沪教版高二数学

一、曲线与方程1．已知曲线C 上点的坐标都是方程f （x ，y ）=0的解，则下列命题正确的是（ ）A ．坐标满足方程f （x ，y ）=0的点都在曲线C 上B ．方程f （x ，y ）=0是曲线C 的方程C ．曲线C 是满足方程f （x ，y ）=0的曲线D ．方程f （x ，y ）=0的曲线包含曲线C 上任意一点2．已知坐标满足方程f （x ，y ）=0的点都在曲线C 上，那么下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f （x ，y ）=0B ．凡坐标不适合f （x ，y ）=0的点都不在曲线C 上C ．不在曲线C 上的点的坐标必不适合方程f （x ，y ）=0D ．不在曲线C 上的点的坐标有的适合方程f （x ，y ）=0，有的不适合方程f （x ，y ）=03．等腰△ABC 中，若底边两端点坐标分别是B （4，2），C （－2，0），则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．x －3y+2=0（x ≠1）B ．3x ―y ―2=0（x ≠1）C ．3x+y －4=0（x ≠1）D ．3x －y+1=0（x ≠1）4．方程的曲线是图21中的（ ）5．曲线恒过定点，则定点的坐标为________________________________。

6．由动点p 向 + = 1 引两条切线PA 、PB ，切点为A ，B, APB=60 则p 的轨迹方程___________________。

7．已知点A （－a ，0），B （a ，0）（a ∈R ），若动点C 与点A 、B 构成直角三角形，试求直角顶点C 的轨迹方程。

8．求由方程|2x+3|+|y －2|=3确定在多边形所围成的图形的面积S 。

9．设曲线C 的方程是，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t ，s 单位长度后得到曲线。

（1）写出的曲线方程；（2）证明曲线关于点对称；（3）如果曲线和C 有且仅有一个公共点，证明：，且t ≠0。

参考答案1．D （点评：曲线与方程的定义应包含两条：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，因给出了曲线上的点的坐标都是方程的解，故以方程的解为坐标的点必都在曲线上，于是对照定义知，答案应选D ）2．C （点评：本题与上题是曲线与方程的定义中所要求的两个要求的不同表现，对于本题，设方程f （x ，y ）=0所表示的曲线为E ，依题意有曲线E 为曲线C 的一部分，故不在曲线C 上的点的必不适合方程f （x ，y ）=0） 0)1)(|(|2=---y x xy )(020202422R a a ay ax y x ∈=+-+-+2χ2γ∠0x x y -=31C 1C )22(s t A ，1C t t s -=3413．C （点评：设A （x ，y ），显然A 不能是BC 的中点，故x ≠1，而且|AB|=|AC|，从而，化简得3x+y －4=0，选C ，另一思路为：A的轨迹为线段BC 的中垂线，从而由点斜式亦可得出点A 的轨迹方程）4．D （点评：由，得－1≤y ≤1，故排除A 与C ，另一方面，由曲线方程，得曲线中x ≥0，从而曲线应在y 轴的右侧，于是排除B ）5．（4，－2）（点评：将曲线方程变形为，曲线恒过定点，说明它与a 的取值无关，从而含a 的系数为0，即－4x+2y+20=0，于是余下的项，解这个联立方程组，即得定点的坐标）6． X^2 + y^2 = 47．)0(222≠=+y a y x （点评：设C （x ，y ），则可由222||||||AB CB CA =+，得到关于x 与y 的方程，也可由CA ⊥CB ，得到它们的斜率的积的关系，然后将C 的坐标代入，得到关于x 与y 的方程）8．9（点评：方程所表示的曲线是以（0，2），（－3，2），⎪⎭⎫ ⎝⎛-523，，⎪⎭⎫ ⎝⎛--123，为顶点的菱形，其两条对角线分别为3和6，从而面积为96321=⨯⨯）9．（1）s t x t x y +---=)()(3。

（2）点评：在曲线C 上任取一点)(111y x B ，，它关于点A 的对称点为)(222y x B ，，于是有2221x x t +=，221y y s +=，从而21x t x -=，21y s y -=，将它们代入曲线C 的方程得s t x t x y +---=)()(2322，故)(222y x B ，在曲线1C 上，同样可以证明，在曲线1C 上的点关于A 的对称点在曲线C 上，因此，曲线C与1C 关于点A 对称。

（3）点评：因为曲线1C 与C 有且仅有一个公共点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=s t x t x y x x y )()(33有且仅有一组解，两式消去y 并整理得：0)(33322=--+-s t t x t tx 。

该方程有关于x 的一元二次方程（t ≠0）有且仅有一个解，从而必有t ≠0，且0)(12934=---=∆s t t t t ，化简即得所证结论。

二、圆与方程1.圆(x-2)2+(y+3)2=9的圆心坐标和半径分别是( ) A.(2,-3)、3 B.(2,-3)、3 C.(-2,3)、3 D.(-2,3)、32.点P(m,5)与圆x 2+y 2=25的位置关系是( )A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.在圆上或圆外3.已知圆C 与圆(x-1)2+y 2=1关于直线y=-x 对称,则圆C 的方程是( )A.(x-1)2+y 2=1B.x 2+y 2=1C.x 2+(y+1)2=1D.x 2+(y-1)2=14.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a 的取值范围是( )A.-1＜a ＜1B.0＜a ＜1C.a ＞1或a ＞-1D.a=±15.(2006重庆高考)以点(2,－1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为( )2222)2()4()2(-+-=++y x y x 012≥-y 21y x -=0)2024(2022=++-+-+a y x y x 02022=-+y xA.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=31、 答案：A2、 分析：把点P(m,5)代入x 2+y 2=25,得m 2≥0,所以在圆上或圆外。

答案：D3、 分析：圆C 与圆(x-1)2+y 2=1关于直线y=-x 对称,其半径不变,只求出圆心即可,而关于直线y=-x 对称,则横、纵坐标交换位置,并取相反数,由圆(x-1)2+y 2=1的圆心为(1,0),知对称的圆心为(0,-1). 答案：C4、 分析：由于点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,所以(1-a)2+(1+a)2＜4,a 2＜1.所以-1＜a ＜1.答案：A5、 分析：r=2243|5)1(423|++-⨯-⨯=3.答案：C1.若方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示圆,则a 的取值范围是( )A.a ＜-2或a ＞32 B.-32＜a ＜0 C.-2＜a ＜0 D.-2＜a ＜32 2.过原点且在x,y 轴上的截距分别为p,q(p,q 均不为0)的圆的方程是( )A.x 2+y 2-px-qy=0B.x 2+y 2+px-qy=0C.x 2+y 2-px+qy=0D.x 2+y 2+px+qy=03.已知圆C 的方程为f(x,y)=0,点A(x 0,y 0)是圆外的一点,那么方程f(x,y)-f(x 0,y 0)=0表示的曲线是( )A.与圆C 重合的圆B.过点A(x 0,y 0)与圆C 相交的圆C.过点A(x 0,y 0)与圆C 同心的圆D.可能不是圆1、分析：由二元二次方程表示圆的条件,有D 2+E 2-4F=a 2+(2a)2-4(2a 2+a-1)＞0.解之,可得-2＜a ＜32. 答案：D2、分析：由题意知圆过原点,且在x,y 轴上的截距分别为p 、q,则圆的圆心坐标为(2p ,2q )且常数项为0.答案：A3、分析：设f(x,y)=x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,则f(x 0,y 0)=x 02+y 02+Dx 0+Ey 0+F ＞0,从而f(x,y)-f(x 0,y 0)=x 2+y 2+Dx+Ey+F-x 02-y 02-Dx 0-Ey 0-F=0,过点A(x 0,y 0)与圆C 同心.答案：C1.(2006北京高考)平面α的斜线AB 交α于点B,过定点A 的动直线l 与AB 垂直,且交α于点C,则动点C 的轨迹是( )A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支2.(2006江苏高考)圆(x-1)2+(y+3)2=1的切线方程中有一个是( )A.x-y=0B.x+y=0C.x=0D.y=03.(2006江西高考)已知圆M ：(x ＋cosθ)2＋(y －sinθ)2=1,直线l ：y=kx,下面四个命题：A.对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 相切；B.对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 有公共点；C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l 与圆M 相切;D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l 与圆M 相切.其中真命题的代号是___________.(写出所有真命题的代号)4.(2006上海高考)已知圆x 2-4x-4+y 2=0的圆心是点P,则点P 到直线x-y-1=0的距离是___________.5.(2006湖南高考)若圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.［12π,4π］B.［12π,125π］C.［6π,3π］ D.［0,2π］1、答案：A分析：圆心为(1,-3),半径为1,故此圆必与y 轴(x=0)相切.2、答案：C点评：本题主要考查圆的定义及直线与圆的位置关系.3、分析：圆心坐标为(－cosθ,sinθ),d=2221)sin(11|sin cos |k k k k +++=+--ϕθθθ=|sin(θ+φ)|≤1. 答案：BD4、答案：22 5、答案：B1.设m ＞0,则直线2(x+y)+1+m=0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为( )A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切2.圆x 2＋y 2－4x+4y+6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于( ) A.6 B.225 C.1 D.5 3.(2004全国高考Ⅲ,4)圆x 2+y 2－4x=0在点P(1,3)处的切线方程为( ) A.x+3y －2=0 B.x+3y －4=0C.x －3y+4=0D.x －3y+2=0答案：1、分析：圆心到直线的距离为d=21m +,圆半径为m .∵d －r=21m+－m =21(m －2m +1)=21(m －1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C2、分析：圆心到直线的距离为22,半径为2,弦长为26)22()2(22=-.答案：A3、解法一：⎪⎩⎪⎨⎧+-==-+.3,0422k kx y x y x .解得x 2-4x+(kx-k+3)2=0.该二次方程应有两相等实根,即Δ=0,解得k=33.∴y －3=33(x －1),即x －3y+2=0.解法二：∵点(1,3)在圆x 2+y 2－4x=0上,∴点P 为切点,从而圆心与P 的连线应与切线垂直.又∵圆心为(2,0),∴1230--·k=－1.解得k=33,∴切线方程为x －3y+2=0.答案：D**圆与圆的位置关系例1、已知圆C 1：x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2：x 2+y 2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系. 例2、求过点A(0,6)且与圆C:x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.图1解: 例1、方法一:圆C 1与圆C 2的方程联立得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---+=-+++)2(.0244)1(,08822222y x y x y x y x ①-②得x+2y-1=0, ③由③得y=21x +,把上式代入①并整理得x 2-2x-3=0. ④ 方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆C 1与圆C 2相交.方法二:把圆C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10.圆C 1的圆心是点(-1,-4),半径长r 1=5;圆C 2的圆心是点(2,2),半径长r 2=10.圆C 1与圆C 2的连心线的长为22)24()21(--+--=35,圆C 1与圆C 2的半径长之和为r 1+r 2=5+10,半径长之差为r 1-r 2=5-10.而5-10＜35＜5+10,即r 1-r 2＜35＜r 1+r 2,所以圆C 1与圆C 2相交,它们有两个公共点A 、B.例2、将圆C 化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-,0,)6()0(,)0()0(222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.23,3,3r b a 于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.**应用1.过点P(6,－2)且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线的方程是…( )A.2x+3y-6=0B.2x+3y-6=0或3x+4y-12=0C.x-y+3=0D.x+2y-2=0或2x+3y-6=02.把直线y=33x 绕原点按逆时针方向旋转,使它与圆x 2+y 2+23x-2y+3=0相切,则直线旋转的最小正角是( ) A.3π B.2π C.32π D.65π 3.设A 、B 两点的坐标分别为A(-2,0)、B(2,0),条件甲：A 、B 、C 三点构成以C 为直角顶点的三角形；条件乙：点C 的坐标是方程x 2+y 2=2的解.则甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知点M(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内一点,直线g是以M为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by+r2=0,则( )A.l∥g,且与圆相离B.l⊥g,且与圆相切C.l∥g,且与圆相交D.l⊥g,且与圆相离答案：DBAA。