3.1_n维向量的定义 - 360文档中心

第一讲线性代数

an2
a1m
aim
km
a
jm
anm
b1
a11
a12
bj
a
j1
a
j2
k1 k2
bi
ai1
ai 2
bn
an1
an2
a1m
a
jm
km
aim
anm
b1
a11
于是
• 当 l ≠ 0 且 l ≠－3 时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解．
bj
a j1
aj2
bn an1 an2
a1m
aim
ka jm
km
a jm
anm
由此可见，若以向量 1,2, ,m ,
为列的矩阵
A 1,2, ,m,
经初等行变换，变成以向量1, 2, , m, 为列的矩阵 B 1,2, ,m,
k11 k22 kmm
由此可见，有的向量可由某一向量组线性表示，而有的向量则不能。那么如何判断一个向量能否由某一向量组线性表示呢？
关于向量的线性表示，有以下明显的事实：
b1
a11
a12
bi
ai1
ai 2
k1 k2
b
j
a
j1
a
j
2
bn
an1
1,2 ,3, 1
2
1
4 2
1 1
3
r3 r1
r4 3r1
0
3
6
3
3
1 2 2
0Байду номын сангаас
0
5
0 0 3
4 5

n维向量的定义线性运算和线性相关性

x 1
AX
1 , 2
n
x2
xn
x 1 1
x 2 2
x n n
二、向量组的线性相关性
定义２对于向量组A: 1, 2, …, m, 如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使关系式
k 11 k 22 .. k .mm 0
成立,则称向量组1, 2, …, m 线性相关.
例1：设有向量
1
1 4
2 2 3
1
0
n阶单位矩阵 I n 的n个列向量分别记为：
1
0
0
e 0 ,e 1 e
1 2
n 0
0
0
1
称为n维基本向量
第二节 n维向量的线性运算
定义1 设 (a 1 ,a 2 , ,a n )T , (b 1 ,b 2 , ,b n )T 是 n 维实
K是实数域中的一个数，则向量的加法
和数乘k向分量别定义
8 1 即数 1是数乘向量运算的单位元
例1
1 ， 2 ， 3 ， 4 T 1 ， 2 ， 3 ， 4 T
(1) 求，的负向量
(2) 计算 43
第三节向量组的线性相关性
一、线性组合
定义１:
给定向量组 A:{1， 2， L， m}， iRn,i1,2,L,m 对任何一组实数 k1,k2,L,km,称 k11k22Lkmm
例如矩阵 A(aij)mn有n个m维列向量
aa 11
aa 22
aj
an
a11 a12 a1j a1n
Aa 21
a22 a2j a2n
am1 am2 amj amn
向a量 1,a 2 , 组 ,a n称为 A 的矩列 .阵向

第3章 n维向量

第三章 n 维向量一、n 维向量的概念与运算（一）n 维向量的概念个分量称为向量的第的矩阵，数或维列向量，也就是维行向量或分别称为或维向量，记作构成的有序数组称为个数i a n n n n a a a a a a n a a a n i T n n n 11,),...,,(),...,,(,...,,212121⨯⨯（二）n 维向量的运算0),(......),(,0),(.4...),(.3),...,,(.2),...,,(.1),...,,(,),...,,(222212222122112122112121=⇔==+++=+++=====+++==+++=+==ααααααααααβαβααββαβααβαβαT n nT TT n n Tn T n n T n T n a a a a a a b a b a b a ka ka ka k b a b a b a b b b a a a 正交，，则若内积数乘加法如果二、线性组合与线性表出 1.线性组合若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组称为组合系数的一个线性组合，其中称为向量组所构成的向量个常数及维向量个由s s s s s s k k k k k k k k k s n s ,...,,,...,,...,...,,,...,,212122112121ααααααααα+++ 2.线性表出的线性组合是线性表出，或说可由则称的线性组合能表示成向量维向量如αααβαααββααααααβ,...,,,...,,...,...,,2121221121s s s s k k k n =+++3.向量组等价，则称两个向量等价量组可以互相线性表出线性表出；如果两个向可由向量组线性表出，则称向量组量组的每个向量都可以由向如过向量组)2()1(,...,,)2(,...,,)1(2121t s βββααα等价、则线性表出，可由向量组如果向量组不一定等价秩，但秩相同的向量组等价的向量具有相同的相同向量组所含向量的个数两个等价的线性无关的无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价任一向量组和它的极大样，线性相关也可以不一但向量个数可以不一样、对称性、及反身性，等价向量组具有传递性)2()1(),2()1()2()1(.6.5.4.3.21r r =三、向量组的线性相关与线性无关（一）线性相关与线性无关的概念 1.线性相关线性相关则称此向量组使得的数，如存在一组不全为维向量对于s s s s s k k k k k k n ααααααααα,...,,0...,...,,0,...,,2122112121=+++2.线性无关线性无关称此向量组，，必有不全为或者说如存在一组数线性无关则称此向量组，必有，如果维向量对于s s s s s s s s s k k k k k k k k k k k k n ααααααααααααααα,...,,0...0,...,,,...,,,0...0...,...,,212211212121221121≠+++=====+++（二）线性相关与线性无关的充分必要条件 1.线性相关的充分必要条件位向量一定线性相关个维向量线性相关个个向量线性表出可由其他存在某向量的个数有非零解齐次方程组线性相关，向量组n n n n s s r x x x s i s s s s 10,...,,1)(),...,,(0...),...,,(,...,,2121212121+=⇔-⇔⇔=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇔ααααααααααααα2.线性无关的充分必要条件个向量线性表出都不能用其他存在某向量的个数只有零解齐次方程组线性无关，向量组1)(),...,,(0...),...,,(,...,,21212121-⇔=⇔=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇔s s r x x x i s s s s αααααααααα3.几个重要结论组必然线性无关两两正交、非零的向量必然线性无关，，，延伸组线性无关，则它的任一若向量组必然线性无关个部分分组线性无关，则它的任一若向量组无关阶梯形向量组一定线性)4(...,...,,)3(,...,,,...,,)2()1(2211212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡s s s i i i s t βαβαβαααααααααα四、线性相关性与线性表出的关系ts t s s s t s s t s i i i s s s s s t ≤-线性无关，则线性表出，且可由向量组若向量组线性相关则线性表出，且可由向量组若向量组必然线性无关则它的任一个部分分组一线性表出，且表示法唯可由线性相关，则，线性无关，而向量组若向量组个向量线性表出可以用其余是线性相关，的充要条件向量组αααβββααααααβββαααααααααββαααααααααα,...,,,...,,,...,,)4(,...,,,,...,,,...,,)3(,...,,,...,,,...,,,...,,)2(1,...,,)1(2121212121212121212121五、向量组的秩与矩阵的秩（一）向量组的秩与矩阵的秩的概念 1.极大线性无关组是由原向量唯一确定的即个数都是关组中所含向量的个数个极大线性无关组是等价的，从而每的。

n维向量的概念

n维向量的概念
n维向量的引入，能够帮助我们去理解一些不能用一个数来刻画的事物及其性质.例如，在解析几何中，用二元有序实数组(x,y)可以刻画平面上的一个点或向量，用三元有序数组(x,y,z)刻画空间中的一个点或向量；在力学中，速度和加速度也同时具有大小和方向，用四元数组(x,y,z，w)刻画速度或加速度，其中前三个数(x,y,z)表示速度或加速度的方向，第四个数w表示其大小；在解线性方程组的过程中，方程组的解是由n个有顺序的数组成的，即是一个n元有序数组，这是一个整体，分开去看是没有意义的.这样的例子是很多的，这里所定义的n维向量是所有具体例子的抽象.
n维向量的概念
n维向量的概念
定义3-1
由n个数a1,a2,…,an所组成的有序数组α称为n维向量，简称为向量.其中n称为向量的维数，第i （i=1,2,…,n）个数ai称为n维向量α的第i个分量，并且把n个分量均为实数的向量称为实向量；把n个分量均为复数的向量称为复向量.
n维向量可以写成一行形式 αT=(a1,a2,…,an)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ维向量的概念
事实上，n维向量是解析几何中向量概念的推广. 在解析几何中，我们称“既有大小又有方向的量”为向量，并且用具有方向的线段来表示向量.取定直角坐标系以后，2维向量空间R2可以表示平面上向量的全体，而3维向量空间R3可以表示空间中向量的全体. 因此，当n=2,3时，n维向量是以平面或空间的有向线段为具体形象的.
谢谢聆听
n维向量的概念
也可以一列的形式
这就是n维的行向量和列向量，或者说成行矩阵和列矩阵，通常用黑体希腊字母α,β,…表示列向量，而用符号αT,βT,…表示行向量.在本书中，如果没有特别说明，所有涉及的向量均指分量为实数的列向量，即列形式的实向量.将所有n维实向量的全体记为Rn，即

线性代数[第三章n维向量]山东大学期末考试知识点复习

线性代数[第三章n维向量]⼭东⼤学期末考试知识点复习第3章 n维向量⼀、n维向量的概念1．n维向量的定义由n个数a1，a2，…，a n所组成的⼀个有序数组α=(a1，a2，…，a n)称为⼀个n维向量，其中第i个数ai称为向量α的第i个分量(i=1，2，…，n)．向量常⽤希腊字母α，β，γ，…来表⽰，其分量常⽤⼩写拉丁字母a，b，c，…来表⽰．2．零向量所有分量都是零的向量称为零向量．3．负向量向量α中的每个分量都变号后得到的向量，称为α的负向量，记为-α．4．向量相等两个向量相等的充要条件是它们的对应分量相等．⼆、向量的线性运算1．向量的加法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，定义α+β为这两个向量的对应元素相加所得到的向量，即α+β=(a1+b1，a2+b2，…，a n+b n)，并称其为向量的加法．2．数与向量的乘法设α=(a1，a2，…，a n)，k∈R，则kα=(ka1，ka2，…，ka n)3．向量的减法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，则α-β=(a1-b1，a2-b2，…，a n-b n)．4．向量的线性运算向量的加法以及数与向量的乘法称为向量的线性运算．向量的线性运算满⾜以下⼋条运算规律：(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(3)α+θ=α；(4)α+(-α)=θ；(5)1.α=α；(6)(kl)α=k(lα)；(7)k(α+β)=kα+kβ；(8)(k+l)α=kα+lα三、向量的线性组合1．向量的线性组合的定义设β，α1，α2，…，αn是⼀组m维向量，如果存在数k1，k2，…，k n使得关系式β=k1α1+k2α2+…+k nαn成⽴，则称卢是向量组α1，α2，…，αn的线性组合，或称β可由向量组α1，α2，…，αn线性表⽰．2．⼏个常⽤结论(1)零向量可由任意同维向量组线性表⽰；(2)向量组中的任⼀向量可由该向量组线性表⽰；(3)任⼀n维向量α=(a1，a2,…，a n)都可由n维单位向量组ε1，ε2，…，ε线性表⽰，且α=a1ε1+a2ε2+…+a nεn．n四、向量组的等价1.定义设有两个向量组α1，α2，…，αm，(1)β1，β2，…，βn．(2)若向量组(1)中每个向量可以由向量组(2)线性表⽰，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表⽰．若向量组(1)与向量组(2)可互相线性表⽰，则称两向量组等价，记作{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}．2．向量组的等价性质向量组的等价满⾜反⾝性、对称性、传递性．五、向量组线性相关与线性⽆关1．定义设α1，α2，…，αn为n个m维向量，如果存在⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，使得k1α1+k2α2+…+k nαn=θ成⽴，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关；否则，称向量组α1，α2，…，αn线性⽆关．线性⽆关的⼏种等价定义：(1)对任意⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，都有k1α1+k2α2+…+k nαn≠θ(2)k1α1+k2α2+…+k nαn=θ当且仅当k1，k2，…，k n全为零．2．⼏个常⽤结论(1)由⼀个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是α=θ．(2)由两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是其对应分量成⽐例．(3)含有零向量的任⼀向量组线性相关．(4)若⼀个向量组中有⼀个部分向量组线性相关，则该向量组线性相关；反之，若⼀个向量组线性⽆关，则它的任⼀部分组都线性⽆关．我们可把这个结论简单地记为“部分相关，整体相关；整体⽆关，部分⽆关”．(5)⼀个线性⽆关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加⼀些分量所得到的⾼维向量组仍线性⽆关．逆否命题：⼀个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去⼀些分量所得的低维向量组仍线性相关．(6)n维向量组α1，α2，…，αn线性⽆关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)≠0；n维向量组α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)=0．(7)向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中⾄少有⼀个向量是其余s-1个向量的线性组合．(8)若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，⽽α1，α2，…，αs，β线性相关，则向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表⽰，且表⽰法惟⼀．(9)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，且s>t，则向量组α1，α2，…，αs线性相关．逆否命题：若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，且可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则s≤t．(10)m个n维向量组(m>n)必线性相关．(11)两个等价的线性⽆关的向量组必含有相同个数的向量．六、向量组的极⼤线性⽆关组1．极⼤线性⽆关组的概念向量组α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs的部分组α1，α2，…，αr是极⼤⽆关组(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中每个向量可由α1，α2，…，αr 线性表⽰．(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中任意r+1个向量线性相关．2．关于极⼤线性⽆关组的常⽤结论(1)含⾮零向量的任⼀向量组⼀定存在极⼤⽆关组．(2)线性⽆关向量组的极⼤⽆关组是其⾃⾝、．(3)任何向量组均与其极⼤⽆关组等价．(4)⼀个向量组的任意两个极⼤⽆关组都含有相同个数的向量．七、向量组的秩1．向量组的秩的定义向量组α1，α2，…，αs的任⼀极⼤⽆关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为r(α1，α2，…，αs)．2．关于向量组的秩的常⽤结论(1)对任何向量组α1，α2，…，αs均有0≤r(α1，α2，…，αs)≤s；(2)向量组α1，α2，…，αs线性⽆关?r(α1，α2，…，αs)=s；(3)向量组α1，α2，…，αs线性相关?r(α1,α2，…，αs)(4)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βt)．特别地，若两向量组等价，则它们的秩相同；反之不真．(5)若向量组的秩为r，则其任何含r个向量的线性⽆关的部分组都是其极⼤线性⽆关组．⼋、矩阵的⾏秩与列秩1．定义矩阵A的⾏(列)向量组的秩称为A的⾏(列)秩．2．矩阵秩的性质(1)对任何矩阵A，都有A的⾏秩=A的列秩=r(A)；(2)r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；(4)r(A+B)≤r(A)+r(B)．九、极⼤⽆关组的求法1.矩阵的初等⾏(列)变换不改变其列(⾏)向量间的线性关系2．求向量组α1，α2，…，αs的⼀个极⼤⽆关组的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B，设r(B)=r，且B中第j1，j2，…，j r列有⼀个r阶⼦式不等于零，则αj1，αj2，…，αjr 即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组．3．求向量组α1，α2，…，αs的极⼤⽆关组并将其余向量⽤该极⼤⽆关组表出的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B；(3)再通过初等⾏变换化为⾏简化阶梯形矩阵C，设矩阵C的第j1，j2，…，j r列为单位向量，则αj1，αj2，…，αjr即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组，且C 中列向量间的线性关系即为A中相应列向量间的线性关系．⼗*、向量空间1.向量空间的定义设V是⾮空的n维向量的集合，若集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称V是向量空间．2．向量空间的⽣成3．向量空间的相等若{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}，则span(α1，α2，…，αm)=span(β1，β2，…，βn)．4．向量空间的⼦空间设有向量空间V1，V2，若V1?V2，则称V1是V2的⼦空间．5．向量空间的基及其维数设V是向量空间，如果存在r个向量α1，α2，…，αr∈V，满⾜(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)V中任⼀向量都可由α1，α2，…，αr线性表⽰；则称α1，α2，…，αr为V的⼀个基，r称为V的维数．⼗⼀、重点难点（⼀）重点(1)向量的线性运算可以看做是特殊矩阵的线性运算，它是后⾯讨论向量的线性组合、线性相关性等概念的基础，必须熟练掌握．(2)向量的线性组合、线性相关、线性⽆关的概念、性质及三者之间的关系定理是本章的重点，要熟练掌握三个概念及有关结论，详见内容提要；要深刻理解概念、定理的本质，熟练掌握线性相关和线性⽆关的有关性质及判别法，并能灵活应⽤．(3)向量组的极⼤⽆关组是特别重要的概念，它在向量组线性相关性的证明中往往能起到重要的作⽤；此外，还应当掌握求向量组的极⼤⽆关组的⽅法．(4)理解并掌握向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其⾏(列)向量组的秩的关系，熟练掌握求向量组的秩的⽅法，并能通过秩这⼀重要⼯具来判断向量组的线性相关性．（⼆）难点(1)向量组的线性相关性的证明．常见的⽅法有：定义法、利⽤有关结论及定理、利⽤齐次线性⽅程组有⽆⾮零解、利⽤向量组的秩与向量组所含向量的个数关系等．(2)向量组的秩与线性⽅程组有关理论的证明．。

向量知识点

向量知识点
向量是数学中术语，是指在一个计算机程序中，尖括号中的变量的集合，可以发生变化。

向量可以表示位置、移动的方向和大小，可以作为一个可移动的物体的属性，或作为
在多维空间中的点的属性，最常见的向量层次有二维、三维和四维。

一维向量：一维向量由一个数字决定，它是用一个实数点表示的一维空间中的矢量。

它可以表示对应一维空间中某个特定点的位置和方向，也可以表示一维运动的方向和大小。

三维向量：三维向量是三维空间中的矢量，可以表示某一点的位置、移动的方向和大小，它由三个不同的实数点组成，其中一个实数点是x轴坐标，另一个实数点是y轴坐标，第三个实数点是z轴坐标。

四维空间支撑着涉及重要计算任务的向量。

比如，在动画和图形渲染中，遵循向量乘
法的投射矩阵可以改变三维对象的位置，四维向量可以帮助坐标系被一个只有三维坐标的
变换矩阵投影。

同样，在某些机器学习算法中，拥有着四维向量输入可以极大增加算法的
准确性，因为这样可以更好地分析复杂结构。

n维向量

n 维向量空间§3.1 n 维向量的定义 1. 定义定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a =α, 称为n 维行向量．i a –– 称为向量α的第i 个分量 R ∈i a –– 称α为实向量 C ∈i a –– 称α为复向量零向量：)0,,0,0( =θ负向量：),,,()(21n a a a ---=- α列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a 21α, 或者T21),,,(n a a a =α, 称为n 维列向量．零向量：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000 θ 负向量：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-n a a a 21)(α 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为1212()(,,,)...T n n a aa a a a αα⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。

说明1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。

行向量可看作是列向量的转置。

零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同)负向量 12(,,,)T n a a a α-=---。

向量相等设1212(,,,)(,,,)T T n n a a a b b b αβ==，，若,1,2,,i i a b i n ==则αβ=。

向量运算规律：① αββα+=+② ()()αβγαβγ++=++③ 0αα+=（0是零向量，不是数零）④ ()0αα+-= ⑤ 1αα=⑥ ()()()λμαλμαμλα== ⑦ ()λαβλαλβ+=+ ⑧ ()λμαλαμα+=+满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。

线性代数--第三章向量线性关系秩

若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β
k1 l
α1
k2 l
α2
kr l
αr
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr
则有: 所以:
(k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=krl1=0
(1, 0, 0, 1)的线性相关性.
解设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)
k1 k1
k3 k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0. 所以1, 2, 3线性无关.
例3 讨论向量组 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的线性相关性.
解设 k11+k22+k33=0 , 即 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0
就是
(k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0
所以
k1 +k3 k1 +k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0
所以向量组1, 2, 3线性无关.
定理3.1 若向量组有一个部分组线性相关, 则此向量组线性相关.
前面加长向量组的概念中只加了一个分量, 而且加在
了最后一个分量. 也可以加多个分量, 分量也可以加在任

线性代数第3章 n维向量与线性方程组

29
例3.3.3判定向量组α1=（1，0，3，2），α2=（0， 1，4，3）的线性相关性. 定理3.3.6 如果向量组α1，α2，…，αs线性无关，而β，α1，α2，…，αs线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示式是惟一的.
30
31
32
3.4 在实际问题中，一个向量组有时含有很多个向量.对于一个线性相关的向量组，只要所含的向量不全是零向量，就一定存在一部分向量，它们是线性无关的.本节主要介绍向量组的最大线性无关组和向量组的秩.
2
由n维向量加法与数乘运算的定义，不难证明， n维向量的线性运算满足下列运算规律：
3
例3.1.1 设
解
4
例3.1.2 将线性方程组
写成向量方程的形式.
5
解
令
6
即
7
3.2 3.2.1 向量的线性组合定义3.2.1 例3.2.1 设有向量0=（0，0，0），α1=（1，-1， 2），α2=（3，5，6），α3=（-2，4，3），问：向量0能否表为向量α1，α2，α3的线性组合？
8
例3.2.2 求证：任何一个n维向量 α=（a1,a2,…,an）都可由向量组
线性表示.
9
证明因为
10
例3.2.3设β=（1，1，1），α1=（0，1，-1），α2= （1，1，0），α3=（1，0，2），问β能否由α1， α2，α3线性表示？若能，写出线性表示式. 解设
11
12
3.2.2 向量组的线性相关性定义3.2.2 例3.2.4 已知α1=（1，1，1），α2=（0，2，5）， α3=（2，4，7），试判定向量组α1，α2，α3的线性相关性.
33

3.1 n维向量的定义

第三章 n 维向量空间
§3.1 n 维向量的定义
三、n 维基本向量
1 0 0 0 1 0 0 0 0 定义设 e1 = , e2 = , L , en = , M M M 0 0 0 0 0 1
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第三章 n 维向量空间
第三章 n 维向量空间
§3.1 n 维向量的定义 §3.2 n 维向量的线性运算 §3.3 向量的线性相关性 §3.4 向量的极大线性无关组 §3.5 向量空间 §3.6 欧氏空间
1
第章
§3.1 n 维向量的定义三 §3.1 n 维向量的定义
维基本向量。称 e1 , e2 ,L , en 为 n 维基本向量。
n 由所有 n 维实向量组成的集合通常记为 R , 即
R n = { ( x1 , x 2 , L , xn )T | xi ∈ R } .
5
r x = ( x1 , x 2 ,L , xn ) .
注 (1) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； (2) 两个行列)向量的分量全部相等，称这两个向量相等。两个行(列向量的分量全部相等称这两个向量相等向量的分量全部相等，相等。 (3) 当没有明确说明时，向量都当作列向量。当没有明确说明时，向量都当作列向量列向量。 4
一、基本概念二、行向量与列向量三、 n 维基本向量
n 量空间
§3.1 n 维向量的定义
一、基本概念
定义由 n 个数 a1 , a 2 ,L , a n 组成的有序数组 ( a1 , a 2 ,L , a n ) , 分量, 维向量。称为 n 维向量。这 n 个数称为该向量的 n 个分量第 i 个称为该向量的第个分量( 坐标) 数 a i 称为该向量的第 i 个分量(或坐标)。分量为实数的向量称为实向量分量为实数的向量称为实向量 ; 分量为复数的向量称为复向量分量为复数的向量称为复向量 . 前面虽然已将向量作为了矩阵的一种特例，但事实上，前面虽然已将向量作为了矩阵的一种特例，但事实上，向量本身是独立于矩阵之外的，向量本身是独立于矩阵之外的，它有自己的一套完整的内容体系，具有自己独特的一些性质。的内容体系，具有自己独特的一些性质。

3.1_n维向量的定义ppt课件

这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i个数 ai 称为第 i 个分量。
分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , L 来代表向量。
3
例如：
(1,2,3, ,n)
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
第2个分量第1个分量
第n个分量
9
答 36维的．如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
10
n维实向量 n维复向量
4
向量通常写成一行： a1,a2 ,L ,an 称为行向量。
有时也写成一列：
a1
a2
M
an
称为列向量。它们的区别只是写法上的不同。
分量全为零的向量 0,0,L ,0 称为零向量。
பைடு நூலகம்
向量相等：如果 n 维向量 a1,a2 ,L ,an
b1,b2 ,L ,bn
6
ｎ个ｍ维列向量.所组成的向量组 1,2 ,L ,n
构成一个 m n 矩阵. A 1 2 L n
ｍ个ｎ维行向量.所组成的向量组
1T
,
T 2
,L
,
T m
也构成一个 m n矩阵.
B
T 1
T 2
M
T m
矩阵与向量组之间一一对应．
7
例2 线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21
x1 L
a22 LL
x2 L
L
L a2n xn LLLLL
b2
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
1 x1 2 x2 L n xn b

3.1n维向量概念及其线性运算

( 3)α + 0 = α ; (4)α + ( −α ) = 0 (5)1 × α = α ;
8( （）kl )α = k ( lα ). 数乘向量结合律）（数乘向量结合律）
例1
设 α = ( 2,1,3), β = ( −1,3,6), γ = ( 2,−1,4).求向量
2α + 3β − γ .
是数，向量运算的8条运算律：设 α , β , γ都是n维向量 , k , l是数，则向量运算的8条运算律：
(1)α + β = β + α ; (加法交换律 ) ( 2)(α + β ) + γ = α + ( β + γ ); (加法结合律 )
(6)k (α + β ) = kα + kβ ; (数乘分配律 ) (7)( k + l )α = kα + lα （数乘分配律） ; 数乘分配律）
的线性组合，（ β 能否表示成 α 1， α 2， α 3的线性组合，取决于该方程组是否有解。程组是否有解。对它的增广矩阵施行初等行变换，得
( A, β ) 1 → 0 0 1 0 2 − 1 3 1 = (α 1 , α 2 , α 3 , β ) = 2 1 3 4 6 5 1 0 0 2 2 − 1 − 1 → 0 1 − 1 1 −1 3 3 0 0 4 0 8 4 − 4
≠
（2，1），）
2．n维零向量．维零向量 3．负向量．
0 = (0, 0,L , 0)
α = (a1 , a2 ,L , an ), −α = (−a1 , −a2 ,L , −an )

第二章n维向量

解：
A
1
2
3 4
1 2 2 1
1 1 3 3
1 3 2 1
1 2 2 1
2
1
3 5
0 0 0
1 1 1 2
1 1 0 2
1 0 0 0
2
1
1
2
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
A 0
0 0
1 1 2
1 0 2
0 0 0
1
1
2
0
0 0
1 0 0
解：设k11 k22 k33 O 即 (k1 k3)1 (k1 k2 )2 (k2 k3)3 O
1,2 ,3
k1
线性无关，
k2 k3 0
k1 k3 1, 2
0 ,
3k1线性k2无关0.
k2 k3 0
例3：设向量组 1,2 , ,m 线性无关，且
1 2 m
k2 km 0
01 1
k1
k3
km
0
系数行 1
列式为
0
1 (m 1)(1)m1 0
(m 1)
k1 km1 0
11 0
向量组 1, 2 , ， m线性无关。
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 , ,r (II ) : 1, 2 , , s
也线性无关。用语言叙述为：
线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。
推论：r 维线性无关的向量，添加 n-r 个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关。
证明：
1 a11 a12
A
2 m
a21 am1
a22
am2

线性代数各章学习要点3

第3章n维向量和线性方程组向量是线性代数的重点内容之一，也是难点，对逻辑推理有较高的要求。

本章从研究向量的线性关系（线性组合、线性相关与线性无关）出发，然后讨论向量组含最多的线性无关向量的个数，即引出向量组的秩和最大无关组，最后，应用向量空间的理论研究线性方程组的解的结构。

无论是证明、判断、还是计算，关键在于深刻理解本章的基本概念，搞清楚其相互关系，并会灵活应用。

3. 1 n维向量及其运算定义（n维向量）由数域F中的n个数a-i,a2/ , a n组成的有序数组-■ - ( a i, a2, , a n)a2耳一称为数域F上的一个n维向量，前者称为行向量，后者称为列向量，其中a1, a2 / ,a n称为向量的分量（或坐标）。

分量是实（复）数的向量称为实（复）向量。

如果没有特殊的声明，以下所讨论指数域F上的向量。

行向量可以看成行矩阵，列向量看成列矩阵，向量的运算规定按矩阵的运算法则进行。

以下讨论的向量，再没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。

设有向量■■ = （a i,a2,…，a n），- - （b1 ,b2 / , b n ）则向量相等的定义为- a i = b i （i=1,2,…,n）向量的加法定义为a + P =（a i +b i a? +b2 …a* +b n T数乘向量的定义为k：（「k）二（ka i,ka2, ,ka n）T向量的加法以及数乘运算统称为向量的线性运算，它满足下列8条运算规律（其中：■,'-,为n维向量，k,l为常数）：（1）二：+：= ：+=；)( :• - ) ( - )；(3)存在零向量0= ( 0,0，…，0 ) T，使得〉+0= ;(4)存在:-的负向量-二=(_a i,_a2,…，-a n)T,使得〉+ (-二)=0；(5)仁• = ：•；(6)k(l ： )=(kl):-;(7)k(: + 1 )=k +k :;(8)(k+l)用=k : +1 :;如果记矩阵A = (a j )m n的第j列向量为：a i ja2jQ j = : , (j=1,2,…,n)貝一则由向量的线性运算，可将方程组Ax=b写成下列形式：论一：* - X2J2…'x n J n二 b而齐次线性方程组A X=0则可写成向量形式：Xv 1 ■ X2： 2 …• X n： n = 03. 2向量组的线性相关性定义(线性组合)设宀，：^，…，〉m是一组n维向量，k1, k2/ ,k m是一组常数，则称向量kr 1 k2： 2 k m： m为向量〉1,〉2,i,〉m的一个线性组合，并称k1,k2 / , k m为该线性组合的系数。

n维向量

n 维向量空间§3.1 n 维向量的定义 1. 定义定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a =α, 称为n 维行向量．i a –– 称为向量α的第i 个分量 R ∈i a –– 称α为实向量 C ∈i a –– 称α为复向量零向量：)0,,0,0( =θ负向量：),,,()(21n a a a ---=- α列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a 21α, 或者T21),,,(n a a a =α, 称为n 维列向量．零向量：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000 θ 负向量：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-n a a a 21)(α 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为1212()(,,,)...T n n a aa a a a αα⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。

说明1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。

行向量可看作是列向量的转置。

零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同)负向量 12(,,,)T n a a a α-=---。

向量相等设1212(,,,)(,,,)T T n n a a a b b b αβ==，，若,1,2,,i i a b i n ==则αβ=。

向量运算规律：① αββα+=+② ()()αβγαβγ++=++③ 0αα+=（0是零向量，不是数零）④ ()0αα+-= ⑤ 1αα=⑥ ()()()λμαλμαμλα== ⑦ ()λαβλαλβ+=+ ⑧ ()λμαλαμα+=+满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。

第三章向量空间熊维玲版

第三章向量空间§3.1 n 维向量及其运算一、N 维向量的概念 1．定义1定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数i a 称为第i 个分量.记为 ()12,,,n a a a a =，出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，前者称为行向量，而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵，故又称行矩阵；而列向量可看作一个1n ⨯矩阵，故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算，从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便，我们约定：用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量，用,,,T T T T a b αβ表示行向量.也可用T n a a a ),,(21 来表示一个列向量。

即T n a a a ),,(21 =α是一种很觉的表述。

在不特别声明时我们说到的向量均为列向量，行向量视为列向量的转置.例如：二维向量可以表示平面上一个点的坐标。

三维向量可以表示空间里的一个点的坐标。

四维以上的向量，四维以上的向量，没有具体的几何意义。

但在研究中是常见的向量。

2．几个特殊的向量及与向量相关的概念（1）分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. （2）分量全为零的向量，称为零向量。

记为O 。

（3）相等向量：二个向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b b 21当且仅当i i b a =的时候，b a = （4）方程组的矩阵表示式中的向量：b x A =，方程组的解通常也直接表示成：βα,=x 等。

（5）向量的加法： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+n n b a b a b a b a 2211（6）向量的数乘：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n kb kb kb kb 21（7）负向量a a)1(-=-。