运筹学2第二章_对偶理论与灵敏度分析

第二章 线性规划的对偶 理论与灵敏度分析
例2.1 资源的合理利用问题 某工厂在计划期内安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知资 料如表2.1所示，问应如何安排生产计划使得既能充分利用 现有资源有使总利润最大？
表2.1
I 原材料 工时 利润(元) 2 5 4
II 3 2 3
资源总量 24 26
假设 x1、x2分别表示在计划期内生产产品I、II的件数，其数 学模型为：
min Z 3 x1 4 x 2 2 x 3 5 x 4 9 x 5 x2 x3 5 x 4 3 x5 2 x1 x 2 x 3 x 4 2 x 5 3 x , , x 0 5 1
试通过求对偶问题的最优解来求解原问题的最优解。
(0) (0)
(0)
(0)
(0)
(0)
（5）（强对偶定理）若互为对偶问题之一有最优解，则另 一问题必有最优解，且它们的目标函数值相等。 原问题与对偶问题的解必然是下列三种情况之一： ①原问题与对偶问题都有最优解，且CX=Yb； ②一个问题具有无界解，则它的对偶问题无可行解； ③两个问题均无可行解。
m ax Z 4 x 1 3 x
2
2 x 3 x 24 1 2 s .t . 5 x 1 2 x 2 2 6 x 1, x 2 0
(材 料 约 束 ) (工 时 约 束 )
现从另一角度考虑此问题。假设有客户提出要求，租赁 工厂的工时和购买工厂的材料，为其加工生产别的产品，由 客户支付工时费和材料费，此时工厂应考虑如何为每种资源 定价，同样使其获得的利润最大？ 分析问题：
Min W=24y1+26y2
3)约束条件:工厂决策者考虑： （1）出售原材料和出租设备应不少于自己生产产品的获利， 否则不如自己生产为好。因此有：
2 y 5 y 4 1 2 3 y 1 2 y 2 3
（2）价格应尽量低，否则没有竞争力（此价格可成为与客户 谈判的底价）。租赁者考虑：希望价格越低越好，否则另找 他人。 于是，能够使双方共同接受的是：
n
a
j 1
ij
x j bi
x1 4 2 x2 12 s .t . 3 x1 2 x 2 1 8 x ,x 0 1 2
其它形式：约束条件≥； 变量≤
具有等式约束 的对偶形式； 变量无约束
例2.3 写出下述线性规划问题的对偶问题
max z 4 x 1 5 x 2 2 x 3 3 x 1 2 x 2 x 3 20 4 x 1 3 x 2 3 x 3 10 s .t . x1 x 2 2 x 3 5 x 0 , x 无约束 , x 0 min W 20 y 1 10 y 2 5 y 3 2 3 1
化简为
x2 3 x5 2 x1 x 2 2 x 5 3
x1 1 x 5 x2 2 3 x5
此方程组为无穷多解 令x5 =0,得到x1=1，x2=2， 即X*1 =（1，2，0，0，0）为原 问题的一个最优解，Z=11。 再令 x5 =2/3，得到x1=5/3，x2=0，即X*2＝（5/3，0，0，0 ，2/3）也是原问题的一个最优解，Z=11。
相应的矩阵形式为：
m ax Z C X AX b s .t . X 0
m in W Y b Y A C s .t . Y 0
二、对偶理论
1、原问题与对偶问题的关系 对称形式的对偶问题为：
m ax Z C X AX b s .t . X 0
模型对比：
m ax Z 4 x 1 3 x
m in W 2 4
2
y
26
1
y
2
2 y 5 y 4 2 x 3 x 24 1 2 1 2 （原问题） s .t . 3 y 2 y 3 s .t . 5 x 1 2 x 2 2 6 1 2 y , y 0 ,x2 0 1 2 x1
m in W Y b Y A Ys C s .t . Y , Ys 0
将原问题目标函数中的系数向量C用 C
YA Y s
代替后，得到
z (YA Y s ) X YAX Y s X
将对偶问题的目标函数中的系数向量，用 后，得到 Y ( AX X ) YAX YX
s .t .
练习
• P72(1)
2、对偶问题的基本定理
原问题 max Z=C X s.t. AX≤b X ≥0
对偶问题
min W= Y b s.t. YA ≥ C Y≥0
（1）（对称性）对偶问题的对偶是原问题。
m a x z 3 x1 2 x 2 x1 x 2 2 x1 1
m in W 2 4
y
26
1
y
2
2 y 5 y 4 1 2 s .t . 3 y 2 y 3 1 2 y , y 0 1 2
上述两个LP问题的数学模型是在同一企业的资源状况和 生产条件下产生的，且是同一个问题从不同角度考虑所产生 的，因此两者密切相关。称这两个LP问题是互为对偶的两个 LP问题。其中一个是另一个问题的对偶问题。
s .t .
解：按照上述规则，该问题的对偶线性规划为:
m in W 2 0 y 1 1 0 y 2 3 y1 4 y 2 4 2 y1 3 y 2 5 y ,y 0 1 2
s .t .
• 非对称的线性规划的对偶问题
m ax z 3 x1 5 x 2
3 y1 4 y 2 y 3 4 2 y1 3 y 2 y 3 5 s .t . y1 3 y 2 2 y 3 2 y 0 , y 0 , y 无约束 2 3 1
例2.4 写出下述线性规划问题的对偶问题
min Z 3
1
x 2x 4x x x x 3 x x 10 2x x 8 2 x s .t . x x x 6 x 0 , x , x 0 , x 无约束
1、每种资源定价不能低于自己生产时的可 获利润； 2、定价又不能太高，要使对方能够接受。
解: 1)决策变量：设y1，y2分别表示出售单位原材料的价格（含 附加值）和出租设备单位工时的租金。 2）目标函数：此时工厂的总收入为W=24y1+26y2，这也是租 赁方需要付出的成本。而在这个问题中，是企业不生产，将自 己的资源出售或出租，因此，此时起决定作用的是租赁方，所 以此时的目标函数为
1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 2 3 4 1 2 3 4
将线性规划问题化为对偶问题
max W 10 y 1 8 y 2 6 y 3 3 y1 2 y 2 y1 y3 2 － 3 y 1 2 y 2 y 3 － 4 y －y y 1 2 3 1 y 1 0 , y 2 0 , y 3 无约束
Y AX Y b
原问题的对偶问题是
min w Yb ; YA C ; Y 0
因为是对偶问题的可行解，所以满足
Y
(0)
AC
(0)
将右乘上式，得到
CX Y
(0)
(0)
AX
(0)
Y
(0)
b
பைடு நூலகம்
Y
(0)
AX
CX
(0)
（3）（无界性）若原问题（对偶问题）为无界解，则其对 偶问题（原问题）无可行解。
m in W Y b Y A C s .t . Y 0
由以上两式可知，原问题与对偶问题之间具有如下关系： (1) 原问题中的约束条件个数等于它的对偶问题中的变量数； (2) 原问题中目标函数的系数是其对偶问题中约束条件右端项； (3) 约束条件在原问题中为“≤”，则在其对偶问题中为“≥”； (4) 目标函数在原问题中为求最大值，在其对偶问题中则为求最 小值。
例2.2 写出下述线性规划问题的对偶问题
m ax z 4 x1 5 x 2 3 x1 2 x 2 2 0 4 x1 3 x 2 1 0 x , x 0 1 2
书写对偶形式的方法：
1）确定对偶问题的决策变量与个数； 2）确定对偶问题的价值系数； 3）确定对偶问题的约束条件；
a 11 y 1 a 21 y 2 a m1 y m c 1 a 12 y 1 a 22 y 2 a m 2 y m c 2 s .t . a 1n y 1 a 2 n y 2 a m n y m c n y i 0, ( i 1, 2, , m )
（2）（弱对偶定理）若X(0)是原问题的可行解，Y(0)是对偶 问题的可行解，则有C X(0)≤Y(0)b。 证：设原问题是 max w max z CX ; AX b ; X 0
(0) 因 X 是原问题的可行解，所以满足约束条件，即
AX
(0)
b
若是给定的一组值，设它是对偶问题的可行解，将 Y ( 0 ) 左乘上 式，得到 (0) (0) (0)
（对偶问题）
原问题与对偶问题的一般形式为：
原问题（LP）
m ax Z
对偶问题（DP）
m in W
c x c x
1 1 2
2
c nx n
b y
1

1
b y
2
2
bm
y
m
a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 s .t . a mn x n b m a m1 x 1 a m 2 x 2 0, ( j 1, 2, , n ) x j