江西省师大附中高考数学三模试卷 理(含解析)
2018年江西师大附中高考数学三模试卷(理科)-教师用卷B
主标题副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，若，则复数A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，故选：C．根据复数的基本运算法则进行求解即可．本题主要考查复数的基本运算，比较基础．2.下列推理正确的是A. 把与类比，则有：B. 把与类比，则有：C. 把与类比，则有D. 把与类比，则有：【答案】D【解析】解：根据对数运算法则，可得A不正确；利用和角的正弦公式，可得B不正确；利用乘方运算，可得C不正确；利用乘法的结合率，即可知D正确．故选：D．利用对数运算法则、和角的正弦公式、乘方运算、乘法的结合率，即可得出结论．本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是A. 假设三内角都不大于60度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B．一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．4.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，那么这个演绎推理A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 没有错误【答案】A【解析】解：任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以，其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的，因为时，，此时不成立，所以大前提是错误的，致使得出的结论错误．故选：A．分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，可以得出正确的答案．本题考查了演绎推理的应用问题，解题时应根据演绎推理的三段论是什么，进行逐一判定，得出正确的结论，是基础题5.在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：直线，化为，．圆化为．圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长．故选：D．把极坐标方程化为直角坐标方程，利用弦长公式、点到直线的距离公式即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．6.若，，则P，Q的大小关系为A. B. C. D. 由a的取值确定【答案】C【解析】解：，．．．故选：C．平方作差即可比较出大小．本题考查了平方作差可比较两个数的大小方法，属于基础题．7.，则A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】D【解析】解：，可得，解得，则．故选：D．利用定积分的运算法则求出a，然后求解表达式的值即可．本题考查定积分的运算法则以及对数运算法则的应用，是基本知识的考查．8.设，i是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由，得，．而由，得或2．所以“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A．由能得到复数复数为纯虚数为纯数，反之，复数为纯虚数得到或1，则答案可求．本题考查了复数的基本概念，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，复数为纯虚数的充要条件是不等于0且虚部不等于0，是基础题．9.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为，，1，，传输信息为，其中，，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是A. 11010B. 01100C. 10111D. 00011【答案】C【解析】解：A选项原信息为101，则，，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则，，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为011，则，，所以传输信息为10110，C选项错误；D选项原信息为001，则，，所以传输信息为00011，D选项正确；故选：C．首先理解的运算规则，然后各选项依次分析即可．本题考查对新规则的阅读理解能力．10.用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由所证明的等式，当时，右边故选：D．当时，右边，由此可得结论．本题考查数学归纳法，考查归纳假设，属于基础题．11.平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到，，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到，把数据代入得到，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，故选：B．由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．12.理曲线C：在点处的切线为l，则由曲线C、直线l及x轴围成的封闭图形的面积是A. 1B.C.D.【答案】B【解析】解：曲线C：的导数为，在点处的切线斜率为3，切点为，则切线的方程为，与x轴的交点为，所以由曲线C、直线l及x轴围成的封闭图形的面积是．故选：B．确定被积函数与被积区间，求出原函数，即可得到结论．本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数，且有，则______．【答案】【解析】解：由，得，，解得，．又．故答案为：．把已知等式变形，利用复数相等的条件列式求得x，y的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．14.已知，不等式，，，，可推广为，则a等于______．【答案】【解析】解：由已知中，时，不等式：，，，，不等式左边第项的分子为，即，故答案为：由已知，不等式，，，，可得不等式左边第项的分子为，进而得到答案．归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想．15.曲线的参数方程是为参数，它的普通方程是______．【答案】【解析】解：根据题意，曲线的参数方程是为参数，则有，则其普通方程为：．故答案为：．根据题意，由曲线的参数方程可得，化简变形即可得答案．本题考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题．16.如下面数表为一组等式：某学生猜测，若该学生回答正确，则______．【答案】8【解析】解：若学生回答正确，则，，，即，得，，，则，故答案为：8．根据结论正确，分别令，2，3，建立方程组，利用待定系数法进行求解即可．本题主要考查归纳推理的应用，利用待定系数法是解决本题的关键比较基础．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是是参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程Ⅰ判断直线l与曲线C的位置关系；Ⅱ设M为曲线C上任意一点，求的取值范围．【答案】解：Ⅰ由，消去t得：．由，得，即，，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线的距离．直线l与曲线C相离；Ⅱ由M为曲线C上任意一点，可设，则，的取值范围是．【解析】Ⅰ由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；Ⅱ设出曲线C上的点的参数方程，由，利用两角和的正弦化简后可得的取值范围．本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题．18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且已知，，求：和c的值；的值．【答案】解：，，，可得，即为；，即为，解得，或，，由，可得，；由余弦定理可得，，，则．【解析】运用向量的数量积的定义和余弦定理，解方程即可得到所求a，c；由余弦定理可得，求得，，运用两角差的余弦公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义，以及三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题．19.在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设．求a的值；求三棱锥的体积．【答案】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，0，，1，，0，，1，，异面直线与所成的角等于，，由，解得．在直三棱柱中，，平面，，，三棱锥的体积．【解析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出a．由平面，利用等体积法能求出三棱锥的体积．本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法和等体积法的合理运用．20.已知是公差为d的等差数列，，与的等差中项为n．求与d的值；设，求数列的前n项和．【答案】解：依题意，．由与的等差中项为n得，与的等差中项为1，与的等差中项为2．，，解得，．由得，．记，则．两式相减得，．数列的前n项和．．【解析】依题意，由与的等差中项为n得，与的等差中项为1，与的等差中项为可得，，解得，d．由得，利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知动点P到定点的距离和它到定直线的距离的比值为．Ⅰ求动点P的轨迹的方程；Ⅱ若过点F的直线与点P的轨迹相交于M，N两点N均在y轴右侧，点、，设A，B，M，N四点构成的四边形的面积为S，求S的取值范围．【答案】解：Ⅰ设动点，则，化简得．Ⅱ由Ⅰ，轨迹是以为焦点，离心率为的椭圆，如图，连接OM、ON，设直线MN方程为，点，，联立消去x，得，则，，，由于M，N均在y轴右侧，则，，且，则，方法一、，故面积函数在单调递减，所以所以面积S的取值范围是．方法二、，，则则，即面积S的取值范围是．【解析】设动点，利用两点之间的距离公式可得，化简即可得出．由Ⅰ，轨迹是以为焦点，离心率为的椭圆，如图，连接OM、ON，设直线MN方程为，点，，与椭圆方程联立消去x，得，利用根与系数的关系可得：，下面利用导数研究函数的单调性或变形利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知函数．讨论的单调性；若对任意恒成立，求实数a的取值范围为自然常数．【答案】解：Ⅰ，当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为；Ⅱ令，则，若，即，在上是增函数，，，无解．若，即，在上是减函数；在上是增函数，，即．，即，若，即，在上是减函数，，即，，综上所述，【解析】先求导，再分类讨论即可得到函数的单调性；令，从而求导，再由导数的正负讨论确定函数的单调性，从而求函数的最大值，从而化恒成立问题为最值问题即可．本题考查了导数与函数单调性，以及考查了恒成立问题及分类讨论的数学思想应用，属于中档题．第11页，共11页。
江西师范大学附属中学2019届高三三模考试数学(理)试题 含解析
2019年江西师大附中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1.已知集合{}{2|650,|,A x x x B x y A B =-+≤==⋂=（ ）A. [)1,+∞B. []1,3C. (]3,5D. []3,5【答案】D 【解析】试题分析： 由已知可得[1,5],[3,A B ==+∞），则A B ⋂=[]3,5，故选D .考点：1、二次不等式；2、函数的定义域；3、集合的基本运算.【易错点晴】本题主要考查二次不等式、函数的定义域、集合的基本运算，属于容易题.虽然本题是容易题，但是本题涉及不等式的解法和集合的定义，粗心的考生容易犯错.解此类题型时应注意以下情况：1.不等式的等号与区间的开闭关系；2.区分集合是考查定义域还是值域；3、集合基本运算细节.本题还可以利用特值法进行排除，提高解题速度和质量.2.若复数z 满足(1)|1|z i i i -=-+，则z 的实部为（ ）1C. 1【答案】A 【解析】∵()11z i i i i -=-+，∴)()()()111i i z i i +===-+，则z 的虚部为2，故选D.3.二项式*(1)()nx n +∈N 的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ）A. 8B. 6C. 5D. 10【答案】C 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数为3，即可求出n 的值。
【详解】由二项式*(1)()n x n +∈N 的展开式的通项1r n r r n T C x -+=得：令3n r -= ，得3r n =-，则3310r n n n n C C C -=== ，所以(1)(2)60n n n --=，解得5n =，故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题。
4. 以下四个命题中，真命题的是（ ） A. ()0,,sin tan x x x π∃∈=B. “对任意的2,10x R x x ∈++>”的否定是“存在2000,10x R x x ∈++<”C. R θ∀∈，函数()()sin 2f x x θ=+都不是偶函数D. ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【答案】D 【解析】试题分析：当()0,x π∈时，sin sin tan sin cos 1,cos xx x x x x=⇒=⇒=故A 错误；由全称命题的否定知B 错误；由诱导公式可得单调,2k k Z πθπ=+∈时()()sin 2cos f x x θθ=+=±，显然为偶函数；故C错误；sin sin cos cos sin cos cos sin sin 2sin 2B A B A B A A B B A +=+⇒-=-⇒=⇒ 22B A =或2+2B=A π，若22B A =，sin sin cos cos sin cos 42A B A B A A A B C ππ+=+⇒=⇒==⇒=，若2+2B=+B=22A A C πππ⇒∴=；反之，若sin cos ,cos sin sin sin cos cos 2C A B A B A B A B π=∴==⇒+=+，故D 正确考点：全称命题的否定，充要条件等5.若点(,)P x y 满足不等式22222y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩………，则yx 1+的最大值是（ ）A.23B. 23-C. 2D. ﹣2【答案】C 【解析】 【分析】由不等式组画出可行域，再利用目标函数的几何意义为可行域内任意一点与定点(1,0)-连线的斜率，进而求解。
江西省师大附中2009届高三三模试卷
江西省师大附中2009届高三三模试卷江西省师大附中2009届高三三模试卷英语2009.5第Ⅰ卷（共115分）第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节(共5小题；每小题l．5分，满分7．5分) 听下面5段对话。
每段对话后有一小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. How old is Jim?A. 8 years old.B. 9 years old.C.10 years old.2. Where are they now?A. In a service station.B. In a park lot.C. In a street.3. Why does the man want to change his bedroom?A. His roommates like to stay up to study.B. His roommates don’t like him.C. His roommates like chatting for a long time at night so he can’t get a good sleep.4. What will the man do?A. To buy some roses.B. To celebrate his girlfriend’s birthday with nothing.C. To buy some roses with his girlfriend.5. How did Mary go to school today?A. On foot.B. By bike.C. By bus.第二节(共15小题；每小题l．5分，满分22．5分) 听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
江西师大附中2020届高考数学三模试卷2（含答案解析）
江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷2（含答案解析）江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷2⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x 2?4x +3=0}，B ={y|y =?x 2+2x +2,x ∈R}，全集U =R ，则A ∩(?U B)=( )A. ?B. [1,3]C. {3}D. {1,3}2. 已知i 是虚数单位，若复数z =2+ai 2+i在复平⾯内对应的点在第四象限，则实数a 的值可以是( )A. ?2B. 1C. 2D. 3 3. 在△ABC 中，sinAsinC >cosAcosC ，则△ABC ⼀定是( )A. 锐⾓三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 钝⾓三⾓形D. 不确定4. 设a ，b ∈R ，则“(a ?b)a 2≥0”是“a ≥b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知aA. a 2B. 2a <2bC. abD. 1a <1b6. 已知双曲线C ：x 2a 2?y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 满⾜|PF 1|?|PF 2|=2a ，若PM +F 1M ?? =0? ，且M(0,b)，则双曲线C 的渐近线⽅程为( )A. y =±2xB. y =±√5xC. y =±2√2xD. y =±√3x7. CPI 是居民消费价格指数(consumerpriceindex)的简称．居民消费价格指数，是⼀个反映居民家庭⼀般所购买的消费品价格⽔平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1⽉?7⽉的CPI 同⽐增长与环⽐增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018年2⽉与2017年2⽉相⽐较，叫同⽐；2018年2⽉与2018年1⽉相⽐较，叫环⽐)根据该折线图，则下列结论错误的是( )A. 2018年1⽉?7⽉CPI 有涨有跌B. 2018年2⽉?7⽉CPI 涨跌波动不⼤，变化⽐较平稳C. 2018年1⽉?7⽉分别与2017年1⽉⼀7⽉相⽐较，1⽉CPI 涨幅最⼤D. 2018年1⽉?7⽉分别与2017年1⽉⼀7⽉相⽐较，CPI 有涨有跌8.如图是⼀个⼏何体的三视图，图中每个⼩正⽅形边长均为12，则该⼏何体的体积是()A. 83B. 323C. 8√23D. 439.函数y=sin3x1+cosx，x∈(?π,π)图象⼤致为()A. B.C. D.10.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽⽐为√2:1，在东⽅⽂化中常称这个⽐例为“⽩银⽐例”，该⽐例在设计和建筑领域有着⼴泛的应⽤，已知某电波塔⾃下⽽上依次建有第⼀展望台和第⼆展望台，塔顶到塔底的⾼度与第⼆展望台到塔底的⾼度之⽐，第⼆展望台到塔底的⾼度与第⼀展望台到塔底的⾼度之⽐皆等于“⽩银⽐例”，若两展望台之间⾼度差为100⽶，则下⾯选项中与该塔的实际⾼度最接近的是()A. 400⽶B. 480⽶C. 520⽶D. 600⽶11.过点M(2,1)且斜率为1的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，且M为AB的中点，则p的值为()A. 12B. 1 C. 32D. 212.若lga+lgb=0(a≠1,b≠1)，则函数f(x)=a x与g(x)=b x的图象()A. 关于直线y=x对称B. 关于x轴对称C. 关于y轴对称D. 关于原点对称⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13. 若(x ?1x )n 的展开式中第3项和第5项的⼆项式系数相等，则展开式中的常数项为______． 14. 在△ABC 中，|AB +AC|=|AB ?AC |，AB =3，AC =4，则BC 在CA ⽅向上的投影是__________． 15. ⼀个球的内接正⽅体的表⾯积为32，则该球的体积为______．16. (1)⼀圆内切于中⼼⾓为π3、半径为R 的扇形，则该圆的⾯积与该扇形的⾯积之⽐为__________；(2)29π6是第__________象限⾓。
江西师大附中高考数学三模试卷(理科).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年江西师大附中高考数学三模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|y=}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤0}，则∁R A∩B=（）A．（4，+∞）B．[0，]C．（，4]D．（1，4）2．已知z为纯虚数，且（2+i）z=1+ai3（i为虚数单位），则|a+z|=（）A．1 B．C．2 D．3．执行如图所示的程序框图，其输出结果是（）A．61 B．62 C．63 D．644．给出下列三个命题：①“若x2+2x﹣3≠0，则x≠1”为假命题；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③命题p：∀x∈R，2x＞0，则¬p：∃x0∈R，2x0≤0．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+5a 1，a 7=2，则a 5=（ ）A ．B ．﹣C ．2D ．﹣26．设a ，b ∈R ，若p ：a ＜b ，q ：＜＜0，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．若f （x ）=sin （ωx +ϕ）+cos （ωx +ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（ ）A ．f （x ）在单调递增B ．f （x ）在单调递减C ．f （x ）在单调递增D ．f （x ）在单调递减8．若x ，y 满足约束条件，且向量=（3，2），=（x ，y ），则•的取值范围（ ）A ．[，5]B ．[，5]C ．[，4]D ．[，4]9．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为和（a ，b ，c ，d ∈N *），则是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道π=3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ）A ．B ．C ．D ．10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于（ ）cm 3A ．6+πB ．6+πC ．4+πD ．4+11．已知焦点在x 轴上的椭圆方程为+=1，随着a 的增大该椭圆的形状（ ）A ．越接近于圆B ．越扁C ．先接近于圆后越扁D ．先越扁后接近于圆12．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g B．f（2）gC．gg＞f（2）g已知向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，则在方向上的投影是．14．已知定义在R上的函数f（x）满足（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，则f已知a=（sinx+cosx）dx在（1+ax）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数为．16．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．18．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM 折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．19．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；优分非优分总计男生女生总计50（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的期望和方差．P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828附：K2=．20．已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．21．已知函数f（x）=e x（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O 于点E，F．（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，求实数t的值．2016年江西师大附中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|y=}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤0}，则∁R A∩B=（）A．（4，+∞）B．[0，]C．（，4]D．（1，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，求出A补集与B 的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到x﹣4≥0，即x≥4，∴A=[4，+∞），∁R A=（﹣∞，4）由B中不等式解得：0≤x≤，即B=[0，]，则∁R A∩B=[0，]，故选：B．2．已知z为纯虚数，且（2+i）z=1+ai3（i为虚数单位），则|a+z|=（）A．1 B．C．2 D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（2+i）z=1+ai3=1﹣ai，∴（2﹣i）（2+i）z=（2﹣i）（1﹣ai），∴z=，∵z为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=2．∴z=﹣i．∴|a+z|=|2﹣i|=．故选：D．3．执行如图所示的程序框图，其输出结果是（）A．61 B．62 C．63 D．64【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量a的值并输出．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1满足条件a＜50，执行循环体，a=3，满足条件a＜50，执行循环体，a=7，满足条件a＜50，执行循环体，a=15，满足条件a＜50，执行循环体，a=31，满足条件a＜50，执行循环体，a=63，不满足条件a＜50，退出循环，输出a的值为63．故选：C．4．给出下列三个命题：①“若x2+2x﹣3≠0，则x≠1”为假命题；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③命题p：∀x∈R，2x＞0，则¬p：∃x0∈R，2x0≤0．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的等价性进行判断，②根据复合命题的真假关系进行判断，③根据含有量词的命题的否定进行判断．【解答】解：①∵命题“若x=1，则x2+2x﹣3=0”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①错误确；②若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故②错误；③根据含量词的命题否定方式，可知¬p：∃x0∈R，2x0≤0，即命题③正确．故选：B5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求出首项和公比的平方，然后代入等比数列的通项公式求得a5．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由S3=a2+5a1，a7=2，得，解得：．∴．故选：A．6．设a，b∈R，若p：a＜b，q：＜＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的基本性质，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：当a＜b时，＜＜0不一定成立，故p是q的不充分条件；当＜＜0时，a＜b＜0，故p是q的必要条件，综上可得：p是q的必要不充分条件，故选：B7．若f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由f（0）=求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）（ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+）=1，ϕ+=2kπ+，k∈Z，故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．在上，2x∈（﹣，），函数f（x）=cos2x 没有单调性，故排除A、B；在上，2x ∈（0，π），函数f （x ）=cos2x 单调递减，故排出C ，故选：D ．8．若x ，y 满足约束条件，且向量=（3，2），=（x ，y ），则•的取值范围（ ）A ．[，5]B ．[，5]C ．[，4]D ．[，4]【考点】简单线性规划．【分析】由数量积的定义计算出•=3x +2y ，设z=3x +2y ，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：∵向量=（3，2），=（x ，y ），∴•=3x +2y ， 设z=3x +2y ，作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x +2y ，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B 时，直线y=的截距最大，此时z 最大，由，解得，即B （1，1），此时z max =3×1+2×1=5，经过点A 时，直线y=的截距最小，此时z 最小，由，解得，即A （，），此时z min =3×+2×=，则≤z ≤5 故选：A ．9．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道π=3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A．B．C．D．【考点】进行简单的合情推理．【分析】利用“调日法”进行计算，即可得出结论．【解答】解：由调日法运算方法可知，第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，第二次用调日法后得是π更为精确的不足近似值，即，第三次用调日法后得是π更为精确的过剩近似值，即，故第三次调日法后得到为π的近似分数．故选B．10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3A．6+πB．6+πC．4+πD．4+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半个圆柱，且三棱柱的底面是等腰直角三角形：直角边是2，高是3，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3，∴几何体的体积V==，故选：A．11．已知焦点在x轴上的椭圆方程为+=1，随着a的增大该椭圆的形状（）A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先根据椭圆成立的条件求出a的取值范围，进一步利用函数的单调性求出椭圆中的短轴的变化规律，最后确定结果．【解答】解：椭圆方程为焦点在x轴上的椭圆方程，所以：解得：由于a在不断的增大，所以对函数y=a2﹣1（）为单调递增函数．即短轴中的b2在不断增大．即离心率e=不断减小．所以椭圆的形状越来越接近于圆．故选：A12．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g B．f（2）gC．gg＞f（2）g求导，再令x=0，求出f（x）的解析式，对于g（x）+g′（x）＜0，构造函数F（x）=e x g（x），利用导数和函数的单调性的关系得到F（x）单调递减，得到F，即e2×2015g，即gg=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，∴f′（x）=f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），∴f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）=1，∴f（x）=e2x+x2﹣2x，设F（x）=e2x g（x），F′（x）=g′（x）e2x+2g（x）e2x=e2x[g′（x）+2g（x）]，∵e2x＞0，g′（x）+2g（x）＜0，F′（x）＜0恒成立，∴F，f（2）=e4，e2×2015g，∴g，即gg已知向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，则在方向上的投影是3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的定义求出y的值，然后根据投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，∴cos=，即=，平方得y=，即=（3，）∴在方向上的投影是||•cos＜，＞===3．故答案为：3．14．已知定义在R上的函数f（x）满足（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，则f满足（x+6）+f（x）=0，f（x+12）+f（x+6）=0，可得f（x+12）=f（x）．函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，可得函数f（x）的图象关于原点对称．因此f（0）=0．于是f=f（12）．【解答】解：∵函数f（x）满足（x+6）+f（x）=0，∴f（x+12）+f（x+6）=0，∴f（x+12）=f（x）．∴函数f（x）的周期T=12．函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，∴函数f（x）的图象关于原点对称．∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（0）=0．∴f（12）=f（0）=0．则f=f（12）=0．故答案为：0．15．已知a=（sinx+cosx）dx在（1+ax）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数为72．【考点】定积分；二项式系数的性质．【分析】首先通过定积分求出a的值，然后利用二项展开式求系数．【解答】解：a=（sinx+cosx）dx=（﹣cosx+sinx）|=1+1=2；所以在（1+2x）6（1+y）4的展开式中，xy2项为=12×6=72xy2，所以系数为72．16．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为9．【考点】等差数列的通项公式；数列的函数特性．=2（m﹣1），【分析】由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…a m﹣a m﹣1累加由等差数列的求和公式可得a m，验证可得．【解答】解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为a m，则由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，=2（m﹣1），…a m﹣a m﹣1以上m﹣2个式子相加可得a m﹣a2==（m+1）（m﹣2），∴a m=a2+（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，∴当m=9时，a m=73，即73是93的“分裂”数中的第一个故答案为：9三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）利用余弦定理、三角函数求值、三角形内角和定理即可得出．（II）利用等差数列与等比数列的通项公式可得a n，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由，得，∴，A∈（0，π），∴，由，得．（Ⅱ）设{a n}的公差为d，由（I）得，且，∴，又d≠0，∴d=2，∴a n=2n，∴=，∴．18．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM 折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．19．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；优分非优分总计男生女生总计50（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的期望和方差．P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828附：K2=．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表即可补充完整，假设X＜100：该学科成绩与性别无关，利用观测值即可判断出结论．（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率0.4视作概率，设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，人数为X，则X服从二项分布B（3，0.4），即可得出．【解答】解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：优分非优分总计男生9 21 30女生11 9 20总计20 30 50假设H0：该学科成绩与性别无关，则K2的观测值k===3.125，因为3.125＞2.706，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率f==0.4视作概率；设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，则X服从二项分布B（3，0.4），所求概率P=P（X=2）+P（X=3）=×0.42×0.6+×0.43=0.352．20．已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；【解答】解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为=1；（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，所以△=288，x1+x2=，x1x2=﹣，所以|CD|=|x1﹣x2|=×=；（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|==≤==，（k=时等号成立）所以|S1﹣S2|的最大值为．21．已知函数f（x）=e x（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可．（2）对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0转化为证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=e x（sinx﹣e），则f′（x）=e x（sinx﹣e）+e x cosx=e x（sinx﹣e+cosx），∵sinx+cosx=sin（x+）≤＜e，∴sinx+cosx﹣e＜0故f′（x）＜0则f（x）在R上单调递减．（2）当x≥0时，y=e x≥1，要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，看作以a为变量的一次函数，要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，则，即，∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，对于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，则h′（x）=cosx﹣2x，设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．∴t=，sint＜sin，∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（）2+2﹣e=sint﹣+2﹣e=sin2t+sint+﹣e=（+1）2+﹣e≤（）2+﹣e=﹣e＜0，故④式成立，综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O 于点E，F．（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．【考点】圆周角定理；平行截割定理．【分析】（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可证∠FBE=∠BAE，进而证明∠FBG=90°，即可得证BF是△ABE外接圆的切线．（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2，利用相似三角形的性质可得AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，由△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，得AB ﹣AC=AF2﹣BF2，进而可求BD2﹣DA2=AB•AC=6．【解答】（本题满分为10分）．解：（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．因为AF平分∠BAC，所以，所以∠FBE=∠BAE，所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，所以O′B⊥BF，所以BF是△ABE外接圆的切线…（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，所以DF是圆O的直径，因为BD2+BF2=DF2，DA2+AF2=DF2，所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2．因为AF平分∠BAC，所以△ABF∽△AEC，所以=，所以AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，因为∠FBE=∠BAE，所以△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，所以AB﹣AC=AF2﹣BF2，所以BD2﹣DA2=AB•AC=6…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；平面直角坐标轴中的伸缩变换；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据题意，消去参数，即可解得方程C1的极坐标方程；（Ⅱ）求得C3的方程，即可由OA，OB的长解得AB的长．【解答】解：（Ⅰ）将（α为参数）．消去参数α，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即C1：x2+y2﹣4x=0，将代入C1：x2+y2﹣4x=0，得ρ2=4ρcosθ，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）将代入C2得x′2+y′2=1，所以C3的方程为x2+y2=1．C3的极坐标方程为ρ=1，所以|OB=1|．又|OA|=4cos=2，所以|AB|=|OA|﹣|OB|=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，求实数t的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由不等式|x+3|＜2x+1，可得或，解出即可得出．（Ⅱ）由于|x﹣t|+|x+|≥==|t|+，已知关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，|t|+≥2，另一方面，|t|+=2，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由不等式|x+3|＜2x+1，可得或，解得x＞2．依题意m=2．（Ⅱ）∵|x﹣t|+|x+|≥==|t|+，当且仅当（x﹣t）=0时取等号，∵关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，|t|+≥2，另一方面，|t|+=2，∴|t|+=2，解得t=±1．2016年8月17日马鸣风萧萧。
【三模】数学高考检测试卷(含答案)
10.花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为()
A. 2520B. 5040C. 7560D. 10080
【答案】A
【解析】
【分析】结合全排列的概念即可.
【详解】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，
【详解】由题意可得： ，解得 ，
故 ，
故选：C.
4.小华忘记了手机开机密码的前三位，只记得第一位和第二位取自0，1，2，3(可以相同)，第三位是A，B，C中的一个字母，则小华输入一次密码就能够成功解锁的概率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合古典概型的概率的计算公式即可.
【详解】输入不同的组合一共有： 种可能，
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】结合 运算和 的实际意义即可.
【详解】由 ，
得 ，
，
，
所以 ，
因为 ， ，
上式化为
而 ，所以 .
故选： .
3.某一随机变量 的概率分布如下表，且 ，则 ()
0
1
2
3
0.1
0.2
A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件求出 ，然后根据分布列即可得出结果.
16.用0、1、2、3、4、5这六个数字组成一个无重复数字的五位数，百位和个位必须是奇数的数有_______个．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情 某医院呼吸科共有3名医生，4名护士.
江西师大附中高考数学三模试卷理(含解析)
高考数学三模试卷(理科)、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求.(kx+ 0) ( ： - |I •.-)与函数y=kx - k 2+6的部分图象如图所示, +cos (kx - $ )图象的一条对称轴的方程可以为(5.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二,五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”， 正整数m 后的余数为n ,则记为N=n(modn )例如1仁2 (mod3.现将该问题以程序框图的 算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于()1 已知 z i =1 - 3i , Z 2=3+i ,其中i 是虚数单位，则丄丄的虚部为()A.- 1B. 2 •已知集合 A. ?B. -C. - i5A={x| v 2x w 2},2(-1,] C .[,2 2B={x|ln (x -)< 0}，则 A A( ?R B )=(j1) D •(- 1 , 1]3.给出下列两个命题:命题p ：:若在边长为 1的正方形 ABCD 内任取一点 M,则|MA| w 1的概率为——.命题q ：设打4是两个非零向量, “ 一円小|”是“与共线” 的充分不必要条件，那么，下列命题中为真命题的是 A. p A q B pC. p A(「q )D. (「p )V( q )若正整数N 除以 4.若函数 y=ksin范围是（）C. [―,]D.L9 2J+ .二…=n?+n,贝U a计+, +—等于(2n6.某食品厂只做了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”善福”、每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品“友4 袋, 获奖的概率为（A B ： C - D7.已知D, E是厶ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若：工x ：：则xy的取值A. 22n +2n B.n2+2n C. 22n +n D. 2 (n2+2n)9.已知实数y 满足*6, 则z=log （2|x - 2|+|y| ）的最大值是（A.log j(7) B. — C. - 2 D. 210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中, 面积最大的侧面的面积为（正（左）视医A.若数列｛a n｝是正项数列,2 2F 2, P 分别为双曲线 一 --—=1 (a > 0, b > 0)的右焦点与右支上的一点， O a 乂 b 1 2 若OM =寺(0F +0F J ，0F 2 =中 且20F2?F 』=a+b ，则该双曲线的离心 率为( ) A.B .2 212.已知函数 f (x ) =e x — ax - 1, g (x ) =lnx - ax+a ，若存在 x o €( 1, 2),使得 f (x o ) g体ABCD 外接球表面积为,则数列 {b n }的前 2n 项和 b 1+b 2+b 3+b 4+, +b 2n -1+b 2n =三、解答题：本大题共 5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.1 求函数f ( x )的单调递增区间；2 在锐角△ ABC 中，角A, B , C 的对边分别为 a , b , c .若 g ,:一，求△ ABCA. B.2(x o )v 0,则实数a A.::. 的取值范围是(B. (In2 , e — 1) C . [1 , e — 1)D. [1.2二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.13.已知a= TT •Il cosx ) dx ，则(9展开式中，x 3项的系数为14.已知函数 2ml □ i K 〉〔)15•正三角形 为偶函数，则 m — n= _____ .10§201? (—x)+n 英丐AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为.二，此时四面ABC 的边长为2，将它沿高 11.已知点 为坐标原点,16.数列｛a n ｝的前项和为S n ,且」9时1%亏用XI 表示不超过x 的最大整数, 如[—0.1]=— 1 , [1.6]=1 ，设 b n =[a n ]17 .设向量 〔.m 1 二：一 _一：・, x € R ,记函数-'，18•某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组［75，80)，第二组［80，85)，第三组［85，90),第四组［90，95)，第五组［95 ,100］，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.(I)请在图中补全频率分布直方图；(n)若Q大学决定在成绩高的第3, 4, 5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.①若Q大学本次面试中有B、C D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为一、一，「，2 3 5求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有E名学生被考官B面试，求E的分布列和数学期望.19.如图，在以A, B, C, D E, F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，/ FAC=60 , AB// DE BC// EF, AB=BC=3 AF=2计E BF二苗尼(1)求证：平面ABCL平面ACDF(2)求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值.的焦点，过点F2的直线I交抛物线C于A, B两点.(I)若点P (8, 0)满足|PA|=|PB|，求直线l的方程;20.已知椭圆C：£+2-一=1 (b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2,点F2也为抛物线◎ 2 小y =8x(H) T为直线x= - 3上任意一点，过点F作TF i的垂线交椭圆G于M N两点，求?\m\ 的最小值.(x) =ln (x+2a)- ax, a> 0.21.已知函数(I)求f (x)的单调区间;(H)记f (x)的最大值为M (a),若a2>a i>0 且M (a i) =M (a2),求证:(川)若a>2,记集合｛x|f (x) =0｝中的最小元素为x o，设函数g (x) =|f (x) |+x，求证:X o是g (x)的极小值点.［选修4-4 :极坐标与参数方程］22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为卩-(t为参数)，在以坐标■ y=l+tsin4)原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为p =4cos 0 .(I)求I的普通方程和C的直角坐标方程；(H)当$ €( 0, n )时，I与C相交于P, Q两点，求|PQ|的最小值.［选修4-5 :不等式选讲］23.已知函数f (x) =|x - a|，其中a> 1(1 )当a=2时，求不等式f (x)> 4 - |x - 4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f (2x+a)- 2f (x) | < 2的解集｛x|1 < x< 2｝，求a的值.参考答案与试题解析、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求.1 .已知z i =1 - 3i , Z 2=3+i ，其中i 是虚数单位，则—的虚部为( )z244A. - 1B. -C. - iD.55 1【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.故选：B.【考点】1H:交、并、补集的混合运算. 【分析】求解指数不等式与对数不等式化简集合 A 、B,再由交、并、补集的混合运算得答案.1 1 13【解答】 解：••• A={x| . v 2x w 2}={x| - 1 v x < 1} , B={x|ln(x - 一)w 0}={x| 一 v xW p },31i••• ?R B={X |X > 一或 X • .「}，则 A n ( ?F B ) = (- 1, J .故选：B .3. 给出下列两个命题：n -命题p ：:若在边长为1的正方形ABCD 内任取一点 M,则|MA| w 1的概率为——.命题q ：设一, 是两个非零向量，则“ .-i =1「- i I ”是“占「共线”的充分不必要条件，那么，下列命 题中为真命题的是()【解答】 解:的虚部为；I2.已知集合A={x| v 2x w 2}, 2B={x|ln (x -)< 0}，则 A n ( ?R B )=(A.B- (- 1 ,] CD . (- 1 , 1]A. p A q B .「p C. p A(^ q) D.厂p)V( q)【考点】2E:复合命题的真假.【分析】推导出命题P是真命题，命题q是假命题，从而得到pA(「q)是真命题.【解答】解：命题p：若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M1 2土X TT X 1 TT则|MA| < 1的概率为-=---------------- 41X1命题P是真命题；•••设；一是两个非零向量，则“.-■=r-j ”是“［与一共线”的不充分不必要条件，二命题q是假命题，••• pq)是真命题.故选：C.4. 若函数y=ksin (kx+ $)(.：. | ) | .)与函数y=kx - k2+6的部分图象如图所示,则函数f (x) =sin (kx - 0) +cos (kx -$)图象的一条对称轴的方程可以为( )13H一 D.24 124【考点】H6:正弦函数的对称性.【分析】由函数的最大值求出A,由特殊点的坐标求出0的值，可得函数的解析式，再利用三角恒等变换化简 f (x)的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得 f ( x)的图象的一条对称轴的方程.(kx+ 0 ) (•；• I「•)与函数y=kx - k2+6的部分图象如图所示，二2根据函数y=ksin (kn + 0 ) (k> 0, | 0 | )的最大值为k, •- k+6=k,「. k=2.TT TT TT把点(一，0)代入y=2sin (2x+ 0 )可得sin + 0 ) =0,二0 = ------ ，•入y=2sin【解答】解：若函数y=ksin12Tt(2x -)•TT 、 l ■ / c H 兀、 + )「SI n (2x+亍). 令2x+「=k n +——，求得x-+, k € Z ,故f (x )的图象的对称轴的方程为得12 2 224当k=1时，可得函数f (x ) =sin (kx - ) +cos (kx - $ )图象的一条对称轴的方程可以 为11故选：B.5•中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余 二,五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为N=n(modn ),例如1仁2 (mod3.现将该问题以程序框图的 算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于()A. 21B. 22C. 23D. 24【考点】EF:程序框图.【分析】该程序框图的作用是求被 3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论. 【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被 3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23, 故选：C.6.某食品厂只做了 3种与“福”字有关的精美卡片， 分别是“富强福”、“和谐福”、“友 善福”、每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋,x=H+—-- 24k € Z相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全，由此能求出购买该食品 4袋，获奖的概率.【解答】解：购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34,获奖时至多有2张卡片相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全, 相同的2张为 「在4个位置中选2个位置，有 ’种选法，其余2个卡片有.上种选法，•••获奖包含的基本事件个数 m f : A >36,36 4•购买该食品4袋，获奖的概率为 p= ='.3° 9故选：B.范围是（ ）A [ , ]B .[.,」C. [ , ] D.[,」【考点】7G 基本不等式在最值问题中的应用；9H:平面向量的基本定理及其意义.【解答】解：D, E 是厶ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若：亠x ：,1 ?可得 x+y=1 , x , y € [—,—],当且仅当x=y=.：时取等号,2并且xy=x （1 - x ） =x - x ,函数的开口向下，对称轴为: 值，2xy 的最小值为：一. 则xy 的取值范围是：[,.].A.丄 16【考点】 B.C.空D.9 S 9CB 古典概型及其概率计算公式.【分析】购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34，获奖时至多有2张卡片获奖的概率为（ ) 7.已知D, E 是厶ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上,若：.=x ，则xy 的取值【分析】利用已知条件推出 x+y=1 ,然后利用x , y 的范围,利用基本不等式求解 xy 的最值.X ，当x=.或x=〕时，取最小乙0 O故选：D.&若数列｛a n ｝是正项数列，且.■ + .7 .+, +寸；〔=n 2+n ,则a i ++, +—L 等于( )2 n2 2 2 2A. 2n+2nB . n+2n C. 2n+n D. 2 (n+2n )【考点】8H:数列递推式.【分析】利用数列递推关系可得 a n ,再利用等差数列的求和公式即可得出. 【解答】解：T - ■ +』=+, + i=n 2+ n ,「. n=1 时，、”冷=2，解得 a i =4. n 》2 时，*：：》• +甘二；+, +『：!, ]=(n — 1) ?+n — 1, 相减可得： J ：i. =2n ，二a n =4n 2. n=1时也成立. 8.•'——=4n.n贝y a i +一_+, +―=4 (1+2+, +n ) =4X -------------- =2n 2+2n .2 n 2故选：A.【考点】7C:简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域， 根据图象，去掉绝对值， 结合对数的运算性质进行 求解即可.【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象知y >0, x w 2, 设 m=2|x — 2|+|y| ,则 m=y- 2 (x — 2) =y — 2x+4, 即 y=2x+m- 4,平移直线y=2x ，由图象知当直线 y=2x+z — 4经过点C 时，直线的截距最小，此时z 最小,9.已知实数x , y 满足* x+y^6,则z=logA.logB.logC. — 2 ■L} (2|x — 2|+|y| )的最大值是(D. 2z=log(2" — 2|+M )最大,由严x+2得严2,即C(2, 4), 时y=6 (产4此时z=log ,丄■- (2|x - 2|+|y| ) =log ；=4=- 2,故选：C.10•某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AEDL平面BCDE四棱锥A- BCDE 的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论.【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形，则S A AED=!. ；= , S M BC=&ABE=丄忙•儿JU , S M CC F 1 ，二,【考点】口：由三视图求面积、体积.【分析】AEDL平面BCDE四棱锥A-正f左）视區A 一D11.已知点F2, P分别为双曲线二=-=1 (a>0, b> 0)的右焦点与右支上的一点，Oa 2b2为坐标原点，若而=+ (祁+応), 亟乙母细2码?口i=a2+b2,则该双曲线的离心LJ:率为( )A.」宀B.C.二D. 2 二2 2 y'【考点】KC双曲线的简单性质.【分析】根据向量知识可知M为PF2的中点，结合[=且2一「？：“=a2+b2可求出/ OFM从而得出M的坐标，再得出P点坐标，代入双曲线方程化简即可得出e.・1 ■ •【解答】解：T我工.，「• M是PF2的中点，•••厂；=OF=F2M=C,••• 2?；if L2C2COS ( n -z OFM) =a2+b2=c2,/ 2开•z OFM= ■.3•M (欝，电£), ••• F2 ( C, 0), M是PF2的中点，•P ( 2C,二C ),4 F? 3广2T P 在双曲线上，■，即4b2c2-3a2c2- a2b2=0,a2b2■ 22 2,2/2 2、^22 2/2 2、■/ b =C - a , • 4C ( C - a ) - 3a C - a ( C - a ) =0,即4c4- 8a2c2+a4=0,••• e= —,「. 4e4- 8e2+1=0，解得e2=1+ 或e2=1-^^ (舍)，a 2 2•e「二「故选A.••• F (x )在(1, 2)递减, ••• F (x ) min =F (2) =ln2 ,• G (x )在(1, 2 )上递增，c--G ( x ) ma )=G ( 2)=,2若存在 x °€( 1, 2),使得 f ( X 0) g (X 0)v 0, 则 ln2 v a v 时， 故选：A.求出被积函数，由定积分公式求出a ，求出二项式的通项公式，化简整理，令 9 -2r=3，求出r ,即可得到所求系数.JTTT【解答】 解：a= — (- cosx ) dx=- sinx| —12.已知函数 f (x ) =e x - ax - 1, g (x ) =lnx - ax+a ，若存在 x o €( 1, 2),使得 f (x o ) g (x o )v 0,则实数a 的取值范围是(2A .；仁■, B. (In2 , e - 1) C . [1 , e - 1) D. 一2 23T :函数的值.【考点】 【分析】 令F (x)=；,令G(x ) =一「'，根据函数的单调性分别求出xT x的最大值，求出 a 的范围即可.【解答】 解：由*7W >0 g(x)<0:则 F '( x )一一垃？迪 v av AL , 口〉luxxi-l1 -lnx卑v 0 对 x €( 1, 2)(x-1)2成立,1)F ( x )的最小值令 G (x )・:，贝U G (x )x———>0 对 x €( 1, 2)成立,满足题意,二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20 分. 13.已知 ITa=i 「一 (J 0 cosx ) dx ，则(ax+ J ) 9展开式中,x 3项的系数为【考点】 67:定积分.【分析】J0 0=-(sin - sinO ) = - 1,2则(-x- 1 ) 9展开式中的通项公式为-,(-x) 9-r(- 一)r2x 9 2xr . 9 - 2r= -(,：) |X , r=0 , 1, , , 9,由9 - 2r=3，可得r=3 ,x3项的系数为-(J故答案为：-:.i rolo g?ni7K.>014•已知函数f (J二* 为偶函数，则m- n= 4log201T(-x)+nx【考点】3L:函数奇偶性的性质.【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可.【解答】解：•••函数的偶函数，•••当x> 0,则-x v0,则 f (- x) =f (x),即log 20仃x - nx3=mlog20仃x+3x3,即m=1, - n=3,则n=- 3,则m- n=1 -( - 3) =4,故答案为：415.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为「，此时四面体ABCD外接球表面积为5n .【考点】LG球的体积和表面积.【分析】三棱锥B- ACD的三条侧棱BD丄AD DCL DA底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积.【解答】解：根据题意可知三棱锥 B- ACD 的三条侧棱BD 丄AD DCL DA 底面是等腰直角三 角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球， 求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC- ABC 的中，底面边长为 1 , 1,心， 由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点， 到三棱柱顶点的距离相等， 说明中心就是外接球的球心，•••三棱柱ABC- A 1B 1C 的外接球的球心为 0,外接球的半径为 r , 球心到底面的距离为 1, 底面中心到底面三角形的顶点的距离为: 2外接球的表面积为：4n r =5 n . 故答案为：5 n .9 916.数列｛a n ｝的前项和为S n ,且，用［X ］表示不超过x 的最大整数,丹1"T"【考点】8E:数列的求和.【分析】 运用数列的递推关系，n > 2时将n 换为n - 1，相减可得数列｛a n ｝的通项公式，再 由取整函数的定义，运用不完全归纳法，即可得到所求和.99【解答】解：由叮一一•二技，“一,① 十曰 厂2 24可得 a 2 - Si= , a 2=a 1+ =,3 3 39将n 换为n - 1,可得a n - S n -产三,n 》2②a n =S n — S n - 1①—②可得，a n+1=2a n , 则 a n =a 22n —2="?2n —2= ?2n ,上式对n=1也成立.如[-0.1]= - 1 , [1.6]=1，设b n =［a n ］，则数列｛b n ｝的前 2n 项和 b 1+b 2+b 3+b 4+, +b 2n- 1 + b 2n =•球的半径为r=则 an =. ?2, b n = [a n ]=[ : ?2n ], 9^9b i +b 2=0+1=仁，—1 ―一护 9 b i +b 2+b 3+b 4=0+1+2+5=8=— 2 —2b i +b 2+b 3+b 4+b 5+b 6+b 7+b 8=0+1+2+5+10+21+42+85=166= - - 43则数列｛b n ｝的前 2n 项和为 b l + b 2+b 3+b 4+, +b 2n —l +b n 厂—n —.3 3另解：设 T 2n =b l + b 2+b 3+b 4+ , +b 2n -l + b 2n , 由 T 2n — T 2n - 2=2^ " - 1 ,累加可得数列｛b n ｝的前2n 项和为--一、■' — n=— n - I.1-4 3 3故答案为：—- n -I.3 3三、解答题：本大题共 5小题，共70分•解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17 .设向量二’.二in| n , x € R,记函数f (x)= a'b(1) 求函数f (x )的单调递增区间；(2) 在锐角△ ABC 中，角A, B , C 的对边分别为 a , b , c .若•「、.-〔，•. 「，求△ ABC 面积的最大值.【考点】HR 余弦定理；9R:平面向量数量积的运算；GL 三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求 f (x ) =sin(2x —^-),令2k n -今三2X -£W 2k n 弓,k €乙即可解得f (x )的单调递增区间.TT 1(2)由已知可求sin (2A -——)「：，结合△ ABC 为锐角三角形，可得 A ,利用余弦定理， 基本不等式可求bc w 2+，进而利用三角形面积公式即可计算得解.当n=1时， 当n=2时, 当n=3时,b i +b 2+b 3+b 4+b 5+b 6=0+1+2+5+10+21=39=— 3 — ;【解答】(本题满分为12分)(2x -—), ,3 分•函数f (x )的单调递增区间为：［k n-，k n +：」，k €乙5分(2厂"sin (2A-丄)=，结合△ ABC 为锐角三角形，可得:327T八•- A= , ,7 分4•••在△ ABC 中，由余弦定理 a 2=b 2+c 2- 2bccosA ，可得：2=b 2+c 2- _ bc >( 2 - _) bc ,(当 且仅当b=c 时等号成立) • bc W=2+ 一，又T sinA=sin=^^, ,10 分42 • S A ABC = bcsinA= ■ bc w - (2+ ：)=,(当且仅当 b=c 时等号成立)2 44 2• △ ABC 面积的最大值为'二,12 分218•某高中毕业学年，在高校自主招生期间， 把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n 名学生，并对这 n 名学生按成绩分组，第一组 ［75 , 80),第二组［80 , 85),第三组［85 , 90),第四组［90 , 95),第五组［95 , 100］,如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、 第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.(I)请在图中补全频率分布直方图； (n)若Q 大学决定在成绩高的第3 ,4 , 5组中用分层抽样的方法抽取 6名学生进行面试.① 若Q 大学本次面试中有 B 、C D 三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中， 并且通过这三位考官面试的概率依次为 ，：、.,，-,zi O U 求甲同学面试成功的概率；② 若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取 3名学生接受考官 B 的面试，第3组中有E 名学 生被考官B 面试，求E 的分布列和数学期望.解：(1)： f 仗)二过■ k=s in xcosx+(sinx - cosx ) (sinx+cosx ) =lsin2x2 2--cos2x=sin2•••令 2k nTTTTw 2k n +2k € Z ,解得:w x w k n + , k €Z12 122A - 一 =【考点】CH 离散型随机变量的期望与方差； B3:分层抽样方法；B8:频率分布直方图.【分析】(I)由第四组的人数能求出总人数，由此能补全频率分布直方图.(H)①设事件 人=甲同学面试成功，由此利用独立事件概率公式能求出甲同学面试成功的 概率.②由题意得，E =0, 1, 2, 3,分别求出其概率，由此能求出 E 的分布列和数学期望.【解答】 解：(I)：第四组的人数为 60, •••总人数为：5X 60=300,由直方图可知，第五组人数为： 0.02 X 5X 300=30人， 60_30 T L 斗八 K 又 .为公差，•••第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人(n)①设事件 A=甲同学面试成功,②由题意得，E =0, 1, 2, 3,则 P (A )频率频率= 'pO p 3 S I- m ip3p 0 —L- o 1-',,19gI 3--- ：-li ---19.如图，在以 A , B , C, D E, F 为顶点的多面体中，四边形 ACDF 是菱形，/ FAC=60 ,AB// DE BC// EF , AB=BC=3 AF=2旖，BF 二 Jj 豆 (1)求证：平面 ABCL 平面 ACDF(2)求平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值.【考点】MT 二面角的平面角及求法； LY :平面与平面垂直的判定.【分析】(1 )设O 是AC 中点，连结 OF 、OB FC 推导出 OBL AC OF 丄AC,则/ FOB 是二面 角F - AC- B 的平面角，由此能证明平面 ABC L 平面 ACDF(2)以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值.【解答】 证明：(1 )设O 是AC 中点，连结 OF OB FC, 在厶 ABC 中，AB=BC ••• OB L AC •••四边形 ACDF 是菱形，/ FAC=60 , • △ FAC 是等边三角形，• OF L AC,ck p(W )T-''20,P(^=2)=GV•••/ FOB是二面角F- AC- B的平面角,•••0F= _- ’「= 7,又••• BF= —,••• O F+O B U BF2,•••/ FOB=90 ,•平面ABCL平面ACDF解：（2）由（1 ）知OB OC OF两两垂直，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴, 建立空间直角坐标系，则A（0，-占，0），B （铤，0，0），C（0,也，0），F（0，0，3），AF=（0，V3，3），AC=（0，2航，0），•/ AB// DE AF// CD,又AB?平面CDE AF?平面CDEDE＞平面CDE CD?平面CDE•AB//平面CDE AF//平面CDE又AB A AF=A ••平面ABF// 平面CDE••• EF// BC, • B、C、E、F 四点共面，又平面ABF A平面BCEF=B F平面CDEH平面BCEF=CE•BF// CE •••四边形BCEF是平行四边形，••• ••=： = （-• :, 0），•二汀I「'=（-•—，3）,设平面AEF的法向量■ = （x , y , z）,则丁上朋出谊，取x g，得：=（n * FE =-^6 x+V3y=0设平面ACE的法向量•= （a, b, c),AC=2V3b=0设平面AEF与平面ACE所成的锐二面角为0 ,则cos2i20.已知椭圆C ：卫_ +耳=1 (b >0)的左、右焦点分别为F i 、F 2,点F 2也为抛物线 G: y 2=8x 6 b 2 的焦点，过点F 2的直线I 交抛物线C 2于A ，B 两点.(I)若点P (8, 0)满足|PA|=|PB|，求直线I 的方程；(n) T 为直线x= - 3上任意一点，过点 F i 作TF i 的垂线交椭圆 C 于M N 两点，求：-|MN |的最小值.【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】(I)由抛物线C"，二&得F 2 (2, 0),当直线I 斜率不存在，即I : x=2时， 满足题意.当直线I 斜率存在，设I : y=k (x - 2)(k z 0), A (x i , y i ), B (X 2, y 2),与抛物线方程联立可得 k 2x 2 -(4k 2+8) x+4k 2=0,禾U 用根与系数的关系、中点坐标公式可得AB 的中点k 2(n) F 2 ( 2, 0),可得椭圆C 的方程，设T 点的坐标为(-3, m ),贝y 直线TF i 的斜率=-m.当0时，直线 MN 的斜率.，直线 MN 的方程是x=my - 2,tn当m=0时，上述方程.设 M(X 3, y s ), N( x 4, yj ,与椭圆的方程联立，利用根与系数的关 系、两点之间的距离公式及其基本不等式的性质即可得出.•••平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值为554厂‘」 由|PA|=|PB|，可得PGL I , k PG ?k= - i ,解得k 即可得出.QB24【解答】解：(I)由抛物线C J 厂：也得F 2 (2, 0), 当直线I 斜率不存在，即I : x=2时，满足题意. 当直线 I 斜率存在，设 I : y=k ( x - 2) (k z 0), A (X i , yj , B (X 2, y 2),* 2_由* y 皿得 k 2x 2-( 4k 2+8) x+4k 2=0, y^k(x~2)2 , 4k +8 , , z , . 8设AB 的中点为G,^— Ik 2 k•••|PA|=|PB| , • PGLI , k pG ?k=- 1,Xk=T ，解得 k=±£，则 y=± V2(x-2),•直线I 的方程为■. - :. :!或x=2.2 2(fl)： F 2 (2, 0), •••：,：; m一 一.：11o 2设T 点的坐标为（-3 , m ）, 则直线TF i 的斜率..' -t ,TFi -3+2当0时，直线MN 的斜率.,直线MN 勺方程是x=my- 2 , 当m=0时，直线 MN 的方程是x= - 2,也符合x=my- 2的形式.•直线 MN 的方程是 x=my - 2.2 ,2-', 2 2，得(m+3) y - 4my- 2=0 ,~24m2 •一'「-匚_,D +3Hl +3|TF[ l=Vm 2+l /□2^24 (nT+1 j=I ' -「…厂- ：:■•- :设 M (X 3 , y s ), N (X 4 , y 4),则 1ID2+3当且仅当/'-.J —4—，即卩m=± 1时，等号成立，此时m 2+l(x ) =ln (x+2a )— ax , a > 0.(I)求f (x )的单调区间;(n)记 f (x )的最大值为 M (a ),若 a 2>a i >0 且 M (a i ) =M (a 2),求证:(川)若a >2,记集合｛x|f (x ) =0｝中的最小元素为 x o ，设函数g (x ) =|f (x ) |+x ，求证: x o 是g ( x )的极小值点.【考点】6E:禾U 用导数求闭区间上函数的最值； 6B :利用导数研究函数的单调性. 【分析】(I)先求导，根据导数和函数单调性的关系即可得到函数的单调区间，(H)由(I)知， M (a ) =f (一- 2a ) =2a 2— 1 — lna ，继而得到 2a i 2 — 1 — lna i =2a 22 — 1 — a.a 221n —a i 1In a 2,通过转化得到 4玄協2=，设h (t ) =t —一— 2ln t , t > 1根据函数的单调性证明 a 2 a l ta l a 2f (a+1) x-ln(x+2a) f -2a<(川)由(I)可得，g (x ) =.•，分类讨论，得到 gln(x+2a)x -2a+—(X )在( —2a , x o )递减，g (x )在(x o , =- 2a )递增，故x o 是g (x )的极小值点.a【解答】解：(I): f '( x )=一—x+2a■/x >— 2a , a >0,由 f '( x )> 0，得—2a v x v — — 2a , a 由 f '( x )v 0，得 x >— 2a ,a1!取得最小值丄.\m\321.已知函数 alv 1，问题即可得以证明,a= ： '：：x+2a又 X T — 2a 时，f ( X )T — 8,••• f (x )的增区间为(-2a , - 2a ),减区间为(a 2a , +s),a(H)由(I)知，M(a ) =f (- 2a ) a =2a 2 -1 - Ina ,2 2 • 2a 1 - 1 - lna 1=2a 2 - 1 - Ina 2, /• 2 (a 22 - a i 2) =lna 2 - Ina 1=ln 「, Si • 2a 1a 2「」=ln 「， a l a 2 S1• 4a 1a 2 (-••-—；) =2ln a l a2 a 221n — • 4a 1a 2= ------------ a l a 2设 h (t ) =t - —- 2lnt • h '( t ) =1+ [-= • h ( X )在(1, +s)单调递增，h (t ) (1 - ) 2>0, (1) =0,即 t - —> 2lnt > 0, v > 1, Qi a 1 Qo -------- > 2ln > 0, 3.1 3-^ 自 | a221n — al ‘ ------- < 1, a l a2 •- a i a 2< ;4(川)由(I)可知，f ( X )在区间(-.-2a )，易知 f (- 2a ) =M(a ) =2a 2- 1 Tna 在(2, +^)递增,aM( a )> M( 2) =7 - ln2 > 0,••- 2a v x o v - 2a ,且—2a v x v x o , f (x ) v 0, a(a+1) x-ln(x+2a), *2a<ic<Cx 0■, ln(x+2aJ Kr,^ x ~2a+—u ax o v x v — - 2a 时，f (x )a> 0,于是-2a v x v x o 时，g ' (x ) = (a+1) •••若能证明x o <— -- 2a ,便能证明（a+1） a+1 1 1——=—v a+1 - , x+2a x o +^a1 —v o, o +a2 -记 $ (a ) =f ( ------------ 2a ) =2a +—r - 1 - In a+1 a+1] 1 --$ (a ) =4a - ，-、, (a+1 ) a+1 (a+1).•/ a > 2, •- h '( a )> 8 — > 0, 9 3 •- $ （玄）在（2, +s ）上单调递增, • $ (a )> (2)=匚-ln3 >o , J-1-2a v --2a, • f （x ）在（-2a ，一〒-2a ）内单调递减, a+1 •以（-2a ，击-2a ）,于是—2a v x v x o 时，g '( x ) =a+1 -——:—v x+2a a+1 - 1 =o , —r-2a+2a a+1 • g (x )在(-2a , x o )递减, 1 1 ------------------------------------------------------------- ------- 当 x o v x v - 2a 时，相应的 g '( x ) = -( a - 1 )>1 -( a x+2a (—-2aJ +2a a a - 1) =1> o ,• g (x )在(xo , ..- 2a )递增, 故x o 是g （x ）的极小值点.•••当- 2a v x v - 2a 时,a［选修4-4 :极坐标与参数方程］22.在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为(X-3+tuos°(t为参数)，在以坐标y=l+tsin4)原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为p =4cos 0 .(I)求I的普通方程和C的直角坐标方程；(H)当0 €( 0, n )时，I与C相交于P, Q两点，求|PQ|的最小值.【考点】QH参数方程化成普通方程；Q4:简单曲线的极坐标方程.【分析】(I)利用三种方程的转化方法，求I的普通方程和C的直角坐标方程；(H)由(I)可知圆心坐标为 C (2, 0),半径为2,直线过点A ( 3, 1), CA± PQ时，可求|PQ|的最小值.y 二号+ + COS (t)【解答】解：(I)直线I的参数方程为；I (t为参数)，普通方程为y -仁tan 0 (x - 3),圆C的方程为p =4cos 0，直角坐标方程为x2+y2=4x;(H)由(I)可知圆心坐标为 C (2, 0),半径为2，直线过点A( 3, 1), ••• |CA|=「,••• CA± PQ时,|PQ| 的最小值为2「=2 .［选修4-5 :不等式选讲］23.已知函数f (x) =|x - a| ,其中a> 1(1 )当a=2时，求不等式f (x)> 4 - |x - 4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f (2x+a)- 2f (x) | < 2的解集{x|1 < x< 2},求a的值.【考点】&2:带绝对值的函数；R5:绝对值不等式的解法.【分析】(1)当a=2时，f (x)> 4 - |x - 4|可化为|x - 2|+|x - 4| > 4,直接求出不等式|x-2|+|x - 4| > 4的解集即可.-2 弘xWO(2)设h (x) =f ( 2x+a)- 2f (x),则h (x) = Z.由|h (x) | < 2 解2a, 丈》◎得等二；：二：当,它与1 < x w 2等价，然后求出a的值.【解答】解：(1)当a=2 时，f (x)> 4- |x - 4| 可化为|x - 2|+|x - 4| > 4 ,当x< 2 时，得-2x+6> 4,解得x w 1 ；当2V x V 4时，得2> 4,无解；当x>4时，得2x - 6>4,解得x > 5; 故不等式的解集为{x|x > 5或xw 1}.-2a,(2)设h (x) =f (2x+a)- 2f (x),则h (x) = 4^-2日，0<x<2由|h (x) | w 2 得• 一又已知关于x的不等式|f (2x+a)- 2f (x) | w 2的解集{x|1 w x w 2},2所以* ,故a=3.面积的最大值.。
2022年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年江西省九江市高考数学三模试卷（理科）1. 已知i为虚数单位，且，则( )A. 1B.C. 2D.2. 已知集合，，则( )A. B. C. D. 03.已知命题p：若，则，命题q：，，则( )A. 为真命题B. 为假命题C. 为真命题D. 为真命题4. 已知，则( )A. B. C. D.5. 已知函数是定义在的奇函数，，且当时，，则( )A. B. C. D. 06. 已知，，，其中e为自然对数的底数，则( )A. B. C. D.7. 函数的部分图像如图所示，对任意实数x，都有，下列说法中正确的是( )①的最小正周期为；②的最小值为；③的图像关于对称；④在上单调递增．A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④8. 小明同学本学期5次数学测验中，最高分为90分，最低分为70分，中位数为85分，则这5次数学测验的平均分不可能是( )A. 80分B. 81分C. 84分D. 85分9. 已知正三棱柱的所有棱长均相等，直线与所成的角为，则( )A. B. C. D.10. 双曲线的左、右焦点分别为、，P为圆与该双曲线的一个公共点，则的面积为( )A. B. m C. D. 111. 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r，若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则( )A. B. C. D.12. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则( )A. B. C. D.13. 已知向量，，，则实数t的值为______.14. 中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则角______.15. 已知直线与曲线相切，则______.16. 日常生活中，许多现象都服从正态分布．若，记，，小明同学一般情况下都是骑自行车上学，路上花费的时间单位：分钟服从正态分布已知小明骑车上学迟到的概率为某天小明的自行车坏了，他打算步行上学，若步行上学路上花费的时间单位：分钟服从正态分布，要使步行上学迟到的概率不大于，则小明应该至少比平时出门的时间早______分钟．17.已知数列的前n项和为，且满足，求；求数列的前n项和．18. 如图1，矩形PABC中，，，D为PC上一点且现将沿着AD折起，使得，得到的图形如图证明：平面PBD：求二面角的余弦值．19. 已知抛物线C：过点，且P到抛物线C的焦点的距离为求抛物线C的方程；设A，B为抛物线C上两点，且，求点P到直线AB距离的最大值．20. 电子竞技是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼．电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神．第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行，本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”，以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：首轮比賽：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛．根据比赛结果每场比赛只有胜、败两种结果，两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队该战队获得殿军：胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队该战队获得季军；第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军．现有包括A战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”．已知A战队每场比赛获胜的概率为，且各场比赛互不影响．估计A战队获得冠军的概率；某公司是A战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；方案2：获得冠军则奖励其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元，其他情况不奖励．请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由．21. 已知函数当时，试比较与0的大小；若恒成立，求a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为求曲线，的直角坐标方程；若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求a的值．23. 设函数若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围；在平面直角坐标系xOy中，所围成的区域面积为S，若正数b，c，d满足，求的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，故选：根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：，，故选：求解对数不等式化简A，求解一元二次不等式化简B，再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：命题p：当，时，满足，但，故命题P为假命题，命题q：当时，成立，故命题q为真命题，故为假命题，为真命题，为真命题，为假命题，故选：利用不等式的性质得到P为假命题，利用三角函数的值得到q为真命题，再利用真值表的应用判断即可．本题考查不等式的性质，三角函数的值，真值表的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：，，，故选：由题意，利用两角和的余弦公式，计算求得结果．本题主要考查两角和的余弦公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：依题意，得，故，解得，，故选：根据函数是定义在的奇函数，得到，进而求a的值，代入求即可．本题考查函数的奇偶性，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：，，，，，故选：利用对数函数的性质求解．本题考查对数函数的性质，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由图像可知，，，则，，所以，故①错误；又，则，，所以的最小值为，故②正确；则点为函数图像的对称中心，③正确；由，且，得，所以，当时，，显然在上不单调，故④错误．故选：由函数图像可求A，T，利用周期公式可求，即可判断①；由题意可得，，可得的最小值为，即可判断②；进而可得点为函数图像的对称中心，即可判断③；由，且，得，由题意可求，利用正弦函数的单调性即可判断④．本题考查了由的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，考查了命题的真假判断与应用，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由题意知：小明在5次数学测验中有3次的成绩为：90，85，70；设另外2次成绩为x，，则，，次数学测验的平均分为，则这5次数学测验的平均分不可能是85分．故选：设除最高分、最低分和中位数的另外2次成绩为x，，由此可得的范围；根据平均数的计算方法可求得平均数的取值范围，由此可得选项．本题考查平均数，考查学生的运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：取AC的中点P，连接，交于点O，连接OP，则O为的中点，所以，所以或其补角即为所求，设正三棱柱的所有棱长均为2，则，，，在中，由余弦定理知，，所以故选：取AC的中点P，连接，交于点O，连接OP，则或其补角即为所求，再在中，利用余弦定理，得解．本题考查异面直线所成的角，利用平移思想，找出异面直线所成的角是解题的关键，考查空间立体感和运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由双曲线方程得，，恰为圆的直径，所以得，由双曲线的定义知，，故选：由已知可得，计算可求的面积．本题考查双曲线的几何性质，以及求三角形的面积，属中档题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，设储物盒所在球的半径为R，如图：若小球的最大半径r，有，变形可得，若正方体的最大棱长为a，有，变形可得，则，故选：根据题意，设储物盒所在球的半径为R，小球的最大半径r，正方体的最大棱长为a，分析r与R 和a与R的关系，计算可得答案．本题考查正方体与球的切接问题，注意分析正方体的几何结构，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，由正弦定理得，解得，则，故选：因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，利用正弦定理可求得a，进而求得离心率．本题考查了椭圆离心率的计算，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：向量，，，，，，则实数，故答案为：由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14.【答案】【解析】解：中，，由正弦定理得，所以，所以，因为，即，由A为三角形内角得故答案为：由已知结合正弦定理进行化简可求，进而可求本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由，得，设切点为，则，消去a得，，函数在上单调递增，且，，此时故答案为：求出函数的导函数，设出切点坐标，利用切点处的导数值与斜率的关系及切点处的函数值相等列式求解．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】20【解析】解：由小明骑车上学迟到的概率为知，小明骑车花费分钟才会迟到，若小明步行上学，要使迟到的概率不大于，则步行花费时间应小于分钟，故小明应该至少比平时出门的时间早分钟．故答案为：结合正态分布的对称性，即可求解．本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．17.【答案】解：当时，，，，当时，由，得，两式相减得，即，数列，均为公比为4的等比数列，，；，数列的前n项和：【解析】当时，由，得，两式相减整理得数列，均为公比为4的等比数列，求解即可；，利用裂项相消求和求解即可．本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题．18.【答案】证明：四边形PABC为矩形，，且，，即；，即；又，，，又，，PD，平面PAD，平面PAD，平面PAD，；，，PD，平面PBD，平面解：过P作，交AD于E，，，，，由知平面PAD，平面ABD，平面平面PAD，又，平面PAD，平面ABD，故以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，由平面ABD的一个法向量为，设平面PAB的一个法向量为，则，令，，，，，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为【解析】由长度关系可求得，知，结合可证得平面PAD，由线面垂直性质可得；结合，由线面垂直的判定可得结论；过P作，交AD于E，可证平面ABD，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，以及二面角的余弦值的求法，属中档题．19.【答案】解：根据抛物线的性质可知，又点P在抛物线上，，即，，解得，抛物线C的方程为设，，，，即，设直线AB的方程为，代入，可得，，，，即，直线AB的方程为，直线AB过定点，P点到直线AB距离的最大值为【解析】根据抛物线的性质以及点P在抛物线上列出方程组，求解t，p的值，从而得到抛物线C的方程．设出，，以及直线方程，利用，根据韦达定理求出m，n之间的关系可知直线AB过定点，所以P点到直线AB距离的最大值为本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了直线过定点问题，属于中档题．20.【答案】解：由题意可知，A战队获得冠军有以下3种可能情况：①“胜胜胜”概率为，②“败胜胜胜”概率为，③“胜败胜胜”概率为，则A战队获得冠军的概率为战队获得殿军的情况是败败，故A战队获得殿军的概率为则获得亚军或季军的概率为设方案1中A战队获奖金额为，则其分布列为：24150P若选择方案1，则A战队获奖金额的期望为万元，设方案2中A战队获奖金额为，则其分布列为：40300P若选择方案2则A战队获奖金额的期望为万元，由于数学期望相等，故选择方案1、方案2均可．【解析】本题主要考查分布列及其计算，概率统计的实际应用等知识，属于中等题．由题意首先确定所有可能的事件的概率，然后计算A战队获得冠军的概率即可；分别求得相应方案的均值，然后利用均值的大小进行比较给出结论即可．21.【答案】解：当时，，，故在R上单调递减，又因为，故当时，，当时，，当时，；，，下证当时，，，令要证，只需证，①当时，，由知，，②当时，，易知在上单调递减，在上单调递增，，，使得，当，时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减而，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减．而，当时，，③当时，，在上单调递增，，综上所述，a的取值范围是【解析】当时，对函数求导，研究其单调性从而进行判断即可；由题意，构造函数再证明，通过讨论x的取值，求得a的范围即可．本题主要考查利用导函数研究函数单调性及最值，考查学生的运算能力，属于难题．22.【答案】解：曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为曲线的极坐标方程，根据，转换为直角坐标方程为；由于的图象为花瓣一样；如图所示：当圆心到直线的距离时，正好有三个点；整理得或负值舍去，当圆心为到直线的距离时，正好有三点；整理得或正值舍去，故【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用图象，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：，依题意，得，即或，解得或，的取值范围为或；解：由，得，如图，平面区域由一个正方形及其内部组成，正方形的中心为，四个顶点分别为，，，，其边长为，所以，所以，而b，c，d都为正数，所以当且仅当，时取等号，故的最小值为【解析】根据绝对值不等式的性质可知，可知，解次绝对值不等式，即可求出结果；根据题意作出围成的区域，平面区域由一个正方形及其内部组成，正方形的中边长为，可知，再将，利用基本不等式即可求出结果．本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的最值问题，属于中档题．。
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2016年江西师大附中高考数学三模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|y=}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤0}，则∁R A∩B=（）A．（4，+∞）B．[0，] C．（，4] D．（1，4）2．已知z为纯虚数，且（2+i）z=1+ai3（i为虚数单位），则|a+z|=（）A．1 B．C．2 D．3．执行如图所示的程序框图，其输出结果是（）A．61 B．62 C．63 D．644．给出下列三个命题：①“若x2+2x﹣3≠0，则x≠1”为假命题；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③命题p：∀x∈R，2x＞0，则¬p：∃x0∈R，2x0≤0．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A．B．﹣ C．2 D．﹣26．设a，b∈R，若p：a＜b，q：＜＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．若f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减8．若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A．[，5] B．[，5] C．[，4] D．[，4]9．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道π=3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A．B．C．D．10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3A．6+πB．6+πC．4+πD．4+11．已知焦点在x轴上的椭圆方程为+=1，随着a的增大该椭圆的形状（）A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆12．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g B．f（2）gC．gg＞f（2）g已知向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，则在方向上的投影是．14．已知定义在R上的函数f（x）满足（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，则f已知a=（sinx+cosx）dx在（1+ax）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数为．16．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．18．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．19．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；优分非优分总计男生女生总计50（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的期望和方差．P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828附：K2=．20．已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．21．已知函数f（x）=e x（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F．（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，求实数t的值．2016年江西师大附中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|y=}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤0}，则∁R A∩B=（）A．（4，+∞）B．[0，] C．（，4] D．（1，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到x﹣4≥0，即x≥4，∴A=[4，+∞），∁R A=（﹣∞，4）由B中不等式解得：0≤x≤，即B=[0，]，则∁R A∩B=[0，]，故选：B．2．已知z为纯虚数，且（2+i）z=1+ai3（i为虚数单位），则|a+z|=（）A．1 B．C．2 D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（2+i）z=1+ai3=1﹣ai，∴（2﹣i）（2+i）z=（2﹣i）（1﹣ai），∴z=，∵z为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=2．∴z=﹣i．∴|a+z|=|2﹣i|=．故选：D．3．执行如图所示的程序框图，其输出结果是（）A．61 B．62 C．63 D．64【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量a的值并输出．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1满足条件a＜50，执行循环体，a=3，满足条件a＜50，执行循环体，a=7，满足条件a＜50，执行循环体，a=15，满足条件a＜50，执行循环体，a=31，满足条件a＜50，执行循环体，a=63，不满足条件a＜50，退出循环，输出a的值为63．故选：C．4．给出下列三个命题：①“若x2+2x﹣3≠0，则x≠1”为假命题；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③命题p：∀x∈R，2x＞0，则¬p：∃x0∈R，2x0≤0．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的等价性进行判断，②根据复合命题的真假关系进行判断，③根据含有量词的命题的否定进行判断．【解答】解：①∵命题“若x=1，则x2+2x﹣3=0”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①错误确；②若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故②错误；③根据含量词的命题否定方式，可知¬p：∃x0∈R，2x0≤0，即命题③正确．故选：B5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设出等比数列的公比，由已知列式求出首项和公比的平方，然后代入等比数列的通项公式求得a5．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由S3=a2+5a1，a7=2，得，解得：．∴．故选：A．6．设a，b∈R，若p：a＜b，q：＜＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的基本性质，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：当a＜b时，＜＜0不一定成立，故p是q的不充分条件；当＜＜0时，a＜b＜0，故p是q的必要条件，综上可得：p是q的必要不充分条件，故选：B7．若f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由f（0）=求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）（ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+）=1，ϕ+=2kπ+，k∈Z，故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．在上，2x∈（﹣，），函数f（x）=cos2x 没有单调性，故排除A、B；在上，2x∈（0，π），函数f（x）=cos2x 单调递减，故排出C，故选：D．8．若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A．[，5] B．[，5] C．[，4] D．[，4]【考点】简单线性规划．【分析】由数量积的定义计算出•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：∵向量=（3，2），=（x，y），∴•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，1），此时z max=3×1+2×1=5，经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（，），此时z min=3×+2×=，则≤z≤5故选：A．9．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道π=3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A．B．C．D．【考点】进行简单的合情推理．【分析】利用“调日法”进行计算，即可得出结论．【解答】解：由调日法运算方法可知，第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，第二次用调日法后得是π更为精确的不足近似值，即，第三次用调日法后得是π更为精确的过剩近似值，即，故第三次调日法后得到为π的近似分数．故选B．10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3A．6+πB．6+πC．4+πD．4+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半个圆柱，且三棱柱的底面是等腰直角三角形：直角边是2，高是3，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3，∴几何体的体积V==，故选：A．11．已知焦点在x轴上的椭圆方程为+=1，随着a的增大该椭圆的形状（）A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先根据椭圆成立的条件求出a的取值范围，进一步利用函数的单调性求出椭圆中的短轴的变化规律，最后确定结果．【解答】解：椭圆方程为焦点在x轴上的椭圆方程，所以：解得：由于a在不断的增大，所以对函数y=a2﹣1（）为单调递增函数．即短轴中的b2在不断增大．即离心率e=不断减小．所以椭圆的形状越来越接近于圆．故选：A12．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g B．f（2）gC．gg＞f（2）g求导，再令x=0，求出f（x）的解析式，对于g（x）+g′（x）＜0，构造函数F（x）=e x g（x），利用导数和函数的单调性的关系得到F（x）单调递减，得到F，即e2×2015g，即gg=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，∴f′（x）=f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），∴f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）=1，∴f（x）=e2x+x2﹣2x，设F（x）=e2x g（x），F′（x）=g′（x）e2x+2g（x）e2x=e2x[g′（x）+2g（x）]，∵e2x＞0，g′（x）+2g（x）＜0，F′（x）＜0恒成立，∴F，f（2）=e4，e2×2015g，∴g，即gg已知向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，则在方向上的投影是 3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的定义求出y的值，然后根据投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵向量=（1，），=（3，y），若向量，的夹角为，∴cos=，即=，平方得y=，即=（3，）∴在方向上的投影是||•cos＜，＞===3．故答案为：3．14．已知定义在R上的函数f（x）满足（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，则f满足（x+6）+f（x）=0，f（x+12）+f（x+6）=0，可得f（x+12）=f（x）．函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，可得函数f（x）的图象关于原点对称．因此f（0）=0．于是f=f（12）．【解答】解：∵函数f（x）满足（x+6）+f（x）=0，∴f（x+12）+f（x+6）=0，∴f（x+12）=f（x）．∴函数f（x）的周期T=12．函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，∴函数f（x）的图象关于原点对称．∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（0）=0．∴f（12）=f（0）=0．则f=f（12）=0．故答案为：0．15．已知a=（sinx+cosx）dx在（1+ax）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数为72 ．【考点】定积分；二项式系数的性质．【分析】首先通过定积分求出a的值，然后利用二项展开式求系数．【解答】解：a=（sinx+cosx）dx=（﹣cosx+sinx）|=1+1=2；所以在（1+2x）6（1+y）4的展开式中，xy2项为=12×6=72xy2，所以系数为72．16．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为9 ．【考点】等差数列的通项公式；数列的函数特性．【分析】由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…a m﹣a m﹣1=2（m﹣1），累加由等差数列的求和公式可得a m，验证可得．【解答】解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为a m，则由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…a m﹣a m﹣1=2（m﹣1），以上m﹣2个式子相加可得a m﹣a2==（m+1）（m﹣2），∴a m=a2+（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，∴当m=9时，a m=73，即73是93的“分裂”数中的第一个故答案为：9三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1•cos2B=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）利用余弦定理、三角函数求值、三角形内角和定理即可得出．（II）利用等差数列与等比数列的通项公式可得a n，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由，得，∴，A∈（0，π），∴，由，得．（Ⅱ）设{a n}的公差为d，由（I）得，且，∴，又d≠0，∴d=2，∴a n=2n，∴=，∴．18．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．19．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；优分非优分总计男生女生总计50（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的期望和方差．P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828附：K2=．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表即可补充完整，假设X＜100：该学科成绩与性别无关，利用观测值即可判断出结论．（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率0.4视作概率，设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，人数为X，则X服从二项分布B（3，0.4），即可得出．【解答】解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：优分非优分总计男生9 21 30女生11 9 20总计20 30 50假设H0：该学科成绩与性别无关，则K2的观测值k===3.125，因为3.125＞2.706，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率f==0.4视作概率；设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，则X服从二项分布B（3，0.4），所求概率P=P（X=2）+P（X=3）=×0.42×0.6+×0.43=0.352．20．已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；【解答】解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为=1；（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，所以△=288，x1+x2=，x1x2=﹣，所以|CD|=|x1﹣x2|=×=；（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|==≤==，（k=时等号成立）所以|S1﹣S2|的最大值为．21．已知函数f（x）=e x（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可．（2）对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0转化为证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=e x（sinx﹣e），则f′（x）=e x（sinx﹣e）+e x cosx=e x（sinx﹣e+cosx），∵sinx+cosx=sin（x+）≤＜e，∴sinx+cosx﹣e＜0故f′（x）＜0则f（x）在R上单调递减．（2）当x≥0时，y=e x≥1，要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，看作以a为变量的一次函数，要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，则，即，∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，对于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，则h′（x）=cosx﹣2x，设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．∴t=，sint＜sin，∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h （x）单调递减，则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（）2+2﹣e=sint﹣+2﹣e=sin2t+sint+﹣e=（+1）2+﹣e≤（）2+﹣e=﹣e＜0，故④式成立，综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F．（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．【考点】圆周角定理；平行截割定理．【分析】（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可证∠FBE=∠BAE，进而证明∠FBG=90°，即可得证BF是△ABE 外接圆的切线．（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2，利用相似三角形的性质可得AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，由△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，得AB﹣AC=AF2﹣BF2，进而可求BD2﹣DA2=AB•AC=6．【解答】（本题满分为10分）．解：（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．因为AF平分∠BAC，所以，所以∠FBE=∠BAE，所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，所以O′B⊥BF，所以BF是△ABE外接圆的切线…（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，所以DF是圆O的直径，因为BD2+BF2=DF2，DA2+AF2=DF2，所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2．因为AF平分∠BAC，所以△ABF∽△AEC，所以=，所以AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，因为∠FBE=∠BAE，所以△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，所以AB﹣AC=AF2﹣BF2，所以BD2﹣DA2=AB•AC=6…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；平面直角坐标轴中的伸缩变换；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据题意，消去参数，即可解得方程C1的极坐标方程；（Ⅱ）求得C3的方程，即可由OA，OB的长解得AB的长．【解答】解：（Ⅰ）将（α为参数）．消去参数α，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即C1：x2+y2﹣4x=0，将代入C1：x2+y2﹣4x=0，得ρ2=4ρcosθ，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）将代入C2得x′2+y′2=1，所以C3的方程为x2+y2=1．C3的极坐标方程为ρ=1，所以|OB=1|．又|OA|=4cos=2，所以|AB|=|OA|﹣|OB|=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，求实数t的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由不等式|x+3|＜2x+1，可得或，解出即可得出．（Ⅱ）由于|x﹣t|+|x+|≥==|t|+，已知关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，|t|+≥2，另一方面，|t|+=2，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由不等式|x+3|＜2x+1，可得或，解得x＞2．依题意m=2．（Ⅱ）∵|x﹣t|+|x+|≥==|t|+，当且仅当（x﹣t）=0时取等号，∵关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，|t|+≥2，另一方面，|t|+=2，∴|t|+=2，解得t=±1．。