高一数学复习讲义(二)2002
高一必修二数学知识点精讲
高一必修二数学知识点精讲数学是一门理科，它包含了很多不同的知识点和概念。
对于高中生来说，学习数学是发展逻辑思维和培养分析问题能力的重要途径之一。
在高一的数学学习中，必修二是一个重要的内容，本文将对高一必修二数学知识进行精讲。
一、函数函数是数学中的一个基本概念，它描述了两个集合之间的关系。
在高一必修二中，我们会学习到函数的定义、函数的性质以及函数的表示方法。
函数的定义：对于两个集合X和Y，如果存在一种对应关系f，使得对于X中的任意一个元素x，都有唯一的一个元素y与之对应，那么我们称f是从X到Y的一个函数。
函数的性质：函数可以有多种性质，比如单调性、奇偶性等。
其中，单调性是指函数的增减规律，而奇偶性是指函数在轴对称性。
通过研究函数的性质，我们可以更好地理解函数的行为规律。
函数的表示方法：在高一必修二中，我们主要使用表达式和图像来表示函数。
表达式是用数学符号表示函数的关系式，而图像则是用图形表示函数的规律。
同时，我们还会学习到如何根据表达式和图像来分析函数的性质。
二、数列数列是数学中的另一个重要概念，它是有序的一组数。
在高一必修二中，我们将学习到等差数列和等比数列这两种常见的数列类型。
等差数列：等差数列是指数列中的任意两个相邻的数之差都相等的数列。
在高一必修二中，我们会学习到等差数列的通项公式和求和公式，通过这些公式可以更方便地计算数列中的任意一项及其和。
等比数列：等比数列是指数列中的任意两个相邻的数之比都相等的数列。
在高一必修二中，我们将学习到等比数列的通项公式和求和公式，通过这些公式可以更方便地计算等比数列中的任意一项及其和。
三、平面向量平面向量是一个有方向和大小的量，它常用于描述平面上的运动和力的大小和方向。
在高一必修二中，我们将学习到平面向量的定义、基本运算和坐标表示法。
平面向量的定义：平面向量是指在平面上的一个定向线段。
它由大小和方向两个要素组成。
平面向量的基本运算：平面向量的基本运算有加法和数乘两种。
高一数学讲义2-必修1第一章1.2函数及其表示
1.2函数及其表示一、函数概念及表示方法 课型A例1. 下列能确定y 是x 的函数的是 2 （1）222x y += （2）111x y -+-= （3）21y x x =-+-例2. 以下各组函数表示同一函数的是 4 。
（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=x1+x ，g （x ）=x x +2；（4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1例3. 图中的图象所表示的函数的解析式为 （ B ）A ．|1|23-=x y(0≤x ≤2) B ．|1|2323--=x y (0≤x ≤2)C ．|1|23--=x y (0≤x ≤2)D ．|1|1--=x y(0≤x ≤2)例4．已知函数()y f x =，它的图像与直线,()x a a R =∈的交点的个数是 （ B ）A. 至少一个 B . 至多一个 C. 一个或两个 D. 可能有无数多个例5．已知()f x =⎩⎨⎧<≥,0,0,0,1x x 则不等式()2xf x x +≤的解集是________ {x |x ≤1}例6.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,221,1,22x x x x x x x f ，若()3=x f ，则x 的值是__3___________例7.已知函数()()x g x f ,分别由下表给出则()[]1g f 的值 1 ；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值 2 .x12 3 f(x) 1 31x12 3 g(x) 321二、函数的三要素 课型B例1. 求下列函数的定义域（1）5x 4x )x (f 2+--=[]5,1x ∈-（2）1x x 4)x (f 2--=[)(]2,11,2x ∈-⋃（3）10x 6x )x (f 2+-=x R ∈（4）13x x 1)x (f -++-= []3,1x ∈-例2. 求下列函数的值域 （1）32y x= ()(),00,y ∈-∞⋃+∞ （2）231x y x -=+ ()(),22,y ∈-∞⋃+∞ （3）221x x y x x -=-+ 1,13y ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭（4）y x =+ 1,2y ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭例3. 求下列函数的解析式： （1）221)1(xx x x f +=+ 2()2f x x =-（2） 13()2()4f x f x x+= 2128()5x f x x -=（3）若()[]{}2627+=x x f f f ，求一次函数)(x f 的解析式. ()32f x x =+三、复合函数及抽象函数 课型B例1．（1）已知函数)(x f 的定义域为[]1,0，求)1(2+x f 的定义域. {}0x x =（2） 已知函数)12(-x f 的定义域为[)1,0，求)31(x f -的定义域. 20,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦例2．已知函数()f x 定义域为(0，2)，则函数2()23f x +的定义域是()(x ∈⋃例3． 设()x x x f +=21)(，()⎩⎨⎧>≤=0,0,2x x x x x g ，则()[]=x g f _______________[]20,(0)(),(0)x f g x x x ≤⎧=⎨>⎩例4．已知()[]⎩⎨⎧<+≥-=∈10,510,2)(,*n n f f n n n f N n 且，则()4f =___8___________例5．已知()()()341.22+=+=x x g a x x f ，若()[]12++=x x x f g ，求a 的值. 1a =例6. 设函数()f x 的定义域是实数集R ，且满足条件：存在12x x ≠使得12()()f x f x ≠，又对任意实数,,()()()x y f x y f x f y +=⋅成立求证：（1）(0)1f = （2）()0f x >对任意的x 均成立。
高一必修数学第二讲知识点
高一必修数学第二讲知识点在高一必修数学的第二讲中，我们学习了一些重要的数学知识点。
本文将对这些知识点进行详细的介绍和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。
一、集合与函数在集合与函数的学习中，我们首先学习了集合的基本概念和表示方法。
集合是由一些特定对象构成的整体，可以用花括号表示，例如集合A={1,2,3}。
我们还学习了集合的运算，包括并集、交集和差集等。
此外，我们还学习了集合的关系与函数的概念和性质。
二、数列与数列求和数列是按照一定规律排列的一系列数值，我们通过数列的通项公式可以得到数列中任意一项的值。
在数列的学习中，我们掌握了等差数列和等比数列的定义和性质，并学会了求解数列的通项公式和前n项和的公式。
这些知识点在解决实际问题中十分有用。
三、二元一次方程与不等式二元一次方程是含有两个未知数的一次方程，我们通过联立方程组的方法可以求解方程组的解。
在学习中，我们掌握了利用消元法、代入法和加减消元法等方法来求解二元一次方程组。
此外，我们还学习了一元一次不等式的解集表示方法和性质，可以通过绘制数轴和化简不等式来求解不等式。
四、函数与方程在函数与方程的学习中，我们学习了一元一次方程、一元二次方程和一元一次不等式的解法。
通过解方程和绘制函数图像的方法，我们可以求解函数与方程的交点，并解决实际问题。
此外，我们还学习了一元二次函数的性质和图像特点，掌握了二次函数的图像绘制和解析方程的方法。
总结：通过对高一必修数学第二讲的学习，我们掌握了集合与函数、数列与数列求和、二元一次方程与不等式以及函数与方程等重要知识点。
这些知识对我们今后的学习和实际应用都具有重要的意义。
希望同学们能够认真学习并灵活运用这些知识，提升自己的数学能力。
让我们一起加油吧！。
高一数学复习讲义(二)2002
第七章直线和圆方程复习讲义（2）曲线与圆方程一．内容提要：1．曲线与方程：2．求曲线方程：3．圆方程：4．圆与直线：二．基础训练：1．设直线20x y -=与y 轴的交点为P ，点P 把圆22(1)25x y ++=的直径分为两段，则其长度之比为 （ A ）（A ）73或37 （B ）74或47 （C ）75或57 （D ）76或672．直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系是 （ A ）（A ）过圆心 （B ）相切 （C ）相离 （D ）相交但不过圆心3．若直线0x y a ++=与圆22x y a +=相切，则a 为 （ C ）（A ）0和2 （B （C ）2 （D ）无解4．圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++= （ C ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5．方程||1y -= （ D ）（A ）直线 （B ）射线 （C ）圆 （D ）两个半圆6．圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于,A B 两点，圆心为P ，若90APB ∠=， 则c = 。
3-7．过点(4,0)P 引圆22230x y x +--=的两条切线，则切线方程为： 和)4y x =-；过两切点的直线方程为 .73x = 8．与圆22:(5)3C x y ++=相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有 4 条.三．例题分析：例1．自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上被x 轴反射，其反射线所在的直线与圆224470x y x y +--+=相切，求光线l 所在直线的方程.答案：4330,3430x y x y ++=+-=或者例2．已知点(,0)(4)A a a >，点(0,)(4)B b b >，直线AB 与圆E ：224430x y x y +--+=相交于点,C D 两点，且||2CD =； （1）求(4)(4)a b --的值；答案：8（2）求线段AB 的中点M 的轨迹方程；()()()2222x y x --=>（3）求ABE ∆的面积S 的最小值.4例3．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=；（1）求证：对1,m R l ∈与2l 的交点P 恒在一个定圆上；（2）若1l 与定圆的另一个交点为1P ，2l 与定圆的另一个交点为2P ，求12PPP∆面积的最大值及对应的m .答案：（1）2220x y x y +--=（2）13,3m m ==-四．课后作业： 班级 学号 姓名1．两圆226490x y x y ++-+=和22612190x y x y +-+-=的位置关系是 （A ）()A 外切 ()B 内切 ()C 相交 ()D 相离2．以(4,3)M -为圆心的圆与直线250x y +-=相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是(C)()A 02r << ()B 0r < ()C 0r << ()D 0r <<3．两圆222x y r +=与222(3)(1)(0)x y r r -++=>外切，则r 的值是 （ D ）()A ()B ()C 5 ()D 24．已知半径为1的动圆与圆22(5)(7)16x y -++=相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ D ）()A 22(5)(7)25x y -++= ()B 22(5)(7)17x y -++=或22(5)(7)15x y -++= ()C 22(5)(7)9x y -++=()D 22(5)(7)25x y -++=或22(5)(7)9x y -++= 5．如果把圆22:1C x y +=沿向量(1,)a m = 平移到C '，并与直线340x y -=相切，则m 的值为 （A ）()A 2或12- ()B 2或12 ()C 2-或12 ()D 2-或12-6．已知点(,)P x y 是圆22(2)1x y ++=上任意一点，则2x y -2，21y x --.7．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线30x y -=上，且被直线y x =截得的弦长为C 的方程.答案：()()2222(3)19,(3)19x y x y +++=-+-=或者.8．求经过点2213x y +=外一点(4,7)P -与圆相切的直线方程.答案：23130,18650x y x y +-=++=或者.9．求与y 轴相切并与圆2240x y x +-=相外切的动圆的圆心的轨迹方程.答案：28,0(0)y x y x ==<或者.10．求以圆221:122130C x y x y +---=和圆222:1216250C x y x y +++-=的公共弦为直径的圆的方程.答案：()()222225x y -++=.11．点(4,2)P 是圆22:2428360C x y x y +---=内的一个定点，圆上动点,A B 满足90APB ∠= ，求动弦AB 中点M 的轨迹方程。
高一数学第二册知识点总结
高一数学第二册知识点总结
高一数学第二册知识点总结
前言
在高中数学学习过程中，第二册是一个重要的阶段。
在这一阶段，我们将学习更加深入的数学知识，并建立起更加扎实的基础。
本文将
对高一数学第二册的知识点进行总结，帮助大家更好地理解和掌握这
些知识，为后续学习打下坚实的基础。
正文
以下是高一数学第二册的主要知识点总结：
1. 函数与方程
•函数概念
•函数的性质
•一次函数及其图象
•一元一次方程
•一元一次不等式
2. 二次函数与一元二次方程
•二次函数及其图象
•一元二次方程的解法•一元二次方程的判别式3. 三角函数初步
•弧度制
•三角函数的定义与性质•三角函数的图象
4. 平面向量
•向量的定义与性质•向量的运算
•向量的数量积与模
5. 数列与数列极限
•数列的基本概念
•数列的通项公式
•数列的极限
•数列极限的性质
6. 点与点集
•坐标平面
•平面上的点
•点到点的距离
•点集的表示
7. 几何变换
•平移、旋转、翻折、放缩的定义与性质
•平移、旋转、翻折、放缩的变换公式
8. 不等式初步
•不等式及其性质
•不等式的解集表示
•不等式的基本变形
结尾
通过本文的总结，我们对高一数学第二册的知识点有了更加清晰
的认识。
这些知识点是我们后续学习的基础，掌握好它们对于我们的
数学学习起着至关重要的作用。
希望大家能够通过不断的练习和巩固，加深对这些知识点的理解和掌握，为未来的学习做好充分的准备。
祝
愿大家在高中数学的学习中取得优异的成绩！。
6863数列复习二
高一数学复习讲义（二）数列（2）一.复习要求：进一步熟练地运用等差、等比数列的公式、性质解决问题，进一步巩固常见数列问题的常规处理方法。
二.基础训练：1.含21n +个项的等差数列的奇数项和与偶数项和的比是 .2.若三角形的三边长成等差数列，其中两边长分别为2,3cm cm ，那么另一边长是 .3.方程22lg lg lg n x x x n n +++=+的解是 .4.在等比数列{}n a 中，0n a >，公比2q =，且30123302a a a a =，那么36930a a a a = .5.首项为24-的等差数列，从第10项起为正，公差d 的取值范围是 .6.若不等于1的三个正数,,a b c 成等比数列，则(2log )(1log )b c a a -+= .三.例题分析：例1. 已知3()3x f x x =+，数列{}n a 的通项n a 满足条件1(),(2)n n a f a n -=≥首项1a 为非零的任意常数，（1）求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求公差d ； （2）当112a =时，求100a 的值。
例2.数列{}n a 是首项11000a =，公比110q =的等比数列，121(lg lg lg )n n b a a a n =+++，求数列{}n b 的前n 项和n S 最大值。
例3 .对于数列{}n a ，若121321,,,,n n a a a a aa a ----是首项为1，公比为13的等比数列，求：（1）n a ； （2）123n a a a a ++++.四.课后作业： 班级 学号 姓名1.在等比数列中，已知首项为98，末项为13，公比为23，则项数为 .2.在等比数列{}n a 中，0n a >，且35210462100a a a a a a ++=，则46a a +的值是 .3.有穷数列1,2,4,,2n 的各项和为 .4.设{}n a 是公差为2-的等差数列，如果149750a a a +++=，则369a a a +++= .5.首项为正数a 的等差数列{}n a 中，179S S =，则n S 的最大值是 .6.在等差数列{}n a 中，51015202a a a a +++=，则24s = .7.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和为n S 与n T ，若231n n S n T n =+，则n na b = .8.对于数列{}n a 满足11a =，142n n a a n --=-(2)n ≥求数列{}n a 的通项n a .9.已知数列{}n a 的通项公式是121log ()3n n a -=，求证：{}n a 是等差数列，并求公差d .10.已知三个数成等比数列，若将第三数减去32成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4又成等比数列，求这三数。
高一数学讲义完整版
高一数学复习讲义函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域）x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=loga2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、开口方向、判别式考点1：单调函数的考查2：函数的最值3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲)4：个数问题（结合函数图象）3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍4单调函数的证明(注意一般解法）简易逻辑(较容易)1.2.3.4.启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系）问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考)一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0)练习：对于满足0<p<4的所有实数p,求使不等式x2+px>-4x+p-3恒成立的x的取值范围2、二次函数型:若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0Δ<0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解练习：1设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1, +∞)时,都有f(x)>a恒成立, a的取值范围2关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范围。
3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解练习：若1-ax>1/(1+x),当对于x∈[0, 1]恒成立,求实数a的取值范围。
4利用图象练习：当x∈(1, 2)时,不等式(x-1)2<logx恒成立,求a的取值范围.a５利用函数性质练习：若f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数,求α的值.（最值）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[03]，上的最大值为2，则t =函数部分2（三角函数）学习目标：1熟悉函数命题知识点2 每种题目能找出突破点（课后总结归纳） 3三角函数主要考点（平移、函数大小及比较（2007）、最值（两大类）、二次函数综合、恒成立问题（湖北2007）、图像） 三角函数考点 1考查化简2考查图像变换（与一般函数联系起来） 平移：a 普通平移 b 向量平移引出知识点：1函数周期性 y=sinx2 参数范围求解 若方程3sinx+cosx=a 在[0,2π]上有两个不同的实数解,求a 的取值范围.3.函数解析式 如图是函数y=Asin(ωx+φ)的半个周期 的图象,求其解析式.3 考查函数性质4考查解三角形5考查综合运用数列1.数列问题（常见几类数列的解法）特殊的（裂项法、构造法等）三类数列你知道吗？2.函数知识的复习函数在数列中应用（复习函数的有关解法）1(2000年上海卷)在xOy平面上有一点列P1 ( a1 , b1 ) 、P2 ( x2 , y2 ) 、⋯、Pn ( an , bn ) 、⋯,对每个自然数n,点Pn 位于函数y = 2000 ( a/10) x (0 < a < 10)的图像上,且点Pn、点( n, 0)与点( n + 1, 0)构成一个以Pn 为顶点的等腰三角形. ( Ⅰ)求点Pn 的纵坐标bn 的表达式;( Ⅱ)若对每个自然数n,以bn、b n + 1、b n + 2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围;( Ⅲ)设cn= lg( b n ) ( n∈N) . 若a取( Ⅱ)中确定的范围内的最小整数, 问数列{ cn }前多少项的和最大? 试说明理由.2在等差数列{ a n }中,若a1 < 0,且S5 = S13,试问这数列的前几项之和最小?（变化类型）3 (2004年重庆卷)若{ an }是等差数列, 首项a1 > 0, a2003 + a2004 > 0, a2003 a2004 < 0,则使前n项和Sn > 0成立的最大自然数n是( ) .(A) 4005 (B) 4006 (C) 4007 (D) 4008.4 (2004年福州卷) y = f ( x)的定义域为R,且f ( 0 ) ≠ 0. , 对任意实数m、n 有f (m + n ) =f (m ) f ( n) ,当x∈R时, f ( x)是单调函数. 数列{ an }满足a1 = f (0) , f ( an + 1 ) =1/f ( - 2 - a n )( n∈N+ ) .(1)求f (0)的值;(2)求数列{ an }的通项公式;5 ( 2004年湖南卷)已知数列{ an }满足a1= 0, an + 1 =an – 3/3an + 1 ( n∈N) ,则a20 = ( ) .(A) 0 (B) - 3 (C) 3 (D) 3补充常考三类数列问题:1 化为等比数列如an =2an-1+5构造法在1的基础上多一项,解法类似 2 等差数列+等比数列3 含有分式用裂考试主要考三类数列：1 a n=2a n-1+5 （非等差、非等比）2 a n=q 2n （求和）3 裂项数列类问题的解题方法：常数列构造法奇偶讨论函数思想（Sn是二次函数）题型练习：一、选择题1、三个正数a、b、c成等比数列，则lga、lgb、lgc是（）A、等比数列B、既是等差又是等比数列C、等差数列D、既不是等差又不是等比数列2、前100个自然数中，除以7余数为2的所有数的和是（）A、765B、653C、658D、6603、如果a,x1,x2,b 成等差数列，a,y1,y2,b 成等比数列，那么(x1+x2)/y1y2等于A、(a+b)/(a-b)B、(b-a)/abC、ab/(a+b)D、(a+b)/ab4、在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=A、1B、-1C、-3D、35、在等比数列{a n}中,a1+a n=66,a2a n-1=128,S n=126，则n的值为A、5B、6C、7D、86、若{ a n }为等比数列，S n为前n项的和，S3=3a3,则公比q为A、1或-1/2B、-1 或1/2C、-1/2D、1/2或-1/27、一个项数为偶数的等差数列，其奇数项之和为24，偶数项之和为30，最后一项比第一项大21/2，则最后一项为（）A、12B、10C、8D、以上都不对8、在等比数列{a n}中，a n>0,a2a4+a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值是A、20B、15C、10D、59、等比数列前n项和为S n有人算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是A、S1B、S2C、S3D、S410、数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a7,a10,a15是一等比数列{b n}的连续三项，若该等比数列的首项b1=3则b n等于A、3·(5/3)n-1B、3·(3/5)n-1C 、3·(5/8)n-1D 、3·(2/3)n-1二、填空题11、公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q = 12、各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，则公比q=13、已知a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列，且0<log m ab<1，则实数m 的取值范是14、已知a n =a n －2+an －1(n≥3), a 1=1,a 2=2, b n =1+n na a ,则数列{b n }的前四项依次是 ______________.15、已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为三、解答题（12分×4+13分+14=75分）16、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数为等差数列，其和为12，求此四个数。
高一数学 必修二复习资料
两个平面互相垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
练习：如图, 是⊙ 的直径, 垂直于⊙ 所在的平面, 是圆周上不同于 , 的任意一点.
如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条直线就互相垂直。
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有以下三种情况：
1)直线在平面内——有无数个公共点；
2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3)直线与平面平行——没有公共点。
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
2.1.4平面与平面之间的位置关系
解：∵VC⊥面ABC，AC 面ABC，BC 面ABC，
∴VC⊥AC，VC⊥BC．
则∠ACB就是面VBC-VC-面VAC的平面角．
因AB是⊙O的直径，故∠ACB＝90°．
∴ 面VBC⊥面VAC．
又D、E分别是VA、VC的中点，
则DE∥AC．
而AC⊥VC即DE⊥VC．
那么DE⊥面VBC．
第三章直线与方程
第四章圆与方程
§4.1圆的方程
4.1.1圆的标准方程
确定一个圆的最基本要素是圆心和半径.
在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标（a，b）表示，半径r的大小等于圆上任意点M（x，y）与圆心A（a，b）的距离，圆心为A的圆就是集合：
由两点间的距离公式，点M的坐标适合的条件可以表示为：
两边分别平方可得圆的方程为：（x－a）2+（y－b）2=r2——称之为圆的标准方程.
fx-1.2
高一数学复习讲义（二）简易逻辑一．目的要求：1．了解命题的概念和命题的构成，理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2．理解四种命题及其相互关系，能利用原命题与其逆否命题的等价关系判断命题的真假；3．初步掌握反证法，会用反证法证明一些较简单的命题；4．掌握充要条件的概念，并能运用概念进行正确的判断。
二．知识要点：1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假；（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明p 的充要条件是q ；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论。
1．判断下列复合命题的形式：（1）“集合A B ≠⊃”是 的形式； （2） 2≥”是 的形式； （3）“a b =±” 是 的形式； （4）“a b ≠±” 是 的形式；（5）“方程2320x x ++=的解集是{1,2}”是 的形式。
2．与命题“若a M ∉，则b M ∉”等价的命题是 （ ）()A .b M ∈且a M ∉ ()B .若b M ∉，则a M ∈()C .若b M ∈，则a M ∈ ()D .若a M ∉，则b M ∈ 3．若B 是A 的充分不必要条件，则A 是B 的 条件，B ⌝是A ⌝的 条件。
4．“若15ab ≤，则3a ≤或5b ≤”是 命题（填“真”、“假”）。
5．设p ：ABC ∆的一个内角为60；q ：ABC ∆的内角满足A B B C -=-，则p 是q 的 条件。
6．已知p 是q 的充要条件，r 是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，r 是q 的必要条件，则r 是p 的 条件，p 是s 的 条件。
02年大纲版高中数学
02年大纲版高中数学●逻辑S1-1 逻辑基础S1-2 逻辑量词●集合S2-1 集合基础S2-2 容斥原理（实数）SP3-1 皮亚诺公理●函数S4-1 映射与函数S4-2 函数的性质S4-3 幂函数S4-4 指数和对数●三角函数S5-1 三角函数S5-2 三角变换●解三角形S6-1 解三角形●不等式S7-1 均值不等式●数列S8-1 等差数列和等比数列S8-2 数列的通项与求和●极限S9-1 极限与收敛（连续函数）微分（积分）●复数S13-1 数域扩张与复数SP13-1 快速傅里叶变换●向量S14-1 平面向量S14-2 向量内积S14-3 空间向量和外积●矩阵S15-1 矩阵和向量S15-2 矩阵的运算S15-3 矩阵的逆S15-4 行列式S15-5 行列式的意义S15-6 矩阵与复数●解析几何S16-1 直线和点S16-2 二次曲线和圆方程S16-3 椭圆S16-4 双曲线S16-5 抛物线和切线S16-6 平面等距变换SP16-1 非标准圆锥曲线SP16-2 平面仿射变换立体几何S17-1 空间平面S17-2 空间直线S17-3 柱面锥面旋转面SP17-1 平面束SP17-2 二次曲面（经典几何）（非欧几何）●线性规划●组合●概率S22-1 概率论公理S22-2 条件概率和贝叶斯定理S22-3 概率独立和条件独立S22-4 离散随机变量S22-5 二项随机变量S22-6 泊松随机变量S22-7 其他离散随机变量S22-8 标准正态分布S22-9 随机过程S22-10 马尔可夫链S22-11 马尔可夫决策与平稳分布S22-12 分支过程统计S23-1 统计描述S23-2 参数估计S23-3 参数假设检验S23-4 非参数假设检验S23-5 最小二乘估计（数论）（群论）SP25-1 群的概念SP25-2 子群SP25-3 陪集和拉格朗日定理。
高一数学复习讲义
高一数学复习讲义第1课时：空间几何体的结构相关定义：1.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点2.由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体,叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴下面我们来探究柱,锥,台,球的结构特征一、柱体的结构特征柱体：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.棱柱的底面(底):两个互相平行的面棱柱的侧面:其余各面棱柱的侧棱:相邻侧面的公共边棱柱的顶点:侧面与底面的公共顶点以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.1.侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱3.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱棱柱的表示：用底面各顶点的字母表示棱柱,如图所示的六棱柱表示为：“棱柱ABCDEF—A'B'C'D'E'F'”圆柱：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转而成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱和棱柱统称为柱体想一想：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？练习：1.长方体按如图截去一角后所得的两部分还是棱柱吗？2.在棱柱中，下列说法正确的是（）A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行，并且各侧棱也平行3.下图中不可能围成正方体的是（）二、锥体的结构特征锥体：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥棱锥的侧面：有公共顶点的各三角形棱锥的底面或底：余下的那个多边形棱椎的侧棱：两个相邻侧面的公共边棱锥的顶点：各侧面的公共顶点底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫做四面体棱锥的表示：用表示顶点和底面各顶点的字母表示,如图所示的棱锥表示为：“棱锥S—ABCDE”圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。
人教版高中数学高一培优讲义第二章复习
则
，
，
，设
，则
，
，则
，当
，
时，
， 取得最小值，
其最小值为
，故选 B ．
4.【答案】 A
【分析】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，属于基础题．
根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出
是等腰三角形．
【解答】解：因为
，即
， 又因 为
，所以
，
所以
，即
，所以
是等腰三角形．故选 A ．
5.【答案】 D
答案和解析
1.【答案】 A
【分析】本题考查向量的加法、减法、数乘运算，平面向量的基本定理及其应用，考查了推 理能力与计算能力， 属于基础题．通过利用向量的三角形法则，以及向量共线，代入化简即 可得出．
【解答】解：
，
．故选 A ．
2.【答案】 A
【分析】本题考查两个向量的关系的判断，属于基础题．由已知得
（4）、向量的数量积的几何意义：等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 | b | cos 的乘积 .
7、两个向量的数量积的性质：
设 a 、 b 为两个非零向量
（1） a b a b 0
（2）当 a 与 b 同向时， a b | a || b |；当 a 与 b 反向时， a b | a ||b | .
【分析】本题考查了向量坐标运算性质、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，
属于中档题． 建立适当坐标系， 利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得
各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于
m， n 的方程组，求得 m， n 的值，即
得．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
高一数学第一学期授课讲义(必修二)
高一数学第一学期授课讲义(必修二)讲义1：空间几何体一、教学要求：通过实物模型，观察大量的空间图形，认识柱体、锥体、台体、球体及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱体、锥体、台体、球体的结构特征.三、教学难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.四、教学过程：（一）、新课导入：1. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算.（二）、讲授新课：1. 教学棱柱、棱锥的结构特征：①、讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？②、定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.→列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.③、分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.表示：棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’④、讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？⑤、定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高. →讨论：棱锥如何分类及表示？⑥、讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？★棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形★棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.2. 教学圆柱、圆锥的结构特征：①讨论：圆柱、圆锥如何形成？②定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.→结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高. →表示方法③讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？→柱体、锥体.④观察书P2若干图形，找出相应几何体；三、巩固练习：1. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为5cm,,面积为12cm,求圆锥的底面半径.2.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.3.正四棱锥的底面积为462cm ,侧面等腰三角形面积为62cm ,求正四棱锥侧棱.（四）、 教学棱台与圆台的结构特征：① 讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？② 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.讨论：棱台的分类及表示？ 圆台的表示？圆台可如何旋转而得？③ 讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？★ 棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.★ 圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.④ 讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到6个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥有什么关系？ （以台体的上底面变化为线索）2．教学球体的结构特征：① 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体.结合图形认识：球心、半径、直径.→ 球的表示.② 讨论：球有一些什么几何性质？③ 讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）3. 教学简单组合体的结构特征：① 讨论：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？② 定义：由柱、锥、台、球等几何结构特征组合的几何体叫简单组合体.4. 练习：圆锥底面半径为１cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. （补充平行线分线段成比例定理）（五）、巩固练习：1. 已知长方体的长、宽、高之比为4∶3∶12，对角线长为26cm, 则长、宽、高分别为多少？2. 棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥的高3. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a 的正四面体的高.★例题：用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台的上、下底面的半径的比是1：4，截去的圆锥的母线长为3厘米，求此圆台的母线之长。
高一数学第二册知识点归纳
高一数学第二册知识点归纳高一数学第二册主要学习了一些重要的数学知识点，这些知识点在我们的学习和解决问题中起着重要的作用。
下面我将对这些知识点进行归纳总结，以便复习和巩固。
一、函数与方程1.函数的概念与性质：函数的定义、自变量和因变量、定义域和值域等基本概念；函数的奇偶性、单调性、周期性等性质。
2.一次函数：一次函数的定义及其一般式，斜率与函数图像的关系，函数的平移与伸缩。
3.二次函数：二次函数的定义及其一般式，顶点、对称轴和开口方向的判断，函数图像的性质。
4.指数函数和对数函数：指数函数和对数函数的定义与性质，指数函数图像的特点，指数方程和对数方程的解法。
二、数列与数学归纳法1.数列的概念与性质：数列的定义、通项公式、前n项和等等。
2.等差数列：等差数列的定义及其通项公式、前n项和公式，等差中项的性质。
3.等比数列：等比数列的定义及其通项公式、前n项和公式，等比数列的性质。
4.数学归纳法：数学归纳法的基本思想和步骤，应用数学归纳法证明数学命题。
三、平面向量1.平面向量的概念与性质：平面向量的定义、零向量、向量共线与平行的判断、向量的加法与减法，数量积与向量的夹角等。
2.向量的数量积与投影：向量的数量积定义和计算公式，向量的夹角及其夹角余弦公式。
四、三角函数1.三角函数的概念与性质：弧度制与角度制的转换，三角函数的定义及其性质，正弦定理和余弦定理的应用。
2.平面向量与三角函数：向量的投影与三角函数的关系，向量外积与三角函数的关系。
五、立体几何1.平面与直线的位置关系：平面与直线的相交情况，平面与平面的位置关系。
2.球与球面：球及其性质，球面上的点及其性质，球面上点的距离与角的关系，球面上点与平面的位置关系。
六、概率与统计1.事件与概率：随机事件的概念、事件的关系及其运算，频率与概率的关系。
2.排列与组合：排列与组合的基本概念与计算方法，二项式定理的应用。
以上就是高一数学第二册的主要知识点归纳总结。
高中数学模块复习课讲义苏教版必修2
高中数学模块复习课讲义苏教版必修2一、立体几何初步 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行，相交，异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.3．平行的判定与性质 (1)线面平行的判定与性质 线面平行判定性质定义定理图形条件 a ∩α＝aα，b α，a ∥b a ∥α a ∥α，aβ，α∩β＝b结论a ∥αb ∥αa ∩α＝a ∥b(2)面面平行的判定与性质 面面平行判定性质定义定理图形条件α∩β＝aβ，bβ，a ∩b ＝p ， a ∥α，b ∥αα∥β， α∩γ＝a ， β∩γ＝b α∥β，aβ结论 α∥β α∥βa ∥ba ∥α4.垂直的判定与性质(1)线面垂直的判定与性质线面垂直图形条件结论判定a⊥b，bα(b为α内的任意直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、nα，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，bαa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b (2)面面垂直的判定与性质面面垂直文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫lβl⊥α⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝alβl⊥a⇒l⊥α(1)异面直线所成的角①定义：设a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角．②范围：设两异面直线所成的角为θ，则0°＜θ≤90°．(2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．(3)二面角的有关概念①二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．6．几何体的侧面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式1．直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所成的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°．(2)直线的斜率①定义：k＝tan_α，(α≠90°)．②过两点的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2) (3)斜率的求法①依据倾斜角．②依据直线方程．③依据两点的坐标． 2．直线方程的几种形式的转化3．两条直线的平行与垂直l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.4．两条直线的交点l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，交点坐标即方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的一组解．方程组无解⇔l 1∥l 2；方程组有无数组解⇔l 1与l 2重合． 5．距离公式 (1)两点间的距离公式平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点间的距离公式P 1P 2＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． (2)点到直线的距离公式①点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．②两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．6．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)． 7．点和圆的位置关系设点P (x 0，y 0)及圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， (1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔点P 在圆外．(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔点P 在圆内．(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上．8．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d＞r→相离；d＝r→相切；d ＜r→相交．9．圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则两圆：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|10.求圆的方程时常用的四个几何性质11．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式AB＝1＋k2|x A－x B|＝（1＋k2）[（x A＋x B）2－4x A x B].注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．12．空间中两点的距离公式一般地，空间中任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离为P1P2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2．1．棱锥的侧面都是三角形．(√)2．棱台的各侧棱的延长线交于一点．(√)3．棱柱所有的面都是平行四边形．(×)提示：棱柱的底面可以是任何平面多边形．4．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．(×)提示：以直角三角形的直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥． 5．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．(×)提示：用一个平行于底面的平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 6．有一个平面的长是50 m ，宽为20 m ． (×) 提示：平面是无限延展的．7．若直线a 在平面α外，则a ∥α.(×) 提示：a 还可能与α相交． 8．若直线a ∥b ，直线b α，则a ∥α. (×)提示：还有aα这种可能．9．若两个平面α∥β，aα，bβ，则a 与b 是异面直线．(×)提示：还有a ∥b 这种可能． 10．若两个平面α∩β＝b ，a α，则a 与β一定相交． (×)提示：还有a ∥β这种可能．11．如果直线l 与平面α内的两条相交直线都垂直，则l ⊥α. (√) 12．如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． (√) 13．两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°.(√) 14．若直线a ∥平面α，直线a ∥直线b ，则直线b ∥平面α. (×)提示：还有b平面α这种可能．15．若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则l ∥平面α. (×) 提示：还有l 与平面α相交这种可能． 16．任一直线都有倾斜角，都存在斜率． (×) 提示：倾斜角为90°的直线没有斜率．17．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)． (√) 18．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行． (×)提示：两直线还可能重合．19．若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等． (×)提示：两直线还可能没有斜率．20．直线y －3＝m (x ＋1)恒过定点(－1，3)． (√)21．直线的点斜式方程也可写成y －y 0x －x 0＝k . (×) 提示：若写成这种形式，不能包含点(x 0，y 0)． 22．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示． (×)提示：垂直于x 轴或y 轴的直线也不能用x a ＋y b＝1表示．23．点P 1(0，a )，P 2(0，b )两点间的距离为a －b . (×)提示：距离为|a －b |.24．两直线x ＋y ＝m 与x ＋y ＝2n 的距离为|m －2n |2.(√)25．方程(x －a )2＋(y －b )2＝m 2一定表示圆． (×) 提示：当m ＝0时表示点(a ，b )，m ≠0时表示圆．26．若圆的标准方程为(x ＋m )2＋(y －n )2＝a 2(a ≠0)，此时圆的半径一定是a . 提示：圆的半径为|a |.27．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切． (√) 28．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． (×)提示：两圆还可能内切．29．空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式． (×)提示：坐标应为(a ，0，0)的形式．30．空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a ，0，c )的形式．1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]A [圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP 面积的取值范围是[2，6]．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．402π [如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，∴SA 2＝80，SA ＝45.∵SA 与底面所成的角为45°，∴∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210.∴底面周长l ＝2π·AS ′＝410。
高一数学第二章完全讲义
第二章 函数二、讲解新课：（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f 已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R;2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f是不同的，前者为变数，后者为常数函数的三要素： 对应法则f 、定义域A、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数 二、区间的概念及求定义域的方法1．区间的概念和记号在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b ∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b].这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：定 义 名 称 符 号 数 轴 表 示{x|a ≤x ≤b}闭区间[a ，b]{x|a<x<b}开区间(a ，b){x|a ≤x<b}左闭右开区间[a ，b]{x|a<x ≤b}左开右闭区间 (a ，b)这样实数集R 也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b). 注意：书写区间记号时：①有完整的区间外围记号（上述四者之一）； ②有两个区间端点，且左端点小于右端点； ③两个端点之间用“，”隔开. 2．求函数定义域的基本方法3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.4．复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 三、映射设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A 中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应， 这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫 做集合A 到集合B 的映射 记作：B A f →:象、原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫 做元素b 的原象 关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）求平方B B①“A 到B ”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射,A 到B 是求平方，B 到A 则是开平方，因此映射是有序的； ②“任一”：就是说对集合A 中任何一个元素，集合B 中都有元素和它对应，这是映射的存在性； ③“唯一”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性； ④“在集合B 中”：也就是说A 中元素的象必在集合B 中，这是映射的封闭性. 指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A 到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一思考：（1）为什么不是集合A 到集合B 的映射？ 回答：对于（1），在集合A 中的每一个元素，在集合B 中都 有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A 到集合B 的映一对一，多对一是映射 但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等； ②有序性：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素，不要求B 中的每一个元素都有原象，即A 中元素的象集是B 的子集.映射三要素：集合A 、B 以及对应法则f ，缺一不可； 课 题：2.2函数的表示法讲解新课：表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.函数值域的表示方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}. 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时，①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当ab x 2-=时，其最大值a b ac y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论4．换元法例．求函数x x y -+=142的值域解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4 5．分段函数例．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解 课 题：2.3 函数的单调性讲解新课： ⒈ 增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.间而言的.些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.3．函数单调性的证明例1．判断并证明函数3)(x x f =的单调性 证明：设21x x <则)x x x )(x x (x x x )f(x )f(x 22212121223121++-=-=-∵21x x < ∴021<-x x ，043)2(22221222121>++=++xx x x x x x ,∴021<-)f(x )f(x 即)f(x )f(x 21< （注：关键021<-)f(x )f(x 的判断） ∴3)(x x f =在R 上是增函数. 4．复合函数单调性的判断对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 课 题：2.4 反函数讲解新课：反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y fx -=,习惯上改写成)(1x f y -=2、探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数.4．应用：⑴利用对称性作反函数的图像若)(x f y =的图象已作出或比较好作，那么它的反函数)(1x fy -=的图象可以由)(x f y =的图象关于直线y=x 对称而得到；⑵求反函数的定义域求原函数的值域； ⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同课 题：2.5 指数函数1、定义：一般地，若*),1(N n n a x n∈>= 则x 叫做a 的n 次方根na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数例如，27的3次方根表示为327，-32的5次方根表示为532-，6a 的3次方根表示为36a ；16的4次方根表示为!416，即16的4次方根有两个，一个是416，另一个是-416，它们绝对值相等而符号相反. 2、性质：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： na x =②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作： na x ±=③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根为03、常用公式根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3=27，(532-)5=-32.②当n 为奇数时，nna =a ；当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|=3.⑶根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0）.注意，⑶中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如3628)8(-≠-. 用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.分指数1.正数的正分数指数幂的意义n m nm a a= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定： (1)nm nm aa1=- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3.有理指数幂的运算性质:)()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则pa 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略. 指数函数1．指数函数的定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x 2，y=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，y=x 10，y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛101的图象.课题 2.6对数函数新课讲解对数的定义定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b=，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数1642=⇔ 216log 4= ; 100102=⇔2100log 10=2421= ⇔212log 4= ; 01.0102=-⇔201.0log 10-= 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）⑵01log =a ，1log =a a∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a同样易知： 1log =a a⑶对数恒等式如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数,N 的常用对数N 10log 简记作lgN 例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN例如：3log e 简记作ln3 ; 10log e 简记作ln10（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围,0(+∞对数的性质积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= N M MN a a a log log )(log ⋅≠ ，N M N M a a a log log )(log ±≠±对数换底公式及推论1.对数换底公式：aN N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a② b mn b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 证：①lg lg lg lg log log =⋅=⋅b a a b a b b a ②m n a m b n a b b a m n na m log lg lg lg lg log ===对数函数1．对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数xa y = )10(≠>a a 且的反函数 对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为,(+∞-∞2．对数函数的图象由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x ay =的图象关于直线x y =对称xa y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质3．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质见P87 表课题2.6 幂函数新课讲解定义：一般地，我们把形如a=y x的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数。
高一数学必修二复习知识点梳理
高一数学必修二复习知识点梳理1.高一数学必修二复习知识点梳理篇一正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=p*r2h乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 2.高一数学必修二复习知识点梳理篇二空间中的平行关系1、直线与平面平行(核心)定义：直线和平面没有公共点判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面(由线线平行得出)性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行2、平面与平面平行定义：两个平面没有公共点判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
高一年级数学第2讲
高一数学第2讲主讲：潘慰高（高级教师；市数学学科带头人,省教育电视台《高中教学解题方法》主讲教师）主审：金立建（特级教师；省教育电视台《高中生学习指导》主讲教师）一、本讲教学进度(代数)1.2—1.4(P13—26)二、教学内容.｜a X＋b｜＜C；｜a X＋b｜＞C型不等式.3一元二次不等式.三、重点难点剖析1．补集（1）全集全集是一个相对的概念；它含有与所研究的问题有关的各集合的全部元素.在研究不同问题时；全集也不一定相同.(2)补集必须注意；A是对于给定的全集I而言的；在不同的问题中全集可能不同；A也可能不同.如A＝｛1；2｝；当I＝｛1；2；3；4｝时；A＝｛3；4｝；当I＝｛1；2；3；4；5；6；7；8｝时；A＝｛3；4；5；6；7；8｝.例1已知I＝R,A＝｛X｜1＜X≤3｝；求A；A∪A；A∩A解A＝｛X｜X≤1；或X＞3｝.A∪A＝｛X｜1＜X≤3｝∪｛X｜X≤1；或X＞3｝＝R＝I,A∩A＝｛X｜1＜X≤3｝∩｛X｜X≤1；或X＞3｝＝∅.说明在开始学习解这类题时；应画出数轴并借助于数轴求解；否则容易出错.例 2 已知I＝｛１；２；３；４；５；６｝；A＝｛3,4,5｝,B＝｛4,5,6｝,求A,B；A∪B,A∩B,)A⋂.(B解A＝｛1,2,6｝, B＝｛1,2,3｝；A∪B｛1,2,3,6｝,A ＝｛１；２；３；６｝.A∩B＝｛4,5｝；BA )＝A∪B.可以通过韦恩图验证；这个等式对任意的集合A、评析由例2；有(BB、I都能成立.例3 已知I ＝R ,A ＝｛X ｜X ≥3｝；B ＝｛X ｜X ≤1｝；求A ；B ；A ∪B ；)(B A .解 A ＝｛X ｜X ＜3｝, B ＝｛X ｜X ＞1｝；A ∩B ＝｛X ｜1＜X ＜3｝；A ∪B ＝｛X ｜X ≤1或X ≥3｝；(B A )＝｛X ｜1＜X ＜3｝.评析 由例3,有(B A )＝A ∩B ；可以通过韦恩图验证；这个等式对任 意的集合A 、B 、I 都能成立.例4 用n(A)表示有限集A 的元素的个数.(1)已知n(A)＝20,n(B)＝15,n(A ∪B)＝28,求n(A ∩B)； Ａ Ｂ(2)已知n(A ∩B)＝4,n(A ∪B)＝18,n(A)＝10,求n(B)解(1)设n(A ∩B)＝X ；由韦恩图； 20－ｘ ｘ 15－ｘ ∵n(A ∪B)＝28,∴(20－X )＋X ＋(15－X )＝28,∴X ＝7,即n(A ∩B)＝7. Ａ Ｂ(2)设集合B 中不属于A 的无素有X 个.由韦恩图；及n(A ∪B)＝18； 10－4＝6 4 x 10＋X ＝18,∴X ＝8.∴n(B)＝4＋8＝12.评析 可以用韦恩图验证；一般地有n(A ∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A ∩B)．但不必硬记这个式子；在涉及到有限集的元素个数时；通常只要适当地设未知数；然后利用韦恩图及已知条件；就可以求得结果.2.｜a X ＋b ｜＜c ,｜a X ＋b ｜＞c 型不等式(1)设f (X )＝a X ＋b ,一般地；有如下结论：①当c ＞0时；｜f(X )｜＜c 的解为－c ＜f(X )＜c ；｜f(X )｜＞c 的解为f(X )＜－c 或f(X )＞c②当c ＝0时；｜f(X )｜＜c 无解；｜f(X )｜＞c 的解即f(X )≠0的解.③当c ＜0时；｜f(X )｜＜c 无解；｜f(X )｜＞c 的解是全体实数.例5 求满足｜2X －1｜＝｜3X ＋4｜的X 的值.解 由绝对值的定义；2X －1＝3X ＋4或2X －1＝－(3X －4),∴X ＝－5或X ＝－53. 例6 求下列不等式的解集:(1)2＜｜3X －1｜≤5；(2)｜2X ＋1｜≤t 2＋3(t ∈R )．解 ①不等式的解即不等式组的解：213>-x513≤-x3ｘ－1＜－２或３ｘ－１＞２－５≤３ｘ－１≤５３＜－31或ｘ＞１ －34≤ｘ≤２ ∴不等式的解集为｛X |≤－34≤X ＜－31,或1＜X ≤2｝． ②∵t ∈R ；∴t 2＋3＞0. －(t 2＋3)≤2X ＋1≤t 2＋3；－21t 2－2≤X ≤21t 2＋1. ∴不等式的解集为｛X ｜－21t 2－2≤X ≤21t 2＋1｝. (2)对于含有几个绝对值的代数式或不等式；可以用零点分段的方法去掉绝对值符号. 例7 (1)解方程：｜X －3｜＋｜X ＋2｜＝6;(2)解不等式：｜X ＋2｜＋｜X －1｜＜5.解 (1)零点为3；－2,分三段讨论.当X ＜－2,方程为3－X －(X ＋2)＝6,X ＝－25； 当－2≤X ≤3,方程为3－X ＋X ＋2＝6,5＝6,无解；当X ＞3；方程为X －3＋X ＋2＝6,X ＝27. ∴方程的解集为｛－25, 27｝. (2)当X ＜－2,不等式为(1－X )－(X ＋2)＜5,X ＞－3,∴－3＜X ＜－2; 当－2≤X ≤1,不等式为(1－X )＋(X ＋2)＜5；3＜5,∴－2≤X ≤1； 当X ＞1；不等式为(X －1)＋(X ＋2)＜5,X ＜2,∴1＜X ＜2.∴不等式的解集为｛X ｜－3＜X ＜2｝.评析 ①所谓“零点”,即使绝对值为零的X 的值.若有n 个零点；则分n ＋1个情况讨论.由于在每区间内可以去掉绝对值符号；就把含有绝对值的方程或不等式转化为普通的方程或不等式去解.②在每一区间中求方程或不等式的解时；所求得的解必须在这个区间中.③上面的解法是含有绝对值的问题的基本方法；这两题也可以从绝对值的几何意义直接得到它们的解.－２ －１ ０ １ ２ ３ ｘ解 ｜X －3｜＋｜X ＋2｜＝6；即求数轴上到3和－2的对应点距离和等于6的点所对应的数．由数轴知；3－(－2)＝5；所以该点在3对应点的右边或在－2对应点左边21个单位；即X ＝321或X ＝－221. 解 ｜X －1｜＋｜X ＋2｜＜5；即求数轴上到1和－2对应点距离和小于5的点所对应数的范围．由数轴知；1－(－2)＝3；所以X 应满足－3＜X ＜2.－２ －１ ０ １ ２ ３ ｘ(1)一元二次方程a X 2＋b X ＋c ＝0(a ≠0)解的符号情况：方程有两个正根⇐⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅>-=+≥-=∆;0,0,0421212a c x x a b x x ac b 方程有两个负根⇐⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅<-=+≥-=∆;0,0,0421212a c x x a b x x ac b 方程有一个正根一个负根⇐⇒X 1·X 2＝ac ＜0(此时必有Δ＞0). X 轴位置关系；就能迅速准确地求得不等式的解.对于不等式a X 2＋b X ＋c ＞0(＜0)；实际上就是要求抛物线y ＝a X 2＋b X ＋c 在X 轴上方(下方)的点的横坐标的范围.借助于图象；把一元二次不等式的解的情况列表如下(设a ＞0):Δ的情况图象 不等式 不等式的解 Δ＞0a x 2＋b X ＋c ＞0 X ＜X 1或X ＞X 2 a x 2＋b X ＋c ＜0 X 1＜X ＜X 2 Δ＝0a x 2＋b X ＋c ＞0X ≠X 1 ax 2＋b X ＋c ＜0 X ∈∅ Δ＜0ax 2＋b X ＋c ＞0X ∈R a x 2＋b X ＋c ＜0 X ∈∅ 上解一元二次不等式时；常使二次项系数a ＞0.例8 已知关于X 的方程(k －1)X 2＋(k ＋1)X ＋k ＋1＝0有两个相异实根；求实数k的取值范围. 解 由题设；得⎩⎨⎧>+--+≠-.0)1)(1(4)1(012k k k k由②；(k ＋1)(k ＋1－4k ＋4)＞0,－1＜k ＜35.∴实数k 的取值范围为－1＜k ＜35,且k ≠1. 评析 ①两个“相异”实数根即两个不等的实数根；不同于两个“异号”实数根.② 当二次项系数含有字母时；要注意仅当二次项系数不等于零时方程才有判别式.例9 已知m 、n 是关于X 的方程X 2－2X ＋t ＝0的两个实数根。
高一年级数学第二册复习知识点
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第七章直线和圆方程复习讲义（2）
曲线与圆方程
一．内容提要：
1．曲线与方程：
2．求曲线方程：
3．圆方程：
4．圆与直线：
二．基础训练：
1．设直线20x y -=与y 轴的交点为P ，点P 把圆22(1)25x y ++=的直径分为两段，则其长度之比为 （ A ）
（A ）
73或37 （B ）74或47 （C ）75或57 （D ）76或67
2．直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系是 （ A ）
（A ）过圆心 （B ）相切 （C ）相离 （D ）相交但不过圆心
3．若直线0x y a ++=与圆22x y a +=相切，则a 为 （ C ）
（A ）0和2 （B （C ）2 （D ）无解
4．圆22
2430x y x y +++-=上到直线10x y ++= （ C ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
5．方程||1y -= （ D ）
（A ）直线 （B ）射线 （C ）圆 （D ）两个半圆
6．圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于,A B 两点，圆心为P ，若90APB ∠=，
则c = 。
3-
7．过点(4,0)P 引圆22230x y x +--=的两条切线，则切线方程为： 和
)45
y x =±
-；过两切点的直线方程为 .73x = 8．与圆22:(5)3C x y ++=相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有 4 条.
三．例题分析：
例1．自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上被x 轴反射，其反射线所在的直线与圆224470x y x y +--+=相切，求
光线l 所在直线的方程.
答案：4330,3430x y x y ++=+-=或者
例2．已知点(,0)(4)A a a >，点(0,)(4)B b b >，直线AB 与圆E ：224430x y x y +--+=相交于点,C D 两点，且
||2CD =；
（1）求(4)(4)a b --的值；答案：8
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹方程；()()()2222x y x --=>
（3）求ABE ∆的面积S 的最小值.4
例3．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=；
（1）求证：对1,m R l ∈与2l 的交点P 恒在一个定圆上；
（2）若1l 与定圆的另一个交点为1P ，2l 与定圆的另一个交点为2P ，求12PPP
∆面积的最大值及对应的m .
答案：（1）2220x y x y +--=（2）1
3,3
m m ==-
四．课后作业： 班级 学号 姓名
1．两圆226490x y x y ++-+=和22612190x y x y +-+-=的位置关系是 （A ）
()A 外切 ()B 内切 ()C 相交 ()D 相离
2．以(4,3)M -为圆心的圆与直线250x y +-=相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是(C)
()A 02r << ()B 0r < ()C 0r << ()D 0r <3．两圆222x y r +=与222
(3)(1)(0)x y r r -++=>外切，则r 的值是 （ D ）
()A ()B ()C 5 ()D 4．已知半径为1的动圆与圆22(5)(7)16x y -++=相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ D ）
()A 22(5)(7)25x y -++= ()B 22(5)(7)17x y -++=或22(5)(7)15x y -++= ()C
22(5)(7)9x y -++= ()D 22(5)(7)25x y -++=或22(5)(7)9x y -++=
5．如果把圆22:1C x y +=沿向量(1,)a m =平移到C '，并与直线340x y -=相切，则m 的值为 （A ）
()A 2或12- ()B 2或12 ()C 2-或12 ()D 2-或12
-
6．已知点(,)P x y 是圆22(2)1x y ++=上任意一点，则2x y -2，
21y x --
7．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线30x y -=上，且被直线y x =截得的弦长为C 的方程.
答案：()()22
22(3)19,(3)19x y x y +++=-+-=或者.
8．求经过点2213x y +=外一点(4,7)P -与圆相切的直线方程.
答案：23130,18650x y x y +-=++=或者.
9．求与y 轴相切并与圆2240x y x +-=相外切的动圆的圆心的轨迹方程.
答案：28,0(0)y x y x ==<或者.
10．求以圆221:122130C x y x y +---=和圆222:1216250C x y x y +++-=的公共弦为直径的圆的方程. 答案：()()222225x y -++=.
11．点(4,2)P 是圆22:2428360C x y x y +---=内的一个定点，圆上动点,A B 满足90APB ∠=，求动弦AB 中点M
的轨迹方程。
答案：()()2288138x y -+-=.
12．已知实数,x y 满足22(1)1x y +-=，求使不等式0x y m ++≥恒成立的实数m 的取值范围.
答案：1m ≥
.。