26.1二次函数(6)
26.1.1二次函数教学案
主备人 张 伟 年级主任签字 使用人修 改 补 充【尝试应用】例1．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2（4）y ＝3x 3＋2x 2（5）y ＝x ＋1x例2. 关于x 的函数mm xm y -+=2)1(是二次函数, 求m 的值.注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。
3．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．（1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 4.课堂训练：P3-- 练习 【畅谈收获】你认为今天这节课最需要掌握的是 __________________________。
【达标检测】（带*为选做） （一）必做题 ：举一反三1．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋12B ．y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x2．若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（ ） A ．a ＝1 B ．a ＝±1 C ．a ≠1 D ．a ≠－1 3.y ＝(m ＋1)xmm -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．4．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米5．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积y 与宽x 之间的函数关系式． _________________ （二）选做题：劝君未解不要走，解得好题快乐人1．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3．当x ＝2时，y ＝3，求 这个二次函数解析式。
2．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．求： （1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值； （3）当y ＝－13时，x 的值．修 改 补 充课 题 《26.1.1二次函数》教学案学习目标1、经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，理解并掌握二次例函数的概念；2、能判断一个给定的函数是否为二次例函数；3、能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。
人教版九年级数学《26.1.1二次函数》优质说课稿
各位老师：大家好！今天我说课的题目是：《26.1.1二次函数》。
我准备从如下几个方面展示：教材分析，教法、学法分析，教学程序设计，评价与反思。
一、教材分析（一）教材内容的地位和作用《二次函数》是初中数学教材九年级上册第二章第一节内容。
在此之前，我们学习了平面直角坐标系、认识了函数，学习反比例函数，以及一次函数，对函数已经有了一定的认识。
《二次函数》在初中数学学习中占据了非常重要的地位，是初中数学的核心内容，是学生体会数形结合思想的载体，华罗庚说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微。
是对函数学习最好的注解。
（二）教学目标根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标：知识与技能：经历二次函数定义的过程，掌握二次函数的一般式；学会用待定系数法求二次函数关系式。
数学思考：通过用函数表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立应用意识。
问题解决：初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并运用数学知识和方法解决简单的实际问题，增强应用意识。
情感与态度：使学生明白数学来源于生活，从一般情境中归纳出特点，激发学生探究数学问题的兴趣。
（三）教学重点、难点教学重点：二次函数的定义及其一般式，运用待定系数法求二次函数；教学难点：概括二次函数的模型。
二：教法、学法分析类比学习：变量与变量的关系的一种特殊形式共同点：变量与变量的关系，不同点：形式不同，()20=++≠y ax bx c a教法与学法可以以此为基础进行叙述。
由于本节课的内容是学生在学习了《一次函数》和《反比例函数》的基础上的加深，所以可以利用学生已有的知识在问题一、二中放手让学生先去探究探究两个问题中的变量之间的关系，在得到具体的关系式后，再引导学生观察关系式都有着什么样的特点，可以和一元二次方程比较认识，并最终得出二次函数的一般式及二次项系数的取值为什么不为零的道理。
（我改的）学生在我的鼓励引导下，克服思维定势，并通过小组讨论、合作交流等方式，增加学生的学习积极性和自信心，从而培养浓厚的学习兴趣。
新课程课堂同步练习册(九年级数学下册人教版)答案
数学课堂同步练习册（人教版九年级下册）参考答案第二十六章 二次函数26.1 二次函数及其图象（一）一、 D C C 二、 1. ≠0，=0，≠0，=0，≠0 =0， 2. x x y 62+=3. )10(x x y -= ，二三、1. 23x y = 2.（1）1,0,1 （2）3,7，-12 （3）-2,2,0 3. 2161x y = §26.1 二次函数及其图象（二）一、 D B A 二、1. 下，（0,0），y 轴，高 2. 略 3. 答案不唯一，如22x y -= 三、1.a 的符号是正号，对称轴是y 轴，顶点为（0,0） 2. 略3. (1) 22x y -= (2) 否 (3)()6-；(),6-§26.1 二次函数及其图象（三）一、 BDD 二、1.下， 3 2. 略 三、1. 共同点：都是开口向下，对称轴为y 轴．不同点：顶点分别为（0，0）；（0，２）；（0，－２） .2. 41=a 3. 532+-=x y §26.1 二次函数及其图象（四）一、 ＤＣＢ 二、1. 左，１， 2. 略 3. 向下，3-=x ，（－３，０） 三、1. 3,2a c ==- 2. 13a =3. ()2134y x =-§26.1 二次函数及其图象（五）一、C D Ｂ 二、1. 1=x ，(1,1) 2. 左，1，下，2 3.略三、1.略2．（1）()212y x =+- （2）略 3. (1)3)2(63262--=-===x y k h a(2)直线2223x =>-小2．（1）()212y x =+- （2）略 §26.1 二次函数及其图象（六） 一、B B D D 二、1.23)27,23(=x 直线 2. 5；5;41<-3. < 三、1. ab ac a b x a y x y x y 44)2(32)31(36)4(2222-++=---=--= 略2. 解：（1）设这个抛物线的解析式为2y ax bx c =++．由已知，抛物线过(20)A -，，(10)B ，，(28)C ，三点，得4200428a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，．解这个方程组，得 224a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．∴所求抛物线的解析式为2224y x x =+-．（2）222192242(2)222y x x x x x ⎛⎫=+-=+-=+- ⎪⎝⎭．∴该抛物线的顶点坐标为1922⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． §26.2 用函数观点看一元二次方程一、 C D D 二、1.（-1，0）；（2，0） （0，-2） 2. 一 3. 312-或； 231<<-x ； 312x x <->或 三、1.（1）1x =-或3x = （2）x ＜-1或x ＞3（3）1-＜x ＜3 2.（1）()21232y x =--+ （2）()20和()20 §26.3 实际问题与二次函数（一）一、 A C D 二、1. 2- 大 18 2. 7 3. 400cm 2三、1.(1)当矩形的长与宽分别为40m 和10m 时，矩形场地的面积是400m 2(2)不能围成面积是800m 2的矩形场地.（3）当矩形的长为25m 、宽为25m 时，矩形场地的面积最大，是625m 22.m ，矩形的一边长为2x m .其相邻边长为((2041022xx -+=-+∴该金属框围成的面积(121022S x x ⎡⎤=⋅-++⎣⎦(2320x x =-++ （0＜x＜10-当30x ==-.此时矩形的一边长为)260x m =-，相邻边长为((()10210310m -+⋅-=.()21003300.S m =-=-最大26.3 实际问题与二次函数（二）一、A B A 二、1. ２ 2. 250(1)x + 3.252或12.5 三、1. 40元 当5.7=x 元时，625=最大W 元 2. 解：（1）降低x 元后，所销售的件数是（500+100x ）,y=－100x 2+600x+5500 （0＜x ≤11 ）（2）y=－100x 2+600x+5500 （0＜x ≤11 ）配方得y=－100（x －3）2+6400 当x=3时，y 的最大值是6400元。
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》是学生在初中阶段学习二次函数的起始章节，它是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次方程的基础上进行的。
本节课的主要内容是介绍二次函数的定义、性质和图像，以及二次函数的顶点公式。
教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握二次函数的知识，为学生进一步学习高中数学打下坚实的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数概念、一次函数和二次方程有一定的了解。
但二次函数相对于一次函数来说，其图像和性质更加复杂，需要学生通过实例和练习来进一步理解和掌握。
此外，学生的学习兴趣和动机对他们的学习效果有很大影响，因此教师需要设计有趣的教学活动来激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像，能够运用二次函数的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和练习，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质和图像。
2.难点：理解二次函数的顶点公式，并能运用其解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过分析具体案例，使学生理解和掌握二次函数的知识；通过小组合作，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪和黑板。
3.准备教案和教学笔记。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考和探索二次函数的概念。
例如：“什么是二次函数？它与一次函数有什么区别？”2.呈现（10分钟）通过分析具体案例，使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像。
例如，展示一个二次函数的图像，引导学生观察其特点。
初三(九年级)下册数学知识点归纳
初三（九年级）下册数学知识点归纳九年级下册知识点归纳包括二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图共四章内容，主要总结了这几个单元的重点和难点的内容，是初三同学们和中考考生的必备资料!第二十六章二次函数26.1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax+bx+c(a0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线] ;重要概念：a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3)) /((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b((b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)(如右图)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
26.1二次函数课件(共26张PPT)
想一想
生活问题数学化
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结 （600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量 y=(100+x)(600-5x)=-5x² பைடு நூலகம்100x+60000 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果 园橙子的总产量最多？
X/棵 Y/个
你能根据表格中的数据作出猜想 吗
1
2
3
4
5 6
=30a-a²
= -a²+30a .
是二次函数关系式.
小试牛刀
心动不如行动
如果函数y=
0或3 则k的值一定是______
x
k 3k 2
2
+kx+1是二次函数,
如果函数y=(k-3) x +kx+1是二 0 次函数,则k的值一定是______
k 2 3k 2
小结
拓展
回
味
无
穷
定义中应该注意的几个问题:
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转 存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本 息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
?
y=100(x+1)² =100x² +200x+100
思索归纳
二次函数
y=-5x²+100x+60000 y=100x²+200x+100
想一想
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但 是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所 接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一 棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
26.1.6二次函数(6)
7、已知：一次函数 y kx m 的图象和二次 2 函数 y ax bx c 的图象交于点 A(2,1) 和 B(6,3) . ①求一次函数解析式； ②若二次函数开口向上，与y轴交于点C， 且 ABC 的面积为12，求二次函数的解析式.
答案:
1 2 1 1 ①y x ② y x x 3 4 2 2
1、已知函数 y ax bx c 的图像如 图所示，则函数 y ax b 的图像可能是( B ).
2
2、函数y＝x2＋bx＋c与y＝bx＋c在同一坐标系中的图 象大致是（ C ）.
3、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示， 则下列6 个代数式 ab、ac、a＋b ＋c 、a －b＋c、2a＋b 、 2a－b中，其值为正的式子的个数为（ A ）. Ａ.2个 ; Ｂ.3个; Ｃ
1。已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交 于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)与y轴交于 点C，如果x1、x2是方程x2-x-6=0的两根 （x1<x2),且△ABC的面积为15/2。 ⑴求此抛物线的解析式； ⑵求直线AC的解析式。
•
只有不断的思考,才会有新 的发现;只有量的变化,才会 有质的进步.
b 2 4ac b a( x ) 一般地，我们可以用配方法 2a2 4a
2
归纳
一般地,因为抛物线y=ax2+bx+c的 顶点是最低(高)点,所以当x=-b/2a 时,二次函数y=ax2+bx+c有最小 (大)值(4ac-b2)/4a.
?
练习: 1.写出下列抛物线的开口方向,对称轴及顶点 坐标.当x为何值时,y的值最大(小)? (1) y=3x2+2x (2) y=-x2-2x (3) y=-2x2+8x-8 (4) y=1/2 x2-4x+3
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》这一节的内容，主要介绍了二次函数的定义、性质和图像。
二次函数是中学数学中的重要内容，对于学生来说，掌握二次函数的知识对于理解高中阶段的函数学习和解决实际问题具有重要意义。
本节内容首先介绍了二次函数的定义，包括函数的表达式、自变量和函数值的限制条件等。
接着，通过实例讲解，让学生理解二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。
然后，引导学生学习二次函数的性质，包括单调性、极值等。
最后，通过练习题，让学生巩固所学知识，并能应用于解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本知识，对于一次函数和二次函数的概念有一定的了解。
但是，对于二次函数的性质和图像的深入理解还需要加强。
此外，学生对于实际问题的解决能力也有待提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的定义、性质和图像，能够解决简单的实际问题。
2.过程与方法目标：通过实例讲解和练习，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质和图像。
2.难点：二次函数的图像特征的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用讲授法、案例教学法和练习法。
2.教学手段：利用多媒体课件进行教学，展示二次函数的图像和实例。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次函数的概念，激发学生的兴趣。
2.讲解：讲解二次函数的定义、性质和图像，通过实例进行解释和展示。
3.练习：让学生进行练习，巩固所学知识，并能应用于解决实际问题。
4.总结：对本节内容进行总结，强调二次函数的重要性和应用价值。
七. 说板书设计板书设计包括二次函数的定义、性质和图像的主要内容，以及相关的重要概念和公式。
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》是学生在初中阶段学习函数知识的最后一部份，也是较为重要的一部份。
本节内容主要介绍二次函数的定义、性质及其图象。
二次函数是初中数学中的重要知识，它不仅涉及到方程的解法，还与实际生活中的许多问题密切相关。
学生在学习本节内容时，需要掌握二次函数的基本知识，并能够运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了初一、初二级的函数知识，对函数的概念、性质有一定的了解。
同时，学生也学习了平面直角坐标系、图象的知识，能够理解和绘制简单的函数图象。
但是，学生对于二次函数的定义、性质及其图象的理解还较为模糊，需要通过本节课的学习进一步掌握。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义，掌握二次函数的性质。
2.能够绘制二次函数的图象，理解二次函数图象与系数的关系。
3.能够运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义及其性质。
2.二次函数图象的绘制与分析。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的定义、性质、图象及其应用的教学课件。
2.教学素材：准备一些关于二次函数的实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.学具：为学生准备一些纸张、彩笔等绘画工具，方便学生绘制二次函数的图象。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如抛物线形的篮球架、跳水板等，引导学生思考这些实例与数学知识的联系，从而引出二次函数的概念。
2.呈现（10分钟）呈现二次函数的定义、性质及其图象，引导学生理解二次函数的基本知识。
3.操练（10分钟）学生分组合作，绘制一些二次函数的图象，并分析图象的性质。
教师巡回指导，解答学生的问题。
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿3
华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》这一节的内容是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次函数的性质的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是二次函数的图象和性质，以及二次函数的应用。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生深入理解二次函数的图象和性质，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，以及如何运用二次函数解决实际问题，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握二次函数的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生解决函数问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象和性质，以及二次函数的应用。
2.教学难点：二次函数的性质，如何运用二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等教学方法。
同时，利用多媒体课件和数学软件，帮助学生直观地理解二次函数的图象和性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：引导学生观察二次函数的图象，分析二次函数的性质，总结规律。
3.巩固新知：通过一系列的练习题，帮助学生巩固二次函数的知识。
4.应用拓展：布置一些实际问题，让学生运用二次函数的知识解决，提高学生的应用能力。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，引导学生反思学习过程，提高学生的思维能力。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出二次函数的图象和性质。
人教版九年级数学上册教案：26.1 二次函数
完成填空：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．
以上就是函数y＝2x2＋1的性质。
三、做一做
问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?
对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。
对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．
二、提出问题
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
二、分析问题，解决问题
问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?
(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)
问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?
(各有1个)
(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?
(分别是二次多项式)
(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?
(都是用自变量的二次多项式来表示的)
26.1二次函数(第6课时)
2
一般地， 一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)的顶点与对 的顶点与对 称轴 2
y = ax + bx + c
2
b 4ac − b 2 = a x + + 2a 4a
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac − b 2 − , 2a 4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac − b 2 − , 2a 4a
直线x = −
b 2a
直线x = −
b 2a
向上
2
1.不画图象，写出 口方向，对称轴，顶点坐标，增减性。 2.不画图象，写出
1 2 y = x + 2 x + 3 的开 2
y = −2x + 4x −1
2
的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性。
函数y=ax²+bx+c的顶点式 y=ax² y=ax
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c, 一般地,对于二次函数y=ax +bx+c,我们可以利用配方法 y=ax +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. 推导出它的对称轴和顶点坐标.
2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条 ．已知直角三角形两条直角边的和等于 ， 直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大， 直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大， 最大值是多少？ 最大值是多少？
26.1.2 二次函数的图象和性质
3、画函数图象的一般步骤及各步注意的问题。
二、探索新知：
画二次函数 的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
描点，并连线
由图象可得二次函数 的性质：
东辛店中学验标题
（满分：50+20时间：10分钟成绩：）
必做题：（共5题，每题10分）
1．函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝___________时，有最_________值是_________．
2．二次函数y＝mx 有最低点，则m＝___________．
对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．
六、课堂训练
1．填表：
开口方向
顶点
1、二次函数 是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2、二次函数 中，二次函数a＝_______，抛物线 的图象开口__________．
3、自变量x的取值范围是____________．
4、观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
26.1.1二次函数
k 反比例函数y = (k≠0) ， x 二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)。
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表 面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场 比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之 间的关系式. 1 2 1 1 m nn 1 即 m n n 2 2 2
x²
1 (2) y=x+ __ 不是二次函数.
x
(6) v=8π r² 是二次函数. 二次项系数: 8π
(3) s=3-2t² 是二次函数.
二次项系数: 一次项系数: 常数项:
-2 0 3
一次项系数: 0
常数项: 0
思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0 （a≠0）有什么联系和区别？ 联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数 y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
1 d nn 3 2
即
1 2 3 d n n② 2 2
3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划 今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产 量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随 计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎 样表示？
y=20(1+x)2
即 y=20x2+40x+20 ③
26.1 二次函数
基础回顾
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫因变量。 目前，我们已经学习了那几种类型的函 数？
人教版九年级数学下册第二十六章二次函数课时学案
人教版九年级数学下册第二十六章二次函数课时学案26．1．二次函数学案一一、学习目标1．知识与技能目标：（1）理解并掌握二次例函数的概念；（2）、能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）、能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。
二、学习重、难点1．重点：理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；2．难点：理解二次例函数的概念.。
三、教学过程（一）、创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）．自主探究、合作交流：问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。
问题2:n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系?问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示?问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。
问题5：什么是二次函数？形如。
问题6：函数y=ax²+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数?(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？（三）．尝试应用：例1: 关于x 的函数mm xm y -+=2)1(是二次函数, 求m 的值.注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。
例2:已知关于x 的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.(待定系数法)（四）．巩固提高：1．下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。
新人教版九年级下二次函数全章教案
（1围。
（2教学重点：值范围。
教学难点：教学过程：一、问题引新1.矩形的另一边BC2．x3积y等于多少12、观察概括y=6x2以上3次函数，a4、课堂练习（1） (口答)(1)y=5x(3)y=2x3（2）．P3五、小结六、作业：课本第七、板书第二课时：26.1 二次函数（2）教学目标：1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。
教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象教学难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。
教学过程：一、问题引新1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么?2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?二、学习新知1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。
（有学生自己完成）解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：找一名学生板演画图提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，）2、归纳：抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点坐标（0，0）3、运用新知（1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?（2）．课件出示：在同一直角坐标系中， y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较（3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示）让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。
当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______三、总结：函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是（0，0）。
二次函数
△小组讨论体现了合作探究的学习方法
△学生围绕问题小结思路更清晰，教师及时的补充便于学生对知识的消化
教学流程
分课时
环节
与时间
教师活动
学生活动
△设计意图
◇资源准备
□评价○反思
第四课时
提出问题
5分
合作探究
20分
课堂练习
15分
小结
5分
板书设计
1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－ x2，y＝－ x2－1的图象，并回答：
1通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？
2布置作业：14页6题
26.1二次函数
归纳：抛物线y＝ax2＋bx+c的性质
练习;
学生口答完成老师的问题，并小组合作讨论新的问题，寻求解决发法。
学生已经学过配方法解一元二次方程，尝试用配方法把一般式配方成顶点式，和老师一起完成学习任务
动手画图，和老师一起归纳抛物线y＝ax2＋bx+c的性质
(1)两条抛物线的位置关系。
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(3)说出它们所具有的公共性质。
2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?
1画图：在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2y＝2(x+1) y＝2(x－1)2的图像
目的是了解二次函数的概念
小结中的问题是开放的，学生的答案会很多，重在培养学生的总结能力。
直观体现知识点便于总结
◇搜集素材制作课件
○
教学流程
分课时
环节
与时间
教师活动
26.1二次函数及其图象
第一课时、二次函数【教学内容】二次函数【教学目标】知识与能力：能够表示简单变量间的二次函数关系。
理解二次函数的意义与特征，提高学生的分析，概括的能力。
过程与方法：逐个探求不同实例中两个变量乊间的关系，后总结、概括，得出二次函数的定义，获得用二次函数来表示变量乊间关系的体验。
情感与态度：迚一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广泛应用中的作用。
语言积累：二次函数、函数解析式。
【教学重点】二次函数实例分析、二次函数定义的理解。
【教学难点】从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系。
【教学用具】课件、学具。
【教学过程】一、创设情境，导入新课：导语一：回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用，从而导人新课。
导语二：观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间图片（或在黑板画出示意图）。
思考：为何导弹长了眼睛，它的运动路线有何觃律呢？这些需要我们对函数作迚一步了解，从而导人新课。
导语三：观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线……探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？二、合作交流，解读探究：1、用自变量的二次式表示函数关系问题①正方体的棱长为x，表面积为y，则y＝6x2。
（用含x的代数式表示）②圆的面积为S，半径为R，则S = лr2（用含R 的代数式表示）探究l：多边形的对角线d与边数n有什么关系？思路分析：从多边形的一个顶点出发，可以作多少条对角线？从n个顶点出发，又可以作多少条对角线？答案：从多边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，从n个顶点出发，可以作12n（n-3）条对角线.即d=12n（n-3）。
探究2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。
如果每年都比上一年的产量增加x倍那么，两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定。
y 与x乊间的关系应怎样表示？解析：一年后的产量为20(1+x). 再过一年后的产量为20(1+x)2。
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x
1 y x 2 6 x 21 2
…
3 7.5
4 5
5 3.5
6 3
7 3.5
8 5
9 7.5
…
教师引导：与一元二次 方程中的配方有相同 之处，但是不完全相 同，这里要提出二次项 系数，不能无故消掉. 学生从配方后得到 的形式中找出抛物 线的对称轴和定点 坐标， 然后重新列表 画图. 学生经历两次列 表，画图，感受只 是发生发展形成过 程，加深对配方法 的重要性的理解与 认识. 通过由特殊到一般 的认识过程，有效 的揭示一般形式的 二次函数的一般规 律.
y a( x h)2 k 的形式，从而确定抛物
结合前面的学习经验思考分析，了解画抛物线的前提是知道其开口方向、对称轴、顶点，故利用 配 方 法 将 函 数 y ax2 bx c(a 0) 化 成
y a( x h)2 k 的 形 式 ， 再 用 描 点 法 画 二 次 函 数
2
通过复习引入，巩 固旧知识，提出新 答完成问题 1，思考问 问题，初步了解探 题 2， 引出本节课课题， 究任务，激起学生 的探索欲望. 学生初步了解本节课 教师提出问题，学生口 所要研究的内容.
解：(1)先列表： x
1 y x 2 6 x 21 2 (2)然后描点画图
…
－3 43.5
学生观察，思考
11
2 1 2 x 6 x 21 与 y a( x h) k 的解析式特点，若将二次函数 2 2 1 y x 2 6 x 21 变形为 y a( x h) k 的形式，问题就解决了.
y
2
配方可得 1 1 1 1 1 y x 2 6 x 21 ( x 2 12 x 42) ( x 2 12 x 36 6) ( x 6) 2 6 ( x 6) 2 3 2 2 2 2 2 因此，抛物线的开口向上，对称轴是直线顶点坐标是（6, 3）. 利用其对称性列表：
教师引导：观察图像， 认识抛物线的变化趋 势.
２归纳：将二次函数 y ax2 bx c(a 0) 进行配方，得到
b 4ac b 2 y ax2 bx c a x 2a 4a 2 因此，抛物线 y ax bx c(a 0) 的开口方向、顶点坐标、对称轴：
y ax2 bx c(a 0) 的图像.
经历求二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方和数形结合思想 方法. 利 用 配 方 法 将 二 次 函 数 y ax2 bx c(a 0) 化成 y a( x h)2 轴和顶点坐标. 教学难点 理解二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的性质
板
课题 配方 y 1 x 2 6 x 21 2
书
设
计
26.1 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像和性质 配方 y ax2 bx c(a 0) 抛物线 y ax2 bx c(a 0) 的顶点坐标、对称轴
教
学
反
思
Hale Waihona Puke 12 k 的形式，求抛物线的对称
教 学 过 程 设 计
教 学 程 序 及 教 学 内 容 一、情境引入 1.函数 y 1 ( x 6) 2 3 的图像是 师生行为 设 计 意 图
2
，开口方向 .
，对称轴
是
，顶点坐标是
2.对于任意一个一般形式的二次函数，如 y 1 x 2 6 x 21 ，你能很容易的说 2 出它的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出图像吗？ 3.引出课题：二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像和性质. 二、探究新知 1.尝试画二次函数 y 1 x 2 6 x 21 的图象.
a<0 向下 三、课堂训练 1 抛物线 y 2x 2 3x 4 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标 是 ，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x 时，函 数值 y 随 x 的增大而增大。 当 x= 时， 函数有最 值， 是 y= . 四、小结归纳 1．二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像的画法； 2. 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的性质 3. 配方思想 五、作业设计 教材习题 26.1 第 6 题；第 12 题 补充：试求抛物线 y 1 x 2 6 x 21 与两坐标轴的交点坐标。 2
年 级 教 学 媒 体
九年级
课 题
26.1 二次函数（第 6 课时） 多媒体
课 型
新授
1.用描点法画出 y ax bx c(a 0) 的图象；
2
知 识 教 学 目 标 情 感 态 度 教学重点 过 程 方 法 技 能
2.能通过配方将二次函数 y ax2 bx c(a 0) 化成 线的开口方向、对称轴和定点坐标.
y ax2 bx c (a 0)
开口方向 a>0 向上 对称轴 直线 x b 2a 顶点坐标
b 4 ac b 2a , 4a
2
2
师生一起将
y ax2 bx c(a 0) 进
行配方，学生结合已有 知识，观察、思考、讨 论，归纳总结出一般结 论，教师补充完善.
－2 35
－1 27.5
0 21
1 15.5
2 11
3 7.5
…
教师大胆放手，让学生 利 用 已 有 的 学 习 经 验 学生亲自操作，产 进行列表，画图. 生认知上的冲突， 为 进一步探究打下基 础
教师点拨：这样列出的 对应值，描出的不是对 称点，图像也不对称， 也就不能准确说出抛 物线的对称轴和顶点 坐标. 观察图像，能准确说出抛物线的开口方向、对称轴 和顶点坐标吗? 我们知道二次函数 y a( x h) 2 k 的图像的对称轴是直线 x h ，顶点坐 标是（ h, k ） ，利用抛物线的对称性列表，容易画出图像。对照二次函数
及时运用所学知 了解学生的学习 学 生 利 用 总 结 出 的 规 识， 律独立完成填空，并能 效果. 阐述理由，师生共同评 价. 学生谈本节课体会，教 通过归纳、比较， 师做出归纳总结，并留 学生系统的掌握所 有学生质疑时间，师生 学知识 巩固所学知识，形 共同解答。 成一定的数学能力