江西省师大附中高考数学三模试卷理(含解析)

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2018年江西师大附中高考数学三模试卷(理科)-教师用卷B

主标题副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，若，则复数A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，故选：C．根据复数的基本运算法则进行求解即可．本题主要考查复数的基本运算，比较基础．2.下列推理正确的是A. 把与类比，则有：B. 把与类比，则有：C. 把与类比，则有D. 把与类比，则有：【答案】D【解析】解：根据对数运算法则，可得A不正确；利用和角的正弦公式，可得B不正确；利用乘方运算，可得C不正确；利用乘法的结合率，即可知D正确．故选：D．利用对数运算法则、和角的正弦公式、乘方运算、乘法的结合率，即可得出结论．本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是A. 假设三内角都不大于60度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B．一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．4.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，那么这个演绎推理A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 没有错误【答案】A【解析】解：任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以，其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的，因为时，，此时不成立，所以大前提是错误的，致使得出的结论错误．故选：A．分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，可以得出正确的答案．本题考查了演绎推理的应用问题，解题时应根据演绎推理的三段论是什么，进行逐一判定，得出正确的结论，是基础题5.在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：直线，化为，．圆化为．圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长．故选：D．把极坐标方程化为直角坐标方程，利用弦长公式、点到直线的距离公式即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．6.若，，则P，Q的大小关系为A. B. C. D. 由a的取值确定【答案】C【解析】解：，．．．故选：C．平方作差即可比较出大小．本题考查了平方作差可比较两个数的大小方法，属于基础题．7.，则A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】D【解析】解：，可得，解得，则．故选：D．利用定积分的运算法则求出a，然后求解表达式的值即可．本题考查定积分的运算法则以及对数运算法则的应用，是基本知识的考查．8.设，i是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由，得，．而由，得或2．所以“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A．由能得到复数复数为纯虚数为纯数，反之，复数为纯虚数得到或1，则答案可求．本题考查了复数的基本概念，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，复数为纯虚数的充要条件是不等于0且虚部不等于0，是基础题．9.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为，，1，，传输信息为，其中，，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是A. 11010B. 01100C. 10111D. 00011【答案】C【解析】解：A选项原信息为101，则，，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则，，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为011，则，，所以传输信息为10110，C选项错误；D选项原信息为001，则，，所以传输信息为00011，D选项正确；故选：C．首先理解的运算规则，然后各选项依次分析即可．本题考查对新规则的阅读理解能力．10.用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由所证明的等式，当时，右边故选：D．当时，右边，由此可得结论．本题考查数学归纳法，考查归纳假设，属于基础题．11.平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到，，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到，把数据代入得到，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，故选：B．由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．12.理曲线C：在点处的切线为l，则由曲线C、直线l及x轴围成的封闭图形的面积是A. 1B.C.D.【答案】B【解析】解：曲线C：的导数为，在点处的切线斜率为3，切点为，则切线的方程为，与x轴的交点为，所以由曲线C、直线l及x轴围成的封闭图形的面积是．故选：B．确定被积函数与被积区间，求出原函数，即可得到结论．本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数，且有，则______．【答案】【解析】解：由，得，，解得，．又．故答案为：．把已知等式变形，利用复数相等的条件列式求得x，y的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．14.已知，不等式，，，，可推广为，则a等于______．【答案】【解析】解：由已知中，时，不等式：，，，，不等式左边第项的分子为，即，故答案为：由已知，不等式，，，，可得不等式左边第项的分子为，进而得到答案．归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想．15.曲线的参数方程是为参数，它的普通方程是______．【答案】【解析】解：根据题意，曲线的参数方程是为参数，则有，则其普通方程为：．故答案为：．根据题意，由曲线的参数方程可得，化简变形即可得答案．本题考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题．16.如下面数表为一组等式：某学生猜测，若该学生回答正确，则______．【答案】8【解析】解：若学生回答正确，则，，，即，得，，，则，故答案为：8．根据结论正确，分别令，2，3，建立方程组，利用待定系数法进行求解即可．本题主要考查归纳推理的应用，利用待定系数法是解决本题的关键比较基础．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是是参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程Ⅰ判断直线l与曲线C的位置关系；Ⅱ设M为曲线C上任意一点，求的取值范围．【答案】解：Ⅰ由，消去t得：．由，得，即，，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线的距离．直线l与曲线C相离；Ⅱ由M为曲线C上任意一点，可设，则，的取值范围是．【解析】Ⅰ由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；Ⅱ设出曲线C上的点的参数方程，由，利用两角和的正弦化简后可得的取值范围．本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题．18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且已知，，求：和c的值；的值．【答案】解：，，，可得，即为；，即为，解得，或，，由，可得，；由余弦定理可得，，，则．【解析】运用向量的数量积的定义和余弦定理，解方程即可得到所求a，c；由余弦定理可得，求得，，运用两角差的余弦公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义，以及三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题．19.在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设．求a的值；求三棱锥的体积．【答案】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，0，，1，，0，，1，，异面直线与所成的角等于，，由，解得．在直三棱柱中，，平面，，，三棱锥的体积．【解析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出a．由平面，利用等体积法能求出三棱锥的体积．本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法和等体积法的合理运用．20.已知是公差为d的等差数列，，与的等差中项为n．求与d的值；设，求数列的前n项和．【答案】解：依题意，．由与的等差中项为n得，与的等差中项为1，与的等差中项为2．，，解得，．由得，．记，则．两式相减得，．数列的前n项和．．【解析】依题意，由与的等差中项为n得，与的等差中项为1，与的等差中项为可得，，解得，d．由得，利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知动点P到定点的距离和它到定直线的距离的比值为．Ⅰ求动点P的轨迹的方程；Ⅱ若过点F的直线与点P的轨迹相交于M，N两点N均在y轴右侧，点、，设A，B，M，N四点构成的四边形的面积为S，求S的取值范围．【答案】解：Ⅰ设动点，则，化简得．Ⅱ由Ⅰ，轨迹是以为焦点，离心率为的椭圆，如图，连接OM、ON，设直线MN方程为，点，，联立消去x，得，则，，，由于M，N均在y轴右侧，则，，且，则，方法一、，故面积函数在单调递减，所以所以面积S的取值范围是．方法二、，，则则，即面积S的取值范围是．【解析】设动点，利用两点之间的距离公式可得，化简即可得出．由Ⅰ，轨迹是以为焦点，离心率为的椭圆，如图，连接OM、ON，设直线MN方程为，点，，与椭圆方程联立消去x，得，利用根与系数的关系可得：，下面利用导数研究函数的单调性或变形利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知函数．讨论的单调性；若对任意恒成立，求实数a的取值范围为自然常数．【答案】解：Ⅰ，当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为；Ⅱ令，则，若，即，在上是增函数，，，无解．若，即，在上是减函数；在上是增函数，，即．，即，若，即，在上是减函数，，即，，综上所述，【解析】先求导，再分类讨论即可得到函数的单调性；令，从而求导，再由导数的正负讨论确定函数的单调性，从而求函数的最大值，从而化恒成立问题为最值问题即可．本题考查了导数与函数单调性，以及考查了恒成立问题及分类讨论的数学思想应用，属于中档题．第11页，共11页。

江西师范大学附属中学2019届高三三模考试数学(理)试题含解析

2019年江西师大附中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1.已知集合{}{2|650,|,A x x x B x y A B =-+≤==⋂=（）A. [)1,+∞B. []1,3C. (]3,5D. []3,5【答案】D 【解析】试题分析：由已知可得[1,5],[3,A B ==+∞），则A B ⋂=[]3,5，故选D .考点：1、二次不等式；2、函数的定义域；3、集合的基本运算.【易错点晴】本题主要考查二次不等式、函数的定义域、集合的基本运算，属于容易题.虽然本题是容易题，但是本题涉及不等式的解法和集合的定义，粗心的考生容易犯错.解此类题型时应注意以下情况：1.不等式的等号与区间的开闭关系；2.区分集合是考查定义域还是值域；3、集合基本运算细节.本题还可以利用特值法进行排除，提高解题速度和质量.2.若复数z 满足(1)|1|z i i i -=-+，则z 的实部为（）1C. 1【答案】A 【解析】∵()11z i i i i -=-+，∴)()()()111i i z i i +===-+，则z 的虚部为2，故选D.3.二项式*(1)()nx n +∈N 的展开式中3x 项的系数为10，则n =（）A. 8B. 6C. 5D. 10【答案】C 【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数为3，即可求出n 的值。

【详解】由二项式*(1)()n x n +∈N 的展开式的通项1r n r r n T C x -+=得：令3n r -= ，得3r n =-，则3310r n n n n C C C -=== ，所以(1)(2)60n n n --=，解得5n =，故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题。

4. 以下四个命题中，真命题的是（） A. ()0,,sin tan x x x π∃∈=B. “对任意的2,10x R x x ∈++>”的否定是“存在2000,10x R x x ∈++<”C. R θ∀∈，函数()()sin 2f x x θ=+都不是偶函数D. ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【答案】D 【解析】试题分析：当()0,x π∈时，sin sin tan sin cos 1,cos xx x x x x=⇒=⇒=故A 错误；由全称命题的否定知B 错误；由诱导公式可得单调,2k k Z πθπ=+∈时()()sin 2cos f x x θθ=+=±，显然为偶函数；故C错误；sin sin cos cos sin cos cos sin sin 2sin 2B A B A B A A B B A +=+⇒-=-⇒=⇒ 22B A =或2+2B=A π，若22B A =，sin sin cos cos sin cos 42A B A B A A A B C ππ+=+⇒=⇒==⇒=，若2+2B=+B=22A A C πππ⇒∴=；反之，若sin cos ,cos sin sin sin cos cos 2C A B A B A B A B π=∴==⇒+=+，故D 正确考点：全称命题的否定，充要条件等5.若点(,)P x y 满足不等式22222y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩………，则yx 1+的最大值是（）A.23B. 23-C. 2D. ﹣2【答案】C 【解析】【分析】由不等式组画出可行域，再利用目标函数的几何意义为可行域内任意一点与定点(1,0)-连线的斜率，进而求解。

江西省师大附中2009届高三三模试卷

江西省师大附中2009届高三三模试卷江西省师大附中2009届高三三模试卷英语2009.5第Ⅰ卷（共115分）第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节(共5小题；每小题l．5分，满分7．5分) 听下面5段对话。

每段对话后有一小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. How old is Jim?A. 8 years old.B. 9 years old.C.10 years old.2. Where are they now?A. In a service station.B. In a park lot.C. In a street.3. Why does the man want to change his bedroom?A. His roommates like to stay up to study.B. His roommates don’t like him.C. His roommates like chatting for a long time at night so he can’t get a good sleep.4. What will the man do?A. To buy some roses.B. To celebrate his girlfriend’s birthday with nothing.C. To buy some roses with his girlfriend.5. How did Mary go to school today?A. On foot.B. By bike.C. By bus.第二节(共15小题；每小题l．5分，满分22．5分) 听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

江西师大附中2020届高考数学三模试卷2（含答案解析）

江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷2（含答案解析）江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷2⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x 2?4x +3=0}，B ={y|y =?x 2+2x +2,x ∈R}，全集U =R ，则A ∩(?U B)=( )A. ?B. [1,3]C. {3}D. {1,3}2. 已知i 是虚数单位，若复数z =2+ai 2+i在复平⾯内对应的点在第四象限，则实数a 的值可以是( )A. ?2B. 1C. 2D. 3 3. 在△ABC 中，sinAsinC >cosAcosC ，则△ABC ⼀定是( )A. 锐⾓三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 钝⾓三⾓形D. 不确定4. 设a ，b ∈R ，则“(a ?b)a 2≥0”是“a ≥b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知aA. a 2B. 2a <2bC. abD. 1a <1b6. 已知双曲线C ：x 2a 2?y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 满⾜|PF 1|?|PF 2|=2a ，若PM +F 1M ?? =0? ，且M(0,b)，则双曲线C 的渐近线⽅程为( )A. y =±2xB. y =±√5xC. y =±2√2xD. y =±√3x7. CPI 是居民消费价格指数(consumerpriceindex)的简称．居民消费价格指数，是⼀个反映居民家庭⼀般所购买的消费品价格⽔平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1⽉?7⽉的CPI 同⽐增长与环⽐增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018年2⽉与2017年2⽉相⽐较，叫同⽐；2018年2⽉与2018年1⽉相⽐较，叫环⽐)根据该折线图，则下列结论错误的是( )A. 2018年1⽉?7⽉CPI 有涨有跌B. 2018年2⽉?7⽉CPI 涨跌波动不⼤，变化⽐较平稳C. 2018年1⽉?7⽉分别与2017年1⽉⼀7⽉相⽐较，1⽉CPI 涨幅最⼤D. 2018年1⽉?7⽉分别与2017年1⽉⼀7⽉相⽐较，CPI 有涨有跌8.如图是⼀个⼏何体的三视图，图中每个⼩正⽅形边长均为12，则该⼏何体的体积是()A. 83B. 323C. 8√23D. 439.函数y=sin3x1+cosx，x∈(?π,π)图象⼤致为()A. B.C. D.10.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽⽐为√2:1，在东⽅⽂化中常称这个⽐例为“⽩银⽐例”，该⽐例在设计和建筑领域有着⼴泛的应⽤，已知某电波塔⾃下⽽上依次建有第⼀展望台和第⼆展望台，塔顶到塔底的⾼度与第⼆展望台到塔底的⾼度之⽐，第⼆展望台到塔底的⾼度与第⼀展望台到塔底的⾼度之⽐皆等于“⽩银⽐例”，若两展望台之间⾼度差为100⽶，则下⾯选项中与该塔的实际⾼度最接近的是()A. 400⽶B. 480⽶C. 520⽶D. 600⽶11.过点M(2,1)且斜率为1的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，且M为AB的中点，则p的值为()A. 12B. 1 C. 32D. 212.若lga+lgb=0(a≠1,b≠1)，则函数f(x)=a x与g(x)=b x的图象()A. 关于直线y=x对称B. 关于x轴对称C. 关于y轴对称D. 关于原点对称⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13. 若(x ?1x )n 的展开式中第3项和第5项的⼆项式系数相等，则展开式中的常数项为______． 14. 在△ABC 中，|AB +AC|=|AB ?AC |，AB =3，AC =4，则BC 在CA ⽅向上的投影是__________． 15. ⼀个球的内接正⽅体的表⾯积为32，则该球的体积为______．16. (1)⼀圆内切于中⼼⾓为π3、半径为R 的扇形，则该圆的⾯积与该扇形的⾯积之⽐为__________；(2)29π6是第__________象限⾓。

江西师大附中高考数学三模试卷(理科).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年江西师大附中高考数学三模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|y=}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤0}，则∁R A∩B=（）A．（4，+∞）B．[0，]C．（，4]D．（1，4）2．已知z为纯虚数，且（2+i）z=1+ai3（i为虚数单位），则|a+z|=（）A．1 B．C．2 D．3．执行如图所示的程序框图，其输出结果是（）A．61 B．62 C．63 D．644．给出下列三个命题：①“若x2+2x﹣3≠0，则x≠1”为假命题；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③命题p：∀x∈R，2x＞0，则¬p：∃x0∈R，2x0≤0．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+5a 1，a 7=2，则a 5=（）A ．B ．﹣C ．2D ．﹣26．设a ，b ∈R ，若p ：a ＜b ，q ：＜＜0，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．若f （x ）=sin （ωx +ϕ）+cos （ωx +ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（）A ．f （x ）在单调递增B ．f （x ）在单调递减C ．f （x ）在单调递增D ．f （x ）在单调递减8．若x ，y 满足约束条件，且向量=（3，2），=（x ，y ），则•的取值范围（）A ．[，5]B ．[，5]C ．[，4]D ．[，4]9．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为和（a ，b ，c ，d ∈N *），则是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道π=3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A ．B ．C ．D ．10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于（）cm 3A ．6+πB ．6+πC ．4+πD ．4+11．已知焦点在x 轴上的椭圆方程为+=1，随着a 的增大该椭圆的形状（）A ．越接近于圆B ．越扁C ．先接近于圆后越扁D ．先越扁后接近于圆12．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g B．f（2）gC．gg＞f（2）g已知向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，则在方向上的投影是．14．已知定义在R上的函数f（x）满足（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，则f已知a=（sinx+cosx）dx在（1+ax）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数为．16．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．18．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM 折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．19．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；优分非优分总计男生女生总计50（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的期望和方差．P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828附：K2=．20．已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．21．已知函数f（x）=e x（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O 于点E，F．（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，求实数t的值．2016年江西师大附中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|y=}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤0}，则∁R A∩B=（）A．（4，+∞）B．[0，]C．（，4]D．（1，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，求出A补集与B 的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到x﹣4≥0，即x≥4，∴A=[4，+∞），∁R A=（﹣∞，4）由B中不等式解得：0≤x≤，即B=[0，]，则∁R A∩B=[0，]，故选：B．2．已知z为纯虚数，且（2+i）z=1+ai3（i为虚数单位），则|a+z|=（）A．1 B．C．2 D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（2+i）z=1+ai3=1﹣ai，∴（2﹣i）（2+i）z=（2﹣i）（1﹣ai），∴z=，∵z为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=2．∴z=﹣i．∴|a+z|=|2﹣i|=．故选：D．3．执行如图所示的程序框图，其输出结果是（）A．61 B．62 C．63 D．64【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量a的值并输出．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1满足条件a＜50，执行循环体，a=3，满足条件a＜50，执行循环体，a=7，满足条件a＜50，执行循环体，a=15，满足条件a＜50，执行循环体，a=31，满足条件a＜50，执行循环体，a=63，不满足条件a＜50，退出循环，输出a的值为63．故选：C．4．给出下列三个命题：①“若x2+2x﹣3≠0，则x≠1”为假命题；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③命题p：∀x∈R，2x＞0，则¬p：∃x0∈R，2x0≤0．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的等价性进行判断，②根据复合命题的真假关系进行判断，③根据含有量词的命题的否定进行判断．【解答】解：①∵命题“若x=1，则x2+2x﹣3=0”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①错误确；②若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故②错误；③根据含量词的命题否定方式，可知¬p：∃x0∈R，2x0≤0，即命题③正确．故选：B5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求出首项和公比的平方，然后代入等比数列的通项公式求得a5．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由S3=a2+5a1，a7=2，得，解得：．∴．故选：A．6．设a，b∈R，若p：a＜b，q：＜＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的基本性质，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：当a＜b时，＜＜0不一定成立，故p是q的不充分条件；当＜＜0时，a＜b＜0，故p是q的必要条件，综上可得：p是q的必要不充分条件，故选：B7．若f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由f（0）=求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）（ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+）=1，ϕ+=2kπ+，k∈Z，故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．在上，2x∈（﹣，），函数f（x）=cos2x 没有单调性，故排除A、B；在上，2x ∈（0，π），函数f （x ）=cos2x 单调递减，故排出C ，故选：D ．8．若x ，y 满足约束条件，且向量=（3，2），=（x ，y ），则•的取值范围（）A ．[，5]B ．[，5]C ．[，4]D ．[，4]【考点】简单线性规划．【分析】由数量积的定义计算出•=3x +2y ，设z=3x +2y ，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：∵向量=（3，2），=（x ，y ），∴•=3x +2y ，设z=3x +2y ，作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x +2y ，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B 时，直线y=的截距最大，此时z 最大，由，解得，即B （1，1），此时z max =3×1+2×1=5，经过点A 时，直线y=的截距最小，此时z 最小，由，解得，即A （，），此时z min =3×+2×=，则≤z ≤5 故选：A ．9．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道π=3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A．B．C．D．【考点】进行简单的合情推理．【分析】利用“调日法”进行计算，即可得出结论．【解答】解：由调日法运算方法可知，第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，第二次用调日法后得是π更为精确的不足近似值，即，第三次用调日法后得是π更为精确的过剩近似值，即，故第三次调日法后得到为π的近似分数．故选B．10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3A．6+πB．6+πC．4+πD．4+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半个圆柱，且三棱柱的底面是等腰直角三角形：直角边是2，高是3，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3，∴几何体的体积V==，故选：A．11．已知焦点在x轴上的椭圆方程为+=1，随着a的增大该椭圆的形状（）A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先根据椭圆成立的条件求出a的取值范围，进一步利用函数的单调性求出椭圆中的短轴的变化规律，最后确定结果．【解答】解：椭圆方程为焦点在x轴上的椭圆方程，所以：解得：由于a在不断的增大，所以对函数y=a2﹣1（）为单调递增函数．即短轴中的b2在不断增大．即离心率e=不断减小．所以椭圆的形状越来越接近于圆．故选：A12．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g B．f（2）gC．gg＞f（2）g求导，再令x=0，求出f（x）的解析式，对于g（x）+g′（x）＜0，构造函数F（x）=e x g（x），利用导数和函数的单调性的关系得到F（x）单调递减，得到F，即e2×2015g，即gg=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，∴f′（x）=f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），∴f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）=1，∴f（x）=e2x+x2﹣2x，设F（x）=e2x g（x），F′（x）=g′（x）e2x+2g（x）e2x=e2x[g′（x）+2g（x）]，∵e2x＞0，g′（x）+2g（x）＜0，F′（x）＜0恒成立，∴F，f（2）=e4，e2×2015g，∴g，即gg已知向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，则在方向上的投影是3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的定义求出y的值，然后根据投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，∴cos=，即=，平方得y=，即=（3，）∴在方向上的投影是||•cos＜，＞===3．故答案为：3．14．已知定义在R上的函数f（x）满足（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，则f满足（x+6）+f（x）=0，f（x+12）+f（x+6）=0，可得f（x+12）=f（x）．函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，可得函数f（x）的图象关于原点对称．因此f（0）=0．于是f=f（12）．【解答】解：∵函数f（x）满足（x+6）+f（x）=0，∴f（x+12）+f（x+6）=0，∴f（x+12）=f（x）．∴函数f（x）的周期T=12．函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，∴函数f（x）的图象关于原点对称．∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（0）=0．∴f（12）=f（0）=0．则f=f（12）=0．故答案为：0．15．已知a=（sinx+cosx）dx在（1+ax）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数为72．【考点】定积分；二项式系数的性质．【分析】首先通过定积分求出a的值，然后利用二项展开式求系数．【解答】解：a=（sinx+cosx）dx=（﹣cosx+sinx）|=1+1=2；所以在（1+2x）6（1+y）4的展开式中，xy2项为=12×6=72xy2，所以系数为72．16．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为9．【考点】等差数列的通项公式；数列的函数特性．=2（m﹣1），【分析】由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…a m﹣a m﹣1累加由等差数列的求和公式可得a m，验证可得．【解答】解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为a m，则由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，=2（m﹣1），…a m﹣a m﹣1以上m﹣2个式子相加可得a m﹣a2==（m+1）（m﹣2），∴a m=a2+（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，∴当m=9时，a m=73，即73是93的“分裂”数中的第一个故答案为：9三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）利用余弦定理、三角函数求值、三角形内角和定理即可得出．（II）利用等差数列与等比数列的通项公式可得a n，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由，得，∴，A∈（0，π），∴，由，得．（Ⅱ）设{a n}的公差为d，由（I）得，且，∴，又d≠0，∴d=2，∴a n=2n，∴=，∴．18．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM 折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．19．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；优分非优分总计男生女生总计50（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的期望和方差．P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828附：K2=．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表即可补充完整，假设X＜100：该学科成绩与性别无关，利用观测值即可判断出结论．（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率0.4视作概率，设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，人数为X，则X服从二项分布B（3，0.4），即可得出．【解答】解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：优分非优分总计男生9 21 30女生11 9 20总计20 30 50假设H0：该学科成绩与性别无关，则K2的观测值k===3.125，因为3.125＞2.706，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率f==0.4视作概率；设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，则X服从二项分布B（3，0.4），所求概率P=P（X=2）+P（X=3）=×0.42×0.6+×0.43=0.352．20．已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；【解答】解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为=1；（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，所以△=288，x1+x2=，x1x2=﹣，所以|CD|=|x1﹣x2|=×=；（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|==≤==，（k=时等号成立）所以|S1﹣S2|的最大值为．21．已知函数f（x）=e x（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可．（2）对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0转化为证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=e x（sinx﹣e），则f′（x）=e x（sinx﹣e）+e x cosx=e x（sinx﹣e+cosx），∵sinx+cosx=sin（x+）≤＜e，∴sinx+cosx﹣e＜0故f′（x）＜0则f（x）在R上单调递减．（2）当x≥0时，y=e x≥1，要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，看作以a为变量的一次函数，要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，则，即，∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，对于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，则h′（x）=cosx﹣2x，设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．∴t=，sint＜sin，∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（）2+2﹣e=sint﹣+2﹣e=sin2t+sint+﹣e=（+1）2+﹣e≤（）2+﹣e=﹣e＜0，故④式成立，综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O 于点E，F．（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．【考点】圆周角定理；平行截割定理．【分析】（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可证∠FBE=∠BAE，进而证明∠FBG=90°，即可得证BF是△ABE外接圆的切线．（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2，利用相似三角形的性质可得AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，由△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，得AB ﹣AC=AF2﹣BF2，进而可求BD2﹣DA2=AB•AC=6．【解答】（本题满分为10分）．解：（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．因为AF平分∠BAC，所以，所以∠FBE=∠BAE，所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，所以O′B⊥BF，所以BF是△ABE外接圆的切线…（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，所以DF是圆O的直径，因为BD2+BF2=DF2，DA2+AF2=DF2，所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2．因为AF平分∠BAC，所以△ABF∽△AEC，所以=，所以AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，因为∠FBE=∠BAE，所以△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，所以AB﹣AC=AF2﹣BF2，所以BD2﹣DA2=AB•AC=6…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；平面直角坐标轴中的伸缩变换；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据题意，消去参数，即可解得方程C1的极坐标方程；（Ⅱ）求得C3的方程，即可由OA，OB的长解得AB的长．【解答】解：（Ⅰ）将（α为参数）．消去参数α，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即C1：x2+y2﹣4x=0，将代入C1：x2+y2﹣4x=0，得ρ2=4ρcosθ，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）将代入C2得x′2+y′2=1，所以C3的方程为x2+y2=1．C3的极坐标方程为ρ=1，所以|OB=1|．又|OA|=4cos=2，所以|AB|=|OA|﹣|OB|=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，求实数t的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由不等式|x+3|＜2x+1，可得或，解出即可得出．（Ⅱ）由于|x﹣t|+|x+|≥==|t|+，已知关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，|t|+≥2，另一方面，|t|+=2，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由不等式|x+3|＜2x+1，可得或，解得x＞2．依题意m=2．（Ⅱ）∵|x﹣t|+|x+|≥==|t|+，当且仅当（x﹣t）=0时取等号，∵关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，|t|+≥2，另一方面，|t|+=2，∴|t|+=2，解得t=±1．2016年8月17日马鸣风萧萧。

【三模】数学高考检测试卷(含答案)

故选：D.
10.花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为()
A. 2520B. 5040C. 7560D. 10080
【答案】A
【解析】
【分析】结合全排列的概念即可.
【详解】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，
【详解】由题意可得：，解得，
故，
故选：C.
4.小华忘记了手机开机密码的前三位，只记得第一位和第二位取自0，1，2，3(可以相同)，第三位是A，B，C中的一个字母，则小华输入一次密码就能够成功解锁的概率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合古典概型的概率的计算公式即可.
【详解】输入不同的组合一共有：种可能，
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】结合运算和的实际意义即可.
【详解】由，
得，
，
，
所以，
因为，，
上式化为
而，所以 .
故选： .
3.某一随机变量的概率分布如下表，且，则 ()
0
1
2
3
0.1
0.2
A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件求出，然后根据分布列即可得出结果.
16.用0、1、2、3、4、5这六个数字组成一个无重复数字的五位数，百位和个位必须是奇数的数有_______个．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情某医院呼吸科共有3名医生，4名护士.

江西师大附中高考数学三模试卷理(含解析)

高考数学三模试卷(理科)、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求.(kx+ 0) ( ： - |I •.-)与函数y=kx - k 2+6的部分图象如图所示, +cos (kx - $ )图象的一条对称轴的方程可以为(5.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二,五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，正整数m 后的余数为n ,则记为N=n(modn )例如1仁2 (mod3.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于()1 已知 z i =1 - 3i , Z 2=3+i ,其中i 是虚数单位，则丄丄的虚部为()A.- 1B. 2 •已知集合 A. ?B. -C. - i5A={x| v 2x w 2},2(-1,] C .[,2 2B={x|ln (x -)< 0}，则 A A( ?R B )=(j1) D •(- 1 , 1]3.给出下列两个命题:命题p ：:若在边长为 1的正方形 ABCD 内任取一点 M,则|MA| w 1的概率为——.命题q ：设打4是两个非零向量, “ 一円小|”是“与共线” 的充分不必要条件，那么，下列命题中为真命题的是 A. p A q B pC. p A(「q )D. (「p )V( q )若正整数N 除以 4.若函数 y=ksin范围是（）C. [―,]D.L9 2J+ .二…=n?+n,贝U a计+, +—等于(2n6.某食品厂只做了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”善福”、每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品“友4 袋, 获奖的概率为（A B ： C - D7.已知D, E是厶ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若：工x ：：则xy的取值A. 22n +2n B.n2+2n C. 22n +n D. 2 (n2+2n)9.已知实数y 满足*6, 则z=log （2|x - 2|+|y| ）的最大值是（A.log j(7) B. — C. - 2 D. 210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中, 面积最大的侧面的面积为（正（左）视医A.若数列｛a n｝是正项数列,2 2F 2, P 分别为双曲线一 --—=1 (a > 0, b > 0)的右焦点与右支上的一点， O a 乂 b 1 2 若OM =寺(0F +0F J ，0F 2 =中且20F2?F 』=a+b ，则该双曲线的离心率为( ) A.B .2 212.已知函数 f (x ) =e x — ax - 1, g (x ) =lnx - ax+a ，若存在 x o €( 1, 2),使得 f (x o ) g体ABCD 外接球表面积为,则数列 {b n }的前 2n 项和 b 1+b 2+b 3+b 4+, +b 2n -1+b 2n =三、解答题：本大题共 5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.1 求函数f ( x )的单调递增区间；2 在锐角△ ABC 中，角A, B , C 的对边分别为 a , b , c .若 g ,:一，求△ ABCA. B.2(x o )v 0,则实数a A.::. 的取值范围是(B. (In2 , e — 1) C . [1 , e — 1)D. [1.2二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.13.已知a= TT •Il cosx ) dx ，则(9展开式中，x 3项的系数为14.已知函数 2ml □ i K 〉〔)15•正三角形为偶函数，则 m — n= _____ .10§201? (—x)+n 英丐AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为.二，此时四面ABC 的边长为2，将它沿高 11.已知点为坐标原点,16.数列｛a n ｝的前项和为S n ,且」9时1%亏用XI 表示不超过x 的最大整数, 如[—0.1]=— 1 , [1.6]=1 ，设 b n =[a n ]17 .设向量〔.m 1 二：一 _一：・, x € R ,记函数-'，18•某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组［75，80)，第二组［80，85)，第三组［85，90),第四组［90，95)，第五组［95 ,100］，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.(I)请在图中补全频率分布直方图；(n)若Q大学决定在成绩高的第3, 4, 5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.①若Q大学本次面试中有B、C D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为一、一，「，2 3 5求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有E名学生被考官B面试，求E的分布列和数学期望.19.如图，在以A, B, C, D E, F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，/ FAC=60 , AB// DE BC// EF, AB=BC=3 AF=2计E BF二苗尼(1)求证：平面ABCL平面ACDF(2)求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值.的焦点，过点F2的直线I交抛物线C于A, B两点.(I)若点P (8, 0)满足|PA|=|PB|，求直线l的方程;20.已知椭圆C：£+2-一=1 (b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2,点F2也为抛物线◎ 2 小y =8x(H) T为直线x= - 3上任意一点，过点F作TF i的垂线交椭圆G于M N两点，求?\m\ 的最小值.(x) =ln (x+2a)- ax, a> 0.21.已知函数(I)求f (x)的单调区间;(H)记f (x)的最大值为M (a),若a2>a i>0 且M (a i) =M (a2),求证:(川)若a>2,记集合｛x|f (x) =0｝中的最小元素为x o，设函数g (x) =|f (x) |+x，求证:X o是g (x)的极小值点.［选修4-4 :极坐标与参数方程］22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为卩-(t为参数)，在以坐标■ y=l+tsin4)原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为p =4cos 0 .(I)求I的普通方程和C的直角坐标方程；(H)当$ €( 0, n )时，I与C相交于P, Q两点，求|PQ|的最小值.［选修4-5 :不等式选讲］23.已知函数f (x) =|x - a|，其中a> 1(1 )当a=2时，求不等式f (x)> 4 - |x - 4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f (2x+a)- 2f (x) | < 2的解集｛x|1 < x< 2｝，求a的值.参考答案与试题解析、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求.1 .已知z i =1 - 3i , Z 2=3+i ，其中i 是虚数单位，则—的虚部为( )z244A. - 1B. -C. - iD.55 1【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.故选：B.【考点】1H:交、并、补集的混合运算. 【分析】求解指数不等式与对数不等式化简集合 A 、B,再由交、并、补集的混合运算得答案.1 1 13【解答】解：••• A={x| . v 2x w 2}={x| - 1 v x < 1} , B={x|ln(x - 一)w 0}={x| 一 v xW p },31i••• ?R B={X |X > 一或 X • .「}，则 A n ( ?F B ) = (- 1, J .故选：B .3. 给出下列两个命题：n -命题p ：:若在边长为1的正方形ABCD 内任取一点 M,则|MA| w 1的概率为——.命题q ：设一, 是两个非零向量，则“ .-i =1「- i I ”是“占「共线”的充分不必要条件，那么，下列命题中为真命题的是()【解答】解:的虚部为；I2.已知集合A={x| v 2x w 2}, 2B={x|ln (x -)< 0}，则 A n ( ?R B )=(A.B- (- 1 ,] CD . (- 1 , 1]A. p A q B .「p C. p A(^ q) D.厂p)V( q)【考点】2E:复合命题的真假.【分析】推导出命题P是真命题，命题q是假命题，从而得到pA(「q)是真命题.【解答】解：命题p：若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M1 2土X TT X 1 TT则|MA| < 1的概率为-=---------------- 41X1命题P是真命题；•••设；一是两个非零向量，则“.-■=r-j ”是“［与一共线”的不充分不必要条件，二命题q是假命题，••• pq)是真命题.故选：C.4. 若函数y=ksin (kx+ $)(.：. | ) | .)与函数y=kx - k2+6的部分图象如图所示,则函数f (x) =sin (kx - 0) +cos (kx -$)图象的一条对称轴的方程可以为( )13H一 D.24 124【考点】H6:正弦函数的对称性.【分析】由函数的最大值求出A,由特殊点的坐标求出0的值，可得函数的解析式，再利用三角恒等变换化简 f (x)的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得 f ( x)的图象的一条对称轴的方程.(kx+ 0 ) (•；• I「•)与函数y=kx - k2+6的部分图象如图所示，二2根据函数y=ksin (kn + 0 ) (k> 0, | 0 | )的最大值为k, •- k+6=k,「. k=2.TT TT TT把点(一，0)代入y=2sin (2x+ 0 )可得sin + 0 ) =0,二0 = ------ ，•入y=2sin【解答】解：若函数y=ksin12Tt(2x -)•TT 、 l ■ / c H 兀、 + )「SI n (2x+亍). 令2x+「=k n +——，求得x-+, k € Z ,故f (x )的图象的对称轴的方程为得12 2 224当k=1时，可得函数f (x ) =sin (kx - ) +cos (kx - $ )图象的一条对称轴的方程可以为11故选：B.5•中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二,五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为N=n(modn ),例如1仁2 (mod3.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于()A. 21B. 22C. 23D. 24【考点】EF:程序框图.【分析】该程序框图的作用是求被 3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论. 【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被 3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23, 故选：C.6.某食品厂只做了 3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”、每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋,x=H+—-- 24k € Z相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全，由此能求出购买该食品 4袋，获奖的概率.【解答】解：购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34,获奖时至多有2张卡片相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全, 相同的2张为「在4个位置中选2个位置，有 ’种选法，其余2个卡片有.上种选法，•••获奖包含的基本事件个数 m f : A >36,36 4•购买该食品4袋，获奖的概率为 p= ='.3° 9故选：B.范围是（）A [ , ]B .[.,」C. [ , ] D.[,」【考点】7G 基本不等式在最值问题中的应用；9H:平面向量的基本定理及其意义.【解答】解：D, E 是厶ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若：亠x ：,1 ?可得 x+y=1 , x , y € [—,—],当且仅当x=y=.：时取等号,2并且xy=x （1 - x ） =x - x ,函数的开口向下，对称轴为: 值，2xy 的最小值为：一. 则xy 的取值范围是：[,.].A.丄 16【考点】 B.C.空D.9 S 9CB 古典概型及其概率计算公式.【分析】购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34，获奖时至多有2张卡片获奖的概率为（ ) 7.已知D, E 是厶ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上,若：.=x ，则xy 的取值【分析】利用已知条件推出 x+y=1 ,然后利用x , y 的范围,利用基本不等式求解 xy 的最值.X ，当x=.或x=〕时，取最小乙0 O故选：D.&若数列｛a n ｝是正项数列，且.■ + .7 .+, +寸；〔=n 2+n ,则a i ++, +—L 等于( )2 n2 2 2 2A. 2n+2nB . n+2n C. 2n+n D. 2 (n+2n )【考点】8H:数列递推式.【分析】利用数列递推关系可得 a n ,再利用等差数列的求和公式即可得出. 【解答】解：T - ■ +』=+, + i=n 2+ n ,「. n=1 时，、”冷=2，解得 a i =4. n 》2 时，*：：》• +甘二；+, +『：!, ]=(n — 1) ?+n — 1, 相减可得： J ：i. =2n ，二a n =4n 2. n=1时也成立. 8.•'——=4n.n贝y a i +一_+, +―=4 (1+2+, +n ) =4X -------------- =2n 2+2n .2 n 2故选：A.【考点】7C:简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据图象，去掉绝对值，结合对数的运算性质进行求解即可.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y >0, x w 2, 设 m=2|x — 2|+|y| ,则 m=y- 2 (x — 2) =y — 2x+4, 即 y=2x+m- 4,平移直线y=2x ，由图象知当直线 y=2x+z — 4经过点C 时，直线的截距最小，此时z 最小,9.已知实数x , y 满足* x+y^6,则z=logA.logB.logC. — 2 ■L} (2|x — 2|+|y| )的最大值是(D. 2z=log(2" — 2|+M )最大,由严x+2得严2,即C(2, 4), 时y=6 (产4此时z=log ,丄■- (2|x - 2|+|y| ) =log ；=4=- 2,故选：C.10•某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AEDL平面BCDE四棱锥A- BCDE 的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论.【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形，则S A AED=!. ；= , S M BC=&ABE=丄忙•儿JU , S M CC F 1 ，二,【考点】口：由三视图求面积、体积.【分析】AEDL平面BCDE四棱锥A-正f左）视區A 一D11.已知点F2, P分别为双曲线二=-=1 (a>0, b> 0)的右焦点与右支上的一点，Oa 2b2为坐标原点，若而=+ (祁+応), 亟乙母细2码?口i=a2+b2,则该双曲线的离心LJ:率为( )A.」宀B.C.二D. 2 二2 2 y'【考点】KC双曲线的简单性质.【分析】根据向量知识可知M为PF2的中点，结合[=且2一「？：“=a2+b2可求出/ OFM从而得出M的坐标，再得出P点坐标，代入双曲线方程化简即可得出e.・1 ■ •【解答】解：T我工.，「• M是PF2的中点，•••厂；=OF=F2M=C,••• 2?；if L2C2COS ( n -z OFM) =a2+b2=c2,/ 2开•z OFM= ■.3•M (欝，电£), ••• F2 ( C, 0), M是PF2的中点，•P ( 2C,二C ),4 F? 3广2T P 在双曲线上，■，即4b2c2-3a2c2- a2b2=0,a2b2■ 22 2,2/2 2、^22 2/2 2、■/ b =C - a , • 4C ( C - a ) - 3a C - a ( C - a ) =0,即4c4- 8a2c2+a4=0,••• e= —,「. 4e4- 8e2+1=0，解得e2=1+ 或e2=1-^^ (舍)，a 2 2•e「二「故选A.••• F (x )在(1, 2)递减, ••• F (x ) min =F (2) =ln2 ,• G (x )在(1, 2 )上递增，c--G ( x ) ma )=G ( 2)=,2若存在 x °€( 1, 2),使得 f ( X 0) g (X 0)v 0, 则 ln2 v a v 时，故选：A.求出被积函数，由定积分公式求出a ，求出二项式的通项公式，化简整理，令 9 -2r=3，求出r ,即可得到所求系数.JTTT【解答】解：a= — (- cosx ) dx=- sinx| —12.已知函数 f (x ) =e x - ax - 1, g (x ) =lnx - ax+a ，若存在 x o €( 1, 2),使得 f (x o ) g (x o )v 0,则实数a 的取值范围是(2A .；仁■, B. (In2 , e - 1) C . [1 , e - 1) D. 一2 23T :函数的值.【考点】【分析】令F (x)=；,令G(x ) =一「'，根据函数的单调性分别求出xT x的最大值，求出 a 的范围即可.【解答】解：由*7W >0 g(x)<0:则 F '( x )一一垃？迪 v av AL , 口〉luxxi-l1 -lnx卑v 0 对 x €( 1, 2)(x-1)2成立,1)F ( x )的最小值令 G (x )・:，贝U G (x )x———>0 对 x €( 1, 2)成立,满足题意,二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20 分. 13.已知 ITa=i 「一 (J 0 cosx ) dx ，则(ax+ J ) 9展开式中,x 3项的系数为【考点】 67:定积分.【分析】J0 0=-(sin - sinO ) = - 1,2则(-x- 1 ) 9展开式中的通项公式为-,(-x) 9-r(- 一)r2x 9 2xr . 9 - 2r= -(,：) |X , r=0 , 1, , , 9,由9 - 2r=3，可得r=3 ,x3项的系数为-(J故答案为：-:.i rolo g?ni7K.>014•已知函数f (J二* 为偶函数，则m- n= 4log201T(-x)+nx【考点】3L:函数奇偶性的性质.【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可.【解答】解：•••函数的偶函数，•••当x> 0,则-x v0,则 f (- x) =f (x),即log 20仃x - nx3=mlog20仃x+3x3,即m=1, - n=3,则n=- 3,则m- n=1 -( - 3) =4,故答案为：415.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为「，此时四面体ABCD外接球表面积为5n .【考点】LG球的体积和表面积.【分析】三棱锥B- ACD的三条侧棱BD丄AD DCL DA底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积.【解答】解：根据题意可知三棱锥 B- ACD 的三条侧棱BD 丄AD DCL DA 底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC- ABC 的中，底面边长为 1 , 1,心，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，•••三棱柱ABC- A 1B 1C 的外接球的球心为 0,外接球的半径为 r , 球心到底面的距离为 1, 底面中心到底面三角形的顶点的距离为: 2外接球的表面积为：4n r =5 n . 故答案为：5 n .9 916.数列｛a n ｝的前项和为S n ,且，用［X ］表示不超过x 的最大整数,丹1"T"【考点】8E:数列的求和.【分析】运用数列的递推关系，n > 2时将n 换为n - 1，相减可得数列｛a n ｝的通项公式，再由取整函数的定义，运用不完全归纳法，即可得到所求和.99【解答】解：由叮一一•二技，“一,① 十曰厂2 24可得 a 2 - Si= , a 2=a 1+ =,3 3 39将n 换为n - 1,可得a n - S n -产三,n 》2②a n =S n — S n - 1①—②可得，a n+1=2a n , 则 a n =a 22n —2="?2n —2= ?2n ,上式对n=1也成立.如[-0.1]= - 1 , [1.6]=1，设b n =［a n ］，则数列｛b n ｝的前 2n 项和 b 1+b 2+b 3+b 4+, +b 2n- 1 + b 2n =•球的半径为r=则 an =. ?2, b n = [a n ]=[ : ?2n ], 9^9b i +b 2=0+1=仁，—1 ―一护 9 b i +b 2+b 3+b 4=0+1+2+5=8=— 2 —2b i +b 2+b 3+b 4+b 5+b 6+b 7+b 8=0+1+2+5+10+21+42+85=166= - - 43则数列｛b n ｝的前 2n 项和为 b l + b 2+b 3+b 4+, +b 2n —l +b n 厂—n —.3 3另解：设 T 2n =b l + b 2+b 3+b 4+ , +b 2n -l + b 2n , 由 T 2n — T 2n - 2=2^ " - 1 ,累加可得数列｛b n ｝的前2n 项和为--一、■' — n=— n - I.1-4 3 3故答案为：—- n -I.3 3三、解答题：本大题共 5小题，共70分•解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17 .设向量二’.二in| n , x € R,记函数f (x)= a'b(1) 求函数f (x )的单调递增区间；(2) 在锐角△ ABC 中，角A, B , C 的对边分别为 a , b , c .若•「、.-〔，•. 「，求△ ABC 面积的最大值.【考点】HR 余弦定理；9R:平面向量数量积的运算；GL 三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求 f (x ) =sin(2x —^-),令2k n -今三2X -£W 2k n 弓,k €乙即可解得f (x )的单调递增区间.TT 1(2)由已知可求sin (2A -——)「：，结合△ ABC 为锐角三角形，可得 A ,利用余弦定理，基本不等式可求bc w 2+，进而利用三角形面积公式即可计算得解.当n=1时，当n=2时, 当n=3时,b i +b 2+b 3+b 4+b 5+b 6=0+1+2+5+10+21=39=— 3 — ;【解答】(本题满分为12分)(2x -—), ,3 分•函数f (x )的单调递增区间为：［k n-，k n +：」，k €乙5分(2厂"sin (2A-丄)=，结合△ ABC 为锐角三角形，可得:327T八•- A= , ,7 分4•••在△ ABC 中，由余弦定理 a 2=b 2+c 2- 2bccosA ，可得：2=b 2+c 2- _ bc >( 2 - _) bc ,(当且仅当b=c 时等号成立) • bc W=2+ 一，又T sinA=sin=^^, ,10 分42 • S A ABC = bcsinA= ■ bc w - (2+ ：)=,(当且仅当 b=c 时等号成立)2 44 2• △ ABC 面积的最大值为'二,12 分218•某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n 名学生，并对这 n 名学生按成绩分组，第一组［75 , 80),第二组［80 , 85),第三组［85 , 90),第四组［90 , 95),第五组［95 , 100］,如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.(I)请在图中补全频率分布直方图； (n)若Q 大学决定在成绩高的第3 ,4 , 5组中用分层抽样的方法抽取 6名学生进行面试.① 若Q 大学本次面试中有 B 、C D 三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为，：、.,，-,zi O U 求甲同学面试成功的概率；② 若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取 3名学生接受考官 B 的面试，第3组中有E 名学生被考官B 面试，求E 的分布列和数学期望.解：(1)： f 仗)二过■ k=s in xcosx+(sinx - cosx ) (sinx+cosx ) =lsin2x2 2--cos2x=sin2•••令 2k nTTTTw 2k n +2k € Z ,解得:w x w k n + , k €Z12 122A - 一 =【考点】CH 离散型随机变量的期望与方差； B3:分层抽样方法；B8:频率分布直方图.【分析】(I)由第四组的人数能求出总人数，由此能补全频率分布直方图.(H)①设事件人=甲同学面试成功，由此利用独立事件概率公式能求出甲同学面试成功的概率.②由题意得，E =0, 1, 2, 3,分别求出其概率，由此能求出 E 的分布列和数学期望.【解答】解：(I)：第四组的人数为 60, •••总人数为：5X 60=300,由直方图可知，第五组人数为： 0.02 X 5X 300=30人， 60_30 T L 斗八 K 又 .为公差，•••第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人(n)①设事件 A=甲同学面试成功,②由题意得，E =0, 1, 2, 3,则 P (A )频率频率= 'pO p 3 S I- m ip3p 0 —L- o 1-',,19gI 3--- ：-li ---19.如图，在以 A , B , C, D E, F 为顶点的多面体中，四边形 ACDF 是菱形，/ FAC=60 ,AB// DE BC// EF , AB=BC=3 AF=2旖，BF 二 Jj 豆 (1)求证：平面 ABCL 平面 ACDF(2)求平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值.【考点】MT 二面角的平面角及求法； LY :平面与平面垂直的判定.【分析】(1 )设O 是AC 中点，连结 OF 、OB FC 推导出 OBL AC OF 丄AC,则/ FOB 是二面角F - AC- B 的平面角，由此能证明平面 ABC L 平面 ACDF(2)以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值.【解答】证明：(1 )设O 是AC 中点，连结 OF OB FC, 在厶 ABC 中，AB=BC ••• OB L AC •••四边形 ACDF 是菱形，/ FAC=60 , • △ FAC 是等边三角形，• OF L AC,ck p(W )T-''20,P(^=2)=GV•••/ FOB是二面角F- AC- B的平面角,•••0F= _- ’「= 7,又••• BF= —,••• O F+O B U BF2,•••/ FOB=90 ,•平面ABCL平面ACDF解：（2）由（1 ）知OB OC OF两两垂直，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴, 建立空间直角坐标系，则A（0，-占，0），B （铤，0，0），C（0,也，0），F（0，0，3），AF=（0，V3，3），AC=（0，2航，0），•/ AB// DE AF// CD,又AB?平面CDE AF?平面CDEDE＞平面CDE CD?平面CDE•AB//平面CDE AF//平面CDE又AB A AF=A ••平面ABF// 平面CDE••• EF// BC, • B、C、E、F 四点共面，又平面ABF A平面BCEF=B F平面CDEH平面BCEF=CE•BF// CE •••四边形BCEF是平行四边形，••• ••=： = （-• :, 0），•二汀I「'=（-•—，3）,设平面AEF的法向量■ = （x , y , z）,则丁上朋出谊，取x g，得：=（n * FE =-^6 x+V3y=0设平面ACE的法向量•= （a, b, c),AC=2V3b=0设平面AEF与平面ACE所成的锐二面角为0 ,则cos2i20.已知椭圆C ：卫_ +耳=1 (b >0)的左、右焦点分别为F i 、F 2,点F 2也为抛物线 G: y 2=8x 6 b 2 的焦点，过点F 2的直线I 交抛物线C 2于A ，B 两点.(I)若点P (8, 0)满足|PA|=|PB|，求直线I 的方程；(n) T 为直线x= - 3上任意一点，过点 F i 作TF i 的垂线交椭圆 C 于M N 两点，求：-|MN |的最小值.【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】(I)由抛物线C"，二&得F 2 (2, 0),当直线I 斜率不存在，即I : x=2时，满足题意.当直线I 斜率存在，设I : y=k (x - 2)(k z 0), A (x i , y i ), B (X 2, y 2),与抛物线方程联立可得 k 2x 2 -(4k 2+8) x+4k 2=0,禾U 用根与系数的关系、中点坐标公式可得AB 的中点k 2(n) F 2 ( 2, 0),可得椭圆C 的方程，设T 点的坐标为(-3, m ),贝y 直线TF i 的斜率=-m.当0时，直线 MN 的斜率.，直线 MN 的方程是x=my - 2,tn当m=0时，上述方程.设 M(X 3, y s ), N( x 4, yj ,与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式及其基本不等式的性质即可得出.•••平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值为554厂‘」由|PA|=|PB|，可得PGL I , k PG ?k= - i ,解得k 即可得出.QB24【解答】解：(I)由抛物线C J 厂：也得F 2 (2, 0), 当直线I 斜率不存在，即I : x=2时，满足题意. 当直线 I 斜率存在，设 I : y=k ( x - 2) (k z 0), A (X i , yj , B (X 2, y 2),* 2_由* y 皿得 k 2x 2-( 4k 2+8) x+4k 2=0, y^k(x~2)2 , 4k +8 , , z , . 8设AB 的中点为G,^— Ik 2 k•••|PA|=|PB| , • PGLI , k pG ?k=- 1,Xk=T ，解得 k=±£，则 y=± V2(x-2),•直线I 的方程为■. - :. :!或x=2.2 2(fl)： F 2 (2, 0), •••：,：; m一一.：11o 2设T 点的坐标为（-3 , m ）, 则直线TF i 的斜率..' -t ,TFi -3+2当0时，直线MN 的斜率.,直线MN 勺方程是x=my- 2 , 当m=0时，直线 MN 的方程是x= - 2,也符合x=my- 2的形式.•直线 MN 的方程是 x=my - 2.2 ,2-', 2 2，得(m+3) y - 4my- 2=0 ,~24m2 •一'「-匚_,D +3Hl +3|TF[ l=Vm 2+l /□2^24 (nT+1 j=I ' -「…厂- ：:■•- :设 M (X 3 , y s ), N (X 4 , y 4),则 1ID2+3当且仅当/'-.J —4—，即卩m=± 1时，等号成立，此时m 2+l(x ) =ln (x+2a )— ax , a > 0.(I)求f (x )的单调区间;(n)记 f (x )的最大值为 M (a ),若 a 2>a i >0 且 M (a i ) =M (a 2),求证:(川)若a >2,记集合｛x|f (x ) =0｝中的最小元素为 x o ，设函数g (x ) =|f (x ) |+x ，求证: x o 是g ( x )的极小值点.【考点】6E:禾U 用导数求闭区间上函数的最值； 6B :利用导数研究函数的单调性. 【分析】(I)先求导，根据导数和函数单调性的关系即可得到函数的单调区间，(H)由(I)知， M (a ) =f (一- 2a ) =2a 2— 1 — lna ，继而得到 2a i 2 — 1 — lna i =2a 22 — 1 — a.a 221n —a i 1In a 2,通过转化得到 4玄協2=，设h (t ) =t —一— 2ln t , t > 1根据函数的单调性证明 a 2 a l ta l a 2f (a+1) x-ln(x+2a) f -2a<(川)由(I)可得，g (x ) =.•，分类讨论，得到 gln(x+2a)x -2a+—(X )在( —2a , x o )递减，g (x )在(x o , =- 2a )递增，故x o 是g (x )的极小值点.a【解答】解：(I): f '( x )=一—x+2a■/x >— 2a , a >0,由 f '( x )> 0，得—2a v x v — — 2a , a 由 f '( x )v 0，得 x >— 2a ,a1!取得最小值丄.\m\321.已知函数 alv 1，问题即可得以证明,a= ： '：：x+2a又 X T — 2a 时，f ( X )T — 8,••• f (x )的增区间为(-2a , - 2a ),减区间为(a 2a , +s),a(H)由(I)知，M(a ) =f (- 2a ) a =2a 2 -1 - Ina ,2 2 • 2a 1 - 1 - lna 1=2a 2 - 1 - Ina 2, /• 2 (a 22 - a i 2) =lna 2 - Ina 1=ln 「, Si • 2a 1a 2「」=ln 「， a l a 2 S1• 4a 1a 2 (-••-—；) =2ln a l a2 a 221n — • 4a 1a 2= ------------ a l a 2设 h (t ) =t - —- 2lnt • h '( t ) =1+ [-= • h ( X )在(1, +s)单调递增，h (t ) (1 - ) 2>0, (1) =0,即 t - —> 2lnt > 0, v > 1, Qi a 1 Qo -------- > 2ln > 0, 3.1 3-^ 自 | a221n — al ‘ ------- < 1, a l a2 •- a i a 2< ;4(川)由(I)可知，f ( X )在区间(-.-2a )，易知 f (- 2a ) =M(a ) =2a 2- 1 Tna 在(2, +^)递增,aM( a )> M( 2) =7 - ln2 > 0,••- 2a v x o v - 2a ,且—2a v x v x o , f (x ) v 0, a(a+1) x-ln(x+2a), *2a<ic<Cx 0■, ln(x+2aJ Kr,^ x ~2a+—u ax o v x v — - 2a 时，f (x )a> 0,于是-2a v x v x o 时，g ' (x ) = (a+1) •••若能证明x o <— -- 2a ,便能证明（a+1） a+1 1 1——=—v a+1 - , x+2a x o +^a1 —v o, o +a2 -记 $ (a ) =f ( ------------ 2a ) =2a +—r - 1 - In a+1 a+1] 1 --$ (a ) =4a - ，-、, (a+1 ) a+1 (a+1).•/ a > 2, •- h '( a )> 8 — > 0, 9 3 •- $ （玄）在（2, +s ）上单调递增, • $ (a )> (2)=匚-ln3 >o , J-1-2a v --2a, • f （x ）在（-2a ，一〒-2a ）内单调递减, a+1 •以（-2a ，击-2a ）,于是—2a v x v x o 时，g '( x ) =a+1 -——:—v x+2a a+1 - 1 =o , —r-2a+2a a+1 • g (x )在(-2a , x o )递减, 1 1 ------------------------------------------------------------- ------- 当 x o v x v - 2a 时，相应的 g '( x ) = -( a - 1 )>1 -( a x+2a (—-2aJ +2a a a - 1) =1> o ,• g (x )在(xo , ..- 2a )递增, 故x o 是g （x ）的极小值点.•••当- 2a v x v - 2a 时,a［选修4-4 :极坐标与参数方程］22.在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为(X-3+tuos°(t为参数)，在以坐标y=l+tsin4)原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为p =4cos 0 .(I)求I的普通方程和C的直角坐标方程；(H)当0 €( 0, n )时，I与C相交于P, Q两点，求|PQ|的最小值.【考点】QH参数方程化成普通方程；Q4:简单曲线的极坐标方程.【分析】(I)利用三种方程的转化方法，求I的普通方程和C的直角坐标方程；(H)由(I)可知圆心坐标为 C (2, 0),半径为2,直线过点A ( 3, 1), CA± PQ时，可求|PQ|的最小值.y 二号+ + COS (t)【解答】解：(I)直线I的参数方程为；I (t为参数)，普通方程为y -仁tan 0 (x - 3),圆C的方程为p =4cos 0，直角坐标方程为x2+y2=4x;(H)由(I)可知圆心坐标为 C (2, 0),半径为2，直线过点A( 3, 1), ••• |CA|=「,••• CA± PQ时,|PQ| 的最小值为2「=2 .［选修4-5 :不等式选讲］23.已知函数f (x) =|x - a| ,其中a> 1(1 )当a=2时，求不等式f (x)> 4 - |x - 4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f (2x+a)- 2f (x) | < 2的解集{x|1 < x< 2},求a的值.【考点】&2:带绝对值的函数；R5:绝对值不等式的解法.【分析】(1)当a=2时，f (x)> 4 - |x - 4|可化为|x - 2|+|x - 4| > 4,直接求出不等式|x-2|+|x - 4| > 4的解集即可.-2 弘xWO(2)设h (x) =f ( 2x+a)- 2f (x),则h (x) = Z.由|h (x) | < 2 解2a, 丈》◎得等二；：二：当,它与1 < x w 2等价，然后求出a的值.【解答】解：(1)当a=2 时，f (x)> 4- |x - 4| 可化为|x - 2|+|x - 4| > 4 ,当x< 2 时，得-2x+6> 4,解得x w 1 ；当2V x V 4时，得2> 4,无解；当x>4时，得2x - 6>4,解得x > 5; 故不等式的解集为{x|x > 5或xw 1}.-2a,(2)设h (x) =f (2x+a)- 2f (x),则h (x) = 4^-2日，0<x<2由|h (x) | w 2 得• 一又已知关于x的不等式|f (2x+a)- 2f (x) | w 2的解集{x|1 w x w 2},2所以* ,故a=3.面积的最大值.。

2022年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年江西省九江市高考数学三模试卷（理科）1. 已知i为虚数单位，且，则( )A. 1B.C. 2D.2. 已知集合，，则( )A. B. C. D. 03.已知命题p：若，则，命题q：，，则( )A. 为真命题B. 为假命题C. 为真命题D. 为真命题4. 已知，则( )A. B. C. D.5. 已知函数是定义在的奇函数，，且当时，，则( )A. B. C. D. 06. 已知，，，其中e为自然对数的底数，则( )A. B. C. D.7. 函数的部分图像如图所示，对任意实数x，都有，下列说法中正确的是( )①的最小正周期为；②的最小值为；③的图像关于对称；④在上单调递增．A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④8. 小明同学本学期5次数学测验中，最高分为90分，最低分为70分，中位数为85分，则这5次数学测验的平均分不可能是( )A. 80分B. 81分C. 84分D. 85分9. 已知正三棱柱的所有棱长均相等，直线与所成的角为，则( )A. B. C. D.10. 双曲线的左、右焦点分别为、，P为圆与该双曲线的一个公共点，则的面积为( )A. B. m C. D. 111. 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r，若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则( )A. B. C. D.12. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则( )A. B. C. D.13. 已知向量，，，则实数t的值为______.14. 中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则角______.15. 已知直线与曲线相切，则______.16. 日常生活中，许多现象都服从正态分布．若，记，，小明同学一般情况下都是骑自行车上学，路上花费的时间单位：分钟服从正态分布已知小明骑车上学迟到的概率为某天小明的自行车坏了，他打算步行上学，若步行上学路上花费的时间单位：分钟服从正态分布，要使步行上学迟到的概率不大于，则小明应该至少比平时出门的时间早______分钟．17.已知数列的前n项和为，且满足，求；求数列的前n项和．18. 如图1，矩形PABC中，，，D为PC上一点且现将沿着AD折起，使得，得到的图形如图证明：平面PBD：求二面角的余弦值．19. 已知抛物线C：过点，且P到抛物线C的焦点的距离为求抛物线C的方程；设A，B为抛物线C上两点，且，求点P到直线AB距离的最大值．20. 电子竞技是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼．电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神．第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行，本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”，以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：首轮比賽：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛．根据比赛结果每场比赛只有胜、败两种结果，两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队该战队获得殿军：胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队该战队获得季军；第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军．现有包括A战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”．已知A战队每场比赛获胜的概率为，且各场比赛互不影响．估计A战队获得冠军的概率；某公司是A战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；方案2：获得冠军则奖励其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元，其他情况不奖励．请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由．21. 已知函数当时，试比较与0的大小；若恒成立，求a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为求曲线，的直角坐标方程；若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求a的值．23. 设函数若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围；在平面直角坐标系xOy中，所围成的区域面积为S，若正数b，c，d满足，求的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，故选：根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：，，故选：求解对数不等式化简A，求解一元二次不等式化简B，再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：命题p：当，时，满足，但，故命题P为假命题，命题q：当时，成立，故命题q为真命题，故为假命题，为真命题，为真命题，为假命题，故选：利用不等式的性质得到P为假命题，利用三角函数的值得到q为真命题，再利用真值表的应用判断即可．本题考查不等式的性质，三角函数的值，真值表的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：，，，故选：由题意，利用两角和的余弦公式，计算求得结果．本题主要考查两角和的余弦公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：依题意，得，故，解得，，故选：根据函数是定义在的奇函数，得到，进而求a的值，代入求即可．本题考查函数的奇偶性，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：，，，，，故选：利用对数函数的性质求解．本题考查对数函数的性质，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由图像可知，，，则，，所以，故①错误；又，则，，所以的最小值为，故②正确；则点为函数图像的对称中心，③正确；由，且，得，所以，当时，，显然在上不单调，故④错误．故选：由函数图像可求A，T，利用周期公式可求，即可判断①；由题意可得，，可得的最小值为，即可判断②；进而可得点为函数图像的对称中心，即可判断③；由，且，得，由题意可求，利用正弦函数的单调性即可判断④．本题考查了由的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，考查了命题的真假判断与应用，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由题意知：小明在5次数学测验中有3次的成绩为：90，85，70；设另外2次成绩为x，，则，，次数学测验的平均分为，则这5次数学测验的平均分不可能是85分．故选：设除最高分、最低分和中位数的另外2次成绩为x，，由此可得的范围；根据平均数的计算方法可求得平均数的取值范围，由此可得选项．本题考查平均数，考查学生的运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：取AC的中点P，连接，交于点O，连接OP，则O为的中点，所以，所以或其补角即为所求，设正三棱柱的所有棱长均为2，则，，，在中，由余弦定理知，，所以故选：取AC的中点P，连接，交于点O，连接OP，则或其补角即为所求，再在中，利用余弦定理，得解．本题考查异面直线所成的角，利用平移思想，找出异面直线所成的角是解题的关键，考查空间立体感和运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由双曲线方程得，，恰为圆的直径，所以得，由双曲线的定义知，，故选：由已知可得，计算可求的面积．本题考查双曲线的几何性质，以及求三角形的面积，属中档题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，设储物盒所在球的半径为R，如图：若小球的最大半径r，有，变形可得，若正方体的最大棱长为a，有，变形可得，则，故选：根据题意，设储物盒所在球的半径为R，小球的最大半径r，正方体的最大棱长为a，分析r与R 和a与R的关系，计算可得答案．本题考查正方体与球的切接问题，注意分析正方体的几何结构，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，由正弦定理得，解得，则，故选：因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，利用正弦定理可求得a，进而求得离心率．本题考查了椭圆离心率的计算，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：向量，，，，，，则实数，故答案为：由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14.【答案】【解析】解：中，，由正弦定理得，所以，所以，因为，即，由A为三角形内角得故答案为：由已知结合正弦定理进行化简可求，进而可求本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由，得，设切点为，则，消去a得，，函数在上单调递增，且，，此时故答案为：求出函数的导函数，设出切点坐标，利用切点处的导数值与斜率的关系及切点处的函数值相等列式求解．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】20【解析】解：由小明骑车上学迟到的概率为知，小明骑车花费分钟才会迟到，若小明步行上学，要使迟到的概率不大于，则步行花费时间应小于分钟，故小明应该至少比平时出门的时间早分钟．故答案为：结合正态分布的对称性，即可求解．本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．17.【答案】解：当时，，，，当时，由，得，两式相减得，即，数列，均为公比为4的等比数列，，；，数列的前n项和：【解析】当时，由，得，两式相减整理得数列，均为公比为4的等比数列，求解即可；，利用裂项相消求和求解即可．本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题．18.【答案】证明：四边形PABC为矩形，，且，，即；，即；又，，，又，，PD，平面PAD，平面PAD，平面PAD，；，，PD，平面PBD，平面解：过P作，交AD于E，，，，，由知平面PAD，平面ABD，平面平面PAD，又，平面PAD，平面ABD，故以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，由平面ABD的一个法向量为，设平面PAB的一个法向量为，则，令，，，，，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为【解析】由长度关系可求得，知，结合可证得平面PAD，由线面垂直性质可得；结合，由线面垂直的判定可得结论；过P作，交AD于E，可证平面ABD，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，以及二面角的余弦值的求法，属中档题．19.【答案】解：根据抛物线的性质可知，又点P在抛物线上，，即，，解得，抛物线C的方程为设，，，，即，设直线AB的方程为，代入，可得，，，，即，直线AB的方程为，直线AB过定点，P点到直线AB距离的最大值为【解析】根据抛物线的性质以及点P在抛物线上列出方程组，求解t，p的值，从而得到抛物线C的方程．设出，，以及直线方程，利用，根据韦达定理求出m，n之间的关系可知直线AB过定点，所以P点到直线AB距离的最大值为本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了直线过定点问题，属于中档题．20.【答案】解：由题意可知，A战队获得冠军有以下3种可能情况：①“胜胜胜”概率为，②“败胜胜胜”概率为，③“胜败胜胜”概率为，则A战队获得冠军的概率为战队获得殿军的情况是败败，故A战队获得殿军的概率为则获得亚军或季军的概率为设方案1中A战队获奖金额为，则其分布列为：24150P若选择方案1，则A战队获奖金额的期望为万元，设方案2中A战队获奖金额为，则其分布列为：40300P若选择方案2则A战队获奖金额的期望为万元，由于数学期望相等，故选择方案1、方案2均可．【解析】本题主要考查分布列及其计算，概率统计的实际应用等知识，属于中等题．由题意首先确定所有可能的事件的概率，然后计算A战队获得冠军的概率即可；分别求得相应方案的均值，然后利用均值的大小进行比较给出结论即可．21.【答案】解：当时，，，故在R上单调递减，又因为，故当时，，当时，，当时，；，，下证当时，，，令要证，只需证，①当时，，由知，，②当时，，易知在上单调递减，在上单调递增，，，使得，当，时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减而，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减．而，当时，，③当时，，在上单调递增，，综上所述，a的取值范围是【解析】当时，对函数求导，研究其单调性从而进行判断即可；由题意，构造函数再证明，通过讨论x的取值，求得a的范围即可．本题主要考查利用导函数研究函数单调性及最值，考查学生的运算能力，属于难题．22.【答案】解：曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为曲线的极坐标方程，根据，转换为直角坐标方程为；由于的图象为花瓣一样；如图所示：当圆心到直线的距离时，正好有三个点；整理得或负值舍去，当圆心为到直线的距离时，正好有三点；整理得或正值舍去，故【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用图象，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：，依题意，得，即或，解得或，的取值范围为或；解：由，得，如图，平面区域由一个正方形及其内部组成，正方形的中心为，四个顶点分别为，，，，其边长为，所以，所以，而b，c，d都为正数，所以当且仅当，时取等号，故的最小值为【解析】根据绝对值不等式的性质可知，可知，解次绝对值不等式，即可求出结果；根据题意作出围成的区域，平面区域由一个正方形及其内部组成，正方形的中边长为，可知，再将，利用基本不等式即可求出结果．本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的最值问题，属于中档题．。

江西师大附中2020届高考数学三模试卷1（含答案解析）

江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷1（含答案解析）江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷1⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.设集合A={x|x2?5x+6>0}，B={x|x?1<0}，则A∩B=()A. (?∞,1)B. (?2,1)C. (?3,?1)D. (3,+∞)2.复数z=?2+ii的共轭复数是()A. 1+2iB. 1?2iC. ?1+2iD. ?1?2i3.cos(?11π6)=()A. 12B. ?12C. ?√32D. √324.已知向量a?=(0,1)，b? =(2,?1)，则|2a?+b? |=()A. 2√2B. √5C. 2D. 45.已知m，n为直线，α，β为平⾯，下列说法正确的是()A. m⊥n，m//α，n//β?α⊥βB. m⊥n，α∩β=m，n?α?α⊥βC. m//n，n⊥β，m?α?α⊥βD. m//n，m⊥α，n⊥β?α⊥β6.若将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位后，所得图象对应的函数为()A. y=2sin2xB. y=2sin(2x?π6)C. y=2cos2xD. y=2sin(2x+π3)7.设S n为数列{a n}的前n项和，“{a n}是递增数列”是“{S n}是递增数列”的()A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既⾮充分⼜⾮必要条件8.函数y=x33x?3?x的图象⼤致是()A. B.C. D.9.⼀个⼤型喷⽔池的中央有⼀个强⼒喷⽔柱，为了测量喷⽔柱的⽔柱的⾼度，某⼈在喷⽔柱正西⽅向的A处测得⽔柱顶端的仰⾓为45°，沿A向北偏东30°⽅向前进100m后到达B处，在B处测得⽔柱顶端的仰⾓为30°，则⽔柱的⾼度是()A. 50mB. 100mC. 120mD. 150m10.已知圆A:x2+y2=1，圆B:(x?t+4)2+(y?at+2)2=1(t∈R)，且圆A与圆B存在公共点，则圆A与直线l:x+y=a的位置关系是()A. 相切B. 相离C. 相交D. 相切或相交11.设直线x?3y+m=0(m≠0)与双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满⾜|PA|=|PB|，则该双曲线的离⼼率是()A. √52B. 32C. 52D. √5+112.如图，在正⽅体ABCD?A1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，B1到平⾯A1FCE的距离为()A. √32B. √63C. √105D. √305⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.已知数列{a n}的前n项和为S n=5n2+kn?19，且a10=100，则k=______ ．14.已知过抛物线x2=6y焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且y A+y B=6，则|AB|=______．15.设变量x，y满⾜约束条件：?{x+y?3x?y??12x?y?3，则⽬标函数z=3x?2y的最⼩值为______．16.已知函数若⽅程f(x)?ax=1有三个实根，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.在△ABC中，设边a，b，c所对的⾓分别为A，B，C，asinC=√3ccosA．(Ⅰ)求⾓A的⼤⼩；(Ⅱ)若△ABC⾯积为√3，求边a的最⼩值．18.设数据x1,x2,?,x n的⽅差为s2，求下列各组数据的⽅差．(1)x1+b,x2+b,?,x n+b；(2)ax1,ax2,?,ax n；(3)ax1+b,ax2+b,?,ax n+b．19.四棱锥P?ABCD中，底⾯ABCD为矩形，.PA=PB，侧⾯PAB⊥底⾯ABCD．(1)证明：PA⊥BC；(2)若AB =2，PC ⊥BD ，PD 与平⾯ABCD 所成的⾓为，求四棱锥P ?ABCD 的体积．20. 已知椭圆的⼀个顶点为A(0,?1)，焦点在x 轴上，离⼼率为√63． (1)求椭圆的⽅程；(2)设椭圆与直线y =kx +2(k ≠0)相交于不同的两点M 、N ，当|MN|=√3时，求k 的取值．21. 已知函数f(x)=x ?lnx ，g(x)=2mx ?1(m ∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)在x =1处的切线⽅程；(Ⅱ)若?x ∈[1e ,e]，f(x)>g(x)恒成⽴，求实数m 的取值范围．22. 在平⾯直⾓坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系．(Ⅰ)求C2的普通⽅程；(Ⅱ)设曲线C3的极坐标⽅程为2ρsin(π3θ)=√3，且曲线C3与曲线C2相交于M，N两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23.设函数f(x)=|2x?1|+ax?1．(Ⅰ)若a=1，解不等式f(x)≤2；(Ⅱ)若函数f(x)有最⼩值，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题．根据题意，求出集合A、B，由交集的定义计算可得答案．解：根据题意，A={x|x2?5x+6>0}={x|x>3或x<2}，B={x|x?1<0}={x|x<1}，则A∩B={x|x<1}=(?∞,1)；故选A．2.答案：B解析：解：由题意可得复数z=?2+ii =(?2+i)?ii?i=?2i?11=1+2i故复数z=?2+ii的共轭复数是：1?2i故选B由复数的运算法则化简复数，即可得其共轭复数．本题考查共轭复数的定义，属基础题．3.答案：D解析：解：cos(?11π6)=cos11π6=cos(2π?π6)=cosπ6=√32．故选：D．运⽤诱导公式及特殊⾓的三⾓函数值即可化简求值．本题主要考查了诱导公式及特殊⾓的三⾓函数值的应⽤，属于基础题．4.答案：B解析：解：向量a?=(0,1)，b? =(2,?1)，∴2a?+b? =(2×0+2,2×1?1)=(2,1)，∴|2a?+b? |=√22+12=√5．故选：B．根据平⾯向量的坐标运算与模长公式，进⾏计算即可．本题考查了平⾯向量的坐标运算与模长公式的应⽤问题，是基础题⽬．5.答案：C解析：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查推理论证能⼒、空间想象能⼒，是基础题．根据空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系逐⼀判断即可．解：由m，n为直线，α，β为平⾯，知：在A中，m⊥n，m//α，n//β?α与β相交或平⾏，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β=m，n?α?α与β相交，但不⼀定垂直，故B错误；在C中，m//n，n⊥β，m?α，由⾯⾯垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m//n，m⊥α，n⊥β?α与β平⾏，故D错误．故选C．6.答案：B解析：本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．由条件利⽤函数的图象变换规律，可得结论．解：将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位后，所得图象对应的函数解析式为，故选B．7.答案：D解析：解：数列?3，?2，?1，0……是递增数列，但{S n}不是递增数列，即充分性不成⽴，数列1，1，1，……，满⾜{S n}是递增数列，但数列1，1，1，……，不是递增数列，即必要性不成⽴，则“{a n}是递增数列”是“{S n}是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．根据数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进⾏判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合数列的性质，利⽤特殊值法进⾏排除是解决本题的关键．8.答案：B解析：解：函数y=x33x?3?x，在x=0时，没有意义，排除A；f(?x)=?x33?x?3x =x33x?3?x=f(x)，函数是偶函数，排除D；x=3时，y=2727?127>1，可得函数的图象的最⼤值⼤于1，排除选项C，故选：B．利⽤函数的定义域与函数的特殊点的位置，函数的奇偶性判断选项即可．本题考查函数的图象的判断，函数的定义域，奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常⽤⽅法．9.答案：A解析：【分析】本题考查了直⾓三⾓形的边⾓关系、余弦定理，考查了推理能⼒和计算能⼒，是解三⾓形中的应⽤题，属于中档题．如图所⽰，设⽔柱CD的⾼度为?.在Rt△ACD中，由∠DAC=45°，可得AD=?，∠DAB=60°.在Rt△BCD中，∠CBD=30°，可得BD=√3??，在△ABD中，由余弦定理可得3?2=10000+?2?2×100?cos60°.代⼊即可得出．解：如图，CD为⽔柱的⾼度，设为hm，由题意，CD⊥平⾯ABD，AB=100m，∠BAD=60°，∠CAD=45°，∠CBD=30°，在△CBD中，BD=√3?m，在△CAD中，AD=?m，在△ABD中，BD=√3?m，AD=?m，AB=100m，∠BAD=60°，∴由余弦定理可得3?2=10000+?2?2×100?cos60°，∴(??50)(?+100)=0，解得?=50或?=?100(舍去)，故选：A．。

【三模】数学高考试卷(附答案解析)

A. B.
C. D.
6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于”松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为5，2，则输出的等于（）
A 2B. 3C. 4D. 5
7.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线的准线交于点，则线段的长为
C.点是函数图象的一个对称中心
D.函数在区间上为增函数
10.已知圆：与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（）
A. 或4B. 或2C. D.2
11.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为
A. B.2C.4D.6
由题意得，即，
所以，
所以，
当双曲线的焦点在y轴上时，，
则，
故选：B
11.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为
A. B.2C.4D.6
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据正三棱锥的性质可得球心在正三棱锥的高上，由正棱锥的性质可得顶点在底面的射影是正三角形的中心，列方程可解得棱锥的高，从而可得结果.
14.若实数、满足约束条件，则的最小值是_______．
15.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.问几何日相逢?其大意是：现有良马和劣马同时从长安出发去齐地，已知齐地离长安有3000里远，良马第一天可行193里，之后每天比前一天多行13里;劣马第一天可行97里，以后每天比前一天少行半里路.良马先到达齐地后，马上返回去迎接劣马，问：________天后两马可以相遇?(结果填写整数值)

数学文卷·2014届江西省师大附中高三三模考试(2014.05)

【试卷综析】本次考前模拟训练数学试题，具体来说比较平稳，基本符合高考复习的特点，重点考察高中数学基础知识和基本方法和基本的思想方法，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。

适当地降低了试题运算量，降低了对运算能力，特别是数值计算的要求，重点考查代数式化简和变形的能力以及思维方法和计算方法，重点考查了学生思维能力：直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等核心数学能力，重点考察了数形结合、简单的分类讨论、化归等数学基本思想方法试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内. 1．设复数1z i =--(i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则(1)z z -⋅= A ．10 B ．2 C ．2 D ．1能力，此题是基础题．2．已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2xB x =-≥,则R AB =ðA ．)1,2(--B ．]1,2(--C ．)0,1(-D ．)0,1[- 【知识点】绝对值不等式的解法；指数不等式的解法；集合交集、补集的定义.【答案解析】C 解析：解：由题意可解得：{}{}|20,|1A x x B x x =-<<=≤-，所以{}|1R C B x x =>-,即R AB =ð{}|10x x -<<，故选C.【思路点拨】先解出两个集合，再利用集合交集、补集的定义即可得到结果. 3．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为 A ．297 B ．144 C ．99 D ．66【知识点】等差中项公式;等差数列的前n 项和公式.【答案解析】C 解析：解：因为14739a a a ++=44339,13a a ∴==，36927a a a ++=则69a =，由等差中项公式：465112a a a +==，所以199599992a aS a +=⨯==，故选C.【思路点拨】先通过等差中项公式得到6a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可.4．下列命题中错误．．的是 A ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l γ⊥B ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面α⊥平面β，l αβ=，过α内任意一点作l 的垂线m ，则m β⊥①如图，设平面α⊥平面γ=a ，平面β⊥平面γ=b ，在γ内直线a 、b 外任取一点O ，作OA ⊥a ，交点为A ，因为平面α⊥平面γ，所以OA ⊥α，所以OA ⊥l ，作OB ⊥b ，交点为B ，因为平面β⊥平面γ，所以OB ⊥β，所以OB ⊥l ，又OA ∩OB=O ，所以l γ⊥．所以①正确．②如图，平面α⊥平面β，α∩β=l ，a ⊂α，若a ∥l ，则a ∥β，所以②正确；③若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β正确；④如果过α内任意一点选择在直线l 上，明显错误，故选D.【思路点拨】命题①②可以通过作图说明；命题③可以运用反证法的思维方式说明是正确的；命题④可以直接进行证明． 5．将函数sin(4)6y x π=-图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移4π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A ．12x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．12x π=-如下框图所给的程序运行结果为A ．7=kB ．6≤kC ．6<kD ．6>k 【知识点】程序框图．【答案解析】D 解析：解：框图首先给累加变量S 赋值1，给循环变量k 赋值10．判断10＞6，执行S=1+10=11，k=10-1=9；判断9＞6，执行S=11+9=20，k=9-1=8；判断8＞6，执行S=20+8=28，k=8-1=7；判断7＞6，执行S=28+7=35，k=6；判断6≤6，输出S 的值为35，算法结束．所以判断框中的条件是k ＞6？．【思路点拨】根据赋值框中对累加变量和循环变量的赋值，先判断后执行，假设满足条件，依次执行循环，到累加变量S 的值为35时，再执行一次k=k+1，此时判断框中的条件不满足，由此可以得到判断框中的条件． 7．下列命题正确的个数是①命题“020031,x x R x >+∈∃”的否定是“x x R x 31,2≤+∈∀”；②“函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π”是“1=a ”的必要不充分条件； ③ax x x ≥+22在]2,1[∈x 上恒成立max min 2)()2(ax x x ≥+⇔在]2,1[∈x 上恒成立； ④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“0<⋅”. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案解析】B 解析：解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；1cos 2cos 22ax ax -=π=⇒a=±1， ∴（2）正确；（3）例a=2时，222x x x +≥在x ∈[1，2]上恒成立，而22324min max x x x +==（）＜， ∴（3）不正确；（4）|||0|a b a b cos a b a b a b π⋅==⋅＜，＞，＜，＞时＜，∴（4）错误．故选B【思路点拨】（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）根据向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确．【典型总结】本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题8．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是21,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．5D ．6 【答案解析】B 解析：解：将x=c 代入双曲线的方程得y= ）,在△MF 1F 2中tan30°= 22b a c ＝tan30°,解得e ＝c a =,故选B. 【思路点拨】将x=c 代入双曲线方程求出点M 的坐标，通过解直角三角形列出三参数a ，b ，c 的关系，求出离心率的值．9．设函数)(x f 的定义域为R ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<--=10,1,1)31()(x x x x f x，且对任意的R x ∈都有)1()1(-=+x f x f ，若在区间]5,1[-上函数m mx x f x g --=)()(恰有6个不同零点，则实数m 的取值范围是A ．11(,]46B ．11(,]34C ．1(0,]5D ．1(0,]6【知识点】根的存在性及根的个数判断．【答案解析】D 解析：解：由题意，f （x+2）=f[（1+x ）+1]=f[（1+x ）-1]=f （x ），所以2是f （x ）的周期令h （x ）=mx+m ，则函数h （x ）恒过点（-1，0）函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<--=10,1,1)31()(x x x x f x在区间[-1，5]上的图象如图所示【思路点拨】先确定2是f （x ）的周期，作出函数的图象，利用在区间[-1，5]上函数g （x ）=f （x ）-mx-m 恰有6个不同零点，即可求实数m 的取值范围． 10．如图所示，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，1,21==AB AA ，M ， N 分别在BC AD ,1上移动，始终保持MN ∥平面11D DCC ，设 y MN x BN ==,，则函数)(x f y =的图象大致是A ．B ．C ．D ．则|MN|==即函数y=f （x ）的解析式为f （x ）= 01x ≤≤）其图象过（0，1）点，在区间[0，1]上呈凹状单调递增故选C【思路点拨】由MN ∥平面DCC 1D 1，我们过M 点向AD 做垂线，垂足为E ，则ME=2AE=BN ，由此易得到函数y=f （x ）的解析式，分析函数的性质，并逐一比照四个答案中的图象，我们易得到函数的图象．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卷相应横线上.11．将参加夏令营的100名学生编号为001， 002，⋅⋅⋅，100.先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中的人数是 .20，首个号码为003， ∴样本组距为100÷20=5∴对应的号码数为3+5（x-1）=5x-2，由48≤5x -2≤81，得10≤x≤16.6，即x=10，11，12，13，14，15，16，共7个，故答案为：7．【思路点拨】根据系统抽样的定义，即可得到结论．12．右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .上面是球的14，所以此组合体的体积为23144111433πππ⨯⨯+⨯⨯=，故答案为43π。

2024江西师大附中高三年级下学期三模化学试卷及答案

江西师大附中高三下学期三模化学试卷2024.5可能用到的相对原子质量：H 1C 12N 14O 16Cl 35.5K 39Pb 207一、选择题：本题共14小题，每题3分，共42分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。

1．江西省进贤县李渡镇拥有中国时代最早、遗址最全、遗物最多、时间跨度最长且最富有地方特色的大型古代烧酒作坊遗址。

李渡高粱酒酿制过程中，下列说法不正确的是A ．“蒸粮”时可适当鼓风加快燃烧速率B ．“拌曲”加入的酒曲在酿酒时起到催化作用C ．“堆酵”时升温是因为此过程ΔH>0D ．“馏酒”的原理即实验操作中的“蒸馏”2.化学学科的学习有助于我们实现“德智体美劳”的全面发展目标。

下列实践项目相关的化学知识描述不正确的是选项实践项目化学知识A 德：废书废纸不随意丢弃，整理后进行回收处理纸张的原料中含纤维素高分子B 体：剧烈运动大量出汗后，喝淡盐水补充体力淡盐水属于电解质C 美：美术课上用铅笔勾勒出写意山水画铅笔芯的石墨属于混合型晶体D劳：制作豆腐时可用石膏、氯化镁进行点卤石膏、氯化镁作凝固剂可使豆浆聚沉3．下列示意图或图示正确的是A ．基态铍原子价电子云图B ．4NH +的结构式C ．丙氨酸的手性异构体D ．HF 分子间的氢键4．Fe HCN 、与23K CO 在一定条件下发生如下反应：Fe+6HCN+2K 2CO 3=K 4Fe(CN)6+H 2↑+2CO 2↑+2H 2O ，下列说法正确的是A ．依据反应方程式可知：()()1a a 23K HCN K H CO >B ．键角：2232CO CO H O->>C ．1mol HCN 分子中含有π键的数目为236.0210⨯D ．配合物()46K Fe CN 的中心离子的价层电子中有5个未成对电子5．某小组探究NH 3的催化氧化，实验装置如图，③中气体颜色无明显变化，④中收集到红棕色气体，一段时间后产生白烟。

2019-2020学年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)(有答案)

江西省九江市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣74．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=05．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，若S672=2，S1344=12，则S2016=（）A．22 B．26 C．30 D．346．设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S=2，即5个数据的方差为2B．S=2，即5个数据的标准差为2C．S=10，即5个数据的方差为10D．S=10，即5个数据的标准差为107．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π）满足f（n）=，则f（1）=（）8．已知函数f（n）（n∈N+A．97 B．98 C．99 D．1009．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．3211．若函数f（x）=cosx+axsinx，x∈（﹣，）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，0）12．如图所示，已知椭圆C： =1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点，且为定值，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=_______．14．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f（2x）•ln（2x+1）的定义域为_______．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =_______．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列．（1）若+=，求角B 的值；（2）若△ABC 外接圆的面积为4π，求△ABC 面积的取值范围．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x 1，y 1）（i=1，2，…6）如表所示：试销价格x （元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y （件） b8483 807568已知变量x ，y 具有线性负相关关系，且x i =39，y i =480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a ，b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，PA=PC ，PB=PD=AB ．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由；（2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ．（1）证明：DB=DC ；（2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数，α∈（0，）），以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点M ，求点M 的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．江西省九江市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】利用指数函数的单调性求出集合N中的解集；利用交集的定义求出M∩N．【解答】解：N={x|2x＞1}={x|x＞0}∵M={x|x＜1}，∴M∩N={X|0＜X＜1}故选D2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为：a+bi的形式，求出对应点的坐标即可．【解答】解：．对应点的坐标（）在第三象限．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合向量的加法与减法法则把表示出来，并根据向量的数量积运算法则计算即可．【解答】解：，故选：D．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C 的圆心C （1，2），设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2，由坐标原点到直线l 的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l 的方程．【解答】解：圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心C （1，2），∵直线l 经过圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，∴当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=1，此时坐标原点到直线l 的距离为1，不成立；当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2，且=，解得k=﹣，∴直线l 的方程为y=﹣（x ﹣1）+2，即x+2y ﹣5=0．故选：C ．5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 672=2，S 1344=12，则S 2016=（） A ．22 B ．26 C ．30 D ．34 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列，由此能求出S 2016．【解答】解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 672=2，S 1344=12，由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列，得到：2×10=2+S 2016﹣12，解得S 2016=30．故选：C ．6．设x 1=18，x 2=19，x 3=20，x 4=21，x 5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是（）A ．S=2，即5个数据的方差为2B ．S=2，即5个数据的标准差为2C ．S=10，即5个数据的方差为10D ．S=10，即5个数据的标准差为10【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵跳出循环的i值为5，∴输出S=×[（18﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（22﹣20）2]=×（4+1+0+1+4）=2．故选：A．7．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π【考点】轨迹方程．【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根据圆的周长公式进行计算即可求解．【解答】解：由题意，轨迹为四条线段加四个四分之一的圆．如图，四个角上的图形合起来刚好是一个半径为0.5的圆，周长为：2π×0.5=π，再加上四个边上滑动为四个等长的线段，长度均为2，合起来就是：2×4+π=8+π．故选：B．8．已知函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，则f（1）=（）+A．97 B．98 C．99 D．100【考点】函数的值．【分析】由已知条件，利用分段函数的性质推导出f（96）=f[f=97，由此能求出f（1）的值．【解答】解：∵函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，+∴f=f[f=98，f（98）=f[f=97，f（97）=f[f=98，f（96）=f[f=97，依此类推，得f（99）=f（97）=…=f（1）=98．故选：B．9．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出A、B入住同一标间包含的基本事件个数，由此能求出A、B入住同一标间的概率．【解答】解：某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间，共有种情形，A、B入住同一标间有种情形，∴A、B入住同一标间的概率为．故选：B．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1，即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ，即可得出．【解答】解：如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1，即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ， ∴．故选：C ．11．若函数f （x ）=cosx+axsinx ，x ∈（﹣，）存在零点，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，0）【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定函数是偶函数，a ＜0，f （x ）在上只有一个零点，即可得出结论．【解答】解：∵f （﹣x ）=cos （﹣x ）﹣axsin （﹣x ）=cosx+axsinx=f （x ）， ∴函数是偶函数，当a ≥0时，恒成立，函数无零点，当a ＜0时，，∴函数f （x ）在上单调递减，∵，∴f （x ）在上只有一个零点，由f （x ）是偶函数可知，函数恰有两个零点．故选：D ．12．如图所示，已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），⊙O ：x 2+y 2=b 2，点A 、F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O 上的动点，且为定值，则椭圆C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P （x 1，y 1），由是常数，得，然后利用，转化为关于x 1 的方程，由系数相等可得a ，c 的关系式，从而求得椭圆C 的离心率．【解答】解：设F （﹣c ，0），c 2=a 2﹣b 2，设P （x 1，y 1），要使得是常数，则有，λ是常数，∵，∴，比较两边系数得b 2a 2=λ（b 2+c 2），a=λc，故c （b 2+a 2）=a （b 2+c 2），即2ca 2﹣c 3=a 3，即e 3﹣2e+1=0，即（e ﹣1）（e 2+e ﹣1）=0，又0＜e ＜1， ∴．故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=2．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，求得实数a 的值．【解答】解：由题意可得二项展开式的第三项系数为，∴10a 3=80，解得a=2，故答案为：2．14．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，可得f （2x ）的定义域为满足﹣2≤2x ≤2的x 的取值集合，再与2x+1＞0的解集取交集即可得到函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得．∴函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．故答案为：．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =．【考点】数列递推式．【分析】利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．【解答】解：当n=1时，2S 1=a 1a 2，即2a 1=a 1a 2，∴a 2=2．当n ≥2时，2S n =a n a n+1，2S n ﹣1=a n ﹣1a n ，两式相减得2a n =a n （a n+1﹣a n ﹣1）， ∵a n ≠0，∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴{a 2k ﹣1}，{a 2k }都是公差为2的等差数列，又a 1=1，a 2=2， ∴{a n }是公差为1的等差数列， ∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ， ∴S n =．故答案为：．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设棱锥底面边长为a，高为h，作过棱锥的高和斜高的截面，根据三角形相似得出a，h的关系，代入棱锥的体积公式，利用导数求出体积的最小值．【解答】解：设正三棱锥P﹣ABC的底面边长AB=a，高为PO=h．设内切球球心为M，与平面PAC的切点为N，D为AC的中点，则MN⊥PD．DO==．MN=1，PM=h﹣1，∴PN===．∵Rt△PMN∽Rt△PDO，∴，即，∴a=．∴，，令V'=0得h=4，故当h=4时，．故答案为8．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由切化弦、两角和的正弦公式化简式子，由等比中项的性质、正弦定理列出方程，即可求出sinB，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；（2）由余弦定理和不等式求出cosB的范围，由余弦函数的性质求出B的范围，由正弦定理和三角形的面积公式表示出△ABC面积，利用B的范围和正弦函数的性质求出△ABC面积的范围．【解答】解：（1）由题意得，，∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sinAsinC，∵A+C=π﹣B，∴sin（A+C）=sinB，得，即，由b2=ac知，b不是最大边，∴．（2）∵△ABC外接圆的面积为4π，∴△ABC的外接圆的半径R=2，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得，又b2=ac，∴，当且仅当a=c时取等号，∵B为△ABC的内角，∴，由正弦定理，得b=4sinB，∴△ABC的面积，∵，∴，∴．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x1，y1）（i=1，2，…6）如表所示：试销价格x（元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y（件） b 84 83 80 75 68已知变量x，y具有线性负相关关系，且xi =39， yi=480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a，b的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）xi =39， yi=480，x的和为39，y的和为480，解得a和b的值，并求得，，由x，y具有线性负相关关系，甲同学的不对，将，，代入验证，乙同学的正确；（2）分别求出有回归方程求得y值，与实际的y相比较，判断是否为“理想数据“，并求得ξ的取值，分别求得其概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，且xi=39，4+5+6+7+a+9=39，a=8，y=480，b+84+83+80+75+68=480，b=90，i∵=6.5，=80，将，，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：y=﹣4x+106；（2）X 4 5 6 7 8 9y 90 84 83 80 75 68y 92 88 84 80 76 72“理想数据“的个数ξ取值为：0，1，2，3；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．“理想数据“的个数ξ的分布列：X 0 1 2 3P =数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1.5．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=PC，PB=PD=AB．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接PO，根据三线合一得出PO⊥AC，PO⊥BD，故而PO⊥平面ABCD，得出平面PAC⊥平面ABCD；（2）以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB=2，求出和平面PCD的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接PO，∵ABCD为菱形，∴O为AC，BD的中点．∵PA=PC，PB=PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD．又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，AC⊥BD，不妨设PB=PD=AB=2，则BO=，∴PO=1．以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，∴P（0，0，1），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）．∴=（，0，﹣1），=（0，1，﹣1），=（﹣，0，﹣1）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即．令x=1得=（1，﹣，﹣）．∴cos＜＞===．∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出A ，B 坐标，利用导数解出切线方程，求出切线与x 轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p ；（2）计算k OA •k OB =﹣4，设出MN 方程，求出MN 与x 轴的交点，联立方程组，根据根与系数的关系计算|y M ﹣y N |，得出△OMN 面积S 关于t 的函数，解出函数的最值．【解答】解：（1）抛物线的焦点坐标为F （，0），∴，由，得，∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线卸斜率为﹣1， ∴抛物线过A 点的切线方程为y ﹣p=x ﹣，令y=0得x=﹣． ∴，解得p=2．∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．（2）k OA =2，k OB =﹣2，∴k OA •k OB =﹣4，设，则，∴y 1y 2=﹣4．令直线MN 的方程为x=ty+n ，联立方程组消去x 得：y 2﹣4ty ﹣4n=0，则y 1y 2=﹣4n ，y 1+y 2=4t ，∵y 1y 2=﹣4，∴n=1．即直线MN 过点（1，0）． ∴．∵t 2≥0，∴S △OMN ≥2．综上所示，△OMN 面积的取值范围是[2，+∞）．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由；（2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f （x ），g （x ）的导数，设出切点，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，即可判断存在a=e ﹣1及l ：y=ex ；（2）求出F （x ）的解析式和导数，令，求出导数，判断单调性，再对a 讨论，分a ≤2，a ＞2，判断h （x ）的单调性，进而得到F （x ）的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：（1）g （x ）的导数为g'（x ）=e x ，设曲线y=g （x ）在点处切线过原点，则切线方程为，由点在切线上，可得，解得x 1=1，即有切线方程为y=ex ，设直线y=ex 与曲线y=f （x ）切于点（x 2，y 2），由f （x ）的导数为，可得，即有，又，则，可得，解得x 2=1，a=e ﹣1．故存在a=e ﹣1及l ：y=ex ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切．（2），，令，则，易知h'（x ）在（0，1]上单调递减，从而h'（x ）≥h'（1）=2﹣a ．①当2﹣a ≥0时，即a ≤2时，h'（x ）≥0，h （x ）在区间（0，1]上单调递增，由h （1）=0，可得h （x ）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x ）≤0在（0，1]上恒成立．即F （x ）在区间（0，1]上单调递减，则a ≤2满足题意；②当2﹣a ＜0时，即a ＞2时，由h'（1）=2﹣a ＜0，当x ＞0且x→0时，h'（x ）→+∞，故函数h'（x ）存在唯一零点x 0∈（0，1]，且h （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1）上单调递减，又h （1）=0，可得F （x ）在（x 0，1）上单调递增．注意到h （e ﹣a ）＜0，e ﹣a ∈（0，x 0），即有F （x ）在（0，e ﹣a ）上单调递减，这与F （x ）在区间（0，1]上是单调函数矛盾，则a ＞2不合题意．综合①②得，a 的取值范围是（﹣∞，2]．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ．（1）证明：DB=DC ；（2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（2）由（1）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到线段BF的长【解答】（1）证明：连接DE交BC于点G，由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DE⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（2）解：设DE与BC相交于点G，由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，故DG是BC的中垂线．∵，∴．连接BO，∵圆O的半径为1，∴∠BOG=60°，∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，∴CF⊥BF．，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈（0，）），以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l与曲线C有且仅有一个公共点M，求点M的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C 的直角坐标方程．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=0，解出即可得出点M的直角坐标．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2=0，即（x﹣2）2+y2=4．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=（6cosα）2﹣20=0，解得．∴点M的直角坐标为．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．线段AB的中点对应的参数为．则，解得．∴直线l的普通方程为x﹣y+1=0．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，分类讨论，转化为|f（x）|≥2，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2＜1，不成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|＜1，∴﹣＜x＜；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|＞1，不成立，综上所述不等式|f（x）|＜1的解集为{x|﹣＜x＜}；（2）a=0时，不等式成立，a≠0时，|f（x）|≥||1﹣|﹣|1+||∵||1﹣|﹣|1+||＜2，∴|f（x）|≥2，x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2，成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|≥2，∴x=±1；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|=2，成立，综上所述实数x的取值范围为{x|x≤﹣1或x≥1}．。

江西师大附中高三三模数学试卷_201405

江西师大附中高三年级三模数学（理）试卷命题人：曾敏审题人：朱涤非 2014.5一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数z 满足(1)1z i +=，则z 的共轭复数z 对应的点位于（） A ．第一象限Ｂ．第二象限C ．第三象限Ｄ．第四象限2．设集合2{(3)30}A x x a x a =-++=，2{540}B x x x =-+=，集合A B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为（） A ．{0} B ．{03}，C ．{013,4}，，D ．{13,4}，3．已知命题p ：存在x R ∈，使得10lg x x ->；命题q ：对任意x R ∈，都有20x >，则（）A ．命题“p 或q ”是假命题B ．命题“p 且q ”是真命题C ．命题“非q ”是假命题D ．命题“p 且‘非q ’”是真命题4．若直线3(1)10x a y ++-=与直线210ax y -+=互相垂直，则251()ax x-+展开式中x 的系数为（） A ．40B ．10-C ．10D ．40-5．已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=（）A ．B ．C ．D ． 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )'ln 1x x x =+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为（）A ．33B ．46C ．48D ．507．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为（）A ．913p B ．113p C ．169p D ．169p8．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）9．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20062x y x y x ，若目标函数y mx z +-=的最大值为102+-m ，最小值为22--m ，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2,3] B ．[2,1]- C ．[1,2]-D ．[1,3]-10．已知函数()2g x x a x x =-+，若存在[]23a ∈-，，使得函数()y g x at =-有三个零点，则实数t 的取值范围是（） A.95,42⎛⎫⎪⎝⎭B.252,12⎛⎫⎪⎝⎭C. 92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上． 11. 某程序框图（即算法流程图）如右图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为_______.12. 如右表中的数阵，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为ij a ，则数字41在表中出现的次数为 . 13．已知||1OA =，||1OB =，23AOB π∠=， 1124OC OA OB =+，则OA 与OC 的夹角大小为． 14. 设A 是双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>在第一象限内的点，F 为其右焦点，点A 关于原点O 的对称点为,B 若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则双曲线离心率的取值范围是 .三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答. 若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.15.（1）直线l 的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），圆C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是（）A ．2B ．2C ．3 D．（2）设()21T x x =-，若不等式()121a T x a a ≥+--对任意实数0a ≠恒成立，则x 的取值范围是（）A ．(,1][2,)-∞-+∞B ．(,0][1,)-∞+∞C ．[0,1]D ．[1,2]-... ... ... ... ... ... ...7 13 19 25 31 37 ...6 11 16 21 26 31 ...5 9 13 17 21 25 ... 4 7 10 13 16 19 ... 3 57 9 11 13 ...2 3 4 5 6 7 ...四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,A B C ,所对的边分别为,,a b c ，且(cos cos )cos2cos a B b A C c C +=⋅. （1）求角C ；（2）若2b a =，ABC ∆的面积sin S A B =⋅，求sin A 及边c 的值．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11=a ，且对于任意+∈N n 都有n n S na 21=+。

2020年江西师大附中高考数学三模试卷(理科)(有解析)

2020年江西师大附中高考数学三模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−4x+3=0}，B={y|y=−x2+2x+2,x∈R}，全集U=R，则A∩(∁U B)=()A. ⌀B. [1,3]C. {3}D. {1,3}2.若复数z=1+mi在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()1+iA. (−1,1)B. (−1,0)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)3.在△ABC中，已知sinA=2cosB·sinC，则△ABC的形状是()A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不确定4.不等式x2−x−2<0成立的一个充分不必要条件是a<x<a2+1，则a的取值范围为()A. −1≤a≤1B. −1≤a<1C. −1<a<1D. −1<a≤15.若a，b，c∈R，a>b且a>c，则下列不等式一定成立的是()A. b>cB. ac>bcC. a2>bcD. a>b+c26.已知点M为双曲线C：x2−y2=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|−8|MF2|=()A. 1B. 4C. 6D. 87.某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高，2019年全年总收入与2018年全年总收入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生相应变化，下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法错误的是()A. 该企业2019年研发的费用与原材料的费用超过当年总收入的50%B. 该企业2019年设备支出金额及原材料的费用均与2018年相当C. 该企业2019年工资支出总额比2018年多一倍D. 该企业2018年与2019年研发的总费用占这两年总收入的20%8. 一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，那么此几何体的表面积(单位：cm 2)是( )A. 102B. 128C. 144D. 1849. 函数f(x)=1+ln (x 2+2)的图象大致是( )A.B.C.D.10. 我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为√2:1，在东方文化中常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用，已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台之间高度差为100米，则下面选项中与该塔的实际高度最接近的是( )A. 400米B. 480米C. 520米D. 600米11. 已知点F 是抛物线y 2=8x 的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线AB 的斜率为A. ±2B. ±√33C. ±43D. ±3412. 若lga +lgb =0(a ≠1,b ≠1)，则函数f(x)=a x 与g(x)=b x 的图象( )A. 关于直线y =x 对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于原点对称二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若(x −4x )n 的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为______．14.已知向量b⃗ =(1,√3)，向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为1，则a⃗⋅b⃗ =________．215.正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是上底面ABCD中心，若棱长为a，则三棱锥O−AB1D1的体积为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知一扇形的圆心角是a，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C>0)，当a为弧度时，该扇形有最大面积，最大面积为．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.记数列{a n}的前n项和为T n，且{a n}满足a1=1，a n=3n−1+a n−1(n≥2)．(1)求a2、a3的值，并求数列{a n}的通项公式a n；(2)证明：T n=3 a n−n．218.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA=PB，求二面角A−PC−D的余弦值．19.已知椭圆W：x2+y2=1，直线l过点(0,−2)与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点．4(Ⅰ)设C为AB的中点，当直线l的斜率为3时，求线段OC的长；2(Ⅱ)当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．20.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如下表：求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2015年为x=1，2016年为x=2，……依次类推)的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；(2)在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A、B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p、q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X．(i)求X的分布列及E(X)；(ii)已知每个订单由k(k ≥2,k ∈N ∗)件商品W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W 数量为Y ，假设p =7sin πk4k−πk 2,q =sinπk4k，求E(Y)取最大值时正整数k 的值．附：回归方程y ̂=b ̂x +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑x i y i −nx⋅y ni=1∑x i2−nx2n i=1=i −x )(i −y )n i=1∑(x −x )2n a =y −b̂x ．21. 已知函数f(x)=ae x −sinx ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(Ⅰ)当a =1时，证明：对∀x ∈[0,+∞)，f(x)≥1； (Ⅱ)若函数f(x)在(0,π2)上存在极值，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ−4ρsinθ=12，直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =2+tsinα(t 为参数).点P 为曲线E 上的动点，点Q 为线段OP 的中点． (1)求点Q 的轨迹(曲线C)的直角坐标方程；(2)若直线l交曲线C于A，B两点，点M(−1,2)恰好为线段AB的三等分点，求直线l的普通方程．23.设函数f(x)=|x+m|+|2x+1|．(Ⅰ)当m=−1，解不等式f(x)≤3；(Ⅱ)求f(x)的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．解：集合A={x|x2−4x+3=0}={1,3}，B={y|y=−x2+2x+2,x∈R}={y|y=−(x−1)2+3}={y|y≤3}，全集U=R，∴∁U B={y|y>3}，∴A∩(∁U B)=⌀．故选：A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算，再由实部大于0且虚部小于0列式求解．解：∵z=1+mi1+i =(1+mi)(1−i)(1+i)(1−i)=1+m2+m−12i在复平面内对应的点在第四象限，∴{1+m2>0m−12<0，解得−1<m<1．∴实数m的取值范围是(−1,1)．故选：A．3.答案：B解析：直接利用两角和与差的三角函数化简表达式，求解即可．本题考查三角形的判断与应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．解：sinA=2cosB·sinC，可得：sin(B+C)=2cosB·sinC，即：sinBcosC+cosBsinC=2cosB·sinC，sin(B −C)=0，∵B ，C 是三角形的内角，可得：B =C ， ∴△ABC 为等腰三角形；故选B ．4.答案：D解析：解：由不等式x 2−x −2<0，得−1<x <2．∵不等式x 2−x −2<0成立的一个充分不必要条件是a <x <a 2+1， ∴(a,a 2+1)⫋(−1,2)，则{a <a 2+1a ≥−1a 2+1≤2且a ≥−1与a 2+1≤2的等号不同时成立，解得−1<a ≤1． ∴a 的取值范围为−1<a ≤1．故选：D ．求解一元二次不等式可得x 2−x −2<0的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解．本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．5.答案：D解析：本题考查了不等式的基本性质，属基础题．根据同向不等式的可加性得2a >b +c ，再除以2即可得．解：∵a >b ，a >c ，∴a +a >b ++c ，即2a >b +c ，所以a >b+c 2，故选：D ．6.答案：B解析：本题考查双曲线的几何性质，由条件求得a ，b ，c ，再结合双曲线的定义求得结果．解：双曲线C ：x 2−y 28=1，可得a =1，b =2√2，c =3，点M 为双曲线C ：x 2−y 28=1的左支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则|MF 1|+|F 1F 2|−|MF 2|=−2a +2c =4．故选B．7.答案：B解析：本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的计算，属基础题．先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的计算，逐一检验即可得解．由折线图可知：不妨设2018年全年的收入为t，则2019年全年的收入为2t．对于选项A，该企业2019年研发费用为0.25×2t=0.5t，2019年原材料费用为0.3×2t=0.6t，当年总收入的50%为t，t<1.1t，故A正确；对于选项B，该企业2019年设备支出金额0.2×2t=0.4t，2019年原材料费用为0.3×2t=0.6t，该企业2018年设备支出金额0.4×t=0.4t，2018年原材料费用为0.15×t=0.15t，故B错误；对于选项C，该企业2019年工资支出为0.2×2t=0.4t，2018年工资支出为0.2×t=0.2t，故C正确；对于选项D，该企业2019年研发费用为0.25×2t=0.5t，2018年研发费用为0.1×t=0.1t，合计0.6t=3t×0.2，故D正确．故选：B．8.答案：C解析：解：由三视图知几何体为正四棱锥，且底面正方形的边长为8，斜高为5，其直观图如图：×8×5=144．∴几何体的表面积S=82+4×12故选C．9.答案：D解析：本题主要考查函数的图象，属于基础题.利用特殊点即可求解．解：因为f(0)=1+ln2>0，即函数f(x)的图象过点(0,ln2)，所以排除A、B、C，故选D．10.答案：B解析：本题考查了函数模型的应用，设第一展望台到塔底的高度为x米，则100+xx=√2，得出x，设塔的实际高度为y米，则yx+100=√2，解出即可．解：设第一展望台到塔底的高度为x米，则100+xx=√2，x=100(√2+1)；设塔的实际高度为y米，则yx+100=√2，故塔高y=(x+100)√2=200(√2+1)≈480米，即塔高约为480米．故选B．11.答案：C解析：本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成4：1的比，求直线的斜率k，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题．解：作出抛物线的准线l：x=−2，当A在第一象限，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E，∴设AF=4m，BF=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC=4m，BD=m，因此，在RT△ABE中，AE=3m，AB=5m，则BE=4m，∴tan∠BAE=BEAE =4m3m=43，即直线AB的斜率为43，同理当A在第四象限时，直线AB的斜率为−43，所以，直线AB的斜率为±43，故选C．12.答案：C解析：由条件lga+lgb=0(a≠1,b≠1)，得ab=1，即b=1a (a>0,b>0)，所以g(x)=(1a)x=a−x，易知函数f(x)=a x与g(x)=a−x的图象关于y轴对称，故正确答案为C.13.答案：96解析：解：在(x−4x)n中，令x=1可得，其展开式中各项系数和为(−3)n，结合题意可得(−3)n=81，解得n=4．∴(x−4x )n的展开式的通项公式为：T r+1=C4r x4−r(−4x)r=(−4)r⋅C4r⋅x4−2r，令4−2r=0，解得r=2．∴常数项为C42×(−4)2=96．故答案为：96．由已知可得n的值，写出二项式(x−4x)n的通项，令x的指数为0，可得r的值，则答案可求．本题考查二项展开式的通项公式的运用．解决二项展开式的特定项问题，二项展开式的通项公式是常用工具，是基础题．14.答案：1解析：本题考查向量的数量积的应用，向量的投影，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用向量的数量积公式得到向量的投影，列出方程求出a⃗ ⋅b⃗ ．解：∵b⃗ =(1,√3)，∴|b⃗ |=√12+(√3)2=2，a⃗在b⃗ 上的投影=a⃗ ⋅b⃗|b⃗|∴12=a⃗⋅b⃗|b⃗ |∴a⃗⋅b⃗ =12|b⃗ |=1．故答案为1．15.答案：16a3解析：解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，棱长为a，∴对角线AC⊥平面BDD1B1，∴三棱锥O−AB1D1的体积为V三棱锥O−AB1D1=13⋅S△OB1D1⋅AO=13⋅12B1D1⋅BB1⋅AO=13⋅12⋅√2a⋅a⋅√22a=16a3．故答案为：16a3．画出图形，容易得出三棱锥O−AB1D1的底面△OB1D1的面积，高AO的大小，从而求出三棱锥的体积．本题以正方体为载体，考查了三棱锥的体积，解题的关键是选取适当的底面与高，是基础题．16.答案：2C216解析：由题意知：C=2R+a⋅R，则a=C−2RR =CR−2，S扇=12a⋅R2=12(CR−2)⋅R2=−R2+C2R=−(R−C4)2+C216，当R=C4，即a=CC4−2=2时，该扇形有最大面积C216．17.答案：(1)解：∵{a n}满足a1=1，a n=3n−1+a n−1(n≥2)，∴a2=3+a1=4，a3=32+a2 =13．a n−a n−1=3n−1，∴a n=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(a n−a n−1)=1+3+32+⋯+3n−1=1−3n1−3=3n2−12．∴数列{a n}的通项公式a n=3n2−12．(2)证明：∵a n=3n2−12，∴T n=12[(3−1)+(32−1)+(33−1)+⋯+(3n−1)]=12[(3+32+33+⋯+3n)−n]=12[3(1−3n)1−3−n]=12[3(3n−1)2−n]=3a n−n2，∴T n=3 a n−n2．解析：(1)由已知依次令n=1和n=2，能求出a2、a3的值，再利用累加法能求出{a n}的通项公式．(2)利用分级求和法结合等比数列前n项和公式能证明T n=3 a n−n2．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的证明，是中档题，解题时要注意累加法、分组求和法和等比数列的性质的合理运用．18.答案：解：(1)证明：取AB的中点O，连接AC，CO，PO，由ABCD 是边长为2的菱形，可得AB =BC =2，又∠ABC =60°，可得△ABC 为等边三角形，即有CO ⊥AB ，OC =√3，由PA ⊥PB ，可得OP =12AB =1，而PC =2，由OP 2+OC 2=12+(√3)2=22=PC 2，可得CO ⊥OP ，而AB ∩OP =O ，可得CO ⊥平面PAB ，又OC ⊂平面ABCD ，即有平面PAB ⊥平面ABCD ； (2)由PA =PB ，可得PO ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD ，直线OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OC ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，则O(0,0，0)，A(0,−1,0)，P(0,0，1)，B(0,1，0)， C(√3,0，0)，D(√3,−2,0)，可得PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，设平面APC 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面DPC 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，由{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得{y 1+z 1=0√3x 1−z 1=0，取z 1=√3，可得n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√3)，由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得{2y 2=0√3x 2−z 2=0，取x 2=√3，可得n 2⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，3)，由题意可得二面角A −PC −D 为锐角，记为θ，则cosθ=|cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >|=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+3√3√7⋅√12=2√77．即有二面角A −PC −D 的余弦值为2√77．解析：本题考查面面垂直的判定，注意运用判定定理和线面垂直的判定，考查二面角的余弦值的求法，注意运用空间向量法，建立坐标系，求得法向量及夹角的余弦值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)取AB 的中点O ，连接AC ，CO ，PO ，运用菱形和等边三角形的性质，以及线面垂直的判定定理，可得CO ⊥平面PAB ，再由面面垂直的判定定理即可得证；(2)由面面垂直的性质定理，可得直线OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OC ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，分别求得O ，A ，P ，B ，C ，D ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，设平面APC 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面DPC 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，运用向量垂直的条件：数量积为0，求得一个法向量，再由向量的夹角公式计算即可得到所求值．19.答案：解：(Ⅰ)当直线l 的斜率为32时，直线l 的方程为y =32x −2.…(1分)代入椭圆方程得5x 2−12x +6=0，…(2分) 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 0,y 0). 则x 1+x 2=125，…(3分)所以点C 的坐标x 0=65，y 0=32x 0−2=−15，…(4分) 所以|OC|=√(65)2+(−15)2=√375.…(5分)(Ⅱ)设直线l ：y =kx −2，由{x 24+y 2=1y =kx −2得(1+4k 2)x 2−16kx +12=0，…(6分) 所以△=(16k)2−48(1+4k 2)=16(4k 2−3)…(7分) x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2.…(8分) |AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(16k 1+4k 2)2−4×121+4k 2=4√1+k 2√4k 2−31+4k 2.…(10分)原点O 到直线l 的距离d =√1+k 2…(11分)所以△OAB 面积为12|AB|d =12×4√1+k 2√4k2−31+4k 2⋅√1+k2=4√4k 2−31+4k 2．因为△OAB 面积等于1，所以4√4k2−31+4k 2=1，…(12分)解得k =±√72，…(13分)带入判别式检验，符合题意，所以k =±√72.…(14分)解析：(Ⅰ)当直线l 的斜率为32时，直线l 的方程为y =32x −2，代入椭圆方程，求出C 的坐标，即可求线段OC 的长；(Ⅱ)设直线l ：y =kx −2，代入椭圆方程，利用△OAB 面积等于1时，求直线l 的斜率．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)由已知可得：x =1+2+3+4+55=3，y =9+12+17+21+275=17.2，∑x i 5i=1y i =1×9+2×12+3×17+4×21+5×27=303，∑x i 25i=1=12+22+32+42+52=55，所以b ̂=∑x i 5i=1y i −5x⋅y ∑x i i=1−5x2 =303−5×3×17.255−5×32=4510=4.5，所以a =y −b̂x =17.2−4.5×3=3.7，所以y ̂=b̂x +a =4.5x +3.7，当x =6时，y =4.5×6+3.7=30.7(百亿元)，所以估计2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7(百亿元)． (2)(i)由题知，X 的可能取值为：0，1，2， P(X =0)=(1−p)(1−q)， P(X =1)=(1−p)q +(1−q)p ， P(X =2)=pq ，所以X 的分布列为：E(X)=0×(1−p)(1−q)+(p +q −2pq)+2pq =p +q ． (ii)因为Y =KX ，所以E(Y)=kE(X)=k(p +q)=k(7sin πk4k−πk 2+sinπk4k)=2sin πk −πk ，令t =1k ∈(0,12]，设f(t)=2sinπt −πt ，则E(Y)=f(t)，因为f′(t)=2πcosπt −π=2π(cosπt −12)，且πt ∈(0,π2]，所以，当t ∈(0,13)时，f′(t)>0，所以f(t)在区间(0,13)上单调递增; 当t ∈(13,12)时，f′(t)<0，所以f(t)在区间(13,12)上单调递减; 所以，当t =13，即k =3时， f(t)≤f(13)=√3−π3(百亿元) 所以E(Y)取最大值时k 的值为3．解析：本题考查了回归直线方程、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望和利用导数研究闭区间上函数的最值，是较难题．(1)先得出公式计算b̂和a ，可得线性回归方程，当x =6时可得预测值； (2)(i)由题知，X 的可能取值为：0，1，2，得出对应的概率，即可得出分布列和数学期望； (ii)因为Y =KX ，所以E(Y)=kE(X)=k(p +q)=2sin πk −πk ，令t =1k ∈(0,12]，设f(t)=2sinπt −πt ，利用导数研究最值即可．21.答案：解：(Ⅰ)a =1时，f(x)=e x −sinx ，f′(x)=e x −cosx ，∵x ∈[0,+∞)，∴e x ≥1，而cosx ≤1，故f′(x)≥0，f(x)在[0,+∞)递增，故f(x)≥f(0)=1； (Ⅱ)f′(x)=ae x −cosx ，若函数f(x)在(0,π2)上存在极值，则方程a =cosx e x有解，令ℎ(x)=cosx e x ，则ℎ′(x)=−(sinx+cosx)e x<0，x ∈(0,π2)，故ℎ(x)在(0,π2)递减，而x →0时，ℎ(x)→ℎ(0)=1， x →π2时，ℎ(x)→ℎ(π2)=0，故ℎ(x)∈(0,1)，故a ∈(0,1)．解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，考查转化思想，是一道综合题．(Ⅰ)代入a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可； (Ⅱ)求出函数的导数，问题转化为方程a =cosx e x有解，令ℎ(x)=cosx e x，根据函数的单调性求出ℎ(x)的范围，从而求出a 的范围．22.答案：解：(Ⅰ)设点Q ，P 的极坐标分别为(ρ,θ)，(ρ0,θ0)，则ρ02+4ρ0cosθ0−4ρ0sinθ0=12且ρ0=2ρ，θ0=θ，所以(2ρ)2+4⋅(2ρ)cosθ−4⋅(2ρ)sinθ=12所以点Q 轨迹的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=3．故点Q 轨迹的直角坐标方程为x 2+y 2+2x −2y =3． (Ⅱ)由(Ⅰ)得曲线的直角坐标方程为(x +1)2+(y −1)2=5，将直线参数方程代入曲线的方程得(tcosα)2+(1+tsinα)2=5，即t 2+2tsinα−4=0，由题意不妨设方程两根为−t ，2t ，所以{−t +2t =−2sinα−t ×2t =−4即{t =−2sinαt 2=2，所以sin 2α=12⇒cos 2α=12，又sinα与cosα在一三象限同号，二四象限异号，所以直线的斜率k =tanα=±1，又直线过M(−1,2) 故直线的普通方程为x −y +3=0或x +y −1=0．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)当m =−1时，不等式f(x)≤3，可化为|x −1|+|2x +1|≤3．当x ≤−12时，−x +1−2x −1≤3，∴x ≥−1，∴−1≤x ≤−12；当−12<x <1时，−x +1+2x +1≤3，∴x ≤1，∴−12<x <1；当x ≥1时，x −1+2x +1≤3，∴x ≤1，∴x =1；综上所得，−1≤x ≤1． (Ⅱ)f(x)=|x +m|+|2x +1|=|x +m|+|x +12|+|x +12|≥|(x +m)−(x +12)|+|x +12|=|m −12|+|x +12|，当且仅当(x +m)(x +12)≤0时等号成立．又因为|m −12|+|x +12|≥|m −12|，当且仅当x =−12时，等号成立．所以，当x =−12时，f(x)取得最小值|m −12|．解析：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义．(Ⅰ)当m =−1，化简不等式，通过x 的范围，取得绝对值符号，求解不等式f(x)≤3； (Ⅱ)利用绝对值的几何意义求解函数的最值即可．。

江西师大附中高三三模试卷数学理

A ・(0,1]B •(0,1)C • ( ,1]D • (,0]nt 1 1 1 贝V2na 4a 4 a 411 A.-B.—341n ) a 4 的值是（ )C .151 D .6江西省师大附中2010届高三年级三模试卷数学理命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组审核苑娜娜 2010.5 、选择题：本大题共要求的• 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 i •复数(i 等于( ) 1 2iA • iB • iC • 1D . 1 2 x 2•已知全集为 U = R,集合 A { x| y log 2x 2} , B {x | 0}，则 A v x 6A • { x | x 6 }B • {x | x 6}C . { x|4 x 6}D • {x|4 x 6} _ 2 ..3.函数f(x) (cotx 1)sin x 的最小正周期是() C U B =(A •—44.已知函数f(x)log 1(4xC •D ・2x 12 1)的值域是[0, ），则它的定义域可以是（ 1关于直线y x 1对称，过点C （ a,a ）的圆P 与y 轴相切,则圆心P 的轨迹方程为（ ) A ・y 2 4x 4y 8 0 B • C • y 2 4x 4y 8 0 D .6 •表面积为 16的球面上有三点 A 、B 、C , 两点间球面距离最大值分别为（ ) 5•若圆x 2 y 2 ax 2y 1 0 与圆 x 2 2 y A • 3, y 2 2x 2y 20 2y 2x y 1 0 / ACB = 60 ° AB = V 3，则球心到截面 ABC 的距离及 B 、C B • 3 , C • 3 , 2 D • 3,33 3 跳格游戏：如右图，人从格外只能进入第 1格，在格中每次可向前或2格，那么人从格外跳到第 8格的方法种数为（）A • 8种B . 13种C . 21 种D . 34种&函数y f(x 1) 3为奇函数， 2yf 1(x)是 yf(x) 的反函数，f(3) 0,则 f 1 ⑶=（）A •1B . 1C .2D . 29 •若多项式 (1 mx) a ° a 〔x a ? 2 x a m X m 满足：印 2 a ? 387 • ma m 80,210 •在数列｛a n｝中，若a n2an 1p（n 2, n N , p为常数），则称｛a.｝为等方差数列”下列是对等方差数列”的判断；①若｛a n｝是等方差数列，则｛a；｝是等差数列；②｛( 1)n｝是等方差数列；③若｛a n｝是等方差数列，则｛a“｝( k N *,k为常数)也是等方差数列;④若｛a n｝既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列其中正确命题序号为()A .①②③B .①②④C .①②③④D .②③④11 .下列命题中正确命题的个数是( )①经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行；②已知平面、，直线a、b,若I a, b a，则b ；③有两个侧面垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；④四个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱；⑤底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；⑥底面是等边三角形，/ APB = Z BPC = Z CPA,则三棱锥P —ABC是正三棱锥.A . 0 B. 1 C. 2 D. 312.若关于x的方程x|x a| a有三个不相同的实根，则实数a的取值范围为( )A. (4, )B. ( , 4) C . ( 4,4) D . ( , 4) U(4,)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.13 .已知a (1,1), |b | 1，则2a b在a方向上的投影取值范围是______________________2 214 .已知点(m, n)在直线xcos ysin 2上，贝U m n的最小值为 ___________ .15 .如图，过点A1作垂直于x轴的垂线交曲线2y x 4x 2于点R，又过点P作x轴的平行线交B1，记点B1关于直线y x的对称点为A2 ；……；依数列｛a n｝的各项分别为点列A n(n 1,2,3,)的横坐a1 1，贝H a n ___________________ .16 .以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||PA| |PB|| k，则动点P的轨迹为双曲线；uuv 1 uuv 1 muv②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB, O为坐标原点，若OP」0A」0B，则动点2 2圆；③抛物线x ay2(a 0)的焦点坐标是(丄,0);4a2 2 2 2④曲线L ' 1与曲线一」一 1 ( 35且10)有相同的焦点•16 9 35 10其中真命题的序号为_____________ 写出所有真命题的序号•y轴于点此类推•若标，且P的轨迹为椭三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.17 .(本小题满分12分)设厶ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, A B (0,_)，若b a cos(A B).2(1) 求证：tanB 耶；2tan A 1(2) 当tanB取最大值时，求cotC的值•18. (本小题满分12分)今天你低碳了吗？近来国内网站流行一种名为碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的碳排放量 (千克)=耗电度数＞0.785,汽车的碳排放量(千克)=油耗公升数XQ.785 等，某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查•若生活习惯符合低碳观念的称为低碳族”否则称为非低碳族”这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：(1)(2) A小区经过大力宣传，每周非低碳中有20%的人加入到低碳族的行列，如果两周后随机地从A小区中任选25个人，记表示25个人中的低碳族人数，求E和D .19. (本小题满分12分)设数列a n的前n项积为T n且T n 1 a n；数列b n的前n项和为S n且S n 1 b n.(1 )设G丄•①证明数列c n成等差数列；②求证数列a n的通项公式；Tn(2)若T n( nb n n 2) kn对n N恒成立，求实数k的取值范围•20. (本小题满分12 分)如图，在直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面 ABCD 是梯形 BC = 3, AD = 5, AE = 3, F 、G 分别为 (1) 求证：EF 丄平面BB I G ;(2) 求二面角 E — BB 1 — G 的大小.21 .(本小题满分12分)已知平面上两定点 C( 1,0),D (1, 0)和一定直线l : x 4 , P 为该平面上一动点，作 PQ l ，垂 umr uuu uuuuuu足为 Q ,且(PQ 2PC) (PQ 2PC) 0.(1)问点P 在什么曲线上，并求出曲线的轨迹方程 M ;(2 )又已知点A 为抛物线y 2 2px(p 0)上一点，直线 DA 与曲线M 的交点B 不在y 轴的右侧， uuu uuur 且点B 不在x 轴上，并满足 AB 2DA,求p 的最小值.22.(本小题满分14分)已知函数f(x) e x ( e 为自然对数的底数) ,g(x)ln( f(x) a) ( a 为常数)，g(x)是实数集R 上的奇函数.(1)求证：f (x) x 1(x R)；(2)讨论关于x 的方程：ln g(x) g(x)(x 2 2exm) (m R)的根的个数； nn*1 2 (3)设n N ,证明：丄- n3Lnn —( e 为自然对数的底数).nnn ne 1高三数学(理)三模答案CD 、C 1D 1的中点.4,1、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•二、填空题：本大题共 13. [2 -. 2 1,2 2 1]三、解答题：本大题共 4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上. 2n 1 14. 4 15. 3 2 16.③④6小题，共74分•解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 17.解析：(1)由正弦定理， sin B sin A (cosAcosB sin Asin B)2 (1 sin A)si nB si nA cosAcosB sin Acos A sin A cos A cosB 2sin Asin B tanB (2) tanB sin A cos A 21 sin A1 - ' 12 2sin A 12tanA2 2 ta nA 2 cos A 当且仅当2tan A 1 即 tan A tanA 此时，tan (A B) tanA tan B 1 tan Ata nB ■/ tan (A B) 2 记这4人中恰好有 1 1 1 14 -tanC ta nC 二 cotC 18.【解析】(1) 1 P(A)2 2 5 5(2)设A 小区有a 人, 2周后低碳族的概率 P 依题意tan A 2 2tan A 1 (0匚)辽时2时， 2 2 ~2 — tanB 的最大值 1 “ 2 4 、2 2人是低碳族为事件 14 111 33 2 2 5 52周后非低碳族的概率1旦 25 1725100(1 1)2 517:咛圻),所以E2517 2517, D 2517 25 258 25136 2519.【解(1) ①由人1a n得： T n 1-(n 2),T n 1T n 1T n1 1T nT n 1T n 1T n ,1，即5I n I n 1 Tn T n 1又 T 1 1 a 1 a 1,a 1 1 c 1122T 1•••数列c n 是以2为首项， 1为公差的等差数列c n 1② c n & n 1 2 n 1 n 1 , T n 1.，a n1T n• L⑶最大，且L(3)訴•实数k 的取值范围为洛). 20.【解析】(1)连接FG •/ F 、G 分别为CD 、C 1D 1的中点，• FG —.CC 1 •- B 、B 1、F 、G 四点共面.连接BF 并延长与AD 的延长线交于点H . •/ F 为CD 的中点，且BC // AD. • △ HFD 也△ BFC • DH = BC = 3• EH = DE + DH = 5. 又T BE = 5，且 F 为 BH 的中点.• EF 丄BF ，又T BB 1丄平面ABCD ，且EF 平面ABCD 内. •- BB 1丄EF • EF 丄平面 BB 1GF. 从而EF 丄平面 BB 1G.(2) 二面角E — BB 1— G 的大小等于二面角 F — BB 1— E 的大小 ••• EF 丄平面 FBB 1 且 EB 丄 BB 1 FB 丄 BB 1 即/ EBF 为二面角F — BB 1 — E 的平面角在厶 EFB 中，EB = 5, EF = 1DC 5 .• sin EBF —25•二面角E — BB 1 — G 的大小为arcsin 55解法2 :以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AA 1为y 轴，AD 为Z 轴建立空间直角坐标系，则 E( 0, 0, 3)、F(2, 0, 4)、G (2, 4, 4)、B (4, 0, 0)、B 1 (4, 4,LLIV LLILV ILIUV ，，(1) EF (2,0,1)、 BB 1 (0,4,0)、 B 1G ( 2,0,4) LLV LLLV LUV LULV ••• EF BB 1 0 , EF B 1G 4 4 0 • EF 丄 BB 1, EF 丄 B 1G • EF 丄平面 BB 1GLUV(2)T EF 丄平面BB 1G • EF (2,0,1)为平面BBQ 的一个法向量设平面EBB 1的一个法向量为n (x,y,z) LUV ULUV BE ( 4,0,3) BB 1 (0,4,0)V UUVnrtn BE 4x 3z 0 ― 卄则V LUIV 解得y 0,取z 4(2)T S nb n , S i 1 bibi…biS n 11 b n 1(n2)， Sn 0 1 b n 1 b n ， 2b n b n1(n 2)•••数列 b n 1是以1为首项, 2n 1 1 n 1为公比的等比数列• 21 ...............%) (2).••• T n (nb n …b n•- T n (b n2) kn 对 n 2 *-)k 对n N 恒成立，即N 恒成立设 f(n)… 1 n 1 •••当 n 设 g(n) n1 n 1 1n 2 N *时， n 2，贝V g(n 1) (『，则 f(n 1) 2 - n 2 f (n)单调递减. 1 1 n 1 (2) n(n 1) (1)n1k 对n N 恒成立0 ,• f(n) f (n1)•••当 1 设 L(n)n 1g(n 1) n(n 1) (n 1)(n 2)n 4时，g(n)单调递增；g(4)g(5)；当n g(n)5时, f(n) g(n),则 L(1) L(2) L(3) , L(3)L(4)n(n 1)(n2)g(n)单调递减L(5)L(6)EBF = arcsin55从而FG —BB 1n BB1 4y 0••• V (3,0,4)法二：设P(x, y)代入I PQ| 2| PC|.得点P 的轨迹方程为f (X) 0;x 0时,f (x)0. • f (X)minf(0) 0• h(x) h(0) 0 即 e x x 1(2 )T g(x)是R 上的奇函数 • g(0) 0• g(0) In(ea) 0• ln(1 a) 0• xa 0 故 g(x) In ex .故讨论方程In x x 2(x 2exm)在x 0的根的个数.即1nXXx 2 2ex m 在x 0的根的个数.(m R)令 u(x) In x ,v(x) x2小x 2exm .注意x 0，方程根的个数即交点个数对 u(x)In x,(xX0), u (X)1—x In x X1 In x2 X2 ?X令 u (x) 0,得xe,当 x e 时,u (x)0 ;当 0 x e 时,u (x) 0. • u(x)极大1u(e)uuv vEF n-uuv r — |EF| | n| 5 5uuv v EF n10 2.5 5- •二面角E — BB 1— G 的大小为arccos^-55cos 21 •解：(1)由(PQ 2PC)(PQ 2PC) 0.得 |PQ| 2| PC |. 法一：动点P 到定点所以点由eC( 1,0)的距离与到定直线l:x 4的距离之比为常数, P 在椭圆上. c a —— c c1 2 b 2c 所以所求的椭圆方程为2 y- 1. 3(2)椭圆的右焦点为(1, 0)，点 B 在椭圆设B(x 。

2020年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科) (解析版)

2020年高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知（1+i）z＝i（i为虚数单位），在复平面内，复数z的共轭复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合A＝{x||x﹣a|＝1}，B＝{﹣1，0，b}（b＞0），若A⊆B，则对应的实数（a，b）有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：得分345678910频数231063222设得分的中位数为m e，众数为m0，平均数为x，则（）A．m e＝m0＝x B．m e＝m0＜x C．m e＜m0＜x D．m0＜m e＜x 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．9πC．12πD．36π5．在△ABC中，D为线段AB上一点，且BD＝3AD，若CD→=λCA→+μCB→，则λμ=（）A．13B．3C．14D．46．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，c a+b+b a+c=1，则下列说法不一定成立的是（）A．△ABC可能为正三角形B．角A，B，C为等差数列C．角B可能小于π3D．角B+C为定值7．已知函数f（x）＝2sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，所得图象关于x=π3对称，则实数m的最小值为（）A．π4B．π3C．3π4D．π8．函数f（x）＝（x−1x）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为（）A．0.162B．0.18C．0.168D．0.17410．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．√3x±y=0B．x±√3y=0C．2x±y＝0D．x±2y＝011．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N+）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N+）的前100项和S100为（）A．350+1B．350﹣1C．350−12D．350+1212．已知函数f(x)=ln(e|2x|−4+1)，g(x)={a+x−2(x≥0)a−x−2(x＜0)，若存在a∈[n，n+1]（n∈Z）使得方程f（x）＝g（x）有四个实根．则n的最大值为（）A．2B．1C．0D．﹣1二．填空题：本题共4小题，每小题5分共20分．13．执行如图所示的框图程序，输出的结果S＝．14．已知函数f(x)=2|x|+x2，m=f(log213)，n=f(7−0.1)，p=f(log425)，则m，n，p的大小关系是．15．已知sin(α+π6)=13，则cos(α−5π6)tan(π3−α)=．16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=32，AD=2，AA1=2√3，已知P是矩形ABCD内一动点，PA1与平面ABCD所成角为π3，设P点形成的轨迹长度为α，则tanα＝；当C1P的长度最短时，三棱锥D1﹣DPC的外接球的表面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}中，a1＝2，a n a n+1＝2pn+1（p为常数）．（Ⅰ）若﹣a1，12a2，a4成等差数列，求p的值；（Ⅱ）是否存在p，使得{a n}为等比数列？若存在，求{a n}的前n项和S n；若不存在，请说明理由．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC=√2，AC＝2，四边形ABB1A1为菱形，且∠ABB1＝60o，AC⊥CC1．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求BB1与平面ABC的夹角正弦值．19．在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a、b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为P n＝P1（910）n﹣1+n−110（n＝1，2，3），其中P i表示第i个出场选手解密成功的概率，并且P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立．①求该团队挑战成功的概率；②该团队以P i从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列与数学期望．20．在直角坐标系xOy上取两个定点A1（−√6，0），A2（√6，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2．（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若RP→=λRQ→（λ＞1），求证：NF→=λFQ→．21．已知函数f(x)=alnx+12(a−1)x2+1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cosθ，以极点O为旋转中心，将曲线C逆时针旋转π3得到曲线C′．（Ⅰ）求曲线C’的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C与曲线C′的公共部分面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝k|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若k＝2，解不等式f（x）≤5．（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|的充分条件是x∈[12，2]，求k的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知（1+i ）z ＝i （i 为虚数单位），在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．解：由（1+i ）z ＝i ，得z =i 1+i =i(1−i)2=12+12i ， ∴复数z 的共轭复数z 对应的点是(12，−12)，在第四象限．故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．设集合A ＝{x ||x ﹣a |＝1}，B ＝{﹣1，0，b }（b ＞0），若A ⊆B ，则对应的实数（a ，b ）有（） A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【分析】解方程得集合A 有两元素，由A ⊆B 得A 中元素属于B ，可解出a ，b ．解：∵集合A ＝{x ||x ﹣a |＝1}＝{a ﹣1，a +1}⊆{﹣1，0，b }（b ＞0），若a ≤0，则a ﹣1＝﹣1，即a ＝0，所以b ＝1；若a ＞0，a ﹣1＝﹣1或a ﹣1＝0，则a ＝1，所以b ＝2，则{a =0b =1或{a =1b =2则对应的实数（a ，b ）有2对．故选：B ．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系及应用，属于基础题．3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数231063222设得分的中位数为m e ，众数为m 0，平均数为x ，则（）A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0＜xC ．m e ＜m 0＜xD ．m 0＜m e ＜x【分析】由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可．解：由图知，众数是m 0＝5；中位数是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，所以中位数是m e =5+62=5.5；平均数是x =130×（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10）≈6； ∴m 0＜m e ＜x ．故选：D ．【点评】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4，再由圆锥体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4． ∴该几何体的体积为14×13π×32×4=3π．故选：A ．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5．在△ABC 中，D 为线段AB 上一点，且BD ＝3AD ，若CD →=λCA →+μCB →，则λμ=（）A ．13B ．3C ．14D ．4【分析】由已知结合向量的线性运算可分别求出λμ，从而可求．解：因为BD ＝3AD ，所以CD →=CB →+BD →=CB →+34BA →=CB →+34(CA →−CB →)=34CA →+14CB →，由CD →=λCA →+μCB →可得λ=34，μ=14，则λμ=3．故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用． 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，c a+b +b a+c=1，则下列说法不一定成立的是（） A ．△ABC 可能为正三角形 B ．角A ，B ，C 为等差数列 C ．角B 可能小于π3D ．角B +C 为定值【分析】化简ca+b+b a+c=1，利用余弦定理求出A 的值，再判断选项中的命题是否正确．解：△ABC 中，ca+b+b a+c=1，（a +c ）c +（a +b ）b ＝（a +b ）（a +c ）， c 2+b 2﹣a 2＝cb ，cos A =c 2+b 2−a 22cb =cb 2cb =12，A ∈（0，π）， A =π3， B +C ＝2A =2π3，所以B 、A 、C 成等差数列，B 错误．当a ＝b ＝c 时，△ABC 是正三角形，A 正确；由B +C =2π3知，选项C 、D 正确．故选：B ．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了分析问题解决问题的能力，是中档题．7．已知函数f （x ）＝2sin 2ωx （ω＞0）的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移m （m ＞0）个单位，所得图象关于x =π3对称，则实数m 的最小值为（） A ．π4B ．π3C ．3π4D ．π【分析】先利用降幂公式将函数式化简为y ＝A cos （ωx +φ）+k 的形式，然后利用图象变换的规律求出变换后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出m 的值．解：f （x ）＝﹣cos2ωx +1，由其最小正周期为π，∴ω＝1，所以f （x ）＝﹣cos2x +1，将其图象沿x 轴向右平移m （m ＞0）个单位，所得图象对应函数为y ＝﹣cos （2x ﹣2m ）+1，因为其图象关于x =π3对称，则有cos(2π3−2m)=±1，∴2π3−2m =kπ，k ∈Z ，解得m =π3−kπ2，由m ＞0，实数m 的最小值为π3．故选：B ．【点评】本题考查考生对正弦型三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）的掌握情况．考查考生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解与转换．考查考生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力． 8．函数f （x ）＝（x −1x）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0）的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【分析】由条件可得函数f （x ）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x 趋向于0时，f （x ）＞0，结合所给的选项，得出结论．解：对于函数f（x）＝（1x−x）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝（−1x+x）cos x＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当x＝π，f（x）＜0，故排除C，但是当x趋向于0时，f（x）＜0，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为（）A．0.162B．0.18C．0.168D．0.174【分析】先列出甲以3：1取得胜利的所有情况，再利用相互独立事件的乘法运算求解每种情况的概率，最后利用互斥事件概率的加法公式计算即可．解：甲以3：1取得胜利的所有情况为：赢赢输赢，赢输赢赢，输赢赢赢，对应的概率分别为：0.5×0.6×0.3×0.6＝0.054，0.5×0.4×0.5×0.6＝0.06，0.5×0.4×0.5×0.6＝0.06，所以甲以3：1取得胜利的概率为：0.054+0.06+0.06＝0.174．故选：D．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，互斥事件的概率，考查运算求解能力和分析问题，解决问题的能力．10．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．√3x±y=0B．x±√3y=0C．2x±y＝0D．x±2y＝0【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，转化求解渐近线方程即可．解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．与MF1的切点为N，如图：设AB＝n，MB＝m，BF2＝t，由双曲线的定义可知：m+2n+t﹣m﹣t＝2a，可得n ＝a，若|F1F2|＝4|AB|，所以2c＝4a，c＝2a，则b=√3a．所以双曲线的渐近线方程为：√3x±y＝0．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用圆的切线长相等，以及方程思想，考查运算能力，属于中档题．11．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N+）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N+）的前100项和S100为（）A．350+1B．350﹣1C．350−12D．350+12【分析】先写出数列{f（3n）}（n∈N+）的前几项，根据前几项归纳出：f（32k﹣1）＝3k ﹣3k﹣1＝2×3k﹣1，f（32k）＝3k﹣3k＝0，再求出其前100项和．解：根据题意，知：f（3）＝3﹣1＝2，f（32）＝3﹣3＝0，f（33）＝32﹣3＝6，f（34）＝32﹣32＝0，…，f（32k﹣1）＝3k﹣3k﹣1＝2×3k﹣1，f （32k ）＝3k ﹣3k ＝0．∴数列{f （3n ）}（n ∈N +）的前100项和S 100为2×30+0+2×31+0+…+2×349+0＝2（30+31+32+…+349）＝2×1−3501−3=350﹣1．故选：B ．【点评】本题主要考查等比数列、及其数列的求和，属于中档题． 12．已知函数f(x)=ln(e|2x|−4+1)，g(x)={a +x −2(x ≥0)a −x −2(x ＜0)，若存在a ∈[n ，n +1]（n ∈Z ）使得方程f （x ）＝g （x ）有四个实根．则n 的最大值为（） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1【分析】依题意，转化可得函数F(x)={ln(e x−2+e 2−x )，x ≥0ln(e −x−2+e x+2)，x ＜0与直线y ＝a 有且仅有四个不同的交点，且易发现函数F （x ）为偶函数，利用导数研究函数F （x ）的性质，作出函数图象，观察图象可得实数a 的取值范围，进而得到n 的最大值．解：令h(x)=f(x)−g(x)={ln(e 2x−4+1)−(x −2)−a ，x ≥0ln(e −2x−4+1)+(x +2)−a ，x ＜0，则h(x)={ln(e 2x−4+1e x−2)−a =ln(e x−2+e 2−x )−a ，x ≥0ln[(e −2x−4+1)(e x+2)]−a =ln(e −x−2+e x+2)−a ，x ＜0，依题意，函数F(x)={ln(e x−2+e 2−x )，x ≥0ln(e −x−2+e x+2)，x ＜0与直线y ＝a 有且仅有四个不同的交点，易知函数F （x ）为偶函数，故先研究x ≥0时的情况，当x ≥0时，F′(x)=e x−2−e 2−xe x−2+e 2−x，令F ′（x ）＜0，解得0≤x ＜2，令F ′（x ）＞0，解得x ＞2，故函数F （x ）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，且F （x ）极小值＝F （2）＝ln 2，由偶函数的对称性，可作出函数F （x ）的图象，如下图所示，由图可知，a∈（ln2，ln（e﹣2+e2）），又0＜ln2＜1，2＜ln（e﹣2+e2）＜3，∴n的最大值为2．故选：A．【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想与数形结合思想，将问题转化为函数F（x）的图象与直线y＝a有且仅有四个不同的交点，进而通过数形结合确定实数a的取值范围是解题的关键，属于中档题．二．填空题：本题共4小题，每小题5分共20分．13．执行如图所示的框图程序，输出的结果S＝5．【分析】模拟程序的运行过程可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s＝0﹣1+2﹣3+…+10的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s＝0﹣1+2﹣3+…+10的值，可得s＝0﹣1+2﹣3+…+10＝（2+4+…+10）﹣（1+3+…+9）＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查伪代码（算法语句）的应用，属于基础题．14．已知函数f(x)=2|x|+x2，m=f(log213)，n=f(7−0.1)，p=f(log425)，则m，n，p的大小关系是p＞m＞n．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：∵f（x）＝2|x|+x2，则f（﹣x）＝2|﹣x|+（﹣x）2＝f（x），即f（x）为偶函数，因为x＞0时，f（x）＝2x+x2单调递增，m ＝f （log213）＝f （log 23），n ＝f （0.7﹣0.1），p ＝f （log 425）＝f （log 25），因为log 25＞2＞log 23＞1＞7﹣0.1＞0，故p ＞m ＞n 故答案为：p ＞m ＞n【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．15．已知sin(α+π6)=13，则cos(α−5π6)tan(π3−α)= −13 ．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用求出结果．解：已知sin(α+π6)=13．故：cos(α−5π6)tan(π3−α)=−cos[π−(α+π6)]1tan(α+π6)=−sin(α+π6)=−13．故答案为：−13．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AB =32，AD =2，AA 1=2√3，已知P 是矩形ABCD内一动点，PA 1与平面ABCD 所成角为π3，设P 点形成的轨迹长度为α，则tan α＝ ﹣3√7 ；当C 1P 的长度最短时，三棱锥D 1﹣DPC 的外接球的表面积为 17π ．【分析】因为PA 1与平面ABCD 所成角θ为π3，所以可得AP ＝2，即P 点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆与矩形ABCD 的交点即DÊ，由矩形的边长可得DE ̂的值，进而求出它的正切值，当C 1P 的长度最短时，而C 1P =√CC 12+CP 2，所以当CP 最小时，C 1P 最小，而当A ，P ，C 1三点共线时，CP 最小，求出CP 的值，进而由余弦定理求出DP ，求出三角形DCP 的外接圆的半径，由DD 1⊥面CDP ，所以三棱锥D 1﹣DCP 的外接球的球心为过底面三角形DCP 的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，由外接球的半径，和高的一半，由勾股定理可得R 的值，进而求出外接球的表面积．解：在长方体的底面矩形ABCD 内一动点P ，连接AP ，因为PA 1与平面ABCD 所成角θ为π3，AA 1＝2√3，所以tan θ=AA 1AP =2√3AP =√3，所以AP ＝2，所以P点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆，与底面矩形BC的交点为E，D，即P的轨迹为圆弧DÊ，连接AE，在△ABE中，cos∠EAB=ABAE =322=34，所以sin∠DAE＝cos∠EAB=34，所以arcsin∠DAE=3 4，所以α=DÊ=2•∠DAE，可得α为钝角，所以sinα＝sin（2arcsin∠DAE）＝2•34⋅√74=3√78，∴cosα=−18，所以tanα＝﹣3√7；当C1P的长度最短时，而C1P=√CC12+CP2，所以当CP最小时，C1P最小，而当A，P，C1三点共线时，CP＝AC﹣AP=√22+(32)2−2=12最小，连接DP，由于cos∠DCP=CDAC=32√2+(32)2=35，所以在三角形CDP中，由余弦定理可得DP=√CD2+CP2−2CD⋅CP⋅cos∠DCP=√9 4+14−2×32×12×35=4√1010，而sin∠DCP=45，设三角形CDP的外接圆的半径为r，则2r=DPsin∠DCP=4√101045=√102，所以r=√104，由DD1⊥面CDP，所以三棱锥D1﹣DCP的外接球的球心为过底面三角形DCP的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R，则R2＝r2+（DD12）2=1016+3=174，所以外接球的表面积S＝4πR2＝17π．故答案为：﹣3√7，17π．【点评】本题考查求点的轨迹，及三棱锥的棱长与外接球的半径的关系和球的表面积公式，属于难题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}中，a1＝2，a n a n+1＝2pn+1（p为常数）．（Ⅰ）若﹣a1，12a2，a4成等差数列，求p的值；（Ⅱ）是否存在p，使得{a n}为等比数列？若存在，求{a n}的前n项和S n；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据条件求出a2和a4，然后由﹣a1，12a2，a4成等差数列，得到关于p的方程，再求出p即可；（Ⅱ）若{a n}为等比数列，则由a1＞0，a2＞0，可知数列的首项和公比均为正数，然后根据条件求出{a n}前n项和S n即可．解：（Ⅰ）∵a n a n+1＝2pn+1（p为常数），∴a n+1a n+2=2pn+p+1∴当n＝1时，a1a2=2p+1，∵a1＝2，∴a2=2p，∴a n+2a n=2p，∴a4=2p a2=(2p)2，∵a4=2p a2=(2p)2，∴a4﹣2＝a2，∴（2p）2﹣2＝2p，∴p＝1．（Ⅱ）若{a n}为等比数列，则由a1＞0，a2＞0，∴数列的首项和公比均为正数，设其公比为q，则q=2p2，∴2p2=a2a1=2p2，∴p＝2，∴a1＝2，q＝2，∴a n=2n故a n a n+1=22n+1，而2pn+1＝22n+1，∴p＝2时，{a n}为等比数列，∴{a n}的前n项和S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2．【点评】本题考查了等比数列和等差数列的性质，等比数列的前n项和公式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC=√2，AC＝2，四边形ABB1A1为菱形，且∠ABB1＝60o，AC⊥CC1．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求BB1与平面ABC的夹角正弦值．【分析】（Ⅰ）取BB1的中点O，连接AB1，OA，OC，由已知可得OA⊥BB1，再由BB1∥CC1，AC⊥CC1，得AC⊥BB1，得到BB1⊥平面AOC，则BB1⊥CO，求解三角形证明CO⊥AO．可得AO⊥平面BB1C1C，进一步得到平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量m→，再求出BB1上的单位向量n→．由m→与n→所成角的余弦值可得BB1与平面ABC的夹角正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取BB1的中点O，连接AB1，OA，OC，在菱形ABB1A1中，∠ABB1＝60o，故三角形ABB1是等边三角形，则OA⊥BB1，OB＝1，OA=√3．又BB1∥CC1，AC⊥CC1，∴AC⊥BB1，又AO⊥BB1，且AO∩AC＝A，∴BB1⊥平面AOC，则BB1⊥CO．在Rt△BOC中，CO=√BC2−BO2=1，∴CO2+AO2＝AC2，故CO⊥AO．又CO∩BB1＝O，∴AO⊥平面BB1C1C．∵AO⊂平面ABB1A1，∴平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．则A（√3，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），BA →=(√3，−1，0)，BC →=(0，−1，1)．设平面ABC 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)．由{m →⋅BA →=√3x −y =0m →⋅BC →=−y +z =0，取x =√3，得m →=(√3，3，3)．设BB 1上的单位向量为n →=(0，1，0)．则BB 1与平面ABC 的夹角正弦值为|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√217．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19．在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为P n ＝P 1（910）n ﹣1+n−110（n ＝1，2，3），其中P i 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且P 1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立． ①求该团队挑战成功的概率；②该团队以P i 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列与数学期望．【分析】（1）由甲解密成功所需时间的中位数为47，利用频率分布直方图的性质能求出a，b，由此能求出甲在1分钟内解密成功的频率．（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为p1＝0.9，第二个出场选手解密成功的概率为p2＝0.9×910+110×1=0.91，第三个出场选手解密成功的概率为p3＝0.9×(910)2+110×2=0.929，由此能求出该团队挑战成功的概率．②根据题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列和E（X）．解：（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，∴0.01×5+0.014×5+b×5+0.034×5+0.04×（47﹣45）＝0.5，解得b＝0.026，∴0.04×3+0.032×5+a×5+0.010×10＝0.5．解得a＝0.024．∴甲在1分钟内解密成功的频率是f＝1﹣0.01×10＝0.9．（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为p1＝0.9，第二个出场选手解密成功的概率为p2＝0.9×910+110×1=0.91，第三个出场选手解密成功的概率为p3＝0.9×(910)2+110×2=0.929，∴该团队挑战成功的概率为p＝0.9+0.1×0.91+0.1×0.09×0.929＝0.999361．②由①知按P i从小到大的顺序的概率分别为p1，p2，p3，根据题意知X的可能取值为1，2，3，则P（X＝1）＝0.9，P（X＝2）＝（1﹣0.9）×0.91＝0.091，P（X＝3）＝（1﹣0.9）（1﹣0.91）＝0.009，∴团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列为：X 1 2 3 P0.90.0910.009E （X ）＝1×0.9+2×0.091+3×0.009＝1.109．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1（−√6，0），A 2（√6，0），再取两个动点N 1（0，m ），N 2（0，n ），且mn ＝2．（Ⅰ）求直线A 1N 1与A 2N 2交点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过R （3，0）的直线与轨迹C 交于P ，Q ，过P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →=λRQ →（λ＞1），求证：NF →=λFQ →．【分析】（I ）由直线方程的点斜式列出A 1N 1和A 2N 2的方程，联解并结合mn ＝2化简整理得方程，再由N 1、N 2不与原点重合，可得直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹C 的方程；（II ）设l ：x ＝ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3＝0，利用分析法进行证明．【解答】（I ）解：依题意知直线A 1N 1的方程为：y =6（x +√6）…①；直线A 2N 2的方程为：y =n√6（x −√6）…②设Q （x ，y ）是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①、②相乘，得y 2=−mn6（x 2﹣6）由mn ＝2整理得：x 26+y 22=1∵N 1、N 2不与原点重合，可得点A 1，A 2不在轨迹M 上， ∴轨迹C 的方程为x 26+y 22=1（x ≠±√6）．（Ⅱ）证明：设l ：x ＝ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3＝0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 1，﹣y 1），可得y 1+y 2=−6t t 2+3且y 1y 2=3t 2+3， RP →=λRQ →，可得（x 1﹣3，y 1）＝λ（x 2﹣3，y 2），∴x 1﹣3＝λ（x 2﹣3），y 1＝λy 2，证明NF →=λFQ →，只要证明（2﹣x 1，y 1）＝λ（x 2﹣2，y 2），∴2﹣x 1＝λ（x 2﹣2），只要证明x 1−3x 2−3=−x 1−2x 2−2，只要证明2t 2y 1y 2+t （y 1+y 2）＝0，由y1+y2=−6tt2+3且y1y2=3t2+3，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，∴NF→=λFQ→．【点评】本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．21．已知函数f(x)=alnx+12(a−1)x2+1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数，通过①当a≥1时，②当0＜a＜1时，③当a≤0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，则|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2等价于|f(x2)x2−f(x1)x1|＞m(x2−x1)，考察函数g(x)=f(x)x，求出导函数，令h(x)=lnx−x2−2x2，再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最值，说明g（x）在（0，+∞）上单调递减．得到g（x1）+mx1＞g（x2）+mx2恒成立，设φ（x）＝g（x）+mx，则φ（x）在（0，+∞）上恒为单调递减函数，然后转化求解m的范围即可．解：（Ⅰ）f′(x)=ax +(a−1)x=(a−1)x2+ax（x＞0）．①当a≥1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1时，f′(x)=(a−1)(x+√−aa−1)(x−√−a a−1) x，所以当x＞√−aa−1时，f'（x）＜0，当0＜x＜√−aa−1时，f'（x）＞0，所以f（x）在(0，√−aa−1)上单调递增，在(√−a a−1，+∞)上单调递减；③当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，则|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2等价于|f(x2)x2−f(x1)x1|＞m(x2−x1)，考察函数g(x)=f(x)x，得g′(x)=lnx−x2−2x2，令h(x)=lnx−x2−2x2，h′(x)=5−2lnxx3，则x∈(0，e52)时，h'（x）＞0，x ∈(e 52，+∞)时，h '（x ）＜0，所以h （x ）在区间(0，e 52)上是单调递增函数，在区间(e 52，+∞)上是单调递减函数．故g′(x)≤g′(e 52)=12e5−1＜0，所以g （x ）在（0，+∞）上单调递减．从而g （x 1）＞g （x 2），即f(x 2)x 2＜f(x 1)x 1，故f(x 1)x 1−f(x 2)x 2＞m(x 2−x 1)，所以f(x 1)x 1+mx 1＞f(x 2)x 2+mx 2，即g （x 1）+mx 1＞g （x 2）+mx 2恒成立，设φ（x ）＝g （x ）+mx ，则φ（x ）在（0，+∞）上恒为单调递减函数，从而φ′（x ）＝g ′（x ）+m ≤0恒成立，故φ′（x ）＝g ′（x ）+m ≤12e 5−1+m ≤0，故m ≤1−12e 5．【点评】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ，以极点O 为旋转中心，将曲线C 逆时针旋转π3得到曲线C ′．（Ⅰ）求曲线C ’的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 与曲线C ′的公共部分面积．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及二次函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）设极点（ρ，θ）旋转之后的极点为（ρ′，θ′），故：{ρ′=ρθ′=θ+π3，代入ρ＝4cosθ，得到ρ′=4cos(θ′−π3)，得到ρ=4cos(θ−π3)．（Ⅱ）如图，两圆相交于点O和A，连接OA，AC，OC′，AC′．由于极径没有变，旋转的角为π3．显然四边形OC′AC为菱形，故∠OCA=2π3．所以S＝2S弓形OC′A＝2（S扇形OC′A﹣S△OC′A）=8π3−2√3．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．一、选择题23．已知f（x）＝k|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若k＝2，解不等式f（x）≤5．（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|的充分条件是x∈[12，2]，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）k＝2时，不等式f（x）≤5可化为2|x|+|x﹣1|≤5．然后分x＜0，0≤x ＜1，x≥1三类去绝对值求解，取并集得答案；（Ⅱ）由题意，关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|在x∈[12，2]上恒成立，分离参数k，可得k≤|x+1|+|x−1||x|在x∈[12，2]上恒成立，再由|x+1|+|x−1||x|≥|x+1+x−1||x|=2，即可得到实数k的取值范围．解：（Ⅰ）若k＝2，不等式f（x）≤5可化为2|x|+|x﹣1|≤5．当x＜0时，有﹣2x﹣（x﹣1）≤5，即x≥−43，∴−43≤x＜0；当0≤x＜1时，有2x﹣（x﹣1）≤5，即x≤4，∴0≤x＜1；当x≥1时，有2x+（x﹣1）≤5，即x≤2，∴1≤x≤2．故原不等式的解集为[−43，2]；（Ⅱ）由题意，关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|在x∈[12，2]上恒成立，即k |x |≤|x +1|+|2x ﹣2|﹣|x ﹣1|在x ∈[12，2]上恒成立，∴k ≤|x+1|+|x−1||x|在x ∈[12，2]上恒成立， ∵|x+1|+|x−1||x|≥|x+1+x−1||x|=2|x||x|=2，等号在x +1，x ﹣1同号或其中一项为0时成立．∴k 的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论与数学转化思想方法，训练了绝对值不等式的应用，是中档题．。

江西师大附中2024年高三第三次适应性测试数学试题试卷

江西师大附中2024年高三第三次适应性测试数学试题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．252．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）． A ．122B ．112C ．102D ．923．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（） A ．()4,6 B ．()4,6-- C ．213313,1313⎛⎫⎪⎪⎝⎭ D ．213313,1313⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 4．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -5．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（）A ．2B 5C ．23D ．836．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞7．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（）A ．3B ．2C ．8113D ．108．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-9．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是（）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-10．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =11．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 12．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。