ∥β.其中真命题的序号是______．(写出所有真命题的序号)解析：①由m ∥α，则m 与α内的直线无公共点，∴m 与α内的直线平行或异面．故①不正确．②α∥β，则α内的直线与β内的直线无共点， ∴m 与n 平行或异面，故②不正确．。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第八章 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 含解析 (40)
一、填空题1．设a >0，b >0，则以下不等式中，不恒成立的是________．①(a ＋b )(1a ＋1b )≥4 ②b ＋2a ＋2>b a③a ＋b 1＋a ＋b <a 1＋a ＋b 1＋b④a a b b ≥a b b a 解析：对于答案②，当a <b 时，不等式b ＋2a ＋2>b a 不成立．(可取特殊值验证) 答案：②2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是________．①b －a >0 ②a 3＋b 2<0③b ＋a >0 ④a 2－b 2<0解析：由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，于是选③.答案：③3．若x <0且a x >b x >1，则下列不等式成立的是________．①0<b <a <1 ②0<a <b <1③1<b <a ④1<a <b解析：取特殊值x ＝－1，则由1a >1b >1，得0<a <b <1.答案：②4．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式：①a 2<b 2；②ab 2<a 2b ；③1ab 2<1a 2b ；④b a <a b ；⑤a 3b 2<a 2b 3.其中恒成立的序号是________．解析：a 2<b 2⇔(a ＋b )(a －b )<0，在a <b 条件下，只有当a ＋b >0才成立，已知条件不能保证a ＋b >0，故①不恒成立；ab 2<a 2b ⇔ab (b －a )<0，在a <b 的条件下，只有当ab <0才成立，已知条件不能保证，故②不恒成立；1ab 2<1a 2b ⇔1ab 2－1a 2b <0⇔a －b a 2b 2<0⇔a －b <0⇔a <b ，故③恒成立；若b a <a b ⇔b 2－a 2ab <0⇔(b ＋a )(b －a )ab<0，在a <b 条件下，只有当a ＋b ab <0才能成立，这个不等式不是恒成立的，故④不恒成立；a 3b 2<a 2b 3⇔a 2b 2(a －b )<0⇔a －b <0⇔a <b ，故⑤恒成立．能够恒成立的不等式的序号是③⑤.故填③⑤.答案：③⑤5．“a >b 且c >d ”是“a ＋c >b ＋d ”的________条件．解析：由不等式性质可得充分性成立，但必要性不成立，如a ＝1，c ＝6，b ＝4，d ＝2.答案：充分不必要6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则________先到教室．解析：设步行速度与跑步速度分别为v 1，v 2显然v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2， 而s v 1＋s v 2－4s v 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0， 故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室． 答案：乙7．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.答案：(－3,3)8．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1b 成立的充分条件有________．解析：1a <1b ⇔b －a ab <0⇔b －a 与ab 异号，而①②④能使b －a 与ab 异号．答案：①②④9．若y >x >0，且x ＋y ＝1则x ，y,2xy ，x ＋y 2的大小关系为________．解析：∵y >x >0，x ＋y ＝1，取特殊值x ＝14，y ＝34，∴x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y .答案：x <2xy <x ＋y 2<y二、解答题10．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4，求f (3)的范围．解析：设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ＋c f (2)＝4a ＋c ⇒⎩⎨⎧ a ＝f (2)－f (1)3，c ＝4f (1)－f (2)3.f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f (1)－f (2)3＝8f (2)－5f (1)3. ∵1≤f (1)≤2,3≤f (2)≤4，∴5≤5f (1)≤10,24≤8f (2)≤32，14≤8f(2)－5f(1)≤27.∴14 3≤8f(2)－5f(1)3≤9，即143≤f(3)≤9.11．已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调递减函数，α，β，γ∈R且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试说明f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的关系．解析：由α＋β>0，得α>－β.∵f(x)在R上是单调减函数，∴f(α)<f(－β)．又∵f(x)为奇函数，∴f(α)<－f(β)，∴f(α)＋f(β)<0，同理f(β)＋f(γ)<0，f(γ)＋f(α)<0，∴f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.12．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人．(1)若a＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解析：(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元．则y＝2 000＋60x800＋ax(a∈N*,1≤x≤10)．假设会超过3万元，则2 000＋60x 800＋10x>3，解得x>403>10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元．(2)设1≤x1<x2≤10，则f (x 2)－f (x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝(60×800－2 000a )(x 2－x 1)(800＋ax 2)(800＋ax 1)>0， 所以60×800－2 000a >0，得a <24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第八章 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 含解析 (58)
一、填空题1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是x －2＝0，则a 的值是________．解析：抛物线方程可化为x 2＝1a y ，∴准线方程为x ＝－14a ＝2，得a ＝－18.答案：－182．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：椭圆的右焦点是(2,0)，∴p 2＝2，p ＝4.答案：43．若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．解析：设点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22，t ，则 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 222＋t 2＝3，即t 4＋4t 2－12＝0，解得t 2＝2或t 2＝－6(舍)，故M (1，±2)．又抛物线的准线方程为x ＝－12，故点M 到准线距离为32，即M 到其焦点距离为32.答案：324．若抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点F 倾斜角为60°的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝4.则此抛物线的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (p 2，0)，∴得直线l 的方程为： y ＝3(x －p 2)，将其与y 2＝2px (p >0)联立消去y 得： 3x 2－5xp ＋34p 2＝0，∴x 1＋x 2＝53p ，又|AB |＝x 1＋x 2＋p .∴有5p 3＋p ＝4，解得：p ＝32.∴抛物线方程为：y 2＝3x .答案：y 2＝3x5．如果直线l 过定点M (1,2)，且与抛物线y ＝2x 2有且仅有一个公共点，那么直线l 的方程为________．解析：点M 在抛物线上，由题意知直线l 与抛物线相切于点M (1,2)，∴y ′|x ＝1＝4，∴直线l 的方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.当l 与抛物线相交时，l 的方程为x ＝1.答案：4x －y －2＝0，x ＝16．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是________．解析：抛物线焦点是(32，0)，设直线方程为y ＝k (x －32)，代入抛物线方程，得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0，设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3k 2＋6k 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3k 2＋6k 2＋3＝12，解得 k ＝±1，∴直线的倾斜角为π4或3π4.答案：π4或3π47．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l ，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|AB |等于________．解析：结合抛物线的定义可知|AB |＝(y 1＋p 2)＋(y 2＋p 2)＝y 1＋y 2＋p ＝6＋2＝8.答案：88．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________. 解析：由题知，圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝42，∴圆心坐标为(3,0)，半径r ＝4.∴与圆相切且垂直于x 轴的两条切线是x ＝－1，x ＝7.而y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，∴由－p 2＝－1得p ＝2，由－p 2＝7得p ＝－14与题设矛盾(舍去)．∴p ＝2.答案：29．连结抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1,0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则△OAM 的面积为________．解析：线段FM 所在直线方程x ＋y ＝1与抛物线交于A (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x 2＝4y⇒y 0＝3－22或y 0＝3＋22(舍去)．∴S △OAM ＝12×1×(3－22)＝32－ 2.答案：32－ 2二、解答题10．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)过点P (2，－4)；(3)抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.解析：(1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p 2＝－3， ∴p ＝6，∴方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny .代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .(3)设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF |＝|m ＋p 2|.又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，焦点F 的坐标为(1,0)．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设M ，N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO 、NO 与抛物线的交点分别为点A 、B ，求证：动直线AB 恒过一个定点．解析：(1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则p 2＝1，所以p ＝2，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x .(2)证明：证法一 抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，其中y 1y 2＝－4.则直线MO 的方程为：y ＝－y 1x ，将y ＝－y 1x 与y 2＝4x 联立方程组，解得A 点坐标为(4y 21，－4y 1)， 同理可得B 点坐标为(4y 22，－4y 2)，则直线AB 方程为：y ＋4y 1－4y 2＋4y 1＝x －4y 214y 22－4y 21， 整理得(y 1＋y 2)y －4x ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0，－4x ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，故动直线AB 恒过一个定点(1,0)． 证法二 抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，其中y 1y 2＝－4.取y 1＝2，则y 2＝－2，可得M (－1,2)，N (－1，－2)．此时直线MO 的方程为y ＝－2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－2x ， 解得A (1，－2)．同理，可得B (1,2)，则直线AB 的方程为l 1：x ＝1，再取y 1＝1，则y 2＝－4，同理可得A (4，－4)，B (14，1)，此时直线AB 方程为l 2：4x ＋3y －4＝0，于是可得l 1与l 2的交点为(1,0)．故动直线AB 恒过一个定点(1,0)．12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证：(1)x 1x 2为定值；(2) 1|F A |＋1|FB |为定值．证明：(1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F (p 2，0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)(k ≠0)．由⎩⎨⎧ y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0. 由根与系数的关系得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 24也成立．(2)由抛物线的定义知，|F A |＝x 1＋p 2，|FB |＝x 2＋p 2.1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p (定值)．当AB ⊥x 轴时，|F A |＝|FB |＝p ，上式也成立．。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第八章 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 含解析 (59)
一、填空题1．已知f (x )＝⎩⎨⎧ －cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0， 则f (43)＋f (－43)的值等于________．解析：f (43)＝12；f (－43)＝f (－13)＋1＝f (23)＋2＝52，f (43)＋f (－43)＝3. 答案：32．已知f (1－x 1＋x )＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式可取为________． 解析：(换元法)令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝1－(1－t 1＋t )21＋(1－t 1＋t)2＝2t 1＋t 2，从而f (x )的解析式可取为2x 1＋x 2. 答案：2x 1＋x 23．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，|x |≤1，11＋x 2，|x |>1，则f [f (12)]＝________.解析：f [f (12)]＝f (－32)＝413.答案：4134．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R)，f (1)＝2，则f (－3)等于________．解析：令x＝－3，y＝1，则f(－2)＝f(1)＋f(－3)－6.又∵f(1)＝2，∴f(－3)＝f(－2)＋4.令x＝－2，y＝1，则f(－1)＝f(1)＋f(－2)－4，∴f(－2)＝f(－1)＋2.令x＝－1，y＝1，f(0)＝f(－1)＋f(1)－2.又x＝y＝0时，f(0)＝0，∴f(－1)＝0，∴f(－3)＝f(－2)＋4＝f(－1)＋6＝6.答案：65．已知函数f(x)＝ax＋bx－4(a，b为常数)，f(lg 2)＝0，则f(lg12)＝________.解析：由题意得f(lg 2)＝a lg 2＋blg 2－4＝0，有a lg 2＋blg 2＝4，则f(lg 12)＝a lg12＋b lg 12－4＝－a lg 2－blg 2－4＝－8.答案：－86．定义在R上的函数f(x)满足f(m＋n2)＝f(m)＋2[f(n)]2，m，n∈R，且f(1)≠0，则f(2 014)＝________.解析：令m＝n＝0，得f(0＋02)＝f(0)＋2[f(0)]2，所以f(0)＝0；令m＝0，n＝1，得f(0＋12)＝f(0)＋2[f(1)]2，由于f(1)≠0，所以f(1)＝12；令m＝x，n＝1，得f(x＋12)＝f(x)＋2[f(1)]2，所以f(x＋1)＝f(x)＋2×(12)2，即f(x＋1)＝f(x)＋12，这说明数列{f (x )}(x ∈Z)是首项为12，公差为12的等差数列，所以f (2 014)＝12＋(2 014－1)×12＝1 007.答案：1 0077．已知f (2x ＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.解析：令2x ＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1(t >1)，f (x )＝lg 2x －1(x >1)．答案：lg 2x －1(x >1)8．函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则函数的解析式为________．答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2 9．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a, 0}，f ：x → x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________.解析：由题意可知b a ＝0，a ＝1，解得a ＝1，b ＝0，所以a ＋b ＝1.答案：1二、解答题10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧x －1，x >0，2－x ，x <0， (1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值；(2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式．解析：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2；当－1<x <1时， f (x )<0，故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.11．如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动．设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图象．解析：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ，∴S ＝12x ·12x ＝14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ，∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x )＝－12x 2＋3x －3；当x >3时，S ＝32.∴S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 24(0≤x ≤2)－12x 2＋3x －3(2<x ≤3)32(x >3).函数图象如图所示．12．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x .(1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；(2)若有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式． 解析： (1)因为对任意x ∈R 有f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，所以f (f (2)－22＋2)＝f (2)－22＋2，又f (2)＝3，从而f (1)＝1.又f (0)＝a ，则f (a －02＋0)＝a －02＋0，即f (a )＝a .(2)因为对任意x ∈R ，有f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，又有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0， 故对任意x ∈R ，有f (x )－x 2＋x ＝x 0.在上式中令x ＝x 0，有f (x 0)－x 20＋x 0＝x 0.又因为f (x 0)＝x 0，所以x 0－x 20＝0，故x 0＝0或x 0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易验证该函数满足题设条件．综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第八章 第四节 直线、平面垂直的判定及其性质 Word版含解析
一、填空题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件．解析：若直线l⊥平面α，由定义，l垂直α内任意直线，所以l与α内无数条直线都垂直．若l与α内无数条相互平行的直线垂直，则不能得出l与平面α垂直．所以“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要不充分条件．答案：必要不充分2．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.答案：充分不必要3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.则其中正确命题的序号为________．解析：②中可能有m∥β，故②不正确．答案：①③④4．已知平面α，β，γ，直线l，m满足α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么：①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(填序号)．解析：由条件知α⊥γ，γ∩α＝m，l⊂γ，l⊥m，则根据面面垂直的性质定理有l ⊥α，即②成立；又l⊂β，根据面面垂直的判定定理有α⊥β，即④成立．答案：②④5.如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析：由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确，④错．答案：①②③6．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________．解析：∵BD1⊥平面AB1C，当P点在线段B1C上时，AP⊂平面AB1C，∴AP⊥BD1.答案：线段B1C7．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．解析：为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN，NP，MP三条线中，若有一条不垂直l，则可判定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l ⊥面MNP .答案：①④⑤8．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝________.解析：取BC 中点E ，连结ED 、AE ，∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC .∵平面ABC ⊥平面BDC ，∴AE ⊥平面BCD .∴AE ⊥ED .在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，AE ＝ED ＝12BC ＝22a ， ∴AD ＝AE 2＋ED 2＝a .答案：a9．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 的中点，则异面直线AE 、BC 所成角的正切值为________．解析：如图所示，取BD 中点O ，连结AO 、OE ，则AO ⊥BD .∵平面ABD ⊥平面CBD ，∴AO ⊥平面BCD ，又OE ∥BC ，∴∠AEO 即为AE 、BC 所成的角．设正方形的边长为2，则OE ＝1，AO ＝2，∴tan ∠AEO ＝ 2.答案： 2二、解答题10．四面体ABCD 中，AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝22AC ，。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第八章 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 含解析 (32)
一、填空题1．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为________．解析：设另两边长分别为x、y，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x ＋y≥12.当y取11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；……；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形．∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：362．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法种数为________．解析：如图所示，根据题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7, 5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种.答案：63.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为________．解析：可依次种A、B、C、D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；当C与A所种花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法，由分类计数原理，不同的种法总数为36＋48＝84.答案：844．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A、B的值，则可表示________条不同的直线．解析：分成三类：A＝0，B≠0；A≠0，B＝0和A≠0，B≠0，前两类各表示1条直线；第三类先取A有5种取法，再取B有4种取法，故有5×4＝20(种)．所以可以表示22条不同的直线．答案：225.如图，某电子元件，是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种．解析：解法一当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2－1＝15(种)．解法二恰有i个焊点脱落的可能情况为C i4(i＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊点脱落的可能情况共C14＋C24＋C34＋C44＝15(种)．答案：156．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．答案：45547．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________．解析：由于lg a－lg b＝lg ab(a>0，b>0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为ab有A25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A25－2＝20－2＝18.答案：188．某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．解析：其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7 200.答案：7 2009．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．解析：分两类：第一类，第一象限内的点，有2×2＝4(个)；第二类，第二象限内的点，有1×2＝2(个)．共4＋2＝6(个)．答案：6二、解答题10．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？解析：(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．(3)分为如下四类：第一类：A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类：A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C24·C12＝12(种)方法；第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C24·C22＝6(种)方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C14·C13＝12(种)方法．所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31 (个)．11．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解析：由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18(种)；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2(种)；所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．12．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？解析：分0个相同、1个相同、2个相同讨论．(1)若0个相同，则信息为1001.共1个．(2)若1个相同，则信息为0001,1101,1011,1000.共4个．(3)若2个相同，又分为以下情况：①若位置一与二相同，则信息为0101；②若位置一与三相同，则信息为0011；③若位置一与四相同，则信息为0000；④若位置二与三相同，则信息为1111；⑤若位置二与四相同，则信息为1100；⑥若位置三与四相同，则信息为1010.共6个．故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.。
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第八章 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解析
一、填空题1．不等式(13)x 2－8>3－2x 的解集是________．解析：原不等式为(13)x 2－8>(13)2x ，∴x 2－8<2x ，解之得－2<x <4.答案：{x |－2<x <4}答案：647153．设a ＝40.9，b ＝80.48，c ＝(12)－1.5，则a 、b 、c 从大到小排列的顺序为________．解析：∵a ＝40.9＝21.8，b ＝80.48＝21.44，c ＝(12)－1.5＝21.5，∴21.8>21.5>21.44，即a >c >b .答案：a >c >b4．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________．解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，∴(2a ＋2－a )2＝9，即22a ＋2－2a ＋2＝9.所以22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝22a ＋2－2a ＝7.答案：75．若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________． 解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－26．若f (x )＝a －x 与g (x )＝a x －a (a >0且a ≠1)的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝________.解析：函数f (x )＝a －x 上任意一点(x 0，y 0)关于直线x ＝1对称的点为(2－x 0，y 0)，即有g (2－x 0)＝a 2－x 0－a ＝f (x 0)＝a －x 0，故a ＝2.答案：27．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b 取最小值时，函数f (x )的解析式是________．解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b ＝22a 时等号成立，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1，得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1. 答案：(22－2)x ＋1＋1 8．给出下列结论：①当a <0时，＝a 3；②n a n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}；④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7. 其中正确结论的序号有________．解析：∵a <0时，>0，a 3<0，∴①错； ②显然正确；解⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥03x －7≠0，得x ≥2且x ≠73，∴③正确；∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y＝127＝3－3，∴y ＝－3， ∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确．答案：②③9．已知函数f (x )＝2x (x ∈R)，且f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数．若不等式2ag (x )＋h (2x )≥0对任意x ∈[1,2]恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝g (x )＋h (x )＝2x ，f (－x )＝g (－x )＋h (－x )＝2－x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋h (x )＝2x ，－g (x )＋h (x )＝2－x ， 解得⎩⎨⎧g (x )＝2x －2－x 2，h (x )＝2x ＋2－x 2， 所以2a ·g (x )＋h (2x )≥0，即(2x －2－x )a ＋22x ＋2－2x 2≥0对任意x ∈[1,2]恒成立． 又x ∈[1,2]时，令t ＝2x －2－x ，则t 在x ∈[1,2]上单调递增，所以t ＝2x －2－x ∈[32，154]，所以a ≥－22x ＋2－2x2(2x －2－x )＝－(2x －2－x )2＋22(2x －2－x )＝－12(t ＋2t )，t ＋2t 在t ∈[32，＋∞)上单调递增，所以当t ＝32时，－12(t ＋2t )有最大值－1712，所以a ≥－1712.答案：[－1712，＋∞)二、解答题10．函数f (x )＝ 2－x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式22ax <2a ＋x (a ∈R)的解集为B ，求使A ∩B ＝A 的实数a 的取值范围．解析：由2－x x －1≥0，得1<x ≤2, 即A ＝{x |1<x ≤2}． ∵y ＝2x 是R 上的增函数，∴由22ax <2a ＋x ，得2ax <a ＋x ，∴(2a －1)x <a .(1)当2a －1>0，即a >12时，x <a 2a －1. 又A ⊆B ，∴a 2a －1>2，得12<a <23. (2)当2a －1＝0，即a ＝12时，x ∈R ，满足A ∩B ＝A .(3)当2a －1<0，则a <12时，x >a 2a －1. ∵A ⊆B ， ∴a 2a －1≤1，得a <12或a ≥1，故a <12. 由(1)，(2)，(3)得a ∈(－∞，23)．11．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]．(1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 解析：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0 恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立． 由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2.12．已知函数f (x )＝(13)x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m 、n 同时满足下列条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由．解析：(1)∵x ∈[－1,1]，∴(13)x ∈[13，3]．设t ＝(13)x ，t ∈[13，3]，则φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a <13时，y min ＝h (a )＝φ(13)＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2；当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .∴h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 289－2a 3 (a <13)，3－a 2 (13≤a ≤3)，12－6a (a >3).(2)假设满足题意的m 、n 存在， ∵m >n >3，∴h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数． ∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12－6m ＝n 2， ①12－6n ＝m 2， ②②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )， ∵m >n >3，∴m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾， ∴满足题意的m 、n 不存在．。
2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第八章 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 Word版含解析
一、填空题1．函数y ＝5x 与函数y ＝－15x 的图象关于________对称．解析：因y ＝－15x ＝－5－x ，所以关于原点对称．答案：原点2．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象向________平移________个单位长度．解析：函数y ＝3×(13)x ＝(13)x －1，∴把函数y ＝(13)x 的图象向右平移一个单位便得到y ＝(13)x －1，即y ＝3×(13)x .答案：右 13.函数y ＝1－1x －1的图象是________．解析：将函数y ＝1x 的图形变形到y ＝1x －1，即向右平移一个单位，再变形到y ＝－1x －1，即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y ＝－1x －1＋1，从而得到答案②. 答案：②4．设函数f (x )＝|x |x ＋bx ＋c ，则下列命题中正确命题的序号有________．(请将你认为正确的命题序号都填上)①当b >0时，函数f (x )在R 上是单调增函数；②当b <0时，函数f (x )在R 上有最小值；③函数f (x )的图象关于点(0，c )对称；④方程f (x )＝0可能有三个实数根．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≥0，－x 2＋bx ＋c ，x <0，结合图象可知①正确，②不正确，对于③，因为|x |x ＋bx 是奇函数，其图象关于原点(0,0)对称，所以f (x )的图象关于点(0，c )对称，③正确；当c ＝0，b <0时f (x )＝0有三个实数根，故④正确．答案：①③④5．已知函数f (x )＝|x －a |x ＋b (a ，b ∈R)，给出下列命题：(1)当a ＝0时，f (x )的图象关于点(0，b )成中心对称；(2)当x >a 时，f (x )是递增函数；(3)当0≤x ≤a 时，f (x )的最大值为a 24＋b .其中正确的序号是________．解析：当a ＝0时，f (x )＝x |x |＋b ，因为函数y ＝x |x |是奇函数，所以y ＝x |x |的图象关于点(0,0)对称，所以f (x )的图象关于点(0，b )成中心对称，故(1)正确；当x >a 时，f (x )＝x 2－ax ＋b ，其单调性不确定，故(2)错误；当0≤x ≤a 时，f (x )＝－(x －a 2)2＋a 24＋b ，所以当x ＝a 2时，f (x )的最大值为a 24＋b ，故(3)正确．答案：(1)(3)6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋b (x ≤0)log c(x ＋19)(x >0)的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，又函数y ＝log c (x ＋19)的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1337．关于x 的方程e x ln x ＝1的实根个数是________．解析：由e x ln x ＝1(x >0)得ln x ＝1e x (x >0)，即ln x ＝(1e )x (x >0)．令y 1＝ln x (x >0)，y 2＝(1e )x (x >0)，在同一直角坐标系内绘出函数y 1，y 2的图象，图象如图所示．根据图象可知两函数只有一个交点，所以原方程实根的个数为1.答案：18．为了得到函数f (x )＝log 2 x 的图象，只需将函数g (x )＝log 2 x 8的图象________．解析：g (x )＝log 2 x 8＝log 2 x －3＝f (x )－3，因此只需将函数g (x )的图象向上平移3个单位即可得到函数f (x )＝log 2 x 的图象．答案：向上平移3个单位9．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c 则a ，b ，c 由小到大的顺序是________．解析：因为函数f (x )＝2x ＋x 的零点在(－1,0)上，函数g (x )＝log 2x ＋x 的零点在(0,1)上，函数h (x )＝x 3＋x 的零点为0，所以a <c <b .答案：a <c <b二、解答题10．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2.∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，a 的取值范围是[3，＋∞)．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]x －3，x ∈(2，5]. (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解析：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.12．设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标． 解析：(1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x， 即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0. Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．。
全国通用近年高考数学一轮复习第八章立体几何课时达标检测(三十五)直线、平面平行的判定与性质文(20
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课时达标检测（三十五) 直线、平面平行的判定与性质小题常考题点——准解快解］1．（2018·河北保定模拟）有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是（)A．1 B．2C．3 D．4解析:选A 命题①l可以在平面α内，是假命题;命题②直线a与平面α可以是相交关系,是假命题；命题③a可以在平面α内，是假命题；命题④是真命题．2．（2018·湖南湘中名校联考）已知m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是( ）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α，m⊂β，则α∥βC．若α⊥γ,β⊥γ，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α,则m∥n解析：选D A中，两直线可能平行，相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C中,两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确,故选D。
3．设m，n是不同的直线,α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β"的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α,m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．4．(2018·襄阳模拟）如图，在正方体ABCDA 1B1C1D1中，M，N分别是BC，CD1的中点，则下列说法错误的是（)1A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行解析：选D 如图所示,连接AC，C1D，BD，则MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN,故A、C正确，D错误，又因为AC⊥BD，所以MN⊥AC,B正确．5。
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一、填空题
1．关于直线m ，n 和平面α，β有以下四个命题： (1)若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ； (2)若m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β，则α⊥β； (3)若α∩β＝m ，m ∥n ，则n ∥α且n ∥β； (4)若m ⊥n ，α∩β＝m ，则n ⊥α或n ⊥β. 其中假命题的序号是________．
解析：(1)中，m ，n 也可以相交，故(1)是假命题；(2)正确；(3)中，n 还可以在α内或β内，故(3)是假命题；(4)中，只有当α⊥β时，命题才成立．故假命题的序号是(1)(3)(4)． 答案：(1)(3)(4)
2．对于不重合的两个平面α与β，给出下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ②存在直线l ⊂α，直线m ⊂β，使得l ∥m ；
③存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β. 其中可以判定α与β平行的条件有________个． 解析：①正确；
②中，当α与β相交时，仍有l ⊂α，m ⊂β且l ∥m 成立；
③正确，将l ，m 平移成相交直线，所确定的平面就平行于α，β，所以α∥β. 答案：2
3．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．
⎭
⎬⎫
m ⊂α
①l ∥m
⇒l ∥α；
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⎬⎫
l ∥m ②m ∥α
⇒l ∥α；
⎭
⎬⎫
l ⊥β③α⊥β
⇒l ∥α. 解析：线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l ⊄α. 答案：l ⊄α
4．α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，给出四个论断： ①α∩β＝b ；②a ⊂β；③a ∥b ；④a ∥α.
以其中三个论断为条件，余下一个为结论，写出你认为正确的命题：________.(写出一个即可)
解析：开放性问题，答案不惟一． 答案：①②③⇒④(或①②④⇒③)
5.如图所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a
3，过P 、M 、N 的平面交上
底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________. 解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，
∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a
3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a . 答案：223a
6．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，则m 平行于平面α内的任意一条直线； ②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β； ④若α∥β，m ⊂α，则m ∥β.
其中真命题的序号是______．(写出所有真命题的序号) 解析：①由m ∥α，则m 与α内的直线无公共点， ∴m 与α内的直线平行或异面．故①不正确． ②α∥β，则α内的直线与β内的直线无共点， ∴m 与n 平行或异面，故②不正确． ③④正确． 答案：③④
7．在四面体ABCD 中，M 、N 分别为△ACD 和△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．
解析：如图，取CD 的中点E ，则
AE 过M ，且AM ＝2ME ， BE 过N ，且BN ＝2NE ， 则AB ∥MN ，
∴MN ∥面ABC 和面ABD . 答案：面ABC 和面ABD
8.如图，ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是四边上的
点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________. 解析：设AE ＝a ，EB ＝b ，由EF ∥AC 可得EF ＝bm
a ＋
b .
同理EH ＝
an a ＋b
. ∵EF ＝EH ，∴bm a ＋b ＝an
a ＋b
， 于是a b ＝m n . 答案：m ∶n
9．如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.
解析：如图，取B 1C 1的中点P ，连结NP 、PF 、FH ，易证平面
HNPF ∥平面BDD 1B 1，故只需M 位于FH 上就有MN ⊂平面HNPF ，也就有MN ∥平面B 1BDD 1. 答案：M ∈线段HF 二、解答题
10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、P 、
Q 分别是BC 、C 1D 1、AD 1、BD 的中点． (1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1； (2)求证：EF ∥平面BB 1D 1D .
证明：(1)连结AC 、CD 1，AC ∩BD ＝Q (图略)．∵P 、Q 分别为AD 1、AC 的中点， ∴PQ ∥CD 1.又CD 1⊂平面DCC 1D 1， PQ ⊄平面DCC 1D 1， ∴PQ ∥平面DCC 1D 1. (2)取B 1C 1的中点E 1，
连结EE 1，FE 1，则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1， ∴平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D ，又EF ⊂平面EE 1F ， ∴EF ∥平面BB 1D 1D .
11.如图所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1，D 是BC 上一点，且A 1B ∥平面AC 1D ，D 1是B 1C 1的中点， 求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D .
证明：如图所示，连结A 1C 交AC 1于点E ， ∵四边形A 1ACC 1是平行四边形， ∴E 是A 1C 的中点，连结ED ，
∵A 1B ∥平面AC 1D ，平面A 1BC ∩平面AC 1D ＝ED ， ∴A
1B ∥ED . ∵E 是A 1C 的中点， ∴D 是BC 的中点． 又∵D 1是B 1C 1的中点， ∴BD 1∥C 1D ，A 1D 1∥AD . 又A 1D 1∩BD 1＝D 1， ∴平面A 1BD 1∥平面AC 1D .
12.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为a 的正方形，
侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝6
3a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD ，并求
AF 的长．
解析：在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ，
连结AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ，则F 即为所求作的点．
EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG ，AG ⊂平面P AD ， FE ⊄平面P AD . ∴EF ∥平面P AD ， 又在△BCE 中， CE ＝BC 2－BE 2＝
a 2－23a 2＝33a .
在Rt △PBC 中，BC 2＝CE ·CP ， ∴CP ＝a 233a
＝3a ，
又EG CD ＝PE PC ，∴EG ＝AF ＝23a ，
∴点F 为AB 的一个靠近B 点的三等分点．。