高一数学第二学期期末考试模拟试题答案

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2022-2023学年度第二学期期末考试卷高一数学试卷(答案版)

2022-2023学年度第二学期期末考试卷高中数学答案120α=>，25，)，二、多选题15．【答案】π12【详解】如图所示：设ADN α∠=，大正方形边长为a ，则cos DN a α=，sin AN a α=，cos sin MN a a αα=-，则()()()21cos sin cos sin 2S a a a a αααα=-+⨯阴，()()()22ABCD1cos sin cos sin 528a a a a S S a αααα-+⨯==阴，2215sin cos 2sin cos sin cos 28αααααα+-+=，化为33sin248α=，则1sin22α=，由题意π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π20,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π26α=，解得π12α=．故答案为：π12.16．【答案】10-【详解】设28(1)716y ax a x a =++++，其图象为抛物线，对于任意一个给定的a 值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足0y ≥而整数解只有有限个，所以a<0，因为0为其中一个解可以求得167a ≥-，又a Z ∈，所以2a =-或1a =-，则不等式为22820x x --+≥和290x -+≥，可分别求得2552x --≤≤-和33x -≤≤，因为x 位整数，所以4,3,2,1x =----和3,2,1,0,1,2,3x =---，所以全部不等式的整数解的和为10-.故答案为：10-.17．【答案】(1)52k ≥(2)1k ≤【详解】（1）由2511x x -<+，移项可得25101x x --<+，通分并合并同类项可得601x x -<+，等价于()()610x x -+<，解得16x -<<，则{}16A x x =-<<；由A B A = ，则A B ⊆，即1621k k -≤-⎧⎨≤+⎩，解得52k ≥.（2）p 是q 的必要不充分条件等价于B A ⊆.①当B =∅时，21k k -≥+，解得13k ≤-，满足.②当B ≠∅时，原问题等价于131216k k k ⎧>-⎪⎪-≥-⎨⎪+≤⎪⎩（不同时取等号）解得113k -<≤.综上，实数k 的取值范围是1k ≤.18．【答案】(1)π()sin(2)3f x x =+，(2){}2[3,2)-f=，的奇函数，所以()00),0∞和()+上分别单调递增．0,∞。

新高一数学下期末模拟试卷附答案

新高一数学下期末模拟试卷附答案一、选择题1．若，则（）A ．B ．C ．D ．2．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 4．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π5．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（） A ．()6,10B ．()6,22C ．()2,22D ．（2，4）6．已知集合，则A ．B ．C ．D ．7．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛8．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+9．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 10．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 211．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．12．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称二、填空题13．已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区[6π-,5]12π上的最大值为__. 14．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______． 15．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈.若||1a b -，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.16．直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为．17．等边ABC ∆的边长为2，则AB 在BC 方向上的投影为________．18．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．19．已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直；③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 20．在ABC ∆中，120B =，1BC =，且ABC ∆的面积为3，则AC =__________．三、解答题21．已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且该函数图象上的最低点的纵坐标为3-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程．22．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC 外接圆的半径，22243a cb S +-=，其中S 为ABC 的面积．（1）求sin C ；（2）若23a b -=-，求ABC 的周长．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面P AB ；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.24．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ；（2）平面//EFG 平面11BDD B . 25．已知平面向量a ，b 满足1a b ==. （1）1a b -=，求a 与b 的夹角；（2）若对一切实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，求a 与b 的夹角θ. 26．已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证：AB BC ⊥； (2) //AD BC ，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．2．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C3．B解析：B 【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.4．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．5．A解析：A 【解析】由()4f x f x -=（）得：4T =，当010]x ∈（，时，函数的图象如图：()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62log 102a a<⎧⎨>⎩，解得610a ∈（，），故选 A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.6．D解析：D 【解析】试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.7．B解析：B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式8．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.9．A解析：A 【解析】【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2，故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.11．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 12．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.二、填空题13．【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6f x x πϕ=--,再根据图象关于y 轴对称可求得()2cos2f x x =-,再结合余弦函数的图像求出最值即可.【详解】因为函数()()()2cos 2f x x x ϕϕ=---2sin(2)6x πϕ=--的图象关于y 轴对称,所以πππ62k ϕ--=+,即()2ππ,3k k Z ϕ=--∈. 又2πϕ<,则π3ϕ=,即()2sin(2)2cos22f x x x π=-=-.又因为π5π612x -≤≤,所以π5π236x -≤≤,则当5π26x =,即5π12x =时,()f x 取得最大值5π2cos6-=.【点睛】判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如：若()sin y x ωϕ=+为奇函数,则π,Z k k ϕ=∈；若()sin y x ωϕ=+为偶函数,则ππ+,Z 2k k ϕ=∈；若()cos y x ωϕ=+为偶函数,则π,Z k k ϕ=∈；若()cos y x ωϕ=+为奇函数,则ππ+,Z 2k k ϕ=∈. 14．11【解析】分析：构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出答案详解：当且仅当时取等号的最小值等于11故答案为11点睛：本题考查基本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用解析：11 【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)b ba b a b a a b a++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案. 详解：111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b a a b a b a a b a a b++=+++=++ 0a >，0b >，∴0ba >，0ab>， ∴2b aa b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611ba b a++≥+=. ∴32ba b a++的最小值等于11.故答案为11. 点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.15．【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有解析：725【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -所有可能情况，代入公式得到结果。

2023-2024高一第二学期期末数学质量检测试题参考答案与评分细则

2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。

新疆石河子高级中学2024届数学高一下期末考试模拟试题含解析

新疆石河子高级中学2024届数学高一下期末考试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制。

二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。

它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”。

当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”。

如图所示，把十进制数化为二进制数,十进制数化为二进制数，把二进制数化为十进制数为，随机取出1个不小于，且不超过的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是A ．B ．C ．D ．2．直线3230x -+=被圆224x y +=截得的劣弧与优弧的长之比是（） A ．1:5B ．1:2C ．1:3D ．1:43．若经过两点()4,21A y +、()2,3B -的直线的倾斜角为34π，则y 等于（） A ．1-B ．2C ．0D ．3-4．下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数的是( )A ．sin y x =B ．2sin y x =C ．cos 2x y =D ．tan y x =5．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（）A ．14-B ．14C ．23-D ．236．空间中可以确定一个平面的条件是（） A ．三个点 B ．四个点C ．三角形D ．四边形7．与π6-角终边相同的角是 A ．π6 B ．π3C ．11π6D ．4π38．若集合，则A ．B ．C ．D ．9．为了得到函数2sin()36x y π=+的图像，只需把函数2sin y x =的图像（） A ．向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍； B ．向左平移6π个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍； C ．向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的13倍； D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的13倍 10．已知x 与y 之间的一组数据如表，若y 与x 的线性回归方程为ˆ2y bx=-，则ˆb 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

福建省福建师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)

福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试高一数学试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷．（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（）A ．B ．C ．3iD ．32．某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A ，B ，C 三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（）城市销售总数抽取数量A 420m B 28020C 700nA ．60B ．80C ．100D ．1203．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B ．C ．D ．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．如图，在三棱锥中，分别是，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）z ()i 142i z +=+z i-1-16131223,m n ,αβ,,m n m n αβ⊥⊥∥αβ⊥,m m αβ⊥∥αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊂αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊥αβ⊥A BCD -6,4,,AB AC BD CD AD BC M N ======AD BC ,AN CMA．B ．C ．D ．6．有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到一组新的样本数据：，那么这两组数据一定有相同的（）A ．极差B ．中位数C ．方差D ．众数7．已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（）ABCD ．8．已知三棱锥中，平面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥，过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（）A ．BCD ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

浙江省金华市十校2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试题含答案

金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题卷（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则A B = （）A.{}|12x x << B.{}|03x x << C.{}|23<<x x D.{}3|1x x <<【答案】A 【解析】【分析】直接求交集即可.【详解】集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则{}|12A B x x ⋂=<<.故选：A.2.“π6θ=”是“1sin 2θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由π6θ=，可得1sin 2θ=成立，即充分性成立；反正：若1sin 2θ=，可得π2π6k θ=+或5π2π,6k k Z θ=+∈，即必要性不成立，所以π6θ=是1sin 2θ=的充分不必要条件.故选：A.3.数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【解析】【分析】根据中位数的求解方法可得【详解】这组数据是按从小到大的顺序排列的，且共有10个数据，又最中间两个数的平均数为454.52+=，该组数据的中位数为4.5故选：C 4.复数13i1iz -=+，则z =（）A.5B.C. D.32【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算化简得出复数，再结合复数的模长公式计算即可.【详解】因为()()()()2213i 1i 13i 1i 3i 3i 24i12i 1i 1i 1i 1i 2z -----+--=====--++--,所以z ==故选：B.5.已知,OA a OB b == ，点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，则PQ =uu u r（）A.a b+ B.22a b + C.b a - D.22b a- 【答案】D 【解析】【分析】根据向量加、减法的法则可得【详解】因为点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，所以22,22OP OM OA a OQ OM OB b +==+==，两式相减可得所以PQ =uu u r OQ OP -= 22b a - ，故选：D6.某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（）A.20πB.30πC.60πD.90π【答案】C【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用公式求侧面积即可.【详解】如图所示，设球O 与圆锥底面相切于点N ，与母线BS 相切于点M ，根据已知得6,3BN OM ==，设母线长BS l =，则在直角△SBN 中SN ==因为SNB SMO △∽△，所以OS BSOM BN=即36336l =，化简得24600l l --=，解得10l =，或6l =-(舍去)，所以圆锥的侧面积为：ππ610=60πBN l ⋅⋅=⨯⨯.故选：C.7.若函数()()22e e 4e e 2xx x x f x b --=+-++（b 是常数）有且只有一个零点，则b 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】由已知条件可判断()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，由函数有且只有一个零点，()f x 过坐标原点即可求解.【详解】函数的定义域为R ，因为()()()22ee 4e e 2xx x x f x b f x ---=+-++=，所以函数()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，因为函数有且只有一个零点，所以函数()f x 过坐标原点，()024220f b =-⨯+=，解得3b =.故选：B .8.已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足222224a b c ++=，则ABC 面积的最大值为（）A.8B.4C.2D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由余弦定理以及三角形的面积公式可得2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用两次基本不等式得到2162ABC S ≤ ，从而得解.【详解】因为222224a b c ++=，则222122b c a +=-，24a <，即2222322b c a a +-=-，由余弦定理可得232cos 22bc A a =-，又2sin 4ABC bc A S = ，所以2222234cos 22b c A a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭①，22224sin 16ABC b c A S = ②，①+②可得22222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，又()22222221422b c b ca ⎛⎫≤+=- ⎪⎝⎭，即2222231216222ABC a S a ⎛⎫⎛⎫-+≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()22222221316222222ABCSa a a a ⎛⎫⎛⎫≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222a a ⎛⎫+-≤= ⎪⎝⎭，即2162ABC S ≤ ，即0ABC ABC S S ⎛+-≤ ⎝，解得04ABC S <≤=，当且仅当22222b c a a⎧=⎨=-⎩时，即21a =，2234b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为24.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用余弦定理与三角形的面积公式得到2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，从而结合基本不等式即可得解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.对于事件A 和事件B ，()0.4P A =，()0.5P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.4=P ABB.若A 与B 互斥，则()0.9P A B ⋃=C.若A B ⊂，则()0.1P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.2P AB =【答案】BD 【解析】【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB ，由A B ⊂，则AB A =，即可判断C ，由相互独立事件的定义，即可判断D【详解】因为()0.4P A =，()0.5P B =，若A 与B 互斥，则()0P AB =，()()()0.9P A B P A P B ⋃=+=，故A 错误，B 正确；若A B ⊂，则AB A =，所以()()0.4P AB P A ==，故C 错误；若A 与B 相互独立，则()()()0.40.50.2P AB P A P B ==⨯=，故D 正确；故选：BD10.已知,O A 与,B C 分别是异面直线a 与b 上的不同点，E ，F ，G ，H 分别是线段OA ，OB ，BC ，CA 上的点.以下命题正确的是（）A.直线OB 与直线AC 可以相交，不可以平行B.直线EH 与直线BC 可以异面，不可以平行C.直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交D.直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交【答案】BCD 【解析】【分析】A 可假设直线OB 与直线AC 相交，推出矛盾；B 先根据特殊位置得到两直线异面，再假设两直线平行，推出矛盾；C 根据特殊位置可以得到两直线垂直和相交；D 由特殊位置得到两直线可能异面，可能相交，也可以平行.【详解】A 选项，若直线OB 与直线AC 相交，则,,,O B A C 四点共面，则直线a 与b 共面，与题目条件直线a 与b 异面矛盾，故直线OB 与直线AC 不可以相交，A 错误；B 选项，当,E H 分别和,O A 重合时，直线EH 与直线BC 异面，直线EH 与直线BC 不可以平行，假如直线EH 与直线BC 平行，EH ⊂平面OAH ，BC ⊄平面OAH ，故//BC 平面OAH ，但BC 与平面OAH 有交点C ，显然这是不可能的，假设不成立，B 正确；C 选项，当,E F 均与O 重合，此时直线EG 与直线FH 相交，当调整,E G 的位置，可能有EG ⊥OA ，且令,F H 分别与,O A 重合，此时满足直线EG 与直线FH 垂直，故直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交，C 正确；D 选项，当,E H 均与A 重合，或,GF 均与B 重合时，直线EF 与直线GH 相交，当OE OF OA OB =时，EF 与AB 平行，当CG CHCB CA=时，GH 与AB 平行，此时EF 与GH 平行，其他情况，直线EF 与直线GH 异面，故直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交，D 正确.故选：BCD11.小明在研究物理中某种粒子点(),P x y 的运动轨迹，想找到y 与x 的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现y 和x 都与某个变量()t t ∈R 有关联，且有sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩.小明以此为依据去判断函数()y f x =的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于原点对称B.函数()y f x =是以2π为周期的函数C.函数()y f x =的图象存在多条对称轴D.函数()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD 【解析】【分析】根据y 的取值情况判断A 选项，根据正弦余弦函数周期性判断B 选项，根据圆的特性判断C 选项，应用复合函数单调性判断D 选项.【详解】对于A ：由题意知1cos 0y t =-≥，故()f x 不可能关于原点对称，A 选项错误；对于B:sin ,cos y x y x ==周期为2π，则()y f x =是以2π为周期的函数，B 选项正确；对于C ：当π,Z t k k =∈时，πsin ππ,Z x k k k k =-=∈,此时1cos y t =-有多条对称轴，C 选项正确；对于D:sin ,x t t =-设()()()sin ,1cos 0,h t t t h t t h t =-=-≥'单调递增，()11cos ,0,2g t t t ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭单调递增，根据复合函数的单调性可得()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：根据对称中心及对称轴定义判对称性即可.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，则()()1ff =_____________.【答案】2【解析】【分析】根据定义域代入相应的解析式可得答案.【详解】因为()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，所以()211213f =+⨯=，()()()()2213log 31log42f f f ==+==.故答案为：2.13.甲船在B 岛的正南方向A 处，10AB =千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发向北偏东60 的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为_____________千米.【答案】【解析】【分析】根据已知条件用余弦定理将甲、乙两船的距离表示出来，再求最小值即可求解.【详解】如图所示，设甲船航行到点C ，同时乙船航行到点D ，由已知得10AB =，120ABD ∠=︒，设BD AC x ==，则10BC x =-，在△BCD 中，由余弦定理得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅⋅︒，代入得222221(10)2(10)(10100(5)752CD x x x x x x x =-+---=-+=-+，所以当5x =时，CD =千米.故答案为：.14.在ABC 中，3AB =，6AC =，60BAC ∠= ，D 在边BC 上，延长AD 到E ，使15AE =.若32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则BD =_____________.【答案】4【解析】【分析】建系标点，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据向量的坐标运算解得3cos 5θ=，进而可得4tan 3θ=，结合图形即可得结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()()(0,0,3,0,3,33A B C ，可知AB BC ⊥，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()()()15cos ,15sin ,315cos ,15sin ,315cos ,3315sin EA EB EC θθθθθθ=--=--=--，因为32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()3315cos 315cos 15cos 2t t θθθ⎛⎫-+--=-⎪⎝⎭，解得3cos 5θ=，且π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4sin 5θ==，sin 4tan cos 3θθθ==，所以tan 4BD AB θ=⋅=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：建系，根据15AE =可设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进而结合题意运算.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知21,e e 是夹角为60的两个单位向量，()12122,2a e e b e e λλ=-=-∈R .（1）若,a b可以作为一组基底，求实数λ的取值范围；（2）若,a b垂直，求实数λ的值；（3）求b的最小值.【答案】（1）()(),44,-∞⋃+∞（2）0λ=（3【解析】【分析】（1）根据向量不平行，21,e e 的系数比值不相等可解；（2）根据0a b ⋅=，结合数量积运算性质即可得解；（3）将向量模转化为数量积，根据二次函数性质可得.【小问1详解】因为,a b 可以作为一组基底，所以,a b不平行，又21,e e 不共线，所以212λ≠--，即4λ≠，所以，实数λ的取值范围为()(),44,∞∞-⋃+.【小问2详解】因为,a b 垂直，所以()()1212220a b e e e e λ⋅=-⋅-=，即()2211222420e e e e λλ-+⋅+= ，又22121211,11cos 602e e e e ==⋅=⨯⨯︒= ，所以()124202λλ-++=，解得0λ=.【小问3详解】因为()()22222221211222442413be e e e e e λλλλλλ=-=-⋅+=-+=-+ ，所以，当1λ=时，2b 取得最小值3，所以b.16.已知函数()cos f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和其图象的对称中心；（2）在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足()f A =2a =，b =，求ABC 的面积S 的值.【答案】（1）值域为[]22-,，ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.（2【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得值域，利用整体代入法求解可得对称中心；（2）根据()f A =A ，利用余弦定理求出c ，然后由面积公式可得.【小问1详解】()πcos 2sin6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以值域为[]22-,，令ππ6x k k +=∈Z ，，得ππ,6x k k =-+∈Z ，所以()f x 的对称中心坐标为ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.【小问2详解】由()π2sin 6f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πA << ，ππ7π666A ∴<+<，所以ππ63A +=或2π3，即π6A =或π2A =，2a b =<=，π6A ∴=，由余弦定理得2π4122cos 6c =+-⨯，即2680c c -+=，解得2c =或4.当2c =时，11222S =⨯⨯=；当4c =时，11422S =⨯⨯=故所求ABC 的面积S 17.在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格.（1）求a 的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.【答案】（1）0.07a =，20.32小时（2）21.73小时（3）25【解析】【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出a ，利用平均数的定义进行计算；（2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为y ，从而得到方程，求出答案；（3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率.【小问1详解】由()0.020.060.0750.02541a ++++⨯=，解得0.07a =，因为()0.02120.06160.075200.07240.02528420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=小时，所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.【小问2详解】时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格，由题意知，即求60百分位数，又()0.020.0640.32+⨯=，()0.020.060.07540.62++⨯=，所以60百分位数位于18~22之间，设60百分位数为y ，则180.60.3222180.3y --=-，解得561821.7315y =+≈小时.故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.【小问3详解】易知，5名学生中，优秀有452442⨯=++人，设为,A B ，良好有452442⨯=++人，设为,C D ，合格有251442⨯=++人，设为E .任选3人，总共有()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B C A B D A B E A C D A C E A D E ()()()(),,,,,,,,,,,B C D B C E B D E C D E ，10种情况，其中符合的有()()()(),,,,,,,,,,,A C E A D E B C E B D E ，共4种，故概率为42105p ==.18.在四棱台1111ABCD A B C D -中，BC AD ∥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，2AD =，CD =，1111AB BC AA A D ====，1120A AB ∠= .（1）求证：1//A B 平面11CDD C ；（2）求直线1AA 与直线CD 所成角的余弦值；（3）若Q 是1DD 的中点，求平面QAC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24（3）75555.【解析】【分析】（1）根据平行直线的传递性可得11A B CD ∥，然后根据线面平行的判定可得（2）方法一，取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角，然后在直角三角形中求出余弦即可，方法二，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用公式1cos cos AA CD θ=，求出即可（3）利用二面角的定义找出QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角，求出平面QAC 的法向量()m x y z = ，，和平面ABCD 的法向量()001n = ，，，利用cos cos ,n m θ= 求解即可.【小问1详解】连接1CD ，111BC A D == ，11BC AD A D ∥∥，11A BCD ∴是平行四边形，11AB CD ∴∥.又1⊄A B 面11CDD C ，1CD ⊂面11CDD C ，故1//A B 平面11CDD C 【小问2详解】法一：取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角.在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥平面11ABB A ，BC ∴⊥平面1CED ，1BC CD ∴⊥，12BD ∴=，1cos 4BED ∠∴==-，所以，直线1AA 与直线CD所成角的余弦值为4.法二：在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥面11ABB A ，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，()020D ，，，11022AA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，()110CD =-，，1cos cos 4AA CD θ∴==，.【小问3详解】法一：过1D 作CE 延长线的垂线于O ，连接OD ，取OD 中点H ，连接QH ，过H 作HM AC ⊥，连接QM .易证QH ⊥面ABCD ，则QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角.11324QH OD ==，728MH =，所以1108MQ =，故cos 55MH QMH MQ ∠==.法二：()11010A D BC == ，，，11122D ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，，13424Q ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，设()m x y z = ，，是平面QAC的法向量，则0130424x y x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，，令x =，得)m =-，又()001n =，，是平面ABCD 的法向量，所以cos cos ,55n m θ===.19.假设()G x 是定义在一个区间I 上的连续函数，且(){|}G x x I I ∈⊂.对0x I ∀∈，记()()1100x G x G x ==，()()()()22100x G x G G x G x ===，…，()()()100n n n x G G x G x -== .若某一个函数()G x 满足()()()21000n n n Gx pG x qG x ++=+，则有n n n x s t αβ=+（其中α，β为关于x 的方程2x px q =+的两个根，s ，t 是可以由0x ，1x 来确定的常数）.（1）若02x =，13x =且满足()()()212222n n n G G G ++=-+.（ⅰ）求2x ，3x 的值；（ⅱ）求n x 的表达式；（2）若函数()G x 的定义域为A ，值域为B ，且()0,A B ∞==+，且函数()G x 满足()()()216n n n G x G x G x ++=-+，求()G x 的解析式.【答案】（1）（ⅰ）21x =，35x =；（ⅱ）()71233n n x =-⋅-（2）()2G x x =【解析】【分析】（1）（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，利用递推关系即可求解；（ⅱ）由题意知n nn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根可得()2nn x s t =+-，从而可得()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，求解即可；（2）由题意得()32nnn x s t =⋅-+⋅，又由值域为()0,B ∞=+可得0s =，从而可得0x t =，再由()10022x G x t x ===即可求解.【小问1详解】（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，又02x =，13x =，所以2102341x x x =-+=-+=，32121235x x x =-+=-+⨯=.（ⅱ）由题意知，nnn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根1，2-，()2n n x s t ∴=+-.又()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，所以7313s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，()71233n n x ∴=-⋅-.【小问2详解】由题意知，α，β为关于x 的方程26x x =-+的两个根，所以3,2αβ=-=，则()32nnn x s t =⋅-+⋅，因为值域为()0,B ∞=+，易知0s =；2n n x t ∴=⋅，则002x t t =⋅=，()10022x G x t x ∴===，()2G x x ∴=.。

贵州省遵义市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学含答案

遵义市2023~2024学年度第二学期期末质量监测高一数学（答案在最后）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则()U A B =ð（）A.{}1,3,5 B.{}2,4,6 C.{}1,2,5,6 D.{}3,5,62.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若10a =，14b =，23B π=，则sin A =（）A. B.514C.514-D.143.如图，向量AB a =，BD b =，DC c = ，则AC 向量可以表示为（）A.a b c++r r rB.a b c+-r r rC.a b c -+r r rD.a b c--4.已知3sin 4α=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.8-B.378C.9714-D.97145.某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分（）A.82.4B.82.7C.83.4D.83.56.已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则三角形ABC 的面积为（）A.3B.5C.7D.87.遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C 、D 两观测点，且C 、D 与“大吉他”建筑的底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，测得30CBD ∠=︒，则“大吉他”建筑AB 的估计高度为多少米（）A.米B.34米C.米D.30米8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2f x y f x f y +=+-，则（）A.()00f = B.函数()2f x -是奇函数C.若()22f =，则()20242f =- D.函数()f x 在()0,∞+单调递减二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数23i z =+（i 是虚数单位），则下列正确的是（）A.z =B.z 的虚部是3C.若i z t +是实数，则0=t D.复数z 的共轭复数为23iz =-+10.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B = B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B =D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =11.将函数sin 1y x =+图象上所有的点向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的12π（纵坐标不变）得到函数()y f x =的图象，则下列关于()y f x =说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为1B.()f x 在5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数C.对于任意x ∈R 都有()223f x f x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭D.若方程()1102f x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，则117,63ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的终边经过点1(2P ，则tan α的值为____________．13.若函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为_______．14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形ABCDEFGH 的边长为4，P 是正八边形ABCDEFGH 内的动点（含边界），则AP AB ⋅的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,4a =- ，()2,1b =-r（1）求5877a b -；（2）若向量()2,c m = ，向量ma c + 与向量a mb +共线，求m 的值．16.2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计参加这次竞赛的学生成绩的75%分位数；（2）若在抽取的80名学生中，从成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100中采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率．17.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin sin 2A BC a b a cπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-（1）求角B ；（2）若点D 在AC 上，BD 为ABC ∠的角平分线，3BD =，求2a c +的最小值．18.已知函数()()π14sin cos R 6f x x x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小值，以及()f x 取得最小值时x 的集合；（2）已知ππ2βα<<<，π82125f αβ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π102613f β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求cos α的值．19.若函数()f x 在定义域区间[],a b 上连续，对任意1x ，[]2,x a b ∈恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的上凸函数，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的下凸函数，当且仅当12x x =时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n 个点，即若()f x 是上凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n nf x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭，若()f x 是下凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x === 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：（1）判断函数()()21R f x x x =+∈在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；（2）证明()sin h x x =，()0,πx ∈上是上凸函数；（3）若A 、B 、C 、()0,πD ∈，且πA B C D +++=，求sin sin sin sin A B C D +++的最大值．遵义市2023~2024学年度第二学期期末质量监测高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则()U A B =ð（）A.{}1,3,5 B.{}2,4,6 C.{}1,2,5,6 D.{}3,5,6【答案】C 【解析】【分析】根据交集和补集含义即可得到答案.【详解】由题意得{}3,4A B = ，则(){}1,2,5,6U A B = ð.故选：C.2.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若10a =，14b =，23B π=，则sin A =（）A.5314-B.514C.514-D.14【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理即可得到答案.【详解】根据正弦定理有sin sin a b A B =，即10sin 2A =sin 14A =.故选：D.3.如图，向量AB a =，BD b =，DC c = ，则AC 向量可以表示为（）A.a b c ++r r rB.a b c+-r r rC.a b c-+r r rD.a b c--【答案】A【解析】【分析】利用图形结合向量线性运算即可.【详解】AC AD DC A a b c B BD DC =+=++++=.故选：A.4.已知3sin 4α=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A. B.8C.14-D.14【答案】B 【解析】【分析】首先求出cos 4α=，再利用二倍角正弦公式即可.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 4α=，则cos 4α==，则3sin 22sin cos 24ααα==⨯⨯.故选：B.5.某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分（）A.82.4B.82.7C.83.4D.83.5【答案】C 【解析】【分析】根据平均数计算公式直接求解即可.【详解】全班75名学生的平均成绩4035828583.47575x =⨯+⨯=.故选：C .6.已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则三角形ABC 的面积为（）A.3B.5C.7D.8【答案】A 【解析】【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可.【详解】||AB == ，||BC ===,||AC ===222||||AC AB BC ∴+=，所以三角形ABC 为直角三角形，1=2S ∴⨯，故选：A .7.遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C 、D 两观测点，且C 、D 与“大吉他”建筑的底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，测得30CBD ∠=︒，则“大吉他”建筑AB 的估计高度为多少米（）A.米 B.34米C.米D.30米【答案】D 【解析】【分析】根据仰角可得BC AB h ==，BD ==，在三角形BCD 利用余弦定理即可求解.【详解】设教学楼的高度为h ，在直角三角形ABC 中，因为45ACB ∠= ，所以BC AB h ==，在直角三角形ABD 中，因为30ADB ∠= ，所以tan 30ABBD= ，所以BD ==，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠，代入数值可得)22233022h h =+-⨯，解得30h =或30h =-（舍），故选：D.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2f x y f x f y +=+-，则（）A.()00f = B.函数()2f x -是奇函数C.若()22f =，则()20242f =- D.函数()f x 在()0,∞+单调递减【答案】B 【解析】【分析】对A ，赋值法令0x y ==求解；对B ，赋值法结合奇函数的定义判断；对C ，令2y =求得函数的周期求解；对D ，利用单调性定义结合赋值法求解判断.【详解】对于A ，令0x y ==，可得()()()0002f f f =+-，解得()02f =，故A 错误；对于B ，令y x =-，可得()()()02f f x f x =+--，又()02f =，则()()()222f x f x f x ⎡⎤--=-+=--⎣⎦，所以函数()2f x -是奇函数，故B 正确；对于C ，令2y =，得()()()()222f x f x f f x +=+-=，则()f x 是周期函数，周期为2，所以()()202402f f ==，故C 错误；对于D ，令1x x =，21y x x =-，且210x x >>，则()()()1211212f x x x f x f x x +-=+--，即()()()21212f x f x f x x -=--，而0x >时，()f x 与2大小不定，故D 错误.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数23i z =+（i 是虚数单位），则下列正确的是（）A.z =B.z 的虚部是3C.若i z t +是实数，则0=tD.复数z 的共轭复数为23iz =-+【答案】AB 【解析】【分析】对A ，根据复数的模的计算公式即可判断；对B ，根据复数虚部的定义即可判断；对C ，根据复数的分类可判断；对D ，根据共轭复数的定义即可判断.【详解】对于A ，z ==A 正确；对于B ，复数23i z =+的虚部为3，故B 正确；对于C ，因为()i 23i z t t +=++是实数，则30t +=，即3t =-，故C 错误；对于D ，复数23i z =+的共轭复数为23i z =-，故D 错误.故选：AB.10.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B = B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B = D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =【答案】ABD 【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.【详解】对于A ，若A 与B 相互独立，则()()()1113412P AB P A P B ==⨯=，所以()()()()111134122P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，故A 对；对于B ，因为()13P A =，()14P B =，则()()131144P B P B =-=-=，因为()()()131344P A P B P AB =⨯==，所以事件A 与B 相互独立，故B 对；对于C ，若A 与B 互斥，则()()()1173412P A B P A P B ⋃=+=+=，故C 错；对于D ，若B 发生时A 一定发生，则B A ⊆，则()()14P AB P B ==，故D 对．故选：ABD11.将函数sin 1y x =+图象上所有的点向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的12π（纵坐标不变）得到函数()y f x =的图象，则下列关于()y f x =说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为1B.()f x 在5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数C.对于任意x ∈R 都有()223f x f x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭D.若方程()1102f x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，则117,63ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】根据图象变换得到()f x 的解析式，进而可判断A ，B ，C 选项；对D ，题意转化为πsin π03x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，根据正弦函数的性质求解判断.【详解】把函数sin 1y x =+图象上所有的点向左平移π3个单位，可得πsin 13y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把所得各点的横坐标缩短为原来的12π（纵坐标不变）得到函数()πsin 2π13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于A ，周期2π12πT ==，故A 正确；对于B ，令πππ2π2π2π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，即511212k x k -++≤≤，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为51,1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，故B 错误；对于C ，()22ππsin 2π1sin 2π13333f x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦5ππsin 2πsin 2π233x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin 2π2πsin 2π233x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππsin 2πsin 2π2233x x ⎛⎫⎛⎫=---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故C 正确；对于D ，根据题意方程112f x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭即πsin π03x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，ππππ2π333x ωω∴≤+<+，由正弦函数性质得π4π2π5π3ω<+≤，解得11763ω<≤，故D 错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的终边经过点1(2P ，则tan α的值为____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：．考点：三角函数的定义13.若函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为_______．【答案】1()2sin(24f x x π=+【解析】【分析】根据函数()f x 的图象求得2,4A T π==，得到1()2sin()2f x x ϕ=+，再由(22f π=和题设条件，求得4πϕ=，即可求得函数的解析式.【详解】由函数()f x 的图象可得72,()422A T πππ==--=，所以22142T ππωπ===，即1()2sin()2f x x ϕ=+，又由()22f π=，即1sin()122πϕ⨯+=，可得2,42k k Z ππϕπ+=+∈，即2,4k k Z πϕπ=+∈，又因为||2ϕπ<，所以4πϕ=，所以1()2sin()24f x x π=+.故答案为：1()2sin(24f x x π=+.14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形ABCDEFGH 的边长为4，P 是正八边形ABCDEFGH 内的动点（含边界），则AP AB ⋅的取值范围为________．【答案】⎡-+⎣【解析】【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解.【详解】以A 为坐标原点，,AB AF 所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则()()0,0,4,0A B 过H 作AF的垂线，垂足为N ，正八边形ABCDEFGH 中，边长为4，所以()821801358HAB ︒︒-⨯∠==，所以AN HN =，所以222AN HN HA AN +=⇒=，所以4AF =+，设(),P x y ，则()()4,0,,AB AP x y == ，所以4AP AB x ⋅=，因为P 是正八边形ABCDEFGH 内的动点（含边界），所以x 的范围为4x -≤≤+所以416x -≤≤+故答案为：⎡-+⎣.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,4a =- ，()2,1b =-r（1）求5877a b -；（2）若向量()2,c m = ，向量ma c + 与向量a mb +共线，求m 的值．【答案】（1）5（2）1-或89【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，向量模的公式运算得解；（2）根据向量的坐标运算求得ma c + 和a mb +坐标，再由向量共线即可计算出m 的值.【小问1详解】因为()1,4a =- ，()2,1b =-r，所以()5858582,43,4777777a b ⎛⎫-=--⨯⨯+=- ⎪⎝⎭r r ，所以58577a b -==r r .【小问2详解】因为()2,5ma c m m +=-+r r ，()21,4a mb m m +=--+r r，又ma c + 与a mb +共线，所以()()()24521m m m m -+-+=-，所以2980m m +-=，解得1m =-或89.所以m 的值为1-或89.16.2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计参加这次竞赛的学生成绩的75%分位数；（2）若在抽取的80名学生中，从成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100中采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率．【答案】（1）82.5；（2）15.【解析】【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，结合75%分位数的意义列式计算即得.（2）求出抽取的6人中，“探月达人”人数，再利用列举法求出概率.【小问1详解】由频率分布直方图知，成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)内的频率依次为：0.05,0.15,0.2,0.3,0.2，则成绩在80分以下的频率为0.7，成绩在90分以下频率为0.9，因此参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为(80,90)x ∈，由(80)0.020.05x -⨯=，解得82.5x =，所以参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为82.5.【小问2详解】由于0.30.20.163,62,610.30.20.10.30.20.10.30.20.1⨯=⨯=⨯=++++++，则6人中，成绩在[70,80),[80,90),[90,100]内的学生分别为3人，2人，1人，其中有3人为“探月达人”，设为a ，b ，c ，有3人不是“探月达人”，设为,,d e f ，则从6人中选择2人作为学生代表，有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef ，共15种，其中2人均为“探月达人”为,,ab ac bc ，共3种，所以被选中的2人均为“探月达人”的概率为31155=.17.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin sin 2A BC a b a cπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-（1）求角B ；（2）若点D 在AC 上，BD 为ABC ∠的角平分线，BD =，求2a c +的最小值．【答案】（1）π3B =（2）6+【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理即可得到答案；（2）根据面积法得1112a c +=，再利用乘“1”法即可得到最小值.【小问1详解】因为sin sin sin C A Ba b a c-=+-，所以由正弦定理可得c a ba b a c-=+-，即222a c b ac +-=，又因为222cos 2a c b B ac+-=，则1cos 2B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABD CBD ABC S S S += 所以1π1π1πsin sin sin 262623AB BD BC BD AB BC ⨯+⨯=⨯，因为BD =，所以c BD a BD ⨯+⨯=，所以2()c a ac ⨯+=，即1112a c +=，所以22242(2)66c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭，当且仅当22a c ==+时，2a c +取得最小值6+.18.已知函数()()π14sin cos R 6f x x x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小值，以及()f x 取得最小值时x 的集合；（2）已知ππ2βα<<<，π82125f αβ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π102613f β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求cos α的值．【答案】（1）最小值为2-，x 的集合为,|ππZ 3x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=-+∈（2）6365-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则得到其最小值和此时所对应的x 的集合；（2）首先求出4sin()5αβ-=，再计算出3cos()5αβ-=，5cos 13β=-，12sin 13β=，最后化简为繁，利用两角和的余弦公式即可得到答案.【小问1详解】21()14sin cos cos 1cos 2cos 22f x x x x x x x ⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭π121cos 22sin 26x x x ⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭当ππ22π,Z 62x k k +=-+∈，即ππ,Z 3x k k =-+∈时，()f x 取得最小值2-，此时x 的集合为,|ππZ 3x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=-+∈.【小问2详解】πππ82sin 22sin()21221265f αβαβαβ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则4sin()5αβ-=，因为ππ2β<<，所以ππ2β-<-<-，又因为ππ2α<<，所以ππ22αβ-<-<，所以3cos()5αβ-=，因为πππ102sin 22sin 2cos 26266213f βπβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以5cos 13β=-，因为ππ2β<<，所以12sin 13β==，cos cos[()]cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---354126351351365⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.19.若函数()f x 在定义域区间[],a b 上连续，对任意1x ，[]2,x a b ∈恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的上凸函数，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的下凸函数，当且仅当12x x =时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n 个点，即若()f x 是上凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭，若()f x 是下凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x === 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：（1）判断函数()()21R f x x x =+∈在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；（2）证明()sin h x x =，()0,πx ∈上是上凸函数；（3）若A 、B 、C 、()0,πD ∈，且πA B C D +++=，求sin sin sin sin A B C D +++的最大值．【答案】（1）下凸函数，理由见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）作差()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭，化简即可证明；（2）任意取12,(0,π)x x ∈，作差()()12122112sin sin cos cos 222222h x h x x x x x x x h ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再分析其符号即可；（3）根据（2）中结论得sin sin sin sin sin 44A B C D A B C D ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，代入计算即可得到答案.【小问1详解】下凸函数，理由如下：任意取12,R x x ∈，因为()()()()22221212*********22424f x f x x x x x x x x x f ++-+++⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时等号成立，故2()1(R)f x x x =+∈是下凸函数.【小问2详解】任意取12,(0,π)x x ∈，不妨设12x x ≤，()()12121212sin sin sin 2222h x h x x x x x x x h ++++⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121122sincos cos sin sin cos sin cos 22222222x x x x x x x x=+--2112sin sin cos cos 2222x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由于12π0222x x <≤<，根据sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则2112sin sin ,cos cos 2222x x x x ≥≥，所以()()121222h x h x x x h ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，即函数()h x 是上凸函数.【小问3详解】当(0,,π,),A B C D ∈，且πA B C D +++=，由（2）知()sin ,(0,π)h x x x =∈是上凸函数，所以sin sin sin sin πsin sin 4442A B C D A B C D++++++⎛⎫≤==⎪⎝⎭，故πsin sin sin sin 4sin 4sin 244A B C D A B C D +++⎛⎫+++≤== ⎪⎝⎭所以当且仅当π4A B C D ====时等号成立，即sin sin sin sin A B C D +++的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是作差因式分解得()()12122112sin sin cos cos 222222h x h x x x x x x x h ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再分析其正负即可.。

2020高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(共三套)

范文2020学年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案1/ 7(共三套)2020 年学年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（共三套）2020 年学年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（一）一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分） 1．设集合 A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数 a 的值为． 2．若向量 =（2，1）， =（﹣4，x），且∥ ，则 x 的值为． 3．在△ABC 中，已知 AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC 的面积为． 4．函数 f（x）=lg（2﹣x﹣x2）的定义域为． 5．若指数函数 f（x）=（a﹣1）x 是 R 上的单调减函数，则实数 a 的取值范围是． 6．已知直线 x﹣y=0 与圆（x﹣2）2+y2=6 相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为． 7．已知两曲线 f（x）=cosx 与 g（x）= sinx 的一个交点为 P，则点 P 到 x 轴的距离为． 8．已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=AD=2．AA1=4，则该长方体外接球的表面积为． 9．如图，D，E 分别是△ABC 的边 AC，BC 上的点，且 = ， = ．若=λ +μ （λ，μ∈R），则λ+μ 的值为．第1页（共78页）10．如图，已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长均为 2，△DEF 为平行于棱柱底面的截面，O1，O 分别为上、下底面内一点，则六面体O1DEFO 的体积为． 11．将函数 f（x）=sinωx（0＜ω＜6）图象向右平移个单位后得到函数 g（x）的图象．若 g（x）图象的一个对称中心为（，0），则 f（x）的最小正周期为． 12．在△ABC 中，已知 AB=AC=4，BC=2，∠B 的平分线交 AC 于点 D，则 ? 的值为． 13．已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）=x2﹣3x．若方程 f（x）+x﹣t=0 恰有两个相异实根，则实数 t 的所有可能值为． 14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2a，0）（a＞0），直线 l1： mx ﹣ y ﹣ 2m+2=0 与直线 l2：x+my=0 （m∈R）相交于点 M ，且 MA2+MO2=2a2+16，则实数 a 的取值范围是．二、解答题（共 6 小题，满分 90 分） 15．已知 tan（α﹣）=﹣．（1）求tanα 的值；（2）求cos2α 的值．第2页（共78页）3/ 716．在四棱锥 P﹣ABCD 中，已知DC∥AB，DC=2AB，E 为棱 PD 的中点．（1）求证：AE∥平面 PBC；（2）若PB⊥PC，PB⊥AB，求证：平面PAB⊥平面 PCD． 17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 1 的正△OAB 的顶点 A， B 均在第一象限，设点 A 在 x 轴的射影为 C，∠AOC=α．（1）试将 ? 表示α 的函数 f（α），并写出其定义域；（2）求函数 f（α）的值域． 18．如图，海平面某区域内有 A，B，C 三座小岛，岛 C 在 A 的北偏东70°方向，岛C 在 B 的北偏东40°方向，且 A，B 两岛间的距离为 3 海里．（1）求 B，C 两岛间的距离；（2）经测算海平面上一轮船D 位于岛 C 的北偏西50°方向，且与岛 C 相距 3 海里，求轮船在岛 A 的什么位置．（注：小岛与轮船视为一点）第3页（共78页）19．在平面直角坐标系 xOy 中，圆：x2+y2=4，直线 l：4x+3y﹣20=0．A （，）为圆 O 内一点，弦 MN 过点 A，过点 O 作 MN 的垂线交 l 于点 P．（1）若MN∥l．①求直线 MN 的方程；②求△PMN 的面积．（2）判断直线 PM 与圆 O 的位置关系，并证明． 20．已知函数 f（x）=a|x﹣b|+1，其中 a，b∈R．（1）若 a＜0，b=1，求函数 f（x）的所有零点之和；（2）记函数 g（x）=x2﹣f（x）．①若 a＜0，b=0，解不等式 g（2x+1）≤g（x﹣1）；②若 b=1，g（x）在[0，2]上的最大值为 0，求 a 的取值范围．第4页（共78页）5/ 7参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分70 分） 1．设集合 A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数 a 的值为 2 ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】由并集定义得 a+1=3，由此能求出实数 a 的值．【解答】解：∵集合 A={1，2}，B=（a+1，2），A∪B={1，2，3}，∴a+1=3，解得实数 a 的值 2．故答案为：2． 2．若向量 =（2，1）， =（﹣4，x），且∥ ，则 x 的值为﹣2 ．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵ ∥ ，∴﹣4﹣2x=0，解得 x=﹣2．故答案为：﹣2． 3．在△ABC 中，已知 AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC 的面积为．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式求解即可得答案．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=120°，第5页（共78页）∴S△ABC= AB?AC?sinA= 故答案为：． =． 4．函数 f（x）=lg （2﹣x﹣x2）的定义域为（﹣2，1）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数 y 的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：函数 f（x）=lg（2﹣x ﹣x2），∴2﹣x﹣x2＞0，即 x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，∴函数 f（x）的定义域为（﹣2，7/ 7。

高一数学第二学期期末试题(1)(含答案).

高一数学质量监测模拟题（一）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，3}，B ={3，4，5}，则C U (A ∩B )=( ) A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，4，5}C ．{1，2，5}D ．{3}2．在直角坐标系中，直线1y =+的倾斜角为( ) A ．23π B ． 6π C ． 56π D ． 3π 3．若弧长为4的弧所对的圆心角是2，则这条弧所在的圆的半径等于( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．14．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿。

卖油翁的技艺让人叹为观止。

若铜钱的直径．．为3cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( ) A ．49π B ． π49 C ． 94π D ． π945．已知函数2(4),()(1)(4)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，那么(5)f 的值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64 6．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：A ．ˆ22yx =- B ．ˆ41y x =- C ．ˆ33y x =- D ．ˆ1y x =+ 7．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+等于( )Ａ．16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13188．已知下列命题(其中b a ,为直线，α为平面)：① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面； ③ 若α//a ，α⊥b ，则b a ⊥；④ 若b a ⊥，则过b 有且只有一个平面与a 垂直. 上述四个命题中，真命题是( )A ．①，②B ．②，③C ．②，④D ．③，④9．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗的运算规则如右图的程序框图所示，则(32)4⊗⊗的值是( )A ．0B ．12C ．32D ．910．已知函数(1)f x +是定义在R 上的奇函数，)(x f 为R 上的减函数，则不等式()0f x <的解集为( )A ．()1,+∞B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．(),1-∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分．12．函数213log log y x=（）的定义域为 (用区间表示)． 13．若||2,||4==a b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是．14．已知，则直线()3m x y ++34m =+与坐标轴围成的三角形面积是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分12分) 已知函数),2cos()sin(4)(ππ--=x x x f(1)求()f x 的最小正周期； (2)若(0,)θπ∈，2()43f πθ+=, 求sin θ的值．16．(本小题满分14分)从某学校高一年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成155,160．第二组八组：第一组[)[)190,195，右图是160,165；…第八组[]按上述分组方法得到的条形图．(第16题图)(1)根据已知条件填写下面表格：(2)估计这所学校高一年级800名学生中身高在180cm以上(含180cm)的人数；(3)在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少17．(本小题满分14分)已知一几何体的三视图如图(甲)示，(三视图中已经给出各投影面顶点的标记)(1)在已给出的一个面上(图乙)，画出该几何体的直观图；(2)设点F、H、G分别为AC、AD、DE的中点，求证：FG//平面ABE；(3)求该几何体的体积．x(第18题图)18．(本小题满分12分)为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC 的草坪，且PQ ∥BC ，RQ ⊥BC ,另外△AEF 的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB =100m ，BC =80m ，AE =30m ，AF =20m ．(1)求直线EF 的方程；(2)应如何设计才能使草坪的占地面积最大？19．设平面向量2(cos ,)2xx =m ，(2,1)=n ，函数()f x =⋅m n ．（Ⅰ）当[,32x ππ∈-时，求函数()f x 的取值范围；（Ⅱ）当13()5f α=，且236ππα-<<时，求sin(2)3πα+和sin α的值．20、（满分14分）已知圆C 的圆心在直线x y 2=上，且经过点)1,0(M 与)1,2(N （1）求圆C 的方程；（2）已知)1,2(-P ，过P 点作圆C 的两条切线，切点为B A ,，求直线PB PA ,的方程；（3）在（2）的条件下，求切线长PA .高一数学质量监测模拟题（一）答案一．选择题：每小题5分，满分50分选择题解答过程：4. 依题意，铜钱的面积23924S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，小正方形的面积1111S =⨯=，则1S P S ==π94. 选D.5. 3(5)(51)(4)(41)(3)28f f f f f =-==-===.选A.6. 将所给的数据样本中心为（4，5）分别代入验证.选D.7. 213tan()tan()354204tan()tan ()()212244221tan()tan()145420παββππααββπαββ-+--⎡⎤+=+--====⎢⎥⎣⎦++⋅-+⨯. 选C.8. ① 将“无数条”改为“所有”才正确；② 有可能是平行、相交、线在面内；③ 正确；④ 正确.选D.9. 依框图，31413(32)4424222+-⎛⎫⊗⊗=⊗=⊗==⎪⎝⎭.选C. 10. (1)f x +是奇函数，即其的图象关于点(0,0)对称，将(1)f x +向右平移1个单位长度，得()f x ，()f x 的图象关于点(1,0)对称，()f x 为R 上的减函数；由图象易得不等式()0f x <的解集为()1,+∞.选A.二．填空题：每小题5分，满分20分 11. 85 12. ()0,1 13.23π（或填120︒） 14. 2 填空题解答过程：11. 甲班的总成绩是90×40=3600（分），乙班的总成绩是81×50=4050（分），则该校数学建模兴趣班的总成绩是3600＋4050=7650（分），平均成绩是7650÷90=85（分）. 12. 13log 0x >解得01x <<，即定义域为()0,1.13.由()+⊥a b a 得()0a b a +=，即20a a b+=，2cos ,0a a b a b +⋅⋅=，∴2cos ,aa b a b =-⋅12=-，∴3,2a b π=（或写成120︒）. 14.(){}(){},(3)34,7(5)80x y m x y m x y x m y ++=-+--==Φ即直线1:(3)3l m x y m ++=4-与直线2:7(5)80l x m y +--=无公共点，若5m =，两直线分别为1:8110l x y +-=，2:780l x -=，不符合题意，故5m ≠且13k m =--，275k m=--.由1k =2k 解得4m =或2m =-，若4m =，两直线重合不合要求，故2m =-.直线()3m x y ++34m =+即20x y ++=，两截距都为2-，则12222S =⨯-⨯-=.三．解答题：满分80分15. 解：（1）∵()4sin()cos(2)f x x x ππ=--4sin cos 2sin 2x x x ==…………………… 3分22T ππ== …………………………………………………………………… 5分 ∴函数()f x 的最小正周期为π .……………………………………………………… 6分（2）由2()43f πθ+=，∴22sin 2()43πθ+= ,……………………………………………… 7分化简可得1cos 23θ=, …………………………………………………………………… 9分则2112sin 3θ-=,化简 ∴21sin 3θ= ………………………………… 10分由(0,)θπ∈,∴sin 0θ>,故sin θ=………………………………………………………………………… 12分 16. 解：（1）由条形图得第七组频率为1(0.0420.0820.220.3)0.06,0.06503-⨯+⨯+⨯+=⨯=．∴第七组的人数为3人． ……………………………………………………………… 1分………………………………… 4分（2）解：由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82，后三组频率为1-0.82=0.18．估计这所学校高三年级身高在180cm 以上(含180cm)的人数800×0.18=144(人)． 8分（3）第二组四人记为a 、b 、c 、d ，其中a 为男生，b 、c 、d 为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下： ……………………………………………… 9分………… 12分所以基本事件有12个,恰为一男一女的事件有1b ，1c ，1d ，2b ，2c ，2d ，3a 共7个, …… 13分因此实验小组中，恰为一男一女的概率是712． ………………………………………… 14分 17. 解：（1）该几何体的直观图如图示： ………………………… 4分（说明：画出AC ⊥平面ABCD 得2分，其余2分，其他画法可按实际酌情给分）（2）证法一：取BA 的中点M ，连接FM 、ME ， ∵F 、M 分别为AC 、AB 的中点，∴F M 1//2BC ，………… 5分 ∵BC//ED ∴F M 1//2ED ，又EG=12=ED ，∴F M //EG ∴四边形EGFI 为平行四边形，…………………………… 7分 ∴EM//FG , 又∵FG ⊂面FHG ，EM ⊄面FHG ∴FG//平面ABE …………………………………… 9分证法二：由图（甲）知四边形CBED 为正方形 ∵F 、H 、G 分别为AC,AD ,DE 的中点∴FH//CD ， HG//AE ………………………………………………………………………… 5分 ∵CD//BE ， ∴FH//BE∵BE ⊂面ABE ，FH ⊄面ABE∴//FH 面ABE …………………………………………………………………………… 7分同理可得//HG 面ABE 又∵FHHG H =∴平面FHG//平面ABE ……………………………………………… 8分又∵FG ⊂面FHG ∴FG//平面ABE …………………………………………………… 9分（3）由图甲知AC ⊥CD ，AC ⊥BC,∴AC ⊥平面ABCD, 即AC 为四棱棱锥的高2h = …………………………………… 10分 ∵底面ABCD 是一个正方形，224S =⨯= ……………………………………………… 12分∴该几何体的体积：11842333V Sh ==⨯⨯=………………………………… 14分18. 解：（1）由题意，直线EF 的方程为：13020x y += ………………………………………………… 2分即2203y x=-+ ………………………………………… 4分（2）如图，在线段EF 上任取一点Q ，分别向BC,CD 作垂线．设xHF DGEBCAQ 2,203x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭… 6分则长方形的面积()()210080200303S x x x ⎡⎤⎛⎫=---+≤≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦…………………………… 8分化简，得()2220600003033S x x x =-++≤≤ …………………………………………… 10分配方，易得505,3x y ==时，S 最大，其最大值为6017m 2 ……………………………… 12分19. 解：（Ⅰ）22()(cos ,)(2,1)2cos 22xxf x x x =⋅=…………………………… 1分cos 1x x =+2sin()16x π=++． …………………………… 3分当[,]32x ππ∈-时，2[,]663x πππ+∈-，…………………………… 4分则1sin()126x π-≤+≤，02sin()136x π≤++≤，所以()f x 的取值范围是[0,3]． …………………………… 6分（Ⅱ）由13()2sin()165f παα=++=，得4sin()65πα+=，…………………………… 7分因为236ππα-<<，所以263πππα-<+<，得3cos()65πα+=，sin(2+)sin[2()]36ππαα=+432sin()cos()26655ππαα=++=⨯⨯2425=．……………… 8分 sin sin[()]sin()cos cos()sin 666666ππππππαααα=+-=+-+ ………………10分431552=-⨯=…………………………… 12分 20. 解：（1）圆C 经过点)1,0(M 与)1,2(N ，∴圆心C 在MN 的垂直平分线1=x 上，……1分又圆心C 在直线x y 2=上，⎩⎨⎧==x y x 21解得圆心)2,1(C ， ……3分半径2)12()01(22=-+-==CM r ， ……5分所以圆C 的方程为22(1)(y 2)2x -+-= ……5分（2）设过点P 的切线方程为)2(1-=+x k y ，即012=---k y kx ，……6分()12=圆心， ……8分2670,71k k k k ∴--===-解得或 ……10分 715010x y x y ∴--=+-=所求的切线方程为或 ……11分（3）10)21()12(22=--+-=PC ……13分在PCA Rt ∆中，8222=-=r PC PA，所以切线长22=PA ……14分。

新高一数学下期末模拟试题(附答案)

新高一数学下期末模拟试题(附答案)一、选择题1．已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（） A ．2B ．7C ．2D ．12．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥ D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥3．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．8B ．6C ．4D ．24．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（） A ．()6,10B ．()6,22C ．()2,22D ．（2，4）5．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛6．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（）A ．2B ．422+C ．442+D ．642+8．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A 21B 31C ．232D 33+9．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．010．已知二项式2(*)nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（） A ．14B ．14-C ．240D ．240-11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（）A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A =D ．6b =，c =60C =二、填空题13．已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.14．若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________． 15．若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_________16．已知2a b ==，()()22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 . 17．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．18．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．19．函数()f x 的定义域是__________．20．已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且0578a b cGA GB GC ++=，则角B 的大小是__________．三、解答题21．已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且该函数图象上的最低点的纵坐标为3-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程．22．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？23．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.24．已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥. （1）求b 和c ；（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小.25．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.26．某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;(2)学校从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+ 137=++=，所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．C解析：C 【解析】【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断．【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；对于B 选项，若l αβ=，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥；对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直．故选C ．【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．3．C解析：C 【解析】【分析】由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++⎪⎝⎭.若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，()()21121211a ax y ax yx y a a a a a x y y xy x ⎛⎫++=+++≥⋅++=++=+ ⎪⎝⎭，当且仅当=y ax 时，等号成立.所以，()219a +≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.4．A解析：A 【解析】由()4f x f x -=（）得：4T =，当010]x ∈（，时，函数的图象如图：()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62log 102a a<⎧⎨>⎩，解得610a ∈（，），故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.5．B解析：B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式6．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.7．D解析：D 【解析】【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ．【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．8．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当2AC BC ==时，取等号． ∴122222(1)122222S =⨯⨯⨯+++⨯3222+=．故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．9．B解析：B 【解析】【分析】可采用构造函数形式，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解【详解】由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠，令358()(1)lg(1)350lg(1)311x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，画出函数图像，如图：则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个故选：B 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题10．C解析：C 【解析】【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解．【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以()()366216221rr n rr rr r r nT C x C x---+⎛==- ⎝令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以它的图象关于原点对称，且()00f =，已知当0x >时，()32f x x =-，作出函数图象如图所示，从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.12．D解析：D 【解析】【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，17sin 722a B =⨯=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解；对于B 选项，2sin 5252c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解；对于C 选项，120A =，则A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解；对于D 选项，60C =，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.故选D.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值解析：3π【解析】【分析】先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出m 的表达式，即可求出m 的最小值．【详解】由2T ππω==得2ω=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到sin[2()]sin(22)33y x m x m ππ=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有2,3m k k Z ππ+=∈，则62k m ππ=-+，故m 的最小值为3π．【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2k πϕπ=+；cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2k πϕπ=+；为偶函数，则k ϕπ=．14．【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件解析：32- 【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程，解方程即可求得最终结果.【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：()()1130m m ⨯--⨯+=，解得：32m =-，此时两直线方程分别为：1x y -=，338022x y --=，两直线不重合，据此可知：32m =-. 【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可.【详解】因为1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故222cos 1sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 2212242sin cos 2442336ππαα⎡⎤⎛⎫⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+-+=--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：426+ 【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型. 16．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得：解析：60︒【解析】【分析】【详解】根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1cos ,602θθ︒⇒== 17．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则解析：2【解析】抛物线的准线为2p x =-，与圆相切，则342p +=，2p =． 18．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.19．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞. 20．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件解析：3π【解析】由向量的平行四边形法则可得GA GC BG +=，代入0578a b c GA GB GC ++=可得()()05787a b c b GA GC -+-=，故578a b c ==，则5,7,8a t b t c t ===．由余弦定理可得22222564491cos 802t t t B t +-==，故3B π=，应填答案3π．点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为()()05787a b c b GA GC -+-=，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系578a b c ==，最后运用余弦定理求出3B π=，使得问题获解．三、解答题21．（1）()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）增区间是()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，对称轴为()122k x k ππ=+∈Z 【解析】【分析】（1）由周期求得ω，再由函数图象上的最低点的纵坐标为﹣3求得A ，则函数解析式可求；（2）直接利用复合函数的单调性求函数f （x ）的单调递增区间，再由2x 32k πππ+=+求解x 可得函数f （x ）的对称轴方程．【详解】（1）因为()f x 的最小正周期为π因为，0>ω，2T ππω==，∴22πωπ==．又函数()f x 图象上的最低点纵坐标为3-，且0A >∴3A =∴()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（2）由222,232k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z 可得()f x 单调递增区间()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 由232x k πππ+=+，得()122k x k ππ=+∈Z ．所以函数()f x 的对称轴方程为()122k x k ππ=+∈Z ．【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查y ＝A sin （ωx +φ）型函数的性质，是基础题．22．（1）()1,()0)8f x x g x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.【解析】【分析】（1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解.【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k ==，1211(1),(1)82f kg k ====， ()1,()0)8f x x g x x ==≥；（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，1(20)()(20)8y f x g x x =-+=-212)3,0208x =-+≤≤，2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元，20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.【点睛】本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.23．（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式. （2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=，于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+ 因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.24．（1）()9,12b =，()4,3c =-；（2）34π. 【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b ，a c ⊥，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b 和c 的坐标；（2）求出m 、n 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m 与向量n 夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.【详解】（1）()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩，解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =，()4,3c =-；（2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=，则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-，()(35m ∴=-+-=，271n =+=设m 与n 的夹角为θ，cos ,255m nm n m n ⋅∴===-⨯⋅，0θπ≤≤，则34πθ=. 因此，向量m 与向量n 的夹角为34π. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.25．（1）19；（2）89. 【解析】试题分析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．试题解析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为31279= （2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个故“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率为31279= 所以“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 不完全相同”的概率为18199-= 考点：独立事件的概率．【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．26．(1)60,5607;(2)45. 【解析】【分析】（1）直接利用频率分布直方图求得平均数和中位数即可；（2）利用分层抽样可得6人中年龄在[]35,45内有2人，设为a 、b ，在[]65,86内有4人,设为1,2,3,4，写出基本事件，利用古典概型即可.【详解】(1)这100位留言者年龄的样本平均数, 300.05400.1500.15600.35700.2800.1560⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,年龄在[)25,55中的频率为:0.050.100.150.30++=,年龄在[)25,65中的频率为:0.050.100.150.350.65+++=,中位数在区间[)55,65中, 中位数为0.500.3055510600.357-+⨯=. (2)根据分层抽样原理,可知这6人中年龄在[]35,45内有2人,设为a ､b ,在[]65,86内有4人,设为1､2､3､4.设事件A 为“这3位发言者所得纪念品价值超过2300元”.从这6人中选3人的所有基本事件有:1ab ､2ab ､3ab ､4ab ､12a ､13a ､14a ､23a ､24a ､34a ､12b ､13b ､14b ､23b ､24b ､34b ､123､124､134､234,共20个.其中事件A 的对立事件即3个人都是年龄[]65,75内,包含的有123､124､134､234,共4个.(写出事件A的基本事件个数也可以)所以()44 1205P A=-=.,【点睛】本题考查平均数、中位数，古典概型，在解题过程中要求学生算数要准确，频率分布直方图不要混淆各组数据的值，属于基础题.。

2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案(共五套)

2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（共五套）2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（一）一、选择题：1．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．232．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．43．在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2 D．58．对于集合{a1，a2，…，a n}和常数a0，定义w=为集合{a1，a2，…，a n}相对a0的“正弦方差”，则集合{，， }相对a0的“正弦方差”为（）A．B．C．D．与a0有关的一个值二、填空题：9．某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为______．10．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=______．11．等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，则S5=______．12．已知1＜a＜2，2＜a+b＜4，则5a﹣b的取值范围是______．13．如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=2，A1A=2，D，F 分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为______．14．已知函数f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k的值等于______；（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值范围是______．三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C数量50 1510（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，AA1=8，BC=10，点E，F 分别在A1B1C1D1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．（I）在图中画出这个正方形EFGH（不必说明画法和理由），并说明G，H在棱上的具体位置；（II）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．18．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁10√×√√21×√×√720√√√×30√×√×85 √××××√××98（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．参考答案与试题解析一、选择题：1．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23【考点】茎叶图．【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B2．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．3．在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B．4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】根据程序运行条件，分别进行判断，即可得到结论．【解答】解：第一次运行，n=5，不是偶数，则n=3×5+1=16，k=1，第二次运行，n=16，是偶数，则n==8，k=2，第三次运行，n=8，是偶数，则n==4，k=3，第四次运行，n=4，是偶数，则n==2，k=4，第五次运行，n=2，是偶数，则n==1，k=5，此时满足条件n=1，输出k=5．故选：C．5．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．6．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2 D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．8．对于集合{a1，a2，…，a n}和常数a0，定义w=为集合{a1，a2，…，a n}相对a0的“正弦方差”，则集合{，， }相对a0的“正弦方差”为（）A．B．C．D．与a0有关的一个值【考点】进行简单的合情推理．【分析】先根据题意表示出正弦方差μ，进而利用二倍角公式把正弦的平方转化成余弦的二倍角，进而利用两角和公式进一步化简整理，求得结果即可．【解答】解：因为集合{，， }相对a0的“正弦方差”，所以W===故选：C．二、填空题：9．某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为600．【考点】频率分布直方图．【分析】频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a的值，再求出消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率，再求频数．【解答】解：由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，解得a=3由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×1000=600．故答案为：600．10．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．【考点】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．11．等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，则S5=11．【考点】等比数列的性质；数列的求和．【分析】由题意可得a n q2+a n q=2a n ，即q2+q=2，解得q=﹣2，或q=1（舍去），由此求得S5=的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意的n ∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，∴a n q2+a n q=2a n ，即q2+q=2，解得q=﹣2，或q=1（舍去）．∴S5==11，故答案为11．12．已知1＜a＜2，2＜a+b＜4，则5a﹣b的取值范围是（2，10）．【考点】简单线性规划．【分析】由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的范围．【解答】解：画出1＜a＜2，2＜a+b＜4的可行域，如图：目标函数z=5a﹣b在直线2=a+b与直线a=2的交点B（2，0）处，z 值的上界取：10，在直线4=a+b与直线a=1的交点A（1，3）处，目标函数z值的下界取：2，5a﹣b的取值范围是（2，10）．故答案为：（2，10）．13．如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=2，A1A=2，D，F 分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为+2．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由正三棱柱A1B1C1﹣ABC的性质可得：AA1⊥AB，AA1⊥AC．在Rt△ADF中，利用勾股定理可得DF=2．因此只要求出DE+EF 的最小值即可得出．把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．利用余弦定理即可得出．【解答】解：由正三棱柱A1B1C1﹣ABC，可得AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC．在Rt△ADF中，DF==2．把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．在△ADE中，∠DAE=60°+90°=150°，由余弦定理可得：DE==．∴△DEF周长的最小值=+2．故答案为： +2．14．已知函数f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k的值等于﹣；（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值范围是[，+∞）．【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）根据不等式和方程之间的关系，转化为方程进行求解即可．（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等等价于t≥=恒成立，根据基本不等式即可求出．【解答】解：（1）：f（x）＞k⇔kx2﹣2x+6k＜0．由已知{x|x＜﹣3，或x＞﹣2}是其解集，得kx2﹣2x+6k=0的两根是﹣3，﹣2．由根与系数的关系可知（﹣2）+（﹣3）=，解得k=﹣，（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等价于t≥=恒成立，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴t≥，故答案为：（1）：﹣，（2）：[，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C数量50 1510（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；B地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B 地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，AA1=8，BC=10，点E，F 分别在A1B1C1D1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．（I）在图中画出这个正方形EFGH（不必说明画法和理由），并说明G，H在棱上的具体位置；（II）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I）过E作EM⊥AB于M，由勾股定理可得MH=6，从而确定出G，H的位置；（II）两部分均为底面为梯形的直棱柱，代入棱柱的体积公式求出两部分的体积即可得出体积比．【解答】解：（I）作出图形如图所示：过E作EM⊥AB于M，∵四边形EFGH为正方形，∴EH=EF=BC=10，∵EM=AA1=8，∴MH==6，∴AH=AM+MH=10，∴DG=10，即H在棱AB上，G在棱CD上，且AH=DG=10．（II）设平面α把该长方体分成的两部分体积分别为V1，V2，则V1=S•AD=×（4+10）×8×10=560，V2=V长方体﹣V1=16×8×10﹣560=720．∴==．17．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦；余弦定理．【分析】（I）由f（x）=sinxcosx﹣cos2x+利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简，然后结合f（A）=1，及A∈（0，π）可求A；（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA可求c【解答】解：（I）因为f（x）=sinxcosx﹣cos2x+==sin（2x﹣）…又f（A）=sin（2A﹣）=1，A∈（0，π），…所以，∴…（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得到，所以c2﹣5c﹣24=0 …解得c=﹣3（舍）或c=8 …所以c=818．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁10√×√√21×√×√720√√√×30√×√×85 √××××√××98（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，由题意知a n＞0，∴q＞0，∴q=2．∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．2020年高一数学第二学期期末模拟试卷及答案（二）一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是（）A．∀x＞0，2x＞0 B．∀x≤0，2x＞0 C．∀x＞0，2x＜0 D．∀x≤0，2x＜02．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a．b．c，已知B=30°，c=150，b=50，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角或直角三角形4．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（）A．i＞4？B．i＞5？C．i≤4？D．i≤5？5．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值6．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四个命题：（1）CD⊥面GEF；（2）AG=1；（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8；（4）∠EAD=60°．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．下列命题中，正确的命题个数为（）①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2+b2+c2=ab+ac+bc；②数列{a n}的前n项和为S n，则S n=An2+Bn是数列{a n}为等差数列的充要条件；③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则{a n}是等比数列；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则==是P=Q的充分必要条件．A．1 B．2 C．3 D．48．如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n≠0（n∈N*），a n a n+1=S n，则a3﹣a1=______．10．执行如图所示的程序框图，输出的a值为______．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，那么，这个三棱锥的表面积为______．12．a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为______．13．如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是______；最大值为______．14．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为______．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知p：＞1，q：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若p∧q为真，求实数a的取值范围；（2）若￢p是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．16．如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足•=0．sin∠BAC=，AB=3，BD=．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求cosC．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求①二面角E﹣AF﹣D的二面角的余弦值；②在线段PC上是否存在一点H，使得直线BH与平面AEF所成角等于60°，若存在，确定H的位置，若不存在，说明理由．18．已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a2=5且a1，a3，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=0且对任意的n≥2，均有|b n﹣b n﹣1|=2①写出b3所有可能的取值；②若b k=2116，求k的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是（）A．∀x＞0，2x＞0 B．∀x≤0，2x＞0 C．∀x＞0，2x＜0 D．∀x≤0，2x＜0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0＞0，2≤0”的否定是：∀x＞0，2x＞0．故选：A．2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a．b．c，已知B=30°，c=150，b=50，那么这个三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由正弦定理求出sinC=，C=60°或120°．再根据三角形的内角和公式求出A的值，由此即可这个三角形的形状．【解答】解：∵△ABC中，已知B=30°，b=50，c=150，由正弦定理可得，∴sinC=，可得：C=60°或120°．当C=60°，∵B=30°，∴A=90°，△ABC是直角三角形．当C=120°，∵B=30°，∴A=30°，△ABC是等腰三角形．故△ABC是直角三角形或等腰三角形，故选：D．4．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（）A．i＞4？B．i＞5？C．i≤4？D．i≤5？【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程知，算法的功能是计算S=1+2+22+...+2n的值，由输出的S是31，得退出循环体的n值为5，由此得判断框的条件．【解答】解：根据框图的流程得：算法的功能是计算S=1+2+22+ (2)的值，∵输出的S是31，∴S==2n+1﹣1=31，解得n=4；退出循环体的n值为5，∴判断框的条件为n≥5或n＞4．故选：A．5．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．6．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四个命题：（1）CD⊥面GEF；（2）AG=1；（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8；（4）∠EAD=60°．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】连结EG，通过证明AB⊥平面EFG得出CD⊥平面EFG，在直角三角形AEG中求出AG，EF，求出三角形ACE的面积，根据AG判断出F的位置，利用全都三角形判断∠EAD．【解答】解：连结EG，（1）∵EF⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF⊥AB，∵FG∥BC，BC⊥AB，∴AB⊥FG，又EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG=F，∴AB⊥平面EFG，∵AB∥CD，∴CD⊥平面EFG．故（1）正确．（2）∵AB⊥平面EFG，∴AB⊥EG，∵∠EAB=60°，AE=2，∴AG=AE=1，故（2）正确．（3））∵AG=1=，∴F为AC的中点．∵AE=2，AC==2，AF==，∴EF==．∴S△ACE===2，∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积为2S△ACE=4，故（3）错误；（4）过F作FM⊥AD于M，则AM=1，由（1）的证明可知AD⊥平面EFM，故而AD⊥EM，∴Rt△EAG≌Rt△EAM，∴∠EAM=∠EAG=60°，故（4）正确．故选：C7．下列命题中，正确的命题个数为（）①△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2+b2+c2=ab+ac+bc；②数列{a n}的前n项和为S n，则S n=An2+Bn是数列{a n}为等差数列的充要条件；③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则{a n}是等比数列；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则==是P=Q的充分必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据等边三角形的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断，②根据等差数列的定义和性质进行判断，③根据数列项和前n项和的关系，结合等比数列的定义进行判断．④举反例进行判断即可．【解答】解：①若a=b=c，则a2+b2+c2=ab+ac+bc成立，反之若a2+b2+c2=ab+ac+bc，则2（a2+b2+c2）=2（ab+ac+bc），整理得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，当且仅当a=b=c时成立故充分性成立，故①正确；②当n=1时，a1=A+B；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2An+B﹣A，显然当n=1时也满足上式，∴a n﹣a n﹣1=2A，∴{a n}是等差数列．反之，若数列{a n}为等差数列，∴S n=na1+d=n2+（a1﹣）n，令A=，B=a1﹣，则S n=An2+Bn，A，B∈R．综上，“S n=An2+Bn，是“数列{a n}为等差数列”的充要条件．故②正确，③在数列{a n}中，a1=1，S n是其前n项和，满足S n+1=S n+2，则当n≥2时，S n=S n﹣1+2，两式作差得S n+1﹣S n=S n+2﹣S n﹣1﹣2，即a n+1=a n，即=，（n≥2），当n=1时，S2=S1+2，即a1+a2=a1+2，即a2=﹣a1+2=2﹣=，则=≠，即{a n}不是等比数列；故③错误，④举反例，不等式x2+x+1＞0与x2+x+2＞0的解集都是R，但是≠，则==是P=Q的充分必要条件错误，故④错误．故正确的是①②，故选：B．8．如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个【考点】计数原理的应用．【分析】根据分类计数加法原理可得，由题意符合条件的点只有两类，一在棱的中点，二在面得中心，问题得以解决．【解答】解：符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6=10．故选：C二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n≠0（n∈N*），a n a n+1=S n，则a3﹣a1=1．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=，从而可得a2==1，a3===1+a1；从而解得．【解答】解：∵a n a n+1=S n，∴a n+1=；∴a2==1；a3===1+a1；∴a3﹣a1=1+a1﹣a1=1，故答案为：1．10．执行如图所示的程序框图，输出的a值为﹣．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现a值的周期为4，再根据条件确定跳出循环的i值，从而可得输出的a值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环a==﹣2，i=2；第二次循环a==﹣，i=3；第三次循环a==，i=4；第四次循环a==3，i=5；第五次循环a==﹣2，i=6；…∴a值的周期为4，又跳出循环的i值为11，∴输出的a=﹣．故答案为：﹣．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，那么，这个三棱锥的表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该三棱锥为P﹣ABC，满足PD⊥底面BAC，D 为点P在底面ABC的射影，四边形ABCD是边长为1的正方形，PD=1，即可得出．【解答】解：如图所示，该三棱锥为P﹣ABC，满足PD⊥底面BAC，D为点P在底面ABC的射影，四边形ABCD是边长为1的正方形，PD=1，这个三棱锥的表面积S=+++=．故答案为：．12．a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2．【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式即可求出最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2+3++≥5+2=5+2，当且仅当a=，b=时取等号，∴则+的最小值为5+2，故答案为：5+2，13．如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是，；最大值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC．取BC的中点E，连接OE，则OE ⊥BC，可得OE，可得F（x）==（0＜x＜）．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC，取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC，OE==．∴S△OBC==．∴F（x）==×1=（0＜x＜）．F′（x）=，令F′（x）≥0，解得，此时函数F（x）单调递增；令F′（x）＜0，解得，此时函数F（x）单调递减法．因此当x=时，F（x）取得最大值，==．故答案分别为：，．14．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为①②③④．（将所有正确的命题序号填在横线上）【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质及题中的等方差数列的新定义，即可判断出正确的答案．【解答】解：①因为{a n}是等方差数列，所以a n2﹣a n﹣12=p（n≥2，n ∈N×，p为常数）成立，得到{a n2}为首项是a12，公差为p的等差数列；②因为a n2﹣a n﹣12=（﹣1）2n﹣（﹣1）2n﹣1=1﹣（﹣1）=2，所以数列{（﹣1）n}是等方差数列；③数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k，a k+1，a k+2，…，a2k，…，a3k，…数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，…因为a k+12﹣a k2=a k+22﹣a k+12=a k+32﹣a k+22=…=a2k2﹣a k2=p所以（a k+12﹣a k2）+（a k+22﹣a k+12）+（a k+32﹣a k+22）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）=a2k2﹣a k2=kp，类似地有a kn2﹣a kn﹣12=a kn﹣12﹣a kn﹣22=…=a kn+32﹣a kn+22=a kn+22﹣a kn+12=a kn+12﹣a kn2=p同上连加可得a kn+12﹣a kn2=kp，所以，数列{a kn}是等方差数列；④{a n}既是等方差数列，又是等差数列，所以a n2﹣a n﹣12=p，且a n﹣a n﹣1=d（d≠0），所以a n+a n﹣1=，联立解得a n=+，所以{a n}为常数列，当d=0时，显然{a n}为常数列，所以该数列为常数列．综上，正确答案的序号为：①②③④故答案为：①②③④三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知p：＞1，q：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若p∧q为真，求实数a的取值范围；（2）若￢p是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】分别求出p，q，r为真时的a的范围，（1）p∧q为真，则p，q均为真，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）问题转化为r是p的必要不充分条件，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）p为真时：由＞1解得﹣2＜a＜1，q为真时，当a＞0，一定存在ax2+ax﹣1≥0，当a＜0，△=a2+4a≥0，解得a≤﹣4，故q为真时，实数a的取值范围为a＞0或a≤﹣4，∵p∧q为真，则p，q均为真，∴a的取值范围为（0，1）；（2）关于r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0，解得：a＞m+1或a＜m，若￢p是￢r的必要不充分条件，即r是p的必要不充分条件，即p⇒r，∴m+1≤﹣2或m＞1，即m≤﹣3或m＞1，。

新高一数学下期末模拟试题附答案

新高一数学下期末模拟试题附答案一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．32．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-373．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 4．已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( ) A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，7sin B =，57ABC S =△b =（） A ．3B ．7C 15D 146．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m7．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=（）A ．50B ．2C ．0D ．50-8．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（）A ．68B ．67C ．61D ．609．在ABC 中，已知,2,60a x b B ===，如果ABC 有两组解，则x 的取值范围是( )A ．4323⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ．4323⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．4323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D ．432,3⎛⎤⎥ ⎝⎦10．已知0,0a b >>，并且111,,2a b成等差数列，则4a b +的最小值为（） A ．2B ．4C ．5D ．911．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（） A ．7B ．6C ．5D ．412．如图，在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．二、填空题13．设a ＞0，b ＞033a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__． 14．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________15．抛物线214y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、的距离之和的最小值为__________．16．设向量(12)(23)a b ==，，，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线，则λ= 17．函数()12x f x =-的定义域是__________．18．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为19．已知点()M a b ，在直线3415x y +＝上，则22a b +的最小值为_______． 20．设，则________三、解答题21．已知函数31()log 1a m xf x x -=-（0a >，且1a ≠）的图象关于坐标原点对称．（1）求实数m 的值；（2）比较()2f 与()3f 的大小，并请说明理由．22．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．23．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若7c =33ABC S ∆=ABC ∆的周长. 24．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且23n s n n =+；（1）求它的通项n a .（2）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .25．以原点为圆心，半径为r 的圆O 222:()0O x y r r +=>与直线380x --=相切. （1）直线l 过点(6)-且l 截圆O 所得弦长为43l l 的方程；（2）设圆O 与x 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作两条斜率分别为12,k k 12,k k 的直线交圆O 于,A B 两点，且123k k ⋅=-，证明：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点坐标.26．某校高一()1班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．(1)求分数在[)50,60的频数及全班人数；(2)求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高； (3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[)90,100之间的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．D解析：D【解析】【分析】先用AB和AC表示出2AAB BC AB C AB⋅=⋅-，再根据，12BD DC=用用AB和AC表示出AD，再根据4AD AC⋅=求出AAB C⋅的值，最后将AAB C⋅的值代入2AAB BC AB C AB⋅=⋅-，，从而得出答案．【详解】()2A=AAB BC AB C AB AB C AB⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC=，∴111B C?C B222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（），整理可得：12AB33AD AC+＝，221A A4 33AD AC AB C C∴⋅⋅+=＝∴A=-12AB C⋅，∴2=A=122537AB BC AB C AB⋅⋅---=-．，故选：D．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．3．B解析：B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.4．D解析：D 【解析】【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值．【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下，对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ．【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．5．D解析：D 【解析】【分析】利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由sin B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案．【详解】由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC中，sin 4B =，4ABC S =△1sin 24ABCS ac B ==，联立521sin 2sin a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B为锐角，且sin 4B =，所以3cos 4B ==所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故b =（负数舍去）故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．6．B解析：B 【解析】【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7．C解析：C 【解析】【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦ 50500=⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．8．B解析：B 【解析】【分析】首先运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案．【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >.因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选：B ．【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.9．A解析：A 【解析】【分析】已知,,a b B ，若ABC 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得2x <<故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 10．D 解析：D 【解析】 ∵111,,2a b成等差数列， ()111141445529a b a a b a b a b a b b a b ⎛⎫∴+=∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭，，当且仅当a =2b 即33,2a b ==时“=“成立，本题选择D 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．11．B解析：B 【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.12．C解析：C 【解析】【分析】先根据共线关系用基底AB AC→→，表示AP→，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m的值. 【详解】如下图，∵,,B P N 三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵13AN NC =，∴，∴28=99AP m AB AC m AB AC →→→→→=++②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.二、填空题13．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键解析：【解析】由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．14．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题解析：32【解析】【分析】先还原几何体，再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为1,3的直角三角形，高为3的棱柱，所以体积为1313322⨯⨯⨯=【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题15．4【解析】【分析】【详解】由题意得交点设作与准线垂直垂足为作与准线垂直垂足为则解析：4 【解析】【分析】【详解】由题意得交点(0,1)F - ，设(1,3)A - ，作AN 与准线垂直，垂足为N ，作MH 与准线垂直，垂足为H ，则314MA MF MA MH AN +=+≥=+=16．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学【解析】【分析】由题意首先求得向量a b λ+，然后结合向量平行的充分必要条件可得λ的值. 【详解】a b λ+=(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++）），由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=. 故答案为2．【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.18．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设塔高为x 则可知a 表示的为塔与山之间的距离可以解得塔高为考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用属于中档题解析：【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设塔高为x ，则可知00tan 60=,t 2an 30=00200a ax-，a 表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为．考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．19．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于解析：3 【解析】【分析】22a b +()0,0到点(),a b 的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果.22a b +可以理解为点()0,0到点(),a b 的距离，又∵点(),M a b 在直线:3425l x y +=上，∴22a b +的最小值等于点()0,0到直线34150x y +-=的距离，且22304015334d ⨯+⨯-==+.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.20．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】，，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．三、解答题21．（1）1m =-；（2）当1a >时， ()()23f f >；当01a <<时， ()()23f f <，理由见解析【解析】【分析】（1）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有()()f x f x -=-在函数的定义域内恒成立，进而求得m 的值，再进行检验；（2）根所在（1）中求得的m 值，得到1()log 1ax f x x +=-，再求得()()2,3f f 的值，对 a 分两种情况讨论，从而得到()()2,3f f 的大小关系.【详解】解：（1）31()log 1am x f x x -=-，31()()log 1a m x f x x -⋅-∴-=--．又函数()f x 的图象关于坐标原点对称，()f x ∴为奇函数，()()f x f x ∴-=-在函数的定义域内恒成立，331()1log log 11a am x m xx x -⋅--∴=----， 331()1111m x m xx x -⋅--∴⋅=---，()6210m x ∴-=在函数的定义域内恒成立，1m ∴=-或1m =．当1m =时，函数的真数为1-，不成立，1m ∴=-．（2）据（1）求解知，1()log 1ax f x x +=-， (2)log 3a f ∴=，(3)log 2a f =．当1a >时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递增，23<，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴<⇒<；当01a <<时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递减，23<，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴>⇒>．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，在比较大小时，注意对a 分1a >和01a <<两种情况讨论. 22．(1) ． (2)．【解析】【分析】【详解】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ．用（x ，y ）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ，则A ＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝＝．（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，则B ＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝．考点：古典概型的概率计算 23．（1）3C π=（2）57【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒= （2）1313sin 36222ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为57考点：正余弦定理解三角形.24．（1）22n a n =+（2）12n n T n +=•【解析】【分析】（1）由2S 3n n n =+，利用n a 与n S 的关系式，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得2(1)nn b n =+，利用乘公比错位相减法，即可求得数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）由2S 3n n n =+，当1n =时，11S 4a ==；当1n >时，2213(1)3(1)n n n a S S n n n n -=-=+----22n =+，当1n =也成立，所以则通项22n a n =+；（2）由（1）可得2(1)nn b n =+，-123223242(1)2n n T n =•+•+•+++•，231222322(1)2n n n T n n +=•+•++•++•，两式相减得2314(222)(1)2n n n T n +-=++++-+21112(12)4(1)2212n n n n n -++-=+-+=--所以数列{}n b 的前n 项和为12n n T n +=•.【点睛】本题主要考查了数列n a 和n S 的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等. 25．（1）2x =-或20x +-=100x +-=；（2）(2,0). 【解析】分析：（1）先由直线和圆相切得到圆的方程，再由垂径定理列式，分直线斜率存在与不存在两种情况得到结果；（3）联立直线和圆，由韦达定理得到交点的坐标，由这两个点写出直线方程，进而得到直线过定点. 详解：(1)∵圆222:(0)O x y r r +=>与直线0x y -+=80x --=相切， ∴圆心O到直线的距离为4d ==，∴圆O 的方程为：2216x y +=若直线l 的斜率不存在，直线l 为2x =- 1x =，此时直线l截圆所得弦长为若直线l 的斜率存在，设直线l为()2y k x =+()1y k x =-，由题意知，圆心到直线的距离为1d == 2d =，解得：12k =-，此时直线l为100x +-=，则所求的直线l 为2x =-或20x +-=-100x += （2）由题意知，()4,0M ()2,0A -，设直线()1:4MA y k x =-，与圆方程联立得：()12224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩ ()122416y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，消去y 得：()()222211114440k x k x k +++-= ()22221111816160k x k x k +-+-=，∴()21211611M A k x x k-=+∴()2121411Ak xk-=+，12181Ak yk -=+用13k -换掉1k 得到B 点坐标 ∴21213649B k x k -=+，121249B k y k =+ 12141B k y k =+∴直线AB 的方程为21112221118444131k k k y x k k k ⎛⎫-+=- ⎪+-+⎝⎭整理得：()121423k y x k =-- 则直线AB 恒过定点为()2,0.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．26．（1）2，25；（2）0.012；（3）0.7. 【解析】【分析】(1)先由频率分布直方图求出[)50,60的频率，结合茎叶图中得分在[)50,60的人数即可求得本次考试的总人数；(2)根据茎叶图的数据，利用(1)中的总人数减去[)50,80外的人数，即可得到[)50,80内的人数，从而可计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高；(3)用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果．【详解】(1)分数在[)50,60的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[)50,60之间的频数为2，∴全班人数为2250.08=． (2)分数在[)80,90之间的频数为25223-=；频率分布直方图中[)80,90间的矩形的高为3100.01225÷=． (3)将[)80,90之间的3个分数编号为1a ，2a ，3a ，[)90,100之间的2个分数编号为1b ，2b ，在[)80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为：()12a ,a ，()13a ,a ，()11a ,b ，()12a ,b ，()23a ,a ，()21a ,b ，()22a ,b ，()31a ,b ，()32a ,b ，()12b ,b 共10个，其中，至少有一个在[)90,100之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[)90,100之间的概率是70.710=．【点睛】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.。

福建省福州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学含答案

福州2023—2024学年第二学期期末考试高一年级数学（答案在最后）（全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟）班级__________座号__________姓名__________注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填涂自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位､越界答题!在试题卷上作答的答案无效.3.考试结束，考生必须将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为（）A.9B.10C.11D.122.已知复数12z i =-，则zz=（）A.12B.1C.2D.43.设l ，m 是两条直线，α，β是两个平面，则（）A.若//αβ，//l α，//m β，则//l mB.若//αβ，//l m ，m β⊥，则l α⊥C .若αβ⊥，//l α，//m β，则l m⊥D.若αβ⊥，//l α，//m β，则//l m4.已知向量,a b 满足||||a b == =0a b ⋅，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则下列各式一定成立的是（）A.0λμ+= B.1λμ+=- C.0λμ= D.1λμ=-5.如图，某人为测量塔高AB ，在河对岸相距s 的C ，D 处分别测得BCD α∠=，BCA ∠=β，BDC γ∠=（其中C ，D 与塔底B 在同一水平面内），则塔高AB =（）A.()sin tan sin s γβαγ⋅+B.()sin sin tan s γαγβ⋅+C.()sin sin tan s αγγβ⋅+D.()sin sin sin s αγγβ⋅+6.如图，圆锥底面半径为23，母线2PA =，点B 为PA 的中点，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（）A.277,3B.77,3C.77,3D.77,77.依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，1A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，2A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，3A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，4A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（）A.3A 与4A 为对立事件B.1A 与3A 为相互独立事件C.2A 与4A 为相互独立事件D.2A 与4A 为互斥事件8.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ===BPA CPA CPB ∠=∠=∠，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =，222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（）A.tan 2C = B.π4A =C.b =D.△ABC 的面积为610.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数11.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，所有棱长均2，60BAD ∠=︒，P 为1CC 的中点，点Q 在四边形11DCC D 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）A.当点Q 在线段1CD 上运动时，四面体1A BPQ 的体积为定值B.若AQ//平面1A BP ，则AQC.若1A BQ △的外心为M ，则11AB A M ⋅为定值2D.若1AQ =，则点Q 的轨迹长度为23π三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，120,2,ACB AC AB ACB ∠∠===的角平分线交AB 于D ，则CD =__________.13.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个在区间[]0,1上的均匀随机数i y （*,110i N i ∈≤≤），其数据如下表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22y 0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为_________．14.若正四面体ABCD 的顶点都在一个表面积为6π的球面上，过点C 且与BD 平行的平面α分别与棱,AB AD 交于点,E F ，则空间四边形BCFE 的四条边长之和的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在[)17,19内的概率.16.在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，135C ∠=︒，BD =CD =.（1）求cos CBD ∠；（2）若ABD △为锐角三角形，求ABD △的面积的取值范围.17.年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为23，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为215，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为310；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为324,,435．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．（1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；（2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱AC 的中点，AB BC =，2AC =，1AA =.（1）求证：1//B C 平面1A BM ；（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BN BB 的值；如果不存在，请说明理由.19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==，18.439≈，()()1618.5 2.78ii x x i =--=-∑其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,...,16i =.（1）求()(),1,2,...,16i x i i =的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()3,3x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（i ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ii ）请利用已经学过的方差公式：()2211n i i s x x n ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x n x ==-∑.（iii ）在()3,3x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii ）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）附：样本()(),1,2,...,i i x y i n =的相关系数ˆniix ynxyr-=∑0.09≈.福州2023—2024学年第二学期期末考试高一年级数学（全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟）班级__________座号__________姓名__________注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填涂自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位､越界答题!在试题卷上作答的答案无效.3.考试结束，考生必须将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为（）A.9B.10C.11D.12【答案】D【解析】【分析】利用百分位的定义求解即可.【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列为：9，9，10，10，11，12，13．上四分位数即75%分位数，775% 5.25⨯=，所以该组数据的上四分位数为从小到大排列的第6个数，即12，故选：D．2.已知复数12z i=-，则zz=（）A.12B.1C.2D.4【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算法则，得到34i55zz=--，再利用复数模的定义，即可求出结果.【详解】因为12z i =-，所以12i 14i 434i 12i 555z z ---===--+，得到1z z=，故选：B.3.设l ，m 是两条直线，α，β是两个平面，则（）A.若//αβ，//l α，//m β，则//l mB.若//αβ，//l m ，m β⊥，则l α⊥C.若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥D.若αβ⊥，//l α，//m β，则//l m 【答案】B 【解析】【分析】根据线面平行或垂直的判定及性质定理逐个判断即可．【详解】对于A ，若//αβ，//l α，//m β，则l 与m 可能平行，也可能相交，还可能异面，故A 错误；对于B ，若//l m ，m β⊥，则l β⊥，又//αβ，所以l α⊥，故B 正确；对于C ，D ，αβ⊥，//l α，//m β，则l 与m 可能平行，也可能异面或相交，故C ，D 错误；故选：B ．4.已知向量,a b 满足||||a b == =0a b ⋅，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则下列各式一定成立的是（）A.0λμ+=B.1λμ+=- C.0λμ= D.1λμ=-【答案】A 【解析】【分析】由向量垂直得到数量积为0，再由向量的数量积运算化简可得λ和μ的关系.【详解】因为向量,a b 满足||||a b == ，=0a b ⋅，若()()a b a b λμ+⊥+ ，所以22()()(1)()3()0a b a b a a b b λμμλμλλμ+⋅+=++⋅+=+=，所以0λμ+=．故选：A ．5.如图，某人为测量塔高AB ，在河对岸相距s 的C ，D 处分别测得BCD α∠=，BCA ∠=β，BDC γ∠=（其中C ，D 与塔底B 在同一水平面内），则塔高AB =（）A.()sin tan sin s γβαγ⋅+B.()sin sin tan s γαγβ⋅+C.()sin sin tan s αγγβ⋅+D.()sin sin sin s αγγβ⋅+【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再利用直角三角形边角关系求解即得.【详解】在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠，sin sin(π)BC s γαγ=--，则sin sin()s BC γαγ=+，在Rt ABC △中，sin sin tan tan tan sin()sin()s s AB BC ACB γγββαγαγ=∠=⋅=++.故选：A6.如图，圆锥底面半径为23，母线2PA =，点B 为PA 的中点，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（）A.277,3B.77,3C.277,3D.277,7【答案】D 【解析】【分析】将圆锥侧面沿母线PA 剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的直线段AB ，利用余弦定理即可求解，过P 作AB 的垂线，垂足为M ，由题意得到AM 为上坡路段，MB 为下坡路段，计算即可.【详解】如图，将圆锥侧面沿母线PA 剪开并展开成扇形，由题可得该扇形半径2PA =，弧长为24π2π33⨯=，故圆心角4π2π323APB ∠==，最短路线即为扇形中的直线段AB ，由余弦定理可得：222cos 7AB PA PB PA PB APB =+-⋅∠=；2227cos 27PB AB PA PBA PB BA +-∠==⋅，过P 作AB 的垂线，垂足为M ，当蚂蚁从A 点爬行到点M 过程中，它与点P 的距离越来越小，故AM 为上坡路段，当蚂蚁从点M 爬行到点B 的过程中，它与点P 的距离越来越大，故MB 为下坡路段，下坡路段长27cos 7MB PB PBA =⋅∠=，故选：D7.依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，1A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，2A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，3A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，4A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（）A.3A 与4A 为对立事件B.1A 与3A 为相互独立事件C.2A 与4A 为相互独立事件D.2A 与4A 为互斥事件【答案】C 【解析】【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由3434,A A A A =∅≠Ω 即可判断A ；由1313()()()P A P A P A A ≠即可判断B ；由2424()()()P A P A P A A =即可判断C ，由24A A ≠∅ 即可判断D.【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间Ω如下：()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6}，共36个样本点．则事件1A 包括(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，共6个，11()6P A =，事件2A 包括(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),，共18个，21()2P A =，事件3A 包括(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，共5个，35()36P A =，事件4A 包括(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6个，461()366P A ==.对于A ，3434,A A A A =∅≠Ω ，所以3A 与4A 不为对立事件，故A 错误；对于B ，事件13A A 包括(2,4)，则131()36P A A =，又11()6P A =，35()36P A =，所以131315()()()636P A P A P A A =⨯≠，即1A 与3A 不相互独立，故B 错误；对于C ，事件24A A 包括(1,6),(3,4),(5,2)，则241()12P A A =，又21()2P A =，41()6P A =，所以2424111()()()2612P A P A P A A =⨯==，即2A 与4A 相互独立，故C 正确；对于D ，事件24A A 包括(1,6),(3,4),(5,2)，则24A A ≠∅ ，即2A 与4A 不为互斥事件，故D 错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：利用列举法和古典概型的概率公式求得各事件的概率是解决本题的关键.8.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ===BPA CPA CPB ∠=∠=∠，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2AB BC AC ===，从而得-P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】PA PB PC == ，BPA CPA CPB ∠=∠=∠，所以AB BC AC ==，故ABC 为等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，取AC 的中点O ，连接,PO BO ，则,AC BO AC PO ⊥⊥，又,,BO PO O BO PO =⊂ 面PBO ，所以AC ⊥面PBO ，又BP ⊂面PBO ，所以AC PB ⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥ 平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，又,PA PC ⊂面PAC ，所以,PA PB PC PB ⊥⊥，PA PB PC === ，2AB BC AC ∴===，在APC △中由勾股定理得PA PC ⊥，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==2R =，344π338V R ∴=π=⨯=，故选：D ．【点睛】思路点睛：补体法解决外接球问题，可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =，222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（）A.tan 2C = B.π4A =C.b =D.△ABC 的面积为6【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，由余弦定理得sin cos 2CC =，求出sin tan 2cos C C C==；B 选项，由正弦定理和sin sin cos cos sin C A B A B =+化简得到sin cos A A =，求出π4A =；C 选项，在A 选项基础上求出sin 5C =，cos 5C =，从而得到sin 10B =，由正弦定理得到b =D 选项，由三角形面积公式求出答案.【详解】A 选项，由余弦定理得222sin sin cos 222a b c ab C CC ab ab +-===，故sin tan 2cos CC C==，A 正确；B 选项，cos sin a B b A c +=，由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos sin sin sin cos cos sin A B B A A B A B +=+，即sin sin cos sin B A A B =，因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，故sin cos A A =，又()0,πA ∈，故π4A =，B 正确；C 选项，由A 选项可知，sin cos 2C C =，又22sin cos 1C C +=，故25sin 14C =，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，解得sin 5C =，故5si cos n 2C C ==，()sin sin sin cos cos sin 252510=+=+=⨯+⨯=B AC A C A C ，由正弦定理得sin sin a bA B=12=b =C 错误；D 选项，△ABC的面积为11sin 6225ab C ==.故选：ABD10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，所有棱长均2，60BAD ∠=︒，P 为1CC 的中点，点Q 在四边形11DCC D 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）A.当点Q 在线段1CD 上运动时，四面体1A BPQ 的体积为定值B.若AQ//平面1A BP ，则AQ 5C.若1A BQ △的外心为M ，则11A B A M ⋅为定值2D.若17AQ =，则点Q 的轨迹长度为23π【答案】ABD 【解析】【分析】由题易证得1//D C 面1A BP ，所以直线1CD 到平面1A BP 的距离相等，又1A BP 的面积为定值，可判断A ；取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,AM MN AN ，由面面平行的判定定理可得平面1//A BP 面AMN ，因为AQ ⊂面AMN ，所以AQ//平面1A BP ，当AQ MN ⊥时，AQ 有最小值可判断B ；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C ；在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13123=1D A D A =，，易知点Q 的轨迹为圆弧23A A 可判断D.【详解】对于A ，因为11//A B D C ，又因为1A B ⊂面1A BP ，1D C ⊄面1A BP ，所以1//D C 面1A BP ，所以直线1CD 到平面1A BP 的距离相等，又1A BP 的面积为定值，故A 正确；对于B ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,AM MN AN ，则易证明：//AM PC ，AM ⊄面1A BP ，PC ⊄面1A BP ，所以//AM 面1A BP ，又因为1//A B MN ，，MN ⊄面1A BP ，1A B ⊄面1A BP ，所以//MN 面1A BP ，MN AM M ⋂=，所以平面1//A BP 面AMN ，AQ ⊂面AMN ，所以AQ//平面1A BP当AQ MN ⊥时，AQ 有最小值，则易求出5,2,AM MN ==2212cos1204122172AN AD DN AD DN ⎛⎫=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,Q M 重合，所以则AQ 的最小值为5AM =，故B 正确；对于C ，若1A BQ △的外心为M ，，过M 作1MH A B ⊥于点H ，2212+2=22A B 则21111==42A B A M A B ⋅ .故C 错误；对于D ，过1A 作111A O C D ⊥于点O ，易知1A O ⊥平面11C D D ，111cos 13OD A D π==在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13123=1D A D A =，，则13127A A A A ==，32732OA OA ==-=所以若17AQ =，则Q 在以O 为圆心，2为半径的圆弧23A A 上运动，又因为1131,3,D O D A ==所以323A OA π∠=，则圆弧23A A 等于23π，故D 正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，120,2,7,ACB AC AB ACB ∠∠=== 的角平分线交AB 于D ，则CD =__________.【答案】23【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理可得：1BC =，由正弦定理可得21sin 7B =，根据角平分线的性质可得：2723DA BD ==，在BCD △中，由正弦定理可得：sin sin CD BD B DCB =∠即可求解.【详解】因为在ABC 中，120,2,7ACB AC AB ∠===由余弦定理可得：2222cos AB AC BC AB BC ACB =+-⋅⋅∠，解得1BC =由正弦定理可得：sin sin AC AB B ACB =∠，即27sin 3B =，解得：21sin 7B =，因为ACB ∠的角平分线交AB 于D ，所以60BCD ︒∠=，由角平分线性质可得：BD BCDA AC=，所以2723DA BD ==，在BCD △中，由正弦定理可得：sin sin CD BDB DCB =∠7321372=23CD =故答案为：2313.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个在区间[]0,1上的均匀随机数i y （*,110i N i ∈≤≤），其数据如下表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22y 0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为_________．【答案】()315e -【解析】【分析】先根据题意以及题中数据，可得：向矩形区域101x ey ≤≤⎧⎨≤≤⎩内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此即可估计出曲边三角形的面积.【详解】由题意以及表中数据可得，向矩形区域101x ey ≤≤⎧⎨≤≤⎩内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，所以其频率为63105=，因为矩形区域面积为()111e e -⨯=-，所以这个曲边三角形面积的一个近似值为()315e -.故答案为()315e -【点睛】本题主要考查几何概型，以及定积分在求面积中的应用，属于常考题型.14.若正四面体ABCD 的顶点都在一个表面积为6π的球面上，过点C 且与BD 平行的平面α分别与棱,AB AD 交于点,E F ，则空间四边形BCFE 的四条边长之和的最小值为__________.【答案】4+4【解析】【分析】根据条件求出正四面体ABCD 的棱长为2，设(01)AF AD λλ=<<，利用几何关系得到空间四边形BCFE 的四条边长之和4L =+，即可求出结果.【详解】如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球，设正四面体ABCD ，所以正方体的边长为a ，易知正方体的外接球直径为体对角线DH 的长，又DH =，所以正四面体的半径22DH R ==，依题有224π3π6πR a ==，得到a =，即正四面体ABCD 的棱长为2，因为//BD 面CEF ，面ABD ⋂面CEF EF =，BD ⊂面ABD ，所以//EF BD ，设(01)AF AD λλ=<<因为2AB AD BD ===，则2AF AE λ==，22BE DF λ==-，在EAF △中，因为π3EAF ∠=，所以2EF λ=，在FDC △中，π3FDC ∠=，2DC =，则FC =，所以空间四边形BCFE 的四条边长之和2222442L λλ=+-++++，又01λ<<，当12λ=时，min 4L =+，故答案为：4+.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出(01)AF AD λλ=<<后，利用几何关系得出FC =2EF λ=，22BE λ=-，从而得出空间四边形BCFE 的四条边长之和4L =+，转化成求L 的最小值来解决问题.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在[)17,19内的概率.【答案】（1）0.125；（2）310【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各小矩形的面积和等于1，可求得a 的值；（2）再由[)15,17和[)17,19的频率比0.120.153=，确定这5株分别在[)15,17和[)17,19的株数，最后由古典概型的计算公式求得结果即可.【小问1详解】依题意可得()0.050.0750.150.121a ++++⨯=，解得0.125a =；【小问2详解】由（1）可得高度在[)15,17的频率为：20.0500.1⨯=；高度在[)17,19的频率为：20.0750.15⨯=；且0.120.153=，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，因此记高度在[)15,17植株为,m n ，记高度在[)17,19植株为,,A B C ，则所有选取的结果为（m ，n ）、（m ，A ）、（m ，B ）、（m ，C ）、（n ，A ）、（n ，B ）、（n ，C ）、（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，C ）共10种情况，令抽取的2株高度均在[)15,17内为事件M ，事件M 的所有情况为（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，C ）共3种情况，由古典概型的计算公式得：()310P M =.16.在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，135C ∠=︒，BD =CD =.（1）求cos CBD ∠；（2）若ABD △为锐角三角形，求ABD △的面积的取值范围.【答案】（1（2）()1,5【解析】【分析】（1）在BCD △中，由正弦定理可得sin CBD ∠，从而求得cos CBD ∠.（2）解法一：由（1）求得sin ADB ∠sin cos 55A A =∠+∠，AB 21tan A =+∠，从而ABD S = 21tan A +∠，再利用ππ22ABD A -∠<∠<，即可求得ABD △面积的取值范围；解法二：作1A D AB ⊥于1A ，作2A D BD ⊥于D ，交BA 于2A ，求得1A D ，1A B ，2A D ，分别求出1A BD S ，2A BD S ，利用12A BD ABD A BD S S S <<△△△即可求得范围.【小问1详解】在BCD △中，由正弦定理可得sin sin BD CDBCD CBD ∠∠=，所以22sin 5CBD ∠==，又π0,4CBD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5CBD ∠==.【小问2详解】解法一：由（1）可知，πsin sin cos 25ABD CBD CBD ⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，因为ABD ∠为锐角，所以5cos 5ABD ∠=，所以()sin sin ADB A ABD ∠=∠+∠sin cos cos sin A ABD A ABD =∠∠+∠∠sin cos 55A A =∠+∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠∠，所以sin 2cos sin sin ADB A AAB A A∠∠+∠==∠∠21tan A =+∠，1sin 2ABD S AB BD ABD=⋅⋅∠122112tan 5tan A A⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪∠∠⎝⎭，因为()πADB ABD A ∠=-∠+∠，且ABD △为锐角三角形，所以()π0π2π02ABD A A ⎧<-∠+∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩，所以ππ22ABD A -∠<∠<，所以πtan tan 2A ABD ⎛⎫∠>-∠⎪⎝⎭πsin cos 12πsin 2cos 2ABD ABD ABD ABD ⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭===∠⎛⎫-∠ ⎪⎝⎭，所以102tan A<<∠，所以2115tan A<+<∠，即15ABD S <<△，所以ABD △的面积的取值范围为()1,5.解法二：由（1）可知，sin sin cos 25πABD CBD CBD ∠∠∠⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，因为ABD ∠为锐角，所以5cos 5ABD ∠=，tan 2ABD ∠=，如图，作1A D AB ⊥于1A ，作2A D BD ⊥于D ，交BA 于2A ，所以15sin 525A D BD ABD ∠=⋅==，15cos 515A B BD ABD ∠=⋅==，所以112112A BD S =⨯⨯=△，又2tan 5225A D BD ABD ∠=⋅==，所以215552A BD S =⨯=△.由图可知，仅当A 在线段12A A 上（不含端点）时，ABD △为锐角三角形，所以12A BD ABD A BD S S S <<△△△，即15ABD S <<△.所以ABD △面积的取值范围为()1,5.17.年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为23，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为215，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为310；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为324,,435．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．（1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；（2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．【答案】（1）“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为31;52；（2）“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为122,,;255三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率825【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式分别求解即可；（2）综合应用独立事件的乘法公式和互斥事件的概率加法公式分别求解即可.【小问1详解】记=i A “玲儿姐回答正确第i 个问题”，i B =“关关姐回答正确第i 个问题”，i C =“页楼哥回答正确第i 个问题”，1,2i =.根据题意得111111122()()()(1())(1())(1)(1())315P A B P A P B P A P B P B ==--=--=，所以13()5P B =；1111133()()()()510P B C P B P C P C ===，所以11()2P C =；故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为35和12.【小问2详解】由题意知222324(),(),()435P A P B P C ===，“玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为11212231()()()342P P A A P A P A ====；“关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为21212322()()()535P P B B P B P B ====；“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为31212142()()()255P P C C P C P C ===⨯=；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为123123123(1)(1)(1)P P P P P P P PP P =-+-+-122132123825525525525=⨯⨯+⨯⨯+⨯=.所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为122255，，；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为825.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱AC 的中点，AB BC =，2AC =，1AA =.（1）求证：1//B C 平面1A BM ；（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，112BN BB =.【解析】【分析】（1）连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，利用三角形中位线性质得到1//OM B C ，再利用线面平行的判定即可证.（2）应用线面垂直的性质、判定可得BM ⊥平面11ACC A ，从而得到1BM AC ⊥，根据11AC C A MA∠=∠和111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=得到11A M AC ⊥，再利用线面垂直的判定即可证.（3）当点N 为1BB 的中点，设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，易证四边形BNDM 为平行四边形，从而得到//BM DN ，进而有DN ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定即可证.【小问1详解】连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM，在1B AC △中M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，所以1//OM B C ，又OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，所以1//B C 平面1A BM .【小问2详解】因为1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以1AA BM ⊥.又M 为棱AC 的中点，AB BC =，所以BM AC ⊥.因为1AA AC A = ，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，所以BM ⊥平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BM AC ⊥.因为2AC =，所以1AM =.又1AA =，在1Rt ACC V 和1Rt A AM中，11tan tan AC C A MA ∠=∠=，所以11AC C A MA ∠=∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=，所以11A M AC ⊥，又1BM A M M = ，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，所以1AC ⊥平面1A BM .【小问3详解】当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C .证明如下：设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN，因为D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，所以1//DM CC 且112DM CC =，又N 为1BB 的中点，所以//DM BN 且DM BN =，所以四边形BNDM 为平行四边形，故//BM DN ，由（2）知：BM ⊥平面11ACC A ，所以DN⊥平面11ACC A ，又DN ⊂平面1AC N ，所以平面1AC N ⊥平面11ACC A .19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==，18.439≈，()()1618.5 2.78ii x x i =--=-∑其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,...,16i =.（1）求()(),1,2,...,16i x i i =的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()3,3x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（i ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ii ）请利用已经学过的方差公式：()2211n i i s x x n ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x n x ==-∑.（iii ）在()3,3x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii ）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）附：样本()(),1,2,...,i i x y i n =的相关系数ˆniix ynxyr-=∑0.09≈.【答案】（1）0.178-；可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（2）（i ）从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；（ii ）证明见解析；（iii ）均值10.02；标准差0.09【解析】【分析】（1）根据数据和公式即可计算r 的值，根据0.25r <的规则进行判断即可；（2）（i ）计算()3,3x s x s -+的值，根据13个零件的尺寸与区间的关系进行判断；（ii ）根据已学公式进行变形即可证明；（iii ）代入公式计算即可.【小问1详解】由题可得()()16118.5 2.78n i iii i x y nxy x x i ==-=--=-∑∑，40.848s===，18.439=≈所以 2.780.180.84818.439ˆniix ynxyr--=≈-⨯∑，则0.180.25r =<，所以可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小【小问2详解】（i ）由题可得39.9730.2129.334x s -=-⨯=，39.9730.21210.606x s +=+⨯=，因为第13个零件的尺寸为9.22，9.229.334<，所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；。

高一数学第二学期期末试题(3)(含答案).

高一数学质量监测模拟题(三)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知角α的终边经过点P(－3，4)，则下列计算结论中正确的是（） A ．4tan 3α=-B ． 4sin 5α=-C ．3cos 5α=D ．3sin 5α= 2．设集合{|02} , {|}A x x B M M A =<≤=⊆，则A 与B 的关系为（） A ．A B ∈ B ．A B Ü C ．B A ∈ D ．B A ⊆ 3．已知直线012=--y x 与直线30x my ++=平行，则m 的值为（） A ．21 B ．21- C ．2- D ．2 4．已知(1,sin ),a α= (cos ,1)b α=- ，且a b ⊥，则锐角α的大小为（）A ．6π B ．3πC ．4πD ．2π5．某中学从已编号()60~1的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是（） A 、6，16，26，36，46，56 B 、3，10，17，24，31，38 C 、4，11，18，25，32，39 D 、5，14，23，32，41，506. 袋中装白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是（） A 、51 B 、54 C 、31 D 、21 7. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是（） A ．45° B ．60°C ．30°D ．90° 8. 已知5()sin(),(0)6f x x πωω=+>的图像与1y =的图像的两相邻交点间的距离为π，要得到()y f x = 的图像，只须把sin y x ω=的图像（）A . 向左平移712π个单位B . 向右平移512π个单位C . 向左平移512π个单位D . 向右平移712π个单位 9．已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的侧面积．．．为（）A ．π8B ．π3C ．π12D ． π610．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =+，当[]1,0x ∈-时，()1f x x =+，则（） A ．()112f f ⎛⎫<⎪⎝⎭B ．()()sin1cos1f f <C ．()()34f f >D ．()112f f ⎛⎫->⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．（请把答案写在答卷上） 11．执行如图所示的程序框图，则输出S =第11题图12、如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。

河北省石家庄市重点中学2019-2020学年高一下学期期末模拟考试数学试题模拟答案

表示阴影区域与（3，1）连线的斜率，
1−
x− y−2
x −3
x −3
x−3
4
3
1−
− −3
3 x + 4 y = 0
x
−
3
3
4
4 3
2
19
5
5 = 则
=
=
解得 A（，﹣ ）．B（﹣ ，），kPB=
，
2
2
4 3
4 19 x − y − 2
5
5
5 5
17
x + y =1
− − −2
3+
5 5
4
4
4
6

a
b
5
2.sin
a sin B
1 ，所以 A= 或
=
由正弦定理
得
（舍去）、
4
=
=
6
6
sin A sin B sin A =
b
2
2
14．
15．
2 2
【详解】∵正三棱锥 A﹣BCD 的底面边长和侧棱长均为 4，点 E，F，G，H 分别为棱 AB，
3
BC，CD，BD 的中点，连结 DF，则 DF =
a 2 = b 2 + c 2 − 2bccosA =
( 3)
2
+ 12 − 2 3 1 cos

6
= 1 ， a = 1 . ………………（9 分）
所以 a 不存在……………………………………………………………………………………………（10 分）
1
1
2
n +1
， an = n （2） Tn = 2 −

【必考题】高一数学下期末模拟试题及答案【精华版】

【必考题】高一数学下期末模拟试题及答案一、选择题2 32 ，cos A 1． △ABC 的内角 A 、B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c.已知 a 5 ， c ，则b= A ． B ． C ． 2D ． 32 32．已知 a n n 项和是 S n B ． dS 9S 17S 18 S 8S 10 ，则（是公差为 d 的等差数列，前，若）S 17S 18 0A ． d 0 ， 0 ， 0 C ． d0 ， D ． d 0 ， v -2 ，则 a v2b 的最v v a ， b 满足）v va v 4 ，b 在 a 上的投影（正射影的数量）为 3．已知向量小值为（ A ． 4 B ． 10C ．D ． 8 ）3104．设 m ， n 为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（/ /m， m / / m / / ， n / / m// n m/ / A ．若，则 B ．若，则 C ．若 m // n ， n，则 mD ．若 m/ / ，，则 uu u v uu u v u u u vPC ) 的5．已知 ABC 是边长为 4 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PA ?(PB 最小值是（） 63 A ．B ．C ． 4D ． 26．已知函数（x ）定义域是 [-2 ， 3] ，则 y=f （ 2x-1 ）的定义域是（）y=f 5 21 20,B ．1,4, 2 5,5A ． C ．D ．， m 是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）m7．设 l ， l // m ，则 m m l l // mll / / a 2 ，则，则 B ．若 D ．若 ll / / m ， A ．若 C ．若 l // m， m/ / ，则， 2a na 1C ． La 10n 项和 S nn4n 1 ，则 8．已知的前（）A ． 68673 ， 61D ． 60AOC B ． u u u v 1， | OB |u u u v u u u v u u u vOA OB 9．若 | OA | 0 ，点 C 在 AB 上，且 30 ，设u u u v OC u u u v mOA u u u v nOB ( m ,n mnR) ，则的值为（）1 33 33A ．B ．C ．D ． 310．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A ． 20 11．如图，已知三棱柱B ． 10 ABCC ． 30 A 1 B 1C 1 的各条棱长都相等，且D ． 60底面 ABC ， CC 1M 是侧棱 AB 1 和 CC 1 的中点，则异面直线 BM 所成的角为 ()A ．B ．C ．D ．32ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ 12．在 A ． aB ． bC ． aD ． b）30oB45ooA 120oC607 ， b 3 ， 5 2 B ， 6 ， c 10 ， b 15 ， 6 ， 3 ， c 6 二、填空题≤m 的概率为 13．在区间 [﹣2， 4] 上随机地取一个数 x ，若 x 满足 |x| ，则 m=．14．在ABC 中，若 BAB 2BC 的最大值为．， 3 ，则 AC3oo15．sin10 1 3 tan 7016．如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1 D 1 中， E 、分别是 DD 1 、 F DC 上靠近点 D 的三等分点，则异面直线与 A 1C 1 所成角的大小是 EF.17．已知圆的方程为x2 +y2﹣6x﹣8y＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD 的面积为1tan1 1 tan 2 1tan3 L1tan 44 1tan 4518．= ．19．如图，棱长均为 2 的正四棱锥的体积为．x2 m20．已知函数 f ( x). mx 1，若对于任意的x m, m 1 f ( x) 0 ，则实数都有的取值范围为三、解答题21．已知数列{ a n} 是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.求{ a n} 的通项a n；(1)(2) 求{ a n} 前n 项和S n 的最大值．4sin x cos 022．将函数g x x 的图象向左平移个单位长度后得到62f x 的图象．（1）若 f x f为偶函数，求的值；7,（2）若 f x 在上是单调函数，求的取值范围．623．某班50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 秒与18 秒之间，将测试结果按如13,14 ，第二组14,15 ，第五组17,18 .下图是按上述分下方式分成五组：第一组，组方法得到的频率分布直方图.按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于人数；14 秒且小于 16 秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的 m,n 13,14 17,18 .求事（2）设 m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知件“mn 1 ”发生的概率 .n 项和为 S n ，且 a n 是 S n 与 a n b n 24．已知数列 b 1 2 ，的前 2 的等差中项．数列中， yx 2 上．点 P b n , b n在直线 1（1）求 a 1 和 a 2 的值； a n b n （2）求数列，的通项公式；c n n 项和（3）设 c na nb n ，求数列 T n ．的前 1 4a na 1＝ 1，a n 1n ∈N * ． { a n } 满足 25．已知数列，其中 1 22 a n 4 a nb n（1）设，求证：数列 { b n } 是等差数列，并求出 { a n } 的通项公式．1 1 T n（2）设 c n，数列 { c n c n +2} 的前 n 项和为 T n ，是否存在正整数 m ，使得 c m c m n 11对于 n ∈ N * ，恒成立？若存在，求出 m 的最小值；若不存在，请说明．26．如图，平行四边形ABCD 中， E ，分别是 BC ， DC 的中点， G 为与的F BF DE u u u v v v u u u v、 CG u u u v AB v v u u u v DE u u u v BF 交点，若 b ，试以 a ， b为基底表示、． a , AD 【参考答案】 *** 试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选 D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因2．D解析：D【解析】【分析】,请考生切记！a n利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.【详解】Q S9S8S10 ，a9S18 0 ，a9a10a100 ，a10 0 ，d0 .9 a90 .S17 故选：17a9D.0 ，【点睛】本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能.力，属于中等题3．D解析：D【解析】【分析】r| b | cos r ra, br| b |rb 在r a ra 上的投影（正射影的数量）为r 22 可知 2 ，可求出 2 ，求的最小值即可得出结果.2b【详解】r r 因为 b 在 a 上的投影（正射影的数量）为2 ，r | b | cos r r a, b 所以 r 2 ， 2 r r a,br r即 | b |，而 0 ，1 cos a, b cos r | b | ra 所以 2 ， r 2 2br ( a r 2b) r r a r 4a r b r 4b r r rr r a, br 2 2 2 2 2因为 | a | 4 | a ||b | cos 4 | b |r 2 2=16 4 4 r 2 2b ( 2) 4 | b | 48 4 | b |r r 2b ra a 8 ，故选 D.所以 48 4 4 64 ，即【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题4．C解析： C 【解析】【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断．【详解】.，则 m 与 n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；对于 A 选项，若 m// I， n// l ， mmm//l 对于 B 选项，若，且，，根据直线与平面平行的判定定理m// m// 知，，，但与 n 不平行；a 、b 使得 n a ，；对于 n C 选项，若 m// n ，，在平面内可找到两条相交直线 b ，于是可得出 m a ， m ，在平面b ，根据直线与平面垂直的判定定理可得m对于 D 选项，若内可找到一条直线 a 与两平面的交线垂直，根据平面与am 才与平面平面垂直的性质定理得知，只有当 m//a 时，垂直．故选 C ．【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．5．AA 解析：【解析】【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解【详解】 . 由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则 A(0, 2 P( x, y) 3), B( 2,0), C(2,0) ，u u u r PA u u u r PC) u u u r y), PB u u u ry), PC 设，则 u u u r ( x, 2 3 ( 2 x, (2 x, y) ，2 2 y u u u r 2( 2 y) 2 x 所以 PA ?( P B x ( 2 x) (2 3 y) 4 3 y 222[ x( y 3)3] ，uu u r u u u r u u u rPC ) 取得最小值为 2 ( 3)6 ，所以当 x 0, y3 时， PA ?(PB 故选 A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题6．C解析： C 【解析】.∵函数 y=f(x) 定义域是 [-2,3] ， ∴由 -2 ? 2x-1 ? 3， 1 2解得 -? x ? 2，12即函数的定义域为 , 2 ，本题选择 7．B解析： B 【解析】【分析】C 选项 .l , 与 m 异面判断l // m或利用可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用 l 与 m 可能平行、相交、异面，判断C ， lD .【详解】l , m ，m l ll / /l / / ，则可能平行，A错；m ， l // m ，由线面平行的性质可得， B 正确；m与 m 异面；C 错， l // m ， l ，则， m 可能平行、相交、异面，， m/ / ， l 与错， .故选 B.D 【点睛】.空间直线、平面平本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价 .8．B解析： B 【解析】【分析】S 1, n 1首先运用 a n a n ，判断 a n 的正负情况，再运用 S 102S 2 即可求出通项 S n S n 1 , n 2得到答案．【详解】当 n 1 时， S 1 a 1 2 ； 22n2 时， a n S nS n n4n 1 n 14 n 1 1 2n5 ，当 12, n 1a n故；2n n 5,n 2 时， 20 ，当所以，当 a na n0 .n 2 时，因此，a 1a 2 La 10a 1 a 2a 3 a 4 La 10S 10 2S 2 61 23 67 .B ．故选：【点睛】本题考查了由数列的前 n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两 a n S n S n n 2 点，第一，要分类讨论，分n 1 和 n 2 两种情形，第二要掌握这1 一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式 9．B解析： B 【解析】【分析】利用向量的数量积运算即可算出．【详解】 .解： Q AOC30u u u r u u u r OC, OA3 2cosu u u r uu u r OC u u u r OC OA u u u r OA3 2u u u r nOB u u u r mOA u u u r mOA u u u r OA 3 2u u u r nOB u u u r u u u r nOB u u u r OAu u u r 2 m OA uu u r u u u r OA 3 2u u u r 2 OA uu u r 2 u u u r 22 m u u u r Q OA 2mnOA OB n OB OAu uu r u u u r OBu u u r OA 1 ， 3 ， OB 0 m m 2323n 22 2m9n又Q C 在AB 上m m n故选： 0 ，n 0 3B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．10．B解析： B 【解析】【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：.1 215 2h 4；底面面积： S 5 3可知三棱锥高：1 3 1 3 152三棱锥体积：VSh 4 10本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的 B高和底面面积 11．A.解析： A 【解析】【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱 ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形 A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出【详解】A 2M ，从而求解．设棱长为 a ，补正三棱柱 ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移 AB 1 至 A 2B ，连接 A 2M ，∠ MBA 2 即为 AB 1 与 BM 所成的角， a 2( ) 2 5a ，22a在△A 2BM 中， 2a ， BM A B 23a ( ) 213 222222 A 2M ， a ， A 2 BBMMBA 2, ．A 2 Ma2故选 A ．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．12．D解析： D 【解析】【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的项. 【详解】ABC 解的个数，于此可得出正确选1 27 2asin B 7ABC 无解；对于 A 选项， asin B b ，此时，，2 2对于 B 选项， csin B b c ，此时， ABC 有两5 ， c sin B5 2120o ，则对于 C 选项， A 为最大角，由于 a b ，此时， ABC 无解； .故选 D.A Q 60o，且对于 D 选项， Q Cc b ，此时， ABC 有且只有一解【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题 .二、填空题13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是 6区间﹣ 24上随机地取一个数x若 x 满足 |x| 3解析： 3 【解析】【分析】【详解】≤的m 概率为若 m 对于 3概率大于若 m 小于 3概率小于所以 m=3故答案为如图区间长度是 6，区间 [﹣ 2， 4] 上随机地取一个数 x ，若 x 满足 |x| ≤m 的概率为，若 m 对于 3 概率大于，若 m 小于 3，概率小于，所以 m=3 ．故答案为 3．14．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式解析： 2 【解析】【分析】【详解】7ABBC sin3 3 2 2 32 3A Q 2AB 2sin,设2 3 sinAB 2 B C2sin 4sin 2 7 sinBC 2sin，最大值为 2 7考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只 a2b 2需将三角函数化简为asin bcossin的形式15．【解析】【分析】将写成切化弦后利用两角和差余弦公式可将原式化为利用二倍角公式可变为由可化简求得结果【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题涉及到两角和差余弦公式二解析： 1【解析】【分析】o osin10 cos10 3 写成 tan60o ，切化弦后，利用两角和差余弦公式可将原式化为将，利o ocos 60 cos 70o1 2 sin 20sin 20ocos70o可化简求得结果用二倍角公式可变为，由 .oocos 60 cos 70【详解】o o o ocos 60 cos 70si n 60 sin 70ooo o oosin10 13tan70sin10 1 tan 60 tan70sin10oocos60 cos70oo cos 7060o o osin10 cos101 2 sin 201 2cos60osin101ooooooocos60 cos70cos60 cos70 cos60 cos70本题正确结果：【点睛】1本题考查利用三角恒等变换公式进行化简求值的问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角 .公式的应用 16．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等解析： 60o【解析】【分析】连接 EF // C D 1 ，证明出四边形 A 1B // C D 1 ，可得 CD 1 ，可得出 A 1 BCD 1 为平行四边形，可得出异面直线 EF 与 A 1C 1 所成角为BA 1C 1 或其补角，分析 A 1BC 1 的形状，即可得出BA 1C 1 的大小，即可得出答案【详解】.DE DD 1DF DC1 3BC 1 ，Q 连接 CD 1 、 A 1B 、， EF //CD 1 ，A 1D 1 // A D AD //BC A 1D 1 //B C 在正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中，，，，所以，四边形 A 1 B// C D 1 ， BA 1C 1 . A 1 BCD 1 为平行四边形，所以，异面直线 EF 与 A 1C 1 所成的角为 oA 1 BC 1 为等边三角形，BA 1C 160 易知 .60o . 故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题 .17．20【解析】【分析】根据题意可知过（ 35）的最长弦为直径最短弦为过（ 35）且垂直于该直径的弦分别求出两个量然后利用对角线垂直的四边形的面 x ﹣积等于对角线乘积的一半求出即可【详解】解：圆的标准方程为（解析： 20 【解析】【分析】根据题意可知，过（6 3， 5）的最长弦为直径，最短弦为过（3， 5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．【详解】解：圆的标准方程为（ x ﹣ 3） 2+（y ﹣ 4）2＝ 52，由题意得最长的弦 |AC|＝ 2×5＝ 10，根据勾股定理得最短的弦 |BD |＝ 225211 2，且 AC ⊥ BD ， 4 6 四边形 ABCD 的面积 S ＝ | 1210× 4 ．AC|?|BD|6 20 6 故答案为 20 ． 6 【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．18．【解析】【分析】根据式子中角度的规律可知变形有由此可以求解【详解】根据式子中角度的规律可知变形有所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用属于中档题解析：【解析】【分析】23245o45o,045o根据式子中角度的规律，可知，tan tantano1 ，变形有 1 tan 1 tan2 ，由此可以求解．tan 451 tan 【详解】ooo根据式子中角度的规律，可知45 045 ,045 ，tan tantano1 ，变形有 tan 1 tan 12 ．所以tan 451 tan 1 tan1 1 tan 442 ， 1 tan 2 1 tan 432 ，L otan 45tan 44 ， 1 tan 221 tan 232 ， 1 2 ，231 tan1 1 tan2 1 tan3 L 1 1 tan 452 ．故答案为：【点睛】232 ．本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用，属于中档题．19．【解析】在正四棱锥中顶点 S 在底面上的投影为中心 O 即底面ABCD 在底面正方形 ABCD 中边长为 2 所以 OA=在直角三角形 SOA 中所以故答案为 4 2解析： 3【解析】在正四棱锥中，顶点 S 在底面上的投影为中心 O ，即 SO 底面 ABC D，在底面正方形 SOA 中，在直角三角形 ABCD 中，边长为 2，所以 OA=2 22 22SOSA OA2221 Vsh 313 4 2 3所以 2 224 2故答案为 320．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质 2 2,0 解析：【解析】【分析】【详解】 2因为函数f ( x) xmx 1 的图象开口向上的抛物线，所以要使对于任意的x m, m 1 f ( x) 0 成立，都有 m 2 m 2 f ( m) f ( m 1 20 m(m 2 2，解得m 0 ，1)m 11) 1 02,0 2所以实数 m 的取值范围为．【考点】二次函数的性质．三、解答题21．（ 1） a n ＝－ 2n ＋ 5.（2） 4 【解析】（Ⅰ）设 {a n }的公差为 d ，由已知条件，，解出 a 1＝ 3， d ＝－ 2．所以 a n ＝ a 1＋(n －1)d ＝－ 2n ＋ 5．（Ⅱ） S n ＝ na 1＋ d ＝－ n 2＋4n ＝－ (n － 2)2＋ 4，所以 n ＝ 2 时， S n 取到最大值 4． , 22．（ 1） 0；（ 2）．6 2【解析】【分析】 g x f x f x（1）首先化简解析式，然后求得左移个单位后函数的解析式，根据 f的奇偶性求得的值，进而求得的值. 2sin 2 x21 ，求得 f x（2）根据（ 1）中求得的 2x2 的取值范围，66762 f x 根据的取值范围，求得, 上是单调函数，以及的取值范围，根据在2正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得【详解】的取值范围 .3 2 12 （1） Q g x4sin x cos x sin x3 sin 2 x 1 cos 2 x2sin 2x1 ，6f x2sin 2 x2 1 ，6 又 fx 2为偶函数，则（ k Z k ），Q 0 ，．2662ff0 ．6, 7 6 Q x 2 x222 ,22（2），，6 6 23, 7 6 6 22 ,，， Q 0，622 2 2762Q f x , 上是单调函数．且 0在．6 2 2, 6 2【点睛】．本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题 .3 523．（1） 29 人；（ 2）．【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，良好即第二三两组，计算出第二三两组的频率即可算出人数； 13,14 ，17,18 两组的人数， m n 1 即两位同学来（2）结合频率分布直方图，计算出自不同的两组，利用古典概型求解概率即可【详解】.[14,16) 50 0.20 50 0.38 29 （人），（1）由直方图知，成绩在所以该班成绩良好的人数为（2）由直方图知，成绩在内的人数为： 29 人；[13,14) 50 0.06 3 人；的人数为 [17,18] 50 0.04 2 人；. 成绩在的人数为事件“m n 1”发生即这两位同学来自不同的两组，此题相当于从这五人中任取 2 人，求这两人来自不同组的概率1 1C 2 C 3 C56 10 35P其概率为 .2 3 5P( m n 1)【点睛】此题考查用样本的频率分布估计总体分布；利用频率直方图求相关数据；古典概型及其概率的计算． nn 224．（ 1） a 1 2 ， a 24 （ 2）a n 2 ，b n2n （ 3） T nn 1 24【解析】【分析】2 a n 2 ，分别令（1）根据题意得到 S n2 ，得到 a 1 ， a 2 ；（ 2）当 n 1 ， n n 2a nx S n S n 时， 1 时，得到 a n 的通项，根据点 P b n , b n 在直线，再验证 n 1 1 y 2 上，得 b n ，得到 2 ，得到 b n 为等差数列，从而得到其通项；（b n b n 3）根据1 n 项和 c na n c n 的通项，然后利用错位相减法，得到前T n .【详解】 2a n 2S n S 1 解：（ 1）由当 n 1 时，得 2a 1 2a 2S n2 ，即 2a 1 a 1 a 1 2 ，解得 a 12 ；当 n2 时，得 S 2 2 ，即 2a 2 a 2 2 ，解得 a 24 .2 a n 2 （2）由 ①得 2a nS n 2 n S n 2 ）②；（ 11 2a n 2a n S n 将两式相减得 1 ，1 即 2a n 2a n a n ，1 a n 2a n n2 所以，1 因为 a 1 a n a n2 0 ，所以 a n 0 ，12 n 2 所以，1a n 所以数列是首项为 2，公比为 2 的等比数列，n 1n 1n所以 a nb n a 1 22 22 .y x 2 上，数列 b 1 2 ，点 P b n , b n 在直线中， 1 得 b n b n2 ，1b n 2 所以数列是首项为 2，公差为 2 的等差数列， 2 12n .所以 b n n n 1（3） c n 所以 T na nb n2n 2 ，234nn 11 2 2423 252n 1 2n 2232n 1 2n 22T 1 2 3 n 1 n n上式减下式得234n 1n 2T n 22 1 22 2 2n 22n2 4 n 1 1 n 2n 2n 2n 22n 2n 2所以 T n 1 24 .【点睛】本题考查由 a n 档题 . 和 S n 的关系求数列通项，等差数列基本量计算，错位相减法求和，属于中 n 1 ；（ 2） 325．（ 1） a n 2n【解析】试题分析：(1) 结合递推关系可证得 b n+1-b n 2，且 b 1＝ 2，即数列 { b n } 是首项为 2，公差为 2 的等差数 n 1 a n 列，据此可得数列的通项公式为 a n．2n 1n 1，求和有c n c n2 (2) 结合通项公式裂项有 2n 21 2 1 1n 2T n2 13 ．据此结合单调性讨论可得正整数m 的最小值为 3．n 1 试题解析：2 2 2 22a n 2a n 11 4a n（1）证明： b n+1-b n2 112a n 1 11 4a n 2a n 22a n 2 ．1 1又由 a 1＝ 1，得 b 1＝ 2，所以数列 { b n } 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，所以 b n ＝ 2+( n- 22a n n 1 ．b n，得 a 1) ×2＝2n ，由 n12n4 n 1n 12 nc c 2（2）解：所以 c n， n n 2n 2n 2 1 2 11 T n2 13 ．n 1 n 1 2m m 41T nn ∈N * 恒成立，只需对于 m ≥3或 m ≤-4．又依题意，要使 3 ，解得 c m c m 1m ＞ 0，所以 u u u v26． CGm ≥3，所以正整数 vm 的最小值为 3．1 3v ( a b ) 【解析】分析：直接利用共线向量的性质、向量加法与减法的三角形法则求解即可.u u u v DE u u u v DC u u u v CE uu u v 1 u u u v vb ，1 2v a 详解：由题意，如图 AB CB 2 u u u v BF u u u v BC u u u v CF u u u v AD 1 u u u v ABv1 2v ， a b 2，则 G 是 VBCD AC 交于点 O ，则 O是连接的重心，连接的中点，BD BD BD ∴点 G 在 AC 上，u u u v 2 u u u vCO2 u u u v OC 1 u u u vAC v b 2 3 1 3v ∴ ， CG a 33 2 故答案为u u u v DE v u uu v v b 1 2 1 31 2v v ； a b ； BFa u u u v CGv b v a ∴ ．点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．。

新高一数学下期末模拟试卷带答案

新高一数学下期末模拟试卷带答案一、选择题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（） A ．1B ．4C ．1或4D ．2或42．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-373．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,54．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（） A ．6,10B ．6,22C ．(2,22D ．（2，4）5．设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +6．若,αβ均为锐角，25sin α=()3sin 5αβ+=，则cos β=A 25B 25C 25或25 D ．257．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 8．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称9．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．010．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2π B ． C ． D ．3π 11．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上12．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（） A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题13．在ABC ∆中，若3B π=，3AC =2AB BC +的最大值为__________．14．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知233cos cos a b cB C=，则222a cb ac+-的取值范围为______. 15．若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________．16．底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2.17．若(2,1)x ∃∈--，使不等式()24210x xm m -++>成立，则实数m 的取值范围为________.18．若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____． 19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．20．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．三、解答题21．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //．（1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．22．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小. 23．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程^^^t y b a =+（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款.附：回归方程^^^t y b a =+中1122211()(),{().n niii ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx a y bx ====---==--=-∑∑∑∑24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项．数列{}n b 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线2y x =+上．（1）求1a 和2a 的值；（2）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（3）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．25．ABC ∆是边长为3的等边三角形，2BE BA λ=,1(1)2BF BC λλ=<<,过点F 作DF BC ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．（1）当23λ=时，设,BA a BC b ==，用向量,a b 表示EF ；（2）当λ为何值时，AE FC ⋅取得最大值，并求出最大值．26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -体积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，， ∴解得28r l ==，或44r l ==，41lrα==或，故选C ．2．D解析：D 【解析】【分析】先用AB 和AC 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，再根据，12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值，最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，，从而得出答案．【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-，∵12 BD DC=，∴111B C?C B222AD A A AD AD A AD A-=-=-+（），整理可得：12AB33AD AC+＝，221A A433AD AC AB C C∴⋅⋅+=＝∴A=-12AB C⋅，∴2=A=122537AB BC AB C AB⋅⋅---=-．，故选：D．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．3．C解析：C【解析】∵集合{}124A，，=，{}2|40B x x x m=-+=，{}1A B⋂=∴1x=是方程240x x m-+=的解，即140m-+=∴3m=∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x=-+==-+==，，故选C4．A解析：A【解析】由()4f x f x-=（）得：4T=，当010]x∈（，时，函数的图象如图：()()()26102f f f===，再由关于x的方程()log af x x=有六个不同的根，则关于x的方程()log af x x=有三个不同的根，可得log62log102aa<⎧⎨>⎩，解得610a∈（，），故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.5．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数据1210,,,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．6．B解析：B 【解析】【分析】利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之．【详解】∵α为锐角，sin 2α= s ，∴α＞45°且5cos α= ，∵()3sin 5αβ+=，且13252＜，2παβπ∴+＜＜，∴45cosαβ+=-（），则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα4355=-+= 故选B. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．7．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确；由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．故选D.8．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2)2sin(2)2cos 2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.9．B解析：B 【解析】【分析】可采用构造函数形式，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解【详解】由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠，令358()(1)lg(1)350lg(1)311x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，画出函数图像，如图：则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个故选：B 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题解析：A 【解析】【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解．【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，22252()2a A B a BM a a ==+=，，222313()2a A M a a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=，．故选A ．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．11．A解析：A 【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ，故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ，所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．12．B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式解析：【解析】【分析】【详解】设22sin sin 3AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭2sin BC θ=()222sin 4sin 3ABBC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭，最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为()sin cos ab θθθϕ+=+的形式14．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦解析：()()0,2【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2B π≠，由余弦定理可得结论．【详解】=，所以()()2cos cos cos cos 0aC B B C =⋅≠，所以()2sin cos cos A B C C B =，即()2sin cos 3sin 3sin A C C B A =+=，又sin 0A >，所以3cos C =，则6C π=，因为cos 0B ≠，所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而2222cos a c b B ac +-=，故()()2223,00,2a c b ac +-∈-.故答案为：()()3,00,2-．【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.15．【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件解析：32- 【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程，解方程即可求得最终结果.【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：()()1130m m ⨯--⨯+=，解得：32m =-，此时两直线方程分别为：1x y -=，338022x y --=，两直线不重合，据此可知：32m =-. 【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为解析：【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为22416ππ⨯⨯= 17．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题解析：()4,5-【解析】【分析】令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围.【详解】令2x t =，由(2,1)x ∃∈--可得11,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()24210x x m m -++> 则问题等价于存在11,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()2210m m t t -++>，分离参数可得221t m m t +->- 若满足题意，则只需221mint m m t +⎛⎫->- ⎪⎝⎭，令()22111t h x t t t +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令1m t =，()2,4m ∈ 则()2,2,4y m m m =--∈，容易知41620min y =--=-，则只需220m m ->-，整理得2200m m --<，解得m ∈()4,5-.故答案为：()4,5-.【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.18．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题解析：3+【解析】【分析】由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解．【详解】解：x 1>，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-++--33≥=，（当且仅当13x =+取等号）故答案为3．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．19．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面解析：①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可．【详解】①当E 为棱1CC 上的一中点时，此时F 也为棱1AA 上的一个中点，此时11A C //EF ，满足11A C //平面1BED F ，故①正确；②连结1BD ，则1B D ⊥平面11AC D ，因为1BD ⊂平面1BED F ，所以平面11A C D ⊥平面1BED F ，故②正确；③1BD ⊂平面1BED F ，不可能存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ，故③错误； ④四棱锥11B BED F -的体积等于1111D BB F D BB E V V --+，设正方体的棱长为1.∵无论E 、F 在何点，三角形1BB E 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB E -的高111D C =，保持不变，三角形1BB F 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB F -的高为111D A =，保持不变.∴四棱锥11B BED F -的体积为定值，故④正确.故答案为①②④.【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大．20．【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2得到圆锥的高利用圆锥体积公式得到结果【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2∴圆锥的高是∴几何体的体积是解析：6【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式得到结果．【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，=∴几何体的体积是2111326π⨯⨯⨯=，【点睛】本题考查由三视图还原几何图形，考查圆锥的体积公式，属于基础题.三、解答题21．（12）22x(y1)5++=．【解析】【分析】()1先由两直线平行解得a4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x2=-得()A2,2--，可得AC的方程，与1l联立得()C0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．【详解】解：()121l//l，a28a211+∴=≠，解得a4=，1l∴：2x y10++=，2l：2x y60++=，故直线1l与2l的距离d===()2当x2=-代入2x y60++=，得y2=-，所以切点A的坐标为()2,2--，从而直线AC的方程为()1y2x22+=+，得x2y20--=，联立2x y10++=得()C0,1-．由()1知C所以所求圆的标准方程为：22x(y1)5++=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．22．（1）*(2)10na n n∈=-N（2）当4n=或5n=时,n S有最大值为20．【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,a d的形式列方程，由此解得1,a d，进而求得{}n a的通项公式.（2）根据等差数列前n项和公式求得n S，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S的最大值及对应n 的大小.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=，于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+ 因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.23．（Ⅰ） 1.2.6ˆ3yt =+，（Ⅱ）10.8千亿元. 【解析】试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出,x y ，211,.n n nt i ny i i i i l tnt l t y nty ===-=-∑∑的值，然后代入ˆny ntl b l =求得ˆb ，再代入ˆˆa y bt =-求出ˆa 值，从而就可得到回归方程 1.2.6ˆ3y t =+，（Ⅱ）将6t =代入回归方程 1.2.6ˆ3yt =+可预测该地区2015年的人民币储蓄存款．试题解析：（1）列表计算如下这里111365,3,7.2.55n i i i i n t t y y n n =========∑∑ 又2211555310,120537.212.n nnt i ny i i i i l tnt l t y nty ===-=-⨯==-=-⨯⨯=∑∑ 从而12 1.2,7.2 1.23 3.610ˆˆˆny nt l b a y bt l ====-=-⨯=. 故所求回归方程为 1.2.6ˆ3yt =+. （2）将6t =代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为1.26 3.610.8(ˆ).y=⨯+=千亿元考点：线性回归方程.24．（1）12a =，24a = （2）2n n a =，2n b n = （3）()2124n n T n +=-+【解析】【分析】（1）根据题意得到22n n a S =+，分别令1n =，2n =，得到1a ，2a ；（2）当2n ≥时，1n n n a S S -=-，再验证1n =时，得到n a 的通项，根据点()1,n n P b b +在直线2y x =+上，得12n n b b +=+，得到n b 为等差数列，从而得到其通项；（3）根据n n n c a b =⋅，得到n c 的通项，然后利用错位相减法，得到前n 项和n T .【详解】解：（1）由22n n a S =+当1n =时，得1122a S =+，即1122a a =+，解得12a =；当2n =时，得2222a S =+，即21222a a a =++，解得24a =.（2）由22n n a S =+…①得1122n n a S --=+…②；（2n ≥）将两式相减得1122n n n n a a S S ---=-，即122n n n a a a --=，所以()122n n a a n -=≥，因为120a =≠，所以10n a -≠，所以()122n n a n a -=≥，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1112222n n n n a a --==⨯=.数列{}n b 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线2y x =+上，得12n n b b +=+，所以数列{}n b 是首项为2，公差为2的等差数列，所以()2212n b n n =+-=.（3）12n n n n c a b n +==⋅，所以()2341122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅()345122122232122n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅上式减下式得23412122222n n n T n ++-=⨯+++⋅⋅⋅+-⋅()22212212n n n +-=-⋅-22242n n n ++=--⋅所以()2124n n T n +=-+. 【点睛】本题考查由n a 和n S 的关系求数列通项，等差数列基本量计算，错位相减法求和，属于中档题.25．（1）4233a b -+；（2）916 【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）由题意可知：23BF b =，且2323BF =⨯=， 4BE =，故4433BE BA a ==， 4233EF BF BE a b =-=-+ （Ⅱ）由题意，3,33BF FC λλ==-，6,63BE AE λλ==-，2279(63)(33)cos60922AE FC λλλλ⋅=--︒=-+- 当2732924λ=-=-⨯1(,1)2∈时， AE FC ⋅有最大值916．、26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3 【解析】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥AB ，又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面11B BCC ，因为AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面11B BCC .（2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ，因为E ，F 分别是11A C 、BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG=12AC ，因为AC ∥11A C ，且AC=11A C ，所以FG ∥1EC ，且FG=1EC ，所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1//C F EG ，又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，所以1//C F 平面ABE .（3）因为1AA =AC=2，BC=1，AB ⊥BC ，所以，所以三棱锥E ABC -的体积为：113ABC VS AA ∆=⋅=111232⨯⨯ 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．。