康托尔集合

康托尔三分集的性质及其证明

06级数学系本科班

祁晓庚

074001061050

摘要：简述康托尔三分集的定义，介绍它的六个性质并分别对每个性质进行证

明。

关键词：康托尔三分集

闭集 不可列 完全集

1、什么是康托尔三分集

将基本区间［0,1］用分点-，-与三等分，并除去中间的开区间（丄 上）

3

3

3

3

把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间（ 丄，-），（-，-）。

9

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然后再将余下的四个闭区间同法处理，如此等等。这样便得到康托尔三分集P 。 与开集G 0

。

P 。是G 。的补集

2、康托尔三分集的性质及证明

（1） P 。是一个闭集，不含有任何区间

这是显然的，G 。是任意个开集的并，所以G 。仍是开集，P 。是G 。的补

集，所以P 。是闭集。

这表明不含有任何区间的闭集是存在的

（2） P 。是完全集

证明：要证P 。是完全集即证它不含有孤立点。

假设P 。有一孤立点X 。，则存在（a ，B ）使（a ，B ）中不含P 。中除

X 。以外的任一点。

所以（a ，x 0 ） - G 0， （ x 0， B ）- G 0。

）

3 7

3

，

8 孑

25

3

3

1 2

U

（

孑，F ） 孚）

U (3)

于是X。将成为G。的某两个区间的公共端点，但由于G。的做法是不可能所以不存在这样的点X。，与假设矛盾，所以得证P o是完全集

（3）P o是不可列的

证明：假设P o是可列的，将P o中点编号成点列X i，X2，…，X k…，也

就是说，P o中任一点必在上述点列中出现。显然，0,丄与-,1中应

1 3」］3」

有一个不含有X i，用I i表示这个闭区间。将I i三等分后所得的左与右

两个闭区间中，应有一个不含X2，用°表示它。然后用13表示三等分° 时不含X3的左或右的那个闭区间，如此等等。这样，根据归纳法，得

到一个闭区间列｛1讣kN。由所述取法知，

l i 二丨 2 二…二I k 二…，X k? I k，k N，

同时，易见I k的长为 % T 0 （kT «）o于是根据数学分析中区间套

定理，存在点X ? I k，k? N。可是X是I k等的端点集的聚点，从而是

闭集P o的聚点，故X ? P o。由于上面已指出X k ? I k，k N，故X 1 X k，k? N。

这是一个矛盾。故P o不可列。

（4）P o的势等于a与［o,l］同势

1 2

证明：弓I进［o,i］中小数的三进表示来考察区间（-，-）中每个点X可

3 3

表示成X=o.i X2X3…，其中X2，X3，…是o，i，2三个数字中之一。这区间的两个端点均有两种表示，规定采用（不出现数字i）:

-，23=o.2ooo …，

i

3=o.o222

i 2 7 8

区间（―，飞），（盲，盲）中的点X可表示成x=o.oi X3 X4…或

3 3 3 3

X=o.2i X3 X4…，其中X3，X4，…是o, i, 2中任一数字。而区间端点

则采用（不出现数字i）:

%2 =0.0200…，%2 =0.2200…。

如此等等。根据归纳法分析可知，依上述规定，

G 0中的点的三进表示

中必有一位数字是1,且只有这样的点才属于G 0。因而P 。与集

X i X 2 X 3 …：每个 X k {0 , 2}}

且A 显然与［0,1］对等，故A 的势为a ，从而P 0

的势为a 。

(5) m P o =O

m F 0 =1- m G 0

=1-1=0

我们得到P 0是一个测度为零的不可列集。

(6) P 0

是稀疏集

因为p ° = P 0，不能包含R 中的任何一个邻域，所以p 。不在R 中的任何 一个邻域中稠密，故P 0

是稀疏集。

康托尔三分集因为具有以上特殊的性质，是一个很典型的特例能来说明实变 函数中的很多问题，在实变函数中占有很重要的地位。 参考文献:

［11郑维行 王声望编，实变函数与泛函分析概要(第三版)第一册, 北

京：高等教育出版社，2008.

【21胡长松主编，实变函数，北京：科学出版社， 2002.

牙=0.0022…,

=0.2022…,

A={0. 对应 证明：因为 G 0是开集由测度的定义有