2020年9年级数学周末课(函数强化)

2020年9年级数学周末课（函数强化）一．选择题（共3小题）1．如果我们把函数y＝ax2+b|x|+c称为二次函数y＝ax2+bx+c的“镜子函数”，那么对于二次函数C1：y＝x2﹣2x﹣3的“镜子函数”C2：y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法：①C2的图象关于y轴对称；②C2有最小值，最小值为﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与C2的图象有三个交点时，−134≤b≤﹣3中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=1 2，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（−52，y1），（52，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤14b＞m（am+b）（其中m≠12）．其中说法正确的是（）A．①②④⑤B．③④ C．①③ D．①②⑤3．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．解答题（共5小题）4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2√3），反比例函数y=kx（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD=12．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．5．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．6．如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx−125经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，抛物线y1＝ax2−12x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，34），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．8．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，√3≈1.73）2020年9年级数学周末课（函数强化）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如果我们把函数y＝ax2+b|x|+c称为二次函数y＝ax2+bx+c的“镜子函数”，那么对于二次函数C1：y＝x2﹣2x﹣3的“镜子函数”C2：y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法：①C2的图象关于y轴对称；②C2有最小值，最小值为﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与C2的图象有三个交点时，−134≤b≤﹣3中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据a2﹣2|a|﹣3＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣3进行判断；②化为顶点式y＝x2﹣2|x|﹣3＝（|x|﹣1）2﹣4，进而判断；③用反例法，如当m＝﹣4时，解方程得出解的情况，再进行判断；④由方程x2﹣2|x|﹣3＝x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝0有3个解，求出b的取值．【解答】解：①∵a2﹣2|a|﹣3＝（﹣a）2﹣2|﹣a|﹣3，∴C2：y＝x2﹣2|x|﹣3的图象关于y轴对称，故①正确；②∵y＝x2﹣2|x|﹣3＝（|x|﹣1）2﹣4，∴当|x|＝1即x＝±1时，y有最小值为﹣4，故②正确；③当m＝﹣4时，方程x2﹣2|x|﹣3＝m为x2﹣2|x|﹣3＝﹣4，可化为（|x|﹣1）2＝0，解得x＝±1，有两个不相等的实数根，此时m＝﹣4＜﹣3，故③错误；④∵直线y＝x+b与C2的图象有三个交点，∴方程x2﹣2|x|﹣3＝x+b，即x2﹣2|x|﹣x﹣3﹣b＝0有3个解，∴方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）与方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）一共有3个解，∴当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x ＜0）有两个相等的负数根；或当方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有两个不相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有一个负数根；或方程x2﹣3x﹣3﹣b＝0（x≥0）有一个非负数根或两个相等的非负数根，则方程x2+x﹣3﹣b＝0（x＜0）有两个不相等的负数根．即{△1=9+12+4b＞0x1⋅x2=−3−b≥0△2=1+12+4b=0x3⋅x4=−3−b＞0，或{△1=9+12+4b＞0x1⋅x2=−3−b≥0△2=1+12+4b＞0x3⋅x4=−3−b≤0或{△1=9+12+4b≥0x1⋅x2=−3−b≤0△2=1+12+4b≥0x3⋅x4=−3−b≥0，解得，b=−134，或b＝﹣3，或b＝﹣3，∴当b=−134或b＝﹣3时，直线y＝x+b与C2的图象有三个交点，故④错误；故选：B．【点评】本题是一个新定义题，主要考查了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的最值的应用，一元二次方程的根的判别式的应用，关键是把新定义的知识转化为已有熟悉的知识进行解答．2．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（−52，y1），（52，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤14b＞m（am+b）（其中m≠12）．其中说法正确的是（）A．①②④⑤B．③④C．①③D．①②⑤【分析】根据抛物线开口方向得到a＜0，根据抛物线的对称轴得b＝﹣a＞0，则2a﹣b＝0，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则abc＜0，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与x轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出c＝﹣2a，则得到﹣2b+c＝0，于是可对②进行判断；由于经过点（2，0），则得到4a+2b+c＝0，则可对③进行判断；通过点（−52，y1）和点（52，y2）离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=12，开口向下，得到当x=12时，y有最大值，所以14a+12b＞m（am+b）（其中m≠12），由a＝﹣b代入则可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=12，∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵对称轴为x=12，且经过点（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴ca=−1×2＝﹣2，∴c＝﹣2a，∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以②正确；∵抛物线经过点（2，0）∴x＝2时，y＝0，∴4a+2b+c＝0，所以③错误；∵点（−52，y1）离对称轴要比点（52，y2）离对称轴要远，∴y1＜y2，所以④正确．∵抛物线的对称轴为直线x=12，∴当x=12时，y有最大值，∴14a+12b+c＞am2+bm+c（其中m≠12），∴14a+12b＞m（am+b）（其中m≠12），∵a＝﹣b，∴−14b+12b＞m（am+b），∴14b＞m（am+b），所以⑤正确；故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对②进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，则根据二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y＝ax2+bx+c上的点（﹣1，﹣4）的对称点为（﹣5，﹣4），则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），即x＝﹣3时，函数有最小值，∴ax2+bx+c≥﹣6，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，而点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，∴m＜n，所以③错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），而抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，∴点（﹣1，﹣4）关于直线x＝﹣3的对称点（﹣5，﹣4）在抛物线上，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，所以④正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二．解答题（共5小题）4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2√3），反比例函数y=kx（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD=12．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．【分析】（1）求出D（32，2√3），再用待定系数法即可求解；（2）证明EBAB=BDBC，即可求解；（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH=√3，求出点F（1，√3），则点G （3，√3），即可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解．【解答】解：（1）∵B（2，2√3），则BC＝2，而BD=12，∴CD ＝2−12=32，故点D （32，2√3），将点D 的坐标代入反比例函数表达式得：2√3=k32，解得k ＝3√3，故反比例函数表达式为y =3√3x ， 当x ＝2时，y =3√32，故点E （2，3√32）；（2）由（1）知，D （32，2√3），点E （2，3√32），点B （2，2√3），则BD =12，BE =√32，故BDBC =122=14，EB AB =√322√3=14=BDBC ， ∴DE ∥AC ；（3）①当点F 在点C 的下方时，如下图，过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，∵四边形BCFG 为菱形，则BC ＝CF ＝FG ＝BG ＝2， 在Rt △OAC 中，OA ＝BC ＝2，OC ＝AB ＝2√3，则tan ∠OCA =AO CO =223=√33，故∠OCA ＝30°，则FH =12FC ＝1，CH ＝CF •cos ∠OCA ＝2×√32=√3，故点F （1，√3），则点G （3，√3），当x ＝3时，y =3√3x =√3，故点G 在反比例函数图象上；②当点F 在点C 的上方时， 同理可得，点G （1，3√3），同理可得，点G 在反比例函数图象上；综上，点G 的坐标为（3，√3）或（1，3√3），这两个点都在反比例函数图象上． 【点评】此题为反比例函数综合题，涉及到菱形的性质、解直角三角形、矩形的性质、平行线分线段成比例等知识点，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．5．如图1，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 过点A （﹣1，0），点B （3，0）与y 轴交于点C ．在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜3），过点E 作直线l ⊥x 轴，交抛物线于点M ． （1）求抛物线的解析式及C 点坐标；（2）当m ＝1时，D 是直线l 上的点且在第一象限内，若△ACD 是以∠DCA 为底角的等腰三角形，求点D 的坐标；（3）如图2，连接BM 并延长交y 轴于点N ，连接AM ，OM ，设△AEM 的面积为S 1，△MON 的面积为S 2，若S 1＝2S 2，求m 的值．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若△ACD 是以∠DCA 为底角的等腰三角形，则可以分CD ＝AD 或AC＝AD 两种情况，分别求解即可；（3）S 1=12×AE ×y M ，2S 2＝ON •x M ，即可求解．【解答】解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{−1−b +c =0−9+3b +c =0，解得{b =2c =3，故抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3， 当x ＝0时，y ＝3，故点C （0，3）；（2）当m ＝1时，点E （1，0），设点D 的坐标为（1，a ），由点A 、C 、D 的坐标得，AC =√(0+1)2+(3−0)2=√10，同理可得：AD =√a 2+4，CD =√1+(a −3)2，①当CD ＝AD 时，即√a 2+4=√1+(a −3)2，解得a ＝1； ②当AC ＝AD 时，同理可得a =±√6（舍去负值）； 故点D 的坐标为（1，1）或（1，√6）；（3）∵E （m ，0），则设点M （m ，﹣m 2+2m +3），设直线BM 的表达式为y ＝sx +t ，则{−m 2+2m +3=sm +t 0=3s +t，解得{s =−m −1t =3m +3， 故直线BM 的表达式为y ＝（﹣m ﹣1）x +3m +3，当x ＝0时，y ＝3m +3，故点N （0，3m +3），则ON ＝3m +3；S 1=12×AE ×y M =12×（m +1）×（﹣m 2+2m +3），2S 2＝ON •x M ＝（3m +3）×m ＝S 1=12×（m +1）×（﹣m 2+2m +3），解得m ＝﹣2±√7或﹣1（舍去负值）， 故m =√7−2．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．6．如图1，抛物线C ：y ＝ax 2+bx 经过点A （﹣4，0）、B （﹣1，3）两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180°，得到新的抛物线C ′．（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标； （2）如图2，直线l ：y ＝kx −125经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （m ＜﹣2），连接DO 并延长，交抛物线C ′于点E ，交直线l 于点M ，若DE ＝2EM ，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得∠DEP ＝∠GAB ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法将A （﹣4，0）、B （﹣1，3）代入y ＝ax 2+bx 中，即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标；（2）根据抛物线C 绕点O 旋转180°，可求得新抛物线C ′的解析式，再将A （﹣4，0）代入y ＝kx −125中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作DH ∥y 轴交直线l 于H ，过E 作EK ∥y 轴交直线l 于K ，由DE ＝2EM ，即可得ME MD =13，再证明△MEK ∽△MDH ，即可得DH ＝3EK ，建立方程求解即可；（3）连接BG ，易证△ABG 是Rt △，∠ABG ＝90°，可得tan ∠DEP ＝tan ∠GAB =13，在x 轴下方过点O 作OH ⊥OE ，在OH 上截取OH =13OE =√2，过点E 作ET ⊥y 轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；通过建立方程组求解即可． 【解答】解：（1）将A （﹣4，0）、B （﹣1，3）代入y ＝ax 2+bx 中，得{16a −4b =0a −b =3解得{a =−1b =−4∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x将A（﹣4，0）代入y＝kx−125中，得0＝﹣4k−125，解得k=−35，∴直线l解析式为y=−35x−125，设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，∴OD＝OE∵DE＝2EM∴OM＝2OD，过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，∴∠OFD＝∠ORM，∵∠DOF＝∠MOR∴△ODF∽△OMR∴OROF=RMDF=OMOD=2∴OR＝2OF，RM＝2DF ∴M（﹣2m，2m2+8m）∴2m2+8m=−35•（﹣2m）−125，解得：m1＝﹣3，m2=−2 5，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3√2，如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB=BGAB=√232=13，∵∠DEP＝∠GAB∴tan∠DEP＝tan∠GAB=13，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH=13OE=√2，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，则{3p+q=−3−p+q=−1，解得{p=−12q=−32∴直线EH解析式为y=−12x−32，解方程组{y=−12x−32y=−x2−4x，∴x=−7+√734或√73−74，∴点P的横坐标为：−7+√734或√73−74．【点评】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．7．如图1，抛物线y1＝ax2−12x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，34），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．【分析】（1）应用待定系数法求解析式；（2）设出点T坐标，表示△TAC三边，进行分类讨论；（3）设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．【解答】解：（1）由已知，c=34，将B（1，0）代入，得：a−12+34=0，解得a=−14，抛物线解析式为y1=−14x2−12x+34，∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），∴y2=−14（x﹣1）2，即y2=−14x2+12x−14．（2）存在，如图1：抛物线y 2的对称轴l 为x ＝1，设T （1，t ），已知A （﹣3，0），C （0，34），过点T 作TE ⊥y 轴于E ，则TC 2＝TE 2+CE 2＝12+（34−t ）2＝t 2−32t +2516，TA 2＝TB 2+AB 2＝（1+3）2+t 2＝t 2+16， AC 2=15316，当TC ＝AC 时，t 2−32t +2516=15316解得：t 1=3+√1374，t 2=3−√1374；当TA ＝AC 时，t 2+16=15316，无解； 当TA ＝TC 时，t 2−32t +2516=t 2+16，解得t 3=−778；当点T 坐标分别为（1，3+√1374），（1，3−√1374），（1，−778）时，△TAC 为等腰三角形．（3）如图2：设P （m ，−14m 2−12m +34），则Q （m ，−14m 2+12m −14）∵Q 、R 关于x ＝1对称∴R （2﹣m ，−14m 2+12m −14）， ①当点P 在直线l 左侧时， PQ ＝1﹣m ，QR ＝2﹣2m ， ∵△PQR 与△AMG 全等，∴当PQ ＝GM 且QR ＝AM 时，m ＝0，∴P （0，34），即点P 、C 重合．∴R （2，−14），由此求直线PR 解析式为y =−12x +34，当PQ ＝AM 且QR ＝GM 时，无解； ②当点P 在直线l 右侧时， 同理：PQ ＝m ﹣1，QR ＝2m ﹣2，则P （2，−54），R （0，−14），PQ 解析式为：y =−12x −14；∴PR 解析式为：y =−12x +34或y =−12x −14【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数性质、三角形全等和等腰三角形判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．8．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，√3≈1.73）【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB•sin67°＝520×1213=624013=480km，BD＝AB•cos67°＝520×513=260013=200km．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD•tan30°＝200×√33=200√33，∴AC＝AD+CD＝480+200√33≈480+115＝595（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．第1页（共1页）。