平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算(教案)
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 教案+习题
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易错点)．预习教材P94－97完成下面问题：知识点1平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．3．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．4．坐标表示：a＝(x，y)．5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．【预习评价】思考根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1．答案a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)知识点2平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应a－b＝(x1－x2，y1－y2)坐标的差数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa ＝(λx ，λy )重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点 的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)【预习评价】已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a －b ＝________． 解析 2a －b ＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)． 答案 (5,7)题型一 平面向量的坐标表示【例1】 如图，在直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标．解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ， 则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝22， ∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3．∴C ⎝⎛⎭⎫－32，323，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，323，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，323． (2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－323． (3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋(－32，323)＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332．∴点B 的坐标为(22－32，22＋332)．规律方法 求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．【训练1】 已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析 MN →＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.选A ．答案 A题型二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即x ＝－4，y ＝－2，故C (－4， －2)，则BC →＝(－7，－4)，故选A ． 答案 A(2)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标．解 因为AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， 所以AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)，BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．规律方法 平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．【训练2】 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求下列向量的坐标： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b ．解 (1)2a ＋3b ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝(－12，1)－(23，13)＝(－76，23).方向1 由相等的向量求参数的值【例3-1】 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析 m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝－3． 答案 －3方向2 向量运算与平面几何的综合应用【例3-2】 已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．解 当平行四边形为ABCD 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )，且AB →＝DC →，得D (2,2)．当平行四边形为ACDB 时，设D (x ，y )，由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →，得D (4,6)．当平行四边形为ACBD 时，设D (x ，y )，由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y )，且AC →＝DB →，得D (－6,0)，故D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．规律方法 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．【训练3】 已知A (2,4)，B (－4,6)，若AC →＝32AB →，BD →＝43BA →，则CD →的坐标为________．解析 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则(x 1－2，y 1－4)＝32(－6,2)＝(－9,3)，则x 1＝－7，y 1＝7，(x 2＋4，y 2－6)＝43(6，－2)＝(8，－83)，∴x 2＝4，y 2＝103，则CD →＝(11，－113)．答案 (11，－113)课堂达标1．已知点A (－2,1)，B (3，－2)，则BA →的坐标是( ) A ．(－5,3) B ．(5，－3) C ．(－5，－3)D ．(5,3)解析 BA →＝(－2,1)－(3，－2)＝(－5,3)． 答案 A2．若AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,2)，则CB →等于( )A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－4,3)D ．(4，－3)解析 CB →＝AB →－AC →＝(3,5)－(－1,2)＝(4,3)． 答案 A3．已知平面向量a ＝(－2,0)，b ＝(－1，－1)，则12a －2b 等于( )A ．(1,2)B ．(－1，－2)C ．(－1,2)D ．(1，－2)解析 12a －2b ＝(－1,0)－(－2，－2)＝(1,2)．答案 A4．已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12AB →，则点C 的坐标为________.解析 设C (x ，y )，则(x －2，y －1)＝12(－4,2)＝(－2,1)，∴x ＝0，y ＝2． 答案 (0,2)5．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，若a ＝OA →，其中O 为原点，求x ，y 的值．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.课堂小结1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．3．向量坐标形式的计算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．基础过关1．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误． 答案 C2．已知AB →＝(5，－3)，C (－1,3)，CD →＝2AB →，则点D 坐标是( ) A ．(11,9) B ．(4,0) C ．(9,3)D ．(9，－3)解析 设D (x ，y )，则(x ＋1，y －3)＝(10，－6)，∴x ＝9，y ＝－3，即点D 的坐标是(9，－3)．答案 D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1D ．－1,2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.答案 D4．在平行四边形ABCD 中，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →＝________(用坐标表示)． 解析 AD →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 答案 (－1，－1)5．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________． 解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB →同方向的单位向量为A B →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45． 答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 6．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λμ的值．解 以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4．7．已知点A (3，－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标． 解 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|． 当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.∴P 点坐标为(13，0)．当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →． ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8. 综上所述，点P 的坐标为(13，0)或(－5,8)．能力提升8．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→的坐标形式为( )A ．(10,1)B ．(4，－11)C ．(7，－5)D ．(3,6)解析 A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等， 故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)． 答案 C9．已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)解析 ∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)， 易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)，故选B ．答案 B10．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________(用a ，b 表示)．解析 设c ＝x a ＋y b ，即(－1,2)＝(x ，x )＋(y ，－y )＝(x ＋y ，x －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32，所以c ＝12a －32b ．答案 12a －32b11．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________． 解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)， BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， 又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112．答案11212．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和CD →的坐标．解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)， ∴CD →＝(－2，－4)．13．(选做题)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →． (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由． 解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23． 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13． 若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0， ∴－23<t <－13． (2)OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解． 故四边形OABP 不能成为平行四边形．。
平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算（学案）
平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算（学案）平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算（共2课时）一、学习目标1．掌握平面向量的正交分解及其坐标的意义与运算2．会根据向量的坐标，判断向量是否共线，掌握两向量平行时坐标表示. 二、学习过程（一）预习案1.温故知新平面向量基本定理： . 2.新知导学（1）平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j．我们把(x 、y)叫做向量a 的直角坐标，记作．（2）向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系．（3）平面向量的坐标运算：若a ＝(x 1、y 1)，b＝(x 2、y 2)，R λ∈，则： a ＋b ＝，a －b ＝，a λ＝ .（4）已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则A B＝．（5）两向量a ＝(x 1、y 1)和b＝(x 2、y 2)共线的条件是当且仅当．3.预习自测(1)已知向量a 、b 的坐标，求a b + 、a b -的坐标：(2,4)a =- ,(5,2)b = ，则a b + = ，a b -= ； (4,3)a = ,(3,8)b =- ，则a b + = ，a b -= ； (2,3)a = ,(2,3)b =-- ，则a b + = ，a b -= ； (3,0)a = ,(0,4)b = ，则a b + = ，a b -= ； (2) 已知(3,2)a = ，(0,1)b =- ，求24a b -+ ，43a b +的坐标.(3)已知A 、B 两点坐标，求A B 、BA的坐标：①(3,5)A ，(6,9)B ②(3,4)A -，(6,3)B③(0,3)A ，(0,5)B ④(3,0)A ，(8,0)B（二）探究案例1 .已知O 为坐标原点，A （-1，3），B （1，-3），C （4，1），D （3，4），求OA ,OB ,A O ,CD的坐标.思考：四边形OCDA 是平行四边形吗？例2 .已知点A （2，3），B （－1，5），且AC ＝31AB，求点C 的坐标．变式训练：若(2,8)O A =，(7,2)O B =-，则31AB= .例3．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标.变式训练：在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，＝(6，0)，若AD ＝(3，5)，求点C 的坐标；例4.已知a －2b ＝(－3，1)，2a ＋b ＝(－1，2)，求a b +.例5 .已知向量a =（1，2），b =（x ，1），1e =a +2b ，2e=2a -b且1e ∥2e ，求x ．三、总结提升1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．四、检测与反馈1.若)4,3(),1,2(-==→→b a ，则→→+b a 43的坐标为__________；2.设点A 的坐标为（2，1），点B 的坐标为（1，-2）则向量→-BA 的坐标为； 3.已知)2,1(),3,2(+=-=→→y b x a ，若→→=b a ，则X= ；y= ； 4.下列说法正确的有个（1）向量的坐标即此向量终点的坐标 . （2）位置不同的向量其坐标可能相同.（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标. （4）相等的向量坐标一定相同.5.作用于原点的两力)3,2(),1,1(21==→→F F ，为使它们平衡(即合力为0)，需加力→3F =______.6.设a =(4，－3)，b =(x ，5)，c =(－1，y)，若a +b =c，则（x ，y ）= ．7.若a =(-1，x)与b=(－x ，2)共线且方向相同，则x= ．8.若A(－1，－1)， B(1，3)， C(x ，5) 三点共线，则x= ． 9.已知a=(3， 2)，b=(－2，1)，若λa b +与a b λ+(R λ∈）平行，则λ= ．10.若向量a =(－1，x)，b =(－x ，2)，且a 与b 同向，则a －2b= ．11.已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，A B=(-2，3)，则CD 坐标为，D O 坐标为，C O的坐标为．12.已知平行四边形ABCD 中，A （0，0）、B （5，0）、D （2，4），对角线AC 、BD交于点M ，则DM的坐标是 .13.已知点B 的坐标为（m ，n ），A B的坐标为（i ，j ），则点A 的坐标为 . 14.若A （2，3）、B （x ，4）、C （3，y ），且2AB AC = ，则X= ；y= . 15.已知向量a =(3,-2), b =(-2,1), c =(7,-4),若c a b λμ=+,则λ= . μ＝ ______.16.已知OA =(x 1，y 1)，OB =(x 2，y 2)，线段AB 中点为C ，求O C的坐标17.已知→a =（x+y+1，2x-y ），→b =（x-y ，x+2y-2），若2→a =3→b ，求x 、y 的值；。
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是 唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？
提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个， 这些向量都是相等向量．
4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？ 提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯 一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．
(2)设 c＝(x，y)，则 f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)， ∴y2＝y－4，x＝5， 解得xy＝＝43，， 即 c＝(3,4).
若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标．
[解] 法一：设 a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有
m2＋n2＝1， p2＋q2＝1， m＋p＝1， n＋q＝0，
[通一类] 1．已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|OA|＝4 3，
∠xOA＝60°， (1)求向量OA的坐标； (2)若 B( 3，－1)，求 BA的坐标． 解：(1)设点 A(x，y)，则 x＝4 3cos 60°＝2 3， y＝4 3sin 60°＝6，即 A(2 3，6)，OA＝(2 3，6)． (2) BA＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7).
[点评] 法一利用模的概念和向量的坐标运算，通 过解方程组来求解，思路自然严谨；法二利用了“三角换 元”，借助三角公式简化了运算；法三利用了数形结合， 解法直观，简洁明了．
[小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)． 2．已知向量 OM ＝(－1，－2)，M点的坐标与 OM 的 坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而 M(－1，－2)．
《平面向量的正交分解及坐标表示》教案
《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教案一、教学目标1、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面向量的坐标表示及其运算；2、通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；3、在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。
二、教学重难点重点：平面向量的坐标表示及坐标运算；难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解。
三、教具多媒体课件四、教学过程设计一、复习回顾 问题情境 【回顾】平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e【情境】光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F 1和木块产生的垂直于斜面的压力F 2（如图）．一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．【问题】 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、理解概念 加深认识如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 a xi yj =+ …………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y = …………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示。
结合定义，指导学生求出向量i 、j 、0 的坐标。
（多媒体演示）如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a = ，则点A 的位置由a 唯一确定。
设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标。
高中数学_《平面向量的正交分解及坐标表示,坐标运算》教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量的正交分解及坐标表示，坐标运算》教学设计一、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》（人教A版）第二章第三节的第二课时（2.3.2）《平面向量的正交分解及坐标表示》1.教材内容地位本节课内容包括“向量的正交分解及坐标表示”及“平面向量的坐标运算”两部分，其中向量的正交分解具有承上启下的作用，与上一节平面向量基本定理内容紧密关联。
本节课引出的向量的坐标表示，与坐标运算，实际上是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化。
这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．这将为后面三角函数学习，及之后的几何学习与代数紧密联系起来。
2.教学目标(1)了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示的定义：①能够写出给定向量的坐标。
②给出坐标能够画出表示向量的有向线段。
(2)掌握两个向量和（差）及向量数乘的坐标的运算法则：①知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标。
②一个向量坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
二、学科核心素养本节课主要涉及以下三大类共六项，我将从以下几个方面设计本节课内容。
1、数学的一般特性(1)数学抽象：从物理方面的重力分解出发，舍去其相关物理属性，引出向量的正交分解，并在坐标系中用坐标表示出对应向量。
(2)直观想象：利用图、形结合的方式，展示向量在坐标系中的运算，以及向量与有向线段的关系。
2、数学思维的严谨性(1)逻辑推理：以i 、j为基底，根据向量的可以任意平移的特性，推导出向量的坐标表示。
(2)数学运算：通过向量线性运算的结合律和分配律，严谨的推导出向量的坐标运算，以及运用已有的向量加减的知识推导出，向量的坐标与表示此向量的有向线段的坐标的关系。
3、数学的实用性(1)数学建模：将向量与力与位移等矢量结合起来，通过坐标运算位移大小与力的大小等内容。
三、教学重点难点教学重点：平面向量的正交分解及坐标表示：教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.四、学习者分析学生已经掌握的平面向量的基本定理为本节课的学习提供了知识准备；学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成与分解，坐标中点的表示方式已经熟练掌握，同时作图习惯已经养成这些都为本节课的学习提供认知准备；同时学生具备了一定的归纳推理能力以及分析问题、解决问题的能力，但要学生从向量坐标的方法解决几何问题依然具有一定的难度。
【新课标必修】《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教学案例
课题 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算教学目标：知识目标：理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算；能力目标：初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；情感态度与价值观：激发学生学习的学习兴趣；渗透数学中的类比、归纳、猜测等合情推理方法；充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的。
教学重点难点：1．重点：平面向量的坐标运算； 2．难点：平面向量的坐标运算。
教法与学法：1．教法选择：研究性学习方式——“设置问题情境，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”；2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展。
教学过程：一、设置情境，激发探索 1e ，2e 唯一概念介绍为解决难点作铺垫1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得yjxia+=…………○1我们把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作),(yxa=…………○2其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a相．等的向量的坐标也为．．．．．．．．．),(yx.特别地，)0,1(=i，)1,0(=j，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作aOA=，则点A的位置由a唯一确定.设yjxiOA+=，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1）若),(11yxa=，),(22yxb=，则ba+),(2121yyxx++=，ba-),(2121yyxx--=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i、j，则ba+)()(2211jyixjyi x+++=jyyixx)()(2121+++=即ba+),(2121yyxx++=，同理可得类点坐标的概念，请学生自己给出向量坐标的概念。
《平面向量的的正交分解及坐标表示》教学设计、导学案、同步练习
《6.3.2 平面向量的的正交分解及坐标表示》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要讲解平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示。
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解。
因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时会给问题的研究带来方便，联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j.于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起――映射，从而实现向量的“坐标化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想。
【教学目标与核心素养】A.会把向量正交分解；B.会用坐标表示向量；【教学重点】：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；【教学难点】：平面向量的坐标表示。
【教学过程】二、探索新知1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。
思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量呢？【解析】在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个不共线向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i +y j ，则把有序数对（x ，y ），叫做向量a 的坐标．记作a ＝（x ，y ），此式叫做向量的坐标表示．作向量，设，所以。
【结论】向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致。
必修4第二章 平面向量正交分解及坐标表示教案
第课
（单元）
主题
平面向量的正交分解和坐标表示及运算
1课时标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
过程
与方法
情感态度与价值观
教
材
分
析
重点
平面向量的坐标运算
难点
向量的坐标表示的理解及运算的准确性
学情分析
过程
教学内容
自主学习
不看不讲
一、复习引入：1.力的分解（正交分解）；2.平面向量基本定理
二、讲解新课：
1.平面向量的坐标表示：如图，在直角坐标系内，我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底.任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得 ，我们把 叫做向量 的（直角）坐标，记作 …（2），与 相等的向量的坐标也为 .特别地， 、 .
例3.已知三个力的合力 ，且 , ，求 的坐标.
例4.已知点 , , , ,求点C，D的坐标和的 坐标.
例5.已知 中点A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标。
．
高效训练
不练不讲
1．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则 .
2.已知点 ， ， ，则点D的坐标是.
3.若点A(1，3)，B(2，4)， 与 相等，则x为
如图，当向量起点在原点时，则点 的位置由 唯一确定,定义向量坐标为终点坐标，即若 ，则 .
合作探究
不议不讲
2．平面向量的坐标运算
（1）若 , ，则 ,(终点坐标减去起点坐标)
（2）若 , ，则 , ,
,（两个向量的坐标的对应运算）.
三、讲解范例：
例1.已知原点 ，点 , ，求 、 、 的坐标.
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则C→M＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，x1＝0，y1＝20； C→N＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，x2＝9，y2＝2， 所以 M(0，20)，N(9，2)， M→N＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
方法二：设点 O 为坐标原点，则由C→M＝3C→A，C→N＝2C→B， 可得O→M－O→C＝3(O→A－O→C)，O→N－O→C＝2(O→B－O→C)， 从而O→M＝3O→A－2O→C，O→N＝2O→B－O→C， 所以O→M＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， O→N＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)， 即点 M(0，20)，N(9，2)， 故M→N＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
即(－1，2)＝(x＋y，x－y)， ∴－ 2＝1＝ x－x＋ y，y， 解得xy＝＝－12，32. ∴c＝12a－32b.
(3)方法一：由 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 可得C→A＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， C→B＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)， 所以C→M＝3C→A＝3(1，8)＝(3，24)， C→N＝2C→B＝2(6，3)＝(12，6)．
(2)(2014·济南高一检测)若向量 a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则 c ＝________(用 a，b 表示)；
(3)已知 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且C→M＝3C→A，C→N＝2C→B，求 M，N 及M→N的坐标．
解析： (1)A→B＝(3－1，2－2)＝(2，0)， ∵a＝A→B， ∴xx＋ 2－33＝x－2，4＝0，解得 x＝－1. (2)设 c＝xa＋yb， ∴(－1，2)＝x(1，1)＋y(1，－1)，
学高中数学平面向量平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算教师用书教案新人教A版必修
２.３．２平面向量的正交分解及坐标表示２.３．３平面向量的坐标运算学习目标核心素养１．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．（难点）２．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．（重点）３．向量的坐标与平面内的点的坐标的区别与联系．（易混点）１．通过力的分解引进向量的正交分解，从而得出向量的坐标表示，提升学生的数学建模和数学抽象素养.２．通过向量坐标运算，培养学生的数学运算素养.１．平面向量的正交分解及坐标表示（１）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．（２）平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝（x，y）叫做向量的坐标表示．显然，i＝（１,0），j＝（0,１），0＝（0,0）．２．平面向量的坐标运算设向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝（x１＋x２，y１＋y２）减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a—b＝（x１—x２，y１—y２）数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝（λx１，λy１）重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＝（x２—x１，y２—y１）[提示] 向量的坐标只与起点和终点的相对位置有关，是终点坐标减去起点坐标，而与它们的具体位置没有关系．１．已知M（２,３），N（３,１），则错误!的坐标是（）Ａ．（２，—１）Ｂ．（—１,２）Ｃ．（—２,１）Ｄ．（１，—２）B[错误!＝（２,３）—（３,１）＝（２—３,３—１）＝（—１,２）．]２．已知向量a＝（—１,２），b＝（１,0），那么向量３b—a的坐标是（）Ａ．（—４,２）Ｂ．（—４，—２）Ｃ．（４,２）Ｄ．（４，—２）D[３b—a＝３（１,0）—（—１,２）＝（４，—２）．]３．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝２，θ＝４５°，则向量a的坐标为________．（错误!，错误!）[由题意知a＝（２cos ４５°i,２sin ４５°j）＝（错误!i，错误!j）＝（错误!，错误!）．]４．已知A（３，—５），B（—１,３），点C在线段AB上，且错误!＝３错误!，则点C的坐标是________．（0,１）[由错误!＝３错误!得错误!—错误!＝３错误!—３错误!，∴４错误!＝错误!＋３错误!，即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，∴C的坐标为错误!（３，—５）＋错误!（—１,３）＝（0,１）．]平面向量的坐标表示【例１】OAB＝１0５°，错误!＝a，错误!＝b.四边形OABC为平行四边形．（１）求向量a，b的坐标；（２）求向量错误!的坐标；（３）求点B的坐标．[解] （１）作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos ４５°＝４×错误!＝２错误!，AM＝OA·sin ４５°＝４×错误!＝２错误!，∴A（２错误!，２错误!），故a＝（２错误!，２错误!）．∵∠AOC＝１80°—１0５°＝7５°，∠AOy＝４５°，∴∠COy＝３0°.又OC＝AB＝３，∴C错误!，∴错误!＝错误!＝错误!，即b＝错误!.（２）错误!＝—错误!＝错误!.（３）错误!＝错误!＋错误!＝（２错误!，２错误!）＋错误!＝错误!.∴点B的坐标为错误!.求点、向量坐标的常用方法：（１）求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．（２）求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．错误!１．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示错误!，错误!，错误!，并求出它们的坐标．[解] 由图形可知，错误!＝6i＋２j，错误!＝２i＋４j，错误!＝—４i＋２j，它们的坐标表示为错误!＝（6,２），错误!＝（２,４），错误!＝（—４,２）.平面向量的坐标运算【例２】１２a＋３b；２a—３b；３错误!a—错误!b.（２）已知A（—２,４），B（３，—１），C（—３，—４），且错误!＝３错误!，错误!＝２错误!，求M，N及错误!的坐标．思路点拨：（１）运用向量坐标运算的公式进行求解．（２）法一：设点M，N的坐标，用向量相等的坐标表示列方程求值．法二：用向量线性运算的几何意义直接计算错误!，错误!的坐标．[解] （１）∵a＝（—１,２），b＝（２,１），∴２a＋３b＝２（—１,２）＋３（２,１）＝（—２＋6,４＋３）＝（４,7）．a—３b＝（—１,２）—３（２,１）＝（—１—6,２—３）＝（—7，—１）错误!a—错误!b＝错误!（—１,２）—错误!（２,１）＝错误!＝错误!（２）法一：（待定系数法）由A（—２,４），B（３，—１），C（—３，—４），可得错误!＝（—２,４）—（—３，—４）＝（１,8），错误!＝（３，—１）—（—３，—４）＝（6,３），所以错误!＝３错误!＝３（１,8）＝（３,２４），错误!＝２错误!＝２（6,３）＝（１２,6）．设M（x１，y１），N（x２，y２），则错误!＝（x１＋３，y１＋４）＝（３,２４），所以x１＝0，y１＝２0；错误!＝（x２＋３，y２＋４）＝（１２,6），所以x２＝9，y２＝２，所以M（0,２0），N（9,２），错误!＝（9,２）—（0,２0）＝（9，—１8）．法二：（几何意义法）设点O为坐标原点，则由错误!＝３错误!，错误!＝２错误!，可得错误!—错误!＝３（错误!—错误!），错误!—错误!＝２（错误!—错误!），从而错误!＝３错误!—２错误!，错误!＝２错误!—错误!，所以错误!＝３（—２,４）—２（—３，—４）＝（0,２0），错误!＝２（３，—１）—（—３，—４）＝（9,２），即点M（0,２0），N（9,２），故错误!＝（9,２）—（0,２0）＝（9，—１8）．平面向量坐标的线性运算的方法：１若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.２若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.３向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.错误!２．若A，B，C三点的坐标分别为（２，—４），（0,6），（—8,１0），求错误!＋２错误!，错误!—错误!错误!的坐标．[解] ∵错误!＝（—２,１0），错误!＝（—8,４），错误!＝（—１0,１４），∴错误!＋２错误!＝（—２,１0）＋２（—8,４）＝（—２,１0）＋（—１6,8）＝（—１8,１8），错误!—错误!错误!＝（—8,４）—错误!（—１0,１４）＝（—8,４）—（—５,7）＝（—３，—３）.向量坐标运算的综合应用[探究问题]１．已知A，B点坐标，O为坐标原点，若错误!＝错误!＋t错误!，如何求点P在坐标轴上，在某象限内时的t值或范围．提示：错误!＝错误!＋t错误!＝错误!＋t（错误!—错误!）＝（１—t）错误!＋t错误!，把A，B点坐标代入上式，从而求出P点坐标（x，y）．若P在x轴上，则y＝0，若P在y轴上，则x＝0，若P在第一、三象限角平分线内，则x＝y，若P在第一象限，则x＞0且y＞0，求其他范围时，只要x，y满足关系式或不等式即可．２．对于探究１条件不变，O，A，B，P能否为四边形？请说明理由．提示：由条件可知，错误!＝（１—t）错误!＋t错误!，而（１—t）＋t＝１，所以点P，A，B三点共线，故O，A，B，P不能构成四边形．【例３】（１）已知向量a＝（２，—３），b＝（１,２），p＝（9,４），若p＝m a＋n b，则m＋n＝________.（２）已知点A（２,３），B（５,４），C（7,１0）．若A错误!＝A错误!＋λA错误!（λ∈R），试求λ为何值时，１点P在一、三象限角平分线上；２点P在第三象限内．思路点拨：（１）（１）7 [由已知得m a＋n b＝m（２，—３）＋n（１,２）＝（２m＋n，—３m＋２n）．又p＝（9,４）且p＝m a＋n b，所以错误!解得错误!所以m＋n＝7．]（２）[解] 设点P的坐标为（x，y），则A错误!＝（x，y）—（２,３）＝（x—２，y—３），A错误!＋λA错误!＝[（５,４）—（２,３）]＋λ[（7,１0）—（２,３）]＝（３,１）＋λ（５,7）＝（３＋５λ，１＋7λ）．∵A错误!＝A错误!＋λA错误!，∴错误!则错误!１若点P在一、三象限角平分线上，则５＋５λ＝４＋7λ，∴λ＝错误!，∴当λ＝错误!时，点P在一、三象限角平分线上．２若点P在第三象限内，则错误!∴λ<—１，∴当λ<—１时，点P在第三象限内．１．若本例（２）条件不变，试求λ为何值时，点P在第四象限．[解] 若P在第四象限，由本例（２）的解析得错误!解得—１＜λ＜—错误!.２．若本例（２）条件“错误!＝错误!＋λ错误!”改为“错误!＝错误!＋λ错误!”，其他条件不变，应如何解答？[解] 设点P的坐标为（x，y），则错误!＝（x—５，y—４），错误!＋λ错误!＝（—３，—１）＋λ（２,6）＝（—３＋２λ，—１＋6λ）．因为错误!＝错误!＋λ错误!，所以错误!则错误!１若点P在一、三象限角平分线上，则２＋２λ＝３＋6λ，解得λ＝—错误!.２若点P在第三象限内，则错误!解得λ＜—１．１．解答本题可用待定系数法．此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程（组）求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．２．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．１．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．２．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A（x A，y A），B（x B，y B），则错误!＝（x B—x A，y B—y A）．３．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积．１．给出下面几种说法：１相等向量的坐标相同；２平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；３一个坐标对应于唯一的一个向量；４平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４C[由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故３错误．]２．已知向量a＝（１,２），２a＋b＝（３,２），则b＝（）Ａ．（１，—２）Ｂ．（１,２）Ｃ．（５,6）Ｄ．（２,0）A[令b＝（x，y），则２＋x＝３且４＋y＝２，解得x＝１，y＝—２，故选Ａ．]３．已知A（２，—３），错误!＝（３，—２），则点B和线段AB的中点M坐标分别为（）Ａ．B（５，—５），M（0,0）Ｂ．B（５，—５），M错误!Ｃ．B（１,１），M（0,0）Ｄ．B（１,１），M错误!B[错误!＝错误!＋错误!＝（２，—３）＋（３，—２）＝（５，—５），错误!＝错误!＋错误!错误!＝（２，—３）＋错误!（３，—２）＝错误!.]４．已知点A（１,３），B（４，—１），则与向量错误!同方向的单位向量为________．错误![错误!＝（３，—４），则与错误!同方向的单位向量为错误!＝错误!（３，—４）＝错误!.]５．在平行四边形ABCD中，若错误!＝（２,４），错误!＝（１,３），则错误!用坐标表示________．（—１，—１）[根据平行四边形法则，错误!＝错误!—错误!＝（１,３）—（２,４）＝（—１，—１）．]。
平面向量的正交分解及坐标表示的教学设计 (1)
《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计武山一中【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。
2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容 1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。
本节教学的内容是本单元的第2节。
【目标与目标解析】知识与技能：1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）i(1,0)=，j(0,1)=，0(0,0)=3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。
过程与方法：学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。
情感态度与价值观：在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。
重点：平面向量坐标表示的定义突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想. 难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理【教学过程】 一、知识再现、学习准备平面向量基本定理：如果 是同一平面内的两个不共线非零向量，那么对于平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， 使 λ11e +λ22e 。
(1)我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是由 a , 唯一确定的数量。
平面向量的正交分解及坐标表示的教学案例
平面向量的正交分解及坐标表示的教学案例(1)平面向量的正交分解及坐标表示。
【教学目标】1.知识目标:①使学生理解平面向量坐标的概念,了解直角坐标系中平面向量代数化的过程(几何表示---线性表示---坐标表示),会写出直角坐标系内给定的向量坐标,会作出已知坐标表示的向量;②掌握平面向量的坐标运算,能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法则,并能运用它们进行向量的坐标运算,明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
2.能力目标:①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程,激发学生的探索精神,增强学生知识的应用意识;②通过具体问题的分析解决,渗透数形结合数学思想,提高学生从一般到特殊的归纳能力。
3.德育目标:在数学中体会知识的形成过程,感受数与形的和谐统一。
【教学重点】:平面向量的坐标表示及坐标运算突破办法:渗透从特殊到一般的化归,数形结合的思想.【教学难点】:对平面向量的坐标表示生成过程的理解---方向线段长度—大小点位置无关.③引入直角坐标系---x轴、y轴、原点、单位长度平面内每一个点都可以用一对实数(即它的坐标)来表示,那么平面直角坐标系内的每一个向量是否也可以用一对实数来表示如果可以,会是如何板书课题:平面向量的坐标表示及运算设计意图:利用向量化的方块字引入,比较生活化有新意,激发学生的学习兴趣和学习情感,为新课的自然引入提供契机.另外,教师要抓住每一次在新课中复习旧知的机会。
(ⅱ).新课讲解I.平面向量的坐标表示并通过,i提问:对于既不与x轴方向平行也不与y轴方向平行的向量,如:,还能用、j表示吗怎么表示学生:思考,并讲出自己的想法。
教师总结:不能“单独”表示,尝试“合作”表示,由此可链接哪个知识点(涉及一个向量用另两个向量线性表示)学生:平面向量的基底表示--(i)单位,-=(1 ,-1)ji40-(0,-4)上述方法特殊向量的坐标表示:),0(),1,0(),,1(===设计意图:全面铺垫后学生自习定义,形象思维帮助抽象理解,但淡化了平面向量基本定理的应用。
人教版高一数学教案-平面向量的正交分解及坐标表示
教案问题1.平面向量基底的唯一要求就是不共线，因此平面向量有无数个基底.那么选什么样的基底能够更好的解决问题？问题2.物理上，我们在做力的分解时，将力进行了正交分解，即，我们选择了两个互相垂直的力作为基底.这对我们研究平面向量基底的选择问题有什么启示? 解新、旧知识的联系新课三、新课讲解1.定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.平面向量的坐标表示.①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).③坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等,对应坐标相等的向量是相等向量.④点的坐标与向量坐标的区别和联系(表格略)循序渐进，使学生真正理解学习向量坐标的意义，会准确使用表达向量的三种方法.掌握知识发生发展的过程例题例1如图所示O为坐标原点，A(2,3)则OA的坐标为多少？解：如图所示因为OA=2i+3j所以OA=(2,3)引出猜想：当向量的起点在坐标原点时，向量例2如图A(2,2),B(3,4),求AB的坐标.解：由图可知AB=(3-2)i+(4-2)j=i+2j所以，AB的坐标(1,2).例3如图:用基底i，j分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标. 方法：用基底的形式表示向量，然后得出坐标.解：a=(2,3)b=(-2,3)c=(-2,-2)d=(2,-3) 的坐标就是向量终点的坐标有向线段所表示的向量位置与向量坐标的关系四、课堂练习1. 判断下列命题是否正确(正确的写T，错误的写F) .(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( F )(2)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( T )(3)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( T )2. 已知AB=(1,2)，则下列说法正确的是( D )A. A点的坐标是(1,2)B. B点的坐标是(1,2)C. 当B是坐标原点时，A点的坐标是(1,2)D. 当A是坐标原点时，B点的坐标是(1,2)3. 设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j，则a与b的坐标为.4. 如图，向量a,b,c的坐标为___,___,___.5．如图，已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求点B ，D 的坐标和AB ，AD 的坐标．解：由题知B ，D 分别是以Ox 为始边30︒，120︒角的终边与单位圆的交点． 设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义，得13cos302x ︒==，11sin 302y ︒==，∴31,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21cos1202x ︒==-，23sin1202y ︒==，∴13,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ()0,0A∴31,22AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13,22AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b . 四边形OABC 为平行四边形.求向量a ，b 的坐标. 解 作AM ⊥x 轴于点M ， 则OM ＝OA ·cos45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin45° ＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22). ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.小结：向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.量，平移，使它的起点与坐标原点重合，达到化繁为简的目的总结 1. 为什么要研究平面向量的正交分解及坐标表示？ 2. 怎样研究平面向量的正交分解及坐标表示？ 3. 体现了用代数的方法解决几何问题的策略.回顾知识发生发展的过程，提高学生的数学认知水平如图，用单位正交向量i ,j作为基底{i，j}，表示向量a,b,c,d ,并求出它们的坐标.。
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2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算【教学目标】1、知识与技能理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。
2、过程与方法在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。
3、情感、态度与价值观让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。
【教学重点】平面向量的坐标运算。
【教学难点】理解向量坐标化的意义。
【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受到 斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生 斜面的压力2F ，也就是说，重力G 的效果等价于1F 和2F 的 力的效果，即：12G F F =+,12G F F =+叫做把重力G 。
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量11e λ和22e λ，使1122a e e λλ=+。
而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来很大的方面。
在代数中我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x 轴和y 轴上分别取两个 向量i 和j ，则i j ⊥，且{},i j 可以作为一个基底。
由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a 在基底{},i j 下进行分解，从而对向量作进一步的研究。
既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对(),x y 来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立 对应关系。
那么，如果我们把向量也放入直角坐标系内，向量又能否用一个有序实数对来作为它的坐标呢？今天我们就在平面向量基本定理基础之上来探讨这个问题:平面向量的坐标运算【问题】如图所示：（1）写出A B 、两点的坐标； （2）若1i j ==，以向量,i j 为基底表示向量a 。
【交流】（1）()()__,__,__,__A B ；（2）__a i j =+。
【猜想】a 的坐标为 。
〖合作交流 解读探究〗j iaBA 43214321Oy x1、平面向量的坐标表示：一般地，在平面直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基向量（{},i j 为一个 基底）（单位正交基底：__i j ==，且__i j ）。
由平面向量基本定理知，对于平面内的任一向量a ，有且只有一对实数__,__使得：____a i j =+。
我们把有序实数对 叫做向量a 的（直角）坐标，记作：____a =。
其中 叫做a 在x 轴上的坐标（横坐标）， 叫做a 在y 轴上的坐标（纵坐标），()__,__a =叫做向量a 的坐标表示。
如图（1）【说明】（1）设__,__()___,_a i j a =+⇔=；（2）平面内的每一个向量的坐标是 的。
（3）()()()__,__,__,__,0__,__i j ===；（4）两向量相等的充要条件是它们对应的 相等。
即：若()()1122,,,a x y b x y ==，则()()1122,,a b x y x y =⇔=；如图（2）（5）相等的向量的坐标 ，但它们起点和终点的坐标可以对应不同。
（6）若OA a =，则()()(),,,a x y OA x y A x y =⇔=⇔。
即：起点在原点的向量的坐标与其终点的坐标 。
由此可知：在平面直角坐标系内，以原点O 为起点作OA a =，则点A 的位置由a 唯一 。
如图（3）（7）注意区分点的坐标的记法与向量的坐标的记法：点的坐标的记法是表示点的大写字母后面直接跟点的 ，如点(),A x y ；向量的坐标的记法是表示向量的字母和其坐标之间用 连接。
如向量(),a x y =。
【例1】课本96P 例2【思考】已知()()1122,,,a x y b x y ==，你能得出,,a b a b a λ+-的坐标吗？2、平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则： ①____________a b ±=； ②_______a λ=；③______________a b λμ±=。
【证明】()()1122,,,,_________,___________,a x y b x y a b ==∴==x x x_______________________________,______________________,____________________________,__________,_________,________________a b a a b i j a b a a b λλλμλμλλμ∴±=±===±=±=+∴±==±= 【例2】课本96P 例4 【练习1】课本100P 练习1、21。
已知向量a,b 的坐标，求a+b,a-b 的坐标：（1）a=(-2,4),b =(5,2); (2)a =(4,3),b =(-3,8); (3)a =(2,3),b =(-2,-3); (4)a=(3,0),b =(0,4). 解：（1）a b += + ＝ ；a b -= － ＝ 。
（2）a b += a b -= （3）a b += a b -= （4）a b += a b -= 2.已知a =(3,2),b=(0,-1),求－2a +4b, 4a+3b 的坐标。
解：24a b -+=-2( )+4( )=( )+( )=( ) 4a b += = = （2）若()()1122,,,A x y B x y ，则：()2121,AB x x y y =--。
【证明】如图，()()1122,,,,______,_______,A x y B x y OA OB ∴==________________________AB OB OA ∴=-=-=【练习2】课本100P 练习3【例3】课本97P 例5【练习3】已知()()()3,25,46,7A B C 、、，求以A B C 、、为顶点的平行四边形的另一个顶点D 的坐标。
〖应用迁移 巩固提高〗B (x x题型一：平面向量的坐标表示及运算【例1】（1）已知平面上三个点()()()4,67,51,8A B C 、、，求122AB AC AB AC AB AC AB AC +-+、、、、。
（2）已知()()1,2,3,4a b ==-，求,,34a b a b a b +--的坐标。
【变式1】已知()()1,2,2,1a b =-=，求：（1）23a b +；（2）3a b -；（3）1123a b -。
题型二：平面向量坐标的应用【例2】已知点()()()2,3,5,4,7,10A B C ，若第三象限的点P 满足AP AB AC λ=+，求实数λ的取值范围。
【变式2】（1）已知()()2,44,6A B -、，如果34,23AC AB BD BA ==，求,,C D CD 的坐标。
（2）已知点()()()0,0,1,2,4,5O A B 及OP OA t AB =+，求：①t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？②四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。
题型三：平面向量坐标的综合应用 【例3】（1）已知()()()2,3,3,1,10,4a b c =-==-，试用,a b 表示c 。
（2）如图，正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，四边形PECF 是矩形，用向量法证明：PA EF =。
yxP FED C BA【变式3】（1）已知()()()10,5,3,2,2,2a b c =-==-，试用,a b 表示c 。
（2）已知()()()()1,22,13,22,3A B C D --、、、，以AB AC 、为一组基底来表示AD BD + CD +〖当堂检测 随堂巩固〗1、设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -等于（ ）().7,3A ().7,7B ().1,7C ().1,3D2、已知向量()()3,2,5,1OA OB =-=--，则向量12AB 的坐标是（ ）1.4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1.4,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ().8,1C - ().8,1D3、已知四边形ABCD 的三个顶点()()()0,21,23,1A B C --、、，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（ ）7.2,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1.2,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ().3,2C ().1,3D4、已知向量()()()2,3,1,2,9,4a b p =-==，若p ma nb =+，则m n += 。
〖总结反思 拓展延伸〗1、在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系。
关系图如图所示：2、向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同。
当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同。
3、向量坐标形式的运算时，要牢记公式，细心计算，防止符号错误。
〖课后检测 信息反馈〗 1、课本101P 习题2.3A 组 1、2、3、4 B 组 12、课时活页规范训练〖板书设计〗 【教学反思】【课时活页规范训练】。