人教版高中数学必修四《1.5函数的图像》导学案1

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新人教A版必修4高中数学1.5函数图象第1课时学案

高中数学 1.5 函数y=Asin( )的图象第1课时学案新人教A版必修4【学习目标】（1）掌握ϕ和ω对函数y=Asin(φω+x)的图象的影响。

（2）深刻理解ω的系数不是1时函数y=Asin(φω+x)的图象的横向平移变换【重点难点】重点：A和ω对函数y=Asin(φω+x)的图象的影响。

难点：y=Asin(φω+x)中ω的系数不是1时的横向平移变换。

【学习内容】一、探索φ对y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响。

π)的图象并观察它们之间在同一坐标系下作出y=sinx与y=sin(x+3的关系。

结论：y=sin(x+φ)（其中）φ的图象，可以看作是把正弦曲线上所≠有的点向左（）或向右（）平移φ个单位而得到的。

练习：1、为了得到y=cos(x+31),x ∈R 的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点向平行移动个单位长度2、将y=sin(x+3π)的图象向平行移动个单位长度可以得到y=sin(x+4π)的图象二、探索ω（ω>0）对y=sin x ω的图象的影响。

在同一坐标系下作出y=sinx 与y=sin2x 的图象并观察它们之间的关系。

结论：函数y=sin ωx 的图象，可以看作是把y=sinx 的图象上所有点的缩短（）或伸长（）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。

练习：为了得到y=cos 5x ,x ∈R 的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（）A. 横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B. 横坐标缩短到原来的51倍，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的51倍，横坐标不变三、横向平移和伸缩的综合变换在同一坐标系下作出y=sin2x 与y=sin(2x+3π)的图象并观察它们之间的关系。

结论：(1)将y=sin2x 的图象向平移个单位得y=sin(2x+3π)的图象。

(2)将y=sin ωx （ω>0）的图象向左（）或向右（）平移个单位得到y=sin(ωx+φ)的图象练习：1、为了得到函数y=cos(2x+3π),x R ∈的图象，只需把函数y=cos2x, x R ∈的图象（）.A ．向左平行移动3π个单位 B ．向左平行移动6π个单位长度C 向右平行移动3π个单位长度D 向右平行移动6π个单位长度2、将函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式为3、将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的向左平移3π个单位，再将所得的图象横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式是4、为了得到函数y=cos2x 的图象，只需把函数y=sin2x 的图象【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位2．将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象向左平移π4个单位，所得图象的解析式是( )A ．y ＝cos2x ＋sin2xB ．y ＝cos2x －sin2xC ．y ＝sin2x －cos2xD ．y ＝cos x ·sin x3．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值( )A.16B.14C.13D.12 4.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的向左平移3π个单位，再将所得的图象横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的僻析式是（）A 、x y 21sin =B 、)621sin(π-=x yC 、)321sin(π-=x yD 、)32sin(π-=x y5.将函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式为（） A ．1sin()26y x π=-B ．1sin()23y x π=-C ．1sin2y x = D ．sin(2)6y x π=-6.要得到y ＝sin(53x π-)的图象，只要将y ＝sin(53x π+)的图象 ( )A ．向左平移56π个单位 B ．向右平移56π个单位C ．向左平移52π个单位D ．向右平移52π个单位7.将函数y ＝sin(-x)的图象向右平移2个单位，所得图象的解析式是 ( )A ．y ＝-sin(x+2)B ．y ＝sin(x+2)C ．y=sin(2-x)D ．y ＝-sin(2-x) 8.要得到y ＝sin(-21x)的图象，只要将y ＝sin(-21x-6π)的图象( )A ．向左平移3π个单位B ．向右平移3π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位9.由y=sinx 的图象变换到y=3sin(2x+4π)的图象主要有两个过程：先平移后伸缩或先伸缩后平移，前者需向左平移个单位，后者需向左平移个单位。

【高中数学必修四】复习讲义专题1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

第一章三角函数1.5 函数()sin y A x ωϕ=+的图象一、,,A ϕω对函数()sin y A x ωϕ=+的图象的影响 1．(0)ϕϕ≠对函数sin()y x ϕ=+的图象的影响()sin y x ϕ=+（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向（当φ<0时）或向（当φ>0时）平行移动ϕ个单位长度而得到的. 2．(0)ωω>对函数sin()y x ωϕ=+的图象的影响函数sin()y x ωϕ=+（其中ω>0)的图象，可以看作是把函数sin()y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（当0<ω<1时）或（当ω>1时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到的.3．(0)A A >对函数sin()y A x ωϕ=+的图象的影响函数sin()y A x ωϕ=+（其中A >0）的图象，可以看作是把函数sin()y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（当A >1时）或缩短（当0<A <1时）到原来的倍（横坐标不变）而得到的. 4．函数sin y x =到函数sin()y A x ωϕ=+(其中0,0A ω>>)的图象变换将函数sin y x =的图象变换得到函数sin()y A x ωϕ=+（其中0,0A ω>>）的图象的过程为: （1）作出函数sin y x =在长度为2π的某闭区间上的简图;（2）将图象沿x 轴向左或向右平移ϕ个单位长度，得到函数sin()y x ϕ=+的简图；（3）把曲线上各点的横坐标伸长或缩短到原来的1ω倍，得到函数sin()y x ωϕ=+的简图;（4）把曲线上各点的纵坐标伸长或缩短到原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的简图; （5）沿x 轴扩展得到函数sin()y A x ωϕ=+，x ∈R 的简图. 由y ＝sin x 变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的方法：（1）先平移后伸缩：（2）先伸缩后平移：二、函数(),[)sin 0,y A x x ωϕ∈++∞=(其中0,0A ω>>)中各量的物理意义物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数sin()y A x ωϕ=+中的常数有关： A ：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为（amplitude of vibration ）. T ：2πT ω=,它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为 (period).f ：12πf T ω==，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为 (frequency). x ωϕ+：称为 (phase).ϕ：x =0时的相位，称为 (initial phase).简记图象变换名称及步骤（1）函数y ＝sin x 到y ＝sin(x ＋φ)的图象变换称为相位变换；（2）函数y ＝sin x 到y ＝sin ωx 的图象变换称为周期变换；（3）函数y ＝sin x 到y ＝A sin x 的图象变换称为振幅变换．（4）函数y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换途径为相位变换→周期变化→振幅变换或周期变换→相位变化→振幅变换．K 知识参考答案：一、1．右左2．缩短3．A二、振幅周期频率相位初相K —重点函数图象的变换以及由图象确定函数解析式 K —难点函数()sin y A x ωϕ=+的性质的应用 K —易错不能正确理解三角函数图象的变换规律致错1．函数图象的变换函数图象的平移变换解题策略：（1）对函数sin y x =，(n )si y A x ωϕ=＋或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.（3）确定函数sin y x =的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出,,A ωϕ的值.（4）由(n )si y A x ωϕ=＋的图象得到sin y x =的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到. 【例1】要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象 A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【答案】B【解析】因为y ＝sin(4x －π3)＝sin[4(x －π12)]，所以要得到y ＝sin[4(x －π12)]的图象，只需将函数y ＝sin 4x的图象向右平移π12个单位．故选B ．【例2】将函数sin y x =的图象沿x 轴向右平移10π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A ．sin(2)10y x π=- B ．sin(2)5y x π=-C ．1sin()210y x π=-D ．1sin()220y x π=-【答案】C【解析】将函数sin y x =的图象沿x 轴向右平移10π个单位长度，得sin()10y x π=-的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得1sin()210y x π=-．故选C ．【名师点睛】三角函数图象的平移变换要注意平移方向与φ的符号之间的对应，横坐标的变化与ω的关系，此类问题很容易混淆规律导致错误. 2．由函数图象确定函数解析式结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法：（1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2πTω=. （3）求φ，常用方法有：【例3】如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．【解析】(逐一定参法)由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上，∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ， ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 【名师点睛】给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法：（1）第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.（2）特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．（3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．【例4】已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【答案】62【解析】由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2.又函数图象经过点(π3，0)，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以f (0)＝2sin π3＝62.【名师点睛】根据函数图象确定函数解析式，关键是准确把握解析式中的各个参数在图象中的特征体现. 确定φ一般采用函数图象上的最值点的坐标来处理，也可用五点作图法中的五点来解决，这样避免产生增解.3．函数()sin y A x ωϕ=+的性质的应用函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性： ①对称轴与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k π－φω(k ∈Z )．②对称中心与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫k π－φω，0(k ∈Z )成中心对称．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫(2k ＋1)π－2φ2ω，0(k ∈Z )成中心对称．【例5】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，图象关于直线x ＝π3对称．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数f (x )的单调递增区间；（3）在给定的坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．（2）由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z .（3）列表如下：x 0 π12 π3 7π12 5π6 π y－121－1－12描点、作图．【例6】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．【解析】由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称， ∴当x ＝0时f (x )取得最值，即sin φ＝1或－1. 依题设0≤φ≤π，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知sin(3π4ω＋π2)＝0，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z .又f (x )在[0，π2]上是单调函数，∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2.又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.【名师点睛】此类题目是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的综合应用，往往涉及单调性、奇偶性、对称性、最值等．求解时要充分结合函数的性质，把性质转化为参数的方程或不等式． 4．不能正确理解三角函数图象变换规律【例7】为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位【错解】选B ．y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ．【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．【答案】A【试题解析】y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．1．要得到y =sin2x 的图象，只需将y =cos2x 的图象A ．向左平移π4个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位 2．将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2B ．1C ．12D ．143．已知函数f （x ）=sin （2x +φ）（–π<φ<0），将函数f （x ）图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P （0，1），则函数f （x ）=sin （2x +φ） A ．在区间[–ππ63，]上单调递减B ．在区间[–ππ63，]上单调递增C ．在区间[ππ36-，]上单调递减D ．在区间[ππ36-，]上单调递增4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则函数f (x )的解析式是A ．f (x )＝2sin(1011x ＋π6)B ．f (x )＝2sin(1011x －π6)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)D ．f (x )＝2sin(2x －π6)5．将函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π3个长度单位，所得函数图象的一个对称中心为 A ．()0,0B ．π,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．π,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．(π,0)6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.7．已知函数f (x )＝3sin(3x ＋π3)表示一个振动．（1）求这个振动的振幅、周期、初相；（2）说明函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换可得到函数f (x )的图象．8．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0，|φ|<π2)在其一个周期内的图象上有一个最高点(π12，3)和一个最低点(7π12，－5)，求这个函数的解析式．9．函数f (x )＝3sin(2x ＋π6)的部分图象如图所示．（1）写出f (x )的最小正周期及图中x 0、y 0的值；（2）求f (x )在区间[－π2，－π12]上的最大值和最小值．10．要得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点A ．向左平移π8个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变） B ．向左平移π4个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）C ．向左平移π8个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）D ．向左平移π4个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）11．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移π3个单位长度 B ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位长度C ．先向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D ．先向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）12．先把函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再把新得到的图象向左平移π6个单位长度,得到y =g (x )的图象，当π5π,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,函数g (x )的值域为A ．3⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C ．33⎛ ⎝⎭D ．[)1,0-13．已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π,04M ⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间[]0,π上是单调函数，则ωϕ+=A ．π223+ B ．π22+ C ．π322+D ．π1023+14．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象为M ，则下列结论中正确的是 A ．图象M 关于直线π12x =-对称 B ．将2sin2y x =的图象向左平移π6个单位长度得到MC ．图象M 关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称D ．()f x 在区间π5π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 15．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移7π24个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间π,3θ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(π3θ>-)上的值域为[]1,2-，则θ等于A ．π6 B ．π4 C ．2π3D ．7π1216．已知函数()()sin (0,0π)f x A x A ϕϕ=+><<的最大值是1，其图象经过点π1,32M ⎛⎫⎪⎝⎭，则3π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 17．已知把函数x x g 2sin 2)(=的图象向右平移π6个单位，再向上平移一个单位得到函数)(x f 的图象．（1）求)(x f 的最小值及取最小值时x 的集合；（2）求)(x f 在π[0,]2x ∈时的值域；（3）若)()(x f x -=ϕ，求)(x ϕ的单调增区间．18．某同学用“五点法”画函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式为()f x = （直接写出结果即可）；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）求函数()f x192y =的两相邻交点之间的距离为π，且（1）求()y f x =的解析式；（2）先将函数()f x 2倍，得到函数()g x 的图象.求()g x 的单调递增区间以及()g x ≥x 的取值范围.20．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示．（1）求f (x )的解析式；（2）把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？21．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. （1）在该函数的图象的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；（2）将该函数的图象向右平移φ个单位长度后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．22．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π2， 2，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫3π2，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.（1）试求这条曲线的函数解析式；（2）写出函数的单调区间．23．已知函数f（x）=A sin（ωx+φ），（A>0，ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式及f（x）图象的对称轴方程；（2）把函数y=f（x）图象上点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位，得到函数y=g（x）的图象，求关于x的方程g（x）=m（0<m<2）在x∈[π11π33，]时所有的实数根之和．24．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）–b（ω>0，0<φ<π）的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f（x）的图象先向右平移π63g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的对称轴及单调增区间；（3）若对任意x∈[0，π3]，f 2（x）–（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．25．（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cos x–sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．π26．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C227．（新课标Ⅰ）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x，ωϕωϕ=>≤=-为()f x的零点，π4x=为()y f x=图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．528．（新课标Ⅰ）将函数y =2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 A ．y =2sin(2x +π4) B ．y =2sin(2x +π3)C ．y =2sin(2x –π4)D ．y =2sin(2x –π3)29．（新课标Ⅱ）函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则A ．y ＝2sin(2x －π6)B ．y ＝2sin(2x －π3)C ．y ＝2sin(x ＋π6)D ．y ＝2sin(x ＋π3)30．（新课标Ⅱ）若将函数y =2sin 2x 的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A ．x =26k ππ-(k ∈Z ) B ．x =26k ππ+(k ∈Z )C ．x =212k ππ-(k ∈Z )D ．x =212k ππ+(k ∈Z )31．（2018•江苏）已知函数y =sin （2x +φ）（–π2<φ<π2）的图象关于直线x =π3对称，则φ的值为______．32．（2018•北京）设函数f （x ）=cos （ωx –π6）（ω>0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为_____________．1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 26 27 28 29 30 BBBCABCAACBDBDAB1．【答案】B【解析】y =cos2x =sin （2x +π2）=sin2（x +π4）．所以将函数y =cos2x 的图象向右平移π4个单位，可得函数y =sin[2（x –π4）+π2]=sin2x 的图象，故选B ． 2．【答案】B【解析】将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=k π+π2，k ∈Z ，即ω=–31–22k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ．4．【答案】C【解析】∵f (0)＝1，∴2sin φ＝1，∴sin φ＝12，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，又ω×11π12＋π6＝2π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．5．【答案】A【解析】将函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到1πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再向左平移π3个长度单位，得到1π1cos sin 222y x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象.将选项代入验证可知A 选项符合.6．【答案】π4【解析】由题意可知，函数f (x )的最小周期T ＝2(5π4－π4)＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)．又∵x ＝π4是函数f (x )的图象的一条对称轴，∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .∵0<φ<π，∴φ＝π4.7．【解析】（1）振幅A ＝3，周期T ＝2π3，初相φ＝π3.（2）先将函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位，得到y ＝sin(x ＋π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(3x ＋π3)的图象；最后将所得图象上所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变)，即可得到f (x )＝3sin(3x ＋π3)的图象．8．【解析】由一个周期内的图象上有一个最高点(π12，3)和一个最低点(7π12，－5)，得A ＝12(y max －y min )＝12×(3＋5)＝4，b ＝12(y max ＋y min )＝12×(3－5)＝－1，T 2＝7π12－π12＝π2，即T ＝π.由T ＝2πω，得ω＝2. ∴y ＝4sin(2x ＋φ)－1. ∴2×π12＋φ＝π2+2kπ，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π3，故所求函数的解析式为y ＝4sin(2x ＋π3)－1.【思路点拨】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中A >0，ω>0)的图象可看作把y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的图象向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个长度单位得到的．由图象可知，取最大值与最小值时相应的x 值之差的绝对值只是半个周期，由此可得出A 、b ，进而再求ω、φ. 9．【解析】（1）f (x )的最小正周期为2π2＝π.∵(x 0，y 0)是最大值点，令2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，结合图象得x 0＝7π6，y 0＝3.（2）因为x ∈[－π2，－π12]，所以2x ＋π6∈[－5π6，0]．于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.10．【答案】B【解析】由题可知，正弦型为sin()y A x ωϕ=+，其中，A 代表振幅，ω用来控制函数的横坐标变化，ϕ用来控制函数的左右移动，本题是先平移再伸缩，先向左平移π4个单位长度，得到π2sin()4y x =+的图象，再把横坐标缩短为原来的12倍，得到π2sin(2)4y x =+，故选B ．【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 11．【答案】C【解析】根据函数(f 故可以把函数()f x 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到2sin y x =函数的图象，故选C ． 12．【答案】A【解析】依题意得()1πππsin 2sin 2636g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当π5π,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，x －π6∈π2π()33-，，所以πsin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∈⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，即函数g (x )的值域是.⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ 【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos ,cos sin 22αααα⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论平移还是伸缩变换，总是对变量x 而言. 13．【答案】A【解析】由于()f x 是R 上的偶函数，且0πϕ≤≤()f x 在区间[]0,π上是单调函数，且0ω>A ．【方法点睛】本题主要通过求三角函数的解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用三角函数性质求解析式的方法：（1）利用最值求出A ；（2）利用周期公式求出ω；（3）利用特殊点或对称性求出ϕ.在求解每一个参数时，一定根据题设条件，考虑参数的范围，这样才能保证解析式的唯一性. 14．【答案】C【解析】将2sin 2y x =的图象向左平移,故B 错；()f x D 错；π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭M A 错误，C 正确，故选C ． 15．【答案】B【解析】由图象可知，π2,π,2,4A T ωϕ=-===，所以()()()π7πππ2sin 22sin 2,2sin 242443f x x g x x g x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，，当π,3x θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（π3θ>-）时，ππ2π,233x θ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为值域里有12，所以ππ236θ-=，π4θ=，选B ．【名师点睛】本题学生容易经验性的认为2A =,但此时ϕ在π2ϕ<内无解，所以2A =-. 已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式：(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2π,.T ωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求.16．【答案】2-【解析】由函数()()sin (0,0π)f x A x A ϕϕ=+><<，x ∈R 的最大值是1，得1A =；又其图象经过点π1,32M ⎛⎫⎪⎝⎭，∴π1sin 32ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ππ2π36k ϕ+=+或π5π2π36k ϕ+=+，k ∈Z ；∴π2π6k ϕ=-+或π2π2k ϕ=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，∴π2ϕ=，∴()πsin cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.∴3π3πcos 442f ⎛⎫==-⎪⎝⎭.故答案为2-． 17．【解析】（1）由已知得π()2sin(2)13f x x =-+．当πsin(2)13x -=-时，()f x 取得最小值211-+=-，此时ππ22π,32x k k -=-+∈Z ，即ππ,12x k k =-∈Z ，故)(x f 取最小值时x 的集合为π{|π,}12x x k k =-∈Z ．（2）当π[0,]2x ∈时，ππ2π2[,]333x -∈-，所以πsin(2)13x ≤-≤，从而π12sin(2)133x ≤-+≤，即)(x f 的值域为[1,3]．（3）()()ππ2sin 212sin 2133φxf x x x ⎛⎫=-=--+=-++ ⎪⎝⎭(),即求函数πy x =+2sin(2)3的单调递减区间．令πππππk x k k +≤+≤+∈Z 3222,232，解得ππππk x k k +≤≤+∈Z 7,1212，故)(x ϕ的单调增区间为()ππππk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 7,1212． 18．【解析】（1）故解析式为()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2，k ∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（3）因为π02x -≤≤，所以5πππ2666x -≤+≤，所以π11sin 262x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.所以当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 2-.当ππ266x +=，即0x =时，()f x 1. 【名师点睛】本题主要考查由函数sin y A x ωϕ=+（）的部分图象求解析式，并研究函数的性质，属于基础题．（1）由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的单调递增区间．（3）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（2）由（1）可得()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴()π2sin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π2π262k x k -≤+≤+，得2ππ2π2π33k x k -≤≤+，k ∈Z ， ∴()g x 的单调递增区间为2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， ∵π2sin 36x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， ∴π3sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， ∴ππ2π2π2π363k x k +≤+≤+，k ∈Z ， ∴x 的取值范围为ππ|2π2π, 62x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z . 【名师点睛】本题考查了函数的基本性质的综合应用问题，解答中涉及正弦型函数的单调性、周期和对称性的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理、运算能力.其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键. （1）由已知可得πT =，进而求解ω值，再根据()f x 的图象关于π3x =对称，求解ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）可得()π2sin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的图象与性质，即可求解()g x 的单调递增区间以及()3g x ≥时x 的取值范围.21．【解析】（1）由2x ＋2π3＝k π，得函数的对称轴方程是x ＝－π3＋k π2，k ∈Z .所以函数的图象离y 轴距离最近的那条对称轴方程为x ＝π6.（2）将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数图象的解析式是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ. 因为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ的图象关于原点对称，所以2π3－2φ＝π2＋k π.所以φ＝π12－k π2，k ∈Z . 所以φ的最小正值是π12．22．【解析】（1）依题意，A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫3π2－π2＝4π， ∵T ＝2π|ω|＝4π，ω＞0，∴ω＝12.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.∵曲线上的最高点为⎝⎛⎭⎫π2，2，∴sin ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＝1. ∴φ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z .∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4.（2）令2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z )．令2k π＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，∴4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z )．23．【解析】（1）由图象知，周期T =11π12–（–π12）=π，∴ω=2πT=2．∵点（–π12，0）在函数图象上， ∴A sin （–2×π12+φ）=0，即sin （φ–π6）=0，又∵–π2<φ<π2，∴–2π3<φ–ππ63<，从而φ=π6．又∵点（0，1）在函数图象上，∴1=A sinπ6，∴A =2．故函数f （x ）的解析式为f （x ）=2sin （2x +π6）．令2x +π6=k π+π2，k ∈Z ，解得x =π2k +π6，k ∈Z ．即为函数f （x ）图象的对称轴方程．（2）依题意，得g （x ）=2sin （x +π3）， ∵g （x ）=2sin （x +π3）的周期T =2π， ∴g （x ）=2sin （x +π3）在x ∈[–π3，11π3]内有2个周期．令x +π3=k ππ2+（k ∈Z ），则x =π6+k π（k ∈Z ），即函数g （x ）=2sin （x +π3）的对称轴为x =π6+k π（k ∈Z ）．又x ∈[π11π33-，]，则x +π3∈[0，4π]，且0<m <2，所以g （x ）=m ，（0<m <2）在x ∈[π11π33-，]内有4个实根，不妨从小到大依次设为x i （i =1，2，3，4），则12π26x x +=，3413π26x x +=． ∴关于x 的方程g （x ）=m （0<m <2）在x ∈[π11π33-，]时，所有的实数根之和为x 1+x 2+x 3+x 4=14π3． 24．【解析】（1）由2ππ22ω=⨯可得ω=2，则f （x ）=sin （2x +φ）+b ，又()πsin 26g x x b ϕ⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0<φ<π，则π3b ϕ==，()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）结合（1）的结论可得对称轴满足ππ2π32x k k +=+∈Z ，，据此可得对称轴方程为ππ122k x k =+∈Z ，，函数的增区间满足()πππ22π2π322x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，，故增区间为()5ππππ1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．（3）因为π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以()()111f x f x ≤--≤而f 2（x ）–（2+m ）f （x ）+2+m ≤0恒成立，整理可得()()111m f x f x ≤+--，由()1313f x --≤-≤-，得()()13314311f x f x --≤+-≤--，故133m --≤，即m 取值范围是133⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭，． 25．【答案】C【解析】f （x ）=cos x –sin x =–（sin x –cos x ）=–2sin （x –π4），由–π2+2k π≤x –π4≤π2+2k π，k ∈Z ，得–π4+2k π≤x ≤3π4+2k π，k ∈Z ，取k =0，得f （x ）的一个减区间为[–π4，3π4]，由f （x ）在[0，a ]是减函数，得a ≤3π4．则a 的最大值是3π4．故选C ．26．【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D ．【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.【名师点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图象关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-. 28．【答案】D【解析】函数2sin(2)6y x π=+的周期为π，将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为2sin[2())]2sin(2)463y x x πππ=-+=-，故选D.【名师点睛】函数图象的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x 而言的,不要忘记乘以系数. 29．【答案】A【解析】由题图知，2A =，最小正周期ππ2[()]π36T =--=，所以2π2πω==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点π(,2)3，所以π22sin(2)3ϕ=⨯+，所以2πsin()13ϕ+=，所以2ππ2π()32k k ϕ+=+∈Z ，令0k =，得π6ϕ=-，所以π2sin(2)6y x =-，故选A. 【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值． 30．【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图象向左平移π12个单位长度得函数ππ2sin 2()2sin(2)126y x x =+=+的图象，则平移后函数图象的对称轴为ππ2π,62x k k +=+∈Z ，即ππ,62k x k =+∈Z ，故选B. 【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加或减多少值，而不是依赖于ωx 加或减多少值． 31．【答案】D【解析】由图象可知，1π++2π42()53π++2π42m m m ωϕωϕ⎧=⎪⎪∈⎨⎪=⎪⎩Z ，解得=πω，π=+2π()4m m ϕ∈Z ，所以ππ()cos(π+2π)=cos(π)()44f x x m x m =++∈Z ，令π2ππ2ππ,4k x k k <+<+∈Z ，解得124k -<x <324k +,k ∈Z ,故函数()f x 的单调减区间为（124k -，324k +）,k ∈Z ,故选D ． 31．【答案】–π6【解析】∵y =sin （2x +φ）（–π2<φ<π2）的图象关于直线x =π3对称，∴2×π3+φ=k π+π2，k ∈Z ，即φ=k π–π6，∵–π2<φ<π2，∴当k =0时，φ=–π6，故答案为：–π6．32．【答案】23【解析】函数f （x ）=cos （ωx –π6）（ω>0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ππ2π46k ω⋅-=，k ∈Z ，解得ω=283k +，k ∈Z ，ω>0，则ω的最小值为：23．故答案为：23．。

2019-2020年高中数学1.5函数y=Asin(wx+)的图象教案新人教A版必修4

2019-2020年高中数学1.5函数y=Asin(wx+)的图象教案新人教A版必修4一、教学分析本节通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.二、教学目标：1、知识与技能借助计算机画出函数y＝Asin(ωx+φ) 的图象，观察参数Φ，ω，A对函数图象变化的影响；引导学生认识y＝Asin(ωx+φ) 的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程.2、过程与方法通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索, 让学生体会研究问题时由简单到复杂, 从具体到一般的思路, 一个问题中涉及几个参数时，一般采取先“各个击破”后“归纳整合”的方法.3、情感态度与价值观经历对函数y＝sin x到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索过程,体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想; 培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.三、教学重点、难点：重点：将考察参数Α、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响的问题进行分解，找出函数y＝sin x 到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图.难点：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的理解．四、教学设想：函数y=Asin(ωx+φ)的图象（一）（一）、导入新课思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象.思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.（二）、推进新课、新知探究、提出问题①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？②分别在y=sinx和y=sin(x+)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图象,看看与y ＝sinx的图象是否有类似的关系？③你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象.④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+).⑤类似地,你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令ω=2,φ=.此时,可以对A任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系.⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合.图1问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图象,并探究它与y=sinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y 值,y=sin(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、x B-x A、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+)的图象,可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=,用同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图象重合.如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论:y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+)为参照,把y=sin(2x+)的图象与y=sin(x+)的图象作比较,取点A、B观察.发现规律:图2如图2,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω=,让学生自己比较y=sin(x+)的图象与y=sin(x+)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(x+)的图象.当取ω为其他值时,观察相应的函数图象与y=sin(x+)的图象的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系,得出结论:函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.图3问题⑤,教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索ω、φ对图象的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如图3,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+)的图象,可以看作是把y=sin(2x+)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y＝sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.（三）、讨论结果:①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A 对函数图象的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察.②略②略.③图象左右平移,φ影响的是图象与x轴交点的位置关系.④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形状.⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状.（四）、规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx 的图象个单位长度平移或向右向左||)0()0(ϕϕϕ−−−−−−→−<>得y=sin(x+φ)的图象 )(1)1()10(纵坐标不变到原来或缩短横坐标伸长ωωω−−−−−−−−→−><<得y=sin(ωx+φ)的图象 )()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A −−−−−−−−→−<<>得y=Asin(ωx+φ)的图象. 先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx 的图象)()10()1(横坐标不变倍这原来的或缩短纵坐标伸长A A A −−−−−−−−→−<<>得y=Asinx 的图象 )(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω−−−−−−−−→−><<得y=Asin(ωx)的图象个单位平移或缩短向左||)1()0(ωϕωϕ−−−−−−→−>>得y=Asin(ωx+φ)的图象.（五）、应用示例例1 画出函数y=2sin(x-)的简图.活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.(1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ＝,ω＝,A ＝2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图象的过程:只需把y ＝sinx 的曲线上所有点向右平行移动个单位长度,得到y=sin(x-)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图象,如图4所示.图4(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(x-),简图的方法,教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.解:方法一:画出函数y=2sin(x-)简图的方法为y=sinxy=sin(x-)y=sin(x-)倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变2−−−→−y=2sin(x-).方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为y=sinxy=sinxy=2sinxy=2sin(x-)=2sin(x-).方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象) 令X=x-,则x=3(X+).列表:X0 π 2π X2π 5π Y 0 2 0 -2 0 描点画图,如图5所示.图5点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想由X 取0,,π,,2π来确定对应的x 值.（六）、课堂小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+)的图象,并分别观察参数φ、ω、A 对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.（七）、作业函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）（一）、导入新课思路1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,φ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课.思路2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(x-)的简图,学生动手画图,教师适时的点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课.（二）、推进新课、新知探究、提出问题①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时,列表中最关键的步骤是什么？②(1)把函数y＝sin2x的图象向_____平移_____个单位长度得到函数y＝sin(2x－)的图象；(2)把函数y＝sin3x的图象向_______平移_______个单位长度得到函数y＝sin(3x＋)的图象；(3)如何由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝sin(2x+)的图象？③将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度,所得到的曲线是y=sinx的图象,试求函数y=f(x)的解析式.对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.甲：所给问题即是将y=sinx的图象先向右平移个单位长度,得到y=sin(x-)的图象,再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=sin(2x-),即y=cos2x的图象,∴f(x)=cos2x.乙：设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+φ)的图象,再将所得的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin(x++φ)=sinx,∴A=,=1,+φ=0,即A=,ω=2,φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.丙：设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(x+φ)的图象,再将所得的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin[(x+)+φ]=Asin(x++φ)= sinx,∴A=,=1,+φ=0.解得A=,ω=2,φ=-,∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障.问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力.问题③,甲的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由y=sinx变换到y=f(x),解答正确.乙、丙都是采用代换法,即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误,就是将y=Asin(x+φ)的图象向左平移个单位长度时,把y=Asin(x+φ)函数中的自变量x变成x+,应该变换成y=Asin[(x+)+φ],而不是变换成y=Asin(x++φ),虽然结果一样,但这是巧合,丙的解答是正确的.三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体,令其分别为0, ,π, ,2π.②(1)右, ；(2)左, ；(3)先y＝sinx的图象左移,再把所有点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变).③略.提出问题①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图象,你能说出简谐运动的函数关系吗？②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A、ω、φ有何关系.活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常数A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f==给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相.讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.②略.（三）、应用示例例1 图7是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?(3)写出这个简谐运动的函数表达式.图7活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A在图象上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A等参数在图象上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充.解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为.(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示完成了一次往复运动.(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),那么A=2;由=0.8,得ω=;由图象知初相φ=0.于是所求函数表达式是y=2sinx,x∈［0,+∞).点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法.变式训练函数y=6sin(x-)的振幅是,周期是____________,频率是____________,初相是___________,图象最高点的坐标是_______________.解:6 8π(8kπ+,6)(k∈Z)例2 若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(,3)和一个最低点(,-5),求这个函数的解析式.活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图象,它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图象的关系,它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|个单位.由图象可知,取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图象,不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π,如不注明,就取离y轴最近的一个即可.解:由已知条件,知y max=3,y min=-5,则A=(y max-y min)=4,B= (y max+y min)=-1,=-=.∴T=π,得ω=2.故有y=4sin(2x+φ)-1.由于点(,3)在函数的图象上,故有3=4sin(2×+φ)-1,即sin(+φ)=1.一般要求|φ|<,故取+φ=.∴φ=.故所求函数的解析式为y=4sin(2x+)-1.点拨:这是数形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图,结合图象可直接求得A、ω,进而求得初相φ,但要注意初相φ的确定.求初相也是这节课的一个难点.变式训练已知函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)一个周期的图象如图8所示,求函数的解析式.解:根据“五点法”的作图规律,认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择对应的方程ωx i+φ=0,,π,,2π(i=1,2,3,4,5),得出φ的值.方法一:由图知A=2,T=3π,由=3π,得ω=,∴y=2sin(x+φ).由“五点法”知,第一个零点为(,0),∴·+φ=0φ=-,故y=2sin(x-).方法二:得到y=2sin(x+φ)同方法一.由图象并结合“五点法”可知,(,0)为第一个零点,(,0)为第二个零点.∴·+φ=πφ=.∴y=2sin(x-).点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用ωx1+φ=0或ωx2+φ=π求出φ.2.xx海南高考,3函数y=sin(2x-)在区间［,π］上的简图是( )图9答案:A（四）、课堂小结1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值.2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,这种题目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名,则将异名函数化为同名函数,且需x的系数相同.左右平移时,如果x前面的系数不是1,需将x前面的系数提出,特别是给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题型.有时从寻找“五点法”中的第一零点(,0)作为突破口,一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置.（五）、作业.。

高中数学《函数的概念》导学案

第一章集合与函数概集合 1.2.1 函数的概念一、学习目标1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素；2.会判断给出的两个函数是否是同一函数；3.能正确使用区间表示数集，会求函数定义域、值域及函数相等的判断。

【重点、难点】重点：理解函数的概念，用区间符号正确表示数的集合；难点：对函数概念及符号y=f(x)的理解，求函数定义域和值域。

二、学习过程【情景创设】初中的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。

【导入新课】问题1：对教科书中第15页的实例(1)，你能得出炮弹飞行1s,5s,10s,20s 时距地面多高吗？其中t 的取值范围是什么？(点拨：用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t 和h 的范围)解:h(1)= ，h(5)= ， h(10)= ， h(20)= 炮弹飞行时间t 的变化范围是数集{026}A x x =≤≤，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集{0845}B h h =≤≤，对应关系21305h t t =- （*）。

从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应。

问题2：对教科书中第15页的实例(2)，你能从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞面积大约为2000万平方千米？其中t 的取值范围是什么？(点拨：用图像刻画变量之间的对应关系)。

例子（2）中数集{19792001}A t t =≤≤，{026}B S S =≤≤，并且对于数集A 中的任意一个时间t ，按图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应。

高中数学新课标人教A版必修四《1.5函数的图像》课件

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
第十二页，编辑于星期一：点十分。
“第五点”(即图象第二次上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝2π. 在用以上方法确定 φ 的取值时，还要注意题目中给出的 φ 的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
第十三页，编辑于星期一：点十分。
(3)从寻找“五点法”中的第一零点－ωφ ，0(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，从而确定 φ. 依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π；
规律方法由 y＝sin x 的图象通过变换可得到 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象，其变化途径有两条；两种途径的变换顺序不同，其变换的量也不同：①先平移后伸缩变换时，平移|φ|个单位；②先伸缩后平移变换时，平移|ωφ|个单位，这是很容易出错的地方，应特别注意．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
第八页，编辑于星期一：点十分。
(2)由 y＝sin x 图象得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，还
可以采取如下变换：先伸缩再平移：
y＝sin
x― 横―坐到――标原―伸来―长―的―或ω1―倍缩――短→y＝sin
图象上的点向左或向右 ωx 平移|ωφ|个单位长度
课前探究学习

2020-2021学年数学北师大版必修4教学教案：1.5.2 正弦函数的图像

1.5.2 正弦函数的图像一、教材分析《正弦函数的图象》是北师大版必修4第一章第五节的第一课时。

本小节所研究的正弦函数的图象既是对前面所学知识的巩固和深化，也为后面学习余弦函数，正切函数，尤其是正弦型函数打基础.本节重点是“五点法”作正弦函数的简图.难点是“几何法”作图即利用正弦函数的定义画出正弦函数的图象. 二、学情分析学生已经学习了一次二次函数及指对函数，对研究函数的流程已经有了一定的认识，对函数图像的画法已经熟悉，初步掌握利用列表描点法画图的技巧。

但对几何作图方法即利用正弦函数的定义作出正弦函数的图象掌握起来有一定难度，特别是对这种作图方式的深刻理解需要教师的步步引导.三、教学设计构思首先回顾正弦函数的定义，为后面的几何作法做了铺垫。

通过有层次性的设置问题来引发学生的思考，培养学生发现问题，解决问题的能力。

再通过学生自主实践画出函数图象，培养学生的动手实践能力，提高学生自主探索和合作学习的能力.四、教法分析1.使用现代信息技术本节课的特点是逻辑推理少，而直观展示多。

想突出重点，突破难点，仅靠粉笔、黑板、ppt是不够的。

根据本节的特点，借助于电子白板和几何画板及媒体材料使学生亲临作图现场，获得直观感受。

2.问题式教学设置递进式问题，引发学生思考，培养他们自主解决问题的能力。

五、目标分析1.知识与技能：了解正弦曲线的画法，能利用描点法特别是“五点法”作出正弦函数y=sinx的图像。

2.过程与方法：通过探究正弦函数y=sinx 图像的画法过程，使学生体会数形结合的思想方法3.情感、态度与价值观：通过作正弦函数图像渗透数形结合思想，培养学生用运动变化的观点来认识事物。

通过动手实践画图的过程，加深对正弦函数图像的认识。

六、教学重难点重点：用五点法作出正弦函数图像.难点：理解几何法画正弦函数图像.的方法.七、教学过程（一）复习回顾问题1.正弦函数的定义是什么？问题2.函数图像的画法有几个，是什么？（二）新知探究前面我们学习了正弦函数的定义，我们知道研究函数的方法是得到函数的定义后，画函数图像，结合图像研究性质，然后利用函数的图像和性质解决问题，正弦函数也一样，今天我们来探究一下正弦函数的图像是怎样的1、用描点法画出正弦函数y=sinx x∈[0，2π]的图像问题3.描点法的步骤是什么？问题4.描什么点？问题5.将一个周期等分得到的角作为自变量行吗？描点法步骤：列表，描点，连线用以前的描点方法能精确作出点生：不能π师：有正弦函数的定义知道点的纵坐标就是角的终边与单位圆交点的纵坐标。

人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.5 函数y=sin(wx+φ) 同步测试A卷

人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.5 函数y=sin(wx+φ) 同步测试A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2018高三上·黑龙江期中) 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度2. （2分）把函数的图象向右平移个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·临沂期中) 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向左平移个单位长度4. （2分）用“五点法”作y=2sin2x的图象是，首先描出的五个点的横坐标是（）A . 0,,π,,2πB . 0,,,,πC . 0，π，2π，3π，4πD . 0,,,,5. （2分） (2020高三上·兴宁期末) 由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A .B .C .D .6. （2分）函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（）A .B .C .D .7. （2分）要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A . 向左平移1个单位B . 向右平移1个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位8. （2分）已知函数f（x）=cos2x与g（x）=cosωx（ω＞0）的图象在同一直角坐标系中对称轴相同，则ω的值为（）A . 4B . 2C . 1D .9. （2分） (2017高一下·禅城期中) 三角函数y=sin（﹣2x）+cos2x的振幅和最小正周期分别为（）A . ，B . ，πC . ，D . ，π10. （2分） (2016高一下·岳阳期中) 若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A . 5B . 4C . 3D . 211. （2分）用“五点法”作函数y=cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是（）A . 0，，π，，2πB . 0，，，，πC . 0，π，2π，3π，4πD . 0，，，，12. （2分） (2016高三上·红桥期中) 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A . 2，﹣B . 2，﹣C . 4，﹣D . 4，13. （2分）函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到-1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为（）A .B .C .D .14. （2分）(2017·合肥模拟) 已知函数f（x）=Asin（ωx+ ）﹣1（A＞0，ω＞0）的部分图象如图，则对于区间[0，π]内的任意实数x1 ， x2 ， f（x1）﹣f（x2）的最大值为（）A . 2B . 3C . 4D . 615. （2分）(2020·海南模拟) 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线，则的解析式为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=________17. （1分）(2016·杭州模拟) 函数y=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图，则函数表达式为________；若将该函数向左平移1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍得到函数g （x）=________．18. （1分） (2015高三上·河西期中) 已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则 =________．19. （1分）(2016·新课标Ⅲ卷理) 函数y=sinx﹣ cosx的图象可由函数y=sinx+ cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到．20. （1分） (2017高一上·安庆期末) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ+ ）（ω＞0，0＜φ≤ ）的部分图象如图所示，则φ的值为________．三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分） (2019高一上·郁南月考) 已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为（，）此点与相邻最低点之间的曲线与x轴交于点（，0）且φ∈（- ，）（1）求曲线的函数表达式;（2）用“五点法”画出函数在[0，2 ]上的图象.22. （5分） (2020高一上·武汉期末) 已知函数 .（1）用五点法画出该函数在区间的简图；（2）结合所画图象，指出函数在上的单调区间.23. （5分）已知函数y=sin（2x+ ）+1．（1）用“五点法”画出函数的草图；（2）函数图象可由y=sinx的图象怎样变换得到？24. （5分） (2019高一下·蛟河月考) 函数的一段图像过点，如图所示.（1）求在区间上的最值；（2）若 ,求的值.25. （5分）(2017·黑龙江模拟) 某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：wx+φ0π2πxAsin（wx+φ）05﹣50（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O 最近的对称中心．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分)21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、。

高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质1.5.2正弦函数的性质教案北师大版必修420170

由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.
正弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图像观察,不要求证明,而正弦的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可. 三维目标 1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念; 能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用. 2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物. 重点难点教学重点:正弦函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法. 教学难点:正弦函数性质的理解及灵活运用,特别是周期性的理解. 课时安排 1 课时
结合正弦函数的周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间［- +2kπ, +2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到 1;在
2
2
每一个闭区间［ +2kπ, 3 +2kπ］(k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1.
2
2
对问题⑤,学生能直观地得出正弦曲线关于原点 O 对称.在 R 上,y=sinx为奇函数.教师要
1
图1
活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继
续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导.

高中数学(人教A版必修4)课件1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像

变式训练 1
1 用“五点法”作出函数 y＝ cos2x 的简图． 2
解
列表 2x x 1 2cos2x 0 0 1 2 π 2 π 4 0 π π 2 1 －2 3 π 2 3 π 4 0 2π π 1 2
描点连线，如下图所示．
将这个函数在一个周期内的图像向左、右扩展，即得 y 1 ＝2cos2x 的图像．
π y＝sinx－3的图像，再把 π y＝sinx－3的图像上各点的横坐标 1 π y＝sin2x－3的图像，
伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到最后把
1 π y＝sin2x－3的图像上各点纵坐标伸长到原来的 1 π y＝2sin2x－3的图像．
解列表 1 π 2x＋6 x
1 π 2sin2x＋6
0 π － 3 0
π 2 2 π 3 2
π 5 π 3 0
3 2π 8 π 3 －2
2π 11 π 3 0
描点连线，如下图所示．
将这个函数在一个周期内的图像向左、右两边平移即得
1 π y＝2sin2x＋6的图像．
特别提醒：①注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的区别； ②在作图像时，提倡先相位变换再周期变换．不论哪一种变换，都是对字母 x 而言的，即看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
典例剖析
类型一例1
作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
1 π 用“五点法”画出y＝2sin2x＋6的图像．
第一章
三角函数
§1.5 函数 y＝Asin(ω x＋φ )的图像
课前热身
名师讲解
典例剖析
考题精选
技能提升
课前热身
1.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像的两种画法 π 3π (1)五点法：①列表(ωx＋φ 通常取 0，，π，，2π 这五 2 2 个值)；②描点；③________.

人教A版高中数学必修4-1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象-课件

三、教学目标
１.知识与能力目标：
理解三个参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ) 图象的影响；揭示函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的变换关系，
２.过程与方法目标：
结合具体函数图象的变化，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，通过A、ω、φ变化与函数y=Asin(ωx+φ)图象变换的关系，加深对数形结合思想的理解。
函数.
那么函数 y Asin( x )与函数y=sinx
有什么关系呢?
从解析式上来看函数y=sinx就是函数
y Asin( x )在A=1，ω=1， 0 的情况.
下面就来探索、、A 对函数
y Asin( x )
的图象的影响.
***检测复习***
y sin x, x [0,2 ]的图象
合
函数y=sinx(>0)图象:
作探
究
y=sinx 横坐标变为本来的1/倍 y=sinx
纵坐标不变
小试牛刀
2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ B ）
A. 横坐标伸长到本来的3倍，纵坐标不变 B.横坐标缩小到本来的1/3倍，纵坐标不变 C.纵坐标扩大到本来的3倍，横坐标不变 D.纵坐标缩小到本来的1/3倍，横坐标不变
1 sin x 0
2
1 2
0
1 2
0
函数 y 2sin x、y 1 sin x与y sin x 的图象
2
间的变化关系.
y
自
2
主学
1
习
O
3
2
x
2
-1
y 1 sin x
-2

2020版高中数学人教A版必修4 导学案《任意角三角函数一》(含答案解析)学生版

思考 1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
思考 2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随 P 点在终边上的位置的改变而改变？
思考 3 在思考 1 中，当取|OP|=1 时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
梳理
(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.
位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？梳理三角函数的定义域
知识点三正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
四、探究与拓展
14.已知角θ的终边上有一点 P(x，-1)(x≠0)，且 tan θ=-x，则 sin θ＋cos θ=
.
1
1
15.已知
=-
，且 lg(cos α)有意义.
|sin α| sin α
(1)试判断角α所在的象限；
3 ，m
(2)若角α的终边与单位圆相交于点 M 5 ，求 m 的值及 sin α的值.
C.第三象限角
D.第四象限角
2π
2π
sin ，cos
4.已知角α的终边上一点的坐标为
3
3 ，则角α的最小正值为( )
5π A.
6
2π B.
3
4π C.
3
11π D.
6
3 5.已知角α的终边经过点 P(3，4t)，且 sin(2kπ＋α)=- (k∈Z)，则 t 等于( )
5
9 A.-

人教版高中数学必修四 1.5图象变换顺序问题中的疑与答

图象变换顺序问题中的疑与答一、图象变换的四种类型从函数y = f (x )到函数y = A f (ϕ+ωx )+m ，其间经过4种变换： 1.纵向平移 —— m 变换 2.纵向伸缩 —— A 变换 3.横向平移 ——ϕ 变换 4.横向伸缩 ——ω 变换一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.以下以y = sin x 到y = A sin (ϕ+ωx )+m 为例，讨论4种变换的顺序问题.对于函数x y sin =的图象与函数()φω+=x A y sin 的图象间的变换，由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别，直接会对图象平移量产生影响，这点也是学习三角函数图象变换的难点所在.由x y sin =的图象到()φω+=x A y sin 的图象变换主要有两种途径：第一种是先“平移变换”后“伸缩变换”，即先相位变换再周期变换；x y sin =−−−−→−相位变化()φ+=x y sin −−−−→−振幅变化()φ+=x A y sin −−−−→−周期变化()φω+=x A y sin第二种是先“伸缩变换”后“平移变换”，即先周期变换再相位变换；x y sin =−−−−→−周期变化x y ωsin =−−−−→−相位变化)sin(φω+=x y−−−−→−振幅变化)sin(φω+=x A y由于“平移变换”，“伸缩变换”的顺序不同，变化就有所不同，下面通过例子说明. 【例1】如何由函数x y sin =的图象经过变换得到函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 3πx y 的图象？方法1：先“平移”后“伸缩”x y sin =−−−−→−3π向左平移)3sin(π+=x y −−−−−−−−→−21横坐标缩短到原来的)32sin(π+=x y −−−−−−−−−→−倍纵坐标伸长到原来的3)32sin(3π+=x y方法2：先“伸缩”后“平移”xy sin =−−−−−−−−→−21横坐标缩短到原来的x y 2sin =−−−−−−−−−→−倍纵坐标伸长到原来的3x y 2sin 3=−−−−→−6π向左平移)6(2sin 3π+=x y )32sin(3π+=x【点评】例1的两种方法中，我们发现变化的顺序变了，图象平移的量也就不同，方法1是先向左平移3π，而方法2中则是最后向左平移6π，而不少同学会在方法二的最后一步认为是向左平移3π，这正是平时我们容易做错的地方，为什么会导致这样的错误呢？方法2中由函数x y 2sin 3=向函数)32sin(3π+=x y 变化过程中，是先缩短了横坐标之后，再平移横坐标的，所以相应的平移单位也发生了变化，即x y 2sin 3=−−−−→−6π向左平移)6(2sin 3π+=x y .也就是说，相位变换与周期变换是对同一字母x 而言的，图象变化要看“变量x ”起多大变化，而不是看角变化了多少，即相位变化是自变量x 与一个常数的和的关系，周期变化是自变量x 与一个常数积的关系，如函数x y 31sin =向左平移6π个单位得函数)6(31sin π+=x y 而不是函数)631sin(π+=x y ；又如函数)6sin(π+=x y 横坐标伸长到原来的3倍，得)631sin(π+=x y ，而不是函数)6(31sin π+=x y 的图象.【例2】把函数y x =+⎛⎝⎫⎭⎪sin 245π的图象上各点向右平移π2个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，所得图象的函数式是.解析把函数y x =+⎛⎝⎫⎭⎪sin 245π的图象上各点向右平移π2个单位，所得图象函数式是y x x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎛⎝ ⎫⎭⎪sin sin 224525πππ；再把横坐标缩小到原来一半所得图象函数式是y x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪sin 45π；纵坐标再扩大到原来的4倍，所得图象函数式是y x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪445sin π.因此所求图象的函数式是y x =-⎛⎝⎫⎭⎪445sin π.答案：y x =-⎛⎝⎫⎭⎪445sin π. 【例3】为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（）（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）解析先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，选择C.点评由函数sin ,y x x R =∈的图象经过变换得到函数sin(),y A x x R ωφ=+∈ （1）．y=A sin x ，x ∈R (A >0且A ≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A >1)或缩短(0<A <1)到原来的A 倍得到的（2）函数y=sin ωx , x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）（3）函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)，可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x 前面的系数提取出来.【例4】函数)42sin(31)(π-+==x x f y 的图象可由y = sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法1】第1步，横向平移：将y = sin x 向右平移4π，得 )4sin(π-=x y 第2步，横向伸缩：将)4sin(π-=x y 的横坐标缩短21倍，得 )42sin(π-=x y 第3步：纵向伸缩：将)42sin(π-=x y 的纵坐标扩大3倍，得 )42sin(3π-=x y 第4步：纵向平移：将)42sin(3π-=x y 向上平移1，得 )42sin(31π-+=x y 【解法2】第1步，横向伸缩：将y = sin x 的横坐标缩短21倍，得 y = sin 2x 第2步，横向平移：将y = sin 2x 向右平移8π，得 )42sin(π-=x y 第3步，纵向平移：将)42sin(π-=x y 向上平移31，得 )42sin(31π-+=x y 第4步，纵向伸缩：将)42sin(31π-+=x y 的纵坐标扩大3倍，得 )42sin(31π-+=x y 【说明】解法1的“变换量”（如右移4π）与参数值（4π）对应，而解法2中有的变换量（如右移8π）与参数值（4π）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大.【质疑】对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当ϕ<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|ω| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f (ϕ+ωx )+m 中x 和y 的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式A '(y+m ') = f (ϕ+ωx )，则x 、y 在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的)42sin(31π-+=x y 变成)42sin()1(31π-=-x y它们的变换“方向”就“统一”了.对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x →ϕ+ωx 中，平移是对x 进行的.故先平移（x →ϕ+x ）对后伸缩（→ϕ+ωx ）没有影响；但先收缩（x →x ω）对后平移（→ωϕ+ω=ϕ+ωx x )(）却存在着“平移”相关. 这就是为什么（在例1的解法2中）后平移40π=ωϕ=ϕ时，有8240π=π=ωϕ=ϕ的原因.【说明】为了使得4种变换量与4个参数（A ，ω，ϕ，m ）对应，降低“解题风险”，在由sin x 变到A sin (ϕ+ωx ) (ω> 0) 的途中，采用如下顺序：（1）横向平移：x →ϕ+x （2）横向伸缩：x +ϕ→ϕ+ωx（3）纵向伸缩：sin (ϕ+ωx ) → A sin (ϕ+ωx ) （4）纵向平移：A sin (ϕ+ωx ) → A sin (ϕ+ωx ) + m 这正是例1中解法1的顺序.二、正向变换与逆向变换如何处理如果把由sin x 到A sin (ϕ+ωx )+m 的变换称作正向变换，那么反过来，由A sin (ϕ+ωx )+m 到sin x 变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.因为正向变换的一般顺序是：（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移. 所以逆向变换的一般顺序则是：（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移.如将函数y = 2sin (2x －3π) +1的图像下移1个单位得y =2sin (2x －3π)，再将纵坐标缩小一半得y= sin(2 x －3π),再将横坐标扩大2倍得y= sin(x －3π),最后将图象左移3π得函数y=sin x.【例5】如何由函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 3πx y 的图象得到函数x y sin =的图象？分析从例1已经知道由x y sin =的图象变化到⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 3πx y 的图象的过程，则例2不如“正话反说”，说明图象的变换解先由x y sin =的图象变化到⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 3πx y 的图象，如例1解答，再“正话反说”.方法1：)32sin(3π+=x y −−−−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的31)32sin(π+=x y−−−−−−−−→−2横坐标伸长到原来的)3sin(π+=x y −−−−→−3π向右平移x y sin = 方法2：)32sin(3π+=x y )6(2sin 3π+=x −−−−→−6π向左平移x y 2sin 3= −−−−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的31x y 2sin =−−−−−−−−−→−倍横坐标伸长到原来的2x y sin =【例6】将y = f (x )·cos x 的图象向右平移4π, 再向上平移1, 所得的函数为y =2sin 2 x . 试求f (x )的表达式.【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.【解析】将y = 2sin 2 x 下移1个单位（与正向变换上移1个单位相反），得 y = 2sin 2 x －1，再将 2sin 2x －1左移4π（与正向变换右移4π相反）得 x x x x x y cos sin 22sin )4(2cos 1)4(sin 22==⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+-=-π+= 令 f (x )·cos x = 2sin x cos x 得 f (x ) = 2sin x【说明】由此得原函数为y =f (x )cos x =2 sin x cos x =sin2x . 正向变换为sin 2x →2sin 2x ,其逆变换为2sin 2x →sin2x .因为2sin 2x =1+sin(2 x －2π),所以下移1个单位得sin(2 x －2π),左移4π得sin2x 。

1.5,函数y=a,图像教案

1.5,函数y=a,图像教案篇一：1.5《函数y=asinωx+φ的图象》教学案5v《函数y?asin?wx???的图像》教案教学目标：1.分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。

2.通过对函数y?asin?wx???,?a?0,w?0?图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。

3.培养学生观察问题和探索问题的能力。

教学重难点：函数y=asin(wx+?)的图像的画法和设图像与函数y=sinx图像的关系，以及对各种变换内在联系的揭示。

各种变换内在联系的揭示。

教学过程：一、复习旧知1.“五点法”作函数y=sinx简图的步骤，其中“五点”是指什么？2.函数y=sin(x?k)(k>0)的图象和函数y=sinx图像的关系是什么？3.函数y=sinwx(w>0)的图像和函数y=sinx图像的关系是什么？学生答：函数y=sinwx(w>0)的图像可由函数y=sinx的图像沿x轴伸长(w1)到原来的1倍而得到，称为周期变换.?4.函数y=asinx(a>0)的图像和函数y=sinx图像的关系是什么？演示：教师利用多媒体，运用制好的课件将变化过程演示给学生看，并要求学生具体观察图像上点坐标的变化，然后归纳出这种变换的实质是：横坐标不变，纵坐标伸长(a>|)或缩小(01.函数y=asin(wx+?)的图像的画法。

为了探讨函数y=asin(wx+?)的图像和函数y=sinx图像的关系，我们先来用“五点法”作函数y=asin(wx+?)的图像。

例：作函数y=3sin(2x+?)的简图。

3z?z????解：⑴设z=2x+，那么3xin(2x+)=3sin?，x==?，分别取z=0，，223326?，???7?5?3??，2?，则得x为?，，，，，所对应的五点为函数y=3sin(x?)236123126篇二：1.5函数y=asin(ωx+φ)的图象(一)教案1.5函数y=asin(ωx+?)(a>0，ω>0)的图象教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（a版）》必修4课题：1.5函数y=asin(ωx+?)的图象一、教学目标：1、知识与技能1.?对y=sin(x+?)的图像的影响。

人教版高中数学必修四课件：1.5 三角函数图像平移伸缩变换(共22张PPT)

x
sin x 2sin x 1 sin x 2
y
2
1
o
-1 -2
0

2

3
2
2
0
1
0
-1 0
0
2
0
-2 0
0
1
2
0
1 2
0
y=2sinx y=sinx
y= 12sinx

2
3
2
2
x
小结1 函数 y Asin x, x R 的图象
（其中A 0且 A 1）
可以看作把正弦曲线上所有点的
纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当
0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）
而得到． A的作用
引起值域改变
纵向伸缩
函数 y Asin x, x R 的值域是 A, A
问题2
在同一坐标系中作出函数y=sin2x 及图y象=间sin的12关x的系简。图，并指出它们y=sinx
x
0

4
• 再把所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当
0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）, 得到
y=Asin( x+ )。
变换2:
函数y=Asin(x+ )(其中A>0, >0)的
图象，可看作由下面方法得到：
• 把y=sinx图象上所有点的横坐标缩短(当
>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的 1 倍
函数y Asin(x )的图像
复习：
2．用五点法作函数 y sin x, x 0,2

1.5 正弦型函数的图像-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)

1．利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，要先令“ωx ＋φ”这一个整体依次取0，π2，π，32π，2π，再求出x 的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x 的值，后求“ωx ＋φ”的值． 2．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求得周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口，以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．3．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值． 4．函数()sin y A x ωϕ=+的性质⑴ 周期性：函数()sin y A x ωϕ=+（其中A ωϕ，，为常数，且00A ω≠>，）的周期仅与自变量的系数有关．最小正周期为2πT ω=．⑵ 值域：[]A A -，教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.用五点法画出函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像直观想象水平1 水平11.继续加深理解“五点法”的应用，特别是一些特殊点：端点和对应五点。

2.掌握正余型弦函数以及正切型函数性质的处理方法。

【考查内容】正弦型函数的伸缩变换和平移变换；利用三角函数的图像变换求解析式。

【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5--12分2.正弦型函数与正弦函数的图像直接的关系直观想象水平2 水平 23.正弦型函数的振幅、周期数学抽象水平1 水平14.正弦型函数的频率、相位、和初相数学抽象水平1 水平1 第五讲函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像知识通关⑶ 奇偶性：当()π k k ϕ=∈Z 时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；当()ππ 2k k ϕ=+∈Z 时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数． ⑷ 单调区间：求形如()sin y A ωx φ=+或()cos y A ωx φ=+（其中0A ≠，0ω>）的函数的单调区间可以通过图象的直观性求解，或根据解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“()0ωx φω+>”视为一个“整体”．②0A >()0A <时，所列不等式的方向与()sin y x x =∈R 、()cos y x x =∈R 的单调区间对应的不等式的方向相同（反）．⑸ 对称轴方程：0x x =，其中()0ππ 2x k k ωϕ+=+∈Z ． ⑹ 对称中心：()00x ，，其中()0π x k k ωϕ+=∈Z ． 5、A ωϕ、、对函数()sin y A x ωϕ=+的图象的影响 ⑵ ϕ对()sin y x ϕ=+的图象的影响．函数()sin y x ϕ=+(0)ϕ≠的图象，可以看做是把sin y x =图像上的各点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移ϕ个单位而得到的．（可简记为左""+右""-）即sin y x=00ϕϕ>−−−−−−→<时向左时向右平移ϕ个单位得()sin y x ϕ=+⑵ω对()sin y x ϕ=+的图象的影响．函数sin y x ω=(01)ωω>≠，的图象，可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标都缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到的．即sin y x =的横坐标101ωω>−−−−−−−→<<时缩短时伸长到原来的1ω倍得sin y x ω=． ⑵A (0)A >对()sin y A x ωϕ=+的图象的影响函数sin y A x =（0A >且1A ≠）的图象，可以看做是sin y x =的图象上各点的纵坐标都伸长(1)A > 或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．即sin y x =的纵坐标101A A >−−−−−−−→<<时伸长时缩短到原来的A 倍得sin y A x =．题型一平移变换例1 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度，所得图象的函数解析式为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π8题型五图象变换的综合应用例5 下图是函数()sin y A x xωϕ=+∈R ，在区间π5π66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将()sin y x x =∈R 的图象上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析：由图象知，1A =，2ππω=，解得2ω=；故sin(2)y x ϕ=+π5π736π212+=，7sin 2π112ϕ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭，从73π2ππ()62k k ϕ+=+∈Z ．故π2π3k ϕ=+()k ∈Z ．此函数的解析式为πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．答案 A变式训练5 将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6解析：因为函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，所以π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z .又m >0，所以m 的最小值为π6，答案 B题型六函数y ＝A sin ()ωx ＋φ，|φ|<π2性质的应用例6 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1) 求φ的值；(2) 求函数y ＝f (x )的单调区间及最值．解析： (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z ，(1)求函数y＝f(x)的解析式；一、选择题1．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为T ＝2π2＝π，向右平移14个周期，即向右平移π4个单位长度后，得到图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D. 答案 D2．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数解析： y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象， y ＝－cos 2x 是偶函数．答案 D4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的周期为2π3，则函数f (x )图象的对称轴方程为( ) A ．x ＝k π＋π3(k ∈Z )B ．x ＝k π－π3(k ∈Z )C ．x ＝k π3＋π9(k ∈Z )D ．x ＝k π3－π9(k ∈Z )解析：由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1的周期为2π3，知2π|ω|＝2π3，又ω>0，所以ω＝3，则对称轴方程为3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π9＋k π3，k ∈Z .答案 C5．下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是( )解析：将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所有点向右平移π6个单位长度即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，依据此变换过程可得到A 中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．答案 A6．把函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移π6个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g (x )，则ω和φ的值分别为( )A ．1，π3B ．2，π3 C.12，π6 D.12，π3解析：依题意得f (x )第一次变换得到的函数解析式为m (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ω2x ＋φ，则函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋ωπ12＋φ. 因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2，则g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ. 又因为函数为奇函数，所以φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π，则φ＝π3.答案 B8．要得到y ＝tan 2x 的图象，只需把y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象( ) A ．向左平移π6个单位得到B ．向左平移π12个单位得到C ．向右平移π12个单位得到D ．向右平移π6个单位得到解析：设向左平移φ个单位得到y ＝tan 2x 的图象，y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2(x ＋φ)－π6＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－π6，∴2φ－π6＝0，∴φ＝π12， ∴向左平移π12个单位得到．答案 B9．已知将函数()cos4f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的值可能为（）A ．6π B ．3π C ．8π D ．4π 解析：将函数()cos4f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后，得到()cos 44y x ϕ=-的图象，由题意，得()4k k ϕπ=∈Z ，则()4k k πϕ=∈Z ，取1k =，得4πϕ=. 答案 D10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度解析：根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，可得1A =，1274123πππω⋅=-，解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．答案 B二、填空题11．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的解析式为________．解析： y ＝sin(－2x )――――――――――→左移π4个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－cos 2x .答案 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －114．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______．解析：函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，所以()00f =，代入可得0ϕ=，()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．则()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x 的最小正周期为2π，则2212ππω= ，解得2ω=，所以()sin g x A x =，因为4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 4A π=，解得2A =，所以()2sin 2f x x =，则2sin 33882f ππ⨯⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案三、解答题15．使函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，然后再将其图象沿x轴向左平移π6个单位长度得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．解析：方法一 (正向变换)y ＝f (x )―――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝f (2x )――――――→沿x 轴向左平移π6个单位长度 y ＝f ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二 (逆向变换)根据题意，y ＝sin 2x ―――――→沿x 轴向右平移π6个单位长度 y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.16．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π时，y min ＝－3.(1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间．解析： (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π，所以T ＝10π，所以ω＝2πT ＝15，则y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋φ.因为点(π，3)在此函数图象上，则3sin ⎝⎛⎭⎫π5＋φ＝3. 又因为0≤φ≤π2，有φ＝π2－π5＝3π10，所以y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋3π10.(2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π，k ∈Z 时，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋3π10单调递增．所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10k π，π＋10k π](k ∈Z )．18．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，23π上的函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ≤π)的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，f (x )的图象如图1-5-5所示．图1-5-5(1)求f (x )在⎣⎡⎦⎤－π，23π上的解析式； (2)求方程f (x )＝22的解. 解析： (1)由题图知：A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝2π，则ω＝2πT ＝1，在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，将⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )得， f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，因为0<φ≤π，所以φ＝π3，所以在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 同理在x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －23π. 综上，f (x )＝⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫x －23π，x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6.(2)由f (x )＝22在区间⎣⎡⎦⎤－π6，2π3内可得x 1＝5π12，x 2＝－π12. 因为y ＝f (x )关于x ＝－π6对称，有x 3＝－π4，x 4＝－3π4.则f (x )＝22的解为－π4，－3π4，5π12，－π12.一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x2的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度D ．向右平移2π3个单位长度答案 C2．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：对于B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)的图象．答案 B图1-5-3 A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：由图象知，14T ＝π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝π4，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，把y ＝cos 2x 的图象向右平移π12个单位即得所给图象，∴所求函数为y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 答案 D5．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.答案 B6.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . 故选D. 答案 D8．已知函数()sin(),(0)6f x x ωω=+> 图象上相邻两条对称轴的距离为2，把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移53π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．()cos 4g x x =-B ．()cos 4g x x =C ．()cos g x x =-D ．()cos g x x =解析：依题意，22T π=，所以T π=，所以2ππω=，解得2ω=，所以()sin(2)6f x x π=+．把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线sin()6y x π=+，再把曲线sin()6y x π=+向右平移53π个单位长度，得到曲线5sin()36y x ππ=-+，即cos y x =，故()cos g x x =。

2020版高中数学人教A版必修4 导学案《正切函数的图象与性质》(含答案解析)

1.4.3 正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y=tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y=tan x 的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.知识点一正切函数的性质思考1 正切函数的定义域是什么？思考2 诱导公式tan(π＋x)=tan x ，x∈R 且x≠π2＋kπ，k∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考3 诱导公式tan(－x)=－tan x ，x∈R 且x≠π2＋kπ，k∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？梳理函数y=tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z 的图象与性质见下表：解析式y=tan x图象定义域 {x|x∈R 且x≠kπ＋π2，k∈Z }值域 R 周期 π 奇偶性奇单调性在开区间⎝⎛⎭⎪⎫kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z )内都是增函数知识点二思考1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？答案为：根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间(－π2，π2)上的图象.作法如下：(1)作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧作单位圆. (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度). (4)连线，得到如图①所示的图象.(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y=tan x ，x∈R 且x≠π2＋kπ(k∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示).可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x=π2＋kπ，k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.思考 2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y=tan x ，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？类型一正切函数的定义域例1 求下列函数的定义域.(1)y=11＋tan x ； (2)y=lg(3－tan x).反思与感悟求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟踪训练1 求函数y=tan x ＋1＋lg(1－tan x)的定义域.类型二正切函数的单调性及其应用命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期.反思与感悟y=tan(ωx＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－π2＋kπ<ωx＋φ<π2＋kπ，k∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 跟踪训练2 求函数y=tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调区间.命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小例3.(1)比较大小：①tan 32°________tan 215°； ②tan18π5________tan(－28π9). (2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接)反思与感悟运用正切函数的单调性比较大小的步骤：(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系. 跟踪训练3.比较大小：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4________tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5.类型三正切函数的图象及应用例4.画出函数y=|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.反思与感悟(1)作出函数y=|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数y=f(x)图象在x 轴上方的部分；②将函数y=f(x)图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可.跟踪训练4 设函数f(x)=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. (1)求函数f(x)的周期，对称中心； (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.1.函数y=tan(2x ＋π6)的最小正周期是( )A.πB.2πC.π2D.π62.函数f(x)=tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A.(kπ－π2，kπ＋π2)，k∈ZB.(kπ，(k ＋1)π)，k∈ZC.(kπ－3π4，kπ＋π4)，k∈ZD.(kπ－π4，kπ＋3π4)，k∈Z3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A.y=tan xB.y=cos xC.y=tan x2D.y=－tan x4.方程tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3=3在区间[0，2π)上的解的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.25.比较大小：tan 1________tan 4.1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x=kπ＋π2，k∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质(1)正切函数y=tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是R . (2)正切函数y=tan x 的最小正周期是π，函数y=Atan(ωx＋φ) (Aω≠0)的周期为T=π|ω|. (3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间. 课时作业一、选择题1.函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5，x∈R 且x≠310π＋kπ，k∈Z 的一个对称中心是( )A.(0，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45π，0 D.(π，0) 2.函数f(x)=lg(tan x ＋1＋tan 2x)为( ) A.奇函数B.既是奇函数又是偶函数C.偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数3.满足tan A>－1的三角形的内角A 的取值范围是( ) A.(0，34π) B.(0，π2)∪(π2，34π)C.(34π，π)D.(0，π2)∪(34π，π)4.下列各点中，不是函数y=tan(π4－2x)的图象的对称中心的是( )A.(π8，0)B.(－π8，0)C.(π4，0)D.(－38π，0)5.函数f(x)=tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y=π4所得的线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A.0B.1C.－1D.π46.函数y=tan x ＋sin x －|tan x －sin x|在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )7.下列关于函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( )A.在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增B.最小正周期是πC.图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 D.图象关于直线x=π6成轴对称二、填空题8.函数y=3tan(3x ＋π4)的对称中心的坐标是________.9.函数y=－tan 2x ＋4tan x ＋1，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域为____________.10.函数y=3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π6的最小正周期是π2，则ω=________.11.函数y=1－tan x 的定义域是________.三、解答题12.判断函数f(x)=lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性.13.求函数y=tan(x 2－π3)的定义域、周期、单调区间和对称中心.四、探究与拓展14.若tan x>tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________.15.设函数f(x)=tan(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π2)，已知函数y=f(x)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M(－π8，0)对称.(1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调区间；(3)求不等式－1≤f(x)≤3的解集.答案解析知识点一正切函数的性质思考1答案为：{x|x∈R 且x≠π2＋kπ，k∈Z }.思考2答案为：周期性. 思考3答案为：奇偶性. 思考4答案为：是. 知识点二正切函数的图象思考2答案为：能，三个关键点：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，两条平行线：x=π2，x=－π2. 梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x=π2＋kπ，k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.例1解：(1)要使函数y=11＋tan x 有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x≠0，x≠kπ＋π2(k∈Z )，所以函数的定义域为{x|x ∈R 且x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z }.(2)因为3－tan x>0，所以tan x< 3. 又因为当tan x=3时，x=π3＋kπ(k∈Z )，根据正切函数图象，得kπ－π2＜x ＜kπ＋π3 (k∈Z )，所以函数的定义域是{x|kπ－π2＜x ＜kπ＋π3，k∈Z }.跟踪训练1解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x>0，即－1≤tan x<1.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4，又y=tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z ).例2解：y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4=－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，由kπ－π2<12x －π4<kπ＋π2(k∈Z )，得2kπ－π2<x<2kπ＋32π(k∈Z )，所以函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ－π2，2kπ＋32π，k∈Z ，周期T=2π.跟踪训练2解:∵y=tan x 在x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋kπ，π2＋kπ (k∈Z )上是增函数，∴－π2＋kπ<2x－π3<π2＋kπ，k∈Z ，即－π12＋kπ2<x<5π12＋kπ2，k∈Z .∴函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋kπ2，5π12＋kπ2 (k∈Z ).例3.答案为：(1)①< ②< (2)tan 2<tan 3<tan 1解析:(1)①tan 215°=tan(180°＋35°)=tan 35°， ∵y=tan x 在(0°，90°)上单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°=tan 215°. ②tan 18π5=tan(4π－2π5)=tan(－2π5)，tan(－28π9)=tan(－3π－π9)=tan(－π9)，∵y=tan x 在(－π2，π2)上单调递增，且－2π5<－π9，∴tan(－2π5)<tan(－π9)，即tan 18π5<tan(－28π9).(2)tan 2=tan(2－π)，tan 3=tan(3－π)，∵－π2<2－π<3－π<1<π2，且y=tan x 在(－π2，π2)上单调递增，∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1. 跟踪训练3.答案为：>;解析:∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4=－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4=tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5=－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π5=tan π5.又0＜π5＜π4＜π2，y=tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5＜tan π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＞tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5.例4.解:由y=|tan x|，得y=⎩⎪⎨⎪⎧ tan x，kπ≤x<kπ＋π2(k∈Z )，－tan x ，－π2＋kπ<x<kπ(k∈Z )，其图象如图所示. 由图象可知，函数y=|tan x|是偶函数，单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ，kπ＋π2(k∈Z )，单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋kπ，kπ(k∈Z )，周期为π. 跟踪训练4解:(1)∵ω=12，∴周期T=πω=π12=2π. 令x 2－π3=kπ2(k∈Z )，得x=kπ＋2π3(k∈Z )， ∴f(x)的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ＋2π3，0(k∈Z ). (2)令x 2－π3=0，则x=2π3；令x 2－π3=π2，则x=5π3；令x 2－π3=－π2，则x=－π3.∴函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=－π3，x=5π3，从而得到函数y=f(x)在一个周期⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，5π3内的简图(如图).1.答案为：C;解析最小正周期为T=π|ω|=π2. 2.答案为：C ；3.答案为：C ；4.答案为：B ；解析：由tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3=3，解得2x ＋π3=π3＋kπ(k∈Z )，∴x=kπ2(k∈Z )，又∵x∈[0，2π)，∴x=0，π2，π，3π2.故选B. 5.答案为：＞；解析：由正切函数的图象易知tan 1＞0，tan 4=tan(4－π)，而0＜4－π＜1＜π2，函数y=tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上为增函数，所以tan 1＞tan(4－π)=tan 4. 课时作业1.答案为：C ；2.答案为：A ；解析：∵1＋tan 2x >|tan x|≥－tan x ，∴其定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z }，关于原点对称. 又f(－x)＋f(x)=lg(－tan x ＋1＋tan 2x)＋lg(tan x ＋1＋tan 2x)=lg 1=0，∴f(x)为奇函数，故选A.3.答案为：D ；解析：因为A 为三角形的内角，所以0<A<π.又tan A>－1，结合正切曲线得A∈(0，π2)∪(3π4，π). 4.答案为：C ；解析：令π4－2x=kπ2，k∈Z ，得x=π8－kπ4.令k=0，得x=π8；令k=1，得x=－π8；令k=2，得x=－3π8.故选C. 5.答案为：A ；解析：由题意，得T=πω=π4，∴ω=4.∴f(x)=tan 4x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=tan π=0. 6.答案为：D ；解析：当π2<x<π时，tan x<sin x ，y=2tan x<0；当x=π时，y=0；当π<x<3π2时，tan x>sin x ，y=2sin x<0.故选D. 7.答案为：B ；解析：令kπ－π2<x ＋π3<kπ＋π2，解得kπ－5π6<x<kπ＋π6，k∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3=kπ2，解得x=kπ2－π3，k∈Z ，任取k 值不能得到x=π4，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y=tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误.故选B. 8.答案为：⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ6－π12，0(k∈Z )；解析：由3x ＋π4=kπ2(k∈Z )，得x=kπ6－π12(k∈Z )，所以对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ6－π12，0(k∈Z ). 9.答案为：[－4，4]；解析：∵－π4≤x≤π4，∴－1≤tan x≤1.令tan x=t ，则t∈[－1，1]， ∴y=－t 2＋4t ＋1=－(t －2)2＋5.∴当t=－1，即x=－π4时，y min =－4，当t=1，即x=π4时，y max =4.故所求函数的值域为[－4，4]. 10.答案为：±2；解析：T=π|ω|=π2，∴ω=±2. 11.答案为：(kπ－π2，kπ＋π4](k∈Z )； 12.解：由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x>1或tan x<－1. ∴函数定义域为(kπ－π2，kπ－π4)∪(kπ＋π4，kπ＋π2)(k∈Z )，关于原点对称. f(－x)＋f(x)=lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1=lg(－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1)=lg 1=0. ∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)是奇函数.13.解：①由x 2－π3≠kπ＋π2，k∈Z ，得x≠2kπ＋53π，k∈Z .∴函数的定义域为{x|x∈R 且x≠2kπ＋53π，k∈Z }. ②∵T=π12=2π.∴函数的周期为2π. ③由kπ－π2<x 2－π3<kπ＋π2，k∈Z ，解得2kπ－π3<x<2kπ＋53π，k∈Z . ∴函数的单调增区间为(2kπ－π3，2kπ＋53π)，k∈Z . ④由x 2－π3=kπ2，k∈Z ，得x=kπ＋23π，k∈Z . ∴函数的对称中心是(kπ＋23π，0)，k∈Z . 14.答案为：(kπ＋6π5，kπ＋3π2)(k∈Z )； 15.解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T=π2，即π|ω|=π2. 因为ω>0，所以ω=2，从而f(x)=tan(2x ＋φ).因为函数y=f(x)的图象关于点M(－π8，0)对称，所以2×(－π8)＋φ=kπ2，k∈Z ，即φ=kπ2＋π4，k∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ=π4，故f(x)=tan(2x ＋π4). (2)令－π2＋kπ<2x＋π4<π2＋kπ，k∈Z ，得－3π4＋kπ<2x<kπ＋π4，k∈Z ，即－3π8＋kπ2<x<π8＋kπ2，k∈Z . 所以函数的单调递增区间为(－3π8＋kπ2，π8＋kπ2)，k∈Z ，无单调递减区间. (3)由(1)知，f(x)=tan(2x ＋π4). 由－1≤tan(2x＋π4)≤3，得－π4＋kπ≤2x＋π4≤π3＋kπ，k∈Z ，即－π4＋kπ2≤x≤π24＋kπ2，k∈Z . 所以不等式－1≤f(x)≤3的解集为{x|－π4＋kπ2≤x≤π24＋kπ2，k∈Z }.。

高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωx φ)的图象(1)课件3新人教A版必修4

6
个单位长度得
3
y2=sin[(2x+ )- ]=sin(2x+ )=cos 2x的图象.
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2
【补偿训练】将y=sin x的图象怎样变换可得到函数y=2sin(2x+ )
3
23
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只需将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度，可得到此函数
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的图象.
答案：左
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【延伸探究】若把本例2中的“ -2x”改为“ +2x”，其他条件不
3
3
变，应如何变换？
【解析】因为 y cos 2x sin( 2x) sin[2(x ) ]
A.向左平行移动 1 个单位长度
2
B.向右平行移动 1 个单位长度
2
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
2.(2015·苏州高一检测)要得到函数y=sin( -2x)，只需将函数 y=cos 2x的图象向______平移_______个单位3长度.
【解题探究】1.典例1中，为确定平移方向和平移量，需对
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f(x)=sin( 1)x，所以
f ( ) sin(1 ) sin 2 .
26
6
26 6
42
答案： 2
2
【方法技巧】三角函数图象伸缩变换的方法
【变式训练】(2015·温州高一检测)将函数y=sin(x-
6
)的图象上所有
点的横坐标缩短为原来的 1(纵坐标不变)，再将所得函数的图象向左
-x)=cos(x- )=cos[(x-
2
)-
6
]，
3
所以将函数y=cos(x- )的图象向右平移个单位长度可得到函数

高中数学必修四《三角函数y=Asin(wx+)的图象》优秀教学设计

1.5函数y=Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0的图象教学目标： 1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。

2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。

3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。

教学重点：函数y = Asin(wx+ϕ)的图像的画法和设图像与函数y=sinx 图像的关系。

教学难点：各种变换内在联系的揭示。

教学过程：复习旧知1.“五点法”作函数y=sinx 简图的步骤，其中“五点”是指什么？ 2．的图象与的图象有什么样的关系？二、新课讲授1. 函数y = sin(x ±k)(k>0)的图象和函数y = sinx 图像的关系是什么？生答：函数y = sin(x ±k)(k>0)的图像可由函数y = sinx 的图像向左(或右)平移k 个单位而得到，这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少)k 个单位，这种变换称为平移变换。

2. 函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx 图像的关系是什么？学生答：函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx 的图像沿x 轴伸长(w<1)或缩短(w>1)到原来的倍而得到，称为周期变换。

这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长(0<w<1)或缩短(w>1)到原来的倍。

3. 函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx 图像的关系是什么？学生答：函数y = Asinx 的图像可由函数y = sinx 的图像沿y 轴伸长(A>1)或缩短(x<1)到原来的A 倍而得到的，称为振幅变换。

这种变换的实质是：横坐标不变，纵坐标伸长(A> | )或缩小(0<A<1)到原来的A 倍。