江苏省常州市中考数学二模试卷(含解析)
2023年江苏省常州市中考数学二模试题(解答卷)
2023年江苏省常州市中考数学二模试题（解答卷）一、选择题（每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．下列四个数中，2023的倒数是（ ）A ．2023B ．2023−C ．12023D ．12023−解：∵1202312023×=，∴2023的倒数是12023，故选：C ．2．我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，地球最近时候的距离约55000000km ．将数字55000000用科学记数法表示为（ ）A ．0.55×108B ．5.5×107C ．5.5×106D ．55×106解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．故选：B ．3.如果反比例函数my x =的图象经过（﹣1，﹣2），则m 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．2解：由题意得m=﹣1×（﹣2）=2．故选D ．4.对于有序数对（a ，b ）定义如下的运算”⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）＝（ac+bd ，ad ﹣bc ），那么（a ，b ）⊗（0，1）等于（ ）A ．（b ，a ）B ．（﹣b ，﹣a ）C ．（a ，﹣b ）D ．（﹣a ，b ）解：（a ，b ）⊗（0，1）=（a•0+b•1，a•1-b•0）=（b ，a ）．故选A ．5.如图，在O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，若40A ∠=°，70∠=°APD ，则B ∠的度数是（）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°解：APD B D ∠=∠+∠ ，B APD D ∴∠=∠−∠，40A D ∠=∠=° ，70∠=°APD ，704030B APD D ∴∠=∠−∠=°−°=°.故答案选：B .6．将一副三角尺如图放置，∠ACB =∠CBD =90°，∠A =30°，∠D =45°，边AB 、CD 交于O ，若OB =1，则OA 的长度是（ ）A B ．2 C ．1 D解：设BD x = 在Rt BCD △中，45BCD D ∠=∠=° BC BD x ∴==在Rt ABC 中，30A ∠=°22,AB BC x AC ∴===又90ACB CBD ∠=∠=°180ACB CBD ∴∠+∠=°//BD AC ∴OBD OAC ∴∼OB BD OA AC ∴=，即1OA =解得OA =故选：A7．已知抛物线2y ax bx c ++上的部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表： x… -1 0 1 2 3 … y … 3 0 -1 m 3 …以下结论正确的是（ ）A ．抛物线2y ax bx c ++的开口向下B ．当3x <时，y 随x 增大而增大C ．方程20ax bx c ++=的根为0 2D ．当0y >时，x 的取值范围是02x <<解：将(1,3),(0,0),(3,3)−代入抛物线的解析式得；309333a b c c a b −+= = ++=， 解得：1,2,0a b c ==−=， 所以抛物线的解析式为：222(2)(1)1y x x x x x =−=−=−−，A 、0a > ，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；B 、抛物线的对称轴为直线1x =，在13x <<时，y 随x 增大而增大，故选项错误，不符合题意；C 、方程20ax bx c ++=的根为0和2，故选项正确，符合题意；D 、当0y >时，x 的取值范围是0x <或2x >，故选项错误，不符合题意；故选：C ．8.如图，等腰Rt ABC △中，90C ∠=°，点F 是AB 边的中点，点D ，E 分别在AC BC ，上运动，且90DFE ∠=°，连接DE CF ，，在此运动变化过程中，下列结论： ①图形全等的三角形只有两对；②ABC 的面积是四边形CDFE 面积的2倍；③DFE △是等腰直角三角形．其中错误．．的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：∵等腰Rt ABC △中，90C ∠=°，点F 是AB 边的中点，∴9045AF BF CF AFC BFC A B ====°==°，∠∠，∠∠，∴45ACF A B BCF ====°∠∠∠∠，∴()SAS ACF BCF △≌△，∵90DFE ∠=°，∴90AFD CFD CFE CFD +=°=+∠∠∠∠，∴ACF CFE ∠=∠，又∵45CF AF A ECF ===°，∠∠，∴()ASA CEF ADF △≌△，同理可证CDF BEF ≌△△，故①错误；∴CEF ADF S S =△△，EF DF =，∴DFE △是等腰直角三角形，12CDF CEF CDF ADF ACF ABC CDFE S S S S S S S =+=+==△△△△△△四边形， 故②③正确；∴错误的只有1个，故选B ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS ）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为_______ 解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，10.如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____．解：该正九边形内角和()180921260=°×−=°， 则每个内角的度数12601409°°=． 故答案为140°．11．分解因式：3x 2y ﹣3y ＝_______．解：3x 2y ﹣3y＝3y （x 2﹣1）＝3y （x +1）（x ﹣1）．故答案为：3y （x +1）（x ﹣1）．12．化简4x 2－4＋1x ＋2_______解：4x 2－4＋1x ＋2＝4(x ＋2)(x －2)＋1x ＋2＝4＋(x －2)(x ＋2)(x －2)＝x －2(x ＋2)(x －2)＝1x ＋2．13.解组 2x ＋1≤7 ①3＋2x ≥1＋x ②解集是____________ 解: 由①，得x ≤3．由②，得x ≥－2．∴解不等式组的解集为：－2≤x ≤3．14.关于x 的方程3x ﹣2m ＝1的解为正数，则m 的取值范围是_______解：解方程3x ﹣2m ＝1得：x ＝，∵关于x 的方程3x ﹣2m ＝1的解为正数， ∴＞0，解得：m ＞﹣，15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC ＝4，△ABC 面积为10，则BM +MD 长度的最小值为_________解：由作法得EF 垂直平分AB ，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），∴MA+MD的最小值为AD，∵AB＝AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵S△ABC＝•BC•AD＝10，∴AD＝＝5，∴BM+MD长度的最小值为5．16.如图，把三角板中30°角的顶点A放在半径为3的⊙O上移动，三角板的长直角边和斜边与⊙O始终相交，且交点分别为P，Q，则 PQ长为________．解：如图，连结OP、OQ，则∠POQ＝2∠A＝60°．∵⊙O的半径为3，∴ PQ 长为＝603180ππ⋅×=． 故答案为π．17．如图，一游人由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走600m ，到达一个景点B ，再由B 沿山坡BC 行走200m 到达山顶C ，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45°，则山高CD=____（结果用根号表示）．解：过B 作BF ⊥AD 于F ，BE ⊥CD 于E ，如图：∵在山顶C 处测得景点B 的俯角为45°，∴∠BCE=45°，∴△BCE 为等腰直角三角形，∵BC=200m ，∴m ；∵∠A=30°，AB=600m，AB=300m，∴BF=12∴CD=CE+ED=CE+BF=（）m．故答案为：（）m．18.如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF＝3，则tan∠B'AC′＝．解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，当x ＝6时，EC ＝EC ′＝6，BE ＝B ′E ＝8﹣6＝2，EC ′＞B ′E ，不合题意，应舍去，∴CE ＝C ′E ＝4，∴B ′C ′＝B ′E ﹣C ′E ＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B ′＝∠B ＝90°，AB ′＝AB ＝8，∴tan ∠B 'AC ′＝．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共84分．如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）计算：（1()()2012π32−−−+−−．()()2012π32−−+−− 12412=−+− 32=−． （2）解方程组236x y x y −= +=解：236x y x y −= +=将第一个方程和第二个方程相加，得39x =，3x ∴=．把3x =代入第二个方程，得3y =．∴原方程组的解是33x y = = 故答案为：33x y = = 20．（6分）解不等式组()142151x x +> −−>解：解不等式14x +>，得3x >．解不等式()2151x −−>，得4x >．∴原不等式组的解集是4x >．故答案为：4x >．21（8分）为庆祝中国共青团成立100周年，某校团委开展四项活动：A 项参观学习，B 项团史宣讲，C 项经典诵读，D 项文学创作，要求每位学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图：(1)本次调查的样本容量是_____，B 项活动所在扇形的圆心角的大小是_____°；(2)补全条形统计图；(3)若该校有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．解：（1）条形图中“D 项”有16人，扇形统计图中“D 项”的百分比是20%，∴样本容量为168020%=，∴“B项”的百分比为12100%15%80×=，∴“B项”的圆心角为36015%54°×=°，故答案为：80,54．（2）解：样本容量是80，∴C项的人数为8032121620−−−=（人），补全条形统计图，如图所示，（3）解：参加“参观学习”的人数是32人，占样本的百分比为32100%40% 80×=，∴该校有2000名学生，参加“参观学习”活动的人数估计为40%2000800×=（人）．22．（8分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30 方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15 的方向航行．（1）渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)？（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？解：（1）过B 点作AC 的垂线BD 交AC 于点D ，∵垂线段最短，AC 上的D 点距离B 点最近，AD 即为所求，由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，∴)45,4540BAD AD BD ABsin mile ∠=°==°=， ∴渔船航行时，距离小岛B 最近．（2）在Rt BDC 中，BD tan C DC ∠==， 30,C ∴∠=°∠DBC=60°，)30BD BC nmile sin ∴==°∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，∴15DBE ∠=°， 45EBC DBC DBE ∴∠=∠−∠= .答：从B 处沿南偏东45 出发，最短行程.23．（8分）如图，四边形ACBD 是O 的内接四边形，AB 为O 的直径，点B 是弧CD 的中点，在线段AD 的延长线上取一点E ，使CAB DBE ∠=∠.(1)求证：BE 为O 的切线；(2)若3BC =，5AC =，求线段DE 的长．解：（1）∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=°，∴90DAB DBA ∠+∠=°，即DB AE ⊥，∵点B 是弧CD 的中点，∴ BD BC =，∴BAC BAD ∠=∠，∴90CAB DBA ∠+∠=°，∵CAB DBE ∠=∠，∴90DBA DBE ∠∠+=°，∴BE AB ⊥，∵AB 为O 的直径，∴BE 为O 的切线；（2）∵ BD BC =，3BC =，5AC =，∴3BD BC ==，∵CAB DBE ∠=∠，∴tan tan CAB DBE ∠=∠，∵DB AE ⊥，∴在Rt DBE 中，有tan 3DE DE DBE BD ∠==， 又在Rt ACB △中，有3tan 5BC BAC AC ∠==， ∴335DE =，即95DE =． 24．（8分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？解：（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元， 依题意得：﹣＝50，解得：x ＝4，经检验，x ＝4是原方程的解，则2x ＝8，依题意得：8m +4（200﹣m ）≤1150，答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元．（2）设购进甲种粽子m 个，则购进乙种粽子（200﹣m ）个，解得：m ≤87.5，答：最多购进87个甲种粽子．25．(10分）一直线上有A 、B 、C 不同三地，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时同向出发前往距离B 地150米的C地，甲、乙两人距离B地的距离y（米）与行走试卷x（分）之间的关系图象如图所示，若甲的速度一直保持不变，乙出发2分钟后加速行走，且乙在加速后的速度是甲速度的4倍.（1）乙加速之后的速度为米/分；（2）求当乙追上甲时两人与B地的距离；（3）当甲出发多少分钟时，两人相距10米？解：（1）如图，由题意甲的速度为（150-50）÷10=10米/分，∴乙加速后的速度为40米/分，故答案为40(2) 由题意A（2，30），乙从A到B的时间1203 40=∴B（5，150），∴直线AB的解析式为y=40x-50，∵C（0，50），D（10，150），∴直线CD的解析式为y=10x+50，由40501050y xy x=−=+解得1032503xy==∴那么他们出发103分钟时，乙追上了甲．此时两人与B地的距离为2503米．（3）设当甲出发t分钟时，两人相距10米, ①若乙在甲的后面，列方程得：15×2+40（t-2）-10t=50-10解得：t=3②若乙在甲的前面，列方程得：15×2+40（t-2）-10t=50+10解得：t=11 3综上，当甲出发3分钟或113分钟时，两人相距10米．26.（10分）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y ＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三角形，求所有满足条件的m的值．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），将B（2，4）代入反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝当m＝3时，将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即D（5，4），∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，∴E（5，）；②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD ＝AB ，AC ＝BD ＝m ，∵A （0，8），B （2，4），∴C （m ，8），D （m +2，4），当BC ＝CD 时，BC ＝AB ，∴点B 在线段AC 的垂直平分线上，∴m ＝2×2＝4，当BC ＝BD 时，B （2，4），C （m ，8），∴BC ＝，∴＝m ， ∴m ＝5，当BD ＝AB ＝CD 时，m ＝AB ＝＝2，综上所述，△BCD 是等腰三角形，满足条件的m 的值为 4 或 5 或 2． 27．（10分）如图，二次函数24y x bx =+−的图像经过点()3,4A −，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，连接AB ，BC(1)填空：b =______；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一个动点，过点P 作PT x ⊥轴，垂足为T ，PT 交AB 于点Q ， 线段PQ 的最大值；(3)点D 是y 轴正半轴上一点，若∠=∠BDC ABC ，求点D 的坐标． 解：（1）∵二次函数24y x bx =+−的图像经过点()3,4A −， ∴24334b −+−，解得3b =−，故答案为：3−；（2）令2340y x x =−−=，解方程2340x x −−=，得11x =−，24x =，∴()1,0B −．设直线AB 的函数表达式是y kx m =+， 直线AB 交y 轴于点F ．∵()3,4A −，∴把=1x −，0y =和3x =，4y =−代入y kx m =+，得034k m k m −+= +=− ，解得11k m =− =−， ∴直线AB 的函数表达式是=1y x −−．设点()2,34P m m m −−，则(),1Q m m −−．∴2134PQ m m m =−−−++223m m =−++()214m =−−+． 当1m =时，PQ 的最大值是4．（3）过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ．∵3CF =，45CFE ∠=°，∴CE EF == ∵BF =，∴BE = ∴3tan 5CE CBE BE ∠==． ∵∠=∠BDC ABC ， ∴3tan 5OB BDO OD ∠==． ∵1OB =，∴53OD =， ∴D 50,3． 28．（10分）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，点D 在斜边BC 上，且满足BD ＝BC ， 将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE ，记旋转角为α，连接CE ，BE ，以CE 为斜边在其右侧作直角三角形CEF ，且∠CFE ＝90°，∠ECF ＝60°，连接AF ．（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE 与线段AF 的数量关系 BE ＝2AF ；（2）当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段BE 与线段AF 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②当B ，E ，F 三点共线时，如图3，连接AE ，若AE ＝3，请直接写出cos ∠EF A 的值及线段BC 的值．解：（1）∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AC ＝BC ，∵BD ＝BC ，将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE ，∴BD ＝DE ＝BC ，BE ＝CB ，∴CE ＝CB ，∵∠CFE ＝90°，∠ECF ＝60°，∴∠CEF ＝30°，∴CF＝CE＝CB，∴AF＝AC﹣CF＝CB，∴BE＝2AF；故答案为：BE＝2AF；（2）①结论仍然成立，理由如下：∵∠BCA＝∠ECF＝60°，∴∠BCE＝∠ACF，又∵，∴△CBE∽△CAF，∴，∴BE＝2AF；②∵B，E，F三点共线，∴∠CEB+∠CEF＝180°，∴∠CEB＝150°，∵△CBE∽△CAF，∴∠CEB＝∠AFC＝150°，∴∠EF A＝150°﹣90°＝60°，∴cos∠EF A＝cos60°＝；如图3，过点D作DH⊥BE于H，∵BD＝DE，DH⊥BE，∴BH＝HE，∵BE＝2AF，∴BH＝HE＝AF，∵DH⊥BE，CF⊥BE，∴DH∥CF，∴，∴HF＝2BH，∴EF＝HE＝BH，∴EF＝AF，∴△EF A是等边三角形，∴EF＝AE＝AF＝3，∴BE＝6，CF＝，∴BC＝＝2．。
2023年江苏省常州市中考数学二模试卷附解析
2023年江苏省常州市中考数学二模试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．己半径分别为 1 和 5 的两个圆相交，则圆心距d 的取值范围是（ ）A ．d<6B ．4<d<6C ．4≤d ≤6D ．1<d<5 2．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6 cm ，最短的弦长为 4 cm ，则OM 的长为（ ） A ．3 cmB ．2cmC ．2 cmD ．3 cm 3．平行四边形的周长为 24 cm ，相邻两边长的比为 3：1，那么这个平行四边形较短的边长（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm 4．2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延．如果把世界地图看成一个平面，如图中以中国为坐标原点建立平面直角坐标系，请写出墨西哥所在位置的坐标是（ ）A ． （4，9）B ．（3，8）C ．（8，-l ）D ．（-8，3）5．下图中经过折叠可以围成一个三棱注的有（ ）A ．B ．C ．D ． 6．在△ABC 中，已知AC AB = ，DE 垂直平分AC ，50=∠A °，则DCB ∠的度数是（ ）A ． 15°B ．30°C ． 50°D ． 65°7．如图，∠A =15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）A ．90°B ．75°C ．60°D ．45°8．如图，由∠2=∠3，可以得出的结论是（）A ．FG∥BC B．FG∥CE C．AD∥CE D．AD∥BC9．下列事件中，不可能发生的是（）A．异号两数相加和为正数B．从 1、3、5、7、.9中任取一个数是偶数C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝上D．任意投掷一枚正方体骰子，朝上一面的数字小于710．在下列条件中，不能说明△ABC≌△A′B′C′的是（）A．∠A=∠A′，∠B=∠B′，AC=A′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′C．∠B=∠B′，BC=B′C′、AB=A′B′D．AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C ′11．下列说法正确的是（）A．周长相等的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．三个角对应相等的两个三角形全等D．三条边对应相等的两个三角形全等12．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠DAE=20°，∠B=65°，则∠C等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°13．超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市顾客在收银台排队付款的等待时间，并绘制成如下的频数分布直方图（图中等待时间6分钟到7分钟表示大于或等于6分钟而小于7分钟，其它类同）．这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为（）A．5 B．7 C．16 D．33二、填空题14．一盒子内放有3个红球、6个白球和5个黑球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意摸出1个球是白球的概率为．15．已知线段a=4，b=8，则a、b的比例中项是．16．如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列说法正确的是______（仅填序号）．①AP 2＝PB ·AB ；②AB 2＝AP ·PB ；③BP 2＝AP ·AB ；④AP ：AB ＝PB ：AP17．已知点P （a ，m ）和Q （b ，m ）是抛物线3422-+=x x y 上的两个不同点，则a ＋b ＝ ． 18．若反比例函数1y x=-的图象上有两点A （1，y 1），B （2，y 2），则y 1______ y 2（填“>”或“=”或“<”）． 19．如图是小刚画的一张脸，他对同学说：“如果我用(1，3)表示左眼，用(3，3)表示右眼，那么嘴的位置可以表示成 ．”20．在有理数中，倒数是它本身的数有 ，平方等于它本身的数有 ，立方等于它本身的数有 ，绝对值等于它本身的数有 ．21．某商场在“五一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是 ．三、解答题22．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面AB 平行的护栏MN （MN=AB ）．小明量得每一级石阶的宽为32cm ，高为24cm ，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，如果每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求出坡角∠BAC 的大小（精确到度）和护栏MN 的长度．以下数据供选用：tan3652120.7500,tan53748 1.3333,sin3652120.6000,sin537480.8000''''''''''''︒=︒=︒=︒=23．已知，如图，⊙O 1和⊙O 2 外切于点 P ，AC 是⊙O 1的直径，延长 AP 交⊙O 2 于点 B ，过 点B 作⊙O 2的切线交 AC 的延长线于点D ，求证：AD ⊥BD.24．某口袋中放有 5 个自球，4 个器球，先从中模出一球后，不放回口袋中，再模一次，问两次揍到的都是黑球的概率是多少？25．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连结AE ．求证：（1）BF=DF ；(2）AE ∥BD ．26．如图，BD 是△ABC 角平分线，DE ∥BC ，EF ∥AC ，求证：BE=CF.提示：BE ＝ED ＝FC ．27．已知⎩⎨⎧==32y x 是方程组⎩⎨⎧+=-=+43y b ax by ax 的解，求a ，b 的值．28．某中学七年级有 6 个班，要从中选出 2 个班代表学校参加某项活动，七 (1)班必须参加，另外再从七(2)至七(6)班选出 1 个班. 七(4)班有学生建议用如下的方法：从装有编号为 1，2，3 的三个白球的，A袋中摸出 1个球，再从装有编号为 1，2，3 的三个红球的B袋中摸出 1 个球(两袋中球的大小、形状与质量等完全一样)，摸出的两个球上的数字和是几，就选几班，你认为种方法公平吗？请说明理由.29．如图，四边形A′B′C′D′是由四边形ABCD旋转得到的，请找出旋转中心，并量出旋转角的度数．30．已知实数a、b、c在数轴上的对应点如下图所示，化简a b c a b c a---+--.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．B3．A4．C5．D6．A7．C8．B9．B10．B11．D12．A13．B二、填空题14．73 15．16．①④17．－218．< 19．(2，1)20．1±,0和 1，0 和1±,非负数21．31三、解答题22．AC ＝0.32×200＝64（米），BC ＝0.24×200＝48（米），48tan 0.75,3764BAC BAC ∠==∠≈︒所以 ，80MN AB ==（米）答：坡脚约37︒，护栏长80米.23．连结O 1O 2 ，则必过点 P ，连结O 2B,∵O 1 A=O 1 P,∴∠A=∠O 1PA,同理∠O 2PB=∠O 2BP, 又∵∠O 1PA =∠O 2PB,∴∠A=∠O 2BP.∵BD 是⊙O 2 的切线,∴∠DBA+∠A=∠DBA+∠O 2BP=90°,∴∠ADB= 90°，∴AD ⊥BD ．24． 两次杯搂到黑球的概率为431986P =⨯= 25．思路：（1）能正确说明ADB EBD ∠=∠（或ABF EDF △≌△），BF DF =∴．(2）证明AEB DBE ∠=∠（或EAD BDA ∠=∠），AE BD ∴∥． 26．27．3=a ，1-=b28．不公平，理由略29．略30．由题意，得0a b -<，0c a ->，0b c -<，0a <， ∴原式=()()()a b c a b c a a b c a b c a a ------+=-+-+-++=。
2023年江苏省常州市新北实验中学中考数学二模试卷【答案版】
2023年江苏省常州市新北实验中学中考数学二模试卷一、选择题(本大题共18小题,每小题2分,共16分,在每小题所给的四个选项中,只有一项是正确的,请把答案直接填写在答题卡相应的位罩上) 1．﹣2的绝对值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−122．若代数式√x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1B ．x ≥0C ．x ＞0D ．x ≥0且x ≠13．下列各式计算正确的是 （ ） A ．m +m ＝m 2B ．2m ﹣m ＝2C ．（﹣m ）3＝m 3D ．m •3m 3＝3m 44．一个几何体的主视图是圆，这个几何体可能是 （ ） A ．三棱柱B ．正方体C ．圆柱D ．三棱锥5．著名数学家、教育家华罗庚出生地是常州哪个地区？（ ） A ．金坛区B ．武进区C ．溧阳市D ．天宁区6．多边形的每个内角均为120°，则这个多边形的边数是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．87．下面四组a ，b 的值，能说明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”是假命题的是 （ ） A ．a ＝2，b ＝1B ．a ＝﹣2，b ＝1C ．a ＝2，b ＝﹣1D ．a ＝3，b ＝﹣28．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点P ，且AC 过原点O ，AB ∥x 轴，点C 的坐标为（6，3），反比例函数y =kx 的图象经过A ，P 两点，则k 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．﹣27的立方根是 ． 10．分解因式：a 2﹣4b 2＝ ．11．在一个不透明的盒子中装有n 个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，这n 个球中有5个是红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.05，那么可以推算出n 的值大约是 ．12．西太湖是苏南仅次于太湖的第二大湖泊，南接宜兴，北通长江，东濒太湖，西接长荡湖，水域面积约164000000平方米，164000000这个数用科学记数法可表示为 ． 13．若a ＞0，a 2＝30，则a 的整数部分等于 ．14．若x ＝2是关于x 的方程x 2﹣x +m 2﹣5＝0的一个根，则m ＝ ． 15．在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5，sin A =34，则BC ＝ ．16．将y ＝﹣2x 2的图象向上平移3个单位得到一个新的二次函数图象，请写出新的二次函数图象的顶点的坐标为 ．17．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C ，AE 为直径，AB ＝8，CD ＝2，则线段CE 的长为 ．18．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 、C 三点的坐标分别为(12，1)，（4，1），（3，0），点P 为线段AB 上的一个动点，连接PC ，过点P 作PQ ⊥PC 交y 轴于点Q ，当点P 在AB 上运动时，点Q 随之运动，设点Q 的坐标为（0，t ），则t 的取值范围是 ．三、解答题(本大题共10小题,共84分,请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19．计算：√18+(−3)2−(π+2)0−(12)−1． 20．解方程组和不等式组： （1）{2x +3y =3x −3y =9；（2）{13x −4＞−x x ≥2x −5．21．如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，连接DE 并作DE 的垂直平分线交AD 于F ，连接EF 并作EF 的垂直平分线交AD 于G ，连接EG ．以E 为圆心，EG 为半径画弧交BC 于H ，连接EH ． （1）∠BHE 与∠ADE 有怎样的数量关系？答： ； （2）证明（1）中的结论．22．某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“80≤x＜90”这组的数据如下：82，83，83，84，84，85，85，86，86，86，87，89．竞赛成绩分组统计表请根据以上信息，解答下列问题：（1）c＝；（2）“80≤x＜90”这组数据的众数是分；（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是分；（4）若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校3000名学生中优秀学生的人数．23．甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元．甲、乙两公司各有多少人？24．甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯．（1）如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是；（2）请你用画树状图或列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率．25．某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100～150亩稻田，预计原360亩稻田今年每亩收益440元，已知每新增稻田1亩，今年每亩的收益减少2元．试问：该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？26．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y=12x2+1x的图象及性质进行了探究和应用．下面是小明的探究过程，请补充完成：（1）函数y=12x2+1x的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值，在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各对对应值为坐标的点，请你根据描出的点，画出该函数的图象；（3）探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1，32)，结合函数的图象，写出该函数的其它2条不同的性质：①，②；（4）设a=12(3−√35)213−√35b=12(2−√37)212−√37，利用图象比较a和b的大小（请写出比较过程）．27．（10分）阅读理解早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角形的三条边分别称为小斜（记为a ）、中斜（记为b ）和大斜（记为c ），以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隔，开平方得积．若把以上这段文字写成公式即为√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，（a ＜b ＜c ），其中a 、b 、c 为2三角形三边的长．请用此公式解决下列问题：（1）如图，已知图中3个正方形的面积分别为2，1，4，求△ABC 的面积． 深入探究古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海伦公式：三角形面积S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，其中a 、b 、c 为三角形三边长，p =a+b+c2， （2）请你用秦九韶公式证明海伦公式． 灵活应用结合上面学习的知识解决以下问题：（3）已知三角形三边长分别为5，6，7，求这个三角形的内切圆半径．28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、点B 的坐标分别为（﹣2，0）、（0，8）．经过A 、B 、O 三点的圆的圆心为M ，过点M 的直线与⊙M 的公共点是D 、E ，与x 轴交于点F ，与y 轴交于点N ，连接AE 、OD 、BD ．已知∠ODF ＝45°．（1）⊙M 的直径为 ，点M 的坐标为 ； （2）求直线DF 所对应的函数表达式；（3）若P 是线段AF 上的动点，∠PEA 与△BDO 的一个内角相等，求OP 的长度．2023年江苏省常州市新北实验中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共18小题,每小题2分,共16分,在每小题所给的四个选项中,只有一项是正确的,请把答案直接填写在答题卡相应的位罩上) 1．﹣2的绝对值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12解：﹣2的绝对值是2，即|﹣2|＝2． 故选：A ．2．若代数式√x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1B ．x ≥0C ．x ＞0D ．x ≥0且x ≠1解：由题意得，x ≥0， 故选：B ．3．下列各式计算正确的是 （ ） A ．m +m ＝m 2B ．2m ﹣m ＝2C ．（﹣m ）3＝m 3D ．m •3m 3＝3m 4解：A ．m +m ＝2m ，故此选项不合题意； B ．2m ﹣m ＝m ，故此选项不合题意； C ．（﹣m ）3＝﹣m 3，故此选项不合题意； D ．m •3m 3＝3m 4，故此选项符合题意． 故选：D ．4．一个几何体的主视图是圆，这个几何体可能是 （ ） A ．三棱柱B ．正方体C ．圆柱D ．三棱锥解：一个几何体的主视图是圆，符合这个条件的几何体只有圆柱． 故选：C ．5．著名数学家、教育家华罗庚出生地是常州哪个地区？（ ） A ．金坛区B ．武进区C ．溧阳市D ．天宁区解：著名数学家、教育家华罗庚出生地是常州金坛区， 故选：A ．6．多边形的每个内角均为120°，则这个多边形的边数是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．8解：180°﹣120°＝60°，360°÷60°＝6．故选：C ．7．下面四组a ，b 的值，能说明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”是假命题的是 （ ） A ．a ＝2，b ＝1B ．a ＝﹣2，b ＝1C ．a ＝2，b ＝﹣1D ．a ＝3，b ＝﹣2解：A 、a ＝2，b ＝1，满足a 2＞b 2，也满足a ＞b ，故不能作为证明原命题是假命题的反例； B 、a ＝﹣2，b ＝1，满足a 2＞b 2，但不满足a ＞b ，故能作为证明原命题是假命题的反例； C 、a ＝2，b ＝﹣1，满足a 2＞b 2，也满足a ＞b ，故不能作为证明原命题是假命题的反例； D 、a ＝3，b ＝﹣2，满足a 2＞b 2，也满足a ＞b ，故不能作为证明原命题是假命题的反例； 故选：B ．8．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点P ，且AC 过原点O ，AB ∥x 轴，点C 的坐标为（6，3），反比例函数y =kx 的图象经过A ，P 两点，则k 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解：∵在菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 互相垂直且平分， ∴P A ＝PC ，∵AC 经过原点O ，且反比例函数y =kx 的图象恰好经过A ，P 两点， ∴由反比例函数y =kx 图象的对称性知： OA ＝OP =12AP =12CP ， ∴OP =13OC ．过点P 和点C 作x 轴的垂线，垂足为E 和F ，∴△OPE∽△OCF，∴OP：OC＝OE：OF＝PE：CF＝1：3，∵点C的坐标为（6，3），∴OF＝6，CF＝3，∴OE＝2，PE＝1，∴点P的坐标为（2，1），∴k＝2×1＝2．故选：C．9．﹣27的立方根是﹣3．解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴﹣27的立方根是﹣3，故答案为：﹣3．10．分解因式：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．11．在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，这n个球中有5个是红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.05，那么可以推算出n的值大约是100．解：由题意可得，5n=0.05，解得，n＝100．经检验，n＝100是所列方程的解，故估计n大约是100．故答案为：100．12．西太湖是苏南仅次于太湖的第二大湖泊，南接宜兴，北通长江，东濒太湖，西接长荡湖，水域面积约164000000平方米，164000000这个数用科学记数法可表示为 1.64×108．解：164000000＝1.64×108．故答案为：1.64×108．13．若a＞0，a2＝30，则a的整数部分等于5．解：∵a＞0，a2＝30，∴a=√30，∵25＜30＜36，∴5＜√30＜6，∴a的整数部分等于5，故答案为：5．14．若x ＝2是关于x 的方程x 2﹣x +m 2﹣5＝0的一个根，则m ＝ ±√3 ． 解：∵x ＝2是关于的x 方程x 2﹣x +m 2﹣5＝0的一个根， ∴22﹣2+m 2﹣5＝0， 解得 m ＝±√3． 故答案为：±√3．15．在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5，sin A =34，则BC ＝ 154．解：在Rt △ABC 中， ∵斜边AB ＝5， ∴sin A =BC AB =34， ∴BC =34×5=154． 故答案为：154．16．将y ＝﹣2x 2的图象向上平移3个单位得到一个新的二次函数图象，请写出新的二次函数图象的顶点的坐标为 （0，3） ．解：将y ＝﹣2x 2的图象向上平移3个单位得到y ＝﹣2x 2+3． 故新函数的顶点坐标是 （0，3）． 故答案为：（0，3）．17．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C ，AE 为直径，AB ＝8，CD ＝2，则线段CE 的长为 2√13 ．解：连接BE ，如图所示： ∵OD ⊥AB ，AB ＝8， ∴AC =12AB ＝4， 设⊙O 的半径OA ＝r ， ∴OC ＝OD ﹣CD ＝r ﹣2，在Rt △OAC 中，由勾股定理得：r 2＝（r ﹣2）2+42， 解得：r ＝5，∴AE＝2r＝10；∵OD＝5，CD＝2，∴OC＝3，∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6，在Rt△CBE中，CE=√CB2+BE2=√42+62=2√13，故答案为：2√13．18．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为(12，1)，（4，1），（3，0），点P为线段AB 上的一个动点，连接PC，过点P作PQ⊥PC交y轴于点Q，当点P在AB上运动时，点Q随之运动，设点Q的坐标为（0，t），则t的取值范围是−14≤t≤5．解：①如图所示：当点P在AB之间时，当延长BA交y轴于点N，即过点C作CM⊥AB，垂足为M，∴∠ANQ＝∠CMA＝90°，∴∠NQA+∠APQ＝90°，∵PQ⊥PC，∴∠QPC＝90°，∴∠APQ+∠BPC＝90°，∴∠NQA ＝∠BPC ， ∴△NPQ ∽△MPC ， ∴NQ PM=NP CM，设PN ＝x ，则PM ＝3﹣x ，NQ ＝y ， ∴y 3−x=x1，y =x(3−x)=3x −x 2=−(x −32)2+94， ∵﹣1＜0，12≤x ≤3，∴当x =32时，y 有最大值94，∴t =1−94=−54， 当x ＝3时，y 有最小值0， ∴t ＝1，∴t 的取值范围为：−54≤t ≤1②如图1所示，过点C 作CM ⊥AB ，延长BA 交y 轴于点N ，连接CQ ，当点P 运动到点A 时，∵A(12，1)，B （4，1）， ∴AB ∥x 轴， ∴N （0，1）， ∴AN =1−12=12，NQ ＝1﹣t ， ∵C （3，0），O （0，0），AB ∥x 轴， ∴OC ＝MN ＝3， ∴AM =MN −AN =52，∵A(12，1)，B （4，1），CM ⊥AB ， ∴CM ＝1，∴AQ 2=AN 2+NQ 2=(12)2+(1−t)2=t 2−2t +54，PC 2=AM 2+MC 2=(52)2+12=294， ∵x 轴⊥y 轴， ∴∠COQ ＝90°，∴QC 2＝OQ 2+OC 2＝t 2+32＝t 2+9， ∵PQ ⊥PC ， ∴∠CPQ ＝90°，∴QC 2=AQ 2+PC 2=t 2−2t +54+294=t 2−2t +344， ∴t 2−2t +344=t 2+9， ∴−2t =12， ∴t =−14；③如图2所示，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，延长BA 交y 轴于点N ，连接CQ ，当点P 运动到点B 时，∵A(12，1)，B （4，1）， ∴AB ∥x 轴，∴BN ＝OM ＝4，BM ＝1，∴N （0，1），O （0，0），Q （0，t ）， ∴NQ ＝t ﹣1，ON ＝1，OQ ＝t ， ∵C （3，0），AB ∥x 轴， ∴OC ＝3，∴CM ＝OM ﹣OC ＝1， ∵BM ⊥x 轴， ∴∠BMO ＝90°，∴BC 2＝BM 2+CM 2＝12+12＝2，BQ 2＝NQ 2+BN 2＝（t ﹣1）2+42＝t 2﹣2t +17， ∵PQ ⊥PC ， ∴∠CPQ ＝90°，∴QC 2＝BQ 2+BC 2＝t 2﹣2t +17+2＝t 2﹣2t +19， ∵x 轴⊥y 轴， ∴∠QOC ＝90°，∴QC 2＝OQ 2+OC 2＝t 2+32＝t 2+9， ∴t 2﹣2t +19＝t 2+9， ∴t ＝5，∴t 的取值范围是：−14≤t ≤5， 综上可知：−54≤t ≤5， 故答案为：−54≤t ≤5．三、解答题(本大题共10小题,共84分,请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19．计算：√18+(−3)2−(π+2)0−(12)−1． 解：原式＝3√2+9﹣1﹣2＝3√2+6． 20．解方程组和不等式组： （1）{2x +3y =3x −3y =9；（2）{13x −4＞−x x ≥2x −5．解：（1）{2x +3y =3①x −3y =9②，①+②得：3x ＝12， 解得：x ＝4，把x ＝4代入①中得：8+3y ＝3， 解得：y =−53． ∴原方程组的解为：{x =4y =−53；（2）{13x −4＞−x①x ≥2x −5②，解不等式①得：x ＞3；解不等式②得：x≤5；∴原不等式组的解集为：3＜x≤5．21．如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接DE并作DE的垂直平分线交AD于F，连接EF并作EF的垂直平分线交AD于G，连接EG．以E为圆心，EG为半径画弧交BC于H，连接EH．（1）∠BHE与∠ADE有怎样的数量关系？答：∠BHE＝4∠ADE；（2）证明（1）中的结论．（1）解：∠BHE与∠ADE的数量关系为∠BHE＝4∠ADE，故答案为：∠BHE＝4∠ADE；（2）证明：∵DE的垂直平分线交AD于F，∴FD＝FE，∴∠FDE＝∠FED，∴∠GFE＝∠FDE+∠FED＝2∠FDE，∵EF的垂直平分线交AD于G，∴GF＝GE，∴∠GFE＝∠GEF，∴∠AGE＝∠GFE+∠GEF＝2∠GFE＝4∠FDE＝4∠ADE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∵E为AB的中点，∴EA＝EB，∵以E为圆心，EG为半径画弧交BC于H，∴EG＝EH，在Rt△AEG和Rt△BEH中，，{EG=EHEA=EB∴Rt△AEG≌Rt△BEH（HL），∴∠AGE＝∠BHE，∴∠BHE＝4∠ADE．22．某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“80≤x＜90”这组的数据如下：82，83，83，84，84，85，85，86，86，86，87，89．竞赛成绩分组统计表请根据以上信息，解答下列问题：（1）c＝20；（2）“80≤x＜90”这组数据的众数是86分；（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是85.5分；（4）若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校3000名学生中优秀学生的人数．解：（1）由题意得，样本容量为：8÷16%＝50，∴c＝50×（1﹣16%﹣24%﹣20%）＝20．故答案为：20；（2）80≤x＜90”这组的数据的众数是86；故答案为：86；（3）由题意得，a＝50×20%＝10，b＝50×24%＝12，随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是（85+86）÷2＝85.5，故答案为：85.5； （4）3000×2750=1620（人）． 答：估计全校1200名学生中优秀学生的人数约1620人．23．甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元．甲、乙两公司各有多少人？ 解：设乙公司有x 人，则甲公司有1.2x 人， 根据题意得：30000x−300001.2x=20，解得：x ＝250，经检验，x ＝250是原方程的解，且符合题意， ∴1.2x ＝300．答：甲公司有300人，乙公司有250人．24．甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a 层出电梯，乙在b 层出电梯．（1）如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是 14；（2）请你用画树状图或列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率．解：（1）如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是14，故答案为：14；（2）列表如下：一共出现16种等可能结果，其中甲、乙在相邻楼层出电梯的有6种结果， 则甲、乙在相邻楼层出电梯的概率=616=38． 25．某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100～150亩稻田，预计原360亩稻田今年每亩收益440元，已知每新增稻田1亩，今年每亩的收益减少2元．试问：该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？解：根据题意得出：y ＝360×440+x （440﹣2x ）＝158400+440x ﹣2x 2＝﹣2（x ﹣110）2+182600， 所以可得：当x ＝110亩时，才能使总收入最大，最大收益是182600元．26．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y =12x 2+1x 的图象及性质进行了探究和应用．下面是小明的探究过程，请补充完成：（1）函数y =12x 2+1x的自变量x 的取值范围是 x ≠0 ；（2）下表是y 与x 的几组对应值，在平面直角坐标系xOy 中，描出了表中各对对应值为坐标的点，请你根据描出的点，画出该函数的图象；（3）探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1，32)，结合函数的图象，写出该函数的其它2条不同的性质：① 当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 ，② 当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 ； （4）设a =12(3−√35)213−√35b =12(2−√37)212−√37，利用图象比较a 和b 的大小（请写出比较过程）．解：（1）由y =12x 2+1x 可得，x ≠0， 故答案为：x ≠0； （2）如图：（3）探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1，32)，结合函数的图象得出： ①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小； ②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；故答案为：当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大； （4）由图象可知，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小； ∵3−√35＞3−√37， ∴a ＜b ．27．（10分）阅读理解早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角形的三条边分别称为小斜（记为a ）、中斜（记为b ）和大斜（记为c ），以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隔，开平方得积．若把以上这段文字写成公式即为√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，（a ＜b ＜c ），其中a 、b 、c 为2三角形三边的长．请用此公式解决下列问题：（1）如图，已知图中3个正方形的面积分别为2，1，4，求△ABC 的面积． 深入探究古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海伦公式：三角形面积S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，其中a 、b 、c 为三角形三边长，p =a+b+c2， （2）请你用秦九韶公式证明海伦公式． 灵活应用结合上面学习的知识解决以下问题：（3）已知三角形三边长分别为5，6，7，求这个三角形的内切圆半径．（1）解：由题意得， a 2＝1，b 2＝2，c 2＝4，∴S △ABC =12√1×2−(1+2−42)2=√74；（2）证明：S =12√(ab)−(a 2+b 2−c 22)=12√(ab +a 2+b 2−c 22)⋅(ab −a 2+b 2−c 22) =12√(a+b+c)(a+b−c)2⋅(c+a−b)(c−a+b)2， =√(a+b+c 2)(a+b+c−2c 2)(a+b+c−2b 2)(a+b+c−2a2) =√p(p −a)(p −b)(p −c)（p =a+b+c2）； （3）解：∵a ＝5，b ＝6，c ＝7， ∴p =5+6+72=9， ∴p ﹣a ＝4，p ﹣b ＝3，p ﹣c ＝2， ∴S =√9×4×3×2=6√6， 设三角形的内切圆半径为r ， ∴12×（5+6+7）r ＝6√6，∴r =2√63，∴这个三角形的内切圆半径为：2√63． 28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、点B 的坐标分别为（﹣2，0）、（0，8）．经过A 、B 、O 三点的圆的圆心为M ，过点M 的直线与⊙M 的公共点是D 、E ，与x 轴交于点F ，与y 轴交于点N ，连接AE 、OD 、BD ．已知∠ODF ＝45°．（1）⊙M 的直径为 2√17 ，点M 的坐标为 （﹣1，4） ；（2）求直线DF所对应的函数表达式；（3）若P是线段AF上的动点，∠PEA与△BDO的一个内角相等，求OP的长度．解：（1）连接AB，如图：∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙M的直径，∵A（﹣2，0），B（0，8），∴AB=√22+82=2√17，∴⊙M的直径为2√17，∵M为AB中点，∴M（﹣1，4）；故答案为：2√17，（﹣1，4）；（2）连接OM，如图：∵∠ODF＝45°，∴∠OMF ＝2∠ODF ＝90°，∴OM 2+FM 2＝OF 2，设F （t ，0），∵O （0，0），M （﹣1，4），∴17+（t +1）2+16＝t 2，解得t ＝﹣17，∴F （﹣17，0）；设直线DF 所对应的函数表达式为y ＝kx +b ，把M （﹣1，4），F （﹣17，0）代入得： {−k +b =4−17k +b =0， 解得{k =14b =174， ∴直线DF 所对应的函数表达式为y =14x +174； （3）设E （m ，14m +174）， ∵M （﹣1，4），EM =√17，∴（m +1）2+（14m +174−4）2＝17， 解得m ＝﹣5或m ＝3，∴E （﹣5，3），D （3，5）；①当∠PEA ＝∠OBD 时，连接OE ，如图：∵∠FDO ＝45°，∠EOD ＝90°，∴∠DEO ＝45°，∵OD̂=OD ̂， ∴∠OBD ＝45°，∴∠PEA ＝45°，∵∠P AE＝180°﹣∠EAO＝∠FDO＝45°，∴∠EP A＝90°，∴P（﹣5，0），∴OP＝5；②当∠PEA＝∠BOD时，如图：∵E（﹣5，3），A（﹣2，0），∴AE＝3√2，∵B（0，8），D（3，5），∴OB＝8，BD＝3√2，∵∠PEA＝∠BOD，∠P AE＝∠OBD＝45°，∴△P AE∽△DBO，∴PABD =AEOB，即3√2=3√28，∴P A=9 4；∴OP＝P A+OA=17 4；③当∠PEA＝∠BDO时，如图：∵∠P AE＝∠OBD＝45°，∴△PEA∽△ODB，∴PAOB =AEBD，即PA8=√23√2，∴P A＝8，∴OP＝P A+2＝10；综上所述，OP的长度为5或174或10．。
2020年江苏省常州市中考数学二模试题附解析
2020年江苏省常州市中考数学二模试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．用长为5cm ，6cm ，7cm 的三条线段围成三角形的事件是（ ）A ．随机事件B ．必然事件C ．不可能事件D ．以上都不是2．已知样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2∶4∶3∶1，则第二小组和第三小组的频率分别为（ ）A ．0.4和0.3B ．0.4和9C ．12和0.3D ．12和9 3．下列等式：⑴632=⨯；⑵2221=；⑶252322=+；⑷27=33； ⑸=+9494+；⑹32)32(2-=-．成立的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个 4．如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（ ）A ．B C ． D ． 5．若正比例函数的图象经过点（-l ，2），则这个图象必经过点（ ）A ．（1，2）B ． （-l ，-2）C ．（2，-1）D ． （1，-2） 6．下列命题不正确的是（ ）A ．在同一三角形中，等边对等角B ．在同一三角形中，等角对等边C ．在等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的2倍D ．等腰三角形是等边三角形7．下列现象中，属于平移变换的是（ ）A ．前进中的汽车轮子B ．沿直线飞行的飞机C ．翻动的书D ．正在走动中的钟表指针8．把分式方程1111x x x -=--变形后，下列结果正确的是（ ） A ．1(1)x x --=B ．1(1)x x --=-C ．1(1)x x ---=-D ．1x x -=-9． 已知下列条件，不能作出三角形的是（ ）A ．两边及其夹角B 两角及其夹边C ．三边D ．两边及除夹角外的另一个角10．若222x mx +-可分解因式(21)(2)x x +-，则m 的值是（ ）A ．-1B ．1C ．-3D ．3 11．下列计算中，正确的是（ ） A ．835()()x x x -÷-= B ．433()()a b a b a b ÷+÷=+C ．623(1)(1)(1)x x x -÷-=-D ．532()a a a -÷-=12．下列合并同类项正确的是（ ） A ．22523x x -=B ．6713x y xy +=C ．2222a b a b a b -+=D ．523x x -= 13．计算222222113(22)(46)32a c b a b c +-+---的结果是（ ）A ． 225106a b + B ． 221106a b -- C ． 221106a b -+ D ． 225106a b - 二、填空题14．已知抛物线y ＝ax 2与双曲线y ＝－2ｘ交点的横坐标大于0，则a 0. <15．如图，正方形ABCD 的边长为4，MN ∥BC 分别交AB ，CD 于点M ，N ，在MN 上任取两点P ，Q ，那么图中阴影部分的面积是 ．16．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是 ．17．已知菱形的一个内角为120°，且平分这个内角的对角线长为8 cm ，则这个菱形的周长为 ．18．如图，直线y kx b =+经过A(2，1)、B(-l ，-2)两点，则不等式122x kx b >+>-的解为 .19．a 是数据l ，2，3，4，5的中位数，b 是数据2，3，3，4的方差，则点P （a ，b ）关于x轴的对称点的坐标为 . 20．等边三角形三个角都是 ．21．若1232n =，则n ＝_____. 22．在243y x 中，如果5.1=x ，那么y = ； 如果y ＝0，那么x = . 23．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为_________米．三、解答题24．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC 的长．25．．某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x(元)与日销售量 y(张)之间有如下关系：x (元)3 4 5 6 y(张) 20 15 12 10(1)根据表中数据在直角坐标系中描出实数 对(x ，y)的对应点；(2)猜测并确定 y 与x 之间的函数关系式，并画出图象；(3)设经营此贺卡的销售利润为ω元，试求ω与x 之间的函数关系式，如果物价局规定此贺卡售价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x 定为多少元时，才能获得最大日销售利润？60︒CB A26．某超市销售一种商品，每件商品的成本是20元．经统计销售情况发现，当这种商品的单价定为40元时，每天售出200件．在此基础上，假设这种商品的单价每降低1元，每天就会多售出20件．(1）用代数式表示，这种商品的单价为x 元（x<40）时，销售1件该商品的利润和每天销售该商品的数量；(2）当商品单价定为多少时，该超市每天销售这种商品获得的利润为4500元．27．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，若AE=12，BD=15，AC=20，求梯形ABCD 的面积．150，提示：过点D 作DF ⊥BC 于F ．28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数162y x =-+的图象分别交x ，y 轴于点A ，B ，与一次函数y x =的图象交于第一象限内的点 C ． (1)分别求出A ，B ，C 的坐标；(2)求出△AOC 的面积.29．已知28mx y +=，564x y -=，2590x y +-=三个方程有公共解，求m 的值.30．如图，已知要从电杆离地面 5m 的A处向地面拉一条锁线加固，地面缆线固定点 B到电杆底部C的距离是4m.求缆线 AB 的长( 已知缆线的计算公式22=+结果保留 2 个有效AB AC BC数字).【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．A3．C4．D5．D6．D7．B8．B9．D10．C11．D12．C13．C二、填空题14．15．816．平行四边形17．32 cm18．12x-<<19．(3，1 2 -)20．60°21．-522．-3 , 623．22.5三、解答题24．如图，作AD⊥BC于D，则AD=AB·sin60°=2，BD=AB·cos60°=52，CD112===，∴BC=BD+CD=8．25．（1)如图，(2)是反比例函数，60y x= (x 为正整数)图象如图. (3)60120(2)60w x x x=-⋅=- ，当定价x 定为10元/张时，利润最大，为48 元. 26．（1）x －20；200＋（40－x ）×20；（2）（x －20）（1000－20x ）＝4500，x ＝35． 27．150，提示：过点D 作DF ⊥BC 于F ．28．(1) A(12,0), B(0,6), C(4,4) (2) 2429．564(1)2590(2)x y x y -=⎧⎨+-=⎩，由①，②得21x y =⎧⎨=⎩，代入28mx y +=，得228m +=，所以3m =. 30．6.4 m。
2023年江苏省常州市金坛区中考数学二模试卷(含解析)
2023年江苏省常州市金坛区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 3的相反数是( )A. 3B. −3C. 13D. −132. 若式子x−4有意义，则x的取值范围是( )A. x<4B. x>4C. x≤4D. x≥43.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )A. 三棱柱B. 三棱锥C. 四棱柱D. 圆锥4. 已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是( )A. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 13cm5. 下列计算正确的是( )A. a3+a2=a5B. a3⋅a2=a5C. a3÷a2=a5D. (a3)2=a56. 已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是( )A. 48πcm2B. 36πcm2C. 24πcm2D. 12πcm27. 一辆汽车油箱中剩余的油量y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为( )A. 150kmB. 165kmC. 125kmD. 350km8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是(0,4)，点B 的坐标是(3,4)，将△AOB 向右平移到△CED 的位置，点C 、E 、D 依次与点A 、O 、B 对应点，F 是DE 的中点，若反比例函数y =k x(k ≠0)的图象经过点C 和点F ，则k 的值是( )A. 5B. 6C. 8D. 10二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9. 4=______．10. 计算：x +5x −5x = ______ ．11. 分解因式：x 2−2x +1=______．12. 2021年12月9日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进太空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过14600000人次．把“14600000”用科学记数法表示为______．13.如图，数轴上的点A 、B 分别表示实数a 、b ，则a +b______ 0(填写“>”、“<”或“=”)．14. 若二次函数y =ax 2−3x−1的图象开口向下，则实数a 的取值范围是______ ．15. 如图，在△ABC 中，AB =AC =8，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，AC 上，DE //AC ，EF //AB ，则四边形ADEF 的周长是______ ．16.如图，∠DCE 是⊙O 内接四边形ABCD 的一个外角，若∠DCE=72°，那么∠BOD 的度数为______．17.如图，OP平分∠MON，点A是OM上一点，点B是OP上一点，AB⊥OP，若AB=3，OB=4，则点B到ON的距离是______ ．18.如图，正方形ABCD的边长为2，G是边CD的中点，E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF.当GF最小时，它的长是______ ．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。
2024年江苏省常州市多校联考中考二模考试数学试卷
2024年江苏省常州市多校联考中考二模考试数学试卷一、单选题(★) 1. 16的平方根是（）A．B．4C．D．(★) 2. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．(★) 3. 下列整数中，与最接近的是（）A．1B．2C．3D．4(★★★) 4. 圆锥的侧面展开图是（）A．三角形B．矩形C．扇形D．圆(★) 5. 一组数据：12， 5， 3， 2，， 6 的中位数为（）A．3B．4C．2D．2.5(★★) 6. 已知两点和在反比例函数的图像上，且则（）A．B．C．D．(★★) 7. 如图，C、D是为直径的半圆上的点，且C是弧的中点，，则的度数为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列个结论①，②，③，④其中成立的结论是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④二、填空题(★) 9. 的相反数是 _____________ ．(★★) 10. 分解因式： _____________(★) 11. 计算： _____ ．(★) 12. 2024年，“两湖”创新区总部经济和功能配套类项目包括南医大常州校区、华东师范大学附属常州西太湖学校、常州大学三期等共21个项目，其中已开工项目4个，计划总投资亿元，即元，把用科学记数法表示为 _____________ ．(★) 13. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼 ________ 条．(★★) 14. 已知m为方程的一个根，则代数式的值是_____________ ．(★★★) 15. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为 __ ．(★★★★) 16. 如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为 ______ ．(★★★) 17. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，中点E与点D的连线交于点F．已知矩形的面积为20，则四边形的面积为 _____________ ．(★★★★) 18. 对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是_____________ ．三、解答题(★★★) 19. 先化简，再求值：其中．(★★) 20. 解不等式组：并写出该不等式组的最小整数解．(★★) 21. 某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组.要求每人必须参加.并且只能选择其中一个小组,为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出).请你根据给出的信息解答下列问题：(1)求参加这次问卷调查的学生人数.并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据)；(2)(3)若某校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组有多少人？(★★) 22. 有三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2，，3 后放入一个不透明的口袋搅匀，任意摸出一个小球，记下数字a后，放回口袋中搅匀，再任意摸出一个小球，又记下数字 b．这样就得到一个点A的坐标．(1)点A落在坐标轴上的概率为；(2)求这个点恰好在函数的图像上的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果）(★★★) 23. 如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．（1）求证：（2）若的面积为5，求的面积．(★★) 24. 某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的原料成本为每件900元．(1)写出每天的生产成本元（包括固定成本与原料成本）与每天的生产量件之间的函数关系式；(2)如果每件产品的出厂价为1200元，假设生产的产品全部售出，那么每天至少生产多少件产品，该工厂才能不亏损．．．？(★★★) 25. 如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD 开通穿山隧道EF，从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）(★★★★) 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点A在以为直径的半圆上，且点A的横坐标为，M为线段的中点．(1)求点A的纵坐标；(2)用直尺和圆规作一个，使它经过点M且与x轴相切（作一个即可，不写作法，但要保留作图痕迹）；(3)求满足（2）中条件的点P纵坐标的最小值．(★★★★) 27. 经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两个三角形，如果其中一个三角形与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为原三角形的“形似线段”．(1)等边三角形存在“形似线段”吗？ (填“存在”或“不存在” )；(2)如图①，在中，，，，若是的“形似线段”，求的长；(3)如图②，在中，，，．当有且只有二条“形似线段”时，线段的取值是．(★★★★) 28. 【尝试】如图，二次函数的图象经过点和，与y轴相交于点C．已知位于点B右侧图象上有一动点P，并且射线分别交y轴于点D、点E．（1）求二次函数表达式；（2）线段有什么数量关系？请说明理由．【探究】（3）若二次函数的图象经过上述A、B两点，其它条件不变，线段的以上数量关系还成立吗？说明理由．【拓展】（4）若开口向上的二次函数的图象经过两点和，且，其它条件不变，请直接写出线段的数量关系是．。
2023年江苏省常州市中考二模数学试题(含解析)
17．如图，在四边形 ABCD 中， A C 90 ， D 60 ， AB 4 3 ， BC 3 ，则 AD 的长是______．
18．如图，点 A、B 为直线 y x 上的两点，过 A、B 两点分别作 x 轴的平行线交双曲线 试卷第 3 页，共 7 页
5 是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由． 28．（1）如图①，在 Rt△ABC 中， ACB 90 ， AC 6 ， BC 2 3 ，则 A 的大小 为______；
【探究】 （2）如图②，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，对角线 AC 与 BD 相交于 O，若 AC 8 ， BD 6 ， AOD 60 ，求四边形 ABCD 的面积；
试卷第 5 页，共 7 页
25．（1）如图①，在矩形 ABCD 中，在 BC 边上是否存在点 P，使∠APD＝90°，若存在 请用直尺和圆规作出点 P（保留作图痕迹） （2）若 AB＝4，AD＝10，求出图①中 BP 的长． （3）如图②，在△ABC 中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD 是 BC 边上的高，E、F 分别为 AB，AC 的中点，当 AD＝6 时，BC 边上是否存在一点 Q，使∠EQF＝90°，求此时 BQ 的长．
2023 年江苏省常州市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．实数 2023 的绝对值为（ ）
1 A．
2023
B． 1 2023
C．2023
D． 2023
2．下列不等式一定成立的是（ ）
2023年江苏省常州市前黄实验学校中考二模数学试题(含答案解析)
2023年江苏省常州市前黄实验学校中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．5B．【答案】BA．3【答案】C【分析】根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键．7．若二次函数225=++y x xA．14B．825【答案】B【分析】设小正方形边长为1，由平行线的性质得到QTY=∠∠【详解】解：设小正方形边长为∵线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，∴111052PQMS+=⨯=△，∴115 2PM QM⋅+=，1【点睛】本题主要考查了求一个角的正切值，正确根据面积法求出键．二、填空题9．若式子x 1x 2+-在实数范围内有意义，则【答案】1x ≥-且2x ≠/2x ≠且【分析】根据二次根式的被开方数大于等于【详解】解：由题意，得：x +∴1x ≥-且2x ≠；∴x 的取值范围是1x ≥-且x ≠【答案】1023-+-/2310【分析】根据矩形和平行四边形的性质可得：=====，AD BC A D'AB CD CD'4【答案】(3932y x x =-+<≤【分析】作QD AB ⊥，分点Q 由直角三角形的性质表示出【详解】解：∵90C ∠=︒，由题意知6BQ x =-，∵90C ∠=︒，3cm AC BC ==，∴190452B BAC ∠=∠=⨯︒=︒，∴QDB 为等腰直角三角形，【答案】455【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，所以当等积法，求出OP 的长即可．【详解】解：∵直线y =当0x =时，4y =；当y ∴()()2,0,0,4A B ，∴==OA 2,OB 4，∴222425AB =+=，∵直线24y x =-+与直线∴直线BC 即为直线y =∵点到直线的距离，垂线段最短，∴当OP BC ⊥时，OP 的值最小，过点O 作OP BC ⊥，交BC【答案】83【分析】连接,AC AP ，由菱形的性质可知点G ，过点P 作PH AB ⊥定理求出CG 长度，再证明四边形求解即可．【详解】如图，连接,AC AP ∵四边形ABCD 是菱形中，∴4,AB BC D ABC ==∠=∠∴ABC 是等边三角形，过点C 作CG AB ⊥于点G 则CG PH =，【答案】1772【分析】根据勾股定理分别求出OA 二个、第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：第1个三角形的面积由勾股定理得，221112OA =+=，则第2个三角形的面积1212=⨯⨯【答案】2105/2105【分析】连接DO ，OF 到DFO ∠的度数，再根据折叠的性质可知共线，然后根据勾股定理，即可求得用解直角三角形，即可求解．【详解】解：如图：连接 四边形ABCD 是正方形，将DC DA ∴=，DC DF =DA DF ∴=，在DAO 与DFO 中，DA DF OA OF DO DO =⎧⎪=⎨⎪=⎩(SSS DAO DFO ∴≌V V三、解答题19．计算或化简：(1)这50名学生视力的众数为______，中位数为______(2)求这50名学生中，视力低于4.7的人数占被抽查总人数的百分比；(3)若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于【答案】(1)4.9,4.8(2)视力低于4.7的人数占被抽查总人数的16%(3)估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数为【分析】（1）根据条形图确定出现次数最多的数据，即可求出众数，将数据排序后，找到第25个和第26个数据，两个数据的平均数即为中位数；（2）利用频数除以总数，进行求解即可；（3）利用样本估计总量即可得解．【详解】（1）解：由条形图可知，视力为4.9的学生的人数最多，故众数为第25个和第26个数据分别为：4.8,4.8，故中位数为：故答案为：4.9,4.8；（2）解：1340.1616% 50++==；∴视力低于4.7的人数占被抽查总人数的16%；（3）解：1012632140027250+++++⨯=（人）；答：估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数为【点睛】本题考查条形统计图，中位数，众数，利用样本估计总量．从条形图中有效的获取信息，熟练掌握众数和中位数的确定方法，是解题的关键．由树状图可知一共有8种等可能性的结果数，结果数有2种，∴掷出这三枚硬币所得数字之和是2的概率为【点睛】本题主要考查了求频率，树状图法求解概率，正确画出树状图是解题的关键．23．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点落在边AD上的点G处，连接CF．(1)判断四边形GECF的形状，并说明理由；【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．24．某同学眼睛距地面高度1.7旗杆顶部D 的仰角为22︒，在护旗手结束走正步的点又测量得到A ，B 两点间的距离是【答案】21.7米【分析】延长EF 交CD 于G ，在求出DG 的长，进而可求出求旗杆【详解】解：延长EF 交CD 于1.7CG AE ==米．∵22,45DEF DFG ︒︒∠=∠=，∴在Rt DGF △中，DG GF =，在Rt DGE △中，tan 22DG EG ︒=∴ 2.5tan 22DG EG DG =≈︒，∵EG GF EF -=，∴2.530DG DG -=，解得20DG =，则20 1.721.7DC DG CG =+=+=(1)求证：BC 是O 的切线；(2)求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)1655【分析】（1）根据题意可得OA AB =根据相似三角形的性质可得BOA ∠（2）过点O 作OG BF ⊥于点G 平分FBE ∠，则BD EF ⊥，DF =解．【详解】（1）证明：∵2OA =，∴OA AB AB AC=，∵90OAB ∠=︒，∴90OAB BAC ∠=∠=︒，∴OAB BAC ∼，；∴BOA CBA ∠∠=，∵+90OBA BOA ∠∠︒=，∴+90OBA ABC ∠∠︒=，即90OBC ∠=︒，∵OG BF ⊥，90OAB ∠=︒，弦BF ∴BG AB =，∵OB OB =，∴()Rt Rt HL BOG BOA ≌，∴GBO ABO ∠∠=，∵BF BE =，即BFE △为等腰三角形，∴BD EF ⊥，DF DE =，∵2OA =，4AB =，∴22+25OB OA AB ==，在Rt ABO △中，sin OA OBA OB ∠=在Rt BDE △中，sin DE DBE BE ∠=∴855DE =，∴1655EF =．【点睛】本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂径定理，熟练运用相关知识答题时解题关键．26．【问题提出】（1）如图①，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =则BP 的最小值为______；由垂线段最短可知，当∵90,ABC ∠=︒∴2AC =AB +∵2ABC S AB =⋅ ∴AB BC BP AC ⋅=故答案为：125；（2）作点E 关于直线∵E ，E '关于直线∴PE PE '=，∴PB PE PB +=+∴,,B P E '共线，∴此时PB PE +最小，最小值为∵90,B BC ∠=︒=∴45ACB ∠=︒，∵点E 是BC 的中点，∴1CE =，∴ACE ACB '∠=∠∴90BCE '∠=︒，在Rt BCE '△中，22BE BC CE ''=+∴PB PE +的最小值为（3）作C 关于AD ∵C ，N 关于AB 对称，C ，∴,CE NE CF MF ==，∴CE EF CF NE EF ++=+∵,,,N E F M 共线，∴此时CE EF FC ++的值最小，∵60A ∠=︒，90B Ð=°，∠∴60ADC ∠=︒（3）【拓展延伸】如图3，P 在坐标平面内，记P 为图形S ，线段AB 记为图形与(),h S T 的值；（4）【思维提升】如图4，(A -图形S ，线段AB 记为图形T ，图形13（3）图形S 的(),60O ︒旋转变换得到图形设图形S '的圆心为点P '，连接OP 由旋转的性质可得：=60P OP '∠∴P OP '△是等边三角形，∴1==32OH OP ，=90P HO '∠︒∴22=63=33P H '-，（4）图形S 的(),60O ︒旋转变换得到图形故答案为：23．【点睛】本题考查了新定义、旋转的性质、平面直角坐标系中点的特征、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转的性质和理解新定义解题的关键．28．已知：如图，抛物线2y mx =直线AE ：y x b =+交x 轴于E 点，交(1)求抛物线的解析式；(2)若Q 为抛物线上一点，连接,QE QA ，设点Q 的横坐标为S ，求S 与t 函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）(3)在（2）的条件下，点M 在线段QA 上，点N 是位于Q 、E∴()2,43Q t t t ++，∴2,OB t BQ t =-=∵()()0,3,3,0A E -∴3,3OA BE ==--∴AQBO S S S =-△梯形()(23432t t +++⨯=23922t t =+，即23922S t t =+；（3）当3152S ==当5x =时，8y =，∴()5,8Q -，设直线AQ 的解析式为：∴8530k b b=-+⎧⎨=+⎩，解得∴直线AQ 的解析式为：。
江苏省常州市2019-2020学年中考第二次模拟数学试题含解析
江苏省常州市2019-2020学年中考第二次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若代数式21x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x≥0 C ．x≠0 D ．任意实数2．若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数，则a 的取值范围是（ ） A ．a≥1 B ．a ＞1C ．a≥1且a≠4D ．a ＞1且a≠4 3．下列计算正确的是（ ）A ．﹣5x ﹣2x=﹣3xB ．（a+3）2=a 2+9C ．（﹣a 3）2=a 5D ．a 2p ÷a ﹣p =a 3p4．如图，矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF=2FC ，AF 分别与DE 、DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为（ ）A ．22B ．92C ．32D ．42 5．一元二次方程x 2﹣5x ﹣6=0的根是（ ）A ．x 1=1，x 2=6B ．x 1=2，x 2=3C ．x 1=1，x 2=﹣6D ．x 1=﹣1，x 2=66．为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一(160个)，周二(160个)，周三(180个)，周四(200个)，周五(170个).则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是( )A ．180个，160个B ．170个，160个C ．170个，180个D ．160个，200个7．下列图形中为正方体的平面展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（ ）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市9．计算（﹣3）﹣（﹣6）的结果等于（）A．3 B．﹣3 C．9 D．1810．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′，连接CC′.若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是( )A．32°B．64°C．77°D．87°11．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．20cm2 B．20πcm2C．10πcm2D．5πcm212．若圆锥的轴截面为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接DB，若tan∠CBD=34，则BD=_____．14．如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝1，则S△ADF的值为_____．15．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形．16．据报道，截止2018年2月，我国在澳大利亚的留学生已经达到17.3万人，将17.3万用科学记数法表示为__________．17．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，E是BC上的一点，BE=3，DF⊥AE，垂足为F，则tan∠FDC=_____．18．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，请你添加一个适当的条件________，使ABCD成为正方形．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）在平面直角坐标系中，一次函数y ax b=+（a≠0）的图象与反比例函数(0)ky kx=≠的图象交于第二、第四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作AH⊥y轴，垂足为点H，OH=3，tan∠AOH=43，点B的坐标为（m，-2）.求该反比例函数和一次函数的解析式；求△AHO的周长.20．（6分）解不等式组4623x xxx+>⎧⎪+⎨≥⎪⎩并写出它的所有整数解．21．（6分）某中学举行室内健身操比赛，为奖励优胜班级，购买了一些篮球和足球，篮球单价是足球单价的1.5倍，购买篮球用了2250元，购买足球用了2400元，购买的篮球比足球少15个，求篮球、足球的单价．22．（8分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）23．（8分）如图1，已知抛物线y=﹣33x2+233x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求线段DE的长度；（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由．24．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC 的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：2AE；（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=25，CE=2，求线段AE的长．25．（10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．证明：△ADF是等腰三角形；若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，26．（12分）如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）请你补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角的度数；（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学担任生活监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率．27．（12分）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离3，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，求旗杆AB的髙．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行解答．【详解】解：依题意得：x2≥1且x≠1．解得x≠1．故选C．【点睛】考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．解题时，注意分母不等于零且被开方数是非负数．2．C【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为1求出a的范围即可．解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，解得：x=223a-，由题意得：223a-≥1且223a-≠2，解得：a≥1且a≠4，故选C．点睛：此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为1．3．D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和整式的乘除运算法则分别计算即可得出答案．【详解】解：A．﹣5x﹣2x=﹣7x，故此选项错误；B．（a+3）2=a2+6a+9，故此选项错误；C．（﹣a3）2=a6，故此选项错误；D．a2p÷a﹣p=a3p，正确．故选D．【点睛】本题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和整式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题的关键．4．B【解析】【分析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=1，根据勾股定理得到=OH=13AE=13，由相似三角形的性质得到153AM AEFM FO===35，求得AM=38AF=4，根据相似三角形的性质得到AN ADFN BF==32，求得AN=35，即可得到结论．【详解】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=1．∵BF=1FC，BC=AD=3，∴BF=AH=1，FC=HD=1，∴=∵OH∥AE，∴HO DHAE AD==13，∴OH=13AE=13，∴OF=FH﹣OH=1﹣13=53，∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，∴153AM AEFM FO===35，∴AM=38AF=324，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴AN ADFN BF==32，∴AN=35AF=625，∴MN=AN﹣AM=625﹣324=9220，故选B．【点睛】构造相似三角形是本题的关键，且求长度问题一般需用到勾股定理来解决，常作垂线5．D【解析】【分析】本题应对原方程进行因式分解，得出（x-6）（x+1）=1，然后根据“两式相乘值为1，这两式中至少有一式值为1．”来解题．【详解】x2-5x-6=1（x-6）（x+1）=1x1=-1，x2=6故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．6．B【解析】【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【详解】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；故选B．【点睛】此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．7．C【解析】【分析】利用正方体及其表面展开图的特点依次判断解题．【详解】由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知A，B，D上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图，选项C可以拼成一个正方体，故选C．【点睛】本题是对正方形表面展开图的考查，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键．8．D【解析】【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．【详解】A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确，不符合题意；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确，不符合题意；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确，不符合题意；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误，符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．9．A【解析】原式=−3+6=3，故选A10．C【解析】试题分析：由旋转的性质可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故选C．考点：旋转的性质．11．C【解析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入,圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．故答案为C12．D【解析】试题分析：设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，则=2πr，解得：n=180°．故选D．考点：圆锥的计算．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．5【解析】【分析】由tan∠CBD=CDBC=34设CD=3a、BC=4a，据此得出BD=AD=5a、AC=AD+CD=8a，由勾股定理可得（8a）2+（4a）2=82，解之求得a的值可得答案．【详解】解：在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=CDBC=34，∴设CD=3a、BC=4a，则BD=AD=5a，∴AC=AD+CD=5a+3a=8a，在Rt△ABC中，由勾股定理可得（8a）2+（4a）2=82，解得：25或25（舍），则5故答案为5【点睛】本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，解题关键是熟记性质与定理并准确识图．。
2024年江苏省常州市金坛区中考二模数学试题(含答案)
2024年春学期九年级阶段性质量调研（二）数学试卷2024.5一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．如果向东走记作，那么向西走记作（）A ．B ．C ．D ．2．计算的结果是（）A ．aB ．C ．3aD ．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）主视图左视图俯视图A ．圆柱B ．圆锥C ．长方体D ．三棱柱4．下列运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．5．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意如下：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x 天可追上慢马，可列出方程（）A．B ．C ．D ．6．如图，直线CD 、EF 被OA 、OB 所截，．若，则的度数是（）A ．B ．C ．D ．7．四边形ABCD 的边长如图所示，对角线AC 的长度随四边形ABCD 形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线AC 的长是（）10m 10m +8m 10m-10m +8m +8m -2-a a -a ()()22-+=+a b a b a b ()()2224-+--=-m m m ()222-=-a b a b ()222+=+a b a b 12240150=-x x 12240150+=x x ()24015012=+x x ()24012150-=x x∥CD EF 1108∠=︒2∠52︒62︒72︒82︒△ABCA ．2B ．3C ．4D ．58．如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，错误的结论是（）A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9．如图，在数轴上，点A，点B 与点A 位于原点的两侧，且到原点的距离相等，则点B 表示的数是________．10．计算：________．11．若，则________．12．因式分解：________．13．如图，在中，D 是斜边BC 的中点，连接AD ，若，，则________．14．如图，在矩形ABCD 中，，将线段AB 绕点A 逆时针方向旋转，使得点B 落在边CD 上的点E 处，则的长是________．()20=++≠y ax bx c a ()1,0-1=x 0<ab 420++>a b c 30+>a c ()11,A x y ()22,B x y 12<x x 122+=x x 12=y y ()22=xy 22+=a b 24+=a b 224-=mx my Rt △ABC 5=AB 6.5=AD =AC 24==AB BC BE15．如图，AD 是的直径，AB 是的弦，BC 与相切于点B ，连接OB ．若，则________．16．如图，E 是边AB 上一点，连接AC 、DE交于点，则________．17．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数（，）的图像上，分别以点A 、B 为圆心，2为半径作圆，与y 轴相切、与x 轴相切，连接AB ，若，则________．18．如图，矩形纸片ABCD ，E 是边CD 上一点，连接AE 、BE ．F 是边AD 上一个动点，连接BF ，沿直线BF 将翻折，点A 落在内部的点G 处．若，，，则AF 的取值范围是________． O O O 65∠=︒ABC ∠=BOD ABCD 23=AE EB =△△AEF CDFS S =k y x0>k 0>x A B =AB =k △ABF △ABE 72=AB 4=BC 12=DE三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（本小题满分6分）计算：．20．（本小题满分8分）解方程和不等式组：（1）；（2）21．（本小题满分8分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．选手测试成绩/分采访写作摄影总评成绩/分小悦83728078小涵8684▲▲（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，．69，71．这组数据的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分；（2）请你计算小涵的总评成绩；（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．22．（本小题满分8分）为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A （合唱社团）、B （硬笔书法社团）、C （面点社团）D （街舞社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．10112-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭131122+=--x x 210113+>⎧⎪-⎨>-⎪⎩x x x 4:4:2（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择1个社团，他选中D （街舞社团）的概率是________；（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团D （街舞社团），他俩决定各自随机选择第2个社团，请用列表法或树状图求他俩在选第2个社团中选到相同社团的概率．23．（本小题满分8分）如图，在中，，AD 为的角平分线，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，与AB 、AC 分别交于点E 、F ，连接DE 、DF ．（1）求证：；（2）若，求的度数．24．（本小题满分8分）如图，一次函数的图像与y 轴负半轴交于点A ，与反比例函数的图像交于点．（1）求反比例函数的表达式；（2）连接OB ，当的面积为3时，求一次函数的表达式．25．（本小题满分8分）如图，学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定用60米长的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形花园，并用一道篱笆把花园分为A 、B 两块长方形区域．（1）设垂直于墙的篱笆长是，花园面积是，写出S 关于x 的函数表达式，并求S 的最大值；（2）在花园面积最大的条件下，A 、B 两块区域内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，若A 区域面积不小于B 区域面积的2倍，则至少要购买多少株牡丹？26．（本小题满分10分）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系xOy 中不同的两点，且，若存在一个正数k ，使点P 、Q的坐标满足，则称P 、Q 为一对“斜关点”，k △ABC =AB AC △ABC =DE DF 80∠=︒BAC ∠CDF =+y mx n ()0=>k y x x()3,2B △OAB m x 2m S ()11,P x y ()22,Q x y 12≠x x 2121-=-y y k x x叫点P 、Q 的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点P 、Q 为一对“斜关点”，且“斜关比”为．如图，已知平面直角坐标系xOy 中，点、、、．（1）在点A 、B 、C 、D 中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）．（2）若存在点E ，使得点A 、E 是一对“斜关点”，点C 、E 也是一对“斜关点”，且，求点E 的坐标．（3）若的半径是4，M 是上一点，满足的所有点T ，都与点D 是一对“斜关点”，且．请直接写出点M 横坐标m 的取值范围．27．（本小题满分10分）如图，在中，，将线段BC 绕点B 按顺时针方向旋转到BD ，连接CD ．点F 是边AB 上一个动点，连接DF 交BC 于点E ．已知，．（1）若，则________；（2）若，，求CD 的长；（3）若，点E 是BC 的中点，求AC 的长．28．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图像与x 轴正半轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，，点P 是线段BC 上一点（不与点B 、C 重合），过点P 作轴，交抛物线于点Q ，连接OQ ，四边形OCPQ 是平行四边形．(),k P Q ()(),,=k P Q k Q P ()1,0P 13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭Q 1103124-=-14()1,0A ()3,1B ()3,0C ()3,3-D ()(),,2==k A E k C E O O 1=MT (),1≥k T D Rt △ABC 90∠=︒ACB 2=BC 45∠-∠=︒DCB ABC 70∠=︒CAB ∠=ABD 27∠=︒CBA =DC DE ⊥DF AB 24=++y x bx 4=OC OA ⊥PQ x备用图（1）填空：________．（2）求四边形OCPQ 的面积；（3）若点D 是OC 的中点，连接AD 、AC ．点是抛物线上一点，F 是直线QE 上一点，连接BE 、BF 若与相似，求点F的坐标．=b ()5,4E △BEF △ADC2024年春学期九年级阶段性质量调研（二）数学试题参考答案及评分建议2024.5一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在年小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．D2．A3．D4．B5．C6．C7．B8．C二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9．10．11．412．13．1214．15．5016．17．12 18．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（本小题满分6分）解：原式20．（本小题满分8分）解：（1）方程两边同时乘以，得．解这个方程，得．经检验，是原方程的解．原方程的解是．（2）解不等式①，得．解不等式②，得．不等式组的解集是．21．（本小题满分8分）（1）69，69，70．（2）．答：小涵的总评成绩为82分．（3）不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选，理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小悦78分、小涵82分，所24x y ()()22+-m x y x y 2π342577164<<AF )121=--+121=--++=()21-x 2223+-=x 32=x 32=x ∴32=x 12>-x 1<x ∴112-<<x 860.4840.4700.282⨯+⨯+⨯=以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选．22．（本小题满分8分）解：（1）；（2）画树状图，所有等可能结果共有9种，其中他俩选到同一个社团共有3种，（他俩选到相同社团）．答：他俩选到相同社团的概率是．23．（本小题满分8分）（1）证明：平分，．又，，．．（2），，．，AD 为的角平分线，．．．24．（本小题满分8分）解：（1）把，代入，得．．反比例函数的表达式是．（2）过点B 作轴于H ，则，，．点E 的坐标是或14∴P 3193==13AD ∠BAC =∴∠∠BAD CAD = AE AF =AD AD ∴△≌△ADE ADF ∴=DE DF 80∠=︒ BAC 40︒∴∠=DAC = AD AF 70∴∠=∠=︒ADF AFD = AB AC △ABC ∴⊥AD BC 90︒∴∠=ADC 20︒∴∠=CDF 3=x 2=y =k y x 23=k 6∴=k ∴6=y x⊥BH y 3=BH 3= △OAB S 2∴=±y ∴()2,2()2,2-（3．27．（本小题满分10分）解：（1）；（2），又，，，，．．．．设，则．，，即DC 的长是．（3）如图，过点C 是作交BC 于点H 则，，，．点E 是BC 的中点，．，．设，则．．．．，．，．2≤<m 70∠=︒ABD 45∠-∠=︒ DCB ABC 27∠=︒ CBA 72︒∴∠=DCB = DC DE 72∴∠=∠=︒DCB CED = BC BD 72∴∠=∠=︒DCB BDC 36∴∠=∠=∠=︒DBC CDE BDE ∴==DC ED EB ∴△∽△DCE BCD ∴=DC CE BC CD2∴=⋅CD CE CB ===CD DE EB x 2=-CE x ()222∴=-x x 2240∴+-=x x 1-∥CH AB ∠=∠HCE FBE 90∠=∠=︒CHE EFB 45∠-∠=︒ DCB ABC 45︒∴∠=∠=DCH CDH ∴=CH DH ∴=CE BE ∴△≌△CEH BEF∴=EH EF ==CH BF DH α∠=ABC 45α∠=∠-︒+DCB BDC α∴∠=BDF ∴△∽△EFB BFD ∴=EF BE FB DB1122== BE BC BD 1tan tan 2∴∠=∠==EF FBE ABC FB 2= BC 1∴=AC即AC 的长是1．附方法二：如图，作于P ，则，，证明，得，则，因此，所以．28．（本小题满分10分）解：（1）；（2）如图，过点P 作轴于R ．，．，直线BC 的函数表达式是．四边形OCQP 是平行四边形，且设点，则点．．．．．．（3）如图，过点E 作轴于T ，过点F 作于G．⊥CP AB ∠=∠ABC BDF =PF BF △≌△BCP DBF =BF CP 2=BP CP 2=BC AC 1=AC 5=-b ⊥PR y ()()25414=-+=-- y x x x x ()4,0∴B ()0,4 C ∴4=-+y x ∴∥PQ OC =PQ OC(),4-+P m m ()2,54-+Q m m m 2254∴=--+=-+PQ m m m m m 244∴-+=m m 122∴==m m 2∴=PR 428∴=⋅=⨯= OCPQ S OC PR ⊥ET x ⊥FG ET则．，，直线EQ 的函数表达式是，直线EQ 与x 轴的交点．，，．．，．．①当时，．，．．②当时，．，．4=ET ()2,2- Q ()5,4E ∴26=-y x ∴()3,0H 2∴=HT 1tan 2∴∠=HET 1= OA 2=OD 1tan 2∴∠=ADO ∴∠=∠HET ADO 1tan tan 4∠=∠=ACO BET ∴∠=∠ACD BET ∴∠=∠CAD BEH △∽△BEF CAD ==EF AD BE AC = BE ∴=EF 1∴=FG 2=EG ()4,2∴F ∽△BEF DAC ==EF AC BE AD = BE ∴=EF 175∴=FG 345=EG．综上所述，点F 的坐标是或814,55⎛⎫- ⎪⎝∴⎭F ()4,2814,55⎛⎫- ⎪⎝⎭。
2023年江苏省常州市中考数学二模试题附解析
2023年江苏省常州市中考数学二模试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．在中午 12 时，关于一个静止在操场上的篮球的正确叙述是（ ）A ．不会看到球的影子B ．会看到球的影子C ．地上的影子是篮球的主视图D ．地上的影子是圆环2．如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2∶4∶3∶1，则第二小组的频数和第三小组的频率分别为（ ）A ．0.4和0.3B ．0.4和9C ．12和0.3D ．12和9 4．在□ABCD 中，AB+BC=11cm ，∠B=30°，S ABCD =15cm 2，则AB 与BC 的值可能是（ ）A ．5cm 和6cmB ．4cm 和7cmC ．3cm 和8cmD ．2cm 和9cm5．已知函数y kx b =+的图象如图所示，则2y kx b =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A ． 78xy x y =⎧⎨+=⎩ B ． 21729x y x y -=⎧⎨+=⎩ C ． 82x y x y +=⎧⎨-=⎩ D ． 5011x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 7．如图①，有 6 张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图③摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．168．下列条件中，不能作出唯一．．三角形的是（ ） A ．已知两边和夹角B ．已知两边和其中一边的对角C ．已知两角和夹边D ．已知两角和其中一角的对边9．一种商品标价为a 元，先按标价提5%，再接新价降低5%，得到单价b 元，则a 、b 的大小关系为（ ）A ． a b >B ．a b =C ．a b <D ．a b ≤二、填空题10．如图所示，机器人从A 点沿着西南方向行进了 8个单位，到达 B 点后观察到原点 0 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 (结果保留根号).11．若点P 是线段AB 的黄金分割点（PA ＞PB ），设AB=1，则PA 的长约为 ．12． 如图，BD 是□ABCD 的对角线，BE= EF=FD ，则:AMH ABCD S S ∆= ．13．关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .14．如图是一个长方形公园，如果要从A 景点走到B 景点，至少要走 米.15． 已知2m n +=，2mn =-，则(1)(1)m n --= .16．如图, △ABC中,AB=AC=12,EF为AC的垂直平分线,若EC=8,则BE的长为_______．17．某工厂要生产 a 个零件，原计划每天生产 x个，后来由于供货需要，每天多生产 b个零件，则可提前天完成.18．国庆期间，“新世纪百货”搞换季打折. 简爽同学以8折的优惠价购买了一件运动服节省16元，那么他购买这件衣服实际用了元．19．写出含有字母x、y的四次单项式___________（只要写出一个）.20．23-+的次数是．a21．12-的相反数是 .-= ，12三、解答题22．如图，PA 为⊙O的切线，A为切点，PBC为过圆心0 的割线，PA=10cm，PB =5cm，求⊙O 的直径.23．已知：如图，△PQR 是等边三角形，∠APB =120°．（1）求证：△PAQ∽△BPR；（2）求证：2=⋅．QR AQ RB24．如图，已知⊙O中弦 AC、BD 交于点 P，则图中相似三角形有多少对？说明理由.25．如图所示，AB、CD 被EF 所截，MG平分∠BMN，NG 平分∠DNM，已知∠1+∠ 3 =90°，试问 AB∥CD 吗？请说明理由．26．画出如图所示的轴对称图形的对称轴，并回答下列问题：(1）连结BD，则对称轴和线段BD有怎样的位置关系？(2）原图形中有哪些相等的角？哪些全等的三角形？(3）分别作出图形中点F、G的对称点．27．如图，E是BC的中点，∠1=∠2，AE=DE．求证：AB=DC．28．如图，在△ABC 内找一点 P，使得 PB=PC，且P到 AB、BC 的距离相等．29．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数：(1)0.030.20.070.5x yx y-+；(2)23125m nm n+-30．1公顷生长茂盛的树林每天大约可以吸收二氧化碳lt，成人每小时平均呼出二氧化碳38g，如果要吸收一万个人一天呼出的二氧化碳，那么至少需要多少公顷的树林?(结果保留2个有效数字)【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．C3．C4．A5．C6．C7．A8．B9．A二、填空题10．(0，8+811． 215- 12． 3： 813．k>-1且k ≠014．20215．-316．417．a a x x b-+18． 6419．答案不唯一，例如x 2y 220．121．21-，21-三、解答题22．连结 OA ．设⊙O 的半径为r ，∵PA 为⊙O 的切线，PA=10 cm ，PB=5 cm.∴∠OAP=90°, OP= (r+5) cm ，∵22210(5)r r +=+，r=7.5 cm ，2r=15cm ，∴⊙O 的直径是 15．23．（1）∵△PQR 是等边三角形，∴∠QPR =∠PQR=∠PRQ=60°，PQ=PR=QR∵∠APB= 120°, ∴∠1+∠2=60°. ∵∠1+∠3=60°,∴∠2=∠3，∵∠PQA=∠PRB=120°，∴△PAQ∽△BPR.（2）∵△PAQ∽△BPR，∴AQ PRPQ RB=，即AQ QRQR RB=，∴2QR AQ RB=⋅24．∵∠BAG=∠BDC,∠ABD=∠ACD，∴△AB∽△CDP,∵∠DAC=∠DBC,∠ADP=∠ACB.∴△ADP⊥△BCP.∴图中共有两对相似三角形.25．AB∥CD，由∠BMN+∠DNM=180°可说明26．如图所示，连结BD，作线段BD的垂直平分线m，直线m•就是所求的对称轴．(1）对称轴垂直平分线段BD；(2）原图形中相等的角有：∠B=∠D，∠BAC=∠DEC，∠BCA=∠DCE，∠CAE=∠CEA，∠BCE=∠DCA，∠BAE=∠DEA．全等的三角形有：△ABC和△EDC；(3）点F、G的对称点分别是F′、G′，如图所示．27．证明：∵ E是BC的中点，∴ BE=CE在△ABE和△DCE中，∵ BE=CE，∠1=∠2，AE=DE∴△ABE≌△DCE ，∴AB=DC．证明：∵ E是BC的中点，∴ BE=CE在△ABE和△DCE中，∵ BE=CE，∠1=∠2，AE=DE28．BC 的垂直平分线与∠AEC的角平分线的交点29．(1)320750x yx y-+；(2)150330m l nm n+-30．9.1 公顷。
2023年江苏省常州市武进区前黄实验学校中考数学二模试卷及答案解析
2023年江苏省常州市武进区前黄实验学校中考数学二模试卷一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）﹣21的绝对值为（）A．21B．﹣21C．D．﹣2．（2分）2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近500000千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景．其中，数据500000用科学记数法可以表示为（）A．0.5×106B．50×104C．5×104D．5×1053．（2分）已知点P（3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则下列各点中在此反比例函数图象上的是（）A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）4．（2分）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知＝18，则x＝（）A．﹣1B．2C．3D．45．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径．若∠CAD＝∠B，AD＝8，则AC 的长为（）A．5B．C．D．6．（2分）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（）A．B．2C．D．37．（2分）若二次函数y＝x2+2x+3m﹣1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（）A．m＞B．m＜2C．m＜﹣2或m≥﹣D．≤m＜28．（2分）10个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点P、X、Y、S是小正方形的顶点，Q是边XY上一点．T是PQ与SY的交点，若线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，则tan∠QTY的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）9．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（2分）分解因式：4x2﹣8x+4＝．11．（2分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是．12．（2分）如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A'BCD'，且A'D'与CD相交于CD边的中点E，若AB＝4，BC＝5，则原矩形ABCD和平行四边形A'BCD'重叠部分的面积是．13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3cm，动点P从点A出发，以的速度沿AB方向运动到点B，动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB 方向运动到点B．设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），写出Q点在BC上运动时y与x之间函数关系式．14．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝kx交于点C，P在直线BC上运动，则PO的最小值为．15．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠D＝60°．点P为边CD上一点，且不与点C，D重合，连接BP，过点A作EF∥BP，且EF＝BP，连接BE，PF，则四边形BEFP 的面积为．16．（2分）生活处处有数学：在五一出游时，小明在沙滩上捡到一个美丽的海螺，经仔细观察海螺的花纹后画出如图所示的螺旋线，该螺旋线由一系列直角三角形组成，则第2023个三角形的面积为．17．（2分）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CF的长为．三．解答题（共10小题，共84分）19．（8分）计算或化简：（1）；（2）．20．（8分）解下列方程或不等式：（1）x2﹣8x+12＝0；（2）．21．（8分）某校为了了解本校九年级学生的视力情况，随机抽查了50名学生的视力，并进行统计，绘制了如下统计图．（1）这50名学生视力的众数为，中位数为；（2）求这50名学生中，视力低于4.7的人数占被抽查总人数的百分比；（3）若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数．22．（8分）有三枚普通硬币，其面值数字分别为1，1，2．现规定：掷一枚硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字为面值数字；若该硬币反面朝上，则所得的数字为0．（1）若用其中一枚硬币，随机掷10次，其中正面朝上的次数为6次，则在这10次掷币中，该硬币正面朝上的频率为；（2）若依次掷出这三枚硬币，用画树状图的方法，求掷出这三枚硬币所得数字之和是2的概率．23．（8分）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D落在点H的位置上，点C恰好落在边AD上的点G处，连接CF．（1）判断四边形GECF的形状，并说明理由；（2）若CD＝4，GD＝8，求四边形GECF的面积及折痕EF的长．24．（8分）某同学眼睛距地面高度1.7米（图中AE部分）在护旗手开始走正步的点A处测得旗杆顶部D的仰角为22°，在护旗手结束走正步的点B处测得旗杆顶部D的仰角为45°，又测量得到A，B两点间的距离是30米，求旗杆DC的高度．（结果精确到整数米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）25．（8分）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延长OA至点C，使AC ＝8，连接BC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BA，与⊙O交于点E，作弦BF ＝BE，连接EF，与BO的延长线交于点D．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求EF的长．26．（8分）问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．若点P是边AC上一点，则BP的最小值为；问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，点E是BC的中点．若点P 是边AC上一点，试求PB+PE的最小值；问题解决（3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD＝2000米，CD＝1000米，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时BE，DF的长．（路面宽度忽略不计）27．（10分）【概念发现】（1）对于平面上的图形S，将其绕某定点A逆时针旋转角度α，得到图形S'，我们记为图形S的（A，α）旋转变换，若在另一图形T上存在一动点C，图形S'上存在一动点D，记CD长度的最大值为S、T两图形旋转变换后的极大距离，记为H（S，T），记CD长度的最小值为S、T两图形旋转变换后的极小距离，记为h（S，T）．例如，图1中，平面直角坐标系中，M（9，1），N（5，﹣1），记线段MN为图形S，线段MN绕点P（5，1）逆时针旋转90°，得到线段M'N'，记线段M'N'为图形S'，则图形S 的（，°）旋转变换得到图形S'，此时M'、N'坐标分别为M'（5，5），N'（7，1），记原点O为图形T，因为原点O到M'、N'两点的距离相等，都是，而原点O到线段M'N'的距离OD长为，所以H（S，T）是，h（S，T）是．【理解应用】（2）如图2，△BCD在坐标平面内，B（4，0），C（6，0），D（6，3），记△BCD为图形S，点A（3，0）为图形T，图形S的（O，90°）旋转变换得到图形S'，则H（S，T）＝，h（S，T）＝．【拓展延伸】（3）如图3，⊙P在坐标平面内，半径为2，圆心P（6，0），A（1，0）、B （﹣1，0）记⊙P为图形S，线段AB记为图形T，图形S的（O，60°）旋转变换得到图形S'，求H（S，T）与h（S，T）的值；【思维提升】（4）如图4，A（﹣3，0）、B（3，0），将函数在第一象限的图象记为图形S，线段AB记为图形T，图形S的（O，60°）旋转变换得到图形S'，直接写出h（S，T）＝．28．（10分）已知：如图，抛物线y＝mx2+4mx+3（m＞0）交x轴于E、F两点，交y轴于A 点，直线AE：y＝x+b交x轴于E点，交y轴于A点．（1）求抛物线的解析式；（2）若Q为抛物线上一点，连接QE，QA，设点Q的横坐标为t（t＜﹣3），△QAE的面积为S，求S与t函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，点M在线段QA上，点N是位于Q、E两点之间的抛物线上一点，S＝15，∠QMN＝∠AEM，且MN＝EM，求点N的坐标．2023年江苏省常州市武进区前黄实验学校中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．【解答】解：﹣21的绝对值为21，故选：A．【点评】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，0的绝对值为0，负数的绝对值等于它的相反数．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：数据500000用科学记数法表示为5×105．故选：D．【点评】本题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】直接把点P（3，2）代入反比例函数y＝（k≠0）求出k的值，进而可得出结论．【解答】解：∵点P（3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝3×2＝6，A、∵﹣3×（﹣2）＝6，∴此点在该函数图象上，故本选项正确；B、∵3×（﹣2）＝﹣6，∴此点不在该函数图象上，故本选项错误；C、∵﹣2×3＝﹣6，∴此点不在该函数图象上，故本选项错误；D、∵2×（﹣3）＝﹣6，∴此点不在该函数图象上，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．4．【分析】根据新运算公式，得：2x+4x＝18，即x＝3．【解答】解：∵，∴2x+4x＝18，即：x＝3，故选：C．【点评】本题主要考查了有理数的定义新运算．5．【分析】连接CD，由AD是⊙O的直径，得∠ACD＝90°，又∠CAD＝∠B，可得∠ADC+∠B＝90°，而∠ADC＝∠B，故△ACD是等腰直角三角形，即可求出答案．【解答】解：连接CD，如图：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，∵∠CAD＝∠B，∴∠ADC+∠B＝90°，∵＝，∴∠ADC＝∠B，∴∠ADC＝45°＝∠B，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC＝＝＝4，故选：B．【点评】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和等腰直角三角形三边的关系．6．【分析】把A，B展到同一个平面内，用勾股定理即可得到答案．【解答】解：需要爬行的最短路程即为线段AB的长，如图：∵正方体棱长为1，∴BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴需要爬行的最短路程为；故选：C．【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是把A，B展到同一个平面内，求出线段AB的长度．7．【分析】利用二次函数的性质，抛物线与x轴有2个交点，与y轴的交点不在负半轴上，即Δ＞0，且3m﹣1≥0，然后解不等式组即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+3m﹣1经过第一、二、三象限，∴Δ＝（2）2﹣4（3m﹣1）＞0且3m﹣1≥0，解得≤m＜2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．8．【分析】设小正方形边长为1，QY＝x，则QM＝x+1，利用面积法求出，再由平行线的性质得到∠QTY＝∠QPM，则．【解答】解：设小正方形边长为1，QY＝x，则QM＝QY+MY＝x+1，∵线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，∴，∴，∴，∴，∴，∵TY∥PM，∴∠QTY＝∠QPM，∴，故选：B．【点评】本题主要考查了求一个角的正切值，正确根据面积法求出是解题的关键．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）9．【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，进行求解即可．【解答】解：由题意，得：x+1≥0且x﹣2≠0，∴x≥﹣1且x≠2；∴x的取值范围是x≥﹣1且x≠2；故答案为：x≥﹣1且x≠2．【点评】本题考查代数式有意义．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，是解题的关键．10．【分析】先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：4x2﹣8x+4＝4（x2﹣2x+1）＝4（x﹣1）2．故答案为：4（x﹣1）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．11．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k+2≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+2）×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k+2≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（k+2）×（﹣1）≥0，解得k≥﹣3且k≠﹣2，所以实数k的取值范围是k≥﹣3且k≠﹣2．故答案为：k≥﹣3且k≠﹣2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根．12．【分析】根据矩形和平行四边形的性质可得：AD∥BC∥A'D'，CD⊥BC，AB＝CD＝CD'＝4，AD＝BC＝A'D'＝5，从而得出CD⊥A'D'，根据中点的定义即可求出CE，然后根据勾股定理即可求出ED'，进而求出AE，最后根据梯形面积公式进行求解即可．【解答】解：∵矩形木框ABCD变形为平行四边形木框A'BCD'∴AD∥BC∥A'D'，CD⊥BC，AB＝CD＝CD'＝4，AD＝BC＝A'D'＝5，∴CD⊥A'D'∵点E为CD的中点，∴，在Rt△CED'中，根据勾股定理可得：，∴，∴，故答案为：．【点评】此题考查的是矩形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，掌握矩形的性质定理、平行四边形的性质定理、用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．13．【分析】作QD⊥AB，分点Q在CB上运动时，判断出点P在点B处，表示出BQ＝6﹣x，由直角三角形的性质表示出QD的长，利用三角形面积公式得出函数解析式即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝BC＝3cm，∴，∵动点P从点A出发，以的速度沿AB方向运动到点B，动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB方向运动到点B，∴当点Q在CB上运动，即3＜x≤6时，点P与点B重合，过点Q作QD⊥AB于点D，如图2所示：由题意知BQ＝6﹣x，∵∠C＝90°，AC＝BC＝3cm，∴，∴△QDB为等腰直角三角形，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握题意弄清两点的运动路线，根据点P、Q所在位置，得出函数解析式是解题的关键．14．【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，所以当OP⊥BC时，PO的值最小，利用等积法求出OP的长即可．【解答】解：∵直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝2；∴A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∴，∵直线y＝﹣2x+4与直线y＝kx交于点C，P在直线BC上运动，∴直线BC即为直线y＝﹣2x+4，∵点到直线的距离，垂线段最短，∴当OP⊥BC时，OP的值最小，∵，∴，∴；即PO的最小值为；故答案为：．【点评】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握点到直线的距离，垂线段最短是解题的关键．15．【分析】连接AC，AP，由菱形的性质可知△ABC是等边三角形，过点C作CG⊥AB于＝S△ABC，根据勾股定点G，过点P作PH⊥AB于点H，可得CG＝PH，继而得出S△ABP＝S菱形ABCD进理求出CG长度，再证明四边形BEFP是平行四边形，依据S平行四边形BEFP 行求解即可．【解答】解：如图，连接AC，AP，∵四边形ABCD是菱形中，∠D＝60°，∴AB＝BC＝4，∠D＝∠ABC＝60°，AB∥CD，∴△ABC是等边三角形，过点C作CG⊥AB于点G，过点P作PH⊥AB于点H，则CG＝PH，∵，，＝S△ABC，∴S△ABP∵CG⊥AB，∴，∴∵EF∥BP，EF＝BP，∴四边形BEFP是平行四边形，＝2S△ABP，∴S平行四边形BEFP＝2S△ABC，∵S菱形ABCD∴，故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定与性质以及三角形面积公式等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．16．【分析】根据勾股定理分别求出OA1，OA2，…，根据三角形的面积公式分别求出第一个、第二个、第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可．【解答】解：第1个三角形的面积×1×1＝，由勾股定理得，OA1＝＝，则第2个三角形的面积＝××1＝，OA2＝＝，则第3个三角形的面积××1＝，……，则第n个三角形的面积＝；∴第2023个三角形的面积＝＝；故答案为：．【点评】本题考查图形类规律探究．熟练掌握勾股定理，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．17．【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．可以求得b、c的值，从而可以得到抛物线的解析式，再根据关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根和二次函数与一元二次方程的关系，从而可以求得t的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．∴，得即抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当y＝t时，t＝x2﹣2x﹣3，即x2﹣2x﹣3﹣t＝0，∵关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，∴t＝x2﹣2x﹣3有实数根，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴当﹣1＜x≤4时，x＝1时，y有最小值﹣4，当x＝4时，y取得最大值5，∴t的取值范围是﹣4≤t＜5，故答案为：﹣4≤t＜5．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18．【分析】连接DO，OF，首先根据SSS定理，可以判定△DAO≌△DFO，从而可以得到∠DFO的度数，再根据折叠的性质可知∠DFE＝90°，从而可以得到点O、F、E三点共线，然后根据勾股定理，即可求得CE的长，再根据折叠的性质，可得DC⊥CF，利用解直角三角形，即可求解．【解答】解：如图：连接DO，OF，DE与CF相交于点G，∵四边形ABCD是正方形，将△DCE沿DE翻折得到△DEF，∴DC＝DA，DC＝DF，DE垂直平分CF，∴DA＝DF，在△DAO与△DFO中，．∴△DAO≌△DFO（SSS），∴∠A＝∠DFO，∵∠A＝90°，∴∠DFO＝90°，又∵∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFO＝∠DFE＝90°，∴点O、F、E三点共线，设CE＝EF＝x，则OE＝OF+EF＝1+x，BE＝2﹣x，OB＝1，∵∠OBE＝90°，∴∠OB2+BE2＝OE2，∴12+（2﹣x）2＝（1+x）2，解得，即，∵DE垂直平分CF，∴CF＝2CG，∠DGC＝90°，∵∠DCB＝90°，∴，∵，∴，解得，∴，故答案为：．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，求一个角的正弦值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三．解答题（共10小题，共84分）19．【分析】（1）先进行乘法运算，负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可；（2）根据分式的混合运算法则，进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝＝﹣10+4﹣2＝﹣8；（2）原式＝（）•＝＝a+1．【点评】本题考查二次根式的混合运算和分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20．【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）分别解出每一个不等式，找到它们的公共部分，即可得解．【解答】解：（1）x2﹣8x+12＝0，∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，∴x1＝2，x2＝6；（2）由不等式x+2＞﹣1，得x＞﹣3；由x﹣5≤3（x﹣1），得x≥﹣1；∴不等式组的解集为：x≥﹣1．【点评】本题考查解一元二次方程，解一元一次不等式组．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，正确的求出每一个不等式的解集是解题的关键．21．【分析】（1）由统计图可知视力为4.9的有12人，人数最多，所以众数为4.9；总人数为50，得到中位数应为第25与第26个的平均数，而第25个数和第26个数都是4.8，即可确定出中位数为4.8；（2）用视力低于4.7的人数除以50，再化为百分数即可；（3）用抽查中视力不低于4.8人数所占的百分比估计400人的情况即可．【解答】解：（1）由统计图可知众数为4.9；共有50人，中位数应为第25与第26个的平均数，而第25个数和第26个数都是4.8，∴中位数是4.8；故答案为：4.9，4.8；（2）由统计图可知，50人中视力低于4.7的有8人，∴视力低于4.7的人数占被抽查总人数的百分比为×100%＝16%；（3）由统计图可知，50人中视力不低于4.8的有34人，∴视力不低于4.8的人数占被抽查总人数的百分比为×100%＝68%，∴400名学生中，视力不低于4.8的人数为400×68%＝272（人），答：估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数为272人．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．22．【分析】（1）根据频率＝频数÷总数进行求解即可；（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．【解答】解：（1）由题意得，该硬币正面朝上的频率为，故答案为：0.6；（2）画树状图如下：由树状图可知一共有8种等可能性的结果数，其中掷出这三枚硬币所得数字之和是2的结果数有2种，∴掷出这三枚硬币所得数字之和是2的概率为．【点评】本题主要考查了求频率，树状图法求解概率，正确画出树状图是解题的关键．23．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠GFE＝∠FEC，根据折叠性质可知GE＝CE，CF＝GF，∠FEC＝∠GEF，根据等量代换得∠GFE＝∠GEF，再根据等角对等边即可证明GE ＝HF＝CE＝CF得到四边形GECF是菱形；（2）如图所示，过点F作FM⊥BC于M，则四边形FMCD是矩形，FM＝CD＝4，CM ＝DF；设GF长为x，则DF长为8﹣x，在Rt△FDC中，由勾股定理得，（8﹣x）2+42＝20，则＝x2解得x＝5，则CE＝GF＝5，CM＝DF＝3，即可得到EM＝2，S菱形GECF．【解答】解：（1）四边形GECF是菱形，理由如下：∵矩形纸片ABCD，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，由折叠的性质可得GE＝CE，CF＝GF，∠FEC＝∠GEF，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∴GE＝HF＝CE＝CF，∴四边形GECF是菱形．（2）如图所示，过点F作FM⊥BC于M，则四边形FMCD是矩形，∴FM＝CD＝4，CM＝DF；设GF长为x，则DF长为8﹣x，在Rt△FDC中，由勾股定理得CF2＝CD2+DF2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴CE＝GF＝5，CM＝DF＝3，＝CE⋅FM＝5×4＝20，∴EM＝2，S菱形GECF∴．【点评】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．24．【分析】延长EF交CD于G，在Rt△DGE中求得EG≈2.5DG，然后根据EG﹣GF＝EF 求出DG的长，进而可求出求旗杆DC的高度．【解答】解：延长EF交CD于G，则∠DGF＝90°，由题意可知，EF＝AB＝30米，CG ＝AE＝1.7米．∵∠DEF＝22°，∠DFG＝45°，在Rt△DGF中，DG＝GF，在Rt△DGE中，，∴，∵EG﹣GF＝EF，∴2.5DG﹣DG＝30，解得DG＝20，则DC＝DG+CG＝20+1.7≈22（米）．所以旗杆DC的高度大约是22米．【点评】此题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解答本题的关键．25．【分析】（1）根据题意可得，∠OAB＝∠BAC＝90°，以此推出△OAB∽△BAC，根据相似三角形的性质可得∠BOA＝∠ABC，以此得到∠OBA+∠ABC＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）过点O作OG⊥BF于点G，根据题意可证明Rt△BOG≌Rt△BOA，以此得到BD 平分∠FBE，则BD⊥EF，DF＝DE，再根据sin∠OBA＝＝＝，以此即可求解．【解答】（1）证明：∵OA＝2，AB＝4，AC＝8，∴，∵∠OAB＝∠BAC＝90°，∴△OAB∽△BAC，∴∠BOA＝∠ABC，∵∠OBA+∠BOA＝90°，∴∠OBA+∠ABC＝90°，即∠OBC＝90°，∵OB为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：如图，过点O作OG⊥BF于点G，∵OG⊥BF，OA⊥BE，弦BF＝BE，∴BG＝AB，∵OB＝OB，∴Rt△BOG≌Rt△BOA（HL），∴∠FBD＝∠EBD，即BD平分∠FBE，∵BF＝BE，即△BEF为等腰三角形，∴BD⊥EF，DF＝DE，∵OA＝2，AB＝4，∴，在Rt△ABO中，sin∠OBA＝＝，在Rt△BDE中，sin∠DBE＝，∴DE＝∴EF＝．【点评】本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂径定理，熟练运用相关知识答题时解题关键．26．【分析】（1）过B作BP⊥AC于P，由垂线段最短可知，BP⊥AC时，BP的值最小，由面积法可得BP＝＝＝；（2）作E关于直线AC的对称点E'，连接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，由E，E'关于直线AC对称，可知PB+PE＝PB+PE'，而B，P，E'共线，故此时PB+PE最小，最小值为BE'的长度，根据∠B＝90°，AB＝BC＝2，点E是BC的中点，可得CE＝CE'＝1，∠BCE'＝90°，再用勾股定理可得答案；（3）作C关于AD的对称点M，连接DM，CM，CM交AD于H，作C关于AB的对称点N，连接BN，延长DC，AB交于G，连接NG，连接MN交AB于E，交AD于F，由C，N关于AB对称，C，M关于AD对称，CE＝NE，CF＝MF，又N，E，F，M共线，知此时CE+EF+CF最小，根据∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°，可得∠ADC＝60°，∠MCD＝∠CMD＝30°，即得DH＝CD＝500米，CH＝MH＝DH＝500米，CM＝1000米，由∠ADC＝60°，∠A＝60°，知△ADG是等边三角形，从而CG ＝DG﹣CD＝1000米，同理可得CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°，即得BG＝CG＝500米，BC＝BN＝BG＝500米，故CN＝1000米＝CM，知∠CNM＝∠CMN＝30°，在Rt△BNE中，BE＝＝＝500米，在Rt△MHF中，FH＝＝＝500米，即得DF＝FH+DH＝1000米．【解答】解：（1）过B作BP⊥AC于P，如图：由垂线段最短可知，BP⊥AC时，BP的值最小，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，＝AB•BC＝AC•BP，∵2S△ABC∴BP＝＝＝，故答案为：；（2）作E关于直线AC的对称点E'，连接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，如图：∵E，E'关于直线AC对称，∴PE＝PE'，∴PB+PE＝PB+PE'，∵B，P，E'共线，∴此时PB+PE最小，最小值为BE'的长度，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴∠ACB＝45°，∵点E是BC的中点，∴CE＝1，∵E，E'关于直线AC对称，∴∠ACE'＝∠ACB＝45°，CE＝CE'＝1，∴∠BCE'＝90°，在Rt△BCE'中，BE'＝＝＝，∴PB+PE的最小值为；（3）作C关于AD的对称点M，连接DM，CM，CM交AD于H，作C关于AB的对称点N，连接BN，延长DC，AB交于G，连接NG，连接MN交AB于E，交AD于F，如图：∵C，N关于AB对称，C，M关于AD对称，∴CE＝NE，CF＝MF，∴CE+EF+CF＝NE+EF+MF，∵N，E，F，M共线，∴此时CE+EF+CF最小，∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°，∴∠ADC＝60°，∵C，M关于AD对称，∴∠MDH＝∠CDH＝60°，∠CHD＝∠MHD＝90°，CD＝MD＝1000米，∴∠MCD＝∠CMD＝30°，∴DH＝CD＝500米，CH＝MH＝DH＝500米，∴CM＝1000米，∵∠ADC＝60°，∠A＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴DG＝AD＝2000米，∴CG＝DG﹣CD＝1000米，∵∠BCD＝150°，∴∠BCG＝30°，∵C，N关于AB对称，∠ABC＝90°，∴C，B，N共线，CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°，∴BG＝CG＝500米，BC＝BN＝BG＝500米，∴CN＝1000米＝CM，∴∠CNM＝∠CMN，∵∠BCD＝150°，∠MCD＝30°，∴∠NCM＝120°，∴∠CNM＝∠CMN＝30°，在Rt△BNE中，BE＝＝＝500（米），在Rt△MHF中，FH＝＝＝500（米），∴DF＝FH+DH＝500+500＝1000（米），答：BE的长为500米，DF的长为1000米．【点评】本题考查四边形综合应用，涉及等腰直角三角形，含30°角的直角三角形三边的关系，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题．27．【分析】（1）根据题意即可得出结果；（2）根据题意确定图形S'，分别求出点A到图形S'的三个顶点和三边的距离，即可得出结果；（3）根据旋转的性质求出图形S'的圆心坐标，再分别求出图形S'到点A、B的距离和线段AB的距离，即可得出结果；（4）函数在第一象限的图象记为图形S，线段AB记为图形T，图形S的（O，60°）旋转变换得到图形S'，可得图形S'在第二象限且两图形的对称点到线段AB的距离最短，设点C的坐标为：，构造直角三角形，利用勾股定理和直角三角形的性质求解即可求出结果．【解答】解：（1）根据题意可得：图形S的（P，90°）旋转变换得到图形S'；故答案为：P，90；（2）图形S的（O，90°）旋转变换得到图形S'，如图2所示：根据旋转的性质得：B'（0，4）、C'（0，6）、D'（﹣3，6），∵，，，∴点A分别到B'、C'、D'的距离为：5、、，连接B'C，过点A作AE⊥B′C于点E，∵∠AEC＝∠B'OC＝90°，∠B'CO＝∠ACE，∴△AEC∽△B'OC，∴，AC＝3，，∴，∴∴点A到B′C′的距离为：3；点A到D′C′的距离为：6；点A到D'B'的距离为：，∴，h（S，T）＝5，故答案为：；5．（3）图形S的（O，60°）旋转变换得到图形S'，如图所示：设图形S'的圆心为点P'，连接OP'、P'P，过点P'作P'H⊥OP，交⊙P'于点N，由旋转的性质可得：∠P'OP＝60°，OP'＝OP＝6，∴△P'OP是等边三角形，∴，∠P'HO＝90°，∴，∴点P'的坐标为：，连接BP'，并延长BP'交⊙P'于点F、G，连接AP′，并延长AP′交⊙P'于点M、D，∵，，∴，，，，，∴图形S'到点A、B的距离为：、，、，图形S'到线段AB的距离为：，∴，h（S，T）＝﹣2，（4）图形S的（O，60°）旋转变换得到图形S'，当函数在第一象限上一点C绕点A旋转60°，在图形S'得到点C'，点C与点C'关于y轴对称，图形S'到线段AB的距离最短，设点C的坐标为：，过点C作CE⊥x轴，CF⊥y轴，∵，∠CEO＝90°，∴OC＝2x，在Rt△CEO中，CE2+OE2＝OC2，即，解得：x＝2，∴点C的坐标为：，点C'的坐标为：，．故答案为：2．【点评】本题考查了新定义、旋转的性质、平面直角坐标系中点的特征、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转的性质和理解新定义解题的关键．28．【分析】（1）先求出一次函数解析式，再将E（﹣3，0）代入二次函数解析式求解即可；（2）利用梯形面积减去两个直角三角形的面积即可求解；（3）先求出直线AQ的解析式，分别过点Q，点N作x轴的垂线，分别过与点A，点M作的x轴的平行线分别交于点K，点H，过点M作x轴的垂线，垂足为G，通过证明△NHM≌△EGM（AAS），根据全等三角形的性质可得NH＝EG，MH＝MG，设N（n，n2+4n+3），M（m，﹣m+3），建立方程求解即可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，∴A（0，3），将A（0，3）代入y＝x+b中，得b＝3，∴y＝x+3，0＝x+3，∵E（﹣3，0），将E（﹣3，0）代入y＝mx2+4mx+3得9m﹣12m+3＝0，解得m＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3；（2）令y＝x2+4x+3＝0，解得x＝﹣3或﹣1，∴F（﹣1，0），∴OF＝1，过点Q作QB⊥EF于B，如图，∴Q（t，t2+4t+3），∴OB＝﹣t，BQ＝t2+4t+3，∵A（0，3），E（﹣3，0），∴OA＝3，BE＝﹣3﹣t，﹣S△BQE﹣S△AOF∴S＝S梯形AQBO＝＝，即；（3）当时，解得t＝﹣5（正值舍去），当x＝﹣5时，y＝8，∴Q（﹣5，8），设直线AQ的解析式为：y＝kx+b，∴，解得，∴直线AQ的解析式为：y＝﹣x+3，如图，分别过点Q，点N作x轴的垂线，分别过与点A，点M作的x轴的平行线分别交于点K，点H，过点M作x轴的垂线，垂足为G，∵A（0，3），∴QA＝KA＝5，∵∠QKA＝90°，∴∠KAQ＝90°，∵MH∥AK，∴∠QMH＝∠QAK＝45°，∴∠NMH＝45°﹣∠QMN，∵∠NHM＝90°，∴∠HNM＝45°+∠QMN，∵A（0，3），E（﹣3，0），∴OA＝OE＝3，∴∠AEO＝45°，∴∠MEO＝45°+∠MEA，∵∠QMN＝∠AEM，∴∠HNM＝∠MEG，∵∠NHM＝∠EGM＝90°，MN＝EM，∴△NHM≌△EGM（AAS），∴NH＝EG，MH＝MG，设N（n，n2+4n+3），M（m，﹣m+3），∴NH＝n2+4n+3﹣（﹣m+3）＝n2+4n+m，MH＝m﹣n，MG＝﹣m+3，EG＝m+3，∴m﹣n＝﹣m+3，n2+4n+m＝m+3，∴（负值舍去），∴n2+4n+3＝6∴．【点评】本题考查了求一次函数解析式，求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，二次函数与几何综合等，熟练掌握知识点是解题的关键．。
2022年江苏省常州市中考数学二模试题附解析
2022年江苏省常州市中考数学二模试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．已知两圆半径分别为1与5，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 2． 圆的半径为 r ，则它的 120°的圆心角所对的弧长为（ ） A ．16r π B ．13r π C ．23r π D ．43r π3．根据下列条件能画出唯一△ABC 的是 （ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，AC ＝8B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，AB ＝6 4．如果6(6)x x x x ⋅-=-，那么x 满足（ ） A ．0x ≥B ．6x ≥C ．06x ≤≤D ． x 为一切实数 5．在①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形中，能找到一点，使这一点到各边距离相等的图形是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④6．计算200820090.04(25)⨯-的结果正确的是（ ） A ．2009 B ． -25 C ．1 D ．-17．计算-4a （2a 2+3a-1）的结果是（ ）A ．-8a 3+12a 2-4aB ．-8a 3-12a 2+1C ．-8a 3-12a 2+4aD ．8a 3+12a 2+4a 8．如图①，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a b >），再沿黑线剪开，然后拼成一个梯形，如图②，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（ ）A ．22()()a b a b a b -=+-B ．222()2a b a ab b +=++C ．222()2a b a ab b -=-+D ．222()a b a b ⋅-=-9．当x=－1时，代数式122++x x 的值是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．4 10．下列说法中，错误的是（ ）A ．-1 的立方根是-1B ．-1的立方是-1C ．-1的平方是 1D ．-1的平方根是-1二、填空题11．在图中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是 ． 12．把抛物线y ＝2(x ＋1)2向下平移______单位后,所得抛物线在x 轴上截得的线段长为2 213．已知直线32x y =+与两个坐标轴交于A 、B 两点，把二次函数24x y =-的图象先左右、后上下作两次平移后，使它通过A 、B ，那么平移后的图象的顶点坐标是 ．解答题14．用因式分解法解一元二次方程时，方程应具备的特征是： ．15． 若一个正三角形的路标的面积为23，则它的边长为 ．16．若4y －3x=0 ,则yy x += ． 17．已知一个长方形的边长为a 、b ，它的周长为14，面积为10，则a 2b+ab 2的值为 .18．已知正方形的面积是2269y xy x ++ （x>0，y>0）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 ．19．如图，∠BAC=800，∠ACE=1400，则∠ABD= 度．20．观察图形：其中是轴对称图形的是 (填序号) .21．下列数对：①02x y =⎧⎨=⎩；②20x y =⎧⎨=⎩；③11x y =⎧⎨=-⎩；④52x y =⎧⎨=⎩；⑤43x y =⎧⎨=⎩．其中属于方程0x y += 的解是 ，属于方程2x y +=的解是 ，属于方程11243x y +=的解是 ．(填序号) 22．如图中的图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而戍，拼搭第1个图案需 4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒……依此规律，拼搭第8个图案需 根小木棒.23．在每周一次的市长接待日中，各种问题都有所反映，一个月后进行统计发现，有下列一张统计图，则在这一个月内接待了300人次时，反映中小学收费的有 人次，反映土地审批的有 人次，反映房产质量的有 人次，反映婚姻纠纷的有 人次，反映停车问题的有 人次．24．如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的整数，那么 a+b= ．三、解答题25．已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，在正方形ABCD 外有一点E ，满足∠ABE ＝∠CBP ，BE ＝BP ，(1) 求证：△CPB ≌△AEB ；(2) 求证：PB ⊥BE ；(3) 若PA ∶PB ＝1∶2，∠APB ＝135°,求PA ∶AE 的值．26．如图，已知AOB OA OB ∠=，，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB ∠的平分线（请保留画图痕迹）．27．已知y+n 与x+m(m ，n 是常数)成正比例关系．(1)试判断y 是否是x 的一次函数，并说明理由；(2)若x=2，y=3；x=-2，y=1，求y 与x 之间的函数解析式．28．如图，在△ABC 中，∠ABC= 50°，∠ACB=70°，延长 CB 至D使 BD=BA，延长 BC 至E使 CE=CA. 连结 AD、AE，求△ADE 各内角的度数.29．解方程组：（1）35366x yx y+=⎧⎨-=⎩；（2）4423216x yx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩30．用计算器计算：（1）23π⨯（保留1位小数）（2）5 1.43 4.25÷-÷（精确到0.01）【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．C3．C4．B5．C6．B7．C8．A9．C10．D二、填空题11．外离12．13．(—2，4)14．A B⋅=15．2216．717．37018．3x+y19．12020．①②③④⑥21．③，①②，⑤22．8823．30，60，120，30，6024．1三、解答题25．解（1） 正方形ABCD，∴AB=BC， ∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，∴△CPB≌△AEB (2） ∠ABC＝∠CBP+∠ABP＝90°，∠PBE＝∠EBA+∠ABP而∠ABE＝∠CBP，∴∠ABC＝∠PBE=90°，∴PB⊥BE．(3）连结PE， △CPB≌△AEB ∴PB=EB PB⊥BE，∴△EPB为等腰直角三角形，∴∠BPE＝∠BEP=45°，∠APB ＝135°，∴∠APE ＝90°，PA ∶PB ＝1∶2，设PA=x ，则PB=2x ，PE=x 22，∴由勾股定理得AE=22)22(x x +=3x ，∴PA ∶AE=x ∶3x =1∶3． 26．连结AB 、EF 相交于点P ，连结OP ，OP 就是所求的AOB ∠的平分线（图略）． 27．(1)是，理由略；(2)122y x =+28．∠D=25°，∠E=35°，∠DAF=120°29． (1)16535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；(2)84x y =⎧⎨=⎩30．（1）28.3；（2）2.87。
江苏省常州市教育会重点中学2024届中考二模数学试题含解析
江苏省常州市教育会重点中学2024届中考二模数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（）A．10°B．12.5°C．15°D．20°2．下列各数中，相反数等于本身的数是（）A．–1 B．0 C．1 D．23．下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（）A．B．C．D．4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，AD=7，BF=6，则四边形ABEF的面积为（）A．48 B．35 C．30 D．245．下列说法不正确的是（）A．某种彩票中奖的概率是11000，买1000张该种彩票一定会中奖B．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查C．若甲组数据的标准差S甲=0.31，乙组数据的标准差S乙=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定D．在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件6．一元二次方程x2+2x﹣15=0的两个根为（）A．x1=﹣3，x2=﹣5 B．x1=3，x2=5C．x1=3，x2=﹣5 D．x1=﹣3，x2=57．为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（）A．80 B．被抽取的80名初三学生C．被抽取的80名初三学生的体重D．该校初三学生的体重8．计算111xx x---结果是( )A．0 B．1 C．﹣1 D．x9．学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：得分（分）60 70 80 90 100人数（人）7 12 10 8 3则得分的众数和中位数分别为（）A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分10．下列各式计算正确的是（）A．a+3a=3a2B．(–a2)3=–a6C．a3·a4=a7D．(a+b)2=a2–2ab+b211．估计10﹣1的值在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间12．下列计算正确的是（）A．2a a=B．（﹣a2）3=a6C．981-=D．6a2×2a=12a3二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如果一个矩形的面积是40，两条对角线夹角的正切值是43，那么它的一条对角线长是__________．14．若221 6a b-=，13a b-=，则+a b的值为________ .15．如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案5是由个组成的，依此，第n个图案是由个组成的．16．如图，边长为6cm 的正三角形内接于⊙O ，则阴影部分的面积为（结果保留π）_____．17．对于函数6y x=，若x ＞2，则y ______3（填“＞”或“＜”）． 18．对于实数a ，b ，我们定义符号max {a ，b }的意义为：当a ≥b 时，max {a ，b }＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b ]＝b ；如：max {4，﹣2}＝4，max {3，3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max {x +3，﹣x +1}，则该函数的最小值是_____． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a 、b 、c （如图），求作线段x ，使::a b c x =他的作法如下：（1）以点O 为端点画射线OM ，ON ． （2）在OM 上依次截取OA a =，AB b =． （3）在ON 上截取OC c =．（4）联结AC ，过点B 作//BD AC ，交ON 于点D ． 所以：线段________就是所求的线段x ． ①试将结论补完整②这位同学作图的依据是________③如果4OA =，5AB =，AC π=，试用向量π表示向量DB ．20．（6分）如图，轮船从点A 处出发，先航行至位于点A 的南偏西15°且点A 相距100km 的点B 处，再航行至位于点A 的南偏东75°且与点B 相距200km 的点C 处． （1）求点C 与点A 的距离（精确到1km ）； （2）确定点C 相对于点A 的方向． （参考数据：）21．（6分）如图有A 、B 两个大小均匀的转盘，其中A 转盘被分成3等份，B 转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k ，将B 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b ．请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；求一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、四象限的概率．22．（8分）如图所示，一堤坝的坡角62ABC ∠=︒，坡面长度25AB =米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角50ADB ∠=︒，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01 米)(参考数据：sin620.88︒≈，cos620.47︒≈，tan50 1.20︒≈)23．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是1-，且与y 轴交于点()B 0,1-，点P 为抛物线上一点．()1求抛物线的表达式；()2若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q.如果OP OQ =，求点Q 的坐标．24．（10分）如图，直线4y x =+与双曲线0ky k x=≠（）相交于1A a -（，）、B 两点. (1)a = ，点B 坐标为 ．(2)在x 轴上找一点P ，在y 轴上找一点Q ，使BP PQ QA ++的值最小，求出点P Q 、两点坐标25．（10分）如下表所示，有A 、B 两组数： 第1个数 第2个数 第3个数 第4个数 …… 第9个数 …… 第n 个数 A 组 ﹣6 ﹣5 ﹣2 …… 58 …… n 2﹣2n ﹣5 B 组14710……25……（1）A 组第4个数是 ；用含n 的代数式表示B 组第n 个数是 ，并简述理由；在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等，请说明．26．（12分）如图，在⊙O 中，AB 是直径，点C 是圆上一点，点D 是弧BC 中点，过点D 作⊙O 切线DF ，连接AC 并延长交DF 于点E ． （1）求证：AE ⊥EF ；（2）若圆的半径为5，BD ＝6 求AE 的长度．27．（12分）如图，在ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE,试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解题分析】试题分析：根据三角形的三线合一可求得∠DAC及∠ADE的度数，根据∠EDC=90°-∠ADE即可得到答案．∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∵AD=AE（已知），∴∠ADE=75°∴∠EDC=90°-∠ADE=15°．故选C．考点：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理点评：解答本题的关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．2、B根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【题目详解】解：相反数等于本身的数是1．故选B．【题目点拨】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，1的相反数是1．3、C【解题分析】解：圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正方形，圆锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是宽相等两个相连的矩形．故选C．4、D【解题分析】分析：首先证明四边形ABEF为菱形，根据勾股定理求出对角线AE的长度，从而得出四边形的面积．详解：∵AB∥EF，AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形，∵BF平分∠ABC，∴四边形ABEF为菱形，连接AE交BF于点O，∵BF=6，BE=5，∴BO=3，EO=4，∴AE=8，则四边形ABEF的面积=6×8÷2=24，故选D．点睛：本题主要考查的是菱形的性质以及判定定理，属于中等难度的题型．解决本题的关键就是根据题意得出四边形为菱形．5、A【解题分析】试题分析：根据抽样调查适用的条件、方差的定义及意义和可能性的大小找到正确答案即可．试题解析：A、某种彩票中奖的概率是11000，只是一种可能性，买1000张该种彩票不一定会中奖，故错误；B、调查电视机的使用寿命要毁坏电视机，有破坏性，适合用抽样调查，故正确；C、标准差反映了一组数据的波动情况，标准差越小，数据越稳定，故正确；D、袋中没有黑球，摸出黑球是不可能事件，故正确．故选A．考点：1.概率公式；2.全面调查与抽样调查；3.标准差；4.随机事件．6、C【解题分析】运用配方法解方程即可.解：x2+2x﹣15= x2+2x+1-16=(x+1)2-16=0，即(x+1)2=16，解得，x1=3，x2=-5.故选择C.【题目点拨】本题考查了解一元二次方程，选择合适的解方程方法是解题关键.7、C【解题分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【题目详解】样本是被抽取的80名初三学生的体重，故选C．【题目点拨】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．8、C【解题分析】试题解析：11(1)1 1111x x xx x x x----===-----.故选C.考点：分式的加减法.9、C【解题分析】解：根据表格中的数据，可知70出现的次数最多，可知其众数为70分；把数据按从小到大排列，可知其中间的两个的平均数为80分，故中位数为80分．故选C．【题目点拨】本题考查数据分析．10、C【解题分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式逐项计算即可.A. a+3a=4a，故不正确；B. (–a2)3=（-a）6，故不正确；C. a3·a4=a7，故正确；D. (a+b)2=a2+2ab+b2，故不正确；故选C.【题目点拨】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.11、B【解题分析】<<.【题目详解】<<∴34<<，∴213<<﹣1的值在2和3之间.故选B.【题目点拨】的大小，在确定答案的范围.12、D【解题分析】根据平方根的运算法则和幂的运算法则进行计算，选出正确答案.【题目详解】=，A选项错误；（﹣a2）3=- a6，B3a=-C错误；. 6a2×2a=12a3，D正确；故选：D. 【题目点拨】本题考查学生对平方根及幂运算的能力的考查，熟练掌握平方根运算和幂运算法则是解答本题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1．如图，作BH⊥AC于H．由四边形ABCD是矩形，推出OA=OC=OD=OB，设OA=OC=OD=OB=5a，由tan∠BOH43BHOH==，可得BH=4a，OH=3a，由题意：212⨯⨯1a×4a=40，求出a即可解决问题．【题目详解】如图，作BH⊥AC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OD=OB，设OA=OC=OD=OB=5a．∵tan∠BOH43BHOH==，∴BH=4a，OH=3a，由题意：212⨯⨯1a×4a=40，∴a=1，∴AC=1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．14、-12．【解题分析】分析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a﹣b的值代入即可求出a+b的值．详解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=16，a﹣b=13，∴a+b=12．故答案为12．点睛：本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．15、16，3n+1．【解题分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多3个基础图形，然后写出第5个和第n个图案的基础图形的个数即可．【题目详解】由图可得，第1个图案基础图形的个数为4，第2个图案基础图形的个数为7，7=4+3，第3个图案基础图形的个数为10，10=4+3×2，…，第5个图案基础图形的个数为4+3(5−1)=16，第n 个图案基础图形的个数为4+3(n −1)=3n +1.故答案为16，3n +1.【题目点拨】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图像发现规律是解题的关键.16、（4π﹣33）cm 1 【解题分析】 连接OB 、OC ，作OH ⊥BC 于H ，根据圆周角定理可知∠BOC 的度数，根据等边三角形的性质可求出OB 、OH 的长度，利用阴影面积=S 扇形OBC -S △OBC 即可得答案【题目详解】：连接OB 、OC ，作OH ⊥BC 于H ，则BH=HC= BC= 3，∵△ABC 为等边三角形，∴∠A=60°，由圆周角定理得，∠BOC=1∠A=110°，∵OB=OC ，∴∠OBC=30°，∴OB=cos OBCBH ∠=13 ，OH=3， ∴阴影部分的面积= 2120(23)360π⨯﹣12×6×3=4π﹣33 ，故答案为：（4π﹣3cm 1．【题目点拨】本题主要考查圆周角定理及等边三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；熟练掌握圆周角定理是解题关键.17、<【解题分析】根据反比例函数的性质即可解答.【题目详解】当x ＝2时，632y ==， ∵k ＝6时，∴y 随x 的增大而减小∴x ＞2时，y ＜3故答案为：＜【题目点拨】此题主要考查了反比例函数的性质,解题的关键在于利用反比例函数图象上点的坐标特点判断函数值的取值范围 . 18、2【解题分析】试题分析：当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y=x+3，∴当x=﹣1时，y min =2，当x+3＜﹣x+1，即：x ＜﹣1时，y=﹣x+1，∵x ＜﹣1，∴﹣x ＞1，∴﹣x+1＞2，∴y ＞2，∴y min =2，三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、①CD ；②平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③94DB π=-.【解题分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证OAC OBD ∆∆∽得OA AC OB BD =，即94BD AC =，从而知999DB CA AC 444π==-=-． 【题目详解】①∵//BD AC ，∴OA ：AB=OC ：CD ，∵OA a =，AB b =，OC c =，::a b c x =，∴线段CD 就是所求的线段x ，故答案为：CD②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例； 故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵4OA =、5AB =，且//BD AC ，∴OAC OBD ∆∆∽， ∴OA AC OB BD =，即49AC BD=， ∴94BD AC =， ∴999444DB CA AC π==-=-． 【题目点拨】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定及向量的计算．20、（1）173；（2）点C 位于点A 的南偏东75°方向．【解题分析】试题分析：（1）作辅助线，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，构造直角三角形，解直角三角形即可.（2）利用勾股定理的逆定理，判定△ABC 为直角三角形；然后根据方向角的定义，即可确定点C 相对于点A 的方向．试题解析：解：（1）如答图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ．由图得，∠ABC=75°﹣10°=60°．在Rt △ABD 中，∵∠ABC=60°，AB=100，∴BD=50，AD=50．∴CD=BC ﹣BD=200﹣50=1．在Rt △ACD 中，由勾股定理得：AC=（km ）．答：点C 与点A 的距离约为173km ．（2）在△ABC 中，∵AB 2+AC 2=1002+（100）2=40000，BC 2=2002=40000，∴AB 2+AC 2=BC 2. ∴∠BAC=90°.∴∠CAF=∠BAC ﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．答：点C 位于点A 的南偏东75°方向．考点：1.解直角三角形的应用（方向角问题）；2. 锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4. 勾股定理和逆定理．21、（1）答案见解析；（2）13．【解题分析】（1）k可能的取值为-1、-2、-3，b可能的取值为-1、-2、3、4，所以将所有等可能出现的情况用列表方式表示出来即可．（2）判断出一次函数y=kx+b经过一、二、四象限时k、b的正负，在列表中找出满足条件的情况，利用概率的基本概念即可求出一次函数y=kx+b经过一、二、四象限的概率．【题目详解】解：（1）列表如下：所有等可能的情况有12种；（2）一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限时，k＜0，b＞0，情况有4种，则P=412=13．22、6.58米【解题分析】试题分析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DE﹣BE即可求解．试题解析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，∠ABE=62°．∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米，BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米，在Rt△ADE中，∠ADB=50°，∴DE==18米，∴DB=DE﹣BE≈6.58米．故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．23、()1为2y x 2x 1=+-；()2点Q 的坐标为()3,2--或()1,2-． 【解题分析】()1依据抛物线的对称轴方程可求得b 的值，然后将点B 的坐标代入线22y x x c =-+可求得c 的值,即可求得抛物线的表达式；()2由平移后抛物线的顶点在x 轴上可求得平移的方向和距离，故此4QP =，然后由点QO PO =，//QP y 轴可得到点Q 和P 关于x 对称，可求得点Q 的纵坐标，将点Q 的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x 的值，则可得到点Q 的坐标．【题目详解】()1抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是1-， b x 12a ∴=-=-，即b 121-=-⨯，解得b 2=． 2y x 2x c ∴=++．将()B 0,1-代入得：c 1=-，∴抛物线的解析式为2y x 2x 1=+-．()2抛物线向下平移了4个单位．∴平移后抛物线的解析式为2y x 2x 5=+-，PQ 4=．OP OQ =，∴点O 在PQ 的垂直平分线上．又QP //y 轴，∴点Q 与点P 关于x 轴对称．∴点Q 的纵坐标为2-．将y 2=-代入2y x 2x 5=+-得：2x 2x 52+-=-，解得：x 3=-或x 1=． ∴点Q 的坐标为()3,2--或()1,2-．【题目点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q 与点P 关于x 轴对称，从而得到点Q 的纵坐标是解题的关键．24、 (1)3a =，()31B -，；(1)()20P -，，()02Q ，. 【解题分析】（1）由点A 在一次函数图象上，将A （-1，a ）代入y=x+4，求出a 的值，得到点A 的坐标，再由点A 的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B 坐标；（1）作点A 关于y 轴的对称点A′，作点B 作关于x 轴的对称点B′，连接A′B′，交x 轴于点P ，交y 轴于点Q ，连接PB 、QA ．利用待定系数法求出直线A′B′的解析式，进而求出P 、Q 两点坐标．【题目详解】解：（1）把点A （-1，a ）代入一次函数y=x+4，得：a=-1+4，解得：a=3，∴点A 的坐标为（-1，3）．把点A （-1，3）代入反比例函数y=k x ， 得：k=-3，∴反比例函数的表达式y=-3x． 联立两个函数关系式成方程组得：43y x y x ＝＝+⎧⎪⎨-⎪⎩解得：13x y -⎧⎨⎩＝＝ 或31x y -⎧⎨⎩＝＝ ∴点B 的坐标为（-3，1）．故答案为3，（-3，1）；（1）作点A 关于y 轴的对称点A′，作点B 作关于x 轴的对称点B′，连接A′B′，交x 轴于点P ，交y 轴于点Q ，连接PB 、QA ，如图所示．∵点B 、B′关于x 轴对称，点B 的坐标为（-3，1），∴点B′的坐标为（-3，-1），PB=PB′，∵点A、A′关于y轴对称，点A的坐标为（-1，3），∴点A′的坐标为（1，3），QA=QA′，∴BP+PQ+QA=B′P+PQ+QA′=A′B′，值最小．设直线A′B′的解析式为y=mx+n，把A′，B′两点代入得：331 m nm n＝＝+⎧⎨-+-⎩解得：12mn⎧⎨⎩＝，＝∴直线A′B′的解析式为y=x+1．令y=0，则x+1=0，解得：x=-1，点P的坐标为（-1，0），令x=0，则y=1，点Q的坐标为（0，1）．【题目点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、轴对称中的最短线路问题，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标；（1）根据轴对称的性质找出点P、Q的位置．本题属于基础题，难度适中，解决该题型题目时，联立解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键．25、（1）3；（2）32n-，理由见解析；理由见解析（3）不存在，理由见解析【解题分析】（1）将n=4代入n2-2n-5中即可求解；（2）当n=1，2，3，…，9，…，时对应的数分别为3×1-2，3×2-2，3×3-2，…，3×9-2…，由此可归纳出第n个数是3n-2；（3）“在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等”，将问题转换为n2-2n-5=3n-2有无正整数解的问题．【题目详解】解：（1））∵A组第n个数为n2-2n-5，∴A组第4个数是42-2×4-5=3，故答案为3；（2）第n个数是32n-．理由如下：∵第1个数为1，可写成3×1-2；第2个数为4，可写成3×2-2；第3个数为7，可写成3×3-2；第4个数为10，可写成3×4-2； ……第9个数为25，可写成3×9-2； ∴第n 个数为3n -2；故答案为3n -2；（3）不存在同一位置上存在两个数据相等；由题意得，22532n n n --=-， 解之得，5372n ±= 由于n 是正整数，所以不存在列上两个数相等．【题目点拨】本题考查了数字的变化类，正确的找出规律是解题的关键．26、（1）详见解析；（2）AE ＝6.1．【解题分析】(1)连接OD ，利用切线的性质和三角形的内角和证明OD ∥EA ，即可证得结论；(2)利用相似三角形的判定和性质解答即可．【题目详解】(1)连接OD ，∵EF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF ，∵OD =OA ，∴∠ODA =∠OAD ，∵点D 是弧BC 中点，∴∠EAD =∠OAD ，∴∠EAD =∠ODA ，∴OD ∥EA ，∴AE⊥EF；(2)∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵圆的半径为5，BD=6∴AB=10，BD=6，在Rt△ADB中，22221068AD AB BD=-=-=，∵∠EAD=∠DAB，∠AED=∠ADB=90°，∴△AED∽△ADB，∴AD AE AB AD=，即8108AE=，解得：AE=6.1．【题目点拨】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及圆周角定理，关键是利用切线的性质和相似三角形判定和性质进行解答．27、（1）见解析；（1）见解析．【解题分析】（1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论．（1）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，∠1=∠1；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC，则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE⊥DF．【题目详解】解：（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF．∴∠1=∠1．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE，∵在△ADE与△BFE中，12DEA FEB AE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BFE（AAS）．（1）CE⊥DF．理由如下：如图，连接CE，由（1）知，△ADE≌△BFE，∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠1．∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠2．∴∠2=∠1．∴CD=CF．∴CE⊥DF．。
2021年江苏省常州市中考数学二模试卷(附答案详解)
2021年江苏省常州市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.−2的相反数是()A. 2B. −2C. 12D. −122.下列计算正确的是()A. m3+m2=m5B. (m3)2=m5C. m6÷m3=m3D. (mn)3=mn33.已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费()A. 17元B. 19元C. 21元D. 23元4.对于一组数据x1，x2，x3，…，x n，用算式S2=1n[(x1−5)2+(x2−5)2+(x3−5)2+⋯+(x n−5)2]计算方差，其中“5”是这组数据的()A. 最小值B. 众数C. 中位数D. 平均数5.若a>b，则()A. a−1≥bB. b+1≥aC. a+1>b−1D. a−1>b+16.如图，AB//CD，∠FGB=154°，FG平分∠EFD，则∠AEF的度数等于()A. 26°B. 52°C. 54°D. 77°7.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE=1.连接DE.过点D作DF⊥DE交BE于点F.则DF长度为()A. √2B. 2−√22C. 3√2−3 D. 1+√228.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点(0,m)，(2,n)，(p,1)和(3,−2)，则下列判断正确的是()A. m<nB. m<−3C. n<−2D. p<−1二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.8的立方根是______．10.分解因式：3xy−x2=______ ．11.在中，若sinA=12，则∠A=______°.12.芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为______ ．13.如果2x−y=3，那么代数式6x−3y+7的值为______ ．14.若点A(a,b−2)在第二象限，则点B(−a,b+1)在第______ 象限．15.在锐角△ABC中，∠ACB=60°，AB=2√7，BC=6，则∠B的正切值为______ ．16.电焊工用一个圆心角为120°，半径为24cm的扇形白铁片制作一个圆锥的侧面(假设焊接时缝隙宽度忽略不计)，则这个圆锥的底面半径为______ cm．17.有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和.若第一个数是0，第二个数是1，则这2021个数的和是______ ．18.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1,2)，B(−2,3)两点，且不经过第一象限，设l=a+b−c，则l的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.计算：|−3|−2tan60°+√12+(13)−1．20.解方程和不等式组：(1)x−2x+2+3x−2=1；(2){2x +4≥05(x −1)<6x．21. 如图，矩形EFGH 的顶点E 、G 分别在菱形ABCD 的边AD 、BC 上，顶点F 、H 在菱形ABCD 的对角线BD 上．(1)求证：BG =DE ；(2)若E 为AD 中点，菱形ABCD 的周长是20，求FH 的长．22. 在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t表示，单位：小时)，采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t <2，2≤t <3，3≤t <4，t ≥4分为四个等级，并依次用A ，B ，C ，D 表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：(1)求本次调查的学生人数；(2)求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；(3)若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数．23.小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．24.为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗.已知2棵A种树苗和3棵B种树苗共需270元，3棵A种树苗和6棵B种树苗共需480元．(1)A、B两种树苗的单价分别是多少元？(2)该小区计划用1550元购进两种树苗共28棵，问最多可以购进A种树苗多少棵？25.如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y=k(k>0,x>0)的图象上，CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD=2．x(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标．,0)，26.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(0,4)、B(−2,0)、C(32点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E.点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称.连接DF，EF.设点D的横坐标为m，EF2为l，请解决下列问题：(1)若一次函数的图象经过A、C两点，则此一次函数的表达式为______ ；(2)若以EF为边长的正方形面积为S，请你求出S关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值；(3)△BEF能否成为直角三角形.若能，求出m的值；若不能，说明理由．27.在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM=α，则称线段MN是点A的“α−相关线段”.例如，图1中线段MN是点A的“30°−相关线段”．(1)已知点A的坐标是(0,2)．①在图2中画出点A的“30°−相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；②若点A的“α−相关线段”经过点(√3,1)，求α的值；(2)若存在α，β(α≠β)使得点P的“α−相关线段”和“β−相关线段”都经过点(0,4)，记PO=t，直接写出t的取值范围．28.如图1：抛物线y=−x2+bx+c过点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C.动点E(m,0)(0<m<3)，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．(1)求抛物线的解析式及C点坐标；(2)连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN//OM，求m的值．(3)如图2.当m=1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F(点F在x轴上方)，若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE=90°，求点P纵坐标的取值范围．答案和解析1.【答案】A【知识点】相反数【解析】解：根据相反数的定义，−2的相反数是2．故选：A．根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．2.【答案】C【知识点】同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项【解析】解：A.m3与m2不是同类项，不能合并，故此计算不符合题意；B.(m3)2=m3×2=m6，故此计算不符合题意；C.m6÷m3=m6−3=m3，故此计算符合题意；D.(mn)3=m3n3，故此计算不符合题意；故选：C．根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则求解判断即可．此题考查了同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟记同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．3.【答案】B【知识点】有理数运算的应用【解析】解：根据题意得：13+(8−5)×2=13+6=19(元)．则需要付费19元．故选：B．根据题意列出算式计算，即可得到结果．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4.【答案】D【知识点】算术平均数、中位数、方差、众数[(x1−5)2+(x2−5)2+(x3−5)2+⋯+(x n−5)2]中“5”是【解析】解：方差s2=1n这组数据的平均数，故选：D．根据方差的定义可得答案．本题考查方差，解题的关键是掌握方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差．5.【答案】C【知识点】不等式的基本性质【解析】解：A、a=0.5，b=0.4，a>b，但是a−1<b，不符合题意；B、a=3，b=1，a>b，但是b+1<a，不符合题意；C、∵a>b，∴a+1>b+1，∵b+1>b−1，∴a+1>b−1，符合题意；D、a=0.5，b=0.4，a>b，但是a−1<b+1，不符合题意．故选：C．举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．本题考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c．6.【答案】B【知识点】平行线的性质【解析】解：∵AB//CD，∴∠FGB+∠GFD=180°，∴∠GFD=180°−∠FGB=26°，∵FG平分∠EFD，∴∠EFD=2∠GFD=52°，∵AB//CD，∴∠AEF=∠EFD=52°．故选：B．先根据平行线的性质，得到∠GFD的度数，再根据角平分线的定义求出∠EFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．7.【答案】B【知识点】勾股定理、全等三角形的判定与性质【解析】解：∵AD⊥BC，∴∠ABD=90°，∵∠ABC=45°，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD，∵又DE⊥DF，∴∠FDE=90°，∴∠BDF=∠ADE，又∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C=90°，∵∠C+∠DAC=90°，∴∠EBC=∠DAC，∴△BFD≌△AED(ASA)，∴DE=DF，BF=AE=1，∵AB=3，∴BE=√AB2−AE2=√32−12=2√2，∴EF=BE−BF=2√2−1，∴DF=√22EF=√22(2√2−1)=2−√22．故选：B．证明△BFD≌△AED(ASA)，由全等三角形的性质得出DE=DF，BF=AE=1，由勾股定理求出BE=2√2.则可求出答案．本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8.【答案】D【知识点】平面直角坐标系中点的坐标【解析】解：如图，设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0)，∵直线l经过二、三、四象限，∴k<0，b<0，y随x的增大而减小，A选项，∵0<2，y随x的增大而减小，∴m>n，故该选项不符合题意；B选项，∵0<3，y随x的增大而减小，∴m>−2，故该选项不符合题意；C选项，∵2<3，y随x的增大而减小，∴n>−2，故该选项不符合题意；D选项，故该选项符合题意．故选：D．设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0)，根据直线l过点0，m)，(2,n)，(p,1)和(3,−2)，得出k的表达式，再根据经过二、三、四象限判断出k的符号，由此即可得出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，依照题意画出图形，利用数形结合找出m，n的取值范围是解题的关键．9.【答案】2【知识点】立方根【解析】解：8的立方根为2，故答案为：2．利用立方根的定义计算即可得到结果．此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．10.【答案】x(3y−x)【知识点】因式分解-提公因式法【解析】解：原式=x(3y−x)．故答案为：x(3y−x)．原式提取公因式x即可．此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提公因式的方法是解本题的关键．11.【答案】30【知识点】特殊角的三角函数值【解析】解：∵sinA=1，2∴∠A=30°，故答案为：30．根据特殊锐角的三角函数值可得答案．本题主要考查特殊锐角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值．12.【答案】7×10−9【知识点】科学记数法-绝对值较小的数【解析】解：0.000 000 007=7×10−9．故答案为：7×10−9．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13.【答案】16【知识点】代数式求值【解析】解：∵2x−y=3，∴6x−3y=9，∴6x−3y+7=9+7=16，故答案为：16．根据2x−y=3，由等式的性质可得，6x−3y=9，再整体代入可求出结果．考查等式的性质、代数式求值．整体代入是代数式求值常用的方法，将代数式进行适当的变形是解决问题的关键．14.【答案】一【知识点】平面直角坐标系中点的坐标【解析】解：∵点A(a,b−2)在第二象限，∴a<0，b−2>0，∴b>2，∴−a>0，b+1>3，∴点B(−a,b+1)在第一象限．故答案为：一．根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列不等式求出a、b的取值范围，然后求解即可．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．15.【答案】√32【知识点】勾股定理、解直角三角形【解析】解：过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，如图，在Rt△BEC中，∵cosC=CEBC ，∴EC=BC⋅cos60°=3．∴BE=√BC2−CE2=√62−32=3√3．在Rt△BEA中，AE=√AB2−BE2=√28−27=1．∴AC=AE+EC=3+1=4．在Rt△ADC中，∵cosC=CDAC，∴CD=AC⋅cos60°=2．∴AD=√AC2−CD2=√42−22=2√3．BD=BC−CD=6−2=4．在Rt△BAD中，tan∠B=ADBD =2√34=√32．故答案为：√32．过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，在Rt△BEC中可求EC，BE，在Rt△BEA中可求AE，AC=AE+EC，AC可求；在Rt△ADC中，可求CD，AD，BD=BC−CD，BD可求；在Rt△BAD中，∠B的正切值可求．本题主要考查了解直角三角形，勾股定理．作出锐角三角形的高线利用直角三角形的边角关系和勾股定理求解是解题的关键．16.【答案】10【知识点】圆锥的计算【解析】解：设这个圆锥的底面半径为r cm，根据题意得2πr=150π×24，180解得r=10．答：这个圆锥的底面半径为10cm．故答案为10．设这个圆锥的底面半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于，然后解关于r的方程即可．圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=150π×24180本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17.【答案】1【知识点】数式规律问题【解析】解：由题意可得，第一个数是0，第二个数是1，则第三个数是1−0=1，第四个数是1−1=0，第五个数是0−1=−1，第六个数是−1−0=−1，第七个数是−1−(−1)=0，第八个数是0−(−1)=1，…，由上可得，这列数依次以0，1，1，0，−1，−1循环出现，每六个数一个循环，∵2021÷6=336…5，∴这2021个数的和是：0+1+1+0+(−1)+(−1)+⋯+0+1+1+0+(−1)=[0+1+1+0+(−1)+(−1)]×336+[0+1+1+0+(−1)]=0×336+1=0+1=1，故答案为：1．根据题意和题目中的数据，可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得这2021个数的和．本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求数字的和．18.【答案】l ≤−3【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系【解析】解：由题意，得{a −b +c =24a −2b +c =3，解得{b =3a −1c =2a +1， 则l =a +b −c =a +(3a −1)−(2a +1)=2a −2，由抛物线过点A(−1,2)，B(−2,3)两点，且不经过第一象限知a <0，c =2a +1≤0， 解得a ≤−12，∴l =2a −2≤−3，故答案为：l ≤−3．将A 、B 两点的坐标代入得出关于a 、b 、c 的方程组，将a 看做常数解次方程组得{b =3a −1c =2a +1，将其代入得l =a +b −c =2a −2，结合二次函数的图象与性质知a <0、c =2a +1≤0，据此得出a 的范围，继而可得l 的范围，即可得出答案．本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 19.【答案】解：原式=3−2√3+2√3+3=6．【知识点】特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、实数的运算【解析】按顺序依次计算，先把绝对值化简，再算出2tan60°=2√3，然后根据二次根式的性质以及负指数幂化简即可求解．本题考查了二次根式的混合运算和分式的加减法，设计到的知识点有零指数幂、特殊角的三角函数值，一定要牢记．20.【答案】解：(1)去分母得：(x −2)2+3(x +2)=(x +2)(x −2)，整理得：x 2−4x +4+3x +6=x 2−4，解得：x =14，检验：当x =14时，(x +2)(x −2)≠0，∴分式方程的解为x =14；(2){2x +4≥0①5(x −1)<6x②， 由①得：x ≥−2，由②得：x >−5，∴不等式组的解集为x ≥−2．【知识点】一元一次不等式组的解法、分式方程的一般解法【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．21.【答案】解：(1)∵四边形EFGH 是矩形，∴EH =FG ，EH//FG ，∴∠GFH =∠EHF ，∵∠BFG =180°−∠GFH ，∠DHE =180°−∠EHF ，∴∠BFG =∠DHE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD//BC ，∴∠GBF =∠EDH ，在△BGF 和△DEH 中，{∠GBF =∠EDH ∠BFG =∠DHE GF =EH，∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG =DE ，(2)如图，连接EG ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =BC ，AD//BC ，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，又∵AE//BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴EG=AB，∵菱形ABCD的周长是20，∴AB=5=EG，∵四边形EFGH是矩形，∴FH=EG=5．【知识点】菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质【解析】(1)根据矩形的性质得到EH=FG，EH//FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根据菱形的性质得到AD//BC，得到∠GBF=∠EDH，根据全等三角形的判定与性质即可得到结论；(2)连接EG，根据菱形的性质得到AD=BC，AD//BC，求得AE=BG，AE//BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB=EG，即可得到FH的长．本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决问题的关键是连接EG，利用矩形的对角线相等，平行四边形的对边相等得出结论．22.【答案】解：(1)由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%=200(人)所以：20÷10%=20×10010即本次调查的学生人数为200人；(2)由条形图知：C级的人数为60人所以C级所占的百分比为：60200×100%=30%，B级所占的百分比为：1−10%−30%−45%=15%，B级的人数为200×15%=30(人)D级的人数为：200×45%=90(人)B所在扇形的圆心角为：360°×15%=54°．(3)因为C级所占的百分比为30%，所以全校每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数为：1200×30%=360(人)答：全校每周课外阅读时间满足3≤t<4的约有360人．【知识点】扇形统计图、用样本估计总体、频数(率)分布直方图【解析】(1)由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；(2)先计算出C在扇形图中的百分比，用1−[(A+D+C)在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角．(3)总人数×课外阅读时间满足3≤t<4的百分比即得所求．本题考查了扇形图和条形图的相关知识．题目难度不大．扇形图中某项的百分比=该项人数总人数×100%，扇形图中某项圆心角的度数=360°×该项在扇形图中的百分比．23.【答案】解：不公平，列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果，所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为59，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动的概率为49，由59≠49知这个游戏不公平；【知识点】游戏公平性、用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与和为奇数、偶数的情况，再利用概率公式求解即可．此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】解：(1)设A 种树苗的单价是x 元，B 种树苗的单价是y 元，依题意得：{2x +3y =2703x +6y =480， 解得：{x =60y =50． 答：A 种树苗的单价是60元，B 种树苗的单价是50元．(2)设购进A 种树苗m 棵，则购进B 种树苗(28−m)棵，依题意得：60m +50(28−m)≤1550，解得：m ≤15．答：最多可以购进A 种树苗15棵．【知识点】一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用【解析】(1)设A 种树苗的单价是x 元，B 种树苗的单价是y 元，根据“2棵A 种树苗和3棵B 种树苗共需270元，3棵A 种树苗和6棵B 种树苗共需480元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设购进A 种树苗m 棵，则购进B 种树苗(28−m)棵，根据总价=单价×数量，结合总价不超过1550元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25.【答案】解：(1)点A 在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，∵P 是正六边形ABCDEF 的对称中心，CD =2，∴BP =2，G 是CD 的中点，∴PG =√3， ∴P(2,√3)，∵P 在反比例函数y =kx (k >0,x >0)的图象上，∴k =2√3，∴y =2√3x ，由正六边形的性质，A(1,2√3)，∴点A 在反比例函数图象上；(2)D(3,0)，E(4,√3)，设DE 的解析式为y =mx +b ，∴{3m +b =04m +b =√3， ∴{m =√3b =−3√3， ∴y =√3x −3√3，由方程{y =2√3x y =√3x −3√3解得x =3+√172(负数舍去)， ∴Q 点横坐标为3+√172．【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、正多边形与圆的关系、中心对称的概念【解析】(1)过点P 作x 轴垂线PG ，连接BP ，可得BP =2，G 是CD 的中点，所以P(2,√3)；(2)易求D(3,0)，E(4,√3)，待定系数法求出DE 的解析式为y =√3x −3√3，联立反比例函数与一次函数即可求点Q ；本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键． 26.【答案】y =−83x +4【知识点】一次函数综合【解析】解：(1)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，把A(0,4)，C(32,0)代入得： {b =432k +b =0，解得：{k =−83b =4， ∴直线AC 的解析式为y =−83x +4，故答案为：y =−83x +4；(2)如图，过点F ，D 分别作FG ，DH 垂直于y 轴，垂足分别为G ，H ，则∠FGK =∠DHK =90°，设FD 交y 轴于点K ，∵D 点与F 点关于y 轴上的K 点成中心对称，∴KF =KD ，∵∠FKG =∠DKH ，∴Rt △FGK≌Rt △DHK(AAS)，∴FG =DH ，∵A(0,4)、B(−2,0)，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，∴{b =4−2k +b =0， 解得：{k =2b =4， ∴直线AB 的解析式为y =2x +4，过点F 作FR ⊥x 轴于点R ，∵D 点的横坐标为m ，∴F(−m,−2m +4)，∴ER =2m ，FR =−2m +4，∵EF 2=FR 2+ER 2，∴l =EF 2=8m 2−16m +16=8(m −1)2+8，令=−83x +4=0，得x =32，∴0≤m ≤32．∴S =8m 2−16m +16(0≤m ≤32)，∴当m =1时，l 的最小值为8，∴EF 的最小值为2√2；(3)①∠FBE 为定角，不可能为直角．②∠BEF=90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m=0．③如图，∠BFE=90°时，有BF2+EF2=BE2．由(2)得EF2=8m2−16m+16，又∵BR=−m+2，FR=−2m+4，∴BF2=BR2+FR2=(−m+2)2+(−2m+4)2=5m2−20m+20，又∵BE2=(m+2)2，∴(5m2−20m+20)+(8m2−16m+16)=(m+2)2，化简得，3m2−10m+8=0，，m2=2(不合题意，舍去)，解得m1=43∴m=4．3综上可得，当△BEF为直角三角形时，m=0或m=4．3(1)用待定系数法即可求解；(2)过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK(AAS)，由全等三角形的性质得出FG=DH，可求出F(−m,−2m+4)，根据勾股定理得出l=EF2=8m2−16m+16=8(m−1)2+8，由二次函数的性质可得出答案；(3)分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键．27.【答案】解：(1)①如图1中，图形如图所示，过点M作MK⊥OA于K．∵A(0,2)，∴OA=OM=MN=AN=2，在Rt△OMK中，∠MOK=30°，OM=1，OK=√3MK=√3，∴MK=12∴M(1,√3)，N(1,√3+2)．②如图2−1中，当点M与(√3,1)重合时，α=60°．如图2−2中，当点N与(√3,1)重合时，α=120°，综上所述，满足条件的α的值为60°或120°．(2)如图3中，过点G(0,4)作OP 的平行线l ，以P 为圆心，OP 长为半径作⊙P ，当⊙P 与直线l 有两个交点且线段MN ，线段M′N′经过G(0,4)时，满足条件．观察图象可知，满足条件的OP 的值为2√2<OP ≤4，∴2√2<t ≤4．【知识点】四边形综合【解析】(1)①如图1中，根据要求作出图形即可，过点M 作MK ⊥OA 于K.解直角三角形求出KM ，OK ，可得结论．②分两种情形分别画出图形求解即可．(2)如图3中，过点G(0,4)作OP 的平行线l ，以P 为圆心，OP 长为半径作⊙P ，当⊙P 与直线l 有两个交点且线段MN ，线段M′N′经过G(0,4)时，满足条件．求出两种特殊位置OP 的值，可得结论．本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．28.【答案】解：(1)将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得，{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得{b =2c =3， 故抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3，当x =0时，y =3，故点C(0,3)；(2)∵点E(m,0)(0<m <3)，过点E 作直线l ⊥x 轴，交抛物线于点M ，∴M(m,−m 2+2m +3)，∵点B(3,0)，∴直线BM的表达式为y=(−m−1)x−(−m−1)，当x=0时，3m+3，∴点N(0,3m+3)，∵AN//OM，∴∠NAO=∠MOE，∴tan∠NAO=tan∠MOE，∴ONOA =EMOE，即3m+31=−m2+2m+3m，解得：m1=34，m2=−1(舍去)，∴m的值为34；(3)由题意得点Q与点C重合时，点P纵坐标最小，设点P(1,a)，则点F(1,2a)，∵点A(−1,0)，点C(0,3)，∴CF2+CE2=EF2，即1+(2a−3)2+1+32=(2a)2，解得：a=53，∴点P纵坐标的取值范围为y p≥53．【知识点】二次函数综合【解析】(1)利用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可得C点坐标；(2)由抛物线的解析式可得M(m,−m2+2m+3)，利用待定系数法求出直线BM的解析式，可得点N的坐标，根据平行线的性质可得∠NAO=∠MOE，根据等角的正切值相等即可求解；(3)由题意得点Q与点C重合时，点P纵坐标最小，设点P(1,a)，则点F(1,2a)，根据勾股定理求出a的值，即可得点P纵坐标的取值范围．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数的解析式，一次函数的性质、勾股定理、面积的计算，锐角三角函数等，解题的关键是利用待定系数法求得函数的解析式．。
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2016年江苏省常州市中考数学二模试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．﹣的倒数是（）A．﹣ B．C．3 D．﹣32．下列计算正确的是（）A．2﹣1=﹣2 B．20=0 C．（a3）2=a6D．2a+3a=6a3．如图所示，下列选项中，正六棱柱的左视图是（）A． B．C．D．4．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形5．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠26．下列说法不正确的是（）A．为了解全市中学生对常州青果巷的知晓度的情况，适合用抽样调查B．若甲组数据方差S甲2=0.39，乙组数据方差S乙2=0.27，则乙组数据比甲组数据稳定C．某种彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定会中奖D．数据﹣1，1.5，2，2，4的中位数是27．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤48．如图，⊙O的半径为1，点A、B、C、D在⊙O上，且四边形ABCD是矩形，点P是劣弧AD 上一动点，PB、PC分别与AD相交于点E、点F．当PA=AB且AE=EF=FD时，AE的长度为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．9．计算：|﹣5|+=______．10．因式分解：m2n﹣4mn+4n=______．11．函数y=中，自变量x的取值范围是______．12．常州地铁1号线一期工程南起南夏墅，北至北海路，途径市中心文化宫，全线长约33837m，这个长度用科学记数法可表示为______m．13．已知∠α与∠β互补，且∠α=120°，则∠β的正弦值为______．14．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为______．15．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣5=0有一根为﹣1，则另一根等于______．16．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=______．17．如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的交点，PA⊥OP，交x轴于点A，OA=6，则k的值是______．18．定义：若点M、N分别是两条线段a和b上任意一点，则线段MN长度的最小值叫做线段a与线段b的“理想距离”．已知O（0，0），A（1，1），B（3，k），C（3，k+2）是平面直角坐标系中的4个点．根据上述概念，若线段BC与线段OA的理想距离为2，则k的取值范围是______．三、解答题：共10小题，共84分．19．先化简，再求值：已知a是方程x2+x﹣1=0的实根，求代数式（a+2）2﹣3（a﹣1）的值．20．解方程和不等式组（1）解分式方程：；（2）解不等式组：．21．清明期间，某校师生组成200个小组参加“保护环境，美化家园”植树活动．综合实际情况，校方要求每小组植树量为2至5棵，活动结束后，校方随机抽查了其中50个小组，根据他们的植树量绘制出如图所示的两幅不完整统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）请把条形统计图补充完整，并算出扇形统计图中，植树量为“5棵树”的圆心角是______°．（2）请你帮学校估算此次活动共种多少棵树．22．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．（1）列表或画树状图表示所有取牌的可能性；（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案：A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案获胜概率更高？23．如图，AD∥BC，∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．结论：BF=______．24．小明家、小芳家与人民公园依次在一条直线上，小明、小芳两人同时各自从家沿直线匀速步行到人民公园，已知小明到达公园花了22分钟，小芳的步行速度是40米/分钟，设两人出发x（分钟）后，小明离小芳家的距离为y（米），y与x的函数关系如图所示．（1）图中a=960，小明家离公园的距离为1320米；（2）出发几分钟后两人在途中相遇？（3）小芳比小明晚多少分钟到达公园？25．某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地如图1．已知原来三角形绿化地中道路AB长为16米，在点B的拐弯处道路AB与BC所夹的∠B为45°，在点C 的拐弯处道路AC与BC所夹的∠C的正切值为2（即tan∠C=2），如图2．（1）求拐弯点B与C之间的距离；（2）在改造好的圆形（圆O）绿化地中，这个圆O过点A、C，并与原道路BC交于点D，如果点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，求圆O的半径长．26．我们知道对于x轴上的任意两点A（x1，0），B（x2，0），有AB=|x1﹣x2|，而对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为P l，P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2），即d（P1，P2）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（1，3），则d（O，P）=______；（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（3）试求点M（2，3）到直线y=x+2的最小直角距离．27．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（1）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（2）如图②，当α=135°时，求证：A E′=BF′，且AE′⊥BF′；（3）直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，分别表示出此时点E′、D′、F′的坐标（直接写出结果即可）．28．如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x 轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．（1）设a=，m=﹣2时，①求出点C、点D的坐标；②抛物线y=ax2+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．2016年江苏省常州市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．﹣的倒数是（）A．﹣ B．C．3 D．﹣3【考点】倒数．【分析】符号不变，然后将这个数的分子和分母互换位置即可求得这个数的倒数．【解答】解：的倒数是﹣3．故选：D．2．下列计算正确的是（）A．2﹣1=﹣2 B．20=0 C．（a3）2=a6D．2a+3a=6a【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；零指数幂；负整数指数幂．【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，积的乘方等于乘方的积，合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．【解答】解：A、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故A错误；B、非零的零次幂等于1，故B错误；C、积的乘方等于乘方的积，故C正确；D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D错误；故选：C．3．如图所示，下列选项中，正六棱柱的左视图是（）A． B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【解答】解：从左面看可得到左右相邻的2个长方形，故选B．4．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【考点】多边形内角与外角．【分析】一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：外角是180°﹣120°=60°，360÷60=6，则这个多边形是六边形．故选：C．5．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2【考点】全等三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．【解答】解：A、当BE=FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1=∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选C．6．下列说法不正确的是（）A．为了解全市中学生对常州青果巷的知晓度的情况，适合用抽样调查B．若甲组数据方差S甲2=0.39，乙组数据方差S乙2=0.27，则乙组数据比甲组数据稳定C．某种彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定会中奖D．数据﹣1，1.5，2，2，4的中位数是2【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；中位数；方差．【分析】分别利用概率的意义以及抽样调查的意义以及方差的性质和随机事件的定义、中位数的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、为了解全市中学生对常州青果巷的知晓度的情况，适合用抽样调查，正确，不合题意；B、若甲组数据方差S甲2=0.39，乙组数据方差S乙2=0.27，则乙组数据比甲组数据稳定，正确，不合题意；C、某种彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定会中奖，错误，符合题意；D、数据﹣1，1.5，2，2，4的中位数是2，正确，不合题意；故选：C．7．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4【考点】图象法求一元二次方程的近似根；抛物线与x轴的交点．【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t 的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．故答案为D．8．如图，⊙O的半径为1，点A、B、C、D在⊙O上，且四边形ABCD是矩形，点P是劣弧AD 上一动点，PB、PC分别与AD相交于点E、点F．当PA=AB且AE=EF=FD时，AE的长度为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】作辅助线，构建矩形的对角线，根据等边对等角得∠ABP=∠APB，由同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠ACP，根据矩形的四个角都是直角得∠ABC=90°，所以∠APC=90°，证明△ABC≌△APC，得BC=PC，从而证得△PBC是等边三角形，得出∠ACB=30°，求出BC的长，则是AD的长，再三等分即可．【解答】解：连接AC、BD，∵PA=AB，∴∠ABP=∠APB，∵∠ABP=∠ACP，∠APB=∠ACB，∴∠ACB=∠ACP，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠APC=90°，∴∠ABC=∠APC，∴△ABC≌△APC，∴BC=PC，∴AC是BP的垂直平分线，∵O是△PBC的外接圆的圆心，∴O是△PBC三边的垂直平分线的交点，∴BD是PC的垂直平分线，∴BP=BC，∴BP=BC=PC，∴△PBC是等边三角形，∴∠BPC=60°，∴∠BAC=∠BPC=60°，∠ACB=30°，∵⊙O的半径为1，∴AC=2，∴AB=1，BC=，∴AD=BC=，∵AE=EF=FD，∴AE=．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．9．计算：|﹣5|+= 3 ．【考点】实数的运算．【分析】根据立方根的定义和绝对值的性质进行计算即可．【解答】解：原式=5﹣2=3，故答案为3．10．因式分解：m2n﹣4mn+4n= n（m﹣2）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式n，再根据完全平方公式进行二次分解．【解答】解：m2n﹣4mn+4n，=n（m2﹣4m+4），=n（m﹣2）2．故答案为：n（m﹣2）2．11．函数y=中，自变量x的取值范围是x≥3 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由题意，得x﹣3≥0．解得x≥3，故答案为：x≥3．12．常州地铁1号线一期工程南起南夏墅，北至北海路，途径市中心文化宫，全线长约33837m，这个长度用科学记数法可表示为 3.3837×104m．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：33837m，这个长度用科学记数法可表示为3.3837×104m．故答案为：3.3837×104．13．已知∠α与∠β互补，且∠α=120°，则∠β的正弦值为．【考点】特殊角的三角函数值；余角和补角．【分析】根据补角的概念求出∠β的度数，根据特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：∵∠α与∠β互补，且∠α=120°，∴∠β=180°﹣120°=60°，sin60°=．故答案为：．14．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为 4 ．【考点】圆锥的计算；勾股定理．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高．【解答】解：设圆锥的母线长为R，则15π=2π×3×R÷2，解得R=5，∴圆锥的高==4．15．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣5=0有一根为﹣1，则另一根等于 5 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，设方程的另一根为a，将方程的两根代入一元二次方程的两根之和和两根之积的公式中，求解即可．【解答】解：设该一元二次方程的另一根为a，由题意可得，，解得，即该一元二次方程的另一根为5．故答案为：5．16．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= 105°．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．【分析】连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．【解答】解：连接OQ，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，∴∠OQC=45°，∵BO：OA=1：，设BO=1，OA=，∴AQ=1，则tan∠AQO==，∴∠AQO=60°，∴∠AQC=105°．17．如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的交点，PA⊥OP，交x轴于点A，OA=6，则k的值是9 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由P在y=x上可知△POA为等腰直角三角形，过P作PC⊥OA于点C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过P作PC⊥OA于点C，∵P点在y=x上，∴∠POA=45°，∴△POA为等腰直角三角形，∴PC=OC=OA=3，∴P（3，3），∴k=3×3=9，故答案为：9．18．定义：若点M、N分别是两条线段a和b上任意一点，则线段MN长度的最小值叫做线段a与线段b的“理想距离”．已知O（0，0），A（1，1），B（3，k），C（3，k+2）是平面直角坐标系中的4个点．根据上述概念，若线段BC与线段OA的理想距离为2，则k的取值范围是﹣1≤k≤1 ．【考点】坐标与图形性质．【分析】根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得k的取值范围．【解答】解：由题意可得，，解得，﹣1≤k≤1，故答案为：﹣1≤k≤1．三、解答题：共10小题，共84分．19．先化简，再求值：已知a是方程x2+x﹣1=0的实根，求代数式（a+2）2﹣3（a﹣1）的值．【考点】整式的加减—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x=a代入已知方程变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式=a2+4a+4﹣3a+3=a2+a+7，把x=a代入方程得：a2+a﹣1=0，即a2+a=1，则原式=1+7=8．20．解方程和不等式组（1）解分式方程：；（2）解不等式组：．【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，确定出解集的公共部分即可．【解答】解：（1）去分母得：x﹣1+1=3x﹣6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解；（2），由①得：x＞，由②得：x≤4，则不等式组的解集为＜x≤4．21．清明期间，某校师生组成200个小组参加“保护环境，美化家园”植树活动．综合实际情况，校方要求每小组植树量为2至5棵，活动结束后，校方随机抽查了其中50个小组，根据他们的植树量绘制出如图所示的两幅不完整统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）请把条形统计图补充完整，并算出扇形统计图中，植树量为“5棵树”的圆心角是72 °．（2）请你帮学校估算此次活动共种多少棵树．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）利用360°乘以对应的比例即可求解；（2）先求出抽查的50个组植树的平均数，然后乘以200即可求解．【解答】解：（1）植树量为“5棵树”的圆心角是：360°×=72°，故答案是：72；（2）每个小组的植树棵树：（2×8+3×15+4×17+5×10）=（棵），则此次活动植树的总棵树是：×200=716（棵）．答：此次活动约植树716棵．22．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．（1）列表或画树状图表示所有取牌的可能性；（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案：A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案获胜概率更高？【考点】列表法与树状图法；游戏公平性．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图可求得甲胜的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：根据题意画图如下：则所有取牌的可能性共有9种；（2）∵两次抽得相同花色的有5种情况，∴A方案：P（甲胜）=，∵两次抽得数字和为奇数的有4种情况，∴B方案：P（甲胜）=，则选择A方案．23．如图，AD∥BC，∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．结论：BF= AE ．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由题意可得BE=BC，∠AEB=∠FBC，易证明得直角三角形ABE与直角三角形FCB全等，即可得BE=AE．【解答】解：结论：BF=AE．证明：∵CF⊥BE，∴∠BFC=90°，又∵AD∥BC，∴∠AEB=∠FBC；由于以点B为圆心，BC长为半径画弧，∴BE=BC，在△ABE与△FCB中，∴△ABE≌△FCB（AAS），∴BF=AE．24．小明家、小芳家与人民公园依次在一条直线上，小明、小芳两人同时各自从家沿直线匀速步行到人民公园，已知小明到达公园花了22分钟，小芳的步行速度是40米/分钟，设两人出发x（分钟）后，小明离小芳家的距离为y（米），y与x的函数关系如图所示．（1）图中a=960，小明家离公园的距离为1320米；（2）出发几分钟后两人在途中相遇？（3）小芳比小明晚多少分钟到达公园？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）本题需先根据小林到小华家所走的路程和时间即可求出小林的速度和离图书馆的距离．（2）本题需先根据题意求出y1（米）与x（分钟）的函数关系式，再画出图象即可．（3）本题需求出两个函数图象的交点坐标即可求出小华出发几分钟后两人在途中相遇【解答】解：由图象知，小明先用6分钟到达小芳家，然后用（22﹣6=16）16分钟到达了公园，∵小明的速度是=60，∴a=60×16=960，小明离公园的距离为360+960=1320米，故答案为960，1320；（2）当6＜x＜22时，y=60x﹣360，小芳离家距离y与出发时间x的关系式为y=40x，∵两人在途中相遇，∴60x﹣360=40x，∴x=18，即：出发18分钟后两人在途中相遇；（3）∵小芳离公园的距离为960米，∴小芳从家到公园一共用了=24分钟，∵24﹣22=2分钟，∴小芳比小明晚2分钟到达公园．25．某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地如图1．已知原来三角形绿化地中道路AB长为16米，在点B的拐弯处道路AB与BC所夹的∠B为45°，在点C 的拐弯处道路AC与BC所夹的∠C的正切值为2（即tan∠C=2），如图2．（1）求拐弯点B与C之间的距离；（2）在改造好的圆形（圆O）绿化地中，这个圆O过点A、C，并与原道路BC交于点D，如果点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，求圆O的半径长．【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）作AE⊥BC于E，根据正弦函数求得AE，根据等腰直角三角形的性质求得BE，根据正切函数求得EC，进而即可求得BC；（2）连接AD，先根据已知求得三角形ADC是等腰三角形，进而根据垂径定理的推论求得AE 经过圆心，连接OC，根据勾股定理即可求得圆的半径．【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，∵∠B=45°，∴AE=AB•sin45°=16×=16，∴BE=AE=16，∵tan∠C=2，∴=2，∴EC==8，∴BC=BE+EC=16+8=24；（2）连接AD，∵点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，∴∠ADC=∠C，∴AD=AC，∴AE垂直平分DC，∴AE经过圆心，设圆O的半径为r，∴OE=16﹣r，在RT△OEC中，OE2+EC2=OC2，即（16﹣r）2+82=r2，解得r=10，∴圆O的半径为10．26．我们知道对于x轴上的任意两点A（x1，0），B（x2，0），有AB=|x1﹣x2|，而对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为P l，P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2），即d（P1，P2）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（1，3），则d（O，P）= 4 ；（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（3）试求点M（2，3）到直线y=x+2的最小直角距离．【考点】一次函数的图象．【分析】（1）由P0与原点O的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）利用题中的新定义列出x与y的关系式，画出相应的图象即可；（3）根据新的运算规则知d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣3|=|x﹣2|+|x+2﹣3|=|x﹣2|+|x﹣1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和1所对应的点的距离之和，其最小值为1．【解答】解：（1）d（O，P）=|0﹣1|+|0﹣3|=4；故答案为：4；（2）∵O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P），∴|0﹣x|+|0﹣y|=|x|+|y|=2，所有符合条件的点P组成的图形如图所示；（3）∵d=|x﹣2|+|y﹣3|=|x﹣2|+|x+2﹣3|=|x﹣2|+|x﹣1|∴x可取一切实数，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，其最小值为1．∴点M（2，3）到直线y=x+2的直角距离为1．27．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（1）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（2）如图②，当α=135°时，求证：AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（3）直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，分别表示出此时点E′、D′、F′的坐标（直接写出结果即可）．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的长．（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题；（3）直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，α=180°，P与O重合，易求出点E′、D′、F′的坐标．【解答】解：（1）当α=90°时，点E′与点F重合，如图①．∵点A（﹣2，0）点B（0，2），∴OA=OB=2，∵点E，点F分别为OA，OB的中点，∴OE=OF=1，∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．在Rt△AE′O中，AE′==．在Rt△BOF′中，BF′==．∴AE′，BF′的长都等于；（2）当α=135°时，如图②．∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，∴∠AOE′=∠BOF′=135°．在△AOE′和△BOF′中，，∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，∴∠CPB=∠AOC=90°，∴AE′⊥BF′；（3）点E′（1，0）、D′（1，﹣1）、F′（0，﹣1）如图③，直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，α=180°，P与O重合，∵OE′=OF′=1，∴点E′（1，0）、D′（1，﹣1）、F′（0，﹣1）．28．如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x 轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．（1）设a=，m=﹣2时，①求出点C、点D的坐标；②抛物线y=ax2+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）①根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据配方法，可得顶点坐标；根据解方程组，可得C点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标；②根据菱形的性质，可得G点坐标，根据平行四边形的判定，可得答案；（2）根据待定系数法，可得b与a的关系，根据配方法，可得顶点坐标，根据平行线分线段成比例，可得OH的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据相似三角形的对应角相等，可得∠FCD=90°，根据相思三角形的性质，可得关于a的方程，根据抛物线的开口向上，可得a的值．【解答】解：（1）①如图1，，当a=时，将B点坐标代入，得y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2顶点坐标为（2，﹣2）；当m=﹣2时，一次函数的解析式为y=x﹣2．联立抛物线与直线，得2﹣2x=x﹣2，解得x=1，当x=1时，y=﹣，即C点坐标为（1，﹣）．当x=2时，y=﹣1，即D点坐标为（2，﹣1）；②假设存在g点，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形是平行四边形．则CG与DF互相平分，而EF是抛物线的对称轴，且点G在抛物线上，∴CG⊥DF，∴DCFG是菱形，∴点C关于EF的对称点G（3，﹣）．设DF与CG与DF相交于O′点，则DO′=O′F=，CO′=O′G=1，∴四边形DCFG是平行四边形．∴抛物线y=ax2+bx上存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形，点G的坐标为（3，﹣）；（2）如图2，，∵抛物线y=ax2+bx的图象过（4，0）点，16a+4b=0，∴b=﹣4a．∴y=ax2+bx=ax2﹣4ax=a（x﹣2）2﹣4a的对称轴是x=2，∴F点坐标为（2，﹣4a）．∵三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3，BC：AC=3：1．过点C作CH⊥OB于H，过点F作FG∥OB，FG与HC交于G点．则四边形FGHE是矩形．由HC∥OA，得BC：AC=3：1．由HB：OH=3：1，OB=4，OE=EB，得HE=1，HB=3．将C点横坐标代入y=ax2﹣4ax，得y=﹣3a．∴C（1，﹣3a），∴HC=3a，又F（2，﹣4a）．∴GH=4a，GC=a．在△BED中，∠BED=90°，若△FCD与△BED相似，则△FCD是直角三角形．∵∠FDC=∠BDE ＜90°，∠CFD＜90°，∴∠FCD=90°．∴△BHC∽△CGF，∴=，∴=，∴a2=1，∴a=±1．∵a＞0，∴a=1．∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x．。