(word完整版)七年级(上)培优讲义：第6讲有理数的运算(一)
人教版七年级上册专题：有理数的运算课件
5. 分配律：
一般地，一个数与两个数的和相乘，等于把这 个数分别与这两个数相乘，再把积相加。
如果a,b,c分别表示任一有理数， 那么：a(b+c)=ab+ac
知识点三：有理数的混合运算的顺序 (1)先乘方，后乘除，最后加减。
(2)同级运算，从左到右进行。 （3）如果有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号， 大括号依次进行。
总结：1.有理数加法中简便运算的方法：互为相反数的两
数相加，同分母的分数相加，能凑整的两数相加，有分数和 小数时要统一形式。 2.有理数乘除混合运算注意：有小数转化为分数（便于约 分），带分数化为假分数或与真分数的和（或差），再将 除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
3.进行有理数乘方运算时，要正确识别底数，根据“奇负偶 正”先确定符号，再计算绝对值。
人教版七年级上册
专题：有理数的运算
学习目标
1. 掌握有理数加、减、乘、除、乘方运算法则，能 够运用这些法则进行有理数运算。
2. 掌握有理数的运算律，能够利用运算律简化运算。
3. 掌握有理数混合运算的顺序，通过有理数的加、减、 乘、除、乘方的运算，培养学生综合运用知识的能力， 养成细心认真、严谨的做题习惯。
题型一：有理数的加减运算
1．计算： (1)(－3)＋(－9)； (2)－4.9＋3.7；
(3)(－ 1 )＋ 3 ； (4)0－9；(5)(－3)－(－5)；
34
(6)－ 7 1 －9 1 ； (7)(－12.5)－(－7.5)．
22
5
(1)原式＝－12.(2)原式＝－1.2.(3)原式＝ 12 .(4)原式＝－9. (5)原式＝2. (6)原式＝－16 3.(7)原式＝－5.
七年级数学上册 第一章《有理数》1.2 有理数能力培优讲义 (新版)新人教版
1.2有理数知识要点：1.有理数的两种分类：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数负整数负有理数负分数；0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数.2.在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3.一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数－a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度.4.只有符号不同的两个数叫相反数．5.一般地，设a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点左右，表示－a 和a ，这两个点关于原点对称.6.一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记住∣a ∣. 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是零．即：a>0a 0a 0a a 0⎧⎪=⎨⎪-<⎩a =.7.有理数的大小比较：（1）正数大于0，0大于负数，正数都大于负数．（2）两个负数比较，绝对值大的反而小. 温馨提示：1.有理数按不同的方法分类时要做到不重不漏；2.数轴上原点左边的数是负数，原点右边的数是正数；3.绝对值为正数的数有两个，它们是一对相反数;4.相反数是成对出现的，不能单独存在.单独的一个数不能说是相反数.5.“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同之外其他完全相同．不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数，如－2和＋3的符号不同，但它们不是互为相反数．6.原点左边的有理数，距离原点越远，数越小；原点右边的有理数，距离原点越远，数越大. 方法技巧：1.若a ，b 互为相反数，则a +b =0；2.多重符号的结果由“－”的个数决定，与“＋”无关.当负数的个数为奇数个时，最后结果的符号为“－”；当负数的个数为偶数个时，最后结果的符号为“+”，“＋”号一般省略不写．3.若∣a ∣=a ，则a≥0；若∣a ∣=－a ，则a≤0.4.比较两个数的大小常用的方法：（1）利用数轴比较：数轴上右边的数总大于左边的数；（2）利用性质比较：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；（3）两个负数比较：两个负数比较，绝对值大的反而小.专题一 有理数的分类1、下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是非负数？哪些是正分数？ ＋7，－23，59，0，722，－3.14，0.009，－888． 正数（ ）；负数（ ）； 非负数（ ）；正分数（ ）.2、已知有A 、B 、C 三个数集，每个数集中所含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填入图中相应的部分． A.{－5，2.7，－9.7，2.1} B.{2.1，－8.1，10，7}C.{－8.1，2.1，－5，9.2，－17}3、写出5个有理数（不重复），同时满足三个条件：①其中三个数不是正数；②其中三个数不是负数；③不都是整数.专题二 利用数轴上的点的位置确定数的大小 4、如图，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A. 1.5B.－1.5C.－2.6 D. 2.65、小红在做作业时，不小心将墨水洒在一条数轴上，如图所示，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数共有 个.6、如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点之间的距离为 .专题三 利用数轴解决生活中的实际问题7、金砖五国成员国巴西的首都巴西利亚、新西兰的首都惠灵顿与北京的时差如下表：若现在的北京时间是11月16日8：00，那么，现在的惠灵顿时间11月_________日___________时，巴西利亚时间是11月_________日___________时。
七年级数学上册第一章《有理数》1.4有理数的乘除法能力培优讲义新人教版(2021年整理)
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1。
4有理数的乘除法知识要点：1.有理数的乘法法则:（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数与0相乘，都得0.2。
有理数乘法法则的推广：（1)几个不等于0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时,积是负数．（2)几个数相乘，如果其中有因数0，那么积等于0．2.倒数：乘积是1的两个数互为倒数.若a、b互为倒数则ab=1（a≠0,b≠0）.3。
有理数乘法的运算律：乘法交换律：ab＝ba．乘法结合律：(ab）c＝a（bc）．分配律:a（b＋c）＝ab＋ac．4. 有理数的除法法则（一)除以一个不为零的数,等于乘以这个数的倒数．这个法则也可以表示成:a÷b＝a·1b（b≠0）．5.有理数的除法法则（二）（1）两数相除，同号得正、异号得负,并把绝对值相除．(2）0除以一个不等于0的数，都得0．6。
有理数的加减乘除混合运算：（1)乘除混合运算的步骤:①利用倒数将除法转化为乘法;②确定乘积的符号；③然后进行绝对值的乘法计算．（2）有理数的加减乘除混合运算,如无括号，则按照“先乘除，后加减"的顺序进行;如有括号,则先算括号内的．温馨提示：专题一 有理数乘除法运算1、计算()()⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-÷-5151的结果是( ）A 、－1B 、1C 、251-D 、25- 2、若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则100!98!的值为( ） A 、5049B 、 99!C 、9900D 、2！3、计算:（1）211(2)573÷-⨯； （2）(－53）÷3×321÷（－43).专题二 运用运算律简化有理数乘除法运算4、计算：（1)（－10）×错误!×（－0.1）×6； （2）3771(1)(1)48127--⨯-；（3）43510.712(15)0.7(15)9494⨯+⨯-+⨯+⨯-； （4）16191517⨯.5、阅读下列材料:计算：50÷（13－14+112）．解法一：原式=50÷13－50÷14+50÷112=50×3－50×4+50×12=550．解法二：原式=50÷(412－312+112）=50÷212=50×6=300．解法三:原式的倒数为（13－14+112）÷50=（13－14+112)×150=13×150－14×150+112×150=1300．故原式=300．上述得出的结果不同，肯定有错误的解法,你认为解法_______是错误的． 观察下面的问题，选择一种合适的方法解决： 计算:(－142）÷（16－314+23－27)．6、阅读第（1）小题的计算方法,再计算第（2）小题．（1）计算：)213(4317)329(655-++-+-解:原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-)21()3()4317()32()9()65()5(=[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+-++-+-)21(43)32()65()3(17)9()5(=411)411(0-=-+．上面这种解题方法叫做拆项法．（2)计算:5221(2018)(2019)4038(1)6332-+-++-．专题三 有理数混合运算 7、观察下列图形：45-7-3-13-31842012-2521603-2y -2x-549图① 图② 图③ 图④ 图⑤请用你发现的规律直接写出图④中的数y ： ；图⑤中的数x ： ． 8、计算：(1）)433()313()10(871-÷-⨯-÷； （2）（524)436183÷⨯-+；(3）213)127()3265(⨯-÷+-; (4）111713(37)17732221⨯-⨯÷.专题四 中考中的有理数混合运算规律题9、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报(11+1）,第2位同学报 （12+1），第3位同学报（13+1）……这样得到的20个数的积为 ．10、若x 是不等于1的有理数，我们把11x -称为x 的差倒数,如2的差倒数是1112=--，－1的差倒数为11112=-（-），现已知，x 1＝13-，x 2是x 1的差倒数,x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，……，依次类推，则x 2018＝ 。
(word版)七年级(上)培优讲义：第6讲有理数运算(一)
第6讲：有理数的运算〔一〕一、建构新知1.绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．当a为正数(2)代数意义：|a| 0当a为0当a为负数说明：|a|≥0即|a|是一个非负数；|a|概念中蕴含分类讨论思想．2.有理数加法运算技巧：1〕几个带分数相加，把它们的整数局部与分数〔或小数〕局部分别结合起来相加；2〕几个非整数的有理数相加，把相加得整数的数结合起来相加；3〕几个有理数相加，把相加得零的数结合起来相加；4〕几个有理数相加，把正数和负数分开相加；5〕几个分数相加，把分母相同〔或有倍数关系〕的分数结合相加．3．学习乘方考前须知：1〕注意乘方的含义；2〕注意分清底数，如：－an的底数是a，而不是－a．二、经典例题例1．甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；假设数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例2.：|a|=3，|b|=2，且a<b，求(a+b)3的值.例3.如果n为奇数，试计算－4×[1+(－1)n]×(5－42)93第1页共7页例4.黑板上写有11，1，⋯，1共100个数字．每次操作先从黑板上的数中取2个，23100数a，b，然后去a，b，并在黑板上写上数abab，99次操作后，黑板上剩下的数是〔〕A．2021B．101C．100D．99例5．|ab－2|与|a－1|互相互数，求下式的．1111ab(a1)(b1)(a2)(b2)(a2021)(b2021)例6．察以下每数在数上的点的距离4与2，3与5，2与6，4与3.并答复以下各：〔1〕你能所得距离与两个数的差的有什么关系？答：____.〔2〕假设数上的点A表示的数x，点B表示的数―1，A与B两点的距离可以表示．〔3〕合数求得x2x3的最小，取得最小x的取范______.4x1x43的x的取范．〔〕足例7.正整数a、b足b2b20，ab ab0，且a b，求ab的．第2页共7页三、基演1.以下四个式子，正确的选项是〔〕A.假设a≠b,那么a2b2B.假设a b，那么a bC.假设a＞|b|,那么a2b2D.假设a2b2,那么a b2.在一次量中，小与欣欣利用温差量山峰的高度，小在山得温度是–5℃，欣欣此在山脚得的温度是1℃，地区高度每增加100米，气温大降低℃,个山峰的高度大是多少米?3.算：〔1〕14710131620212021；85008501500〔2〕78.4.有三个互不相等的有理数，既可表示1,ab,a的形式，又可表示b 0,,b的形式，a求a2007b2021的．5．察以下各式：132391491223241411323333691632424413233343100116251425244⋯假设n正整数，猜测132333n3等于多少？第3页共7页6．填出以下空格，并着找其中涵确实定自然数个位数的一种方法：①21,22,23,24的个位数分是，25,26,27,28的个位数分是，你能确定2859433的个位数？是多少？；②31,32,33,34的个位数分是，35,36,37,38的个位数分是，3123451的个位数是；③41,42,43,44的个位数分是，4543211的个位数是；④利用上述探求一个有理数的个位数的方法，我可以确定：755的个位数是，6100的个位数是．8.算：15712]÷(－1(1)(－十)×(－36)；(2)[2－5×(－))；29122415－(－51121(3)1×)×2+(－2)÷1；(4)－14－[1－(1－×)×6]2772539.某同学把7×(－3)抄7×－3，如果正确答案是x，抄后的答案y，求x－y的.10.算：1+(1+1)+(1+2+3)+⋯+(1+2+3+⋯+48十49).2234445050505050第4页共7页11．小收集了9个可瓶盖，她把9个瓶盖都盖口朝上排放成一行，她每次都任意翻四个瓶盖〔盖口朝上的翻成朝下，盖口朝下的翻成朝上〕，她能否假设干次翻后，所有的瓶盖都盖口朝下？12．在古代，有一位大臣国王明了一种象棋，国王大喜，要大臣行，就大臣有什么要求．大臣：“在象棋棋上放一些米，第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒米，⋯⋯一直放到64格．〞国王得太容易了，就很爽快地答了大臣．但是侍放米的非常久，国王忍不住出去观察，果大惊失色．国王共要励大臣多少粒米？四、直中考1.(2021山)如，数上的A、B、C三点所表示的数分a、b、c，其中AB＝BC，如果|a|＞|c|A B Ca b c＞|b|，那么数的原点O的位置在()A．点A的左B．点A与点B之C．点B与点C之D．点C的右2.〔2021湖北〕数a，b在数上的位置如所示，以下法正确的选项是〔〕A．a＋b＝0B．b＜a C．ab＞0D．｜b｜＜｜a｜3.(2021北京)在?关于促城市南部地区加快展第二段行划〔2021－2021〕?中，北京市提出了3960元的投划．将3960用科学数法表示〔〕2344A.10×B.10×C.10×D.10×4.〔2021四川〕把所有正奇数从小到大排列，并按如下律分：〔1〕，〔3，5，7〕，〔9，11，13，15，17〕，〔19，21，23，25，27，29，31〕，⋯，用等式A M=〔i，j〕表示正奇数M是第i第j个数〔从左往右数〕，如A=〔2，3〕，A2021=〔〕7第5页共7页A．〔45，77〕B．〔45，39〕C．〔32，46〕D．〔32，23〕5.〔2021新疆〕如下图的数阵叫“莱布尼兹调和三角形〞，它是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数都为1，每个数n是它下一行左右相邻两数的和，那么第8行第3个数〔从左往右数〕为〔〕1111221 11363 1111 4121241111 A．B．C．D．60168252280 6.〔2021湖北〕以下等式成立的是〔〕A．│－2│=2B．(2－1)0=011D．－(－2)=－2 C．(－)=227．〔2021江苏〕﹣〔﹣3〕=，|﹣3|=，〔﹣3〕﹣1=2．，〔﹣3〕=8.〔2021湖北〕在数轴上，点A〔表示整数a〕在原点的左侧，点B〔表示整数b〕在原点的右侧．假设|a﹣b|=2021，且AO=2BO，那么a+b的值为．9．〔2021杭州〕32×3.14+3×〔﹣〕=．10.(2021浙江、重庆、广东、福建)计算：014232(75)(1)2021231(2)38(1)4 (3)2 5 (2)3( 4 21)(4)(4)0| 2| 16 41123第6页共7页五、挑1．算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋⋯＋2021×2021－2021×2021+2021×20212.由1，2，3，4四个数字成四位数abcd〔数字可重复使用〕，要求足a c b d.的四位数共有〔〕A．36个.B．40个.C．44个.D．48个.小王在做数学，下面有趣的果：由上，我可知第100行的最后一个数是〔〕．A．10000B．10020C．10120D．10200六、每周一1．a、b、c在数上位置如，代数式|a|+|a+b|+|c－a|－|b－c|的等于〔〕A．－3a B．2c－a C．2a－2b D．b2.数11114a b c的a,b,c足a+b+c=10,且,求abbcca17bccaab.第7页共7页。
七年级数学上册 第一章《有理数》1.2 有理数能力培优讲义 (新版)新人教版
1.2有理数知识要点：1.有理数的两种分类：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数负整数负有理数负分数；0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数.2.在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3.一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数－a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度.4.只有符号不同的两个数叫相反数．5.一般地，设a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点左右，表示－a 和a ，这两个点关于原点对称.6.一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记住∣a ∣. 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是零．即：a>0a 0a 0a a 0⎧⎪=⎨⎪-<⎩a =.7.有理数的大小比较：（1）正数大于0，0大于负数，正数都大于负数．（2）两个负数比较，绝对值大的反而小. 温馨提示：1.有理数按不同的方法分类时要做到不重不漏；2.数轴上原点左边的数是负数，原点右边的数是正数；3.绝对值为正数的数有两个，它们是一对相反数;4.相反数是成对出现的，不能单独存在.单独的一个数不能说是相反数.5.“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同之外其他完全相同．不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数，如－2和＋3的符号不同，但它们不是互为相反数．6.原点左边的有理数，距离原点越远，数越小；原点右边的有理数，距离原点越远，数越大. 方法技巧：1.若a ，b 互为相反数，则a +b =0；2.多重符号的结果由“－”的个数决定，与“＋”无关.当负数的个数为奇数个时，最后结果的符号为“－”；当负数的个数为偶数个时，最后结果的符号为“+”，“＋”号一般省略不写．3.若∣a ∣=a ，则a≥0；若∣a ∣=－a ，则a≤0.4.比较两个数的大小常用的方法：（1）利用数轴比较：数轴上右边的数总大于左边的数；（2）利用性质比较：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；（3）两个负数比较：两个负数比较，绝对值大的反而小.专题一 有理数的分类1、下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是非负数？哪些是正分数？ ＋7，－23，59，0，722，－3.14，0.009，－888． 正数（ ）；负数（ ）； 非负数（ ）；正分数（ ）.2、已知有A 、B 、C 三个数集，每个数集中所含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填入图中相应的部分． A.{－5，2.7，－9.7，2.1} B.{2.1，－8.1，10，7}C.{－8.1，2.1，－5，9.2，－17}3、写出5个有理数（不重复），同时满足三个条件：①其中三个数不是正数；②其中三个数不是负数；③不都是整数.专题二 利用数轴上的点的位置确定数的大小 4、如图，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A. 1.5B.－1.5C.－2.6 D. 2.65、小红在做作业时，不小心将墨水洒在一条数轴上，如图所示，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数共有 个.6、如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点之间的距离为 .专题三 利用数轴解决生活中的实际问题7、金砖五国成员国巴西的首都巴西利亚、新西兰的首都惠灵顿与北京的时差如下表：若现在的北京时间是11月16日8：00，那么，现在的惠灵顿时间11月_________日___________时，巴西利亚时间是11月_________日___________时。
第6讲 有理数混合运算-七年级上册数学同步精品讲义(北师大版)
第6讲 有理数混合运算 2在运算过程中能合理使用运算律，简化运算。
知识点 有理数的混合运算1．有理数运算规则加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算．（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）．2．“奇负偶正”（1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“-”号的个数，正、负指的是化简结果的符号；（2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号；（3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．【例】[]()---3=-3 []()-+-3=3 ()()()-3⨯-2⨯-6=-36；()()()-3⨯-2⨯+6=36 ()2-3=9 ()3-3=-27． 【知识拓展】计算：()2154832-÷+-⨯．【难度】★【答案】652． 【解析】原式=1116515921518322222-+⨯=-+==． 【总结】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．【即学即练1】计算：23121111113382⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---÷-⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【难度】★★【答案】72． 【解析】原式=2325834402728277[()]()()()()()339292782782-⨯⨯-=-⨯-=-⨯-=． 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算知识精讲目标导航括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算．【即学即练2】计算：643517.852171353⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★ 【答案】998130-． 【解析】原式176301633299(17)()()68201713151013130=-+⨯--⨯-=---=-． 【总结】此类题目可以采用交换律、分配律、结合律等，主要目的就是能够做到整除，便于计算．【即学即练3】计算：()2111411 1.35332353⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+⨯-⨯-⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 【难度】★★【答案】8711270． 【解析】原式16131621613628711()(5)()(5)91061596015270=-+⨯⨯-⨯=-+⨯-⨯=． 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算．【能力拓展1】计算：()()()22324323295521651321690+⨯⨯-+÷+． 【难度】★★★【答案】185． 【解析】原式91821310894(41)131083610818166513516906513130131305⨯⨯⨯+⨯=⨯+⨯+=+=+=⨯． 【总结】本题考查了有理数的混合运算，属于基本题型，要熟练掌握．【能力拓展2】计算：()()()()()2423320.2522830.33210--⨯+⨯÷⎡⎤-⨯+---÷-⎣⎦． 【难度】★★★【答案】1013-． 【解析】原式13416213210480.9(98)(10)0.9 1.7 2.613-⨯+⨯÷-+===-=--++÷---． 能力拓展【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算．【能力拓展3】计算：4324320.410.310.710.810.0410.0310.0710.081+++． 【难度】★★★【答案】11110．【解析】原式=432432432(0.04110)(0.03110)(0.07110)1010101010111100.0410.0310.071⨯⨯⨯+++=+++=． 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算．【能力拓展4】计算：1994199499319921995994⨯-⨯．【难度】★★★【答案】1995994．【解析】原式19941993100119921994100119941001(19931992)=⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-=1994×1001=1995994．【总结】这道题考查的是整数四则混合运算的简便计算，发现19931993=1993×1001，19941994=1994×1001是解题关键，本题中的数由于数据较大，数位较多，计算结果要细心，数清数的位数．【能力拓展5】计算：()()22111093444010.52224144433⎛⎫⎡⎤-⨯+÷-÷⨯-⨯-- ⎪⎣⎦⎝⎭． 【难度】★★★【答案】289． 【解析】原式81180109444(2)028********+=-⨯⨯-⨯⨯-⨯=． 【总结】本题考查的是有理数的运算能力，注意计算顺序和去括号法则．【能力拓展6】计算：()1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5-÷⨯-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦．【难度】★★★【答案】9.3【解析】原式=10-10.5÷（5.2×14.6-9.2×5.2-5.4×3.7+4.6×1.5）=10-10.5÷[5.2×（14.6-9.2）-5.4×3.7+4.6×1.5]=10-10.5÷（5.2×5.4-5.4×3.7+4.6×1.5）=10-10.5÷（5.4×1.5+4.6×1.5）=10-0.7=9.3【总结】解题关键是掌握小数乘除法的计算方法以及四则混合运算的顺序．【能力拓展7】计算：4.29430430 4.274294292304.293⨯-⨯-． 【难度】★★★【答案】1990． 【解析】原式 4.294301001 4.2742910012304.293⨯⨯-⨯⨯=- 1001(4.29430 4.27429)2304.293⨯⨯-⨯=- 4294.292304.291990=-=【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算．【能力拓展8】计算：63.85(52) 1.257317(1) 1.1739⨯-÷+÷⨯． 【难度】★★★ 【答案】145． 【解析】原式153.85 1.258.25 1.251473473125() 1.1() 1.173977⨯÷÷===+÷⨯+⨯． 【总结】对繁分数的化简，分子分母同时计算，能约分的要约分，达到化简的目的．【能力拓展9】计算：()()322220.217012231440126327⎛⎫⎛⎫÷-⨯+⨯÷- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭． 【难度】★★★【答案】0 【解析】原式222230.008112()12101262704970=⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯ 222290.08112()1200704970=--=⨯=． 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算．【能力拓展10】计算：()7577.5351326 4.035139618⎛⎫⨯-⨯+-+-⨯ ⎪⎝⎭． 【难度】★★★ 【答案】131318． 【解析】原式75713(7.535 4.035)213()9618=⨯--⨯⨯+-22171313 3.51345311392918=⨯-⨯=-=． 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算．题组A 基础过关练一、单选题1．（2020·克山县第二中学校七年级期中）计算()5322--+⨯-的结果是（ ）A ．-12B ．2C ．-6D ．以上都不对 【答案】A【分析】先计算乘法运算，再计算加减运算即可求解．【详解】解：()()532253412--+⨯-=--+-=-．故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟记运算法则是解题的关键．2．（2019·广东深圳市·七年级期中）如图是一数值转换机，若输入的x 为﹣5，则输出的结果为（ ）A ．9B ．﹣9C ．﹣17D ．21【答案】D 【分析】根据程序，可以用代数式表示为（x-2）×（-3），再代入x 值即可求解．【详解】解：由题意得：当x=-5时，（-5-2）×（-3）=（-7）×（-3）=21．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题要能正确运用代数式表示其输出结果，再把具体值代入计算．3．（2020·江苏九年级二模）计算4＋(－8)÷(－4)－(－1) 的结果是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．43【答案】C【分析】通过有理数的加减乘除的运算法则计算，先算除法，再算加减，注意符号问题即可． 分层提分【详解】原式=4+2+1=7．故选：C ．【点睛】本题主要考查了有理数的加减乘除混合运算，计算过程中符号问题是解题的关键所在，去括号要特别留意．4．（2021·重庆南开中学七年级期末）按如图所示的运算程序，若输入x =2，y =1，则输出结果为（ ）A ．1B ．4C ．5D ．9【答案】D 【分析】由程序框图将x =2，y =1代入2()x y + 计算可得．【详解】解：∵2x =是偶数，∴把21x y ==，代入2()x y +，得：原式=22(21)39+==故选：D ．【点睛】此题考查了代数式的求值与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．下列运算正确的是（ ）A ．11303022-⨯=⨯=B ．22232(32)636⨯=⨯=-C ．1116636236⎛⎫÷-=÷= ⎪⎝⎭D ．156215(62)5÷÷=÷÷= 【答案】C【分析】计算出各项结果，即可做出判断．【详解】解：A 、()1113131222-⨯=⨯-=-，故选项错误； B 、2323412⨯=⨯=，故选项错误；C 、1116636236⎛⎫÷-=÷= ⎪⎝⎭，故选项正确； D 、115156215624÷÷=⨯⨯=，故选项错误； 故选C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．下列计算正确的个数是（ ）①4381-= ②2(6)36--= ③3115125⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ④23324-=- ⑤20052005(1)(1)0--+= ⑥1(3)93⎛⎫-÷-= ⎪⎝⎭⑦3(2)8-= ⑧81(6)6-⨯-=-A ．1个B ．2个C ．3个D ．以上答案均错 【答案】B【分析】根据有理数的混合运算法则分别判断即可．【详解】解：①4381-=-，故错误；②2(6)36--=-，故错误； ③3115125⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故错误； ④23324-=-，故正确； ⑤20052005(1)(1)211+=----=-，故错误； ⑥1(3)93⎛⎫-÷-= ⎪⎝⎭，故正确；⑦3(2)8-=-，故错误；⑧81(6)6-⨯-=，故错误；故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．7．（2020·赣州市赣县区第四中学七年级月考）计算()21344-÷⨯的结果是（ ）A ．-9B ．9C ．916D ．916- 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法法则可得答案．【详解】解：()21344-÷⨯=11944⨯⨯=916 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的乘方、有理数的乘除法．熟练掌握有理数的乘方、有理数的乘除法的运算法则是解题关键．8．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级月考）计算：()()20082019111-+-÷-=（ ） A ．1B ．0C ．2-D ．2+ 【答案】B【分析】直接根据有理数的运算法则，进行计算即可．【详解】解：()()20082019111-+-÷-=()111+-÷=11-=0故选：B ．【点睛】本题考查有理数的混合运算，计算时注意绝对值，正负号即可． 题组B 能力提升练一、单选题1．（2021·安徽七年级期末）定义运算2a b ab a b =--★，如13132132=⨯-⨯-=★，则24-★的值为（ ）A ．8B ．-8C ．16D ．-16【答案】A【分析】由新定义的运算法则进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵2a b ab a b =--★， ∴24242(2)488-=-⨯-⨯--=-=★；故选：A ．【点睛】本题考查了新定义的运算法则，解题的关键是熟练掌握新定义的运算法则进行解题．2．（2021·江苏无锡市·七年级期中）按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正整数，输出结果86，那么满足条件的x 的值有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】A【分析】分直接输出4x ﹣2和不是直接输出4x ﹣2两种情况讨论，分别根据所给程序计算即可．【详解】解：设输入x ，直接输出4x ﹣2时，且4x ﹣2＞80，那么就有4x ﹣2＝86，解得：x ＝22，若不是直接输出4x ﹣2，那么就有：（1）4x ﹣2＝22，解得：x ＝6；（2）4x ﹣2＝6，解得：x ＝2；（3）4x ﹣2＝2，解得：x ＝1，（4）4x ﹣2＝1，解得：x ＝34， ∵x 为正整数，∴符合条件的一共有4个数，分别是22，6，2，1，故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算及程序流程图，读懂程序流程图是解题的关键．3．（2021·福建泉州市·七年级期末）我们常用的十进制数，如312639210610?3109,=⨯⨯⨯+++我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如32125132757173=⨯⨯+⨯++）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．1435天B ．565天C ．13天D ．465天【答案】B 【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数．【详解】解：1×73+4×72+3×7+5=1×343+4×49+3×7+5=343+196+21+5=565（天）．故选：B ．【点睛】考查了有理数的混合运算，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．4．（2021·安徽六安市·七年级期末）定义☆运算：观察下列运算：请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则，并计算：（－11）☆［0☆（–12）]等于（ ）A ．132B ．0C ．－132D ．－23 【答案】D【分析】根据两数进行☆运算时，同号两数运算取正号，再把绝对值相加，异号两数运算取负号，再把绝对值相加，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，等于这个数的绝对值，解答即可．【详解】解：（－11）☆［0☆（–12）]=（－11）☆(+12)=-(11+12)=-23，故选D ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．二、填空题5．（2021·江苏七年级期末）将四个数2，﹣3，4，﹣5进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，列一个算式_____（每个数都要用，且只能用一次，写出一个即可），使得运算结果等于24．【答案】2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）．【分析】根据有理数的运算法则求解．【详解】解：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝2×（4+3+5）＝2×12＝24，故答案为：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）．【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．6．有三个互不相等的有理数，既可以表示为1， a b ，a 的形式，又可以表示0,,b b a 的形式，则20192020a b+=________．【答案】0【分析】根据三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，ba，b的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即a+b与a中有一个是0，ba与b中有一个是1，再根据分母不为0判断出a、b的值，代入代数式进行计算即可．【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，ba，b的形式，∴这两个数组的数分别对应相等．∴a+b与a中有一个是0，ba 与b中有一个是1，但若a=0，会使ba无意义，∴a≠0，只能a+b=0，即a=-b，于是ba中只能是b=1，于是a=-1．∴a2019+b2020=（-1）2019+12020=-1+1=0，故答案为：0．【点睛】本题考查的是有理数的概念，能根据题意得出“a+b与a中有一个是0，ba与b中有一个是1”是解答此题的关键．7．（2021·普定县第二中学七年级月考）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b = ab2 + a．如：1☆3=1×32+1=10．则（-2）☆3+3☆（-2）=_____．【答案】-5【分析】原式利用题中的新定义列式计算即可求出值．【详解】解：（-2）☆3+3☆（-2）=（-2）×32+（-2）+3×（-2）2+3=-18-2+12+3=-5故答案为：-5【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2020·湖北七年级月考）规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“Δ”为选择两数中较小数的运算．则[（7Δ3）&6]⨯[5Δ（3&7）]的结果为____________．【答案】30【分析】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“Δ”为选择两数中较小数的运算．得出原式=[3& 6]×[5Δ7]，再根据新定义求出即可．【详解】解：[（7Δ3）& 6]×[5Δ（3 & 7）]=[3& 6]×[5Δ7]=6×5=30，故答案为：30．【点睛】此题主要考查了新定义运算，解此题最主要的理解新运算符号的意义，然后再根据新运算符号的意义解决题目即可．三、解答题9．小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”．（1）求小王和小李的速度．（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李．（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？【答案】（1）小李的速度为8米/秒，小王的速度为10米/秒；（2）8秒；（3）3秒【分析】（1）利用20÷2.5可得小李的速度，从而得到小王的时间，再利用路程除以该时间可得小王的速度；（2）利用路程÷速度差=追上小李的时间可列式计算；（3）根据题意可得该时间的路程差，再除以速度差可得时间，从而计算耽搁的时间．【详解】解：（1）20÷2.5=8米/秒，∴小李的速度为8米/秒，100÷8=12.5秒，100÷（12.5-2.5）=10米/秒，∴小王的速度为：10米/秒；（2）8×2÷（10-8）=8秒，∴小王起跑后8秒追上小李；（3）（20-2）÷（10-8）=9秒，120÷10-9=3秒，∴最多耽搁3秒．【点睛】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握行程问题的计算公式的应用．10．学习有理数的乘法后，老师给出一道题：计算：2449(5)25⨯-，看看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下：小明：原式12491249452492555 =-⨯=-=-；小李：原式2424449(5)49(5)(5)24925255⎛⎫=+⨯-=⨯-+⨯-=- ⎪⎝⎭； （1）上面的解法对你有何启发，你认为还有简便的方法吗？若有，请写出来； （2）用你认为最合适的方法计算：1519(8)16⨯-． 【答案】（1）有，解法见解析；（2）11592- 【分析】（1）把244925写成1(50)25-，然后利用乘法分配律进行计算即可得解；（2）把151916写成1(20)16-，然后利用乘法分配律进行计算即可得解．【详解】解：（1）还有更简便的解法，2449(5)25⨯-1(50)(5)25=-⨯-150(5)(5)25=⨯--⨯-12505=-+42495=-； （2）1519(8)16⨯-1(20)(8)16=-⨯-120(8)(8)16=⨯--⨯-11602=-+11592=-． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转化是解题的关键．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2020·湖北大堰初级中学七年级月考）现定义运算“*”，对于任意有理数a ，b 满足a*b ＝2,2,a b a ba b a b-≥⎧⎨-<⎩．如5*3＝2×5﹣3＝7，12*1＝12﹣2×1＝﹣32，若x*3＝5，则有理数x 的值为（ ） A ．4 B ．11C ．4或11D ．1或11【答案】A【分析】对x 的取值分为两种情况，当x≥3和x ＜3分类求解，得出符合题意得答案即可. 【详解】当x≥3，则x*3＝2x ﹣3＝5，x ＝4；当x ＜3，则x*3＝x ﹣2×3＝5，x ＝11，但11＞3，这与x ＜3矛盾，所以此种情况舍去． ∴若x*3＝5，则有理数x 的值为4， 故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题目中运算规则是解题的关键．2．（2020·广州大学附属中学七年级期中）2019减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，…以此类推，一直减到余下的12019，则最后剩下的数是（）A．0 B．1 C．20192018D．20182019【答案】B【分析】根据题意列出式子11112019(1)(1)(1)(1)2342019⨯-⨯-⨯-⨯⨯-，先计算括号内的，再计算乘法即可解答．【详解】解：由题意得：1111 2019(1)(1)(1)(1) 2342019⨯-⨯-⨯-⨯⨯-=1232018 20192342019⨯⨯⨯⨯⨯=1 20192019⨯=1故选：B．【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，并发现算式的特征．3．（2019·山东七年级期末）为了求1＋2＋22＋23＋…＋22019的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22019，则2S ＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，因此2S－S＝22020－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22019＝22020－1.请仿照以上推理计算：1＋4＋42＋43＋…＋42019的值是( ）A．42100－1 B．42020－1 C．2019413D．2020413【答案】D【分析】设S=1+4+42+43+...+42019，表示出4S，然后求解即可．【详解】解：设S=1+4+42+43+ (42019)则4S=4+42+43+ (42020)因此4S-S=42020-1，所以S=2020413．故选：D．【点睛】本题考查了乘方，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键． 二、填空题4．（2020·南靖县城关中学七年级月考）你玩过24点游戏吧，请你运用加、减、乘、除运算和括号，写出数5、5、5、1得到24的算式__________（每个数只能用一次）． 【答案】5×（5-1÷5）=24【分析】根据124555-=，列出正确算式即可．【详解】解：5×（5-1÷5）=24， 故答案为：5×（5-1÷5）=24．【点睛】本题考查了有理数的混合运用，解题关键是恰当的运用运算符号和括号列出准确算式． 5．（2021·广东惠州市·七年级期末）观察下列等式：11111222=-=⨯ 111112112232233+=-+-=⨯⨯ 1111111131122334223344++=-+-+-=⨯⨯⨯ ……请按上述规律，写出第n 个式子的计算结果（n 为正整数）______．（写出最简计算结果即可） 【答案】1nn + 【分析】利用材料中的“拆项法”解答即可． 【详解】解：由题意可知，第n 个式子为：111111111111+...1...1122334(1)22334111n n n n n n n ++=-+-+-++-=-=⨯⨯⨯++++ 故答案为：1nn +． 【点睛】考查了规律型：数字的变化规律，有理数的混合运算．解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．6．（2020·成都市建华中学七年级月考）阅读理解：12-111-22112==⨯，13-211-63223==⨯，14-311-124334==⨯……阅读以上材料后计算：111111111357911131517612203042567290++++++++ =__． 【答案】2815【分析】先将整数和分数分开，再根据材料进行拆项并抵消，依此计算即可．【详解】解： 111111111357911131517612203042567290++++++++ ()11111111=1+3+5+7+9+11+13+15+17++++++++612203042567290⎛⎫⎪⎝⎭1111111111111111=81++23344556677889910⎛⎫-+-+-+-+-+-+-- ⎪⎝⎭=81+11-210⎛⎫ ⎪⎝⎭=2815． 故答案为：2815． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，需要有一定的运算求解能力，关键是熟悉材料所给的式子． 7．（2019·莆田第十五中学）计算：111111112434635685781079-+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯的结果是_____________． 【答案】1145-【分析】应用加法交换律、加法结合律以及减法的性质，求出算式的值是多少即可．【详解】111111112434635685781079-+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111()()2446688103355779=+++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111111111111()(1)224466881023355779=⨯-+-+-+--⨯-+-+-+- 12182529=⨯-⨯ 1459=- 1145=-，故答案为：1145-． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意运算顺序，注意加法运算定律和减法的性质的应用．三、解答题 8．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作32，读作“2的3次商”，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作4(3)-，读作“3-的4次商”．一般地，我们把n 个(0)a a ≠相除记作n a ，读作“a 的n 次商”． 初步探究（1）直接写出结果：32=________；（2）关于除方，下列说法错误的是_________．①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n ，(1)1n -=-； ③4334=；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式4(3)-=_______；517⎛⎫= ⎪⎝⎭_______．（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于___________； （5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．【答案】（1）12；（2）②③；（3）213⎛⎫- ⎪⎝⎭，37；（4）21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（5）314-【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用题中的新定义分别判断即可；（3）利用题中的新定义计算即可表示成幂的形式； （4）根据题干和（1）（2）（3）的规律总结即可；（5）将算式中的除方部分根据（4）中结论转化为幂的形式，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）3122222=÷÷=； （2）当a ≠0时，a 2=a ÷a =1，因此①正确； 对于任何正整数n ，当n 为奇数时，(1)(1)(1)...(1)1n -=-÷-÷÷-=-，当n 为偶数时，(1)(1)(1)...(1)1n -=-÷-÷÷-=，因此②错误； 因为34=3÷3÷3÷3=19，而43=4÷4÷4=14，因此③错误； 负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，因此④正确； 故答案为：②③；（3）4(3)-=(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-=111(3)333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭213⎛⎫- ⎪⎝⎭，5111111777777⎛⎫=÷÷÷÷ ⎪⎝⎭=177777⨯⨯⨯⨯=37； （4）由题意可得：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于21n a -⎛⎫⎪⎝⎭；（5）2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()()()23112344÷-⨯-+-⨯=()12714⨯-- =314-【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题中除方的运算法则是解本题的关键． 9．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等．类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④，读作“3-的圈4次方”．一般地，把(0)n a a a a a ÷÷÷⋅⋅⋅÷≠个记作34=③④读作“a 的圈n 次方”（初步探究）（1）直接写出计算结果：2=③________，12⎛⎫-= ⎪⎝⎭④________． （2）关于除方，下列说法错误的是________ A ．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 B ．对于任何正整数n ，1=1 C ．34=③④D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式(3)-=④________；5=⑥_________；12⎛⎫= ⎪⎝⎭⑩_______（4）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式是________（5）算一算：24111123323⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯---÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭④③④． 【答案】（1）12，4；（2）C ；（3）213⎛⎫ ⎪⎝⎭；415⎛⎫ ⎪⎝⎭；82；（4）21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（5）2899-【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断；（3）观察例题得到规律，一个非零有理数a 的圈n 次方等于a 的倒数的(2)n -次方，按规律得到结果； （4）把一个非零有理数a 的圈n 次方等于a 的倒数的(2)n -次方，写成字母表述的形式； （5）根据圈a 的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果． 【详解】解：（1）122222=÷÷=③，11111()22222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-÷-÷-÷- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭④ 12222=⨯⨯⨯ 4=．故答案为：12，4． （2）133333=÷÷=③，14444416=÷÷÷=③， 由于11316≠，34∴≠③③所以选项C 错误 故选C ．（3）(3)(3)(3)(3)(3)-=-÷-÷-÷-④ 111(3)333⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭213⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 213⎛⎫= ⎪⎝⎭； 5555555÷÷÷=÷÷⑥11111555555=⨯⨯⨯⨯⨯415⎛⎫ ⎪⎝⎭=； 1111111111122222222222⎛⎫=÷÷÷÷÷÷÷÷÷ ⎪⎝⎭⑩12222222222=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 82=；故答案为：213⎛⎫ ⎪⎝⎭；415⎛⎫ ⎪⎝⎭；82；（4）a =÷÷⋯÷a a a111a a=⨯⨯⋯⨯ 21()n a-= 故答案为：21()n a-； （5）2411112()()()3323÷-⨯---÷④③④ 224144(3)(2)(3)3=÷-⨯---÷241449233=-÷⨯-÷288199=-- 2899=-． 【点睛】本题主要考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和有理数的混合运算是解决本题的关键．10．（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：555÷÷，(8)(8)(8)(8)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把555÷÷记作5③，读作“5的圈3次方”， (8)(8)(8)(8)-÷-÷-÷-记作（－8）④，读作“8-的圈4次方”一般的把n a a a a a ÷÷÷÷个记作a ⓝ，读作“a的圈n 次方”．（1）直接写出计算结果：（－6）④＝__________；[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：（2）（17）ⓝ_________；（1a ）ⓝ=____________．（2n 且n 为正整数）； [实践应用]（3）计算①（－14）④×（－4）⑤－（13）④÷36 ②（15）②+（15）③+（15）④+（15）⑤+……+（15）ⓝ（其中2021n =） 【答案】（1）136；（2）7n-2；a n-2；（3）①724-；②2020514- 【分析】（1）根据所给定义计算即可；（2）根据所给定义计算即可；（3）①②根据前两问得到除方的规律，从而分别计算．【详解】解：（1）由题意可得：（－6）÷（－6）÷（－6）÷（－6）=（－6）×（－16）×（－16）×（－16） =136； （2）（17）ⓝ=17÷17÷17÷... ÷17=17×7×7×...×7 =7n-2； （1a ）ⓝ=1a ÷1a ÷1a ÷...÷1a =1a×a×a×...×a =a n-2；（3）由题意可得：有理数a （a≠0）的圈n （n≥3）次方写成幂的形式等于21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，①（－14）④×（－4）⑤－（13）④÷36 =()322314364⎛⎫-⨯--÷ ⎪⎝⎭=()22114921644⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯--÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =11424-- =724-； ②（15）②+（15）③+（15）④+（15）⑤+……+（15）ⓝ =2321555...5n -+++++设S=2321555...5n -+++++，则5S=231555...5n -++++，5S-S=4S=()()231232555...51555...5n n --++++-+++++ =151n --∴S=1514n --， ∴原式=2020514-． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，充分理解新定义是解题的关键．。
人教版七年级上册数学 第一章 有理数全章讲义
A.有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数 B.一个有理数不是整数就是负数
C.一个有理数不是整数就是分数 7、 44 , ,0, 0.3。四个数中，有理数的个数为（ ）
7 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
D.以上说法都正确
8.有理数中，是整数而不是正数的是（ ），是分数而不是正分数的是（
）。
9、有理数中，最小的自然数是（ ）,最小的正整数是（ ）。
10、整数与分数统称为（ ），整数包括（
），分数包括（
）。
11、通常把（
）和（
）统称为非负整数，把（ ）和（ ）统称为非正整数；
把（
）和（
）统称为非负数，把（
）和（
）统称为非正数。
12、将下列各数按要求分别填入相应的集合中。
9.3,6,3 3 ,7 1 ,0,100, 3 ,2.25,0.01,65, 2 , 3 , 0.21。.
3、下列说法错误的是（ ） A．-5 一定是负数 C．自然数一定是正数 4、下列说法正确的有（ ）
B．在正数前面加上“-”就成了负数 D．-a 不一定是负数
①不带负号的数都是正数 ②带负号的数不一定是负数 ③0℃表示没有温度 ④0 既不是正数，也不 是负数
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D3 个 5、在跳远测验中，合格标准是 4.00m，小明跳出了 4.18m，记作+0.18m，小华跳出了 3.96m，应
典型例题
1、 判断下列说法是否正确。
（1）-3 与 1 互为相反数。（ ） 3
（2）5 的相反数是 1 。（ ） 5
（3）0 的相反数是-0，所以 0 与-0 不是互为相反数。（ ）
2、下列叙述正确的是（ ）
七年级有理数的运算培优讲义
小巨人七年级数学培优班讲义学生: 教师: 赵常巨日期: 2017.9.13 家长签名：课题有理数的运算教学目标1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值；3、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简混合运算；理解有理数的运算律，并能灵活使用运算律简化运算；4、能运用有理数的运算解决简单的问题；会用科学记数法表示较大的数，并能按要求取近似数．重点、难点重点：加减乘除法运算法则乘方法则难点：1、符号问题2、快速准确。
教学内容温故知新1、有理数的分类正有理数整数有理数零有理数负有理数分数2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，三要素缺一不可）。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，（|a|≥0）。
若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
6、有理数比较大小：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
7、有理数的运算：（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正。
只要有一个数为零，积就为零。
有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同0相加，仍得这个数。
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第6讲：有理数的运算（一）一、建构新知 1.绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |．(2)代数意义： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：|a |≥0即|a |是一个非负数；|a |概念中蕴含分类讨论思想． 2.有理数加法运算技巧：（1）几个带分数相加，把它们的整数部分与分数（或小数）部分分别结合起来相加；（2）几个非整数的有理数相加，把相加得整数的数结合起来相加； （3）几个有理数相加，把相加得零的数结合起来相加； （4）几个有理数相加，把正数和负数分开相加；（5）几个分数相加，把分母相同（或有倍数关系）的分数结合相加． 3．学习乘方注意事项：（1）注意乘方的含义；（2）注意分清底数，如：－an 的底数是 a ，而不是－a ． 二、经典例题例1．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例2.已知：|a |=3，|b |=2，且a <b ，求(a +b )3的值.例3.如果n 为奇数，试计算 －94×[1+(－1)n ]×(5－432)例4.黑板上写有1，12，13，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）A ．2012B ．101C ．100D ．99 例5．已知|ab －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．)2013)(2013(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab Λ例6．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？ 答：____ .（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ．（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ______.（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ．例7. 已知正整数a 、b 满足022=-+-b b ，0=-+-b a b a ，且b a ≠，试求ab 的值．三、基础演练1. 下列四个式子，正确的是（ ）A . 若a ≠b ,那么22b a ≠B . 若b a >，那么b a >C . 若a ＞|b |,那么22b a > D . 若,22b a >那么b a >2. 在一次测量中，小丽与欣欣利用温差测量山峰的高度，小丽在山顶测得温度是–5℃ ，欣欣此时在山脚测得的温度是1℃ ，已知该地区高度每增加100米，气温大约降低0.8℃,则这个山峰的高度大约是多少米?3. 计算：（1）20112008161310741-++-+-+-Λ； （2）5005015008788+-.4. 有三个互不相等的有理数，既可表示为a b a ,,1+的形式，又可表示为b ab,,0的形式，求20082007b a +的值．5．观察下列各式：223332419441921⨯⨯=⨯⨯==+2233343411694136321⨯⨯=⨯⨯==++22333354412516411004321⨯⨯=⨯⨯==+++ …若n 为正整数，试猜想3333321n ++++Λ等于多少？6．填出下列空格，并试着寻找其中蕴涵的确定自然数个位数的一种方法：①43212,2,2,2的个位数分别是 ，87652,2,2,2的个位数分别是 ， 你能确定8594332的个位数吗？是多少？ ；② 43213,3,3,3的个位数分别是 ，87653,3,3,3的个位数分别是 ，1312345-的个位数是 ；③ 43214,4,4,4的个位数分别是 ，1454321+的个位数是 ； ④ 利用上述探求一个有理数的个位数的方法，我们还可以确定：557的个位数是 ，1006的个位数是 ．8.计算： (1)( 21－95十127)×(－36)； (2)[2－5×(－21)2]÷(－41)；(3) 211×75－(－75)×212+(－21)÷521； (4)－14－[1－(1－0.5×31)×6]9.某同学把7×(θ－3)错抄为7×θ－3，如果正确答案是x ，错抄后的答案为y ，求x －y 的值. 10.计算：21+(21+31)+(41+42+43)+…+(501+502+503+…+5048十5049) .11．小丽收集了9个可乐瓶盖，她把9个瓶盖都盖口朝上排放成一行，她每次都任意翻动四个瓶盖（盖口朝上的翻成朝下，盖口朝下的翻成朝上），问她能否经过若干次翻动后，所有的瓶盖都盖口朝下？12．传说在古代，有一位大臣为国王发明了一种象棋，国王大喜，要对大臣进行奖赏，就问大臣有什么要求．大臣说：“在象棋棋盘上放一些米，第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒米，……一直放到64格．”国王觉得这太容易了，就很爽快地答应了大臣．但是侍卫放米的时间非常久，国王忍不住出去察看，结果大惊失色．请问国王总共要奖励大臣多少粒米？四、直击中考1.(2013山东)如图，数轴上的A、B、C三点所表示A B的数分别为a、b、c，其中AB＝BC，如果|a|＞|c|＞|b|，那么该数轴的原点O的位置应该在( )A．点A的左边B．点A与点B之间C．点B与点C之间D．点C的右边2. （2013湖北）实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（）3. (2013北京)在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013－2015）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划．将3 960用科学计数法表示应为（）A. 39.6×102B. 3.96×103C. 3.96×104D. 3.96×1044.（2013四川）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=（）1411211214161313121211A ．（45，77） B ．（45，39） C ．（32，46） D ．（32，23） 5.（2013新疆）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数都为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（ ） A ．160 B ．1168 C ．1252 D ．12806. （2013湖北）下列等式成立的是（ ）A ．│－2│=2B ．－1)0=0 C ．(－12)1-=2 D ．－(－2)=－2 7．（2013江苏）﹣（﹣3）= ，|﹣3|= ，（﹣3）﹣1= ，（﹣3）2= ． 8.（2013湖北）在数轴上，点A （表示整数a ）在原点的左侧，点B （表示整数b ）在原点的右侧．若|a ﹣b |=2013，且AO =2BO ，则a +b 的值为 ． 9．（2013杭州）32×3.14+3×（﹣9.42）= ． 10. (2013浙江、重庆、广东、福建) 计算：(1)322(75)-÷-⨯-+(2))120131(1)24π-⎛⎫---+⎪⎝⎭(3)3125(2)(42)-⎡⎤⨯+----÷⎣⎦(4) 01(4)|2|164π--+--⨯五、挑战竞赛1．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋…＋2009×2010－2011×2012+2013×20142.由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有（ ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 3. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（ ）．A ．10000B ．10020C ．10120D ．10200 六、每周一练1．已知a 、b 、c 在数轴上位置如图，则代数式 | a | + | a +b | + | c －a | － | b －c | 的值等于（ ）A ．－3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b 2.已知实数a ,b ,c 满足a +b +c =10,且1714111=+++++a c c b b a ,求b a ca cbc b a +++++的值.。