九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形本章小结与复习习题讲评课件 (新版)北师大版
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形小结与复习教学课件上册数学课件
12/10/2021
(2) 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1＋∠4＝90°. ∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠AFD＝90°. 在正方形ABCD中， AD∥BC， ∴∠1＝∠AGB＝30°. 在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2， ∴AF＝ 3 ，DF＝1. 由(1)得△ABE≌△DAF， ∴AE＝DF＝1， ∴EF＝AF－AE＝ 3 －1.
A
D
∴OA= OC,OB = OD.
O
又∵△ABO是等边三角形,
B
C
∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
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∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
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课堂小结
两组对 边平行
一个角是直角且一组邻边相等
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12/10/2021
正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再
判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱
形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判
定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
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例5 如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O 作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交 ∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.
O A
C
∴AB2=AO2+OB2.
D
∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴ □ABCD是菱形
新北师大版数学九年级上特殊平行四边形复习()省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
互平分”这一性质能够得出直角三角
形旳一种常用旳性质：直角三角形斜
边上旳中线等于斜边长旳二分
__________．
之一
┃知识归纳┃
5．矩形旳鉴定 (1)有一种角是直角旳__平__行__四__边__形___ 是矩形； (2)有三个角是直角旳___四__边__形____是 矩形； (3)对角线相等旳___平__行__四__边__形___是矩 形．
2．菱形旳鉴定措施 (1)有一组邻边相等旳___平__行__四__边__形___ 是菱形(定义)； (2)对角线相互垂直旳__平__行__四__边__形____ 是菱形； (3)四边相等旳____四__边__形_____是菱形．
┃知识归纳┃
辨析:四边形、平行四边形、菱形关系如图:
┃知识归纳┃
3．菱形旳面积 (1)因为菱形是平行四边形，所以菱形 旳面积＝底×高； (2)因为菱形旳对角线相互垂直平分， 所以其对角线将菱形提成4个全等旳三 角形，故菱形旳面积等于两对角线乘 积旳二分之一．
┃知识归纳┃
6．正方形旳性质 (1)正方形旳四个角都是___直__角___,四条 边___相__等____; (4)正方形旳对角线 ___相__等___且相互垂 直平分； (5)正方形既是轴对称图形，又是中心 对称图形，对称轴有_____四____条，对 称中心是对角线旳交点．
┃知识归纳┃
7.正方形旳鉴定 (1)有一组邻边相等旳_相__等___是正方形; (2)对角线___垂__直_____旳矩形是正方形; (3)有一种角是直角旳__菱__形__是正方形; (4)对角线___相__等_____旳菱形是正方形. [注意] 矩形、菱形、正方形都是平行四边 形，且是特殊旳平行四边形．矩形是有一 种内角为直角旳平行四边形；菱形是有一 组邻边相等旳平行四边形；正方形既是矩 形，又是菱形．
新北师大版数学九年级上第一章特殊平行四边形复习第一章 ppt课件
┃知识归纳┃
[总结] 顺次连接对角线相等的四边形 四边中点所得的四边形是__菱__形____；
顺次连接对角线互相垂直的四边形四
边中点所得的四边形是__矩__形____．
顺次连接对角线相等且互相垂直的四 边形四边中点所得的四边形是正__方__形___.
┃考点攻略┃ ► 考点二 和矩形有关的折叠计算问题 例2 如图, 将矩形ABCD沿直线AE折叠, 顶 点D恰好落在BC边上的F点处.已知CE=3 cm, AB=8 cm，求图中阴影部分的面积．
[解析] 要求阴影部分的面积，由于阴影 部分由两个直角三角形构成，所以只要根据 勾股定理求出直角三角形的直角边即可．
新北师大版数学九年级上第一章特殊平 行四边形复习第一章
┃考点攻略┃
► 考点一 菱形的性质和判定
例1 如图，菱形ABCD的对角 线AC与BD相交于点O, 点E, F 分别为边AB, AD的中点, 连接 EF, OE, OF. 求证: 四边形AEOF是菱形．
[解析] 由点E, F分别为边AB, AD的中 点, 可知OE∥AD, OF∥AB, 而AE=AF, 故 四边形AEOF是菱形. 新北师大版数学九年级上第一章特殊平
新北师大版数学九年级上第一章特殊平 行四边形复习第一章
2．菱形的判定方法 (1)有一组邻边相等的___平__行__四__边__形___ 是菱形(定义)； (2)对角线互相垂直的__平__行__四__边__形____ 是菱形； (3)四边相等的____四__边__形_____是菱形．
新北师大版数学九年级上第一章特殊平 行四边形复习第一章
新北师大版数学九年级上册 期末总复习
第一章特殊平行四边形复习
北师大课标版初中数学九年级上册第一章特殊平行四边复习(共19张PPT)
1
2
☞ 复习回顾
1、我们所学的特殊平行四边形有哪些？ 菱形、矩形、正方形
2、菱形、矩形、正方形它们之间有哪些 联系呢？
3
☞知识点梳理
联系:填上相应的条件，使得下图能清楚地表达它们 之间的关系
四条边相等
D
D
C 两组对边分别平行 D
A
对角线互相垂直
一组邻边相等 C
B
菱形
C 对角线相等 D
有一个角是直角
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5
当∠BAC=90°时， 四边形ADCE为 正方形
11
☞ 体验模型
拓展3、在变式2中,如图4,取AB的中点G,连 接DG．判断四边形AGDF的形状，并证明你的 结论．
四边形AGDF是菱形
12
图4
☞变式练习
1、如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC， 设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）请猜测OE与OF的大小关系，并说明你的理由； （2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程； （3）在（2）条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正 方形？ （4）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形BCFE是 平行四边形？四边形BCFE有可能是菱形吗？
北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形小结与复习课件
O
又∵△ABO是等边三角形,
B
C
∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
考点讲练
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
A
D
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB2 + BC2 =AC2 ,
A
D
（矩形的四个角都是直角）
O
B
C
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
考点讲练
例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相
交于点E． 求证：四边形AODE是菱形；
证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= OB=OD= 1 BD，
1 2
AC，
∴OA=OC=O2D，
∴四边形AODE是菱形.
考点讲练
【变式题】如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作
BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO
是矩形吗？说出你的理由.
解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. A
∵DE∥AC,CE∥BD，
A D
B
O
E
C
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行
四边形是矩形）.
考点讲练 核心知识点三 正方形的性质和判定
例4 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC 的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE；
九年级数学上册第一章特殊平行四边形总复习课件北师大版共36张PPT
A
B
O
D
C
P
②如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变 为什么？
③如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应
变为什么？zxxk
A
B
A
B
O
O
D
C
P
图一
D
C
P
图二
2、以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四 边形。
（1）当∠BAC满足 （2）当∠BAC满足
（6）顺次连结等腰梯形 各边中点所得的四边形 是__________？
正方形
平行四边形
菱形
（7）顺次连结对角线相等 的四边形各边中点所得的四 边形是什么？
（8）顺次连结对角线垂直 的四边形各边中点所得的四 边形是什么？
（9）顺次连结对角线相等且 垂直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
菱形
练习题
2. 有三个角是直角的四边形是矩形。
3. 对角线相等的平行四边形是矩形。
知识联系：1. 等腰三角形 2. 直角三角形
菱形
定义：一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 A
性质：1. 菱形具有平行四边形的一切性质。
2. 菱形的四条边都相等。
B
3. 菱形的对角线互相垂直（平分）
OD
且一条对角线平分一组对角。 判定：1. 定义判定法：
三、填空题
（答案: D ）
反例
1.对角线 的四边形是平行四边形。
2.
的平行四边形是矩形。
3.对角线 的四边形是菱形。 4.正方形的对角线为4cm，它的面积为 。 5.菱形的对角线长为6和8，则其周长为 ，面积为 。
2、填空题
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 特殊平行四边形复习 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九
特殊平行四边形基础题知识点1 菱形的性质与判定1．对角线互相垂直平分的四边形是( )A．一般的平行四边形 B．菱形C．矩形 D．正方形2．已知菱形的周长等于40 cm，两对角线的比为3∶4，则对角线的长分别是( )A．3 cm，4 cm B．6 cm，8 cmC．12 cm，16 cm D．24 cm，32 cm3．如图，剪两X对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一X，重合部分构成一个四边形，则下列结论中，不一定成立的是( )A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB＋∠BCD＝180°4．(某某中考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．知识点2 矩形的性质与判定5．矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．四边相等6．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BDD．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD7．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为( )A．6B．3C．2D．18．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO中，且∠ABC＋∠ADC＝180°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？知识点3 正方形的性质与判定9．下列对正方形的描述错误的是( )A．正方形的四个角都是直角B．正方形的对角线互相垂直C．邻边相等的矩形是正方形D．对角线相等的平行四边形是正方形10．下列条件能使菱形ABCD是正方形的有( )①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A．①③ B．②③C．②④ D．①②③11．(某某中考)如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE＝BF.12．已知ABCD为正方形，△AEF为等边三角形，求证：(1)BE＝DF；(2)∠BAE＝15°.中档题13．菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等14．如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为43，则菱形ABCD的周长是( )A．8 2 B．16 2 C．8 3 D．16 315．(某某中考)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．16．正方形ABCD的边长为4，点E是正方形边上的点，AE＝5，BF⊥AE，垂足为点F，求BF的长．17．已知四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点P，若在矩形的上方加一个△DEA，且使DE∥AC，AE∥BD.(1)求证：四边形DEAP是菱形；(2)若AE＝CD，求∠DPC的度数．18．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．(1)求证：四边形MPNQ是菱形；(2)若AB ＝2，BC ＝4，求四边形MPNQ 的面积．19．(某某中考)如图，在平面直角坐标系中，点A(2，n)，B(m ，n)(m ＞2)，D(p ，q)(q ＜n)，点B ，D 在直线y ＝12x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2.求证：四边形ABCD 是矩形．20．(某某中考)如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证平行四边形MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件：______________，MN∥EF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证________________，________________，故只要证∠EMG＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，________________，即可得证．21．如图，矩形A1B1C1D1的边长A1D1＝8，A1B1＝6，顺次连接A1B1C1D1各边的中点得到A2B2C2D2，顺次连接A2B2C2D2各边的中点得到A3B3C3D3，…，依此类推．(1)求四边形A2B2C2D2的边长，并证明四边形A2B2C2D2是菱形；(2)四边形A10B10C10D10是矩形还是菱形？A10B10的长是多少？(第(2)问写出结果即可)基础题1.A2.C3.D4.证明：∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠B ＝180°.∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠BCD ＋∠B ＝180°.∴AB ∥CD.∴四边形ABCD 为平行四边形．∴∠B ＝∠D.∵AM ⊥BC ，AN ⊥DC ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°.∵AM ＝AN ，∴△AMB ≌△AND.∴AB ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形．5.B6.C7.B8.(1)证明：∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴∠ABC ＝∠ADC.∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°.∴四边形ABCD 是矩形．（2）∵∠ADC ＝90°，∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2，∴∠FDC ＝36°.∵DF ⊥AC ，∴∠DCO ＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD 是矩形，∴OC ＝OD.∴∠ODC ＝54°.∴∠BDF ＝∠ODC －∠FDC ＝18°.9.D 10.C11.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCF ＝90°.∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.又∵AE ⊥BF ，∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°.∴∠BAE ＝∠CBF.在△ABE 与△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CBF ，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，∴△ABE ≌△BCF(ASA)．∴AE ＝BF.12.证明：(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D.∵△AEF 为等边三角形，∴AE ＝AF.在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AE ＝AF ， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF(HL)．∴BE ＝DF.（2）由(1)可知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE ＝∠DAF.又∠BAD ＝90°，∠EAF ＝60°，∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°.∴∠BAE ＝15°.中档题 13.C 14.A 15.5.5或0.5 16.由勾股定理得BE ＝AE 2－AB 2＝52－42＝3，∵BF ⊥AE ，∴S △ABE ＝12AE ·BF ＝12AB ·BE ，即12×5×BF ＝12×4×3，解得BF ＝125. 17.(1)证明：∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形DEAP 为平行四边形．∵四边形ABCD 为矩形，∴AP ＝12AC ，DP ＝12BD ，AC ＝BD.∴AP ＝PD.∴四边形DEAP 为菱形． （2）∵四边形DEAP 为菱形，∴AE ＝PD.∵AE ＝CD ，∴PD ＝CD ＝PC.∴△PDC 为等边三角形．∴∠DPC ＝60°. 18(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∴DM ＝BN.又∵DM ∥BN ，∴四边形DMBN 是平行四边形，∴BM ＝DN ，BM ∥DN ，∵P 、Q 分别是BM 、DN 的中点，∴MP ＝NQ.又∵MP ∥NQ ，∴四边形MPNQ 是平行四边形．连接MN.∵AD ∥BC ，AD ＝BC ，M 、N 分别AD 、BC 的中点，∴DM ＝.∴四边形DMNC 是矩形．∴∠DMN ＝∠C ＝90°. ∵Q 是DN 中点，∴MQ ＝NQ.∴四边形MPNQ 是菱形．（2）∵AB ＝2，BC ＝4，M 为AD 中点，Q 为DN 中点，∴平行四边形DMBN 的面积是12×2×4＝4.∴△DMN 的面积是2.∴△MQN 的面积是1. 同理：△MPN 的面积是1，∴四边形MPNQ 的面积是1＋1＝2..19.证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∠BAC ＝∠ACD.又∵BE ＝DE ，∴△ABE ≌△CDE.∴AE ＝CE.∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AB ＝CD ＝4.∴m ＝6.∵点B 在直线y ＝12x ＋1上，∴n ＝4.∴A(2，4)，B(6，4)．∴AB ∥CD ∥x 轴． ∵△AEB 的面积是2，∴ABCD 的面积是8. 又∵CD ＝4，∴ABCD 的高是2.∴q ＝2.把q ＝2代入直线y ＝12x ＋1得p ＝2，∴点D(2，2)．∴点C(6，2)．∴AD ∥BC ∥y 轴．∴四边形ABCD 是矩形． 20.(1)证明：∵EH 平分∠BEF ，FH 平分∠DFE ，∴∠FEH ＝12∠BEF ，∠EFH ＝12∠DFE. ∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠DFE ＝180°.∴∠FEH ＋∠EFH ＝12(∠BEF ＋∠DFE)＝12×180°＝90°. ∵∠FEH ＋∠EFH ＋∠EHF ＝180°，∴∠EHF ＝180°－(∠FEH ＋∠EFH)＝180°－90°＝90°.同理：∠EGF ＝90°.word11 / 11 ∵EG 平分∠AEF ，EH 平分∠BEF ，∴∠FEG ＝12∠AEF ，∠FEH ＝12∠BEF. ∵点A 、E 、B 在同一条直线上，∴∠AEB ＝180°，即∠AEF ＋∠BEF ＝180°.∴∠FEG ＋∠FEH ＝12(∠AEF ＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH ＝90°. ∴四边形EGFH 是矩形．（2）答案不唯一，如：由AB ∥CD ，MN ∥EF ，PQ ∥EF ，易证四边形MNQP 是平行四边形，要证平行四边形MNQP 是菱形，只要证MN ＝NQ ，由已知条件：FG 平分∠CFE ，MN ∥EF ，故只要证GM ＝FQ ，即可证△MGE ≌△QFH ，易证GE ＝FH ，∠GME ＝∠∠MGE ＝∠QFH ，易证∠MGE ＝∠GEF ，∠QFH ＝∠EFH ，∠GEF ＝∠EFH ，即可得证．综合题21.（1）连接A 1C 1，B 1D 1.已知A 1B 1C 1D 1是矩形，∴A 1C 1＝B 1D 1.又A 2，B 2，C 2，D 2是中点，根据三角形中位线性质得：A 2B 2＝C 2D 2＝12A 1C 1，A 2D 2＝B 2C 2＝12B 1D 1， ∴A 2B 2＝C 2D 2＝A 2D 2＝B 2C 2.∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形．在直角三角形A 1B 1C 1中，根据勾股定理得A 1C 1＝A 1B 21＋B 1C 21＝62＋82＝10，∴A 2B 2＝12A 1C 1＝12×10＝5. 所以四边形A 2B 2C 2D 2的边长为5.（2）通过观察分析总结各个图形有如下关系：A n ＋2B n ＋2＋2D n ＋2与A n B n D n 相似，A n ＋2B n ＋2＋2D n ＋2的边长是A n B n D n 边长的一半． 例如，A 3B 3C 3D 3的边长是A 1B 1C 1D 1边长的一半，A 4B 4C 4D 4的边长是A 2B 2C 2D 2边长的一半，…因此A 10B 10C 10D 10的边长是A 2B 2C 2D 2的(12)4＝116， 所以A 10B 10C 10D 10也是菱形，A 10B 10＝A 2B 216＝516.。
北师版九年级数学上册第1章特殊平行四边形PPT复习课件
的四边形是平行四边形时，求t的值．
显然当点P在 AF上，点Q在 CD上时， A， C，P，Q四
点不可能构成平行四边形；
同理点 P 在 AB 上时，点 Q 在 DE 或 CE 上，也不可能构
成平行四边形．
因此只有当点P在BF上，点Q在ED上时，才能构成平
行四边形。
如图，连接AP，CQ，则以A，C， P，Q四点为顶点的四边形是平行 四边形，此时PC＝QA. ∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，
A．10 cm2 B．20 cm2
C．40 cm2 D．80 cm2
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2 ． ( 中考 · 泰安 ) 如图，在矩形 ABCD 中， E 是 AD 的中
点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG 交 CD 于点 F ，若 AB ＝ 6 ， BC ＝ 4 ( B ) A． 2 C. 6 B． 4 D． 2 3
∴∠BAE＝∠CAF.
∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝60°＝∠B.
∴△ABE≌△ACF.
∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．
类型
4
正方形中的动点问题
4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H
分别是 AB ， BC ， CD ， DA 上的动点，且 AE ＝ BF
返回
6 ，则 FD 的长为
3．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落
在对角线 BD 上，得折痕 BE ， BF ，则∠ EBF 的大小
为( C )
A．15° B．30°
C．45°
D．60°
返回
题型
2
特殊平行四边形中的动点问题
北师大版九年级上册数学 知识点复习课件(共46张PPT)
知识点八 位似
(1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相 交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这 个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比)
(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直 线上.
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影. 投影所在的平面叫做投影面．
投影
投影面
2.中心投影指的是由同一点（知点识光源专）题发出的光线所形成的投影。
中心投影的投射线相交于一点，这 一点称为投影中心。
3.中心投影的特点：
知识专题
1).物体离光源越远，影子越长。
2）.物体方向改变，影子方向随之改变。
3）.光源离物体越近，影子越短。 4）.光源方向改变，影子方向随之改变。
第一章 特殊的平行四边形
本章小结
一、菱形、矩形、正方形的性质
对边
角
平行
对角相等
且四边相等 邻角互补
平行且相等
四个角 都是直角
平行
四个角
且四边相等 都是直角
对角线
互相垂直且平分， 每一条对角线平分
一组对角
互相平分且 相等
互相垂直平分且相 等，每一条对角线
平分一组对角
二、菱形、矩形、正方形的判定方法
(2) 反比例函数的性质
k＞0
图象 y
o yk
x
(k≠0) k＜0
y
o
所在象限 性质
一、三象 在每个象
限(x，y 限内，y
同号) 随 x 的增
x
大而减小
二、四象 在每个象
限(x，y 限内，y
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形本章复习教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级上册
第一章特殊平行四边形【知识与技能】熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形的性质及判定定理，并运用它们进行有关的证明和计算.【过程与方法】引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想.【情感态度】在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到解决平行四边形问题的一般方法.【教学重点】使学生能熟练地运用平行四边形的性质、判定定理.【教学难点】构造平行四边形解决问题.一、知识结构二、释疑解惑，加深理解1.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.2.菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形.3.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.4.矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.5.正方形的性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等且互相垂直平分.6.正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形叫做正方形.【教学说明】让学生对知识进行回忆，进一步体会特殊平行四边形的性质、判定.三、典例精析，复习新知1.矩形的一条较短边的长为5cm，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于 10 cm.°，边长是20cm，则较长的对角线是203cm.3.如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE=15度.4.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个大小完全一样的小矩形，则矩形ABCD的面积为（C）解析：设小矩形的长、宽分别为x、y，根据周长为68的矩形ABCD，可以列出方程3x+y=34；根据图示可以列出方程2x=5y，联立两个方程组成方程组，解方程组就可以求出矩形ABCD 的面积.设小矩形的长、宽分别为x、y，依题意得33425x yx y+==⎧⎨⎩，解之得104 xy==⎧⎨⎩∴则矩形ABCD的面积为7×10×4=280.故选C.5.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于点P，则四边形AODP是什么样的特殊四边形，并说明你的理由.分析：由AP∥BD，DP∥AC先判断四边形AODP是平行四边形，再由AO=DO判断四边形AODP为菱形.解：四边形AODP是菱形，理由如下：∵AP∥BD，DP∥AC，∴四边形AODP是平行四边形.又∵矩形的对角线互相平分，得AO=DO，由菱形的判定得四边形AODP为菱形.6.如图所示，有两条笔直的公路BD和EF（宽度不计），从一块矩形的土地ABCD中穿过，已知EF是BD的垂直平分线，BD=40米，EF=30米，求四边形BEDF的面积.分析：连接DE、BF，因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，进而求证DF=BE，再求证FD=FB，即可判定四边形BFDE是菱形，根据菱形面积计算公式即可计算菱形BFDE的面积.解：如图，连接DE、BF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ODF=∠OBE，由EF垂直平分BD，得OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，又BE∥DF，∴∠FDO=∠OBE，∴△DOF≌△BOE，∴DF=BE，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵EF是BD的垂直平分线，∴FD=FB，因此四边形BFDE是菱形，∴S菱形BFDE=12 EF·BD=12×30×40=600（米2）.7.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个矩形色块图的面积.分析：因为矩形内都是正方形，正方形的各边长相等，又有中间小正方形的边长为1，可利用边长之间的关系建立等式.解：由图可知DF-AE=1，AE=BE+1，2CF-DF=1，即DF=AE+1，AE=CF+1+1，DF=CF+3，故2CF-CF-3=1，解得CF=4，∴BE=5，AE=6，∴AB=11，BC=13，S=AB·BC=11×13=143.【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展.四、复习训练，巩固提高1.已知：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB=3∶1，则∠ACE=45度.解析：根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数.然后利用三角形内角和定理求解即可.2.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E= 22.5 度.解析：由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数.3.如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由.（1）四边形ADEF 是什么四边形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形.△ABD ，△EBC 都是等边三角形，容易得到全等条件证明△DBE ≌△ABC ≌△FEC ，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF 是平行四边形.（2）若平行四边形ADEF 是矩形，则∠DAE=90°，然后根据已知可以得到∠BAC=150°. 解：（1）四边形ADEF 是平行四边形.理由：∵△ABD ，△EBC 都是等边三角形.∴AD=BD=AB ，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA.∴∠DBE=∠ABC.在△DBE 和△ABC 中BD BA DBE ABC BE BC =∠==⎪∠⎧⎪⎨⎩，∴△DBE ≌△ABC.∴DE=AC.又∵△ACF 是等边三角形，∴AC=AF.∴DE=AF.同理可证：AD=EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形.（2）若四边形ADEF 是矩形，则∠FAD=90°，∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°.∴∠BAC=150°时，四边形ADEF 是矩形.【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.养成学以致用的好习惯.五、师生互动，课堂小结先小组内交流本节课的收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师进行补充.【教学说明】归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，体验事物之间的联系与区别.布置作业:教材“复习题”中第5、8、12题.通过本节课的复习，归纳矩形、菱形、正方形的性质和判定，使学生体验事物之间的联系与区别.从而加强对新知识的理解与应用.。
九年级数学上册1特殊平行四边形章末考点复习与小结习题课件
◆靠前过三关 （
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九年级数学上册第一章特殊平行四边形阶段复习习题课件新版北师大版
【解析】选C.没有两直线平行这一条件,同位角不一定相等,故 选项A错误;由对角线判定平行四边形、矩形、菱形、正方形,对 角线互相平分是必不可少的条件,故选项B错误;四条边相等的四 边形是菱形,选项C正确;矩形的对角线相等,而不一定互相垂直, 故选项D错误.
2.(2013·凉山州中考)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的 顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC 上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为
MN2 3x2 3． DN x
主题3 正方形的性质与判定 【主题训练3】(2013·济宁中考)如图1,在正方形ABCD中,E,F分 别是边AD,DC上的点,且AF⊥BE. (1)求证:AF=BE. (2)如图2,在正方形ABCD中,M,N, P,Q分别是边AB,BC,CD,DA上的 点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?并说明理由.
3.(2013·遵义中考)如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠, 使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N. (1)求证:CM=CN. (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比 为3∶1,求的 M N 值.
DN
【解析】(1)由折叠的性质可得:∠ANM=∠CNM, ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC, ∴∠ANM=∠CMN,∴∠CMN=∠CNM,∴CM=CN.
1.(2013·菏泽中考)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方
形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为( )
A.16
B.17
C.18
D.19
【解析】选B.如图, ∵四边形ABCD是正方形,∴∠MBN=45°.∵四边形MNQP是正 方形,∴MN=NQ,∠MNQ=90°, ∴△MBN是等腰直角三角形,∴MN=BN.同理,PQ=DQ, ∴BN=NQ=DQ.在Rt△ABD中,∵AB=AD=6,