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2020届常州一模数学试卷及答案

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江苏省常州市2020年数学中考一模试卷(I)卷

江苏省常州市2020年数学中考一模试卷(I)卷

江苏省常州市2020年数学中考一模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下列各组数中互为相反数的是（）A . －2 与B . －2 与C . －2 与D . 2与2. （2分）(2017·玄武模拟) 南京规划地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32100米，这个数据用科学记数法表示为（）A . 321×102B . 32.1×103C . 3.21×104D . 3.21×1053. （2分）(2014·河池) 如图所示的几何体，其主视图是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017七下·桥东期中) 我市为了创建全国文明城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加2m，东西方向缩短2m，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（）A . 减少4m2B . 增加4m2C . 保持不变D . 无法确定5. （2分）一组数据1，0，﹣1，2，3的中位数是（）A . 1B . 0C . -1D . 26. （2分）小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：抛出两个正面--小明赢1分；抛出其他结果--小刚赢1分；谁先到10分，谁就获胜．这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错误的是（）A . 把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”B . 把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”C . 把“小明赢1分”改为“小明赢3分”D . 把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”7. （2分）(2016·文昌模拟) 方程x2+3x+1=0的根的情况是（）A . 没有实数根B . 有一个实数根C . 有两个相等的实数根D . 有两个不相等的实数根8. （2分） (2016八上·开江期末) 下列语句是真命题的是（）A . 过一点有且只有一条直线与已知直线平行B . 在直线l上截取一条线段AB，使AB=3cmC . 在同一坐标系内，直线y=2x+3与直线y=x+3平行D . 三角形的一个外角大于任意一个内角9. （2分） (2019八上·蠡县期中) 在平面直角坐标系中，点和点的对称轴是A . x轴B . y轴C . 直线D . 直线10. （2分）如图，直线a、b被直线c所截，给出的下列条件中不能得出结论a∥b的是（）A . ∠1=∠3B . ∠1=∠4C . ∠1=∠2D . ∠1+∠2=180°11. （2分）(2016·历城模拟) 如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A .B .C . 3D . 412. （2分） (2017九上·东台月考) 如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2020七上·北仑期末) 有一个数值转换器原理如下图所示，当输入x的值为625时，输出y的值是________。

2020年江苏省常州市中考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年江苏省常州市中考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年江苏省常州市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列各组数中，互为倒数的是()A. −3与3B. −3与13C. −3与−13D. −3与+(−3)2.一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和中位数是()A. 4，4B. 4，5C. 5，4D. 5，33.下列运算中，计算结果正确的是()A. 3(a−1)=3a−1B. (a+b)2=a2+b2C. a6÷a3=a2D. (3a3)2=9a64.图(1)和图(2)中所有的正方形都相等，将图(1)所示的正方形放在图(2)中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是()A. ①B. ②C. ③D. ④5. 3.一元二次方程x2−kx−1=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断6.已知点(−2,y1)和(4,y2)都在直线y=(k−5)x+4上，若y1<y2，则k的取值范围是()A. k>0B. k<0C. k>5D. k<57.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是()A. √24B. 14C. 13D. √238. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的有( )．①QB =QF ；②AE ⊥BF ；③BG =25；④cos∠BQP =35；⑤S 四边形ECFG =2S △BGEA. ①②③④B. ②③C. ①②④D. ①②⑤二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9. −3的绝对值是______ ．10. 在函数y =√2x +1中，自变量x 的取值范围是______．11. 地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，科学记数法表示为______千米．12. 点P(−1,2)向右平移3个单位长度得到的点的坐标是______．13. 计算：2a a−b +2bb−a = ______ ．14. 分解因式a 3−4a 的结果是______．15. 11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D.若∠A =32°，则∠D =_____度． 16. 半径为2且圆心角为90°的扇形面积为______．17. 如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF =45∘，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90∘，得到△DCM.若AE =1，EF =52，则△BEF 的面积为______．18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上，反比例函数y =kx (x >0)的图像经过该菱形对角线的交点A ，且与边BC 交于点F.若点D 的坐标为(6,8)，则点F 的坐标是 ．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡低端的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的顶端D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一水平线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)．四、解答题（本大题共9小题，共76.0分）)−1+√3cos30°．20.(1)计算：√16+(−12(2)化简：(x+2)(x−2)−(x−4)2．21. 解不等式组{2x −1>53x+12−1≥x ，并把解集在数轴上表示出来．22. 如图，点E 正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF =90°，连接CE 、CF ．(1)求证：△ABF≌△CBE ；(2)判断△CEF 的形状，并说明理由．23. 五中为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)这次调查一共抽取了______名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是______；(2)请将条形统计图补充完整；(3)该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有______名.(写出计算过程)24.数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片的正面标有字母a，b，c表示三条线段长度(如图)，把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．(1)用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；(2)求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．25.宜兴在“创建文明城市”行动中，某社区计划对面积为2160m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为480m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；(2)设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数表达式；(3)若甲队每天绿化费用是0.8万元，乙队每天绿化费用为0.35万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．26.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：(1)如图 ①，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹，找出3个即可);(2)如图 ②，在四边形ABCD中，∠ABC=80∘，∠ADC=140∘，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”;运用：(3)如图 ③，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30∘.连接EG，若△EFG的面积为2√3，求FH的长．27.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，tanB=3，OB=8．4(1)求OA、AB的长；(2)点Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒(0<t≤5)以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD，QC．①当t为何值时，点Q与点D重合？②若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．28.如图1，已知抛物线y=−x2+bx+c交y轴于点A(0,4)，交x轴于点B(4,0)，点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若△AQP∽△AOC，求点P的坐标；(3)如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：此题考查了倒数，掌握倒数的定义是本题的关键，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数的定义分别进行解答，即可得出答案.解：A.−3与3互为相反数，不是互为倒数关系，故本选项错误；B.−3与1不是互为倒数关系，故本选项错误；3C.−3与−1互为倒数，故本选项正确；3D.+(−3)=−3，故本选项错误．故选C．2.答案：A=4，解析：解：这组数据的众数为4，中位数为4+42故选：A．根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．3.答案：D解析：解：A、3(a−1)=3a−3，故本选项错误；B、(a+b)2=a2+2ab+b2，故本选项错误；C、a6÷a3=a3，故本选项错误；D、(3a3)2=9a6，故本选项正确．故选D．根据去括号法则，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则作答．本题综合考查了去括号法则，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，是基础题型，比较简单．4.答案：A解析：本题主要考查展开图折叠成几何体，解题关键是掌握正方体展开图的各种情形.注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图.由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．故选A．5.答案：A解析：[分析]先计算判别式的值得到Δ=k2+4，从而可判断Δ>0，则根据判别式的意义可判断方程根的情况．[详解]Δ=k2+4>0，故方程有两个不等的实数根.故选：A．[点睛]本题考查了根的判别式.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根．6.答案：C解析：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握一次函数图象的性质，难度不大，属于基础题，根据一次函数图象的增减性进行解答即可．解：∵点(−2,y1)和(4,y2)都在直线y=(k−5)x+4上，因为−2<4，y1<y2，∴该函数图象是y随x的增大而增大，∴k−5>0，则k>5．故选C．7.答案：A解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD//BC，∵点E是边BC的中点，∴BE=12BC=12AD，∴△BEF∽△DAF，∴EFAF =BEAD=12，∴EF=12AF，∴EF=13AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE=DE，∴EF=13DE，设EF=x，则DE=3x，∴DF=√DE2−EF2=2√2x，∴tan∠BDE=EFDF =2√2x=√24；故选：A．证明△BEF∽△DAF，得出EF=12AF，EF=13AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=13DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF=√DE2−EF2=2√2x，再由三角函数定义即可得出答案．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．8.答案：C解析：本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，①△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB；②首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到AE⊥BF；③利用等面积法求得BG的长度；④利用QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；⑤根据AA可证△BGE 与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．解：①根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD//AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，故正确；②∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，{AB=BC∠ABE=∠BCF BE=CF，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE=∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故正确；③由②知，AE⊥BF，又AE=√42+22=2√5，∴12AB⋅BE=12AE⋅BG，故BG=AB⋅BEAE=2√5=4√55．故错误；④由①知，QF=QB，令PF=k(k>0)，则PB=2k，在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=(x−k)2+4k2，∴x=5k2，∴cos∠BQP=QPQB =35，故正确；⑤∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE=12BC，BF=√52BC，∴BE：BF=1：√5，∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，∴S四边形ECFG=4S△BGE，故错误．综上所述，①②④正确．故选C．9.答案：3解析：解：−3的绝对值是3．计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．10.答案：x≥−12解析：解：依题意，得2x+1≥0，解得x≥−12．当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，即2x+1≥0．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．11.答案：1.496×108解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：149 600 000=1.496×108，故答案为1.496×108．12.答案：(2,2)解析：解：点P(−1,2)向右平移3个单位长度得到的点的坐标是(−1+3,2)，即(2,2)．故答案为(2,2)．将点P的横坐标加3，纵坐标不变即可求解．此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．13.答案：2解析：解：原式=2aa−b −2ba−b=2(a−b)a−b=2，故答案为：2原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.答案：a(a+2)(a−2)解析：解：原式=a(a2−4)=a(a+2)(a−2)．故答案为：a(a+2)(a−2)．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15.答案：26解析：分析：连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．详解：连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°−∠COD=26°，故答案为：26．点睛：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16.答案：π解析：本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．根据扇形面积公式求出即可．=π，解：扇形的面积是90π×22360故答案为π．17.答案：32解析：此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形DMF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF=52，则可根据AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB−AE求出EB的长，再由FC+CM=FM=EF，求出FC的长，根据BC−FC求出BF的长，最后根据S△BEF=12×BE×BF求出答案．解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，在△DEF和△DMF中，{DE=DM∠EDF=∠FDM DF=DF，∴△DEF≌△DMF(SAS)，∴EF=MF=52，∵AE=CM=1，∴FC=MF−CM=52−1=32，∴BF=BC−FC=3−32=32，∵EB=AB−AE=3−1=2，∴S△BEF=12×BE×BF=12×2×32=32．故答案为32．18.答案：(12,83)解析：此题考查了菱形的性质、反比例函数的性质以及三角函数等知识.注意准确作出辅助线，求得反比例函数的解析式，得到tan∠FBE =tan∠DOM =DM OM 的值，从而得到方程4a(10+3a)=32是关键． 解：∵菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上，点D 的坐标为(6,8)，∴OD =DC =OB =√62+82=10．∴点B 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(16,8)．∵菱形OBCD 的对角线的交点为点A ，∴点A 的坐标为(8,4)．∵反比例函数y =k x(x >0)的图像经过点A ，∴k =8×4=32．∴反比例函数的解析式为y =32x (x >0)．设直线BC 的解析式为y =mx +n(m ≠0)，∴{16m +n =8,10m +n =0,解得 {m =43,n =−403,∴直线BC 的解析式为y =43x −403.联立得方程组 {y =43x −403,y =32x (x >0),解得{x =12,y =83,∴点F 的坐标是(12,83).19.答案：解：(1)在Rt △DCE 中，DC =4米，∠DCE =30°，∠DEC =90°，∴DE =12DC =2米； (2)过D 作DF ⊥AB ，交AB 于点F ，∵∠BFD =90°，∠BDF =45°，∴∠BFD =45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF=DF=x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF=DE=2米，即AB=(x+2)米，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴BC=ABcos30°=√32=3=√3(2x+4)3米，BD=√2BF=√2x米，DC=4米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=(2x+4)23+16，解得：x=4+4√3，则AB=(6+4√3)米．解析：此题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．(1)在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；(2)过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．20.答案：解：(1)√16+(−12)−1+√3cos30°=4−2+√3×√3 2=2+1.5=3.5(2)(x+2)(x−2)−(x−4)2 =x2−4−x2+8x−16=8x−20解析：(1)首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．(2)应用平方差公式和完全平方公式化简即可．此题主要考查了平方差公式的应用，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21.答案：解：{2x −1>5①3x+12−1≥x② 解不等式①得x >3，解不等式②得x ≥1，∴不等式组的解集x >3；．解析：主要考查了一元一次不等式组解集的求法，利用不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)，来求解．先解不等式组中的每一个不等式，得到不等式组的解集，再把不等式的解集表示在数轴上即可． 22.答案：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =CB ，∠ABC =90°，∵△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF =90°，∴BE =BF ，∴∠ABC −∠CBF =∠EBF −∠CBF ，∴∠ABF =∠CBE ．在△ABF 和△CBE 中，有{AB =CB∠ABF =∠CBE BF =BE，∴△ABF≌△CBE(SAS)．(2)解：△CEF 是直角三角形．理由如下：∵△EBF 是等腰直角三角形，∴∠BFE =∠FEB =45°，∴∠AFB=180°−∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB−∠FEB=135°−45°=90°，∴△CEF是直角三角形．解析：(1)由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△ABF≌△CBE；(2)根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB=135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB=∠AFB=135°，通过角的计算即可得出∠CEF=90°，从而得出△CEF是直角三角形．本题考查了正方形的性质．全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是：(1)根据判定定理SAS证明△ABF≌△CBE；(2)通过角的计算得出∠CEF=90°.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键．23.答案：解：(1)120；30%；(2)安全意识“较强”的人数是：120×45%=54(人)，；(3)450．解析：本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．(1)根据安全意识一般的有18人，所占的百分比是15%，据此即可求得调查的总人数，然后利用百分比的意义求得安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比；(2)利用总人数乘以对应的百分比即可求解；(3)利用总人数1800乘以对应的比例即可．解：(1)调查的总人数是：18÷15%=120(人)，安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是：36120=30%．故答案是：120，30%；(2)见答案；(3)估计全校需要强化安全教育的学生约1800×12+18120=450(人)，故答案是450．24.答案：解：(1)由题意可得，共有12种等可能的结果；(2)∵共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形有2种结果，∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为212=16．解析：(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果；(2)由四张卡片中只有C、D两张卡片能构成三角形，据此利用概率公式求解可得．本题考查树状图的运用，注意作图列表时按一定的顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25.答案：解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：480x −4802x=4，解得：x=60，经检验，x=60是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是60×2=120(m2)，答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是120m2、60m2；(2)根据题意，得：120x+60y=2160，整理得：y=36−2x，∴y与x的函数解析式为：y=36−2x．(3)∵甲乙两队施工的总天数不超过26天，∴x+y≤26，∴x+36−2x≤26，解得：x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：w=0.8x+0.35y=0.8x+0.35×(36−2x)=0.1x+12.6，∵k=0.1>0，∴w随x减小而减小，∴当x=10时，w有最小值，最小值为0.1×10+12.6=13.6(万)，此时y=26−10=16．答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为13.6万元．解析：本题主要考查分式方程的应用、一次函数的应用，综合性大．(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据独立完成面积为480m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解;(2)根据题意得到120x+60y=2160，化简即可解答．(3)根据甲乙两队施工的总天数不超过26天，得到x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：w= 0.8x+0.35y=0.8x+0.35×(36−2x)=0.1x+12.6，根据一次函数的性质，即可解答．26.答案：解：(1)如图 ①所示，从D1，D2，D3，D4四点中任选三个．(2)证明：因为∠ABC=80∘，BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=40∘．所以∠A+∠ADB=140∘．因为∠ADC=140∘，所以∠BDC+∠ADB=140∘．所以∠A=∠BDC.所以△ABD∽△DBC．所以BD是四边形ABCD的“相似对角线”．(3)因为FH是四边形EFGH的“相似对角线”，所以△EFH与△HFG相似．又∠EFH=∠HFG，所以△FEH∽△FHG．所以FEFH =FHFG，即FH2=FE⋅FG．如图 ②，过点E作EQ⊥FG，垂足为Q．在Rt△EFQ中，∠EFQ=30∘+30∘=60∘，则EQ=√32EF．因为=12FG×EQ=2√3，所以12FG×√32FE=2√3，所以FG⋅FE=8．所以FH2=FE⋅FG=8，解得FH=2√2．解析：此题是相似形的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，根据新定义判断两三角形相似是解本题的关键．(1)先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；(2)先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出结论；(3)先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2=FE⋅FG，再判断出EQ=√32FE，根据△EFG的面积为2√3得到FE⋅FG，即可得出结论．27.答案：解：(1)在Rt△AOB中，tanB=34，OB=8，∴OAOB =34，∴OA=6，则AB=10；(2)OP=AP−t，AC=2t，∵AC是圆直径，∴∠CDA=90°，∴CD//OB，∴△ACD∽△ABO，∴ACAB =ADAO，即：2t10=AD6，∴AD=6t5，当Q与D重合时，AD+OQ=OA，∴6t5+t=6，t=3011；(3)当QC与圆P相切时，∠QAC=90°，∵OQ =AP =t ，∴AQ =6−t ，AC =2t ，∵∠A =∠A ，∠QCA =∠ABO ，∴△AQC∽△ABO ，∴AQ AB =AC AO ，即：6−t 10=2t 6，∴t =1813； ∴当0<t ≤1813时，圆P 与QC 只有一个交点，当QC ⊥OA 时，D 、Q 重合，由(1)知：t =3011，∴3011<t ≤5时，圆P 与线段QC 只有一个交点，故：当圆P 与线段只有一个交点，t 的取值范围为：0<t ≤1813或3011<t ≤5．解析：(1)在Rt △AOB 中，tanB =34，OB =8，即可求解；(2)利用△ACD∽△ABO 、AD +OQ =OA ，即可求解；(3)分QC 与圆P 相切、QC ⊥OA 两种情况，求解即可．本题为圆的综合题，涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点，(3)是本题的难点，要注意分析QC 和圆及线段的位置关系分类求解． 28.答案：解：(1)把A(0,4)，B(4,0)分别代入y =−x 2+bx +c 得，{c =4−16+4b +c =0， 解得{b =3,c =4.， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+3x +4，当y =0时，−x 2+3x +4=0，解得x 1=−1，x 2=4，∴点C 的坐标为(−1,0)；(2)∵△AQP∽△AOC ，∴AQ AO =PQ CO ，∴AQ PQ =AO CO =41=4，即AQ =4PQ ，设P(m,−m2+3m+4)，∴m=4|4−(−m2+3m+4|,即4|m2−3m|=m，解方程4(m2−3m)=m得，m1=0(舍去)，m2=134，此时P点坐标为(134,5116)；解方程4(m2−3m)=−m得，m1=0(舍去)，m2=114，此时P点坐标为(134,7516)；综上所述，点P的坐标为(134,5116)或(114,7516)；(3)点P的坐标为(4,0)或(5,−6)或(2,6)．解析：本题考查了二次函数的图象与应用，轴对称的性质，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，公式法解一元二次方程，相似三角形的性质，正方形的性质，分类讨论的思想．(1)利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方程，通过解一元二次方程得到C点坐标；(2)利用△AQP∽△AOC得到AQ=4PQ，设P(m,−m2+3m+4)，所以m=4|4−(−m2+3m+4|，然后解方程4(m2−3m)=m和方程4(m2−3m)=−m得P点坐标；(3)设P(m,−m2+3m+4)(m>32)，当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，则PQ=m2−3m，证明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，利用相似比得到Q′B=4m−12，则OQ′=12−3m，在Rt△AOQ′中，利用勾股定理得到方程42+(12−3m)2=m2，然后解方程求出m得到此时P点坐标；当点Q′落在y轴上，易得点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，利用PQ=PQ′得到|m2−3m|=m，然后解方程m2−3m=m和方程m2−3m=−m得此时P点坐标．。

江苏省常州市2019-2020学年度第二学期九年级数学一模试卷(参考答案(2)

江苏省常州市2019-2020学年度第二学期九年级数学一模试卷(参考答案(2)

九年级教学情况调研测试数学参考答案及评分意见一、选择题（每题2分，共16分）二、填空题（每题2分，共20分）9．210．x ≥211．1.5×107 12．（2，2） 13．114．)2)(2(-+a a a 15．26 16．15π 17．25 18．415 三、解答题（共10小题，满分84分） 19．计算（每小题4分，共8分）⑴ 1)21(1260sin 4---︒ 232234--⨯= ------------------------------------------------------------------------------ 3分 23232--=＝－2 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 4分⑵ 2)2()2)(2b a b a b a --+-（ )44(42222b ab a b a +---= ----------------------------------------------------------------- 2分2222444b ab a b a -+--= -------------------------------------------------------------------- 3分284b ab -= ---------------------------------------------------------------------------------------- 4分20．解： 由①得：2<x --------------------------------------------------------------------------------- 1分由②得：3->x -------------------------------------------------------------------------------- 3分 ∴23<<-x ------------------------------------------------------------------------------------ 5分---------- 6分21．证明：如图1⑴ ∵等腰直角△EBF ∴BE ＝BF ，∠EBF ＝90°------------------------ 1分 ∵正方形ABCD ，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝90° ------------------------ 2分 ∴∠ABE ＋∠ABF ＝∠CBF ＋∠ABF∴∠ABE ＝∠CBF -------------------------- 3分1312123x x x+⎧⎪+⎨-⎪⎩＜＜①②ABCDEF 图1在△ABE 和△CBF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BF BE CBF ABE CB AB ∴△ABE ≌△CBF （说明不一定要用大括号形式）； ------- 4分⑵ 如图2，CF ⊥AE ． ---------------- 5分 理由：∵△ABE ≌△CBF∴∠1＝∠2 --------------------------------------------------------------------------------------- 6分 ∵∠1＋∠3＋∠AGO ＝180°，∠2＋∠4＋∠CBO ＝180°∠3＝∠4 ------------ 7分 ∴∠AGO ＝∠CBO ＝90°∴CF ⊥AE ------------------------------------------------------------------------------------- 8分22．解：⑴ 120 ， 30% ；（每空2分） --------------------------------------------------------- 4分⑵ 补全条形统计图如下：102030405060人数12183654---------------------------------------------------- 6分⑶45018001201812=⨯+（人）． 答：估计全校需要强化安全教育的学生约有450名． ------------------------------ 8分23．解：⑴41 -----------------------------------------------------------------------------------------------2 分⑵ 列树状图如下：----------------------------- 6分∵共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能 组成三角形有2种结果， ----------------------------------------------------------- 7分 ∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为61122=． ----------------------------------------------------------------------------------- 8分 注：学生在解答过程中，不考虑先后顺序，将总情况理解成6种，也是正确的．A BCDEFG O1234图224．解：⑴ 设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm 2，根据题意得：30030032x x-= --------------------------------------------------------------------------------- 3分 解得：x ＝50， ------------------------------------------------------------------------------- 4分经检验，x ＝50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m 2）， --------------------- 5分 答：甲、乙两工程队每天能完成的面积分别是100m 2、50m 2； --------------- 6分 ⑵ 由题意得：100x ＋50y ＝1200， --------------------------------------------------------- 7分 整理得：x xy 224501001200-=-=． ---------------------------------------------- 8分25．解：过点D 作DH ⊥AN 于H ，过点E 作EF ⊥DH 于F ，∵在Rt △EDF 中，tan ∠EDF ＝tan ∠DEM ＝DFEF＝3:1 -------------------------- 1分 设EF ＝k ，DF ＝k 3，∴ 22220)3(=+k k --------------------------------- 2分 ∵0>k∴k ＝10∴EF ＝10，DF ＝310， ------------------------------ 3分 ∴DH ＝DF ＋EC ＋CN ＝310＋30， ----------------- 4分 在Rt △ADH 中，tan ∠ADH ＝33=DH AH ， ∴AH ＝33×DH ＝10＋310， --------------------- 5分 ∴AN ＝AH ＋EF ＝20＋310， ----------------------- 6分∵在Rt △BCN 中，∠BCN ＝45°，∴CN ＝BN ＝20， ------------------------------------------- 7分 ∴AB ＝AN －BN ＝310，答：条幅的长度是310米． --------------------------- 8分26．解：⑴ 如图1所示.图1ABC D 1D 2D 3D 4ADBC图2EFGH图3Q（说明：画出一个点得1分，学生画出3个点即可，其中点D 2D 4直接描出也给分）------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3分 ⑵ 如图2，理由如下：∵∠ABC ＝80°，BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠DBC ＝40°，∴∠A ＋∠ADB ＝140° -------------------------------------------------------------------- 4分 ∵∠ADC ＝140°，∴∠BDC ＋∠ADB ＝140°∴∠A ＝∠BDC ----------------------------------------------------------------------------- 5分 ∴△ABD ∽△DBC∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”. ------------------------------------------ 6分 ⑶ 如图3，∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， ∴△EFH 与△HFG 相似. 又∠EFH ＝∠HFG ∴△FEH ∽△FHG ∴FGFHFH FE =----------------------------------------------------- 7分 ∴FG FE FH ⋅=2 ------------------------------------------------------------------------ 8分 过点E 作EQ ⊥FG 垂足为Q ，可得FE in FE EQ 2360s =︒⨯=， ∵3621=⨯EQ FG ，∴362321=⨯FE FG -------------------------------- 9分 ∴24=⋅FE FG∴242=⋅=FE FG FH∴62=FH ------------------------------------------------------------------------------- 10分27．⑴ 如图1 ∵OA ＝6，OB ＝8，∴由勾股定理可求得：AB ＝10， ------------------------------- 1分 由题意知：OQ ＝AP ＝t ，∴AC ＝2t ， --------------------------------------------------------- 2分 ∵AC 是⊙P 的直径， ∴∠CDA ＝90°， ∴CD ∥OB ， ∴△ACD ∽△ABO ，∴AO AD AB AC =， ∴AD ＝t 56， ------------------------------ 3分 当Q 与D 重合时， AD ＋OQ ＝OA ， ∴t 56＋t ＝6， ∴t ＝1130； ------------------------------------ 4分 ⑵ 如图2，（Ⅰ）若AC ＝AQ ，则2t ＝6－t 得：t ＝2 ---------------- 5分 （Ⅱ）若AC ＝QC ，则AD ＝QD ，即：t t-=⨯6256 ， 解得：1730=t ， ---------------------------------------------------- 6分 （Ⅲ）若AQ ＝QC ，则AQ 2＝QC 2， 由△ACD ∽△ABO ，∴BO CD AB AC =，可得：CD ＝58t， 即：222)566()58()6(t t t t --+=- -------------------------- 7分BOB图3解得：491=t ，02=t （舍去） --------------------------------- 8分 （注：第（Ⅲ）情况，如图3，若学生连接QP ，利用△AQP ∽△ABO 可得：AB AQ AO AP = 即：1066tt -=则更简单） ⑶ 当QC 与⊙P 相切时，如图4， 此时∠QCA ＝90°，∵OQ ＝AP ＝t ， ∴AQ ＝6－t ，AC ＝2t ， ∵∠A ＝∠A ，∠QCA ＝∠O ， ∴△AQC ∽△ABO ， ∴AOACAB AQ =， ∴62106t t -=， ∴t ＝1813， ∴当0＜t ≤1813时，⊙P 与QC 只有一个交点， ------------ 9分当QC ⊥OA 时，此时Q 与D 重合，由（1）可知：t ＝3011，∴当3011＜t ≤5时，⊙P 与QC 只有一个交点，综上所述，当，⊙P 与QC 只有一个交点，t 的取值范围为：0＜t ≤1813或3011＜t ≤5． ------------------------------------------- 10分28．⑴ 把A （0，4），B （4，0）分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，解得b ＝3，c ＝4，∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4，-------------------------------------------------------- 2分 ⑵ 如图1，当y ＝0时，－x 2＋3x ＋4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝∴C （－1，0）；∵△AQP ∽△AOC ，∴AQ PQAO CO =， ∴441AQ AO PQ CO ===，即AQ ＝4PQ ， 设PQ ＝k ， AQ ＝4k ，当点P 在点Q 下方时：P （4k ，4∴k k k -=+⨯+-4443)4(2， --------------------------------------------------------------- 3分解得：16131=k ，02=k （舍去），此时P ⎪⎭⎫ ⎝⎛1651,413， ------------------------------- 4分 当点P 在点Q 上方时：同理可得：P ⎪⎭⎫⎝⎛1675,411综上所述，点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛1651,413或⎪⎭⎫⎝⎛1675,411； -------------------------------------- 6分图4O B⑶ 设P （m ，－m 2＋3m ＋4）（m ＞32），当点Q ′落在x 轴上，延长QP 交x 轴于H ，如图2， 则PQ ＝4－（－m 2＋3m ＋4）＝m 2－3m ， ∵△APQ 沿AP 对折，点Q 的对应点为点Q ′，∴∠A Q ′P ＝∠AQP ＝90°，A Q ′＝AQ ＝m ，P Q ′＝PQ ＝m 2﹣3∵∠A Q ′O ＝∠Q ′PH ， ∴Rt △AO Q ′∽Rt △Q ′HP ，∴Q P Q A H Q OA ''='，即mm mH Q 342-='，解得Q ′H ＝4m －12， ------------------------- 7分 ∴O Q ′＝m －（4m －12）＝12－3m ，在Rt △AO Q ′中，42＋（12－3m ）2＝m 2， ----------------------------------------------- 8分 整理得m 2－9m ＋20＝0，解得m 1＝4，m 2＝5， ---------------------------------------- 9分 此时P 点坐标为（4，0）或（5，－6）；综上所述，点P 的坐标为（4，0）或（5，－6）．-------------------------------------- 10分。

2020年江苏省常州市中考数学一模名师精编试题附解析

2020年江苏省常州市中考数学一模名师精编试题附解析

2020年江苏省常州市中考数学一模名师精编试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．圆的切线（）A．垂直于半径 B．平行于半径C．垂直于经过切点的半径 D．以上都不对2．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，先应当假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°3．口ABCD的周长为36 cm，AB=BC=2cm，则AD，CD的长度分别为（）A．12 cm，6 cm B．8 cm，10 cm C．6 cm，12 cm D．10 cm，8 cm4．一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利l0％，则这件衣服的原价是（）A．118元B．l08元C．106元D．105元5．如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第1秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时，质点所在位置的坐标是（）A．（4．0）B．（5．0）C．（0．5）D．（5．5）6．如图1是一个圆柱体钢块，正中央被挖去了一个长方体孔，其俯视图如图2所示，则此圆柱体钢块的左视图是（）.A．B． C． D．7．下列说法正确的是（）A．足球在草地上滚动，可看作足球在作平移变换B．我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方向作平移变换”C．小明第一次乘观光电梯，随着电梯的上升，他高兴地对同伴说：太棒了，•我现在比大楼还高呢，我长高了D ．在图形平移变换过程中，图形上可能会有不动点8．下列四组线段中，能组成三角形的是（ ）A ．2cm ，3 cm ，4 cmB ．3 cm ，4 cm ，7 cmC ．4 cm ，6 cm ，2 cmD ．7 cm ，10 cm ，2 cm9． 用代数式表示“x 的相反数的 4 次幂的 3 次方”，答案是（ ）A ．43()x -B ． 43[()]x -C ． 34[()]x -D ．34()x -10．甲、乙两个商店各进洗衣机若干台，若甲店拨给乙店 12 台，则两店的洗衣机一样 多；若乙店拨给甲店 12 台，则甲店的洗衣机比乙店的洗衣机数的 5 倍还多 6 台，求甲、乙两店各进洗衣机多少台？若设甲店进洗衣机x 台，乙店进洗衣机y 台，则列出方程组：（1） 245(12)612x y y x -=⎧⎨-+=+⎩；（2） 125(12)612x y y x -=⎧⎨-+=+⎩；（3） 12125612x y x x -=+⎧⎨+=+⎩其中正确的是（ ）A ．（1）B ． （2）C ．（3）D ．（1）（2）（3）二、填空题11．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小 (填 “相同”、“不一定相同”、“不相同”之一）．12．如图，∠DCE 是平行四边形ABCD 的一个外角，且∠DCE=500，则∠A 的度数是 ． 13．一个四边形的边长分别为a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝2ac ＋2bd ，则此四边形为 ．14．某中学购买一种数学参考书，每本书售价12元，该校有学生x 人，需总金额y 元，则y=12x ，这三个量中，常量为 ，变量为 ．15．新定义一种运算：1a b a b ab+*=-，则23*= ． 16．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的中垂线，AE=2.5cm ，△ABD 的周长是9cm ，则△ABC 的周长是 cm ．17．填上适当的式子，使以下等式成立：(1）)(222⋅=-+xy xy y x xy ； (2）)(22⋅=+++n n n n a a a a . 18．若＝，，则b a b b a ==+-+-01222．19．如图所示，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB ，AC ，BD 相交于O ，请将下列说明AB=DC 的理由的过程补充完整．解：∵∠ABC=∠DCB，∠l=∠2(已知)，∴∠ABC一∠l=∠DCB一∠2，即∠DBC= ．在△ABC和△DCB中，= ( )，= ( )，= ( )，∴≌ ( )，∴AB=DC( )．三、解答题20．如图①，小然站在残墙前，小亮站在残墙后活动又不被小然看见，请在下面图②中画出小亮的活动区域.21．将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4．从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．(1）用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率．(2）摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？22．小明为了测量某一高楼 MN的高，在离 N点 200 m 的 A处水平放置了一个平面镜，小明沿 NA 方向后退到点C 正好从镜中看到楼的顶点M，若 AC=l5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1 m).23．如图，在□ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，试判断四边形AECF 是不是平行四边形，并说明理由24．先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其两点间距离公式为22122121()()PP x x y y =-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x 轴或垂直于x 轴时，两点间距离公式可简化成21x x -或21y y -．(1)已知A(3，5)、B(-2，-l)，试求A 、B 两点的距离；(2)已知A 、B 在平行于y 轴的直线上，点A 的纵坐标为5，点B 的纵坐标为-l ，试求A 、B 两点的距离；(3)已知一个三角形各顶点坐标为A(0，6)、B(-3，2)、C(3，2)，你能断定此三角形的形状吗?说明理由．25．如图，写出在平面直角坐标系中和平鸽子图案上A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、M 的坐标．26．某城市有一标志性雕塑；它的基座是一个正方体，在正方体的上面是一个球，而且球的直径与正方体的边长相等，请你根据描述，画出它的三视图．27．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x m y x 117的解是方程325x y 的一个解，求m 的值．28．从1，2，3，4，5中任取两个数相加．求：(1）和为偶数的概率；（2）和为偶数的概率或和为奇数的概率；（3）和为奇数的概率．29．解下列分式方程： (1)231x x =+；(2)22322x x x --=++；（3）3133x x x--=--30．如图所示，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A 得到图形B ，再由图形B 得到图形C?(对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度)【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．B3．B4．B5．B6．C7．B8．A9．B .10．A二、填空题11．相同12．130°13．平行四边形14．12；x ，y15．-116．1417．(1)12-+x y ；(2)n a a ++2118．2,119．∠ACB ，∠ACB ，∠DBC ，已证，∠ABC ，∠DCB ，已知，BC ，CB ，公共边，△ABC ，△DCB ，AAS ，全等三角形对应边相等三、解答题20．如图，②中阴影部分即为小亮的活动区域.21．解：（1）图略，摸出的两个球上数字之和为5的概率为16． (2）摸出的两个球上数字之和为6时概率最大． 22．∴BC ⊥CA ，MN ⊥AN ，∴∠C=∠N=90°，∵∠BAC=∠MAN..∴△BCA ∽△MNA.∴BC AC MN AN =,即1.615200MN =, 1.620015213()MN m =⨯÷≈⋅． 23．是平行四边形，提示：连结AC 交BD 于O ，证△ABE ≌△CDF ，得OE=OF 即可 24．(1)61；(2)6；(3)等腰三角形25．A(-1，5)，B(0，2)，C(4，1)，D(3，2)，E(6，2)，F(6，4)，G(3，4)，H(5，7)，M(0，5) 26．27．253=m 28． （1）25；（2）1；（3）3529．（1）2x =；（2）3x =-；（3）无解30．将图形A 向上平移4个单位长度，得到图形B ；将图形B 以点P 1为旋转中心顺时针旋转90°，再向右平移4个单位长度得到图形C 或将图形B 向右平移4个单位长度，再以P 2为旋转中心顺时针旋转90°得到图形C。

2020年常州市数学中考第一次模拟试题(带答案)

2020年常州市数学中考第一次模拟试题(带答案)

2020年常州市数学中考第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．如图，已知a∥b，l与a、b相交，若∠1=70°，则∠2的度数等于（）A．120°B．110°C．100°D．70°2．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．63．地球与月球的平均距离为384 000km，将384 000这个数用科学记数法表示为（）A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×1064．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24B．18C．12D．95．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°6．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．下列计算错误的是（）A．a2÷a0•a2=a4B．a2÷（a0•a2）=1C．（﹣1.5）8÷（﹣1.5）7=﹣1.5D．﹣1.58÷（﹣1.5）7=﹣1.58．如图中的几何体是由一个圆柱和个长方体组成的，该几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．9．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．10．已知关于x 的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a 的值为 A ．2B ．3C ．4D ．511．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）A ．1201508x x =- B ．1201508x x =+ C ．1201508x x=- D ．1201508x x =+ 12．如图，AB ∥CD ，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD 的度数等于（ ）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40°二、填空题13．若一个数的平方等于5，则这个数等于_____．14．如图所示，图①是一个三角形，分别连接三边中点得图②，再分别连接图②中的小三角形三边中点，得图③……按此方法继续下去．在第n 个图形中有______个三角形（用含n 的式子表示）15．甲、乙两人在1200米长的直线道路上跑步，甲、乙两人同起点、同方向出发，并分别以不同的速度匀速前进，已知，甲出发30秒后，乙出发，乙到终点后立即返回，并以原来的速度前进，最后与甲相遇，此时跑步结束．如图，y（米）表示甲、乙两人之间的距离，x（秒）表示甲出发的时间，图中折线及数据表示整个跑步过程中y与x函数关系，那么，乙到达终点后_____秒与甲相遇．16．正六边形的边长为8cm，则它的面积为____cm2．17．如图，反比例函数y=kx的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=_____．18．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b＝a2﹣|b|，则2☆（﹣3）＝_____．19．二元一次方程组627x yx y+=⎧⎨+=⎩的解为_____．20．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是_____．三、解答题21．为响应珠海环保城市建设，我市某污水处理公司不断改进污水处理设备，新设备每小时处理污水量是原系统的1.5倍，原来处理1200m3污水所用的时间比现在多用10小时．（1）原来每小时处理污水量是多少m2？（2）若用新设备处理污水960m3，需要多长时间？22．垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用，为了了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校对本校甲、乙两班各60名学生进行了垃极分类相关知识的测试，并分别随机抽取了15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整（收集数据）甲班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80乙班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83（整理数据）按如下分数段整理、描述这两组样本数据在表中，a＝，b＝．（分析数据）（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：在表中：x＝，y＝．（2）若规定得分在80分及以上（含80分）为合格，请估计乙班60名学生中垃圾分类相关知识合格的学生有人（3）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的情况较好，说明理由．23．小慧和小聪沿图①中的景区公路游览．小慧乘坐车速为30 km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点．上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义；(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？24．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先求出∠1的邻补角的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数．【详解】如图，∵∠1=70°，∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°，∴∠2=∠3=110°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.2．A解析：A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.3．C解析：C【解析】试题分析：384 000=3.84×105．故选C．考点：科学记数法—表示较大的数．4．A解析：A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.5．C【解析】【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：3605=72°．故选C．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．6．A解析：A【解析】试题解析：∵x+1≥2，∴x≥1．故选A．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．7．D解析：D【解析】分析：根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判定即可．详解：∵a2÷a0•a2=a4，∴选项A不符合题意；∵a2÷（a0•a2）=1，∴选项B不符合题意；∵（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5，∴选项C不符合题意；∵-1.58÷（-1.5）7=1.5，∴选项D符合题意．故选D．点睛：此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．8．D解析：D 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看是一个圆形，圆形内部是一个虚线的正方形. 故选：D ． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．9．D解析：D 【解析】 【分析】根据二次函数图象开口向上得到a>0，再根据对称轴确定出b ，根据二次函数图形与x 轴的交点个数，判断24b ac -的符号，根据图象发现当x=1时y=a+b+c<0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】∵二次函数图象开口方向向上， ∴a >0，∵对称轴为直线02bx a=->， ∴b <0，二次函数图形与x 轴有两个交点，则24b ac ->0， ∵当x =1时y =a +b +c <0，∴24y bx b ac =+-的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交，反比例函数a b cy x++=图象在第二、四象限， 只有D 选项图象符合. 故选：D. 【点睛】考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.10．D解析：D 【解析】∵方程2x+a﹣9=0的解是x=2，∴2×2+a﹣9=0，解得a=5．故选D．11．D解析：D【解析】【分析】首先用x表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.【详解】解：∵甲每小时做x个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件，∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴1201508x x=+，故选D.【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.12．D解析：D【解析】【分析】【详解】∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°﹣80°﹣60°=40°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D=40°．故选D．二、填空题13．【解析】【分析】根据平方根的定义即可求解【详解】若一个数的平方等于5则这个数等于：故答案为：【点睛】此题主要考查平方根的定义解题的关键是熟知平方根的性质解析：【解析】【分析】根据平方根的定义即可求解.【详解】若一个数的平方等于5，则这个数等于：故答案为：【点睛】此题主要考查平方根的定义，解题的关键是熟知平方根的性质.14．【解析】【分析】分别数出图①图②图③中的三角形的个数可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3如图③中三角形的个数为9=4×3-3按照这个规律即可求出第n 各图形中有多少三角形【详解】分 解析：()43n -【解析】 【分析】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．如图③中三角形的个数为9=4×3-3．按照这个规律即可求出第n 各图形中有多少三角形． 【详解】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数， 图①中三角形的个数为1=4×1-3； 图②中三角形的个数为5=4×2-3； 图③中三角形的个数为9=4×3-3； …可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3． 按照这个规律，如果设图形的个数为n ，那么其中三角形的个数为4n-3． 故答案为4n-3． 【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题．15．30【解析】【分析】由图象可以V 甲＝9030＝3m/sV 追＝90120-30＝1m/s 故V 乙＝1+3＝4m/s 由此可求得乙走完全程所用的时间为：12004＝300s 则可以求得此时乙与甲的距离即可求出解析：30 【解析】 【分析】 由图象可以V 甲＝＝3m/s ，V 追＝＝1m/s ，故V 乙＝1+3＝4m/s ，由此可求得乙走完全程所用的时间为：＝300s ，则可以求得此时乙与甲的距离，即可求出最后与甲相遇的时间． 【详解】 由图象可得V 甲＝＝3m/s ，V 追＝＝1m/s ，∴V 乙＝1+3＝4m/s ，∴乙走完全程所用的时间为：＝300s，此时甲所走的路程为：（300+30）×3＝990m．此时甲乙相距：1200﹣990＝210m则最后相遇的时间为：＝30s故答案为：30【点睛】此题主要考查一次函数图象的应用，利用函数图象解决行程问题．此时就要求掌握函数图象中数据表示的含义．16．【解析】【分析】【详解】如图所示正六边形ABCD中连接OCOD过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形∴∠COD=60°；∵OC=OD∴△COD是等边三角形∴OE=CE•tan60°=cm∴S△OCD解析：3【解析】【分析】【详解】如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形，∴∠COD=60°；∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴OE=CE•tan60°=83432⨯=cm，∴S△OCD=12CD•OE=12×8×43=163cm2．∴S正六边形=6S△OCD=6×163=963cm2．考点：正多边形和圆17．-3【解析】分析：由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积在得到矩形PDOE面积应用反比例函数比例系数k的意义即可详解：过点P做PE⊥y轴于点E∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD又∵BD⊥x轴∴解析：-3【解析】分析：由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．详解：过点P做PE⊥y轴于点E，∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD又∵BD⊥x轴∴ABDO为矩形∴AB=DO∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6∵P为对角线交点，PE⊥y轴∴四边形PDOE为矩形面积为3即DO•EO=3∴设P点坐标为（x，y）k=xy=﹣3故答案为：﹣3点睛：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质．18．1【解析】解：2☆（﹣3）=22﹣|﹣3|=4﹣3=1故答案为1点睛：此题考查有理数的混合运算掌握规定的运算方法是解决问题的关键解析：1【解析】解：2☆（﹣3）=22﹣|﹣3|=4﹣3=1．故答案为1．点睛：此题考查有理数的混合运算，掌握规定的运算方法是解决问题的关键．19．【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解【详解】②﹣①得③将③代入①得∴故答案为：【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法本题属于基础题比较简单解析：15 xy=⎧⎨=⎩【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．【详解】627x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②﹣①得1x =③将③代入①得5y =∴15x y =⎧⎨=⎩故答案为：15x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．20．【解析】【分析】根据概率的求法找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【详解】共个数大于的数有个（大于）；故答案为【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可 解析：12． 【解析】【分析】 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】共6个数，大于3的数有3个，P ∴（大于3）3162==； 故答案为12． 【点睛】 本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n． 三、解答题21．（1）原来每小时处理污水量是40m 2；（2）需要16小时．【解析】试题分析：()1设原来每小时处理污水量是x m 2，新设备每小时处理污水量是1.5x m 2，根据原来处理1200m 3污水所用的时间比现在多用10小时这个等量关系，列出方程求解即可. ()2根据()960 1.54016÷⨯=即可求出.试题解析：()1设原来每小时处理污水量是x m 2，新设备每小时处理污水量是1.5x m 2， 根据题意得：1200120010,1.5x x-= 去分母得：1800120015x ，-= 解得：40x =，经检验40x = 是分式方程的解，且符合题意，则原来每小时处理污水量是40m 2；（2）根据题意得：()960 1.54016÷⨯=（小时），则需要16小时．22．【整理数据】：7，4；【分析数据】（1）85，80；（2）40；（3）乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，见解析.【解析】【分析】由收集的数据即可得；（1）根据众数和中位数的定义求解可得；（2）用总人数乘以乙班样本中合格人数所占比例可得；（3）甲、乙两班的方差判定即可．【详解】解：乙班75.5～80.5分数段的学生数为7，80.5～85.5分数段的学生数为4， 故a ＝7，b ＝4，故答案为：7，4；（1）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80，众数是x ＝85，67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89，中位数是y ＝80，故答案为：85，80；（2）60×1015＝40（人）， 即合格的学生有40人，故答案为：40； （3）乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，∵甲班的方差＞乙班的方差，∴乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好．【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数，中位数，正确的理解题意是解题的关键．23．（1）小聪上午7：30从飞瀑出发；（2）点B 的实际意义是当小慧出发1.5 h 时，小慧与小聪相遇，且离宾馆的路程为30 km.；（3）小聪到达宾馆后，立即以30 km/h 的速度按原路返回，那么返回途中他11：00遇见小慧．【解析】【分析】（1）由时间=路程÷速度，可得小聪骑车从飞瀑出发到宾馆所用时间为：50÷20=2.5（小时），从10点往前推2.5小时，即可解答；（2）先求GH 的解析式，当s=30时，求出t 的值，即可确定点B 的坐标；（3）根据50÷30=53（小时）=1小时40分钟，确定当小慧在D 点时，对应的时间点是10：20，而小聪到达宾馆返回的时间是10：00，设小聪返回x 小时后两人相遇，根据题意得：30x+30（x ﹣）=50，解得：x=1，10+1=11点，即可解答．【详解】（1）小聪骑车从飞瀑出发到宾馆所用时间为：50÷20=2.5（小时）， ∵上午10：00小聪到达宾馆，∴小聪上午7点30分从飞瀑出发．（2）3﹣2.5=0.5，∴点G 的坐标为（0.5，50），设GH 的解析式为s kt b =+，把G （0.5，50），H （3，0）代入得；150{230k b k b +=+=，解得：20{60k b =-=， ∴s=﹣20t+60，当s=30时，t=1.5，∴B 点的坐标为（1.5，30），点B 的实际意义是当小慧出发1.5小时时，小慧与小聪相遇，且离宾馆的路程为30km ；（3）50÷30=53（小时）=1小时40分钟，12﹣53=1103， ∴当小慧在D 点时，对应的时间点是10：20，而小聪到达宾馆返回的时间是10：00，设小聪返回x 小时后两人相遇，根据题意得：30x+30（x ﹣13）=50，解得：x=1， 10+1=11=11点，∴小聪到达宾馆后，立即以30km/h 的速度按原路返回，那么返回途中他11点遇见小慧．24．（1）见解析；（2）AD=4.5.【解析】【分析】（1）若证明BC 是半圆O 的切线，利用切线的判定定理：即证明AB ⊥BC 即可；（2）因为OC ∥AD ，可得∠BEC=∠D=90°，再有其他条件可判定△BCE ∽△BAD ，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AD 的长．【详解】（1）证明：∵AB 是半圆O 的直径，∴∠DBA+∠A=90°，∵∠DBC=∠A ，∴∠DBA+∠DBC=90°即AB ⊥BC ，∴BC 是半圆O 的切线；（2）解：∵OC ∥AD ，∴∠BEC=∠D=90°，∵BD ⊥AD ，BD=6，∴BE=DE=3，∵∠DBC=∠A ，∴△BCE ∽△BAD ， ∴=CE BE BD AD ，即436=AD； ∴AD=4.5【点睛】 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质．25．（1）BC 与⊙O 相切，理由见解析；（2）①⊙O 的半径为2.②S 阴影=2233π-. 【解析】【分析】（1）根据题意得：连接OD ，先根据角平分线的性质，求得∠BAD ＝∠CAD ，进而证得OD ∥AC ，然后证明OD ⊥BC 即可；（2）设⊙O 的半径为r ．则在Rt △OBD 中，利用勾股定理列出关于r 的方程，通过解方程即可求得r 的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得结果．【详解】（1）相切．理由如下：如图，连接OD.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD.∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠BAD ，∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD ∥AC.又∠C ＝90°，∴BC 与⊙O 相切（2）①在Rt △ACB 和Rt △ODB 中， ∵AC ＝3，∠B ＝30°，∴AB ＝6，OB ＝2OD.又OA ＝OD ＝r ， ∴OB ＝2r ，∴2r ＋r ＝6，解得r ＝2，即⊙O 的半径是2②由①得OD ＝2，则OB ＝4，BD ＝S 阴影＝S △BDO －S 扇形ODE ＝12××2－2602360π⨯＝－23π。

江苏省常州市中考数学一模试卷

江苏省常州市中考数学一模试卷

江苏省常州市中考数学一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共16题；共32分)1. （2分）(2020·大东模拟) ﹣8的相反数是（）A . 8B .C .D . －82. （2分）(2017·临沂) 如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（）A . 50°B . 60°C . 70°D . 80°3. （2分）如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，将点A向右移动3个单位长度，得到点B，则点B表示的数是（）A . -5B . 0C . 1D . 34. （2分） (2019七下·滨江期末) 以下现象属于平移的是（）A . 钟摆的摆动B . 电风扇扇叶的转动C . 分针的转动D . 滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行5. （2分）(2017·武汉模拟) 下列式子计算结果为x2﹣4的是（）A . （x+1）（x﹣4）B . （x+2）（x﹣2）C . （x+2）（2﹣x）D . （x﹣2）26. （2分） (2017九上·北海期末) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠B=50°，则∠A的度数为（）A . 80°B . 60°C . 40°D . 50°7. （2分）如果是的解，那么a，b之间的关系是（）A . 4b－9a=7B . 9a＋4b＋7=0C . 3a＋2b =1D . 4b－9a＋7=08. （2分） (2016九上·竞秀期中) 如图，Rt△ABO中，直角边BO落在x轴的负半轴上，点A的坐标是（﹣4，2），以O为位似中心，按比列尺1：2把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为（）A . （﹣1，2）B . （2，﹣1）C . （﹣2，1）D . （﹣2，1）或（2，﹣1）9. （2分） (2020八上·成都月考) 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点到达点，下列说法正确的是（）A . 点所表示的是B . 数轴上只有一个无理数C . 数轴上只有无理数没有有理数D . 数轴上的有理数比无理数要多一些10. （2分）(2017·河南模拟) 某校调查了20名同学某一周玩手机游戏的次数，调查结果如下表所示，那么这20名同学玩手机游戏次数的平均数为（）次数2458人数22106A . 5B . 5.5C . 6D . 6.511. （2分） (2017八下·庐江期末) 如图，用两个完全相同的直角三角板，不能拼成（）A . 平行四边形B . 正方形C . 等腰三角形D . 梯形12. （2分） (2019八下·灞桥期末) 某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率比乙厂高 .设求甲厂的合格率为x％，则x应满足的方程为（）.A .B .C .D .13. （2分） (2020八上·温州期末) 已知A，B两地相距12km，甲、乙两人沿同一条公路分别从A，B两地出发相向而行，甲、乙两人离B地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系图象如图所示，则两人在甲出发后相遇所需的时间是（）A . 1.2hB . 1.5hC . 1.6hD . 1.8h14. （2分）(2018·台湾) 如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A 互补，其作法分别如下：（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）A . 两人皆正确B . 两人皆错误C . 甲正确，乙错误D . 甲错误，乙正确15. （2分） (2017八下·路南期末) 如图，菱形ABCD的边长是2，∠B=120°，P是对角线AC上一个动点，E是CD的中点，则PE＋PD的最小值为（）A .B .C . 2D .16. （2分）小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回．父亲看了10分报纸后，用了15分返回家．下面的图形中表示父亲离家的时间与距离之间的关系是（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共5分)17. （3分） (2018七上·开平月考) -1.5的相反数是 ________，-1.5的绝对值是________，-1.5的倒数是________.18. （1分）（2015•徐州）用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径________19. （1分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC,交y2于点E，则=________ .三、解答题 (共7题；共70分)20. （1分）若m+n=1，mn=2，则的值为________ ．21. （3分） (2018九上·南山期末) 同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m(分别用A1、A2、A3表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用T1、T2表示)．（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为________；（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1为________，利用列表法或树状图加以说明；（3）该同学从5个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为________．22. （15分）(2019·唐县模拟) 如图1，在等边△ABC和等边△ADP中，AB=2，点P在△ABC的高CE上（点P与点C不重合），点D在点P的左侧，连接BD，ED.图-1 图-2（1）求证：BD=CP；（2）当点P与点E重合时，延长CE交BD于点F，请你在图-2中作出图形，并求出BF的长；（3）直接写出线段DE长度的最小值.23. （6分） (2018九上·海淀期末) 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨/天），卸货天数为t．（1）直接写出v关于t的函数表达式：v=________；（不需写自变量的取值范围）（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？24. （15分）甲经销商库存有1200套A品牌服装，每套进价400元，每套售价500元，一年内可卖完，现市场流行B品牌服装，每套进价300元，每套售价600元，但一年内只允许经销商一次性订购B品牌服装，一年内B 品牌服装销售无积压，因甲经销商无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，用转让来的资金购进B品牌服装，并销售，经与乙经销商协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的函数关系式为y=﹣x+360（100≤x≤1200），若甲经销商转让x套A品牌服装，一年内所获总利润为W（元）．（1）求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q1（元）与x（套）之间的函数关系式；（2）求B品牌服装的销售款Q2（元）与x（套）之间的函数关系式；（3）求W（元）与x（套）之间的函数关系式，并求W的最大值．25. （15分）(2020·金牛模拟) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD的交点为E，OB∥CD，BH⊥AC，垂足为H，且∠BFA＝∠DBC．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若BH＝3，求AD的长度；（3）若sin∠DAC＝，求△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比．26. （15分） (2015九上·潮州期末) 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C 出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．（1）几秒后P，Q两点相距25cm？（2）几秒后△PCQ与△ABC相似？（3）设△CPQ的面积为S1 ，△ABC的面积为S2 ，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．参考答案一、选择题 (共16题；共32分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共5分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共70分)答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、答案：24-3、考点：解析：答案：25-1、答案：25-2、答案：25-3、考点：解析：答案：26-1、答案：26-2、答案：26-3、考点：解析：第21 页共21 页。

2020年江苏省常州市中考数学一模试卷

2020年江苏省常州市中考数学一模试卷

2020年江苏省常州市中考数学一模试卷一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列各数中，互为倒数的是( )A ．3-与3B ．3-与13C ．3-与13-D ．3-与|3|-2．（2分）五箱苹果的质量（单位：)kg 分别为：19，22，21，20，19，则这五箱苹果质量的众数和中位数分别为( )A ．19和21B ．19和20C ．19和19D ．19和223．（2分）下列运算正确的是( ) A ．624x x x ÷=B ．3252()x y x y =C ．2(1)21x x --=-+D ．22(1)1x x -=- 4．（2分）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是( )A ．①B ．②C ．③D ．④5．（2分）关于x 的一元二次方程210x ax +-=的根的情况是( )A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根6．（2分）如图，直线y kx b =+与x 轴交于点(4,0)-，则0y >时，x 的取值范围是( )A ．4x <-B ．0x >C ．4x >-D ．0x <7．（2分）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE BD ⊥，垂足为F ，则tan BDE ∠的值是( )A．24B．14C．13D．238．（2分）如图，四边形ABCD、CEFG是正方形，E在CD上且BE平分DBC∠，O是BD 中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，下列四个结论：①BE GD⊥；②12OH BG=；③45AHD∠=︒；④2GD AM=，其中正确的结论个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题2分，共20分）9．（2分）2-的绝对值等于．10．（2分）函数24y x=-中，自变量x的取值范围是．11．（2分）每天供给地球光和热的太阳与我们距离非常遥远，它距地球15000000千米，将15000000千米用科学记数法表示为千米．12．（2分）在平面直角坐标系中，点(1,2)P-向右平移3个单位长度得到的点的坐标是．13．（2分）计算111aa a+--的结果是．14．（2分）分解因式：34a a-=．15．（2分）如图，AB是O的直径，C是O上的点，过点C作O的切线交AB的延长线于点D．若32A∠=︒，则D∠=度．16．（2分）已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为150︒，则这个扇形的面积为2cm．17．（2分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且45EDF ∠=︒，将DAE ∆绕点D 逆时针旋转90︒，得到DCM ∆．若1AE =，则FM的长为 ．18．（2分）如图，菱形ABCD 的边AD y ⊥轴，垂足为点E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴的正半轴上，反比例函数(0,0)k y k x x=≠>的图象经过顶点C 、D ，若点C 的横坐标为5，3BE DE =，则k 的值为 ．三、解答题（共10小题，满分84分）19．（8分）计算：（1）114sin 6012()2-︒-- （2）2(2)(2)(2)a b a b a b -+--20．（6分）解不等式组：1312123x x x +<⎧⎪+⎨-<⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来． 21．（8分）如图，EBF ∆为等腰直角三角形，点B 为直角顶点，四边形ABCD 是正方形．（1）求证：ABE CBF ∆≅∆；（2）CF 与AE 有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．22．（8分）某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有名．23．（8分）数学课上，李老师准备了四张背面都一样的卡片A、B、C、D，每张卡片的正面标有字母a、b、c表示三条线段（如图）．把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．（1）李老师随机抽取一张卡片，抽到卡片B的概率等于；（2）求李老师抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．24．（8分）某社区计划对21200m的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为2300m区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．（1）甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？（2）设先由甲队施工x天，再由乙队施工y天，刚好完成绿化任务，求y关于x的函数关系式．25．（8分）如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30︒，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45︒，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面20i=DE=米，山坡的坡度3（即tan1:3)∠=，且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、DEMN在同一条直线上，求条幅AB的长度（结果保留根号）．26．（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，ABC∆的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，80∠．请∠=︒，对角线BD平分ABCABC∠=︒，140ADC问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，30∠=∠=︒．连接EG，EFH HFG若EFG∆的面积为63FH的长．27．（10分）如图，在AOBOA=，8OB=，动点Q从点O出发，沿∠=︒，6∆中，90AOB着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒(05)<，以P为圆心，PA长为半t径的P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、CQ．（1）当点Q与点D重合时，求t的值；（2）若ACQ∆是等腰三角形，求t的值；（3）若P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围．28．（10分）如图1，已知抛物线2y x bx c =-++交y 轴于点(0,4)A ，交x 轴于点(4,0)B ，点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，过点A 作AQ PQ ⊥于点Q ，连接(AP AP 不平行x 轴）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上运动，若AQP AOC ∆∆∽（点P 与点C 对应），求点P 的坐标；（3）如图2，若点P 位于抛物线的对称轴的右侧，将APQ ∆沿AP 对折，点Q 的对应点为点Q '，当点Q '落在x 轴上时，求点P 的坐标．2020年江苏省常州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列各数中，互为倒数的是( )A ．3-与3B ．3-与13C ．3-与13-D ．3-与|3|-【分析】根据倒数的定义分别进行解答，即可得出答案．【解答】解：A 、3-与3互为相反数，故本选项错误；B 、3-与13不互为倒数，故本选项错误； C 、3-与13-互为倒数，故本选项正确； D 、|3|3-=，3-与3互为相反数，故本选项错误；故选：C ．【点评】此题考查了倒数，掌握倒数的定义是本题的关键，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（2分）五箱苹果的质量（单位：)kg 分别为：19，22，21，20，19，则这五箱苹果质量的众数和中位数分别为( )A ．19和21B ．19和20C ．19和19D ．19和22【分析】根据众数和中位数的概念分别求得这组数据的众数和中位数．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即19；从小到大排列为19，19，20，21，22，则这组数据的中位数为20．故选：B ．【点评】考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．3．（2分）下列运算正确的是( )A ．624x x x ÷=B ．3252()x y x y =C ．2(1)21x x --=-+D ．22(1)1x x -=- 【分析】根据同底数幂的乘法法则对A 进行判断；根据积的乘方与幂的乘方对B 进行判断；根据去括号法则对C 进行判断；根据完全平方公式对D 进行判断．【解答】解：A 、原式624x x -==，所以A 选项正确；B 、原式62x y =，所以B 选项错误；C 、原式22x =-+，所以C 选项错误；D 、原式221x x =-+，所以D 选项错误．故选：A ．【点评】本题考查了完全平方公式：记住完全平方公式，即222()2a b a ab b ±=±+．也考查了整式的运算．4．（2分）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是( )A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，故选：A ．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．5．（2分）关于x 的一元二次方程210x ax +-=的根的情况是( )A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【分析】先计算判别式的值，然后非负数的性质和判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：△240a =+>，∴，方程有两个不相等的两个实数根．故选：D ．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的两个实数根；当△0=时，方程有两个相等的两个实数根；当△0<时，方程无实数根．6．（2分）如图，直线y kx b =+与x 轴交于点(4,0)-，则0y >时，x 的取值范围是( )A ．4x <-B ．0x >C ．4x >-D ．0x <【分析】观察函数图象可知：y 随x 的增大而增大，结合直线y kx b =+与x 轴交于点(4,0)-，即可得出当0y >时x 的取值范围．【解答】解：观察函数图象，可知：y 随x 的增大而增大．直线y kx b =+与x 轴交于点(4,0)-，∴当0y >时，4x >-．故选：C ．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，观察函数图象，找出y 随x 的增大而增大是解题的关键．7．（2分）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE BD ⊥，垂足为F ，则tan BDE ∠的值是( )A 2B ．14C ．13D 2 【分析】证明BEF DAF ∆∆∽，得出12EF AF =，13EF AE =，由矩形的对称性得：AE DE =，得出13EF DE =，设EF x =，则3DE x =，由勾股定理求出2222DF DE EF x =-，再由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，//AD BC ，点E 是边BC 的中点，1122BE BC AD ∴==， BEF DAF ∴∆∆∽，∴12EF BE AF AD ==， 12EF AF ∴=， 13EF AE ∴=， 点E 是边BC 的中点，∴由矩形的对称性得：AE DE =，13EF DE ∴=，设EF x =，则3DE x =， 2222DF DE EF x ∴=-=，2tan 422EF BDE DF x ∴∠===； 故选：A ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．8．（2分）如图，四边形ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上且BE 平分DBC ∠，O 是BD 中点，直线BE 、DG 交于H ．BD ，AH 交于M ，连接OH ，下列四个结论：①BE GD ⊥；②12OH BG =；③45AHD ∠=︒；④2GD AM =， 其中正确的结论个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】①由已知条件可证得BEC DGC ∆≅∆，EBC CDG ∠=∠，因为90BDC DBH EBC ∠+∠+∠=︒，所以90BDC DBH CDG ∠+∠+∠=︒，即BE GD ⊥，故①正确；②由①可以证明BHD BHG ∆≅∆，就可以得到DH GH =，得出OH 是BGD ∆的中位线，从而得出结论．③若以BD 为直径作圆，那么此圆必经过A 、B 、C 、H 、D 五点，根据圆周角定理即可得到45AHD ∠=︒，所以②的结论也是正确的．④此题要通过相似三角形来解；由②的五点共圆，可得BAH BDH ∠=∠，而45ABD DBG ∠=∠=︒，由此可判定ABM DBG ∆∆∽，根据相似三角形的比例线段即可得到AM 、DG 的比例关系；【解答】解：①正确，证明如下：BC DC =，CE CG =，90BCE DCG ∠=∠=︒，BEC DGC ∴∆≅∆，EBC CDG ∴∠=∠，90BDC DBH EBC ∠+∠+∠=︒，90BDC DBH CDG ∴∠+∠+∠=︒，即BE GD ⊥，故①正确；②BE 平分DBC ∠，DBH GBH ∴∠=∠．BE GD ⊥，90BHD BHG ∴∠=∠=︒．在BHD ∆和BHG ∆中DBH GBH BH BHBHD BHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()BHD BHG ASA ∴∆≅∆，DH GH ∴=． O 是BD 中点，DO BO ∴=．OH ∴是BDG ∆的中位线，12OH BG ∴=，故②正确； ③由于BAD ∠、BCD ∠、BHD ∠都是直角，因此A 、B 、C 、D 、H 五点都在以BD 为直径的圆上；由圆周角定理知：45DHA ABD ∠=∠=︒，故③正确；④由②知：A 、B 、C 、D 、H 五点共圆，则BAH BDH ∠=∠；又45ABD DBG ∠=∠=︒，ABM DBG ∴∆∆∽，得::AM DG AB BD ==DG ；∴正确的个数有4个．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用、正方形的性质的运用，角平分线的性质的运用以及圆周角定理等知识的综合应用，能够判断出A、B、C、D、H五点共圆是解题的关键．二、填空题（每题2分，共20分）9．（2分）2-的绝对值等于2．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解．【解答】解：|2|2-=．故答案为：2．【点评】考查了绝对值，计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．x．10．（2分）函数y=x的取值范围是2x-，可求x的范【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以240围．x-【解答】解：240x．解得2【点评】此题主要考查：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．11．（2分）每天供给地球光和热的太阳与我们距离非常遥远，它距地球15000000千米，将15000000千米用科学记数法表示为7⨯千米．1.510【分析】科学记数法的表示形式为10na<，n为整数．确定n的值a⨯的形式，其中1||10时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1<时，n是负数．>时，n是正数；当原数的绝对值1【解答】解：7=⨯．15000000 1.510故答案为7⨯．1.510【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10na⨯的形式，其中a<，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．1||1012．（2分）在平面直角坐标系中，点(1,2)P-向右平移3个单位长度得到的点的坐标是【分析】将点P 的横坐标加3，纵坐标不变即可求解．【解答】解：点(1,2)P -向右平移3个单位长度得到的点的坐标是(13,2)-+，即(2,2)． 故答案为(2,2)．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．13．（2分）计算111a a a+--的结果是 1 ． 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式111a a a =--- 11a a -=- 1=．故答案为：1【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2分）分解因式：34a a -= (2)(2)a a a +- ．【分析】原式提取a ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)a a =-(2)(2)a a a =+-．故答案为：(2)(2)a a a +-【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．（2分）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的点，过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点D ．若32A ∠=︒，则D ∠= 26 度．【分析】连接OC ，根据圆周角定理得到2COD A ∠=∠，根据切线的性质计算即可．【解答】解：连接OC ，由圆周角定理得，264COD A ∠=∠=︒，CD 为O 的切线，OC CD ∴⊥，9026D COD ∴∠=︒-∠=︒，故答案为：26．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16．（2分）已知一个扇形的半径为6cm ，圆心角为150︒，则这个扇形的面积为 15π 2cm ．【分析】根据扇形的面积2360n R π=，进行计算． 【解答】解：根据扇形的面积公式，得()22150615360S cm ππ⨯==扇． 【点评】熟练运用扇形的面积公式进行计算．17．（2分）如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且45EDF ∠=︒，将DAE ∆绕点D 逆时针旋转90︒，得到DCM ∆．若1AE =，则FM 的长为 52．【分析】由旋转可得DE DM =，EDM ∠为直角，可得出90EDF MDF ∠+∠=︒，由45EDF ∠=︒，得到M DF ∠为45︒，可得出EDF MDF ∠=∠，再由DF DF =，利用SAS 可得出三角形DEF 与三角形MDF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF MF =；则可得到1AE CM ==，正方形的边长为3，用AB AE -求出EB 的长，再由BC CM +求出BM 的长，设EF MF x ==，可得出4BF BM FM BM EF x =-=-=-，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为FM 的长．【解答】解：DAE ∆逆时针旋转90︒得到DCM ∆，180FCM FCD DCM ∴∠=∠+∠=︒，F ∴、C 、M 三点共线，DE DM ∴=，90EDM ∠=︒，90EDF FDM ∴∠+∠=︒，45EDF ∠=︒，45FDM EDF ∴∠=∠=︒，在DEF ∆和DMF ∆中，DE DM EDF FDM DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEF DMF SAS ∴∆≅∆，EF MF ∴=，设EF MF x ==，1AE CM ==，且3BC =，314BM BC CM ∴=+=+=，4BF BM MF BM EF x ∴=-=-=-，312EB AB AE =-=-=，在Rt EBF ∆中，由勾股定理得222EB BF EF +=，即2222(4)x x +-=， 解得：52x =， 52FM ∴=． 故答案为：52． 【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．18．（2分）如图，菱形ABCD 的边AD y ⊥轴，垂足为点E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴的正半轴上，反比例函数(0,0)k y k x x=≠>的图象经过顶点C 、D ，若点C 的横坐标为5，3BE DE =，则k 的值为 154．【分析】过点D 作DF BC ⊥于点F ，由菱形的性质可得BC CD =，//AD BC ，可证四边形DEBF 是矩形，可得DF BE =，DE BF =，在Rt DFC ∆中，由勾股定理可求1DE =，3DF =，由反比例函数的性质可求k 的值．【解答】解：如图，过点D 作DF BC ⊥于点F ，四边形ABCD 是菱形，BC CD ∴=，//AD BC90DEB ∠=︒，//AD BC90EBC ∴∠=︒，且90DEB ∠=︒，DF BC ⊥∴四边形DEBF 是矩形DF BE ∴=，DE BF =，点C 的横坐标为5，3BE DE =，5BC CD ∴==，3DF DE =，5CF DE =-222CD DF CF =+，22259(5)DE DE ∴=+-，1DE ∴=3DF BE ∴==，设点(5,)C m ，点(1,3)D m + 反比例函数k y x=图象过点C ，D 51(3)m m ∴=⨯+34m ∴=∴点3(5,)4C 315544k ∴=⨯= 故答案为：154 【点评】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE 的长度是本题的关键．三、解答题（共10小题，满分84分）19．（8分）计算：（1）114sin 60()2-︒ （2）2(2)(2)(2)a b a b a b -+--【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，二次根式的性质以及负整数指数幂的定义计算即可；（2）根据平方差公式以及完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）原式42=-2= 2=-；（2）原式22224(44)a b a ab b =---+2222444a b a ab b =--+-248ab b =-．【点评】本题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟记相关定义与公式是解答本题的关键．20．（6分）解不等式组：1312123x x x +<⎧⎪+⎨-<⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．【解答】解：1312123x x x +<⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②， 由①得：2x <，由②得：3x >-，不等式组的解集为：32x -<<，把不等式组的解集在数轴上表示为：．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21．（8分）如图，EBF ∆为等腰直角三角形，点B 为直角顶点，四边形ABCD 是正方形．（1）求证：ABE CBF ∆≅∆；（2）CF 与AE 有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．【分析】（1）由正方形的性质和等腰直角三角形性质可得BA BC =，90ABC ∠=︒，BE BF =，90EBF ∠=︒，由“SAS ”可证ABE CBF ∆≅∆；（2）延长CF 交AB 于H ，交AE 于G ，由全等三角形的性质可得BAE BCF ∠=∠，由直角三角形的性质可求90AGH ∠=︒，可得结论．【解答】证明：（1）等腰直角EBF ∆，BE BF ∴=，90EBF ∠=︒，正方形ABCD ，BA BC ∴=，90ABC ∠=︒，ABE ABF CBF ABF ∴∠+∠=∠+∠，ABE CBF ∴∠=∠，在ABE ∆和CBF ∆中AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CBF SAS ∴∆≅∆；（2）CF AE ⊥，理由：延长CF 交AB 于H ，交AE 于G ，ABE CBF ∆≅∆，BAE BCF ∴∠=∠，90BCF BHC ∠+∠=︒，90BAE AHG ∴∠+∠=︒，90AGH ∴∠=︒，CF AE ∴⊥．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．22．（8分）某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了 120 名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是 ；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有 名．【分析】（1）根据安全意识一般的有18人，所占的百分比是15%，据此即可求得调查的总人数，然后利用百分比的意义求得安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比；（2）利用总人数乘以对应的百分比即可求解；（3）利用总人数1800乘以对应的比例即可．【解答】解：（1）调查的总人数是：1815%120÷=（人)，安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是：3630% 120=．故答案是：120，30%；（2）安全意识“较强”的人数是：12045%54⨯=（人)，；（3）估计全校需要强化安全教育的学生约12181800450120+⨯=（人)，故答案是：450．【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360︒的比．23．（8分）数学课上，李老师准备了四张背面都一样的卡片A、B、C、D，每张卡片的正面标有字母a、b、c表示三条线段（如图）．把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张．（1）李老师随机抽取一张卡片，抽到卡片B的概率等于14；（2）求李老师抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三条线段都能组成三角形的情况数，然后根据概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）有四张卡片，背面标有A、B、C、D，∴李老师随机抽取一张卡片，抽到卡片B的概率等于14；故答案为：14； （2）根据题意画图如下：共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形有2种结果，∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为21126=． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（8分）某社区计划对21200m 的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为2300m 区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．（1）甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？（2）设先由甲队施工x 天，再由乙队施工y 天，刚好完成绿化任务，求y 关于x 的函数关系式．【分析】（1）根据题意，可以得到相应的分式方程，然后即可得到甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少；（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到y 与x 的函数关系式． 【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是2xm ，30030032x x-= 解得，50x =，经检验，50x =是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是2502100()m ⨯=，答：甲、乙两工程队每天能完成的面积分别是2100m 、250m ；（2）由题意得：100501200x y +=， 整理得：120010024250x y x -==-， 即y 关于x 的函数关系式是242y x =-．【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．25．（8分）如图，大楼AN 上悬挂一条幅AB ，小颖在坡面D 处测得条幅顶部A 的仰角为30︒，沿坡面向下走到坡脚E 处，然后向大楼方向继续行走10米来到C 处，测得条幅的底部B 的仰角为45︒，此时小颖距大楼底端N 处20米．已知坡面20DE =米，山坡的坡度1:3i =，（即tan 1:3)DEM ∠=，且D 、M 、E 、C 、N 、B 、A 在同一平面内，M 、E 、C 、N 在同一条直线上，求条幅AB 的长度（结果保留根号）．【分析】过点D 作DH AN ⊥于H ，过点E 作EF DH ⊥于F ，设EF k =，3DF k =，得出222(3)20k k +=，解方程求出10k =，在Rt ADH ∆中，求出AH ，AN ，则可求出AB 的长．【解答】解：过点D 作DH AN ⊥于H ，过点E 作EF DH ⊥于F ，在Rt EDF ∆中，tan tan 3EF EDF DEM DF∠=∠==设EF k =，3DF k =， ∴222(3)20k k +=，0k >，10k ∴=，10EF ∴=米，103DF =米，10330DH DF EC CN ∴=++=+（米)，在Rt ADH ∆中，3tan AH ADH DH ∠==， 310103AH DH ∴=⨯=+， 20103AN AH EF ∴=+=+（米)，在Rt BCN ∆中，45BCN ∠=︒，20CN BN ∴==，103AB AN BN ∴=-=（米)，答：条幅的长度是103米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．26．（10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，ABC ∆的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D （保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠．请问BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”吗？请说明理由；运用：（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， 30EFH HFG ∠=∠=︒．连接EG ，若EFG ∆的面积为63，求FH 的长． 【分析】（1）先求出AB ，BC ，AC ，再分情况求出CD 或AD ，即可画出图形；（2）先判断出140A ADB ADC ∠+∠=︒=∠，即可得出结论；（3）先判断出FEH FHG ∆∆∽，得出2FH FE FG =，再判断出32EQ FE =，继而求出24FG FE =，即可得出结论． 【解答】解：（1）如图1所示．5AB =，25BC =，90ABC ∠=︒，5AC =，四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形，①当90ACD ∠=︒时，ACD ABC ∆∆∽或ACD CBA ∆∆∽，∴12AC AB CD BC ==或2AC BC CD AB==， 10CD ∴=或 2.5CD =同理：当90CAD ∠=︒时， 2.5AD =或10AD =，如图中，1D ，2D ，3D ，4D 即为所求．（2）如图2，BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”，理由如下：80ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，40ABD DBC ∴∠=∠=︒，140A ADB ∴∠+∠=︒，140ADC ∠=︒，140BDC ADB ∴∠+∠=︒A BDC ∴∠=∠，ABD DBC ∴∆∆∽，BD ∴是四边形ABCD 的“相似对角线”； （3）如图3，FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， EFH ∴∆与HFG ∆相似．又EFH HFG ∠=∠，FEH FHG ∴∆∆∽， ∴FE FH FH FG=， 2FH FE FG ∴=，过点E 作EQ FG ⊥垂足为Q ， 可得3sin 60EQ FE =⨯︒=， 1632FG EQ ⨯= ∴13632FG =， 24FG FE ∴=，224FH FG FE ∴==， ∴26FH =．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，锐角三角函数，判断两三角形相似是解本题的关键．27．（10分）如图，在AOB ∆中，90AOB ∠=︒，6OA =，8OB =，动点Q 从点O 出发，沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A 出发，沿着AB 方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒(05)t <，以P 为圆心，PA 长为半径的P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、CQ．（1）当点Q与点D重合时，求t的值；（2）若ACQ∆是等腰三角形，求t的值；（3）若P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．【分析】（1）当Q与D重合时，根据AD OQ OA+=，构建方程求解即可．（2）分三种情形，分别构建方程求解即可．（3）求出CQ与P相切时，点Q与D重合时，t的值即可判断．【解答】解：（1）6OA=，8OB=，90AOB∠=︒22226810AB OA OB∴=+=+=，由题意知：OQ AP t==，2AC t∴=，AC是P的直径，90CDA∴∠=︒，//CD OB∴，ACD ABO∴∆∆∽，∴AC AD AB AO=，65AD t∴=，当Q与D重合时，AD OQ OA+=，∴665t t+=，3011t∴=．（2）（Ⅰ）若AC AQ =，则26t t =- 得：2t =．（Ⅱ）若AC QC =，则AD QD =，即：6265t t ⨯=-， 解得：3017t =． （Ⅲ）若AQ QC =，则22AQ QC =，由ACD ABO ∆∆∽， ∴AC CD AB BO =，可得：85t CD =， 即：22286(6)()(6)55t t t t -=+--， 解得：194t =，20t =（舍去）， （注：第（Ⅲ）情况，连接QP ，利用AQP ABO ∆∆∽可得：AP AQ AO AB =即：6610t t -=则更简单）．综上所述，满足条件的t 的值为2或3017或94．（3）当QC 与P 相切时，此时90QCA ∠=︒，OQ AP t ==，6AQ t ∴=-，2AC t =， A A ∠=∠，QCA O ∠=∠，AQC ABO ∴∆∆∽， ∴AQ AC AB AO =， ∴62106t t -=， 1813t ∴=， ∴当18013t <时，P 与QC 只有一个交点， 当QC OA ⊥时，此时Q 与D 重合，由（1）可知：3011t =，。

江苏省常州市2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题含解析

江苏省常州市2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题含解析

江苏省常州市2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利20%，则这种商品每件的进价为（ ） A ．180元B ．200元C ．225元D ．259.2元 2．若代数式12-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x>2 B ．x<2 C ．x -2≠ D ．x 2≠3．如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为( )A ．B ．C ．D ．4．16的相反数是 ( ) A ．6 B ．－6 C ．16 D ．16- 5．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且，则的值为A ．B ．C ．D ．6．把直线l ：y=kx+b 绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过点A （-2,0）和点B （0,4），则直线l 的表达式是（ ）A ．y=2x+2B ．y=2x-2C ．y=-2x+2D ．y=-2x-27．方程x （x －2）＋x －2＝0的两个根为（ ）A ．10x =，22x =B ．10x =，22x =-C ．11x =- ,22x =D ．11x =-, 22x =-8．下列是我国四座城市的地铁标志图，其中是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．9．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，1510．下列计算正确的是（）A．x4•x4=x16B．（a+b）2=a2+b2C．=±4 D．（a6）2÷（a4）3=111．如图所示的图形，是下面哪个正方体的展开图（）A．B．C．D．12．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A(-2，0)，B(0，1)，则直线BC的解析式为______．14．已知抛物线y＝－x2＋mx＋2－m，在自变量x的值满足－1≤x≤2的情况下．若对应的函数值y的最大值为6，则m的值为__________.15．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO 以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应16．已知函数y=|x 2﹣x ﹣2|，直线y=kx+4恰好与y=|x 2﹣x ﹣2|的图象只有三个交点，则k 的值为_____． 17．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_____米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）18．2018年5月13日，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务，其排水量超过6万吨，将数60000用科学记数法表示应为_______________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知抛物线y ＝ax 2+（3b+1）x+b ﹣3（a ＞0），若存在实数m ，使得点P （m ，m ）在该抛物线上，我们称点P （m ，m ）是这个抛物线上的一个“和谐点”．（1）当a ＝2，b ＝1时，求该抛物线的“和谐点”；（2）若对于任意实数b ，抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A 、B ．①求实数a 的取值范围；②若点A ，B 关于直线y ＝﹣x ﹣（21a+1）对称，求实数b 的最小值． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边AB 垂直于x 轴，垂足为点B ，反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过AO 的中点C ，交AB 于点D ，且AD ＝1．设点A 的坐标为(4，4)则点C 的坐标为 ；若点D 的坐标为(4，n)． ①求反比例函数y ＝k x 的表达式； ②求经过C ，D 两点的直线所对应的函数解析式；在(2)的条件下，设点E 是线段CD 上的动点(不与点C ，D 重合)，过点E 且平行y 轴的直线l 与反比例函数的图象交于点F ，求△OEF 面积的最大值．21．（6分）为了进一步改善环境,郑州市今年增加了绿色自行车的数量,已知A型号的自行车比B型号的自行车的单价低30元,买8辆A型号的自行车与买7辆B型号的自行车所花费用相同.(1)A,B两种型号的自行车的单价分别是多少?(2)若购买A,B两种自行车共600辆,且A型号自行车的数量不多于B型号自行车的一半,请你给出一种最省钱的方案,并求出该方案所需要的费用.22．（8分）解方程：x2－4x－5＝023．（8分）太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）24．（10分）如图所示：△ABC是等腰三角形，∠ABC=90°．（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，垂足为H．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）垂直平分线l交AC于点D，求证：AB=2DH．25．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，CE=CD，连接EB、ED，延长BE交AD于点F．求证：DF2=EF•BF．26．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且27．（12分）为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：本次接受随机抽样调查的中学生人数为_______，图①中m的值是_____；求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；根据统计数据，估计该地区250000名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】设这种商品每件进价为x元，根据题中的等量关系列方程求解.【详解】设这种商品每件进价为x元，则根据题意可列方程270×0.8－x＝0.2x，解得x＝180.故选A.【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是确定未知数，根据题中的等量关系列出正确的方程. 2．D【解析】试题解析：要使分式12-x有意义，解得：x≠1．故选D．3．C【解析】看到的棱用实线体现.故选C. 4．D【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可．【详解】根据相反数的定义有：16的相反数是16．故选D．【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，1的相反数是1．5．C【解析】∵，∠A=∠A，∴△ABC∽△AED。

2020年江苏省常州外国语学校中考数学一模试卷

2020年江苏省常州外国语学校中考数学一模试卷

2020年江苏省常州外国语学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.−2012的倒数是()A. 2012B. −2012C. 12012D. −120122. 4.下列运算正确的是()A. a2⋅a3=a6B. a8÷a4=a4C. a2+a2=a4D. (a3)2=a53.质量检查员随机抽取甲、乙、丙、丁四台机器生产的20个乒乓球的直径(规格是直径4cm)，整理后的平均数和方差如下表，那么这四台机器生产的乒乓球既标准又稳定的是：机器甲乙丙丁平均数(单位：cm) 4.01 3.98 3.99 4.02方差(单位：cm2)0.03 2.4 1.10.3A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4.均匀地向如图所示的容器中注满水，下列图象中，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数关系的图象大致是()A. B. C. D.5.如图，已知OA=OB=OC，BC//AO，若∠A=36°，则∠B等于()A. 54°B. 60°C. 72°D. 76°6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠OCB等于()A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°7.如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E，若AB=4，CE=2BE，ADAO =34，则k的值为()A. 3B. 2√3C. 6D. 128.如图，等边△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点A(−1,−1)，B(3,−1)，则顶点C的坐标为()A. (1,2√3)B. (0,2√3)C. (1,2√3−1)D. (1,2√3−2)二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.计算：√6√3=______．10.若5x=2，5y=3，则5x+y=______．11.分解因式：2a2−18=______．12.中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为______．13.已知点P(m+1,5)与Q(4,n+2)关于x轴对称，则m−n=______．14.已知a+b=5，，则−a2b−ab2的值为____________．15.将圆心角为216°，半径为5cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为______cm．16.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…−101234…y…1052125…若A(m,y1)，B(m+1,y2)两点都在该函数的图象上，当m时，y1>y2．17. 如图，AB 是半圆O 的直径，AB =10，弦AC 长为8，点D 是弧长BC 上一个动点，连接AD ，作CP ⊥AD ，垂足为P ，连接BP ，则BP 的最小值是______18. 在平面直角坐标系中，反比例函数y =kx的图象与经过原点O 的直线1交于点A ，B(n,−2)，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，已知sin∠AOD =45，则k 的值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共84.0分） 19. 计算：(12)−1−(2019+π)0+4sin60°−√12．20. 解不等式组{2x −4≤3(x +1)2x −1+7x 2>5，并写出不等式组的最大整数解．21. 如图，AB =AC ，AD =AE ，BD =CE.求证：∠BAC =∠DAE ．22.某校园文学社为了解本校学生对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，随机抽取部分学生做了一次问卷调查，要求学生选出自己喜欢的一个版面，将调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：请根据图中信息，解答下列问题：(1)a=______%，“第四版”对应扇形的圆心角为______°；(2)请你补全条形统计图；(3)若该校有1200名学生，请你估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数．23.甲乙丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次(1)若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回到甲手中的概率是多少?(2)若乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在谁手中?请说明理由．24.随着人们生活水平的提高，对饮水品质的需求也越来越高，某商场购进甲、乙两种型号的净水器，每台甲型净水器比每台乙型净水器进价多200元，已知用5万元购进甲型净水器与用4.5万元购进乙型净水器的数量相等．(1)求每台甲型，乙型净水器的进价各是多少元？(2)该商场计划花费不超过9.8万元购进两种型号的净水器共50台进行销售，甲型净水器每台销售2500元，乙型净水器每台售价2200元，商场还将从销售甲型净水器的利润中按每台a元(70<a<80)捐献给贫困地区作为饮水改造扶贫资金．设该公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，求W的最大值．25.如图，山顶有一塔AB，塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D 处测得A的仰角为45°.求隧道EF的长度．(参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51)(k≠0)的图象交于A(a,3)，B(3,b)两点，26.如图，直线y=−x+2与反比例函数y=kx过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；(2)若点P在直线y=−x+2上，且S△ACP=S△BDP，求出此时点P的坐标；(3)在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半)，过点D作DC⊥x轴，垂足轴于点B(4,0)，与过A点的直线相交于另一点D(3,52为C．(1)求抛物线的表达式；(2)点P在线段OC上(不与点O、C重合)，过点P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；(3)若点P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．(1)求证：AE为⊙O的切线．(2)当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．(3)在(2)的条件下，求线段BG的长．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了倒数，关键是掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数可得答案．【解答】，解：−2012的倒数是−12012故选D．2.【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、同底数幂的乘法和除法，对各项计算后即可判断【详解】解：A、a2⋅a3=a5，故此选项错误；B、a8÷a4=a4，故此选项正确；C、a2+a2=2a2，故此选项错误；D、(a3)2=a6，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题考查单项式乘单项式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，掌握运算法则是解题关键3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．先比较出平均数，再根据方差的意义即可得出答案．【解答】解：∵甲、乙、丙、丁的平均数(单位：mm)分别为4.01，3.98，3.99，4.02，∴甲和丙比较标准，∵甲、乙、丙、丁的方差(单位：mm2)是0.03、2.4、1.1、0.3，∴0.03<0.3<1.1<2.4，∴这四台机器生产的乒乓球既标准又稳定的是甲．故选A．4.【答案】A【解析】解：最下面的容器较细，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器比第二个细，那么用时比第二个短．故选：A．由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识.由OA=OC，可得∠A=∠ACO= 36°，由平行线的性质可得∠A=∠BCA=36°，得出∠BCO的度数，再由等腰三角形的性质可得答案．【解答】解：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=36°，∵BC//AO，∴∠A=∠BCA=36°，∴∠BCO=∠BCA+ACO=72°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO=72°．故选C．6.【答案】C【解析】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=100°，∵BO=CO，∴∠OCB=(180°−100°)÷2=40°，故选：C．首先根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A=100°，再利用三角形内角和定理可得∠OCB的度数．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7.【答案】A【解析】解：∵ADAO =34，∴可设AD=3a、OA=4a，则BC=AD=3a，点D坐标为(4a,3a)，∵CE=2BE，∴BE=13BC=a，∵AB=4，∴点E(4+4a,a)，∵反比例函数y=kx经过点D、E，∴k=4a⋅3a=(4+4a)a，解得：a=1或a=0(舍)，2=3，则k=12×14故选：A．设AD=3a、OA=4a，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，求得a的值即可得出答案．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E 的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.也考查了坐标与图形的性质．通过解直角三角形求得AD、CD的长度是关键．过C点作CD⊥AB 于D，交x轴于E点，如图，由A点和B点坐标得AB=4，DE=1，再利用等边三角AB=2，∠ACD=30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系形的性质得到AD=12得到CD=√3AD=2√3，则CE=CD−DE=2√3−1，然后根据第一象限内点的坐标特征即可得到C点坐标．【解答】解：过C点作CD⊥AB于D，交x轴于E点，如图，∵A(−1,−1)，B(3,−1)，∴AB=3−(−1)=4，DE=1，∵CD⊥AB，AB=2，∠ACD=30°，∴AD=12∴CD=√3AD=2√3，∴CE=CD−DE=2√3−1，而OE=2−1=1，∴C点坐标为(1,2√3−1)．故选C．9.【答案】√2【解析】【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：√6√3=√63=√2．故答案为√2．10.【答案】6【解析】解：5x+y=5x⋅5y=2×3=6．故答案为：6．根据同底数幂的乘法法则求解．本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．11.【答案】2(a+3)(a−3)【解析】解：2a2−18=2(a2−9)=2(a+3)(a−3)．故答案为：2(a+3)(a−3)．首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．12.【答案】3.7×105【解析】解：370 000=3.7×105，故答案为：3.7×105．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10n(1≤|a|<10,n为整数)中n的值，由于370 000有6位，所以可以确定n=6−1=5．本题主要考查了科学记数法：熟记规律：(1)当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；(2)当|a|<1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0是解题的关键．13.【答案】10【解析】解：∵点P(m+1,5)与Q(4,n+2)关于x轴对称，∴m+1=4，n+2=−5，解得：m=3，n=−7，故m−n=10．故答案为：10．直接利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值进而得出答案．此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．14.【答案】40【解析】【分析】本题考查因式分解的运用，代数式求值，运用了整体代入法的有关知识，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．把所求的代数式整理为和所给代数式相关的式子，代入求值即可．【解答】解：∵a+b=5，ab=−8，∴−a2b−ab2=−ab(a+b)=8×5=40．故答案为40．15.【答案】4【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r，，解得r=3，根据题意得2πr=216π×5180所以圆锥的高=2−32=4(cm)．故答案为4．圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥，解得r=3，底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=216π×5180然后根据勾股定理计算出圆锥的高．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.【答案】<32【解析】【分析】本题考查了二次函数，属于中档题．由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线开口向上，进行求解即可．【解答】解：∵抛物线过点(1,2)和(3,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线开口向上，∵y1>y2，当A、B两点在直线x=2的同侧时，则m≤1；当A、B两点在直线x=2的两侧，点A比点B离直线x=2要远，而m<m+1，2−m>m+1−2，解得m<3，2．综上所述，m的范围为m<32．故答案为：<3217.【答案】2√13−4【解析】解：如图，连接BC，∵CP⊥AD，∴∠APC=90°，∴P在以AC为直径的⊙M的CN⏜上，∴BP最短时，即为连接BM与⊙M的交点(图中点P′)，∵AB=10，AC=8，∴BC=6，CM=4，则BM=√CM2+BC2=2√13，∴BP长度的最小值BP′=BM−MP′=2√13−4，故答案为：2√13−4．由∠APC=90°知P在以AC为直径的⊙M的CN⏜上，从而得BP最短时，即为连接BM与⊙M的交点(图中点P′)，在Rt△BCM中利用勾股定理求得BM，从而得出答案．本题主要考查圆周角定理、勾股定理等知识点，根据题意得出BP最短时，即为连接BM 与⊙M的交点是解题的关键．18.【答案】±3【解析】解：反比例函数y=kx的图象与经过原点O的直线1交于点A，B(n,−2)，∴A(−n,2)，∵AD⊥x轴，∴AD=2，又∵sin∠AOD=ADOA =45，∴AO=52，∵DO2=AO2−AD2，∴DO=32，∴A(32,2)或(−32,2)，∴k=±3，故答案为±3．根据题意求得A点的坐标，然后利用待定系数法即可解决问题．本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：(12)−1−(2019+π)0+4sin60°−√12=2−1+4×√32−2√3=1+2√3−2√3 =1【解析】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．20.【答案】解：∵解不等式2x−4≤3(x+1)得：x≥−7，解不等式2x−1+7x2>5得：x<−113，∴不等式组的解集是−7≤x<−113，∴该不等式组的最大整数解为−4．【解析】此题考查了解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键.分别求出不等式组两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出解集的最大整数解即可．21.【答案】证明：在△ADB和△AEC中，{AB=AC AD=AE BD=CE,∴△ADB≌△AEC(SSS)，∴∠BAD=∠CAE，∴∠BAD−∠DAC=∠CAE−∠DAC，即∠BAC=∠DAE．【解析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，证得△ADB≌△AEC是解题的关键．首先利用SSS证明△ADB≌△AEC，从而得到∠BAD=∠CAE，由等式的性质可知从而可证得∠BAC=∠DAE．22.【答案】(1)30，120；(2)“第三版”的人数为：60−18−6−20=16(人)，补全条形图如下：(3)根据题意得：=320(人)，1200×1660答：估计全校学生中最喜欢“第三版”的人数为320人．【解析】【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．(1)根据第二版的人数和所占的百分比求出总人数，再用第一版的人数除以总人数求出a 的值；用360°乘以第四版所占的百分比即可求出“第四版”对应扇形的圆心角的度数；(2)求出“第三版”的人数为60−18−6−20=16人，画出条形图即可；(3)用样本估计总体的思想解决问题即可．【解答】解：(1)根据题意得：6÷10%=60(人)，18×100%=30%，60则a=30%，=120°，“第四版”对应扇形的圆心角为：360°×2060故答案为：30，120；(2)见答案；(3)见答案．23.【答案】解：(1)根据题意画出树状图如下：一共有8种情况，最后球传回到甲手中的情况有2种，所以，P(球传回到甲手中)=28=14；(2)根据(1)最后球在丙、乙手中的概率都是38，所以，乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在甲或丙的手中．【解析】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．(1)画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解；(2)根据(1)中的概率解答．24.【答案】解：(1)设每台乙型净水器的进价是x元，则每台甲型净水器的进价是(x+ 200)元，依题意，得：50000x+200=45000x，解得：x=1800，经检验，x=1800是原分式方程的解，且符合题意，∴x+200=2000．答：每台甲型净水器的进价是2000元，每台乙型净水器的进价是1800元．(2)设购进甲型净水器m台，则购进乙型净水器(50−m)台，依题意，得：2000m+1800(50−m)≤98000，解得：m≤20．W=(2500−2000−a)m+(2200−1800)(50−m)=(100−a)m+20000，∵100−a>0，∴W随m值的增大而增大，∴当m=20时，W取得最大值，最大值为(22000−20a)元．【解析】(1)设每台乙型净水器的进价是x元，则每台甲型净水器的进价是(x+200)元，根据数量=总价÷单价结合用5万元购进甲型净水器与用4.5万元购进乙型净水器的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设购进甲型净水器m台，则购进乙型净水器(50−m)台，根据总价=单价×数量结合总价不超过9.8万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再由总利润=每台利润×购进数量，即可得出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25.【答案】解：延长AB交CD于H，则AH⊥CD，在Rt△AHD中，∠D=45°，∴AH=DH，，在Rt△AHC中，tan∠ACH=AHCH∴AH=CH⋅tan∠ACH≈0.51CH，，在Rt△BHC中，tan∠BCH=BHCH∴BH=CH⋅tan∠BCH≈0.4CH，由题意得，0.51CH−0.4CH=33，解得，CH=300，∴EH=CH−CE=220，BH=120，∴AH=AB+BH=153，∴DH=AH=153，∴HF=DH−DF=103，∴EF=EH+FH=323，答：隧道EF的长度为323m．【解析】延长AB交CD于H，利用正切的定义用CH表示出AH、BH，根据题意列式求出CH，计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．26.【答案】解：(1)∵直线y=−x+2与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A(a,3)，B(3,b)两点，∴−a+2=3，−3+2=b，∴a=−1，b=−1，∴A(−1,3)，B(3,−1)．∵点A(−1,3)在反比例函数y=kx上，∴k=−1×3=−3，∴反比例函数解析式为y=−3x;(2)设点P(n,−n+2)，∵A(−1,3)，AC⊥x轴于点C，∴C(−1,0)．∵B(3,−1)，BD⊥x轴于点D，∴D(3,0)．∴S△ACP=12AC×|x P−x A|=12×3×|n+1|，S△BDP=12BD×|x B−x P|=12×1×|3−n|，∵S△ACP=S△BDP，∴12×3×|n+1|=12×1×|3−n|，∴n=0或n=−3．∴P(0,2)或(−3,5);(3)设M(m,0)(m>0)，∵A(−1,3)，B(3,−1)，∴MA2=(m+1)2+9，MB2=(m−3)2+1，AB2=(3+1)2+(−1−3)2=32，∵△MAB是等腰三角形，∴①当MA=MB时，(m+1)2+9=(m−3)2+1，∴m=0(舍)；②当MA=AB时，(m+1)2+9=32，∴m =−1+√23或m =−1−√23(舍)； ∴M(−1+√23, 0)；③当MB =AB 时，(m −3)2+1=32，∴m =3+√31或m =3−√31(舍)，∴M(3+√31, 0)．即：满足条件的M(−1+√23, 0)或(3+√31, 0)．【解析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．(1)利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a ，b ，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；(2)设出点P 坐标，用三角形的面积公式求出S △ACP = 12×3×|n +1|，S △BDP = 12×1×|3−n|，进而建立方程求解即可得出结论；(3)设出点M 坐标，表示出MA 2=(m +1)2+9，MB2=(m −3)2+1，AB 2=32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．27.【答案】解：(1)把点B(4,0)，点D(3,52)，代入y =ax 2+bx +1中得，{16a +4b +1=09a +3b +1=52，解得：{a =−34b =114， ∴抛物线的表达式为y =−34x 2+114x +1；(2)设直线AD 的解析式为y =kx +b ，∵A(0,1)，D(3,52)，∴{b =13k +b =52，∴{k =12b =1，∴直线AD 的解析式为y =12x +1，设P(t,0)，∴M(t,12t +1)，∴PM =12t +1，∵CD ⊥x 轴，∴PC =3−t ，∴S△PCM=12PC⋅PM=12×(3−t)(12t+1)，∴S△PCM=−14t2+14t+32=−14(t−12)2+2516，∴△PCM面积的最大值是2516；(3)∵OP=t，∴点M，N的横坐标为t，设M(t,12t+1)，N(t,−34t2+114t+1)，∴|MN|=|−34t2+114t+1−12t−1|=|−34t2+9 4t|，CD=52，如图1，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，∴MN=CD，即−34t2+94t=52，整理得：3t2−9t+10=0，∵△=−39，∴方程−34t2+94t=52无实数根，∴不存在t，如图2，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，∴MN=CD，即34t2−94t=52，∴t=9+√2016，(负值舍去)，∴当t=9+√2016时，以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．【解析】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用．(1)把B(4,0)，点D(3,52)代入y=ax2+bx+1即可得出抛物线的解析式；(2)先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM的面积与t 的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM面积的最大值；(3)若四边形DCMN为平行四边形，则有MN=DC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程即可得到结论．28.【答案】(1)证明：连接OM．∵AC=AB，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，CE=BE=12BC=4，∵OB=OM，∴∠OBM=∠OMB，∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠CBM，∴∠OMB=∠CBM，∴OM//BC又∵AE⊥BC，∴AE⊥OM，∴AE是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为R，∵OM//BE，∴△OMA∽△BEA，∴OMBE =AOAB即R4=12−R12，解得R=3，∴⊙O的半径为3；(3)过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，∴四边形OMEH是矩形，∴HE=OM=3，∴BH=1，∴BG=2BH=2．【解析】(1)连接OM.利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE 是⊙O的切线；= (2)设⊙O的半径为R，根据OM//BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到R412−R，即可解得R=3，从而求得⊙O的半径为3；12(3)过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2．本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．。

江苏省常州市2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析

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江苏省常州市2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为（ ）A ．29B ．34C ．52D ．412．二次函数y ＝x 2﹣6x+m 的图象与x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ）A ．（﹣1，0）B ．（4，0）C ．（5，0）D ．（﹣6，0）3．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞－1B ．k≥－1C ．k ＜－1D ．k≤－14．对于两组数据A ，B ，如果s A 2＞s B 2，且A B x x ，则（ ）A ．这两组数据的波动相同B ．数据B 的波动小一些C ．它们的平均水平不相同D ．数据A 的波动小一些5．已知抛物线y ＝x 2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（ ）A ．y ＝（x+2）2+3B ．y ＝（x ﹣2）2+3C ．y ＝x 2+1D ．y ＝x 2+56．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O 出发，如图所示，轮船从港口O 沿北偏西20°的方向行60海里到达点M 处，同一时刻渔船已航行到与港口O 相距80海里的点N 处，若M 、N 两点相距100海里，则∠NOF 的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°7．小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开.若不考虑接缝，它是一个半径为12cm ，圆心角为60o 的扇形，则( )A ．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为4cmB ．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cmC ．圆锥形冰淇淋纸套的高为235cmD ．圆锥形冰淇淋纸套的高为63cm8．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE ＝AF ，AC 与EF 相交于点G ，下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE+DF ＝EF ；③当∠DAF ＝15°时，△AEF 为等边三角形；④当∠EAF ＝60°时，S △ABE ＝12S △CEF ，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 9．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（ ） A ．函数图像经过点（2，2）；B ．函数图像位于第一、三象限；C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大；D ．当1x >时，4y <-．10．如图，在扇形CAB 中，CA=4，∠CAB=120°，D 为CA 的中点，P 为弧BC 上一动点（不与C ，B 重合），则2PD+PB 的最小值为（ ）A ．B ．C ．10D ．11．在a 2□4a□4的空格□中，任意填上“+”或“﹣”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）A ．1B ．C ．D ．12．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3，按以下步骤作图：①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；②分别以点M 、N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点E ；③作射线AE ；④以同样的方法作射线BF ，AE 交BF 于点O ，连接OC ，则OC ＝________.14．如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，以A 为圆心，AB 为半径的弧与BE 交于点F ，则∠EFD ＝_____°．15．若关于x 的一元二次方程()2k 1x 4x 10-++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______． 16．分式2x -有意义时，x 的取值范围是_____．17．若不等式组有解，则m 的取值范围是______． 18．反比例函数k y x=的图象经过点()1,6和(),3m -，则m = ______ ． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）计算（﹣12）﹣2﹣（π﹣3）032|+2sin60°； 20．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，函数ky x =（0x >）的图象G 经过点A （4，1），直线14l y x b =+∶与图象G 交于点B ，与y 轴交于点C ．求k 的值；横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，B 之间的部分与线段OA ，OC ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当1b =-时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求b 的取值范围．21．（6分） 如图，在平面直角坐标系中，直线y 1＝2x+b 与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线2k y x = （x ＞0）交于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，且OA ＝AD ，点B 的坐标为（0，﹣2）． （1）求直线y 1＝2x+b 及双曲线2k y x=（x ＞0）的表达式；（2）当x ＞0时，直接写出不等式2k x b x >+的解集； （3）直线x ＝3交直线y 1＝2x+b 于点E ，交双曲线2k y x =（x ＞0）于点F ，求△CEF 的面积．22．（8分）如图，安徽江淮集团某部门研制了绘图智能机器人，该机器人由机座、手臂和末端操作器三部分组成，底座AE ⊥直线L 且25AE cm =，手臂60AB BC cm ==，末端操作器35CD cm =，AF P 直线L .当机器人运作时，45,75,60BAF ABC BCD ∠=︒∠=︒∠=︒，求末端操作器节点D 到地面直线L 的距离.（结果保留根号）23．（8分）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC 中，点O 在线段BC 上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO ：CO=1：3，求AB 的长．经过社团成员讨论发现，过点B 作BD ∥AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB= °，AB= ．请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥AD ，AO=33，∠ABC=∠ACB=75°，BO ：OD=1：3，求DC 的长．24．（10分）某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：每人销售件数1800 510 250 210 150 120人数 1 1 3 5 3 2（1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；假设销售负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由．25．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数34y x b=-+的图象与反比例函数kyx=（k≠0）图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，其中A点坐标为（﹣2，3）．求一次函数和反比例函数解析式．若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积．根据图象，直接写出不等式34kx bx-+>的解集．26．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为弧BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由若AD=2，AC=6，求⊙O的半径．27．（12分）计算：2sin30°﹣（π2）03﹣1|+（12）﹣1参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB•h=13AB•AD ，∴h=23AD=2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=22AB AE + =2254+=41，即PA+PB 的最小值为41．故选D ．2．C【解析】【分析】根据二次函数解析式求得对称轴是x=3，由抛物线的对称性得到答案．【详解】解：由二次函数26y x x m =-+得到对称轴是直线3x =，则抛物线与x 轴的两个交点坐标关于直线3x =对称，∵其中一个交点的坐标为()1,0，则另一个交点的坐标为()5,0，故选C ．【点睛】考查抛物线与x 轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质．3．C【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k 的不等式，解出即可. 由题意得，解得 故选C.考点：一元二次方程的根的判别式点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．4．B试题解析：方差越小，波动越小.22,A B s s Q数据B 的波动小一些.故选B.点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．A【解析】【分析】结合向左平移的法则，即可得到答案.【详解】解：将抛物线y ＝x 2＋3向左平移2个单位可得y ＝(x ＋2)2＋3，故选A.【点睛】此类题目主要考查二次函数图象的平移规律，解题的关键是要搞清已知函数解析式确定平移后的函数解析式，还是已知平移后的解析式求原函数解析式，然后根据图象平移规律“左加右减、上加下减“进行解答. 6．C【解析】【详解】解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM 2+ON 2=MN 2，∴∠MON=90°，∵∠EOM=20°，∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．故选C ．【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键．7．C【解析】【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，列出方程求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆【详解】解：半径为12cm ，圆心角为60o 的扇形弧长是：()60π124πcm 180⨯=， 设圆锥的底面半径是rcm ，则2πr 4π=，解得：r 2=．即这个圆锥形冰淇淋纸套的底面半径是2cm ．)cm =．故选：C ．【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系： ()1圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；()2圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键．8．C【解析】【分析】①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，②设BC=a ，CE=y ，由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系，表示出BE 与EF ，即可判断BE+DF 与EF 关系不确定；③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF 为等边三角形，④当∠EAF=60°时，设EC=x ，BE=y ，由勾股定理就可以得出x 与y 的关系，表示出BE 与EF ，利用三角形的面积公式分别表示出S △CEF 和S △ABE ，再通过比较大小就可以得出结论．【详解】①四边形ABCD 是正方形，∴AB═AD ，∠B=∠D=90°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．（故①正确）．②设BC=a，CE=y，∴BE+DF=2（a-y）y，∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=（）a时成立，（故②错误）．③当∠DAF=15°时，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠BAE=15°，∴∠EAF=90°-2×15°=60°，又∵AE=AF∴△AEF为等边三角形．（故③正确）．④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出：(x+y)2+y2＝x)2∴x2=2y（x+y）∵S△CEF=12x2，S△ABE=12y(x+y)，∴S△ABE=12S△CEF．（故④正确）．综上所述，正确的有①③④，故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．9．C【解析】【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．【详解】A、关于反比例函数y=-4x，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误；B、关于反比例函数y=-4x，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；C、关于反比例函数y=-4x，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；D、关于反比例函数y=-4x，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．10．D【解析】【分析】如图，作∥∠PAP′=120°，则AP′=2AB=8，连接PP′，BP′，则∠1=∠2，推出△APD∽△ABP′，得到BP′=2PD，于是得到2PD+PB=BP′+PB≥PP′，根据勾股定理得到PP′=，求得2PD+PB≥4，于是得到结论．【详解】如图，作∥∠PAP′=120°，则AP′=2AB=8，连接PP′，BP′，则∠1=∠2，∵=2，∴△APD∽△ABP′，∴BP′=2PD，∴2PD+PB=BP′+PB≥PP′，∴PP′=，∴2PD+PB≥4，∴2PD+PB的最小值为4，故选D．【点睛】本题考查了轴对称-最短距离问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．11．B【解析】试题解析：能够凑成完全平方公式，则4a前可是“-”，也可以是“+”，但4前面的符号一定是：“+”，此题总共有（-，-）、（+，+）、（+，-）、（-，+）四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率是．故选B．考点：1．概率公式；2．完全平方式．12．B【解析】【分析】根据左视图的定义,从左侧会发现两个正方形摞在一起.【详解】从左边看上下各一个小正方形，如图故选B．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2．【解析】【分析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案．【详解】过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，由题意可得：O是△ACB的内心，∵AB=5，AC=4，BC=3，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴四边形OGCD是正方形，∴DO=OG=3452+-=1，∴．．【点睛】此题主要考查了基本作图以及三角形的内心，正确得出OD的长是解题关键．14．45【解析】【分析】由四边形ABCD为正方形及半径相等得到AB＝AF＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，利用等边对等角得到两对角相等，由四边形ABFD的内角和为360度，得到四个角之和为270，利用等量代换得到∠ABF＋∠ADF＝135°，进而确定出∠1＋∠2＝45°，由∠EFD为三角形DEF的外角，利用外角性质即可求出∠EFD 的度数．【详解】∵正方形ABCD，AF，AB，AD为圆A半径，∴AB＝AF＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABF＝∠AFB，∠AFD＝∠ADF，∵四边形ABFD内角和为360°，∠BAD＝90°，∴∠ABF＋∠AFB＋∠AFD＋∠ADF＝270°，∴∠ABF＋∠ADF＝135°，∵∠ABD＝∠ADB＝45°，即∠ABD＋∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝135°−90°＝45°，∵∠EFD为△DEF的外角，∴∠EFD＝∠1＋∠2＝45°．故答案为45【点睛】此题考查了切线的性质，四边形的内角和，等腰三角形的性质，以及正方形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．15．k ＜5且k≠1．【解析】试题解析：∵关于x 的一元二次方程()21410k x x -++=有两个不相等的实数根， ()2104410.k k -≠⎧∴⎨∆=-->⎩解得：5k <且1k ≠．故答案为5k <且1k ≠．16．x ＜1【解析】【分析】 要使代数式2x-有意义时，必有1﹣x ＞2，可解得x 的范围． 【详解】根据题意得：1﹣x ＞2，解得：x ＜1．故答案为x ＜1．【点睛】考查了分式和二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，分式有意义，分母不为2． 17．【解析】分析：解出不等式组的解集，然后根据解集的取值范围来确定m 的取值范围．解答：解：由1-x≤2得x≥-1又∵x ＞m根据同大取大的原则可知：若不等式组的解集为x≥-1时，则m≤-1若不等式组的解集为x≥m 时，则m≥-1．故填m≤-1或m≥-1．点评：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集再利用不等式组的解集的确定原则来确定未知数的取值范围．18．-1【解析】【分析】先把点（1，6）代入反比例函数y=k x ，求出k 的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把点（m ，-3）代入即可得出m 的值．【详解】解：∵反比例函数y=k x 的图象经过点（1，6）， ∴6=1k ，解得k=6， ∴反比例函数的解析式为y=6x ． ∵点（m ，-3）在此函数图象上上，∴-3=6m，解得m=-1． 故答案为-1．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．1【解析】【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】原式．【点睛】此题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（1）4；（2）①3个．（1，0），（2，0），（3，0）．②514b -≤<-或71144b <≤． 【解析】分析：（1）根据点A （4，1）在k y x=（0x >）的图象上，即可求出k 的值； （2）①当1b =-时，根据整点的概念，直接写出区域W 内的整点个数即可.②分a ．当直线过（4，0）时，b ．当直线过（5，0）时，c ．当直线过（1，2）时，d ．当直线过（1，3）时四种情况进行讨论即可.详解：（1）解：∵点A （4，1）在k y x =（0x >）的图象上． ∴14k =，∴4k =．（2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．② a ．当直线过（4，0）时：1404b ⨯+=，解得1b =- b ．当直线过（5，0）时：1504b ⨯+=，解得54b =-c ．当直线过（1，2）时：1124b ⨯+=，解得74b = d ．当直线过（1，3）时：1134b ⨯+=，解得114b =∴综上所述：514b -≤<-或71144b <≤． 点睛：属于反比例函数和一次函数的综合题，考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的图象与性质，掌握整点的概念是解题的关键,注意分类讨论思想在解题中的应用.21．（1）直线解析式为y 1＝2x ﹣2，双曲线的表达式为y 2＝4x （x ＞0）；（2）0＜x ＜2； （3）43【解析】【分析】（1）将点B 的代入直线y 1＝2x+b ，可得b ，则可以求得直线解析式；令y ＝0可得A 点坐标为（1，0），又因为OA ＝AD ，则D 点坐标为（2，0），把x ＝2代入直线解析式，可得y ＝2，从而得到点C 的坐标为（2，2），在把（2，2）代入双曲线y 2＝k x ，可得k ＝4，则双曲线的表达式为y 2＝4x（x ＞0）. （2）由x 的取值范围，结合图像可求得答案.（3）把x ＝3代入y 2函数，可得y ＝43 ；把x ＝3代入y 1函数，可得y ＝4，从而得到EF 83，由三角形的面积公式可得S △CEF ＝43. 【详解】 解：（1）将点B 的坐标（0，﹣2）代入直线y 1＝2x+b ，可得﹣2＝b ，∴直线解析式为y 1＝2x ﹣2，令y ＝0，则x ＝1，∴A （1，0），∵OA ＝AD ，∴D （2，0），把x ＝2代入y 1＝2x ﹣2，可得y ＝2，∴点C 的坐标为（2，2），把（2，2）代入双曲线y 2＝k x ，可得k ＝2×2＝4， ∴双曲线的表达式为y 2＝4x（x ＞0）； （2）当x ＞0时，不等式k x＞2x+b 的解集为0＜x ＜2； （3）把x ＝3代入y 2＝4x，可得y ＝43 ；把x ＝3代入y 1＝2x ﹣2，可得y ＝4， ∴EF ＝4﹣43＝83， ∴S △CEF ＝12×83×（3﹣2）＝43， ∴△CEF 的面积为43． 【点睛】本题考察了一次函数和双曲线例函数的综合；熟练掌握由点求解析式是解题的关键；能够结合图形及三角形面积公式是解题的关键.22．（20）cm.【解析】【分析】作BG ⊥CD ，垂足为G ，BH ⊥AF ，垂足为H ，解Rt CBG ∆和Rt ABH ∆，分别求出CG 和BH 的长，根据D 到L 的距离()BH AE CD CG =+--求解即可.【详解】如图，作BG ⊥CD ，垂足为G ，BH ⊥AF ，垂足为H ，在Rt CBG∆中，∠BCD=60°，BC=60cm，∴cos6030CG BC=⋅︒=，在Rt ABH∆中，∠BAF=45°，AB=60cm，∴sin45302BH AB=⋅︒=∴D到L的距离()302255(30220)BH AE CD CG cm=+--=-=.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是构造出适当辅助线，从而利用锐角三角函数的定义求出相关线段. 23．（1）75；3（2）13【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出3（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出3Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．【详解】解：（1）∵BD∥AC，∴∠ADB=∠OAC=75°．∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA，∴13 OD OBOA OC==．又∵3∴OD=133∴3∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，∴AB=AD=43．（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴BO EO BE DO AO DA==．∵BO：OD=1：3，∴13 EO BEAO DA==．∵3，∴3∴3∵∠ABC=∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，AB=AC，∴AB=2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（32+BE2=（2BE）2，解得：BE=4，∴AB=AC=8，AD=1．在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+12=CD2，解得：13【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．24．（1）平均数为320件，中位数是210件，众数是210件；（2）不合理，定210件【解析】试题分析：（1）根据平均数、中位数和众数的定义即可求得结果；（2）把月销售额320件与大部分员工的工资比较即可判断.（1）平均数件，∵最中间的数据为210，∴这组数据的中位数为210件，∵210是这组数据中出现次数最多的数据，∴众数为210件；（2）不合理，理由：在15人中有13人销售额达不到320件，定210件较为合理.考点：本题考查的是平均数、众数和中位数点评：解答本题的关键是熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．25．（1）y＝﹣34x+32，y＝-6x;(2)12;(3) x＜﹣2或0＜x＜4.【解析】【分析】（1）将点A坐标代入解析式，可求解析式；（2）一次函数和反比例函数解析式组成方程组，求出点B坐标，即可求△ABF的面积；（3）直接根据图象可得．【详解】（1）∵一次函数y＝﹣34x+b的图象与反比例函数y＝kx（k≠0）图象交于A（﹣3，2）、B两点，∴3＝﹣34×（﹣2）+b，k＝﹣2×3＝﹣6∴b＝32，k＝﹣6∴一次函数解析式y＝﹣3342x+，反比例函数解析式y＝6x-.（2）根据题意得：33426y xyx⎧+⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＝﹣＝，解得：211242,332xxy y⎧=⎧=-⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩，∴S△ABF＝12×4×（4+2）＝12（3）由图象可得：x＜﹣2或0＜x＜4【点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求解析式，熟练运用函数图象解决问题是本题的关键．26．（1）直线CD 与⊙O 相切；（2）⊙O 的半径为1.1．【解析】【详解】（1）相切，连接OC ，∵C 为»BE的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC ，∴∠1=∠ACO ，∴∠2=∠ACO ，∴AD ∥OC ，∵CD ⊥AD ，∴OC ⊥CD ，∴直线CD 与⊙O 相切；（2）连接CE ，∵AD=2，AC=6，∵∠ADC=90°，∴CD=22AC AD -=2，∵CD 是⊙O 的切线，∴2CD =AD•DE ，∴DE=1，∴CE=22CD DE +=3，∵C 为»BE的中点，∴BC=CE=3，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴AB=22AC BC +=2．∴半径为1.127．3【解析】分析：直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案． 详解：原式=2×1233点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．。

2020年江苏省常州外国语学校中考数学一模试卷

2020年江苏省常州外国语学校中考数学一模试卷

2020年江苏省常州外国语学校中考数学一模试卷一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）﹣3的倒数是（）A．﹣B．C．﹣3D．32．（2分）下列运算正确的是（）A．3a×2a＝6a B．a8÷a4＝a2C．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a D．（a3）2＝a93．（2分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙丁24242320 S2 2.1 1.92 1.9今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（2分）均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）A．B．C．D．5．（2分）如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°6．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sin B的值是（）A．B．C．D．7．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（）A．16B．20C．32D．408．（2分）如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作直角三角形，其中∠OQP＝90°，∠POQ＝30°，当点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的路径长为（）A．4B．6C．4D．6二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．（2分）计算：（）2+1＝．10．（2分）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝．11．（2分）分解因式：a2b﹣b＝．12．（2分）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为．13．（2分）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b 的值是．14．（2分）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为．15．（2分）一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为cm．16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x…﹣3﹣113…y…﹣4242…则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为．18．（2分）如图，在平面直角坐标系中A为直线y＝x﹣1上一点，过原点O的直线与反比例函数y＝﹣图象交于点B，C．若△ABC为等边三角形，则点A的坐标为．三．解答题（本大题共10小题，共84分）19．（6分）计算：（﹣2）3+﹣2sin30°+（2019﹣π）0+|﹣4|．20．（8分）解方程组和不等式组求整数解．（1）解方程组；（2）解不等式组，并求此不等式组的整数解．21．（8分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．22．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）这次共抽取名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？23．（8分）河西某滨江主题公园有A、B两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开，求他们三人选择同一个出口离开的概率．24．（8分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？25．（8分）襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）．26．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）直接写出当x＞0时，kx+b＜的解集；（3）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．（4）已知点D（0，6），连接AD，过原点O的直线l将四边形OBAD分成面积相等的两部分，用尺规作图，作出直线l，保留作图痕迹，并直接写出直线l的解析式．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x﹣3与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P（m，y1）为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l 上一个动点．（1）当m＜0，且y1＝﹣时，连接AQ，BD，求证：四边形ABDQ是平行四边形；（2）当m＞0时，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；（3）连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．（10分）问题探究：如图，在矩形ABCD中，AB＝10，cos∠ABD＝，P为BD上一点，B'是点B以P为对称中心的对称点，点B'也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB'为半径在BD下方作半圆．（1）BP＝时，AP⊥BD时，此时半径是；（2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长；拓展延伸：（3）如图，AB＝6，AC＝，以BC为底边在BC上方作等腰△BCD，其中∠CDB＝120°，直接写出AD的最大值．2020年江苏省常州外国语学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）﹣3的倒数是（）A．﹣B．C．﹣3D．3【解答】解：∵﹣3×（﹣）＝1，∴﹣3的倒数是﹣．故选：A．2．（2分）下列运算正确的是（）A．3a×2a＝6a B．a8÷a4＝a2C．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a D．（a3）2＝a9【解答】解：A、3a×2a＝6a2，故本选项错误；B、a8÷a4＝a4，故本选项错误；C、﹣3（a﹣1）＝3﹣3a，正确；D、（a3）2＝a6，故本选项错误．故选：C．3．（2分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙丁24242320 S2 2.1 1.92 1.9今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大，而乙组的方差比甲组的小，所以乙组的产量比较稳定，所以乙组的产量既高又稳定，故选：B．4．（2分）均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）A．B．C．D．【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．故选：D．5．（2分）如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵AD＝CD，∠1＝50°，∴∠CAD＝∠ACD＝65°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠ACD＝65°．故选：C．6．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sin B的值是（）A．B．C．D．【解答】解：连接DC．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD＝90°．根据同弧所对的圆周角相等，得∠B＝∠D．∴sin B＝sin D＝＝．故选：A．7．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（）A．16B．20C．32D．40【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）．∵矩形ABCD的对角线的交点为E，∴E为BD中点，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝10，∴E（5，4）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k＝5×4＝20．故选：B．8．（2分）如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作直角三角形，其中∠OQP＝90°，∠POQ＝30°，当点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的路径长为（）A．4B．6C．4D．6【解答】解：如图，由题意，点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是△MGH．∵A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），∴AB＝3，BC＝4，AC＝5，∵＝＝，∠AOB＝∠MOG，∴△AOB∽△MOG，∴＝＝，∴MG＝，同法可得，GH＝BC＝2，MH＝AC＝，∴点Q运动的路径长＝+2+＝6，故选：D．二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．（2分）计算：（）2+1＝4．【解答】解：原式＝3+1＝4．故答案为：4．10．（2分）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝15．【解答】解：∵2x＝3，2y＝5，∴2x+y＝2x•2y＝3×5＝15．故答案为：15．11．（2分）分解因式：a2b﹣b＝b（a+1）（a﹣1）．【解答】解：a2b﹣b＝b（a2﹣1）＝b（a+1）（a﹣1）．故答案为：b（a+1）（a﹣1）．12．（2分）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为 1.25×109．【解答】解：将数1250 000 000用科学记数法可表示为1.25×109．故答案为：1.25×109．13．（2分）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b 的值是4．【解答】解：∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，∴a＝3，b＝1，则a+b的值是：4．故答案为：4．14．（2分）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为1．【解答】解：∵2a﹣3b＝﹣1，∴4a2﹣6ab+3b＝2a（2a﹣3b）+3b＝2a×（﹣1）+3b＝﹣2a+3b＝﹣（2a﹣3b）＝﹣（﹣1）＝1故答案为115．（2分）一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为3cm．【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝3，即该圆锥底面圆的半径为3．故答案为：3．16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x…﹣3﹣113…y…﹣4242…则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是﹣4＜y≤4．【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4，∴抛物线开口向下，∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4，故答案为，﹣4＜y≤4．17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为2﹣2．【解答】解：连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，∵BC＝4，∴CF＝2，∵∠ACB＝90°，AC＝10，∴AF＝，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴E点在⊙F上，∵在D的运动过程中，AE≥AF﹣EF，且A、E、F三点共线时等号成立，∴当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AF﹣EF＝2﹣2．故答案为：2﹣2．18．（2分）如图，在平面直角坐标系中A为直线y＝x﹣1上一点，过原点O的直线与反比例函数y＝﹣图象交于点B，C．若△ABC为等边三角形，则点A的坐标为（﹣2，﹣）或（6，）．【解答】解：观察图象可知点A只能在第三象限，如图设△ABC是等边三角形，作BM ⊥x轴于M，AN⊥x轴于N．设B（m，﹣）．由题意，B，C关于原点O对称，∴OB＝OC，∵△ABC是等边三角形，∴OA⊥BC，OA＝OB，∴∠AOB＝∠OMB＝∠ONA＝90°，∴∠BOM+∠AON＝90°，∠NAO+∠AON＝90°，∴∠BOM＝∠NAO，∴△OMB∽△ANO，∴＝＝＝，∵OM＝﹣m，BM＝﹣，∴ON＝﹣，AN＝﹣m，∴A（，m），∵点A在直线y＝x﹣1上，∴m＝﹣1，解得m＝﹣或（舍弃），∴A（﹣2，﹣），当点A在第一象限时，同法可得A（6，）故答案为：（﹣2，﹣）或（6，）．三．解答题（本大题共10小题，共84分）19．（6分）计算：（﹣2）3+﹣2sin30°+（2019﹣π）0+|﹣4|．【解答】解：（﹣2）3+﹣2sin30°+（2019﹣π）0+|﹣4|＝﹣8+4﹣2×+1+4﹣＝﹣．20．（8分）解方程组和不等式组求整数解．（1）解方程组；（2）解不等式组，并求此不等式组的整数解．【解答】解：（1）方程组整理得：，①+②得：6y＝6，即y＝1，将y＝1代入②得：x＝3，则方程组的解为；（2），由①得：x＞；由②得：x＜4，∴不等式组的解集为＜x＜4，则不等式组的整数解为1，2，3．21．（8分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠C＝∠E22．（8分）为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）这次共抽取50名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为72°；（2）将条形统计图补充完整；（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？【解答】解：（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），D类所对应的扇形圆心角的大小360°×＝72°，故答案为50，72°；（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），条形统计图补充如下（3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×＝690（人），答：该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人；23．（8分）河西某滨江主题公园有A、B两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开，求他们三人选择同一个出口离开的概率．【解答】解：根据题意画出树状图如下：甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开的所有可能出现的结果有：（AAA）、（AAB）、（ABA）、（ABB）、（BAA）、（BAB）、（BBA）、（BBB），共有8种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“三人选择同一个出口离开”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A）＝＝．24．（8分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．25．（8分）襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）．【解答】解：在Rt△ABC中，tan A＝，则BC＝AC•tan A≈121×0.75＝90.75，由题意得，CD＝AC﹣AD＝97.5，在Rt△ECD中，∠EDC＝45°，∴EC＝CD＝97.5，∴BE＝EC﹣BC＝6.75≈6.8（m），答：塔冠BE的高度约为6.8m．26．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）直接写出当x＞0时，kx+b＜的解集；（3）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．（4）已知点D（0，6），连接AD，过原点O的直线l将四边形OBAD分成面积相等的两部分，用尺规作图，作出直线l，保留作图痕迹，并直接写出直线l的解析式．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由解得或，∴两个函数的交点分别为（9，3）或（﹣4，﹣），结合图象可知：当x＞0时，不等式kx+b＜的解集为0＜x＜9．（3）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2，∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．（4）如图3中，直线l即为所求．由题意直线OA的解析式为y＝x，直线BD的解析式为y＝﹣x+6，直线AD的解析式为y＝﹣x+6，可得G（，3），∵GH∥OA，∴直线GH的解析式为y＝x+，由，解得，∴H（，），∴直线l的解析式为y＝x．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x﹣3与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P（m，y1）为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l 上一个动点．（1）当m＜0，且y1＝﹣时，连接AQ，BD，求证：四边形ABDQ是平行四边形；（2）当m＞0时，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE•EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；（3）连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：当y＝0时，x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5．当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3）．∵直线l∥x轴，∴直线l的解析式为y＝﹣3．∴x﹣3＝﹣3，解得x3＝0，x4＝3，∴D（3，﹣3），∴CD＝3．∵点Q（m，y2）在直线l上，∴y2＝﹣3．∵y1＝﹣，∴y1＝，∵m＜0，点P（m，y1）在该抛物线上，∴，解得m＝﹣2或m＝5（舍去）．∵直线l∥x轴，∴CQ＝2，∴DQ＝5，∴AB＝DQ，AB∥DQ，∴四边形ABDQ是平行四边形．（2）∵P，Q两点的横坐标都是m，∴直线l∥x轴，∴|，设OE＝n，则EC＝3﹣n，∴n（3﹣n）＝2，解得n＝1或n＝2．∵OE＜EC，∴OE＝1，EC＝2．∵直线l∥x轴，∴∠OAE＝∠CQE，∠AOE＝∠QCE，∴△AOE∽△QCE，∴，∴QC＝2，∵m＞0，∴m＝2，∴PQ＝；（3）假设存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角，即∠PCQ+∠BAC＝90°．∵∠BAC+∠ACO＝90°，∴∠PCQ＝∠ACO．∵OA＝1，OC＝3，∴tan∠PCQ＝tan∠ACO＝，连接PQ．∵直线l∥x轴，直线PQ∥y轴，∴△PCQ是直角三角形，且∠CQP＝90°．∴tan∠PCQ＝，①当点P在直线l上方时，PQ＝y1﹣y2＝m，（i）若点P在y轴左侧，则m＜0，∴QC＝﹣m．∴×（﹣m），解得m1＝0（舍去），m2＝（舍去）．（ii）若点P在y轴右侧，则m＞0，∴QC＝m．∴m，解得m3＝0（舍去），m4＝．∴y1﹣y2＝，∴y1＝﹣，∴；②当点P在直线l下方时，m＞0，∴QC＝m，PQ＝y2﹣y1＝﹣m，∴﹣m，解得m5＝0（舍去），m6＝，∴y2﹣y1＝，∴y1＝﹣，∴．综上，存在点，使得∠PCQ与∠BAC互为余角．28．（10分）问题探究：如图，在矩形ABCD中，AB＝10，cos∠ABD＝，P为BD上一点，B'是点B以P为对称中心的对称点，点B'也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB'为半径在BD下方作半圆．（1）BP＝时，AP⊥BD时，此时半径是；（2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长；拓展延伸：（3）如图，AB＝6，AC＝，以BC为底边在BC上方作等腰△BCD，其中∠CDB＝120°，直接写出AD的最大值．【解答】解：（1）cos∠ABD＝＝，则sin∠ABD＝，解得：BD＝26；当AP⊥BD时，BP＝AB•cos∠ABD＝10×＝＝PB′，∴DE＝PD＝＝＝PE，则半径＝B′E＝PE﹣PB′＝；故答案为，；（2）①当点B′在点E的左侧时，如图1，当点G是切点时，而PB＝PB′＝a，ED＝PD＝（26﹣a）＝PE，故B′E＝BE﹣BB′＝13﹣，则cos∠BEG＝cos∠ABD＝＝，解得：a＝；如图2，当点H时切点时，同理可得：a＝；②当点B′在点E的右侧时，此时半圆与CD相切，同理可得：BP＝；综上，BP的长为或或；（3）连接AD，构建△ABE使△ABE∽△CBD，则，则∠EAB＝∠DCB＝（180°﹣120°）＝30°＝∠DBC＝∠EBA，在等腰三角形ABE中，AE＝BE＝＝＝2，∵∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC，∠EBD＝∠CBD﹣∠EBC，而∠EBA＝∠CBD，∴∠ABC＝∠EBD，∵，∴△EBD∽△ABC，故，即，∴DE＝AC＝1，∵AD≤AE+DE＝2+1，故AD的最大值为2+1．。

2020年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷(附答案详解)

2020年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷(附答案详解)

2020年江苏省常州市溧阳市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.−3的相反数是()A. −3B. 3C. −13D. 132.已知刚上市的水蜜桃每千克12元，则m千克水蜜桃共多少元？()A. m−12B. m+12C. m12D. 12m3.下列图形中，哪一个是四棱锥的侧面展开图？()A. B.C. D.4.一个正比例函数的图像经过点(2,−1)，则它的表达式为()A. y=−2xB. y=2xC. y=−12x D. y=12x5.下列命题中，假命题是()A. 两组对边平行的四边形是平行四边形B. 三个角是直角的四边形是矩形C. 四条边相等的四边形是菱形D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形6.已知α为整数，且√2<α<√7，则α等于()A. 1B. 2C. 3D. 47.为了全面保障学校艺术节表演的整体效果，王老师在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为(−1,−2)，表示点B的坐标为(1,1)，则表示其他位置的点的坐标正确的是()A. C(−1,0)B. D(−3,1)C. E(−7,−3)D. F(2,−3)8.如图，在平面直角坐标系中，△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，顶点A在反比例函数y=3x (x>0)上运动，此时顶点B也在反比例函数y=mx上运动，则m的值为()A. −9B. −12C. −15D. −18二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.计算：|−2|−1=______．10.计算：x(x−2)=______11.分解因式：2a2+4a+2=______．12.点P(−2,3)关于x轴的对称点的坐标是______．13.地球与火星的距离大约为5500万公里，用科学记数法表示这个距离为______万公里．14.如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积的为______cm2．15.如图，直线l1//l2//l3，等边△ABC的顶点B、C分别在直线l2、l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1=25°，则边AB与直线l1的夹角∠2=______．16. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC =60°，BC ⏜的长是4π3，则⊙O 的半径是______．17. 在△ABC 中，AC =5，AB =6，则△ABC 面积的最大值为______．18. 如图，在⊙O 中，点A 、点B 在⊙O 上，∠AOB =90°，OA =6，点C 在OA 上，且OC =2AC ，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则CM +2DM 的最小值为______．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19. 计算：√9−(1−√2)0+4tan45°．20. 解方程组和不等式组(1){x −y =42x +y =−1； (2){2x +6≥03−x 2≥x ．21. 如图，将Rt △ABC 沿BC 所在直线平移得到△DEF ．(1)如图①，当点E 移动到点C 处时，连接AD ，求证：△CDA≌△ABC ；(2)如图②，当点E移动到BC中点时，连接AD、AE、CD，请你判断四边形AECD的形状，并说明理由．22.某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校学生随机抽取10%进行调查，根据调查结果绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图：运动项目频数(人数)羽毛球30篮球a乒乓球36排球b足球12请根据以上图表信息解答下列问题：(1)频数分布表中的a=______，b=______；(2)在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为______度；(3)全校有多少名学生选择参加乒乓球运动？23.疫情过后，为了促进消费，某商场设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有四个相同的小球，球上分别标有“10元”、“20元”、“30元”和“40元”的字样，规定：在本商场同一日内，顾客每消费满500元，就可以在箱子里先后摸出两个球(第一次摸出后不放回).商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费500元．(1)该顾客最多可得到______元购物券；(2)请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于60元的概率．24.疫情期间，甲、乙两个口罩工厂共同承担口罩生产任务，甲工厂单独完成此项任务比乙工厂单独完成此项任务需多用10天，且甲工厂单独生产45天和乙工厂单独生产30天的工作量相同．(1)甲、乙两工厂单独完成此项任务需要多少天？(2)若甲、乙两工厂共同生产了3天后，乙工厂因设备检修停止生产，由甲工厂继续生产，为了不影响任务进度，甲工厂的工作效率提高到原来的2倍，要使甲工厂总的工作量不少于乙工厂总的工作量的2倍，那么甲工厂需要至少再单独生产多少天？25.某学校开展数学综合实践活动，李强所在实践小组负责测量某条河流的宽度(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该河流的河宽(即CH 的长)．26.在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(0,1)，B(−1,0)，C(0,−1)，D(1,0)对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M)．(1)已知点M(4,0)，①d(点M)=______；②直线y=kx−4k(k≠0)与y轴交于点N，当d(线段MN)≥5时，求k的取值范围；(2)⊙T的圆心为T(7,t)，半径为1.若d(⊙T)<11，请直接写出t的取值范围．27.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O是坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=5，OC=4．(1)如图①，将矩形沿对角线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与CB相交于点E，请问重叠部分△OBE是什么三角形？说明你的理由：并求出这个三角形的面积；(2)如图②，点E、F分别是OC、OA边上的点，将△OEF沿EF折叠，使得点O正好落在BC边上的D点，过点D作DH⊥OA，交EF于点G，交OA于点H，若CD=2，求点G的坐标；(3)如图③，照(2)中条件，当点E、F在OC、OA上移动时，点D也在边BC上随之移动，请直接写出BD的取值范围．28.如图，抛物线的图象经过点A(4,4)，B(5,0)和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D(m,0)(m>0)，并与直线OA交于点C．(1)求出抛物线的函数表达式；S△OCD时，求出此时的点P坐标；(2)连接OP，当S△OPC=12(3)在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，求出点M的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：−3的相反数是3．故选：B．依据相反数的定义求解即可．本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：m千克水蜜桃共12m元．故选：D．根据总价=单价×数量，列出算式即可求解．考查了列代数式，关键是熟悉总价=单价×数量的知识点．3.【答案】C【解析】解：四棱锥的侧面展开图是四个三角形．故选：C．由棱锥的侧面展开图的特征可知答案．本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的侧面展开图和侧面的特征是解决此类问题的关键．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键，属于基础题．设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，再把点(2,−1)代入求出k的值即可．【解答】解：设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，∵正比例函数的图像经过点(2,−1)，∴−1=2k，解得k=−1，2x.∴这个正比例函数的表达式是y=−12故选：C．5.【答案】D【解析】解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；B、三个角是直角的四边形是矩形，所以B选项为真命题；C、四条边相等的四边形是菱形，所以C选项为真命题；D、有一个角是直角的菱形是正方形，所以D选项为假命题．故选：D．根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握特殊四边形的判定方法是解决此类题目的关键．6.【答案】B【解析】解：∵√1<√2<√4，∴1<√2<2，又∵√4<√7<√9，∴2<√7<3，又√2<a<√7，而a为整数，∴a的整数值为2，故选：B．估算√2与√7的值即可得出a的整数值．本题考查无理数的估算，理解算术平方根的意义是正确解答的前提．7.【答案】C【解析】解：根据点A的坐标为(−1,−2)，表示点B的坐标为(1,1)，可得：C(−2,−1)，D(−5,0)，E(−7,−3)，F(3,3)，故选：C．根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．此题考查坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．8.【答案】A【解析】解：过A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴cot30°=OBOA=√3，由△BON∽△OAM得，OB OA =BNOM=NOMA=√3，设OM=a，AM=b，则BN=√3a，ON=√3b，∴A(a,b)，B(−√3b,√3a)，∵顶点A在反比例函数y=3x(x>0)上，∴a⋅b=3，∴−√3b⋅√3a=−9，∵点顶点B在反比例函数y=mx上，∴m=−9，故选：A．根据∠AOB=90°，∠ABO=30°，可求出OA与OB的比，设出点A的坐标，再根据相似三角形的性质，求出点B的坐标，进而求出m的值．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．9.【答案】1【解析】解：|−2|−1=2−1=1故答案为：1．根据有理数减法的运算方法，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了有理数减法的运算方法，要熟练掌握运算法则．10.【答案】x2−2x【解析】解：原式=x2−2x故答案为：x2−2x根据整式的运算法则即可求出答案．本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．11.【答案】2(a+1)2【解析】【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，属于基础题．原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2(a2+2a+1)=2(a+1)2，故答案为：2(a+1)2．12.【答案】(−2,−3)【解析】解：点P(−2,3)关于x轴的对称点，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴对称点的坐标是(−2,−3)．故答案为：(−2,−3)．两点关于x轴对称，那么横坐标不变，纵坐标互为相反数．本题考查关于x轴对称的点的坐标的特点，可记住要点或画图得到．13.【答案】5.5×103【解析】解：5500万=5.5×103万，故答案为：5.5×103．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14.【答案】3【解析】解：∵正方形二维码的边长为2cm，∴正方形二维码的面积为4cm2，∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，∴黑色部分的面积约为：4×0.75=3；故答案为：3．先求出正方形二维码的面积，再根据点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，然后进行计算即可得出答案．本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．15.【答案】35°【解析】解：∵l2//l3，∠1=25°，∴∠1=∠3=25°．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠4=60°−25°=35°．∵l1//l2，∴∠2=∠4=35°．故答案为：35°．先根据∠1=25°得出∠3的度数，再由△ABC是等边三角形得出∠4的度数，根据平行线的性质即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．16.【答案】2【解析】解：连接OB、OC．∵∠BOC=2∠BAC=120°，BC⏜的长是4π3，∴120⋅π⋅r180=4π3，∴r=2，故答案为2．连接OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可；本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属于中考常考题型．17.【答案】15【解析】解：如图，△ABC中，AB=6，AC=5，BD是AC边上的高，在Rt△ABD中，∵sin∠A=BDAB =BD6，∴BD=6sin∠A．∴S△ABC=12AC×BD=12×5×6sin∠A．当sin∠A最大时，即∠A=90°时，△ABC的面积最大，最大面积为12×5×6×1=15．故答案为：15．画出图形，设BD为AC边上的高，利用锐角三角函数表示出BD的长为6sin∠A，再利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积为12×5×6sin∠A，得到当∠A=90°时面积最大，从而求值．本题主要考查了三角形的面积，将三角形的高利用三角函数表示出来是解题的关键．18.【答案】4√10【解析】解：延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．∵OM=6，OD=DB=3，OT=12，∴OM2=OD⋅OT，∴OMOD =OTOM，∵∠MOD=∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴DM MT=OM OT=12，∴MT =2DM ，∵CM +2DM =CM +MT ≥CT ，又∵在Rt △OCT 中，∠COT =90°，OC =4，OT =12， ∴CT =√OC 2+OT 2=√42+122=4√10， ∴CM +2DM ≥4√10， ∴CM +2DM 的最小值为4√10， ∴答案为4√10．延长OB 到T ，使得BT =OB ，连接MT ，CT.利用相似三角形的性质证明MT =2DM ，求CM +2DM 的最小值问题转化为求CM +MT 的最小值．求出CT 即可判断． 本题考查相似三角形的判定和性质，胡不归问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．19.【答案】解：原式=3−1+4=6．【解析】直接利用二次根式的性质和零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：(1){x −y =4①2x +y =−1②，①+②得：3x =3， 解得：x =1．把x =1代入①得：y =−3， 方程组的解为：{x =1y =−3；(2){2x +6≥0①3−x 2≥x②，解不等式①得：x ≥−3， 解不等式②得：x ≤1，不等式组的解集为：−3≤x≤1．【解析】(1)利用加法可消掉y，解出x的值，然后可得y的值，进而可得方程组的解．(2)首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．此题主要考查了解一元一次不等式组，以及二元一次方程组的解法，关键是掌握不等式组解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21.【答案】解：由平移知，AB//CD，AB=CD，∴∠BAC=∠DCA，在△CDA和△ABC中{CD=AB∠DCA=∠BAC AC=CA，∴△CDA≌△ABC(SAS)；(2)∵将Rt△ABC沿BC所在直线平移得到△DEF，∴AD//BE，AD=BE，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴AD//CE，AD=CE，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC=90°，E是BC的中点，∴AE=CE，∴四边形AECD是菱形．【解析】(1)由平移性质得AB//CD，AB=CD，由平行线的性质得∠BAC=∠DCA，进而利用公共边相等，根据SAS定理得出结论；(2)由平移性质得AD//BE，AD=BE，再由中点E，得AD=EC，进而得四边形AECD 是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AE=CE，进而根据菱形的判定定理得四边形AECD是菱形．本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定，直角三角形的性质，关键是灵活运用这些知识解决问题．22.【答案】24 18 54【解析】解：(1)抽取的人数是36÷30%=120(人)，则a=120×20%=24，b=120−30−24−36−12=18．故答案是：24，18；=54°，(2)“排球”所在的扇形的圆心角为360°×18120故答案是：54；(3)全校总人数是120÷10%=1200(人)，则选择参加乒乓球运动的人数是1200×30%=360(人)．(1)根据选择乒乓球运动的人数是36人，对应的百分比是30%，即可求得总人数，然后利用百分比的定义求得a，用总人数减去其它组的人数求得b；(2)利用360°乘以对应的百分比即可求得；(3)求得全校总人数，然后利用总人数乘以对应的百分比求解．本题考查读扇形统计图获取信息的能力，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．23.【答案】70【解析】解：(1)∵该顾客刚好消费500元，∴该顾客可以在箱子里先后摸出两个球，∴该顾客至多可得到30+40=70(元)购物券；故答案为：70；(2)根题意列表如下：共有12种等可能出现的结果，其中该顾客所获得购物券的金额不低于60元的共有4种结果，所以P(不低于60元)=412=13．(1)先根据顾客刚好消费500元，求出该顾客可以在箱子里先后摸出两个球，再求出这两个球的最大和即可；(2)根据题意列出表，求出该顾客所获得购物券的金额不低于60元的情况数和总的情况数，再根据概率公式进行计算即可．此题考查了列表法和概率公式，解题的关键是掌握列表法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．24.【答案】解：(1)设乙工厂单独完成此项任务需要x天，则甲工厂单独完成此项任务需要(x+10)天，由题意，得45x+10=30x，解得：x=20．经检验，x=20是原方程的解，∴x+10=30(天)答：甲工厂单独完成此项任务需要30天，乙工厂单独完成此项任务需要20天；(2)设甲工厂再单独施工a天，由题意，得3 30+2a30≥2×320，解得：a≥3．答：甲工厂至少再单独施工3天．【解析】(1)设乙工厂单独完成此项任务需要x天，则甲工厂单独完成此项任务需要(x+ 10)天，根据甲工厂单独施工45天和乙工厂单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可；(2)设甲工厂再单独施工a天，根据甲工厂总的工作量不少于乙工厂的工作量的2倍建立不等式求出其解即可．此题主要考查了分式方程的应用，注意工作时间×工作效率=工作总量的运用，列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是学生容易忽略的地方．25.【答案】解：过D作DE⊥AB于E，可得四边形CHED为矩形，∴HE=CD=40m，设CH=DE=xm，在Rt△BDE中，∠DBA=60°，xm，∴BE=√33在Rt△ACH中，∠BAC=30°，∴AH=√3xm，x=160，由AH+HE+EB=AB=160m，得到√3x+40+√33解得：x=30√3，即CH=30√3m，则该河流的河宽为30√3m.【解析】过D作DE⊥AB于E，可得四边形CHED为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中，设CH=DE=xm，利用锐角三角函数定义表示出AH与BE，由AH+HE+EB=AB列出方程，求出方程的解即可得到结果．此题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解本题的关键．26.【答案】5【解析】解：(1)①如下图，∵MB为点M到正方形ABCD边上的点的距离最大，∴MB为为图形点M的“正方距”．∴d(点M)=MB=5．故答案为：5．②∵d(线段MN)≥5，d(点M)=5，∴由“正方距”的意义可知：符合题意的点N满足：d(点N)≥5．∴当d(点N)=5时，ON=OM=4．∴点N的坐标为(0,4)或(0,−4)．∵直线y=kx−4k(k≠0)与y轴交于点(0,−4k)，∴−4k=4或−4k=−4．解得：k=−1或k=1．∵d(线段MN)≥5，∴直线y=kx−4k(k≠0)与y轴的交点在(0,4)的上方或在(0,−4)的下方．∴−4k≥4或−4k≤−4，∴k≤−1或k≥1．(2)−6<t<6，理由：由题意，⊙T的圆心的圆心T在直线x=7上，设直线x=7与x轴交于点H，则BH=8，设当d(⊙T)=11时，圆心在T1或T2位置，如下图，∵d(⊙T)=11，∴EB=FB=11，∵⊙T的半径为1，∴T1B=T2B=10．在Rt△BT1H中，T1H=√T1B2−BH2=√102−82=6．同理，T2H=6，∴T1(7,6)，T2(7,−6)．∵d(⊙T)<11，∴圆心为T(7,t)在线段T1T2上(不含端点)，∴−6<t<6．(1)①由“正方距”的意义可得结论；②由“正方距”的意义可知：符合题意的点N满足：d(点N)≥5.设当d(点N)=5时，得到点N的坐标为(0,4)或(0,−4)，利用直线y=kx−4k(k≠0)与y轴交于(0,−4k)，列出不等式即可求解；(2)与(1)②的方法类似，设当d(⊙T)=11时，圆心在T1或T2位置，由题意可得圆心为T(7,t)在线段T1T2上(不含端点)，利用勾股定理求得T1H和T2H，结论可求．本题是一道圆的综合题，主要考查了正方形的性质，两点之间的距离，点的坐标的几何意义，一次函数图象上点的坐标的特征，一元一次不等式的解法，勾股定理．本题是阅读型题目，准确理解题目的新定义并熟练应用是解题的关键．27.【答案】解：(1)如图①中，结论：△OBE是等腰三角形．理由：∵四边形OABC是矩形，∴OA=BC=5，OC=AB=4，∠OCB=90°，BC//OA，∴∠CBO=∠AOB，由翻折的性质可知，∠AOB=∠BOE，∴∠EBO=∠EOB，∴EB=EC，∴△EOB是等腰三角形．设EB=OE=x，则CE=5−x，在Rt△EOC中，则有x2=42+(5−x)2，解得x=4.1，×4.1×4=8.2．∴S△EOB=12(2)如图②中，∵DH⊥OF，∴DH//OC，∴∠OEG=∠EGD，由翻折的性质可知，∠OEG=∠DEG，∴∠DEG=∠DGE，∴DE=DG，∵EO=ED，∴OE=DE=DG，设OE=DE=DG=x，在Rt △EDC 中，则有x 2=22+(4−x)2，解得x =52，∵四边形OCDH 是矩形，∴DH =OC =4，CD =OH =2，∴GH =4−52=32，∴G(2,32).(3)当点E 与C 重合时，BD 的值最小，最小值为1，当点F 与A 重合时，BD 的值最大，最大值为3，∴BD 的取值范围为：1≤BD ≤3．【解析】(1)如图①中，结论：△OBE 是等腰三角形．利用平行线的性质以及翻折的性质即可证明，再求出BE 的长即可解决问题．(2)如图2中，证明OE =DE =DG ，设OE =DE =DG =x ，利用勾股定理构建方程求出x 即可解决问题．(3)分别求出BD 的最大值与最小值即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．28.【答案】解：(1)由题意得：{c =016a +4a +c =425a +5a +c =0，解得{a =−1b =5c =0，故抛物线的表达式为y =−x 2+5x ；(2)设直线OA 的表达式为y =kx ，将点A 的坐标代入上式并解得k =1，故直线OA 的表达式为y =x ，设点P 的坐标为(m,−m 2+5m)，则点C 的坐标为(m,m)，当0<m <4时，如题干图，∵S △OPC =12S △OCD ，∴CD =23PD ，即−m 2+5m =32m ，解得m =0(舍去)或72；当3≤m≤4时，同理可得：PD=12CD，即−m2+5m=12m，解得m=0(舍去)或92，综上，点P的坐标为(72,214)或(92,94)；(3)以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等时，存在∠PMC和∠CPM为直角两种情况，∵OA的倾斜角为45°，故△ODC为等腰直角三角形，则P、C、M为顶点的三角形也为等腰直角三角形，①当∠MPC为直角时，如图1，当点P在OA是上方时，∵P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，∴PM=OD=m=PC，故点P的坐标为(m,2m)，将点P的坐标代入抛物线表达式得：2m=−m2+5m，解得m=0(舍去)或3，故点P的坐标为(3,6)，点P向右平移3个单位得到点M(6,6)；当点P在OA下方时，同理可得，点M(0,0)；②当∠PMC为直角时，如图2，则PM=OD=m，PC=OC=√2m，故点P的坐标为(m,m+√2m)，将点P的坐标代入抛物线表达式得m+√2m=−m2+5m，解得m=0(舍去)或4−√2，则点C的坐标为(4−√2,4−√2)，∵CM=m=4−√2，直线CM的倾斜角为45°，故点C向右平移√2CM向上平移√2CM的单位得到点M，则点M的坐标为(3+√2,3+√2)；当点P在OA下方时，同理可得，点M的坐标为(3−√2,3−√2)，综上，点M的坐标为(6,6)或(0,0)或(3+√2,3+√2)或(3−√2,3−√2).【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)当0<m<4时，S△OPC=12S△OCD，则CD=23PD，进而求解；当3≤m≤4时，同理可解；(3)以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等时，存在∠PMC和∠CPM为直角两种情况，利用数形结合和分类求解的方法，分别求解即可．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

江苏省常州市2019-2020学年中考一诊数学试题含解析

江苏省常州市2019-2020学年中考一诊数学试题含解析

江苏省常州市2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC 的度数是（）A．85°B．105°C．125°D．160°2．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是( )A．B．C．D．3．4的平方根是( )A．2 B．2C．±2 D．±24．已知点A（0，﹣4），B（8，0）和C（a，﹣a），若过点C的圆的圆心是线段AB的中点，则这个圆的半径的最小值是（）A．22B．2C．3D．25．下列图形中，主视图为①的是（）A ．B ．C ．D ．6．下列计算正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，等腰△ABC的底边BC与底边上的高AD相等，高AD在数轴上，其中点A，D分别对应数轴上的实数﹣2，2，则AC的长度为（）A．2 B．4 C．25D．458．若一组数据2，3，4，5，x的平均数与中位数相等，则实数x的值不可能是( )A．6 B．3.5 C．2.5 D．19．在武汉市举办的“读好书、讲礼仪”活动中，某学校积极行动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书．下面是七年级(1)班全体同学捐献图书的情况统计图，根据图中信息，该班平均每人捐书的册数是（）A．3 B．3.2 C．4 D．4.510．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何。

”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳长剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余一尺，问木条长多少尺”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（）A．4.5112x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩B．4.5112x yy x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩C．4.5112x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩D．4.5112x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩11．不等式组12342x x +>⎧⎨-≤⎩的解集表示在数轴上正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．12．已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．20cm2B ．20πcm2C ．10πcm2D ．5πcm2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一次函数 y=kx+b 的图像如图所示，则当kx+b>0 时，x 的取值范围为___________.14．如图，在菱形ABCD 中，AB=3，∠B=120°，点E 是AD 边上的一个动点（不与A ，D 重合），EF ∥AB 交BC 于点F ，点G 在CD 上，DG=DE ．若△EFG 是等腰三角形，则DE 的长为_____．15．阅读材料：如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ．设CD=x ，若AB=4，DE=2，BD=8，则可用含x 的代数式表示AC+CE 的长为()221684x x +-++．然后利用几何知识可知：当A 、C 、E 在一条直线上时，x=83时，AC+CE 的最小值为1．根据以上阅读材料，可构图求出代数式()2225129x x +-++的最小值为_____．16．如图，⊙O 的半径为5cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则弦AB 长为_____ cm ．17．甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向行驶，已知甲车的速度大于乙车的速度，甲车到达B 地后马上以另一速度原路返回A 地（掉头的时间忽略不计），乙车到达A 地以后即停在地等待甲车．如图所候，甲车与A地的距离为_____千米．18．计算：2（a－b）＋3b＝___________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．20．（6分）如图，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=﹣x2+c的图象相交于A（﹣1，2），B（2，n）两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；（3）设二次函数y=﹣x2+c的图象与y轴相交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．21．（6分）已知：如图所示，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）(2)设点P 在该抛物线上滑动，且满足条件S △PAB =1的点P 有几个？并求出所有点P 的坐标．22．（8分）如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．23．（8分）如图，分别延长▱ABCD 的边CD AB ，到E F ，，使DE BF =，连接EF ，分别交AD BC ，于G H ，，连结CG AH.，求证：CG //AH ．24．（10分）如图，在ABC △中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，且BDE A ∠=∠．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若16AC =，3tan 4A =，求⊙O 的半径．25．（10分） “机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A ．非常了解，B ．比较了解，C ．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次共调查名学生；扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？（4）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率．26．（12分）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；（2）求证：BD CD BE BC（3）若BC=32AB，求tan∠CDF的值．27．（12分）已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，∠AOC的度数为60°，连接PB．求BC的长；求证：PB是⊙O的切线．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，故选：C．【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．2．A【解析】【分析】【详解】解：分析题中所给函数图像，-段，AP随x的增大而增大，长度与点P的运动时间成正比．O E-段，AP逐渐减小，到达最小值时又逐渐增大，排除C、D选项，E F-段，AP逐渐减小直至为0，排除B选项．F G故选A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．【分析】，然后再根据平方根的定义求解即可．【详解】，2的平方根是，故选D．【点睛】正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．4．B【解析】【分析】首先求得AB的中点D的坐标，然后求得经过点D且垂直于直线y=-x的直线的解析式，然后求得与y=-x 的交点坐标，再求得交点与D之间的距离即可．【详解】AB的中点D的坐标是（4，-2），∵C（a，-a）在一次函数y=-x上，∴设过D且与直线y=-x垂直的直线的解析式是y=x+b，把（4，-2）代入解析式得：4+b=-2，解得：b=-1，则函数解析式是y=x-1．根据题意得：6 {y xy x--＝＝，解得：3{3 xy＝＝-，则交点的坐标是（3，-3）．．故选：B【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及两直线垂直的条件，正确理解C（a，-a），一定在直线y=-x 上，是关键．分析：主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．详解：A、主视图是等腰梯形，故此选项错误；B、主视图是长方形，故此选项正确；C、主视图是等腰梯形，故此选项错误；D、主视图是三角形，故此选项错误；故选B．点睛：此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．6．D【解析】分析：根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则计算即可．解答：解：A、x+x=2x，选项错误；B、x?x=x2，选项错误；C、（x2）3=x6，选项错误；D、正确．故选D．7．C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理解答即可．【详解】解：∵点A，D分别对应数轴上的实数﹣2，2，∴AD＝4，∵等腰△ABC的底边BC与底边上的高AD相等，∴BC＝4，∴CD＝2，在Rt△ACD中，AC=，故选：C．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．8．C【解析】因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间；结尾；开始的位置．【详解】（1）将这组数据从小到大的顺序排列为2，3，4，5，x，处于中间位置的数是4，∴中位数是4，平均数为（2+3+4+5+x）÷5，∴4=（2+3+4+5+x）÷5，解得x=6；符合排列顺序；（2）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，4，x，5，中位数是4，此时平均数是（2+3+4+5+x）÷5=4，解得x=6，不符合排列顺序；（3）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，x，4，5，中位数是x，平均数（2+3+4+5+x）÷5=x，解得x=3.5，符合排列顺序；（4）将这组数据从小到大的顺序排列后2，x，3，4，5，中位数是3，平均数（2+3+4+5+x）÷5=3，解得x=1，不符合排列顺序；（5）将这组数据从小到大的顺序排列后x，2，3，4，5，中位数是3，平均数（2+3+4+5+x）÷5=3，解得x=1，符合排列顺序；∴x的值为6、3.5或1．故选C．【点睛】考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．9．B【解析】七年级(1)班捐献图书的同学人数为9÷18%=50人，捐献4册的人数为50×30%=15人，捐献3册的人数为50-6-9-15-8=12人，所以该班平均每人捐书的册数为（6+9×2+12×3+15×4+8×5）÷50=3.2册，故选B. 10．A 【解析】 【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-12×绳长=1，据此列方程组即可求解． 【详解】设绳子长x 尺，木条长y 尺，依题意有4.5112x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩． 故选A ． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组． 11．C 【解析】 【详解】 根据题意先解出12342x x +>⎧⎨-≤⎩的解集是，把此解集表示在数轴上要注意表示时要注意起始标记为空心圆圈，方向向右；表示时要注意方向向左，起始的标记为实心圆点，综上所述C 的表示符合这些条件. 故应选C. 12．C 【解析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入,圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π． 故答案为C二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．x>1 【解析】分析：题目要求 kx+b>0，即一次函数的图像在x 轴上方时，观察图象即可得x 的取值范围. 详解：∵kx+b>0，∴一次函数的图像在x 轴上方时，∴x的取值范围为：x>1.故答案为x>1.点睛：本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，主要考查学生的观察视图能力.14．1或3【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，得到BC∥AD，由于EF∥AB，得到四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EF∥AB，于是得到EF=AB=3，当△EFG为等腰三角形时，①EF=GE=3时，于是得到DE=DG=12AD÷32=1，②GE=GF时，根据勾股定理得到DE=33．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B=120°，∴∠D=∠B=120°，∠A=180°-120°=60°，BC∥AD，∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF∥AB，∴EF=AB=3，∠DEF=∠A=60°，∠EFC=∠B=120°，∵DE=DG，∴∠DEG=∠DGE=30°，∴∠FEG=30°，当△EFG为等腰三角形时，当EF=EG时，EG=3，如图1，过点D作DH⊥EG于H，∴EH=12EG=32， 在Rt △DEH 中，DE=0cos30HE=1，GE=GF 时，如图2，过点G 作GQ ⊥EF ， ∴EQ=123Rt △EQG 中，∠QEG=30°， ∴EG=1，过点D 作DP ⊥EG 于P ， ∴PE=12EG=12， 同①的方法得，DE=33， 当EF=FG 时，由∠EFG=180°-2×30°=120°=∠CFE ，此时，点C 和点G 重合，点F 和点B 重合，不符合题意， 故答案为1或3【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握各性质是解题的关键． 15．13【解析】 【分析】根据已知图象，重新构造直角三角形，利用三角形相似得出CD 的长，进而利用勾股定理得出最短路径问题． 【详解】 如图所示：C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．设CD=x，若AB=5，DE=3，BD=12，当A，C，E，在一条直线上，AE最短，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴AB∥DE，∴△ABC∽EDC，∴AB BC DE CD=，∴5123CDCD-=，解得：DC=92．即当x=922225(12)9x x+-++229925(12)9()41322+-+=故答案是：13【点睛】考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．16．1cm【解析】【分析】首先根据题意画出图形，然后连接OA，根据垂径定理得到OC平分AB，即AC=BC，而在Rt△OAC中，根据勾股数得到AC=4，这样即可得到AB的长．【详解】解：如图，连接OA，则OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC=BC，∴在Rt△OAC中，22OA OC-，∴AB=2AC=1．故答案为1．【点睛】本题考查垂径定理；勾股定理．17．630【解析】分析：两车相向而行5小时共行驶了900千米可得两车的速度之和为180千米/时，当相遇后车共行驶了720千米时，甲车到达B地，由此则可求得两车的速度.再根据甲车返回到A地总用时16.5小时，求出甲车返回时的速度即可求解.详解：设甲车，乙车的速度分别为x千米/时，y千米/时，甲车与乙车相向而行5小时相遇，则5(x＋y)＝900，解得x＋y＝180，相遇后当甲车到达B地时两车相距720千米，所需时间为720÷180＝4小时，则甲车从A地到B需要9小时，故甲车的速度为900÷9＝100千米/时，乙车的速度为180－100＝80千米/时，乙车行驶900－720＝180千米所需时间为180÷80＝2.25小时，甲车从B地到A地的速度为900÷(16.5－5－4)＝120千米/时.所以甲车从B地向A地行驶了120×2.25＝270千米，当乙车到达A地时，甲车离A地的距离为900－270＝630千米.点睛：利用函数图象解决实际问题，其关键在于正确理解函数图象横，纵坐标表示的意义，抓住交点，起点.终点等关键点，理解问题的发展过程，将实际问题抽象为数学问题，从而将这个数学问题变化为解答实际问题.18．2a+b．【解析】【分析】先去括号，再合并同类项即可得出答案．【详解】原式=2a-2b+3b=2a+b．故答案为：2a+b．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）；（3）1．【解析】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为（1，0）；（3）∵=20，=20，=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：××=1平方单位．故答案为1．考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理20．（1）y=﹣x+1；（2）﹣1＜x＜2；（3）3；【解析】【分析】（1）根据待定系数法求一次函数和二次函数的解析式即可.（2）根据图象以及点A,B两点的坐标即可求出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；（3）连接AC 、BC ，设直线AB 交y 轴于点D ，根据ABC ACD BCD S S S =+△△△即可求出△ABC 的面积. 【详解】（1）把A （﹣1，2）代入y=﹣x 2+c 得：﹣1+c=2， 解得：c=3， ∴y=﹣x 2+3，把B （2，n ）代入y=﹣x 2+3得：n=﹣1， ∴B （2，﹣1），把A （﹣1，2）、B （2，﹣1）分别代入y=kx+b 得22 1.k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得： 11,k b =-⎧⎨=⎩∴y=﹣x+1；（2）根据图象得：使二次函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围是﹣1＜x ＜2； （3）连接AC 、BC ，设直线AB 交y 轴于点D ，把x=0代入y=﹣x 2+3得：y=3， ∴C （0，3），把x=0代入y=﹣x+1得：y=1， ∴D （0，1）， ∴CD=3﹣1=2，则11212212322ABC ACD BCD S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+=V V V ． 【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积公式等，掌握待定系数法是解题的关键.21． (1)y=﹣x 2+4x ﹣3；(2)满足条件的P 点坐标有3个，它们是（2，1）或（2，﹣1）或（22，﹣1）． 【解析】 【分析】（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可利用交点式求出抛物线解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设P（t，-t2+4t-3），根据三角形面积公式得到12•2•|-t2+4t-3|=1，然后去绝对值得到两个一元二次方程，再解方程求出t即可得到P点坐标. 【详解】解:(1)抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）（x﹣3）=﹣x2+4x﹣3；(2)设P（t，﹣t2+4t﹣3），因为S△PAB=1，AB=3﹣1=2，所以12•2•|﹣t2+4t﹣3|=1，当﹣t2+4t﹣3=1时，t1=t2=2，此时P点坐标为（2，1）；当﹣t2+4t﹣3=﹣1时，t1=2+2，t2=2﹣2，此时P点坐标为（2+2，﹣1）或（2﹣2，﹣1），所以满足条件的P点坐标有3个，它们是（2，1）或（2+2，﹣1）或（2﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.22．1 3【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为2，所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率＝26＝13．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．23．证明见解析 【解析】分析：根据平行四边形的性质以及已知的条件得出△EGD 和△FHB 全等，从而得出DG=BH ，从而说明AG 和CH 平行且相等，得出四边形AHCG 为平行四边形，从而得出答案． 详解：证明：在▱ABCD 中，AB//CD AD//CB AD CB ，，=，E F EDG DCH FBH ，∠∠∠∠∠∴===，又 DE BF =，EGD ∴V ≌()FHB AAS V ， DG BH ∴=，AG HC ∴=，又AD//CB Q ，∴四边形AGCH 为平行四边形， AH //CG ∴．点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及判定定理，属于基础题型．解决这个问题的关键就是根据平行四边形的性质得出四边形AHCG 为平行四边形． 24．（1）DE 与⊙O 相切，详见解析；（2）5 【解析】 【分析】(1) 根据直径所对的圆心角是直角，再结合所给条件∠BDE ＝∠A ，可以推导出∠ODE ＝ 90°，说明相切的位置关系。

2019-2020年常州市初三中考数学一模模拟试题【含答案】

2019-2020年常州市初三中考数学一模模拟试题【含答案】

2019-2020年常州市初三中考数学一模模拟试题【含答案】一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数为无理数的是（）A．B．C．D．02．（3分）2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（）A．3.56×106人B．35.6×105人C．3.6×105人D．0.356×107人3．（3分）下列各式正确的是（）A．（a2）3＝a5B．2a2+2a3＝2a5C．D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣14．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）在下列说法中不正确的是（）A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形6．（3分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（）A．a＜3B．a＞3C．a＜﹣3D．a＞﹣3．9．（3分）将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（）A．y＝5（x+3）2+2B．y＝5（x+3）2﹣2C．y＝5（x﹣3）2+2D．y＝5（x﹣3）2﹣210．（3分）如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（）A．72°B．68°C．64°D．62°11．（3分）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（）米．A．25.5B．26C．28.5D．20.512．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C、B运动（任何一个点到达即停止），BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：3a2﹣12＝．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O 为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E 的坐标是．15．（3分）在不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是．16．（3分）小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为．17．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为．18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE＝2EB，S△AFD＝27，则三角形ACD的面积等于．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：﹣2sin45°+||﹣（）﹣2+（）0．20．（6分）先化简，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值．21．（8分）某校为了解全校2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）（1）这次调查中，一共抽取了名学生；（2）补全条形统计图；（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学？（4）小明在上学的路上要经过2个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的，求小明在上学路上到第二个路口时第二次遇到红灯的概率，（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）22．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若∠DGB＝60°，GC＝4，求菱形DGCE的面积．23．（9分）某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件．已知甲加工60个A型零件所用时间和乙加工80个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件35个，设甲每天加工x个A型零件．（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；（列分式方程解应用题）（2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为m元/件（3≤m≤5），加工B型零件所获得的利润每件比A型少1元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与m（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值．24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H连接C．过弧BD上一点，过E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE （1）求证：EG是⊙O的切线；（2）求证：GF2＝GD•GC；（3）延长AB交GE的延长线于点M．若tan G＝，HC＝4，求EM的值．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD 与△ABC关于AC所在的直线对称．（1）当OC＝2时，求点D的坐标；（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交千点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．26．（10分）在平面直角坐标系中，若点A、C同时在某函数的图象上（点A在点C的左侧），以AC为对角线作矩形ABCD，若矩形ABCD的各边都分别与坐标轴乘直，则称矩形ABCD 为该函数图象的“雅垂矩形”，如图1，矩形ABCD为直线l的“雅垂矩形”（1）若某正比例函数图象的“雅垂矩形”的两邻边比为1：4，则下列函数：①y＝4x；②y＝﹣4x；③y＝2x；④y＝x中，符合条件的是（只填写序号）（2）若二次函数y＝x2﹣2x图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点C的横坐标是顶点A横坐标的3倍，设顶点A的横坐标为m（0＜m＜0.5），矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．（3）若二次函数y＝x2﹣2nx的图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点A、C的横坐标分别为﹣2，1，分别作点A、C关于此二次函数图象对称轴的对称点A、C，连接A'C'，是否存在这样的一个n，使得线段A'C'将矩形ABCD两部分图形的面积比为2：7的两部分？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数为无理数的是（）A．B．C．D．0【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、＝2是整数，是有理数，故选项不符合题意；B、是分数，是有理数，故选项不符合题意；C、是无理数，故选项符合题意；D、0是整数，是有理数，故选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（3分）2019年“五一”小长假有四天假期，长沙市共接待游客356万人次，称为新晋“网红城市”，356万人用科学记数法表示为（）A．3.56×106人B．35.6×105人C．3.6×105人D．0.356×107人【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：356万＝3.56×106．故选：A．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）下列各式正确的是（）A．（a2）3＝a5B．2a2+2a3＝2a5C．D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝a6，不符合题意；B、原式不能合并，不符合题意；C、原式＝a3，不符合题意；D、原式＝x2﹣1，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．4．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（3分）在下列说法中不正确的是（）A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形【分析】根据既是矩形又是菱形的四边形是正方形进行判断．【解答】解：A、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项不符合题意；B、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项不符合题意；C、两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项不符合题意；D、应是两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定，通过这道题可以掌握正方形和矩形，菱形的关系．6．（3分）如图是一个由6个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层右边2个小正方形，第三层右边2个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：不等式组整理得：，∴不等式组的解集为x＜1，故选：A．【点评】此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（3分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（）A．a＜3B．a＞3C．a＜﹣3D．a＞﹣3．【分析】先根据一次函数的性质得出关于a的不等式，再解不等式即可求出a的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（3﹣a）x+3，函数值y随自变量x的增大而增大，∴3﹣a＞0，解得a＜3．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．9．（3分）将抛物线y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，所得的抛物线的解析式为（）A．y＝5（x+3）2+2B．y＝5（x+3）2﹣2C．y＝5（x﹣3）2+2D．y＝5（x﹣3）2﹣2【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：∵y＝5x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的顶点坐标为（3，2），∴所得的抛物线的解析式为y＝5（x﹣3）2+2．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式求解更简便．10．（3分）如图，已知CA、CB分别与⊙O相切于A、B两点，D是⊙O上的一点，连接AD、BD，若∠C＝56°，则∠D等于（）A．72°B．68°C．64°D．62°【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可．【解答】解：连接OA，OB，∵CA、CB切⊙O于点A、B，∴∠CAO＝∠CBO＝90°，∵∠C＝56°，∴∠AOB＝360°﹣∠CAO﹣∠CBO﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°．由圆周角定理知，∠D＝∠AOB＝62°，故选：D．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度．熟练掌握：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等等知识是解题的关键．11．（3分）如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为45°，斜坡AD长10米，坡度i＝3：4，BD长12米，请问古塔BC的高度为（）米．A．25.5B．26C．28.5D．20.5【分析】作AE⊥BC，AF⊥BD，由i＝3：4，可设AF＝3x，DF＝4x，结合AD＝10，利用勾股定理可求得x的值，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BD，交BD延长线于点F，由i＝3：4，可设AF＝3x，DF＝4x，∵AD＝10，∴9x2+16x2＝100，解得：x＝2（负值舍去），则AF＝BE＝6，DF＝8，∴AE＝DF+BD＝8+12＝20，∵∠CAE＝45°，∴CE＝AE＝20，则BC＝CE+BE＝20+6＝26，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C、B运动（任何一个点到达即停止），BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（）A．B．C．D．【分析】首先判断出△ABE≌△BCF，即可判断出∠BAE＝∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA ＝90°，可得∠CBF+∠BEA＝90°，所以∠APB＝90°；然后根据点P在运动中保持∠APB＝90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△BCG中，根据勾股定理，求出CG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段CP的最小值为多少．【解答】解：如图，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝CE，又∵CD＝BC，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△BCG中，CG＝＝＝，∵PG＝AB＝，∴CP＝CG﹣PG＝﹣＝，即线段CP的最小值为，故选：A．【点评】此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，解答此题的关键是判断出什么情况下，CP的长度最小．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：3a2﹣12＝3（a+2）（a﹣2）．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3a2﹣12＝3（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O 为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E 的坐标是（，）．【分析】由题意可得OA：OD＝2：3，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，∴OA：OD＝2：3，∵点A的坐标为（1，0），即OA＝1，∴OD＝，∵四边形ODEF是正方形，∴DE＝OD＝．∴E点的坐标为：（，）．故答案是：（，）．【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．15．（3分）在不透明的盒子中装有6个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是24．【分析】设盒子中白色棋子有x个，根据概率公式列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：设盒子中白色棋子有x个，根据题意，得：＝，解得：x＝24，经检验：x＝24是原分式方程的解，所以白色棋子有24个，故答案为：24．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．16．（3分）小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为216°．【分析】利用勾股定理计算出母线长＝15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，利用弧长公式得到2π•9＝，解得n＝216．【解答】解：母线长＝＝15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，所以2π•9＝，解得n＝216，即该扇形薄纸板的圆心角为216°．故答案为216°．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣5＜x＜3．【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c ＞0的解集．【解答】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，∴另一个交点的坐标为（3，0），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．故答案为：﹣5＜x＜3．【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．18．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE＝2EB，S△AFD＝27，则三角形ACD的面积等于45．【分析】先证明△ADF∽△CEF，可知＝，然后根据相似三角形的性质可知＝（）2，再根据，从而可求出三角形ACD的面积．【解答】解：在▱ABCD中，AD∥CE，AD＝BC∴△ADF∽△CEF，∴，∵CE＝2EB，∴CE＝BC＝AD，∴＝，∴＝（）2＝，∴S△CEF＝12，∵，∴S△CFD＝18，∴S△ACD＝S△AFD+S△CDF＝27+18＝45，故答案为：45【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：﹣2sin45°+||﹣（）﹣2+（）0．【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝2﹣2×+2﹣﹣4+1＝﹣1．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）先化简，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤a≤2的范围内选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：＝＝＝，当a＝1时，原式＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21．（8分）某校为了解全校2400名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）（1）这次调查中，一共抽取了80名学生；（2）补全条形统计图；（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学？（4）小明在上学的路上要经过2个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的，求小明在上学路上到第二个路口时第二次遇到红灯的概率，（请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程）【分析】（1）由给的图象解题，根据自行车所占比例为30%，而频数分布直方图知一共有24人骑自行车上学，从而求出总人数；（2）由扇形统计图知：步行占20%，而由（1）总人数已知，从而求出步行人数，补全频数分布直方图；（3）自行车、步行、公交车、私家车、其他交通工具所占比例之和为100%，再由直方图具体人数来相减求解．（4）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第二次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）被抽到的学生中，骑自行车上学的学生有24人，占整个被抽到学生总数的30%，∴抽取学生的总数为24÷30%＝80（人）．故答案为：80；（2）被抽到的学生中，步行的人数为80×20%＝16人，直方图：（3）被抽到的学生中，乘公交车的人数为80﹣（24+16+10+4）＝26，∴全校所有学生中乘坐公交车上学的人数约为×2400＝780人．（4）画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第二次遇到红灯的结果数为1，所以到第二个路口时第二次遇到红灯的概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若∠DGB＝60°，GC＝4，求菱形DGCE的面积．【分析】（1）由角平分线的性质和中垂线性质可得∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC，可得CE∥DG，DE∥GC，DE＝EC，可证四边形DGCE是菱形；（2）过点D作DH⊥BC，由锐角三角函数可求DH的长，即可求菱形DGCE的面积．【解答】证明：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCG，∵EG垂直平分CD∴DG＝CG，DE＝EC，∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC∴CE∥DG，DE∥GC∴四边形DECG是平行四边形，且DE＝EC∴四边形DGCE是菱形（2）如图，过点D作DH⊥BC，∵四边形DGCE是菱形，∴DE＝DG＝GC＝4，DG∥EC在Rt△DGH中，∠DGB＝60°∴DH＝DG cos30°＝2∴菱形DGCE的面积＝GC×DH＝8【点评】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的判定是关键．23．（9分）某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件．已知甲加工60个A型零件所用时间和乙加工80个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件35个，设甲每天加工x个A型零件．（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；（列分式方程解应用题）（2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为m元/件（3≤m≤5），加工B型零件所获得的利润每件比A型少1元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与m（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值．【分析】（1）根据题意，易得，解可得x的值，进而可得答案；（2）根据题意，可得关系式y＝15m+20（m﹣1），化简可得y＝35m﹣20，根据一次函数的性质分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，每天甲、乙两人共加工35个零件，设甲每天加工x个，则乙每天加工35﹣x；根据题意，易得，解得x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意．35﹣15＝20，答：甲每天加工15个，乙每天加工20个；（2）y＝15m+20（m﹣1），即y＝35m﹣20，∵在y＝35m﹣20中，y是m的一次函数，k＝35＞0，y随m的增大而增大，又由已知得：3≤m≤5，∴当m＝5时，y最大值＝155，当m＝3时，y最小值＝85．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，能根据题意，列出关系式，进而结合一次函数的性质得到结论或求解方程是解题关键．24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H连接C．过弧BD上一点，过E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE （1）求证：EG是⊙O的切线；（2）求证：GF2＝GD•GC；（3）延长AB交GE的延长线于点M．若tan G＝，HC＝4，求EM的值．【分析】（1）连接OE，证明∠GEO＝90°，即GE⊥OE，于是EG是⊙O的切线；（2）连接DE，易得△GDE∽△GEC，得到GE2＝GC•GD，又GF＝GE，所以GF2＝GC •GD；（3）如图，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，，，在Rt△HOC中，由勾股定理得，由△AHC∽△MEO，所以．【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，∵GF＝GE，∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵∠AFH+∠F AH＝90°，∴∠GEF+∠AEO＝90°，∴∠GEO＝90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线；（2）连接DE，易得△GDE∽△GEC，∴，∴GE2＝GC•GD，又∵GF＝GE，∴GF2＝GC•GD；（3）如图，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，，∵，∴，在Rt△HOC中，∵OC＝r，，，∴，∴，∵GM∥AC，∴∠CAH＝∠M，∵∠OEM＝∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴，∴，∴．【点评】本题考查了圆，熟练运用圆的切线定理、相似三角形的性质以及勾股定理是解题的关键．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD 与△ABC关于AC所在的直线对称．（1）当OC＝2时，求点D的坐标；（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交千点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，则CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB ＝30°，过点D作DE⊥BC于点E，∠DCE＝60°，则，即可求解；（2）求出A，D坐标，两个点在同一反比例函数上，则，即可求解；（3）分P为直角顶点、D为直角顶点，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）∵△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，∴CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，过点D作DE⊥BC于点E，∵∠DCE＝60°，∴，∵OC＝2，∴OE＝3，∴；（2）设OC＝m，则OE＝m+1，OB＝m+2在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，∴，∴，∵A，D在同一反比例函数上，∴，解得：m＝1，∴OC＝1；（3）由（2）得：∴，∵四边形A1B1C1D1由四边形ABCD平移得到，∴，∵D1在反比例函数上，∴同理：，，∴，∴，∵x P＝x A＝﹣3，P在反比例函数上，∴，①若P为直角顶点，则A1P⊥DP，过点P作l1⊥y轴，过点A1作A1F⊥l1，过点D作DG⊥l1，则△A1PF～△PDG，，解得：；②若D为直角顶点，则A1D⊥DP，过点D作l2⊥x轴，过点A1作A1H⊥l2，则△A1DH～△DPG，，，解得：k＝0（舍），综上：存在．【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等知识点，此类题目的关键是，通过设线段长度，确定图象上点的坐标，进而求解．26．（10分）在平面直角坐标系中，若点A、C同时在某函数的图象上（点A在点C的左侧），以AC为对角线作矩形ABCD，若矩形ABCD的各边都分别与坐标轴乘直，则称矩形ABCD 为该函数图象的“雅垂矩形”，如图1，矩形ABCD为直线l的“雅垂矩形”（1）若某正比例函数图象的“雅垂矩形”的两邻边比为1：4，则下列函数：①y＝4x；②y＝﹣4x；③y＝2x；④y＝x中，符合条件的是①②④（只填写序号）（2）若二次函数y＝x2﹣2x图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点C的横坐标是顶点A横坐标的3倍，设顶点A的横坐标为m（0＜m＜0.5），矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．（3）若二次函数y＝x2﹣2nx的图象的“雅垂矩形”ABCD的顶点A、C的横坐标分别为﹣2，1，分别作点A、C关于此二次函数图象对称轴的对称点A、C，连接A'C'，是否存在这样的一个n，使得线段A'C'将矩形ABCD两部分图形的面积比为2：7的两部分？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由“雅垂矩形”的两邻边比为1：4可以得出正比例函数的系数k的值，从而得出答案；（2）由题意知A（m，m2﹣2m），C（3m，9m2﹣6m）．由0＜m＜0.5知CD＝3m﹣m＝2m，BC＝m2﹣2m﹣（9m2﹣6m）＝4m2﹣8m，从而得L＝2（CD+BC）＝﹣16m2﹣12m＝﹣16（m﹣0.375）2+2.25，据此可得答案；。

2020届常州一模数学试卷及答案

2020届常州一模数学试卷及答案

如果您喜欢这份文档，欢迎下载!2020届常州一模数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高.一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|x 2>0}，则A ∩B ＝________.2. 若复数z 满足z·i ＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的实部为________.3. 右图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是________.4. 函数y ＝2x －1的定义域是________.5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________.6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________.7. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1x －1，x ≤0，－x 23， x>0，则f(f(8))＝________．8. 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈[0，π]取得最大值时自变量x 的值为________. 9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，4a 2，2a 3，a 4成等差数列，则a 1a 7＝________. 10. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcosα＝2，则tan2α＝________.11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B ，若OB ＝2a ，则C 的离心率为________.12. 已知函数f(x)＝|lg(x －2)|，互不相等的实数a ，b 满足f(a)＝f(b)，则a ＋4b 的最小值为________.13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点(0，1)的距离为2，则实数a 的取值范围是________.14. 在△ABC 中，∠A ＝π3，点D 满足AD →＝23AC →，且对任意x ∈R ，|xAC →＋AB →|≥|AD →－AB→|恒成立，则cos ∠ABC ＝________.二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，cosB ＝33. (1) 若A ＝π3，求sinC 的值；(2) 若b ＝2，求c 的值.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP ＝AD ，M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点．求证：(1) MN ∥平面PBC ； (2) PC ⊥AM.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆右顶点为A ，点F 2在圆A ：(x －2)2＋y 2＝1上.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知AM →＝－132AN →，求直线F 1M 的斜率.请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10 2 cm的正方形硬纸片(如图1所示)，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图2所示)，设正四棱锥PEFGH的底面边长为x(cm).(1) 若要求包装盒侧面积S不小于75cm2，求x的取值范围；(2) 若要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积.图1图2已知函数f(x)＝(ax2＋2x)lnx＋a2x2＋1(a∈R).(1) 若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．(e是自然对数的底数，e ≈2.718 28…)设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{A n }，{B n }满足：存在正数L ，当n ∈N *且n ≤m 时，都有|A n －B n |≤L ，则称数列{A n }，{B n }是“(m ，L)接近的”．已知无穷等比数列{a n }满足8a 3＝4a 2＝1，无穷数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且S n （b n ＋1－b n ）b n b n ＋1－12，n ∈N *. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求证：对任意正整数m ，数列{a n }，{a 2n ＋1}是“(m ，1)接近的”； (3) 给定正整数m(m ≥5)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{b 2n ＋k}(其中k ∈R )是“(m ，L)接近的”，求L 的最小值，并求出此时的k(均用m 表示)．(参考数据：ln2≈0. 69)2020届高三年级第一次模拟考试(六) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知点(a ，b)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 4对应的变换作用下得到点(4，6).(1) 写出矩阵A 的逆矩阵； (2) 求a ＋b 的值.B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)求圆心在极轴上，且过极点与点P ⎝⎛⎭⎫23，π6的圆的极坐标方程.C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 求函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X 表示这3个样品中优等品的个数．(1) 求取出的3个样品中有优等品的概率；(2) 求随机变量X 的概率分布及数学期望E(X).23. (本小题满分10分)设集合A ＝{1，2}，A n ＝{t|t ＝a n ·3n ＋a n －1·3n －1＋…＋a 1·3＋a 0，其中a i ∈A ，i ＝0，1，2，…，n}，n ∈N *.(1) 求A 1中所有元素的和，并写出集合A n 中元素的个数；(2) 求证：能将集合A n (n ≥2，n ∈N *)分成两个没有公共元素的子集B s ＝{b 1，b 2，b 3，…，b s }和C l ＝{c 1，c 2，c 3，…，c l }，s ，l ∈N *，使得b 21＋b 22＋…＋b 2s ＝c 21＋c 22＋…＋c 2l 成立.数学参考答案1. {－1，1}2. －13. 104. [0，＋∞)5. 26. 7107. －158. π129. 64 10. －22 11. 212. 14 13. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172 14. 5132615. (1) 在△ABC 中，0<B<π，则sinB>0. 因为cosB ＝33， 所以sinB ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63.(3分)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sinC ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)，(5分)所以sinC ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ＝sin π3cosB ＋cos π3sinB ＝32×33＋12×63＝3＋66.(8分) (2) 由余弦定理得b 2＝a 2－2accosB ＋c 2，则(2)2＝1－2c·33＋c 2，(10分)所以c 2－233c －1＝0，(c －3)⎝⎛⎭⎫c ＋33＝0.(12分)因为c ＋33>0，所以c －3＝0，即c ＝ 3.(14分) 16. (1) 取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN. 在△PCD 中，M ，E 为PD ，PC 的中点， 所以EM ∥CD ，EM ＝12CD ；在△ABC 中，F ，N 为BC ，AC 的中点， 所以FN ∥AB ，FN ＝12AB.因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB ∥CD ，AB ＝CD ， 从而EM ∥FN ，EM ＝FN ，所以四边形EMNF 是平行四边形，(4分)所以MN ∥EF.又EF ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以MN ∥平面PBC.(6分) (2) 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥CD.因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD.(8分)又因为PA ∩AD ＝A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD. 又AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM.(10分)因为AP ＝AD ，M 为PD 的中点， 所以AM ⊥PD.又因为PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AM ⊥平面PCD. (12分)又PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AM.(14分)17. (1) 圆A ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心A(2，0)，半径r ＝1，与x 轴交点坐标为(1，0)，(3，0)，点F 2在圆A ：(x －2)2＋y 2＝1上，所以F 2(1，0)，从而a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝22－12＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 由题，设点M(x 1，y 1)，0<x 1<2，y 1<0； 点N(x 2，y 2)，x 2>0，y 2>0，则AM →＝(x 1－2，y 1)，AN →＝(x 2－2，y 2)，由AM →＝－132AN →知点A ，M ，N 共线．(5分)直线AM 的斜率存在，可设为k(k>0)，则直线AM 的方程为y ＝k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），（x －2）2＋y 2＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋1＋k 21＋k 2，y ＝k 1＋k 21＋k 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1＋k 21＋k 2，y ＝－k 1＋k 21＋k 2，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1＋k 21＋k 2，k 1＋k 21＋k 2，(7分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－63＋4k 2，y ＝－12k 3＋4k 2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2，(10分)代入AM →＝－132AN →得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2－2，－12k 3＋4k 2＝－132⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 21＋k 2，k 1＋k 21＋k 2， (4k 2－9)(52k 2＋51)＝0.又k>0，得k ＝32，(13分)所以M ⎝⎛⎭⎫1，－32.又F 1(－1，0)，可得直线F 1M 的斜率为－321－（－1）＝－34.(14分) 18. (1) 在图1中连结AC ，BD 交于点O.设BD 与FG 交于点M ，在图2中连结OP. 因为ABCD 是边长为102cm 的正方形，所以OB ＝10(cm)． 由FG ＝x ，得OM ＝x 2，PM ＝BM ＝10－x2，(2分)因为PM>OM ，即10－x 2>x2，所以0<x<10.(4分)因为S ＝4×12FG·PM ＝2x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝20x －x 2，(6分) 由20x －x 2≥75，得5≤x ≤15，所以5≤x<10. 故x 的取值范围是5≤x<10.(8分)(2) 因为在Rt △OMP 中，OM 2＋OP 2＝PM 2， 所以OP ＝PM 2－OM 2＝⎝⎛⎭⎫10－x 22－⎝⎛⎭⎫x 22＝100－10x ，V ＝13FG 2·OP ＝13x 2100－10x ＝13100x 4－10x 5，0<x<10.(10分) 设f(x)＝100x 4－10x 5，0<x<10，所以f′(x)＝400x 3－50x 4＝50x 3(8－x)， 令f′(x)＝0，得x ＝8或x ＝0(舍去)．(12分) 列表得，x (0，8) 8 (8，10) f′(x) ＋ 0 － f(x)极大值所以当x ＝8时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，(14分) 所以当x ＝8时，V 的最大值为12853.故当x ＝8cm 时，包装盒容积V 最大为12853(cm 3)．(16分)图1图219. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝(2ax ＋2)lnx ＋(ax 2＋2x)·1x ＋ax ＝2(ax ＋1)lnx ＋2ax ＋2＝2(ax ＋1)(lnx ＋1)，(2分)则f′(1)＝2(a ＋1)＝2，所以a ＝0，(3分)此时f(x)＝2xlnx ＋1，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(lnx ＋1)， 令f′(x)>0，解得x>1e ；令f′(x)<0，解得x<1e，所以函数f(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e .(6分) (2) 函数f(x)＝(ax 2＋2x)lnx ＋a2x 2＋1在区间[1，e]上的图象是一条不间断的曲线．由(1)知f′(x)＝2(ax ＋1)(lnx ＋1)，当a ≥0时，对任意x ∈(1，e)，ax ＋1>0，lnx ＋1>0，则f′(x)>0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，此时对任意x ∈(1，e)，都有f(x)>f(1)＝a2＋1>0成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点；(8分)当a<0时，令f′(x)＝0，得x ＝1e 或x ＝－1a ，其中1e<1，①若－1a ≤1，即a ≤－1，则对任意x ∈(1，e)，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递减，由题意得f(1)＝a 2＋1>0，且f(e)＝ae 2＋2e ＋a2e 2＋1<0，解得－2<a<－2（2e ＋1）3e 2，其中－2（2e ＋1）3e 2－(－1)＝3e 2－4e －23e 2>0，即－2（2e ＋1）3e 2>－1，所以a 的取值范围是－2<a ≤－1；(10分)②若－1a ≥e ，即－1e ≤a<0，则对任意x ∈(1，e)，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，此时对任意x ∈(1，e)，都有f(x)>f(1)＝a2＋1>0成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点； (12分)③若1<－1a <e ，即－1<a<－1e，则对任意x ∈⎝⎛⎭⎫1，－1a ，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤1，－1a 上单调递增，对任意x ∈⎝⎛⎦⎤1，－1a ，都有f(x)>f(1)＝a 2＋1>0成立；对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，e ，f′(x)<0，函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－1a ，e 上单调递减， 由题意得f(e)＝ae 2＋2e ＋a2e 2＋1<0，解得a<－2（2e ＋1）3e 2，其中－2（2e ＋1）3e 2－⎝⎛⎭⎫－1e ＝3e －4e －23e 2＝－e －23e 2<0，即－2（2e ＋1）3e 2<－⎝⎛⎭⎫－1e ， 所以a 的取值范围是－1<a<－2（2e ＋1）3e 2.(15分)综上可得，实数a 的取值范围是－2<a<－2（2e ＋1）3e 2.(16分)20. (1) 设等比数列{a n }公比为q ，由8a 3＝4a 2＝1得8a 1q 2＝4a 1q ＝1， 解得a 1＝q ＝12，故a n ＝12n .(3分)(2) |a n －(a 2n ＋1)|＝⎪⎪⎪⎪12n －⎝⎛⎭⎫14n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12n －122＋34＝⎝⎛⎭⎫12n －122＋34.(5分)对任意正整数m ，当n ∈N *，且n ≤m 时，有0<12m ≤12n ≤12，则⎝⎛⎭⎫12n －122＋34<14＋34＝1，即|a n －(a 2n ＋1)|≤1成立，故对任意正整数m ，数列{a n }，{a 2n ＋1}是“(m ，1)接近的”．(8分)(3) 由S n （b n ＋1－b n ）b n b n ＋1＝12，得到S n (b n ＋1－b n )＝12b n b n ＋1，且b n ，b n ＋1≠0，从而b n ＋1－b n ≠0，于是S n ＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）.(9分)当n ＝1时，S 1＝b 1b 22（b 2－b 1），b 1＝1，解得b 2＝2，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）－b n －1b n2（b n －b n －1）.又b n ≠0，整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n ，所以b n ＋1－b n ＝b n －b n －1，因此数列{b n }为等差数列．又因为b 1＝1，b 2＝2，所以数列{b n }的公差为1，故b n ＝n.(11分) 根据条件，对于给定正整数m(m ≥5)，当n ∈N *且n ≤m 时，都有⎪⎪⎪⎪1a n －（b 2n ＋k ）＝|2n －(n 2＋k)|≤L 成立， 即－L ＋2n －n 2≤k ≤L ＋2n －n 2①对n ＝1，2，3，…，m 都成立. (12分)考察函数f(x)＝2x －x 2，f′(x)＝2x ln2－2x ，令g(x)＝2x ln2－2x ，则g′(x)＝2x (ln2)2－2，当x>5时，g′(x)>0，所以g(x)在区间[5，＋∞)上是增函数． 又因为g(5)＝25ln2－10>0，所以当x>5时，g(x)>0，即f′(x)>0， 所以f(x)在区间[5，＋∞)上是增函数．注意到f(1)＝1，f(2)＝f(4)＝0，f(3)＝－1，f(5)＝7，故当n ＝1，2，3，…，m 时，－L ＋2n －n 2的最大值为－L ＋2m －m 2， L ＋2n －n 2的最小值为L －1.(14分) 欲使满足①的实数k存在，必有－L ＋2m －m 2≤L －1，即L ≥2m －m 2＋12，因此L 的最小值为2m －m 2＋12，此时k ＝2m －m 2－12.(16分)21. A.(2) 点(a ，b)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 324对应的变换作用下得到点(4，6)，所以A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤46，(6分)(8分)所以a ＝1，b ＝1，得a ＋b ＝2.(10分)B. 因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是ρ＝2rcosθ. 又因为点P ⎝⎛⎭⎫23，π6在圆上，所以23＝2rcos π6，解得r ＝2. 因此所求圆的极坐标方程是ρ＝4cosθ.(10分)C. 函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的定义域为[0，＋∞)，x ＋1>0.(2分)x －2x ＋6x ＋1＝（x ＋1）2－4（x ＋1）＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1－4≥2（x ＋1）·9x ＋1－4＝2， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝4时取到“＝”，(8分)所以当x ＝4时，函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的最小值为2.(10分)22. (1) 记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，则A 表示“取出的3个样品中没有优等品”，P(A)＝(1－0.3)3＝3431 000，所以P(A)＝1－P(A)＝1－3431 000＝6571 000，(3分) 故取出的3个样品中有优等品的概率是6571 000.(4分)(2) X ～B(3，0.3)，P(X ＝k)＝C k 30.3k (1－0.3)3－k ，k ＝0，1，2，3，(6分) 随机变量X X 0 1 2 3 P3431 0004411 0001891 000271 000E(X)＝0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000＝910.故随机变量X 的数学期望是910.(10分) 23. (1) A 1＝{t|t ＝a 1·3＋a 0，其中a i ∈A ，i ＝0，1}＝{4，5，7，8}， 所以A 1中所有元素的和为24，集合A n 中元素的个数为2n ＋1.(2分) (2) 取s ＝l ＝2n ，下面用数学归纳法进行证明．①当n ＝2时，A 2＝{13，14，16，17，22，23，25，26}，(3分)取b 1＝13，b 2＝17，b 3＝23，b 4＝25，c 1＝14，c 2＝16，c 3＝22，c 4＝26，有b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＝78，且b 21＋b 22＋b 23＋b 24＝c 21＋c 22＋c 23＋c 24＝1 612成立．(4分)②假设当n ＝k ，k ∈N *且k ≥2时，结论成立，有∑2k i ＝1b i ＝∑2k i ＝1c i，且∑2k i ＝1b 2i ＝∑2k i ＝1c 2i 成立． 当n ＝k ＋1时，取B 2k ＋1＝{b 1＋3k ＋1，b 2＋3k ＋1，…，b 2k ＋3k ＋1，c 1＋2·3k ＋1，c 2＋2·3k ＋1，…，c 2k ＋2·3k ＋1}，C 2k ＋1＝{c 1＋3k ＋1，c 2＋3k ＋1，…，c 2k ＋3k ＋1，b 1＋2·3k ＋1，b 2＋2·3k ＋1，…，b 2k ＋2·3k ＋1}，此时B 2k ＋1，C 2k ＋1无公共元素，且B 2k ＋1∪C 2k ＋1＝A k ＋1.(6分) 有∑2k i ＝1 (b i ＋3k ＋1)＋∑2k i ＝1 (c i ＋2·3k ＋1)＝∑2k i ＝1 (c i ＋3k ＋1)＋∑2k i ＝1(b i ＋2·3k ＋1)， 且∑2k i ＝1 (b i ＋3k ＋1)2＋∑2k i ＝1 (c i ＋2·3k ＋1)2＝∑2k i ＝1b 2i ＋∑2k i ＝1c 2i ＋2·3k ＋1∑2k i ＝1b i ＋4·3k ＋1∑2k i ＝1c i＋2k [(3k ＋1)2＋(2·3k ＋1)2]，∑2k i ＝1 (c i ＋3k ＋1)2＋∑2k i ＝1 (b i ＋2·3k ＋1)2＝∑2k i ＝1c 2i ＋∑2k i ＝1b 2i ＋2·3k ＋1∑2k i ＝1c i ＋4·3k ＋1∑2k i ＝1b i ＋2k [(3k ＋1)2＋(2·3k＋1)2]，由归纳假设知∑2k i ＝1b i ＝∑2k i ＝1c i，且∑2k i ＝1b 2i ＝∑2k i ＝1c 2i ， 所以∑2k i ＝1 (b i ＋3k ＋1)2＋∑2k i ＝1 (c i ＋2·3k ＋1)2＝∑2k i ＝1 (c i ＋3k ＋1)2＋∑2k i ＝1 (b i＋2·3k ＋1)2， 即当n ＝k ＋1时也成立．(9分)综上可得，能将集合A n ，n ≥2分成两个没有公共元素的子集B s ＝{b 1，b 2，b 3，…，b s }和C l ＝{c 1，c 2，c 3，…，c l }，s ，l ∈N *，使得b 21＋b 22＋…＋b 2s ＝c 21＋c 22＋…＋c 2l成立．(10分)。

2020年江苏省常州市中考一模数学试卷(二)+解析版

2020年江苏省常州市中考一模数学试卷(二)+解析版

D．摸出的 2 个球中至少有1个白球
4
24.(8 分）“低碳生活，绿色出行”共享单车已经成了很多人出行的主要选择． （1）考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过 60000 元的资金再购进 A，B 两种规格的 自行车 100 辆，且 A 型车不超过 60 辆．已知 A 型的进价为 500 元/辆，B 型车进价为 700 元/辆，设购 进 A 型车 m 辆，求出 m 的取值范围； （2）已知 A 型车每月产生的利润是 100 元/辆，B 型车每月产生的利润是 90 元/辆，在（1）的条件下， 求公司每月的最大利润．
23.(8 分）甲口袋中有 2 个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分
别从每个口袋中随机摸出1个球.
（1）求摸出的 2 个球都是白球的概率.
（2）下列事件中，概率最大的是（ ）.
A．摸出的 2 个球颜色相同
B．摸出的 2 个球颜色不相同
C．摸出的 2 个球中至少有1个红球
2.已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（ ）
A．29°28′
B．29°68′
C．119°28′
D．119°68′
【答案】A
【解析】∵∠α＝60°32′，∠α的余角是为：90°﹣60°32′＝29°28′，故选：A．
3.一组数据 3，1，4，2，－1，则这组数据的极差是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
∵ P 点经过的路径长为 x ，∴ AP x 2 ， DP 6 x ，
∴
y
S△CPE
S正方形ABCD
S△BEC
S△APE
S△PDC
44
1 24 2
1 2 (x 2) 2
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2020届常州一模数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高.一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|x 2>0}，则A ∩B ＝________.2. 若复数z 满足z·i ＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的实部为________.3. 右图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是________.4. 函数y ＝2x －1的定义域是________.5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________.6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________.7. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1x －1，x ≤0，－x 23， x>0，则f(f(8))＝________．8. 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈[0，π]取得最大值时自变量x 的值为________. 9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，4a 2，2a 3，a 4成等差数列，则a 1a 7＝________. 10. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcosα＝2，则tan2α＝________.11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B ，若OB ＝2a ，则C 的离心率为________.12. 已知函数f(x)＝|lg(x －2)|，互不相等的实数a ，b 满足f(a)＝f(b)，则a ＋4b 的最小值为________.13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点(0，1)的距离为2，则实数a 的取值范围是________.14. 在△ABC 中，∠A ＝π3，点D 满足AD →＝23AC →，且对任意x ∈R ，|xAC →＋AB →|≥|AD →－AB→|恒成立，则cos ∠ABC ＝________.二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，cosB ＝33. (1) 若A ＝π3，求sinC 的值；(2) 若b ＝2，求c 的值.16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP ＝AD ，M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点．求证：(1) MN ∥平面PBC ； (2) PC ⊥AM.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆右顶点为A ，点F 2在圆A ：(x －2)2＋y 2＝1上.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知AM →＝－132AN →，求直线F 1M 的斜率.请你设计一个包装盒，ABCD是边长为10 2 cm的正方形硬纸片(如图1所示)，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图2所示)，设正四棱锥PEFGH的底面边长为x(cm).(1) 若要求包装盒侧面积S不小于75cm2，求x的取值范围；(2) 若要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积.图1图2已知函数f(x)＝(ax2＋2x)lnx＋a2x2＋1(a∈R).(1) 若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．(e是自然对数的底数，e ≈2.718 28…)设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{A n }，{B n }满足：存在正数L ，当n ∈N *且n ≤m 时，都有|A n －B n |≤L ，则称数列{A n }，{B n }是“(m ，L)接近的”．已知无穷等比数列{a n }满足8a 3＝4a 2＝1，无穷数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1＝1，且S n （b n ＋1－b n ）b n b n ＋1－12，n ∈N *. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求证：对任意正整数m ，数列{a n }，{a 2n ＋1}是“(m ，1)接近的”； (3) 给定正整数m(m ≥5)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{b 2n ＋k}(其中k ∈R )是“(m ，L)接近的”，求L 的最小值，并求出此时的k(均用m 表示)．(参考数据：ln2≈0. 69)2020届高三年级第一次模拟考试(六) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知点(a ，b)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 4对应的变换作用下得到点(4，6).(1) 写出矩阵A 的逆矩阵； (2) 求a ＋b 的值.B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)求圆心在极轴上，且过极点与点P ⎝⎛⎭⎫23，π6的圆的极坐标方程.C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 求函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X 表示这3个样品中优等品的个数．(1) 求取出的3个样品中有优等品的概率；(2) 求随机变量X 的概率分布及数学期望E(X).23. (本小题满分10分)设集合A ＝{1，2}，A n ＝{t|t ＝a n ·3n ＋a n －1·3n －1＋…＋a 1·3＋a 0，其中a i ∈A ，i ＝0，1，2，…，n}，n ∈N *.(1) 求A 1中所有元素的和，并写出集合A n 中元素的个数；(2) 求证：能将集合A n (n ≥2，n ∈N *)分成两个没有公共元素的子集B s ＝{b 1，b 2，b 3，…，b s }和C l ＝{c 1，c 2，c 3，…，c l }，s ，l ∈N *，使得b 21＋b 22＋…＋b 2s ＝c 21＋c 22＋…＋c 2l 成立.数学参考答案1. {－1，1}2. －13. 104. [0，＋∞)5. 26. 7107. －158. π129. 64 10. －22 11. 212. 14 13. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172 14. 5132615. (1) 在△ABC 中，0<B<π，则sinB>0. 因为cosB ＝33， 所以sinB ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63.(3分)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sinC ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)，(5分)所以sinC ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ＝sin π3cosB ＋cos π3sinB ＝32×33＋12×63＝3＋66.(8分) (2) 由余弦定理得b 2＝a 2－2accosB ＋c 2， 则(2)2＝1－2c·33＋c 2，(10分)所以c 2－233c －1＝0，(c －3)⎝⎛⎭⎫c ＋33＝0.(12分)因为c ＋33>0，所以c －3＝0，即c ＝ 3.(14分) 16. (1) 取PC ，BC 的中点E ，F ，连结ME ，EF ，FN. 在△PCD 中，M ，E 为PD ，PC 的中点， 所以EM ∥CD ，EM ＝12CD ；在△ABC 中，F ，N 为BC ，AC 的中点， 所以FN ∥AB ，FN ＝12AB.因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB ∥CD ，AB ＝CD ， 从而EM ∥FN ，EM ＝FN ，所以四边形EMNF 是平行四边形，(4分)所以MN ∥EF.又EF ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，所以MN ∥平面PBC.(6分) (2) 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥CD.因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD.(8分)又因为PA ∩AD ＝A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD. 又AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM.(10分) 因为AP ＝AD ，M 为PD 的中点， 所以AM ⊥PD.又因为PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AM ⊥平面PCD. (12分)又PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AM.(14分)17. (1) 圆A ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心A(2，0)，半径r ＝1，与x 轴交点坐标为(1，0)，(3，0)，点F 2在圆A ：(x －2)2＋y 2＝1上，所以F 2(1，0)，从而a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝22－12＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 由题，设点M(x 1，y 1)，0<x 1<2，y 1<0； 点N(x 2，y 2)，x 2>0，y 2>0，则AM →＝(x 1－2，y 1)，AN →＝(x 2－2，y 2)，由AM →＝－132AN →知点A ，M ，N 共线．(5分)直线AM 的斜率存在，可设为k(k>0)，则直线AM 的方程为y ＝k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），（x －2）2＋y 2＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋1＋k 21＋k 2，y ＝k 1＋k 21＋k 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1＋k 21＋k 2，y ＝－k 1＋k 21＋k2，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1＋k 21＋k 2，k 1＋k 21＋k 2，(7分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－63＋4k 2，y ＝－12k 3＋4k 2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2，(10分)代入AM →＝－132AN →得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2－2，－12k 3＋4k 2＝－132⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 21＋k 2，k 1＋k 21＋k 2， (4k 2－9)(52k 2＋51)＝0.又k>0，得k ＝32，(13分)所以M ⎝⎛⎭⎫1，－32.又F 1(－1，0)，可得直线F 1M 的斜率为－321－（－1）＝－34.(14分) 18. (1) 在图1中连结AC ，BD 交于点O.设BD 与FG 交于点M ，在图2中连结OP. 因为ABCD 是边长为102cm 的正方形，所以OB ＝10(cm)． 由FG ＝x ，得OM ＝x 2，PM ＝BM ＝10－x2，(2分)因为PM>OM ，即10－x 2>x2，所以0<x<10.(4分)因为S ＝4×12FG·PM ＝2x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝20x －x 2，(6分) 由20x －x 2≥75，得5≤x ≤15，所以5≤x<10.故x 的取值范围是5≤x<10.(8分)(2) 因为在Rt △OMP 中，OM 2＋OP 2＝PM 2， 所以OP ＝PM 2－OM 2＝⎝⎛⎭⎫10－x 22－⎝⎛⎭⎫x 22＝100－10x ，V ＝13FG 2·OP ＝13x 2100－10x ＝13100x 4－10x 5，0<x<10.(10分) 设f(x)＝100x 4－10x 5，0<x<10，所以f ′(x)＝400x 3－50x 4＝50x 3(8－x)，令f ′(x)＝0，得x ＝8或x ＝0(舍去)．(12分) 列表得，所以当x ＝8时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，(14分) 所以当x ＝8时，V 的最大值为12853.故当x ＝8cm 时，包装盒容积V 最大为12853(cm 3)．(16分)图1图219. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝(2ax ＋2)lnx ＋(ax 2＋2x)·1x ＋ax ＝2(ax ＋1)lnx ＋2ax ＋2＝2(ax ＋1)(lnx ＋1)，(2分)则f ′(1)＝2(a ＋1)＝2，所以a ＝0，(3分)此时f(x)＝2xlnx ＋1，定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2(lnx ＋1)， 令f ′(x)>0，解得x>1e ；令f ′(x)<0，解得x<1e，所以函数f(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e .(6分) (2) 函数f(x)＝(ax 2＋2x)lnx ＋a2x 2＋1在区间[1，e]上的图象是一条不间断的曲线．由(1)知f ′(x)＝2(ax ＋1)(lnx ＋1)，当a ≥0时，对任意x ∈(1，e)，ax ＋1>0，lnx ＋1>0，则f ′(x)>0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，此时对任意x ∈(1，e)，都有f(x)>f(1)＝a2＋1>0成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点；(8分)当a<0时，令f ′(x)＝0，得x ＝1e 或x ＝－1a ，其中1e<1，①若－1a ≤1，即a ≤－1，则对任意x ∈(1，e)，f ′(x)<0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递减，由题意得f(1)＝a 2＋1>0，且f(e)＝ae 2＋2e ＋a2e 2＋1<0，解得－2<a<－2（2e ＋1）3e 2，其中－2（2e ＋1）3e 2－(－1)＝3e 2－4e －23e 2>0，即－2（2e ＋1）3e 2>－1， 所以a 的取值范围是－2<a ≤－1；(10分)②若－1a ≥e ，即－1e ≤a<0，则对任意x ∈(1，e)，f ′(x)>0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，此时对任意x ∈(1，e)，都有f(x)>f(1)＝a2＋1>0成立，从而函数f(x)在区间(1，e)上无零点； (12分)③若1<－1a <e ，即－1<a<－1e，则对任意x ∈⎝⎛⎭⎫1，－1a ，f ′(x)>0，所以函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤1，－1a 上单调递增，对任意x ∈⎝⎛⎦⎤1，－1a ，都有f(x)>f(1)＝a 2＋1>0成立；对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，e ，f ′(x)<0，函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－1a ，e 上单调递减， 由题意得f(e)＝ae 2＋2e ＋a2e 2＋1<0，解得a<－2（2e ＋1）3e 2，其中－2（2e ＋1）3e 2－⎝⎛⎭⎫－1e ＝3e －4e －23e 2＝－e －23e 2<0，即－2（2e ＋1）3e 2<－⎝⎛⎭⎫－1e ， 所以a 的取值范围是－1<a<－2（2e ＋1）3e 2.(15分)综上可得，实数a 的取值范围是－2<a<－2（2e ＋1）3e 2.(16分)20. (1) 设等比数列{a n }公比为q ，由8a 3＝4a 2＝1得8a 1q 2＝4a 1q ＝1， 解得a 1＝q ＝12，故a n ＝12n .(3分)(2) |a n －(a 2n ＋1)|＝⎪⎪⎪⎪12n －⎝⎛⎭⎫14n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12n －122＋34＝⎝⎛⎭⎫12n －122＋34.(5分)对任意正整数m ，当n ∈N *，且n ≤m 时，有0<12m ≤12n ≤12，则⎝⎛⎭⎫12n －122＋34<14＋34＝1，即|a n －(a 2n ＋1)|≤1成立， 故对任意正整数m ，数列{a n }，{a 2n ＋1}是“(m ，1)接近的”．(8分) (3) 由S n （b n ＋1－b n ）b n b n ＋1＝12，得到S n (b n ＋1－b n )＝12b n b n ＋1，且b n ，b n ＋1≠0，从而b n ＋1－b n ≠0，于是S n ＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）.(9分)当n ＝1时，S 1＝b 1b 22（b 2－b 1），b 1＝1，解得b 2＝2，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）－b n －1b n2（b n －b n －1）.又b n ≠0，整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n ，所以b n ＋1－b n ＝b n －b n －1，因此数列{b n }为等差数列．又因为b 1＝1，b 2＝2，所以数列{b n }的公差为1，故b n ＝n.(11分) 根据条件，对于给定正整数m(m ≥5)，当n ∈N *且n ≤m 时，都有⎪⎪⎪⎪1a n －（b 2n ＋k ）＝|2n －(n 2＋k)|≤L 成立， 即－L ＋2n －n 2≤k ≤L ＋2n －n 2①对n ＝1，2，3，…，m 都成立. (12分)考察函数f(x)＝2x －x 2，f ′(x)＝2x ln2－2x ， 令g(x)＝2x ln2－2x ，则g ′(x)＝2x (ln2)2－2，当x>5时，g ′(x)>0，所以g(x)在区间[5，＋∞)上是增函数． 又因为g(5)＝25ln2－10>0，所以当x>5时，g(x)>0，即f ′(x)>0， 所以f(x)在区间[5，＋∞)上是增函数．注意到f(1)＝1，f(2)＝f(4)＝0，f(3)＝－1，f(5)＝7，故当n ＝1，2，3，…，m 时，－L ＋2n －n 2的最大值为－L ＋2m －m 2， L ＋2n －n 2的最小值为L －1.(14分) 欲使满足①的实数k存在，必有－L ＋2m －m 2≤L －1，即L ≥2m －m 2＋12，因此L 的最小值为2m －m 2＋12，此时k ＝2m －m 2－12.(16分)21. A.(2) 点(a ，b)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 324对应的变换作用下得到点(4，6)，所以A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤46，(6分)(8分)所以a ＝1，b ＝1，得a ＋b ＝2.(10分)B. 因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是ρ＝2rcosθ. 又因为点P ⎝⎛⎭⎫23，π6在圆上，所以23＝2rcos π6，解得r ＝2. 因此所求圆的极坐标方程是ρ＝4cosθ.(10分)C. 函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的定义域为[0，＋∞)，x ＋1>0.(2分)x －2x ＋6x ＋1＝（x ＋1）2－4（x ＋1）＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1－4≥2（x ＋1）·9x ＋1－4＝2， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝4时取到“＝”，(8分)所以当x ＝4时，函数y ＝x －2x ＋6x ＋1的最小值为2.(10分)22. (1) 记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ，则A 表示“取出的3个样品中没有优等品”，P(A)＝(1－0.3)3＝3431 000，所以P(A)＝1－P(A)＝1－3431 000＝6571 000，(3分) 故取出的3个样品中有优等品的概率是6571 000.(4分)(2) X ～B(3，0.3)，P(X ＝k)＝C k 30.3k (1－0.3)3－k ，k ＝0，1，2，3，(6分) 随机变量XE(X)＝0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000＝910.故随机变量X 的数学期望是910.(10分) 23. (1) A 1＝{t|t ＝a 1·3＋a 0，其中a i ∈A ，i ＝0，1}＝{4，5，7，8}，所以A 1中所有元素的和为24，集合A n 中元素的个数为2n ＋1.(2分) (2) 取s ＝l ＝2n ，下面用数学归纳法进行证明．①当n ＝2时，A 2＝{13，14，16，17，22，23，25，26}，(3分)取b 1＝13，b 2＝17，b 3＝23，b 4＝25，c 1＝14，c 2＝16，c 3＝22，c 4＝26，有b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＝78，且b 21＋b 22＋b 23＋b 24＝c 21＋c 22＋c 23＋c 24＝1 612成立．(4分)②假设当n ＝k ，k ∈N *且k ≥2时，结论成立，有∑2k i ＝1b i ＝∑2k i ＝1c i，且∑2k i ＝1b 2i ＝∑2k i ＝1c 2i 成立． 当n ＝k ＋1时，取B 2k ＋1＝{b 1＋3k ＋1，b 2＋3k ＋1，…，b 2k ＋3k ＋1，c 1＋2·3k ＋1，c 2＋2·3k ＋1，…，c 2k ＋2·3k ＋1}，C 2k ＋1＝{c 1＋3k ＋1，c 2＋3k ＋1，…，c 2k ＋3k ＋1，b 1＋2·3k ＋1，b 2＋2·3k ＋1，…，b 2k ＋2·3k ＋1}， 此时B 2k ＋1，C 2k ＋1无公共元素，且B 2k ＋1∪C 2k ＋1＝A k ＋1.(6分)有∑2k i ＝1 (b i ＋3k ＋1)＋∑2k i ＝1 (c i ＋2·3k ＋1)＝∑2k i ＝1 (c i ＋3k ＋1)＋∑2k i ＝1(b i ＋2·3k ＋1)， 且∑2k i ＝1 (b i ＋3k ＋1)2＋∑2k i ＝1 (c i ＋2·3k ＋1)2＝∑2k i ＝1b 2i ＋∑2k i ＝1c 2i ＋2·3k ＋1∑2k i ＝1b i ＋4·3k ＋1∑2k i ＝1c i ＋2k [(3k ＋1)2＋(2·3k ＋1)2]，∑2k i ＝1 (c i ＋3k ＋1)2＋∑2k i ＝1 (b i ＋2·3k ＋1)2＝∑2k i ＝1c 2i ＋∑2k i ＝1b 2i ＋2·3k ＋1∑2k i ＝1c i ＋4·3k ＋1∑2k i ＝1b i ＋2k [(3k ＋1)2＋(2·3k＋1)2]，由归纳假设知∑2k i ＝1b i ＝∑2k i ＝1c i，且∑2k i ＝1b 2i ＝∑2k i ＝1c 2i ， 所以∑2k i ＝1 (b i ＋3k ＋1)2＋∑2k i ＝1 (c i ＋2·3k ＋1)2＝∑2k i ＝1 (c i ＋3k ＋1)2＋∑2k i ＝1(b i ＋2·3k ＋1)2， 即当n ＝k ＋1时也成立．(9分)综上可得，能将集合A n ，n ≥2分成两个没有公共元素的子集B s ＝{b 1，b 2，b 3，…，b s }和C l ＝{c 1，c 2，c 3，…，c l }，s ，l ∈N *，使得b 21＋b 22＋…＋b 2s ＝c 21＋c 22＋…＋c 2l成立．(10分)。

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