2020年度高一数学第二学期期中试卷及答案(八)

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黑龙江省鸡西市第一中学2020学年度高一学年下学期期中考试数学考试试题含答案

鸡西市第一中学2020学年度高一学年下学期期中考试数学考试试题第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，规定时间内问卷星提交，逾时后果自负。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将答题卡竖版拍照5分钟内上传家校本交回。

一．选择题（共12小题，每题5分）1．已知集合A＝{x|3x2+x﹣2≤0}，B＝{x|log2（2x﹣1）≤0}，则A∩B＝（）A．（] B．[] C．（] D．[﹣1，]2．函数的单调递减区间为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，﹣1] D．（3，+∞）3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，若a＞b＞1，则一定有（）A．log a x＞log b y B． a x＞b yC．ay＞bx D．sin a x＞sin b y4．已知向量＝（2，2），若（+3）⊥，则在上的投影是（）A．B．﹣ C．D．﹣5．《算法统宗》里有一段叙述：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，数学试卷第1页共3页务要分明依次第，孝和休惹外人传”，意思是将996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第二和第七个孩子分得棉的斤数之和为（）A．255B．249C．176D．1676．已知向量，且向量与向量平行，则3x+2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．17．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A．0°≤α＜90° B．90°＜α＜180° C．90°≤α＜180° D．0°＜α＜180°8．已知等比数列{a n}中，若a5+a7＝8，则a4（a6+2a8）+a3a11的值为（）A．8 B．128 C．16 D．649．△ABC是边长为4的等边三角形，，则＝（）A．﹣2 B．14 C．10 D．1210．已知正项数列{a n}的首项为1，{a n2}是公差为3的等差数列，则使得a n＞6成立的n的最小值为（）A．14 B．11 C．12 D．1311．已知向量，，，△ABC的重心为G，则与的夹角的余弦值是（）A．B．C．D．12．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．11 B ．12 C ．10 D ．13数学试卷第2页共3页第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共4小题，每题5分）13．向量与向量共线且反向，则x＝14．若关于x的一元二次不等式ax 2+2ax+1＞0的解集为R，则实数a的取值范围是15．已知a1＝4，a n a n+1＝2﹣a n+1，，n∈N*，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝．16．已知不等式mx2+nx﹣3＜0的解集为（﹣3，1），若曲线|y|＝n x+1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是．三．解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．（10分）已知，，与的夹角为150°．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若k为实数，求的最小值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n}中，b1＝3a1，b2＝2，求数列{a n+b n}的前n项和T n．19．（12分）已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}满足，且a1＝1．数学试卷第3页共3页（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）已知，，令．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及的解集；（Ⅱ）锐角△ABC中，，边，求△ABC周长最大值．22．（12分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设．（1）求a，b的值（2）若不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．鸡西市第一中学2020学年度高一学年下学期期中考试数学考试试题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1—6 ACBBBC7—12BDCDDA二、填空题13．﹣214．（0，1）．数学试卷第4页共3页15．1﹣16．[-1,1]三．解答题（共6小题）17．已知，，与的夹角为150°．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若k为实数，求的最小值．【分析】（Ⅰ）直接展开代入已知条件即可求解；（Ⅱ）对其平方结合二次函数的性质即可求解【解答】解：（Ⅰ）因为，，与的夹角为150°，，所以．(5分)（Ⅱ），（8分）当k＝1时，（9分）的最小值为1，即的最小值为1．（10分）【点评】本题考查了数量积运算性质、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n＝l（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）等差数列{b n}中，b1＝3a1，b2＝2，求数列{a n+b n}的前n项和T n．数学试卷第5页共3页【分析】（1）先由数列{a n}的前n项和S n和通项a n的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列{a n}的类型，再求出通项公式；（2）先由题设条件求出b n，再结合（1）中的a n求出a n+b n，最后求出T n．【解答】解：（1）当n＝1时有2S1+a1＝1＝3a1，解得a．（1分）又∵2S n+a n＝l（n∈N*）①，∴2S n+1+a n+1＝1 ②．由②﹣①可得：2（S n+1﹣S n）+a n+1﹣a n＝0＝2a n+1+a n+1﹣a n即a n+1＝，（4分）所以数列{a n}是以为首项，以为公比的等比数列．（5分）∴a n＝（）n．（6分）（2）∵等差数列{b n}中，b1＝3a1＝1，b2＝2，∴b n＝n，（8分）a n+b n＝（）n+n．（10分）∴T n＝[]+（1+2+3+…n）＝＝+．（12分）【点评】本题考查等比数列的定义及通项公式和数列求和中的分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由已知结合对数的运算性质及基本不等式即可求解；数学试卷第6页共3页（2）由已知可求的最小值，然后结合不等式的恒成立与最值关系的相互转化可求．【解答】解：（1）因为x＞0，y＞0，由基本不等式，得．又因为2x+5y＝20，所以，xy≤10，（2分）当且仅当，即时，等号成立．此时xy的最大值为10．所以u＝lgx+lgy＝lgxy≤1g10＝1．（4分）所以当x＝5，y＝2时，（5分）u＝lgx+lgy的最大值为1；（6分）（2）因为x＞0，y＞0，所以，（9分）当且仅当x=5y，即时x=20/3，y=4/3等号成立．（10分）所以的最小值为．不等式恒成立，只要，解得．所以m的取值范围是．(12分)【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及不等式的恒成立与最值的相互转化关系的应用．20．已知数列{a n}满足，且a1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和S n．数学试卷第7页共3页【分析】（1）将已知等式两边同除以n（n+1），可得﹣＝＝﹣，再由数列的恒等式计算可得所求通项公式；（2）求得b n＝（2n﹣1）•（）n﹣1，再由错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）由，可得：﹣＝＝﹣，（2分）由＝+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1+1﹣+﹣+…+﹣＝2﹣，（4分）所以a n＝2n﹣1，n∈N*；（6分）（2）＝（2n﹣1）•（）n﹣1，（7分）S n＝1•1+3•+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，S n＝1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，两式相减可得S n＝1+2[+（）2+…+（）n﹣1]﹣（2n﹣1）•（）n＝1+2•﹣（2n ﹣1）•（）n，（10分）化简可得S n＝3﹣（n+1）•（）n﹣1．（12分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的恒等式，考查数列的求和：错位相减法，考数学试卷第8页共3页查化简运算能力和推理能力，属于中档题．21．已知，，令．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及的解集；（Ⅱ）锐角△ABC中，，边，求△ABC周长最大值．【分析】（Ⅰ）先根据数量积以及三角函数的有关知识整理解析式，进而求解结论即可．（Ⅱ）先根据条件求出角A，根据正弦定理表示出周长，结合角的范围即可求解．【解答】解：（Ⅰ）＝，（2分）∴T＝π，（3分）∵，∴，∴，k∈Z，∴的解集是．（5分）（Ⅱ），∴，∴，（7分）∵，∴＝＝，（9分）∵锐角三角形且角，∴，（10分）当时，（11分）a+b+c最大为，∴△ABC周长最大值为．（12分）数学试卷第9页共3页【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设．（1）求a，b的值（2）若不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解，求实数k的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【分析】（1）由函数g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故g （2）＝1，g（3）＝4，由此解得a、b的值；（2）不等式可化为log2x+﹣2≥2k log2x在x∈[2，4]上有解，即2k≤﹣+1在x∈[2，4]上有解，通过换元法和对数函数的单调性，以及二次函数的单调性求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求范围；（3）原方程化为|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|＝t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），构造函数h（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过二次方程实根分布，可得k的不等式组，即可求得k的范围．【解答】解：（1）函数g（x）＝ax2﹣2ax+b+1＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，即，解得；（3分）（2）由（1）可得f（x）＝＝x+﹣2，不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，4]上有解，数学试卷第10页共3页等价为log2x+﹣2≥2k log2x在x∈[2，4]上有解，即2k≤﹣+1在x∈[2，4]上有解，（5分）令t＝，则2k≤t2﹣2t+1，∵x∈[2，4]，∴t∈[，1]，则函数m（t）＝t2﹣2t+1在t∈[，1]递减，可得m（t）的最大值为m（）＝，则2k≤，即k≤；（7分）（3）原方程可化为|2x﹣1|2﹣（3k+2）|2x﹣1|+（2k+1）＝0，可令t＝|2x﹣1|，则t＞0，由题意可得t2﹣（3k+2）t+（2k+1）＝0有两个不等实根t1，t2，其中0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2＝1，设h（t）＝t2﹣（3k+2）t+（2k+1），则或，解得k＞0或k∈∅，则k的取值范围是（0，+∞）．（12分）数学试卷第11页共3页。

山西省长治市第二中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题(解析版)

【答案】
【解析】
【分析】作出直观图的平面图形，判断直观图与平面图形的形状和数据之间的关系，求出平面图形的面积即可.
【详解】在中，，
直观图恢复原图如下：
则，，
，
故答案为：
15.若圆锥底面半径为1，高为，其中有一个内接正方体，其中、、、四点在圆锥底面上，、、、在圆锥侧面上，则这个正方体的棱长为______．
2.已知，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先算出，再根据平面向量平行的坐标运算即可求得.
【详解】，因为，所以 .
故选：C.
3.已知直线和平面，下列说法正确的是（）
A.如果，那么平行于经过的任意一个平面．
B.如果，那么平行于平面内的任意一条直线．
C.若，则．
D.若且，则．
【答案】D
【解析】
【分析】A,D选项考查线面平行的判断，A选项缺少条件，D选项正确；B选项是线面平行推线线平行，需要借助另外一个面；C选项中，平行于同一个面的两条线没有特定的位置关系
【详解】选项A中，由推出平行于经过的任意一个平面，需要增加一个条件，即不在所在的面内，A选项没有这一限制条件，所以A错误
A. B.
C. 的最大值为1D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A.由，可得可判断；选项B.过作交于点，所以 ,结合条件可判断；选项C.由B结合均值不等式可判断；选项D.由结合均值不等式可判断.
【详解】选项A.由，可得
所以，故A正确.
选项B.过作交于点
所以 ,由这两式可得
由，则，，

2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(二)

2020年高一数学下学期期中试卷及答案（二）一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（）A．B．C．﹣D．﹣2．直线x﹣y+a=0（a为常数）的倾斜角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°3．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=04．与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=0 5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B． C．D．26．如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且==，则（）A．EF与GH互相平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上7．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α8．经过点P（0，2）的直线l，若直线l与连接A（﹣，﹣1），B （2，0）的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α∥β的是（）①存在一条直线m，m⊥α，m⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线m，n，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α；④存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α．A．①③B．②④C．①④D．②③10．图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8﹣π B．8﹣πC．8﹣π D．8﹣π11．正方形ABCD，沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则折后的异面直线AB与CD所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60° D．90°12．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图），则球的半径是（）A．cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分）13．两平行直线3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0的距离为．14．直线l经过点A（3，﹣1），且在第四象限与两坐标轴围成等腰三角形，则直线l的方程为．15．已知△ABC的三个顶点A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），则△ABC 的面积为．16．已知圆台的上、下底面半径分别是1cm、3cm，且侧面积等于两底面积之和，则圆台的母线长为cm．17．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体对角线AC1的长是．18．如图所示，在四面体VABC木块中，P为△VAC的重心，这点P 作截面EFGH，若截面EFGH是平行四边形，则该截面把木块分成两部分体积之比为．（埴体积小与体积大之比）三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．已知两条直线l1：4x+（a+3）y+（3a﹣5）=0，l2：（a+5）x+2y﹣8=0，问a为何值时，l1与l2：（Ⅰ）平行；（Ⅱ）相交；（Ⅲ）垂直．20．已知△ABC的顶点A（1，5），AB边上的中线CM所在直线方程为x﹣2y+5=0，AC边上的高BH所在直线方程为2x﹣y+5=0，求：（Ⅰ）顶点C的坐标；（Ⅱ）直线BC的方程．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC'上的点（点D不同于点C），且AD⊥BC，F为B'C'的中点．求证：（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC'B'；（Ⅱ）直线A'F∥平面ADE．22．如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E为DD'的中点．（Ⅰ）求证BD'∥平面AEC；（Ⅱ）如图，设F为上底面A'B'C'D'一点，过点F在上底面画一条直线与CF垂直，并说明理由．23．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面α，C是圆周上不同于A、B的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）过A作AD⊥PC（D为垂足），过D作DE⊥PB（E为垂足），求证：PB⊥平面ADE．参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】I3：直线的斜率．【分析】直接利用直线的斜率公式求出直线l的斜率．【解答】解：直线经过点（0，2）和点（3，0），则直线l的斜率是k==﹣故选：C．2．直线x﹣y+a=0（a为常数）的倾斜角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】由直线的倾斜角α与斜率k的关系，可以求出α的值．【解答】解：设直线x﹣y+a=0的倾斜角是α，则直线的方程可化为y=x+a，直线的斜率k=tanα=，∵0°≤α＜180°，∴α=60°．故选：B．3．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【考点】I7：两条直线平行的判定；IG：直线的一般式方程．【分析】因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选A．4．与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=0【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】令x=0，可得直线3x﹣4y+5=0与y轴的交点．令y=0，可得直线3x﹣4y+5=0与x轴的交点，此点关于y轴的对称点为．可得：与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点：，．利用截距式即可得出．【解答】解：令x=0，则y=，可得直线3x﹣4y+5=0与y轴的交点．令y=0，可得x=﹣，可得直线3x﹣4y+5=0与x轴的交点，此点关于y轴的对称点为．∴与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点：，．其方程为：=1，化为：3x+4y﹣5=0．故选：A．5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B． C．D．2【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．【解答】解：由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，故原△ABO的面积是故选C6．如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且==，则（）A．EF与GH互相平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】利用三角形的中位线平行于第三边；平行线分线段成比例定理，得到FG、EH都平行于BD，利用平行线的传递性得到GF∥EH，再利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，得证．【解答】证明：因为F、G分别是边BC、CD上的点，且==，所以GF∥BD，并且GF=BD，因为点E、H分别是边AB、AD的中点，所以EH∥BD，并且EH=BD，所以EH∥GF，并且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，所以M∈面ABC内，同理M∈面ACD，又∵面ABC∩面DAC=AC∴M在直线AC上．故选D．7．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A 错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C8．经过点P（0，2）的直线l，若直线l与连接A（﹣，﹣1），B （2，0）的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】I3：直线的斜率．【分析】直线l与连接A（﹣，﹣1），B（2，0）的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是：k＜k PB，或k＞k PA．【解答】解：k PA=，k PB=﹣1．∵直线l与连接A（﹣，﹣1），B（2，0）的线段总有公共点，∴直线l的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪．故选：D．9．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α∥β的是（）①存在一条直线m，m⊥α，m⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线m，n，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α；④存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α．A．①③B．②④C．①④D．②③【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面垂直的性质判断①，根据几何体模型判断②，举反例判断③，反证法判断④．【解答】解：对于①，由“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”可知①正确；对于②，以直三棱柱为例，直三棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但两个侧面不平行，故②不正确；对于③，若α∩β=l，且m∥l，n∥l，显然符合条件，但平面α，β不平行，故③不正确；对于④，假设α与β相交，交线为l，∵m⊂α，α∩β=l，则m∥l，同理可得n∥l，故m∥n，与m，n为异面直线矛盾，故假设错误，故④正确．故选C．10．图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8﹣π B．8﹣πC．8﹣π D．8﹣π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知：该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体，结合图中数据，计算它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为V=23﹣××π×12×2=8﹣．故选：D．11．正方形ABCD，沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则折后的异面直线AB与CD所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60° D．90°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】取BD中点O，连结AO、CO，以O为原点，OC为x轴，OD 为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出折后的异面直线AB与CD所成的角．【解答】解：取BD中点O，连结AO、CO，设正方形ABCD边长为，∵沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO⊥CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），=（0，﹣1，﹣1），=（﹣1，1，0），设折后的异面直线AB与CD所成的角为θ，则cosθ=|cos＜＞|===，∴θ=60°．∴折后的异面直线AB与CD所成的角为60°．故选：C．12．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图），则球的半径是（）A．cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据体积公式列方程解出球的r即可．【解答】解：设球的半径为r，则V水=8πr2，V球=4πr3，加入小球后，液面高度为6r，∴πr2•6r=8πr2+4πr3，解得r=4．故选D．二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分）13．两平行直线3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0的距离为2．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【分析】利用直线平行求出m，然后求解平行线之间的距离．【解答】解：两平行直线3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0，可得m=6，则两条平行线之间的距离为：=2．故答案为：2．14．直线l经过点A（3，﹣1），且在第四象限与两坐标轴围成等腰三角形，则直线l的方程为x﹣y﹣4=0．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】设直线l的方程为y+1=k（x﹣3），k＞0，根据题意在第四象限与两坐标轴围成等腰三角形，可得+3=3k+1，由此求得k的值，可得直线l的方程．【解答】解：∵直线l经过点A（3，﹣1），设直线l的方程为y+1=k （x﹣3），k＞0，则直线和x轴的交点为（+3，0），和y轴的交点为（0，﹣3k﹣1 ），根据题意可得+3=3k+1，即3k2﹣2k﹣1=0，求得k=1，或k=﹣（舍去），故直线l的方程为y+1=1（x﹣3），即x﹣y﹣4=0，故答案为：x﹣y﹣4=0．15．已知△ABC的三个顶点A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），则△ABC 的面积为5．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据A（1，3），B（3，1），求出AB的直线方程，和AB的距离，利用点到直线的距离就是AB为底的高，即可得△ABC 的面积．【解答】解：由A（1，3），B（3，1），设AB的直线方程为y=kx+b，则，解得：k=﹣1，b=4．AB的直线方程为x+y﹣4=0．C（﹣1，0）到直线AB的距离h=．AB的距离d==2．则△ABC 的面积S=×=5．故答案为：5．16．已知圆台的上、下底面半径分别是1cm、3cm，且侧面积等于两底面积之和，则圆台的母线长为cm．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据侧面积公式列方程解出．【解答】解：S=π，S′=9π，∴π（1+3）l=π+9π=10π，∴l=．故答案为：．17．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体对角线AC1的长是．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；L2：棱柱的结构特征．【分析】设长方体具有公共顶点的棱长分别为x，y，z，由题意建立方程组，三式相加可得结论．【解答】解：设长方体具有公共顶点的棱长分别为x，y，z，则三式相加可得x2+y2+z2=∴长方体对角线AC1的长是=故答案为：18．如图所示，在四面体VABC木块中，P为△VAC的重心，这点P 作截面EFGH，若截面EFGH是平行四边形，则该截面把木块分成两部分体积之比为．（埴体积小与体积大之比）【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知可得EH∥AC∥FG，且VH：VC=VE：VA=EH：AC=2：3，连接VF、VG、AG、AH，则多面体EFGHVB的体积等于四棱锥V﹣EFGH 的体积与三棱锥V﹣BFG的体积和，多面体EFGHAC的体积等于四棱锥A﹣EFGH的体积与三棱锥H﹣AGC的体积和．找出各多面体体积的关系得答案．【解答】解：如图，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EH=FG，且EH ∥FG，∴EH∥平面ABC，又EH⊂平面VAC，平面VAC∩平面ABC=AC，∴EH∥AC，则EH∥AC∥FG，∵P为△VAC的中心，∴VH：VC=VE：VA=EH：AC=2：3，而EH=FG，∴BF：BA=BG：BC=FG：AC=2：3．连接VF、VG、AG、AH，则多面体EFGHVB的体积等于四棱锥V﹣EFGH的体积与三棱锥V﹣BFG的体积和，多面体EFGHAC的体积等于四棱锥A﹣EFGH的体积与三棱锥H﹣AGC 的体积和．∵四棱锥V﹣EFGH的高是四棱锥A﹣EFGH的高的2倍，底面积相等，∴四棱锥V﹣EFGH的体积是四棱锥A﹣EFGH的体积的2倍；∵三棱锥V﹣BFG的底面积是三棱锥H﹣AGC的底面积的倍，高是3倍，∴三棱锥V﹣BFG的体积是三棱锥H﹣AGC的体积的4倍．设棱锥H﹣AGC的体积为V1，则三棱锥H﹣AFG的体积为，有四棱锥A﹣EFGH的体积是．∴多面体EFGHAC的体积等于，多面体EFGHVB的体积等于，∴多面体EFGHAC的体积与多面体EFGHVB的体积比等于．故答案为：．三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．已知两条直线l1：4x+（a+3）y+（3a﹣5）=0，l2：（a+5）x+2y﹣8=0，问a为何值时，l1与l2：（Ⅰ）平行；（Ⅱ）相交；（Ⅲ）垂直．【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）通过直线的斜率相等，截距不相等，判断直线平行，求出a的值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）直线不平行，直线即可相交，推出a的范围；（Ⅲ）当两条直线的斜率乘积是﹣1时，两条直线垂直，求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l1：4x+（a+3）y+（3a﹣5）=0的斜率为﹣，直线l2：（a+5）x+2y﹣8=0的斜率为﹣，∴﹣=﹣，解得a=﹣1，或a=﹣7，当a=﹣1时两条直线重合，舍去，∴a=﹣7时两条直线平行；（Ⅱ）两条直线相交，则两条直线不重合，不平行，∴a∈（﹣∞，﹣7）∪（﹣7，﹣1）∪（﹣1，+∞）；（Ⅲ）两条直线垂直，∴（﹣）（﹣）=﹣1，解得a=﹣．20．已知△ABC的顶点A（1，5），AB边上的中线CM所在直线方程为x﹣2y+5=0，AC边上的高BH所在直线方程为2x﹣y+5=0，求：（Ⅰ）顶点C的坐标；（Ⅱ）直线BC的方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）设顶点C的坐标为（m，n），利用条件以及线段的中点公式、两条直线垂直的性质，求得m、n的值，可得点C的坐标．（Ⅱ）设点B的坐标为（e，f），利用条件线段的中点公式，求得e、f的值，可得B的坐标，再利用式求得直线BC的方程．【解答】解：（Ⅰ）设顶点C的坐标为（m，n），则由点C在直线CM上，可得m﹣2n+5=0 ①．再根据AC⊥BH，可得•2=﹣1 ②，由①②求得，∴C（3，4）．（Ⅱ）设点B的坐标为（e，f），则AB的中点（，）在CM：x﹣2y+5=0上，∴﹣2•+5=0，即e﹣2f﹣4=0 ③．再根据点B的坐标为（e，f）满足BH所在直线方程2x﹣y+5=0，可得2e﹣f+5=0 ④，由③④求得，∴B（﹣，﹣），由两点式求得直线BC的方程为=，即25x﹣23y+17=0．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC'上的点（点D不同于点C），且AD⊥BC，F为B'C'的中点．求证：（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC'B'；（Ⅱ）直线A'F∥平面ADE．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）根据AD⊥BC，AD⊥BB′得出AD⊥平面BCC′B′，于是平面ADE⊥平面BCC'B'；（II）连结DF，证明四边形ADFA′是平行四边形得出A′F∥AD，于是A'F∥平面ADE．【解答】证明：（I）∵BB′⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB′，∵AD⊥BC，BB′∩BC=B，BB′⊂平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，∴AD⊥平面BCC′B′，又AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC'B'．（II）连结DF，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D是BC的中点，又F是B′C′的中点，∴B′F BD，∴四边形BDFB′是平行四边形，∴DF BB′，又BB′AA′，∴DF AA′，∴四边形ADFA′是平行四边形，∴A′F∥AD，又A′F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴A′F∥平面ADE．22．如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E为DD'的中点．（Ⅰ）求证BD'∥平面AEC；（Ⅱ）如图，设F为上底面A'B'C'D'一点，过点F在上底面画一条直线与CF垂直，并说明理由．【考点】LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）连接BD交AC于O，连接EO，则由中位线定理得OE∥BD′，故BD'∥平面AEC；（II）连结C′F，在上底面内过F作直线FM⊥C′F，则直线FM即为所求的直线；通过证明FM⊥平面CC′F即可得出结论．【解答】（I）证明：连接BD交AC于O，连接EO，∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，又E是DD′的中点，∴OE∥BD′，又OE⊂平面AEC，BD′⊄平面AEC，∴BD'∥平面AEC．（II）解：连结C′F，在上底面内过F作直线FM⊥C′F，则直线FM即为所求的直线．证明：∵CC′⊥平面A′B′C′D′，FM⊂平面A′B′C′D′，∴CC′⊥FM，又FM⊥C′F，C′F∩CC′=C′，∴FM⊥平面CC′F，又CF⊂平面CC′F，∴FM⊥CF．23．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面α，C是圆周上不同于A、B的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）过A作AD⊥PC（D为垂足），过D作DE⊥PB（E为垂足），求证：PB⊥平面ADE．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（I）由PA⊥平面ABC得PA⊥BC，结合AC⊥BC得出BC⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面PBC；（II）由BC⊥平面PAC得BC⊥AD，结合AD⊥PC得出AD⊥平面PBC，于是AD⊥PB，结合PB⊥DE得出PB⊥平面ADE．【解答】证明：（I）∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（II）由（I）可知BC⊥平面PAC，AD⊂平面PAC，∴BC⊥AD，又AD⊥PC，PC∩BC=C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴AD⊥PB，又PB⊥DE，AD∩DE=D，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，∴PB⊥平面ADE．。

2019-2020学年银川一中高一下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年银川一中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 角733°是( )A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是A.B.C.D.3. 半径为R 的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为( )A.B.C.D.4. sin(3π2−x)=35，则cos2x =( )A. −725B. 1415C. −1625D. 19255. 在△ABC 中，点M 是AB 的中点，N 点分AC 的比为AN ：NC =1：2，BN 与CM 相交于E ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13a⃗ +12b ⃗ B. 12a⃗ +23b ⃗ C. 25a⃗ +15b ⃗ D. 35a⃗ +45b ⃗ 6. 在△ABC 中，若a 2−c 2=2b ，tanAtanC =2，则b 等于( )A. 3B. 4C. 6D. 77. 已知f(x)=x 2，则f(3)的值为( )A. 0B. 2xC. 6D. 98. 已知sinα=√32，则sin(π−α)的值为( )A. 12B. −12C. √32D. −√329. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=4，且a ⃗ ⋅b ⃗ =−2，则a ⃗ 与b ⃗ 所成的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π610. 函数y =sinx −cosx 的图象可由函数y =sinx +cosx 的图象经过下列哪种变换得到( )A. 向右平移π4个单位 B. 向右平移π2个单位 C. 向左平移π4个单位D. 向左平移π2个单位11. 如图，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为30°，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λμ等于( ) A. √32 B. 2√33C. 12 D. 212. 已知，则=( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知B ，C 两点在圆O ：x 2+y 2=1上，A(a,0)为x 轴上一点，且a >l.给出以下命题：①OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为一1； ②△OBC 面积的最大值为1；③若a =√2，且直线AB ，AC 都与圆O 相切，则△ABC 为正三角形；④若a =√2，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，则当△OBC 面积最大时，|AB|=√6−√22； ⑤若a =√52，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，圆O 上的点D 满足OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线BC 的斜率是±12．其中正确的是______ (写出所有正确命题的编号)．14. 已知α∈(π6,π)，a ⃗ =(sin(2α+β),sinβ)，b ⃗ =(3,1)，且a ⃗ //b ⃗ ，设tanα=x ，tanβ=y ，记y =f(x)，当f(x)=13时，α=______．15. 在△ABC 中，BC =3，CA =4，AB =5，M 是边AB 上的动点(含A ，B 两个端点).若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA⃗⃗⃗⃗⃗ +μCB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则|λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ −μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是______ ． 16. 如图为函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π )的图象的一部分，该函数的解析式是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，一个角形海湾AOB，∠AOB=2θ(常数为锐角)⋅拟用长度为l(l为常数)的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中PQ⏜=l；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD=l．(1)求方案一中养殖区的面积S1；(2)求方案二中养殖区的最大面积(用θ，l表示)；(3)为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．18.已知0<α<π2，−π2<β<0，cosα=3√1010，cos(π4−β2)=√33．(1)求cos(α+π4)的值；(2)求sin(α+β2)的值．19. 已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，函数．(1 )求的值；(2)求的表达式；(3)若关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所求得的所有解的和记为，求的所有可能取值及相应的的取值范围．20. 平面曲线C 上的点到点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1的距离．(1)求曲线C 的方程；(2)点P 在直线y =−1上，过点P 作曲线C 的切线PA 、PB ，A 、B 分别为切点，求证：A 、B 、F 三点共线；(3)若直线PF 交曲线C 于D 、E 两点，设DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFE ⃗⃗⃗⃗⃗ , DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μPE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证λ+μ为定值，并求这个定值．21.已知a⃗=(√3sin(π+ωx),cosωx)，b⃗ =(sin(32π−ωx),−cosωx)，ω>0，设f(x)=a⃗⋅b⃗ 的最小正周期为π．(Ⅰ)求f(x)的单调增区间；(Ⅱ)当x∈(−π3,π6)时，求f(x)的值域；(Ⅲ)求满足f(α)=0且−1<α<π的角α的值．22.已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x−sin2x.(I)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．【答案与解析】1.答案：A解析：解：733°=2×360°+13°，733°的终边与13°终边相同，是第一象限角，故选：A．直接利用终边相同的角化简，判断象限角即可．本题考查象限角的判断，终边相同角的判断方法，基本知识的考查．2.答案：C解析：试题分析：根据题意，由于向量的大小和方向相等就是相等向量，故成立，对于B，由于，对于D，，故排除法．应该是，选C．考点：向量的加减法点评：主要是考查了向量的加减法是运算，属于基础题。

2019-2020学年南通市启东中学高一下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年南通市启东中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,−1)，B(2,0)，过A 的直线交x 轴于点C(a,0)，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则a =( )A. 14B. 34C. 1D. 432. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，则下列等式恒成立的是( )A. b =acosC +ccosAB. b =acosA +ccosCC. b =asinC +csinAD. b =acosC −ccosA3. 如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①BM//平面ADE ；②CN//平面ABF ；③平面BDM//平面AFN ；④平面BDE//平面NCF ．以上四个命题中，真命题的序号是( )A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④4. 经过点M(2,2)且在两轴上截距相等的直线是( )A. x +y =4B. x +y =2C. x =2或y =2D. x +y =4或x =y5. 在△ABC 中，∠A =90°，AB =1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. 1B. −1C. 0D. √26. 已知x 、y 满足x 2+(y −2)2=3，则yx 的取值范围是( )A. [−√3,√3]B. [−√33,√33] C. (−∞,−√3]∪[√3,+∞)D. (−∞,−√33]∪[√33,+∞)7. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且ca =cosB1+cosA ，则△ABC 为( )A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 三边均不相等的三角形8. 设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，若l//α，l//β，α∩β=m ，则( )A. l 与m 平行B. l 与m 相交C. l 与m 异面D. l 与m 垂直9. 在 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是，若，则 △ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形10. 若圆(x −1)2+(y +2)2=r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线2x −y +6=0的距离等于√5，则r 的取值范围是( )A. (0,2√5)B. (√5,3√5)C. (√5,2√5)D. (2√5,3√5)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11.其中真命题是 .(写出所有真命题的序号)12. 已知直线ax −y +a =0与直线x +2y −2=0平行，则实数a 的值为______．13. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2√3的半圆，若该圆锥的顶点及底面圆周在球O 的表面上，则球O 的体积为______．14. 在△ABC 中，若，则角的值是．15. 已知集合A ={x|(12)x >14}，B ={x|log 2(x −1)<2}.则A ∩B = ______ ． 16. 在△ABC 中，，则的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在如图所示的五面体ABCDEF 中，AB//CD ，AB =2AD =2，∠ADC =∠BCD =120°，四边形EDCF 为正方形，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)证明：在线段AB上存在一点G，使得EG//平面BDF；(2)求该五面体的体积．18.已知向量m⃗⃗⃗ =(2sinx,2cosx),n⃗=(√3cosx,cosx),f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−1．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移π6单位，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间[0,π8]上的最小值．19.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度1000km/ℎ，飞行员先看到山顶的俯角为18°30′，经过150s后又看到山顶的俯角为81°，求山顶的海拔高度(精确到1m)(sin18.5°≈0.317，sin81°≈0.988)20. 已知抛物线C ：y 2=4x ．(Ⅰ)过抛物线C 上的点P 向x 轴作垂线PQ ，交x 轴于点Q ，求PQ 中点R 的轨迹D 的方程； (Ⅱ)在曲线D 上求一点M ，使它到点N(3,0)的距离最小．21. 在△ABC 中，若|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅cosA +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅cosC =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅sinB (1)求角B 的大小； (2)求△ABC 的面积S ．22.如图，已知⊙O：x2+y2=1和定点A(2,2)，由⊙O外一点P(a,b)向⊙O引切线PQ，Q为切点，且满足|PQ|=|PA|．(Ⅰ)求实数a，b之间满足的关系式；(Ⅱ)求线段PQ的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：【试题解析】本题考查直线的斜率公式和二倍角公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．设直线AC的倾斜角β是直线AB倾斜角α的2倍，即有tanβ=tan2α，运用两点的斜率公式和二倍角公式，解方程可得a的值．解：设直线AC的倾斜角β是直线AB倾斜角α的2倍，即有tanβ=tan2α=2tanα1−tanα，由k AC=1a ，k AB=12，即有1a =2×121−14，解得a=34．故选B．2.答案：A解析：解：选项A，等式右边=a⋅a2+b2−c22ab +c⋅b2+c2−a22bc=2b22b=b=左边，即选项A正确；选项B，等式右边=a⋅b2+c2−a22bc +c⋅a2+b2−c22ab≠左边，即选项B错误；选项C，由正弦定理知，asinA =bsinB=csinC，若选项C成立，则sinB=sinAsinC+sinCsinA，∵A+B+C=π，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosC，sinA=cosA，∴A=C=π4，B=π2，即只有当A=C=π4，B=π2时，选项C才是正确的，故并不是恒成立，选项C错误；选项D，等式右边=a⋅a2+b2−c22ab −c⋅b2+c2−a22bc=2(a2−c2)2b≠左边，即选项D错误．故选：A．根据余弦定理，对选项A，B和D中等式右边的式子进行化简，看能否恒等于左边；结合正弦定理、三角形的内角和与两角和公式可判断选项C．本题考查解三角形，熟练运用正弦定理和余弦定理是解题的关键，属于基础题．3.答案：A解析：解：由正方体的平面展开图可得此正方形为ABCD−EFMN，由图可得：①②③④均正确，故选：A．先由正方体的平面展开图可得此正方形为ABCD−EFMN，再由图结合线面平行，面面平行的判定定理可得①②③④正确，得解，本题考查了线面平行，面面平行的判定定理，属中档题．4.答案：D解析：本题主要考查用两点式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，用两点式求得直线方程；当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M(2,2)代入，求得k=4，可得直线方程，综合可得结论．解：当直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，方程为y−02−0=x−02−0，即x=y．当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M(2,2)代入可得2+2=k，求得k=4，可得直线方程为x+y=4．故所求直线方程为x=y或x+y=4．故选D．5.答案：B解析：解：如图，∵∠A =90°； ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0；又AB =1；∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0−1 =−1．故选：B ．可画出图形，根据条件可得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1，而BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 进行数量积的运算即可求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．考查向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算．6.答案：D解析：设直线方程为y =kx ，再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，求得yx 的取值范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线的斜率公式，属于基础题．解：由题意可得，yx 表示圆x 2+(y −2)2=3上的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率，设为k ，故此直线方程为y =kx ，再根据圆心(0,2)到直线的距离小于等于半径，可得√k 2+1≤√3，求得k ≤−√33或k ≥√33，故yx 的取值范围是k ≤−√33或k ≥√33，故选D ．7.答案：C解析：解：由余弦定理，可得cosA=b2+c2−a22bc ，cosB=a2+c2−b22ac，代入已知等式，得ca =a2+c2−b22ac1+b2+c2−a22bc去分母化简，整理可得，b(a2+c2−b2)=2bc2+c(b2+c2−a2)…(2分)整理，得(c+b)(b2+c2−a2)=0，∵b+c>0，∴b2+c2−a2=0，…(6分)因此，b2+c2=a2可得△ABC是以A为直角的直角三角形，.…(8分)故选：C．把余弦定理代入已知条件，化简可得(c+b)(b2+c2−a2)=0，故有b2+c2=a2，由此即可判断△ABC的形状．本题主要考查余弦定理的应用，判断三角形的形状，式子的变形，是解题的关键，属于中档题．8.答案：A解析：本题考查了空间中的直线与平面的位置关系应用问题，是基础题．根据题意画出图形，结合图形即可得出结论．解：如图所示，α，β是两个不同的平面，l是一条直线，当l//α，l//β，且α∩β=m时，l//m．故选A．9.答案：D解析：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力．由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA(sinB−sinA)=0，从而可得或B=A或B=π−A(舍去)．解：∵c−acosB=(2a−b)cosA，C=π−(A+B)，∴由正弦定理得：sinC−sinAcosB=2sinAcosA−sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB−sinAcosB=2sinAcosA−sinBcosA，∴cosA(sinB−sinA)=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴或B=A或B=π−A(舍去)，故选：D．10.答案：B解析：解：∵圆(x−1)2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心到直线2x−y+6=0的距离为d= =2√5，√5当r=√5时，圆上只有一个点到直线的距离等于√5，当r=3√5时，圆上有三个点到直线的距离等于√5，∴圆(x−1)2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线2x−y+6=0的距离等于√5时，圆的半径r的取值范围是：√5<r<3√5，故选：B．先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考虑，求出圆上有三个点到直线的距离等于√5，以及圆上只有一个点到直线的距离等于√5的条件，可得要求的r的范围．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．11.答案：④.解析：本题由题设条件，对四个选项逐一判断即可，①选项用线线平行的条件进行判断；②选项用线面平行的条件判断；③选项用线面垂直的条件进行判断；④选项用面面垂直的条件进行判断，解：①选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；②选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；③选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；④选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．其中正确的命题是④．故答案为：④．12.答案：−12解析：解：∵直线ax−y+a=0与直线x+2y−2=0平行，∴a1=−12≠a−2，解得a=−12，∴实数a的值为−12．故答案为：−12．利用直线ax−y+a=0与直线x+2y−2=0平行的性质能求出实数a的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：解析：本题考查球体的体积的计算，考查外接球模型的应用，考查了计算能力，是中档题．由题中条件得出圆锥的母线长l，根据圆锥的侧面展开图弧长等于底面圆周长可计算出底面圆半径r，再利用勾股定理可计算出圆锥的高h，利用公式2R=l2ℎ求出球O的半径，最后利用球体体积公式可得出答案．解：设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，球O 的半径为R ，则πl =2πr ，得r =l2=√3，圆锥的高为ℎ=√l 2−r 2=√(2√3)2−(√3)2=3， ∴球O 的直径为2R =l 2ℎ=(2√3)23=4，∴R =2．因此，球O 的体积为V =43π×R 3=32π3．故答案为：32π3．14.答案：解析：试题分析：根据题意，由于，那么由正弦定理可知因为A >B ，因此可知角A 的值为两个解，分别是60°或120°。

2020年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案(共五套)

范文2020年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案(共1/ 7五套)2020 年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（共五套）2020 年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（一）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，有且只有一个选项正确） 1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ 是（） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的 150 名学生和来自农村的 150 名学生中抽取 100 名学生的样本；②某车间主任从 100 件产品中抽取 10 件样本进行产品质量检验． I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（） A．①配 I，②配Ⅱ B．①配Ⅱ，②配Ⅰ C．①配 I，②配I D．① 配Ⅱ，②配Ⅱ 3．某研究机构对儿童记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析，得到如下数据：记忆能力 4 6 8 10 x 识图能力 3 5 6 8 y 由表中数据，求得线性回归方程为， = x+ ，若某儿童的记忆能力为 11 时，则他的识图能力约为（） A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．9 4．如果如图所示程序执行后输出的结果是 480，那么在程序 UNTIL 后面的“条件”应为（） A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=8 5．若，，则 sin（2π﹣α）=（） A． B． C． D． 6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，用 0，1，2，3，4 表示下雨，用 5，6，7，8，9 表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（） A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.503/ 77．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C． D． 8．若sinα= ，cosα=﹣，则在角α 终边上的点是（） A．（﹣4，3） B．（3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣3，4） 9．记集合 A={x，y）|x2+y2≤4}和集合 B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1 内任取一点 M （x，y），则点 M 落在区域Ω2 内的概率为（）A． B． C． D． 10．当 x= 时，函数 f（x）=Asin（x+φ）（A ＞0）取得最小值，则函数 y=f（﹣x）是（） A．奇函数且图象关于直线 x= 对称 B．偶函数且图象关于点（π，0）对称 C．奇函数且图象关于（，0）对称 D．偶函数且图象关于点（，0）对称二、填空题：（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将正确的答案填在横线上） 11．已知扇形 AOB 的周长是 6，中心角是 2 弧度，则该扇形的面积为． 12．设a=sin33°，b=co s55°，c=tan35°，则 a，b，c 三数由大到小关系为． 13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的 a?p= ．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组 [25，30） 120 0.6 第二组 [30，35） 195 p 第三组 [35，40） 100 0.5 第四组 [40，45）a 0.4 第五组 [45，50） 30 0.3 第六组 [50，55） 15 0.3 14．已知函数 f（x）=x+sinπx，则 f（（）的值为．）+f （）+f（）+…+f 三、解答题：（本大题有 3 个小题，共 30 分．请书写完整的解答过5/ 7程） 15．（10 分）某中学调查了某班全部 50 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社未参加书法社团团参加演讲社团 8 6 未参加演讲社 6 30 团（I）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学 B1，B2，B3，现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率． 16．（10 分）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以 [160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260）， [260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中 x 的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取 10 户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？17．（10 分）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求 sinx?cosx 的7/ 7。

甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

兰州一中2020-2021-2学期高一年级期中考试试题参考答案数学命题：何乃文审题：陈小豹本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．将两个数1,2a b ==交换，使2,1a b ==，下列语句正确的是（）.A ．=,=a b b aB ．=,=b a a bC ．=,=,=a c c b b aD ．=,=,=c b b a a c 2．袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（） A ．“至少有一个黑球”和“没有黑球”B ．“至少有一个白球”和“至少有一个红球”C ．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D ．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”3．已知实数,x y 满足22430x y x +-+=,则）AB ．C ．1D ．24．某公司从代理的A ，B ，C ，D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A ，B ，C ，D 四种产品的数量比是2：3：2：4，则该样本中D 类产品的数量为（） A ．55件B ．40件C ．33件D ．22件5．某公司在2016－2020年的收入与支出如下表所示：根据表中数据可得回归方程为ˆ0.8a yx =+，依此估计2021年该公司收入为8亿元时支出为（） A ．4．2亿元B ．4．4亿元C ．5．2亿元D ．5．4亿元6．下列各数中最大的数是（） A ．()985B ．()6210C ．()41000D ．()21111117．根据下面茎叶图提供了甲、乙两组数据，可以求出甲、乙的中位数分别为（）A ．24和29B ．26和29C ．26和32D ．31和298．我校高中数学兴趣小组在国际数学日（每年3月14日）开展相关活动，其中一个活动是用随机模拟实验的方法获得π的近似值.现通过计算器随机获得500个点的坐标（x ，y ）()01,01x y <<<<，其中有399个点的坐标满足221x y +≤，据此可估计π的值约为（） A ．3.19B ．3.16C ．3.14D ．3.119.一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（） A ．40.6, 1.1B ．48.8, 4.2C ．81.2, 44.4D ．78.8, 75.610．已知圆O ：x 2+y 2=4上到直线l ：x +y =a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为（）A ．[-B ．(,)-∞-⋃+∞C ．(-D ．(-11．从标有1、2、3、…、9的9张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率是（） A ．1318B ．1118C ．718D ．1212．曲线1y =与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．5012⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．5+12⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， C ．1334⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．53124⎛⎤⎥⎝⎦，第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个容量为n 的样本分成若干个小组，已知某组的频数和频率分别是48和0.3，则n ＝________. 【答案】16014．下图是一个算法的流程图，则输出的e 值是_______【答案】515．由点(1,3)P -向圆222220x y x y ++--=作的切线方程为___________．【答案】1x =或3490x y ++=16．在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1,0)，B (3,0),C (0,a )，D (0,a +2)，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是．（注：PA 表示点P 与点A 之间的距离）【答案】1⎡⎤-⎣⎦三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）同学小王通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书. 求小王周末不在家看书的概率.解析：∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝⎛⎭⎫122π×12＝34，……………3分去打篮球的概率P 2＝π×⎝⎛⎭⎫142π×12＝116， ……………6分 ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.故小王周末不在家看书的概率：1316 ……………10分18．（本小题12分）已知直线:30l kx y k --=与圆22:8290M x y x y +--+=.（Ⅰ）求证：直线l 必过定点，并求该定点；（Ⅱ）当圆M 截直线l 所得弦长最小时，求k 的值.【解析】（Ⅰ）证明：直线l 方程可化为：()30k x y --=，对上式中，当3,0x y ==时，不论k 取何值，等式恒成立，所以直线l 恒过点()3,0A .……………4分（Ⅱ）将圆M 的方程化为：()()22418x y -+-=，圆心为()4,1M ，半径r =由（Ⅰ）知，直线l 恒过点()3,0A ，当圆M 截直线l 所得弦长最小时，则MA 垂直于直线l ， ……………8分即1MA k k ⋅=-.()4,1M ，()3,0A ，10143MA k -∴==-，1k ∴=- 所以当圆M 截直线l 所得弦长最小时，k 的值为1- .……………12分 19．（本小题12分）一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：（1）2只球都是红球的概率（2）2只球同色的概率（3）“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？【解析】记两只白球分别为1a ，2a ；两只红球分别为1b ，2b ；两只黄球分别为1c ，2c 从中随机取2只的所有结果为()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()11,a c ，()12,a c ，()21,a b ，()22,a b ，()21,a c ，()22,a c ，()12,b b ，()11,b c ，()12,b c ，()21,b c ， ()22,b c ，()12,c c 共15种（1）2只球都是红球为()12,b b 共1种，概率115P =……………4分（2）2只球同色的有：()12,a a ，()12,b b ，()12,c c ，共3种，概率31155P ==……………8分（3）恰有一只是白球的有：()11,a b ，()12,a b ，()11,a c ，()12,a c ，()21,a b ，()22,a b ，()21,a c ，()22,a c ，共8种，概率815P =; 2只球都是白球的有：()12,a a ，概率115P =……………12分所以：“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍 20．（本小题12分）某企业为了增加某种产品的生产能力，决定改造原有生产线，需一次性投资300万元，第一年的年生产能力为300吨，随后以每年40吨的速度逐年递减，根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，该设备的使用年限为3年，该产品的销售利润为1万元/吨．(Ⅰ)根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数(x 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立．()i 根据频率分布直方图估计年销售利润不低于180万的概率和不低于220万的概率； ()ii 试预测该企业3年的总净利润.(3年的总净利润3=年销售利润一投资费用)【解析】(Ⅰ)年销量的平均数0.11200.21600.32000.252400.15280206(x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=吨)． (Ⅱ())i 该产品的销售利润为1万元/吨，由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于220吨时，年销售利润才不低于220万，∴年销售利润不低于220万的概率0.30.250.150.7P =++=．()ii 由(Ⅰ)可知第一年的利润为：2061206(⨯=万元)，第二年的利润为：()0.11200.21600.32000.42401200(⨯+⨯+⨯+⨯⨯=万元)，第三年的利润为：()0.11200.21600.72001184(⨯+⨯+⨯⨯=万元)，∴预测该企业3年的总净利润为：206200184300290(++-=万元)．21．（本小题12分）我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作λ.已知圆1C :221x y +=，直线:340l x y m -+=.（Ⅰ）若直线l 关于圆1C 的距离比2λ=，求实数m 的值；（Ⅱ）当0m =时，若圆2C 与y 轴相切于点()0,3A ，且直线l 关于圆2C 的距离比65λ=，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系，并说明理由.【解析】（Ⅰ）由直线关于圆的距离的比的定义得：25m =，所以10m =±（Ⅱ）当0m =时，直线:340l x y -=，圆2C 与y 轴相切点于(0,3)A所以可设2C ：222()(3)x a y a -+-=3126545a a a -=⇒=-或43①当4a =-时，2C ：22(4)(3)16x y ++-=两圆的圆心距5d =，两圆半径之和为145+=，因此两圆外切 ②当43a =时，2C ：22416()(3)39x y -+-=两圆的圆心距48433d =-+=大于两圆的半径之和47133+=，因此两圆外离 22．（本小题12分）已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （C ）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程bx ay e+=来拟合，令ln z y =，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：表中ln i i z y =，7117i i z z ==∑．（Ⅰ）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（Ⅱ）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26~36C C 之间（包括26C 与36C ），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据： 3.28227e ≈， 3.79244e ≈，5.832341e ≈， 6.087440e ≈， 6.342568e ≈．）附：对于一组数据()11,v ω，()22,v ω，…，(),n n v ω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii v v ωωβωω==--=-∑∑．【解析】（Ⅰ）因为z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，设ˆˆˆz abx =+． ()()()7172146.418ˆ0.255182iii ii x x zz bx x ==--===-∑∑，所以ˆˆ 3.5370.25527 3.348a z bx=-=-⨯=-，故z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.255 3.348zx =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得ln 0.255 3.348y x =-，于是产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.255 3.348x y e -=,当26x =时，0.25526 3.3483.28227y ee ⨯-==≈；当36x =时，0.25536 3.3485.832341y e e ⨯-==≈；因为函数0.255 3.348x y e-=为增函数，故气温在26~36C C 之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是[]27.341内的正整数．。

2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题(含答案)

2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在中，已知，则角为（）A ．A ．C ．D ．或2．若向量，，且，则（） A ． B ．C ．D ． 3．复数的共轭复数为（）A ．B ．C ．D ．4．设两个单位向量，的夹角为，则（） A ．CD ．5．已知一条边在x 轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )A ．16B ． 16或64 C. 64 D ．以上都不对6．若实数，，满足，则的值是（） A ．2B ．-3C ．D.17．在中，若，则的形状是（） A ．等腰直角三角形 B．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形8．已知（，为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9．给出下列结论，则结论正确的为（）A ．若向量，，且，则B ．，，与的夹角为，则ABC △222a b c bc =++A 2π3π3π6π32π3(3,2)=a (1,)m =-b ∥a b m =23-233232-()2019i 12i z =--2i -2i +2i --2i -+a b 2π334+=a b 17x y ()()1i 1i 2x y ++-=xy 2-ABC △2cos sin sin B A C ⋅=ABC △221(32)i z m m m =-+-+m ∈R i 1m =-z (1,3)=a (2,)x =b ∥a b 6x =||2=a ||4=b a b 60°|2|+=a bC ．向量，，m.n=0则 D ．已知向量，，则与的夹角为 10．下列命题中，不正确的是（） A ．两个复数不能比较大小；B ．若，则当且仅当且时，为纯虚数；C ．，则；D ．若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应．11．在中，角的对边分别为，若，且，，则的面积为（） A ．3B ．C ．D ．12．对于两个复数，，则下列说法正确的是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数，，且是实数，则实数等于．14．如图，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进后，又从点测得斜度为，假设建筑物高，设山对于平地的斜度，则．(,2)x =m (4,2)x =+n 23x =-=a =b a b π6i(,)z a b a b =+∈R 0a =0b ≠z 221223()()0z z z z -+-=123z z z ==a i a ABC △,,A B C ,,a b c cos cos a A b B =2c =3sin 5C =ABC △231361α=-+122β=--1αβ=2αβ=||2||αβ=337αβ-=134i z =+2i z t =+12z z ×t A C 15︒100m B 45︒50m θcos θ=15．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积等于-------------------16．在中角，，的对边分别是，，，且，，若，则的最小值为．四·解答题：(本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．18. (12分）如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，BC ＝CE ＝2.上面是一个三棱锥，且AA 1⊥底面A 1B 1C 1，且AE ＝A1E ＝3，求组合体的表面积和体积．19.(12分）已知复数，m是实数，根据下列条件，求值．（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）．ABC△A B C a b c sin sin sin sin sin 3a Ab B cC B C +-=a =[1,3]b ∈c x 2(2i)2i 0x k x k ++++=k 22(232)(2)i z m m m m =+-++-m z z z 0z =20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 21.(12分)已知a =(1,2),b =(-3,1). (1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值;(3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求实数k 的值.22．（12分）已知向量，，且．（1）求及；（2）若的最小值为，求实数的值．高一数学答案一．AACCB DCC二．9.ACD 10，ACD 11,AC 12,BCD17．（12分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．【答案】方程的实根为或值为或．【解析】设是方程的实数根，代入方程并整理得，由复数相等的条件得，解得或∴方程的实根为，相应的值为或．ABC△,,A B C ,,a b c222sin sin sin sin sinA C A CB +-=B ABC △ABC △33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λx 2(2i)2i 0x k x k ++++=k x =x =k k =-k =0x 2000(2)(2)i 0x kx x k ++++=20002020x kx x k ⎧++=⎨+=⎩0x k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩0x k ⎧=⎪⎨=⎪⎩x =x =k k =-k =18.19．（10分）已知复数，，根据下列条件，求值．（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）．【答案】（1）或；（2）且；（3）；（4）．【解析】（1）当，即或时，为实数．（2）当，即且时，为虚数．（3）当，解得，即时，为纯虚数．（4）令，解得，即时，．20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．22(232)(2)i z m m m m =+-++-m R Îm z z z 0z =2m =-1m =2m ≠-1m ≠12m =2m =-220m m +-=2m =-1m =z 220m m +-≠2m ≠-1m ≠z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩12m =12m =z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-=⎩2m =-2m =-0z =ABC △,,A B C ,,a b c 222sin sin sin sin sin A C A C B +-=（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，由正弦定理得，，，即，又∵，．（2）由（1）知，且外接圆的半径为，，解得，由正弦定理得，又，， 21.(10分)已知a =(1,2),b =(-3,1).(1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值; (3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求k 的值.【答案】（1）（7,0），（2）-√5050.（3）k=±√22.【解析】(1)a -2b =(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0). (2)cos θ=a ·b|a |·|b |=√2√2=-√5050.(3)因为向量a +k b 与a -k b 互相垂直, 所以(a +k b)·(a -k b)=0,即a 2-k 2b 2=0,因为a 2=5,b 2=10,所以5-10k 2=0,解得k=±√22.B ABC △ABC △π3B =(5+⎤⎦222sin sin sin sin sin A C A C B +-=222a c acb +-=222a b b ac +-=222122a b b ac +-=1cos 2B =()0,πB ∈π3B =π3B =323=⨯5b =2sin sin a c A C ===sin )a c A C +=+2π3A C +=2ππsin()]10sin()336a c A A A +=+-=+22．（12分）已知向量，，且．（1）求及；（2）若的最小值为，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由已知可得，，，，．（2）由（1）得，，．①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾； ②当，当且仅当时，取得最小值，由已知可得，解得；③当时，当且仅当时，取得最小值，由已知可得，解得，与矛盾，综上所得，．为锐角三角形，且，又，得，，， 33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λcos2x ⋅=a b 2cos x +=a b 12λ=33coscos sin sin cos 22222x xx x x ⋅=⋅-⋅=ab +===a b π[0,]2x ∈Q cos 0x ∴≥2cos x ∴+=a b 222()cos 24cos 2cos 4cos 12(cos )12f x x x x x x λλλλ=-=--=---π[0,]2x ∈Q 0cos 1x ≤≤0λ<cos 0x =()f x 1-01λ≤≤cos x λ=()f x 12λ--23122λ--=-12λ=1λ>cos 1x =()f x 14λ-3142λ-=-58λ=1λ>12λ=ABC △π02A <<π02C <<2π3C A =-ππ62A <<πsin()62A +∈(a c +∈⎤⎦故的周长的取值范围是．ABC△(5+⎤⎦。

高一下学期期中数学试卷-(解析版)

高一下学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．2021°角是第象限角．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为．3．已知tanθ＝2，则＝．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．7．已知，若，则sinα＝．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是米．（精确到0.1米）9．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为．11．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是．12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一.填空题1．2021°角是第三象限角．解：2021°＝360°×5+221°，是第三象限角．故答案为：三．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为2．解：设扇形的半径为r，则×2×r8＝2，∴扇形的弧长＝2×＝4．故答案为：2．3．已知tanθ＝2，则＝．解：∵tanθ＝2，∴＝＝．故答案为：．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为[0，1] ．解：设t＝2x﹣1，∵反正弦函数y＝arcsin t的定义域为[﹣1，1]，所以函数的定义域为：[0，7]．故答案为：[0，1]．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．解：因为，所以a3＝S1＝2﹣3+1＝0，当n≥7时a n＝S n﹣S n﹣1＝（2n6﹣3n+1）﹣[2（n﹣1）2﹣3（n﹣5）+1]＝4n﹣5，∴a n＝．故答案为：．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．解：由题意可得cosα＝，则sin（）＝cosα＝．故答案为：﹣7．已知，若，则sinα＝．解：，所以α+∈（，），又，所以sin（α+）＝＝；＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝．故答案为：．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是236.6 米．（精确到0.1米）解：设电视塔的高度为x，则在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则，解得．由于，整理得，解得x≈236.5．故答案为：236.69．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于1925 ．解：∵等差数列{a n}、{b n}满足a1＝1，b6＝4，a25+b25＝149，∴数列{a n+b n}的前25项和＝+＝+（a25+b25）＝+×149＝1925．故答案为：1925．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134 ．解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余7的数，故a n＝15n﹣14．得n≤135，故此数列的项数为135﹣1＝134．故答案为：13411．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是[﹣3，﹣2] ．解：设x＝cosθ，．则f（x）＝4x4﹣3x﹣2＝4cos6θ﹣3cosθ﹣2＝cos3θ﹣2．∴cos3θ﹣5．∈[﹣3，﹣2]故答案为：[﹣3，﹣2]12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．解：根据题意作出图象如下，设f（x）＝sin（ωx）的最小正周期为，所以，即，解得；若A1A4A5A7为菱形，则若A1A k﹣1A k A m为菱形，则，解得，故答案为：．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要解：tan x＝1⇔x＝kπ+，k∈Z．∴“tan x＝1”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位解：只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象向左平移个长度单位，可得函数y＝3sin[2（x+）﹣]＝2sin（2x+）的图象，故选：D．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．解：∵等差数列前n项和S n＝•n2+（a1﹣）n，由S15＝15a8＞0，S16＝16×＜0可得：故Sn最大值为S8．故S n最大且a n取最小正值时，有最大值，故选：D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11解：设＝＝…＝＝k，则条件等价为f（x）＝kx，的根的个数，由图象可知y＝kx与函数f（x）最多有10个交点，故选：C．三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．解：（1）∵，，∴cosα＝﹣＝﹣，∵，∴．∴tan（α﹣2β）＝＝＝．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．解：（1）当n＝1时，f（x）＝sin x+cos x＝（sin x+cos x）＝cos（x）．∴f（x）≠f（﹣x）≠﹣f（﹣x），∴f（x）为非奇非偶函数；当时，，此时x的取值集合是；当cos x＝﹣1时，f（x）min＝﹣1，此时x的取值集合是{x|x＝2kπ+π，k∈Z}．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．解：（1）由4sin B•sin2（+）+cos2B＝1+，得：2sin B•[7﹣cos（+B）]+1﹣2sin2B＝1+，可得sin B＝，∴B＝，或B＝；∴ac sin B＝×4×c×＝5，解之得c＝6，∴当B＝时，b＝＝；即边b的值等于或．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．∴2a1+5d＝﹣2，2a1+10d＝8，∴a n＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8．∴当n＝2或4时，S n取得最小值，（3），∴数列{b n}的前10项和＝﹣2﹣1﹣1+8+0+0+0+1+2+8＝2．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+6，x∈R；∴f（x）的最小正周期为T＝＝π，值域为[﹣1，3]；解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，（3）若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x2）＝f（x2）恒成立，由g（x）的值域为[﹣a，a]，f（x）的值域为[﹣1，8]，解得0＜a≤；所以实数a的取值范围是（0，]．。

2020-2021学年度第二学期期中考试高一数学试卷含详解

2020-2021 学年度第二学期期中考试
高一数学
一、选择题（共 12 小题）
1.等差数列{an}中， a3 3 ， a2 a10 18 ，则数列{an}的公差为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.已知 △ABC 中， a 2 ， b 3 ， B 60 ，那么角 A 等于（）
A．135
c
，则
a
c
D．若
a
/
/b
，
b
/
/c
，则
a
/
/c
5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差为 d ，且满足 a1 0 ， S11 S18 ，则对 Sn 描述
正确的有（）
A. S14 是唯一最小值
B. S15 是最小值
C. S29 0
D. S15 是唯一最大值
6.为了测量某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 40m 的楼顶处测得塔底 A 的俯角为
第 3页（共 7页）
21.设各项为正数的数列 an的前 n 和为 Sn ,且 Sn 满足: Sn2 (n2 n 3)Sn 3(n2 n) 0, n N .等
比数列 bn满足：
log 2
bn
1 2
an
0
.
(Ⅰ)求数列 an, bn的通项公式;
(Ⅱ)设 cn an bn ，求数列 cn的前 n 项的和 Tn ；
A．
PA
1
BA
2
BC
C．
PA
3 1
BA
3 2
BC
33
B．
PA
2
BA
1
BC
D．
PA
3 2

人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

2020最新高一下册期中数学试卷及答案

第二学期期中试卷数学学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.cos45cos15sin 45sin15-o o o o =A． BC ．12-D ．122. 已知1tan 3α=，则tan2α=A.34B.38C.1D.12 3. 下列等式中恒成立的是AA. ππ1sin cos()cos sin()662αααα+-+=-B.π1tan tan(+)41tan ααα-=+C. πsin()sin cos 4ααα+=+ D.sin cos sin ααα=4.若数列{}n a 满足212n n a -=，则A. 数列{}n a 不是等比数列B. 数列{}n a 是公比为4的等比数列C. 数列{}n a 是公比为2的等比数列D. 数列{}n a 是公比为1的等比数列5.在△ABC 中，∠B A. 45°6.1135(2n -+++++L A.21n - B.7. 已知△ABC A ．310C ．358.已知钝角．．三角形ABC 的公差d 的取值范围是A.02d << B. 1sin10-o= A ．2 B 10.已知数列{}n a A.C.二、填空题：本大题共611.若等差数列{}n a n 12.在△ABC 中，∠B ＝60°，a ＝2，c ＝3，则b =_________.13.若等比数列{}n a 中，122,6a a ==，则12n a a a +++=L _________.14.已知数列{}n a 满足1112n n a a --=（2,n n ≥∈N ），且313a =，则1a =___________,数列{}n a 的通项公式为___________.15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若A B >，给出下列四个结论： ①a b >；②sin sin A B >；③cos cos A B <；④tan tan A B >. 其中所有正确结论的序号是_______________. 16.已知数列{}n a 满足1n n a a n -+=（2,n n ≥∈N ），且11a =-，则10a =___________,其前21k -*()k ∈N 项和21k S -=_______________.三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分）已知等差数列{}n a 满足39a =-，公差3d =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和n S 是否存在最小值？若存在，求出n S 的最小值及此时n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题共12分）已知函数2()2cos (1tan )f x x x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]4上的值域.19. （本小题共11分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n n a S =-()*n ∈N .（Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅲ）若数列{}n b 满足22n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题共10分）如图所示，在山顶P 点已测得三点A ，B ，C 的俯角分别为,,αβγ，其中A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，现欲沿直线AC 开通穿山隧道，为了求出隧道DE 的长，至少还需要直接测量出,,AD EB BC 中的哪些线段长？把你上一问指出的需要测量的线段长和已测得的角度作为已知量，写出计算隧道DE 的步骤.解1：步骤1：还需要直接测量的线段为步骤2：计算线段计算步骤：步骤3：计算线段计算步骤：A C γαβ步骤4：计算线段计算步骤：答案数学学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.DAABA ACCDB二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11.2-31n - 14.1-，123n - 15.①②③ 16. 7，22k - 说明：两空的题目第一空1分，第二空2分；第15题对一个一分，有错误选支0分三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分）解：（Ⅰ）因为{}n a 是等差数列，且39a =-，公差3d =，所以由192a d -=+可得115a =-，-----------------------------------------------------------------1分所以数列{}n a 的通项公式为153(1)n a n =-+-，即318n a n =-.-------------------------3分（Ⅱ）法1：由等差数列求和公式可得(1)1532n n n S n -=-+⨯--------------------------5分即223311121(11)[()]2224n S n n n =-=-- ----------------------------------------------------6分所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. -------------------------------------------------9分法2：因为318n a n =-，所以，当6n <时，0n a <；当6n =时，0n a =；当6n >时，0n a >，即当16n <<时，1n n S S -<；当6n =时，1n n S S -=；当6n >时，1n n S S ->，--------6分所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. --------------------------------------------------9分18.（本小题共12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z .-------------------------------------2分（Ⅱ）因为2()2cos (1tan )f x x x =+22cos 2sin cos x x x =+-------------------------------------------------------4分1cos2sin2x x =++------------------------------------------------------------8分π1)4x =++-----------------------------------------------------------10分因为π[0,]4x ∈，所以ππ3π2[,]444x +∈，--------------------------------------------------------11分所以()f x 在区间π[0,]4上的值域为[2,1.------------------------------------------------12分19. （本小题共11分）解：（Ⅰ）由24n n a S =-()*n ∈N 可得1124a S =-，即1124a a =-，-------------------1分解得14a =-.----------------------------------------------------------------2分（Ⅱ）由24n n a S =-()*n ∈N 可得1124,1,n n a S n n --=->∈N ，--------------------------3分所以1122,1,n n n n a a S S n n ---=->∈N ，即122,1,n n n a a a n n --=>∈N ，----------------4分整理得12,1,n n a a n n -=>∈N ， --------------------------------------5分因为140a =-≠，所以数列{}n a 是公比为2的等比数列.----------------------------------------------------------6分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可得数列{}n a 是以4-为首项且公比为2的等比数列，所以11422n n n a -+=-⨯=-， ----------------------------------------------------------------7分所以212222n n n b a n n +=+=-+，---------------------------------------------------------------8分所以数列{}n b 的前n 项和n T 是一个等比数列与等差数列的前n 项和的和-----------------9分由等比数列和等差数列的前n 项和公式可得8(14)(22)142n n n n T --+=+-----------------------------------------------------------11分28(41)3n n n =+-⨯-.20. （本小题共10分）解1：步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD EB BC -------------------------------------------2分步骤2：计算线段PC 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；---------------3分由正弦定理可得sin sin BC PCBPC PBC =∠∠， --------------------------------5分整理可得sin sin()BC PC ββγ=-； ---------------------------------------------------6分步骤3：计算线段AC 的长.计算步骤：在PAC ∆中，PAC α∠=，πAPC αγ∠=--，由正弦定理sin sin AC PCAPC PAC =∠∠， ---------------------------------------8分整理可得sin()sin PC AC αγα+=； -----------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.sin sin()sin sin()BC DE AC AD EB BC AD EB BC βαγαβγ+=---=----.-----------10分A C γαβ解2：步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD BE BC --------------------------------------------2分步骤2：计算线段PB 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；----------------3分由正弦定理可得sin sin BC PBBPC PCB =∠∠， ---------------------------------5分整理可得sin sin()BC PB γβγ=-；-----------------------------------------------------6分步骤3：计算线段AB 的长.计算步骤：在PAB ∆中，PAB α∠=，πAPB αβ∠=--，由正弦定理sin sin AB PBAPB PAB =∠∠， ---------------------------------------8分整理可得sin()sin PB AB αβα+=；------------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.。

江苏省徐州市邳州市运河中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题及答案(实验班)

2020——2021高一年级第二学期中考试数学试卷（实验班）注意事项：1．本试卷共8页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）三部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答题空格内．考试结束后，交回答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若复数z 满足()12i z i +=+，则复数z 的虚部是（）A ．-B ．C D3．若平面内两条平行线1l ：(1)20x a y +-+=，2l ：210ax y ++=间的距离为5，则实数a =（） A ．2-B ．2-或1C ．1-D ．1-或24．吉希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆．已知(0,0)O ，(3,0)A ，圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上有且仅有一个点P 满足||2||PA PO =，则r 的取值可以为（） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点()()1,1P a a >在抛物线()220y px p =>上，过P 作圆()2211x y -+=的两条切线，分别交抛物线于点A ，B ，若直线AB 的斜率为1-，则抛物线的方程为（）A ．24y x =B ．22y x =C ．2y x =D ．24x y =6.北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状（如图1），那么总共堆放了多少个酒坛？沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放a ，b 个坛子，一共堆了n 层，则酒坛的总数()()()()()()112211S ab a b a b a n b n =+--+--+⋅⋅⋅+-+-+．现在将长方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛（如图2），若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为（） A ．55B ．165C ．220 D ．2867.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2π,π）单调递增 ③f(x)在[,]-ππ有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（） A.①②④B.②④C.①④D.①③8.圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()15315m -，在它们之间的地面上的点M （,,B M D 三点共线）处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为（） A ．20mB ．30mC ．203mD ．303m二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分. 9．对于复数123,,z z z ，下列命题都成立（） A.1212z z z z +≤+ B.2121z z z =，则12=z zC.1212z z z z ⋅=⋅D.若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零 10．路人甲向正东方向走了xkm 后向右转了150°，然后沿新方向走了3km ，结果离出发点恰好3km ，则x 的值为（） A ．3B ．23C ．2D ．311.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A．12nk +=B ．133n n a a +=-C．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 12.已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++-+=，(R m ∈)．则下列四个命题正确的是（）A ．直线l 恒过定点()3,3-B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 13．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝10相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．14.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.15.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 16．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124F F =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知向量1sin ,,(cos ,1)2a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. （1）当a b ⊥时，求实数x 的值. （2）求()()f x a b b =+⋅在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 18．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足12a =，24b =，22log n n a b =，*N n ∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 中不在数列{}n b 中的项按从小到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求100S ． 19.(本小题满分12分)已知设复数z 满足=1z 使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，其中z 为z 的共轭复数，求满足条件的z 构成的集合。

2019-2020学年无锡一中高一下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年无锡一中高一下学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设实数x、y满足约束条件{x−y≥0x+y≥0x≤2，则z=x+1y+4的取值范围是______．2.若△ABC中，C=30°，a+b=1，则△ABC面积S的最大值是______ ．3.直线l1：kx+y−3=0和l2：x+(2k+3)y−2=0互相垂直，则k=______ ．4.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．5.过点M(3,−4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．6.已知的三个内角所对的边分别为.若△的面积，则的值是。

7.已知直线mx+(3m−4)y+3=0与直线2x+y+3=0互相垂直，则实数m的值是______．8.三棱锥中，两两垂直，且.设是底面内的一点，定义，其中分别是三棱锥，三棱锥三棱锥的体积，若，且恒成立，则正实数的最小值为___________9.下列直线中与直线l：3x+2y−5=0相交的是______ (填上正确的序号)．①y=−32x+5②3x+2y=0③x3+y2=1④x2+y3=1．10.设棱长为的正方体的体积和表面积分别为底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为若，则的值为．11.函数f(x)=cosx(sinx+cosx)(x∈R)的最小正周期是______ ．12. 若在△ABC 中，角A ，B ，C 对应边为a ，b ，c ，若A =60°，b =1，S △ABC =√3，则a+b+c sinA+sinB+sinC =______．13. 若圆锥的侧面积为15π，底面面积为9π，则该圆锥的体积为．14. 在平面直角坐标系xOy 中过定点Q(1,1)的直线l 与曲线C ：y =xx−1交与M ，N 点，则ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，.(1)求A +B 的值;(2)若，求a 、b 、c 的值．16. 如图，四棱锥S −ABCD 中，AB//CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形．AB =BC =2，CD =SD =1．(1)证明：AB//平面SDC(2)证明：SD ⊥平面SAB(3)求A 点到平面SBC 的距离．17.(滚动单独考查)如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．求△ACD的面积．若BC=，求AB的长．18.如图，三棱锥A−BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，H、G分别是棱AD、CD上的点，且EH∩FG=K.求证：(1)EH，BD，FG三条直线相交于同一点K；(2)EF//HG．19.绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm？20.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，C=2A．(1)求cos A；(2)设a=4m2+4m+9(m>0)，求△ABC的面积的最小值．m+1【答案与解析】1.答案：[14,32]解析：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化的思想方法，属于中档题．先画出满足约束条件的平面区域，然后分析z =x+1y+4的几何意义，进而给出取值范围．解：实数x 、y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≥0x ≤2的平面区域如图，∵z =x+1y+4的表示区域内点与D(−1,−4)点连线的斜率的倒数，由{x +y =0x =2解得A(2,−2)，当x =2，y =−2时，斜率最小值，此时z 取得最大值：z =2+1−2+4=32，当x =0，y =0时，斜率取最大值，此时z 取得最小值：z =0+10+4=14，∴z =x+1y+4的取值范围为：[14,32]，故答案为：[14,32]. 2.答案：116解析：解：在△ABC 中，∵C =30°，a +b =1，∴△ABC 的面积S =12ab ⋅sinC =12ab ⋅sin30°=14ab ≤14×(a+b 2)2=14×(12)2=116.当且仅当a =b =12时取等号，故答案为：116．由条件可得△ABC的面积S=12ab⋅sinC，再利用正弦函数的值域、基本不等式求得S的最大值．本题主要考查三角形的面积，基本不等式的应用，属于基础题．3.答案：−1解析：解：直线l1：kx+y−3=0和l2：x+(2k+3)y−2=0互相垂直，所以k+2k+3=0，解得k=−1．故答案为：−1．直接利用两条直线的垂直的充要条件求解即可．本题考查两条直线垂直充要条件的应用，基本知识的考查．4.答案：解析：sin∠BAC=sin(+∠BAD)=cos∠BAD，∴cos∠BAD=．BD2=AB2+AD2−2AB·ADcos∠BAD=(3)2+32−2×3×3×，∴BD2=3，BD=．5.答案：x−y−7=0或4x+3y=0解析：解：设直线在x、y轴上的截距分别为a和−a(a≠0)，本题主要考查直线的截距式方程，易错点在于学生容易疏忽过原点的情况，是基础题.则直线l的方程为xa −ya=1．∵直线过点A(3,−4)，∴3a +4a=1．解得：a=7．此时直线l的方程为x−y−7=0．当a=0时，直线过原点，设直线方程为y=kx，过点A(3,−4)，x，此时直线l的方程为y=−43此时直线l的方程为4x+3y=0．∴直线l的方程为：x−y+7=0或4x+3y=0，故答案为x−y−7=0或4x+3y=0．6.答案：4解析：试题分析：得得。