江苏省常州市中考数学二模试卷(含解析)
2023年江苏省常州市中考数学二模试题(解答卷)
2023年江苏省常州市中考数学二模试题（解答卷）一、选择题（每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．下列四个数中，2023的倒数是（ ）A ．2023B ．2023−C ．12023D ．12023−解：∵1202312023×=，∴2023的倒数是12023，故选：C ．2．我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，地球最近时候的距离约55000000km ．将数字55000000用科学记数法表示为（ ）A ．0.55×108B ．5.5×107C ．5.5×106D ．55×106解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．故选：B ．3.如果反比例函数my x =的图象经过（﹣1，﹣2），则m 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．2解：由题意得m=﹣1×（﹣2）=2．故选D ．4.对于有序数对（a ，b ）定义如下的运算”⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）＝（ac+bd ，ad ﹣bc ），那么（a ，b ）⊗（0，1）等于（ ）A ．（b ，a ）B ．（﹣b ，﹣a ）C ．（a ，﹣b ）D ．（﹣a ，b ）解：（a ，b ）⊗（0，1）=（a•0+b•1，a•1-b•0）=（b ，a ）．故选A ．5.如图，在O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，若40A ∠=°，70∠=°APD ，则B ∠的度数是（）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°解：APD B D ∠=∠+∠ ，B APD D ∴∠=∠−∠，40A D ∠=∠=° ，70∠=°APD ，704030B APD D ∴∠=∠−∠=°−°=°.故答案选：B .6．将一副三角尺如图放置，∠ACB =∠CBD =90°，∠A =30°，∠D =45°，边AB 、CD 交于O ，若OB =1，则OA 的长度是（ ）A B ．2 C ．1 D解：设BD x = 在Rt BCD △中，45BCD D ∠=∠=° BC BD x ∴==在Rt ABC 中，30A ∠=°22,AB BC x AC ∴===又90ACB CBD ∠=∠=°180ACB CBD ∴∠+∠=°//BD AC ∴OBD OAC ∴∼OB BD OA AC ∴=，即1OA =解得OA =故选：A7．已知抛物线2y ax bx c ++上的部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表： x… -1 0 1 2 3 … y … 3 0 -1 m 3 …以下结论正确的是（ ）A ．抛物线2y ax bx c ++的开口向下B ．当3x <时，y 随x 增大而增大C ．方程20ax bx c ++=的根为0 2D ．当0y >时，x 的取值范围是02x <<解：将(1,3),(0,0),(3,3)−代入抛物线的解析式得；309333a b c c a b −+= = ++=， 解得：1,2,0a b c ==−=， 所以抛物线的解析式为：222(2)(1)1y x x x x x =−=−=−−，A 、0a > ，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；B 、抛物线的对称轴为直线1x =，在13x <<时，y 随x 增大而增大，故选项错误，不符合题意；C 、方程20ax bx c ++=的根为0和2，故选项正确，符合题意；D 、当0y >时，x 的取值范围是0x <或2x >，故选项错误，不符合题意；故选：C ．8.如图，等腰Rt ABC △中，90C ∠=°，点F 是AB 边的中点，点D ，E 分别在AC BC ，上运动，且90DFE ∠=°，连接DE CF ，，在此运动变化过程中，下列结论： ①图形全等的三角形只有两对；②ABC 的面积是四边形CDFE 面积的2倍；③DFE △是等腰直角三角形．其中错误．．的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：∵等腰Rt ABC △中，90C ∠=°，点F 是AB 边的中点，∴9045AF BF CF AFC BFC A B ====°==°，∠∠，∠∠，∴45ACF A B BCF ====°∠∠∠∠，∴()SAS ACF BCF △≌△，∵90DFE ∠=°，∴90AFD CFD CFE CFD +=°=+∠∠∠∠，∴ACF CFE ∠=∠，又∵45CF AF A ECF ===°，∠∠，∴()ASA CEF ADF △≌△，同理可证CDF BEF ≌△△，故①错误；∴CEF ADF S S =△△，EF DF =，∴DFE △是等腰直角三角形，12CDF CEF CDF ADF ACF ABC CDFE S S S S S S S =+=+==△△△△△△四边形， 故②③正确；∴错误的只有1个，故选B ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS ）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为_______ 解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，10.如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____．解：该正九边形内角和()180921260=°×−=°， 则每个内角的度数12601409°°=． 故答案为140°．11．分解因式：3x 2y ﹣3y ＝_______．解：3x 2y ﹣3y＝3y （x 2﹣1）＝3y （x +1）（x ﹣1）．故答案为：3y （x +1）（x ﹣1）．12．化简4x 2－4＋1x ＋2_______解：4x 2－4＋1x ＋2＝4(x ＋2)(x －2)＋1x ＋2＝4＋(x －2)(x ＋2)(x －2)＝x －2(x ＋2)(x －2)＝1x ＋2．13.解组 2x ＋1≤7 ①3＋2x ≥1＋x ②解集是____________ 解: 由①，得x ≤3．由②，得x ≥－2．∴解不等式组的解集为：－2≤x ≤3．14.关于x 的方程3x ﹣2m ＝1的解为正数，则m 的取值范围是_______解：解方程3x ﹣2m ＝1得：x ＝，∵关于x 的方程3x ﹣2m ＝1的解为正数， ∴＞0，解得：m ＞﹣，15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC ＝4，△ABC 面积为10，则BM +MD 长度的最小值为_________解：由作法得EF 垂直平分AB ，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），∴MA+MD的最小值为AD，∵AB＝AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵S△ABC＝•BC•AD＝10，∴AD＝＝5，∴BM+MD长度的最小值为5．16.如图，把三角板中30°角的顶点A放在半径为3的⊙O上移动，三角板的长直角边和斜边与⊙O始终相交，且交点分别为P，Q，则 PQ长为________．解：如图，连结OP、OQ，则∠POQ＝2∠A＝60°．∵⊙O的半径为3，∴ PQ 长为＝603180ππ⋅×=． 故答案为π．17．如图，一游人由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走600m ，到达一个景点B ，再由B 沿山坡BC 行走200m 到达山顶C ，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45°，则山高CD=____（结果用根号表示）．解：过B 作BF ⊥AD 于F ，BE ⊥CD 于E ，如图：∵在山顶C 处测得景点B 的俯角为45°，∴∠BCE=45°，∴△BCE 为等腰直角三角形，∵BC=200m ，∴m ；∵∠A=30°，AB=600m，AB=300m，∴BF=12∴CD=CE+ED=CE+BF=（）m．故答案为：（）m．18.如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在B'处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点C'处，EF为折痕，连接AC'．若CF＝3，则tan∠B'AC′＝．解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，当x ＝6时，EC ＝EC ′＝6，BE ＝B ′E ＝8﹣6＝2，EC ′＞B ′E ，不合题意，应舍去，∴CE ＝C ′E ＝4，∴B ′C ′＝B ′E ﹣C ′E ＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B ′＝∠B ＝90°，AB ′＝AB ＝8，∴tan ∠B 'AC ′＝．故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共84分．如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）计算：（1()()2012π32−−−+−−．()()2012π32−−+−− 12412=−+− 32=−． （2）解方程组236x y x y −= +=解：236x y x y −= +=将第一个方程和第二个方程相加，得39x =，3x ∴=．把3x =代入第二个方程，得3y =．∴原方程组的解是33x y = = 故答案为：33x y = = 20．（6分）解不等式组()142151x x +> −−>解：解不等式14x +>，得3x >．解不等式()2151x −−>，得4x >．∴原不等式组的解集是4x >．故答案为：4x >．21（8分）为庆祝中国共青团成立100周年，某校团委开展四项活动：A 项参观学习，B 项团史宣讲，C 项经典诵读，D 项文学创作，要求每位学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图：(1)本次调查的样本容量是_____，B 项活动所在扇形的圆心角的大小是_____°；(2)补全条形统计图；(3)若该校有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．解：（1）条形图中“D 项”有16人，扇形统计图中“D 项”的百分比是20%，∴样本容量为168020%=，∴“B项”的百分比为12100%15%80×=，∴“B项”的圆心角为36015%54°×=°，故答案为：80,54．（2）解：样本容量是80，∴C项的人数为8032121620−−−=（人），补全条形统计图，如图所示，（3）解：参加“参观学习”的人数是32人，占样本的百分比为32100%40% 80×=，∴该校有2000名学生，参加“参观学习”活动的人数估计为40%2000800×=（人）．22．（8分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30 方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15 的方向航行．（1）渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)？（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？解：（1）过B 点作AC 的垂线BD 交AC 于点D ，∵垂线段最短，AC 上的D 点距离B 点最近，AD 即为所求，由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，∴)45,4540BAD AD BD ABsin mile ∠=°==°=， ∴渔船航行时，距离小岛B 最近．（2）在Rt BDC 中，BD tan C DC ∠==， 30,C ∴∠=°∠DBC=60°，)30BD BC nmile sin ∴==°∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，∴15DBE ∠=°， 45EBC DBC DBE ∴∠=∠−∠= .答：从B 处沿南偏东45 出发，最短行程.23．（8分）如图，四边形ACBD 是O 的内接四边形，AB 为O 的直径，点B 是弧CD 的中点，在线段AD 的延长线上取一点E ，使CAB DBE ∠=∠.(1)求证：BE 为O 的切线；(2)若3BC =，5AC =，求线段DE 的长．解：（1）∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=°，∴90DAB DBA ∠+∠=°，即DB AE ⊥，∵点B 是弧CD 的中点，∴ BD BC =，∴BAC BAD ∠=∠，∴90CAB DBA ∠+∠=°，∵CAB DBE ∠=∠，∴90DBA DBE ∠∠+=°，∴BE AB ⊥，∵AB 为O 的直径，∴BE 为O 的切线；（2）∵ BD BC =，3BC =，5AC =，∴3BD BC ==，∵CAB DBE ∠=∠，∴tan tan CAB DBE ∠=∠，∵DB AE ⊥，∴在Rt DBE 中，有tan 3DE DE DBE BD ∠==， 又在Rt ACB △中，有3tan 5BC BAC AC ∠==， ∴335DE =，即95DE =． 24．（8分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？解：（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元， 依题意得：﹣＝50，解得：x ＝4，经检验，x ＝4是原方程的解，则2x ＝8，依题意得：8m +4（200﹣m ）≤1150，答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元．（2）设购进甲种粽子m 个，则购进乙种粽子（200﹣m ）个，解得：m ≤87.5，答：最多购进87个甲种粽子．25．(10分）一直线上有A 、B 、C 不同三地，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时同向出发前往距离B 地150米的C地，甲、乙两人距离B地的距离y（米）与行走试卷x（分）之间的关系图象如图所示，若甲的速度一直保持不变，乙出发2分钟后加速行走，且乙在加速后的速度是甲速度的4倍.（1）乙加速之后的速度为米/分；（2）求当乙追上甲时两人与B地的距离；（3）当甲出发多少分钟时，两人相距10米？解：（1）如图，由题意甲的速度为（150-50）÷10=10米/分，∴乙加速后的速度为40米/分，故答案为40(2) 由题意A（2，30），乙从A到B的时间1203 40=∴B（5，150），∴直线AB的解析式为y=40x-50，∵C（0，50），D（10，150），∴直线CD的解析式为y=10x+50，由40501050y xy x=−=+解得1032503xy==∴那么他们出发103分钟时，乙追上了甲．此时两人与B地的距离为2503米．（3）设当甲出发t分钟时，两人相距10米, ①若乙在甲的后面，列方程得：15×2+40（t-2）-10t=50-10解得：t=3②若乙在甲的前面，列方程得：15×2+40（t-2）-10t=50+10解得：t=11 3综上，当甲出发3分钟或113分钟时，两人相距10米．26.（10分）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y ＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三角形，求所有满足条件的m的值．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），将B（2，4）代入反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝当m＝3时，将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即D（5，4），∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，∴E（5，）；②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD ＝AB ，AC ＝BD ＝m ，∵A （0，8），B （2，4），∴C （m ，8），D （m +2，4），当BC ＝CD 时，BC ＝AB ，∴点B 在线段AC 的垂直平分线上，∴m ＝2×2＝4，当BC ＝BD 时，B （2，4），C （m ，8），∴BC ＝，∴＝m ， ∴m ＝5，当BD ＝AB ＝CD 时，m ＝AB ＝＝2，综上所述，△BCD 是等腰三角形，满足条件的m 的值为 4 或 5 或 2． 27．（10分）如图，二次函数24y x bx =+−的图像经过点()3,4A −，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，连接AB ，BC(1)填空：b =______；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一个动点，过点P 作PT x ⊥轴，垂足为T ，PT 交AB 于点Q ， 线段PQ 的最大值；(3)点D 是y 轴正半轴上一点，若∠=∠BDC ABC ，求点D 的坐标． 解：（1）∵二次函数24y x bx =+−的图像经过点()3,4A −， ∴24334b −+−，解得3b =−，故答案为：3−；（2）令2340y x x =−−=，解方程2340x x −−=，得11x =−，24x =，∴()1,0B −．设直线AB 的函数表达式是y kx m =+， 直线AB 交y 轴于点F ．∵()3,4A −，∴把=1x −，0y =和3x =，4y =−代入y kx m =+，得034k m k m −+= +=− ，解得11k m =− =−， ∴直线AB 的函数表达式是=1y x −−．设点()2,34P m m m −−，则(),1Q m m −−．∴2134PQ m m m =−−−++223m m =−++()214m =−−+． 当1m =时，PQ 的最大值是4．（3）过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ．∵3CF =，45CFE ∠=°，∴CE EF == ∵BF =，∴BE = ∴3tan 5CE CBE BE ∠==． ∵∠=∠BDC ABC ， ∴3tan 5OB BDO OD ∠==． ∵1OB =，∴53OD =， ∴D 50,3． 28．（10分）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，点D 在斜边BC 上，且满足BD ＝BC ， 将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE ，记旋转角为α，连接CE ，BE ，以CE 为斜边在其右侧作直角三角形CEF ，且∠CFE ＝90°，∠ECF ＝60°，连接AF ．（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE 与线段AF 的数量关系 BE ＝2AF ；（2）当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段BE 与线段AF 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②当B ，E ，F 三点共线时，如图3，连接AE ，若AE ＝3，请直接写出cos ∠EF A 的值及线段BC 的值．解：（1）∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AC ＝BC ，∵BD ＝BC ，将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE ，∴BD ＝DE ＝BC ，BE ＝CB ，∴CE ＝CB ，∵∠CFE ＝90°，∠ECF ＝60°，∴∠CEF ＝30°，∴CF＝CE＝CB，∴AF＝AC﹣CF＝CB，∴BE＝2AF；故答案为：BE＝2AF；（2）①结论仍然成立，理由如下：∵∠BCA＝∠ECF＝60°，∴∠BCE＝∠ACF，又∵，∴△CBE∽△CAF，∴，∴BE＝2AF；②∵B，E，F三点共线，∴∠CEB+∠CEF＝180°，∴∠CEB＝150°，∵△CBE∽△CAF，∴∠CEB＝∠AFC＝150°，∴∠EF A＝150°﹣90°＝60°，∴cos∠EF A＝cos60°＝；如图3，过点D作DH⊥BE于H，∵BD＝DE，DH⊥BE，∴BH＝HE，∵BE＝2AF，∴BH＝HE＝AF，∵DH⊥BE，CF⊥BE，∴DH∥CF，∴，∴HF＝2BH，∴EF＝HE＝BH，∴EF＝AF，∴△EF A是等边三角形，∴EF＝AE＝AF＝3，∴BE＝6，CF＝，∴BC＝＝2．。
2023年江苏省常州市中考数学二模试卷附解析
2023年江苏省常州市中考数学二模试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．己半径分别为 1 和 5 的两个圆相交，则圆心距d 的取值范围是（ ）A ．d<6B ．4<d<6C ．4≤d ≤6D ．1<d<5 2．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6 cm ，最短的弦长为 4 cm ，则OM 的长为（ ） A ．3 cmB ．2cmC ．2 cmD ．3 cm 3．平行四边形的周长为 24 cm ，相邻两边长的比为 3：1，那么这个平行四边形较短的边长（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm 4．2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延．如果把世界地图看成一个平面，如图中以中国为坐标原点建立平面直角坐标系，请写出墨西哥所在位置的坐标是（ ）A ． （4，9）B ．（3，8）C ．（8，-l ）D ．（-8，3）5．下图中经过折叠可以围成一个三棱注的有（ ）A ．B ．C ．D ． 6．在△ABC 中，已知AC AB = ，DE 垂直平分AC ，50=∠A °，则DCB ∠的度数是（ ）A ． 15°B ．30°C ． 50°D ． 65°7．如图，∠A =15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）A ．90°B ．75°C ．60°D ．45°8．如图，由∠2=∠3，可以得出的结论是（）A ．FG∥BC B．FG∥CE C．AD∥CE D．AD∥BC9．下列事件中，不可能发生的是（）A．异号两数相加和为正数B．从 1、3、5、7、.9中任取一个数是偶数C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝上D．任意投掷一枚正方体骰子，朝上一面的数字小于710．在下列条件中，不能说明△ABC≌△A′B′C′的是（）A．∠A=∠A′，∠B=∠B′，AC=A′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′C．∠B=∠B′，BC=B′C′、AB=A′B′D．AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C ′11．下列说法正确的是（）A．周长相等的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．三个角对应相等的两个三角形全等D．三条边对应相等的两个三角形全等12．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠DAE=20°，∠B=65°，则∠C等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°13．超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市顾客在收银台排队付款的等待时间，并绘制成如下的频数分布直方图（图中等待时间6分钟到7分钟表示大于或等于6分钟而小于7分钟，其它类同）．这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为（）A．5 B．7 C．16 D．33二、填空题14．一盒子内放有3个红球、6个白球和5个黑球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意摸出1个球是白球的概率为．15．已知线段a=4，b=8，则a、b的比例中项是．16．如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列说法正确的是______（仅填序号）．①AP 2＝PB ·AB ；②AB 2＝AP ·PB ；③BP 2＝AP ·AB ；④AP ：AB ＝PB ：AP17．已知点P （a ，m ）和Q （b ，m ）是抛物线3422-+=x x y 上的两个不同点，则a ＋b ＝ ． 18．若反比例函数1y x=-的图象上有两点A （1，y 1），B （2，y 2），则y 1______ y 2（填“>”或“=”或“<”）． 19．如图是小刚画的一张脸，他对同学说：“如果我用(1，3)表示左眼，用(3，3)表示右眼，那么嘴的位置可以表示成 ．”20．在有理数中，倒数是它本身的数有 ，平方等于它本身的数有 ，立方等于它本身的数有 ，绝对值等于它本身的数有 ．21．某商场在“五一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是 ．三、解答题22．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面AB 平行的护栏MN （MN=AB ）．小明量得每一级石阶的宽为32cm ，高为24cm ，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，如果每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求出坡角∠BAC 的大小（精确到度）和护栏MN 的长度．以下数据供选用：tan3652120.7500,tan53748 1.3333,sin3652120.6000,sin537480.8000''''''''''''︒=︒=︒=︒=23．已知，如图，⊙O 1和⊙O 2 外切于点 P ，AC 是⊙O 1的直径，延长 AP 交⊙O 2 于点 B ，过 点B 作⊙O 2的切线交 AC 的延长线于点D ，求证：AD ⊥BD.24．某口袋中放有 5 个自球，4 个器球，先从中模出一球后，不放回口袋中，再模一次，问两次揍到的都是黑球的概率是多少？25．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连结AE ．求证：（1）BF=DF ；(2）AE ∥BD ．26．如图，BD 是△ABC 角平分线，DE ∥BC ，EF ∥AC ，求证：BE=CF.提示：BE ＝ED ＝FC ．27．已知⎩⎨⎧==32y x 是方程组⎩⎨⎧+=-=+43y b ax by ax 的解，求a ，b 的值．28．某中学七年级有 6 个班，要从中选出 2 个班代表学校参加某项活动，七 (1)班必须参加，另外再从七(2)至七(6)班选出 1 个班. 七(4)班有学生建议用如下的方法：从装有编号为 1，2，3 的三个白球的，A袋中摸出 1个球，再从装有编号为 1，2，3 的三个红球的B袋中摸出 1 个球(两袋中球的大小、形状与质量等完全一样)，摸出的两个球上的数字和是几，就选几班，你认为种方法公平吗？请说明理由.29．如图，四边形A′B′C′D′是由四边形ABCD旋转得到的，请找出旋转中心，并量出旋转角的度数．30．已知实数a、b、c在数轴上的对应点如下图所示，化简a b c a b c a---+--.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．B3．A4．C5．D6．A7．C8．B9．B10．B11．D12．A13．B二、填空题14．73 15．16．①④17．－218．< 19．(2，1)20．1±,0和 1，0 和1±,非负数21．31三、解答题22．AC ＝0.32×200＝64（米），BC ＝0.24×200＝48（米），48tan 0.75,3764BAC BAC ∠==∠≈︒所以 ，80MN AB ==（米）答：坡脚约37︒，护栏长80米.23．连结O 1O 2 ，则必过点 P ，连结O 2B,∵O 1 A=O 1 P,∴∠A=∠O 1PA,同理∠O 2PB=∠O 2BP, 又∵∠O 1PA =∠O 2PB,∴∠A=∠O 2BP.∵BD 是⊙O 2 的切线,∴∠DBA+∠A=∠DBA+∠O 2BP=90°,∴∠ADB= 90°，∴AD ⊥BD ．24． 两次杯搂到黑球的概率为431986P =⨯= 25．思路：（1）能正确说明ADB EBD ∠=∠（或ABF EDF △≌△），BF DF =∴．(2）证明AEB DBE ∠=∠（或EAD BDA ∠=∠），AE BD ∴∥． 26．27．3=a ，1-=b28．不公平，理由略29．略30．由题意，得0a b -<，0c a ->，0b c -<，0a <， ∴原式=()()()a b c a b c a a b c a b c a a ------+=-+-+-++=。
2023年江苏省常州市新北实验中学中考数学二模试卷【答案版】
2023年江苏省常州市新北实验中学中考数学二模试卷一、选择题(本大题共18小题,每小题2分,共16分,在每小题所给的四个选项中,只有一项是正确的,请把答案直接填写在答题卡相应的位罩上) 1．﹣2的绝对值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−122．若代数式√x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1B ．x ≥0C ．x ＞0D ．x ≥0且x ≠13．下列各式计算正确的是 （ ） A ．m +m ＝m 2B ．2m ﹣m ＝2C ．（﹣m ）3＝m 3D ．m •3m 3＝3m 44．一个几何体的主视图是圆，这个几何体可能是 （ ） A ．三棱柱B ．正方体C ．圆柱D ．三棱锥5．著名数学家、教育家华罗庚出生地是常州哪个地区？（ ） A ．金坛区B ．武进区C ．溧阳市D ．天宁区6．多边形的每个内角均为120°，则这个多边形的边数是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．87．下面四组a ，b 的值，能说明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”是假命题的是 （ ） A ．a ＝2，b ＝1B ．a ＝﹣2，b ＝1C ．a ＝2，b ＝﹣1D ．a ＝3，b ＝﹣28．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点P ，且AC 过原点O ，AB ∥x 轴，点C 的坐标为（6，3），反比例函数y =kx 的图象经过A ，P 两点，则k 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．﹣27的立方根是 ． 10．分解因式：a 2﹣4b 2＝ ．11．在一个不透明的盒子中装有n 个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，这n 个球中有5个是红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.05，那么可以推算出n 的值大约是 ．12．西太湖是苏南仅次于太湖的第二大湖泊，南接宜兴，北通长江，东濒太湖，西接长荡湖，水域面积约164000000平方米，164000000这个数用科学记数法可表示为 ． 13．若a ＞0，a 2＝30，则a 的整数部分等于 ．14．若x ＝2是关于x 的方程x 2﹣x +m 2﹣5＝0的一个根，则m ＝ ． 15．在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5，sin A =34，则BC ＝ ．16．将y ＝﹣2x 2的图象向上平移3个单位得到一个新的二次函数图象，请写出新的二次函数图象的顶点的坐标为 ．17．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C ，AE 为直径，AB ＝8，CD ＝2，则线段CE 的长为 ．18．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 、C 三点的坐标分别为(12，1)，（4，1），（3，0），点P 为线段AB 上的一个动点，连接PC ，过点P 作PQ ⊥PC 交y 轴于点Q ，当点P 在AB 上运动时，点Q 随之运动，设点Q 的坐标为（0，t ），则t 的取值范围是 ．三、解答题(本大题共10小题,共84分,请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19．计算：√18+(−3)2−(π+2)0−(12)−1． 20．解方程组和不等式组： （1）{2x +3y =3x −3y =9；（2）{13x −4＞−x x ≥2x −5．21．如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，连接DE 并作DE 的垂直平分线交AD 于F ，连接EF 并作EF 的垂直平分线交AD 于G ，连接EG ．以E 为圆心，EG 为半径画弧交BC 于H ，连接EH ． （1）∠BHE 与∠ADE 有怎样的数量关系？答： ； （2）证明（1）中的结论．22．某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“80≤x＜90”这组的数据如下：82，83，83，84，84，85，85，86，86，86，87，89．竞赛成绩分组统计表请根据以上信息，解答下列问题：（1）c＝；（2）“80≤x＜90”这组数据的众数是分；（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是分；（4）若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校3000名学生中优秀学生的人数．23．甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元．甲、乙两公司各有多少人？24．甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯．（1）如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是；（2）请你用画树状图或列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率．25．某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100～150亩稻田，预计原360亩稻田今年每亩收益440元，已知每新增稻田1亩，今年每亩的收益减少2元．试问：该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？26．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y=12x2+1x的图象及性质进行了探究和应用．下面是小明的探究过程，请补充完成：（1）函数y=12x2+1x的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值，在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各对对应值为坐标的点，请你根据描出的点，画出该函数的图象；（3）探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1，32)，结合函数的图象，写出该函数的其它2条不同的性质：①，②；（4）设a=12(3−√35)213−√35b=12(2−√37)212−√37，利用图象比较a和b的大小（请写出比较过程）．27．（10分）阅读理解早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角形的三条边分别称为小斜（记为a ）、中斜（记为b ）和大斜（记为c ），以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隔，开平方得积．若把以上这段文字写成公式即为√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，（a ＜b ＜c ），其中a 、b 、c 为2三角形三边的长．请用此公式解决下列问题：（1）如图，已知图中3个正方形的面积分别为2，1，4，求△ABC 的面积． 深入探究古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海伦公式：三角形面积S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，其中a 、b 、c 为三角形三边长，p =a+b+c2， （2）请你用秦九韶公式证明海伦公式． 灵活应用结合上面学习的知识解决以下问题：（3）已知三角形三边长分别为5，6，7，求这个三角形的内切圆半径．28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、点B 的坐标分别为（﹣2，0）、（0，8）．经过A 、B 、O 三点的圆的圆心为M ，过点M 的直线与⊙M 的公共点是D 、E ，与x 轴交于点F ，与y 轴交于点N ，连接AE 、OD 、BD ．已知∠ODF ＝45°．（1）⊙M 的直径为 ，点M 的坐标为 ； （2）求直线DF 所对应的函数表达式；（3）若P 是线段AF 上的动点，∠PEA 与△BDO 的一个内角相等，求OP 的长度．2023年江苏省常州市新北实验中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共18小题,每小题2分,共16分,在每小题所给的四个选项中,只有一项是正确的,请把答案直接填写在答题卡相应的位罩上) 1．﹣2的绝对值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12解：﹣2的绝对值是2，即|﹣2|＝2． 故选：A ．2．若代数式√x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1B ．x ≥0C ．x ＞0D ．x ≥0且x ≠1解：由题意得，x ≥0， 故选：B ．3．下列各式计算正确的是 （ ） A ．m +m ＝m 2B ．2m ﹣m ＝2C ．（﹣m ）3＝m 3D ．m •3m 3＝3m 4解：A ．m +m ＝2m ，故此选项不合题意； B ．2m ﹣m ＝m ，故此选项不合题意； C ．（﹣m ）3＝﹣m 3，故此选项不合题意； D ．m •3m 3＝3m 4，故此选项符合题意． 故选：D ．4．一个几何体的主视图是圆，这个几何体可能是 （ ） A ．三棱柱B ．正方体C ．圆柱D ．三棱锥解：一个几何体的主视图是圆，符合这个条件的几何体只有圆柱． 故选：C ．5．著名数学家、教育家华罗庚出生地是常州哪个地区？（ ） A ．金坛区B ．武进区C ．溧阳市D ．天宁区解：著名数学家、教育家华罗庚出生地是常州金坛区， 故选：A ．6．多边形的每个内角均为120°，则这个多边形的边数是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．8解：180°﹣120°＝60°，360°÷60°＝6．故选：C ．7．下面四组a ，b 的值，能说明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”是假命题的是 （ ） A ．a ＝2，b ＝1B ．a ＝﹣2，b ＝1C ．a ＝2，b ＝﹣1D ．a ＝3，b ＝﹣2解：A 、a ＝2，b ＝1，满足a 2＞b 2，也满足a ＞b ，故不能作为证明原命题是假命题的反例； B 、a ＝﹣2，b ＝1，满足a 2＞b 2，但不满足a ＞b ，故能作为证明原命题是假命题的反例； C 、a ＝2，b ＝﹣1，满足a 2＞b 2，也满足a ＞b ，故不能作为证明原命题是假命题的反例； D 、a ＝3，b ＝﹣2，满足a 2＞b 2，也满足a ＞b ，故不能作为证明原命题是假命题的反例； 故选：B ．8．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点P ，且AC 过原点O ，AB ∥x 轴，点C 的坐标为（6，3），反比例函数y =kx 的图象经过A ，P 两点，则k 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解：∵在菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 互相垂直且平分， ∴P A ＝PC ，∵AC 经过原点O ，且反比例函数y =kx 的图象恰好经过A ，P 两点， ∴由反比例函数y =kx 图象的对称性知： OA ＝OP =12AP =12CP ， ∴OP =13OC ．过点P 和点C 作x 轴的垂线，垂足为E 和F ，∴△OPE∽△OCF，∴OP：OC＝OE：OF＝PE：CF＝1：3，∵点C的坐标为（6，3），∴OF＝6，CF＝3，∴OE＝2，PE＝1，∴点P的坐标为（2，1），∴k＝2×1＝2．故选：C．9．﹣27的立方根是﹣3．解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴﹣27的立方根是﹣3，故答案为：﹣3．10．分解因式：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．11．在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，这n个球中有5个是红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.05，那么可以推算出n的值大约是100．解：由题意可得，5n=0.05，解得，n＝100．经检验，n＝100是所列方程的解，故估计n大约是100．故答案为：100．12．西太湖是苏南仅次于太湖的第二大湖泊，南接宜兴，北通长江，东濒太湖，西接长荡湖，水域面积约164000000平方米，164000000这个数用科学记数法可表示为 1.64×108．解：164000000＝1.64×108．故答案为：1.64×108．13．若a＞0，a2＝30，则a的整数部分等于5．解：∵a＞0，a2＝30，∴a=√30，∵25＜30＜36，∴5＜√30＜6，∴a的整数部分等于5，故答案为：5．14．若x ＝2是关于x 的方程x 2﹣x +m 2﹣5＝0的一个根，则m ＝ ±√3 ． 解：∵x ＝2是关于的x 方程x 2﹣x +m 2﹣5＝0的一个根， ∴22﹣2+m 2﹣5＝0， 解得 m ＝±√3． 故答案为：±√3．15．在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5，sin A =34，则BC ＝ 154．解：在Rt △ABC 中， ∵斜边AB ＝5， ∴sin A =BC AB =34， ∴BC =34×5=154． 故答案为：154．16．将y ＝﹣2x 2的图象向上平移3个单位得到一个新的二次函数图象，请写出新的二次函数图象的顶点的坐标为 （0，3） ．解：将y ＝﹣2x 2的图象向上平移3个单位得到y ＝﹣2x 2+3． 故新函数的顶点坐标是 （0，3）． 故答案为：（0，3）．17．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB 于点C ，AE 为直径，AB ＝8，CD ＝2，则线段CE 的长为 2√13 ．解：连接BE ，如图所示： ∵OD ⊥AB ，AB ＝8， ∴AC =12AB ＝4， 设⊙O 的半径OA ＝r ， ∴OC ＝OD ﹣CD ＝r ﹣2，在Rt △OAC 中，由勾股定理得：r 2＝（r ﹣2）2+42， 解得：r ＝5，∴AE＝2r＝10；∵OD＝5，CD＝2，∴OC＝3，∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6，在Rt△CBE中，CE=√CB2+BE2=√42+62=2√13，故答案为：2√13．18．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为(12，1)，（4，1），（3，0），点P为线段AB 上的一个动点，连接PC，过点P作PQ⊥PC交y轴于点Q，当点P在AB上运动时，点Q随之运动，设点Q的坐标为（0，t），则t的取值范围是−14≤t≤5．解：①如图所示：当点P在AB之间时，当延长BA交y轴于点N，即过点C作CM⊥AB，垂足为M，∴∠ANQ＝∠CMA＝90°，∴∠NQA+∠APQ＝90°，∵PQ⊥PC，∴∠QPC＝90°，∴∠APQ+∠BPC＝90°，∴∠NQA ＝∠BPC ， ∴△NPQ ∽△MPC ， ∴NQ PM=NP CM，设PN ＝x ，则PM ＝3﹣x ，NQ ＝y ， ∴y 3−x=x1，y =x(3−x)=3x −x 2=−(x −32)2+94， ∵﹣1＜0，12≤x ≤3，∴当x =32时，y 有最大值94，∴t =1−94=−54， 当x ＝3时，y 有最小值0， ∴t ＝1，∴t 的取值范围为：−54≤t ≤1②如图1所示，过点C 作CM ⊥AB ，延长BA 交y 轴于点N ，连接CQ ，当点P 运动到点A 时，∵A(12，1)，B （4，1）， ∴AB ∥x 轴， ∴N （0，1）， ∴AN =1−12=12，NQ ＝1﹣t ， ∵C （3，0），O （0，0），AB ∥x 轴， ∴OC ＝MN ＝3， ∴AM =MN −AN =52，∵A(12，1)，B （4，1），CM ⊥AB ， ∴CM ＝1，∴AQ 2=AN 2+NQ 2=(12)2+(1−t)2=t 2−2t +54，PC 2=AM 2+MC 2=(52)2+12=294， ∵x 轴⊥y 轴， ∴∠COQ ＝90°，∴QC 2＝OQ 2+OC 2＝t 2+32＝t 2+9， ∵PQ ⊥PC ， ∴∠CPQ ＝90°，∴QC 2=AQ 2+PC 2=t 2−2t +54+294=t 2−2t +344， ∴t 2−2t +344=t 2+9， ∴−2t =12， ∴t =−14；③如图2所示，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，延长BA 交y 轴于点N ，连接CQ ，当点P 运动到点B 时，∵A(12，1)，B （4，1）， ∴AB ∥x 轴，∴BN ＝OM ＝4，BM ＝1，∴N （0，1），O （0，0），Q （0，t ）， ∴NQ ＝t ﹣1，ON ＝1，OQ ＝t ， ∵C （3，0），AB ∥x 轴， ∴OC ＝3，∴CM ＝OM ﹣OC ＝1， ∵BM ⊥x 轴， ∴∠BMO ＝90°，∴BC 2＝BM 2+CM 2＝12+12＝2，BQ 2＝NQ 2+BN 2＝（t ﹣1）2+42＝t 2﹣2t +17， ∵PQ ⊥PC ， ∴∠CPQ ＝90°，∴QC 2＝BQ 2+BC 2＝t 2﹣2t +17+2＝t 2﹣2t +19， ∵x 轴⊥y 轴， ∴∠QOC ＝90°，∴QC 2＝OQ 2+OC 2＝t 2+32＝t 2+9， ∴t 2﹣2t +19＝t 2+9， ∴t ＝5，∴t 的取值范围是：−14≤t ≤5， 综上可知：−54≤t ≤5， 故答案为：−54≤t ≤5．三、解答题(本大题共10小题,共84分,请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19．计算：√18+(−3)2−(π+2)0−(12)−1． 解：原式＝3√2+9﹣1﹣2＝3√2+6． 20．解方程组和不等式组： （1）{2x +3y =3x −3y =9；（2）{13x −4＞−x x ≥2x −5．解：（1）{2x +3y =3①x −3y =9②，①+②得：3x ＝12， 解得：x ＝4，把x ＝4代入①中得：8+3y ＝3， 解得：y =−53． ∴原方程组的解为：{x =4y =−53；（2）{13x −4＞−x①x ≥2x −5②，解不等式①得：x ＞3；解不等式②得：x≤5；∴原不等式组的解集为：3＜x≤5．21．如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接DE并作DE的垂直平分线交AD于F，连接EF并作EF的垂直平分线交AD于G，连接EG．以E为圆心，EG为半径画弧交BC于H，连接EH．（1）∠BHE与∠ADE有怎样的数量关系？答：∠BHE＝4∠ADE；（2）证明（1）中的结论．（1）解：∠BHE与∠ADE的数量关系为∠BHE＝4∠ADE，故答案为：∠BHE＝4∠ADE；（2）证明：∵DE的垂直平分线交AD于F，∴FD＝FE，∴∠FDE＝∠FED，∴∠GFE＝∠FDE+∠FED＝2∠FDE，∵EF的垂直平分线交AD于G，∴GF＝GE，∴∠GFE＝∠GEF，∴∠AGE＝∠GFE+∠GEF＝2∠GFE＝4∠FDE＝4∠ADE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∵E为AB的中点，∴EA＝EB，∵以E为圆心，EG为半径画弧交BC于H，∴EG＝EH，在Rt△AEG和Rt△BEH中，，{EG=EHEA=EB∴Rt△AEG≌Rt△BEH（HL），∴∠AGE＝∠BHE，∴∠BHE＝4∠ADE．22．某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“80≤x＜90”这组的数据如下：82，83，83，84，84，85，85，86，86，86，87，89．竞赛成绩分组统计表请根据以上信息，解答下列问题：（1）c＝20；（2）“80≤x＜90”这组数据的众数是86分；（3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是85.5分；（4）若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校3000名学生中优秀学生的人数．解：（1）由题意得，样本容量为：8÷16%＝50，∴c＝50×（1﹣16%﹣24%﹣20%）＝20．故答案为：20；（2）80≤x＜90”这组的数据的众数是86；故答案为：86；（3）由题意得，a＝50×20%＝10，b＝50×24%＝12，随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是（85+86）÷2＝85.5，故答案为：85.5； （4）3000×2750=1620（人）． 答：估计全校1200名学生中优秀学生的人数约1620人．23．甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元．甲、乙两公司各有多少人？ 解：设乙公司有x 人，则甲公司有1.2x 人， 根据题意得：30000x−300001.2x=20，解得：x ＝250，经检验，x ＝250是原方程的解，且符合题意， ∴1.2x ＝300．答：甲公司有300人，乙公司有250人．24．甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a 层出电梯，乙在b 层出电梯．（1）如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是 14；（2）请你用画树状图或列表法求出甲、乙在相邻楼层出电梯的概率．解：（1）如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是14，故答案为：14；（2）列表如下：一共出现16种等可能结果，其中甲、乙在相邻楼层出电梯的有6种结果， 则甲、乙在相邻楼层出电梯的概率=616=38． 25．某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100～150亩稻田，预计原360亩稻田今年每亩收益440元，已知每新增稻田1亩，今年每亩的收益减少2元．试问：该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？解：根据题意得出：y ＝360×440+x （440﹣2x ）＝158400+440x ﹣2x 2＝﹣2（x ﹣110）2+182600， 所以可得：当x ＝110亩时，才能使总收入最大，最大收益是182600元．26．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y =12x 2+1x 的图象及性质进行了探究和应用．下面是小明的探究过程，请补充完成：（1）函数y =12x 2+1x的自变量x 的取值范围是 x ≠0 ；（2）下表是y 与x 的几组对应值，在平面直角坐标系xOy 中，描出了表中各对对应值为坐标的点，请你根据描出的点，画出该函数的图象；（3）探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1，32)，结合函数的图象，写出该函数的其它2条不同的性质：① 当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 ，② 当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 ； （4）设a =12(3−√35)213−√35b =12(2−√37)212−√37，利用图象比较a 和b 的大小（请写出比较过程）．解：（1）由y =12x 2+1x 可得，x ≠0， 故答案为：x ≠0； （2）如图：（3）探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1，32)，结合函数的图象得出： ①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小； ②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；故答案为：当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大； （4）由图象可知，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小； ∵3−√35＞3−√37， ∴a ＜b ．27．（10分）阅读理解早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角形的三条边分别称为小斜（记为a ）、中斜（记为b ）和大斜（记为c ），以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隔，开平方得积．若把以上这段文字写成公式即为√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，（a ＜b ＜c ），其中a 、b 、c 为2三角形三边的长．请用此公式解决下列问题：（1）如图，已知图中3个正方形的面积分别为2，1，4，求△ABC 的面积． 深入探究古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海伦公式：三角形面积S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，其中a 、b 、c 为三角形三边长，p =a+b+c2， （2）请你用秦九韶公式证明海伦公式． 灵活应用结合上面学习的知识解决以下问题：（3）已知三角形三边长分别为5，6，7，求这个三角形的内切圆半径．（1）解：由题意得， a 2＝1，b 2＝2，c 2＝4，∴S △ABC =12√1×2−(1+2−42)2=√74；（2）证明：S =12√(ab)−(a 2+b 2−c 22)=12√(ab +a 2+b 2−c 22)⋅(ab −a 2+b 2−c 22) =12√(a+b+c)(a+b−c)2⋅(c+a−b)(c−a+b)2， =√(a+b+c 2)(a+b+c−2c 2)(a+b+c−2b 2)(a+b+c−2a2) =√p(p −a)(p −b)(p −c)（p =a+b+c2）； （3）解：∵a ＝5，b ＝6，c ＝7， ∴p =5+6+72=9， ∴p ﹣a ＝4，p ﹣b ＝3，p ﹣c ＝2， ∴S =√9×4×3×2=6√6， 设三角形的内切圆半径为r ， ∴12×（5+6+7）r ＝6√6，∴r =2√63，∴这个三角形的内切圆半径为：2√63． 28．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、点B 的坐标分别为（﹣2，0）、（0，8）．经过A 、B 、O 三点的圆的圆心为M ，过点M 的直线与⊙M 的公共点是D 、E ，与x 轴交于点F ，与y 轴交于点N ，连接AE 、OD 、BD ．已知∠ODF ＝45°．（1）⊙M 的直径为 2√17 ，点M 的坐标为 （﹣1，4） ；（2）求直线DF所对应的函数表达式；（3）若P是线段AF上的动点，∠PEA与△BDO的一个内角相等，求OP的长度．解：（1）连接AB，如图：∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙M的直径，∵A（﹣2，0），B（0，8），∴AB=√22+82=2√17，∴⊙M的直径为2√17，∵M为AB中点，∴M（﹣1，4）；故答案为：2√17，（﹣1，4）；（2）连接OM，如图：∵∠ODF＝45°，∴∠OMF ＝2∠ODF ＝90°，∴OM 2+FM 2＝OF 2，设F （t ，0），∵O （0，0），M （﹣1，4），∴17+（t +1）2+16＝t 2，解得t ＝﹣17，∴F （﹣17，0）；设直线DF 所对应的函数表达式为y ＝kx +b ，把M （﹣1，4），F （﹣17，0）代入得： {−k +b =4−17k +b =0， 解得{k =14b =174， ∴直线DF 所对应的函数表达式为y =14x +174； （3）设E （m ，14m +174）， ∵M （﹣1，4），EM =√17，∴（m +1）2+（14m +174−4）2＝17， 解得m ＝﹣5或m ＝3，∴E （﹣5，3），D （3，5）；①当∠PEA ＝∠OBD 时，连接OE ，如图：∵∠FDO ＝45°，∠EOD ＝90°，∴∠DEO ＝45°，∵OD̂=OD ̂， ∴∠OBD ＝45°，∴∠PEA ＝45°，∵∠P AE＝180°﹣∠EAO＝∠FDO＝45°，∴∠EP A＝90°，∴P（﹣5，0），∴OP＝5；②当∠PEA＝∠BOD时，如图：∵E（﹣5，3），A（﹣2，0），∴AE＝3√2，∵B（0，8），D（3，5），∴OB＝8，BD＝3√2，∵∠PEA＝∠BOD，∠P AE＝∠OBD＝45°，∴△P AE∽△DBO，∴PABD =AEOB，即3√2=3√28，∴P A=9 4；∴OP＝P A+OA=17 4；③当∠PEA＝∠BDO时，如图：∵∠P AE＝∠OBD＝45°，∴△PEA∽△ODB，∴PAOB =AEBD，即PA8=√23√2，∴P A＝8，∴OP＝P A+2＝10；综上所述，OP的长度为5或174或10．。
2020年江苏省常州市中考数学二模试题附解析
2020年江苏省常州市中考数学二模试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．用长为5cm ，6cm ，7cm 的三条线段围成三角形的事件是（ ）A ．随机事件B ．必然事件C ．不可能事件D ．以上都不是2．已知样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2∶4∶3∶1，则第二小组和第三小组的频率分别为（ ）A ．0.4和0.3B ．0.4和9C ．12和0.3D ．12和9 3．下列等式：⑴632=⨯；⑵2221=；⑶252322=+；⑷27=33； ⑸=+9494+；⑹32)32(2-=-．成立的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个 4．如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（ ）A ．B C ． D ． 5．若正比例函数的图象经过点（-l ，2），则这个图象必经过点（ ）A ．（1，2）B ． （-l ，-2）C ．（2，-1）D ． （1，-2） 6．下列命题不正确的是（ ）A ．在同一三角形中，等边对等角B ．在同一三角形中，等角对等边C ．在等腰三角形中与顶角相邻的外角等于底角的2倍D ．等腰三角形是等边三角形7．下列现象中，属于平移变换的是（ ）A ．前进中的汽车轮子B ．沿直线飞行的飞机C ．翻动的书D ．正在走动中的钟表指针8．把分式方程1111x x x -=--变形后，下列结果正确的是（ ） A ．1(1)x x --=B ．1(1)x x --=-C ．1(1)x x ---=-D ．1x x -=-9． 已知下列条件，不能作出三角形的是（ ）A ．两边及其夹角B 两角及其夹边C ．三边D ．两边及除夹角外的另一个角10．若222x mx +-可分解因式(21)(2)x x +-，则m 的值是（ ）A ．-1B ．1C ．-3D ．3 11．下列计算中，正确的是（ ） A ．835()()x x x -÷-= B ．433()()a b a b a b ÷+÷=+C ．623(1)(1)(1)x x x -÷-=-D ．532()a a a -÷-=12．下列合并同类项正确的是（ ） A ．22523x x -=B ．6713x y xy +=C ．2222a b a b a b -+=D ．523x x -= 13．计算222222113(22)(46)32a c b a b c +-+---的结果是（ ）A ． 225106a b + B ． 221106a b -- C ． 221106a b -+ D ． 225106a b - 二、填空题14．已知抛物线y ＝ax 2与双曲线y ＝－2ｘ交点的横坐标大于0，则a 0. <15．如图，正方形ABCD 的边长为4，MN ∥BC 分别交AB ，CD 于点M ，N ，在MN 上任取两点P ，Q ，那么图中阴影部分的面积是 ．16．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是 ．17．已知菱形的一个内角为120°，且平分这个内角的对角线长为8 cm ，则这个菱形的周长为 ．18．如图，直线y kx b =+经过A(2，1)、B(-l ，-2)两点，则不等式122x kx b >+>-的解为 .19．a 是数据l ，2，3，4，5的中位数，b 是数据2，3，3，4的方差，则点P （a ，b ）关于x轴的对称点的坐标为 . 20．等边三角形三个角都是 ．21．若1232n =，则n ＝_____. 22．在243y x 中，如果5.1=x ，那么y = ； 如果y ＝0，那么x = . 23．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为_________米．三、解答题24．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC 的长．25．．某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x(元)与日销售量 y(张)之间有如下关系：x (元)3 4 5 6 y(张) 20 15 12 10(1)根据表中数据在直角坐标系中描出实数 对(x ，y)的对应点；(2)猜测并确定 y 与x 之间的函数关系式，并画出图象；(3)设经营此贺卡的销售利润为ω元，试求ω与x 之间的函数关系式，如果物价局规定此贺卡售价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x 定为多少元时，才能获得最大日销售利润？60︒CB A26．某超市销售一种商品，每件商品的成本是20元．经统计销售情况发现，当这种商品的单价定为40元时，每天售出200件．在此基础上，假设这种商品的单价每降低1元，每天就会多售出20件．(1）用代数式表示，这种商品的单价为x 元（x<40）时，销售1件该商品的利润和每天销售该商品的数量；(2）当商品单价定为多少时，该超市每天销售这种商品获得的利润为4500元．27．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，若AE=12，BD=15，AC=20，求梯形ABCD 的面积．150，提示：过点D 作DF ⊥BC 于F ．28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数162y x =-+的图象分别交x ，y 轴于点A ，B ，与一次函数y x =的图象交于第一象限内的点 C ． (1)分别求出A ，B ，C 的坐标；(2)求出△AOC 的面积.29．已知28mx y +=，564x y -=，2590x y +-=三个方程有公共解，求m 的值.30．如图，已知要从电杆离地面 5m 的A处向地面拉一条锁线加固，地面缆线固定点 B到电杆底部C的距离是4m.求缆线 AB 的长( 已知缆线的计算公式22=+结果保留 2 个有效AB AC BC数字).【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．A3．C4．D5．D6．D7．B8．B9．D10．C11．D12．C13．C二、填空题14．15．816．平行四边形17．32 cm18．12x-<<19．(3，1 2 -)20．60°21．-522．-3 , 623．22.5三、解答题24．如图，作AD⊥BC于D，则AD=AB·sin60°=2，BD=AB·cos60°=52，CD112===，∴BC=BD+CD=8．25．（1)如图，(2)是反比例函数，60y x= (x 为正整数)图象如图. (3)60120(2)60w x x x=-⋅=- ，当定价x 定为10元/张时，利润最大，为48 元. 26．（1）x －20；200＋（40－x ）×20；（2）（x －20）（1000－20x ）＝4500，x ＝35． 27．150，提示：过点D 作DF ⊥BC 于F ．28．(1) A(12,0), B(0,6), C(4,4) (2) 2429．564(1)2590(2)x y x y -=⎧⎨+-=⎩，由①，②得21x y =⎧⎨=⎩，代入28mx y +=，得228m +=，所以3m =. 30．6.4 m。
2023年江苏省常州市金坛区中考数学二模试卷(含解析)
2023年江苏省常州市金坛区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 3的相反数是( )A. 3B. −3C. 13D. −132. 若式子x−4有意义，则x的取值范围是( )A. x<4B. x>4C. x≤4D. x≥43.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )A. 三棱柱B. 三棱锥C. 四棱柱D. 圆锥4. 已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是( )A. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 13cm5. 下列计算正确的是( )A. a3+a2=a5B. a3⋅a2=a5C. a3÷a2=a5D. (a3)2=a56. 已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是( )A. 48πcm2B. 36πcm2C. 24πcm2D. 12πcm27. 一辆汽车油箱中剩余的油量y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为( )A. 150kmB. 165kmC. 125kmD. 350km8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是(0,4)，点B 的坐标是(3,4)，将△AOB 向右平移到△CED 的位置，点C 、E 、D 依次与点A 、O 、B 对应点，F 是DE 的中点，若反比例函数y =k x(k ≠0)的图象经过点C 和点F ，则k 的值是( )A. 5B. 6C. 8D. 10二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9. 4=______．10. 计算：x +5x −5x = ______ ．11. 分解因式：x 2−2x +1=______．12. 2021年12月9日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进太空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过14600000人次．把“14600000”用科学记数法表示为______．13.如图，数轴上的点A 、B 分别表示实数a 、b ，则a +b______ 0(填写“>”、“<”或“=”)．14. 若二次函数y =ax 2−3x−1的图象开口向下，则实数a 的取值范围是______ ．15. 如图，在△ABC 中，AB =AC =8，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，AC 上，DE //AC ，EF //AB ，则四边形ADEF 的周长是______ ．16.如图，∠DCE 是⊙O 内接四边形ABCD 的一个外角，若∠DCE=72°，那么∠BOD 的度数为______．17.如图，OP平分∠MON，点A是OM上一点，点B是OP上一点，AB⊥OP，若AB=3，OB=4，则点B到ON的距离是______ ．18.如图，正方形ABCD的边长为2，G是边CD的中点，E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF.当GF最小时，它的长是______ ．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。
2024年江苏省常州市多校联考中考二模考试数学试卷
2024年江苏省常州市多校联考中考二模考试数学试卷一、单选题(★) 1. 16的平方根是（）A．B．4C．D．(★) 2. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．(★) 3. 下列整数中，与最接近的是（）A．1B．2C．3D．4(★★★) 4. 圆锥的侧面展开图是（）A．三角形B．矩形C．扇形D．圆(★) 5. 一组数据：12， 5， 3， 2，， 6 的中位数为（）A．3B．4C．2D．2.5(★★) 6. 已知两点和在反比例函数的图像上，且则（）A．B．C．D．(★★) 7. 如图，C、D是为直径的半圆上的点，且C是弧的中点，，则的度数为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列个结论①，②，③，④其中成立的结论是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④二、填空题(★) 9. 的相反数是 _____________ ．(★★) 10. 分解因式： _____________(★) 11. 计算： _____ ．(★) 12. 2024年，“两湖”创新区总部经济和功能配套类项目包括南医大常州校区、华东师范大学附属常州西太湖学校、常州大学三期等共21个项目，其中已开工项目4个，计划总投资亿元，即元，把用科学记数法表示为 _____________ ．(★) 13. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%左右，则鱼塘中估计有鱼 ________ 条．(★★) 14. 已知m为方程的一个根，则代数式的值是_____________ ．(★★★) 15. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为 __ ．(★★★★) 16. 如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为 ______ ．(★★★) 17. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，中点E与点D的连线交于点F．已知矩形的面积为20，则四边形的面积为 _____________ ．(★★★★) 18. 对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是_____________ ．三、解答题(★★★) 19. 先化简，再求值：其中．(★★) 20. 解不等式组：并写出该不等式组的最小整数解．(★★) 21. 某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组.要求每人必须参加.并且只能选择其中一个小组,为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出).请你根据给出的信息解答下列问题：(1)求参加这次问卷调查的学生人数.并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据)；(2)(3)若某校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组有多少人？(★★) 22. 有三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2，，3 后放入一个不透明的口袋搅匀，任意摸出一个小球，记下数字a后，放回口袋中搅匀，再任意摸出一个小球，又记下数字 b．这样就得到一个点A的坐标．(1)点A落在坐标轴上的概率为；(2)求这个点恰好在函数的图像上的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果）(★★★) 23. 如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．（1）求证：（2）若的面积为5，求的面积．(★★) 24. 某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的原料成本为每件900元．(1)写出每天的生产成本元（包括固定成本与原料成本）与每天的生产量件之间的函数关系式；(2)如果每件产品的出厂价为1200元，假设生产的产品全部售出，那么每天至少生产多少件产品，该工厂才能不亏损．．．？(★★★) 25. 如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD 开通穿山隧道EF，从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）(★★★★) 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点A在以为直径的半圆上，且点A的横坐标为，M为线段的中点．(1)求点A的纵坐标；(2)用直尺和圆规作一个，使它经过点M且与x轴相切（作一个即可，不写作法，但要保留作图痕迹）；(3)求满足（2）中条件的点P纵坐标的最小值．(★★★★) 27. 经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两个三角形，如果其中一个三角形与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为原三角形的“形似线段”．(1)等边三角形存在“形似线段”吗？ (填“存在”或“不存在” )；(2)如图①，在中，，，，若是的“形似线段”，求的长；(3)如图②，在中，，，．当有且只有二条“形似线段”时，线段的取值是．(★★★★) 28. 【尝试】如图，二次函数的图象经过点和，与y轴相交于点C．已知位于点B右侧图象上有一动点P，并且射线分别交y轴于点D、点E．（1）求二次函数表达式；（2）线段有什么数量关系？请说明理由．【探究】（3）若二次函数的图象经过上述A、B两点，其它条件不变，线段的以上数量关系还成立吗？说明理由．【拓展】（4）若开口向上的二次函数的图象经过两点和，且，其它条件不变，请直接写出线段的数量关系是．。
2023年江苏省常州市中考二模数学试题(含解析)
17．如图，在四边形 ABCD 中， A C 90 ， D 60 ， AB 4 3 ， BC 3 ，则 AD 的长是______．
18．如图，点 A、B 为直线 y x 上的两点，过 A、B 两点分别作 x 轴的平行线交双曲线 试卷第 3 页，共 7 页
5 是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由． 28．（1）如图①，在 Rt△ABC 中， ACB 90 ， AC 6 ， BC 2 3 ，则 A 的大小 为______；
【探究】 （2）如图②，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，对角线 AC 与 BD 相交于 O，若 AC 8 ， BD 6 ， AOD 60 ，求四边形 ABCD 的面积；
试卷第 5 页，共 7 页
25．（1）如图①，在矩形 ABCD 中，在 BC 边上是否存在点 P，使∠APD＝90°，若存在 请用直尺和圆规作出点 P（保留作图痕迹） （2）若 AB＝4，AD＝10，求出图①中 BP 的长． （3）如图②，在△ABC 中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD 是 BC 边上的高，E、F 分别为 AB，AC 的中点，当 AD＝6 时，BC 边上是否存在一点 Q，使∠EQF＝90°，求此时 BQ 的长．
2023 年江苏省常州市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．实数 2023 的绝对值为（ ）
1 A．
2023
B． 1 2023
C．2023
D． 2023
2．下列不等式一定成立的是（ ）
2023年江苏省常州市前黄实验学校中考二模数学试题(含答案解析)
2023年江苏省常州市前黄实验学校中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．5B．【答案】BA．3【答案】C【分析】根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键．7．若二次函数225=++y x xA．14B．825【答案】B【分析】设小正方形边长为1，由平行线的性质得到QTY=∠∠【详解】解：设小正方形边长为∵线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，∴111052PQMS+=⨯=△，∴115 2PM QM⋅+=，1【点睛】本题主要考查了求一个角的正切值，正确根据面积法求出键．二、填空题9．若式子x 1x 2+-在实数范围内有意义，则【答案】1x ≥-且2x ≠/2x ≠且【分析】根据二次根式的被开方数大于等于【详解】解：由题意，得：x +∴1x ≥-且2x ≠；∴x 的取值范围是1x ≥-且x ≠【答案】1023-+-/2310【分析】根据矩形和平行四边形的性质可得：=====，AD BC A D'AB CD CD'4【答案】(3932y x x =-+<≤【分析】作QD AB ⊥，分点Q 由直角三角形的性质表示出【详解】解：∵90C ∠=︒，由题意知6BQ x =-，∵90C ∠=︒，3cm AC BC ==，∴190452B BAC ∠=∠=⨯︒=︒，∴QDB 为等腰直角三角形，【答案】455【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，所以当等积法，求出OP 的长即可．【详解】解：∵直线y =当0x =时，4y =；当y ∴()()2,0,0,4A B ，∴==OA 2,OB 4，∴222425AB =+=，∵直线24y x =-+与直线∴直线BC 即为直线y =∵点到直线的距离，垂线段最短，∴当OP BC ⊥时，OP 的值最小，过点O 作OP BC ⊥，交BC【答案】83【分析】连接,AC AP ，由菱形的性质可知点G ，过点P 作PH AB ⊥定理求出CG 长度，再证明四边形求解即可．【详解】如图，连接,AC AP ∵四边形ABCD 是菱形中，∴4,AB BC D ABC ==∠=∠∴ABC 是等边三角形，过点C 作CG AB ⊥于点G 则CG PH =，【答案】1772【分析】根据勾股定理分别求出OA 二个、第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：第1个三角形的面积由勾股定理得，221112OA =+=，则第2个三角形的面积1212=⨯⨯【答案】2105/2105【分析】连接DO ，OF 到DFO ∠的度数，再根据折叠的性质可知共线，然后根据勾股定理，即可求得用解直角三角形，即可求解．【详解】解：如图：连接 四边形ABCD 是正方形，将DC DA ∴=，DC DF =DA DF ∴=，在DAO 与DFO 中，DA DF OA OF DO DO =⎧⎪=⎨⎪=⎩(SSS DAO DFO ∴≌V V三、解答题19．计算或化简：(1)这50名学生视力的众数为______，中位数为______(2)求这50名学生中，视力低于4.7的人数占被抽查总人数的百分比；(3)若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于【答案】(1)4.9,4.8(2)视力低于4.7的人数占被抽查总人数的16%(3)估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数为【分析】（1）根据条形图确定出现次数最多的数据，即可求出众数，将数据排序后，找到第25个和第26个数据，两个数据的平均数即为中位数；（2）利用频数除以总数，进行求解即可；（3）利用样本估计总量即可得解．【详解】（1）解：由条形图可知，视力为4.9的学生的人数最多，故众数为第25个和第26个数据分别为：4.8,4.8，故中位数为：故答案为：4.9,4.8；（2）解：1340.1616% 50++==；∴视力低于4.7的人数占被抽查总人数的16%；（3）解：1012632140027250+++++⨯=（人）；答：估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数为【点睛】本题考查条形统计图，中位数，众数，利用样本估计总量．从条形图中有效的获取信息，熟练掌握众数和中位数的确定方法，是解题的关键．由树状图可知一共有8种等可能性的结果数，结果数有2种，∴掷出这三枚硬币所得数字之和是2的概率为【点睛】本题主要考查了求频率，树状图法求解概率，正确画出树状图是解题的关键．23．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点落在边AD上的点G处，连接CF．(1)判断四边形GECF的形状，并说明理由；【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．24．某同学眼睛距地面高度1.7旗杆顶部D 的仰角为22︒，在护旗手结束走正步的点又测量得到A ，B 两点间的距离是【答案】21.7米【分析】延长EF 交CD 于G ，在求出DG 的长，进而可求出求旗杆【详解】解：延长EF 交CD 于1.7CG AE ==米．∵22,45DEF DFG ︒︒∠=∠=，∴在Rt DGF △中，DG GF =，在Rt DGE △中，tan 22DG EG ︒=∴ 2.5tan 22DG EG DG =≈︒，∵EG GF EF -=，∴2.530DG DG -=，解得20DG =，则20 1.721.7DC DG CG =+=+=(1)求证：BC 是O 的切线；(2)求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)1655【分析】（1）根据题意可得OA AB =根据相似三角形的性质可得BOA ∠（2）过点O 作OG BF ⊥于点G 平分FBE ∠，则BD EF ⊥，DF =解．【详解】（1）证明：∵2OA =，∴OA AB AB AC=，∵90OAB ∠=︒，∴90OAB BAC ∠=∠=︒，∴OAB BAC ∼，；∴BOA CBA ∠∠=，∵+90OBA BOA ∠∠︒=，∴+90OBA ABC ∠∠︒=，即90OBC ∠=︒，∵OG BF ⊥，90OAB ∠=︒，弦BF ∴BG AB =，∵OB OB =，∴()Rt Rt HL BOG BOA ≌，∴GBO ABO ∠∠=，∵BF BE =，即BFE △为等腰三角形，∴BD EF ⊥，DF DE =，∵2OA =，4AB =，∴22+25OB OA AB ==，在Rt ABO △中，sin OA OBA OB ∠=在Rt BDE △中，sin DE DBE BE ∠=∴855DE =，∴1655EF =．【点睛】本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂径定理，熟练运用相关知识答题时解题关键．26．【问题提出】（1）如图①，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =则BP 的最小值为______；由垂线段最短可知，当∵90,ABC ∠=︒∴2AC =AB +∵2ABC S AB =⋅ ∴AB BC BP AC ⋅=故答案为：125；（2）作点E 关于直线∵E ，E '关于直线∴PE PE '=，∴PB PE PB +=+∴,,B P E '共线，∴此时PB PE +最小，最小值为∵90,B BC ∠=︒=∴45ACB ∠=︒，∵点E 是BC 的中点，∴1CE =，∴ACE ACB '∠=∠∴90BCE '∠=︒，在Rt BCE '△中，22BE BC CE ''=+∴PB PE +的最小值为（3）作C 关于AD ∵C ，N 关于AB 对称，C ，∴,CE NE CF MF ==，∴CE EF CF NE EF ++=+∵,,,N E F M 共线，∴此时CE EF FC ++的值最小，∵60A ∠=︒，90B Ð=°，∠∴60ADC ∠=︒（3）【拓展延伸】如图3，P 在坐标平面内，记P 为图形S ，线段AB 记为图形与(),h S T 的值；（4）【思维提升】如图4，(A -图形S ，线段AB 记为图形T ，图形13（3）图形S 的(),60O ︒旋转变换得到图形设图形S '的圆心为点P '，连接OP 由旋转的性质可得：=60P OP '∠∴P OP '△是等边三角形，∴1==32OH OP ，=90P HO '∠︒∴22=63=33P H '-，（4）图形S 的(),60O ︒旋转变换得到图形故答案为：23．【点睛】本题考查了新定义、旋转的性质、平面直角坐标系中点的特征、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转的性质和理解新定义解题的关键．28．已知：如图，抛物线2y mx =直线AE ：y x b =+交x 轴于E 点，交(1)求抛物线的解析式；(2)若Q 为抛物线上一点，连接,QE QA ，设点Q 的横坐标为S ，求S 与t 函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）(3)在（2）的条件下，点M 在线段QA 上，点N 是位于Q 、E∴()2,43Q t t t ++，∴2,OB t BQ t =-=∵()()0,3,3,0A E -∴3,3OA BE ==--∴AQBO S S S =-△梯形()(23432t t +++⨯=23922t t =+，即23922S t t =+；（3）当3152S ==当5x =时，8y =，∴()5,8Q -，设直线AQ 的解析式为：∴8530k b b=-+⎧⎨=+⎩，解得∴直线AQ 的解析式为：。
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2016年江苏省常州市中考数学二模试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．﹣的倒数是（）A．﹣ B．C．3 D．﹣32．下列计算正确的是（）A．2﹣1=﹣2 B．20=0 C．（a3）2=a6D．2a+3a=6a3．如图所示，下列选项中，正六棱柱的左视图是（）A． B．C．D．4．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形5．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠26．下列说法不正确的是（）A．为了解全市中学生对常州青果巷的知晓度的情况，适合用抽样调查B．若甲组数据方差S甲2=0.39，乙组数据方差S乙2=0.27，则乙组数据比甲组数据稳定C．某种彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定会中奖D．数据﹣1，1.5，2，2，4的中位数是27．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤48．如图，⊙O的半径为1，点A、B、C、D在⊙O上，且四边形ABCD是矩形，点P是劣弧AD 上一动点，PB、PC分别与AD相交于点E、点F．当PA=AB且AE=EF=FD时，AE的长度为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．9．计算：|﹣5|+=______．10．因式分解：m2n﹣4mn+4n=______．11．函数y=中，自变量x的取值范围是______．12．常州地铁1号线一期工程南起南夏墅，北至北海路，途径市中心文化宫，全线长约33837m，这个长度用科学记数法可表示为______m．13．已知∠α与∠β互补，且∠α=120°，则∠β的正弦值为______．14．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为______．15．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣5=0有一根为﹣1，则另一根等于______．16．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=______．17．如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的交点，PA⊥OP，交x轴于点A，OA=6，则k的值是______．18．定义：若点M、N分别是两条线段a和b上任意一点，则线段MN长度的最小值叫做线段a与线段b的“理想距离”．已知O（0，0），A（1，1），B（3，k），C（3，k+2）是平面直角坐标系中的4个点．根据上述概念，若线段BC与线段OA的理想距离为2，则k的取值范围是______．三、解答题：共10小题，共84分．19．先化简，再求值：已知a是方程x2+x﹣1=0的实根，求代数式（a+2）2﹣3（a﹣1）的值．20．解方程和不等式组（1）解分式方程：；（2）解不等式组：．21．清明期间，某校师生组成200个小组参加“保护环境，美化家园”植树活动．综合实际情况，校方要求每小组植树量为2至5棵，活动结束后，校方随机抽查了其中50个小组，根据他们的植树量绘制出如图所示的两幅不完整统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）请把条形统计图补充完整，并算出扇形统计图中，植树量为“5棵树”的圆心角是______°．（2）请你帮学校估算此次活动共种多少棵树．22．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．（1）列表或画树状图表示所有取牌的可能性；（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案：A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案获胜概率更高？23．如图，AD∥BC，∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．结论：BF=______．24．小明家、小芳家与人民公园依次在一条直线上，小明、小芳两人同时各自从家沿直线匀速步行到人民公园，已知小明到达公园花了22分钟，小芳的步行速度是40米/分钟，设两人出发x（分钟）后，小明离小芳家的距离为y（米），y与x的函数关系如图所示．（1）图中a=960，小明家离公园的距离为1320米；（2）出发几分钟后两人在途中相遇？（3）小芳比小明晚多少分钟到达公园？25．某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地如图1．已知原来三角形绿化地中道路AB长为16米，在点B的拐弯处道路AB与BC所夹的∠B为45°，在点C 的拐弯处道路AC与BC所夹的∠C的正切值为2（即tan∠C=2），如图2．（1）求拐弯点B与C之间的距离；（2）在改造好的圆形（圆O）绿化地中，这个圆O过点A、C，并与原道路BC交于点D，如果点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，求圆O的半径长．26．我们知道对于x轴上的任意两点A（x1，0），B（x2，0），有AB=|x1﹣x2|，而对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为P l，P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2），即d（P1，P2）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（1，3），则d（O，P）=______；（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（3）试求点M（2，3）到直线y=x+2的最小直角距离．27．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（1）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（2）如图②，当α=135°时，求证：A E′=BF′，且AE′⊥BF′；（3）直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，分别表示出此时点E′、D′、F′的坐标（直接写出结果即可）．28．如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x 轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．（1）设a=，m=﹣2时，①求出点C、点D的坐标；②抛物线y=ax2+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．2016年江苏省常州市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．﹣的倒数是（）A．﹣ B．C．3 D．﹣3【考点】倒数．【分析】符号不变，然后将这个数的分子和分母互换位置即可求得这个数的倒数．【解答】解：的倒数是﹣3．故选：D．2．下列计算正确的是（）A．2﹣1=﹣2 B．20=0 C．（a3）2=a6D．2a+3a=6a【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；零指数幂；负整数指数幂．【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，积的乘方等于乘方的积，合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．【解答】解：A、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故A错误；B、非零的零次幂等于1，故B错误；C、积的乘方等于乘方的积，故C正确；D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D错误；故选：C．3．如图所示，下列选项中，正六棱柱的左视图是（）A． B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【解答】解：从左面看可得到左右相邻的2个长方形，故选B．4．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【考点】多边形内角与外角．【分析】一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：外角是180°﹣120°=60°，360÷60=6，则这个多边形是六边形．故选：C．5．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2【考点】全等三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．【解答】解：A、当BE=FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1=∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选C．6．下列说法不正确的是（）A．为了解全市中学生对常州青果巷的知晓度的情况，适合用抽样调查B．若甲组数据方差S甲2=0.39，乙组数据方差S乙2=0.27，则乙组数据比甲组数据稳定C．某种彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定会中奖D．数据﹣1，1.5，2，2，4的中位数是2【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；中位数；方差．【分析】分别利用概率的意义以及抽样调查的意义以及方差的性质和随机事件的定义、中位数的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、为了解全市中学生对常州青果巷的知晓度的情况，适合用抽样调查，正确，不合题意；B、若甲组数据方差S甲2=0.39，乙组数据方差S乙2=0.27，则乙组数据比甲组数据稳定，正确，不合题意；C、某种彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定会中奖，错误，符合题意；D、数据﹣1，1.5，2，2，4的中位数是2，正确，不合题意；故选：C．7．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4【考点】图象法求一元二次方程的近似根；抛物线与x轴的交点．【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t 的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．故答案为D．8．如图，⊙O的半径为1，点A、B、C、D在⊙O上，且四边形ABCD是矩形，点P是劣弧AD 上一动点，PB、PC分别与AD相交于点E、点F．当PA=AB且AE=EF=FD时，AE的长度为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】作辅助线，构建矩形的对角线，根据等边对等角得∠ABP=∠APB，由同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠ACP，根据矩形的四个角都是直角得∠ABC=90°，所以∠APC=90°，证明△ABC≌△APC，得BC=PC，从而证得△PBC是等边三角形，得出∠ACB=30°，求出BC的长，则是AD的长，再三等分即可．【解答】解：连接AC、BD，∵PA=AB，∴∠ABP=∠APB，∵∠ABP=∠ACP，∠APB=∠ACB，∴∠ACB=∠ACP，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠APC=90°，∴∠ABC=∠APC，∴△ABC≌△APC，∴BC=PC，∴AC是BP的垂直平分线，∵O是△PBC的外接圆的圆心，∴O是△PBC三边的垂直平分线的交点，∴BD是PC的垂直平分线，∴BP=BC，∴BP=BC=PC，∴△PBC是等边三角形，∴∠BPC=60°，∴∠BAC=∠BPC=60°，∠ACB=30°，∵⊙O的半径为1，∴AC=2，∴AB=1，BC=，∴AD=BC=，∵AE=EF=FD，∴AE=．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．9．计算：|﹣5|+= 3 ．【考点】实数的运算．【分析】根据立方根的定义和绝对值的性质进行计算即可．【解答】解：原式=5﹣2=3，故答案为3．10．因式分解：m2n﹣4mn+4n= n（m﹣2）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式n，再根据完全平方公式进行二次分解．【解答】解：m2n﹣4mn+4n，=n（m2﹣4m+4），=n（m﹣2）2．故答案为：n（m﹣2）2．11．函数y=中，自变量x的取值范围是x≥3 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由题意，得x﹣3≥0．解得x≥3，故答案为：x≥3．12．常州地铁1号线一期工程南起南夏墅，北至北海路，途径市中心文化宫，全线长约33837m，这个长度用科学记数法可表示为 3.3837×104m．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：33837m，这个长度用科学记数法可表示为3.3837×104m．故答案为：3.3837×104．13．已知∠α与∠β互补，且∠α=120°，则∠β的正弦值为．【考点】特殊角的三角函数值；余角和补角．【分析】根据补角的概念求出∠β的度数，根据特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：∵∠α与∠β互补，且∠α=120°，∴∠β=180°﹣120°=60°，sin60°=．故答案为：．14．已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为 4 ．【考点】圆锥的计算；勾股定理．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高．【解答】解：设圆锥的母线长为R，则15π=2π×3×R÷2，解得R=5，∴圆锥的高==4．15．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣5=0有一根为﹣1，则另一根等于 5 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，设方程的另一根为a，将方程的两根代入一元二次方程的两根之和和两根之积的公式中，求解即可．【解答】解：设该一元二次方程的另一根为a，由题意可得，，解得，即该一元二次方程的另一根为5．故答案为：5．16．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= 105°．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．【分析】连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．【解答】解：连接OQ，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，∴∠OQC=45°，∵BO：OA=1：，设BO=1，OA=，∴AQ=1，则tan∠AQO==，∴∠AQO=60°，∴∠AQC=105°．17．如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的交点，PA⊥OP，交x轴于点A，OA=6，则k的值是9 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由P在y=x上可知△POA为等腰直角三角形，过P作PC⊥OA于点C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过P作PC⊥OA于点C，∵P点在y=x上，∴∠POA=45°，∴△POA为等腰直角三角形，∴PC=OC=OA=3，∴P（3，3），∴k=3×3=9，故答案为：9．18．定义：若点M、N分别是两条线段a和b上任意一点，则线段MN长度的最小值叫做线段a与线段b的“理想距离”．已知O（0，0），A（1，1），B（3，k），C（3，k+2）是平面直角坐标系中的4个点．根据上述概念，若线段BC与线段OA的理想距离为2，则k的取值范围是﹣1≤k≤1 ．【考点】坐标与图形性质．【分析】根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得k的取值范围．【解答】解：由题意可得，，解得，﹣1≤k≤1，故答案为：﹣1≤k≤1．三、解答题：共10小题，共84分．19．先化简，再求值：已知a是方程x2+x﹣1=0的实根，求代数式（a+2）2﹣3（a﹣1）的值．【考点】整式的加减—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x=a代入已知方程变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式=a2+4a+4﹣3a+3=a2+a+7，把x=a代入方程得：a2+a﹣1=0，即a2+a=1，则原式=1+7=8．20．解方程和不等式组（1）解分式方程：；（2）解不等式组：．【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，确定出解集的公共部分即可．【解答】解：（1）去分母得：x﹣1+1=3x﹣6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解；（2），由①得：x＞，由②得：x≤4，则不等式组的解集为＜x≤4．21．清明期间，某校师生组成200个小组参加“保护环境，美化家园”植树活动．综合实际情况，校方要求每小组植树量为2至5棵，活动结束后，校方随机抽查了其中50个小组，根据他们的植树量绘制出如图所示的两幅不完整统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）请把条形统计图补充完整，并算出扇形统计图中，植树量为“5棵树”的圆心角是72 °．（2）请你帮学校估算此次活动共种多少棵树．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）利用360°乘以对应的比例即可求解；（2）先求出抽查的50个组植树的平均数，然后乘以200即可求解．【解答】解：（1）植树量为“5棵树”的圆心角是：360°×=72°，故答案是：72；（2）每个小组的植树棵树：（2×8+3×15+4×17+5×10）=（棵），则此次活动植树的总棵树是：×200=716（棵）．答：此次活动约植树716棵．22．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．（1）列表或画树状图表示所有取牌的可能性；（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案：A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案获胜概率更高？【考点】列表法与树状图法；游戏公平性．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图可求得甲胜的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：根据题意画图如下：则所有取牌的可能性共有9种；（2）∵两次抽得相同花色的有5种情况，∴A方案：P（甲胜）=，∵两次抽得数字和为奇数的有4种情况，∴B方案：P（甲胜）=，则选择A方案．23．如图，AD∥BC，∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．结论：BF= AE ．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由题意可得BE=BC，∠AEB=∠FBC，易证明得直角三角形ABE与直角三角形FCB全等，即可得BE=AE．【解答】解：结论：BF=AE．证明：∵CF⊥BE，∴∠BFC=90°，又∵AD∥BC，∴∠AEB=∠FBC；由于以点B为圆心，BC长为半径画弧，∴BE=BC，在△ABE与△FCB中，∴△ABE≌△FCB（AAS），∴BF=AE．24．小明家、小芳家与人民公园依次在一条直线上，小明、小芳两人同时各自从家沿直线匀速步行到人民公园，已知小明到达公园花了22分钟，小芳的步行速度是40米/分钟，设两人出发x（分钟）后，小明离小芳家的距离为y（米），y与x的函数关系如图所示．（1）图中a=960，小明家离公园的距离为1320米；（2）出发几分钟后两人在途中相遇？（3）小芳比小明晚多少分钟到达公园？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）本题需先根据小林到小华家所走的路程和时间即可求出小林的速度和离图书馆的距离．（2）本题需先根据题意求出y1（米）与x（分钟）的函数关系式，再画出图象即可．（3）本题需求出两个函数图象的交点坐标即可求出小华出发几分钟后两人在途中相遇【解答】解：由图象知，小明先用6分钟到达小芳家，然后用（22﹣6=16）16分钟到达了公园，∵小明的速度是=60，∴a=60×16=960，小明离公园的距离为360+960=1320米，故答案为960，1320；（2）当6＜x＜22时，y=60x﹣360，小芳离家距离y与出发时间x的关系式为y=40x，∵两人在途中相遇，∴60x﹣360=40x，∴x=18，即：出发18分钟后两人在途中相遇；（3）∵小芳离公园的距离为960米，∴小芳从家到公园一共用了=24分钟，∵24﹣22=2分钟，∴小芳比小明晚2分钟到达公园．25．某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地如图1．已知原来三角形绿化地中道路AB长为16米，在点B的拐弯处道路AB与BC所夹的∠B为45°，在点C 的拐弯处道路AC与BC所夹的∠C的正切值为2（即tan∠C=2），如图2．（1）求拐弯点B与C之间的距离；（2）在改造好的圆形（圆O）绿化地中，这个圆O过点A、C，并与原道路BC交于点D，如果点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，求圆O的半径长．【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）作AE⊥BC于E，根据正弦函数求得AE，根据等腰直角三角形的性质求得BE，根据正切函数求得EC，进而即可求得BC；（2）连接AD，先根据已知求得三角形ADC是等腰三角形，进而根据垂径定理的推论求得AE 经过圆心，连接OC，根据勾股定理即可求得圆的半径．【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，∵∠B=45°，∴AE=AB•sin45°=16×=16，∴BE=AE=16，∵tan∠C=2，∴=2，∴EC==8，∴BC=BE+EC=16+8=24；（2）连接AD，∵点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，∴∠ADC=∠C，∴AD=AC，∴AE垂直平分DC，∴AE经过圆心，设圆O的半径为r，∴OE=16﹣r，在RT△OEC中，OE2+EC2=OC2，即（16﹣r）2+82=r2，解得r=10，∴圆O的半径为10．26．我们知道对于x轴上的任意两点A（x1，0），B（x2，0），有AB=|x1﹣x2|，而对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为P l，P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2），即d（P1，P2）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（1，3），则d（O，P）= 4 ；（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（3）试求点M（2，3）到直线y=x+2的最小直角距离．【考点】一次函数的图象．【分析】（1）由P0与原点O的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）利用题中的新定义列出x与y的关系式，画出相应的图象即可；（3）根据新的运算规则知d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣3|=|x﹣2|+|x+2﹣3|=|x﹣2|+|x﹣1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和1所对应的点的距离之和，其最小值为1．【解答】解：（1）d（O，P）=|0﹣1|+|0﹣3|=4；故答案为：4；（2）∵O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P），∴|0﹣x|+|0﹣y|=|x|+|y|=2，所有符合条件的点P组成的图形如图所示；（3）∵d=|x﹣2|+|y﹣3|=|x﹣2|+|x+2﹣3|=|x﹣2|+|x﹣1|∴x可取一切实数，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，其最小值为1．∴点M（2，3）到直线y=x+2的直角距离为1．27．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（1）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（2）如图②，当α=135°时，求证：AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（3）直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，分别表示出此时点E′、D′、F′的坐标（直接写出结果即可）．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的长．（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题；（3）直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，α=180°，P与O重合，易求出点E′、D′、F′的坐标．【解答】解：（1）当α=90°时，点E′与点F重合，如图①．∵点A（﹣2，0）点B（0，2），∴OA=OB=2，∵点E，点F分别为OA，OB的中点，∴OE=OF=1，∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．在Rt△AE′O中，AE′==．在Rt△BOF′中，BF′==．∴AE′，BF′的长都等于；（2）当α=135°时，如图②．∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，∴∠AOE′=∠BOF′=135°．在△AOE′和△BOF′中，，∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，∴∠CPB=∠AOC=90°，∴AE′⊥BF′；（3）点E′（1，0）、D′（1，﹣1）、F′（0，﹣1）如图③，直线AE′与直线BF′相交于点P，当点P在坐标轴上时，α=180°，P与O重合，∵OE′=OF′=1，∴点E′（1，0）、D′（1，﹣1）、F′（0，﹣1）．28．如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x 轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．（1）设a=，m=﹣2时，①求出点C、点D的坐标；②抛物线y=ax2+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）①根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据配方法，可得顶点坐标；根据解方程组，可得C点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标；②根据菱形的性质，可得G点坐标，根据平行四边形的判定，可得答案；（2）根据待定系数法，可得b与a的关系，根据配方法，可得顶点坐标，根据平行线分线段成比例，可得OH的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据相似三角形的对应角相等，可得∠FCD=90°，根据相思三角形的性质，可得关于a的方程，根据抛物线的开口向上，可得a的值．【解答】解：（1）①如图1，，当a=时，将B点坐标代入，得y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2顶点坐标为（2，﹣2）；当m=﹣2时，一次函数的解析式为y=x﹣2．联立抛物线与直线，得2﹣2x=x﹣2，解得x=1，当x=1时，y=﹣，即C点坐标为（1，﹣）．当x=2时，y=﹣1，即D点坐标为（2，﹣1）；②假设存在g点，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形是平行四边形．则CG与DF互相平分，而EF是抛物线的对称轴，且点G在抛物线上，∴CG⊥DF，∴DCFG是菱形，∴点C关于EF的对称点G（3，﹣）．设DF与CG与DF相交于O′点，则DO′=O′F=，CO′=O′G=1，∴四边形DCFG是平行四边形．∴抛物线y=ax2+bx上存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形，点G的坐标为（3，﹣）；（2）如图2，，∵抛物线y=ax2+bx的图象过（4，0）点，16a+4b=0，∴b=﹣4a．∴y=ax2+bx=ax2﹣4ax=a（x﹣2）2﹣4a的对称轴是x=2，∴F点坐标为（2，﹣4a）．∵三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3，BC：AC=3：1．过点C作CH⊥OB于H，过点F作FG∥OB，FG与HC交于G点．则四边形FGHE是矩形．由HC∥OA，得BC：AC=3：1．由HB：OH=3：1，OB=4，OE=EB，得HE=1，HB=3．将C点横坐标代入y=ax2﹣4ax，得y=﹣3a．∴C（1，﹣3a），∴HC=3a，又F（2，﹣4a）．∴GH=4a，GC=a．在△BED中，∠BED=90°，若△FCD与△BED相似，则△FCD是直角三角形．∵∠FDC=∠BDE ＜90°，∠CFD＜90°，∴∠FCD=90°．∴△BHC∽△CGF，∴=，∴=，∴a2=1，∴a=±1．∵a＞0，∴a=1．∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x．。