1-3、4翻译、真值表

(4)除非你陪我或替我叫车，否则我不去。 除非你陪我或替我叫车，否则我不去。 除非你陪我或替我叫车 (5)如果下班早，就去商店看看，除非我很累。 如果下班早， 如果下班早 就去商店看看，除非我很累。 解 (4)设 P：你陪我。 Q：你替我叫车。 R：我去。 设 ：你陪我。 ：你替我叫车。 ：我去。 则命题符号化为： 则命题符号化为： R →（ P ∨ Q） （ ） 或┐( P ∨ Q ) → ┐ R (5)设 P：我下班早。 Q：我去商店看看。R：我很 设 ：我下班早。 ：我去商店看看。 ： 累。 则命题符号化为： 则命题符号化为： ( P ∧ ┐R ) → Q 或 ┐R → ( P → Q )
这个合式公式的定义，是以递归形式给出的，其中 称为 这个合式公式的定义，是以递归形式给出的，其中(1)称为 递归形式给出的 基础， 称为归纳， 称为界限 称为界限。 基础，(2)(3)称为归纳，(4)称为界限。 称为归纳
按照定义，下列公式都是合式公式： 按照定义，下列公式都是合式公式： ┐(P∧Q）， ），┐(P→Q)，(P→(P∨┐Q) ) ， ∧ ）， ， ∨ (((P→Q ) ∧(Q→R)) (S T)) 而 (P→Q）→(∧Q)，(P→Q，(P∧Q ) →Q ) ） ∧ ， ， ∧ 等都不是合式公式。 等都不是合式公式。
二、翻译（符号化） 翻译（符号化）
有了联结词的合式公式概念， 有了联结词的合式公式概念，我们可以把自然语言中的有 些语句，翻译成数理逻辑中的符号形式。 些语句，翻译成数理逻辑中的符号形式。 把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题标识符、 把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题标识符、联结 词和圆括号表示的合式公式，称为命题的符号化 命题的符号化。 词和圆括号表示的合式公式，称为命题的符号化。 符号化应该注意下列事项： 确定给定句子是否为命题。 符号化应该注意下列事项：① 确定给定句子是否为命题。 句子中联结词是否为命题联结词。 ② 句子中联结词是否为命题联结词。③ 要正确地表示原子命 题和适当选择命题联结词。 题和适当选择命题联结词。
命题符号化是很重要的， 命题符号化是很重要的，一定要掌握 好，在命题推理中常常最先遇到的就 是符号化一个问题，解决不好， 是符号化一个问题，解决不好，等于 说推理的首要前提没有了。 说推理的首要前提没有了。
例题2 上海到北京的14次列车是下午五点半或六点开 次列车是下午五点半或六点开。 例题 上海到北京的 次列车是下午五点半或六点开。 次列车是下午五点半开。 解 P：上海到北京的 次列车是下午五点半开。 ：上海到北京的14次列车是下午五点半开 Q：上海到北京的14次列车是下午六点开。 ：上海到北京的 次列车是下午六点开 次列车是下午六点开。 在本例中，汉语的“ 在本例中，汉语的“或”是不可兼或，而逻辑联结词∨是 是不可兼或，而逻辑联结词∨ 可兼或” 因此不能直接对两命题析取。 “可兼或”，因此不能直接对两命题析取。构造表如表如表 1-3.1所示 1-3.1所示。 所示。 表1-3.1 从表中可看出原命题 不能用前述五个联结 P Q 原命题 P Q ┐(P Q) 词单独写出， 词单独写出，但是如 T T F T F 用命题和联结词组合， 用命题和联结词组合， T F T F T 可以把本命题表达为： 可以把本命题表达为： F T T F T ┐(P Q）。 ）。
F F F T F
例题3 他既聪明又用功。 例题 他既聪明又用功。 解 若设 P：他聪明。 ：他聪明。 Q：他用功。 ：他用功。 在自然语言中这个“ 在自然语言中这个“既……又……”显然 又 显然 的意义一样，故本例可记为： 与“且”的意义一样，故本例可记为： P∧Q ∧
例题4 他虽聪明但不用功。 例题 他虽聪明但不用功。 这里“ 解 这里“虽……但……”这个词不能用前述 但 这个词不能用前述 联结词表达，但其实际意义是： 联结词表达，但其实际意义是：他聪明且 不用功。 不用功。若设 P：他聪明。 ：他聪明。 Q：他用功。 ：他用功。 本例可表1 试以符号形式写出命题：我们要做到身体好、 例题 试以符号形式写出命题：我们要做到身体好、 学习好、工作好，为祖国四化建设而奋斗。 学习好、工作好，为祖国四化建设而奋斗。 找出各原子命题，并用命题符号表示： 解 : 找出各原子命题，并用命题符号表示： A：我们要做到身体好。 ：我们要做到身体好。 B：我们要做到学习好。 ：我们要做到学习好。 C：我们要做到工作好。 ：我们要做到工作好。 P：我们要为祖国四化建设而奋斗。 ：我们要为祖国四化建设而奋斗。 故命题可形式化为： 故命题可形式化为： （A ∧ B ∧ C） ） P
§1—3 命题公式与翻译
一、合式公式
前面已经提到，不包含任何联结词的命题叫做原子命题， 前面已经提到，不包含任何联结词的命题叫做原子命题， 至少包含一个联结词的命题称作复合命题。 至少包含一个联结词的命题称作复合命题。 是任意两个命题， 设P和Q是任意两个命题，则┐P， P∨Q，(P∨Q） 和 是任意两个命题 ， ∨ ， ∨ ） →(F∨Q）， ），P (Q ∨┐P)等都是复合命题。 等都是复合命题。 ∨ ）， 等都是复合命题 是命题变元， 命题公式。 和 若P和Q是命题变元，则上述各式均称作命题公式。P和 和 是命题变元 则上述各式均称作命题公式 Q称作命题公式的分量。 称作命题公式的分量 称作命题公式的分量。 说明： 说明： 命题公式没有真值， ⑴命题公式没有真值，仅当其中命题变元用确定的命题代入 才得到一个命题。这个命题的真值， 时，才得到一个命题。这个命题的真值，依赖于代换变元的 那些命题的真值。 那些命题的真值。 并不是由命题变元、 ⑵并不是由命题变元、联结词和一些括号组成的字符串都能 成为命题公式。 成为命题公式。
练习: 把下列自然语言命题符号化： 练习 把下列自然语言命题符号化： (1)仅当天不下雨且我有时间，才上街。 仅当天不下雨且我有时间， 仅当天不下雨且我有时间 才上街。 (2)人不犯我，我不犯人。人若犯我，我必犯人。 人不犯我， 人不犯我 我不犯人。人若犯我，我必犯人。 (3)若天下雨，我在家，否则上街。 若天下雨， 若天下雨 我在家，否则上街。 解 (1)设 P：天下雨。 Q：我有时间。 R：我上街。 设 ：天下雨。 ：我有时间。 ：我上街。 则命题符号化为： 则命题符号化为： R →（ ┐ P∧Q） （ ∧ ） (2)设 P：人不犯我。 Q：我不犯人。 设 ：人不犯我。 ：我不犯人。 则命题符号化为： 则命题符号化为： ( P → Q ) ∧(┐ P → ┐ Q) (3)设 P：天下雨。 Q：我在家。 R：我上街。 设 ：天下雨。 ：我在家。 ：我上街。 则命题符号化为： 则命题符号化为： ( P → Q ) ∧(┐ P → R)
从上面的例子中可以看到，自然语言中的一些联结词， 从上面的例子中可以看到，自然语言中的一些联结词，如： “与”“且”“或”“除非 则…”等等都各有其具体含义，因此需分别不同 ”“且”“或”“除非…则 等等都各有其具体含义， 除非 等等都各有其具体含义 情况翻译成适当的逻辑联结词。为了便于正确表达命题间的相互关系， 情况翻译成适当的逻辑联结词。为了便于正确表达命题间的相互关系，有时也 常常采用列出 真值表”的方法，进一步分析各原命题，以此寻找逻辑联结词， 采用列出“ 常常采用列出“真值表”的方法，进一步分析各原命题，以此寻找逻辑联结词， 使原来的命题能够正确地用形式符号予以表达。 使原来的命题能够正确地用形式符号予以表达。 注意： 如果天下雨 则我在家。 如果天下雨， 注意：1.如果天下雨，则我在家。 2.天下雨，仅当我在家时。 天下雨，仅当我在家时。 天下雨 除非天下雨，否则我不在家。 除非天下雨，否则我不在家。 3.我在家，当且仅当天下雨时。 （P是Q的充要条件） 我在家，当且仅当天下雨时。 的充要条件） 我在家 是 的充要条件 P：天下雨 ： 1. P→Q 2. Q → P 3. P Q Q：我在家 ： 的充分条件） （P是Q的充分条件） 是 的充分条件 的必要条件） （P是Q的必要条件） 是 的必要条件
离散数学
Discrete Mathematics
课程回顾 命题：命题的定义、真值、分类及其表示。 命题：命题的定义、真值、分类及其表示。 命题联结词： 命题联结词： 否定、合取、析取、条件、双条件。 否定、合取、析取、条件、双条件。
P Q ┐P P∧Q P∨Q ∧ ∨ T T F F T F T F F F T T T F F F T T T F P→Q T F T T P T F F T Q
命题符号化步骤： 命题符号化步骤： (1)分成原子命题 分成原子命题 (2)用大写字母代替命题 用大写字母代替命题 (3)按题意用联结词 按题意用联结词
自然语言的语句用Wff 自然语言的语句用Wff 形式化
主要是以下几个方面： 主要是以下几个方面： 要准确确定原子命题，并将其形式化。 ① 要准确确定原子命题，并将其形式化。 要选用恰当的联结词， ② 要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语 言中的联结词（有时它们被省略）， ），否定词的位置要 言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要 放准确。 放准确。 必要时可以进行改述 即改变原来的叙述方式， 时可以进行改述， ③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式， 但要保证表达意思一致。 但要保证表达意思一致。 需要的括号不能省略，而可以省略的括号， ④ 需要的括号不能省略，而可以省略的括号， 在需要提高公式可读性时亦可不省略。 在需要提高公式可读性时亦可不省略。 要注意语句的形式化未必是唯一的。 ⑤ 要注意语句的形式化未必是唯一的。
联结词的优先级 命题公式最外层的括号可以省略； 命题公式最外层的括号可以省略； 联结词的优先级： 、 联结词的优先级：┐、∧、∨、→、↔。 、 利用加括号的方法可以提高优先级。 利用加括号的方法可以提高优先级。 范例：如下的Wff 范例：如下的Wff ： P∧Q→R ∧ 等价于Wff 等价于Wff ： （（P∧Q）→R ） ∧ ） 等价于Wff 等价于Wff ： （P∧Q）→R ∧ ） 不等价于Wff 不等价于Wff ： P∧（Q→R） ∧ ）