2017年扬州大学602离散数学考研真题硕士研究生专业课考试试题
2003-2017年考研数学二真题及解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1））若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ）()()1111011110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】B 【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx xdx --=-=-<⎰⎰，选B.（3）设数列{}n x 收敛，则（ ）()A 当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= ()B当lim(0n n x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为 （A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++【答案】A【解析】特征方程为：21,248022i λλλ-+=⇒=±222*2*212()(1cos 2)cos 2,(cos 2sin 2),x x x x x f x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+ 故特解为：***2212(cos 2sin 2),x xy y y Ae xe B x C x =+=++选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数，所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s （A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（ ）（A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）122αα+【答案】 B 【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。
扬州大学602离散数学2014-2017年考研专业课真题试卷
扬州大学2015年考研专业课真题试卷（原版）
扬州大学2015年考研专业课真题试卷（原版）
精都教育——全国 100000 考生的选择
我们的梦想，为成就更多人的梦想
扬 州 大 学 研 究 生 入 学 考 试 试 题
原版考研真题试卷
更多考研真题、笔记、模拟、题库、讲义资料就上精都考研网 /
扬州大学2016年考研专业课真题试卷（原版）
精都教育——全国 100000 考生的选择
我们的梦想，为成就更多人的梦想
扬州 大 学 研 究 生 入 学 考 试 试 题
原版考研真题试卷
更多考研真题、笔记、模拟、题库、讲义资料就上精都考研网 /
扬州大学2014年考研专业课真题试卷（原版）
扬州大学2014年考研专业课真题试卷（原版）
离散数学考研试题及答案
离散数学考研试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 在集合论中，集合A和集合B的交集表示为：A. A∪BB. A∩BC. A-BD. A∘ B答案：B2. 以下哪个命题是真命题？A. 所有天鹅都是白色的。
B. 至少有一只天鹅是白色的。
C. 存在一只天鹅不是白色的。
D. 所有天鹅都不是白色的。
答案：B3. 在图论中，一个图中的顶点的度定义为：A. 与该顶点相连的边的数量B. 该顶点的出度C. 该顶点的入度D. 与该顶点相连的顶点的数量答案：A4. 以下哪个是二元关系R的自反性？A. 对于所有x，(x, x)∈RB. 对于所有x，(x, x)∉RC. 对于所有x和y，(x, y)∈RD. 对于所有x和y，(x, y)∉R答案：A5. 布尔代数中，逻辑与操作表示为：A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果一个集合有n个元素，那么它的子集个数为2^n。
2. 在命题逻辑中，一个命题的否定记作¬P。
3. 一个有向图中的环是指一个起点和终点相同的路径。
4. 一个图G是连通的，如果对于任意两个顶点，都存在一条路径连接它们。
5. 在布尔代数中，德摩根定律表明：¬(P∧Q) = ¬P∨¬Q。
三、解答题（每题10分，共20分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4}，请列出它的所有子集。
答案：∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}2. 证明：对于任意命题P和Q，(P→Q)∧(Q→P)等价于P⇔Q。
答案：证明略。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意的集合A和B，(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)。
答案：证明略。
离散数学试题十五套
度结点。
A．1； B．2； C．3； D．4 。
三、证明 26%
１、 R 是集合 X 上的一个自反关系，求证：R 是对称和传递的，当且仅当
< a, b> 和<a , c>在 R 中有<.b , c>在 R 中。（8 分）
２、 f 和 g 都是群<G1 ,★>到< G2, *>的同态映射，证明<C , ★>是<G1, ★>的一个
；是否有幂等 。
群或
。
9、n 个结点的无向完全图 Kn 的边数为
，欧拉图的充要条件是 。
10、公式 (P (P Q)) ((P Q) R 的根树表示为
。
二、选择 20% （每小题 2 分）
1、在下述公式中是重言式为（
）
A． (P Q) (P Q) ；B． (P Q) ((P Q) (Q P)) ；
）。
A．群； B．独异点； C．半群 。
三、证明 46%
1、 设 R 是 A 上一个二元关系，
10、
S { a,b | (a,b A) (对于某一个c A, 有 a, c R且 c,b R)} 试 证
子群。其中 C={x | x G1且f (x) g(x)} (8 分)
３、 G=<V, E> (|V| = v，|E|=e ) 是每一个面至少由 k（k 3）条边围成的连通
e k(v 2)
平面图，则
k 2 ， 由此证明彼得森图（Peterson）图是非平面图。（11
分）
四、逻辑推演 16%
2、论域 D={1，2}，指定谓词 P
P (1,1) P (1,2)
2017考研数学二真题及答案
一、选择题（每小题4分，共32分）（1）若函数21cos ,0(),0xx f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ）。
A. 12ab = B. 12ab =-C. 0ab =D. 2ab = 【答案】A【解析】由连续的定义可知：-0lim ()lim ()(0),x x f x f x f +→→==其中-0(0)lim ()x f f x b →==，2000112lim ()lim lim 2x x x f x ax a+++→→→===，从而12b a =，也即12ab =，故选A. 【试题点评】本题考查函数的连续性。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
（2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-，且''()0f x >，则（ ）。
A. 11()0f x dx ->⎰ B. 12()0f x dx -<⎰ C. 0110()()f x dx f x dx ->⎰⎰D.11()()f x dx f x dx -<⎰⎰【答案】B【解析】由于'()0f x ＜，可知其中()f x 的图像在其任意两点连线的曲线下方，也即()(0)[(1)(0)]21f x f f f x x ≤+-=-，(0,1)x ∈，因此11()(21)=0f x dx f x dx -⎰⎰＜，同理()(0)[(0)(1)]21(1,0)f x f f f x x x ≤+--=--∈-，，因此 0111()(21)=0f x dx f x dx ----⎰⎰＜，从而11()0f x dx -⎰＜，故选B.【试题点评】本题考查二阶导数与拐点的关系。
此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。
离散数学习题答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版离散数学习题答案习题一：P121.判断下列句子哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？(1)中国有四大发明。
(2)5是无理数。
(3)3是素数或4是素数。
(4)x2+3<5，其中x是任意实数。
(5)你去图书馆吗？(6)2与3都是偶数。
(7)刘红与魏新是同学。
(8)这朵玫瑰花多美丽呀！(9)吸烟请到吸烟室去！(10)圆的面积等于半径的平方乘π。
(11)只有6是偶数，3才能是2的倍数。
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
(13)2025年元旦下大雪。
1、2、3、6、7、10、11、12、13是命题。
在上面的命题中，1、2、7、10、13是简单命题；1、2、10是真命题；7的真值现在还不知道。
2.将上题中是简单命题的命题符号化。
(1)p：中国有四大发明。
(2)q：5是无理数。
(7)r：刘红与魏新是同学。
(10)s：圆的面积等于半径的平方乘π。
(1)t：2025年元旦下大雪。
3.写出下列各命题的否定式，并将原命题及其否定式都符号化，最后指出各否定式的真值。
“5是有理数”的否定式是“5不是有理数”。
解：原命题可符号化为：p：5是有理数。
其否定式为：非p。
非p的真值为1。
4.将下列命题符号化，并指出真值。
(1)2与5都是素数。
(2)不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数。
(3)虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数。
(4)3是偶素数。
(5)4既不是素数，也不是偶数。
a：2是素数。
b：5是素数。
c：π是无理数。
d：e是无理数。
f：2是最小的素数。
g：2是最小的自然数。
h：3是偶数。
i：3是素数。
j：4是素数。
k：4是偶数。
解：（1）到（5）的符号化形式分别为a∧b，c∧d，f∧非g，h∧i，非j∧非k。
这五个复合命题的真值分别为1，1，1，0，0。
5.将下列命题符号化，并指出真值。
a：2是偶数。
b：3是偶数。
c：4是偶数。
离散数学期末考试试题及答案详解
离散数学期末复习例题讲解一、考核说明考核对象：本课程考核说明适用于国家开放大学开放教育本科电气信息类计算机科学与技术专业的学生．考核依据：本考核说明是以本课程的教学大纲（2015年3月修改）和指定的参考教材为依据制定的．本课程指定的参考教材是由胡俊、顾静相编写，国家开放大学出版社出版的《离散数学（本科）》第2版．考核方式：本课程的考核实行形成性考核和终结性考核相结合的方式．其中终结性考核采用半开卷、笔试方式，试卷满分100分．半开卷考试允许考生携带指定的一张专用A4纸（统一印制），考生可以将自己对全课程学习内容的总结归纳写在这张A4纸上带入考场，作为答卷时参考．考试时间：90分钟．试题类型及结构：单项选择题的分数占15％，填空题的分数占15％，公式翻译题的分数占12％，判断说明题的分数占14％，计算题的分数占36％；证明题的分数占8％．二、例题讲解（一）集合论1．单项选择题（1）若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{ a }}∈A B．{ a }⊆AC．{2}∈A D．∅∈A答：B（2）若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）．A．B⊂ A，且B∈A B．B⊄ A，且B∉AC．B ⊂ A，但B∉A D．B∈ A，但B⊄A答：D（3）设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}答：C（4）设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．对称的B．自反的C．对称和传递的D．反自反和传递的答：A（5）设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S 是R 的（ ）闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对 答：C（6）设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系的哈斯图如图1所示,若A 的子集B = {3 , 4 , 5}， 则元素3为B 的（ ）．A ．最小上界B ．最大下界C ．下界D ．以上答案都不对 图1 答：A2．填空题（1）设集合A 有n 个元素，那么A 的幂集合P (A )的元素个数为 ． 答：2n（2）设集合A ={0,1,2},B ={0,2,4},R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的集合表示式为 ． 答：{<0,0>, <0,2>, <2,0>, <2,2>}（3）设集合A =｛a ,b ,c ,d ｝，A 上的二元关系R ={<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}，则R 的自反闭包是 ．答：r (R )= {<a , b >, <b , a >, <b , c >, <c , d >}∪I A（4）设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ． 答：无、2、无、2（5）设集合A ={1, 2},B ={a , b }，那么集合A 到B 的不同函数的个数有 ． 答：4因为：f ：{<1, a >, <2, a >}, {<1, b >, <2, b >}{<1, a >, <2, b >}, {<1, b >, <2, a >}3．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R 1-1、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的”是否成立？并说明理由． 答：结论成立．因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2． 由逆关系定义和I A ⊆R 1，得I A ⊆ R 1-1；由I A ⊆R 1，I A ⊆R 2，得I A ⊆ R 1∪R 2，I A ⊆ R 1⋂R 2．所以，R 1-1、R 1∪R 2、R 1⋂R 2是自反的．注： R 1-R 2是自反的吗？4．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图2所示，则集合 A 的最大元为a ；最小元不存在．答：错a 是集合A 的极大元，最大元不存在． 图2 5．设集合A ＝{a ,b , { a , b }}，B ={{a }, {b }, b }，求a f5（1）B ⋂A ； （2）A －B ； （3）A ⨯B ． 解：（1）B ⋂A ={a , b , { a , b }}⋂{{a }, {b }, b }={b } （2）A －B = {a , b , { a , b }}－{{a }, {b }, b }={a , { a , b }} （3）A ⨯B ＝{a , b , { a , b }}⨯{{a }, {b }, b }＝{<a , {a }>, <a , {b }>, <a , b >，<b , {a }>, <b , {b }>, <b , b >, <{ a , b }, {a }>, <{ a , b }, {b }>, <{ a , b }, b >}6．设A ={0，1，2，3，4}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R ︒S ，R -1，S -1，r (R )，s (R )，t (R )，r (S )，s(S )，t (S )．解：R =∅，S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} R ︒S =∅，R -1=∅，S -1= S ；r (R )= I A ，s (R )= ∅，t (R )= ∅；r (S )=S ∪{<2,2>，<3,3>,<4,4>}，s (S )= S ；t (S )= S ∪{<1,3>，<2,2>,<2,3>,<3,1>，<3,2>,<3,3>} 7．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．证：若x ∈A ⋃ (B ⋂C )，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ， 即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ． 即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， 即 x ∈T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，所以A ⋃ (B ⋂C )⊆ (A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．反之，若x ∈(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ， 即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，即x ∈A 或x ∈B ⋂C ， 即x ∈A ⋃ (B ⋂C )，所以(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )⊆ A ⋃ (B ⋂C )． 因此．A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )． 8．设R 是集合A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对∀a ∈A ，∃b ∈A ，使得<a , b >∈R ，则R 是等价关系．证明：已知R 是对称关系和传递关系，只需证明R 是自反关系． ∀a ∈A ，∃b ∈A ，使得<a , b >∈R ，因为R 是对称的，故<b , a >∈R ； 又R 是传递的，即当<a , b >∈R ，<b , a >∈R ⇒<a , a >∈R ；由元素a 的任意性，知R 是自反的． 所以，R 是等价关系．（二）图论1．单项选择题（1）设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．4 答：D（2）设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(答：C（3）设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图3所示，则下列结论成立的是 ( )．图3A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的答：A（4）给定无向图G 如图4所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（ ）． A ．{b , d } B ．{d }C ．{a , c }D ．{g , e } 答：A 图4（5）图G 如图5所示，以下说法正确的是( )． A ．{(a , d )}是割边B ．{(a , d )}是边割集C ．{(d , e )}是边割集D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集答：C 图5 （6）设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )．A ．e －v ＋2B ．v ＋e －2C ．e －v －2D ．e ＋v ＋2 答：A2．填空题（1）已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ．答：15 （1⨯1+2⨯2+3⨯3+4⨯4）/2（2）设无向图G ＝<V ,E >是汉密尔顿图，则V 的任意非空子集V 1，都有 ≤∣V 1∣． 答：W （G - V 1）（3）设无向图G 为欧拉图，则图G 连通且 ． 答：每个结点的度数为偶数（4）设图G =<V ,E >，其中|V |=n ,|E |=m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m = ． 答：n -1（5）连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ． 答：4οο οο (a )οο οο (b ) οοοο (c )οοοο(d )a gb d fc e οο ο οο οο ο a ο οο ο ο b c f d e（6）给定一个序列集合{1，01，10，11，001，000}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．答：1 3．给定图G （如图6所示）: （1）试判断它们是否为欧拉图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．答：（1）图G 是欧拉图，因为图G 是连通图且每个结点的度数是偶数．（2）欧拉回路为： v 1 e 1 v 2 e 2 v 3 e 3 v 4 e 5v 5 e 7 v 2 e 8v 6 e 6 v 4 e 4v 1 注意：回路是不惟一4．试判断“设G 是一个有5个结点、10条边的连通图，则G 为平面图”是否正确，为什么？答：错误．因为它不满足定理4.3.3，即“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v -6．”5．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={(a 1, a 2)，(a 2, a 4)，(a 3, a 1)，(a 4, a 5)，(a 5, a 2)}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵； （3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形． 解：（1）图G 是无向图，图形如图7所示：图7 （2）图G 的邻接矩阵如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0101010010000011100100110)(G A（3）结点a 1, a 2, a 3, a 4, a 5的度数分别为：2，3，1，2，2． （4）图G 的补图的如图8所示：图86．图G =<V , E >，其中V ={a , b , c , d , e , f }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (d , e ),ο οο ο οa 1a 2 a 3a 4a 5v 1 v 2 v 3v 4 v 5v 6 e 1 e 2e 3 e 4 e 5 e 6e 7 e 8 οο ο ο ο ο图6 ο ο ο ο οa 1a 2 a 3a 4 a 5οο ο ο οa 1 a 2 a 3a 4a 5(d , f ), (e , f ) }，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值． 解：（1）G 的图形如图9所示：（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡011000101111110010010001011001010110 图9（3）粗线表示最小的生成树（见图10）：最小的生成树的权为：1+1+5+2+3=12． 图107．设有一组权为2,3,6,9,13,15,试 （1）画出相应的最优二叉树； （2）计算它们的权值．解：最优二叉树如图11所示：图11 权值： 2⨯4+3⨯4+6⨯3+9⨯2+13⨯2+15⨯2 =8+12+18+18+26+30 =1128．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于2的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于2的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．οο ο ο οc a b e dοf1 5 22 61 9 38 ο ο ο ο οc a b ed οf 15 22 61 938 οοο οο ο ο ο ο32 9 135 6 1115 20 ο ο 48289．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加2k条边到图G 才能使其成为欧拉图．（三）数理逻辑1．单项选择题（1） 下列命题公式是等价公式的为( )．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔P ∨QB ．A →(⌝B →A ) ⇔⌝A →(A →B )C ．Q →(P ∨Q ⇔⌝Q ∧(P ∨Q )D ．⌝A ∨(A ∧B ) ⇔B 答：B 因为A →(⌝B →A ) ⇔ A →(B ∨A ) ⇔⌝A ∨(B ∨A ) ⇔ A ∨ (⌝A ∨B ) ⇔ A ∨ (A →B )⇔⌝A →(A →B )（2）下列公式 ( )为重言式．A ．⌝(⌝P ∨(P ∧Q )) ↔QB ．(B →(A ∨B )) ↔(⌝A ∧(A ∨B ))C ．A ∧⌝B ↔A ∨BD ．(P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q )) 答：D 因为(P →(⌝Q →P ))⇔⌝P ∨(Q ∨P )) ⇔1 (⌝P →(P →Q )) ⇔P ∨(⌝P ∨Q )) ⇔1 （3）命题公式⌝ (P →Q )的主析取范式是( )． A ．Q P ⌝∧ B Q P ∧⌝ C ．Q P ∨⌝ D ．Q P ⌝∨答：A 因为⌝ (P →Q ) ⇔⌝ (⌝P ∨Q ) ⇔P ∧⌝Q（4）设C (x ): x 是国家级运动员，G (x ): x 是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ( )A ．))()((x G x C x ⌝∧⌝∀B ．))()((x G xC x ⌝→⌝∀C ．))()((x G x C x ⌝→⌝∃D ．))()((x G x C x ⌝∧⌝∃答：D（5）表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )． A ．P (x , y ) B ．P (x , y )∨Q (z ) C ．R (x , y ) D ．P (x , y )∧R (x , y ) 答：B2．填空题（1）命题公式()P Q P →∨的真值是 ． 答：1 因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨ P ) ⇔1（2）含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 ． 答：(P ∧Q ∧⌝R )∨( P ∧Q ∧R )因为P ∧Q ⇔ P ∧Q ∧(⌝R ∨R ) ⇔(P ∧Q ∧⌝R )∨( P ∧Q ∧R )（3）设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 ． 答：(A (1) ∨A (2))∨(B (1) ∧B (2))（5）谓词命题公式(∀x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的约束变元为 ． 答：x3．请将语句翻译成命题公式： （1）今天不是天晴．（2）你去听课，他也去听课．（3）如果天下雪，则我明天就不去市里． （4）尽管他参加了考试，但他没有通过考试．解：（1）设P ：今天是天晴； 命题公式为： ⌝ P ．（2）设P ：你去听课，Q ：他去听课：命题公式为：P ∧Q ．（3）设P ：天下雪，Q ：我明天去市里； 命题公式为：P →⌝Q ．（4）设P ：他参加了考试，Q ：他没有通过考试； 命题公式为：P ∧⌝ Q ．4．请将语句翻译成谓词公式： （1）所有人都不去上课． （2）有人不去工作． 解：（1）设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课．谓词公式为： (∀x )(P (x )→ ┐Q (x ))．（2）设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去工作，谓词公式为： (∃x )(P (x) ∧┐Q (x ))． 5．判断下列各题正误，并说明理由．（1）公式((Q ∧⌝R )→P )∧(⌝P →Q ∨R )↔P ∨R 为永真式．（2）求命题公式(P ∧Q )∧(⌝P ∨⌝R )的真值表，并判断它的类型. 解：（1）该公式是永真式．因为 R P R Q P P R Q ∨↔∨→⌝∧→⌝∧)())((R P R Q P P R Q ∨↔∨∨∧∨∨⌝⇔)()( R P Q Q R P ∨↔∧⌝∨∨⇔)( 1⇔（2）6．判断下列各题正误，并说明理由．（1）公式))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是逻辑有效式(永真式)．（2）下面的推理是否正确，请给予说明． ① P （a ） P ② （∀x ）P （x ） US ① 解：（1）该公式是永真式．因为 ))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀⇔))(),(()(x xP y x yG x xP ∀∨⌝∃∨⌝∀1)(),()(⇔∀∨⌝∃∨⌝∀⇔x xP y x yG x xP（2）错误．② 应为（∀x ）P （x ） UG ① 全称指定规则与全称推广规则不能混淆．7．求公式R Q P →∧)(的析取、合取、主合取\主合取范式． 解：R Q P R Q P ∨∧⌝⇔→∧)()(R Q P ∨⌝∨⌝⇔)(R Q P ∨⌝∨⌝⇔ （析取、合取、主合取范式）⇔(┐P ∧(┐Q ∨Q )∧(┐R ∨R ))∨((┐P ∨P )∧┐Q ∧(┐R ∨R )) ∨((┐P ∨P )∧(┐Q ∨Q )∧R )⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R )∨(P ∧Q ∧R )（主析取范式）8．用列真值表的方法求命题公式R Q P →→)(的主析取范式．解：列真值表取真值为1的项，所求主析取范式为：(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(P ∧┐Q ∧┐R )∨(P ∧┐Q ∧R ) ∨(P ∧Q ∧R )9．试求谓词公式),()),(),()((y x B y x yG y x xH x S x ∨∃→∃∧∀中，∀x ，∃x ，∃y 的辖域，试问G (x , y )和B (x , y )中x ，y 是自由变元，还是约束变元？解：∀x 的辖域：)),(),()((y x yG y x xH x S ∃→∃∧ ∃x 的辖域：H (x ,y )∃y 的辖域：G (x ,y ) G (x , y )中的x ，y 是约束变量，B (x , y )中的x , y 是自由变量. 10．证明命题公式(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝（P ∨⌝Q ）等价． 证：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨Q ∨⌝R )∧⌝P ∧Q⇔(⌝P ∧⌝P ∧Q )∨(Q ∧⌝P ∧Q )∨(⌝R ∧⌝P ∧Q ) ⇔(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R ) ⇔⌝P ∧Q （吸收律） ⇔⌝(P ∨⌝Q ) （摩根律）9．构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →∀⇒∀→∃． 分析：前提：)()(x xQ x xP ∀→∃．结论：))()((x Q x P x →∀证：(1) )()(x xQ x xP ∀→∃ P(2) )()(x xQ x xP ∀∨⌝∃ T (1)E(3) )()(x xQ x P x ∀∨⌝∀ T (2) E (量词与否定的关系) (4) ))()((x Q x P x ∨⌝∀(5) ))()((x Q x P x →∀ T (4) E上面这些例题供大家复习参考．。
电大 离散数学(本)2017年7月份真题附答案
离散数学（本）2017年7月份试题一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．设A={1, 3, 5, 7, 9｝，B={2, 4, 6}，A到B的关系R={<x, y>|x-y=1｝，则R= ( )．A．{<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>} B．{<1, 2>, <3, 4>, <5, 6>}C．{<1, 1>, <2, 2>, <3, 6>} D．{<3, 2>, <5, 4>, <7, 6>} 2．若集合A＝{a, b, c}，则下列表述正确的是( )．A．{a, b }⊆A B．{a}∈AC．{a, b}∈A D．∅∈A3．设个体域为集合{1，2，3，4，5}，则公式(∀x)(∃y)(x+y=5)的解释可为( )．A．存在一整数x有整数y满足x+y=5B．对任一整数x存在整数y满足x+y=5C．存在一整数x对任意整数y满足x+y=5D．任一整数x对任意整数y满足x+y=54．设G为连通无向图，则（）时，G中存在欧拉回路．A．G存在两个奇数度数的结点B．G存在一个奇数度数的结点C．G不存在奇数度数的结点D．G存在偶数度数的结点5．n阶无向完全图K n的边数及每个结点的度数分别是（）．A．n(n-1)与n B．n(n-1)/2与n-1C．n-1与n D．n(n-1)与n-1二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A={1, 2, 3}，B={2, 3}，C={3, 4}，则A∪(B-C) =．7．设A={a，b}，B={1，2}，C={a，b}，从A到B的函数f={<a，1>, <b，2>}，从B 到C的函数g={<1，b>, <2，a >}，则g︒ f等于．8．设G=<V，E>是一个图，| E |=10，则G的结点度数之和为．9．设G是具有n个结点m条边k个面的连通平面图，则n+k -2 = ．10．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x的2倍大于2”，则谓词公式（∀x）A(x)的真值为．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“如果他掌握了计算机的用法，那么他就能完成这项工作．”翻译成命题公式．12．将语句“前天下雨，昨天还是下雨．”翻译成命题公式．四、判断说明题（判断各题正误，并说明理由．每小题7分，本题共14分）13．设A={ a，b，c }，R={< a，a >, < b，b >, < c，c > ，< a，b >，< b，a >，< b，c >，< c，b >}，则R是等价关系．14．(∀x)(P(x)∧Q(y)→R(x))中量词∀的辖域为(P(x)∧Q(y))．五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设集合A={a, b, c, d }，B={a, b}，试计算（1）A⋃B；（2）A - B；（3）A×B．16．设G=<V，E>，V={v1, v2, v3, v4}，E={(v1,v2) , (v1,v3) , (v1,v4) , (v2,v3) , (v3,v4)}，试（1）给出G的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．17．试利用Kruskal算法求出如下所示赋权图中的最小生成树（要求写出求解步骤），并求此最小生成树的权．六、证明题（本题共8分）18．试证明：⌝P∨Q⇒P→ ⌝ (P→ ⌝Q)．离散数学（本）2017年7月份试题参考解答一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．D 2．A 3．B 4．C 5．B二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．{1, 2, 3}7．{<a ，b >, <b ，a >}8．20（或：2|E |）9．m10．假（或F ，或0）三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．设P ：他掌握了计算机的用法， Q ：他能完成这项工作． （2分） 则命题公式为： P → Q ． （6分）12．设P ：前天下雨， Q ：昨天还是下雨． （2分）则命题公式为：P ∧Q ． （6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13．错误． （3分） R 不是等价关系，因R 中包含< a ，b >与< b ，c >，但不包含< a ，c >，故不满足传递性． （7分）14．错误． （3分） 辖域为紧接量词∀之后的最小子公式(P (x )∧Q (y )→R (x ))． （7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．（1）A ⋃B ={ a , b , c , d }； （4分）（2）A - B={ c , d }； （8分）（3）A ×B={<a , a >, <a , b >, <b , a >, <b , b >, <c , a >, < c , b >, <d , a >, < d , b >} （12分）16．（1）G 的图形表示如图一所示：（3分）（2）邻接矩阵：（6分）（3） deg(v 1)=3，deg(v 2)=2， v 1 οο ο ο v 2 v 3 v 4 图一deg(v 3)=3，deg(v 4)=2 （9分）（4）补图如图二所示：（12分）17． 用Kruskal 算法求产生的最小生成树。
(完整版)《离散数学》试题及答案解析,推荐文档
则在解释 I 下取真值为 1 的公式是( ).
(A)xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x) (D)xyP(x,y). 6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).
(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6). 7. 设 G、H 是一阶逻辑公式，P 是一个谓词，G＝xP(x), H＝xP(x),则一阶逻辑公式
(A)下界 (B)上界 (C)最小上界
(D)以上答案都不对
6
4 下列语句中，( )是命题。
5
(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？
3
4
2
5 设 I 是如下一个解释：D＝{a,b}, P(a, a) P(a, b) P(b, a) P(b, b)
1
1010
AB＝_________________________;A－B＝ _____________________ . 7. 设 R 是集合 A 上的等价关系，则 R 所具有的关系的三个特性是______________________,
________________________, _______________________________. 8. 设命题公式 G＝(P(QR))，则使公式 G 为真的解释有
(1)
1
4
2
3
1 0 0 0
(2)
MR
1 1
1 1
0 1
0 0
1 1 1 1
3. (1)•＝((x))＝(x)+3＝2x+3＝2x+3.