2011年高考一轮数学复习 9-8空间向量及其运算(b) 理同步练习(名师解析)

合集下载

高考一轮复习课时作业(人教版)：8-6空间向量及其运算word版含答案

8-6空间向量及其运算A 级基础达标演练 (时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·济宁一模)若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )． A ．{a ，a ＋b ，a －b } B ．{b ，a ＋b ，a －b } C ．{c ，a ＋b ，a －b }D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }解析若c 、a ＋b 、a －b 共面，则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底．答案 C2．(2012·淮南调研)以下四个命题中正确的是( )． A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间向量的另一组基底C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a ＋b 、b ＋c 、c ＋a 为共面向量，则a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，(1－μ)a ＝(λ－1)b ＋(λ＋μ)c ，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a ＝λ－11－μb ＋λ＋μ1－μc ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量基底矛盾．答案 B3．(2012·天津模拟)有下列命题： ①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b .③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析其中①③为正确命题．答案 B4．如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )．A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →) ＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 答案 A5．(2012·晋中调研)如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )．A ．0 B.12 C.32D.22解析设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |， OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a·c －a·b＝12|a||c |－12|a||b|＝0，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案 A二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·东北三校联考)如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________________．解析 ∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23ON →－23OM →＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC → ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13. 答案 16，13，137．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝________.解析如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC → ＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝0 答案 08．已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，则CD 的长为________．解析设BD →＝a ，AB →＝b ，AC →＝c 由已知条件|a |＝8，|b |＝4，|c |＝6〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝60° |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|－c ＋b ＋a |2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ＝68，则|CD →|＝217. 答案 217 cm 三、解答题(共23分)9．(11分)证明三个向量a ＝－e 1＋3e 2＋2e 3，b ＝4e 1－6e 2＋2e 3，c ＝－3e 1＋12e 2＋11e 3共面．证明设a ＝x b ＋y c ，由已知条件⎩⎨⎧4x －3y ＝－1，－6x ＋12y ＝3，2x ＋11y ＝2.解得x ＝－110，y ＝15，即a ＝－110b ＋15c .故a ，b ，c 三个向量共面．10．(12分)如右图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心， (1)试证A 1、G 、C 三点共线； (2)试证A 1C ⊥平面BC 1D ； (3)求点C 到平面BC 1D 的距离．(1)证明 CA 1→＝CB →＋BA →＋AA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→，可以证明：CG →＝13(CB →＋CD →＋CC 1→)＝13CA 1→， ∴CG →∥CA 1→即A 1、G 、C 三点共线．(2)证明设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∵CA 1→＝a ＋b ＋c ，BC 1→＝c －a ，∴CA 1→·BC 1→＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝c 2－a 2＝0， ∴CA 1→⊥BC 1→，即CA 1⊥BC 1，同理可证：CA 1→⊥BD →，因此A 1C ⊥平面BC 1D .(3)解 ∵CA 1→＝a ＋b ＋c ，∴CA 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＝3a 2，即|CA 1→|＝3a ，因此|CG →|＝33a .即C 到平面BC 1D 的距离为33a .B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB ＝90°，则GM 的长为( )． A.12 B.22 C.33 D.66 解析设DA →＝a ，DB →＝b ，DC →＝c .AM →＝AD →＋λDG → ＝－a ＋λ3(a ＋b ＋c ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3－1a ＋λ3b ＋λ3c ， BM →＝BA →＋AM →＝(a －b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3－1a ＋λ3b ＋λ3c＝λ3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ3－1b ＋λ3c由AM →·BM →＝0可解得λ＝12 |MG →|＝12|DG →|＝66. 答案 D2．(2012·郑州模拟)下列命题中 ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |的充要条件是a 与b 不共线；③若非零向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则c ⊥d .正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析只有命题③是正确命题．答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________． ①OM →＝2OA →－OB →－OC →；②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →； ③MA →＋MB →＋MC →＝0；④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0；解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴MA →＝－MB →－MC →，则MA →、MB →、MC →为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案 ③4．(2012·厦门质检)如图，空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值等于________．X解析设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c . OA 与BC 所成的角为θ， OA →·BC →＝a (c －b )＝a ·c －a ·b ＝a ·(a ＋AC →)－a ·(a ＋AB →)＝a 2＋a ·AC →－a 2－a ·AB →＝24－16 2. ∴cos θ＝|OA →·BC →||OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.答案3－225 三、解答题(共22分)5．(10分)如右图，在空间四边形SABC 中，AC 、BS 为其对角线，O 为△ABC 的重心，试证： (1)OA →＋OB →＋OC →＝0； (2)SO →＝13(SA →＋SB →＋SC →)．证明 (1)OA →＝－13(AB →＋AC →)，① OB →＝－13(BA →＋BC →)，② OC →＝－13(CA →＋CB →)，③ ①＋②＋③得OA →＋OB →＋OC →＝0. (2)SO →＝SA →＋AO →，④ SO →＝SB →＋BO →，⑤ SO →＝SC →＋CO →，⑥由(1)得：AO →＋BO →＋CO →＝0. ④＋⑤＋⑥得3SO →＝SA →＋SB →＋SC →即SO →＝13(SA →＋SB →＋SC →)．6．(12分)如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EF →·DC →；(3)EG 的长； (4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c . 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ， BA →＝－a ，DC →＝b －c ， (2)EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14， EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c )＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14；(3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22. (4)AG →＝12b ＋12c ， CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。

1.1.1空间向量及其加减运算同步练习

1.1.1空间向量及其加减运算同步练习一、单项选择题1 .空间四边形OABC中,W L +AB-CB=< )A. OCB. OAC. A§D. AC【答案】A【解析】根据向量的加法、减法法那么,得方+而-丽=砺_函=历+觉=反.应选A.2 .己知D, E, F分别是aABC的边AB, BC, CA的中点,那么()A. AD + BE + CF=OB. BD-CF + DF = Oc. AD+CE-CF =6D.BD-BE-FC =6【答案】A【解析】•.•而=瓦,,病+分后=而+诟=方后=左,得而+砺+万;二.,或A5+ 卢+ C尸=4尸+.尸="应选A.3 .空间四边形ABC.中,假设E, F, G, H分别为AB, BC, CD, ZM边上的中点,那么以下各式中成立的是 ()A. EB+BF + EH+GH=6B. EB + FC + EH+GE =6c. ~EF+FG+EH+GH =6D.EF-FB+CG+GH =6【答案】B【解析】如图由题意得用+左=赤+而=育,而+历= 377,易证四边形"GH为平行四边形,故而+丽？=6应选B.4 .在直三棱柱中,假设31 = 1 丽=否,cq=c,那么奉=〔〕A・Q+I-G B. q—否+C C. -a + » + c D. -a+S-c【答案】D【解析】A^B = A}A + A]B l = —eg +GM — G4 = -CC1 +CB - CA = -c+b —ci,应选D.5 .以下命题中是真命题的是〔〕A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,那么这两个向量不是共面向量B.假设|矶=同,那么无5的长度相等而方向相同或相反C.假设向量瓯函,满足|四且AB与前同向,那么血〉而D.假设两个非零向量血与丽满足荏+①=0,那么福〃前【答案】D【解析】由于空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共而,选项A错误；由于|4 = |可仅表示不与B的模相等,与方向无关,选项5错误：由于空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比拟,因此也就没有1月＞6这种写法,选项C错误：•;通+①=6,・・・福=—函,,而与丽共线,故而〃访,选项.正确.应选D.6 .在平行六面体ABCD--ABCD中,各条棱所在的向量中,模与向量痔的模相等的向量有〔〕A. 7个B. 3个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】画出平行六面体结构如以下图所示所以与H9的模相等的向量有肮不,无反而,CD,DC,W,ZTb共7个.应选A7 .空间任意四个点A、B、C、D,那么丽+在一曲等于〔〕A. ~DBB. ADC. DAD. AC【答案】c【解析】如图zU + CB-COnCZ + OCnO/C应选C.8 .在三棱柱ABC-A5G中,假设A月=£,4j=反4<=3,那么G^=〔〕A・a + h - c B・a — b + c C・—a+b — c D・.一 b - c【答案】D【解析】如下图：根据向量线性运算的加法法那么有./=£4 + 4乂 + 4月=—〃—〔：+4,整理顺序得：C月=4一〃—2应选D9,P是正六边形A8COEE外一点,.为正六边形A8COEE的中央,那么尸A + P8 + PC + PO + P石+尸产等于〔〕【答案】c【解析】l^ + l^ + PC + l^b + PE + PF = 6Pd + (OA + OB + OC + OD + OE + OF) = 6PO.应选c10 .如图,直三棱柱ABC -AMG 中,假设cX = £, cB = I ；,co =c ＞那么还等于〔〕【答案】C【解析】丽=而一丽=〔屈一夕〕一直,・・・菊=西=2,二质=B —应选c.11 .如下图,在正方体A8C .-44Gq 中,以下各式中运算结果为向量4G 的是〔〕(^)(AB + BC) + CC [：②(明+4Z)]) + /)G ： (AB + 881) +AG ；④(AAj+A£) + AG ・【答案】D【解析】对于①,原式=A C+CC ； = AC ；,符合题意,对于②,原式=AZ X+AG =A C ］,符合题意对于③,原式= A8I+8C = AC ；,符合题意.对于④,原式= A3|+4C ； = AC ；,符合题意.综上所述.A. POB. 3P6 D.d A ・ a + h-cD ・ b-a + cA.①③B. @@C.③④ D . CD@③④C. 6PO B.a应选D.12 .在空间假设把平行于同一平而且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是〔〕A. 一个球B. 一个圆C.半圆D. 一个点【答案】B【解析】平行于同一平面的所有非零向量是共面向量,把它们的起点放在同一点,那么终点在同一平面内,又这些向量的长度相等,那么终点到起点的距离为定值.故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是一个圆.应选3.二、填空题13 .直三棱柱ABC —A筋G中,假设CA = d,CB=6,CC[=^ ,那么朋|=.【答案】a—b +c【解析】直三棱柱ABC —A心G中,假设c4 = qc月= 6,CC； = 1BA^ =BA + AA i =CA-CB + CCi =a-b+c故填〃一〃十,14 .在正方体ABC.—中,点M是HA1的中点,丽=Z,AD = b » A\=c,用Z,/；,2表示函,那么函=.___ _ 1【答案】CM =-a-b+-c2【解析】-CM =CB + BA + AM =-BC-AB + Mf •又・.・M是A4 的中点,/. AA/= ；A4；, 乙CM ——BC — AB 4—, •； AB = ci,AD—b > AAy = c, : .CM ——a — b H—c ,故填2 2CM = _a _ b + _ c .215 .在正方体以3C力-月6GP中,给出以下向量表达式：①〔4.；-m〕-A月：②西+竭〕-DC：③〔A D-A Q〕-DD；：④区〞+4小十.〞.其中能够化简为向量8a的是_________ .【答案】①②【解析】①中,〔A.；一=②中,〔B〔j+BB；〕 - D£； = BC； - DC = BD；；③中,〔Ab-AB〕-DD； = BD-D*BD：：④中,〔而'+而+函=而+函=瓦帝国.故填①②16 .给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共而的：②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量：③空间向量的加法满足结合律：〔〃+5〕+5="+0+^〕：④首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.请将正确的说法题号填在横线上：.【答案】①©©【解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,那么3点共面,可知两向量共而,①正确：②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误；③中,空间向量加法满足结合律,③正确：④中,由向量加法的三角形法那么可知④正确.故填①③④17 .如图,在长方体A8CO — A4G2中,长、宽、高分别为48 = 3, AD = 2, M = 1»以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：〔1〕单位向量共有个；〔2〕模为"的向量共有个；〔3〕与4区相等的向量共有个;〔4〕eq.的相反向量共有个.Dx GA B【答案】(1)8： (2) 8： (3) 3： (4) 4.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量分别为4乂,BB；, B岛 cc r cQ,西,印,共8个向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为、回,故模为6的向量有, A A 4.以,BC；CB,共8个.(3)与向量AR相等的所有向量(除它自身)有AR D C D G,共3个.(4)向量eq.的相反向量为A A4A C Q,〃力,共4个.故填(1) 8； (2) 8； (3) 3； (4) 4.18 .对于空间中的非零向量而,BC,AC,有以下各式：®AB + BC = AC^ ®AB-AC = BCi③网+|明=1码：④网码=|罔.其中一定不成立的是________ (填序号).【答案】②【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①而+沅二/恒成立：对于③当而,或方向相同时,有口回+|比卜|才4；对于④当人后,衣方向相同且|而上时,^-I|/I5|-|AC|=|BC|,对于②由向量减法可知而-/=屈,所以②一定不成立.故填②三、解做题19 .如图,己知一点.到平行四边形A8C.的三个顶点A,B, C的向量分别为小号不,求功.DO【解析】由于而= OC + C.,CD = BA = OA-OB所以而= 4 + 4—5.20 .如下图,棱长为1的正三棱柱A8C-A/1G.〔1〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出与向量AB相等的向量: 〔2〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出向量4?的相反向量：〔3〕假设E是3所的中点,列举出与向量A百平行的向量.【解析】〔1〕由正三棱柱的结构特征知,与向量A月相等的向量只有AR：〔2〕向量就的相反向量为C4G4.〔3〕诲是与AE平行的向量.21 .如下图,在三棱柱ABC-45G中,M是8片的中点,化简以下各式：〔1〕万+砒；〔2〕 4月+ 4G+GC；⑶戒-的-屈；〔4〕A4〕+ AB-AM .【解析】(1) AB + B\= A\.(2)4+照+束=隔+照+汞=4d⑶ Mf-BM-CB = AM+MB + BC = AC-(4) ^A4j +AB-AM = BM + AB +MA = AB +BM +AM = O .22.如图,在空间四边形S48c中,AC,BS为其对角线,.为3c的重心.(1)证实：OA + OB + OC = 0^(2)证实：SO = L(SX + SB +元).S【解析】〔1〕由于.为△A5C的重心,所以〕=_.〔砺+ *〕①,OB=--〔BA + BC〕②,OC=-1〔CA + CB〕③.©+②+③可得9+砺+配=」印+硝」〔丽+硝」〔而+阚=0,即砺+元=0.〔2〕由于例=玄 +而®,SO = SB + BO ®^SO = SC + CO⑥,由〔1〕知〕+砺 + 反=0,所以④+⑤+⑥可得3而=〔玄+而〕+ 〔况+旃〕+ 〔豆+初〕=中+况+豆,即SO = ；〔SZ + S8 +豆〕.。

2221年高考一轮数学复习 9-8空间向量及其运算(B) 理同步练习(名师解析)

第9章第8节知能训练·提升考点一：空间向量的有关概念、定理及运算1．假设a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，那么以下等式不一定成立的是( )A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·cC ．m (a ＋b )＝m a ＋m bD ．(a ·b )c ＝a (b ·c )解析：∵(a ·b )c 与c 共线，而a (b ·c )与a 共线，(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．答案：D2．在以下命题中，不正确的个数为( )①A 、B 、C 、D 是空间任意四点，那么AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件． ③假设a 与b 共线，那么a 与b 所在直线平行．④对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，假设OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，那么P 、A 、B 、C 四点共面．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CA →＝0，①正确．|a |－|b |＝|a ＋b |成立的充要条件是a 与b 共线且方向相反且|a |＞|b |，因此②错，由向量平行知到直线平行或重合③不正确，由空间向量中点共面知④不正确．答案：C3．以下四个命题中正确的选项是( )A.OP →＝12OA →＋13OB →，那么P 、A 、B 三点共线B ．假设〈a ，b ，c 〉为空间的一个基底，那么〈a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 〉构成空间的另一基底C ．a ·b ·c ＝|a ||b ||c |D ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 答案：B4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，假设AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，那么x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1解析：AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋B 1C 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)＝AA 1→＋12AB →＋12AC →.答案：C考点二：证明平行、垂直及求角与距离5．(2022·临沂检测)如下图，空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，那么cos 〈OA →，BC →〉的值为________．解析：因为OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA→|·|OB →|·cos〈OA →，OB →〉．因为OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，所以OA →·BC →＝0，即OA ⊥BC ，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0.答案：06．(2022·河南局部重点中学联考)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有以下三个条件：①A 1B ⊥AC 1；②A 1B ⊥B 1C ；③B 1C 1＝A 1C 1.试利用①、②、③构造出一个正确的命题________．解析：如图，设C 1A 1→＝a ，C 1B 1→＝b ，C 1C →＝c ，由A 1B ⊥AC 1⇔A 1B →·AC 1→＝0⇔(b －a ＋c )(－c－a )＝0，所以a ·b ＝|a |2－|c |2①由A 1B ⊥B 1C ⇔A 1B →·B 1C →＝0⇔(b －a ＋c )(c －b )＝0，所以a ·b ＝|b |2－|c |2②由B 1C 1＝A 1C 1得|a |2＝|b |2③由①②③不难看出①、②⇒③；①、③⇒②；②③⇒①. 答案：①②⇒③(或①③⇒②；②③⇒①)7．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，3AD ＝DC ＝3，AB ＝2，E 是DC 上一点，满足DE ＝1，连结AE ，将△DAE 沿AE 折起到△D 1AE 的位置，使得∠D 1AB ＝60°，AC 与BE 的交点为O .(1)试用基向量AB →、AE →、AD 1→表示向量OD 1→； (2)求异面直线OD 1与AE 所成的角；(3)判断平面AD 1E 与平面ABCE 是否垂直，并说明理由．解：(1)根据，可得四边形ABCE 为平行四边形，所以O 为BE 的中点， OD 1→＝AD 1→－AO →＝AD 1→－12(AB →＋AE →)＝AD 1→－12AB →－12AE →.(2)OD 1→·AE →＝(AD 1→－12AB →－12AE →)·AE →＝1×2cos45°－12×2×2×cos45°－12×(2)2＝－1，∵OD 1→2＝(AD 1→－12AB →－12AE →)2＝32，∴|OD 1→|＝62，∴cos〈OD 1→，AE →〉＝OD 1→·AE →|OD 1→|·|AE →|＝－162×2＝－33，所以OD 1与AE 所成的角为arccos33. (3)设AE 的中点为M ，那么MD 1→＝AD 1→－12AE →.∵MD 1→·AB →＝AD 1→·AB →－12AE →·AB →＝1×2cos60°－12×2×2cos45°＝0，∴MD 1→⊥AB →.∵MD 1→·AE →＝AD 1→·AE →－12AE →2＝2cos45°－12×(2)2＝0，∴MD 1→⊥AE →.所以MD 1垂直于平面ABCE 内两条相交直线． ∴MD 1⊥平面ABCE ，而D 1M ⊂平面AD 1E ；所以平面AD 1E ⊥平面ABCE .8．三棱柱ABC －A 1B 1C 1是各棱长为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点． (1)求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1； (2)求点C 到平面AB 1D 的距离；(3)求平面AB 1D 与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小．解：如图．(1)取AB 1的中点M ，那么DM →＝DC →＋CA →＋AM →. 又DM →＝DC 1→＋C 1B →＋B 1M →，两式相加得2DM →＝CA →＋C 1B 1→＝CA →＋CB →.由于2DM →·AA 1→＝(CA →＋CB →)·AA 1→＝0， 2DM →·AB →＝(CA →＋CB →)·(CB →－CA →)＝|CB →|2－|CA →|2＝0， ∴DM ⊥AA 1，DM ⊥AB ，∴DM ⊥平面ABB 1A 1，而DM ⊂平面AB 1D ，∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1. (2)一方面A 1B ⊥DM .另一方面A 1B →·AB 1→＝(AB →－AA 1→)·(AB →＋AA 1→)＝|AB →|2－|AA 1→|2＝0， ∴A 1B ⊥AB 1，∴A 1B ⊥平面AB 1D ， ∴A 1B →是平面AB 1D 的法向量，所以C 点到平面AB 1D 的距离为d ＝|AC →·A 1B →|A 1B →||＝|AC →·(AA 1→＋A 1B →)|2a＝|AC →·AB →|2a ＝12a 22a ＝24a .(3)平面ABC 的法向量是AA 1→，而平面AB 1D 的法向量BA 1→，故所求二面角θ的余弦值为cos θ＝AA 1→·BA 1→|AA 1→||BA 1→|＝AA 1→·(AA 1→－AB →)a ·2a＝a 22a2＝22，∴θ＝45°. 1.(2022·福建)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，那么异面直线A 1E 与GF 所成的角是( )A ．arccos 155B.π4C ．arccos 105D.π2解析：解法一：A 1E →＝12D 1D →－D 1A 1→，GF →＝12D 1D →＋DA →＋12BA →，∴A 1E →·GF →＝(12D 1D →－D 1A 1→)·(12D 1D →＋DA →＋12BA →)＝14D 1D →2＋12D 1D →·DA →＋14D 1D →·BA →－12D 1A 1→·D 1D→－D 1A 1→·DA →－12D 1A 1→·BA →＝14×4－1＝0.∴A 1E ⊥GF . 解法二：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立直角坐标系，那么A 1(1,0,2)，E (0,0,1)，F (1,1,0)，G (0,2,1)．∴A 1E →＝(－1,0，－1)， FG →＝(－1,1,1)，A 1E →·FG →＝1－1＝0. ∴A 1E ⊥FG .解法三：连结B 1G 、B 1F 、FC ，在△B 1GF 中，易求得B 1G ＝2，B 1F ＝5，FG ＝ 3.故B 1G 2＋FG 2＝B 1F 2.∴B 1G ⊥GF ，即A 1E ⊥FG . 答案：D2．(2022·安徽)在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD的中点，那么OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：依题作图，由三角表法那么，易得 AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝c －b ， BD →＝12BC →＝12(c －b )，AD →＝AB →＋BD →＝12b ＋12c －a ，AE →＝12AD →＝14b ＋14c －12a ，∴OE →＝OA →＋AE →＝a ＋14b ＋14c －12a ＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋14b ＋14c1.菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BCD ＝60°，现将其沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C (如下图)，那么异面直线AB 与CD 所成的角的余弦值为( )A.155B.105C.14D.34解析：取BD 的中点O ，由条件知，∠AOC 就是二面角A －BD －C 的平面角． ∴∠AOC ＝90°.又在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BCD ＝60°， ∴△ABD 、△CBD 都是等边三角形． BA →·CD →＝(BO →＋OA →)·(CO →＋OD →)＝BO →·CO →＋BO →|·OD →＋OA →·CO →＋OA →·OD → ＝0＋1＋0＋0＝1，又BA →·CD →＝|BA →||CD →|cos θ＝2×2×cos θ＝4cos θ，∴4cos θ＝1，∴cos θ＝14.答案：C2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →，并求出BM 的长； (2)求异面直线AC 与BM 所成角的大小．解：(1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)]＝12(b ＋c －a )＝－12a ＋12b ＋12c . ∵AB ＝AD ＝1，PA ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2， ∵AB ⊥AD ，∠PAB ＝∠PAD ＝60°，∴a ·b ＝0，c ·a ＝c ·b ＝2·1·cos60°＝1. ∵BM →＝12(b ＋c －a )，∴|BM →|2＝14(b ＋c －a )2＝14[b 2＋c 2＋a 2＋2(b ·c －c ·a －a ·b )] ＝14[12＋22＋12＋2(1－1－0)]＝32. ∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.(2)设异面直线AC 与BM 所成的角为θ，那么cos θ＝|cos 〈AC →，BM →〉|＝|AC →·BM →|AC →||BM →||.∵AC →·BM →＝(a ＋b )·12(b ＋c －a )＝12(b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ) ＝12(12－12＋1＋1)＝1， ∴cos θ＝|AC →·BM →|AC →||BM →||＝|12×62|＝33.∵0°＜θ≤90°，∴θ＝arccos33. 故异面直线AC 与BM 所成角的大小为arccos33.。

高考数学一轮复习学案：空间向量及其运算(含答案)

高考数学一轮复习学案：空间向量及其运算（含答案）8.6空间向量及其运算空间向量及其运算最新考纲考情考向分析1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系.空间向量的有关概念.定理.公式及四种运算等内容一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行.垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度模为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理1共线向量定理空间两个向量a与bb0共线的充要条件是存在实数，使得ab.2共面向量定理共面向量定理的向量表达式pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量3空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律1数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b2，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cosa，b叫做向量a，b 的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa，b2空间向量数量积的运算律abab；交换律abba；分配律abcabac.4空间向量的坐标表示及其应用设aa1，a2，a3，bb1，b2，b3.向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线abb0，Ra1b1，a2b2，a3b3垂直ab0a0，b0a1b1a2b2a3b30模|a|a21a22a23夹角a，ba0，b0cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23b21b22b23知识拓展1向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是OAxOByOC其中xy1，O 为平面内任意一点2向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是OPxOAyOBzOC其中xyz1，O为空间中任意一点题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1空间中任意两个非零向量a，b共面2在向量的数量积运算中abcabc3对于非零向量b，由abbc，则ac.4两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同5若A，B，C，D是空间任意四点，则有ABBCCDDA0.6若ab0，则a，b是钝角题组二教材改编2P97A组T2如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若ABa，ADb，AA1c，则下列向量中与BM相等的向量是A12a12bcB.12a12bcC12a12bcD.12a12bc答案A解析BMBB1B1MAA112ADABc12ba12a12bc.3P98T3正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________答案2解析|EF|2EF2ECCDDF2EC2CD2DF22ECCDECDFCDDF122212212cos120021co s1202，|EF|2，EF的长为2.题组三易错自纠4在空间直角坐标系中，已知A1,2,3，B2，1,6，C3,2,1，D4,3,0，则直线AB与CD的位置关系是A垂直B平行C 异面D相交但不垂直答案B解析由题意得，AB3，3,3，CD1,1，1，AB3CD，AB与CD共线，又AB与CD没有公共点，ABCD.5与向量3，4,5共线的单位向量是__________________________________答案3210，225，22和3210，225，22解析因为与向量a共线的单位向量是a|a|，又因为向量3，4,5的模为32425252，所以与向量3，4,5共线的单位向量是1523，4，52103，4,56O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP34OA18OBtOC，若P，A，B，C四点共面，则实数t______.答案18解析P，A，B，C四点共面，3418t1，t18.题型一空间向量的线性运算1.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1________________.答案12AB12ADAA1解析OC12AC12ABAD，OC1OCCC112ABADAA112AB12ADAA1.2.xx上饶期中如图，在三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC 的中点，设OAa，OBb，OCc，用a，b，c表示NM，则NM等于A.12abcB.12abcC.12abcD.12abc答案B解析NMNAAMOAON12ABOA12OC12OBOA12OA12OB12OC12abc思维升华用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法.减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则.平行四边形法则仍然成立题型二共线定理.共面定理的应用典例典例xx唐山质检如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AMkAC1，BNkBC0k11向量MN是否与向量AB，AA1共面2直线MN是否与平面ABB1A1平行解1AMkAC1，BNkBC，MNMAABBNkC1AABkBCkC1ABCABkC1AB1C1ABkB1AABABkAB1ABkAA1AB1k ABkAA1，由共面向量定理知向量MN与向量AB，AA1共面2当k0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k1时，MN不在平面ABB1A1内，又由1知MN与AB，AA1共面，MN平面ABB1A1.思维升华1证明空间三点P，A，B共线的方法PAPBR；对空间任一点O，OPOAtABtR；对空间任一点O，OPxOAyOBxy12证明空间四点P，M，A，B共面的方法MPxMAyMB；对空间任一点O，OPOMxMAyMB；对空间任一点O，OPxOMyOAzOBxyz1；PMAB或PAMB 或PBAM跟踪训练xx抚州模拟如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点1试用向量AB，AD，AA1表示AG；2用向量方法证明平面EFG 平面AB1C.1解设ABa，ADb，AA1c.由图得AGAA1A1D1D1Gcb12DC12abc12ABADAA1.2证明由题图，得ACABBCab，EGED1D1G12b12a12AC，EG与AC无公共点，EGAC，EG 平面AB1C，AC平面AB1C，EG平面AB1C.又AB1ABBB1ac，FGFD1D1G12c12a12AB1，FG与AB1无公共点，FGAB1，FG平面AB1C，AB1平面AB1C，FG平面AB1C，又FGEGG，FG，EG平面EFG，平面EFG平面AB1C.题型三空间向量数量积的应用典例xx济南月考如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120.1求线段AC1的长；2求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；3求证AA1BD.1解设ABa，ADb，AA1c，则|a||b|1，|c|2，ab0，cacb21cos1201.AC1ACCC1ABADAA1abc，|AC1||abc|abc2|a|2|b|2|c|22abbcca121222xx2.线段AC1的长为2.2解设异面直线AC1与A1D所成的角为，则cos|cosAC1，A1D||AC1A1D||AC1||A1D|.AC1abc，A1Dbc，AC1A1Dabcbcabacb2cxx2222，|A1D|bc2|b|22bc|c|21221227.cos|AC1A1D||AC1||A1D||2|27147.故异面直线AC1与A1D 所成角的余弦值为147.3证明AA1c，BDba，AA1BDcbacbca110，AA1BD，即AA1BD.思维升华1利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置2利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角3可以通过|a|a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解跟踪训练如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.1求AC1的长；2求BD1与AC夹角的余弦值解1记ABa，ADb，AA1c，则|a||b||c|1，a，bb，cc，a60，abbcca12.|AC1|2abc2a2b2c22abbcca11121212126，|AC1|6，即AC1的长为6.2BD1bca，ACab，|BD1|2，|AC|3，BD1ACbcaabb2a2acbc1，cosBD1，ACBD1AC|BD1||AC|66.即BD1与AC夹角的余弦值为66.坐标法在立体几何中的应用典例12分如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，在底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点1求BN的模；2求cosBA1，CB1的值；3求证A1BC1M.思想方法指导利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解规范解答1解如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系由题意得B0,1,0，N1,0,1，所以|BN|10xx1023.2分2解由题意得A11,0,2，B0,1,0，C0,0,0，B10，1,2，所以BA11，1,2，CB10,1,2，BA1CB13，|BA1|6，|CB1|5，所以cosBA1，CB1BA1CB1|BA1||CB1|3010.6分3证明由题意得C10,0,2，M12，12，2，A1B1,1，2，C1M12，12，0，9分所以A1BC1M121200，所以A1BC1M，即A1BC1M.12分。

高考数学一轮复习 8.6空间向量及其运算配套练习

第6讲空间向量及其运算随堂演练巩固1.设命题p :a ,b ,c 是三个非零向量;命题q :{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】:只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底.2.如图所示,长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,设11B A =a ,11A D u u u u r=b ,A A 1 =c ,则下列向量中与M B 1相等的向量是A.－21a +21b +c B.21a +21b +c C.21a －21b +cD.－21a －21b +c【答案】A【解析】M B 1 =B B 1+BM =A A 1+ 21(11D A －11B A ) =c +21(b －a )=－21a +21b +c . 3.下面几项中,代表与向量a =(1,-3,2)平行的一个向量的坐标的是()A.( 13,1,1)B.(-1,-3,2)C.(-12,32,-1) D.( 2,-3,-22) 【答案】 C【解析】由题意可知-12a =(-12,32,-1).故选C.4.在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中,设'AC =x AB +2y BC +3z 'CC ,则x +y +z 的值为A.611B.65 C.32D.67 【答案】A【解析】∵在平行六面体中, 'AC =AB +BC +'CC , 又'AC =x AB +2y BC +3z 'CC ,∴⎪⎩⎪⎨⎧===.13,12,1z y x ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===,31,21,1z y x ∴x +y +z =611.5.已知点A (－3,5,－2),a =(－1,1,1),在yOz 面上找一点B ,使得AB ∥a ,则点B 的坐标为__________. 【答案】(0,2,－5)【解析】设B (0,y ,z ),则AB =(3,y －5,z +2). ∵AB ∥a ,∴存在一个实数λ,使得AB =λa , 即(3,y －5,z +2)=λ(－1,1,1),∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=.2,5,3λλλz y 解得λ=－3,y =2,z =－5. ∴点B 的坐标为(0,2,－5). 课后作业夯基基础巩固1.在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中,向量'AB 、'AD 、BD 是 A.有相同起点的向量 B.等长的向量 C.共面向量D.不共面向量【答案】C【解析】∵'AD －'AB =''D B =BD ,∴'AB 、'AD 、BD 共面. 2.下面几项中,代表与向量a =(1,-1,-2)垂直的一个向量的坐标的是() A.(13,1,1) B.(-1,-3,2) C.(-12,32,-1)D.( 2,-3,-22)【答案】 C【解析】由两向量垂直的充要条件可得.3.已知空间四边形ABCD 中,G 为CD 的中点,则AB u u u r+12(BD u u u r +BC uuu r)等于()A. AG u u u rB. 12 AG u u urC. BC uuu rD. 12BC uuur【答案】 A【解析】依题意有AB u u u r +12(BD u u u r + BC uuu r )= AB u u u r + BG u u ur = AG u u u r .4.若向量a =(1,λ,2),b =(2,－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为98,则λ等于 A.2B.－2C.－2或552D.2或－552 【答案】:C 【解析】由已知得98=||||b a ba ⋅=95422⋅++-λλ,∴825λ+=3(6－λ),解得λ=－2或λ=552. 5.已知a =(2,－1,3),b =(－1,4,－2),c =(7,5,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则实数λ等于A.762 B.763 C.760D.765【答案】D【解析】由题意得c =t a +μb =(2t －μ,－t +4μ,3t －2μ),∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-=.23,45,27μλμμt t t ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===.765,717,733λμt6.已知直线AB 、CD 是异面直线,AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,且AB =2,CD =1,则异面直线AB 与CD 所成角的大小为 A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【解析】∵cos 〈AB ,CD 〉＝||||CD AB CDAB ⋅=212)(2CDCD DB CD AC =⨯⋅++= 21, ∴AB 与CD 所成角为60°.7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,给出以下向量表达式: ① (11A D u u u u r -1A A u u u r )-AB u u u r;②(BC uuu r +1BB u u u r )-11DC u u u u r;③(AD u u u r - AB u u u r )-21DD u u u u r ;④(11B D u u u u r+1A A u u u r )+1DD u u u u r .其中能够化简为向量1BD u u u u r的是()A.①②B.②③C.③④D.①④ 【答案】 A 【解析】 ①(11A D u u u u r -1A A u u u r)- AB u u u r =1AD u u u u r - AB u u ur =1BD u u u u r ;② (BC uuu r +1BB u u u r )-11DC u u u u r =1BC u u u u r-11DC u u u u r =1BD u u u u r ; ③ (AD u u u r - AB u u u r )-21DD u u u u r = BD u u ur -21DD u u u u r ≠1BD u u u u r ;④ (11B D u u u u r +1A A u u u r )+1DD u u u u r =1B D u u u u r +1DD u u u u r =11B D u u u u r ≠ 1BD u u u u r .综上,①②符合题意.8.已知向量a =(－1,0,1),b =(1,2,3),k ∈R ,若k a －b 与b 垂直,则k =__________. 【答案】7【解析】∵(k a －b )⊥b ,∴(k a －b )·b =0.∴k a ·b －b 2=0.∴k =b a b ⋅2=311)1(321222⨯+⨯-++=7.9.已知a =(2,4,x ),b =(2,y ,2),若|a |=6,且a ⊥b ,则x +y 的值为__________. 【答案】1或－3【解析】∵a ⊥b 且|a |=6,∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++⨯64202422222x x y ⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==⇒.1,4,3,4y x y x 或 ∴x +y =1或x +y =－3.10.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP u u u r =2 PB u u u r ,则| PD u u u r|的值是 .【答案】773【解析】设P(x,y,z),则AP u u u r=(x-1,y-2,z -1), PB u u u r=(-1-x,3-y,4-z),由AP u u u r ＝2PB u u u r 知x=-13,y=83,z=3.由两点间距离公式可得|PD u u u r |=773.11.求同时垂直于a =(2,2,1),b =(4,5,3)的单位向量.【解】设所求向量c =(x ,y ,z ),则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.0354,022,1222z y x z y x z y x所以y =-z,x 2z=.于是42z +z 2+z 2=1.所以z =±32,x =±31,y =32. 所以c =( 31,－32,32)或c =(－31,32,－32).12.已知向量a =(1,-3,2), b =(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a +b |;(2)在直线AB 上,是否存在一点E ,使得OE uuu r⊥b ?(O 为原点)【解】 (1)2a +b =(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a +b |= 2220(5)5+-+=52.(2) OE uuu r = OA u u u r + AE u u u r = OA u u u r +tAB u u u r=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若OE uuu r ⊥b ,则OE uuu r·b =0.所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0, 解得t=95, 因此存在点E,使得OE uuu r⊥b ,此时E 点的坐标为(-65,-145,25).拓展延伸13.直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中,AC=BC=AA ′,∠ACB=90°,D 、E 分别为AB 、BB ′的中点.(1)求证:CE ⊥A ′D;(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值.【解】 (1)证明:设CA u u u r =a , CB u u u r =b ,CC 'u u u u r=c ,根据题意,| a |=|b |=|c |且a ·b =b ·c =c ·a =0,∴CE u u u r =b +12c ,A D 'u u u u r =-c +12b -12a .∴CE u u u r ·A D 'u u u u r =-12c 2+12b 2=0.∴CE u u u r ⊥A D 'u u u u r,即CE ⊥A ′D. (2)∵AC 'u u u u r=-a +c ,∴|AC 'u u u u r |=2|a |,| CE u u u r |= 52|a |.AC 'u u u u r ·CE u u u r =(-a +c )·(b +12c )=12c 2=12|a |2, ∴cos 〈AC 'u u u u r ,CE u u u r 〉= 2212522g |a ||a |=1010,10 10.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为。

数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第八章立体几何空间向量及其运算和空间位置关系

§8.6 空间向量及其运算和空间位置关系考纲展示►1。

了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．6．理解直线的方向向量与平面的法向量．7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．8．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理（包括三垂线定理)．考点1 空间向量的线性运算空间向量的有关概念（1）空间向量:在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．（2）相等向量：方向________且模________的向量．（3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________的向量．（4)共面向量：________________的向量．答案：(1）大小方向(2）相同相等（3)平行或重合(4）平行于同一个平面(1）［教材习题改编]已知在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则化简错误!＋错误!(错误!＋错误!)＝________。

→答案:AG解析：错误!＋错误!（错误!＋错误!)＝错误!＋错误!＝错误!。

(2)[教材习题改编］如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若错误!＝a，错误!＝b,错误!＝c，则错误!可用a，b，c表示为________．答案:－错误!a＋错误!b＋c解析：由图可知，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!(错误!－错误!)＝c＋错误!（b－c)＝－错误!a＋错误!b＋c.[典题1] （1）[2017·河南郑州模拟]如图所示,已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G 在线段MN上,且错误!＝2错误!，若错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!，则x＋y＋z ＝________。

高考数学(理科)一轮复习空间向量及其运算学案附答案

高考数学（理科）一轮复习空间向量及其运算学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案45 空间向量及其运算导学目标：1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．自主梳理．空间向量的有关概念空间向量：在空间中，具有______和______的量叫做空间向量．相等向量：方向______且模______的向量．共线向量定理对空间任意两个向量a，b，a∥b的充要条件是______________________________．推论如图所示，点P在l上的充要条件是：oP→＝oA →＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，则①可化为oP→＝___________________或oP→＝oA→＋toB→.共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对，使p＝xa＋yb，推论的表达式为mP→＝xmA→＋ymB→或对空间任意一点o有，oP→＝__________________或oP→＝xoA→＋yoB→＋zom→，其中x＋y＋z＝____.2．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝____________________________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点o，作oA→＝a，oB→＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________________，若〈a，b〉＝π2，则称a与b______________，记作a⊥b.②两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则______________________叫做向量a，b的数量积，记作________，即______________________________．空间向量数量积的运算律①结合律：•b＝____________________；②交换律：a•b＝________；③分配律：a•＝________________.4．空间向量的坐标表示及应用数量积的坐标运算若a＝，b＝，则a•b＝____________________.共线与垂直的坐标表示设a＝，b＝，则a∥b⇔____________⇔________，__________，________________，a⊥b⇔________⇔____________________________ _____．模、夹角和距离公式设a＝，b＝，则|a|＝a•a＝___________________________________________________ __________，cos〈a，b〉＝a•b|a||b|＝___________________________________________________ ______.若A，B，则|AB→|＝___________________________________________________ _______________.自我检测．若a＝，b＝，且a∥b，则A．x＝1，y＝1B．x＝12，y＝－12c．x＝16，y＝－32D．x＝－16，y＝322．如图所示，在平行六面体ABcD—A1B1c1D1中，m为Ac 与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1m→相等的向量是A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cc.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c3．在平行六面体ABcD—A′B′c′D′中，已知∠BAD ＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则|Ac′→|＝________.4．有下列4个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；③若mP→＝xmA→＋ymB→，则P、m、A、B共面；④若P、m、A、B共面，则mP→＝xmA→＋ymB→.其中真命题的个数是A．1B．2c．3D．45．A，B，c，D这四个点________．探究点一空间基向量的应用例1 已知空间四边形oABc中，m为Bc的中点，N为Ac的中点，P为oA的中点，Q为oB的中点，若AB＝oc，求证：Pm⊥QN.变式迁移1如图，在正四面体ABcD中，E、F分别为棱AD、Bc的中点，则异面直线AF和cE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2 两个边长为1的正方形ABcD与正方形ABEF相交于AB，∠EBc＝90°，点m、N分别在BD、AE上，且AN＝Dm.求证：mN∥平面EBc；求mN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABcD和矩形AcEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，m是线段EF的中点．求证：Am∥平面BDE；Am⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例3 如图，平面PAc⊥平面ABc，△ABc是以Ac为斜边的等腰直角三角形，E，F，o分别为PA，PB，Ac的中点，Ac＝16，PA＝Pc＝10.设G是oc的中点，证明FG∥平面BoE；在△AoB内是否存在一点m，使Fm⊥平面BoE？若存在，求出点m到oA，oB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3 已知在直三棱柱ABc—A1B1c1中，底面是以∠ABc为直角的等腰直角三角形，Ac＝2a，BB1＝3a，D为A1c1的中点，E为B1c的中点．求直线BE与A1c所成的角的余弦值；在线段AA1上是否存在点F，使cF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．根据运算结果解释相关几何问题．一、选择题．下列命题：①若A、B、c、D是空间任意四点，则有AB→＋Bc→＋cD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点o与不共线的三点A、B、c，若oP→＝xoA→＋yoB→＋zoc→则P、A、B、c四点共面．其中假命题的个数是A．1B．2c．3D．42.如图所示，在正方体ABcD—A1B1c1D1中，o是底面ABcD的中心，m、N分别是棱DD1、D1c1的中点，则直线om A．既垂直于Ac，又垂直于mNB．垂直于Ac，但不垂直于mNc．垂直于mN，但不垂直于AcD．与Ac、mN都不垂直3．如图所示，在三棱柱ABc—A1B1c1中，AA1⊥底面ABc，AB＝Bc＝AA1，∠ABc＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和Bc1所成的角是A．45°B．60°c．90°D．120°4．设点c在点P、A、B确定的平面上，则a等于A．16B．4c．2D．85．在直角坐标系中，A，B，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为A.2B．211c．32D．42二、填空题6.如图所示，已知空间四边形ABcD，F为Bc的中点，E为AD的中点，若EF→＝λ，则λ＝________.7．在正方体ABcD—A1B1c1D1中，给出以下向量表达式：①－AB→；②－D1c1→；③－2DD1→；④＋DD1→.其中能够化简为向量BD1→的是________．8．如图所示，PD垂直于正方形ABcD所在平面，AB＝2，E 为PB的中点，cos〈DP→，AE→〉＝33，若以DA，Dc，DP 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．三、解答题9．如图所示，已知ABcD—A1B1c1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在cc1上，且AE＝Fc1＝1.求证：E、B、F、D1四点共面；若点G在Bc上，BG＝23，点m在BB1上，Gm⊥BF，垂足为H，求证：Em⊥平面Bcc1B1.10．如图，四边形ABcD是边长为1的正方形，mD⊥平面ABcD，NB ⊥平面ABcD，且mD＝NB＝1，E为Bc的中点．求异面直线NE与Am所成角的余弦值；在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AmN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．1．如图所示，已知空间四边形ABcD的各边和对角线的长都等于a，点m、N分别是AB、cD的中点．求证：mN⊥AB，mN⊥cD；求mN的长；求异面直线AN与cm所成角的余弦值．学案45 空间向量及其运算自主梳理．大小方向相同相等存在实数λ，使得a＝λb oA→＋tAB→om→＋xmA→＋ymB→ 1 2.xa＋yb＋zc 3.①∠AoB 〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π互相垂直②|a||b|cos 〈a，b〉a•b a•b＝|a||b|cos〈a，b〉①λ②b•a③a•b＋a•c4.a1b1＋a2b2＋a3b3 a＝λ b a1＝λb1 a2＝λb2 a3＝λb3 a•b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a21＋a22＋a23a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23•b21＋b22＋b23a2－a12＋b2－b12＋c2－c12自我检测．c [∵a∥b，∴2x1＝1－2y＝39，∴x＝16，y＝－32.]2．A [B1m→＝B1A1→＋A1A→＋Am→＝－A1B1→＋A1A→＋12AB→＋12AD→＝－a＋c＋12＝－12a＋12b＋c.]3.97解析∵Ac′→＝AB→＋Bc→＋cc′→＝AB→＋AD→＋AA′→，∴|Ac′→|2＝AB→2＋AD→2＋AA′→2＋2AB→•AD→＋2AD→•AA′→＋2AA′→•AB→＝32＋42＋52＋2×3×4×cos60°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60°＝97，∴|Ac′→|＝97.4．B [①正确．②中若a、b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立．③正确．④中若m、A、B共线，点P 不在此直线上，则mP→＝xmA→＋ymB→不正确．]5．共面解析AB→＝，Ac→＝，AD→＝，设AD→＝xAB→＋yAc →，即＝．∴x＝2y＝3，从而A、B、c、D四点共面．课堂活动区例1 解题导引欲证a⊥b，只要把a、b用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明a•b＝0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法．证明如图所示.设oA→＝a，oB→＝b，oc→＝c.∵om→＝12＝12，oN→＝12＝12，∴Pm→＝Po→＋om→＝－12a＋12＝12，QN→＝Qo→＋oN→＝－12b＋12＝12．∴Pm→•QN→＝14[c－][c＋]＝14[c2－2]＝14∵|AB→|＝|oc→|，∴Pm→•QN→＝0.即Pm→⊥QN→，故Pm⊥QN.变式迁移1 23解析设{AB→，Ac→，AD→}为空间一组基底，则AF→＝12AB→＋12Ac→，cE→＝12cA→＋12cD→＝12cA→＋12＝－Ac→＋12AD→.∴AF→•cE→＝12AB→＋12Ac→•－Ac→＋12AD→＝－12AB→•Ac→－12Ac→2＋14AB→•AD →＋14Ac→•AD→＝－14AB→2－12Ac→2＋18AB→2＋18Ac→2＝－12Ac→2.又|AF→|＝|cE→|＝32|Ac→|，∴|AF→|•|cE→|＝34|Ac→|2.∴cos〈AF→，cE→〉＝AF→•cE→|AF→||cE→|＝－12Ac→234|Ac→|2＝－23.∴异面直线AF与cE所成角的余弦值为23.例2 解题导引如图所示，建立坐标系后，要证mN平行于平面EBc，只要证mN→的横坐标为0即可．证明如图所示，以BA→、Bc→、BE→为单位正交基底建立空间直角坐标系，则A，D，E，B，设ANAE＝DmDB＝λ，则mN→＝mD→＋DA→＋AN→＝λBD→＋DA→＋λAE→＝λ＋＋λ＝．∵0<λ<1，∴λ－1≠0，λ≠0，且mN→的横坐标为0.∴mN→平行于平面yBz，即mN∥平面EBc.解由知|mN→|＝λ－12＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2λ－122＋12，∴当λ＝12时，mN取得长度的最小值为22.变式迁移2 证明建立如图所示的空间直角坐标系，设Ac∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为22，22，0、．∴NE→＝－22，－22，1.又点A、m的坐标分别为、22，22，1，∴Am→＝－22，－22，1.∴NE→＝Am→且NE与Am不共线．∴NE∥Am.又∵NE⊂平面BDE，Am⊄平面BDE，∴Am∥平面BDE.由得，Am→＝－22，－22，1，∵D，F，B，∴DF→＝，BF→＝．∴Am→•DF→＝0，Am→•BF→＝0.∴Am→⊥DF→，Am→⊥BF→，即Am⊥DF，Am⊥BF.又DF∩BF＝F，∴Am⊥平面BDF.例3 解题导引建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标．第题证明FG→与平面BoE的法向量n垂直，即FG→•n＝0即可．第题设出点m的坐标，利用mF→∥n即可解出，然后检验解的合理性．证明如图，连接oP，以点o为坐标原点，分别以oB，oc，oP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系o—xyz.则o，A，B，c，P，E，F．由题意，得G．因为oB→＝，oE→＝，所以平面BoE的法向量n＝．由FG→＝，得n•FG→＝0.又直线FG不在平面BoE内，所以FG∥平面BoE.解设点m的坐标为，则Fm→＝．因为Fm⊥平面BoE，所以Fm→∥n，因此x0＝4，y0＝－94，即点m的坐标是4，－94，0.在平面直角坐标系xoy中，△AoB的内部区域可表示为不等式组x>0，y<0，x－y<8.经检验，点m的坐标满足上述不等式组．所以，在△AoB内存在一点m，使Pm⊥平面BoE.由点m的坐标，得点m到oA，oB的距离分别为4，94.变式迁移3 解以点B为原点，以BA、Bc、BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B，B1，∵△ABc为等腰直角三角形，∴AB＝Bc＝22Ac＝2a，∴A，c，c1，E0，22a，32a，A1，∴BE→＝0，22a，32a，A1c→＝，cos〈BE→，A1c→〉＝BE→•A1c→|BE→||A1c→|＝－72a2112a×13a＝－7143143.∴直线BE与A1c所成的角的余弦值为7143143.假设存在点F，使cF⊥平面B1DF，并设AF→＝λAA1→＝λ＝，∵D为A1c1的中点，∴D22a，22a，3a，B1D→＝22a，22a，3a－＝22a，22a，0，B1F→＝B1B→＋BA→＋AF→＝＋＋＝)，cF→＝cA→＋AF→＝＋＝．∵cF⊥平面B1DF，∴cF→⊥B1D→，cF→⊥B1F→，cF→•B1D→＝0cF→•B1F→＝0，即3λa ×0＝09λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝23或λ＝13∴存在点F使cF⊥面B1DF，且当λ＝13时，|AF→|＝13|AA1→|＝a，当λ＝23时，|AF→|＝23|AA1→|＝2a.课后练习区．c [②③④均不正确．]2．A [以D为坐标原点，以DA为x轴，Dc为y轴，DD1为z轴建系，设棱长为2，则m，N，o，A，c，∴Ac→＝，mN→＝，om→＝，∴om→•Ac→＝0，om→•mN→＝0，∴om⊥Ac，om⊥mN.]3．B [如图建立坐标系，设AB＝Bc＝AA1＝2，则E，F，c1，∴EF→＝，Bc1→＝，∴cos〈EF→，Bc1→〉＝22•8＝12.∵〈EF→，Bc1→〉∈[0°，180°]∴EF与Bc1所成的角是60°.]4．A [由Pc→＝λ1PA→＋λ2PB→得：＝λ1＋λ2，∴－λ1＋6λ2＝2a－1－3λ1－λ2＝a＋1，2λ1＋4λ2＝2 解得a＝16.]5．B [过A、B分别作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴，垂足分别为A1和B1，则AA1＝3，A1B1＝5，BB1＝2，∵AB→＝AA1→＋A1B1→＋B1B→，∴AB→2＝AA1→2＋A1B1→2＋B1B→2＋2AA1→•B1B→＝32＋52＋22＋2×3×2×cos60°＝44.∴|AB→|＝211.]6.12解析∵EF→＝EA→＋AB→＋BF→，又EF→＝ED→＋Dc→＋cF→，∴2EF→＝AB→＋Dc→，∴EF→＝12，∴λ＝12.7．①②解析①－AB→＝AD1→－AB→＝BD1→；②－D1c1→＝Bc1→－D1c1→＝BD1→；③－2DD1→＝BD→－2DD1→≠BD1→；④＋DD1→＝B1D1→＋＝B1D1→≠BD1→.8．解析设DP＝y>0，则A，B，P，E1，1，y2，DP→＝，AE→＝－1，1，y2.∴cos〈DP→，AE→〉＝DP→•AE→|DP→||AE→|＝12y2y2＋y24＝y8＋y2＝33.解得y＝2，∴E．9．证明建立如图所示的空间直角坐标系，则BE→＝，BF→＝，BD1→＝．所以BD1→＝BE→＋BF→.故BD1→、BE→、BF→共面．又它们有公共点B，∴E、B、F、D1四点共面．设m，则Gm→＝0，－23，z.而BF→＝，由题设，得Gm→•BF→＝－23×3＋z•2＝0，得z＝1.∴m，E，∴mE→＝．又BB1→＝，Bc→＝，∴mE→•BB1→＝0，∴mE→•Bc→＝0，从而mE⊥BB1，mE⊥Bc.又∵BB1∩Bc＝B，∴mE⊥平面Bcc1B1.0.解如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系D—xyz.依题意，得D，A，m，c，B，N，E12，1，0.∴NE→＝－12，0，－1，Am→＝．∵cos〈NE→，Am→〉＝NE→•Am→|NE→|•|Am→|＝－1252×2＝－1010，∴异面直线NE与Am所成角的余弦值为1010.假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AmN.∵AN→＝，可设AS→＝λAN→＝，又EA→＝12，－1，0，∴ES→＝EA→＋AS→＝12，λ－1，λ.由ES⊥平面AmN，得ES→•Am→＝0，ES→•AN→＝0，即－12＋λ＝0，λ－1＋λ＝0.故λ＝12，此时AS→＝0，12，12，|AS→|＝22.经检验，当AS＝22时，ES⊥平面AmN.故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AmN，此时AS＝22.1．证明设AB→＝p，Ac→＝q，AD→＝r.由题意可知：|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.mN→＝AN→－Am→＝12－12AB→＝12，∴mN→•AB→＝12•p＝12＝12＝0.∴mN⊥AB又∵cD→＝AD→－Ac→＝r－q，∴mN→•cD→＝12•＝12＝12＝0，∴mN⊥cD.解由可知mN→＝12，∴|mN→|2＝mN→2＝142＝14[q2＋r2＋p2＋2]＝14a2＋a2＋a2＋2a22－a22－a22＝14×2a2＝a22.∴|mN→|＝22a，∴mN的长为22a.解设向量AN→与mc→的夹角为θ.∵AN→＝12＝12，mc→＝Ac→－Am→＝q－12p，∴AN→•mc→＝12•q－12p＝12q2－12q•p＋r•q－12r•p＝12a2－12a2•cos60°＋a2•cos60°－12a2•cos60°＝12a2－a24＋a22－a24＝a22.又∵|AN→|＝|mc→|＝32a，∴AN→•mc→＝|AN→|•|mc→|•cosθ即32a•32a•cosθ＝a22.∴cosθ＝23，∴向量AN→与mc→的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN与cm所成角的余弦值为23.。

高考数学复习空间向量及其运算理专题训练(含答案)

高考数学复习空间向量及其运算理专题训练（含答案）空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。

向量的大小叫做向量的长度或模。

以下是查字典数学网整理的空间向量及其运算理专题训练，请考生练习。

一、填空题1.已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面).[解析] =(3,4,5)，=(1,2,2)，=(9,14,16)，设=x+y，即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y)，得x=2，y=3. [答案] 共面2.(2019济南调研)在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面;若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面;已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x，y，z得p=xa+yb+zc.其中不正确的命题是________(填序号).[解析] a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确.根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误.三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确.只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc，故不正确.[答案]3.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设=a，OB=b，=c，则=________.(用a，b，c表示)[解析] =-=(+)-=b+c-a.[答案] b+c-a4.(2019上海高考)若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是________.(填序号)(a+b)c=ac+b(a+b)+c=a+(b+c);m(a+b)=ma+nb;(ab)c=a(bc).[解析] (ab)c=|a||b|cos c，a(bc)=|b||c|cos a，a与c的模不一定相等且不一定同向，故错.[答案] (4)5.已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有=2++，则=________.[解析] 根据共面向量知P，A，B，C四点共面，则=x+y+z，且x+y+z=1，所以2++=1，=-.[答案] -6.若向量a=(1，，2)，b=(2，-1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则等于________.[解析] 由已知得==，解得=-2或=.[答案] -2或7.(2019徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量=(1,2,3)，=(2,1,2)，=(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是________.[解析] 点Q在直线OP上，设点Q(，，2)，则=(1-，2-，3-2)，=(2-，1-，2-2)，=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=62-.当=时，取得最小值-.此时=.[答案]图768.如图76所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，则cos〈，〉的值为________.[解析] 设=a，=b，=c，由已知条件〈a，b〉=〈a，c〉=，且|b|=|c|，=a(c-b)=ac-ab=|a||c|-|a||b|=0，即〈〉=，所以cos〈，〉=0.[答案] 0二、解答题9.已知空间三点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1，-1,5)，(1)求以，为边的平行四边形的面积;(2)若|a|=，且a分别与，垂直，求a的坐标.[解] (1)由题意可得：=(-2，-1,3)，=(1，-3,2)，cos〈，〉===，sin〈，〉=，以，为边的平行四边形的面积为S=2||||sin〈，〉=14=7.(2)设a=(x，y，z)，由题意得解得或向量a的坐标为(1,1,1)或(-1，-1，-1).图7710.(2019张家港调研)如图77，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1)试证：A1，G，C三点共线;(2)试证：A1C平面BC1D.[证明] (1)=++=++，可以证明：=(++)=，∥，即A1，G，C三点共线.(2)设=a，CD=b，=c，则|a|=|b|=|c|=a，且ab=bc=ca=0，=a+b+c，=c-a，=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0，因此，即CA1BC1，同理CA1BD，又BDBC1=B，A1C平面BC1D.要练说，得练看。

高考数学一轮复习空间向量及其运算和空间位置关系

考法一空间向量的线性运算(自主练通) 1.如图，在三棱锥 O-ABC 中，点 P，Q 分别是 OA，BC
的中点，点 D 为线段 PQ 上一点，且―PD→＝2―D→Q ，若记―O→A ＝a ，―O→B ＝b ，―O→C ＝c，则―O→D 等于 ( )
A.16a ＋31b ＋13c C.13a ＋61b ＋13c
共线垂直夹角公式
a ∥b ⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R ，b ≠0)
a ⊥b ⇔___a_1b_1_＋__a_2_b_2＋___a_3b_3_＝__0___
cos〈a ，b 〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
3.直线的方向向量与平面的法向量直线的方如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l_平__行___ 向向量 _或__共__线__，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量
共线向量 (平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_平__行__或__重__合_
共面向量
平行于同一个平面的向量
共线向量对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使
定理 _a_＝__λ_b__
续表
共面向量若两个向量 a ，b 不共线，则向量 p 与向量 a ，b 共面⇔存在定理唯一的有序实数对(x，y)，使 p ＝_x_a_＋___yb___
11 33 .
答案：D
二、易错易混小题的矫正纠偏
1．(空间想象能力不足)已知点 A(－3,0，－4)，点 A 关于原点的对称点为
B，则|AB|等于
()
A．12
B．9
C．25
D．10
解析：点 A 关于原点对称的点 B 的坐标为 (3,0,4) ，故 |AB| ＝－3－32＋0－02＋－4－42＝10.

高考数学第一轮基础复习课后作业 96 空间向量及其运算理新人教B版

9-6 空间向量及其运算(理)1.(2011·广东揭阳一模)已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－143C.145D ．2[答案] D[解析] a －λb ＝(λ－2,1－2λ，3－λ)，由a ⊥(a －λb )，得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0，解得λ＝2.2．(2011·日照模拟)若a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.48585B.6985C ．－1515D ．0[答案] C[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2×2－823×25＝－1515.3．空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直[答案] B[解析] AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)， AB →＝－3CD →，又BC →＝(5,3，－5)，AB →∥\'BC →， ∴AB ∥CD .4．(2011·天津模拟)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647 D.657[答案] D[解析] 由于a 、b 、c 三向量共面，所以存在实数m ，n ，使得c ＝ma ＋nb ，即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n 5＝－m ＋4nλ＝3m －2n，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657.5．(2011·济宁月考)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，AM →＝12MC 1→，点N 为B 1B 的中点，则|MN |＝( )A.216aB.66aC.156a D.153a [答案] A[解析] MN →＝AN →－AM →＝AN →－13AC 1→＝AB →＋BN →－13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AD →＋AA 1→＝23AB →＋16AA 1→－13AD →. ∴|MN →|＝49|AB →|2＋136AA 1→2＋19AD →2＝216a . 6．已知{a ，b ，c }是空间一个基底，p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，一定可以与向量p 、q 构成空间另一基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．无法确定[答案] C[解析] ∵a ，b ，c 不共面，∴p ，q ，c 不共面，若存在x 、y ∈R ，使c ＝xp ＋yq ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，∴a ，b ，c 共面，矛盾．7．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________． [答案]355[解析] b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |＝1＋t 2＋2t －12＝5t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值为355.8．(2010·广东理，10)若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝______.[答案] 2[解析] ∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴(c －a )·(2b )＝(0,0,1－x )·(2,4,2)＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2.9．若a ＝(3x ，－5,4)与b ＝(x,2x ，－2)之间夹角为钝角，则x 的取值范围为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4 [解析] ∵a 与b 的夹角为钝角， ∴a ·b <0，∴3x 2－10x －8<0，∴－23<x <4，又当a 与b 方向相反时，a ·b <0， ∴存在λ<0，使a ＝λb ，∴(3x ，－5,4)＝(λx,2λx ，－2λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝λx －5＝2λx 4＝－2λ，此方程组无解，∴这样的λ不存在，综上知－23<x <4.10．(2011·福州模拟)已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以AB →、AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标． [解析] AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)．(1)因为cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC→|AB→|·|AC →|＝－2＋3＋64＋1＋9·1＋9＋4＝12.所以sin 〈AB →，AC →〉＝32.所以S ＝|AB →|·|AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝7 3. 即以AB →、AC →为边的平行四边形面积为7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由|a |＝3，a ⊥AB →，a ⊥AC →，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1，所以a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1).11.如下图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，N 为BB 1的靠近B 的三等分点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则向量MN →等于( )A ．－12a ＋12b ＋13cB.12a ＋12b －13cC.12a －12b －13c D ．－12a －12b ＋23c[答案] C[解析] MN →＝MB →＋BN →＝12D 1B 1→＋13BB 1→＝12(A 1B 1→－A 1D 1→)－13A 1A →＝12a －12b －13c . 12．(2011·天津模拟)正四面体ABCD 的棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 的长为( )A ．1 B.52C. 2 D ．2[答案] C[解析] EF →＝EA →＋AF →＝－12(AB →＋AC →)＋12AD →，由条件知|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝2，AB →·AC →＝AB →·AD →＝AC →·AD →＝2，∴|EF →|2＝14[|AD →|2＋|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →－2AB →·AD →－2AC →·AD →]＝2，∴|EF →|＝ 2.13．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5 B.41 C ．4 D ．2 5 [答案] A[解析] 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ.∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)，又AC →＝(0,4，－3)，AC →⊥BD →， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， ∴λ＝－45，∴BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125， ∴|BD →|＝－42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝5. 14．(2011·东营期末)若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． (1)若(ka ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，求k .(3)以坐标原点O 为起点作向量OA →＝a ，OB →＝b ，求O 到直线AB 的距离． [解析] ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)∵(ka ＋b )∥(a －3b )， ∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(ka ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0. 解得k ＝1063.(3)由条件知A (1,5，－1)，B (－2,3,5)， ∴AO →＝(－1，－5,1)，AB →＝(－3，－2,6)， AO →·AB →＝19，|AB →|＝7，∴O 到直线AB 的距离d ＝|AO →·AB →||AB →|＝197.15．已知斜三棱柱ABC －A ′B ′C ′，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA ′→＝c ，在面对角线AC ′和棱BC 上分别取点M 、N ，使AM →＝kAC ′→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)，求证：三向量MN →、a 、c 共面．[解析] AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋kBC →＝AB →＋k (AC →－AB →)＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb ， AM →＝kAC ′→＝k (AA ′→＋AC →)＝kb ＋kc ，MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a －kc .∵向量a 和c 不共线，∴MN →、a 、c 共面．16.如下图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ， BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . [解析]由题设知，FA 、AB 、AD 两两互相垂直．如上图，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A －xyz .(1)设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，则由题设得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0,2b,0)，E (a,0，c )，G (0,0，c )，H (0，b ，c )，F (0,0,2c )．所以，GH →＝(0，b,0)，BC →＝(0，b,0)，于是GH →＝BC →.又点G 不在直线BC 上，则GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由题设知，F (0,0,2c )，所以 EF →＝(－a,0，c )，CH →＝(－a,0，c )，EF →＝CH →，又C ∉EF ，H ∈FD ，故C 、D 、F 、E 四点共面．(3)由AB ＝BE ，得c ＝a ，所以CH →＝(－a,0，a )，AE →＝(a,0，a ) 又AD →＝(0,2b,0)，因此CH →·AE →＝0，CH →·AD →＝0 即CH ⊥AE ，CH ⊥AD ，又AD ∩AE ＝A ，所以CH ⊥平面ADE .故由CH ⊂平面CDFE ，得平面ADE ⊥平面CDE .[点评] 如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解．如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解，本题解答如下：(1)由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ，所以EF ∥BG ，由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．(3)连结EG ，由AB ＝BE ，BE 綊AG ，及∠BAG ＝90°知ABEG 是正方形，故BG ⊥EA .由题设知，FA 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面FABE ，因此EA 是ED 在平面FABE 内的射影，∴BG ⊥ED . 又EC ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE .由(1)知，CH ∥BG ，所以CH ⊥平面ADE .由(2)知F ∈平面CDE ，故CH ⊂平面CDE ，得平面ADE ⊥平面CDE .1．(2011·郑州一中月考)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°.2．(2010·山东青岛)在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为( ) A ．0 B.32C ．1D ．无法确定[答案] A[解析] AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝AB →·(BD →－BC →)＋(BC →－BA →)·DB →＋(BD →－BA →)·BC →＝AB →·BD →－AB →·BC →＋BC →·DB →－BA →·DB →＋BD →·BC →－BA →·BC →＝0，故选A.3．如下图，点P 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点，则AP →·AB →的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．任意实数 [答案] C[解析] AP →可为下列7个向量：AB →，AC →，AD →，AA 1→，AB 1→，AC 1→，AD 1→，其中一个与AB →重合，AP →·AB →＝|AB →|2＝1；AD →，AD 1→，AA 1→与AB →垂直，这时AP →·AB →＝0；AC →，AB 1→与AB →的夹角为45°，这时AP →·AB →＝2×1×cos π4＝1，最后AC 1→·AB →＝3×1×cos∠BAC 1＝3×13＝1，故选C. 4．(2011·泰安模拟)如下图，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于________．[答案] －23a ＋12b ＋12c [解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c . [点评] 空间向量的线性表示及运算与平面向量类似，要结合图形灵活运用三角形法则和平行四边形法则．。

北师版高考总复习一轮数学精品课件第八章立体几何与空间向量第五节空间向量及其运算

题组(1)(2023·广东六校第四次联考)已知正四面体 ABCD 的棱长为 1,且
=2 ,则 ·=(
1
A.
6
1
B.6
)
1
C.3
1
D.
3
(2)已知 O 为空间直角坐标系的原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),
且点 Q 在直线 OP 上运动,当 ·取得最小值时,的坐标是
考点二
平面向量基本定理的应用
例题(1)如果A(1,5,-2),B(2,4,2),C(a,3,b+2)三点在同一直线上,那么
a=
,b=
.
(2)(2023·湖南师大附中模拟)已知=(-2,2,-2), =(-1,6,-8),=(x-4,-2,0),且
点 D 在平面 ABC 内,则 x=
.
(3)已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,若点 M 满足 =
OG 上一点,且 =41 ,则(
A.1 =
1

6
B.1 =
1

12
C.1 =
1

18
D.1 =
1

8
+
1

6
+
+
1

12
+
1

18
+
1

8
+
1

6
+
1

12
+
1

18
1

8
)
答案 B
解析连接AG并延长交BC于点N,连接ON.
由 G 是△ABC 的重心,可得 =