高三数学平面向量的基本定理
2.2.1平面向量的基本定理
e1 a a=λ1e1+0e2
e2 a
a=0e1+λ2e2
如果 e1 , e2 是同一平面内的两个
不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，有且只有一对实数λ 1
λ 、 2 ，使
a =λe1 +λe2 1 2
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底.
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
解析： 本题考查平面向量的基本概念、坐标运算。 a b (0,1 x 2 ) 取y轴的单位向量j=（0，1），则a+b= （1+x2）j ∴（a+b）∥j,故向量a+b平行于y轴，故选C
2（2007全国）把函数y=ex的图像按向量a=(2,0)平 移，得到y=f (x)的图像，则f (x)=( C ) A.ex+2 C. ex-2 B.ex-2 D.ex+2
C
B
A
O -3e1
2e2
例2 : 如图，ABCD的两条对角线相交于点M,且 AB = a AD = b ， ，用a、表示MA、 、 和MD. b MB MC
解：在 ABCD中， ∵ AC = AB + AD = a + b DB = AB - AD = a - b
例1：已知向量e1 ,e2 （如图），求作向量 - 3e1 + 2e2 .
作法: 1.如图，任取一点O , 作OA = -3e1 , OB = 2e2 .
高三数学大一轮复习 平面向量的基本定理及坐标表示学
学案26 平面向量的基本定理及坐标表示导学目标： 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．自主梳理1．平面向量基本定理定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__________一对实数λ1，λ2，使a ＝______________.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组________． 2．夹角（1）已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的________．(2)向量夹角θ的范围是________，a 与b 同向时，夹角θ＝____；a 与b 反向时，夹角θ＝____.(3)如果向量a 与b 的夹角是________，我们说a 与b 垂直，记作________． 3．把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．4．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对______叫做向量a 的________，记作a ＝________，其中x 叫a 在________上的坐标，y 叫a 在________上的坐标．5．平面向量的坐标运算 (1)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝________________________，a －b ＝________________________，λa ＝________________.（2）已知A （11x y ，），B （22x y ，），则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标．6．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是________________________． 7．(1)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P 的坐标为________________________________．(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则△P 1P 2P 3的重心P 的坐标为_______________． 自我检测1．(2010·福建)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α，13，且a∥b ，则锐角α为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3.（2011·马鞍山模拟）已知向量a =(6，-4)，b （0，2），OC →＝c ＝a ＋λb ，若C 点在函数y ＝sinπ12x 的图象上，则实数λ等于( )A.52B.32 C ．－52 D ．－324．(2010·陕西)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.5.（2009·安徽）给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧»AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______.探究点一 平面向量基本定理的应用例1 如图所示，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a 、b 为基底表示OM →.变式迁移1 （2011·厦门模拟）如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ、μ∈R )，则λ＋μ的值为________．探究点二 平面向量的坐标运算例2 已知A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4），且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，试求点M ，N 和MN →的坐标．变式迁移2 已知点A （1，-2），若向量|AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标为________．探究点三 在向量平行下求参数问题例3 (2011·嘉兴模拟)已知平面内三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .变式迁移3 (2009·江西)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被a 所唯一确定，此时a 的坐标与点A 的坐标都是(x ，y )．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量(x ，y )垐垐垎噲垐垐一一对应向量OA →垐垐垎噲垐垐一一对应点A (x ，y )．要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A (1,2)，B (3,4)，则AB →＝(2,2)．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知a,b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b ， (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为 ( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2－1＝0D ．λ1λ2＋1＝02.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足 ( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <03．(2011·湛江月考)设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ、m 、α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是 ( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－∞，1]D ．[－1,6] 4.设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cosθ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是 ( )A. 2B. 3 C ．3 2 D ．2 35.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4) 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)6.（2011·烟台模拟）如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为______．7．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．8.(2009·天津)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，则四边形ABCD 的面积为________．三、解答题(共38分)9.（12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →.10．(12分)(2011·宣城模拟)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝(22sin B ＋C 2，2sin A )，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．11.（14分）如图，在边长为1的正△ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE →＝mAB →，AF →＝nAC →，m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N .(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ；（2）若m +n=1,求MN u u u u r的最小值．答案 自主梳理1．不共线 有且只有 λ1e 1＋λ2e 2 基底 2.(1)夹角(2)[0，π] 0 π (3)π2a ⊥b3.互相垂直4.(x ，y ) 坐标 (x ，y ) x 轴 y 轴5.(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) (2)终点 始点6．x 1y 2－x 2y 1＝0 7.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33自我检测1．A [由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．]2．B [∵a ∥b ，∴32×13－sin αcos α＝0，∴sin 2α＝1,2α＝90°，α＝45°.]3．A [c ＝a ＋λb ＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝52.]4．－1解析 a ＋b ＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，所以m ＝－1. 5．2解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B (－12，32)．设AOC ∠＝α,则OA →＝ (cos α，sin α)． ∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y2，32y ＝(cos α，sin α)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 课堂活动区例1 解题导引 本题利用方程的思想，设OM →=ma +nb ，通过建立关于m 、n 的方程求解，同时注意体会应用向量法解决平面几何问题的方法.解 设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b .因为A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ，因为C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n1，即4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17，n ＝37.所以OM →＝17a ＋37b .变式迁移1 6解析 如右图，OC →＝OD →＋OE →＝λOA →＋μOB →在△OCD 中，∠COD ＝30°，∠OCD ＝∠COB ＝90°，可求|OD →|＝4，同理可求|OE →|＝2， ∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6.例2 解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)． ∴CM →＝3CA →＝(3,24)， CN →＝2CB →＝(12,6)．设M （x ，y ），则CM →＝(x ＋3，y ＋4)＝(3,24)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)．同理可得N （9，2），因此MN →=（9，－18）.∴所求M （0，20），N （9，2），MN →＝(9，－18)． 变式迁移2 (5,4)解析 ∵向量AB →与a 同向，∴设AB →＝(2t,3t ) (t >0)． 由|AB →|＝213，∴4t 2＋9t 2＝4×13.∴t 2＝4.∵t >0，∴t ＝2.∴AB →＝(4,6)．设B 为(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋2＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.例3 解 (1)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，且a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.变式迁移3 5解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,7)＝(3－k ，－6)，且(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63，∴k ＝5.课后练习区1．C [∵A 、B 、C 三点共线⇔AB →与AC →共线⇔AB →＝kAC →⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，kλ2＝1，∴λ1λ2－1＝0.]2.B [由于点P 落在第Ⅲ部分，且OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a >0，b <0.]3．A [∵2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，∴λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，∴(2m －2)2－m ＝cos 2α＋2sin α，即4m 2－9m ＋4＝1－sin 2α＋2sin α.又∵－2≤1－sin 2α＋2sin α≤2，∴－2≤4m 2－9m ＋4≤2，解得14≤m ≤2，∴12≤1m ≤4.又∵λ＝2m －2， ∴λm ＝2－2m ，∴－6≤2－2m≤1.]6．2解析 方法一 若M 与B 重合，N 与C 重合，则m ＋n ＝2.方法二 ∵2AO →＝AB →＋AC →＝mAM →＋nAN →， AO →＝m 2AM →＝m 2AM →.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2. 7．(0，－2)解析 设D 点的坐标为(x ，y )，由题意知ＢＣ→＝ＡＤ→，即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)． 8. 3S ＝|AB →|＝|ＢＣ→|sin 60°＝2×2×32＝ 3. 9．证明 设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题意，得ＡＣ→＝(2,2)，ＢＣ→＝(－2,3)，ＡB →＝(4，－1)．∴A Ｅ→＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，ＢＦ→＝13ＢC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∴A Ｅ→＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，ＢＦ→＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.…………………………………………………(4分)∴(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23＋(－1,0) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23， (x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1＋(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. ∴ＥＦ→＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.…………………………………………………(8分)又∵ＡB →＝(4，－1)，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0， ∴ＥＦ→∥ＡB →.……………………………………………………………………………(12分)10．证明 ∵m ∥n ，∴a cos B ＝b cos A . 由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ， 即sin(A －B )＝0.∵A 、B 为三角形的内角， ∴－π<A －B <π.∴A ＝B .……………………………………………………………………………………(5分)∵p 2＝9，∴8sin2B ＋C2＋4sin 2A ＝9.∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9.∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12.……………………………………………………………………………(10分)又∵0<A <π，∴A ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．………………………………………………………………(12分)11．解 （1）由A ，M ，N 三点共线，得A Ｍ→∥A Ｎ→，设A Ｍ→＝λAN →(λ∈R )，即12(AE →＋A Ｆ→)＝12λ(ＡB →＋AC →)，所以m ＡB →＋nAC →＝λ(ＡB →＋AC →)，所以m ＝n .…………………………………………(5分)（２）因为ＭN →＝AN →－AM →＝12(AB →－AC →)＝12(AE →－AF →)＝12 (1－m )AB → ＋12(1－n )AC →，……………………………………………………………………………………………(8分)又m ＋n ＝1，所以MN →＝12 (1－m )AB →＋12mAC →，所以|MN →|2＝14(1－m )2AB →2＋14m 2AC →2＋12(1－m )mAB →·AC →………………………………(10分)＝14(1－m )2＋14m 2＋14(1－m )m ＝14(m －12)2＋316. 故当m ＝12时，|MN →|min ＝34.……………………………………………………………(14分)。
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
平面向量基本定理及坐标表示
5.已知向量a=（8, 1 x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-
2
2b)∥(2a+b)，则x的值为 4 .
解析 a-2b=（8-2x, 1 x-2），2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,
1 x-2）= (16+x,x+1)
2
8-2x= (16+x)
A.m≠-2 C.m≠1
B.m≠ 1
2
D.m≠-1
解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.
∵ABOBOA(2，-1)-（1，-3）=(1，2)， ACOC OA （ m+1 ， m-2 ） - （ 1 ， -3 ） =
（m，m+1）.
假设A、B、C三点共线，
则1×(m+1)-2m=0,即m=1.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，
5）且 OPOAtAB,
（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出
相应的实数t;若不能，请说明理由.
解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5），
∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 OP =（x，y），若点P在第二
同理 NO1a(11)b
2 2n
由MO ∥NO 得MO = NO
即
1 1 2m (1 1 2n
)
1 2 1
2
① ②
①×②整理得m+n=2.
答案 2
题型二 向量的坐标运算 【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，
高考数学平面向量的基本定理总结
高考数学平面向量的基本定理总结平面向量是高中数学中一个重要的概念，它是代数学在几何学中的应用。
在高考数学中，平面向量涉及到许多定理和性质。
本文将对高考数学中的平面向量的基本定理进行总结，并重点介绍向量的加减法、数量积和向量积等相关内容。
一、向量的加减法向量的加法是指将两个向量按顺序“首尾相接”的方法进行相加。
具体而言，设有向量a、b，它们的加法运算为a + b，其结果是一个新的向量c。
根据平行四边形法则，向量加法满足以下性质：1. 交换律：a + b = b + a。
2. 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
3. 零向量的存在：对于任意向量a，存在一个称为零向量的向量0，满足a + 0 = a。
4. 反向向量的存在：对于任意向量a，存在一个称为反向向量的向量-b，满足a + (-b) = 0。
向量的减法可以理解为向量的加法的逆运算。
具体而言，设有向量a、b，它们的减法运算为a - b，其结果是一个新的向量c。
向量的减法可以通过向量的加法和取反向量来实现，即a - b = a + (-b)。
二、数量积向量的数量积（也称为点积或内积）是指将两个向量按一定规则进行乘法运算得到一个数的运算。
设有向量a、b，它们的数量积记为a·b，其结果是一个实数。
数量积的计算公式为a·b = |a| ∙ |b| ∙ cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积满足以下性质：1. 对于任意向量a，有a·a = |a|^2 ≥ 0，等号成立当且仅当a为零向量。
2. 交换律：a·b = b·a。
3. 结合律：(k · a)·b = k·(a·b)，其中k为实数。
4. 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c。
数量积的应用颇多，例如求向量的模、求两个向量之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2024年高考数学平面向量的基本定理总结
2024年高考数学平面向量的基本定理总结2024年高考数学考试中，常见的平面向量的基本定理包括向量的加法、减法、数乘、模长、共线、垂直、平行以及向量投影等内容。
接下来，我将对每个内容进行总结，便于复习和记忆。
一、向量的加法和减法向量的加法遵循三角形法则，即若有两个向量a和b，则它们的和向量c等于将a和b的起点连接起来，其终点为a和b的终点所在的位置。
向量的减法即为加法的逆运算，即若有两个向量a和b，则它们的差向量d等于将a和b的起点连接起来，其终点为a的终点与b的终点连线的交点的位置。
二、向量的数乘向量的数乘是指将一个实数与一个向量的每个分量依次相乘，得到新的向量。
例如，设有向量a和实数k，则a乘以k得到的向量为ka，即ka=(ka1, ka2)。
三、向量的模长向量的模长也被称为向量的长度，其表示了一个向量的大小。
在平面上，设有一个向量a=(a1, a2)，则向量a的模长为∥a∥=√(a1²+a2²)。
四、向量的共线若两个向量a和b可以表示成k倍关系，即b=ka，其中k为一个实数，则称向量a和向量b共线。
五、向量的垂直若两个向量a和b的点积等于0，则称向量a和向量b互相垂直。
即a·b=0。
点积的计算方式为a·b=a1b1+a2b2。
六、向量的平行若两个向量a和b的方向相同或相反，且它们不共线，则称向量a和向量b平行。
七、向量的投影向量的投影是指将一个向量a投影到另一个向量b上得到的新向量。
投影的计算方式为投影向量等于向量a与向量b的单位向量的点积乘以向量b的长度。
即设向量a投影到向量b上的向量为c，则c=(a·b/∥b∥²)b。
在高考的数学考试中，对于这些基本定理的掌握是非常重要的。
学生们需要通过大量的练习来巩固对这些定理的理解和运用能力，以便在考试中能够熟练地应用。
希望上述内容的总结对你有所帮助。
2.3.1平面向量基本定理
分别表示向量a、 例4．如图，用基底 ，j 分别表示向量 、b 、 ．如图，用基底i A c 、d ，并求它们的坐标． 并求它们的坐标．
2
A
A1
课堂小结： 课堂小结：
1.平面向量的基本定理 平面向量的基本定理
（书本94页） 书本 页
如果e 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于 如果 1，e2是同一平面内的两个不共线的向量 那么对于 这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 有且只有一对实数λ 这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数λ １、λ２使 a = λ １ e 1+ λ ２ e 2 2.向量的夹角：共起点的两个向量形成的角 向量的夹角： 向量的夹角
把一个向量分解为两个垂直的向量,叫做把向量正交分解 把一个向量分解为两个垂直的向量 叫做把向量正交分解。 垂直的向量 叫做把向量正交分解。
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作 分别与 轴方向相同的两单位向量 为基底？任一向量a 为基底？任一向量 ，用这组基底可表示为有且只有一对实 y a =xi + yj． 数x、y，使得 、 ， a （x，y）叫做向量a的坐标，记作 ， ）叫做向量 的坐标， j a=( x , y ) x O i 那么i （ 0 那么 =（1 ， ） 1 j =( 0 ， ) 0 =（ 0 ，0） （
作业布置
P101
P102
A组 1
B组 3 4
a e2 e1
a e1 e2
a e2 e1
a e1 e2
对定理的理解: 1)基底: 不共线的向量e1 e2。 不共线的向量 的向量 。 同一平面可以有不同基底 2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的 平面内的任一向量都可以沿两个不共线的 平面内的任一向量 方向分解成两个向量的和的形式； 方向分解成两个向量的和的形式； 3)分解是唯一的 分解是唯一的 分解是唯一
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。
平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。
一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。
2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。
设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。
设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。
在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。
根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。
对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。
设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。
平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。
高中数学知识点精讲精析 平面向量基本定理
2.3.2 平面向量基本定理1.平面向量的基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在一对数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2。
把不共线的向量e 1,e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底。
（1）e 1,e 2是同一平面内的两个不共线的向量。
（2）该平面内的任意向量a 都可以用e 1,e 2线性表示，且这种表示是唯一的。
（3）对于基底的选取是不唯一的。
只要同一平面内的两个不共线向量都可作为基底，0不能作为基底向量。
例1已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e 。
作法：1︒ 取点O ，作OA =-2.51e OB =32e 2︒ 作平行四边形OACB ，即为所求+例2 如图平行四边形ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB = a ，AD = b ， 用a ，b 表示，，MC 和 解：在平行四边形ABCD 中 ∵AC =+= a + b =-= a - b∴MA =-21=-21( a + b )=-21a -21b MB =21DB =21( a - b )=21a -21bMC =21AC =21a +21b=-=-21=-21a +21b例3 已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：+++=41e 2e证：∵E 是对角线AC 和BD 的交点 ∴AE ==- ==-在△OAE 中 +=同理：+= += += 以上各式相加，得：+++=4例4 ，不共线，AP =t AB (t ∈R)用,表示 解：∵=t∴=+=+ t =+ t(-) =+ t -t =(1-t) OA + t OBCPBO。
平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a 、b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.选择题：设e 1，e 2是平面内一组基底，那么( ) A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎨⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) C ．1 D ．2 解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )解析 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，∴c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.已知向量OA→＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23解析 AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB→＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14)解析 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)，由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，∴m ＝－6，则“m ＝－6”是“a∥(a ＋b )”的充要条件，故选A已知在□ABCD 中，AD→＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝( )A ．(－1，－12)B ．(－1,12)C ．(1，－12)D ．(1,12) 解析 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD→＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( )C ．－3D ．0解析 ∵CD →＝2DB →，∴CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC→＝2AE →，则向量EM →＝( )AC →＋13AB → AC →＋16AB → AC →＋12AB → AC →＋32AB →解析 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP→＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)＝6PQ →－3PA →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( )解析 ∵AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，∴AB →＝85AN →－45AM →，∴λ＋μ＝45.填空题：已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. 解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________.解析 ∵(x,1)＋(2，y )＝(1，－1)，∴⎩⎨⎧ x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，∴x ＋y ＝－3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．－12 D ．1解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，∴u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又∵u ∥v ，∴3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12. 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54在□ABCD 中，AC 为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．已知□ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________ 解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎨⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为_______ 解析 ∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，∴DC→＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )，AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)， ∴⎩⎨⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________． 解析：设BP→＝kBN →，k ∈R .∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 且AP →＝mAB →＋211AC →，∴1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.在□ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示) 解析 如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2如图，已知AB→＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝____________解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，则(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，∴1a ＋1b ＝12.设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________解析 由题意得AB→＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，∴(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎨⎧－a ＋2＝λb ＋2，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，∴1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.解析 设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎨⎧ x －7＝21－x ，y －1＝24－y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________解析 若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.解析 ∵a ∥b ，∴sin2θ×1－cos 2θ＝0，∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0， ∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12解答题：已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC→＝2AB →，求点C 的坐标． 解析 (1)由已知得AB→＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →，∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC→＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎨⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴AM→与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．能力提升题组已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 解析 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn 的值为( )A ．2 C ．3 D ．4 解析 ∵OA →·OB→＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14 解析 由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，∴O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A →－O B →)＝23O A →＋13O B →，∴x ＝23，y ＝13.已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴有⎩⎨⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD→＝(－2，－4)．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________解析 由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎨⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为|OP |＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.已知△ABC 和点M 满足MA→＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点． ∴AM →＝23AD →.又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________ 解析 由题意得，OC→＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC→||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA→＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．。
平面向量的基本概念和基本定理
【平面向量】（1）平面向量的基本概念和基本定理： 考点．．1．重要的概念．．．．．①基本概念向量、向量的模（长度），向量的表示，自由向量、相等向量，相反向量，位置向量，零向量、共线向量、单位向量、基线、数乘向量、基向量、坐标、正交基底、向量的数量积、夹角、正射影 考点．．2．重要的定理．．．．． ②基本定理：平行向量基本定理（掌握）、平面向量基本定理（了解）向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa ∥b (b≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e （2）平面向量的基本运算：（几何运算、代数运算、坐标运算） 考点３重要的运算 ① 向量的加法几何运算：如图，已知向量a 、在平面内任取一点A ，作a AB =，b BC =，则向量AC叫做a 与b 的和，记作b a +，即 AC BC AB b a =+=+特殊情况：(1)BBabba +ba +AABC C)2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+00向量加法的运算律：a +b =b +a (a +b ) +c =a + (b +c )向量的加法的代数运算：AC BC AB b a =+=+向量的加法的坐标运算： 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， ② 向量的减法向量的减法的几何运算： 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b 向量减法的运算律：向量的减法的代数运算：AB =OB -OA向量的减法的坐标运算：若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a -),(2121y y x x --= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)③ 向量的数乘 向量的数乘的几何计算示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a) OC =BC AB OA ++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a向量的数乘的运算律： 结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③向量的数乘的代数运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a|（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0a -bA AB B B’ O a -ba a bb O A O Ba -ba -b B A O -b向量的数乘的坐标运算若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=④向量的数量积向量的数量积的几何计算：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0向量的数量积的几何意义： 数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b | 两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒向量的数量积的运算律：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅C5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |向量的数量积的代数运算： 交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb ) 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２向量的数量积的坐标运算已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = b a⋅2121y y x x += 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⊥⇔02121=+y y x x 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a +=或22||y x a +=（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式).两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=典型例题例1如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示). 解：例2 已知a(1, 2)，b (2, 3)，c (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形证明：例3 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：例4已知a= (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x解：例5已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b的夹角是多少?例6 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使∠b = 90︒，求点b和向量AB 的坐标 解：例7 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值 解：例8若非零向量a 和b 满足｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜证明：a ⊥b证法一：证法二：例9 已知向量a 是以点A (3，－1)为起点，且与向量b ＝（－3，4）垂直的单位向量，求a 的终点坐标说明：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆本章知识网络结构运算 类型 几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法 1平行四边形法则2三角形法则),(2121y y x x b a ++=+a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++ AC BC AB =+向 量 的 减 法三角形法则),(2121y y x x b a --=-)(b a b a -+=-BA AB -= AB OA OB =-向 量 的 乘 法1a λ是一个向量,满足: 2λ>0时,a λ与a 同向;λ<0时,a λ与a 异向;λ=0时, a λ=0),(y x a λλλ=a a )()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(a ∥b a b λ=⇔向 量 的 数 量 积b a •是一个数 10=a 或0=b 时, b a •=020≠a 且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =•2121y y x x b a +=•a b b a •=•)()()(b a b a b a •=•=•λλλc b c a c b a •+•=•+)( 22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤•重要定理、公式：．．．．．．．．(1)平面向量基本定理21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+= (2)两个向量平行的充要条件MO N BAD Ca ∥b ⇔a＝λb ⇔01221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔02121=+y y x x平面向量习题1、已知,OAOB a b ，且||||2a b ，∠AOB=60°，则||a b =____；a b 与b 的夹角为_____.2.已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____； 若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-AG __________ .3.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则点△BC P 与△ABP 的面积分别为s 1,s 2,则s 1:s 2=_________4.如图，AB 是半圆O 的直径，C , D 是弧AB 三等分点，M , N 是线段AB 的三等分点，若OA = 6，则→MD ·→NC 的值是 ．5、在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ．6、已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则mn等于__________. 7、已知在同一平面上的三个单位向量,,a b c ，它们相互之间的夹角均为120o ，且|1ka b c ++>｜，则实数k 的取值范围是8.设向量),1,2(),2cos ,1(==b a θ)1,sin 21(),1,sin 4(θθ==d c ，其中)4,0(πθ∈.（1）求d c b a ⋅-⋅的取值范围；（2）若函数)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较的大小9.已知m R ∈, 2 (1, )a x m =-+，1 (1, )b m x =+， (, )x c m x m=-+.（Ⅰ）当1m =-时，求使不等式 1a c ⋅<成立的x 的取值范围； （Ⅱ）求使不等式 0a b ⋅>成立的x 的取值范围.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC • 解:一、考题选析：例1、已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于( )A 、23 B 、2- C 、92- D 、23- 例2、设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ ） Ａ、[]16，-Ｂ、[48]，Ｃ、]1[，-∞ Ｄ、]61[，-例3、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A 、23B 、13C 、13-D 、23-例4、设平面向量321,,a a a 的和0321=++a a a 。
平面向量基本定理(完整版)
O 课本P97例2
O
1．已知平行四边形 ABCD，下列各组向量中，是该平面内
所有向量基底的是 ( )
A.A→B，D→C B.A→D，B→C
C.A→D，C→B
D.A→B，D→A
2. 若点o是平行四边形 ABCD 的中心，AB 4e1, BC 6e2, 则3e2 2e1 _______.
向量 c 与 d 能否作为基底 .
跟踪练习. 若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则 下面的四组向量中不能作为基底的 ( )
A. e1 e2和e1 e2 C. e1 3e2和e2 3e1
B. 3e1 2e2和4e2 6e1 D. e2和e1 e2
用基底表示向量 【例 2】在▱ABCD 中，设A→C＝ ，B→D＝ ，试用 ， 表示A→B，B→C.
O
a
的夹角．注 是同意起:两点向的量必须
A
r 特别的： a
r ObB
0
rr a 与 b同向
r
B
A
r
a
Bb O
180
rr
a 与 b 反向
r
A
b
O
r a
A
r r 90 r
r
夹角的范围：
a 与b 垂直， 记作 a b
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。
r j
y)
Or
x
i
平面向量的坐标表示
注意： r
（1）与 a 相等的向量的坐标均为（x,
y)(2)
r i
rr i0j
(1, 0)
平面向量的基本定理
P B
A
o
例4、已知梯形ABCD中，AB 2 DC
M，N分别是DC，AB的中点， 若AB e1, AD e2 用e1, e2表示DC，BC，MN
DM C
A
N
B
作业 数学之友：T5.5
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讶地望向热心人,而对方却给她使了一个“走你”の眼色.“谢谢.”陆羽点点头轻声道声谢,不管对方有没听见,已快步转身拐进人群里.即将走出门口时,她回头看了一眼.那是一名体格健硕の青年男子,浓眉大眼,一件短袖恤衫束在牛仔裤里,寸板头显得他形象粗犷略性感.一身の阳刚之气充 满男人味,看人の时候似笑非笑の,气势内敛却又难掩自身の强悍,吸引了不少目光.把那酒鬼扔地下之后,扫一眼全场没发现异常,他来到吧台敲了敲台面.“你老板呢？”“刚有事出去了,让您等会儿.”问得轻松,酒吧主管答得状似轻松随意.如此淡定肯定有所依仗,要么常客要么是熟人.站 得老远の陆羽放心了,迅速离开这个是非之地.这时,青年男子点点头,回头冷淡地瞟一眼挨了自己教训の酒鬼.对方好不容易爬起来,终于有熟人发现他不见了出来找并扶起他,三人四下张望吆喝：“谁？！刚才谁推我？！妈.の...”吧哩吧啦嚷着要找人报仇.事不关己无人搭理,大家继续各 玩各,灯红酒绿,熙熙攘攘の.一杯色泽炫酷の特饮摆在眼前,青年男子转过头来,粗砺而灵活の手缓缓转着杯子.“刚才那情形往日没人理？”“有,当然有,没你快而已.”酒吧主管轻笑,“管之前一般先看女士の表现,如果她愿意,我们也管不着.”这种场合鱼龙混杂,不缺奇葩,你情我愿の买 卖有の是.青年嘴角扯了下,边喝边继续打量四周,那眼神异常锋锐,“没有未成年吧？”感觉刚才那女生长相青涩稚嫩,像是未成年少女.如果是,哈哈,这店完了.“大门口刷胡集取票,旁边还有四双眼睛盯着,不信可以查监控,发现半个算我输...”酒吧主管戏谑举手比划一下眼睛,以示本店绝 对合理合法,严格执行相关の法律法规,未成年绝对混不进来.青年嗤了声,不再多言,仔细品尝杯中美酒耐心等待...晚上の八九点,大都市精彩の夜生活才刚刚开始.刚从喧嚣中脱身回到家の陆羽,打开自己紧锁の房门,把包包挂好.然后第一时间去洗漱一番,把沾了满身酒气の自己从头洗到脚, 弄得干干净净香喷喷の才肯罢休.拿起搁在枕头边の相册翻了翻,想起那捞不着の家人,心境十分复杂.不过,这儿毕竟是出租屋,使用灵能多有不便.纤细の手指在相册の硬面摩梭几下,最终把它放回行李箱.待找到一个真正属于自己の地方再慢慢探究,人活着就有希望,她总有一天能找出原因 来.放好相册,陆羽来到书桌前打开电脑.作为一名具有预知能力の新人类,趋吉避凶是必然の选择.梦中の她是一名下等人（普通人）,一些重要の情报狄家儿女从不与她分享,甚至不想让她知道得太多.幸运の是,人类の是非天性让她从其他普通群体中得知一个重要信息.原来华夏除了军部建 立の安全区,西南部还有一个自始至终很安全の地方...第24部分由于路途远,江湖险恶,狄、陆两家不得已选择另外两个去处.乱世没有国家,只有四大安全区、八大基地,及其他小部落或乌合之众组成の小基地.华夏幸存者比其他地方多些,除了安全区,八大基地の其中两个也位于西南与东部 地区.附近の中小型基地几乎全部被三大区招安了,成为各路人马奔赴大本营の休息补给站点.其余の小基地要么归顺,要么到处流窜,谁撞上谁倒霉,除非能力够强悍.最大の安全区掌握在军方手中,其余两个基地の首领也非等闲之辈.据陆羽所知,东部地区在战乱开始时曾发生几场不大不小の 动乱,是狄家日后要投奔之所,不必考虑.军部安全区人口太多,也是陆家人以后の选择.远离狄家,陆家也不是善茬,能不掺和尽量躲着点儿.所以,西南部最适合她.那地方远是远了些,胜在如今是太平盛世,交通方便,慢慢走着去也是一种颇为享受の生活方式.所谓背靠大树好乘凉.她不知道那 位基地领主是男是女,叫什么名字,什么时候出现,也不知道详细位置,反正西南一带均在对方の管辖之内.能与之做邻居最好,做不了就借贵人の屋檐挡挡风雨.相信二三十年后の她,有能力保护自己.再不济の,她干脆逃进画里,等外面の世界清洗完再出来应该不会挨揍吧？话说,她の能力谈不 上稀罕,在厨房里听到那些妇人说,人家大首领一般稀罕の是能储存物资の私人空间、治愈术和其他具有叩伤力の能耐.而她呢？世上有几个人愿意脱离现实,永远躲在图画世界里？画里の世界跟现在一样,所有物资要用钱买,可新世纪の人类手里没钱,总不能隔几天或者几个月就出来大街上 捡钱吧？还有,如果每个人出入得靠她牵引,她岂不成了人形活电梯？陆羽汗：...算了,那个以后再想.她记得有人说过,那位牛人の基地之前是一个世外桃源,就是一个农家乐旅游区,不知哪处美景吸引了他/她.可是,这些年来各种形形式式の农家乐、世外桃源层出不穷,没有一千,至少也有 几百个点遍布华夏各地.就拿刚刚查过の西南地区,与世外桃源扯上关系の有十几二十间,农家乐约莫数十家.到底是哪里呢？查看了老半天,一点儿头绪都没有.她索性趴在床上冥思苦想,努力搜刮脑海里の存货看有没遗漏什么.那个梦只做了一遍,想找线索,她只能靠回忆.可惜一直到她睡着, 仍是一无所获...第二天の十一点左右,陆羽被一阵敲门声惊醒,她睡眼惺忪地爬起来打开门一看.“陆陆...”见她还没起床,有些疲累の陈悦然愣了下.要知道,睡到自然醒这种事一向是她の专利,陆羽每天准时六点起床.“干嘛？有话快说,我刚起床...”正在洗耳恭听却没下文, 被叫醒の女生一脸不耐.一想到自己现在头未梳牙未刷,心境极差.两人相识四年,陈悦然知道她有起床气,顾不得关心她昨晚干嘛了,忙支支吾吾地,“呃,陆陆,你,你跟狄景涛之间...”又是这个,到底要说几遍才肯信？“最后说一次,我跟他之间没关系,现在没有,以后也没有！”陆羽显得异 常烦躁.说完,她泄气地双手自然垂直,目光呆滞倚在门边,眼前一片白濛濛.“那就好,”陈悦然仿佛松了一口气,“昨晚我们喝多了...不知该怎么办...”语焉不详,颇有深意.喝多了...嚯？！陆羽紧闭の双眼倏地一睁,猛然清醒.那三个字堪称她一生の噩梦,教训太深刻,硬是把她从游魂状态 吓醒过来.“喝多了？那你们...”陆羽下意识地往对方脖子一瞧,哟,原该印在自己脖子上の草莓红点,如今落在她の身上.这,该同情她么？她の出神呆愣,看在别人眼里成了自己男人被抢后の不知所措,因为狄景涛在海山时说陆羽已默认他是男朋友.煮熟の鸭子飞了,不气才怪呢.脑补一番, 陈悦然只觉得扬眉吐气,同时含有几分羞涩.毕竟是第一次,还是她主动の,脸上从今早起一直火辣辣の热.“是,我们已经...”“哦.”表说,她知道了.哦？陈悦然脸上の羞赧之色渐褪,就这样？“还有事吗？我要刷牙.”陆羽打个哈欠,转身回房拿了一个橡筋把头发随意束起,然后去漱口.陈 悦然一路跟着,“陆陆,你生气了？是我们不对,你骂吧！别憋着...”噗,谁憋了？正在刷牙一嘴泡沫の姑娘险喷,不禁冲镜子翻了个白眼...陆羽洗漱完毕,回头发现陈悦然正烦躁地在客厅走来走去.见她出来,陈悦然立即上前问：“陆陆,你辞职了？”“对呀.”“那干嘛推荐谢妙妙顶你の位 置？我不行吗？”刚接到の消息,可把她给气坏了.文教授の工作室福利待遇好,跟在他身边前途无量,这是多少学子梦寐以求の事？难得有机会干嘛不便宜她？不是朋友吗？她の质问让陆羽哭笑不得,“你当然不行,扪心自问,你哪方面能跟谢妙妙比？”以前顾及她自尊心不好直说,一个只懂 抄书の能跟创作型人才比较？不自量力.“你...”真相是残酷の,对方软绵柔和の声线仿佛带着刺,陈悦然被刺得面红耳赤,无言以对.“对了,这房子还有三个月到期,我不租了,而且随时可能退租,你要另找地方住.不搬也行,房租、押金你一个人付,或者另外找人跟你合租.”边说边忙碌着, 她要烧开水泡面吃,只烧自己の.陈悦然听罢神色大变.这房子是两位学姐转租の,押金由陆羽付,房租两人对半分.如果一个人租,陆羽撑得住,她绝对不行.“陆陆,你讨厌我？”静默一会儿,陈悦然缓缓说道.“不,”陆羽转过身来,眼神清冷,“是你讨厌我,陈悦然.”不然回来得瑟什么？幸灾 乐灾の,跟梦里一模一样,看着烦.假面被撕破,陈悦然冷着脸出了门.陆羽没理她,捧着一碗泡面回到电脑前查看世外桃源の图画与资料,仔细判断哪个地方更吸引人.凡是合心意の风景皆收藏路线,列表,待改天打印出来再一路找过去.至于房子,退是退定了の,行李先放这儿,三个月应该足够她 找到目の地.第25部分说做就做,先把西南地区所有跟世外桃源、农家乐有关の资料列表,下午の时候她出去打印,等回来时,意外发现有三个男生在她家搬东西.幸亏是认识の,其中一个是狄景涛,另外两个是陌生人.“小周,先帮忙把柜子搬出来.”狄景涛充当指挥.陆羽拧眉进屋来,“你们干 嘛？”狄景涛出现在这里,九成九是陈悦然招来の.今非昔比,狄景涛只瞥她一眼,懒得跟她说话,径自帮忙搬东西.倒是里边の陈悦然听到动静从房间里出来,淡笑道：“我让景涛帮忙搬东西,你不是让我滚吗？如你所愿.”望过来の眼神充满讽刺.她是负担不起全部房租,更给不起押金,可她有 男人养啊！反观姓陆の,父母死了,狄景涛说她为了钱连兄嫂都不认,哈,毫无倚仗,看她以后怎么死.陆羽眉角轻挑,唉,撕破脸了,光明正大当着男人面给她上眼药.这么幼稚の手段她是不会计较の,更没必要解释,“那你搬仔细了,别落下东西.这房子是我租の,明天我要出远门,所以今晚找人过 来换锁,以后可没人给你开门了.”“陆羽,你能不能要点脸？悦悦以前怎么对你你全忘了？有必要做得那么绝？”以前自己瞎了眼看错人,如今她当面欺负他の女人,狄景涛实在咽不下这口气,冲她横眉冷对.陆羽打开自己の房门,一边回头反驳：“我说の是实话,总不能她想搬多久我就陪着 等多久吧？哦,你们脸大我要迁就？”双贱合璧欺负她是不是？哼,换了以前她会息事宁人,现在难了,意义上她比常人多了一段经历,知道有些人喜欢得寸进尺.以陈悦然の为人,拖得越久,以后越可能出妖蛾子,不得不防.怼完狄景涛,瞟一眼陈悦然,见她满脸委屈地站在他身边,小鸟依人似の. 陆羽心中仅剩の一点同情心烟消云散,当着两人の面给房东打电话要求换锁,所有费用由她付.谈妥之后,她回自己房间也开始收拾东西.“景涛,算了,别跟她计较.”陈悦然见狄被怼得脸色铁青,知道两人再无可能,心喜之余也有点心疼,温声安抚道.“呸,谁跟她计较,见利忘义の东西,早
2022届高三数学第5章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示[考试要求]1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa＝(λx 1，λy 1)，|a|＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a≠0，b≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [常用结论]1．若a 与b 不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P 为线段AB 的中点，若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则P 点坐标为.3．已知△ABC 的重心为G ，若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，则G .一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC.( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)D [∵a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)， ∴12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，∴12a －32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32，12＋32＝(－1,2)，故选D.] 2．若P 1(1,3)，P 2(4,0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则点P 的坐标为( ) A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1) D [由题意可知P 1P 2→＝(3，－3)． 若P 1P →＝13P 1P 2→，则P 点坐标为(2,2)；若P 1P →＝23P 1P 2→，则P 点坐标为(3,1)，故选D.]3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则mn ＝________.－12[由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)， 得ma ＋nb ＝(2m －n,3m ＋2n)，a －2b ＝(4，－1)．由ma ＋nb 与a －2b 共线， 得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.]4．已知▱ABCD 的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D 的坐标为________． (1,5) [设D(x ，y)，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.]考点一 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．是将OB →[典例1] 如图，已知在△OCB 中，A 是CB 的中点，D 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB→＝b.(1)用a 和b 表示向量OC→，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．[解] (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b)－23b ＝2a －53b.(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b)－λa＝(2－λ)a－b ，DC →＝2a －53b.所以(2－λ)a－b ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b .因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45.故λ＝45.点评：本例(2)在求解中，以D ，E ，C 三点共线为切入点，借助EC →∥DC →及向量的合成与分解的相关知识求得λ的值．如果是小题，本题可以直接设OE →＝xOD →＋(1－x)OC →，利用OA →＝12OB →＋12OC →及同基底下向量表示的唯一性求得λ.[跟进训练]1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1D [选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎨⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎨⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎨⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．故选D.]2．(2020·三明模拟)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →，若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④B [由向量共线的充要条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP →＝uOA→＋vOB →成立，且u ＋v ＝1.可以证明当点P 位于阴影区域内的充要条件是：满足OP →＝uOA →＋vOB →，且u ＞0，v＞0，u ＋v ＞1.∵1＋2＞1，∴点P 位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B.]考点二 平面向量的坐标运算平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．[典例2] (1)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，①求3a ＋b －3c ；②求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标． (1)D [以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．∵c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2，μ＝－12.∴λμ＝4.] (2)[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． ②设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴MN →＝(9，－18)．点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等．[跟进训练]1．在平行四边形ABCD 中，A(1,2)，B(－2,0)，AC →＝(2，－3)，则点D 的坐标为( ) A ．(6,1) B ．(－6，－1) C ．(0，－3)D ．(0,3)A [AB →＝(－3，－2)＝DC →，∴AD →＝AC →＋CD →＝AC →－AB →＝(5，－1)，则D(6,1)．故选A.]若AC→2.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________.85[法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC→＝(1,1)，∵AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12μ，λ2＋μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.∴λ＋μ＝85.]考点三 向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．利用向量共线求参数[典例3－1] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k(1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m ＋1，m)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.点评：熟记两向量a ，b 共线的条件是求解此类问题的关键所在．利用向量共线求向量或点的坐标[典例3－2] 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．(3,3) [法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA→＝(－2,6)， 由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．法二：设点P(x ，y)，则OP →＝(x ，y)，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y.又AP →＝(x －4，y)，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．]点评：本例中“AC 与OB 的交点为P”，实际上变相告知“A，P ，C 三点共线”，故该问题便可转化为考向1，只需引入参数表示出点P 的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可．[跟进训练]1．已知向量a ＝(1,3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，若c 为单位向量，且c ∥(a －2b)，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22B [由题意可知a －2b ＝(－3,4)，又c ∥(a －2b)，∴c ＝λ(－3,4)，即c ＝(－3λ，4λ)．又|c|＝1，∴5|λ|＝1，∴λ＝±15，即c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，故选B.]2．(2020·北师大附中模拟)已知向量a ＝(1,1)，点A(3,0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．(－3，－6) [设B(x,2x)，则AB →＝(x －3,2x)． ∵AB →∥a ，∴x －3＝2x ，即x ＝－3. ∴B(－3，－6)．]备考技法3 共线定理的推广及应用 平面向量的等和线由平面向量基本定理，OP →＝λOA →＋μOB →，当点P 不在直线AB 上时，可以过点P 作直线AB 的平行线，且与OA ，OB 所在的直线分别交于M ，N 两点，则由三点P ，M ，N 共线，不难得出：OP →＝xOM→＋yON →，且x ＋y ＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：OM →＝kOA →，ON →＝kOB→⎝ ⎛⎭⎪⎫其中k ＝|OM||OA|， 则OP →＝xOM →＋yON →＝kxOA →＋kyOB →，即λ＝kx ，μ＝ky ，故λ＋μ＝k(x ＋y)＝k.把过点P 作直线AB 的平行线MN 称为等和线． 等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点O 和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点O 时，k ＝0；(5)若两等和线关于点O 对称，则定值k 互为相反数.[技法展示] (2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2C ． 5D ．2A [如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝AF AB ＝AB ＋BE ＋EF AB ＝3ABAB＝3，故选A.][评析] 应用等和线解题的步骤 (1)求k ＝1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值． [技法应用]1.如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．[3,4] [当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3,4]．]2.如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC→＝xOA→＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．[1,3] [OC →＝xOA →＋3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫OB →3，如图，作OB′→＝OB →3，则考虑以向量OA →，OB′→为基底．显然，当C 在A 点时，经过m ＝1的平行线，当C 在B 点时，经过m ＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x ＋3y 的取值范围是[1,3]．]3．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP →＝mAB→＋nAF →(m ，n 为实数)，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[5,6]C ．[2,5]D ．[3,5] C [随着动点圆心Q 在线段CD(含端点)上运动，点P 的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF 的平行线l ，使得l 与阴影区域有公共点，离BF 最近的直线l 记为P 1G(P 1为l 与圆C 的切点，G 为l 与直线AB 的交点)，离BF 最远的直线l 记为P 2H(P 2为l 与圆D 的切点，H 为l 与直线AB 的交点)．设AP 1→＝mAB →＋nAF →， 由等和线结论，m ＋n ＝AG AB ＝2AB AB ＝2. 此为m ＋n 的最小值．设AP 2→＝mAB →＋nAF →， 由等和线结论，m ＋n ＝AH AB ＝5. 此为m ＋n 的最大值．综上可知，m ＋n ∈[2,5]．]。
6.3.1平面向量的基本定理及坐标表示
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+=B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________. 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4B ．4C ．-1D ．1【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2) B.(1,2) C.(5,6)D.(2,0)(2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4B ．-4C ．14D ．14-(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6B ．2-C ．6-D ．2【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．3,--【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15-B ．15C ．75-D ．753.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,24.已知()5,2a =-，()4,3b =-，(),c x y =，若220a b c -+=，则c 等于（ ） A ．(1，4)B ．13,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB 共线的单位向量为（ ） A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， 6.设向量a =(1，4)，b =(2，x )，c a b =+.若//a c ，则实数x 的值是（ ） A ．-4B ．2C ．4D ．87.若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ . 8.已知O 为单位圆，A 、B 在圆上，向量OA ，OB 的夹角为60°，点C 在劣弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的取值范围___________.9.在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．1610.已知ABC 所在的平面内一点P （点P 与点A ，B ，C 不重合），且523AP PO OB OC =++，则ACP △与BCP 的面积之比为（ ） A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:36.3.1 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】对A ：因为零向量和任意向量平行，故A 中向量不可作基底； 对B ：因为710-≠，故B 中两个向量不共线；对C ：因为31056⨯=⨯，故C 中两个向量共线，故C 中向量不可作基底； 对D ：因为312342⎛⎫⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭，故D 中两个向量共线，故D 中向量不可作基底.故选：B. 【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________. 【答案】3【解析】因为{a ，b }是一个基底， 所以a 与b 不共线，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【解析】因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， 所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b .EF →＝ED →＋DA →＋AF →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【答案】a ＋b 2a ＋c【解析】以{a ，b }为基底时，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ； 以{a ，c }为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得AC →＝2a ＋c .【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+= B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【答案】C【解析】因为M 为AC 的中点，所以1122BM BA BC =+，所以2AB BM BC =-+， 又(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，所以2λ=-，1μ=，故选：C.【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【答案】C【解析】由2AC CB =得()2OC OA OB OC -=-，即1233OC OA OB =+， 又(),OC xOA yOB x y R =+∈，所以1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此1139322x y +=+=.故选：C. 【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【解析】(1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45° ＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22).∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________.【答案】 (2,0)【解析】∵MN →＝(－3,6)，设N (x ，y )， 则MN →＝ON →－OM →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.即N (2,0). 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【解析】由题得AB =（0,4）所以||0(31)4AB =++．故选C【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【解析】设点P 的坐标为(),x y ，则(5,1)NP x y =-+，(53,12)(2,1)MN =--+=，因为NP MN =，即(5,1)(2,1)x y -+=，所以5211x y -=⎧⎨+=⎩，解得70x y =⎧⎨=⎩，所以()7,0P .故选：C.【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【答案】B【解析】()3,2A ，()5,1B ,2,1AB，则22AB ==，所以与AB 反方向的单位向量为255,55AB AB.故选：B.【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4 B ．4C ．-1D ．1【答案】C【解析】由题意，向量(),2a m =，()1,2b =-，所以()()1,00,0a b m +=+=， 可得50m +=，解得1m =-.故选：C .【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)【答案】B【解析】由题意得b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1). (2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【答案】D【解析】12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(－2，－2)＝(－1，－1).【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【解析】(1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【答案】ABC【解析】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确.选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确.选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确故选：ABC 【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4 B ．-4 C ．14D ．14-【答案】D【解析】由题意知//a c ，//b c ，所以//a b ；又(1,)a x =，(4,1)b =-，所以1(1)40x ⨯--=，解得14x =-．故选：D(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6 B ．2-C ．6-D ．2【答案】B【解析】因为三点()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -共线，所以(1,2),(1,2)AB BC m =--=+- , 若()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -三点共线，则AB 和BC 共线 可得：(1)(2)(2)(1)m --=-+，解得2m =-；故选：B 【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,--【答案】C【解析】若向量b 与向量a 平行，则b a λ=，(1,3,2)a =-，则(,3,2)b λλλ=- 设向量(),,b x y z =，则x 与y 符号相同，y 与z 符号相反，所以可知A ，B ，D 不成立， 选项C ：若12λ=-，则12x =-，32y =-，1z =，故C 正确.故选：C.【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由//a b →→可得()213m m +=，解得32m =-或1m =，所以“1m =”是“//a b →→” 充分不必要条件.故选：A.【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-【答案】D【解析】由()1,1a =，()2,1b =-，可得()24,2a b λλλ+=+-，()1,2a b -=-， 因为()()2//a b a b λ+-，所以()()()24210λλ+--⨯-=，解得2λ=-.故选：D.课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e = D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线，其余选项中1e 、2e 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】B【解析】由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，因为12BE BC =，13DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以1123AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-，所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0 B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,2【答案】C【解析】由题意可得()()()1,11,12,2AB =---=--.故选：C.所以113112λμλμ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15λμ+=。
2023届高三数学一轮复习专题 平面向量的表示、三点共线研究 讲义 (解析版)
高三第一轮复习专题 平面向量表示、三点共线研究 一、平面向量基本定理：设12,e e 是同一平面内两个不共线向量，a 是这一平面内的任一向量。
在平面内任取一点O ，作12,,OA e OB e OC a ===，过C 作OB 的平行线，交直线OA 于M ；过C 作OA 的平行线，交直线OB 于N 。
因OM 与OA 共线，则存在实数1λ，使得：11OM e λ=；因ON 与OB 共线，则存在实数2λ，使得：22ON e λ=； OC OM ON =+1122a e e λλ∴=+也即，任一向量a 都可表示成1122e e λλ+的形式。
平面向量基本定理：若12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得：1122a e e λλ∴=+。
（也可称为a 用12,e e 表示出来）不共线向量12,e e 称为表示这一平面内所有向量的一组基底，12,e e 称为基向量。
例1。
ABCD 两条对角线交于O ，AB a =，AD b =，用a 、b 表示OA 、OB 、OC 、OD 。
2e2ea解：AC AB AD a b =+=+，DB AB AD a b =-=-O ABCD 为两条对角线的交点()1122OA AC a b ∴=-=-+，()1122OC AC a b ==+()1122OB DB a b ==-， ()1122OD DB a b =-=--。
故在一个图形中，任意两个不共线向量都可以作为一组基底，其余向量都可用这一组基向量表示出来。
在具体问题中，基向量的选择十分重要，它决定了是否容易表示。
二、向量的表示：★★★★★在研究向量间关系时，常先取两个基向量作为一组基底，其余向量用这两个基向量表示出来，这样能够更清晰地找出所研究向量间的关系。
1.，其余向量用这两个基向量表示出来。
例。
在ABC 中，2BD DC =，设,AB a AC b ==，用,a b 表示AD 。
高三复习-平面向量基本定理和公式
平面向量基本定理和公式
如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。
坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。
有平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得
向量OP=xi+yj。
因此向量，a=xi+yj。
我们把实数（x，y）对叫做向量的坐标，记作：a=（x，y）。
显然，其中（x，y）就是点P的坐标。
向量OP称为点P的位置向量。
共面向量共面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。
（x，y不全为零）
归纳反思
1．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。
2．在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择两个不共线的向量，平面内的任何一个向量都可以唯一表
示，这样几何问题就可以转化为代数问题。
平面向量基本定理如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。
事实上，这个定理表明，平面向量可以在任意给定的两个方向上分解，任意两个向量都可以合成一个给定的向量，即向量的合成和分解。
当两个方向相互垂直时，它们实际上是在直角坐标系中分解的，（x，y）称为矢量的坐标。
（矢量的起点是原点）所以这个定理为矢量的坐标表示提供了理论基础。
高考数学平面向量的基本定理总结
高考数学平面向量的基本定理总结
量。
向量的夹角用尖括号表示，是两向量始点重合或者终点重合时形成的角，首尾相接形成的角为向量夹角的补角。
射影数量有两种求法：1、向量的模乘以夹角余弦;2、两向量数量积除以另一向量的模。
加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减，数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标，数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。
两个定理
(1) 共线向量定理：两向量共线(平行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量)，且数乘系数唯一。
用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。
此定理可以用来证向量平行或者使用向两平行的条件。
此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化：1、三个点中任意找两组点构成的两个向量共线，满足数乘关系;2、以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量，其中一个可由另外两个线性表示，且系数和为1。
(2) 平面向量基本定理：平面内两个不共线的向量可以线性表示任何一个向量，且系数唯一。
这两个不共线的向量构成一组基底，这两个向量叫基向量。
此定理的作用有两个：1、可以统一题目中向量的形式;2、可以利用系数的唯一性求向量的系数(固定的算法模式)。
五个应用
求长度、求夹角、证垂直、证平行、向量和差积的模与模的和差积的关系。
前三个应用是数量积的运算性质，证平行的数乘运算性质，零向量不能说和哪个向量方向相同或相反，规定零向量和任意向量都平行且都垂直;一个向量乘以自己再开方就是长度;两个向量数量积除以模的乘积就是夹角的余弦;两个向量满足数乘关系则必定共线(平行)。
一个向量除以自己的模得到和自己同方向的单位向量，加符号是反方向的单位向量。
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【答案】 ①
5．已知a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则a＋b所在直线的斜率为________． 【解析】 a＋b＝(1,5)，则a＋b所在直线的斜率为5.
【答案】 5
平面向量基本定理及其应用
如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，
已知 A→M＝c，A→N ，试用c，d表示 A→B，A→D .
2.向量的坐标运算常与三角，解析几何等 知识结合，在知识交汇点处命题，以解答
题的形式呈现，属中档题.
1．两个向量的夹角 (1)定义
已知两个非零向量a和b，作
b，则∠AOB=θ
叫做向量a与b的夹角．
(2)范围
向量夹角θ 的范围是 0°≤θ ≤180°，a与b同向时，夹角
θ =0°；a与b反向时，夹角θ = 180 .
组基底． (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂直的 的向量，叫做把向量正交分
解．
(3)平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两
个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只 有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对 (x，y) 叫 做向量a的坐标，记作a＝ (x，y) ，其中x叫做a在x轴上的 坐标， y 叫做a在y轴上的坐标．
节 平面向量的基本定理及坐标表示
1.了解平面向量的基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 考纲点击 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与
数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.向量的坐标运算及用坐标表示平面向量 共线的条件是高考考查的热点，常以选择、
填空题的形式出现，为中、低档题. 热点提示
3．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与 A→B同向的单位向量是( )
A.35，－45 B.－53，45 C.－45，35 D.45，－35 【解析】 ∵A(4,1)，B(7，－3)，A→B＝(3，－4)， ∴与A→B同向的单位向量为|A→A→BB|＝35，－45. 【答案】 A
1．已知a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x等于( )
A．9 B．6 C．5 D．3
【解析】 ∵a∥b，∴12－2x＝0，∴x＝6
【答案】 B
2．设A→B＝(2,3)，B→C＝(m，n)，C→D＝(－1,4)，则D→A等于( )
A．(1＋m,7＋n) B．(－1－m，－7－n) C．(1－m,7－n) D．(－1＋m，－7＋n) 【解析】 A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝(1＋m,7＋n)， 则D→A＝－A→D＝(－1－m，－7－n)． 【答案】 B
(3)向量垂直
如果向量a与b的夹角是 90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这 一平面内的任意向量a， 有且只有 一对实数λ 1，λ 2，使a
= λ 1e1＋λ 2e2.. 其中，不共线的向量e1，e2，叫做表示这一平面内所有向量的一
(x1－x2， y1－y2)
(λ
x1，λ
y1)
(2)向量坐标的求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，即一个向 量的坐标等于 该向量终点的坐标减去始点的坐标 ．
(3)平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a ＝λ b⇔ x1y2－x2y1 ＝0.
②设 O→A ＝xi＋yj，则向量 O→A 的坐标(x，y)就是终点A的坐 标，即若 O→A＝(x，y)，则A点坐标为 (x，y) ，反之亦成立．
(O是坐标原点)
3．平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算
向 量
a
b
a＋b
a－b
λa
坐 标
(x1， y1)
(x2， y2)
(x1＋x2，y1＋y2)
【思路点拨】 直接用 c，d 表示A→B，A→D
有难度，可换一个角度，由A→B，A→D表示A→N，A→M， 进而解方程组可求A→B，A→D.
【自主探究】 方法一：设A→B＝a，A→D＝b， 则 a＝A→N＋N→B＝d＋－21b① b＝A→M＋M→D＝c＋－12a②
将②代入①得 a＝d＋－12c＋－12a ⇒a＝43d－23c，代入② 得 b＝c＋－1243d－23c＝43c－23d. 方法二：设A→B＝a，A2)，e2＝(5,7)； ②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)； ③e1＝(2，－3)，e2＝ 12，－34 .
其中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是______(填
序号)．
【解析】 ②中e2＝2e1，③中e1＝4e2，故②，③中e1，e2共线，
因 M，N 分别为 CD、BC 中心， 所以B→N＝12b，D→M＝12a，
c＝b＋12a
a＝23(2d－c)
因而d＝a＋12b
⇒b＝23(2c－d)
’
即A→B＝23(2d－c)，A→D＝23(2c－d)．
【方法点评】 1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底， 该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不 同，表示也不同．
2．对于两个向量a，b，将它们用同一组基底表示，我们可通过 分析这两个表示式的关系，来反映a与b的关系．
3．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则 或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算．
【特别提醒】 由于基底向量不共线，所以0不能作为一个基底 向量．
1.
已知：如图，点 L、M、N 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 上的 点，且BBLC＝l，CCMA＝m，AANB＝n，若A→L＋B→M＋C→N＝0.
求证：l＝m＝n.
【证明】 设B→C＝a，C→A＝b 为基底，由已知得 BL＝la， C→M＝mb. ∵A→B＝A→C＋C→B＝－a－b， ∴A→N＝nA→B＝－na－nb A→L＝A→B＋B→L＝(l－1)a－b① B→M＝B→C＋C→M＝a＋mb② C→N＝C→A＋A→N＝－na＋(1－n)b③