线性代数第一章课件
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线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
线性代数第一章课件,数学
n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11
线性代数课件第一章第一节PPT课件
第7页/共51页
应用三、电网 工程师利用仿真软件设计电路以及包含 百万晶体管的微芯片.这类软件离不开线性 代数方法和线性代数方程.
第8页/共51页
应用四、经济学和工程学中的线性模型
列昂惕夫 美籍俄裔著名经济学家，1906 年8月日生于俄国彼得堡，1925年毕业于列 宁格勒大学经济系。1928年获德国柏林大 学哲学博士学位。
第9页/共51页
但是，当时MarkⅡ还不能处理500个未知量、 500个方程组的方程组.所以他把这个问题提炼成 42个未知量、42个方程的方程组.
最后，经过56小时的持续运转， MarkⅡ终于求出了一个解.
列昂惕夫开启了通往经济学数学 模型一个新时代的大门，并于1973年 荣获诺贝尔奖.从那时起，其他领域 的研究者也开始使用计算机分析数学 模型. 常用的数学软件有Matlab、Maple、 Mathematica、SAS、Mathcad.
1 2 3
D 0 1 1 2 3 3 2
13 0
4 2 3
D1 3 1 1 8 27 12 12 11
4 3 0
第37页/共51页
14 3
D2 0 3 1 4 9 4 1
1 4 0
1 2 4
D3 0 1 3 4 6 4 9 7
1 3 4
于是，方程组的解为:
11 22 44
例2 计算三阶行列式 D 2 2 1
解二： 利用展开法
3 4 2
D 1 2 1 2 2 1 (4) 2 2
4 2 3 2
3 4
8 27 4(2)
8 14 8
14
第29页/共51页
例3 求解方程
解 方程左端
11 23 49
1 x 0 x2
应用三、电网 工程师利用仿真软件设计电路以及包含 百万晶体管的微芯片.这类软件离不开线性 代数方法和线性代数方程.
第8页/共51页
应用四、经济学和工程学中的线性模型
列昂惕夫 美籍俄裔著名经济学家，1906 年8月日生于俄国彼得堡，1925年毕业于列 宁格勒大学经济系。1928年获德国柏林大 学哲学博士学位。
第9页/共51页
但是，当时MarkⅡ还不能处理500个未知量、 500个方程组的方程组.所以他把这个问题提炼成 42个未知量、42个方程的方程组.
最后，经过56小时的持续运转， MarkⅡ终于求出了一个解.
列昂惕夫开启了通往经济学数学 模型一个新时代的大门，并于1973年 荣获诺贝尔奖.从那时起，其他领域 的研究者也开始使用计算机分析数学 模型. 常用的数学软件有Matlab、Maple、 Mathematica、SAS、Mathcad.
1 2 3
D 0 1 1 2 3 3 2
13 0
4 2 3
D1 3 1 1 8 27 12 12 11
4 3 0
第37页/共51页
14 3
D2 0 3 1 4 9 4 1
1 4 0
1 2 4
D3 0 1 3 4 6 4 9 7
1 3 4
于是，方程组的解为:
11 22 44
例2 计算三阶行列式 D 2 2 1
解二： 利用展开法
3 4 2
D 1 2 1 2 2 1 (4) 2 2
4 2 3 2
3 4
8 27 4(2)
8 14 8
14
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例3 求解方程
解 方程左端
11 23 49
1 x 0 x2
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
任意一项前面的符号就是
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
线性代数第一章、矩阵PPT课件
矩阵的秩的计算方法
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
线性代数课件1(华中科技大学)
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
副对角线 a21
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
1.1.2 n元排列的逆序与对换
一、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
定义 自然数1，2，3…n按一定次序排成一 排，称为n元排列,记为 i1i2 in
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序(或称 自然排列1234….n).
例如：4231为奇排列，则经过1次（奇次）对换变 成为标准排列（自然排列）1234
1.1.3 n阶行列式的定义
一、概念的引入
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
线性代数课件(高教版)1-1
元素全是实数的矩阵称为实矩阵,
元素中含有复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
1 2
2 2 2
4
2 3 5 9
是一个 3 1 矩阵,
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶
A
aam1 amn
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
若线性变换为
y1 x1,
y2 x2 ,
yn xn
y1 x1,
y2 x2 ,
yn xn
称之为恒等变换.
对应
1 0
0 1
0 0
0 0 1
例如
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为
同型矩阵.
例如
1 5
62 与 184
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2.两个矩阵A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m行n列 矩阵.简称m n 矩阵.记作
主对角线 a11
A
a21
a12
a22
线性代数第一章课件
（五）性质5：把行列式的某一列（行） 的各元素乘以同一数，然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第
j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明 该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线 。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章 行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 ㈠ 二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式 中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点 （1）行列式由n!项求和而成 （2）每项是取自不同行、不同列的n个 元素乘积，每项各元素行标按自然顺序 排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然 数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1
《课件：线性代数第一章》课件
基与维数
探讨基底的概念、线性无关性和向量空间的维数。
矩阵的逆和行列式
1
逆矩阵
讲解矩阵的逆的定义、求解方法和逆矩阵的性质。
2
行列式
详细介绍行列式的概念、计算方法和行列式的的推导过程和应用场景。
特征值和特征向量
特征值和特征向量
讲解特征值和特征向量的定义、 性质和应用。
矩阵的基本概念与运算
矩阵加法
介绍矩阵间的加法运算，解释其 定义和性质。
矩阵乘法
探讨矩阵乘法的定义、性质和运 算规则。
矩阵转置
讲解矩阵转置的概念和计算法则， 展示其应用。
向量空间的概念和性质
线性组合
解释向量的线性组合概念，并讨论线性组合的性质和应用。
子空间
介绍子空间的定义、特点和在线性代数中的重要性。
矩阵对角化
详细介绍矩阵对角化的概念、方 法和应用场景。
特征值的应用
展示特征值在实际问题中的应用 案例和意义。
本章内容总结与复习建议
本章总结了线性代数的关键概念和应用，提供了复习建议和习题，以帮助学 生巩固知识并提高应用能力。
线性代数第一章：定义、 作用与应用
本课件将探讨线性代数的定义、作用以及在不同领域中的应用，帮助学生理 解其重要性和实际意义。
线性方程组解法
1
消元法
通过高斯消元法解线性方程组，找到唯一解或多个解。
2
矩阵求逆
使用矩阵的逆求解线性方程组，可得到唯一解。
3
行列式
通过行列式的计算确定线性方程组的解的存在性与唯一性。
探讨基底的概念、线性无关性和向量空间的维数。
矩阵的逆和行列式
1
逆矩阵
讲解矩阵的逆的定义、求解方法和逆矩阵的性质。
2
行列式
详细介绍行列式的概念、计算方法和行列式的的推导过程和应用场景。
特征值和特征向量
特征值和特征向量
讲解特征值和特征向量的定义、 性质和应用。
矩阵的基本概念与运算
矩阵加法
介绍矩阵间的加法运算，解释其 定义和性质。
矩阵乘法
探讨矩阵乘法的定义、性质和运 算规则。
矩阵转置
讲解矩阵转置的概念和计算法则， 展示其应用。
向量空间的概念和性质
线性组合
解释向量的线性组合概念，并讨论线性组合的性质和应用。
子空间
介绍子空间的定义、特点和在线性代数中的重要性。
矩阵对角化
详细介绍矩阵对角化的概念、方 法和应用场景。
特征值的应用
展示特征值在实际问题中的应用 案例和意义。
本章内容总结与复习建议
本章总结了线性代数的关键概念和应用，提供了复习建议和习题，以帮助学 生巩固知识并提高应用能力。
线性代数第一章：定义、 作用与应用
本课件将探讨线性代数的定义、作用以及在不同领域中的应用，帮助学生理 解其重要性和实际意义。
线性方程组解法
1
消元法
通过高斯消元法解线性方程组，找到唯一解或多个解。
2
矩阵求逆
使用矩阵的逆求解线性方程组，可得到唯一解。
3
行列式
通过行列式的计算确定线性方程组的解的存在性与唯一性。
线性代数第1章解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换PPT课件
否则称之为无解或不相容。
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
线性代数 课件-PPT精品文档
16
线性代数
出版社 科技分社
• 1.4
• 从行列式的定义看，一般低阶行列式的计 算比高阶行列式的计算简便.
• 定义2 在n阶行列式D=Δ(aij)中，把元素aij 所在的第i行和第j列划去，剩下元素按原来 的相对位置不变形成的一个n-1阶行列式， 17
线性代数
出版社 科技分社
• 称之为D中元素aij的余子式，记为Mij；称 Aij=(-1)i+jMij为aij的代数余子式.
28
线性代数
出版社 科技分社
• 2.2.3 矩阵的乘法 • 定义4 设A=(ai k)m×s,B=(bk j)s×n,则称C=(cij)m×n
为矩阵A与B的乘积,记为C=AB,
29
线性代数
出版社 科技分社
• 2.2.4
• 定义5 把矩阵A的行列依次互换得到的新 矩阵称为A的转置矩阵，记为AT.
30
• 性质1 向量组线性无关的充分必要条件是 向量组所含向量的个数等于其秩.
• 性质2 设向量组A的秩为r1，向量组B的秩 为r2，如果A组能由B组线性表示，则r1≤r2.
• 性质3 等价的向量组有相同的秩.
57
线性代数
• 证 设矩阵
• 3.4
出版社 科技分社
58
线性代数
• 定理8 正交向量组一定线性无关.
36
线性代数
出版社 科技分社
• 这里k≤min(m，n)，共有CkmCkn个k阶子式. • 定义9 如果矩阵A有一个不等于零的r阶子
式D，并且所有r+1阶子式(如果有)全等于零， 则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为矩 阵A的秩，记为R(A)=r，并规定零矩阵的秩 等于零.
线性代数第一章第一节PPT课件
01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利 用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是 当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大 大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量 空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列 式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空 间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性 代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩 阵中的每一行可以看作是一 个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切 相关的概念，矩阵可以看作 是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计 算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、 分配律等。
向量可以用有向线段、坐 标系中的点或有序数对来 表示。
向量有大小和方向两个基 本属性，大小表示向量的 长度，方向表示向量的指 向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，表示二维数组。
线性代数课件第一章
一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可规定由小到 大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当 某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
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Ain 1 Ai 1 1 Ai 2 1 Ai 3
a11 ai 1,1 1 ai 1,1 a n1 a1n ai 1,n 1 ai 1,n ann
分析：
Ai 1 Ai 2 Ai 3
a11 ai 1,1 D ai 1 ai 1,1 a n1
21
1 Ain
解：
(1) A11 A12 A13 A14
1 1 1 2
1 1 3
1 0 1
1 5 r4 r3 3
4 1 3
r3 r1
23
r4 r3
1 1
1 1
1
1
r3 r1
0 5 ( 1)1 3 2 2 2 2 0 2 1 1 1 1 0 0
n
D , 当i j , aki Akj D ij k 1 0 , 当i j ;
n
1 , 当 i j ， 其中 ij 0 , 当 i j .
20
问题：设 D det (aij ) 中 aij 对应的代数余子式记为 Aij ,
那么
(1) Ai 1 Ai 2 Ai 3 Ain ? (2) b1 A1 j b2 A2 j b3 A3 j bn Anj ?
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn ?
a11 a1 n ain
i j.
分析
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn
ai 1 ai 1 a n1
0
ain ann
故 , 当 i j 时 , ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
a1n 0 ann
a11 0 a n1
a12 ai 2 an 2
a1n 0 ann
a11 0 a n1
a12 0 an 2
a1n ain ann
ai 1 a n1
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
13
ain Ain .
i 1, 2,
, n
□
例1
D
3 5 2 1
6
5 5
5
例2 计算行列式
3
1 2 0 2 3 3 5 2 1 0 5 0
1 7 D 0 2 0 2 5 2 1 0 5 0
0 4 1 4 0 5
解
3
1 2 0 2 3 3
1 7 D 0 2 0 2
0 4 1 4 0
15
5 3 1 2 2 3 1 3 1 2 5 0 2 1 2 2 5 4 1 4 0 4 1 4 2 3 5 0 2 3 5
a1 j ai 1, j a ij a nj
a1n ai 1,n 0 ann 0 a1n
aij 在
ai 1,1 0 a n1 aij
中的余子式
与 aij 在
a1 j ai 1, j anj
中的余子式 相同 ,
ai 1,n 设为 M ij . ann
10
a11 ai 1,1 0 a n1 aij a1 j 1
( i j ).
ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
ain Ajn 0, i j ,
a1i A1 j a2 i A2 j
ani Anj 0, i j .
关于代数余子式的重要性质
D , 当i j , aik Ajk D ij k 1 0 , 当i j ;
a24 1 3 3 a a 33 21 0 a41 a44
a11
a12 a22 a42
a14 a24 . a44
5
引理 6.1 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元 素除 aij 外都为零，那么这行列式等于 aij 与 它的代数余子式的乘积，即 D aij Aij ． （1）当 aij 位于第一行第一列时, 证明 ：
D a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 M 23 a31 a41
a12 a32 a42
2 3
a14 a34 a44
A23 1
M 23 M 23 .
说明：余子式和代数余子式与aij的值无关, 与其所在的 行、列的元素无关，而只与 元素的下标 (位置) 有关 .
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn
ani Anj 0, i j .
a11 ai 1 ai 1 a n1 a1 n ain
0
ain ann
故 , 当 i j 时 , ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
19
ain Ajn 0,
a11 D a21 a n1 0 a22 an 2 0 a2 n ann
(P14例10结论)
有 D a11 M11 ,
因 A11 1 M11 M11 ,
11
故 D a11 A11 .
6
（2）一般情形
a11 D 0 a n1
a1 j aij a nj
a1n 0 ann
把 D 的第 i 行依次与 第 i 1 行, 第 i 2 行,
a1n ai 1,n ain ai 1,n ann
同理可知
a11
b1 A1 j b2 A2 j b3 A3 j
bn Anj
a1, j 1
b1
a1, j 1 a n , j 1 a1, j 1 a n , j 1
a1n . ann a1n ann
a n1 a11 D a n1
0 a11
i 1
0 a12 ai 1,2 an 2
aij a1 j ai 1, j anj
0 a1n ai 1,n ann
…, 第1行对调, 得
D 1
ai 1,1 a n1
7
再把第 j 列依次与第 j 1列 , 第 j 2列 , … , 第1 列对调 .
aij a1 j 0 a11 ai 1,1 a n1 0 a12 ai 1,2 an 2 0 0 ai 1,n a nn
anj Anj .
, n
i , j 1,2,
12
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
证明：
a11 a12 0 0 ai 2 an 2 0
ain Ain
a1n 0 0 ain ann
D ai 1 0 a n1
a11
a12 0 an 2
一般地，对于一个n阶行列式，
D？ ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
3
ain Ain
i 1,2, , n.
定理 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式
等于它的任一行（列）的各元素与其
对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
D a1 j A1 j a2 j A2 j
§6
行列式按行(列)展开
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
引例 a11 a12 a13
a21 a22 a31 a32 a23 a33
a11 a22a33 a23a32 a12 a21a33 a23a31
a13 a21a32 a22a31
a22 a11 a32
a23 a21 a12 a33 a31
a23 a33
a13
a21 a22 a31 a32
1
一、余子式与代数余子式
定义 6.1 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做 记作 M ij . 元素 aij 的余子式， i j 叫做元素 a ij的代数余子式 ． 记 Aij 1 M ij ， 例如
2
引例
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a22 a23 a11 a32 a33
a13
a23 a21 a a33 12 a31
a23 a33
a13
a21 a22 a31 a32
a11 A11 a12 A12 a13 A13 ？ a21 A21 a22 A22 a23 A23 ？ a31 A31 a32 A32 a 1
1
j 1
ai 1, j anj
8
aij a1 j i j2 D ( 1) ai 1, j anj aij a1 j i j ( 1) ai 1, j anj
0 a11 ai 1,1 an1 0 a11 ai 1,1 an1
aij Aij .
□
11
二、行列式按行（列）展开法则
定理 6.2 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
D a1 j A1 j a2 j A2 j
ain Ain
2 3 1 7 2 r2 2r1 10 0 7 2 10 2 6 6 r3 r1 0 6 6
20 42 12 1080.
16
二、行列式按行（列）展开法则
定理 6.2 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式
等于它的任一行（列）的各元素与其
ain Ain
anj Anj .
, n
i , j 1,2,
a11 ai 1,1 1 ai 1,1 a n1 a1n ai 1,n 1 ai 1,n ann
分析：
Ai 1 Ai 2 Ai 3
a11 ai 1,1 D ai 1 ai 1,1 a n1
21
1 Ain
解：
(1) A11 A12 A13 A14
1 1 1 2
1 1 3
1 0 1
1 5 r4 r3 3
4 1 3
r3 r1
23
r4 r3
1 1
1 1
1
1
r3 r1
0 5 ( 1)1 3 2 2 2 2 0 2 1 1 1 1 0 0
n
D , 当i j , aki Akj D ij k 1 0 , 当i j ;
n
1 , 当 i j ， 其中 ij 0 , 当 i j .
20
问题：设 D det (aij ) 中 aij 对应的代数余子式记为 Aij ,
那么
(1) Ai 1 Ai 2 Ai 3 Ain ? (2) b1 A1 j b2 A2 j b3 A3 j bn Anj ?
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn ?
a11 a1 n ain
i j.
分析
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn
ai 1 ai 1 a n1
0
ain ann
故 , 当 i j 时 , ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
a1n 0 ann
a11 0 a n1
a12 ai 2 an 2
a1n 0 ann
a11 0 a n1
a12 0 an 2
a1n ain ann
ai 1 a n1
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
13
ain Ain .
i 1, 2,
, n
□
例1
D
3 5 2 1
6
5 5
5
例2 计算行列式
3
1 2 0 2 3 3 5 2 1 0 5 0
1 7 D 0 2 0 2 5 2 1 0 5 0
0 4 1 4 0 5
解
3
1 2 0 2 3 3
1 7 D 0 2 0 2
0 4 1 4 0
15
5 3 1 2 2 3 1 3 1 2 5 0 2 1 2 2 5 4 1 4 0 4 1 4 2 3 5 0 2 3 5
a1 j ai 1, j a ij a nj
a1n ai 1,n 0 ann 0 a1n
aij 在
ai 1,1 0 a n1 aij
中的余子式
与 aij 在
a1 j ai 1, j anj
中的余子式 相同 ,
ai 1,n 设为 M ij . ann
10
a11 ai 1,1 0 a n1 aij a1 j 1
( i j ).
ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
ain Ajn 0, i j ,
a1i A1 j a2 i A2 j
ani Anj 0, i j .
关于代数余子式的重要性质
D , 当i j , aik Ajk D ij k 1 0 , 当i j ;
a24 1 3 3 a a 33 21 0 a41 a44
a11
a12 a22 a42
a14 a24 . a44
5
引理 6.1 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元 素除 aij 外都为零，那么这行列式等于 aij 与 它的代数余子式的乘积，即 D aij Aij ． （1）当 aij 位于第一行第一列时, 证明 ：
D a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 M 23 a31 a41
a12 a32 a42
2 3
a14 a34 a44
A23 1
M 23 M 23 .
说明：余子式和代数余子式与aij的值无关, 与其所在的 行、列的元素无关，而只与 元素的下标 (位置) 有关 .
ai 1 A j 1 a i 2 A j 2 ain Ajn
ani Anj 0, i j .
a11 ai 1 ai 1 a n1 a1 n ain
0
ain ann
故 , 当 i j 时 , ai 1 A j 1 ai 2 A j 2
19
ain Ajn 0,
a11 D a21 a n1 0 a22 an 2 0 a2 n ann
(P14例10结论)
有 D a11 M11 ,
因 A11 1 M11 M11 ,
11
故 D a11 A11 .
6
（2）一般情形
a11 D 0 a n1
a1 j aij a nj
a1n 0 ann
把 D 的第 i 行依次与 第 i 1 行, 第 i 2 行,
a1n ai 1,n ain ai 1,n ann
同理可知
a11
b1 A1 j b2 A2 j b3 A3 j
bn Anj
a1, j 1
b1
a1, j 1 a n , j 1 a1, j 1 a n , j 1
a1n . ann a1n ann
a n1 a11 D a n1
0 a11
i 1
0 a12 ai 1,2 an 2
aij a1 j ai 1, j anj
0 a1n ai 1,n ann
…, 第1行对调, 得
D 1
ai 1,1 a n1
7
再把第 j 列依次与第 j 1列 , 第 j 2列 , … , 第1 列对调 .
aij a1 j 0 a11 ai 1,1 a n1 0 a12 ai 1,2 an 2 0 0 ai 1,n a nn
anj Anj .
, n
i , j 1,2,
12
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
证明：
a11 a12 0 0 ai 2 an 2 0
ain Ain
a1n 0 0 ain ann
D ai 1 0 a n1
a11
a12 0 an 2
一般地，对于一个n阶行列式，
D？ ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
3
ain Ain
i 1,2, , n.
定理 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式
等于它的任一行（列）的各元素与其
对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
D a1 j A1 j a2 j A2 j
§6
行列式按行(列)展开
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
引例 a11 a12 a13
a21 a22 a31 a32 a23 a33
a11 a22a33 a23a32 a12 a21a33 a23a31
a13 a21a32 a22a31
a22 a11 a32
a23 a21 a12 a33 a31
a23 a33
a13
a21 a22 a31 a32
1
一、余子式与代数余子式
定义 6.1 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做 记作 M ij . 元素 aij 的余子式， i j 叫做元素 a ij的代数余子式 ． 记 Aij 1 M ij ， 例如
2
引例
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a22 a23 a11 a32 a33
a13
a23 a21 a a33 12 a31
a23 a33
a13
a21 a22 a31 a32
a11 A11 a12 A12 a13 A13 ？ a21 A21 a22 A22 a23 A23 ？ a31 A31 a32 A32 a 1
1
j 1
ai 1, j anj
8
aij a1 j i j2 D ( 1) ai 1, j anj aij a1 j i j ( 1) ai 1, j anj
0 a11 ai 1,1 an1 0 a11 ai 1,1 an1
aij Aij .
□
11
二、行列式按行（列）展开法则
定理 6.2 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
D a1 j A1 j a2 j A2 j
ain Ain
2 3 1 7 2 r2 2r1 10 0 7 2 10 2 6 6 r3 r1 0 6 6
20 42 12 1080.
16
二、行列式按行（列）展开法则
定理 6.2 （Laplace展开定理、降阶定理） 行列式
等于它的任一行（列）的各元素与其
ain Ain
anj Anj .
, n
i , j 1,2,