2014-2015学年福建省龙岩市一级达标高校高一(上)期末数学试卷含参考答案

2014-2015学年福建省龙岩市一级达标高校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5.00分）若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，3）∪（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）2．（5.00分）若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则实数a=（）A．1 B．﹣2 C．﹣ D．﹣3．（5.00分）若函数f（x）=则f（log 54）=（）A．B．3 C．D．44．（5.00分）三个数a=0.33，b=log3，c=30.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．（5.00分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B． C．πD．6．（5.00分）若m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题中，错误的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m⊂α，α∥β，则m∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α7．（5.00分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6） B．[4，6） C．（4，6]D．[4，6]8．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[1，+∞），且x1≠x2都有＞0，则（）A．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）D．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）9．（5.00分）已知△ABC的顶点A（3，2），B（4，），C（2，），动点P（x，y）在△ABC的内部（包括边界），则的取值是（）A．[，1]B．[1，]C．[，+∞）D．[，]10．（5.00分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．11．（5.00分）半径为1的球面上有A、B、C三点，其中点A与B、C两点间的球面距离均为，B、C两点间的球面距离均为，则球心到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．12．（5.00分）当x∈（1，2）时，不等式x2+1＜2x+log a x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（1，2]D．[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡相应位置.）13．（4.00分）函数f（x）=a x﹣3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，则定点P 的坐标是．14．（4.00分）已知函数y=f（x）的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：则函数y=f（x）在区间[1，6]上的零点至少有个．15．（4.00分）如图，已知长方体AC1的长、宽、高分别为5、4、3，现有一甲壳虫从A点出发沿长方体表面爬到C1处获取食物，它爬行路线的路程最小值为．16．（4.00分）如图，平面中两条直线l1和l 2相交于点O，对于平面上任意一点M，若x，y分别是M到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对（x，y）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列三个命题：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个；②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且只有2个；③若pq≠0则“距离坐标”为（p，q）的点有且只有3个．上述命题中，正确的有．（填上所有正确结论对应的序号）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12.00分）记关于x的不等式＜1的解集为P，不等式x2﹣4x≤0的解集为Q．（Ⅰ）若1∈P，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m=3，U=R求P∩Q和∁U（P∪Q）．18．（12.00分）已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点；（Ⅱ）过点M（﹣1，﹣2）作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l1的方程．19．（12.00分）已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC 的中点．（1）求证：DE⊥平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．20．（12.00分）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）过（1，3）点作圆的弦，求最小弦长？21．（12.00分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图（1）；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图（2）．（注：收益与投资额单位：万元）（Ⅰ）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（Ⅱ）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？22．（14.00分）已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：①f（x）在D上单调递减或单调递增②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．（1）求闭函数f（x）=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．2014-2015学年福建省龙岩市一级达标高校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5.00分）若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，3）∪（3，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【解答】解：要使对数式log3有意义，（t﹣2）须；解得t＞2且t≠3，∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．故选：B．2．（5.00分）若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则实数a=（）A．1 B．﹣2 C．﹣ D．﹣【解答】解：∵直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，∴a×1+2×1=0，解得a=﹣2故选：B．3．（5.00分）若函数f（x）=则f（log54）=（）A．B．3 C．D．4【解答】解：∵f（x）=，∴f（log54）==4．故选：D．4．（5.00分）三个数a=0.33，b=log3，c=30.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵0＜a=0.33＜1，b=log3＜0，c=30.3＞1，∴b＜a＜c．故选：B．5．（5.00分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B． C．πD．【解答】解：此几何体是一个底面直径为1，高为1的圆柱底面周长是故侧面积为1×π=π故选：C．6．（5.00分）若m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题中，错误的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m⊂α，α∥β，则m∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α【解答】解：对于A，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质容易得到m∥n；故A正确；对于B，若m⊂α，α∥β，由面面平行的性质，可以得到m∥β；故B正确；对于C，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或者异面；故B错误；对于D，若m∥n，m∥α，n⊄α，根据线面平行的性质定理和判定定理，可以判断n∥α；故D正确；故选：C．7．（5.00分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6） B．[4，6） C．（4，6]D．[4，6]【解答】解：∵圆心P（3，﹣5）到直线4x﹣3y=2的距离等于=5，由|5﹣r|＜1得4＜r＜6，故选：A．8．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[1，+∞），且x1≠x2都有＞0，则（）A．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）D．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）【解答】解：∵对任意x1，x2∈[1，+∞），且x1≠x2都有＞0，∴函数在x∈[1，+∞）上为增函数，则f（1）＜f（）＜f（2），∵f（x）是偶函数，∴不等式f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）成立，故选：D．9．（5.00分）已知△ABC的顶点A（3，2），B（4，），C（2，），动点P（x，y）在△ABC的内部（包括边界），则的取值是（）A．[，1]B．[1，]C．[，+∞）D．[，]【解答】解：如图所示，设P（1，0），则=k表示△ABC的内部（包括边界）与点P（1，0）连线的直线的斜率，∴k PB≤k≤k PC，∴≤k≤．即．故选：D．10．（5.00分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选：A．11．（5.00分）半径为1的球面上有A、B、C三点，其中点A与B、C两点间的球面距离均为，B、C两点间的球面距离均为，则球心到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：球心O与A，B，C三点构成三棱锥O﹣ABC，如图所示，已知OA=OB=OC=R=1，∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，由此可得AO⊥面BOC．∵，．∴由V A=V O﹣ABC，得．﹣BOC故选：B．12．（5.00分）当x∈（1，2）时，不等式x2+1＜2x+log a x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（1，2]D．[2，+∞）【解答】解：∵x∈（1，2）时，不等式x2+1＜2x+log a x恒成立，即x∈（1，2）时，log a x＞（x﹣1）2恒成立．∵函数y=（x﹣1）2在区间（1，2）上单调递增，∴当x∈（1，2）时，y=（x﹣1）2∈（0，1），∴若不等式log a x＞（x﹣1）2恒成立，则a＞1且log a2≥1，故1＜a≤2．即a∈（1，2]，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡相应位置.）13．（4.00分）函数f（x）=a x﹣3+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，则定点P 的坐标是（3，4）．【解答】解：由x﹣3=0得x=3，此时y=a0+3=1+3=4，故图象恒过定点P（3，4），故答案为：（3，4）14．（4.00分）已知函数y=f（x）的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：则函数y=f（x）在区间[1，6]上的零点至少有3个．【解答】解：由零点存在定理可知，连线函数在（2，3），（3，4），（4，5）各有一个零点，共有3个．故答案为：3．15．（4.00分）如图，已知长方体AC1的长、宽、高分别为5、4、3，现有一甲壳虫从A点出发沿长方体表面爬到C1处获取食物，它爬行路线的路程最小值为．【解答】解：把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为、、．由此可见图②是最短线路，其路程的最小值为．故答案为：．16．（4.00分）如图，平面中两条直线l1和l 2相交于点O，对于平面上任意一点M，若x，y分别是M到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对（x，y）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列三个命题：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个；②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且只有2个；③若pq≠0则“距离坐标”为（p，q）的点有且只有3个．上述命题中，正确的有①②．（填上所有正确结论对应的序号）【解答】解：①p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个，此点为点O．故①正确；②正确，p，q中有且仅有一个为0，当p为0时，坐标点在L1上，分别为关于O点对称的两点，反则在L2上也有两点，但是这两种情况不能同时存在；③错误，若pq≠0则“距离坐标”为（p，q）的点有且只有4个，而四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点；故答案为：①②三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12.00分）记关于x的不等式＜1的解集为P，不等式x2﹣4x≤0的解集为Q．（Ⅰ）若1∈P，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m=3，U=R求P∩Q和∁U（P∪Q）．【解答】解：（Ⅰ）由1∈P得：＜1，解得m＞1；（Ⅱ）由m=3得，得到P={x|＜1}，P中不等式变形得：＜0，即（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，∴P={x|﹣1＜x＜3}，不等式x2﹣4x≤0，变形得：x（x﹣4）≤0，解得：0≤x≤4，即Q{x|0≤x≤4}，∴P∩Q={x|0≤x＜3}，P∪Q={x|﹣1＜x≤4}，∁U（P∪Q）={x|x≤﹣1或x＞4}．18．（12.00分）已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点；（Ⅱ）过点M（﹣1，﹣2）作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l1的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵m（x﹣2y﹣3）+2x+y+4=0∴由题意得∴直线l恒过定点M（﹣1，﹣2）．…（4分）（Ⅱ）解：设所求直线l1的方程为y+2=k（x+1），直线l1与x轴、y轴交于A、B 两点，则，B（0，k﹣2）．…（8分）∵AB的中点为M，∴解得k=﹣2．…（10分）∴所求直线l1的方程为2x+y+4=0．…（12分）19．（12.00分）已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC 的中点．（1）求证：DE⊥平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．【解答】解：在△ADE中，AD2=AE2+DE2，∴AE⊥DE∵PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴PA⊥DE又PA∩AE=A，∴DE⊥平面PAE（2）∠DPE为DP与平面PAE所成的角在Rt△PAD，，在Rt△DCE中，（12分）在Rt△DEP中，PD=2DE，∴∠DPE=30°20．（12.00分）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）过（1，3）点作圆的弦，求最小弦长？【解答】解：（I）由圆的方程得：圆心C（0，4），半径r=2，∵直线l与圆C相交于M，N两点，∴圆心（0，4）到直线kx﹣y=0的距离d=＜2，整理得：1+k2＜4，即k2＜3，解得：﹣＜k＜；（II）当圆心与（1，3）连线为弦心距时，弦长最小，∵圆心C到（1，3）的距离为=，半径r=2，根据题意得：最小弦长为2=2．21．（12.00分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图（1）；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图（2）．（注：收益与投资额单位：万元）（Ⅰ）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；（Ⅱ）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【解答】解：（Ⅰ）f（x）=k1x，g（x）=k2，∴f（1）==k1，g（1）=k2=，∴f（x）=x（x≥0），g（x）=（x≥0）（Ⅱ）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．y=f（x）+g（20﹣x）=+（0≤x≤20）令t=，则y==﹣（t﹣2）2+3所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，y max=3万元．22．（14.00分）已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：①f（x）在D上单调递减或单调递增②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x ∈D）为闭函数．（1）求闭函数f（x）=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵y=﹣x3在R上单减，所以区间[a，b]满足解得a=﹣1，b=1（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则即∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程x=k+至少有两个不同的解即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．∴得，即所求．另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，解得，（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则即∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个根，所以，函数y=2x+lgx是不是闭函（3）由函数f（x）=k+是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，令k+则有k=x﹣=，（令t=），如图则直线若有两个交点，则有k．。