高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件文

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高考数学一轮复习第九章平面解析几何 99 直线与圆、圆与圆的位置关系课件文

12/8/2021
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y＝kx－2，
[证明] 由y2＝12x，
消去 y 并整理，得 2k2x2－(8k2＋1)x
＋8k2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝8k22k＋2 1，x1x2＝4， ∴xM＝x1＋2 x2＝8k42k＋2 1，
yM＝k(xM－2)＝k8k42k＋2 1－2＝41k. 由题意得 yN＝yM＝41k，xN＝2y2N＝81k2，∴N81k2，41k.
焦点弦，|AB|＝4，则 AB 中点 C 的横坐标是( )
A．2
1 B.2
3 C.2
5 D.2
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[解析] 由 y2＝2x，得 p＝1，画出图形．设抛物线准线为 l，作 AA1⊥l，BB1⊥l，CC1⊥l
A1、B1、C1 分别为垂足，则由梯形中位线有|CC1|＝|AA1|＋2 |BB1| ＝|AF|＋2 |BF|＝|A2B|＝2，又|CC1|＝xC＋12＝2.∴xC＝32，选 C.
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(2)①由已知得抛物线焦点坐标为p2，0. 由题意可设直线 AB 方程为 x＝my＋p2，代入 y2＝2px，得 y2＝2pmy＋p2，即 y2－2pmy－p2＝0.(*) 则 y1，y2 是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2＝－p2.
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[温馨提示] 直线与抛物线相切，则直线与抛物线只有一个交点．反之，则不一定成立．如小题速练 1 题．
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2．抛物线的焦点弦：设 AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、 B 在准线上的射影为 A1，B1，则有以下结论：

新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何直线与圆圆与圆的位置关系教案文

一、知识梳理１．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0（A２＋B２≠0），圆：（x—a）２＋（y—b）２＝r２（r>0），d为圆心（a，b）到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<0设圆O１：（x—a１）２＋（y—b１）２＝r错误!（r１>0），圆O２：（x—a２）２＋（y—b２）２＝r错误!（r２>0）．方法位置关系几何法：圆心距d与r１，r２的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r１＋r２无解外切d＝r１＋r２一组实数解相交|r１—r２|<d<r１＋r２两组不同的实数解内切d＝|r１—r２|（r１≠r２）一组实数解内含0≤d<|r１—r２|（r１≠r２）无解１．圆的切线方程常用结论（１）过圆x２＋y２＝r２上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r２.（２）过圆（x—a）２＋（y—b）２＝r２上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为（x0—a）（x—a）＋（y0—b）（y—b）＝r２.（３）过圆x２＋y２＝r２外一点M（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r ２.２．两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C１：x２＋y２＋D１x＋E１y＋F１＝0，１圆C２：x２＋y２＋D２x＋E２y＋F２＝0，２若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由１—２所得，即：（D１—D２）x＋（E１—E）y＋（F１—F２）＝0．２３．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半错误!l满足关系式r２＝d２＋错误!错误!.二、习题改编１．（必修２P１２7例１改编）直线y＝x＋１与圆x２＋y２＝１的位置关系为（）Ａ．相切Ｂ．相交但直线不过圆心C．直线过圆心Ｄ．相离答案：B２．（必修２P１３２A组T５改编）直线l：３x—y—6＝0与圆x２＋y２—２x—４y＝0相交于A，B 两点，则|AB|＝．答案：错误!３．（必修２P１２9例３改编）两圆x２＋y２—２y＝0与x２＋y２—４＝0的位置关系是．答案：内切一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．（）（２）若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．（）（３）“k＝１”是“直线x—y＋k＝0与圆x２＋y２＝１相交”的必要不充分条件．（）（４）联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．（）答案：（１）√（２）×（３）×（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽视分两圆内切与外切两种情形；（２）忽视切线斜率k不存在的情形．１．若圆x２＋y２＝１与圆（x＋４）２＋（y—a）２＝２５相切，则常数a＝．解析：两圆的圆心距d＝错误!，由两圆相切（外切或内切），得错误!＝５＋１或错误!＝５—１，解得a＝±２错误!或a＝0．答案：±２错误!或0２．已知圆C：x２＋y２＝9，过点P（３，１）作圆C的切线，则切线方程为．解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝３，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y—１＝k（x—３），所以kx—y＋１—３k＝0，所以错误!＝３，所以k＝—错误!，所以切线方程为４x＋３y—１５＝0．综上，切线方程为x＝３或４x＋３y—１５＝0．答案：x＝３或４x＋３y—１５＝0直线与圆的位置关系（典例迁移）（１）已知点M（a，b）在圆O：x２＋y２＝１外，则直线ax＋by＝１与圆O的位置关系是（）Ａ．相切Ｂ．相交Ｃ．相离Ｄ．不确定（２）（一题多解）圆x２＋y２＝１与直线y＝kx＋２没有公共点的充要条件是．【解析】（１）因为M（a，b）在圆O：x２＋y２＝１外，所以a２＋b２＞１，从而圆心O到直线ax＋by＝１的距离d＝错误!＝错误!＜１，所以直线与圆相交．（２）法一：将直线方程代入圆方程，得（k２＋１）x２＋４kx＋３＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝１6k２—１２（k２＋１）<0，解得k∈（—错误!，错误!）．法二：圆心（0，0）到直线y＝kx＋２的距离d＝错误!，直线与圆没有公共点的充要条件是d>１，即错误!>１，解得k∈（—错误!，错误!）．【答案】（１）B （２）k∈（—错误!，错误!）【迁移探究】（变条件）若将本例（１）的条件改为“点M（a，b）在圆O：x２＋y２＝１上”，则直线ax＋by＝１与圆O的位置关系如何？解：由点M在圆上，得a２＋b２＝１，所以圆心O到直线ax＋by＝１的距离d＝错误!＝１，则直线与圆O相切．错误!判断直线与圆的位置关系的方法（１）几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．（２）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．１如果Δ<0，那么直线与圆相离；２如果Δ＝0，那么直线与圆相切；３如果Δ>0，那么直线与圆相交．（２0２0·陕西四校联考）直线ax—by＝0与圆x２＋y２—ax＋by＝0的位置关系是（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不能确定，与a，b取值有关解析：选Ｂ．将圆的方程化为标准方程得错误!错误!＋错误!错误!＝错误!，所以圆心坐标为错误!，半径r＝错误!.因为圆心到直线ax—by＝0的距离d＝错误!＝错误!＝r，所以直线与圆相切．故选Ｂ．切线与圆的综合问题（多维探究）角度一圆的切线问题（１）２0２0·宁夏银川一中一模）与３x＋４y＝0垂直，且与圆（x—１）２＋y２＝４相切的一条直线是（）Ａ．４x—３y＝6 Ｂ．４x—３y＝—6Ｃ．４x＋３y＝6 Ｄ．４x＋３y＝—6（２）（一题多解）（２0１9·高考浙江卷）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r.若直线２x—y ＋３＝0与圆C相切于点A（—２，—１），则m＝，r＝．【解析】（１）设与直线３x＋４y＝0垂直的直线方程为l：４x—３y＋m＝0，直线l与圆（x—１）２＋y２＝４相切，则圆心（１，0）到直线l的距离为半径２，即错误!＝２，所以m＝6或m＝—１４，所以４x—３y＋6＝0，或４x—３y—１４＝0，结合选项可知B正确，故选Ｂ．（２）法一：设过点A（—２，—１）且与直线２x—y＋３＝0垂直的直线方程为l：x＋２y＋t＝0，所以—２—２＋t＝0，所以t＝４，所以l：x＋２y＋４＝0．令x＝0，得m＝—２，则r＝错误!＝错误!.法二：因为直线２x—y＋３＝0与以点（0，m）为圆心的圆相切，且切点为A（—２，—１），所以错误!×２＝—１，所以m＝—２，r＝错误!＝错误!.【答案】（１）B （２）—２错误!错误!圆的切线方程的求法（１）几何法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；（２）代数法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.[注意] 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条（若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0）．角度二圆的弦长问题（１）（一题多解）（２0２0·安徽合肥调研）已知直线l：x＋y—５＝0与圆C：（x—２）２＋（y—１）２＝r２（r>0）相交所得的弦长为２错误!，则圆C的半径r＝（）Ａ．错误!Ｂ．２Ｃ．２错误!Ｄ．４（２）（２0２0·豫西南五校３月联考）已知圆C：（x—２）２＋y２＝４，直线l１：y＝错误!x，l２：y ＝kx—１，若l１，l２被圆C所截得的弦的长度之比为１∶２，则k的值为（）Ａ．错误!Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）法一：圆C的圆心为（２，１），圆心到直线l的距离d＝错误!＝错误!，又弦长为２错误!，所以２错误!＝２错误!，所以r＝２，故选Ｂ．法二：联立得错误!整理得２x２—１２x＋２0—r２＝0，设直线与圆的两交点分别为A（x１，y１），B （x２，y２），所以x１＋x２＝6，x１·x２＝错误!，所以|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝２错误!，解得r＝２．（２）圆C：（x—２）２＋y２＝４的圆心为C（２，0），半径为２，圆心到直线l１：y＝错误!x的距离d１＝错误!＝错误!，所以l１被圆C所截得的弦长为２错误!＝２．圆心到直线l２的距离d２＝错误!，所以l２被圆C所截得的弦长为４＝２错误!，所以d２＝0．所以２k—１＝0，解得k＝错误!，故选Ｃ．【答案】（１）B （２）C错误!求直线被圆截得的弦长的常用方法（１）几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝２错误!；（２）代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝错误!|x１—x２|.１．平行于直线２x＋y＋１＝0且与圆x２＋y２＝５相切的直线的方程是（）Ａ．２x＋y＋５＝0或２x＋y—５＝0Ｂ．２x＋y＋错误!＝0或２x＋y—错误!＝0Ｃ．２x—y＋５＝0或２x—y—５＝0Ｄ．２x—y＋错误!＝0或２x—y—错误!＝0解析：选Ａ．设直线方程为２x＋y＋c＝0，由直线与圆相切，得d＝错误!＝错误!，c＝±５，所以所求方程为２x＋y＋５＝0或２x＋y—５＝0．２．（２0２0·河北石家庄质检）已知a∈R且为常数，圆C：x２＋２x＋y２—２ay＝0，过圆C内一点（１，２）的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为２x—y＝0，则a的值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５解析：选Ｂ．圆的方程配方，得（x＋１）２＋（y—a）２＝１＋a２，圆心为C（—１，a），当弦AB 最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点（１，２）的连线和直线２x—y＝0垂直，所以错误!×２＝—１，解得a＝３．３．（２0２0·山东枣庄期末改编）若点P（１，１）为圆x２＋y２—6x＝0中弦AB的中点，则弦AB 所在直线的方程为，|AB|＝．解析：圆x２＋y２—6x＝0的标准方程为（x—３）２＋y２＝9．又因为点P（１，１）为圆中弦AB 的中点，所以圆心与点P所在直线的斜率为错误!＝—错误!，故弦AB所在直线的斜率为２，所以直线AB的方程为y—１＝２（x—１），即２x—y—１＝0．圆心（３，0）与点P（１，１）之间的距离d＝错误!，圆的半径r＝３，则|AB|＝２错误!＝４．答案：２x—y—１＝0 ４圆与圆的位置关系（师生共研）（１）已知圆M：x２＋y２—２ay＝0（a>0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是２错误!，则圆M与圆N：（x—１）２＋（y—１）２＝１的位置关系是（）Ａ．内切Ｂ．相交C．外切Ｄ．相离（２）两圆C１：x２＋y２＋４x＋y＋１＝0，C２：x２＋y２＋２x＋２y＋１＝0相交于A，B两点，则|AB|＝．【解析】（１）由题意得圆M的标准方程为x２＋（y—a）２＝a２，圆心（0，a）到直线x＋y＝0的距离d＝错误!，所以２错误!＝２错误!，解得a＝２，圆M，圆N的圆心距|MN|＝错误!，小于两圆半径之和３，大于两圆半径之差１，故两圆相交．（２）由（x２＋y２＋４x＋y＋１）—（x２＋y２＋２x＋２y＋１）＝0得弦AB所在直线方程为２x—y ＝0．圆C２的方程为（x＋１）２＋（y＋１）２＝１，圆心C２（—１，—１），半径r２＝１．圆心C２到直线AB的距离d＝错误!＝错误! .所以|AB|＝２错误!＝２错误!＝错误!.【答案】（１）B （２）错误!错误!（１）几何法判断圆与圆的位置关系的步骤１确定两圆的圆心坐标和半径；２利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，并求r１＋r２，|r１—r２|；３比较d，r１＋r２，|r１—r２|的大小，然后写出结论．（２）两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一个圆中，由弦心距d，半弦长错误!，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．１．圆C１：（x—m）２＋（y＋２）２＝9与圆C２：（x＋１）２＋（y—m）２＝４外切，则m的值为（）Ａ．２Ｂ．—５C．２或—５Ｄ．不确定解析：选Ｃ．由圆心C１（m，—２），r１＝３；圆心C２（—１，m），r２＝２；则两圆心之间的距离为|C１C２|＝错误!＝２＋３＝５，解得m＝２或—５．故选Ｃ．２．（２0２0·江苏南师大附中期中改编）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A（0，—8），且与圆x２＋y２—6x—6y＝0相切于原点，则圆C的方程为，圆C被x轴截得的弦长为．解析：将已知圆化为标准式得（x—３）２＋（y—３）２＝１8，圆心为（３，３），半径为３错误!.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点（0，0），（0，—8），所以圆心又在直线y＝—４上．联立y＝x和y＝—４，得圆心C的坐标（—４，—４）．又因为点（—４，—４）到原点的距离为４错误!，所以圆C的方程为（x＋４）２＋（y＋４）２＝３２，即x２＋y２＋8x＋8y＝0．圆心C到x轴距离为４，则圆C被x轴截得的弦长为２×错误!＝8．答案：x２＋y２＋8x＋8y＝0 8核心素养系列１7 直观想象——解决直线与圆的综合问题直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．已知AC，BD为圆O：x２＋y２＝４的两条相互垂直的弦，垂足为M（１，错误!），则四边形ABCD的面积的最大值为（）Ａ．５Ｂ．１0Ｃ．１５Ｄ．２0【解析】由已知，圆心为O（0，0），半径为２．设圆心O到AC，BD的距离分别为d１，d２，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E，F，则四边形OEMF为矩形，连接OM，则d错误!＋d错误!＝OM２＝３．又|AC|＝２错误!，|BD|＝２错误!，所以S四边形ABCD＝错误!|AC|·|BD|＝２错误!·错误!≤（４—d错误!）＋（４—d错误!）＝8—（d错误!＋d错误!）＝５，当且仅当d１＝d２时取等号，即四边形ABCD的面积的最大值为５．【答案】A错误!直线与圆综合问题的求法（１）圆与直线l相切的情形圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.（２）圆与直线l相交的情形１圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦．２连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦．３过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．１．（２0２0·聊城模拟）圆（x—３）２＋（y—３）２＝9上到直线３x＋４y—１１＝0的距离等于１的点的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选Ｃ．因为圆心到直线的距离为错误!＝２，又因为圆的半径为３，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为１的点有３个．２．P在直线l：x＋y＝２上，过P作圆x２＋y２＝１的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为．解析：连接OP，OA，OB，则S四边形OAPB＝|OA|·|PA|＝|OA|·错误!＝错误!.而|OP|的最小值为|OP|min＝错误!＝错误!，所以（S四边形OAPB）min＝１．答案：１[基础题组练]１．圆O１：x２＋y２—２x＝0和圆O２：x２＋y２—４y＝0的位置关系是（）Ａ．相离Ｂ．相交C．外切Ｄ．内切解析：选Ｂ．圆O１的圆心坐标为（１，0），半径长r１＝１，圆O２的圆心坐标为（0，２），半径长r２＝２，所以两圆的圆心距d＝错误!，而r２—r１＝１，r１＋r２＝３，则有r２—r１<d<r１＋r２，所以两圆相交．２．（２0２0·陕西榆林二校联考）圆x２＋y２＋４x—２y＋a＝0截直线x＋y—３＝0所得弦长为２，则实数a等于（）Ａ．２Ｂ．—２Ｃ．４Ｄ．—４解析：选Ｄ．由题知，圆的标准方程为（x＋２）２＋（y—１）２＝５—a，所以圆心为（—２，１），半径为错误!，又圆心到直线的距离为错误!＝２错误!，所以２错误!＝２，解得a＝—４．３．（２0２0·河南豫西五校联考）在平面直角坐标系xOy中，以点（0，１）为圆心且与直线x—by ＋２b＋１＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（）Ａ．x２＋（y—１）２＝４Ｂ．x２＋（y—１）２＝２Ｃ．x２＋（y—１）２＝8 Ｄ．x２＋（y—１）２＝１6解析：选Ｂ．直线x—by＋２b＋１＝0过定点P（—１，２），如图．所以圆与直线x—by＋２b＋１＝0相切于点P时，以点（0，１）为圆心的圆的半径最大，此时半径r为错误!，此时圆的标准方程为x２＋（y—１）２＝２．故选Ｂ．４．已知圆O１的方程为x２＋y２＝４，圆O２的方程为（x—a）２＋y２＝１，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是（）Ａ．{１，—１} Ｂ．{３，—３}Ｃ．{１，—１，３，—３} Ｄ．{５，—５，３，—３}解析：选Ｃ．因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝１，外切时，|a|＝３，所以实数a的取值集合是{１，—１，３，—３}．５．圆x２＋２x＋y２＋４y—３＝0上到直线x＋y＋１＝0的距离为错误!的点共有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个解析：选Ｃ．圆的方程化为（x＋１）２＋（y＋２）２＝8，圆心（—１，—２）到直线的距离d＝错误!＝错误!，半径是２错误!，结合图形可知有３个符合条件的点．6．圆x２＋y２—４x＝0在点P（１，错误!）处的切线方程为．解析：圆的方程为（x—２）２＋y２＝４，圆心坐标为（２，0），半径为２，点P在圆上，设切线方程为y—错误!＝k（x—１），即kx—y—k＋错误!＝0，所以错误!＝２，解得k＝错误!.所以切线方程为y—错误!＝错误!（x—１），即x—错误!y＋２＝0．答案：x—错误!y＋２＝07．已知直线l：x＋ay—１＝0（a∈R）是圆C：x２＋y２—４x—２y＋１＝0的对称轴．过点A（—４，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝．解析：由于直线x＋ay—１＝0是圆C：x２＋y２—４x—２y＋１＝0的对称轴，所以圆心C（２，１）在直线x＋ay—１＝0上，所以２＋a—１＝0，所以a＝—１，所以A（—４，—１）．所以|AC|２＝３6＋４＝４0．又r＝２，所以|AB|２＝４0—４＝３6．所以|AB|＝6．答案：68．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线２x＋y—４＝0相切，则圆C面积的最小值为．解析：因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线２x＋y—４＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线２x＋y—４＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线２x＋y—４＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝错误!＝错误!，所以圆C的最小半径为错误!，所以圆C面积的最小值为π错误!错误!＝错误!π.答案：错误!π9．已知圆C：（x—１）２＋（y＋２）２＝１0，求满足下列条件的圆的切线方程．（１）过切点A（４，—１）；（２）与直线l２：x—２y＋４＝0垂直．解：（１）因为k AC＝错误!＝错误!，所以过切点A（４，—１）的切线斜率为—３，所以过切点A （４，—１）的切线方程为y＋１＝—３（x—４），即３x＋y—１１＝0．（２）设切线方程为２x＋y＋m＝0，则错误!＝错误!，所以m＝±５错误!，所以切线方程为２x＋y±５错误!＝0．１0．已知圆C经过点A（２，—１），和直线x＋y＝１相切，且圆心在直线y＝—２x上．（１）求圆C的方程；（２）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为２，求直线l的方程．解：（１）设圆心的坐标为C（a，—２a），则错误!＝错误!，化简，得a２—２a＋１＝0，解得a＝１．所以C（１，—２），半径|AC|＝错误!＝错误!.所以圆C的方程为（x—１）２＋（y＋２）２＝２．（２）１当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为２，满足条件．２当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得错误!＝１，解得k＝—错误!，所以直线l的方程为y＝—错误!x.综上所述，直线l的方程为x＝0或３x＋４y＝0．[综合题组练]１．（２0２0·湖北四地七校联考）若圆O１：x２＋y２＝５与圆O２：（x＋m）２＋y２＝２0相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．２错误!Ｄ．8解析：选Ｂ．连接O１A，O２A，由于⊙O１与⊙O２在点A处的切线互相垂直，因此O１A⊥O２A，所以|O１O２|２＝|O１A|２＋|O２A|２，即m２＝５＋２0＝２５，设AB交x轴于点C.在Rt△O１AO２中，sin ∠AO２O１＝错误!，所以在Rt△ACO２中，|AC|＝|AO２|·sin∠AO２O１＝２错误!×错误!＝２，所以|AB|＝２|AC|＝４．２．（２0２0·江西南昌NCS项目第一次模拟）已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋错误!≤１”，q：“x ２＋y２≤r２”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．（0，１]Ｃ．错误!Ｄ．[２，＋∞）解析：选Ａ．如图，“|x|＋错误!≤１”表示的平面区域为平行四边形ABCD及其内部，“x２＋y２≤r２”表示圆及其内部，易知圆心O（0，0）到直线AD：２x＋y—２＝0的距离d＝错误!＝错误!，由p是q 的必要不充分条件，得0<r≤错误!，故选Ａ．３．已知点P（２，２），圆C：x２＋y２—8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（１）求M的轨迹方程；（２）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解：（１）圆C的方程可化为x２＋（y—４）２＝１6，所以圆心为C（0，４），半径为４．设M（x，y），则错误!＝（x，y—４），错误!＝（２—x，２—y）．由题设知错误!·错误!＝0，故x（２—x）＋（y—４）（２—y）＝0，即（x—１）２＋（y—３）２＝２．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x—１）２＋（y—３）２＝２．（２）由（１）可知M的轨迹是以点N（１，３）为圆心，错误!为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为３，所以l的斜率为—错误!，故l的方程为x＋３y—8＝0．又|OM|＝|OP|＝２错误!，O到l的距离为错误!，所以|PM|＝错误!，S△POM＝错误!×错误!×错误!＝错误!，故△POM的面积为错误!.４．已知圆C：x２＋y２—２x—４y＋３＝0．（１）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（２）从圆C外一点P（x１，y１）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：（１）将圆C的方程配方得（x—１）２＋（y—２）２＝２，当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx（k≠0），由直线与圆相切得错误!＝错误!，解得k＝—２±错误!，所以切线方程为y＝（—２＋错误!）x或y＝（—２—错误!）x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y—a＝0，由直线与圆相切得错误!＝错误!，解得a＝１或a＝５，所以切线方程为x＋y—１＝0或x＋y—５＝0．综上，所求的切线方程为y＝（—２＋错误!）x或y＝（—２—错误!）x或x＋y—１＝0或x＋y—５＝0．（２）由|PM|＝|PO|得（x１—１）２＋（y１—２）２—２＝x错误!＋y错误!，即２x１＋４y１—３＝0，即点P在直线l：２x＋４y—３＝0上，所以|PM|min＝错误!＝错误!.。

2020版高考数学历史专用讲义：第九章 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).概念方法微思考1．在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．2．用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )(3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ ) 题组二教材改编2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．4．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．答案 2 2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题组三易错自纠5．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是() A．[－2，2] B．[－22，22]C．[－2－1，2－1] D．[－22－1,22－1]答案 D解析圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝|2－1＋m|2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m|2≤2，解得－22－1≤m≤22－1，故选D.6．(2018·石家庄模拟)设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A．4 B．4 2 C．8 D．8 2答案 C解析因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|＝(a－4)2＋(a－1)2，解得a＝5＋22或a＝5－22，可取C1(5＋22，5＋22)，C2(5－22，5－22)，故|C1C2|＝(42)2＋(42)2＝8，故选C.7．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________．答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，∵|OA|＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.题型一直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 (2018·贵州黔东南州联考)在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定答案 A解析因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝0.故圆心C (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝1＝r ，故圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切，故选A. 命题点2 弦长问题例2 已知直线：12x －5y ＝3与圆x 2＋y 2－6x －8y ＋16＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 4 2解析把圆的方程化成标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝9，所以圆心坐标为(3,4)，半径r ＝3，所以圆心到直线12x －5y ＝3的距离d ＝|12×3－5×4－3|122＋(－5)2＝1，则|AB |＝2r 2－d 2＝4 2.命题点3 切线问题例3 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0.(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0.(3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法 ①几何法：利用d 与r 的关系． ②代数法：联立方程之后利用Δ判断．③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．跟踪训练1 (1)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为________．答案相交解析直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交．(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．答案 2 2解析设P (3,1)，圆心C (2,2)，则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－(2)2＝2 2.(3)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________．答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋(－1)2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.题型二圆与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例4 分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切．解将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ，则圆C 1的圆心为C 1(－2,3)，半径r 1＝1；圆C 2的圆心为C 2(1,7)，半径r 2＝50－k ，k <50.从而|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当|50－k －1|<5<50－k ＋1，即4<50－k <6，即14<k <34时，两圆相交．当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切；当|50－k －1|＝5，即k ＝14时，两圆内切．所以当k ＝14或k ＝34时，两圆相切．命题点2 公共弦问题例5 已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．(1)证明由题意得，圆C 1和圆C 2一般方程化为标准方程，得(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝16，则圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2， ∴圆C 1和C 2相交．(2)解圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0. 圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离 d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察． (2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到． (3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解．跟踪训练2 (1)(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1,1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2<|MN |<r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.(2)圆x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0与圆x 2＋y 2＋2x －13＝0相交于P ，Q 两点，则直线PQ 的方程为______________．答案 x －2y ＋6＝0解析两个圆的方程两端相减，可得2x －4y ＋12＝0. 即x －2y ＋6＝0.1．若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(121，＋∞) C ．[1,121] D ．(1,121)答案 C解析 x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为 (x ＋3)2＋(y －4)2＝36. 圆心距为d ＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ，所以1≤m ≤121.故选C.2．直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( ) A.30 B.532 C ．4 2 D ．3 3答案 A解析圆(x －1)2＋(y －3)2＝10的圆心坐标为(1,3)，半径r ＝10，圆心(1,3)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－9＋3|10＝510，故弦|AB |＝210－2510＝30，故选A.3．已知直线l ：x cos α＋y sin α＝2(α∈R )，圆C ：x 2＋y 2＋2x cos θ＋2y sin θ＝0(θ∈R )，则直线l 与圆C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．与α，θ有关答案 D解析圆C ：x 2＋y 2＋2x cos θ＋2y sin θ＝0(θ∈R )，即(x ＋cos θ)2＋(y ＋sin θ)2＝1(θ∈R )，圆心C 的坐标为(－cos θ，－sin θ)，半径为r ＝1.圆心C 到直线l ：x cos α＋y sin α＝2(α∈R )的距离d ＝|－cos θcos α－sin θsin α－2|cos 2α＋sin 2α＝2＋cos(θ－α)．当cos(θ－α)＝－1时，d ＝r ，直线l 和圆C 相切；当－1<cos(θ－α)≤1时，d >r ，直线l 和圆C 相离，故选D.4．(2018·福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14答案 B解析圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.5．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．由题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．6．(2018·东北三省联考)直线x ＋2y ＋m ＝0(m >0)与⊙O ：x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，若|OA →＋OB →|>2|AB →|，则m 的取值范围是( )A ．(5，25)B ．(25，5)C ．(5，5)D ．(2，5)答案 B解析 ∵直线x ＋2y ＋m ＝0与⊙O ：x 2＋y 2＝5交于相异两点A ，B ，∴O 点到直线x ＋2y ＋m ＝0的距离d < 5.记OA →＋OB →＝OD →，则四边形OADB 是菱形，且|OD →|＝2d . ∵|OA →＋OB →|>2|AB →|，∴2d >2|AB →|，即d >|AB →|＝25－d 2，解得d >2.又d <5，∴2<d <5，即2<|m |5< 5. 又m >0，解得m ∈(25，5)．7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 答案 4解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得x 1＝－3，y 1＝3；x 2＝0，y 2＝23， ∴A (－3，3)，B (0,23)．过A ，B 作l 的垂线方程分别为 y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4.8．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________. 答案 32解析由题意，得圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|P A |＝|PB |＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3，则|OP |＝2，∴∠OP A ＝30°，∴∠APB ＝60°. ∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.9．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.10．(2018·成都模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆C 上的点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m <0)的最短距离为1，若点N (a ，b )在直线l 上位于第一象限的部分，则1a ＋1b 的最小值为____________．答案7＋4355解析圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心坐标(3,4)，半径为5，因为圆C 上的点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m <0)的最短距离为1，则直线l 与圆C 相离，设圆心到直线的距离为d ，则d －r ＝1，可得|9＋16＋m |9＋16＝6，解得m ＝－55或m ＝5(舍去)．因为点N (a ，b )在直线l 上位于第一象限的部分，所以3a ＋4b ＝55，a >0，b >0. 则1a ＋1b ＝155⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (3a ＋4b )＝155⎝⎛⎭⎫7＋4b a ＋3a b ≥155⎝⎛⎭⎫7＋24b a ·3a b ＝7＋4355，当且仅当a ＝－55＋11033，b ＝55－5532时取等号．11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1， C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0，则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34.∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0. (2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2 ＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0)．且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2，∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝ 52－⎝⎛⎭⎫BC 22＝25－5＝2 5.即|2×6－7＋m |22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.∴直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15.(3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形，又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴PQ ≤2r ＝10. ∴TA ＝PQ ≤10，即(t －2)2＋42≤10，解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的取值范围为[2－221，2＋221]．13．(2018·贵阳第一中学月考)已知直线l ：(m ＋2)x ＋(m －1)y ＋4－4m ＝0上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤1或m ≥2B ．2≤m ≤8C ．－2≤m ≤10D ．m ≤－2或m ≥8答案 C 解析如图，设切点分别为A ，B .连接AC ，BC ，MC ，由∠AMB ＝∠MAC ＝∠MBC ＝90°及MA ＝MB 知，四边形MACB 为正方形，故|MC |＝2＋2＝2，若直线l 上总存在点M 使得过点M 的两条切线互相垂直，只需圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝|－m －2＋2m －2＋4－4m |(m ＋2)2＋(m －1)2≤2，即m 2－8m－20≤0，∴－2≤m ≤10，故选C.14．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．答案 4解析 ⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5. 又A ，B 关于OO 1所在直线对称， ∴AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍， ∴|AB |＝2×5×255＝4.15．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫49，89 B.⎝⎛⎭⎫29，49 C ．(1,2) D ．(9,0)答案 C解析因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为P A ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝⎛⎭⎫y －m 22＝(9－2m )2＋m24， ① 又x 2＋y 2＝9， ②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0，即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1,2)，故选C.16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D ⎝⎛⎭⎫－32，t ，求实数t 的取值范围．解由题意可得直线AB 的方程为x ＝y ＋1，与y 2＝4x 联立消去x ，可得y 2－4y －4＝0，显然Δ＝16＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，设E (x E ，y E )，则y E ＝y 1＋y 22＝2，x E ＝y E ＋1＝3，又|AB |＝x 1＋x 2＋2＝y 1＋1＋y 2＋1＋2＝8，所以圆E 是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，所以点D 恒在圆E 外．圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D ⎝⎛⎭⎫－32，t ，即圆E 上存在点P ，Q ，使得DP ⊥DQ ，设过D 点的两直线分别切圆E 于P ′，Q ′点，要满足题意，则∠P ′DQ ′≥π2，所以|EP ′||DE |＝4⎝⎛⎭⎫3＋322＋()2－t 2≥22，整理得t 2－4t －314≤0，解得2－472≤t ≤2＋472，故实数t 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－472，2＋472.。

(课标通用版)2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( ) (2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( ) (3)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要不充分条件．( ) (4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
解析：选
B.因为圆心(0，0)到直线
y＝2
22，
而 0< 22<1，所以直线和圆相交，但不过圆心．
圆 Q：x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为( )
d＝|r1－r2| (r1≠r2)
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
___一__组__实__数__解____ __无__解___
常用知识拓展 1．过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y ＝r2. 2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 3．过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2. 4．直线与圆相交时，弦心距 d，半径 r，弦长的一半12l 满足关系式 r2＝d2＋12l2.
d
＝
|cos θ－1－cos θ| sin2θ＋cos2θ

高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系文1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系.d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).【知识拓展】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件.( × ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( × ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(6)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )1.(教材改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是________. ①相切； ②相交但直线不过圆心；③相交过圆心； ④相离. 答案 ②解析由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心.2.若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是__________. 答案 [－3,1]解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.(2014·湖南改编)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝________. 答案 9解析圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝1，圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆心C 2(3,4)，半径r 2＝25－m ，从而C 1C 2＝32＋42＝5.由两圆外切得C 1C 2＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.4.(2015·山东改编)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为____________. 答案－43或－34解析由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34. 5.(教材改编)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题型一直线与圆的位置关系例1 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是______. (2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是________.(3)已知方程x 2＋x tan θ－1sin θ＝0有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________.答案 (1)相交 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833(3)相切解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交.(2)把圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝16－3k 24，所以16－3k24>0，解得－833<k <833.由题意知点(1,2)应在已知圆的外部，把点代入圆的方程得1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0，即(k －2)(k ＋3)>0，解得k >2或k <－3，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833.(3)由题意可知过A ，B 两点的直线方程为(a ＋b )x －y －ab ＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|－ab |a ＋b2＋1，而a ＋b ＝－1tan θ，ab ＝－1sin θ，因此d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan θ2＋1，化简后得d ＝1，故直线与圆相切.思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.(1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长.(1)证明由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －2＋y ＋2＝12，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0，因为Δ＝(4k －2)2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点. (2)解设直线与圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则直线l 被圆C 截得的弦长AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝28－4k ＋11k21＋k2＝2 11－4k ＋31＋k2，令t ＝4k ＋31＋k 2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，当t ＝0时，k ＝－34，当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时AB 最小为27.题型二圆与圆的位置关系例2 (1)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________.(2)过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________________________________________________________________________. (3)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________.答案 (1)相交 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45(3)(－22，0)∪(0,22)解析 (1)两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0，代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2).过两交点的圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小. ∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.(3)C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，圆心坐标为(a ，a )，半径为2. 依题意得：0<a 2＋a 2<2＋2，∴0<|a |<2 2. ∴a ∈(－22，0)∪(0,22)思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论.(1)圆C 1：x 2＋y 2－2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0的位置关系为________.答案内切解析 ∵圆C 1：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为：C 1(0,1)，半径r 1＝1，圆C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0的圆心为：C 2(3，0)，半径r 2＝3， ∴C 1C 2＝32＋1＝2，又r 1＋r 2＝4，r 2－r 1＝2，∴C 1C 2＝r 2－r 1＝2，∴圆C 1与C 2内切.(2)设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值.解 M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，即{(x ，y )|x 2＋y 2＝2a 2，y ≥0}，表示以原点O 为圆心，半径等于2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分).N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，表示以O ′(1，3)为圆心，半径等于a 的一个圆.再由M ∩N ≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切. 当半圆和圆相外切时，由OO ′＝2＝2a ＋a ，求得a ＝22－2；当半圆和圆相内切时，由OO ′＝2＝2a －a ，求得a ＝22＋2，故a 的取值范围是[22－2,22＋2]，a 的最大值为22＋2，最小值为22－2. 题型三直线与圆的综合问题命题点1 求弦长问题例3 (2015·课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则MN ＝________.答案 4 6解析由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以MN ＝|y 1－y 2|＝4 6. 命题点2 由直线与圆相交求参数问题例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以MN ＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5 (1)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________；答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋－2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程. ①与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； ②与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直；③过切点A (4，－1).解 ①设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0； ②设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0； ③∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.(1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.(2)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________. 答案 (1)2 2 (2)4解析 (1)设P (3,1)，圆心C (2,2)，则PC ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－22＝2 2.(2)将圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，则圆心为(3,4)，半径长为 5. 由题意可设切线的方程为y ＝kx ，则圆心(3,4)到直线y ＝kx 的距离等于半径长5，即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝112，则切线的方程为y ＝12x 或y ＝112x .联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，此即为P ，Q 的坐标，由两点间的距离公式得PQ ＝4.7.高考中与圆交汇问题的求解一、与圆有关的最值问题典例 (1)(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为________.(2)(2014·北京)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________.解析 (1)由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37， ∴x ＝－1时有最大值49＝7.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且AB ＝2m . 因为∠APB ＝90°，连结OP ，易知OP ＝12AB ＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离.因为OC ＝32＋42＝5，所以OP max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6. 答案 (1)7 (2)6 二、直线与圆的综合问题典例 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝________.(2)(2014·江西改编)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________.解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1). ∴AC 2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴AB 2＝40－4＝36. ∴AB ＝6.(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上. 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为OD . 又OD ＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.答案 (1)6 (2)54π温馨提醒 (1)与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化.(2)直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质.[方法与技巧]1.直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的.2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程.注意：斜率不存在的情形.3.圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2].[失误与防范]1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1.(2015·广东)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是______________.答案 2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0解析设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.2.已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A 、B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a 的值为________. 答案 4±15解析易知△ABC 是边长为2的等边三角形. 故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为 3. 即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15. 3.若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切，则ab 的最大值为______________________________________________________________. 答案 2解析圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R ). 化为：(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1，∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2.∴ab 的最大值为2.4.过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为______________. 答案 2x ＋y －3＝0 解析如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5.若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为________. 答案 12，－4解析因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4.6.(2015·山东)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________. 答案 32解析由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PA ⊥x 轴，PA ＝PB ＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中OA ＝1，AP ＝3，则OP ＝2， ∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.7.已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________.答案 [2,3]解析曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x ＝6，∴m ＝6＋x P2∈[2,3].8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________. 答案 43解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9.已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程. (1)证明 ∵圆C 过原点O ，且OC 2＝t 2＋4t2.∴圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值. (2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.10.(2014·课标全国Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当OP ＝OM 时，求l 的方程及△POM 的面积. 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y ).由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆.由于OP ＝OM ，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又OM ＝OP ＝22，O到l 的距离为4105，所以PM ＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.B 组专项能力提升 (时间：30分钟)11.已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝1 (a >0)与直线y ＝3x 相交于P ，Q 两点，则当△CPQ 的面积最大时，实数a 的值为________. 答案52解析因为△CPQ 的面积等于12sin∠PCQ ，所以当∠PCQ ＝90°时，△CPQ 的面积最大，此时圆心到直线y ＝3x 的距离为22，因此22＝|3a －a |10，解得a ＝52. 12.过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________.答案－33解析∵S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin∠AOB＝12sin∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，△AOB 面积最大. 此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.(也可k ＝－tan∠OPH ＝－33). 13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C 2：(x －17)2＋(y －30)2＝r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A ，B ，满足PA ＝2AB ，则半径r 的取值范围是________. 答案 [5,55]解析由题意可知满足PA ＝2AB 的点P 应在以C 1为圆心，半径为25的圆上及其内部(且在圆C 1的外部)，记该圆为C 3，若圆C 2上存在满足条件的点P ，则圆C 2与圆C 3有公共点，所以|r－25|≤＋2＋－2≤r ＋25，即|r －25|≤30≤r ＋25，解得5≤r ≤55.14.已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个交点；(2)设直线l 与圆C 交于点A ，B ，若AB ＝17，求直线l 的倾斜角；(3)设直线l 与圆C 交于A ，B ，若定点P (1,1)满足2AP →＝PB →，求此时直线l 的方程. (1)证明直线l 恒过定点P (1,1). 由12＋(1－1)2<5知点P 在圆C 内，所以直线l 与圆C 总有两个交点.(2)解圆心到直线的距离d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝32，又d ＝|0－1＋1－m |m 2＋1，所以32＝|0－1＋1－m |m 2＋1，解得m ＝±3，所以，l 的倾斜角为π3或2π3.(3)解方法一设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由2AP →＝PB →得：2(1－x 1,1－y 1)＝(x 2－1，y 2－1)，所以x 2＋2x 1＝3，①直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x －1)，⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －，x 2＋y －2＝5⇒(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－5＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2k ＋1， ②x 1x 2＝k 2－5k 2＋1， ③由①②③消去x 1，x 2解得k ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. 方法二如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，设AP ＝t ，则PB ＝2t ，AD ＝1.5t ， PD ＝0.5t .在Rt△CDP 中，有CP 2＝CD 2＋PD 2，得CD 2＝1－(0.5t )2，在Rt△CDA 中，CD 2＝5－()1.5t 2，所以t ＝2，从而，CD ＝22，又直线AB 的方程为mx －y ＋1－m ＝0，d ＝|m |m 2＋1＝22，解得m ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. 15.已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a ).(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； (2)若a ＝2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直，求AC ＋BD 的最大值. 解 (1)由条件知点M 在圆O 上，所以1＋a 2＝4，则a ＝± 3.当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切＝－33，此时切线方程为y －3＝－33(x －1). 即x ＋3y －4＝0，当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33. 此时切线方程为y ＋3＝33(x －1).即x －3y －4＝0. 所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0.(2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)，则d 21＋d 22＝OM 2＝3. 又有AC ＝24－d 21，BD ＝24－d 22，所以AC ＋BD ＝24－d 21＋24－d 22.则(AC ＋BD )2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22) ＝4×[5＋216－d 21＋d 22＋d 21d 22] ＝4×(5＋24＋d 21d 22).因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3，所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时取等号，所以4＋d 21d 22≤52，所以(AC ＋BD )2≤4×(5＋2×52)＝40.所以AC ＋BD ≤210，即AC ＋BD 的最大值为210.。

旧教材适用2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系课件

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系
1
PART ONE
基础知识整合
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r)
相离
相切
相交
图形
方程观点 Δ □01 < 0 Δ □02 ＝ 0 Δ □03 > 0 量化
几何观点 d □04 > r d □05 ＝ r d □06 < r
2．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2 的半径分别为 r1，r2，d＝|O1O2|)
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切
答案 B
解析易得圆 C1 的圆心为 C1(－2,2)，半径 r1＝2，圆 C2 的圆心为 C2(2,5)，
半径 r2＝4，圆心距|C1C2|＝ [2－－2]2＋5－22＝5<2＋4＝r1＋r2，又
|C1C2|>4－2，所以两圆相交．
5．圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的公共弦所在的直线方程为___x_－__y_＋__2_＝_0___．
所以圆心到直线 AB 的距离为 d＝ 2 32－ 32＝3，又由点到直线的
距离公式可得
|3m－ 3| d＝ m2＋1 ＝3，解得
m＝－
33，所以直线
l
的斜率
k＝－m
＝ 33，即直线 l 的倾斜角为 30°.如图，过点 C 作 CH⊥BD，垂足为 H，所以
|CH|＝2 3，在 Rt△CHD 中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝co2s330°＝4.
2．直线与圆的位置关系的常用结论 (1)当直线与圆相交时，弦心距(圆心到直线的距离)，半弦长及半径构成一个直角三角形． (2)弦长公式|AB|＝ 1＋k2|xA－xB| ＝ 1＋k2[xA＋xB2－4xAxB].

高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教学案理新人教A版-新

§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的X 围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系.(最重要)d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解外切 d ＝r 1＋r 2一组实数解相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( √ ) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ ) 题组二教材改编2.若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值X 围是( ) A.[－3，－1] B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－12≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.外离答案 B解析两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交.4.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题组三易错自纠5.若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值X 围是( ) A.[－2，2]B.[－22，22]C.[－2－1，2－1]D.[－22－1，22－1] 答案 D解析圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.6.过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________. 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2， ∵|OA |＝3－12＋5－22＝13>2，∴点A (3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1，2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1， ∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定答案 B解析因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交.命题点2 弦长问题例2 若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12B.1C.22D. 2 答案 D解析因为圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，由勾股定理得，弦长的一半就等于12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 命题点3 切线问题例3 (2020·某某部分重点中学联考)点P 为射线x ＝2(y ≥0)上一点，过P 作圆x 2＋y 2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P 的坐标为( ) A.(2，1) B.(2，2) C.(2，2) D.(2，0) 答案 C 解析如图所示.设切点为A ，B ，则OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OA ＝OB ，AP ＝BP ，AP ⊥BP ，故四边形OAPB 为正方形，则|OP |＝6，又x P ＝2，则P (2，2).命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题例4 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，则最短弦所在的直线方程为________. 答案 x －y －2＝0解析设P (3，1)，圆心C (2，2)，则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短弦过P (3，1)且与PC 垂直，k PC ＝－1，所以所求直线方程为y －1＝x －3，即x －y －2＝0. 思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题. 跟踪训练1 (1)(2020·某某江淮十校联考)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交，则r 的取值X 围是 ( )A.0<r ≤1B.0<r <1C.r ≥1D.r >1 答案 D解析圆心到直线的距离d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r >1. (2)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A.－2B.－4C.－6D.－8 答案 B解析由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝2，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.(3)(2019·某某)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r ，若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________. 答案－25解析根据题意画出图形，可知A (－2，－1)，C (0，m )，B (0，3)，∵k AB ＝2，∴k AC ＝－12，∴直线AC 的方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，令x ＝0，得y ＝－2， ∴圆心C (0，－2)，∴m ＝－2. ∴r ＝|AC |＝4＋－2＋12＝ 5.(4)从直线l ：x ＋y ＝1上一点P 向圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________. 答案462解析方法一圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1，圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1. 设直线l 上任意一点P (x ，y )，则由x ＋y ＝1，得y ＝1－x . 则|PC |＝x ＋22＋y ＋22＝x ＋22＋1－x ＋22＝2x 2－2x ＋13.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ .故|PQ |2＝|PC |2－r 2＝(2x 2－2x ＋13)－1＝2x 2－2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋232，所以当x ＝12时，|PQ |2取得最小值，最小值为232，此时切线长为|PQ |＝232＝462. 方法二圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1，圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ . 故|PQ |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1. 故当|PC |取得最小值时，切线长最小.显然，|PC |的最小值为圆心C 到直线l 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝522，所以切线长的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫5222－1＝462. 圆与圆的位置关系例5 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1，3)，N (5，6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值.故有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. 因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪43×1＋3－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝11.解得b ＝133±5311.容易验证，当b ＝133＋5311时，直线与圆x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相交，舍去.故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×112－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27. 思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到. (3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解.跟踪训练2 (1)(2020·某某模拟)圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16的位置关系是( ) A.外离B.相交 C.内切D.外切答案 B解析易得圆C 1的圆心为C 1(－2，2)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心为C 2(2，5)，半径r 2＝4，圆心距|C 1C 2|＝[2－－2]2＋5－22＝5<2＋4＝r 1＋r 2且5>r 2－r 1，所以两圆相交.(2)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a .∵公共弦长为23，∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.1.已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≠0，则直线l ：ax ＋by ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定答案 B解析圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，圆心到直线ax ＋by ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2×a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2×b a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切.2.直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定答案 A解析方法一由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.方法二直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交.3.若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值X 围是( ) A.(－∞，1) B.(121，＋∞) C.[1，121] D.(1，121) 答案 C解析 x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36. 圆心距为d ＝0＋32＋0－42＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ，所以1≤m ≤121.故选C.4.(2019·某某八市重点高中联考)已知圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0截直线x ＋y －4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值X 围为( ) A.(2－17，2＋17) B.(2－17，2) C.(－15，＋∞) D.(－15，2) 答案 D解析圆心(1，－1)，半径r ＝2－a ，2－a >0，∴a <2，圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.则弦长为22－a2－222＝2－a －6<6.解得a >－15，故－15<a <2.5.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，且l 与圆相交 B.m ⊥l ，且l 与圆相切 C.m ∥l ，且l 与圆相离 D.m ⊥l ，且l 与圆相离答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2. ∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0，0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离.故选C.6.(2020·某某华附、省实、广雅、深中四校联考)过点A (a ，0)(a >0)，且倾斜角为30°的直线与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点B ，且|AB |＝3，则△OAB 的面积是( ) A.12B.32C.1D.2答案 B解析由切线的性质可得△ABO 是以点B 为直角顶点的直角三角形，在Rt△ABO 中，∠OAB ＝30°，AB ＝3，则OB ＝1，OA ＝2，△OAB 的面积是12×1×3＝32.7.已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.6或－6B.5或－5C.6D. 5 答案 B解析因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝± 5.8.(2020·西南地区名师联盟调研)以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝9 解析圆心到直线的距离为|3×2－4×－1＋5|5＝3，则所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.9.(2020·某某“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为________.答案 (x －3)2＋(y －3)2＝34解析方法一联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y 2＝4，解得交点坐标为A (－2，0)，B (0，－2).弦AB 的垂直平分线方程为y ＋1＝x ＋1即x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.弦AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为(3，3)，半径r ＝[3－－2]2＋32＝34，故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝34.方法二设所求圆的方程为(x 2＋y 2－4)＋a (x ＋y ＋2)＝0，即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a2，∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴－a ＋a2－3＝0，∴a ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0，即(x －3)2＋(y －3)2＝34.10.若过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝______. 答案 32解析由题意，得圆心为O (0，0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3. ∵△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3，则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos60°＝32.11.(2019·某某青山区模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.解 (1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－34. (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即2＋d 2＝4，解得d ＝2，则有d ＝|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－1或－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.12.已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求该圆的方程.解方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法二设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝a －b22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法三设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F ).② 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.13.(2019·某某师大附中月考)已知圆x 2＋(y －1)2＝2上任一点P (x ，y )，其坐标均使得不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A.[1，＋∞) B .(－∞，1] C.[－3，＋∞) D .(－∞，－3] 答案 A解析如图，圆应在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，圆心C (0，1)到直线l 的距离为|1＋m |2，切线l 0应满足|1＋m |2＝2，∴|1＋m |＝2，m ＝1或m ＝－3(舍去)，从而－m ≤－1，∴m ≥1.14.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为_______. 答案7解析设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， |PQ |＝|PM |2－1＝222－1＝7.15.已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89B.⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49C.(1，2) D.(9，0) 答案 C解析因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为PA ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝9－2m2＋m24，①又x 2＋y 2＝9，②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0，即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1，2)，故选C.16.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. (1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程. 解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋4－b 2＝r 2，1－a 2＋3－b2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值.过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT |2＝7， ∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k1＋k2＋8＝12，即4k1＋k1＋k2＝4，解得k ＝1，又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。

新课标高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.4直线圆的位置关系课件理

（m＋1）2＋（m＋2）2<3－2，解得－2<m<－1. 当－2<m<－1 时，圆 C1 和圆 C2 内含．
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【点拨】与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些．其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距 d 和两圆的半径 R 和 r，再根据 d 与 R＋r，d 与 R－r 的大小关系来判定(详见“考点梳理”栏目)．
解：由直线 mx－y－2m－1＝0 得 m(x－2)－(y＋ 1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有 r＝
1＋1＝ 2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 故填(x－1)2＋y2＝2.
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类型三圆的弦长
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解：(1)由已知，圆心为 O(0，0)，半径 r＝ 5，圆心到直线 2x－y＋m
＝0 的距离 d＝
|m|
＝|m|，
22＋（－1）2 5
因为直线与圆无公共点，所以 d>r，即|m|> 5，所以 m>5 或 m<－5. 5
故当 m>5 或 m<－5 时，直线与圆无公共点． (2)由已知有 r2－d2＝12，即 5－m52＝1.得 m＝±2 5，
解：设 AB 的中点为 M，由题意知，圆的半径 R＝2 3，|AB|＝2 3，所以|OM|＝ |3mm－2＋13|＝3，解得 m＝－ 33，可得 l：x－ 3y＋6＝0，由
xx－ 2＋y32＝y＋126＝0，解得 A(－3， 3)，B(0，2 3)，则 AC 的直线
方程为 y－ 3＝－ 3(x＋3)，BD 的直线方程为 y－2 3＝－ 3 x，令 y＝0，解得 C(－2，0)，D(2，0)，所以|CD|＝4.故填 4.

2021届高考数学一轮总复习第9章解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系跟踪检测文含解析

第九章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2020届长春市高三质量监测一)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝( ) A．－3 B．1C．－3或1 D.5 2解析：选 C 由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为 2.由直线与圆相切，得|1＋b|12＋12＝2，解得b＝－3或b＝1，故选C.2．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不能确定解析：选A 由已知得，圆C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，则圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1，2)到直线x ＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}解析：选C 因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线y－3y ＋3＝0的距离为1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 圆心C(1，0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝2.若圆C上至多有2个点到直线x－3y ＋3＝0的距离为1，则0<r<3，所以p是q的充要条件．5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B．(x－2)2＋(y－1)2＝22C ．(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝36或(x －2)2＋(y －1)2＝32解析：选C 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r>0)．因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，所以直线AB 的方程为4x ＋4y ＋r 2－10＝0.圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离d ＝|r 2－14|42，由题意得d 2＋22＝6，即（r 2－14）232＝2，所以r 2－14＝±8，所以r 2＝6或22.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22.6．若直线y ＝－12x －2与圆x 2＋y 2－2x ＝15相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程为________．解析：圆的方程可整理为(x －1)2＋y 2＝16，所以圆心坐标为(1，0)，半径r ＝4，易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而k AB ＝－12，所以k l ＝2.由点斜式方程可得直线l 的方程为y －0＝2(x－1)，即2x －y －2＝0.答案：2x －y －2＝07．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆心C(－1，0)，C 到已知圆圆心(2，3)的距离d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：由题意得∠AOB＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.答案：45π9．已知圆C 经过点A(2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．解：(1)设圆心的坐标为C(a ，－2a)，则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.所以C(1，－2)，半径|AC|＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．已知过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN|. 解：(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1，由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k<4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN|＝2. B 级·素养提升|练能力|11.过坐标轴上一点M(x 0，0)作圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的两条切线，切点分别为A ，B.若|AB|≥2，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C 根据题意，圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，半径r ＝1，过点M 作圆的切线，切点为A ，B ，则MA⊥AC，MC⊥AB，则S △MAC ＝12×|MA|×|AC|＝12×|MC|×|AB|2.又由|AC|＝1，变形可得|AB|＝2×|MA||MC|，则有|MA||MC|≥22.又由M(x 0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则|MC|2＝x 20＋14，|MA|2＝|MC|2－1＝x 20－34，即可得x 20－34x 20＋14≥12，解得x 0≤－72或x 0≥72，即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 故选C.12．(2019届合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3 或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB|＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴圆心为C(1，1)，圆的半径r ＝2，易知圆心C(1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＝r 2，∴（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.13．(2019届洛阳市统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则r ＝________．解析：如图，过O 作OE⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE|＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE|＝|EB|，不妨令|AD|＝5m(m>0)，由3AD →＝5DB →可得|BD|＝3m ，|AB|＝8m ，则|DE|＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2， ①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m)2， ② 联立①②，解得r ＝10.答案：1014．(2019届湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设圆心C(a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB，此时N 点的横坐标恒大于0即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，N(t ，0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1）得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立．。

【关系】高考数学一轮复习第九章平面解析几何第46课直线与圆圆与圆的位置关系教师用书

【关键字】关系第46课直线与圆、圆与圆的位置关系[最新考纲](1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).1(1)“k＝是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．相交[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·南京模拟)若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．[0,10] [因为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，所以由题意得≤1⇒|m－5|≤5⇒0≤m≤10.]4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为__________．[圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长为2＝2＝.]5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若AB＝2，则圆C的面积为________．4π[圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝.AB＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.](1)直线________．(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝________.(1)相交(2)6 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<.故直线l与圆相交．法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．(2)由圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.∴圆心为C(2,1)，半径r＝2，由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．于是AB2＝AC2－r2＝40－4＝36，则AB＝6.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径笔直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为________. 【导学号：】(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则CD ＝__________.(1)2x ＋y －7＝0 (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y2＝r2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为. 因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x2＋y2＝12知圆心O(0,0)，半径r ＝2. ∴圆心(0,0)到直线x －y ＋6＝0的距离d ＝＝3，AB ＝2＝2. 过C 作CE ⊥BD 于E. 如图所示，则CE ＝AB ＝2. ∵直线l 的方程为x －y ＋6＝0，∴kAB ＝，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴CD ＝CEsin 60°＝AB sin 60°＝2332＝ 4.]圆与圆的位置关系(1)(2016·山东高考改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________．(2)(2017·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为________．(1)相交 (2)3 [(1)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴MN ＝0－12＋2－12＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<MN <3，∴两圆相交．法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．(2)由题意得圆N 与圆M 内切或内含，即MN ≤ON －1⇒ON ≥2，又ON ≥OM －1，所以OM ≥3.a 2＋a －32≥3⇒a ≥3或a ≤0(舍)．因此a 的最小值为3.][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．若两圆相交，则两圆心的连线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心， ∴O 1A ⊥OA .又∵OA ＝5，O 1A ＝25， ∴OO 1＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍．又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.∴AB ＝4.]直线与圆的综合问题(2016·江苏高考改编)如图461，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．图461[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝m ＋525＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且MN ＝23，求直线MN 的方程. 【导学号：】[解] (1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m . ∵圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切， ∴圆心(－2,1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为2x －y ＋c ＝0.∵MN ＝23，半径r ＝2，∴圆心(－2,1)到直线MN 的距离为22－32＝1.则|－4－1＋c |5＝1，∴c ＝5± 5. ∴直线MN 的方程为2x －y ＋5±5＝0. [思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式AB ＝1＋k 2|x A －x B |＝1＋k2[x A ＋x B2－4x A x B ].[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十六)A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是________．相交 [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝________.【导学号：】9 [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而C 1C 2＝32＋42＝5.两圆外切得C 1C 2＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.]3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是________．－4 [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0，得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]4．过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 外接圆的方程是________．(x －2)2＋(y －1)2＝5 [由题意知，O ，A ，B ，P 四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1)．又圆的半径r ＝12OP ＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.]5．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是________. 【导学号：】1023 [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且PC ＝2，∴最短弦的长为2r 2－PC 2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023]．6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则OD ＝532＋－42＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°， ∴OB ＝2OD ＝2，即r ＝2.]8．(2017·南通模拟)过点(1，－2)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为________. 【导学号：】y ＝－12[圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]9．(2017·南京模拟)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝__________.2 [依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°. 如图，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意，所以a 2＋b 2＝2.]10．(2017·徐州联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________．－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33.所以实数k 的最小值为－33.] 二、解答题11．(2017·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1,0)，B (3,0)，C (0,1)．(1)求圆M 的方程；(2)若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，求实数m 的值． [解] (1)法一：设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋F ＋1＝0，3D ＋F ＋9＝0，E ＋F ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－4，F ＝3.所以圆M 的方程x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0.法二：线段AC 的垂直平分线的方程为y ＝x ，线段AB 的垂直平分线的方程为x ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝2，解得M (2,2)．所以圆M 的半径r ＝AM ＝5，所以圆M 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5. (2)因为MP →·MQ →＝0，所以∠PMQ ＝π2.又由(1)得MP ＝MQ ＝r ＝5，所以点M 到直线l 的距离d ＝102. 由点到直线的距离公式可知，|2m －4－2m －1|m 2＋4＝102，解得m ＝± 6.12．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S .[解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2,3)．当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切，故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0. (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，又点C 到OA 的距离d ＝|5×2－3×3|52＋－32＝134.又OA ＝32＋52＝34. 所以S ＝12OAd ＝12.B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·南通调研一)在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,0)，B (4,0)．若直线x －y ＋m ＝0上存在点P ，使得PA ＝12PB ，则实数m 的取值范围是________．[－22，22] [法一：设满足条件PB ＝2PA 的P 点坐标为(x ，y )，则(x －4)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，化简得x 2＋y 2＝4.要使直线x －y ＋m ＝0有交点，则|m |2≤2.即－22≤m ≤2 2.法二：设直线x －y ＋m ＝0有一点(x ，x ＋m )满足PB ＝2PA ，则 (x －4)2＋(x ＋m )2＝4(x －1)2＋4(x ＋m )2. 整理得2x 2＋2mx ＋m 2－4＝0(*)方程(*)有解，则△＝4m 2－8(m 2－4)≥0，解之得：－22≤m ≤2 2.]2．(2017·泰州模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．9 [圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以－2a －02＋0－b2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.]3．如图462，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .图462(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程． [解] (1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．即kx －y ＋2k ＝0. 连结AQ ，则AQ ⊥MN∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1，则由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.4．(2013·江苏高考)如图463，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．图463(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．[解] (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3.由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋y －32＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋2a －32≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.4直线与圆、圆

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系理1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系.d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).【知识拓展】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件.( × ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( × ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(6)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )1.(教材改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是________. ①相切； ②相交但直线不过圆心； ③相交过圆心； ④相离.答案 ②解析由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心.2.若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是__________. 答案 [－3,1]解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.(2014·湖南改编)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝________. 答案 9解析圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝1，圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆心C 2(3,4)，半径r 2＝25－m ，从而C 1C 2＝32＋42＝5.由两圆外切得C 1C 2＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.4.(2015·山东改编)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为____________.答案－43或－34解析由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.5.(教材改编)圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题型一直线与圆的位置关系例1 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是______. (2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是________.(3)已知方程x 2＋x tan θ－1sin θ＝0有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________.答案 (1)相交 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833(3)相切解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交.(2)把圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝16－3k 24，所以16－3k24>0，解得－833<k <833.由题意知点(1,2)应在已知圆的外部，把点代入圆的方程得1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0，即(k －2)(k ＋3)>0，解得k >2或k <－3，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833.(3)由题意可知过A ，B 两点的直线方程为(a ＋b )x －y －ab ＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|－ab |a ＋b 2＋1，而a ＋b ＝－1tan θ，ab ＝－1sin θ，因此d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan θ2＋1，化简后得d ＝1，故直线与圆相切.思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.(1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长.(1)证明由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －2＋y ＋2＝12，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0，因为Δ＝(4k －2)2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点. (2)解设直线与圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则直线l 被圆C 截得的弦长AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝28－4k ＋11k21＋k2＝2 11－4k ＋31＋k2，令t ＝4k ＋31＋k 2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，当t ＝0时，k ＝－34，当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 的最大值为4，此时AB 最小为27.题型二圆与圆的位置关系例2 (1)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________.(2)过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________________________________________________________________________. (3)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________.答案 (1)相交 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45(3)(－22，0)∪(0,22)解析 (1)两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0，代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2).过两交点的圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小.∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.(3)C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，圆心坐标为(a ，a )，半径为2. 依题意得：0<a 2＋a 2<2＋2，∴0<|a |<2 2. ∴a ∈(－22，0)∪(0,22)思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|；(3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论.(1)圆C 1：x 2＋y 2－2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0的位置关系为________.答案内切解析 ∵圆C 1：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为：C 1(0,1)，半径r 1＝1，圆C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0的圆心为：C 2(3，0)，半径r 2＝3， ∴C 1C 2＝32＋1＝2，又r 1＋r 2＝4，r 2－r 1＝2，∴C 1C 2＝r 2－r 1＝2，∴圆C 1与C 2内切.(2)设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值.解 M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，即{(x ，y )|x 2＋y 2＝2a 2，y ≥0}，表示以原点O 为圆心，半径等于2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分).N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，表示以O ′(1，3)为圆心，半径等于a 的一个圆.再由M ∩N ≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切. 当半圆和圆相外切时，由OO ′＝2＝2a ＋a ，求得a ＝22－2；当半圆和圆相内切时，由OO ′＝2＝2a －a ，求得a ＝22＋2，故a 的取值范围是[22－2,22＋2]，a 的最大值为22＋2，最小值为22－2. 题型三直线与圆的综合问题命题点1 求弦长问题例3 (2015·课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则MN ＝________.答案 4 6解析由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以MN ＝|y 1－y 2|＝4 6. 命题点2 由直线与圆相交求参数问题例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN .解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以MN ＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5 (1)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________；答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋－2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程. ①与直线l 1：x ＋y －4＝0平行；②与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； ③过切点A (4，－1).解 ①设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0； ②设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0； ③∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.(1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.(2)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过A 点作圆的切线有两条，则a 的取值范围是____________.答案 (1)2 2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析 (1)设P (3,1)，圆心C (2,2)，则PC ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－22＝2 2.(2)将圆C 的方程化为标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋1)2＝4－3a 24，其圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－1，半径r ＝4－3a24. 当点A 在圆外时，过点A 可作圆的两条切线，则AC >r ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22＋＋2>4－3a24，即a 2＋a ＋9>0，解得a ∈R .又4－3a 2>0时x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0才表示圆，故可得a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233.7.高考中与圆交汇问题的求解一、与圆有关的最值问题典例 (1)(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为________.(2)(2014·北京)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________.解析 (1)由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且AB ＝2m . 因为∠APB ＝90°，连结OP ，易知OP ＝12AB ＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离.因为OC ＝32＋42＝5，所以OP max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6. 答案 (1)7 (2)6 二、直线与圆的综合问题典例 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝________.(2)(2014·江西改编)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________.解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1). ∴AC 2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴AB 2＝40－4＝36. ∴AB ＝6.(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上. 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为OD . 又OD ＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.答案 (1)6 (2)54π温馨提醒 (1)与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化.(2)直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质.[方法与技巧]1.直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的.2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程.注意：斜率不存在的情形.3.圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2].[失误与防范]1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1.(2015·广东)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是______________.答案 2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0解析设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.2.已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A 、B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a 的值为________. 答案 4±15解析易知△ABC 是边长为2的等边三角形. 故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为 3. 即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15. 3.若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切，则ab 的最大值为______________________________________________________________. 答案 2解析圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R ). 化为：(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1，∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2.∴ab 的最大值为2.4.过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为______________. 答案 2x ＋y －3＝0 解析如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5.若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为________. 答案 12，－4解析因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以解得k ＝12，b ＝－4.6.(2015·山东)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________. 答案 32解析由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PA ⊥x 轴，PA ＝PB ＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中OA ＝1，AP ＝3，则OP ＝2， ∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.7.已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________.答案 [2,3]解析曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x ＝6，∴m ＝6＋x P2∈[2,3].8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________. 答案 43解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9.已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程. (1)证明 ∵圆C 过原点O ，且OC 2＝t 2＋4t2.∴圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值. (2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.10.(2014·课标全国Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当OP ＝OM 时，求l 的方程及△POM 的面积. 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y ).由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆.由于OP ＝OM ，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又OM ＝OP ＝22，O到l 的距离为4105，所以PM ＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.B 组专项能力提升 (时间：30分钟)11.已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝1 (a >0)与直线y ＝3x 相交于P ，Q 两点，则当△CPQ 的面积最大时，实数a 的值为________. 答案52解析因为△CPQ 的面积等于12sin∠PCQ ，所以当∠PCQ ＝90°时，△CPQ 的面积最大，此时圆心到直线y ＝3x 的距离为22，因此22＝|3a －a |10，解得a ＝52. 12.过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________.答案－33解析∵S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin∠AOB＝12sin∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，△AOB 面积最大. 此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.(也可k ＝－tan∠OPH ＝－33). 13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C 2：(x －17)2＋(y －30)2＝r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A ，B ，满足PA ＝2AB ，则半径r 的取值范围是________. 答案 [5,55]解析由题意可知满足PA ＝2AB 的点P 应在以C 1为圆心，半径为25的圆上及其内部(且在圆C 1的外部)，记该圆为C 3，若圆C 2上存在满足条件的点P ，则圆C 2与圆C 3有公共点，所以|r－25|≤＋2＋－2≤r ＋25，即|r －25|≤30≤r ＋25，解得5≤r ≤55.14.已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个交点；(2)设直线l 与圆C 交于点A ，B ，若AB ＝17，求直线l 的倾斜角；(3)设直线l 与圆C 交于A ，B ，若定点P (1,1)满足2AP →＝PB →，求此时直线l 的方程. (1)证明直线l 恒过定点P (1,1). 由12＋(1－1)2<5知点P 在圆C 内，所以直线l 与圆C 总有两个交点.(2)解圆心到直线的距离d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝32，又d ＝|0－1＋1－m |m 2＋1，所以32＝|0－1＋1－m |m 2＋1，解得m ＝±3，所以，l 的倾斜角为π3或2π3.(3)解方法一设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由2AP →＝PB →得：2(1－x 1,1－y 1)＝(x 2－1，y 2－1)，所以x 2＋2x 1＝3，①直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x －1)，⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －，x 2＋y －2＝5⇒(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－5＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2k ＋1， ②x 1x 2＝k 2－5k 2＋1， ③由①②③消去x 1，x 2解得k ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. 方法二如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，设AP ＝t ，则PB ＝2t ，AD ＝1.5t ， PD ＝0.5t .在Rt△CDP 中，有CP 2＝CD 2＋PD 2，得CD 2＝1－(0.5t )2，在Rt△CDA 中，CD 2＝5－()1.5t 2，所以t ＝2，从而，CD ＝22，又直线AB 的方程为mx －y ＋1－m ＝0，d ＝|m |m 2＋1＝22，解得m ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.15.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.解 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－32＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－1＋k2，从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝|5＋1k －a －b |1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)·k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132，经检验点P 1和P 2满足题目条件.。