导数与微分练习题
微积分的应用专项练习60题(有答案)
微积分的应用专项练习60题(有答案)本文档包含60道微积分的应用专项练题目，每道题目均附有答案。
通过解答这些题目，您可以进一步巩固和应用微积分的知识，加深对微积分的理解。
以下是题目和答案的列表：1. 问题一（答案：A）2. 问题二（答案：B）3. 问题三（答案：C）4. 问题四（答案：D）5. 问题五（答案：A）6. 问题六（答案：B）7. 问题七（答案：C）8. 问题八（答案：D）9. 问题九（答案：A）10. 问题十（答案：B）11. 问题十一（答案：C）12. 问题十二（答案：D）13. 问题十三（答案：A）14. 问题十四（答案：B）15. 问题十五（答案：C）16. 问题十六（答案：D）17. 问题十七（答案：A）18. 问题十八（答案：B）19. 问题十九（答案：C）20. 问题二十（答案：D）21. 问题二十一（答案：A）22. 问题二十二（答案：B）23. 问题二十三（答案：C）24. 问题二十四（答案：D）25. 问题二十五（答案：A）26. 问题二十六（答案：B）27. 问题二十七（答案：C）28. 问题二十八（答案：D）29. 问题二十九（答案：A）30. 问题三十（答案：B）31. 问题三十一（答案：C）32. 问题三十二（答案：D）33. 问题三十三（答案：A）34. 问题三十四（答案：B）35. 问题三十五（答案：C）36. 问题三十六（答案：D）37. 问题三十七（答案：A）38. 问题三十八（答案：B）39. 问题三十九（答案：C）40. 问题四十（答案：D）41. 问题四十一（答案：A）42. 问题四十二（答案：B）43. 问题四十三（答案：C）44. 问题四十四（答案：D）45. 问题四十五（答案：A）46. 问题四十六（答案：B）47. 问题四十七（答案：C）48. 问题四十八（答案：D）49. 问题四十九（答案：A）50. 问题五十（答案：B）51. 问题五十一（答案：C）52. 问题五十二（答案：D）53. 问题五十三（答案：A）54. 问题五十四（答案：B）55. 问题五十五（答案：C）56. 问题五十六（答案：D）57. 问题五十七（答案：A）58. 问题五十八（答案：B）59. 问题五十九（答案：C）60. 问题六十（答案：D）这些题目的难度各不相同，涵盖了微积分应用的不同方面，包括导数、积分、微分方程等内容。
导数与微分练习题及解析
导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。
它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。
为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。
练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。
f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。
f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。
根据导数的定义，导数即为切线的斜率。
所以切线的斜率为m = 7。
将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。
2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。
练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。
解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。
乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。
根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。
设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。
外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。
根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。
第三章 导数与微分 习题及答案
第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。
2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。
3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。
4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。
5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。
6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。
7、已知x x y ln =，则)10(y = 。
8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。
9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。
10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。
11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。
二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。
导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。
高等数学第二章导数与微分习题
h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2
微积分综合练习题与参考答案完美版
微积分综合练习题与参考答案完美版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e2)(='')0(f 2-（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=-答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-=综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．xe C ．2xD ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( ) A ．()x x f ∆+0 B ．()x x f ∆+0 C ．()()00x f x x f -∆+ D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，那么()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 持续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分没必要要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也没必要要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，那么=dxdy( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．假设函数()x f 在点a 持续，那么()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有概念 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，那么=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．假设()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，那么a ，b 的值应为( )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．假设函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，那么()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．必然都没有导数B ．必然都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，那么()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．必然都没有导数B ．必然都有导数C ．至少一个有导数D ．最多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，那么( ) A ．()x f ，()x g 都必需可导 B ．()x f 必需可导C ．()x g 必需可导D ．()x f 和()x g 都不必然可导 13．xarctgy 1=，那么='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，那么()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A ．()2a f ''B ．()a f ''C ．()a f ''2D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内持续，且()b a x ,0∈，那么在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不必然可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不必然存在 16．设()x f 在点a x =处可导，那么()()=--→hh a f a f n 0lim。
第三章 导数与微分习题
习 题 三1．根据导数的定义求下列函数的导数：（1）221x y -= （2）21x y = （3）32x y =2．给定函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 为常量，求：)(x f '，)0(f '，)21(f '，)2(a b f -' 3．一物体的运动方程为s ＝t 3＋10，求该物体在t ＝3时的瞬时速度。
4．求在抛物线y ＝x 2上点x ＝3处的切线方程。
5．自变量x 取哪些值时，抛物线y ＝x 2与y ＝x 3的切线平行？6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≤+=x x x x x f 113101)(2在点x ＝1处是否可导？为什么？7．讨论函数y ＝x|x|在点x ＝0处的可导性。
8．用导数定义求⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(1)(x s x xx f 在点x ＝0处的导数。
9．设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=101101)1ln()(x xx x x x f 讨论f （x ）在x ＝0处的连续性与可导性。
10．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0)1ln(1sin )(12x s x x x f x 在点x ＝0处是否继续？是否可导？11．讨论⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<+≤<+≤=x xx x x x x x f 2212101201)(2在x ＝0，x ＝1，x ＝2处的连续性与可导性。
12．求下列各函数的导数（其中a ，b 为常量）：（1）532+-=x x y （2）b a x y +=（3）3412+-=xx y （4）2222x x y += （5）x x y 31-= （6）)12(2-=x x y（7）)11)(1(-+=x x y （8）x x y 2)1(+=（9）ba b ax y ++= （10）))((b x a x y --=（10）)1)(1(a b bx ax y ++=13．求下列各函数的导数（其中a ，b ，c ，d ，n 为常量）：（1）)3)(2)(1(+++=x x x y（2）x x y ln =（3）x x y n ln = （4）x y alog = （5）11-+=x x y （6）215xx y += （7）x x x y --=223 （8）n cx b a y += （9）x x y ln 1ln 1+-= （10）2211xx x x y +--+= 14．求下列各函数的导数：（1）x x x y cos sin += （2）xx y cos 1-=（3）x x x y tan tan -= （4）xx y cos 1sin 5+= （5）x x x x y sin sin += （6）x x x y ln sin ⋅= 15．求曲线x y sin =在点x ＝π处的切线方程。
导数与微分练习题及习题详细解答
第二章 导数与微分练习题及习题详细解答练习题2.11．已知质点作直线运动的方程为23s t =+，求该质点在5t =时的瞬时速度．解 由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d 2d sv t t==．代入5t =，得10v =． 2．求曲线cos y x =在点π(6处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义知，曲线cos y x =在π(6点切线的斜率 ππ661(cos )(sin )2x x k x x =='==-=-，所以，切线方程为1π()226y x -=--，即612π=0x y +-．法线方程为π2()6y x =-，即1262π=0x y -+． 3．讨论函数32,0()31,013,1x f x x x x x ⎧≤⎪=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性．解 在0x =处，0lim ()lim 22x x f x --→→==，0lim ()lim (31)1x x f x x ++→→=+=， 由于0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导． 在1x =处，11lim ()lim(31)4x x f x x --→→=+=，311lim ()lim(3)4x x f x x ++→→=+=，(1)4f =， 所以连续．又00(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f xf x x---∆→∆→+∆-∆'===∆∆， 2300(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x+++∆→∆→+∆-∆+∆+∆'===∆∆，所以可导．4．已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()f x A '=，求下列极限：000(5)()(1)limx f x x f x x ∆→-∆-∆； 000(2)()(2)lim h f x h f x h →+-解 （1）000000(5)()(5)()55()55limlim x x f x x f x f x x f x f x A x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆;(2)000000(2)()(2)()22()22limlim h h f x h f x f x h f x f x A h h →→+-+-'===．5．求抛物线2y x =上平行于直线43y x =-+的切线方程．解 由于切线平行于43y x =-+，所以斜率为4k =-．又2k y x '==，所以2x =-．对应于抛物线上的点为(2,4)-，所以切线方程为44(2)y x -=-+，即440x y ++=．练习题2.21．求下列函数的导数：（1）100(21)y x =-； （2）22e xxy +=；（3）sin(3π)y x =+； （4）2cos y x =； （5）2e sin x y x =； （6）2ln(1)y x =+； （7）tan 2y x =； （8）cot 3y x =； （9）arctan(31)y x =+； （10）arcsin(41)y x =+． 解 （1）9999100(21)(21)200(21)y x x x ''=--=-； （2）22222e (2)e (41)xxxxy x x x ++''=+=+；（3）cos(3π)(3π)3cos(3π)y x x x ''=+⋅+=+； （4）2cos (cos )2sin cos sin 2y x x x x x ''=⋅=-=-；（5）22222(e )sin e (sin )2e sin e cos e (2sin cos )xxxxxy x x x x x x '''=+=+=+； （6）22212(1)11x y x x x''=⋅+=++； （7）22sec 2(2)2sec 2y x x x ''=⋅=； （8）22csc 3(3)3csc 3y x x x ''=-⋅=-；（9）2213(31)1(31)1(31)y x x x ''=⋅+=++++；（10）(41)y x ''=+=2．设y =d d y x ．解对于y =[]1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3y x x x x =+++-+-+ 两边对x 求导，得111111()31234y y x x x x '=+--++++ 所以1111()1234y x x x x '=+--++++ 3．求曲线31x ty t =+⎧⎨=⎩上，点(1,0)处的切线方程． 解 点(1,0)对应参数t 的值为0． 设k 为曲线上对应(1,0)点的切线斜率，则32000d ()30d (1)1t t t y t t k x t ==='===='+，于是，所求切线方程为0y =，即x 轴．4．求由方程3330y x xy --=所确定的隐函数的导数d d y x． 解 方程两边对x 求导，可得22333()0y y x y xy ''--+=由上式解出y '，便得隐函数的导数为22x yy y x+'=-（20y x -≠）． 练习题2.31．求下列函数的微分：（1）22sin 34y x x x =+-+； （2）2ln y x x x =-； （3）2(arccos )1y x =-； （4）arctan y x x =； （5）ln tan 2x y =； （6）sin ln 57xy x x x x=++-； （7）1cos 2xy -=； （8）3(e e )x x y -=+．解 （1）22d (sin 34)d (2sin 23)d y x x x x x x x '=+-+=+-； （2）2d (ln )d (ln 12)d y x x x x x x x '=-=+-； （3）2d ((arccos )1)d y x x x '=-=；（4）2d (arctan )d (arctan )d 1xy x x x x x x '==++； （5）2111d (ln tan )d sec d d csc d 222sin tan 2x x y x x x x x x x '==⋅⋅==；（6）2sin cos sin d (ln 57)d (ln 6)d x x x xy x x x x x x x x-'=++-=++； （7）11cos cos d (2)d 2ln 2sec tan d xxy x x x x --'==-⋅；（8）32d (e e )d 3(e e )(e e )d x x x x x xy x x ---'⎡⎤=+=+-⎣⎦． 2．填空． （1）23d d()x x =（2）21d d()1x x =+ （3）2cos2d d()x x = （4）21d d()x x= 解 （1）3x C +； （2）arctan x C +； （3）sin 2x C +； （4）1C x-+． 3解=()f x =064x =，1x ∆=．因为000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，()f x ''==所以1188.062516=≈=+=．4．半径为10m 的圆盘，当半径改变1cm 时，其面积大约改变多少？解 圆盘面积函数为2S πR =，并取0R 10m =，R 1cm 0.01m ∆==．因为 S 2πR '= 所以面积改变量2S dS 2πR R 2π100.010.2π0.628m ∆≈=⋅∆=⨯⨯=≈．习题二1．如果函数()f x 在点0x 可导，求：（1）000()()limh f x h f x h →--； （2）000()()lim h f x h f x h hαβ→+--．解 （1）0000000()()()()limlim ()h h f x h f x f x h f x f x h h →-→----'=-=--； （2）00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h hαβαβ→→+--+-+--=0000000()()()()limlim ()()h h f x h f x f x h f x f x h hαβαβαβαβ→→+---'=+=+-2．求函数3y x =在点(2,8)处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义，得3222()312x x k x x =='===切，112k =-法． 所以，切线方程为812(2)y x -=-即12160x y --=．法线方程为18(2)12y x -=--即12980x y +-=．3．设2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，试确定,a b 的值，使()f x 在1x =处可导．解 若()f x 在1x =处可导，则必在1x =处连续．1lim ()1x f x -→=，1lim ()x f x a b +→=+， 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a b +=． 又2111()(1)1(1)limlim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--， 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++-+→→→-+--'====--- 所以 2a =，1b =-． 4．求下列各函数的导数：（1）231251y x x x =-++； （2）2sin y x x =； （3）1cos y x x =+； （4）1ln 1ln xy x-=+．解 （1）23413(251)45y x x x x x''=-++=++；（2）22(sin )2sin cos y x x x x x x ''==+； （3）221(cos )sin 1()cos (cos )(cos )x x x y x x x x x x '+-''==-=+++；（4）21ln (1ln )(1ln )(1ln )(1ln )()1ln (1ln )x x x x x y x x ''--+--+''==++ 2211(1ln )(1ln )2(1ln )(1ln )x x x x x x x -+--==-++ ． 5．求下列函数的导数：（1）36()y x x =-； （2）y =；（3）2sin (21)y x =-； （4）21sin y x x=； （5）ln1xy x=-； （6）[]ln ln(ln )y x =； （7）ln(y x =； （8）arcsin 2x y x =+解 （1）3533526()()6()(31)y x x x x x x x ''=--=--；（2）322(1)y x -'==-； （3）2sin(21)cos(21)(21)2sin(42)y x x x x ''=-⋅-⋅-=-； （4）22221111111()sin(sin )2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x'''=+=+⋅-=-； （5）lnln ln(1)1x y x x x ==---，∴1111(1)y x x x x -'=-=--； （6）[]{}[]1ln ln(ln )ln(ln )(ln )ln ln(ln )y x x x x x x ''''=⋅⋅=；（7）((1y x ''==+=;（8）1arcsin22x y '=++arcsin arcsin 22x x=+=．6．若以310cm /s 的速率给一个球形气球充气，那么当气球半径为2cm 时，它的表面积增加的有多快？解 设气球的体积为V ,半径为R ，表面积为S ，则34π3V R =，24πS R =． d d d d d d V V R t R t =⋅，d d d d d d S S Rt R t =⋅， 2d d d d dV 12d 8πd d d d dt 4πd S S V R V R t R t V R R t ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 将3d 10cm /s d V t =，2cm R =代入得，2d 10cm /s d St=．7．求下列函数的高阶导数：（1）2sin 2y x x =，求y '''； （2）y =5x y =''． 解 （1）Q 22sin 22cos2y x x x x '=+，22sin 24cos24cos24sin 2y x x x x x x x ''=++-22sin 28cos 24sin 2x x x x x =+-，∴24cos28cos216sin 28sin 28cos2y x x x x x x x x '''=+---212cos 224sin 28cos 2x x x x x =--．（2）Q 2y '==y ''==23222(24)(16)x x x -=-，∴5x y =''1027=． 8．求由下列方程所确定的隐函数的导数： （1）3330y x xy +-=； （2）arctan ln yx=． 解 （1）方程两边对x 求导，得22333()0y y x y xy ''+-+=，从中解出y '，得22y x y y x-'=-． （2）方程两边对x 求导，得2222112221()xy y x yy y x x y x''-+⋅=⋅++， 从中解出y '，得x yy x y+'=-． 9．用对数求导法求下列各函数的导数：（1）y =； （2）cos (sin )x y x = (s i n 0)x >．解 （1）方程两边取对数，得11ln ln(23)ln(6)ln(1)43y x x x =++--+，两边对x 求导，得1211234(6)3(1)y y x x x '=+-+-+， 即211[234(6)3(1)y x x x '=+-+-+ （2）方程两边取对数，得cos ln ln(sin )cos lnsin x y x x x ==⋅两边对x 求导，得11sin ln sin cos cos sin y x x x x y x'=-⋅+⋅⋅ sin lnsin cos cot x x x x =-⋅+⋅，即cos (sin )(sin lnsin cos cot )x y x x x x x '=-⋅+⋅．10．求由下列各参数方程所确定的函数()y y x =的导数：（1）33cos sin x a t y b t ⎧=⎪⎨=⎪⎩； （2）e cos e sin tt x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求π2d d t y x =． 解 （1）22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy b t t bt t x x a t t a t===--；（2）Q d d e (sin cos )sin cos d d d e (cos sin )cos sin d t t yy t t t tt x x t t t t t++===--， ∴π2d d t y x =π2sin cos 101cos sin 01t t tt t=++===---． 11．求下列函数的微分： （1）ln sin2x y =； （2）1arctan 1x y x+=-； （3）e 0x yxy -=； （4）24ln y y x +=．解 （1）111d (lnsin )d (cos )d cot d 22222sin 2x x xy x x x x '==⋅⋅=； （2）2221(1)(1)1d d d 1(1)11()1x x y x x x x x x-++=⋅=+-++- （3）方程两边同时取微分，得d(e )d()0x yxy -=，2d de (d d )0x yy x x yy x x y y-⋅-+=， 整理得22d d xy y y x x xy-=+．（4）方程两边同时取微分，得312d d 4d y y y x x y+=， 整理得324d d 21x yy x y =+．12．利用微分求近似值：（1）sin3030︒'； （2解 （1）设()sin f x x =，则0π306x ︒==，π30360x '∆==，()cos f x x '=．11 / 11 000sin3030()()()f x x f x f x x ︒''=+∆≈+∆πππsincos 0.507666360=+⋅≈ （2）设()f x =064x =，1x ∆=，561()6f x x -'=．000()()()f x x f x f x x '=+∆≈+∆5611(64)12 2.00526192-⋅=+≈ 13．已知单摆的振动周期2T =2980cm/s g =，l 为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？解由2T =224πgT l =，02T =0.05s T ∆=，22πgT l '=． 所以027d 0.050.050.05 2.23cm 2ππgT l l l T '∆≈=⋅∆=⋅===≈， 即摆长约需加长2.23cm ．。
微积分综合练习试题和参考答案与解析
(1)函数 f(X)=•1 In(x - 2) 的定义域是(2)函数 f(x)=1 ln( x 2)的定义域是 ____________ •答案：(—2, —1)^(—1,2](4)若函数f(x T xs 「x 0在X 二0处连续，则k =x _ 0•答案：k = 1(1)设函数y 二-xe，则该函数是().A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数综合练习题1 (函数、极限与连续部分)1 •填空题(3)函数 f (x 2^ x 2 4x 7，贝U f(x)二 _______________________ •答案：f(x^ x 2 3(5) 函数 f(x-1) =x 2 -2x ，则 f(x)二 __________________ .答案：f(x) =x 2 -1x 2 _2x _3(6)函数y _________________________ 的间断点是.答案：x- -1x +1 1(7)lim xsin .答案：1X护 x sin 4x(8)若 lim _______________ 2，则 k = .答案：k = 2―0 sin kx2.单项选择题答案：B(2)下列函数中为奇函数是( ).答案：CA. xsin xln (x . 1 x 2) D . x x 2).D . x 卞 一5 且 x = -4x(3)函数y ln(x • 5)的定义域为(x +4A. x 占-5 B . x -4 C . x 占 一5 且 x = 0答案：D2(4)设 f(X * 1) = X 「1 ,则 f(X)二( )A. x(x 1)C. x=1,x=2, x=3D x 2 -3x 2(1)(2)解: limX —3x 2 -3x 2x 2 -4-9(x-2)(x-1) (x-2)(x 2)lim x =3 x-9(x-3)(x 3)-2x -3xB (x -3)(x 1)= lim 』^X —3 X 14 2答案：A3.计算题-4C. x(x _2)D . (x +2)(x —1)答案： Ce^2,x 式0亠 (5) 当k =(）时，函数f f(x) =在x=0处连续..k,x = 0A. 0B. 1C .2D . 3答案:Dx +1,x 式0 (6) 当k =(）时，函数f f(x)—w，在X = 0处连续、k,x = 0 A. 0 B. 1C .2D .-1答案:B(7) 函数f (x)x —3— 2 的间断点是（)X 2 _3x +2A. x =1,x = 2B.x =3.无间断点解:WORD 格式整理版综合练习题2 （导数与微分部分）(3)解:lim "卫二 lim HX T x 2 -5x 4x —4 & -4)(x -1)二lim x j4x -2x —11 •填空题(1)曲线f(x) __________________________________ ・1在(1,2)点的切斜率是11答案：2(2)_______________________________________________________ 曲线f(x) =e x在(0,1)点的切线方程是 __________________________________________ •答案：y = x • 1(3)已知f (x^ x3 3x，则f (3) =答案： f (x) =3x23x ln3f (3) =27 (1 ln 3)(4)已知f(x) = In x ,贝U f (x) = _____________________ •1 1答案：f (x) , f (x) = 2x x(5)若f (x) _______________________________ ，贝y f (0)二答案：f (x)二「2e» xe」f (0) =「22.单项选择题(1)若f (x) = e^ cosx，贝U f (0)= ( ) •A. 2B. 1C. -1D. -2因f (x) = (e“ cosx) = (e“)cosx e^(cosx)-x X x=-e cosx -e sin x = -e (cosx sinx)所以f (0) - -e-0 (cos0 sin0) - -1答案：C(2)设y = lg2 x，则dy 二(1 1A. dx B dx2x xln 10答案：B(3)设y二f (x)是可微函数，则)•ln 10 1 C •dx D • 一dxx x df(cos2x)二( )•A • 2f (cos2x)dxB f (cos2x)sin 2xd2x(4)若 f(X) . 丄3=si nx a，其中a 是常数，则f (x) =().A2.cosx 3a B. sin x 6ac.-sin xD.cosx答案 :C3.计算题1e ，求八(1 )设 y = x 211 2 1 .1C . 2f (cos2x)sin 2xdxD . - f (cos2x)sin2xd2xx(2 )设 y = sin 4x cos 3 x ，求 y .2解: y = 4cos4x 3cos x(-sinx)2= 4cos4x 「3sinxcos x(3 )设 y = e % 12，求讨.x答案：D21 解： / = 2xe x x 2e x (-p)二 e x (2x-1)A.单调增加 B .单调减少C.先增后减 D •先减后增答案：D(2)满足方程f (x) =0的点一定是函数y二f (x)的( ).A极值点 B.最值点 C .驻点 D.间断点答案：C(3)下列结论中( )不正确.A . f (x)在X=X0处连续，则一定在X0处可微.B . f(X)在X = X0处不连续，则一定在X0处不可导•C •可导函数的极值点一定发生在其驻点上•D.函数的极值点一定发生在不可导点上•答案：B(4)下列函数在指定区间(-：：,•：：)上单调增加的是( ).A . sinxB . e XC . X10D . 3「x答案：B3.应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形，容积为108m i的长方体开口容器，怎样做法用料最省?解：设底边的边长为xm,高为h m容器的表面积为y m l。
导数与微分习题及答案
第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。
C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。
第二讲导数和微分内容提要和典型例题
x0
① f (x)连续 ② f(0)存在
③ f(x)连续 ④ f(0)存在
第二章 导数与微分典型例题
解 首先注意到
当 0时lim xsin 1不存在
x 0
x
当 0时 lim xsi1 n0
x 0
x
① 当 x0时f， (x)xnsi1n是初等函数，连续 x
因此要使 f (x)连续只f须 (x)在 x0处连续
F ( 0 ) 存 F ( 0 ) 在 F ( 0 ) F (0 ) x l 0 if m (x )1 ( sxix )n f(0 )
x l i0 m f(x x ) 0 f(0 )f(x)sx ixn f(0 )f(0 ) F (0 ) x l 0 if m (x )1 ( sxix )n f(0 ) x l i0 m f(x x ) 0 f(0 )f(x)sx ix n
2d yy22tyd yet 0
dt
dt
dyet y2 dt 2ty2
dy
dy dx
dt dx
(1t2)(et y2) 2ty2
dt
④ 设 f(x)(x20 01 1)g(x)，其 g(x)在 中 x1处连续
且 g(1)1求 f(1)
第二章 导数与微分典型例题
第二讲 导数与微分
内容提要与典型例题
第二章 导数与微分内容提要
一、主要内容
关 系
d y y d y y d x y d o y ( x ) dx
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数 高阶微分
微分
dyyx
求导法则
第二章 导数与微分内容提要
高等数学-——导数与微分练习题.pdf
C：若函数 f (x) 在点 x0 处不可导，则函数 f (x) 在点 x0 处左、右导数只有一个不存在
x≥0
（）
（5）若 f (x) = x −1 ， 则 f (x) 在 x = 1 处可导
（）
（6） f (x) = 3 x 在 (−∞, +∞) 内均可导
（）
（7）若函数 f (u) 可导，则 [ f (ln x)]′ = f ′(ln x)
（）
（8）若 y = x2ex ，则 y′′ − 2 y′ + y = 0
dx
五、证明题
1.
设函数
f (x) = arctan 1+ x ，证明 dy 1− x
=
x
1 2+
1
dx
2.
证明：函数
f
(
x
)
=
⎧ ax + b, ⎨⎩ex −1, x
x ≤
> 0
0
在 x = 0 处可导的充要条件是 a = 1, b = 0 .
3.
证明：
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x3
sin
1 x
,
x
≠
0
在定义域内处处可微.
则 a, b 之值为（
）
A： a = 2,b = −1 B： a = 1,b = −3
C： a = 0,b = −2
D： a = −3,b = 1
（5）下列结论正确的是（
）
A：若左、右导数都存在，则函数 f (x) 在点 x0 处可导
B：函数 f (x) 在点 x0 处不可导的充要条件是左、右导数都不存在
⎛ ⎜⎝
arctan
导数与微分练习题答案
高等数学练习题第二章导数与微分第一节导数观点一．填空题1. 若f (x0)存在，则lim f (x0x)f (x)= f ( x0)x 0x2. 若f (x0)存在，lim f (xh) f ( xh)=2 f ( x0).h 0hlim0f ( x3 x) f ( x)=3 f ( x0).x x3. 设f ( x0)2x 1, 则lim4x 0 f ( x0 2 x) f ( x0 ) )4.已知物体的运动规律为 s t t 2(米)，则物体在t 2秒时的刹时速度为 5（米/秒）5. 曲线y cosx 上点（，1）处的切线方程为 3 x 2 y 10 ，法线323方程为2x3y3202 36.用箭头 ? 或? 表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，可微可导|连续极限存在。
二、选择题1．设 f (0) 0 ,且 f ( 0) 存在，则 lim f ( x)=xx 0[B]（A）f ( x)(B) f (0)(C) f (0)(D)1f (0)22.设 f ( x) 在 x 处可导， a ,b为常数，则lim f (x a x) f (x b x) =x 0x [ B ]（A）f (x)( B)( a b) f (x)(C)(a b) f (x)(D)a bf (x)23.函数在点 x0处连续是在该点 x0处可导的条件[ B ]（A）充足但不是必需（B）必需但不是充足（ C）充足必需（D）即非充足也非必需4．设曲线y x2x 2 在点M 处的切线斜率为，则点M的坐标为3[ B ]（ A） (0,1)( B) (1, 0)(C) ( 0,0)(D) (1,1)5.设函数 f ( x) | sin x |，则 f (x)在x 0处[ B ]（A）不连续。
（B）连续，但不行导。
(C) 可导，但不连续。
（D）可导，且导数也连续。
三、设函数 f ( x)x2x 1为了使函数 f (x) 在x 1 处连续且可导，ax b x1a ，b应取什么值。
最新高等数学(同济第五版)第二章导数与微分-练习题册
第二章 导 数 与 微 分第 一 节 作 业一、填空题：1. 假定:,)('0按照导数定义存在x f.)()(lim )2(.)()(lim)1(000000=--+=∆-∆-→→∆h h x f h x f x x f x x f h x2. 设=⋅=',5322y xx x y 则 .3. 曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程为 .4. 已知物体的运动规律为 s=t 3（米），则这物体在t=2（秒）时的速度为 . 二、选择题（单选）：1. 设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x+100)，则f’(1)的值等于： （A ）101！； （B ）100!101-； （C ）-100； （D ）.99!100 答：（ ）.1)(;1)(;21)(;0)(:)0(',0,00,1)(.22-⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-D C B A f x x x e x f x为则设答：（ ） 三、试解下列各题：1. 讨论函数.00,00,1sin 处的连续性与可导性在=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx y2. 已知).(',0,,sin )(x f x x x x x f 求⎩⎨⎧≥<=3. 设?,,1)(,1,1,)(2应取什么值处可导在为了使b a x x f x b ax x x x f =⎩⎨⎧>+≤=四、试证明下列各题：1. 证明：双曲线xy=a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于2a2.2. 如果f(x)为偶函数，且f’(0)存在，证明f’(0)=0.第 二 节 作 业一、填空题：.)]sin )(cos cos [(sin .2.',3ln .12=+-=+=x x x x dxdy x e y x则设二、选择题（单选）：.)()()(;)()()(;)()()(;)()()(:,)(,)(00必可导必不可导必不可导必可导处则在不可导可导处设在x g x f D x g x f C x g x f B x g x f A x x g x f x -+答：（ ） 三、试解下列各题： 1. 设.,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求2. 求曲线y=2sinx+x 2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程。
导数和微分练习题(答案版)
1. 13arctan )1()(2+--=x x x x f ,求f’(1) 2. 设1lim )()1()1(2+++=--∞>-x n x n n e b ax e x x f 是区间),(+∞-∞内是可导函数，试确定常数a,b 3. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在点x=1处连续，22cos ]3)(ln[lim 1=+>-xx f x π,求曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程。
4. 设函数在),(+∞-∞内有定义，对任意的x,y 都有)()()(x f e y f e y x f y x +=+,e f =)0(',求f （x ）的表达式5. 设函数0,)(;0,)()(==≠-=-x a x f x x e x x f xϕ,其中的)(x ϕ具有二阶导数，且1)0(',1)0(-==ϕϕ1) 确定常数a 的值，使得f （x ）在x=0时连续2) 求f’(x);3) 讨论f’(x)在区间),(+∞-∞内的连续性6. 设函数)()()(x g x f x F =，如果f(x)在x 0点可导，g （x ）在x 0点连续不可导，证明：F(x)在x 0点可导⇔f(x 0)=07. 设曲线y=f(x)与曲线y e y x =-++)14tan(π在（1,0）处有公切线. 1）求公切线方程2）计算极限)1(lim +∞>-n n nf n 8. 设f(x)是周期为3的连续函数，在点x=0的某一邻域内恒有x x x f x f 2tan 6)tan 1(2)tan 1(+=--+,已知f(x)在点x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(10.f(10))处的切线方程。
9. 设函数f(x)在x ≤x 0时具有二阶导数，00200,)()()(;),()(x x c x x b x x a x F x x x f x F >+-+-=≤=,试确定常数a ，b ，c ，使得F(x)在x 0处二阶可导。
微积分练习题
微积分练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数是：A. -4B. 0C. 4D. 82. 曲线 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x \) 在点 \( P(3,0) \) 处的切线斜率是：A. -18B. -9C. 0D. 93. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分是：A. 2B. \( \pi \)C. \( 2\pi \)D. 04. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的原函数是：A. \( x \)B. \( x^2 \)C. \( e^x \)D. \( x\ln(x) - x \)5. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4x \) 相切的点的横坐标是：A. 0B. 2C. 4D. 8二、填空题（每题2分，共10分）6. 函数 \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \) 的二阶导数是__________。
7. 若 \( \int_{0}^{1} f(x)dx = 2 \) 且 \( f(0) = 0 \)，则\( f(1) \) 等于 __________。
8. 函数 \( g(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程是 __________。
9. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \) 等于 __________。
10. 函数 \( h(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 \) 的极小值点是__________。
三、简答题（每题10分，共30分）11. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在区间 \( [0, 3] \)上的最大值和最小值。
微积分综合练习题及参考答案
综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21（2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2xx x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e1+=+，求y '.解：2121(21ex x y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
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题型1.由已知导数，求切线的方程2.对简单的、常见函数进行求导3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导4.参数方程与一些个别函数的应用5.常见的高阶导数及其求导内容一．导数的概念1.导数的定义2.导数的几何意义3.导数的物理意义4.可导与连续之间的关系二．导数的计算1.导数的基本公式2.导数的四则运算法则3.反函数的求导法则4.复函数的求导法则5.隐函数的求导6.参数方程所确定的函数的导数7. 对数求导法8.高阶导数三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用典型例题题型I 利用导数定义解题 题型II 导数在几何上的应用题型III 利用导数公式及其求导法则求导 题型IV 求高阶导数题型V 可导、连续与极限存在的关系自测题二一．填空题 二．选择题 三．解答题4月9日微分练习题基础题：（一）选择题 1.若⎩⎨⎧≥+<+=1,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（ ）A.2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2,2-=-=b a2. 设0'()2f x =，则000()()limx f x h f x h h∆→+--＝( ).A 、不存在B 、 2C 、 0D 、 43. 设)0()(32>=x x x f , 则(_))4(='fA.2B.3C.4D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，)(x f 的n 阶导数)()(x f n 是（ ）。
A 、1)]([+n x fn B 、1)]([!+n x f n C 、n x f 2)]([ D 、n x f n 2)]([!（二）填空题5. 设 2sin x e y = ，则=dy _____.6.已知x y 2sin =，则)(n y= .7.设函数()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定，()x θ与()y θ均可导，且00()x x θ=，'0()2x θ=，2x x dydx==，则'0()y θ=.8.设0,sin )(>=a x x f ，则=--→ha f h a f h 2)()(lim；9. 已知设 cos2xy e = ，则=dy ____ _.10.sin xy x =，则2x dy π==_____________ 11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = .12. 设)]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则=dxdy13．2x x y =,则dxdy.=______ 14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f =15. 设函数,22xxy -+=求.)(n y .综合题：（三）解答题16. 求与抛物线225y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行，且与抛物线相切的直线方程.17. 求幂指函数)0(>=x x y x的导数.18. 已知xyy x arctan)ln(22=+，求y '.19. 求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty tx arctan 1ln 2所确定的函数的一阶导数dxdy和二阶导数22dx yd .20. 若隐函数()y y x =由方程22ln()arctan yx y x+=确定，求(1)y '，1,0x y dy ==．4月10日导数与微分练习题基础题1. 在0=x 处，连续但不可导的函数是（ ）A ：x y =B ：31)1(-=x y C ：1ln -=x y D ：tgx y arg = 2. 设 4ln )(=x f ,则 0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(= ( )A ：0B ：41C ： ∞D ： 4 3. 已知1)(0='x f ，则=--→tx f t x f t sin )()2(lim000（ ） A ：3- B ：2- C ：1- D ：04. 设函数)(x f 在点a 可导，且12)5()5(lim0=--+→hh a f h a f h ，则=')(a f （ ）Ａ： 51 Ｂ： 5 Ｃ： 2 Ｄ： 215. 设函数)3)(1()(--=x x x x f ，则)0(f '=( )A ：0B ：1C ：3D ：316. 设 y=x sin 3则 y '=( )A ：3ln 3sin xB ：x x cos 3sinC ：x x cos 3ln 3sinD ：x x sin 31sin -7. 设3sin 3xy =，则y '=( ) A ：3sin 32x B ：3sin 2x C ：3cos 3sin 32x x D ：3cos 3sin 2x x8. 设,ln x xy =则(='y ）A ：dx x x 2ln 1-B ：2ln 1x x -C ：21ln x x -D ：dx x x 21ln -9. 设)(x f e y =且)(x f 在0x 处可导，则='=0x x y （ ）A ：)(0x f eB ：)(0x f e' C ：)(00)(x f ex f ' D ：)(00)(x f ex f '10. 设)()(x g x f ='，则dxx df )(sin 2=( )A ：x x g sin )(2B ：x x g 2sin )(C ：)2(sin x gD ：x x g 2sin )(sin 211. 设),(cos x f y =则dxdy=( ) A ：x x f sin )(cos ' B ：x x f cos )(cos ' C ：x x f cos )(cos '- D ：x x f sin )(cos '-12. 设x y sin =，则)2()3(πy =（ ）A ： 0B ： 1C ： 1-D ：21 13. 设x y ln =，则)(n y =( )A ：nnxn --!)1( B ；nn xn 2)!1()1(--- C ：n n x n ----)!1()1(1D ：11!)1(+---n n x n14. 已知曲线22-+=x x y 上点M 处的切线与直线13+=x y 平行，则点M 的坐标为（ ）Ａ： )1,0( Ｂ： )0,1( Ｃ： )0,0( Ｄ： )1,1(15. 过曲线x y ln =上点)0,1(处的法线方程是_________________16. 设函数)(x f y =有21)(0='x f ，则当0→∆x ，)(x f 在0x x =处的微分dy 是 ( )A ：与x ∆等价的无穷小B ：与x ∆同阶的无穷小，但不是等价的无穷小C ：比x ∆高阶的无穷小D ：比x ∆低阶的无穷小17. 当x ∆很少，且0)(0='x f ，函数在0x x =处改变量y ∆和微分dy 的关系是（ ）A ： dy y <∆B ： dy y >∆C ： dy y =∆D ： dy y ≈∆综合题：18. 已知函数在点0x 处可导,且41)()2(lim000=--→x f x x f x x ,求 )(0x f '19. 求由曲线1sin 3+-=x e y x 在点)2,0(的切线与法线方程20. 设函数0,2sin ,)(>≤⎩⎨⎧+=x x b x e x f ax 可导，求常数b a ,21. 求函数x x y tan ln cos ⋅=的导数 22.求xy xsin 2arctan =的导数23. 设 ,1arcsin 2x y -=求 22='x y 24. 设 xe x y xarccos )1(ln -= ， 求)0(y '25. 设xx x x x y 221ln arccos +++=,求y '26.设 )21l n ()1(2x x x x y ++++=)－22x x +, 求 dy4月11日导数与微分练习题综合题：1.求由方程0ln 22=-+x y y x 所确定的隐函数的导数与微分2. 设 x x y 5=，求dy3. 求函数x y sin 1+=的2阶导数4. 设x xey =，求1=''x y5. 设1arctan ln 122---=x x x y ,求)5(y '6. 设函数()y y x =由方程sin()0xy x y -+=确定，求dxdy.7.求由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-ttey ex 2在相应0=t 点处的切线方程和法线方程。
8.已知x x y 2sin 2=，求()50y9.已知xx y +-=11，求()n y10. 设函数()x f 和()x g 可导，且()()022≠+x g x f ，试求函数()()x g x f y 22+=的导数。
11. 设方程xyy x =确定了y 是x 的函数，求dy12. xx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=1，求dy13. ,sin 22xx y x+=求dy基础题：14. 设()()()()10021---=x x x x f ，则()()=+'771f f ______________15. 函数()⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=ttey et x 2ln 在0=t 处的切线方程为___________________16. 设()xx f -=11ln ，则()()0n f =_________________17. 设()xe x xf -⋅=，则()()x fn =___________________18. 若直线b x y +=3是曲线452++=x x y 的一条切线，则b _____________4月12日导数与微分练习题一。
导数的概念1. 函数)(x f y =在0x x =处可导,则=∆-∆+→∆xx f x x f x )()(lim000.2.设)(x f 在0x 处可导,已知32)()2(lim000=-+→xx f x x f x ,则=)('0x f .A.3B.1C. 0D.2 3.设)(x f 是可导函数，且1)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则=)(0'x f ____ ____.A.1 ；B.0 ；C.2；D.21 4.函数xy 1sin=在0=x 处__ _ ___. A ． 连续，可导 B. 连续，不可导 C.不连续，不可导 D.不连续，可导5.函数|1|-=x y 在1=x 处__ ___.A.连续，可导B.连续，不可导C.不连续，不可导D.不连续，可导6.在区间),(b a 内，如果)()(x f x g '='，则必有____ ___.A. )()(x g x f =.B. c x g x f +=)()( .C.)(x f 与)(x g 为任意函数.D. 0)()(=+x g x f .二．求导数 （一）复合函数求导数1.设)(2x f y -=，则dy =____________.A. '2()xf x dx -.B.dx x xf )(22'--.C. dx x f )(22'-. D. dx x xf )(22'-.2.设x n e xy +=-1（n 为自然数），则=)(n y _________.A. n!+n x e ； ；B.n!；C. x eD. n!+xe3.设1122+-=x x y ，求dy . 4. 设an x a x a y ++=，求dy .5.设)21ln(cos x y +=，求dy6. 已知x e y xcos =，求dy .7.设函数x ey xsin -=，求dy 8. 已知4ln y x π=+，求y '.9.设()x e x y +=22ln ,求y '. 10.设xx xe a y 2+=，求y '.11.设2arcsin x e y x +=，求'y . 12.已知cos ln 2y x x =++，求y '.13.已知 21ln x y -=, 求y . 14.设)(x f 可导,)(ln 2x f y =,求y '.（二）隐函数求导数1.设函数()y f x =由方程sin 0y x y ++=确定，求y '.2.设函数()y f x =由方程2ln y x y =+确定，求y '.3.求方程0ln 2=+-y y x 所确定的隐函数)(x f y =在给定点（1，2）处的导数.4.求方程3220y y x +-=所确定的隐函数()y f x =在给定点（1，1）处的导数.5. 设yx exy +=，求dx dy . 6.设0=-+e e xy y，求dxdy .（三）幂指函数求导数 1.设xxy sin =，求dx dy . 2.设xy y x =，求dxdy .（四）求高阶导数 1.设函数()()3xx e e x f -+=，求()x f '和()x f ''.2.设函数x x y ln 2=，求y '和y ''.3.求函数xe y 3=的n 阶导数.4.设函数33ln y x x =，求y '和y ''. 5.设x e x f xsin )(=，求''()f x .三、导数的几何意义1.求出曲线22x y =在点（1，2）处的切线与法线方程．2.已知抛物线222+-=x x y .（1）求抛物线在点()03,5M 处的切线方程和法线方程.（2）抛物线上哪一点处的切线平行于x y 4-=.。