四川省凉山州高一数学下学期期末考试试题 理(扫描版,
四川省凉山彝族自治州2024届数学高一下期末经典模拟试题含解析
四川省凉山彝族自治州2024届数学高一下期末经典模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（ ） ①若,m ααβ⊥⊥，则m β； ②若,,m n ααββ⊥⊂，则m n ⊥；③若,,m n m n αβ⊂⊂∥，则αβ；④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④2．在ABC 中，()(3,1,1,AB BC =-=-，则sin B 等于（ ）A ．B C ．23D ．123．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差4．设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<,{}21B x x x =≤-≥或,则()U A C B =（ ）A ．{}11x x -<< B ．{}23x x -<< C ．{}23x x -≤<D ．{}21x x x ≤->-或5．已知函数()sin(),(0,0,)f x A x b A b R ωϕω=++<>∈的值域为31[,]22--，且图象在同一周期内过两点3351,,,2222B C ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,A b ω的值分别为（ ）A ．1,2,12A b ωπ=== B ．1,2,12A b ω=-==- C ．1,,12A b ωπ=-==-D ．1,2,12A b ω=== 6．在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点.若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为（ ）A ．238a B ．234a C ．232a D ．2 3a7．已知函数()()sin cos f x x a x a R =+∈图象的一条对称轴是π6x =，则函数()()2sin g x x f x =⋅的最大值为（ ）A ．5B ．3C ．5D ．38．读下面的程序框图，若输入的值为-5，则输出的结果是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．29．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BDC ∆内（不含边界）的一个动点，若11A P BC ⊥，则线段1A P 的长的取值范围为（ ） A ．432,B ．43[6) C ．432) D ．6,22)10．已知(2,1),(0,5)A C -，则AC 的垂直平分线所在直线方程为（ ） A ．250x y +-= B ．250x y +-= C ．250x y -+=D ．250x y -+=二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年四川省凉山州高一下学期期末检测数学试题+答案解析
2023-2024学年四川省凉山州高一下学期期末检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数是实数，则()A.1B.C.D.2.一电线杆CD位于某人的正东方向上，某人在点A测得电线杆顶端C的仰角为，此人往电线杆方向走了10米到达点B，测得电线杆顶端C的仰角为，则电线杆CD的高度约为米忽略人的身高A. B.C. D.3.某中学高中一年级有800人，高中二年级有640人，高中三年级有560人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为400的样本，则高中二年级被抽取的人数为()A.64B.96C.112D.1284.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则c为()A.1B.2C.3D.1或25.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为()A.2B.C.1D.6.在中，BC边上的中线为AD，点O满足，则()A. B. C. D.7.若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为()A. B. C. D.8.现有甲、乙两组数据，每组数据均由五个数组成，其中甲组数据的平均数为1，方差为3，乙组数据的平均数为3，方差为若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为()A. B.2C. D.3二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z满足，则()A.z的虚部为4B.C.D.10.下列关于平面向量的说法正确的是()A.若，是相反向量，则B.若，是共线的单位向量，则C.若，则向量，共线D.若，则点A，B，C，D必在同一条直线上11.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图形成对称形态，图形成“右拖尾”形态，图形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是()A.图的平均数=中位数=众数B.图的众数<中位数<平均数C.图的众数<平均数<中位数D.图的平均数<中位数<众数12.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点A，B，C，D在同一个平面内，若四边形ABCD 是边长为2的正方形，则()A.该八面体的表面积是B.该八面体的体积是C.直线AE与平面ABCD所成角为D.动点P在该八面体的外接球面上，且，则点P的轨迹的周长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省凉山彝族自治州2021-2022高一数学下学期期末考试试题(含解析).doc
四川省凉山彝族自治州2021-2022高一数学下学期期末考试试题（含解析）注意事项：全卷共8页（试题卷4页，答题卷4页），考试时间为120分钟，满分100分；请将自己的学校、姓名、考号写在答题卷密封线内，答题只能答题卷上，答题时用蓝黑墨水笔（芯）书写。
考试结束后，只将答题卷交回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=13，则sinB=( ) A.15B.59D. 1【答案】B 【解析】试题分析：由正弦定理得355sin 1sin 93B B =∴=，故选B ．考点：正弦定理的应用2.若(1,2),(1,0)a b ==，则a 与b 夹角的余弦值为（）B.12C.13D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】由向量(1,2),(1,0)a b ==，则a 与b 夹角的余弦值为2cos ,1a b a b a b⋅===+,故选A. 【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.在等差数列{}n a 中，1713a a a π++=，则212cos()a a +的值=（）A. B. 12-C.12D.2【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，求得73a π=，再由2127cos()cos 2a a a +=，即可求解.【详解】根据等差数列的性质，可得171373a a a a π++==，即73a π=，则212721cos()cos 2cos32a a a π+===-，故选B. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值的计算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且6C π=，12a b +=，面积的最大值为（） A. 6 B. 8C. 7D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用基本不等式求得ab 的最大值，根据三角形的面积公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，利用基本不等式可得a b +≥，即12≤，解得36ab ≤， 当且仅当6a b ==时等号成立， 又因为6C π=，所以11sin 36sin 9226ABC S ab C π∆=≤⨯⨯=，当且仅当6a b ==时等号成立，故三角形的面积的最大值为9， 故选D.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及三角形的面积公式的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.5.设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b •=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】A 【解析】 【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【详解】∵|a b +|=，|a b -|=∴分别平方得2a +2a •2b b +=10，2a -2a •2b b +=6， 两式相减得4a •b =10﹣6＝4， 即a •b =1， 故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．6.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，则三棱锥C ABD -的外接球表面积为（） A. π B. 12π C. 8π D. 4π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥C ABD -的外接球直径，从而求出外接球的表面积，得到答案.【详解】由题意，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥C ABD -， 如图所示，则,,BC CD BA AD OA OB OC OC ⊥⊥===,三棱锥C ABD -的外接球直径为22BD =，即半径为2R =，外接球的表面积为2244(2)8R πππ=⨯=，故选C.【点睛】本题主要考查了平面图形的折叠问题，以及外接球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题.7.若110a b<<，则下列不等式中不正确的是（） A. a b ab +< B. 2b aa b+> C. 2ab b >D. 22a b <【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质和基本不等式，即可作出判断，得到答案. 【详解】由题意，不等式110a b<<，可得0b a <<， 则0a b +<，0ab >，所以a b ab +<成立，所以A 是正确的； 由0b a <<，则0,0b a a b >>，所以2b a b a a b a b+≥+=，因为a b ，所以等号不成立，所以2b aa b+>成立，所以B 是正确的； 由b a <且0b <，根据不等式的性质，可得2ab b <，所以C 不正确； 由0b a <<，可得22a b <，所以D 是正确的， 故选C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，以及基本不等式的应用，其中解答中根据不等式的性质求得,a b 的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.设变量x ，y 满足约束条件4,{4,2,y x y x y ≤+≥-≤-则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A. 4B. -5C. -6D. -8【答案】D 【解析】绘制不等式组所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点()0,4A 处取得最小值28z x y =-=-. 本题选择D 选项.9.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，则三棱柱的左视图面积为（）A.B.D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得出该几何体左视图的高和宽的长度，求出它的面积，即可求解. 【详解】根据题意，该几何体左视图的高是正视图的高，所以左视图的高为4， 又由左视图的宽是俯视图三角形的底边上的高，所以左视图的宽为4sin 6023⋅=，所以该几何体的左视图的面积为4S =⨯= 故选A.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.10.已知{}n a 为递增等比数列47565,6a a a a +==，则110a a +=（） A.152B. 5C. 6D.356【答案】D 【解析】 【分析】设数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的性质，得476a a =，又由475a a +=，求得3q ，进而可求解110a a +的值，得到答案.【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，设其公比为q ， 因为566a a =，则有476a a =，又由475a a +=，且47a a <，解得472,3a a ==，所以37432a q a ==，所以3411073233533262a a a a q q +=+=+⨯=， 故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用等比数列的性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.在△ABC 中, sin?B sin?CsinA cos?B cosC+=+,则△ABC 为( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】直接利用正弦定理余弦定理化简得到222a b c =+，即得解. 【详解】由已知得sin sin cos cos sin B CB C A++=，由正、余弦定理得22222222a c b a b c b cac ab a+-+-++=， 即()()()()222ab c b c b bc c bc b c +-+-+=+，即222a b c =+，故ABC △是直角三角形. 故答案为：C【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理水平.12.已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC •+的最小值是（） A. 6-B. 3-C. 4-D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解.【详解】由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--， 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+222[(3)3]x y =+--，所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-， 故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共64分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，）13.正项等比数列{}n a 中，11a =，32a =，则公比q =__________． 2【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的性质可得231a q a =，进而分析可得答案. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 中11a =，32a =，则2312a q a ==，又由数列{}n a 是正项的等比数列，所以2q =.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及注意数列{}n a 是正项等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于x '轴，底角为45，两腰和上底长均为１的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ． 【答案】22+ 【解析】如图过点'D 作，''''D E B C ⊥，则四边形''''A B E D 是一个内角为45°的平行四边形且''1,''1B E A B ==，'''C E D ∆中，'''45,''''1,''2C E D D E A B C E ∠====则对应可得四边形ABED 是矩形且BE 1,AB 2==，CED ∆是直角三角形，90,2,2CED DE CE ∠===1222S BE AB DE CE =⨯+⨯=15.在△ABC 中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==，若MN x AB y AC =+，则x ＝________，y ＝________.【答案】 (1). 12 (2). 16- 【解析】特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=(0,3)AC =，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-.考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.16.如图，圆锥形容器的高为h 圆锥内水面的高为1h ，且112h h =，若将圆锥形容器倒置，水面高为2h ，则2h 等于__________．（用含有h 的代数式表示）37【解析】 【分析】根据水的体积不变，列出方程，解出2h 的值，即可得到答案. 【详解】设圆锥形容器底面面积为S ，则未倒置前液面的面积为14S ， 所以水的体积为11117()33424V Sh S h h Sh =-⨯⨯-=， 设倒置后液面面积为S '，则22()h S S h '=，所以22222()h Sh S S h h '=⋅=， 所以水的体积为3222133Sh V S h h '==，所以3227324Sh Sh h =，解得3272h h =. 【点睛】本题主要考查了圆锥的结构特征，以及圆锥的体积的计算与应用，其中解答中熟练应用圆锥的结构特征，利用体积公式准确运算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知平面向量()()1,,23,a x b x x ==+- ()x N ∈（1）若a 与b 垂直，求x ；（2）若||a b ，求a b -.【答案】（1）3（2）2【解析】试题分析：（1）由两向量垂直时坐标满足的关系式，得出关于x 的方程，解方程得x 值；（2）由两向量平行时坐标满足的关系式，得出关于x 的方程，解方程得x 值，再由两向量的坐标求出a b -坐标，进一步利用坐标运算求出其模长．试题解析：（1）由已知得，()()1230x x x ++-=，解得，3x =或1x =-，因为x N ∈，所以3x =.（2）若//a b ，则()()1230x x x ⋅--⋅+=，所以0x =或2x =-，因为x N ∈，所以0x =.()2,0a b -=-，2a b -=.点睛：本题主要考查向量的坐标运算,向量的数量积.()()1122,,,a x y b x y ==,则121212211212;//;0a b x x y y a b x y x y a b x x y y ⋅=+==⊥=+= 把向量形式化为坐标运算后,建立等式或方程可求相关未知量．18.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且23n s n n =+；（1）求它的通项n a .（2）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）22n a n =+（2）12n n T n +=•【解析】（1）由2S 3n n n =+，利用n a 与n S 的关系式，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得2(1)n n b n =+，利用乘公比错位相减法，即可求得数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）由2S 3n n n =+，当1n =时，11S 4a ==；当1n >时，2213(1)3(1)n n n a S S n n n n -=-=+----22n =+，当1n =也成立，所以则通项22n a n =+；（2）由（1）可得2(1)n n b n =+，-123223242(1)2n n T n =•+•+•+++•， 231222322(1)2n n n T n n +=•+•++•++•，两式相减得2314(222)(1)2n n n T n +-=++++-+ 21112(12)4(1)2212n n n n n -++-=+-+=-- 所以数列{}n b 的前n 项和为12n n T n +=•. 【点睛】本题主要考查了数列n a 和n S 的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等. 19.设函数2()2f x mx mx =-- （1）若对于一切实数()0f x <恒成立，求m 的取值范围； （2）若对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）(8,0]-（2）2m > 【解析】（1）由不等式220mx mx --<恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解；（2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，整理得只需221x m x x >-+恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解.【详解】（1）由题意，要使不等式220mx mx --<恒成立，①当0m =时，显然20-<成立，所以0m =时，不等式220mx mx --<恒成立； ②当0m ≠时，只需2080m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得80m -<<，综上所述，实数m 的取值范围为(8,0]-.（2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，只需22mx mx m x -+>恒成立，只需()212m x x x -+>， 又因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 只需221x m x x >-+， 令222211111x y x x x x x x ===-+-++-，则只需max m y >即可因为12x x +>=，当且仅当1x x =，即1x =时等式成立； 因为[1,3]x ∈，所以max 2y =，所以2m >.【点睛】本题主要考查了含参数的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于基础题.20.如图，在ABC ∆中，2AC BC AB ==，四边形ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G ，F 分别是,EC BD 的中点.（1）求证：GF 平面ABC ;（2）求证：平面EBC ⊥平面ACD ;（3）求几何体ADEBC 的体积V .【答案】（1）详见解析(2)详见解析（2）316V a =【解析】【详解】试题分析：（1）如图，连接EA 交BD 于F ，利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．（2）利用已知可得：FG ⊥平面EBC ，可得∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角．经过计算即可得出．（3）利用体积公式即可得出．试题解析：（1）如图，连接EA ，易知F 为EA 的中点.因为G ，F 分别是EC 和EA 的中点，所以GF AC ，因为GF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以GF 平面ABC .（2）证明：因为四边形ADEB 为正方形，所以EB AB ⊥.又因为平面ABED ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC .所以BE AC ⊥.又因为222CA CB AB +=，所以AC BC ⊥.所以AC ⊥平面BCE .从而平面EBC ⊥平面ACD .（3）取AB 中点N ,连接CN ，因为AC BC =，所以CN AB ⊥，且1122CN AB a ==. 又平面ABED ⊥平面ABC ，所以CN ⊥平面ABED .因为CABED 是四棱锥， 所以2311113326CABED ABED V S CN a a a =⋅=⋅=. 即几何体ADEBC 的体积316V a =. 点睛：本题考查了正方形的性质、线面，面面平行垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、线面角的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.如图所示，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，53AC =，5CD =，2BD AD =.（1）求cos ADC ∠的值；（2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）1cos 2ADC =-∠（2）7534【解析】【分析】（1）设AD x =，分别在ACD ∆和ABC ∆中利用余弦定理计算cos A ，联立方程组，求得x 的值，再由余弦定理，即可求解cos ADC ∠的值；（2）由（1）的结论，计算1sin 2A =，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）,(0)AD x x =>，则2BD x =，所以BC在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos2AC AD CD A AC AD +-==⋅， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos2AC AB BC A AC AB +-==⋅， 22=5x =，所以5AD =，由余弦定理得22222251cos 2252AD CD AC x ADC AD CD x +-+-∠===-⨯⨯⨯⨯（2）由（1）求得315AB AD ==，cosA == 所以1sin 2A =，所以111sin 15222ABC S AC AB A ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.22.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足1233OC OA OB =+. （1）求AC CB 值； （2）已知2(1,cos ),(1cos ,cos ),0,,()2||23A x B x x x f x OA OC m AB π⎡⎤⎛⎫+∈=•-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭若()f x 的最小值为()g m ，求()g m 的最大值.【答案】（1）2（2）1【解析】 【分析】（1）由1233OC OA OB =+，得2()3OC OA OB OA -=-，化简得2AC CB =，即可得到答案； （2）化简函数22()(cos )1f x x m m =-+-，对实数m 分类讨论求得函数()f x 的最小值，得到关于m 的分段函数()g m ，进而求得函数()g m 的最大值. 【详解】（1）由题意知,,A B C 三点满足1233OC OA OB =+， 可得2()3OC OA OB OA -=-，所以22()33AC AB AC CB ==+，即1233AC CB = 即2AC CB =，则2AC CB =，所以||2||AC CB =. （2）由题意，函数2222()2||1cos cos 2cos 333f x OA OC m AB x x m x ⎛⎫⎛⎫=•-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22(cos )1x m m =-+-因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos [0,1]x ∈， 当0m <时，()f x 取得最小值()1g m =，当01m ≤≤时，当cos x m =时，()f x 取得最小值2()1g m m =-，当1m 时，当cos 1x =时，()f x 取得最小值()22g m m =-，综上所述，210()101221m g m mm m m <⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，可得函数()g m 的最大值为1， 即()g m 的最大值为1.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的坐标性质，以及三角函数和二次函数的性质的综合应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.。
2024届四川凉山州数学高一第二学期期末达标检测试题含解析
2024届四川凉山州数学高一第二学期期末达标检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．化简AB BD CD+-的结果是（）A．AC B．AD C．DA D．CA2．已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是（）A．45B．34C．18D．773．已知21tan tan544παββ+=-=（），（），则tan4πα+（）的值为（）A．16B．322C．2213D．13184．在递增的等比数列中，，是方程的两个根，则数列的公比A．2 B．C．D．或25．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①//BM ED②//EF CD③CN与BM为异面直线④DM BN⊥以上四个命题中，正确的序号是（）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④6．在等比数列{}n a 中，546、、a a a 成等差数列，则公比q 等于（ ） A ．1 或 2B ．−1 或 −2C ．1 或 −2D ．−1 或 27．下列大小关系正确的是 ( ) A. B. C.D.8．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A．B ．12πC．D ．10π9．从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(其中红球和绿球都多于2个)，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个红球，至少有一个绿球B ．恰有一个红球，恰有两个绿球C ．至少有一个红球，都是红球D ．至少有一个红球，都是绿球10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23226,39a S ==，则123111a a a ++=( ) A ．132B ．133C ．5D ．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届四川省凉山数学高一下期末调研试题含解析
2024届四川省凉山数学高一下期末调研试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象上所有的点向右平移6π个单位长度后得到的函数图象关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ϕ的值为 A ．π B ．34π C ．56π D ．23π 2．设直线：，：，若与平行，则的值为（ ）A ．B ．0或C ．0D ．63．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )． A ．4B ．8C ．15D ．314．设0,0x y >>且1x y += ，41x y+的最小值为( ) A ．10 B ．9C ．8D ．2725．已知x 与y 之间的一组数据如表，若y 与x 的线性回归方程为ˆ2y bx=-，则ˆb 的值为A ．1B ．2C ．3D ．46．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为( )A ．18B ．17C ．16D ．157．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是所在棱的中点，则MN 与平面1BB D 的位置关系是（ ）A ． MN ⊂平面1BB D B ． MN 与平面1BB D 相交C ． MN //平面1BB DD ．无法确定MN 与平面1BB D 的位置关系 8．若a b > , 则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c ->-D ．22ac bc >9．已知集合{}{}228023A x x x B x x =+-≥=-<<，，则AB =( ).A ．()23，B ．[)23， C ．[]42-，D ．()43-，10．已知两点()23M ，-，2()3N -，-，直线l 过点1(1)P ，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．344k -B ．344k- C ．344k - D ．34k或4k ≤- 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
凉山州2019-2020学年高一下学期期末考试 理科数学试题
解：（1）设{an}的公差为 d ，
由
ìíîaS13
+ a5 =6
=
6
即 ìíî3a1a1++(a31d+=46d ) = 6 解得
ìíîad1
=1 =1
------------------------（4 分）
所以 an = a1 + (n -1)d = n
------------------------（5 分）
得 b= 3
------------------------------（8 分）
（2） 因 DABC 的面积为 3
即
SDABC
=
1 2
ac sin B
=
3， 且a =2，B = p 3
所以 c = 2
19．（本小题满分 12 分）
--------------------------（10 分） -----------------------------（12 分）
r rr 则 cosq = (ra -rb)guubr = - 3 ，q Î[0,p ]
| a - b | ×| b | 2
------------------------------（8 分）
所以 q = 5p 6
18. （本小题满分 12 分）
解： A, B,C 成等差数列，即 2B = A + C ，
21. 渊12 分冤设数列 嗓 an 瑟 满足院a1+2a2+22a3+噎+2n-1an=n 渊n沂N*冤
渊1冤证明 嗓 an 瑟 是等比数列曰
渊2冤设
bn=
n+1 an
袁求数列 嗓 bn
2019-2020学年凉山州高一下学期期末数学试卷(理科)
2019-2020学年凉山州高一下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若正数满足：，则的最小值为( ) A.B. C. D. 2. 已知a ⃗ =(3,x −1)，b ⃗ =(x,2)，若a ⃗ 与b ⃗ 的方向相反，则实数x 的值是( )A. −2B. 3C. −2或3D. 2或−3 3. 在△ABC 中，若a = 2，，，则B = ( ) A.B. 或C.D. 或 4. O 为△ABC 内一点，且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 23 5. 不等式x−1x−2≤0的解集为( )A. {x |x ≤1}B. {x |1≤x ≤2}C. {x |1<x ≤2}D. {x |1≤x <2} 6. 在数列{a n }中，若a 2n =2a 2n−2+1，a 16=127，则a 2的值为( )A. −1B. 0C. 2D. 8 7. 5.下面四个命题中真命题有①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1;③在回归直线方程中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位； ④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③8. 如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为4m ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处，则该小虫爬行的最短路程为4√3m ，则圆锥底面圆的半径等于( ) A. 1m B. 32mC. 43mD. 2m9. 已知向量a ⃗ =(x −1,1)，b ⃗ =(1,y)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x 2+y 2的最小值为( ) A. 14 B. 13 C. 1 D. 12 10. 某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)( )A. 2017年B. 2018年C. 2019年D. 2020年11. 下列四个命题中，真命题的个数为( )(1)若两平面有三个公共点，则这两个平面重合；(2)两条直线可以确定一个平面；(3)若；(4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内。
2020-2021学年四川省凉山州高一(下)期末数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 在平行四边形ABCD 中，DC⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. CA⃗⃗⃗⃗⃗ D. AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 在数列{a n }中，a 1=1，a n =2a n−1−1(n ≥2,n ∈N ∗)，则a 8=( )A. −1B. 1C. 7D. 83. 在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，且a =√3，b =√6，B =45°，则角A =( )A. 30°B. 150°C. 30°或150°D. 135°4. 已知向量a ⃗ =(−3,4)，b ⃗ =(−1,0)，则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为( ) A. −35B. 35C. 3D. −35. 若a <b <0，则下列不等式正确的是( )A. 1a <1bB. ab >a 2C. |a|<|b|D. b a +ab >26. 若{a n }为等比数列，且a 2a 7+a 3a 6=4，则a 1a 2a 3…a 8=( )A. 8B. 16C. 64D. 2567. 在△ABC 中，角A ，B ，C 满足sin A ：sin B ：sinC =2：3：√7，则角C =( )A. π6B. π4C. π3D. π28. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 1+√2B. 1+√22C. 2+√2D. 2+√229. 若锐角△ABC 的边长分别为1，2，a ，则a 的取值范围是( )A. (1,3)B. (√3,√5)C. (1,√3)D. (2,√5)10. 数列{a n }的a 1=1，p⃗ =(a n+1,n +1)，q ⃗ =(n,−a n )，且p ⃗ ⊥q ⃗ ，则a 2021=( ) A. 1 B. 2020 C. 2021 D. 202211. 在△ABC 中，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，AB =3，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 三棱锥P −ABC 中，二面角B −PA −C 大小为120°，且∠PAB =∠PAC =90°，AB =AC =1，PA =2.若点P ，A ，B ，C 都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A. 4πB. 5πC. 6πD. 8π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. {a n }是等比数列，若a 1=1，a 2=2，则数列{a n }的前n 项和S n =______． 14. 已知x ，y 满足约束条件{x −y ≤0x +y −2≤02x +y −2≥0，则2x −y 的最大值为______．15. 若x >1，则x 2−x+9x−1的最小值为______．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，a =2，⊙O 为△ABC 的外接圆，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .给出下列四个结论： ①若m =n =1，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3； ②若P 在⊙O 上，则m 2+n 2+mn =1； ③若P 在⊙O 上，则m +n 的最大值为2；④若m ，n ∈[0,1]，则点P 的轨迹所对应图形的面积为2√3． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是两个相互垂直的单位向量，且a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ ．(1)若a ⃗ //b ⃗ ，求λ的值； (2)若a ⃗ ⊥b ⃗ ，求λ的值．18.关于x的不等式：x2−ax−2a>0．(1)当a=1时，求不等式的解集；(2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围．19.等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+6a2=1，a3=a1⋅a2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log3a n，求数列{b n}前n项和．20.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2asinB=√3b.(1)求A；(2)若a=3，sin(A+C)=√3，求c的值．321.如图，四棱锥P−ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为PA，BC的中点．(1)证明：EF//平面PCD；(2)已知PA=AB=2，G为棱CD上的点，EF⊥BG，求三棱锥E−FCG的体积．22.数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1=1，b n⋅b n+1=a n2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1b1+3b2+5b3+⋯+2n−1b n≥2n−1．答案和解析1.【答案】A【解析】解：平行四边形ABCD 中，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：A ．由题意利用向量加减法及其几何意义，得出结论． 本题主要考查向量加减法及其几何意义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，由a 1=1，得a 2=2a 1−1=1，a 3=2a 2−1=1，a 4=2a 3−1，…，a n =1，所以{a n }是常数列且a n =1，故a 8=1． 故选：B ．根据a 1=1，a n =2a n−1−1(n ≥2,n ∈N ∗)，可推导出{a n }的前几项，从而发现数列{a n }是常数列即可确定a 8的值．本题考查数列的递推公式，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，且a =√3，b =√6，B =45°， 利用正弦定理：asinA =bsinB ，整理得sinA =asinB b=12，由于a <b ， 所以A =30°． 故选：A ．直接利用三角函数的值和正弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的值，边角关系的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵a⃗=(−3,4)，b⃗ =(−1,0)，∴a⃗⋅b⃗ =3，∴b⃗ 在a⃗方向上的投影为|b⃗ |cos<a⃗，b⃗ >=|b⃗ |⋅a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |=35．故选：B．b⃗ 在a⃗方向上的投影为|b⃗ |cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |，再结合平面向量数量积的坐标运算，得解．本题考查平面向量数量积的几何意义，及坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：A：∵a<b<0，∴1a −1b=b−aab>0，故A不正确；B：∵a<b<0，∴a<0，∴a2>ab，故B不正确；C：∵a<b<0，∴|a|>|b|，故C不正确；D：∵a<b<0，∴ab >0，ba>0，则ab+ba≥2√ab⋅ba=2，当且仅当a=b时取等号，∵a≠b，故则ab +ba>2，故D正确．故选：D．利用不等式的性质判断即可．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：{a n}为等比数列，且a2a7+a3a6=4，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=2，∴a1a2a3…a8=24=16．故选：B．由{a n}为等比数列，且a2a7+a3a6=4，得到a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=2，由此能求出a1a2a3…a8的值．本题考查等比数列的前8项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】解：在△ABC中，角A，B，C满足sin A：sin B：sinC=2：3：√7，利用正弦定理：a：b：c=2：3：√7，设a=2k，b=3k，c=√7k，所以cosC=a2+b2−c22ab =12，由于：0<C<π，故C=π3．故选：C．直接利用正弦定理和余弦定理，及三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理的应用，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力：属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长是1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=1．由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BC，又BC⊥AB，得BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即PBC为直角三角形，同理可得PDC为直角三角形．∴该几何体的表面积为1×1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2．故选：C．由三视图还原原几何体，可得该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长是1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=1，证出侧面PDC、PBC为直角三角形，则几何体的表面积可求．本题考查空间几何体的三视图，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．【解析】解：由于锐角△ABC 的边长分别为1，2，a ， 利用余弦定理cosA >0，cosB >0，cosC >0． 所以12+22>a 2，12+a 2>22， 解得√3<a <√5.即a ∈(√3,√5)． 故选：B ．直接利用三角形为锐角三角形和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，p⃗ =(a n+1,n +1)，q ⃗ =(n,−a n )， 若p⃗ ⊥q ⃗ ，则有p ⃗ ⋅q ⃗ =na n+1−(n +1)a n =0，变形可得a n+1a n=n+1n，又由a 1=1，则a 2021=a2021a 2020×a2020a 2019×……×a2a 1×a 1=20212020×20202019×……×21×1=2021；故选：C ．根据题意，由数量积的坐标计算公式可得p⃗ ⋅q ⃗ =na n+1−(n +1)a n =0，变形可得a n+1a n=n+1n，进而由累乘法分析可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及数列的递推公式，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9−23×9=3，故选：C ．作图，根据向量三角形法则表示出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入计算即可．本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量三角形法则，数形结合思想，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，∵∠PAB=∠PAC=90°，∴∠BAC为二面角B−PA−C的平面角，大小为120°，∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠ACB=30°，=1，设△ABC的外接圆的半径为r，则r=12sin30∘设底面三角形ABC的外心为D，三棱锥P−ABC外接球的球心为O，连接OD，则OD⊥平面ABC，PA=1，且OD=12连接OA，则OA为三棱锥P−ABC外接球的半径，可得OA2=12+12=2．∴该球的表面积为4π×2=8π．故选：D．由题意画出图形，求出底面三角形外接圆的半径，再由勾股定理求外接球的半径，再由球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】2n−1【解析】解：{a n}是等比数列，a1=1，a2=2，=2，∴q=a2a1∴数列{a n}的前n项和S n=1−2n=2n−1．1−2故答案为：2n −1．先求出等比数列公比q =a2a 1=2，由此能求出数列{a n }的前n 项和．本题考查等比数列的前n 项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】1【解析】解：作出约束条件{x −y ≤0x +y −2≤02x +y −2≥0对应的平面区域如图阴影部分所示：令z =2x −y 得y =2x −z ，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)： 平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 经过点B 时，直线y =2x −z 的截距最小， 此时z 最大，由{x −y =0x +y −2=0，得B(1,1)． 代入目标函数z =2x −y ， 得z =2×1−1=1， 故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最值即可．本题主要考查了线性规划的应用问题，利用目标函数的几何意义，数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.【答案】7【解析】解：由于x >1，所以x −1>0， 故x 2−x+9x−1=(x−1)2+x−1+9x−1=(x −1)+9x−1+1≥2√9+1=7，当且仅当x =4时，等号成立，故答案为：7．直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．本题考查知识要点：函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：⊙O 为△ABC 的外接圆，A =π6，a =2，所以a sinA =2R ，即212=2R ，解得R =2， 所以∠BOC =2∠A =π3，所以OB =OC =2，对于①：若m =n =1时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 两边平方得(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(OC⃗⃗⃗⃗⃗ )2， 所以|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BOC ，=22+22+2×2×2cos60°=12，所以|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，故①正确；对于②：OP⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=m 2|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+n 2|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2mn|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BOC ，=4m 2+4n 2+2mn ×2×2×12=4(m 2+n 2+mn)，若P 在⊙O 上，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，所以4=4(m 2+n 2+MN)，所以m 2+n 2+mn =1，故②正确；对于③：由②知，m 2+n 2+mn =1，所以m 2+n 2=1−mn ≥2mn ，所以mn ≤13，所以m 2+n 2≥(2mn)max =2×13=23，所以(m 2+n 2)min =23，又m+n 2≤√m2+n 22恒成立， 所以m+n 2≤√232=√33， 所以m +n ≤2√33，故③错误； 对于④：若m ，n ∈[0,1]，∠BOC =60°，OC =OB =BC =2，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ，n ∈[0,1]， 当m =0时，n ∈[0,1]时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时点P 在线段OC 上，当n =0时，m ∈[0,1]时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 此时点P 在线段OB 上，当m =1，n ∈[0,1]时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，构造平行四边形，此时点P 在与OC 平行的线段BD 上，当n =1，m ∈[0,1]时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理，可得点P 在与OB 平行的线段CD 上，当m ∈(0,1)，n ∈(0,1)，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 此时点P 在菱形OBCD 的内部，综上，点P 的轨迹为菱形OBDC 组成的图形区域，所以S 菱形OBDC =2S △OBC =2×12×2×2sin60°=2√3，故④正确．故答案为：①②④．由正弦定理可得a sinA =2R ，解得R =2，则∠BOC =2∠A =π3，进而可得OB =OC =2．对于①：若m =n =1时，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方，即可判断①是否正确；对于②：对OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 两边平方，可得|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4(m 2+n 2+mn)，又|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，即可判断②是否正确；对于③：由②知，m 2+n 2+mn =1，结合基本不等式，即可判断③是否正确；对于④：分别分析当m =0时，n ∈[0,1]时，当n =0时，m ∈[0,1]时，当m =1，n ∈[0,1]时，当n =1，m ∈[0,1]时，点P 的轨迹，即可判断④是否正确．本题考查命题真假的判断，解题中需要熟悉向量的运算，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是两个相互垂直的单位向量，且a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ ．若a ⃗ //b ⃗ ，则有31=λ2，∴λ=6． (2)若a ⃗ ⊥b ⃗ ，由于e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =0，则a ⃗ ⋅b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ 2+(λ−6)e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +2λe 2⃗⃗⃗ 2=3+0+2λ=0， ∴λ=−32．【解析】(1)由题意利用两个向量平行的性质，求得λ的值．(2)由题意利用利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得λ．本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题． 18.【答案】解：(1)当a =1时，原不等式化为x 2−x −2>0，∵方程x 2−x −2=0的实数根为x 1=−1，x 2=2，∴原不等式的解集为{x|x <−1或x >2}．(2)∵不等式对一切实数恒成立，∴Δ=(−a)²−4×1×(−2a)<0，即 a²+8a <0，∵方程a²+8a =0的实数根为−8和0，∴−8<a <0，所以a 的取值范围为(−8,0)．【解析】(1)解一元二次不等式即可得解；(2)由已知可得Δ<0，从而可求得a 的取值范围．本题主要考查一元二次不等式的解法，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)由题意，设等比数列{a n }的公比为q(q >0)，则{a 1+6a 1q =1a 1q 2=a 12q，解得a 1=q =13， ∴a n =13⋅(13)n−1=(13)n ，n ∈N ∗．(2)由(1)，知b n =log 3a n =log 3(13)n =−n ，记数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n=(−1)+(−2)+⋅⋅⋅+(−n)=−(1+2+⋅⋅⋅+n)=−n(n+1)2．【解析】(1)根据题意设等比数列{a n }的公比为q(q >0)，再根据已知条件及等比数列的通项公式列出关于首项a 1与公比q 的方程组，解出a 1与q 的值，即可得到等比数列{a n }的通项公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后根据等差数列的求和公式即可计算出数列{b n }前n 项和．本题主要考查等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归，对数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：(1)∵2asinB =√3b∴由正弦定理a sinA =b sinB ，即a =bsinA sinB 代入上式，得2sinA =√3，即sinA =√32， 又0<A <π2，所以A =π3．(2)由sin(A +C)=√33，得sinB =√33， 又0<B <π2，所以cosB =√63， 故sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =3√2+√36 又a =3，则由正弦定理：a sinA =c sinC ，得c =1+√6．由正弦定理得b =2，再由余弦定理：a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得c 2−2c −5=0，解得c =1+√6或c =1−√6(舍去)．【解析】(1)直接利用正弦定理和三角函数的值的应用求出结果；(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理或余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．21.【答案】(1)证明：如图，取PD中点H，连接EH，HC，由E，H分别为PA，PD的中点，知EH//AD，EH=12AD，又F为BC的中点，故FC//AD，FC=12AD，即EH//FC，且EH=FC，∴四边形EFCH是平行四边形，即EF//HC，又EF⊄平面PCD，HC⊂平面PCD，∴EF//平面PCD；(2)解：如图，连接AF．∵PA⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴PA⊥BG，又EF⊥BG，PA∩EF=E，PA⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，∴BG⊥平面AEF，AF⊂平面AEF，∴BG⊥AF，即∠AFB+∠CBG=∠AFB+∠FAB=90°，∴∠AFB=∠BGC，即Rt△ABF≌Rt△BCG，又AB=BC=2BF=2，∴CG=1，又PA=2，则AE=1，且FC=1，∴三棱锥E−FCG的体积V=13S△FCG⋅AE=16⋅FC⋅CG⋅AE=16．【解析】(1)取PD中点H，连接EH，HC，证明四边形EFCH是平行四边形，可得EF//HC，再由直线与平面平行的判定可得EF//平面PCD；(2)连接AF，求解三角形证明Rt△ABF≌Rt△BCG，可得CG=1，再由棱锥体积公式求三棱锥E−FCG的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】(1)解：设等差数列{a n}公差为d，因为数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，所以a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，解得d=1或d=0(舍去)，所以a n=a1+(n−1)d=1+(n−1)×1=n，故数列{a n}的通项公式为a n=n．(2)证明：数列{b n}满足b1=1,b n⋅b n+1=a n2，由(1)得b n⋅b n+1=n2，因为b1=1，b2⋅b1=1，故b2=1且b n>0，则b n⋅b n+1−b n−1⋅b n=b n(b n+1−b n−1)=n2−(n−1)2=2n−1(n≥2)，故b n+1−b n−1=2n−1b n (n≥2)，即2n−1b n=b n+1−b n−1(n≥2)，当n=1时，左式=1b1=1，右式=2×1−1=1，结论成立；当n≥2时，左式=1+(b3−b1)+(b4−b2)+(b5−b3)+⋯+(b n−b n−2)+(b n+1−b n−1)=1+b n+b n+1−b1−b2=b n+b n+1−1≥2√b n b n+1−1=2n−1，即结论也成立．综上，1b1+3b2+5b3+⋯+2n−1b n≥2n−1成立．【解析】(1)由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解d，从而可得数列{a n}的通项公式；(2)由b n⋅b n+1=n2，可求得b n⋅b n+1−b n−1⋅b n=2n−1(n≥2)，变形可得2n−1b n=b n+1−b n−1(n≥2)，当n=1时，不等式成立；当n≥2时，利用裂项求和法及基本不等式即可证明结论成立．本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的性质，考查数列的求和，不等式的证明，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．。
四川省凉山彝族自治州高一下学期期末数学试卷
四川省凉山彝族自治州高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是（）A . 1,2,3,4,5,6B . 6，16，26，36，46，56C . 1,2，4，8，16，32D . 3,9,13 ,27,36,542. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 已知函数的定义域为，对任意实数恒成立，若真，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）从2007名学生中选取50名参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的可能性（）A . 都相等，且为B . 不全相等C . 均不相等D . 都相等，且为4. （2分） (2016高一下·舒城期中) 设的值是（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·鹤壁模拟) 下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·山东模拟) 要使程序框图输出的S=2cos 则判断框内（空白框内）可填入（）A .B .C .D .7. （2分）函数y=sin（ωx+）在x=2处取得最大值，则正数ω的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·营口会考) 若将函数y=2sin（3x+φ）的图象向右平移个单位后得到的图象关于点（）对称，则|φ|的最小值是（）A .B .C .D .9. （2分）已知向量若则的值为（）A .B .C .D .10. （2分）在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·邹平期中) 为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A . 向左平行移动个单位长度B . 向右平行移动个单位长度C . 向左平行移动个单位长度D . 向右平行移动个单位长度12. （2分）设cos（﹣80°）=m那么tan100° 等于（）A .B . ﹣C .D . ﹣二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知下列表格所示的数据的回归直线方程为=3.8x+a，则a的值为________x23456y25125425726226614. （1分） (2018高二下·海安月考) 某射击选手连续射击枪命中的环数分别为：，，，，，则这组数据的方差为________．15. （1分） (2016高二上·东莞开学考) 已知在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，在其中任取一点P，使满足∠APB ＞90°，则P点出现的概率为________．16. （1分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n．其中真命题的序号为________三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点．求sinα，cosα，tanα的值.18. （10分） (2017高二下·天津期末) 某射击队有8名队员，其中男队员5名，女队员3名，从中随机选3名队员参加射击表演活动．（1）求选出的3名队员中有一名女队员的概率；（2）求选出的3名队员中女队员人数比男队员人数多的概率．19. （5分） (2017高一下·芜湖期末) 某舰艇在A处测得一遇险渔船在北偏东45°距离A处10海里的C处，此时得知，该渔船正沿南偏东75°方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速为21海里，求舰艇追上渔船的最短时间（单位：小时）20. （5分） (2016高一下·福建期中) 甲、乙两人约定在中午12时到下午1时之间到某站乘公共汽车，又知这段时间内有4班公共汽车．设到站时间分别为12：15，12：30，12：45，1：00．如果他们约定：①见车就乘；②最多等一辆．试分别求出在两种情况下两人同乘一辆车的概率．假设甲乙两人到达车站的时间是相互独立的，且每人在中午12点到1点的任意时刻到达车站是等可能的．21. （5分） (2017高一下·安庆期末) 已知 =﹣1，求下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ） cos2（+α）﹣sin（π﹣α）cos（π+α）+2．22. （10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象在y轴右侧与x轴第一个交点和第一个最高点的坐标分别为（x0 ， 0）和（x0+ ，2），若将函数f（x）的图象向左平移个单位后所得函数图象关于原点对称（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=f（kx）+1（k＞0）的周期为，且当x∈[0， ]时，方程f（kx）=m恰有两个不同的根，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22、答案：略第11 页共11 页。