2018届高考数学二轮复习寒假作业(十五)直线与圆(注意命题点的区分度)理

合集下载

2018届高考数学二轮复习直线与圆教学案文学案含答案(全国通用)

专题13 直线与圆(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．1．直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．(2)直线方程(3)两直线的位置关系(4)距离公式①两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.②点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r .②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内．(3)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表. 代数法：⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b 2＝r2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号(4)圆与圆的位置关系【误区警示】1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．考点一直线及其方程例1. 【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-.【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4【变式探究】已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 【答案】B【解析】(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB 、BC 相交时(如图①)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋b a ＋1，又易知x D ＝－ba ，∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.图① 图②(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC 、BC 相交时(如图②)，由S △FCG ＝12(x G －x F )·|CM |＝12得b ＝1－221－a2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1 (∵0<a <1)，∵对于任意的a >0恒成立，∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12.故选B. 考点二两直线的位置关系例2、【2016高考上海文数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.【解析】利用两平行线间距离公式得d 5===. 已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0【答案】C【变式探究】设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．【答案】5【解析】易求定点A (0，0)，B (1，3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.考点三圆的方程例3．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：。

(浙江专版)18年高考数学二轮专题复习第一部分专题五第一讲直线与圆课件

[答案]
(1)C
(2)y＝2 或 4x－3y＋2＝0
(1)处理两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－ A2B1＝ 0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性． (2)要注意每种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直(用两点式也不能与 y 轴垂直)．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)在解决问题的过程中，要注意选择直线方程的形式，用待定系数法求直线的方程，是最基本最常用的方法.
[解析]
(1)由题知圆 M： x2＋ (y－ a)2＝ a2(a＞ 0)，圆心 (0， a)
2 a a2－＝2 2，解得 a＝2， 2
a 到直线 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋y＝0 的距离 d＝，所以 2 2
即圆 M 的圆心为(0,2)，半径为 2.又圆 N 的圆心为(1,1)，半径为 1，则圆 M，圆 N 的圆心距|MN|＝ 2，两圆半径之差为 1，半径之和为 3,1< 2<3，故两圆相交． (2)由直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 知其过定点(－3， 3)，圆心 |3m－ 3| O 到直线 l 的距离为 d＝ . 2 m ＋1 由|AB|＝2
2
当 a＝－1 时，方程为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2 ＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是 5.
[答案]
(－2，－4)
5
(2)(2016· 天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 4 5 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为，则 5 圆 C 的方程为________．
3m－ 3 2 3得 2 ＋( m ＋1

2018高考新课标数学理二轮专题复习课件：专题五第1讲直线与圆精品

21 3.
(2)∵圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a，0)，且 a>0，
∴圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝2a5＝455，解得 a＝2. ∴圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9. 答案：(1)B (2)(x－2)2＋y2＝9
角度 1 圆的切线问题
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中 D2
＋E2－4F>0，表示以－D2 ，－E2 为圆心，
D2＋E2－4F为 2
半径的圆．
5．判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法．把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，再利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；
如图，过点 C 作 CH⊥BD，垂足为 H，∴|CH|＝2 3. 在 Rt△CHD 中，∠HCD＝30°，∴|CD|＝ 2 3 ＝4.
cos 30°
答案：4
[规律方法] 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．
2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及半弦长2l，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．
3．两个距离公式
(1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝ |CA1－2＋CB2|2. (2)点(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离公式 d ＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.

2018高考数学(理)专题突破—直线与圆

直线与圆【考点梳理】1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F 2. 4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.【题型突破】题型一、直线的方程【例1】(1)设a ∈R ，则“a ＝－2”是直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)过点P (2，3)的直线l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB 的最小值为________.【答案】(1)A (2)12【解析】(1)当a ＝－2时，l 1：－2x ＋2y －1＝0，l 2：x －y ＋4＝0，显然l 1∥l 2.当l 1∥l 2时，由a (a ＋1)＝2且a ＋1≠－8得a ＝1或a ＝－2，所以a ＝－2是l 1∥l 2的充分不必要条件.(2)依题意，设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0).∵点P (2，3)在直线l 上.∴2a ＋3b ＝1，则ab ＝3a ＋2b ≥26ab ，故ab ≥24，当且仅当3a ＝2b (即a ＝4，b ＝6)时取等号.因此S △AOB ＝12ab ≥12，即S △AOB 的最小值为12.【类题通法】1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.【对点训练】(1)已知直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)在△ABC 中，A (1，1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4，2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝________.【答案】(1)A (2)94【解析】(1)“l 1⊥l 2”的充要条件是“m (m －3)＋1×2＝0⇔m ＝1或m ＝2”，因此“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件.(2)由两点间距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0，所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，则S △ABC ＝12|AC |d ＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫m －322－14，又1<m <4，所以1<m <2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值.题型二、圆的方程【例2】(1)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.(2)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.【答案】(1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 【解析】(1)∵圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0.则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|5＝455，解得a ＝2. ∴圆C 的半径r ＝|CM |＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0).设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2，则有⎩⎨⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. 【类题通法】1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.【对点训练】(1)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A.2 6B.8C.4 6D.10(2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦的长为23，则圆C 的标准方程为________.【答案】(1)C (2)(x －2)2＋(y －1)2＝4【解析】(1)由已知，得AB→＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋ (－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，∴y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，因此|MN |＝|y 1－y 2|＝4 6.(2)设圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2(a >0)，半径为a . 由勾股定理得(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝a 2，解得a ＝2. 所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.题型三、直线与圆的位置关系【例3】在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.【答案】(x －1)2＋y 2＝2【解析】直线mx －y －2m －1＝0恒过定点P (2，－1)，当AP 与直线mx －y －2m －1＝0垂直，即点P (2，－1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.【例4】(1)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 方程为________.(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.【答案】(1)x ＋y －3＝0 (2)4【解析】(1)圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3.又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短.因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1. 故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.(2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝23，∴圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，∴直线l 的倾斜角∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°，因此|CD |＝|CE |sin 60°＝23sin 60°＝4. 【类题通法】1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l 2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【对点训练】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ→，求实数t 的取值范围.【解析】(1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)，且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25，即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)由TA →＋TP →＝TQ→，则四边形AQPT 为平行四边形，又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10.∴|TA |＝|PQ |≤10，即（t －2）2＋42≤10，解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221，2＋221].。

2018年高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第1讲直线与圆课时规范练理

第1讲直线与圆一、选择题1．(2017·日照二模)已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要解析：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0⇔m ＝±1.所以命题p 是命题q 的充分不必要条件．答案：A2．(2017·忻州模拟)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：依题意，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点．因为圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2，故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.答案：B3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B.213C.253D.43解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，所以⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，所以△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，因此圆心到原点的距离d ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.答案：B4．(2017·济南调研)若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( )(导学号 54850124)A ．1B ．－3C ．1或－3D ．2解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝5的圆心C (1，0)，半径r ＝ 5.又直线x －y ＋m ＝0被圆截得的弦长为2 3.所以圆心C 到直线的距离d ＝r 2－（3）2＝2，因此|1－0＋m |12＋（－1）2＝2，所以m ＝1或m ＝－3. 答案：C5．(2017·汉中模拟)已知过点(－2，0)的直线与圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0相切于点P (P 在第一象限内)，则过点P 且与直线3x －y ＝0垂直的直线l 的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0 C.3x ＋y －2＝0D ．x ＋3y －6＝0解析：圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0的标准方程(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2，0)，半径r ＝2.又过点(－2，0)的直线与圆C 相切于第一象限，所以易知倾斜角θ＝30°，切点P (1，3)，设直线l 的方程为x ＋3y ＋c ＝0，把点P (1，3)代入，所以1＋3＋c ＝0，所以c ＝－4. 所以直线l 的方程为x ＋3y －4＝0. 答案：B 二、填空题6．(2017·菏泽二模)已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．解析：圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，所以圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短．因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，所以a ＝－1.故所求直线的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝07．(2017·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．解析：法一由题意知，AO →＝(2，0)，令P (cos α，sin α)，则AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 法二由题意知，AO →＝(2，0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO →·AP →＝(2，0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，故AO →·AP →的最大值为6. 答案：68．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________．解析：由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝23，所以圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. 因为直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，所以直线l 的倾斜角∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°，因此|CD |＝|CE |sin 60°＝23sin 60°＝4.答案：4 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)．(导学号 54850125)(1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S . 解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，配方，得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2，3)．当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切，故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0. (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离为d ＝|5×2－3×3|52＋32＝134，又|OA |＝32＋52＝34，所以S ＝12|OA |d ＝12.10．(2017·天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．(导学号 54850126)(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．解：(1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m ，因为圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切，所以圆心(－2，1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为2x －y ＋c ＝0，因为|MN |＝23，半径r ＝2，所以圆心(－2，1)到直线MN 的距离为22－（3）2＝1.则|－4－1＋c |5＝1，所以c ＝5±5，所以直线MN 的方程为2x －y ＋5± 5＝0.11.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解：(1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)，且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为k OA ＝2，所以可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25，即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.所以直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形，又因为P ，Q 为圆M 上的两点，所以|PQ |≤2r ＝10. 所以|TA |＝|PQ |≤10，即（t －2）2＋42≤10，解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的取值范围为[2－221，2＋221 ]．。

2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题五解析几何第1讲精品

x＝－2 的右侧，若圆 M 截直线 l1 所得的弦长为 2 3，且与直线 l2：2x－ 5y－4＝0 相切，则圆 M 的方程为________.
解析由已知，可设圆 M 的圆心坐标为(a，0)，a＞－2，（a＋2）2＋（ 3）2＝r2，
半径为 r，得|2a4－＋45|＝r，解得满足条件的一组解为ar＝＝2－，1，所以圆 M 的方程为(x＋1)2＋y2＝4. 答案 (x＋1)2＋y2＝4
T→A＋T→P＝T→Q，求实数 t 的取值范围.
解 (1)圆 M 的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝ 25，圆心 M(6，7)，半径 r＝5，由题意，设圆 N 的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0). 且（6－6）2＋（b－7）2＝b＋5.解得 b＝1， ∴圆 N 的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
2.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a， b)，半径为 r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为－D2 ，－E2，半径为 r＝ D2＋2E2－4F；对于二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件 B＝0，是A＝C≠0， D2＋E2－4AF＞0.
(2)依题意得△OO1A 是直角三角形，
∴OO1＝ 5＋20＝5，
S△OO1A＝12·A2B·OO1＝12·OA·AO1，
因此 AB＝2·OOAO·1 AO1＝2×
5×2 5
5＝4.
答案 (1)45π (2)4
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式. (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理.

2018高考数学理二轮复习课件：1-5-1 直线与圆精品

解得 D＝－2，E＝4，F＝－20，所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0，令 x＝0，得 y2＋4y－20＝0，
设 M(0，y1)，N(0，y2)，则 y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，所以|MN|＝|y1－y2|＝ y1＋y22－4y1y2＝4 6.故选 C.
2．[2015·湖北高考]如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交于两点 A，B(B 在 A 的上方)，且|AB|＝2.
D.2x－y＋ 5＝0 或 2x－y－ 5＝0
解析
设所求直线的方程为 2x＋y＋c＝0(c≠1)，则
|c| ＝ 22＋12
5，所以 c＝±5，故所求直线的方程
为 2x＋y＋5＝0 或 2x＋y－5＝0.
2.[2015·重庆高考]若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为_x_＋__2_y_－__5_＝__0．
主干知识整合
1.直线方程的五种形式 (1)点斜式： y－y1＝k(x－x1) ． (2)斜截式： y＝kx＋b .
[必记公式]
(3)两点式： yy2－－yy11＝xx2－－xx11
(x1≠x2，y1≠y2)．
(4)截距式： ax＋by＝1 (a≠0，b≠0)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)． 2.圆的三种方程 (1)圆的标准方程： (x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
热点探究悟道

热点一直线与方程
例 1 (1)[2015·郑州质量预测]“a＝1”是“直线 ax＋y＋1＝0 与直线(a＋2)x－3y－2＝0 垂直”的
()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2018年高一数学寒假作业(人教A版必修2)直线与圆、圆与圆的位置关系word版含答案

2018年高一数学寒假作业（人教A版必修2）直线与圆、圆与圆的位置关系(时间：40分钟)一、选择题1．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB 的长为( )A．3 3 B．2 3C. 3 D．12．已知圆的方程是x2＋y2＝1，则在y轴上截距为2的切线方程为( )A．y＝x＋ 2B．y＝－x＋ 2C．y＝x＋2或y＝－x＋ 2D．x＝1或y＝x＋ 23．(2016²山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22。

则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．相离4．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )A．x2＋y2－x＋7y－32＝0B．x2＋y2－x＋7y－16＝0C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0D．x2＋y2－4x＋4y－8＝05．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( ) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝26．已知圆F的半径为1，圆心是抛物线y2＝16x的焦点，且在直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆F有公共点，则实数k的最大值为( )A.12B.34C．1 D.4 3二、填空题7．(2016²泰安模拟)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为______________。

8．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程为______________。

9．(2017²阜新模拟)过点(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________。

高考数学二轮复习寒假作业(十四)直线与圆(注意命题点的区分度)文

寒假作业(十四) 直线与圆(注意命题点的区分度)一、选择题1．已知直线 3x ＋y －1＝0与直线23x ＋my ＋3＝0平行，则它们之间的距离是( ) A ．1 B ．54 C ．3D ．4解析：选B ∵323＝1m ≠－13，∴m ＝2，两平行线之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－323＋1＝54.2．曲线y ＝(x ＋a )e x在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B 因为y ＝(x ＋a )e x，所以y ′＝(1＋x ＋a )e x，所以曲线y ＝(x ＋a )e x在x ＝0处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝0＝1＋a ，又切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，故1＋a ＝1，解得a ＝0.3．已知直线l 过圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心，且与直线x －3y ＋1＝0平行，则直线l 的方程是( )A ．x －3y －2＝0B ．x ＋3y －2＝0 C.3x －y －2＝0D.3x ＋y －2＝0解析：选A 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心为(2,0)．直线x －3y ＋1＝0的斜率为33，且直线l 与该直线平行，故直线l 的斜率为33，直线l 的方程为y ＝33(x －2)，即x －3y －2＝0.4．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆的圆心在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y －a )2＝－34a 2－3a ，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a ，同时满足－34a 2－3a >0，解得－4<a <0，故－a2>0，则该圆的圆心在第四象限．5．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝5D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝5解析：选D 法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，故⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －7＝0，a 2＋＋b 2＝r 2，a 2＋＋b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，r 2＝5，故圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.法二：利用圆心在直线2x －y －7＝0上来检验，只有D 符合，即(x －2)2＋(y ＋3)2＝5的圆心为(2，－3)，2×2＋3－7＝0，其他三个圆心(－2，－3)，(2,3)，(－2,3)均不符合题意，故选D.6．已知A ，B 为圆C ：(x －m )2＋(y －n )2＝9(m ，n ∈R)上两个不同的点，C 为圆心，且满足|CA uur ＋CB uu u r|＝25，则|AB |＝( )A ．2 5B ．4 C. 5 D ．2解析：选B ∵C 为圆心，A ，B 在圆上，∴取AB 的中点为O ，连接CO ，有CO ⊥AB ，且CA uur＋CB uu u r ＝2CO uuu r ，∴|CO uuu r|＝5，又圆C 的半径R ＝3，∴|AB |＝2R 2－|CO uuu r |2＝2×9－5＝4.7．已知两圆x 2＋y 2＝16和(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 由题意可知，切线、圆心的连线围成直角三角形，则(0－4)2＋(0＋3)2＝r 2＋16，解得r ＝3.8．(2017·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心C (1,1)，半径为2.当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝0时，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0.综上，直线l的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0.9．(2018届高三·绥化三校联考)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以－2a －2＋－b2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.10．圆x 2＋y 2＝4与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA |，|PO |，|PB |(O 为坐标原点)成等比数列，则PA uur ·PB uu u r的取值范围为( )A ．[－1,0)B ．[－2,0)C ．(－3，0]D ．(－1,0]解析：选B 由题意知，不妨设A (－2,0)，B (2,0)，P (x ，y )，由|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，得x ＋2＋y 2·x －2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2，故PA uur ·PB uu u r＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2，得y 2<1.所以PA ―→·PB ―→的取值范围为[－2,0)．11．已知A (0,33)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，P 为圆C ：x 2＋y 2＝2x 上的任意一点，则△ABP 面积的最大值为( )A.33＋32B. 3 C ．2D.23＋23解析：选A 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，因为A (0,33)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332－332＝3，直线AB 的方程为3x ＋y ＝33，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|3－33|2＝ 3.又圆C 的半径为1，所以圆C 上的点到直线AB 的最大距离为3＋1，故(S △ABP )max ＝12×(3＋1)×3＝33＋32.12．已知点A (－5,0)，B (－1，－3)，若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上恰有两点M ，N ，使得△MAB 和△NAB 的面积均为5，则r 的取值范围是( )A ．(2，5)B ．(2,5)C ．(1，5)D ．(1,5) 解析：选 D 由题意可得|AB |＝－1＋2＋－3－2＝5，根据△MAB 和△NAB的面积均为5可得M ，N 到直线AB 的距离均为2，由于AB 的方程为y －0－3－0＝x ＋5－1＋5，即3x＋4y ＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB 的距离为2，则圆心到直线AB 的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r ＋2，解得r ＝1；若圆上只有3个点到直线AB 的距离为2，则圆心到直线AB的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r －2，解得r ＝5.故r 的取值范围是(1,5)．二、填空题13．已知点P (1，a )是圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0内的一点，过点P 的最短弦所在直线的方程是x ＋2y －3＝0，则a ＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0的圆心为C (3,2)，由于过点P 的最短弦与CP 垂直，且过点P 的最短弦所在直线的方程是x ＋2y －3＝0，故k CP ＝a －21－3＝2，解得a ＝－2.答案：－214．(2017·广州综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝215．已知M ，N 是圆A ：x 2＋y 2－2x ＝0与圆B ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的公共点，则△BMN 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＝0可得MN 的方程为y ＝x ，再由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x可得M (0,0)，N (1,1)或M (1,1)，N (0,0)，所以|MN |＝2，由圆B ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，故圆心B (－1,2)到直线MN ：y ＝x 的距离d ＝|－1－2|2＝32，所以△BMN 的面积为12×2×32＝32.答案：3216．(2018届高三·湘中名校联考)已知m >0，n >0，若直线l ：(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．解析：因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线l 的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|m ＋2＋n ＋2＝1，即|m ＋n |＝m ＋2＋n ＋2，两边平方并整理得，m ＋n ＋1＝mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)．答案：[2＋22，＋∞) 三、解答题17．已知圆C 经过M (3，－3)，N (－2,2)两点，且在y 轴上截得的线段长为4 3. (1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l ∥MN ，l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解：(1)由题意知直线MN 的斜率为－1，则线段MN 的垂直平分线的方程是y ＋12＝x －12，即y ＝x －1，所以圆心C 的坐标可设为(a ，a －1)，又圆C 在y 轴上截得的线段长为43，所以(a －3)2＋(a ＋2)2＝12＋a 2，解得a ＝1，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ，设A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x －2＋y 2＝13消去y ，得2x 2－(2＋2m )x ＋m 2－12＝0，由Δ>0，得m 2－2m －25<0，x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122，又由题意可知OA ⊥OB ，即k OA ·k OB ＝－1，所以m －x 1x 1·m －x 2x 2＝－1，即m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0，整理得m 2－m －12＝0，解得m ＝4或m ＝－3，经验证符合Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.18．已知曲线C 上任意一点到原点的距离与到E (3，－6)的距离之比均为1∶2. (1)求曲线C 的方程；(2)设点P (1，－2)，过点P 作两条相异直线分别与曲线C 相交于A ，B 两点，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，求证：直线AB 的斜率为定值．解：(1)设曲线C 上的任意一点为Q (x ，y )，由题意得x 2＋y 2x －2＋y ＋2＝12，所以曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)证明：由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，点P (1，－2)，故可设PA ：y ＋2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝k x －，x ＋2＋y －2＝20，得(1＋k 2)x 2＋2(1－k 2－4k )x ＋k 2＋8k －3＝0，因为点P 的横坐标1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2＋8k －31＋k 2，同理，x B ＝k 2－8k －31＋k2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k x B －－2－k x A －＋2x B －x A＝2k －k x B ＋x A x B －x A ＝－12，故直线AB 的斜率为定值－12.19．(2017·郑州第一次质量预测)已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26,1)，Q (2,1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解：(1)由题意，得|MP ||MQ |＝5，即x －2＋y －2x －2＋y －2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25. 轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆． (2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段长度为252－32＝8，所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心(1,1)到直线l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512. 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线14x ＋8y －31＝0对称．(1)求圆C 2的方程；(2)设P 为平面上的点，满足下列条件：过点P 存在无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2(l 1，l 2的斜率存在且不为0)，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)设圆C 2的圆心为(m ，n )，因为直线14x ＋8y －31＝0的斜率为k ＝－74，所以由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧n －1m ＋3＝47，14×－3＋m 2＋8×1＋n2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝5，所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )(k ≠0)，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和圆C 2的半径相等，直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k－a －b 1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.所以这样的点P 只可能是点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验，两点都满足条件．。

2018届高考数学(全国通用)二轮复习基础小题精品课件第15讲直线与圆

11. 过 P(2 ，0) 的直线 l 被圆 (x － 2)2 ＋ (y － 3)2 ＝ 9 截得的线段长为 2
2018届高考数学（全国通用）二轮复习基础小题精品课件
第15讲直线与圆
明考情直线与圆的考查主要体现在圆锥曲线的考查上，偶有单独命题，单独命题时难度中档偏难. 知考向
1.直线方程.
2.圆的方程. 3.直线与圆的位置关系.
栏目索引
研透考点
核心考点突破练易错易混专项练高考押题冲刺练
明辨是非
r2＝4， 12＋－b2＝r2， 3 依题意，得 1 解得 3 |b|＝ r， 2 b＝± 3 .
3 2 4 2 所以圆 C 的方程为 x ＋y± ＝3. 3
6 7 8 9 10
解析
答案
10.在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－ 2m－1＝0 (m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 (x－1)2＋y2＝2 ______________. 解析直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2，－1). 当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.
6
7
8
9 10
解析
答案
考点三直线与圆的位置关系
方法技巧研究直线与圆的位置关系的方法
(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题. (2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离 d
l 及半弦长 2 ，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.
A.3 √
2
B.2 2
C.3 3

2018届高三理科数学二轮复习讲义模块二专题五第一讲直线与圆 Word版含解析

专题五解析几何第一讲直线与圆高考导航. 求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离问题．．结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；直线与圆、圆与圆的位置关系问题，其中含参数问题为命题热点.．(·全国卷Ⅱ)圆＋－－＋＝的圆心到直线＋－＝的距离为，则＝( )．－．－．[解析]由已知可得圆的标准方程为(－)＋(－)＝，故该圆的圆心为()，由点到直线的距离公式得＝＝，解得＝－，故选.[答案]．(·山东卷)一条光线从点(－，－)射出，经轴反射后与圆(＋)＋(－)＝相切，则反射光线所在直线的斜率为( )．－或－．－或－．－或－．－或－[解析]由题意知，反射光线所在直线过点(，－)，设反射光线所在直线的方程为＋＝(－)，即－－－＝.∵圆(＋)＋(－)＝的圆心为(－)，半径为，且反射光线与该圆相切，∴＝，化简得＋＋＝，解得＝－或＝－.[答案]．(·山东卷)已知圆：＋－＝(>)截直线＋＝所得线段的长度是，则圆与圆：(－)＋(－)＝的位置关系是( )．内切．相交．外切．相离[解析]由题知圆：＋(－)＝(>)，圆心(，)到直线＋＝的距离＝，所以＝，解得＝.圆，圆的圆心距＝.两圆半径之差为，故两圆相交．[答案]．(·湖北孝感五校月联考)已知直线＝是△中∠的平分线所在的直线，若点，的坐标分别是(－)，()，则点的坐标为( )．(－) ．(－，－)．() ．(，－)[解析]设(－)关于直线＝的对称点为(，)，则，,(＋)＝×(－＋)，))解得(\\(＝，＝－，))∴所在直线方程为－＝(－)，即＋－＝.同理可得点()关于直线＝的对称点为(－)，∴所在直线方程为－＝·(＋)，即－＋＝.联立得(\\(＋－＝，－＋＝，))解得(\\(＝，＝，))则()．故选.[答案]．(·天津卷)已知圆的圆心在轴的正半轴上，点(，)在圆上，且圆心到直线－＝的距离为，则圆的方程为．[解析]因为圆的圆心在轴的正半轴上，设()，且>，所以圆心到直线－＝的距离＝＝，解得＝，所以圆的半径＝＝＝，所以圆的方程为(－)＋＝.。

2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二专题五第一

专题五解析几何第一讲直线与圆高考导航1. 求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离问题．2．结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；直线与圆、圆与圆的位置关系问题，其中含参数问题为命题热点.1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．2[解析] 由已知可得圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A.[答案] A2．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34[解析] 由题意知，反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，且反射光线与该圆相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.[答案] D3．(2016·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，圆心(0，a )到直线x＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N的圆心距|MN |＝ 2.两圆半径之差为1，故两圆相交．[答案] B4．(2017·湖北孝感五校4月联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)[解析] 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧ y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2， ∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)·(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．故选C. [答案] C5．(2016·天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________________________________________________．[解析] 因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.[答案] (x －2)2＋y 2＝9考点一直线的方程1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.[对点训练]1．(2017·东北三校联考)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是()A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0[解析]当直线过原点时，由题意可得直线方程为2x－5y＝0；当直线不经过原点时，可设出其截距式为xa＋y2a＝1，再由过点(5,2)即可解出2x＋y－12＝0，故选B.[答案] B2．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三测试)设a∈R，则“a ＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析] ∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.[答案] D3．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为__________________________________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1,2)．显然直线x ＝1不符合．设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0,4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.[答案] y ＝2或4x －3y ＋2＝04．(2017·安徽亳州一模)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0，若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是__________________．[解析] 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(a ，b )，则⎩⎨⎧a ＋02－b －22－1＝0，b ＋2a ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为y ＋10－(－1)＝x ＋11－(－1)，即x －2y －1＝0. [答案] x －2y －1＝0求直线方程的两种方法(1)直接法：选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果．(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数．考点二圆的方程1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆． [对点训练]1．(2017·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0[解析] 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0，故选B.[答案] B2．(2017·西安统考)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________________．[解析] 设点(1,0)关于y ＝x 的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ y 0x 0－1＝－1，y 02＝x 0＋12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，所以圆C 的圆心为(0,1)．又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝1.[答案] x 2＋(y －1)2＝13．已知圆C 过定点A (0，a )(a >0)，且被x 轴截得的弦MN 的长为2a ，若∠MAN ＝45°，则圆C 的方程为__________________．[解析] 设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，依题意，圆C 的半径r ＝x 2＋(y －a )2，又圆C 被x 轴截得的弦MN 的长为2a ，所以|y |2＋a 2＝r 2，即y 2＋a 2＝x 2＋(y －a )2，化简得x 2＝2ay .因为∠MAN ＝45°，所以∠MCN ＝90°，从而y ＝a ，x ＝±2a ，圆的半径r ＝x 2＋(y －a )2＝2a ，所以圆C 的方程为(x ＋2a )2＋(y －a )2＝2a 2或(x －2a )2＋(y －a )2＝2a 2.[答案] (x ＋2a )2＋(y －a )2＝2a 2或(x －2a )2＋(y －a )2＝2a 2求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法．考点三直线与圆、圆与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系的方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．(2)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．[对点训练]1．圆x 2＋y 2＋4x ＝0与圆x 2＋y 2－8y ＝0的公共弦长为( ) A.255 B.455 C.855 D.1655[解析] 解法一：联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＝0，x 2＋y 2－8y ＝0，得x ＋2y ＝0，将x ＋2y ＝0代入x 2＋y 2＋4x ＝0，得5y 2－8y ＝0，解得y 1＝0，y 2＝85，故两圆的交点坐标是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，85，则所求弦长为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝855，选C.解法二：联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＝0，x 2＋y 2－8y ＝0，得x ＋2y ＝0，将x 2＋y 2＋4x ＝0化为标准方程得(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心为(－2,0)，半径为2，圆心(－2,0)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|－2|5＝255，则所求弦长为 2 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝855，选C. [答案] C2．(2017·洛阳统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋1＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，选A.[答案] A3．(2017·重庆永川中学月考)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝30°，则x 0的取值范围是( )A ．[－3，3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C ．[－2,2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 [解析] 易知M (x 0,1)在直线y ＝1上，设圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝1的交点为T ，显然假设存在点N ，使得∠OMN ＝30°，则必有∠OMN ≤∠OMT ，所以要使圆上存在点N ，使得∠OMN ＝30°，只需∠OMT ≥30°，因为T (0,1)，所以只需在Rt △OMT 中， tan ∠OMT ＝OT TM ＝1|x 0|≥tan30°＝13，解得－3≤x 0≤3，且x 0≠0，当x 0＝0时，显然满足题意，故x 0∈[－3，3]．故答案选A.[答案] A4．(2017·新疆维吾尔自治区第二次适应性检测)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则m －n 的最大值是________．[解析] 依题意得，圆心(0,0)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离等于圆的半径1，于是有2(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，即(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝4，设m ＋1＝2cos θ，n ＋1＝2sin θ，则m －n ＝(m ＋1)－(n ＋1)＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤22，当且仅当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时取等号，因此m －n 的最大值是2 2.[答案] 2 2直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式．(3)弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l ＝2r 2－d 2(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．【特别提醒】 (1)经过圆C ：x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)相交两圆的方程对应相减，得两圆公共弦所在直线方程．热点课题17 与圆有关的最值问题[感悟体验]1．(2017·厦门模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x －3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4 B.17－1 C．6－2 2 D.17[解析]两圆的圆心均在第一象限，先求|PC|＋|PC2|的最小值，1作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝52，所以(|PM|＋|PN|)min＝52－(1＋3)＝52－4.故选A.[答案] A2．(2017·宁夏银川一中检测)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l 的方程是________________．[解析]验证得M(1,2)在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，又圆心为(3,4)，则k CM＝4－23－1＝1，则k l＝－1，故直线l的方程为y－2＝－(x－1)，整理得x＋y－3＝0. [答案]x＋y－3＝0。

2018年高考数学(理)二轮复习讲学案：考前专题六解析几何第1讲直线与圆

第1讲直线与圆考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热点一直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2(A2＋B2≠0)．(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(A2＋B2≠0)．例1(1)(2017届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学联考)“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x ＋()a－1y＋4＝0平行”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由ax ＋y －2＝0与直线2x ＋()a －1y ＋4＝0平行，得a ()a －1＝2，∴a ＝－1，a ＝2.经检验当a ＝－1时，两直线重合(舍去)．∴“a ＝2”是“直线ax ＋y －2＝0与直线2x ＋()a －1y ＋4＝0平行”的充要条件． (2)(2017届南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．答案 3 2解析由题意，得直线l 1：kx －y ＋2＝0的斜率为k ，且经过点A ()0，2，直线l 2：x ＋ky －2＝0的斜率为－1k ，且经过点B ()2，0，且直线l 1⊥l 2，所以点P 落在以AB 为直径的圆C 上，其中圆心坐标为C ()1，1，半径为r ＝2，则圆心到直线x －y －4＝0的距离为d ＝||1－1－42＝22，所以点P 到直线x －y －4＝0的最大距离为 d ＋r ＝22＋2＝3 2.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况． (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 (1)已知直线l 1：ax ＋()a ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，其中a ∈R ，则“a ＝－3”是“l 1⊥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析直线l 1⊥l 2的充要条件是a ＋()a ＋2a ＝0， ∴a ()a ＋3＝0，∴a ＝0或a ＝－3.故选A.(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B.12或－6 C ．－12或12D ．0或12答案 B解析依题意，得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1，所以|3m ＋5|＝|m －7|. 所以(3m ＋5)2＝(m －7)2，整理得2m 2＋11m －6＝0. 所以m ＝12或m ＝－6.热点二圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)(2017·海口调研)已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( ) A.()x ＋32＋()y －12＝1 B.()x －32＋()y ＋12＝1 C.()x ＋32＋()y ＋12＝1 D.()x －32＋()y －12＝1 答案 C解析到两直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M 的方程为()x ＋32＋()y ＋12＝1.故选C.(2)(2017·百校联盟质检)若圆C 过点()0，－1，()0，5，且圆心到直线x －y －2＝0的距离为22，则圆C 的标准方程为______________．答案 x 2＋()y －22＝9或()x －82＋()y －22＝73 解析由题意可设圆心C ()a ，2，则||a －2－22＝22⇒a ＝0或a ＝8，所以半径等于0＋32或82＋32 ，即圆C的标准方程为x 2＋()y －22＝9或()x －82＋()y －22＝73. 思维升华解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)圆心为()4，0且与直线3x －y ＝0相切的圆的方程为( ) A.()x －42＋y 2＝1 B.()x －42＋y 2＝12 C.()x －42＋y 2＝6 D.()x ＋42＋y 2＝9答案 B解析由题意可知，圆的半径为点到直线的距离，即r ＝d ＝||3×4－03＋1＝2 3 ，结合圆心坐标可知，圆的方程为()x －42＋y 2＝12 .(2)(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离． (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切． (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交． (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切． (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)(2017·保定模拟)若直线x ＋y ＝0与圆x 2＋()y －a 2＝1相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C. 2 D ．±2答案 D解析圆x 2＋()y －a 2＝1的圆心坐标为()0，a ，半径为1，因为直线x ＋y ＝0与圆x 2＋()y －a 2＝1相切，所以圆心()0，a 到直线的距离d ＝r ，即||a 2＝1，解得a ＝±2，故选D.(2)(2017·银川模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋16＝0，则圆C 1和圆C 2的位置关系是( ) A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切答案 B解析化圆C 2的方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝9，则圆C 1与C 2的圆心距为32＋42＝5＝r 1＋r 2，所以圆C 1和圆C 2外切，故选B.思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)(2017·深圳调研)直线l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A ()0，k 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为 ( ) A.22B. 2C. 6 D ．2 6答案 C解析由l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴知，直线l 必过圆心()－2，2，因此k ＝3.则过点A ()0，k ，斜率为1的直线m 的方程为y ＝x ＋3，圆心到直线的距离d ＝||－2－2＋32＝22，所以弦长等于2r 2－d 2＝22－12＝6，故选C. (2)(2017·西宁复习检测)如果圆()x －a 2＋()y －a 2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A.()－3，－1∪()1，3B.()－3，3C.[]－1，1D.[]－3，－1]∪[1，3答案 D解析圆心()a ，a 到原点的距离为||2a ，半径r ＝22，圆上的点到原点的距离为d .因为圆()x －a 2＋()y －a 2＝8上总存在点到原点的距离为2，则圆()x －a 2＋()y －a 2＝8与圆x 2＋y 2＝2有公共点，r ′＝2，∴r －r ′≤||2a ≤r ＋r ′，即1≤||a ≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1，所以实数a 的取值范围是[]－3，－1]∪[1，3，故选D.真题体验1．(2016·山东改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________．答案相交解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标为N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝ 2. 又r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1，∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交．2．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离是________．答案2553．(2016·全国Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π. 押题预测1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( ) A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13押题依据直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用．答案 C解析由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对的圆心角为2π3.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.2．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn ( ) A ．有最小值1＋2，无最大值 B ．有最小值3＋22，无最大值 C ．有最大值3＋22，无最小值 D ．有最小值3－22，最大值3＋2 2押题依据直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大．答案 B解析由直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，可得2|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝2，整理得m ＋n＋1＝mn .由m ，n 为正实数可知，m ＋n ≥2mn ，令t ＝mn ，则2t ＋1≤t 2，因为t >0，所以t ≥1＋2，所以mn ≥3＋2 2.故mn 有最小值3＋22，无最大值．故选B.3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 押题依据本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路．答案102解析联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0，故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a 2＝5a(a >0)．故222－⎝⎛⎭⎫5a 2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.A 组专题通关1．(2017·河南省郑州市第一中学调研)点()3，4在直线l ：ax －y ＋1＝0上，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°答案 C解析将点()3，4代入直线方程，求得a ＝ 3 ，所以直线l ：3x －y ＋1＝0 ，斜率k ＝ 3 ，所以倾斜角为60°，故选C.2．(2017届吉林大学附属中学模拟)若3π2<α<2π，则直线x cos α＋y sin α＝1必不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析令x ＝0，得y ＝sin α<0，令y ＝0，得x ＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．故选B.3．直线l 与两条直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率是( ) A.23 B.32 C ．－23D ．－32答案 C解析设P (a,1) ，Q (b ，b －7) ，所以⎩⎨⎧a ＋b2＝1，1＋b －72＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以P (－2,1)，Q (4，－3)，所以直线l 的斜率k ＝1－(－3)－2－4＝－23，故选C.4．(2017·湖北省六校联合体联考)过点P ()1，2的直线与圆x 2＋y 2＝1相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．－43C ．0或43D.43答案 C解析当a ＝0时，直线ax ＋y －1＝0，即直线y ＝1，此时过点P ()1，2且与直线y ＝1垂直的直线为x ＝1，而x ＝1与圆相切，满足题意，所以a ＝0成立；当a ≠0时，过点P ()1，2且与直线ax ＋y －1＝0垂直的直线斜率为1a ，可设该直线方程为y －2＝1a()x －1，即x －ay ＋2a －1＝0，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1，可得||2a －1a 2＋1＝1，解得a ＝43.所以a ＝0或43.故选C.5．(2017·广西陆川县中学知识竞赛)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x －10y ＋25＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y ＋3＝0 C ．x ＋3y －1＝0 D ．3x －y ＋1＝0答案 A解析由题设可知，线段AB 的垂直平分线过两圆的圆心C 1(1,2)，C 2(－2,5)，由此可得kC 1C 2＝5－2－2－1＝－1，故由点斜式方程可得y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0，故选A.6．(2017届唐山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为x 2＋y 2＝4，直线l 的方程为y ＝k ()x ＋2，若在圆O 上至少存在三点到直线l 的距离为1，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，33 B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C.⎣⎡⎦⎤－12，12 D.⎣⎡⎦⎤0，12 答案 B解析根据直线与圆的位置关系可知，若圆O: x 2＋y 2＝4上至少存在三点到直线l: y ＝k ()x ＋2的距离为1，则圆心()0，0到直线kx －y ＋2k ＝0的距离d 应满足d ≤1，即||2k k 2＋1≤1，解得k 2≤13，即－33≤k ≤33，故选B.7．(2017·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6] D ．[3,5]答案 C解析过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AC ，BC ，MC ，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，只需∠AMC ≥45°，sin ∠AMC ＝10(5－1)2＋(t －4)2≥22，解得2≤t ≤6，故选C.8．(2017届上海市黄浦区模拟)若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y －1＝0，4x ＋ay －2＝0有无数多组解，则实数a ＝________.答案 2解析当a ＝0时， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，不合题意；当a ≠0时，由a 4＝1a ＝－1－2，解得a ＝2.综上可知， a ＝2.9．(2017届安徽省马鞍山市质检)已知A ()0，0， B ()2，－4，C ()4，2，线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是__________．答案 ()6，－2解析设D ()x ，y ，因为B ()2，－4， C ()4，2在圆周上且AD 是△ABC 外接圆的直径，所以k BA ·k BD ＝－1＝－42×－4－y 2－x，k CA ·k CD ＝－1＝24×2－y 4－x ，解得x ＝6，y ＝－2，所以点D 的坐标是()6，－2.10．以坐标原点O 为圆心，且与直线x ＋y ＋2＝0相切的圆的方程是________________，圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________．答案 x 2＋y 2＝2 相交解析由题意所求圆的半径等于原点O 到直线x ＋y ＋2＝0的距离，即r ＝21＋1＝2，则所求圆的方程是x 2＋y 2＝2.因为圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的圆心和半径分别为O (0,0)，r 1＝2，C 2(0,1)，r 2＝2，r 1＋r 2＝2＋2，r 2－r 1＝2－2，所以r 2－r 1<|OC 2|＝1<r 1＋r 2，故两圆的位置关系是相交．11．(2017届四川省绵阳市诊断性考试)过定点M 的直线：kx －y ＋1－2k ＝0与圆(x ＋1)2＋(y －5)2＝9相切于点N ，则|MN |＝________. 答案 4解析由直线kx －y ＋1－2k ＝0，即y －1＝k (x －2)，直线经过定点M (2,1)．又圆(x ＋1)2＋(y －5)2＝9，则圆心坐标为C (－1,5)，半径r ＝3，所以|MC |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5，所以|MN |＝|MC |2－r 2＝52－32＝4.12．设圆C 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l: x －2y ＝0的距离为d .当d 最小时，圆C 的面积为________．答案 2π解析如图，设圆心坐标为C ()a ，b ，则⎩⎨⎧r 2＝a 2＋1，r ＝2||b ⇒2b 2＝a 2＋1，所以圆心C ()a ，b 到直线x －2y ＝0的距离 d ＝||a －2b 5，故d 2＝()a －2b 25＝15()a 2＋4b 2－4ab . 由于a 2＋b 2≥2ab ⇒－4ab ≥－2a 2－2b 2，故d 2＝15()a 2＋4b 2－4ab≥15()2b 2－a 2＝15(当且仅当a ＝b 时取等号)，此时r 2＝a 2＋1＝2，故圆的面积S ＝πr 2＝2π.B 组能力提高 13．(2017·广州市综合测试)已知三条直线2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0, mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 答案 D解析因为三条直线2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0, mx －y －1＝0不能构成三角形，所以直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx－y －1＝0与2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0分别平行时， m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时， m ＝－23. 所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23，故选D. 14．(2017届南昌模拟)若对圆()x －12＋()y －12＝1上任意一点P ()x ，y ， ||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－4B ．－4≤a ≤6C ．a ≤－4或a ≥6D ．a ≥6 答案 D解析 ||3x －4y －9表示圆上的点到直线l 1: 3x －4y －9＝0的距离的5倍， ||3x －4y ＋a 表示圆上的点到直线l 2: 3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，所以||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，即圆上的点到直线l 1，l 2距离和与圆上点的位置无关，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，所以d ＝||3－4＋a 5≥1，并且a >0，解得a ≥6，故选D.15．(2017届广西南宁模拟)过动点M 作圆()x －22＋()y －22＝1的切线MN ，其中N 为切点，若||MN ＝||MO (O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是____________．答案 728解析由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径为1.由M (a ，b )，可得|MN |2＝(a －2)2＋(b －2)2－12＝a 2＋b 2－4a －4b ＋7，|MO |2＝a 2＋b 2.由|MN |＝|MO |，得a 2＋b 2－4a －4b ＋7＝a 2＋b 2，整理得4a ＋4b －7＝0.∴a ，b 满足的关系式为4a ＋4b －7＝0.求|MN |的最小值，就是求|MO |的最小值．在直线4a ＋4b －7＝0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得直线OM 垂直于直线4a ＋4b －7＝0，由点到直线的距离公式，得MN 的最小值为 ||742＋42＝7 2 8. 16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x ＋2)2＋(y －m )2＝3.若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，则实数m 的取值范围是______________．答案 [－2，2]解析由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，所以OA ⊥OB ，如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B ，D ，圆上要存在满足题意的点A ，只需∠BOD ≥90°，即∠COB ≥45°，连接CB ，∵CB ⊥OB ，由于C (－2，m )，|CO |＝m 2＋4，|CB |＝3，由sin ∠COB ＝|CB ||CO |＝3m 2＋4≥sin 45°＝22，解得－2≤m ≤ 2.。

2018届高考数学二轮复习第一部分专题六解析几何1.6.1直线与圆课件理

[自我挑战] 1．已知 a，b 为正数，且直线 ax＋by－6＝0 与直线 2x＋(b－ 3)y＋5＝0 互相平行，则 2a＋3b 的最小值为________．
解析：由两直线互相平行可得 a(b－3)＝2b，即 2b＋3a＝ab，
2 3 2 3 6a ＋＝1.又 a， b 为正数，所以 2a＋3b＝(2a＋3b)· a＋b＝13＋ b ＋ a b
6b ≥13＋2 a
6a 6b · ＝25，当且仅当 a＝b＝5 时取等号，故 2a＋3b b a
的最小值为 25.
答案：25
2． (2017· 福建福州模拟)已知直线 l 过圆 x2＋(y－3)2＝4 的圆心且与直线 x＋y＋1＝0 垂直，则 l 的方程是( D ) A．x＋y－2＝0 C．x＋y－3＝0 B．x－y＋2＝0 D．x－y＋3＝0
解析：通解：∵直线 x＋my＝0 与 mx－y－m＋3＝0 分别过定点 A，B，∴A(0,0)，B(1,3)．当点 P 与点 A(或 B)重合时，|PA|· |PB|为零；当点 P 与点 A，B 均不重合时， ∵P 为直线 x＋my＝0 与 mx－y－m＋3＝0 的交点，且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形，
7．过圆内一点的直线被圆截得的弦中，最长弦是直径，最短的弦是以该点为中点的弦． 8．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，当该点与圆心连线与该直线垂直时，其切线长最小．
类型一直线方程及位置关系 [典例 1] (1)(2017· 山东德州模拟)设 a∈R，则“a＝－2”是直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件

2018届高考数学二轮复习 寒假作业(十五)直线与圆(注意命题点的区分度)理

2018届高考数学二轮复习直线与圆教学案文学案含答案(全国通用)

(浙江专版)18年高考数学二轮专题复习第一部分专题五第一讲直线与圆课件

2018高考新课标数学理二轮专题复习课件：专题五第1讲直线与圆 精品

2018高考数学(理)专题突破—直线与圆

2018年高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第1讲直线与圆课时规范练理

2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题五 解析几何 第1讲 精品

2018高考数学理二轮复习课件：1-5-1 直线与圆 精品

2018年高一数学寒假作业(人教A版必修2)直线与圆、圆与圆的位置关系word版含答案

高考数学二轮复习 寒假作业(十四)直线与圆(注意命题点的区分度)文

2018届高考数学(全国通用)二轮复习基础小题精品课件 第15讲 直线与圆

2018届高三理科数学二轮复习讲义模块二 专题五 第一讲 直线与圆 Word版含解析

2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题五 第一

2018年高考数学(理)二轮复习 讲学案：考前专题六 解析几何 第1讲 直线与圆