6.2 二次函数的图像和性质(1)
二次函数的图象与性质
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就越小.
试研究二次函数y
1 2
x2
2x
3
的图象。
将函数关系式配方，得
y
1(x 2
2)2
1
将函数关系式配方，得
y 1(x 2)2 1
2
我
们设
法寻
求它
与
函数y
-2
y=-x2
-10
-5
O y=x2-5 2 x
10
-2
-4
-6
y=-x2-2
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上，对称轴 是 y轴，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，函数取得最 小 值，这个值等于 k ；
…
9 2
2
…
25 2
8
1 2
0
1 2
9 2
2
1 2
y
1 2
x2
2
9 2
…
0
1 2
…
你会比较这两 个函数吗?
y
1( 2
x
2
)2
这两个函数的图 象的形状相同吗?
x
y
1 2
x2
y
1( 2
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
(整理)第10讲二次函数图象和性质
第10讲 二次函数（一）专题一：二次函数的图像与性质（一）知识点梳理1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质 a ＞02. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定. 5、图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同． ⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．（二）：经典考题精讲例1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0.（填“＞”或“＜”＝．）例2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）例3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？例5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）例6、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．例7、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、例8、 如图所示，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线ι上．当CQ 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后，正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S 的值； （2）当t=5秒时，求S 的值；三：拓展与应用1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．3. 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+- 的图象，那么a 的值是 ．4.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ） A.－2 B.2 C.－1 D.15. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .6.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．7.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（ ）A ．-1≤x≤3B ．-3≤x≤1C ．x≥-3D ．x≤-1或x≥38. 二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 第3题图第6题图9. 已知二次函数243y ax x=-+的图象经过点（－1，8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x的取值范围是什么？专题二：二次函数与一元二次方程（一）：【知识梳理】1．二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根（二）：【经典考题剖析】1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：①方程x2－6x＋8=0的解是什么？②x取什么值时，函数值大于0？③x取什么值时，函数值小于0？2.已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．3.如图所示，直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90o， 过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D （1）求点A 、B 的坐标和AD 的长（2）求过B 、A 、D 三点的抛物线的解析式4.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，回答下列问题：（1） 设运动后开始第t （单位：s ）时，五边形APQCD 的面积为S（单位：cm 2），写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围 （2）t 为何值时S 最小？求出S 的最小值5. 如图，直线334y x k=+(0)k >与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 的中点，抛物线283y x bx c =-++经过点A 、P 、O （原点）。
二次函数的图像与性质(含答案)
九年级数学竞赛专题 ---二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义： 形如函数2(0)y ax bx c a =++≠称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3．性质 对2(0)y ax bx c a =++≠的图像来讲，（1）开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下。
（2）对称轴方程：2bx a=-（3）顶点坐标：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）抛物线与坐标轴的交点情况： 若240bac -<，则抛物线与x 轴没有交点；若240b ac -=，则抛物线与x 轴有一个交点；若240b ac ->，则抛物线与x 轴有两个交点，分别为，；另外，抛物线与y 轴的交点为()0,c .（5）抛物线在x a=（6）y 与x 的增减关系：当0a >，2b x a >-时，y 随x 的增大而增大，2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当0a <，2b x a >-时，y 随x 的增大而减小，2bx a<-时，y 随x 的增大而增大.（7）最值：当0a >时，y 有最小值，当2b x a =-时，244ac b y a -最小值＝；当0a <时，y 有最大值，当2b x a =-时，244ac b y a-最大值＝（8）若抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x （12x x <），则：当0a >时，12x x x <<时，0y <；12x x x x <>或时，0y >；当0a<时，12x x x <<时，0y >；12x x x x <>或时，0y <.4．求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠（2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 是抛物线的顶点坐标。
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
6.2.1二次函数课件y=ax2的图像和性质
... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1
2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2
8 3
4 8
...
0.5
... ...
...
x
y=2x2
... ...
-2 -1.5
-1 -0.5
2
8 3 -6
8
4.5
8 3
2
0.5
-1
2 3
x
22 2 y x y=2x 3
... -3 ... -6
-2 -1.5
... ...
1.5
1 y x2 2
y 2x2
列表参考
2 y x2
y x2
1 y x2 2
y 2x2
y x2
2 y x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小； 在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最 小。 当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大； 在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值 最大。
4、|a|越大抛物线的开口越小
y 2x2
2、根据左边已画好的函数图象填空： （1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0）, 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
8、已知点A（3，a）在二次函数y=x2的图像上。 (1)求a的值； (2)点B（3，-a）在二次函数y=x2的图像上吗？ 思考: 9、已知二次函数y=-x2. (1)当-2<x<3时,求y的取值范围; (2)当-4<y<-1时,求x的取值范围. 10、已知抛物线y=ax2过M（-2，-2） （1）求出这个函数关系式并画出函数图象。 （2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的 坐标，并求出△MON的面积。
九年级数学上册教学课件《二次函数的图象和性质(第1课时)》
（2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；
当x =0 时，函数y有最大值，最大值y是 1 ，其
图象与y轴的交点坐标是 (0,1) ，与x轴的交点坐标
是 (-1,0),(1,0) .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
y 1 x2+2 2
（0，-2）
y 1 x2 2
y 1 x2 -2
2
-2 O -2
-4
-6
2 4x
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
y 4
在同一坐标系内画出
2
下列二次函数的图象：
-2
0
2
x
-2
y 1 x2
-4
3
y1
1 3
x2
2
y2
1 3
当x＞0时，y随x的增大而增大.
巩固练习
22.1 二次函数的图像和性质
在同一坐标系中，画出二次函数
y
1 2
x
2
，y
1 2
x2
2
，y
1 2
x2
2
的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.
如图所示
y
抛物线
开口方向 向下 向下 向下
对称轴 x=0 x=0 x=0
顶点坐标
-4
（0,0） （0,2）
顶点坐标
（0,1） （0，-1）
y y = 2x2+1
8 6 4 2
-4 -2 O 2 4 x -1
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质一、教学目标1、会确定二次函数)0(2≠=a ax y 图像的顶点坐标、开口方向和对称轴.2、了解抛物线)0(2≠=a ax y 沿两个坐标轴进行适当平移可得到抛物线k h x a y +-=2)(，掌握平移规律，并能说出抛物线平移后的顶点坐标、开口方向及对称轴.会由特殊二次函数分析和推导一般二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像的性质.3、会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、开口方向和对称轴.二、知识点梳理1、二次函数的概念一般的，如果两个变量x 和y 之间的函数关系可以表示成c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ），那么称为y 是x 二次函数. 2、二次函数的一般形式任何一个二次函数的表达式都可以化成c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ）的形式，因此，把c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ）叫做二次函数的一般形式，其中c bx ax ,,2分别是二次项、一次项和常数项，而b a 和分别是二次项系数和一次项系数.3、二次函数)0(2≠=a ax y 的图像和性质（1）二次函数)0(2≠=a ax y 的图像是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线，曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.（2）一般地，抛物线)0(2≠=a ax y 的性质主要是从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数的增减性以及函数的最值等几个方面来研究，其性质归纳如下表：拓展：（1）抛物线是轴对称图形，开口方向、顶点、对称轴通常称为抛物线的三要素.（2）抛物线)0(2≠=a ax y 的开口方向由a 的正负决定，当0 a 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0 a 时，开口向下，顶点是抛物线的最高点.（3）抛物线)0(2≠=a ax y 的开口的大小，由a 的绝对值决定，a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大.（4）抛物线的对称轴是一条直线，抛物线)0(2≠=a ax y 的对称轴是y 轴，也可以说是直线0=x ，顶点坐标为（0，0）.4、抛物线)0()(2≠-=a h x a y 与)0(2≠=a ax y 的位置关系及平移规律二次函数2)(h x a y -=的图像可由抛物线2ax y =向左（右）平移而得到.当0 h 时，抛物线2ax y =向右平移h 个单位长度，得到2)(h x a y -=的图像.当0 h 时，抛物线2ax y =向左平移h 个单位长度，得到2)(h x a y -=的图像.5、二次函数k h x a y +-=2)(的图像的平移二次函数k h x a y +-=2)(的图像可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移个h个单位长度，再向上（或向下）平移k 个单位长度而得到. 平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关，既先可以左右移再上下移，也可以先上下移再左右移；抛物线的移动主要看顶点的移动，即在平移时主要抓住顶点的位置变化就可以了；抛物线k h x a y +-=2)(经过反向平移也可以得到抛物线2ax y =.6、二次函数k h x a y +-=2)(的图像和性质拓展：（1）由于从k h x a y +-=2)(中可直接看出抛物线的顶点坐标),(k h ，所以通常把k h x a y +-=2)(叫做二次函数的顶点式.（2）a 决定抛物线的形状、大小；k h ,决定抛物线的位置.7、利用配方法将二次函数c bx ax y ++=2转化为k h x a y +-=2)(的形式（1）二次函数的一般式c bx ax y ++=2与顶点式k h x a y +-=2)(可以互相转化通过去括号、合并同类项可将顶点式转化为一般式. 例如：1)12(211)1(2122-++-=-+-=x x x y 2321-2--=x x ， 即1)1(212-+-=x y 可化为2321-2--=x x y 利用配方法可将一般式c bx ax y ++=2转化为顶点式k h x a y +-=2)(例如：c bx ax y ++=2a ac x a b x a 提取←++=)(2 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+•+=a c a b a b x a b x a 222)2()2(22←配成完全平方式a b ac a b x a 44)2(22-++=因此抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，顶点坐标是)44,2(2a b ac a b -- （2）二次函数c bx ax y ++=2的图像是一条抛物线，它与抛物线2ax y =的形状相同，只是位置不同，它的对称轴是直线ab x 2-=，顶点坐标是)44,2(2a b ac a b -- 8、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与性质三、典型例题（一）二次函数的图像例1 已知函数()()()n m n x m x y ＜其中---=的图像如图所示，则一次函数n mx y +=与反比例函数xn m y +=的图像可能是（ ）例 2 下列三个函数：①1+=x y ；②x y 1=；③12+-=x x y 。
二次函数图像与性质复习课件
这个课件将会回顾和讲解二次函数的定义和性质，标准形式，基本图像特征， 平移、伸缩和反转，最简化形式，以及二次函数在实际问题中的应用。
二次函数的定义和性质
定义
二次函数是一个具有形如 y = ax^2 + bx + c 的 方程的函数。
性质
二次函数的图像是一个平滑的弯曲线，可能 开口向上或向下。
二次函数的标准形式
标准形式方程
二次函数的标准形式方程是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点的坐标。
二次函数的一些基本图像特征
1 凹向上还是凹向下？
当二次函数的系数 a 大于 0 时，图像凹向 上；当 a 小于 0 时，图像凹向下。
2 零点和顶点是什么？
二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的 x 坐标，顶点是函数图像的最低点或最高 点。
二次函数的平移、伸缩和反转
1
平移
改变二次函数的顶点位置，使图像在
伸缩
2
二维平面上上下左右移动。
改变二次函数的系数 a 的值，使图像
在纵轴上拉伸或压缩，改变开口的尖
锐程度。
3
反转
改变二次函数的系数 a 的符号，使图 像关于 x 轴或 y 轴进行翻转。
二次函数的最简化形式
最简化形式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程
通过完成平方将二次函数方程转化为顶点形式的方程，例如 y = a(x - h)^2 + k。
二次函数和实际问题的应用
桥的设计
二次函数被广泛应用于桥梁设计，以确定最优弧 线形状。
反射望远镜
二次函数的图像形状被用于反射望远镜的曲面设 计，以聚集光线到焦点。
总结和复习要点
《二次函数的图像和性质》第一课时教案 (1)
5.4二次函数的图像和性质(1)教材分析：本节内容是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质，以及二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华，还是今后学习的基础，在教材中起着非常重要的作用． 教学设计：本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤和方法，然后根据表中的各对对应值，在直角坐标系中描出相应的各点，用光滑的曲线连接，画出图象．通过画出图象，让学生分析、归纳二次函数的图象与性质.学习目标：知识与技能：1.掌握二次函数的图象的作法及其性质，会根据图象用数学语言表达图象的性质．2.能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点． 过程与方法：通过对二次函数图象与性质的发现，提高分析、归纳等能力，体验数学中的数形结合思想的应用.情感态度和价值观：引导学生养成全面看问题，分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性．学习重难点：重点：能在直角坐标系中，正确画出二次函数的图象，并能说出二次函数的图象的性质. 难点：作二次函数图象时要选取适当的点，选取适当数目的点.课前准备教具准备 教师准备PPT 课件教学过程：知识回顾：一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线反比例函数： (k ≠0)图象:双曲线 问:1．如何画出函数图象呢?2．如何得到相应的性质呢?【设计意图】：通过对一次函数和反比例函数解析式、图象的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本节课的学习起到类比作用.合作探究一: 二次函数y=ax 2(a>0)的图象请同学们用描点法按下列要求画图： k y x请A组同学同桌合作画函数y=x2的图象；请B组同学同桌合作画函数y= 1/2x2的图象归纳: 二次函数y=ax2 (a>0)的性质合作探究二: 二次函数y=ax2 (a<0)的图象请同学们用描点法按下列要求画图：请A组的同学同桌合作在和抛物线y=x2同一坐标系中画函数y=-x2的图象，并观察；请B组同学同桌合作在和抛物线y=-1/2 x2同一坐标系中画函数y=-1/2 x2的图象，并观察.归纳: 二次函数y=ax2 (a<0)的性质【设计意图】：在探索性质时，利用课件展示给学生图形，在验证学生图形画的准确的前提下，给出学生一定的提示，从那几个方面进行探索，并先让学生自己探索，然后再与同学交流，这样即锻炼了学生的自学与归纳能力，又培养了学生的合作意识.当堂检测：1．对于函数y＝2x2，下列结论正确的是( )A．当x取任何实数时，y的值总是正的 B．x的值增大，y的值也随着增大C．x的值增大，y的值随着减小 D．图像关于y轴对称2．分别说出抛物线y=4x2与y=-5x2的开口方向，对称轴与顶点坐标.3．如何根据函数的图象，(1)根据图象，求当y=2时，对应的x的值(精确到0.1)；(2)利用图象，求的√3值(精确到0.1).4．已知二次函数y=ax2的图象如图，x1<x2，则对应的y值y1,y2大小关系为y1____y25．观察上面画的图象回答：（1）在对称轴右边，y随x的增大而______（2）在对称轴左边y随x的增大而______课堂小结:本节课学习了二次函数y=ax2的图象和性质作业:课本 P.33第1,2题板书设计:5.4二次函数的图像和性质(1) 知识回顾：合作探究一:二次函数y=ax2(a>0)的图象归纳:二次函数y=ax2(a>0)的性质合作探究二:二次函数y=ax2(a<0)的图象归纳:二次函数y=ax2(a<0)的性质。
5.2二次函数的图像与性质（1）教案-苏科版九年级数学下册
集体备课教案纸教学内容5.2二次函数的图像与性质（1）课型 新课 主备教师备课时间12.24使用教师教学目标1、用列表描点法作出二次函数的图像，从中获得研究函数图像性质的经验；2、能准确的说出二次函数图像的形状、开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性等性质；教学重点 在用列表描点法作图像过程中获得研究函数图像和性质的经验教学难点 归纳二次函数图像的性质教具ppt活动一：探究函数和的图像问题1：大家还记得画函数图像的一般步骤吗？列表、描点、连线。
问题2：画出函数和的图像： ……………………二次备课学生自学共研的内容方法（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）回顾知识点，仔细思考。
从每一个知识点入手OyxOyx活动二：利用图像探究和的性质观察这两个图像，你能说说函数和有什么性质吗？请你与同学交流。
活动三：类比探究的性质（1）猜想一下：对函数图像有什么影响吗？（2）请观看课件，你能结合上面的讨论归纳函数的性质吗？图像开口方向顶点坐标对称轴增减性最值教师施教提要（启发、精讲、活动等让每一位学生都能够融入到课堂中来。
课堂检测 填表图像特征函数的最值开口方向顶点坐标 对称轴增减性 23y x -= 当x ＝ y 最( )值＝ 231x y =当x ＝ y 最( )值＝年级：九年级 科 目：数学 单元： 二次函数板书设计教 后 感会用描点法画函数y ＝ax 2能根据图像认识和理解二次函数y ＝ax 2的性质； 体会数学研究问题由具体到抽象．．．．．、特殊到一般．．．．．的思想方法§5.2二次函数 图像性质1一、自主先学： 学生活动1 数学思想… … … … … … 二、合作互学： 学生活动2 教师点拨… … … … … …。
二次函数的图象和性质(1)优质课教案
一．教学目标1.知识与能力能够作出函数y=ax2+k的图象，并能够理解函数y=ax2+k与y=ax2之间的关系，理解a、k对二次函数图象的影响；能够正确说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
2.过程与方法通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身的特点的认识和对二次函数性质的理解；经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力。
3.情感态度与价值观通过动手操作，激发学生的学习兴趣，在互动中让学生学会和他人合作、交流，同时让学生在猜想与探究中，体验学习的快乐。
二．教材分析二次函数是描述变量之间关系的重要数学模型。
它的图象是抛物线，通过前两节课的学习，大家不仅会画简单的抛物线，而且还能够通过观察图像了解抛物线的一些性质。
本节课通过对二次函数y=ax2+k的图象的作法和性质的过程探索，进一步将函数的表格、关系式、图像三者联系起来，逐步积累研究函数的图象和性质的经验。
在教学中，运用类比的学习方法，通过与y=ax2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质，三．教学重点能作出y=ax2+k的图象，并能够比较它与y=ax2的异同，理解a与k对于二次函数图象的影响，能说出函数y=ax2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
四．教学难点能够作出函数y=ax2+k的图象，并总结其性质，还能和函数y=ax2作比较，五．教学准备多媒体六．教学过程教学内容教师行为学生行为设计意图【创设问题情境，引出新课】上节课，我们一起学习了函数y=ax2的图象的画法，了解了它们的图象的一些性质，请你告诉大家函数y=2x2与y=-x2图象有哪些相同点和不同点？提出问题，引导学生回顾已学的知识。
并追问：你知道y=2x2+1y=2x2-1有哪些性质吗？它们的图象与y=2x2的图象有什么关系？【板书课题】积极回忆已学的知识，并思考回答。
对于函数y=ax2（a>0）图象性质加以总结。
(完整)二次函数的图像及其性质
二次函数的图像【学习目标】1、会做函数y=ax 2和y=ax 2+c 的图象,并能比较它们的异同；理解a,c 对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标； 2、了解抛物线y=ax 2上下平移规律； 3、熟练掌握二次函数的性质； 4、应用二次函数解决实际问题.【主要概念】【1】二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:①有开口方向；②有对称轴；③有顶点.【2】二次函数图像的画法五点法：1、先根据函数解析式,求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴2、求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A ，B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
【3】二次函数的性质【4】二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义a 表示开口方向:a 〉0时,抛物线开口向上a 〈0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关:对称轴为x=ab 2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标:(0，c ）【5】二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点. 当∆〉0时,图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆〈0时，图像与x 轴没有交点。
【5】二次函数的平移1、将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；2、 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位3、平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移，负下移”．特别记忆——同左上加 异右下减说明：① 函数中ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号,图像顶点 必在Y 轴右侧异右②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减【6】二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，。
6[1].2二次函数的图象和性质(1)(九下)
![6[1].2二次函数的图象和性质(1)(九下)](https://img.taocdn.com/s3/m/dd886363af1ffc4ffe47acbd.png)
§6.2 二次函数的图象和性质（1）龙冈初中数学教研组教学目标知识与技能：经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．过程与方法：1、掌握利用描点法作出y=x2的图象的方法，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质。
2、能够作出二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．情感、态度与价值观：通过探索活动，感受在同一平面直角坐标系中，图形的运动变化与图形上点的坐标变化之间的关系；感受数形结合的数学思想方法；体验具体到抽象、特殊到一般的研究方法。
教学重点利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=ax2的性质，这是掌握二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始．教学难点由图象概括性质，结合图象记忆性质．教学过程一、情境创设，引入新课1、回顾研究一次函数和反比例函数的过程，明确研究函数的通常步骤，即由实际问题引出一次函数、反比例函数概念，进而研究他们的图像与性质，最终目的是用图像与性质来解决实际问题。
2、回顾一次函数和反比例函数的图像及作图方法，并提问： （一）二次函数的图象是直线吗？是双曲线吗？ （二）你打算怎样画出二次函数的图像？ 二、探索活动，交流结论 1、活动一 用描点法画出二次函数 2x y =和2x y -=图像（1） 列表引导学生观察上表，思考一下问题：①无论x 取何值，对于2x y =来说，y 的值有什么特征？对于2x y -=来说，又有什么特征？②当x 取 1,21±±等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？ （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.（3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到2x y =和2x y -=的图像。
练习：在同一直角坐标系中画出二次函数22x y = 和22x y -=的图像。
二次函数的图像与性质
在数学其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用，例如最优化问题、供需关系等。 二次函数在物理学中的应用，例如抛物线运动、弹簧振动等。 二次函数在计算机科学中的应用，例如算法设计、数据拟合等。 二次函数在工程学中的应用，例如建筑设计、机械运动等。
在物理和工程中的应用
抛物线运动：描述 物体在垂直方向上 的运动轨迹
程
对称轴的证明
证明方法：利用 二次函数的对称 性，通过代入法 证明对称轴的存 在
证明过程：通过 计算二次函数在 x轴上的交点， 推导出对称轴的 方程
证明结论：二次 函数的图像关于 对称轴对称，且 对称轴的方程为 x=-b/2a
证明意义：理解 二次函数图像的 对称性质，有助 于解决与二次函 数相关的数学问 题
与坐标轴交点坐标的证明
证明方法：通过令二次函数等于0，解出x的值，得到与y轴交点的坐标
证明过程：将二次函数的一般形式代入x=0，得到y的值，即为与y轴的交点坐标
证明结果：当x=0时，y的值即为与y轴的交点坐标 证明结论：通过以上步骤，可以证明二次函数与y轴的交点坐标为(0,c)
汇报人：XX
调递增
添加标题
应用：二次函数在 数学、物理等领域 有广泛的应用，如 求最值、解决实际 问题等；反比例函 数在物理、工程等 领域也有应用，如 计算电容量、电流
等
添加标题
与指数函数的比较
表达式：二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，指数函数的一般形式为y=a*x^n，其中n>0且 n≠1
图像：二次函数的图像是一个抛物线，而指数函数的图像则是一条单调递增或递减的曲线
与反比例函数的比较
函数形式：二次 函数的一般形式
为 y=ax^2+bx+c，
二次函数图像与性质
┃二次函数的图象与性质
考点2 二次函数图象的平移
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－ h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均 可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图15－1 ：
图15－1
[注意] 确定抛物线平移后的解析式最好利用 顶点式，利用顶点的平移来研究图象的平移．
图15－4
解
析 ∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0. ∵二次函数的图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴 上， ∴c＜0. ∵二次函数图象的对称轴是直线 x＝－1， b ∴－ ＝－1， 2a ∴b＝2a＞0，∴abc＜0，∴①正确； 2a－b＝2a－2a＝0，∴②正确；
∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，其对 称轴为 x＝－1，且过点(－3，0)． ∴与 x 轴的另一个交点的坐标是(1，0)， ∴把 x＝2 代入 y＝ax2＋bx＋c， 得 y＝4a＋2b＋c ＞0，∴③错误； ∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为 x＝ －1， ∴点(－5，y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3， y1 ) ， 根据当 x＞－1 时，y 随 x 的增大而增大， 5 ∵ ＜3，∴y2＜y1，∴④正确． 2
变式2 如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b 与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
二次函数的图象特征主要从开口方向、 与x轴有无交点，与y轴的交点及对称轴的位 置，确定a，b，c及b2－4ac的符号，有时也 可把x的值代入，根据图象确定y的符号．
二次函数的图像与性质
二次函数图象与性质知识要点梳理：知识点一、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.知识点二、二次函数的图象及画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.1. 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.2. 用平移法画图象由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a 值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：函数a的符号图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大(小)值y=ax2a>0 向上 (0，0) y轴x>0时，y随x增大而增大x<0时，y随x增大而减小当x=0时，y最小=0y=ax2a<0 向下 (0，0) y轴x>0时，y随x增大而减小x<0时，y随x增大而增大当x=0时，y最大=02.函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质:(1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c(2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最大=c3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，对称轴是直线函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0 a<0性质(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点是它的最低点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右上升.(1)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，顶点是它的最高点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用a，b，c的代数式作用字母的符号图象的特征a 1. 决定抛物线的开口方向；2. 决定增减性a>0 开口向上a<0 开口向下c 决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)c>0 交点在x轴上方c=0 抛物线过原点c<0 交点在x轴下方决定对称轴的位置，对称轴是直线ab>0 对称轴在y轴左侧ab<0 对称轴在y轴右侧b2-4ac 决定抛物线与x轴公共点的个数b2-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点b2-4ac=0 顶点在x轴上b2-4ac<0 抛物线与x轴无公共点规律方法指导1.求二次函数解析式的方法一般来说，二次函数的解析式常见有以下几种形式.(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件.当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后列出三元一次方程组求解.当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解. (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.2.确定二次函数最值的方法确定二次函数的最大值或最小值，首先先看自变量的取值范围.再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值，比较这些函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值.①若自变量的取值范围是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.图(1)中，抛物线开口向上，有最低点，则当时，函数有最小值是；图(2)中，抛物线开口向下，有最高点，则当时，函数有最大值是.②若自变量的取值范围不是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.图(1)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图(2)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图(3)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图(4)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图(5)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值.二次函数的图象与性质专项练习题一、选择题1.抛物线y=x2+3x的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线y=-3x2+2x-1的图象与x轴、y轴交点的个数是( )A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点3.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )A.13B.10C.15D.144.已知二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点. 其顶点坐标为P24,24p c b⎛⎫--⎪⎝⎭,AB=│x1-x2│.若S△APB=1,则b与c的关系式是( )A.b2-4c+1=0B.b2-4c-1=0C.b2-4c+4=0D.b2-4c-4=05.二次函数y=4x2-mx+5,当x<-2时,y随x的增大而减少;当x>-2时,y随x的增大而增大,则当x=1时,y的值为( )A.-7B.1C.17D.256.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( )A.开口向上,对称轴是y轴B.开口向下,对称轴是y轴C.开口向下,对称轴平行于y轴D.开口向上,对称轴平行于y轴7.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是( )A.a>0,b2-4ac<0B.a<0,b2-4ac>0C.a>0,b2-4ac>0D.a<0,b2-4ac<08.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )9.已知抛物线y=5x 2+(m-1)x+m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧,它们的距离平方等于4925,则m 的值为( ) A.-2 B.12 C.24 D.4810.函数y=x 2+px+q 的图象是以(3,2)为顶点的抛物线,则这个函数的关系式是( ) A.y=x 2+6x+11 B.y=x 2-6x-11 C.y=x 2-6x+11 D.y=x 2-6x+7 11.关于函数y=2x 2-8x,下列叙述中错误的是( )A.函数图象经过原点B.函数图象的最低点是(2,-8)C.函数图象与x 轴的交点为(0,0),(4,0)D.函数图象的对称轴是直线x=-212.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是( )二、填空题:(每题3分,共45分)13.二次函数y=2x 2- 4x+ 3 通过配方化为顶点式为y= _________, 其对称轴是______,顶点坐标为_______,抛物线开口________,当x_______时,y 随x 的增大而增大;当x____时,y 随x 的增大而减小;当x=______时,y 最值=________. 14.已知抛物线y=x 2+(m-1)x-14的顶点的横坐标是2,则m 的值是_______. 15.已知抛物线的对称轴是x=-1,它与x 轴交点间的距离等于4,它在y 轴上的截距是-6,则它的关系式是_____________.16.在同一坐标系内,抛物线y=ax 2与直线y=2x+b 相交于A 、B 两点,若点A 的坐标是(2,4),则点B 的坐标是_________.17.将抛物线y=ax 2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________.18.已知函数y=x 2-1840x+2003与x 轴的交点为(m,0),(n,0), 则(m 2-1841m+2003)(n 2-1841n+2003)的值为______. 19已知抛物线y=x 2+bx+c 与y 轴交于点A,与x 轴的正半轴交于B 、C 两点,且BC=2,S △ABC =3.那么b=________.20.直线y=x+2与抛物线y=x 2+2x 的交点坐标为________.21.如图所示,A 、B 、C 是二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象上的三点,根据图中给出的三点位置情况,可得a 、c 、 △( △= b 2- 4ac) 与零的大小关系是 a_____0,c____0,△_____0,(填入“>”、“<”或“=”) 三、解答题:(25分) 22.(6分)(1)请你画出函数y=12x 2-4x+10的图象, 由图象你能发现这个函数具有哪些性质? (2)通过配方变形,说出函数y=-2x 2+8x-8的图象的开口方向、对称轴、 顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?1x A y O 1x B y O 1x C y O1x D y O x A y O x B y O xC y O xD y O x B ACyO23.(6分)根据下列条件,分别求出对应的二次函数关系式. (1)已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10); (2)已知抛物线过三点:(0,-2),(1,0),(2,3).24.(6分)已知二次函数y=x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3,其中m 为实数.(1)求证:不论m 取何实数,这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点; (2)设这个二次函数的图象与x 轴交于点A(x 1,0),B(x 2,0),且x 1、x 2的倒数和为23,求这个二次函数的关系式.25.(7分)某商场购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,商店决定提高销售价格.经试验发现,若按每件20 元的价格销售时, 每月能卖300件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数. (1)试求y 与x 之间的函数关系式;(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的前提下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本)26．如图所示，满足a ＞0,b ＜0的函数y=2ax bx 的图像是（ ）27．二次函数2y ax =的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）A ．y=a 2(2)x -＋3B ．y=a 2(2)x -－3C ．y=a 2(2)x +＋3D ．y=a 2(2)x +－328．抛物线y=－21(2)2x +－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
二次函数图象及性质
二次函数图象及性质一、研究目标与策略明确研究目标及主要的研究方法是提高研究效率的首要条件。
本文旨在帮助读者掌握二次函数的表达式和意义，能够用描点法画出二次函数的图象并从图象上认识二次函数的性质。
读者还将学会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题。
重点难点是二次函数的图象及性质。
为了达成研究目标，读者应该学会分析实际问题中的变量与变量问的关系，列出函数关系式，并善于利用二次函数的图象和性质去解决问题。
读者还应该注意把握二次函数图象的特点，如对称轴、开口方向和顶点坐标，并由此发现和认识二次函数的一些性质。
在研究二次函数时，读者应该善于运用图象，领会和运用数形结合的思想方法。
二、研究与应用科学地预才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复。
在研究新知识之前，读者应该检查自己的知识储备。
本文介绍了三种函数：一次函数、正比例函数和反比例函数。
对于一次函数，读者应该了解其图象特殊点，即与x轴交点和与y轴交点。
对于正比例函数和反比例函数，读者应该注意它们与坐标轴的交点和直线经过的象限。
在研究具体实例的过程中，读者还应该体会化归的思想方法，即将未知化为已知，将复杂化为简单。
形如y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数称为二次函数（quadratic n）。
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是对称轴平行于y轴（或是y轴本身）的抛物线。
当二次项系数a相同时，不同函数的图象方向完全相同，只是顶点位置不同。
画二次函数图象的方法有两种。
第一种是描点法，首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧以顶点为中心对称地描点。
画图时应注意抓住轴、点、与轴的交点、与顶点的交点等关键点。
第二种是平移法，即利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)²+k的形式，确定其顶点坐标，然后将抛物线y=ax²平移，使其顶点平移到目标点。
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6.2 二次函数的图像和性质(1)
一、学习目标：
1、经历探索二次函数y=x2图像作法的过程，进一步感受应用图像发现函数性质的经验。
2、能够利用描点法作出函数y=ax2(a≠0)的图像，能根据图像初步了解二次函数y=x2的性质。
二、知识导学：
（一）情景导学：
1、回忆研究一次函数和反比例函数的过程，想一想：研究函数的通常步骤是什么？Array
2、回忆一次函数和反比例函数的图像及作图方法，思考：二次函数的图像是直线吗？是双曲线吗？你打算怎样画出二次函数的图像？
（二）操作与思考：
1、用描点法画出二次函数y=x2的图像，并观察图像的特征。
（1）列表：函数y=x2的自变量x的取值范围是，根据函数y=x2的特征，选取自
变量x的值，计算对应的函数值y，并填入下表：
标、对应的y值为点的纵坐标，在右图
的直角坐标系中描出相应的点。
（按x的
值从小到大，从左到右描点）
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接所描
出的点，即得二次函数y=x2的图像。
（能
用直线连接吗？）
2、思考：二次函数y=x2的图像有什么特征？（可从以下几方面考虑）
(1)你能描述图象的形状吗?
(2) 图象是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．
(3) 图象与x轴有交点吗? 如果有，交点坐标是什么?
(4) 当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?
(5) 当x 取什么值时，y 的值最小? 最小值是什么?你是如何知道的? 3、在下图的直角坐标系中画出二次函数y=-x 2
的图像。
4、二次函数y=-x 2的图像有什么特征？
5、二次函数y=x 2与y=-x 2
的图像有什么共同特征？
（三）归纳提高：
实际上，二次函数y=x 2与y=-x 2的图像都是 ，都有一条对称轴是 ，对称轴与抛物线的交点叫做 。
（四）巩固练习：
1、在直角坐标系中分别画出下列函数的图像：
（1）y=
2
2
1x
(2)y=2
2x
2、在直角坐标系中分别画出下列函数的图像： （1）y=-2
2
1x (2)y=-2
2x
课堂练习：
A 级：
1、二次函数y=x 2的图像开口 ，对称轴是 ，顶点是 。
x 取任何实数，对应的y 值总是 数。
2、点A （2，-4）在函数y=-x 2的图像上，点A 在该图像上的对称点的坐标是 。
3、二次函数y=
2
2
1x 与 y=-
2
2
1x 的图像关于 对称。
4、若点A （1，a ）B （b ，9）在函数y=x 2的图像上，则a= ,b= .
5、观察函数y=x 2
的图像，利用图像解答下列问题：
（1）在y 轴左侧的图像上任取两点A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2),且使0>x 1>x 2,试比较y 1与y 2的大小； （2）在y 轴右侧的图像上任取两点C （x 3,y 3）、B(x 4,y 4),且使x 3>x 4>0,试比较y 3与y 4的大小.
6、利用函数y=-x 2的图像回答下列问题： （1）当x=
2
3时，y 的值是多少？
（2）当y=-8时，x 的值是多少？
（3）当x<0时，随着x 值的增大，y 值如何变化？当x>0时，随着x 值的增大，y 值如何变化？
（4）当x 取何值时，y 值最大？最大值是多少？
B 级： 7、已知y=m m
m x
2
是x 的二次函数。
（1）当m 取何值时，该二次函数的图像开口向上？ （2）在（1）的条件下，①当x 取何值时，y>0?
②当x 取何值时，在y 2>y 1时，总有x 2>x 1? ③当x 取何值时，在y 2>y 1时，总有x 2<x 1?
C 级：8、已知点A （3，a ）在二次函数y=x 2的图像上。
(1）求a 的值；
（2）点B （3，-a ）在二次函数y=x 2的图像上吗？。